(完整版)正弦和余弦函数的图像及性质
y=
cosx
=
cos(-x)
=
sin[
2
-(-x)]
=
sin(x+
2
)
y 从 向图 左像平中移我 们个看单到位co后sx得由到sinx
2
1
-
-
4
2
o
-
2
-
4
-
x
-
-
－1
因为终边相同的角的三角函数值相同，所以y=cosx的图象在……，
4 ,2 , 2 ,0, 0,2 , 2 ,4 , ……与y=cosx,x∈[0,2π]的图象
y=
1
2 sinx+
3 2
cosx
=
sinxcos
3
+
cosxsin
3
= sin(x+ 3 )
X+ 3
x
y
0
2
－
3
6
0
1
换元法
3 2
2
2
7
5
3
6
3
0 －1 0
y=sin(x+
3
)图像如下所示
y
最大值为 1，最小值为－1
-
2 1 o- -
12
-
-
2
-
-
2
-
-
x
3
3
-
想一想?
正弦曲线、余弦曲线，它们图象有何特征？
-1 -
y
简图作法 (五点作图法)
图象的最低点(
3 2,
1)
(y1) 列表(列出对图象形状起关键作用的五点坐标)
(2) 描点( ) 正弦y 函数.余弦函数的图象和性质 6
-
6
4
-
2
-
o
2
4
6
-
-
-
x
-1-
因为终边相同的角的三角函数值相同，所以y=sinx的图象在……，
4 ,2 , 2 ,0 , 0 , 2 , 2 , 4 ,……与y=sinx,x∈[0,2π]的图象相同
y
正弦、余弦函数y=sinx,y=cosx的图象
6
4
2
2
4
6
1-
-
-
-
o
-
-
-
x
-1-
4因 ,为2 终 边, 相2同 ,0的 , 角 0 ,的2 三,角2函 数, 4 值,…相同…，与所y=以coys=xc,xo∈sx[的0,图2π象]的在图…象…相，同
y cos x, x R
余弦函数
的图象
-
-
正弦y 函数.余弦函数的图象和性质
1-
图象的最高点
(
2
,1)
5 6
7 6
4 3
3 2
5 3
11 6
2
x
－1
正弦函数.余弦函数的图象和性质
2.用描点法作出函数图象的主要步骤是怎样的？
(1).列表
y sin x, x 0,2
x
0
6
3
2 5
2
3
6
7 6
4 3
3 2
5 3
11 6
2
y0
1 2
3 2
1
3 2
1 2
0
1 2
3 2
1
3 2
1 2
0
(2).描点
y
1-
描点法: 查三角函数表得三角函数值,描点 (x,sin x),连线.
如:
x
3
查表
y
sin
3
0.8660
描点
(
3
,0.8660
)
的从 坐巧 用几
点而 标妙 单何
x 1(x,sinx).
y
y
P
1-
确 系地 位法 定 内移 圆作 对 ，动 中图
应
3
O M 1 x0
-
-
2
3- 2
2-
x
-
几何法：作三角函数线得三角函数值,描点 (x,sin x) ,连线
y
-
-
-
-
-
16-
4
本节课小结 1-
2
o
2
-1-
4
6
x
图象的最高点(
2
,1)
-1
正弦本、余节弦函数课y=s小inx,y=结cosx的图象 与 轴的交点 o 64因 ,为32 终 ,2边 相223同 ,0 的5, 60角,2的 三7,6 角2函43 ,数4 32值 ,…相53 同…，1与61 所y=2以sinyx=,sxi∈nxx[的0x,图2π(象0],的0在)图…(象…,0相，) 同(2 ,0)
o
2
3 2
2
－1
-
简图作法 (五点作图法) (1) 列表(列出对图象形状起关键作用的五点坐标) (2) 描点(定出五个关键点) (3) 连线(用光滑的曲线顺次连结五个点)
1
与x轴的交点
x (0,0) ( ,0) (2 ,0)
图象的最低点
(
3 2,
1)
图象的最高点 (0,1) (2 ,1)
与x轴的交点(
形状相同
想一想
它们的形状相 同，且都夹在 两条平行直线 y=1与y=－1 之间。但它们 的位置不同， 正弦曲线交y 轴于原点，余 弦曲线交y轴 于点（0，1）.
请观察正弦曲线、余弦曲线的形状 和位置,说出它们的异同点.
