人教版高中数学必修4A版《平面向量的基本定理及坐标表示》课件(新人教a版必修4)
最新-高中数学 平面向量的基本定理及坐标表示(2课时)课件 新人教A版必修4 精品
对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定
理知，有且只有一对实数x、y，使得 a＝
xi＋yj.我们把有序数对（x，y）叫做向量a
的坐标，记作a＝(x，y).其中x叫做a在x轴上
的坐标，y叫做a在y轴 上的坐标，上式叫做向量 y
的坐标表示.那么x、y的
ya
几何意义如何？
j
x
Oi
x
思考5：相等向量的坐标必然相等，作向 量 OA a，则 OA (x，y)，此时点A是坐 标是什么？
行四边形？
B
，向量 OA,OB,OC 不共线，能否在直线OA、OB上分别找一
点M、N，使 OM ON OC ？
B
N
C
B
N
C
OA M
AO
M
B
N
C
B
N
C
OA M
AO
M
思考4：在上图中，设 OA=e1，OB=e2，
OC =a，则向量OM,ON 分别与e1，e2的
关系如何？从而向量a与e1，e2的关系如
问题提出
1.平面向量的基本定理是什么？
若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量， 则对于这一平面内的任意向量a，有且只有 一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
2.用坐标表示向量的基本原理是什么？
设i、j是与x轴、y轴同向的两个单位向 量，若a＝xi＋yj，则a＝(x，y).
3.用坐标表示向量，使得向量具有代数 特征，并且可以将向量的几何运算转化 为坐标运算，为向量的运算拓展一条新 的途径.我们需要研究的问题是，向量 的和、差、数乘运算，如何转化为坐标 运算，对于共线向量如何通过坐标来反 映等.
探究（一）：平面向量基本定理
最新-高中数学 平面向量基本定理课件 新人教A版必修4 精品
D
C
M
A
B
回顾小结：
１）平面向量基本定理内容
２）对定理的理解与拓展
实数对 1, 2, 的存在性和唯一性
基底的不唯一性 定理的拓展性 ３）平面向量基本定理的应用
2.2.1平面向量基本定理
如图，设e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，
试用e1、e2表示向量 AB,CD, EF,GH
H
E
D B
e2 A e1
G
C F
AB 2e1 3e2
CD e1 4e2
EF 4e1 - 4e2
GH 2e1 5e2
设e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，
可以作出该平面内给定的向量a在e1、e2两个
２）若 e1, e2, 是平面内所有向量的一组基底，
则下面的四组向量中不能作为一组基底的是 （B）
A.e1 e2 , e1 e2 C.e1 3e2, e2 3e1
B.3e1 2e2, 4e2 6e1
D.e2 , e1 e2
４．数学应用
例２.如图所示，平行四边形ABCD的两条对角线
相交与点M,且 AB a, AD b,
无数对
♦ 探究３： 若基底选择不同，则表示同一向量的
实数 1, 2, 是否相同？ 可以相同,也可不同
F
C
OC OF OE
OC 2OA OE A
B
a
OC 2OB ON
O
N
EE
（1）平面向量的基底有多少对？ （有无数对）
M
CF
M
A
a
a
O
N
B
O
N
C E
人教A版高中数学必修四课件：第二章2.3.1平面向量基本定理 (共16张PPT)
x
e2
O
a 3e1 2e2
3 a x 4y 2
yn
A
a 3m 2n
当a 0时, 有且只有1 2 0时可使 0 1 e1 2 e2 , (e1 , e2不共线).
若1与2中只有一个为零 , 情况会是怎样?
