幻方和数阵
知识网络传说在五千年前，大禹治水的时代，人们在黄河中发现一只大龟，龟背上有一些奇怪的图案，经过破译，人们将龟背上的神奇的图案译成了这样的数阵图，也称做幻方。
幻方和数阵是我国文化遗产之一，早在公元前4世纪就有“河图”、“洛书”的传说与记载。
到了宋朝，杨辉对幻方已有较详细的记述，并探索出一些编制方法。
明朝程大位、清朝张潮等人，创制了绚丽多彩的幻方与数阵图式，其中九宫图是最简单的三阶幻方。
将三阶幻方推广，结合某些几何图形，把一些数字填入图形的某种位置上，并使数字满足一定的约束条件，这类问题，通常被称为“数阵图”。
幻方是特殊的数阵图。
大约在15世纪初，幻方传到国外，引起了欧洲很多数学家的兴趣，发现许多新成果。
人们发现幻方不仅仅是一种数字游戏，而且与实验方案的设计及一些高深数学分支有关，幻方已成为数阵图中最重要的课题，是数学研究中的一个重要分支。
数阵图大致分三种：封闭型数阵图、开放型数阵图和复合型数阵图。
幻方的特点：一个幻方每行、每列、每条对角线上的几个数的和都相等。
这个相等的和叫“幻和”。
要求在n行n列的方格里，既不重复又不遗漏地填上n×n个连续的自然数。
这些自然数所组成的一列数有极强的规律性，按顺序排列后，每一项都比它前面的一项大1，即它们构成了差相等的数列，是等差数列。
因此在解答这类问题时，常用的知识有：1．等差数列的求和公式总和=（首项+末项）×项数÷22．数字的奇偶性奇数±奇数=偶数偶数±偶数=偶数奇数±偶数=奇数可简记为：同性为偶，异性为奇（注：同性是同奇或同偶，异性是指一奇一偶）。
重点·难点要善于确定所求的和与关键数字间的关系，用试验的方法，找到相等的和与关键数字；并会对基本解中的数进行适当调整，找到其他的解。
还应注意到，对于不同的数阵图形，关键数字的位置会有所不同。
并且若题目中没有特殊要求，只求出一个基本解即可。
学法指导解数阵图的一般方法：（1）认真分析隐含的数量关系和数字的位置关系，以特殊的位置为突破口，一般选择使用次数多的数作为关键数。
（2）依据数阵图中的条件，建立所求的和与关键数的关系式，并通过讨论最大值与最小值，以及试验的办法确定关键数的数值及相等的和。
（3）对其他部位上的数字作尝试选填，一直到能够得出符合要求的排法为止。
经典例题[例1]把1~6这6个数分别填在图1等边三角形上的○内，使每条边上三个○内的数字和相等。
思路剖析先将六个数字的位置用字母标识出来。
1+2+3+4+5+6=21，用s表示每边上三个○内数的和。
因为三个顶点上的数在求和时，都用了两次，则有21+a+b+c=3×s，因为a+b+c的最小值为1+2+3=6，最大值为4+5+6=15，所以3×s的最小值为21+6=27，最大值为21+15=36。
那么s的最小值为9，最大值为12。
也就是说此图形每条边上三个数字的和可能为9、10、11或12。
解答（1）当s=9时，a+b+c=6这时：a=1，b=2，c=3d=s-（a+b）=9-（1+2）=6e=s-（a+c）=9-（1+3）=5f=s-（b+c）=9-（2+3）=4（2）当s=10时，a+b+c=9这时a，b，c的可能情况有三种：i）a=1，b=2，c=6d=s-（a+b）=10-（1+2）=7因为数字超出可选范围，所以不合题意。
ii）a=1，b=3，c=5d=s-（a+b）=6e=s-（a+c）=4f=s-（b+c）=2iii）a=2，b=3，c=4d=s-（a+b）=5e=s-（a+c）=4因为数字出现重复，所以不合题意。
（3）当s=11时，a+b+c=12这时a、b、c的可能情况有：i）a=1，b=5，c=6d=s-（a+b）=5因为数字出现重复，所以不合题意。
ii）a=2，b=4，c=6d=s-（a+b）=5e=s-（a+c）=3f=s-（b+c）=1iii）a=3，b=4，c=5d=s-（a+b）=4因为数字出现重复，所以不合题意。
（4）当s=12时，a+b+c=15那么a=4，b=5，c=6d=s-（a+b）=3e=s-（a+c）=2f=s-（b+c）=1点津通过求和、确定最大值和最小值等方法，尽量得到关键位置数字的最小范围。
[例2]将1~10十个数字填入图2的10个○内，使每个四边形四个顶点上各数的和等于24。
思路剖析题中的条件要求每个四边形四个顶点的和等于24。
从图中可以看出，有三个四边形，有2个位置的数字被重复使用。
它们即为解题的突破口。
三个四边形的总和24×3=72，1+2+…+10=55，那么中间位置两个数字和为72-55=17。
