离散数学第7章 图论 习题
1 0 1 10
A=
1 0 0 00
1 0 1 00
0 0 0 00 i=4时，因为A[4,2]=1，将第四行
用Warshall算法求可
加到第2行，A不变。
达性矩阵。
i=5时，因为A的第5列全为0，所
i=1时，因为A的第一行 以A不变。
0 0 0 00
全为0，所以A不变。
i=2时，因为A的第2列 全为0，所以A不变。
充分性。 如果边e不包含在G的任一条回路中，那么连接结点u和v的边只 有e，而不会有其它连接u和v的任何路。因为如果连接u和v还有 不同于边e的路，此路与边e就组成一条包含边e的回路，从而导 致矛盾。所以删去边e后，u和v就不连通，故边e是割边。
300页（2） 如果u可达v，它们之间可能不止一条
路，在所有这些路中，最短路的长度 称为u和v之间的距离（或短程线）， 记作d<u,v>，如果从u到v是不可达的， 则通常写成 d<u,v> =∞
2
练习7-2（2）：若无向图G中恰有两个奇数度的结点， 则这两个结点之间必有一条路。
证明：设无向图G中两个奇数度的结点为u和v。 从u开始构造一条迹，即从u出发经关联于结点u的边e1到达结点 u1，若deg(u1)为偶数,则必可由u1再经关联于结点u1的边e2到达结 点u2,如此继续下去,每边只取一次,直到另一个奇数度结点停止, 由于图G中只有两个奇数度结点,故该结点或是u或是v。如果是v, 那么从u到v的一条路就构造好了。如果仍是结点u,此路是闭迹。
第7章 习题课
离散数学第7章 图论 习题
1
练习7-1（6）简单图的最大度小于结点数。
证明：设简单图G中有n个结点。 任取一个结点v， 由已知G是简单图没有环和重边，
v至多和n-1个结点相邻， 也即deg(v) ≤n-1, 而 △(G)＝max deg(v) ≤ n-1,
因此 最大度小于结点数。
离散数学第7章 图论 习题
距离矩阵为
0 1 21 ∞ 01 1 ∞1 01 ∞1 2 0 dij=1表示存在边<vi,vj>。
300页（3）
i=3时，因为A[2，3]=A[4，3]=1，将第3
邻接矩阵为
行加到第2行和第4行。
0 0 0 00
1 0 1 10 A= 1 0 0 0 0
0 0 1 00 0 0 0 00
0 0 0 00
2)若上u面与的v分分别析属可于知两，个u与不v同在的G连中通连分通支。G[Vi]与G[Vj]，由
故当图G不连通时，则补图G是连通的
离散数学第7章 图论 习题
4
7-2（4）:当且仅当G的一条边e不包含在G的回路中时， e才是G的割边。
证明：必要性。（ e是G的割边） 设e是连通图G的割边，e关联的两个结点是u和v。如果e包含在 G的一个回路中，那么除边e=(u,v)外还有另一条分别以u和v为 端点的路，所以删去边e后，G仍为连通图，这与e是割边相矛盾。
e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 A100001010 B011000100 C000110010 D1 1 0 0 0 0 0 0 1 E000011100 F001100001
311页（2）构造一个欧拉图，其结点数v和边数e满足下述条件
a)v，e的奇偶性一样。 b) v，e的奇偶性相反。 如果不可能，说明原因。
闭迹上每个结点都是关联u的边不在此闭迹上。继续从u出发,沿着该边 到达另一个结点u1’,依次下去直到另一个奇数度结点停下。这样 经过有限次后必可到达结点v,这就是一条从u到v的路。
练习7-2（3）： 若图G是不连通的，则G的补图G是连通的。
故A的可达 P= 性矩阵为：
1 0 1 10 1 0 0 00 1 0 1 00 0 0 0 00
距离矩阵为
0∞∞∞∞ 1 0 1 1∞ 1∞ 0∞∞ 2∞ 1 0∞ ∞∞∞∞0