若2 0, 则a 1 e1 ,即a与e1共线, 若1 0, 则a 2 e2 ,即a与e2共线,
本题在解决过程中用到了两向量共 线的等价条件这一定理，并用基向量表 示有关向量,用待定系数法列方程，通 过消元解方程组。这些知识和考虑问题 的方法都必须切实掌握好。
课堂总结 1.平面向量基本定理可以联系物理 学中的力的分解模型来理解，它说明在
同一平面内任一向量都可以表示为不共
线向量的线性组合，该定理是平面向量
D
A
N M B
C
例2.用向量的方法证明: 1 平行四边形OACB中, BD BC , OD与BA 3 1 相交于E , 求证 : BE BA. 4 D B C E
O
A
例3.证明: 向量OA, OB, OC的终点A, B, C共线 的等价条件是存在实数 、 且 1， 使得 OC OA OB.
问题 3 : 设 e1 , e2 是同一平面内两个不共 线的向量, a是这一平面内的任一向 量, 我们来通过作图研 究a与e1 , e2 之间的关系?
平面向量基本定理: 如果e1 , e2 是同一平面内两个不共 线的向量, 那 么对于平面内的任一向 量a , 有且只有一对实数
1 , 2 , 使得a 1 e1 2 e2 .
坐标表示的基础，其本质是一个向量在
其他两个向量上的分解。
2. 在实际问题中的指导意义在于
新课标高中数学人教A版必修四全册课件2.3平面向量的基本定理及坐标表示(三)
向量 AB的坐标与以原点为始点、
点P为终点的向量的坐标是相同的.
第十页，编辑于星期日：十三点 十九分。
练习
1. 若M (3,2), N (5,1)且MP 1 MN , 2
求P点的坐标.
2. 若A(0, 1), B(1, 2), C(3, 4), 则
2. 能不能写成 y1 y2 ? x1 x2
不能,
x1
,
x
有可能为
2
0
.
3. 向量共线有哪两种形式 ?
第二十页，编辑于星期日：十三点 十九分。
探究：
1. 消去时能不能两式相除 ?
不能 两式相除， y1, y2有可能为 0， 又b 0, x2 , y2中至少有一个不为 0 .
2. 能不能写成 y1 y2 ? x1 x2
第二十六页，编辑于星期日：十三点 十九分。
讲解范例
例5. 设点P是线段P1P2上的一点，P1、 P2的坐标分别是(x1, y1)，(x2, y2). (1)当点P是线段P1P2的中点时，求点
P的坐标； (2)当点P是线段P1P2的一个三等分点
时，求点P的坐标.
第二十七页，编辑于星期日：十三点 十九分。
第二十八页，编辑于星期日：十三点 十九分。
练习
教材P.101练习第4、5、6、7题.
第二十九页，编辑于星期日：十三点 十九分。
课堂小结
1. 平面向量共线的坐标表示；
2. 平面上两点间的中点坐标公式及
定点坐标公式；
3. 向量共线的坐标表示.
第三十页，编辑于星期日：十三点 十九分。
课后作业
1. 阅读教材P.98到P.100；
人教A版高中数学必修四平面向量的基本定理及坐标表示新课程新课标(1)(1)课件
－2λ)＝0，解得 λ＝12，选 A.
法二 假设 a，b 不共线，则由(a＋2b)∥(2a－2b)可得 a＋2b＝ λ(2a－2b)，从而12＝＝2－λ2λ ，方程组显然无解，即 a＋2b 与 2a －2b 不共线，这与(a＋2b)∥(2a－2b)矛盾，从而假设不成立， 故应有 a，b 共线，所以1λ＝21，即 λ＝12.选 A. 答案 A
两向量平行的条件
自学导引
试一试：已知 a＝(－1,2)，b＝(2，y)，若 a∥b，则 y 的值是( )． A．1 B．－1 C．4 D．－4 提示 ∵a∥b⇔x1y2＝x2y1⇔－y＝4，∴y＝－4.故选 D.