1~10中和为17的数为10与7，9与8。
当中间数为10和7时，有：2+3+9+10=24，1+6+7+10=24，4+5+7+8=24，得第一种结果。
当中间数为9和8时，有：1+5+8+10=24，3+4+8+9=24，2+6+7+9=24，得第二种结果。
解答点津找到关键位置的数字，使它们与所给数字的总和建立联系，然后确定它们的数值，再相应得到其他位置的数字。
[例3]把1~8各数填入图3的圆圈内，使每个面上四数的和等于18。
思路剖析此立方体图形比较特殊，每个顶点位置的数字被重复的次数相同。
因此找不到关键数字。
因此只能从每个面上四个数字的和为18入手。
先将1填入其中任意一个位置，来找到所有含有“1”，并且和为18的情况，有：1+2+7+8，1+3+6+8，1+4+5+8，1+4+6+7。
将其中任意一组的4个数放入其中一个面的四个圈中，再将其他的数字以此为基础做出调整，即可得出答案。
解答[例4]20以内共有10个奇数，去掉9和15还剩八个奇数。
将这八个奇数填入图4的八个○中（其中“3”已填好），使得用箭头连接起来的四个数之和都相等。
思路剖析需要填入的7个数字为1、5、7、11、13、17、19。
此7个数字和为1+5+7+11+13+17+19=73。
最后一个位置的数为关键数，它可能为7个数中的一个。
①若为1，则6个数的和为73-1=72，由题意可知，中间三组每两个数的和相等，那么和为72÷3=24，24-19=5，24-17=7，24-13=11。
则得结果为：②若末尾位置数字为5，则6个数的和为73-5=68，不能被3整除，则不合题意。
③若末尾数字为7，则6个数字的和为73-7=66，那么中间组两数之和为66÷3=22，22-19=3，数字超出可选范围，不合题意。
④若末尾数字为11，则6个数字的和为73-11=62，不能被3整除，则不合题意。
⑤若末尾数字为13，则6个数字的和为73-13=60，那么中间组两数之和为60÷3=20，20-19=1，20-17=3，超出了可选范围，不合题意。
⑥若末尾数字为17，则6个数字的和为73-17=56，不能被3整除，则不合题意。
⑦若末尾数字为19，则6个数字的和为73-19=54，那么中间组两数和为：54÷3=18。
18-17=5，18-13=5，18-11=7。
解答结果为：[例5]将1~12这十二个数分别填入图5中的各个圈内，使每条线段上五个圈内数的和相等，并且两个六边形六个顶点上圈内数的和也相等。
思路剖析此数阵图受两种图形的制约，既要使三条相交线段上的五个数的和相等，又要使两个六边形六个顶点上的数字和相等。
因此不妨先使其满足其中一个数阵图，再经过调整使之满足整个图形的要求。
首先考虑三条线段相交的这种开放型数阵图。
因为中心数已给出，则不加以考虑。
由于每条线段上四个圈内的数的和相等，那么每条线段上四个数的和为：（1+2+…+12）÷3=78÷3=26。
因26是一个偶数，所以每条线段上四个数中奇数的个数一定偶数个。
每条线段上四个数和的一半是26÷2=13，也就是说，一个奇数与一个偶数要组成13。
搭配的方法如下：1+12，2+11，3+10，4+9，5+8，6+7。
由此可得到三条线段相当的数阵图的一个解。
再来考虑满足六边形上六个顶点的数字和相等。
其数字和应为26+13=39。
将开放图中数阵图的答案进行适当的调整，可得到答案。
解答结果如图6所示。
点津对于较复杂的数阵图，要学会将其分解，化难为易，逐个突破难关。
[例6]将1~9九个数字填在图7内九个方格里，每格填一个数字，使每一横行、每一纵行和两条对角线上的三个数之和相等。
思路剖析1~9九个数字之和正好为三个纵行（或横行）的数字之和，1+2+…+9=45。
由题意知每一横行、纵行和对角线上的三个数之和相等。
则此三个数的和为45÷3=15。
找到所有三个数和为15的情况：1+5+9，1+6+8，2+4+9，2+5+8，2+6+7，3+4+8，3+5+7，4+5+6。
图中位于中心位置的数是关键数，有四条线通过它，因此要求它出现于4个算式中，容易找出这个数是5。
4个角上的数字有三条线通过，应该在算式中出现三次，找到它们是2、4、6、8。
则其他位置的数通过简单计算可确定。
解答☆解法一：（这就是我们在本讲开篇所提到的幻方。
）☆解法二：介绍数学家杨辉对幻方构造方法的总结。
他写道：“九子排列，上下对易，左右相更，四维挺出”。