300页（4）：写出如图7-3.11所示的图G的完全 关联矩阵，并验证其秩如定理7-3.2所述。
完全关联矩阵为:
此图为连通图，由定理 7-3.2，其秩为5。
证明：因为一个图中度数为奇数的结点个数必为偶数， 故k必为偶数。
将和(点Gu中k的{/2v,kv1度个,kv/2数2奇),共…均数k,v为/度k2/条2偶}结边。数点，对，分得图故为到GG数添’图中目加G存相’边。在等(由u一的1,于条v两1图)欧组, G拉({u’u2中回,1v,u2每路)2,,……个。,,结uk/2} 在点(分图u2是别G,v’2为u中)1，和u删2得v和去1到。v边2两结 。(u条点结1,v边u点12)和互u,得3v和不到2必v相一3在必重条路在的欧的某迹拉中一，路间条这, ,迹此两再的路个删中的迹去间两的边。个端端点 再为删两去条边边(u3互,v3不) ，相则重将的一迹条，迹共（得包到含3条u3互和不v3相的重迹的）迹又。分 以(此uk继/2,v续k/2下)全去部,直删到去所,得离有散到数的学k第添/27章条加图论边边习互题(u1不,v相1),重(u的2,v路2)(,…迹,)。14
证明：若G=<V,E>是不连通的，可设图G的连通分支为 G[V1],G[V2],……,G[Vm](m≥2)。
由于任意两个连通分支G[Vi],G[Vj]不连通，因此Vi与Vj之 间的连线在补图中，在G中任取两个结点u和v，则u和v
的位置有两种情况：
1)若可u在和另v均一在个同连一通个分连支通G分[V支j]（Gi[≠Vj)i]中中取,根一据个上结面点的w分，析使，得 u与w，v 与w在G中连通，故有u－w－v，即u与v在G 中连通
a)画一个有一条欧拉回路和一条汉密尔顿回路的图。
给定图G，经过图中每 个结点恰好一次的回路称作 汉密尔顿回路。
b)画一个有一条欧拉回路，但没有一条汉密尔顿回路的图。
c)画一个没有一条欧拉回路，但有一条汉密尔顿回路的图。
设G是一个具有k个奇数度结点（k>0）的连通图， 证明在G中的边能剖分为k/2条路（边不相重）。
无向图G具有一条欧拉回 路，当且仅当G是连通的，并且 所有结点度数全为偶数。下面的 图中所有结点度数全为偶数，所
以都是欧拉图。
v=3,e=3
v=5,e=5
v=4,e=4 v=4,e=6
v=7,e=8
v=6,e=7
311页（6）
在无孤立结点图G中，经过图 中每条边一次且仅有一次的一
条回路，称为欧拉回路。
离散数学图论作业7-二部图匹配
离散数学图论作业7-二部图匹配Problem1证明：一个无回路的简单连通图最多只有一个完美匹配。
（完美匹配指能饱和所有顶点的匹配）Problem2从下图G=(A,B,E)中，找出相对于匹配M(粗边的集合)的任意三条交错路径(alternating path)和至少两条增广路径(augmenting path)，然后利用增广路径扩大M来找到最大匹配。
a0 a1 a2 a3 a4 a5b0 b1 b2 b3 b4 b5Problem3对于哪些n值来说，下列图是存在完美匹配的二部图？a)K nb)C nc)Q n对于每一个二部图G=(A,B,E)，判断G是否有饱和A的匹配。
如果没有，请说明理由。
(1)(2)(3)(4)Problem5令k为一整数。
对于任意有限集合，证明对它的任意两个k划分都存在一个相同的代表集。
•集合的k划分指划分为大小相同的互不想交的k个子集，为简便起见，设集合的大小为k的整数倍从而每个子集均有相同个元素。
•一个划分的代表集指从每个子集中取出一个元素而构成的集合。
举例：集合{1,2,3,4}的一个2划分为A:{1,2}{3,4}。
此划分的代表集有{1,3},{2,3},{1,4},{2,4}，但{1,2}不是其代表集。
集合的另外一个划分为B:{2,3}{1,4}。
易见，A与B存在相同的代表集{1,3}。