名师点睛 对平面向量共线的坐标表示的理解 (1)xx12＝yy12是 a∥b 的充分不必要条件；使用时，应注意其前提是 x2≠0，y2≠0. (2)我们已经掌握的向量共线的条件有： ①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；且规定 0 与任一向 量平行； ②向量 a 与 b(b≠0)共线，有且只有一个实数 λ，使 a＝λb. ③a∥b⇔x1y2－x2y1＝0. ④x1＝λx2，y1＝λy2 或xx12＝yy12⇒a∥b.
误区警示 考虑不全面而出错 【示例】 若向量 a＝(－1，x)与 b＝(－x,2)共线，求 x. [错解] ∵a，b 共线，∴(－1)×2－x(－x)＝0，得 x＝－ 2(舍去) 或 x＝ 2，故 x＝ 2为所求．
舍去 x＝－ 2没有道理． [正解] ∵a，b 共线，∴(－1)×2－x(－x)＝0，得 x＝± 2， 而 x＝ 2时，a＝(－1， 2)，b＝(－ 2，2)＝ 2(－1， 2)＝ 2 a，此时 a、b 同向共线； x＝－ 2时，b＝－ 2a，此时 a、b 异向共线． 故 x＝± 2为所求．
【变式 2】 已知 a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若 ma＋b 与 a－2b 平行， 求 m 的值． 解 由已知得，ma＋b＝(2m－1,3m＋2)，a－2b＝(4，－1)，于 是由 ma＋b 与 a－2b 平行可得，(2m－1)×(－1)－(3m＋2)×4 ＝0，即－14m－7＝0，得 m＝－12.
高中数学新课标人教A版必修四《2.3.1平面向量的基本定理及坐标表示》课件2
(2)E→C∥D→C.又∵E→C＝O→C－O→E＝(2a－b)－λa
＝(2－λ)a－b，D→C＝2a－53b， ∴2－2 λ＝15，
3
∴λ＝45.
课前探究学习
课堂讲练互第二动十九页，编辑于活星期页一：规点范十一训分练。
课前探究学习
课堂讲练互第十动页，编辑于星期活一：页点 规十一范分。训练
规律方法 (1)用基底表示平面向量，要充分利用向量加法、减 法的三角形法则或平行四边形法则结合实数与向量的积的定 义，解题时要注意解题途径的优化与组合． (2)将向量 c 用 a，b 表示，常采用待定系数法，其基本思路是 设 c＝xa＋yb，其中 x，y∈R，然后得到关于 x，y 的方程组求 解．
∴O→C与O→A的夹角是 30°，B→A与O→A的夹角为 60°. 即 a＋b 与 a 的夹角为 30°，a－b 与 a 的夹角为 60°. 规律方法 求两个向量的夹角关键是利用平移的方法使两个向 量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤 求出．
课前探究学习
课堂讲练互第十动四页，编辑于星活期一页：点规十范一分训。练
即AA→→BD＋＋1212AA→→DB＝＝ba，，
解得AA→→DB＝＝－43a23－a＋23b43. b，
课前探究学习
课堂讲练互第十动二页，编辑于星活期一页：点规十范一分训。练
题型二 向量的夹角问题
【例 2】 已知|a|＝|b|＝2，且 a 与 b 的夹角为 60°，则 a＋b 与 a
的夹角是多少？a－b 与 a 的夹角又是多少？
课前探究学习
课堂讲练互第二动页，编辑于星期活一：页点 规十一范分。训练
自学导引
1．平面向量基本定理
(1)定理：如果 e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对
高中数学必修4 2.3.1-2平面向量的基本定理及坐标表示 PPT课件
关系如何？从而向量a与e1，e2的关系如
何？ OM
1e1,
ON 2e2.
a 1e1 2e2.