用图式解释为：☆解法三：由解法二的分析，可以得到一种适合于编排所有的奇数阶幻方的方法，罗伯法。
罗伯法口诀如下：①1居下行正中央；②依次斜填切莫忘；③下出框时往上写；④左出框时往右放；⑤排重便往上格填；⑥左下排重一个样。
现以3阶幻方为例应用此口诀。
点津运用罗伯法只能构造出奇数阶的幻方。
若所要填入的n×n个自然数，不是从1开始的，那么就把最小的一个当做是“1”，仍可以用罗伯法来构造。
[例7]将1~16这十六个数分别填在四阶方阵的各个小格中，使其构成一个四阶幻方。
思路剖析先求出此幻方的幻和：（1+2+…+16）÷4=136÷4=34。
将1~16这十六个数分别填在四阶方阵的各个小格内，这时两主对角线上四个数的和为34，正好等于四阶幻方的幻和，其他每行、每列四个数的和都不等于34。
（如图8）保持两主对角线上的数不动，通过改变其他位置的数字来达到目的。
先将一、四两列和二、三两列中的其他数字互相交换。
（如图9），再将一、四两行与二、三两行中非主对角线上的数字交换，就得到一个四阶幻方。
也可将以上步骤归纳为：保持对角线上的数字不变，其他各数都做中心对称交换。
解答点津注意此法的适用范围，限于四阶幻方。
发散思维训练1．将4、5、6、7、8、9六个数，填在图10的空格里，使每条线上的三个数的和都是18。
2．图11中有10个小三角形、4个大三角形，请把0~9填入图中的小三角形内，每格填一个数，使4个大三角形内的数字和相等。
小学四年级逻辑思维学习—数阵图与幻方
小学四年级逻辑思维学习—数阵图与幻方”知识定位一、什么是数阵图?在神奇的数学王国中，有一类非常有趣的数学问题，它变化多端，引人入胜，奇妙无穷。
它就是数阵，一座真正的数字迷宫，它对喜欢探究数字规律的人有着极大的吸引力，以至有些人留连其中，用毕生的精力来研究它的变化，就连大数学家欧拉对它都有着浓厚的兴趣。
那么，到底什么是数阵呢？我们先观察上面两个图：右图（1）中有3个大圆，每个圆周上都有四个数字，有意思的是，每个圆周上的四个数字之和都等于13。
右图（2）就更有意思了，1～9九个数字被排成三行三列，每行的三个数字之和与每列的三个数字之和，以及每条对角线上的三个数字之和都等于15，不信你就算算。
上面两个图就是数阵图。
准确地说，数阵图是将一些数按照一定要求排列而成的某种图形，有时简称数阵。
要排出这样巧妙的数阵图，可不是一件容易的事情。
我们还是先从如何来填好数阵图开始。
如何填好数阵图?数阵图问题千变万化，这一类问题要求数阵中填入了一些数以后，能保证数阵中特定关系线（或关系区域）上的数的和相等，解决这一类问题可以按以下步骤解决问题：第一步：区分数阵图中的普通点（或方格），和交叉点（方格）第二步：在数阵图的少数关键点（一般是交叉点）上设置未知数，计算各个点与该点被重复计算次数之积的和的代数式，即数阵图关系线（关系区域）上和的总和，这个和是关系线（关系区域）的个数的整数倍.第三步：判断少数关键点上可以填入的数的余数性质，并得出相应的数阵图关系线（关系区域）和.第四步：运用已经得到的信息进行尝试：数阵图还有一类题型比较少见，解决这一类问题需要理清数阵中数与数之间的相关关系，找出问题关键.【授课批注】数阵图问题千变万化，一般没有特定的解法，往往需要综合运用掌握的各种数学知识来解决问题. 本讲出了要讲授填数阵图的主要技巧，还有以下注意点：1.引导学生从整体到局部对问题进行观察和判断；2.教授巧妙利用容斥原理、余数的性质、整除性质的数学方法；3.锻炼学生利用已知信息枚举，尝试的能力；4.培养学生综合运用各种数学知识，分析问题，找问题关键，解决问题的能力.二、什么是幻方？同学们是否知道我国古代有关“洛书”的神话传说？传说在大禹治水的年代，陕西的洛水经常大肆泛滥，无论怎样祭祀河神都无济于事，每年人们摆好祭品之后，河中都会爬出一只大乌龟，乌龟壳有九大块，横着数是3行，竖着数是3列，每块乌龟壳上都有几个点点，正好凑成1至9的数字，可是谁也弄不清这些小点点是什么意思.一次，大乌龟又从河里爬上来，一个看热闹的小孩惊叫起来：“瞧多有趣啊，这些点点不论横着加、竖着加还是斜着加，结果都等于十五！”于是人们赶紧把十五份祭品献给河神，说来也怪，河水果然从此不再泛滥了.这个神奇的图案叫做“幻方”，由于它有3行3列，所以叫做“三阶幻方”，这个相等的和叫做“幻和”.“洛书”就是幻和为15的三阶幻方.如下图：三、如何解决幻方问题？