Problem6假设某校计算机系学生选导师时出现了这样的情况：对于每一位学生，至少对k名导师感兴趣；对于每一位导师，至多有k名学生对他感兴趣。
假设每位导师只能指导1名学生，且每位学生也只能选择1名导师。
试证明：存在这样的匹配，使得每位学生都能选到自己感兴趣的导师。
证明一个6×6的方格纸板挖去左上角和右下角后不能用剪刀裁剪成若干1×2的小矩形。
第7章 图论 [离散数学离散数学(第四版)清华出版社]
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6/27/2013 6:02 PM
第四部分：图论（授课教师：向胜军）
21
例：
a j i h c g d
1(a)
无 向 图
b
f
e
2(b)
7(j) 8(g) 9(d) 10(i)
6(e)
3(c) 4(h)
5(f)
6/27/2013 6:02 PM
第四部分：图论（授课教师：向胜军）
22
例：
1(b)
有向图
第四部分：图论（授课教师：向胜军）
6
[定义] 相邻和关联
在无向图G中，若e=(a, b)∈E，则称a与 b彼此相邻(adjacent)，或边e关联 (incident) 或联结(connect) a, b。a, b称为边e的端点或 结束顶点(endpoint)。 在有向图D中，若e=<a, b>∈E，即箭头 由a到b，称a邻接到b，或a关联或联结b。a 称为e的始点(initial vertex)，b称为e的终点 (terminal/end vertex)。
证明思路：将图中顶点的度分类，再利用定理1。
6/27/2013 6:02 PM 第四部分：图论（授课教师：向胜军） 9
[定理3] 设有向图D=<V, E>有n个顶点，m 条边，则G中所有顶点的入度之和等于所 有顶点的出度之和，也等于m。
即：
d ( v i ) d ( v i ) m.
i 1 i 1
n
n
证明思路：利用数学归纳法。
6/27/2013 6:02 PM
第四部分：图论（授课教师：向胜军）
10
一些特殊的简单图：
(1) 无向完全图Kn(Complete Graphs)
离散数学图论习题
第4章图论综合练习一、单项选择题1．设L是n阶无向图G上的一条通路，则下面命题为假的是( )．(A) L可以不是简单路径，而是基本路径(B) L可以既是简单路径,又是基本路径(C) L可以既不是简单路径，又不是基本路径(D) L可以是简单路径，而不是基本路径答案：A2．下列定义正确的是( )．(A) 含平行边或环的图称为多重图 (B) 不含平行边或环的图称为简单图(C) 含平行边和环的图称为多重图 (D) 不含平行边和环的图称为简单图答案：D3．以下结论正确是 ( )．(A) 仅有一个孤立结点构成的图是零图(B) 无向完全图K n每个结点的度数是n(C) 有n(n>1)个孤立结点构成的图是平凡图(D) 图中的基本回路都是简单回路答案：D4．下列数组中，不能构成无向图的度数列的数组是( )．(A) (1,1,1,2,3) (B) (1,2,3,4,5) (C) (2,2,2,2,2) (D) (1,3,3,3)答案：B5．下列数组能构成简单图的是( )．(A) (0,1,2,3) (B) (2,3,3,3) (C) (3,3,3,3) (D) (4,2,3,3)答案：C6．无向完全图K3的不同构的生成子图的个数为（）．(A) 6 (B) 5 (C) 4 (D) 3答案：C7．n阶无向完全图K n中的边数为（）．(A)2)1(+nn(B)2)1(-nn(C) n (D)n(n+1)答案：B8．以下命题正确的是( )．(A) n (n1)阶完全图K n都是欧拉图(B) n(n 1)阶完全图K n都是哈密顿图(C) 连通且满足m=n－1的图<V,E>(V=n,E=m)是树(D) n(n5)阶完全图K n都是平面图答案：C10．下列结论不正确是( )．