B
N
C
B
N
C
O
uuur
A
M
OM =
AO
M
uuur ON =
OM 1e1, ON 2e2, a 1e1 2e2
思考5：若上述向量e1，e2，a都为定向量， 且e1，e2不共线，则实数λ1，λ2是否存在？
探究（一）：平面向量基本定理
思考1：给定平面内任意两个向量e1，e2， 如何求作向量3e1＋2e2和e1－2e2？
e1-2e2
B
e2
2e2
C
e1
O e1 D
3e1 A
3e1＋2e2
思考2：如图，设OA，OB，OC为三条共
点射线，P为OC上一点，能否在OA、OB
上分别找一点M、N，使四边形OMPN为平
3.平面向量共线定理是什么？
非零向量a与向量b共线
存在唯
一实数λ ，使b＝λa.
4.如图，光滑斜面上一个木块受到的重
力为G，下滑力为F1，木块对斜面的压 力为F2，这三个力的方向分别如何？ 三者有何相互关系？
F1
G
F2
5.在物理中，力是一个向量，力的合成 就是向量的加法运算.力也可以分解， 任何一个大小不为零的力，都可以分解 成两个不同方向的分力之和.将这种力 的分解拓展到向量中来，就会形成一个 新的数学理论.
b
a
思考3：把一个向量分解为两个互相垂直
的向量，叫做把向量正交分解.如图，向 量i、j是两个互相垂直的单位向量，向量 a与i的夹角是30°，且|a|=4，以向量i、 j为基底，向量a如何表示？
高一数学(人教A版必修4)课件：《平面向量基本定理》
二、教学重点与难点
• 重点：平面向量基本定理的应用； • 难点：平面向量在给定基向量上分解的唯一性．
三、教学过程 （一）、相关知识：
• 1、向量的加法、减法：
• 2、数乘向量:
(二)、问题引入：
• 如图，设e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，试用e1、 e2表示向量 , , , .(详见课本P96图2-34) AB CD EF GH
• 反思3：把未知向量分解转化为基底向量表示的方法是什
么？
（四）、典型例题：
• 例1、已知平行四边形ABCD的两条对角线相交于M，设
， ，试用基底{ A}B表示a AD b
a, b • , , , （课本P97例1）
MA MB MC MD
• 例2、已知是l上任意两点，O是l外一点如图，求证：对直
平面向量基本定理：
e •
如果 ， 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这
一平面内的1 任一e向2 量 ，有且只有一对实数λ1，λ2使
a • =λ1 +λ2
a e • 我们把不共线向量 1
，
底；
e1 e2
（三）、探究体验：
• 反思1：基底向量是否唯一？
a • 反思2：向量 被分解后，表示是否唯一？（唯一性）
平面向量基本定理
高一数学
一、教学目标
• 1。知识与技能（1）了解平面向量基本定理及其意义； • （2）理解平面内三点共线的充要条件及线段中点的向量
表达式。 • 2。过程与方法 • 通过平面向量基本定理得出的过程，体会由特殊到一般的
方法，培养学生“数”与“形”相互转化的思想方法。 • 3。情感态度与价值观 • 通过本节课的教学，培养学生严肃认真的科学态度与积极
高一数学人教A版必修4课件：2.3 平面向量的基本定理及坐标表示(2-3课时)
第二章 平面向量§2.2 平面向量的线性运算2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3 平面向量的坐标运算明目标知重点填要点记疑点探要点究所然内容索引010203当堂测查疑缺 04明目标、知重点1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示.2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则.3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来.1.平面向量的坐标表示(1)向量的正交分解：把一个向量分解为两个 的向量，叫做把向量正交分解.(2)向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x 轴，y 轴方向相同的两个 i ，j 作为基底，对于平面内的一个向量a ，有且只有一对实数x ，y 使得a ＝，则 叫做向量a 的坐标， 叫做向量a 的坐标表示.互相垂直填要点·记疑点单位向量x i ＋y j 有序数对(x ，y )a ＝(x ，y )2.平面向量的坐标运算(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝，即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和.