幻方是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的3×3的数阵称作三阶幻方，4×4的数阵称作四阶幻方，5×5的称作五阶幻方……如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样，三阶幻方的中心位置上的数等于所有所填数的平均数，也等于横行、竖列、对角线上数和的三分之一.解决数表类问题中，首先要找出数填写的规律，再从规律中找到数表的数量关系，从而找出解决问题的关键.知识梳理987653421987654321（一）封闭型数阵问题（二）辐射型数阵（三）其它类型的数阵图（四）幻方例题精讲【试题来源】【题目】将1～6填入左下图的六个○中，使三角形每条边上的三个数之和都等于k，请指出k的取值范围.k=9 k=10 k=11 k=12【题目】小猴聪聪有一天捡到像左下图的模具，它试着将1～10分别填入图中，使得每个小三角形3个顶点上的数字之和为图中所表示的数值，你能做到吗？【题目】图中的6条线分别连接着9个圆圈，其中一个圆圈里的数是6．请你选9个连续自然数(包括6在内)填人圆圈内，使每条线上各数的和都等于23．6543216543216543216543216【题目】小兔子在森林玩耍，遇到一个画着奇怪图形的树桩，上面写着：把10至20这11个数分别填入下图的各圆圈内，使每条线段上3个圆内所填数的和都相等．如果中心圆内填的数相等，那么就视为同一种填法，请写出所有可能的填法，小兔子发了愁，你能帮它吗？【题目】海豚是很聪明的动物，它能将1～9填入右下图的九个○内，并且使得每个圆周和每条直线上的三数之和都相等，并且7，8，9依次位于小、中、大圆周上，你能做到吗？【题目】在下图中的10个○内填入0～9这10个数字，使得循环式成立：【题目】请在图中的每个圆圈内填入不同的自然数，使得图中每个圆圈中所填的数都是上一行与它相邻的两个圆圈中所填数的和，最下面的数是20．+=====----20【题目】请你将2～10这九个自然数填入图中的空格内每行、每列、每条对角线上的三数之和相等.【题目】请你将1～25这二十五个自然数填入图中的空格内每行、每列、每条对角线上的五数之和相等.【题目】将九个数填入左下图的九个空格中，使得任一行、任一列以及两条对角线上的三个数之和都等于定数k，则中心方格中的数必为k÷3【题目】在下图的九个方格中填入不大于12且互不相同的九个自然数（其中已填好一个数），使得任一行、任一列及两条对角线上的三个数之和都等于21.【题目】将前9个自然数填入右图的9个方格中，使得任一行、任一列以及两条对角线上的三个数之和互不相同，并且相邻的两个自然数在图中的位置也相邻.【题目】将1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字，分别填入3×3阵列中的九个方格，使第二行组成的三位数是第一行组成的三位数的2倍，第三行组成的三位数是第一行组成的三位数的3倍.【题目】在一个3×3的网格中填入9个数使得每一横行、竖行、对角线上三个数的乘积相等.习题演练【题目】将1～7这七个数分别填入图中的○里，使每条直线上的三个数之和都等于12。
第七讲 幻方和数阵图
第七讲幻方和数阵图（一）（1）把1到9这9个数填到3行3列的格子里，使每一行，每一列，每条对角线上的三个数字的和都相等，这样的数学游戏叫做幻方，像这样的3行3列的幻方叫三阶幻方。
（2）在三阶幻方中任意行，任意列或任意一条对角线上的3个数字的和叫幻和，如：7+5+3=15 4+3+8=15 6+5+4=15 这个三阶幻方的幻和是15 （3）除三阶幻方以外，常见的幻方还有四阶幻方，五阶幻方，六阶幻方四阶幻方五阶幻方六阶幻方三阶幻方的口诀是：九子斜排上下对易左右相更四维挺出例1：用3、4、5、9、10、11、15、16、17这九个数，编制一个三阶幻方，它的幻和是多少？幻和为30总结：满足一下两个条件中任意一条的九个数，就可以做填三阶幻方的游戏：（1）把九个数从小到大排列，组成了等差数列；（2）把九个数从小到大排列后，每三个数分为一组，每一组都是等差数列，而且组与组之间也是等差数列。
幻和是中间这个数的三倍三阶幻方的幻和=正中间的数 3例2：在右边的方格里填入适当的数，使它成为一个三阶幻方。
三阶幻方的幻和=正中间的数⨯3 幻和：8⨯3=24 练习：1、用2、4、6、8、10、12、14、16、18这九个数编制三阶幻方，并求幻和。
2、用1、2、3、7、8、9、13、14、15这九个数编制三阶幻方，并求幻和。
3、在右边的三阶幻方的空格内填入适当的数，使幻和等于27.4、在右边的三阶幻方的空格内填入适当的数，使它成为一个三阶幻方。