正弦函数.余弦函数的图象和性质
y
正弦函数 y sin x, x R 的图象
1-
(3).连线
0
-
-
2
1 -
3- 2
2-
x
y
1
4
2
o
－1
-
-
-
正弦曲线
2
-
4
-
-
因为终边相同的角的三角函数值相同，所以y=sinx的图象在……，
4 ,2 , 2 ,0, 0,2 , 2 ,4 ,……与y=sinx,x∈[0,2π]的图象
形状相同
用诱导公式来作余弦函数y=cosx,x∈R的的图像
2
,0)
(
3 2
,0)
o
2
3
2
2
图象的最低点 (,1)
－1
正弦函数.余弦函数的图象和性质
例题
作函数y=sinx+1,x∈[0,2π]的简图
解: 列表
描点作图
y
x
0
2
3 2
2
sin x
0
1
0
1
0
sin x 1
1
2
1
0
1
21-
o
2
3
2
2
x
1 -
练习 : 作函数 y=－cosx，x∈[0,2π]的草图
授课教师：谷元芳
正弦函数.余弦函数的图象和性质
想一想?
1. sinα、cosα、tanα的几何意义.
y
T
1 P
oA M1
x
正弦线MP 余弦线OM 正切线AT
三角问题
几何问题
正弦函数.余弦函数的图象和性质
新课:
. . . . 1.函数 y sin x, x 0,2 图象的几何作法
利用三角函数线 作三角函数图象
如:
x
3
作
3
的正弦线
MP,
到 角的
直 角
的 正 弦 线 ，
关 键 是 如 何 利
平移定点 (x, MP)
正弦函数.余弦函数的图象和性质
函数 y sin x, x 0,2 图象的几何作法
y
作法: (1) 等分 (2) 作正弦线 (3) 平移 (4) 连线
1
p1/
6
-
o-1
-A
o
6
3-
2
2 3
作函数
y=
1 2
sinx +
3 2
cosx草图，求y的最大值和最
小值
练习：作函数y= －cosx,x∈[0,2π]的草图
解: 列表
X
0
2
3 2
2
cosx
1
0 1
0
1
-cosx 1 0 1
01
y
21-
o
2
3
2
2
x
1 -
作函数
y=
1 2
sinx +
3 2
cosx草图，求y的最大值和最
小值
解：用辅角公式化简函数
y
正弦函数 y sin x , x R 的图象
-
6
4
2
-
-
1-
o
2
-1-
-
-
4
6
x
-
正弦、余弦函数y y=sinx,y=cosx的图象
-
6
4
2
-
-
o
2
1-
-1-
-
-
4
6
x
-
-
y cos x , x R
余弦函数
的图象
正弦函数.余弦函数的图象和性质
正正正弦y弦弦函函函数数数..余余y 弦弦函 函si数数n 的的x图图 , x象象和和性R性质的质图象
正弦函数和余弦函数的图像与性质
3. 求最小正周期： (1) f ( x) 3sin x 4cos x (2) f ( x) sin 2 x (3) f ( x) sin 2 x cos 2 x
y cos x , x R 的值域是 [1,1]，最大值是 1，最小值是 1.
当 cos x 1时，x 2k (k Z). 当 cos x 1 时，x (2k 1) (k Z).
（2）周期性
一般地，对于函数 f ( x)，如果存在一个常数 T (T 0)， 使得当 x 取定义域 D 内的任意值时，都有 f ( x T ) f ( x) 成立，那么函数 f ( x) 叫做周期函数，常数 T 叫做函数 f ( x) 的周期。对于一个周期函数 f ( x) 来说，如果在所有的周期中 存在一个最小正数，那么这个最小正数叫做函数 f ( x) 的 最小正周期。
解： 偶函数； (1)
(2) f ( x) cos 2 x，偶函数；
2 (k Z)
(3)sin x 1 x 2k
x
，但 x 可以取 ，即 f ( x)的定义域不关于原点对称， 2 2
f ( x) 是非奇非偶函数。
(4) f ( x)
1 sin 2 x sin x 1 1 sin 2 x sin x 1
5 3 增：k , k (k Z)， 减：k , k (k Z) 8 8 8 8
(4) y log 1 2cos x 3
2
3 解： x cos x 2 k , 2 k 2 6 6
余弦函数图像与性质
-
x
2 由此可知, 由此可知,π,4π,,2π,4π,2kπ(k ∈Z,k ≠0)
都是这两个函数的周期. 都是这两个函数的周期. 对于一个周期函数 f (x) 如果在 , 它所有的周期中存在一个最小的 正数, 正数,那么这个最小的正数就叫 的最小正周期. 做 f (x) 的最小正周期.