(x ，y )(x 2－x 1，y 2－y 1)(x 1＋x 2，y 1＋y 2)(2)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a －b ＝，即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差.(3)若a ＝(x ，y )，λ∈R ，则λa ＝，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.(x 1－x 2，y 1－y 2)(λx ，λy )探要点·究所然情境导学我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数(即它的坐标)表示.对于直角坐标平面内的每一个向量，如何表示呢？能不能像点一样也用坐标来表示？探究点一 平面向量的坐标表示思考1 如果向量a与b的夹角是90°，则称向量a与b垂直，记作a⊥b.互相垂直的两个向量能否作为平面内所有向量的一组基底？答 互相垂直的两个向量能作为平面内所有向量的一组基底.思考2 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.如图，向量i、j是两个互相垂直的单位向量，向量a与i的夹角是30°，且|a|＝4，以向量i、j为基底，向量a如何表示？小结 在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底.对于平面内的任一向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝x i＋y j.我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫做a 在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标.显然有，i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0).思考3 在平面直角坐标系中，作向量＝a，若＝(x，y)，此时点A的坐标是什么？根据右图写出向量a，b，c，d的坐标，其中每个小正方形的边长是1.答 A(x，y)；a＝(2,3)，b＝(－2,3)，c＝(－3，－2)，d＝(3，－3).探究点二 平面向量的坐标运算思考1 设i 、j 是与x 轴、y 轴同向的两个单位向量，若设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＝x 1i ＋y 1j ，b ＝x 2i ＋y 2j ，根据向量的线性运算性质，向量a ＋b ，a －b ，λa (λ∈R )如何分别用基底i 、j 表示？答 a ＋b ＝(x 1＋x 2)i ＋(y 1＋y 2)j ，a －b ＝(x 1－x 2)i ＋(y 1－y 2)j ，λa ＝λx 1i ＋λy 1j .思考2 根据向量的坐标表示，向量a ＋b ，a －b ，λa 的坐标分别如何？用数学语言描述上述向量的坐标运算.答 a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2);a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2);λa ＝(λx 1，λy 1).两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差)；实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.思考3 已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么向量 的坐标是什么？一般地，一个任意向量的坐标如何计算？点的坐标与向量的坐标有何区别？答 ＝(x 2－x 1，y 2－y 1). 任意一个向量的坐标等于表示该向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标.(1)向量a ＝(x ，y )中间用等号连接，而点的坐标A (x ，y )中间没有等号.(2)平面向量的坐标只有当起点在原点时，向量的坐标才与向量终点的坐标相同.(3)在平面直角坐标系中，符号(x，y)可表示一个点，也可表示一个向量，叙述中应指明点(x，y)或向量(x，y).例1 已知a＝(2,1)，b＝(－3,4)，求a＋b，a－b,3a＋4b的坐标.解 a＋b＝(2,1)＋(－3,4)＝(－1,5)，a－b＝(2,1)－(－3,4)＝(5, －3)，3a＋4b＝3(2,1)＋4(－3,4)＝(6,3)＋(－12,16)＝(－6,19).反思与感悟 (1)已知两点求向量的坐标时，一定要注意是终点坐标减去起点坐标；(2)向量的坐标运算最终转化为实数的运算.