数阵图:把一些数按照一定的要求排列成各种各样的图形。
例3：在下面的三角形数阵图的3个 内的数的和是12例4：在下面图中的内，填上适当的数，使每条线上三个于13。
例5：把10,20,30,40,50，这五个数填入图中的使每条线段的三个数的和相等。
例6：把1,2,3,4,5,6,7这七个数字填入图中的内，使每条线上的内的3个数的和相等。
练习：1、在正方形数阵图中的内填入适当的数使每条线上的3个数的和等于21.2、把10到20这11个数填在图中的内，使每条线段上三个数的和等于45.3、把3到7这五个数分别天入“T”2形和“十”字形的方格内，使横竖两行的3个数的和相等。
11第十一讲 数阵与幻方
第十一讲数阵与幻方阅读与思考同学们一定听说过大禹治水的传说吧？传说大禹治水的时候，一只灵龟从水中翩然浮出。
令人称奇的是，这只乌龟的背上竟刻有一幅图（如图1所示）：后来细心的人发现：如果将图上的点转化成数字，一个点记为1个“一”，那么左上图就转变成了右边的数字图（图2）。
研究这幅数字图：你会发现，每一行、每一列、甚至每一条对角线上的三个数的和都相等。
像这样，把一些数按照一定的要求排列成各种各样的图形，使图形中的每一条直线段或若干条线段的数字和相等，这样呈现的图形，就叫做数阵图。
数阵图可以是正方形，还可以是长方形、三角形、圆、多边形、星形、花瓣形、十字形……但不管是哪一种形状的数阵图，填写时都应注意两点：1、抓住数阵中的“特殊数”，比如两线交点上的数，长方形和正方形的顶点上的数……这些数与其他数相比，往往重复计算了多次，因而不妨作为解决数阵问题中的一个突破口。
2、确定突破口后，对照“和相等”的条件，用尝试的方法，求解其他数。
但有时，因数字存在不同的组合方法，因此，它的答案往往不是唯一的。
典型例题|例1|将1、2、3、4、5这五个数分别填入下图中，如图（1），组成一个“十字数阵图”图中横行三个数和与竖列三个数的和相等。
训练1：（1）将数字1～5分别填在下图（图1）中的○内，使每条线段上三个○内的数字之和相等。
（2）将10、13、16、19、22分别填入下图（图2）中，使图中横行的三个数与竖行中三个数的和相等。
|例2|将1、3、5、7、9、11、13这七个数填入下列的圆圈中，使得每行上三个数之和相等，则这个相等的和是多少？训练2：（1）把1～7这七个数填入图中（图1）的圆圈中，使得每条边上的三个数的和都等于14；如果每条边上三个数的和都等于10，那么中间数应填几？（2）把16、17、18、19、20、21、22、23、24分别填入下图中（图2）的九个圆圈内，使每条直线上的和都等于63。
|例3|把数字1～8分别填入下图的小圆圈内，使每个圆上五个数的和都等于20。
第八讲(幻方与数阵图)
23
57
40
解析：告诉了幻和，先求中间数=90÷3=30
23 30
告诉了相邻 2 个棱块，一定能求对角角块=（23+57）÷2=40，得到右图
57
接下来就容易了吧？同学们自己计算吧！
（尖子）学案 1 按要求完成幻方
（1）只求 x
x
（2）如果中间格填入 100，请在（1）的基础上完成所有格的填数。
19
解析：想想窍门 2，95=（x+19）÷2，那么可算出 x=117
95
中间数是 100，可求出幻和是 300，其他的就好填了，同学们自己试试吧！
最后答案： 24 117 105 你填对了吗？
181 100 19
95 29 176
492 357
每个数加 3
7 12 5 6 8 10
816
11 4 9
先写出基本型
OK 啦
当然，本题并没有说用哪些数，所以答案很多，但是这种方法是不是更快呢？
拓展：请用 11.13.15.17.19.21.23.25.27 编制一个三阶幻方 解析：这是一个等差数列，将它与基本型中的 1-9 对应好
11 13 15 17 19 21 23 25 27 对应 1 2 3 4 5 6 7 8 9
2010 年四年级秋季班 第八讲 幻方与数阵图
第八讲 幻方与数阵图
一、幻方基本概念 1、幻方：是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的 3×3 的数 阵称作三阶幻方，4×4 的数阵称作四阶幻方，5×5 的称作五阶幻方…… 2、幻和：幻方中每行/列/对角线的数的和
趣味数学—数阵图与幻方