根据上述定义,可知: 根据上述定义,可知:
正弦, 正弦,余弦函数的奇偶性
正弦, 正弦,余弦函数的奇偶性
y
1 -4π -3π -2π -π
o
-1
π
2π
3π
4π
5π
6π
x
sin(-x)= - sinx (x∈R) ∈
y=sinx (x∈R) 是奇函数 ∈ 定义域关于原点对称
cos(-x)= cosx (x∈R) ∈
y
1 -4π -3π -2π -π
π
2 3π 2
o -1
π
2π
x
y=sinx,x∈[0, 2π] , ∈ π
�
函数y=sinx,x∈[0,2π]是奇函数吗? ∈ 是奇函数吗? 函数 是奇函数吗
正弦,余弦函数的奇偶性, 正弦,余弦函数的奇偶性,单调性
y=sinx (x∈R) 图象关于原点对称 ∈ 图象关于原点 原点对称
y
1 -3π
5π 2
-2π
3π 2
-π
π
2
o
-1
π
2
π
3π 2
2π
5π 2
x
3π
7π 2
4π
0
π
2π
3π
4π
5π
6π
x
当x= 2kπ + π 时,函数值y取得最小值-1
(完整版)最全三角函数的图像与性质知识点总结
i ng si nt he i rb ei n ga re g三角函数的图像与性质一、 正弦函数、余弦函数的图像与性质二、正切函数的图象与性质函数y ＝sin x y ＝cos x图象定义域RR 值域[－1,1][－1,1]单调性递增区间：2,2()22k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦递减区间：32,2()22k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦递增区间：[2k π－π，2k π] (k ∈Z )递减区间：[2k π，2k π＋π] (k ∈Z )最 值x ＝2k π＋(k ∈Z )时，y max ＝1；π2x ＝2k π－(k ∈Z )时，y min ＝－1π2x ＝2k π(k ∈Z )时，y max ＝1；x ＝2k π＋π(k ∈Z ) 时，y min ＝－1奇偶性奇函数偶函数对称性对称中心：(k π，0)(k ∈Z )（含原点）对称轴：x ＝k π＋，k ∈Zπ2对称中心：(k π＋，0)(k ∈Z )π2对称轴：x ＝k π，k ∈Z （含y 轴）最小正周期2π2π定义域{|,}2x x k k Z ππ≠+∈值域R单调性递增区间(,)()22k k k Z ππππ-+∈奇偶性奇函数对称性对称中心：（含原点）(,0)()2k k Z π∈最小正周期π三、三角函数图像的平移变换和伸缩变换1. 由的图象得到()的图象x y sin =)sin(ϕω+=x A y 0,0A ω>>xy sin =方法一：先平移后伸缩方法二：先伸缩后平移操作向左平移φ个单位横坐标变为原来的倍1ω结果)sin(ϕ+=x y xy ωsin =操作横坐标变为原来的倍1ω向左平移个单位ϕω结果)sin(ϕω+=x y 操作纵坐标变为原来的A 倍结果)sin(ϕω+=x A y 注意：平移变换或伸缩变换都是针对自变量x 而言的，因此在用这样的变换法作图象时一定要注意平移与伸缩的先后顺序，否则会出现错误。
正弦函数和余弦函数的图像与性质
10
18
(2) 因为
π ＜ 2 π ＜ 3 π ＜π ，
23
4
且
y ＝sin x
在[ π ，π] 上是减函数，
2
所以 sin 2 π ＞ sin 3 π ．
3
4
例8.判断f(x)=xsin(+x)奇偶性
解 函数的定义域R关于原点对称 f (x) xsin( x) xsin x
f (x) (x)sin(x) f (x) f (x) f (x)
y
1
-2 - o 2 3
-1
4 x
定义域
R
值域
[1,1]
x 2k (k Z ) 时
2
最
值
ymax=1 x 2k (k Z ) 时
2
ymin= 1
y= 0 x k (k Z)
R [1,1]
x 2k (k Z) 时 ymax=1 x 2k (k Z ) 时 ymin= 1
是减函数。
② 函数y=cos(x+/2),xR ( A )
A 是奇函数； B 是偶函数； C 既不是奇函数也不是偶函数； D 有无奇偶性不能确定。
2 不通过求值，比较下列各组中两个三角函数值的大小：
sin 250 >_ sin 260
cos15 / 8>_ cos14 / 9
cos515 >_ cos530
y
1-
-
o
π 6
π 3
π 2