跟踪训练1 已知a＝(－1,2)，b＝(2,1)，求：(1)2a＋3b；解 2a＋3b＝2(－1,2)＋3(2,1)＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7).(2)a－3b；解 a－3b＝(－1,2)－3(2,1)＝(－1,2)－(6,3)＝(－7，－1).例2 已知a＝(－2,3)，b＝(3,1)，c＝(10，－4)，试用a，b表示c.解 设c＝x a＋y b，则(10，－4)＝x(－2,3)＋y(3,1)＝(－2x＋3y,3x＋y)，解得x＝－2，y＝2，∴c＝－2a＋2b.反思与感悟 待定系数法是最基本的数学方法之一，它的实质是先将未知量设出来，再利用方程或方程组求解，把一个向量用其他两个向量表示，这是常用方法.跟踪训练2 已知a＝(10，－5)，b＝(3,2)，c＝(－2,2)，试用b，c 表示a.解 设a＝λb＋μc (λ，μ∈R).则(10，－5)＝λ(3,2)＋μ(－2,2)＝(3λ，2λ)＋(－2μ，2μ)＝(3λ－2μ，2λ＋2μ).解 由A(2，－4)，B(－1,3)，C(3,4)，得＝(－2，－16)＋(－12，－3)＝(－14，－19).∴点M的坐标为(－11，－15).反思与感悟 向量的坐标运算是几何与代数的统一，几何图形的法则是代数运算的直观含义，坐标运算是图形关系的精确表示，二者的法则互为补充，要充分利用这一点，有效解决问题.跟踪训练3 已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为(3,7)，(4,6)，(1，－2)，求第四个顶点的坐标.解 不妨设A(3,7)，B(4,6)，C(1，－2)，第四个顶点为D(x，y).则A、B、C、D四点构成平行四边形有以下三种情形.∴(4,6)－(3,7)＝(1，－2)－(x，y)，(2)当平行四边形为ABDC时，仿(1)可得D(2，－3).(3)当平行四边形为ADBC时，仿(1)可得D(6,15).综上所述，第四个顶点的坐标可能为(0，－1)，(2，－3)或(6,15).1.已知向量a ＝(1,2)，b ＝(3,1)，则b －a 等于( )A.(－2,1)B.(2，－1)C.(2,0)D.(4,3)解析 b －a ＝(3,1)－(1,2)＝(2，－1)，故选B.当堂测·查疑缺 1234BA答案 A12344.已知向量a＝(2，－3)，b＝(1,2)，p＝(9,4)，若p＝m a＋n b，则7m＋n＝________.呈重点、现规律1.在平面直角坐标系中，平面内的点、以原点为起点的向量、有序实数对三者之间建立一一对应关系.关系图如图所示.2.向量的坐标和这个向量的终点的坐标不一定相同.当且仅当向量的起点在原点时，向量的坐标才和这个终点的坐标相同.3.向量坐标形式的运算，要牢记公式，细心计算，防止符号错误.。
人教新课标A版高中数学高一必修4课件2.3平面向量的基本定理及坐标表示2-3课时
12
(2)a－3b； 解 a－3b＝(－1,2)－3(2,1) ＝(－1,2)－(6,3)＝(－7，－1).
2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示~2.3.3 平面向量的坐标运算
13
(3)12a－13b. 解 21a－13b＝12(－1,2)－13(2,1) ＝－21，1－32，13＝－67，32.
23
1234
2.已知向量O→A＝(3，－2)，O→B＝(－5，－1)，则向量12A→B的
坐标是( )
A.－4，21
B.4，－21
C.(－8,1)
D.(8,1)
2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示~2.3.3 平面向量的坐标运算
24
解析 ∵A→B＝O→B－O→A＝(－8,1)， ∴12A→B＝－4，12. 答案 A
2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示~2.3.3 平面向量的坐标运算
20
跟踪演练 3 已知 A(2，－4)，B(－1,3)，C(3,4)，若C→M＝2C→A
＋3C→B，求点 M 的坐标.
解 由A(2，－4)，B(－1,3)，C(3,4)，得 C→A＝(2－3，－4－4)＝(－1，－8)， C→B＝(－1－3,3－4)＝(－4，－1)， ∴C→M＝2C→A＋3C→B＝2(－1，－8)＋3(－4，－1)
－p＋q＝3， ∵c＝pa＋qb，∴
2p－q＝－2， 故所求p，q的值分别为1,4.
p＝1， 解得
q＝4.
2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示~2.3.3 平面向量的坐标运算
19
规律方法 (1)根据平面向量基本定理，任意向量都可 以用平面内不共线的两个向量表示，同样，任意向量 的坐标都可用所选基向量的坐标表示出来. (2)相等向量的坐标是相同的，解题时注意利用向量相 等建立方程(组).