三年级奥数--数阵图与幻方知识框架一、数阵图定义及分类：定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.数阵：是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图.二、解题方法：解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手：第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．三、幻方起源：幻方也叫纵横图，也就是把数字纵横排列成正方形，因此纵横图又叫幻方．幻方起源于我国，古人还为它编撰了一些神话．传说在大禹治水的年代，陕西的洛水经常大肆泛滥，无论怎样祭祀河神都无济于事，每年人们摆好祭品之后，河中都会爬出一只大乌龟，乌龟壳有九大块，横着数是3行，竖着数是3列，每块乌龟壳上都有几个点点，正好凑成1至9的数字，可是谁也弄不清这些小点点是什么意思．一次，大乌龟又从河里爬上来，一个看热闹的小孩惊叫起来：“瞧多有趣啊，这些点点不论横着加、竖着加还是斜着加，结果都等于十五！”于是人们赶紧把十五份祭品献给河神，说来也怪，河水果然从此不再泛滥了．这个神奇的图案叫做“幻方”，由于它有3行3列，所以叫做“三阶幻方”，这个相等的和叫做“幻和”．“洛书”就是幻和为15的三阶幻方．如下图：987654321我国北周时期的数学家甄鸾在《算数记遗》里有一段注解：“九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央．”这段文字说明了九个数字的排列情况，可见幻方在我国历史悠久．三阶幻方又叫做九宫图，九宫图的幻方民间歌谣是这样的：“四海三山八仙洞，九龙五子一枝连；二七六郎赏月半，周围十五月团圆．”幻方的种类还很多，这节课我们将学习认识了解它们．四、幻方定义：幻方是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的33⨯的数阵称作三阶幻方，44⨯的数阵称作四阶幻方，55⨯的称作五阶幻方……如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样，98765432113414151612978105113216。
思维导引幻方与数阵教案
思维导引-幻方与数阵教案第一章：幻方的概念与性质1.1 幻方的定义解释幻方的概念，让学生理解幻方是一种特殊的方阵，其每一行、每一列以及两条对角线上的数字之和都相等。
1.2 幻方的性质探讨幻方的性质，如奇数阶幻方的存在性、最小正整数幻方的构造方法等。
引导学生通过数学归纳法证明幻方的性质。
第二章：幻方的构造方法2.1 经典幻方的构造介绍经典幻方的构造方法，如Lehmer算法，让学生理解并掌握如何构造最小正整数幻方。
2.2 非经典幻方的构造探讨非经典幻方的构造方法，如带重复数字的幻方、带特定数字序列的幻方等。
引导学生通过实例分析和归纳总结构造方法。
第三章：数阵与幻方的关系3.1 数阵的概念解释数阵的概念，让学生理解数阵是一种矩阵，其元素可以是数字或符号。
3.2 数阵与幻方的联系探讨数阵与幻方的联系，如数阵可以看作是幻方的一种扩展形式，幻方可以看作是特殊的三维数阵等。
引导学生通过实例分析和转化理解数阵与幻方的关系。
第四章：数阵的运算与性质4.1 数阵的运算介绍数阵的运算规则，如加法、减法、乘法、除法等，让学生掌握数阵的运算方法。
4.2 数阵的性质探讨数阵的性质，如对角线对称性、行列式性质等，让学生理解并应用数阵的性质解决问题。
第五章：数阵的应用5.1 数阵在数学问题中的应用介绍数阵在解决数学问题中的应用，如数阵的行列式在解线性方程组中的应用等。
5.2 数阵在其他领域中的应用探讨数阵在其他领域中的应用，如数阵在图像处理、数据分析等领域的应用。
引导学生通过实例分析和项目实践，体验数阵在不同领域的应用价值。
第六章：幻方的进阶构造6.1 多元幻方的构造介绍多元幻方的概念，即多维空间中的幻方，例如二维幻方、三维幻方等。
引导学生理解多元幻方的构造原理，并掌握基本的构造方法。
6.2 复合幻方的构造探讨复合幻方的构造，即通过组合多个基本幻方来构造新的幻方。
分析不同类型幻方的组合方式，以及如何保持幻方的性质。
第七章：数阵的变换与操作7.1 数阵的旋转与反射讲解数阵的旋转和反射操作，让学生了解这些变换对数阵的影响。
幻方和数阵
ii）a=1，b=3，c=5
d=s-（a+b）=6
e=s-（a+c）=4
f=s-（b+c）=2
?