2π 3
5π 6
π
7 6
4π 3
3π 2
5π 3
11π 6
2π
x
-1 -
图象的最高点: ( π ，1)； 2
1126三角函数图像及性质
4-1.4.1正弦、余弦函数的图象（1）函数y=sinx 的图象 （2）余弦函数y=cosx 的图象正弦函数y=sinx 的图象和余弦函数y=cosx 的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线． 2．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0,0) (2π,1) (π,0) (23π,-1) (2π,0) 余弦函数y=cosx x ∈[0,2π]的五个点关键是 (0,1) (2π,0) (π,-1) (23π,0) (2π,1) 讲解范例：例1 作下列函数的简图(1)y=1+sinx ，x ∈[0，2π]， (2) y=|sinx |， （3）y=sin |x |例2 用五点法作函数2cos(),[0,2]3y x x ππ=+∈的简图.例3 分别利用函数的图象和三角函数线两种方法，求满足下列条件的x 的集合：1(1)sin ;2x ≥ 15(2)cos ,(0).22x x π≤<<课后作业：作业：补充：1．分别用单位圆中的三角函数线和五点法作出y=sinx 的图象 2．分别在[-4π,4π]内作出y=sinx 和y=cosx 的图象 3．用五点法作出y=cosx,x ∈[0,2π]的图象“五点（画图）法”-----描点、连线，画出简图。
例1． 画出下列函数的简图：（1） y ＝1＋sinx ，ｘ∈〔0，２π〕 （2） ｙ＝－cosx ，ｘ∈〔0，２π〕 一、 合作学习 ●探究1如何利用y=sinx ，ｘ∈〔0，２π〕的图象，通过图形变换（平移、翻转等）来得到（1）y ＝1＋sinx ,ｘ∈〔0，２π〕的图象；（2）y=sin(x- π/3)的图象？小结：函数值加减，图像上下移动；自变量加减，图像左右移动。
●探究2如何利用y=cos x ，ｘ∈〔0，２π〕的图象，通过图形变换（平移、翻转等）来得到y ＝-cosx ，ｘ∈〔0，２π〕的图象？小结：这两个图像关于X 轴对称。
正弦函数、余弦函数的图像和性质
正弦函数、余弦函数的图象和性质
利用三角函数线 1.函数 y sin x, x 0,2 图象的几何作法 作三角函数图象 . . . . x的正弦线，巧妙地 , sin x),连线. 描点法 : 查三角函数表得三角函数值,描点(x 几何法作图的关键是如何利用单位圆中角
如 : x 3 查表 y sin 3 0.8660 移动到直角坐标系内，从而确定对应的点 (x,sinx). ( 描点 ,0.8660) y 3 1
4.8.1正弦函数、余弦函数图像
正弦函数、余弦函数的图象和性质
1. sinα、cosα、tanα的几何意义. 想一想?
y
1
P
T
正弦线MP
o
M
1
A
x
余弦线OM 正切线AT
三角问题
几何问题
正弦函数、余弦函数的图象和性质
2.用描点法作出函数图象的主要步骤是怎样的？ (1) 列表
y sin x, x 0,2
y
P
3
0
2
-
-
-
2
3 2
x
1 1 x
O
M
几何法： 作三角函数线得三角函数值，描点 ( x, sin x),连线 如: x 3 作 3 的正弦线 MP, 平移定点 ( x, MP)
正弦函数、余弦函数的图象和性质
2.函数 y sin x, x 0,2 图象的几何作法
y
1-
(五点作图法)
图象的最高点 ( ,1) 2 与x轴的交点
5 3 11 6
-1
o
-1 -
6
2
3
正弦、余弦函数的性质与图像(3)
, ] 3 4
例3：求下列函数的大值和最小值 (1) f ( x ) 2cos(2 x ) 1, x [0, ] 3 2 7 2 (2) f ( x ) cos x cos x 4 3sin x 1 (3) f ( x ) sin x 2
变式：已知函数f ( x ) 2a sin(2 x 是[0, ]，值域是[ 5,1], 求a , b的值 2
变式：求下列函数的单调区间
(1) f ( x ) sin(
4
2 x)
(2) f ( x ) 3cos(2 x
3 2 (3) f ( x ) sin x sin x 1, x [0, ]
)
变式：已知是正数，函数f ( x ) 2sin x在区间[ 上的增函数，求的取值范围