?
iii）a=2，b=3，c=4
d=s-（a+b）=5
e=s-（a+c）=4
因为数字出现重复，所以不合题意。
?
（3）当s=11时，a+b+c=12
这时a、b、c的可能情况有：
?
学法指导
解数阵图的一般方法：
（1）认真分析隐含的数量关系和数字的位置关系，以特殊的位置为突破口，一般选择使用次数多的数作为关键数。
（2）依据数阵图中的条件，建立所求的和与关键数的关系式，并通过讨论最大值与最小值，以及试验的办法确定关键数的数值及相等的和。
（3）对其他部位上的数字作尝试选填，一直到能够得出符合要求的排法为止。
?
因此在解答这类问题时，常用的知识有：
1．等差数列的求和公式
总和=（首项+末项）×项数÷2
2．数字的奇偶性
奇数±奇数=偶数
偶数±偶数=偶数
奇数±偶数=奇数
可简记为：同性为偶，异性为奇（注：同性是同奇或同偶，异性是指一奇一偶）。
?
重点·难点
要善于确定所求的和与关键数字间的关系，用试验的方法，找到相等的和与关键数字；并会对基本解中的数进行适当调整，找到其他的解。还应注意到，对于不同的数阵图形，关键数字的位置会有所不同。并且若题目中没有特殊要求，只求出一个基本解即可。
知识网络
传说在五千年前，大禹治水的时代，人们在黄河中发现一只大龟，龟背上有一些奇怪的图案，经过破译，人们将龟背上的神奇的图案译成了 这样的数阵图，也称做幻方。
小学数学思维方法：幻方与数阵图
幻方与数阵图【知识要点】 一、幻方在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行、一纵行及对角线的几个数之和都相等，具有这种性质的图表，称为“幻方”。
我国古代称为“河图”、“洛书”，又叫“纵横图”。
三阶幻方的性质：1.中心位置上的数等于幻和除以3；2.角上得数等于和它不相邻的两条边上的数的平均数；3.中心数两头的数之和等于中心数的2倍。
二、数阵图数阵图问题千变万化，这一类问题要求数阵中填入了一些数以后，能保证数阵中特定关系线（或关系区域）上的数的和相等，解决这类问题可以按以下步骤解决问题：第一步：从整体考虑，将要求满足相等的几个数字和全部相加，一般为n ×s 的形式。
第二步：从个体考虑，分别计算每一个位置数字相加的次数，将比较特殊的（多加或少加几次）位置数字用未知数表示，全部相加，一般为题目所给全部数字和×一般位置数字相加次数±特殊位置数字和×多加或少加次数的形式。
第三步：格局整体与个体的关系，列出等式即n ×s=题目所给全部数字和×一般位置数字相加次数±特殊位置数字和×多加或少加次数。
第四步：根据数论植树即整除性确定特殊位置数的取值即相对应的S 值。
第四步：根据确定的特殊位置数字及S 值进行数字分组及尝试。
【典型例题】 一、幻方例1：如下图，将1—9填入3×3的方格表中，使得每行每列以及两条对角线上的三个数字之和都相等，你一共可以得到多少种填法？分析：首先，我们思考要填出一个三阶幻方，什么量的求出是最重要的？立刻我们就知道，那个所谓的“幻和”，即每行、每列、每条对角线三个数的和是最重要的量。
它是多少呢？如果我们按照行（按照列也一样）把幻方中的九个数加起来，那么它们的总和不就是3倍的“幻和”吗？而另一方面，我们也知道，由于1到9这九个数字都只各用了一次，所以3倍的的“幻和”第1题就等于1+2+3+4+5+6+7+8+9=45。
三年级奥数简单数阵与幻方
尤新教育奥数标准教程第八讲简单的数阵与幻方【知识点与方法】一、数阵和幻方的概念：（1）数阵：每一条直线段的数字和相等。
（2）幻方：在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，任意一横行、一纵行及对角线的和都相等。
二、联系之前所学的高斯求和的知识，首先找到中心项：首项、末项、中间项。
然后对称找和相等的成对的项。
【经典例题】例1、将1、2、3、4、5这五个数分别填入下图中，使横行3个数的和与竖行3个数的和相等。
例2、将1、4、7、10、13这五个数分别填入下图中，使横行3个数的和与竖行3个数的和都等于25。
例3、将1～7这七个自然数填入左下图的七个○内，使得每条边上的三个数之和都相等。
例4、将5～11这七个自然数填入左下图的七个○内，使得每条边上的三个数之和都等于24。
例5、将1～9这九个自然数填入下图的九个方格内，使得它成为一个幻方（每行、每列、每条对角线和都相等）。
练习与思考1.将3、6、9、12、15这五个数分别填入下图中，使横行3个数的和与竖行3个数的和相等。
2. 将1、3、5、7、9这五个数分别填入下图中，使横行3个数的和与竖行3个数的和为17。
（2题图）（3题图a）（3题图b）3. 将1～9这九个数分别填入右上图的小方格里，使横行和竖列上五个数之和相等。
(至少找出两种本质上不同的填法)4.将3～9这七个数分别填入左下图的○里，使每条直线上的三个数之和等于20。
（4题图）（5题图）5.将1～11这十一个数分别填入右上图的○里，使每条直线上的三个数之和相等，并且尽可能大。
6. 将2～10这九个自然数填入下图的九个方格内，使得它成为一个幻方（每行、每列、每条对角线和都相等）。
7.将1～7这七个数分别填入下图的○里，使得每条直线上三个数之和与每个圆圈上的三个数之和都相等。
蔚然教育精品班导学案例题1从小华家到学校有3条路可走，从学校到文峰公园有4条路可走。
从小华家到文峰公园，有几种不同的走法？例题2 用红、绿、黄三种信号灯组成一种信号，可以组成多少种不同的信号？思路导航：要使信号不同，要求每一种信号颜色的顺序不同，我们可以把这些信号进行列举：例题3一个长方形的周长是22米，如果它的长和宽都是整米数，那么这个长方形的面积有多少种可能？思路导航：由于长方形的周长是22米，可知它的长与宽之和为11米。
幻方与数阵
四阶幻方
1 5 9 13
2 6
10 14
3 7
11 15
4 8
12 16
奇妙的幻方
16 2
5 9 7
3 13
6 12 1
11 10 8
4 14 15
数阵
一、与幻方类似的另一种图就是数阵
数阵图问题千变万化，这一类问题要求数
阵中填入了一些数以后，能保证数阵中特
定关系线（或关系区域）上的数的和相等。
如图：1上方为空行，则2填写到最下一行
1
2
三、如果空位在右方，则把下一 个数字填写在上方行最左侧一列；
如图：3右侧为空列，则4填写到最左一列
1
4 3
四、如果相应位置上有数字或空位出现 在角上，则把下一个数字填写到上一个 数字的下方；
如图：5右上方有数字（1），所以6填写在5的 下面；15处于右上角，所以16填写在15的下面 1 5 6 15 16
4个顶点上，再把1，2，3，4分别填在中正方形的4
个顶点上，最后把1，2，3，4分别填在小正方形的 4个项点上． (1)能否使8个三角形顶点上数字之和都相等?如果 能，请给出填数方法：如果不能，请说明理由． (2)能否使8个三角形顶点上数字之和各不相同?如 果能，请给出填数方法；如果不能，请说明理由．
7
此方法适合所有单阶幻方
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例2、把4至12填在格子里，制成三阶幻方。 （1）求幻和（4+5+…+12）÷3=24 （2）求中心数3b=24，b=8 （3）定四角数 7 12 5 （4）定其它数 6 8 10 11 4 9
三阶幻方的性质：对称性、轮换性
例3、用3，5，7，9，11，13，15，17，19这九个数 制成三阶幻方 分析：（1）若用方法1，则困难之处在于确定四角 数，要在确定中心数后对四角数的六种可能情况 进行讨论，较麻烦 （2）若用方法2，则本题很容易解决