1 1 变式：已知函数y f ( x )的定义域为[0， ]，求f (sin 2 x ) 4 2 的定义域
例2、判断下列方程根的个数
(1) x sin x 1 (2)2 x cos x (3)sin x lg x
变式：函数f ( x ) sin x 2 | sin x |, x [0, 2 ]的图像与直线 y k有且仅有两个不同的交点，求k的范围
3
) b(a 0)的定义域
1 3 变式：函数f ( x )=sin 2 x a cos x a 的最大值为1，求 2 2 a的值
例4、要使 cos 2 2m sin 2m 2 0恒成立， 求实数m的取值范围
正弦、余弦函数的性质与图像
第三节函数ຫໍສະໝຸດ y1y=sinx
正弦函数图像与性质
正弦函数的图像与性质是正弦函数y=sinx。
余弦函数y=cosx，正弦函数在[-π/2+2kπ,π/2+2kπ]上单调递增，在[π/2+2kπ,3π/2+2kπ]上单调递减，余弦函数在[-π+2kπ,2kπ]上单调递增，在[2kπ,π+2kπ]上单调递减等。
正弦函数在[-π/2+2kπ,π/2+2kπ]上单调递增，在[π/2+2kπ,3π/2+2kπ]上单调递减，余弦函数在[-π+2kπ,2kπ]上单调递增，在[2kπ,π+2kπ]上单调递减。
正弦函数关于x=π/2+2kπ轴对称，关于(kπ,0)中心对称。
正弦型函数的图像
正弦型函数y=Asin(ωx+φ)图象的几何画法是，在横轴Ox上任取一点C 为圆心，A为半径作圆，与x轴相交于两点A0和A6.以A0为始点，任意等分此圆(图1中是12等份)，设分点为Ai其中A0与A12重合。
在x轴上取OA′0=-φ/ω，然后从A′0起作A′i使A′iA′i+1=π/6ω，即周期2π/ω的1/12，过Ai与A′i分别与x轴和y轴平行的直线交于点Pi，连结Pi各点成光滑曲线，即得y=Asin(ωx+φ)在一个周期内的近似图象。
正弦型函数的图象也称为正弦型曲线或称正弦波。
正弦函数、余弦函数的图像和性质
1 2
x
y
0
3
3 2
6
2
2 3
3 2
5 6
1 2
0
7 6
4 3
3 2
5 3
11 6
2
0
1
1 2
3 2
1 23
1 2
0
(2) 描点
y 10
2
-
-
-
-
3 2
2
x
(3) 连线
1 -
正弦函数、余弦函数的图象和性质
正弦曲线
y
1-
6
-
4
-
2
-
o-1
-
-
( 2 ,1)
图象的最高点 与x轴的交点
1-
(0,1) (2 ,1)
-1
o
-1 -
6
3
2
2 3
5 6
7 6
4 3
3 2
5 3
11 6
3 ( , 0 ) ( x 2 2 2 ,0) 图象的最低点 ( ,1)
-
下面请同学们练习应用“五点法”作 图。 练习：P --课后习题
55
正弦函数、余弦函数的图象和性质
利用三角函数线 1.函数 y sin x, x 0,2 图象的几何作法 作三角函数图象 . . . . x的正弦线，巧妙地 , sin x),连线. 描点法 : 查三角函数表得三角函数值,描点(x 几何法作图的关键是如何利用单位圆中角
如 : x 3 查表 y sin 3 0.8660 移动到直角坐标系内，从而确定对应的点 (x,sinx). ( 描点 ,0.8660) y 3 1
正弦,余弦函数图象性质
正弦函数、余弦函数的图象和性质
正弦函数、余弦函数的图象和性质
攸县五中 汤庆平
4.8 正弦函数.余弦函数的图象和性质
想一想?
如何作出任一角的正弦线、余弦线与正 切线？
00
2 2
描点作图
0 -1 11
10
3 32 2
2 2
yy
2-
cos x x 0 1 sin cosx 1 1 sin x -1
1 0 2 0
00
00
1-1
1- 1
1 - 1
y 1 sin x, x [0,2 ] y cos x, x [0,2 ]
2
)
是同一个函数； 余弦函数的图像可以通过正弦曲线向左
平移 个单位长度而得到． 2
4.8 正弦函数.余弦函数的图象和性质
在作函数 y cos x, x [0,2 ] 的图像中起关键作用的点有哪些？
y
-
图象的最高点 (0,1) (2 ,1)
与x轴的交点
1-
-1
o
-1 -
6
3
2
2 3
y
1-
哪些？
五点作图法
图象的最高点 ( ,1) 2
与x轴的交点 (0,0) ( ,0) (2 ,0)
3 2 5 3 11 6
-
-1
o
-1 -
6
2
3
2 3
5 6
7 6
4 3
2
x
图象的最低点 ( 3