(A) 无向连通图G是欧拉图的充分必要条件是G不含奇数度结点(B) 无向连通图G有欧拉路的充分必要条件是G最多有两个奇数度结点(C) 有向连通图D是欧拉图的充分必要条件是D的每个结点的入度等于出度(D) 有向连通图D有有向欧拉路的充分必要条件是除两个结点外，每个结点的入度等于出度 答案：D11．无向完全图K 4是（ ）．（A ）欧拉图 （B ）哈密顿图 （C ）树 答案：B12．有4个结点的非同构的无向树有 ( )个． (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 答案：A13．设G 是有n 个结点，m 条边的连通图，必须删去G 的( )条边，才能确定G 的一棵生成树．(A) 1+-n m (B) m n - (C) 1++n m (D) 1+-m n 答案：A14．设G 是有6个结点的完全图，从G 中删去( )条边，则得到树． (A) 6 (B) 9 (C) 10 (D) 15 答案：C二、 填空题1．数组{1，2，3，4，4}是一个能构成无向简单图的度数序列， 此命题的真值是 . 答案：02．无向完全图K 3的所有非同构生成子图有 个． 答案：43．设图G V ,E ，其中V n ,E m ．则图G 是树当且仅当G 是连通的，且m ． 答案：n －14．连通图G 是欧拉图的充分必要条件是 ． 答案：图G 无奇数度结点5．连通无向图G 有6个顶点9条边，从G 中删去 条边才有可能得到G 的一棵生成树T ． 答案：46．无向图G 为欧拉图，当且仅当G 是连通的，且G 中无 结点． 答案：奇数度7．设图>=<E V G ,是简单图，若图中每对结点的度数之和 ，则G 一定是哈密顿图．答案：V ≥8．如图1所示带权图中最小生成树的权是 ．答案：12三、化简解答题1．设无向图G ＝<V ,E >，V ={v 1，v 2，v 3，v 4，v 5，v 6}， E ={( v 1，v 2), ( v 2，v 2), ( v 4，v 5), ( v 3，v 4), ( v 1，v 3),( v 3，v 1), ( v 2，v 4)}． 1 v 2 v 6 v 53 v 4图2•2 23 • 1 • 7 9 2• 8 • 6 图1(1) 画出图G 的图形；(2) 写出结点v 2, v 4，v 6的度数； (3) 判断图G 是简单图还是多重图． 解：(1) 图G 的图形如图5所示．(2) 0)deg(,3)deg(,4)deg(642===v v v ．(3) 图G 是多重图．作图如图2. 2．设图G ＝<V ，E >，其中V ＝{a ,b ,c ,d ,e }, E ={(a ,b ),(b ,c ),(c ,d ), (a ,e )}试作出图G 的图形，并指出图G 是简单图还是多重图？是连通图吗？说明理由. 解：图G 如图8所示．. 图G 中既无环，也无平行边，是简单图． 图G 是连通图．G 中任意两点都连通.所以，图G 有9个结点．作图如图3．四、计算题1．设简单连通无向图G 有12条边，G 中有2个1度结点，2个2度结点，3个4度结点，其余结点度数为3．求G 中有多少个结点．试作一个满足该条件的简单无向图．解：设图G 有x 个结点，由握手定理21+22+34+3（x 223）＝122 271821243=-+=x x ＝9 故图G 有9个结点．满足该条件的简单无向图如图4所示2．设图G (如图5表示)是6个结点a ,b ,c , d ,e ,f的图，试求，图G 的最小生成树，并计算它的权．解：构造连通无圈的图，即最小生成树，用克鲁斯克尔算法：第一步： 取ab ＝1；第二步： 取af =4 第三步： 取fe ＝3；第四步： 取ad =9 第五步： 取bc =23如图6．权为1+4+3+9+23=403．一棵树T 有两个2度顶点，1个3度顶点；3个4度顶点， 问它有几片树叶？解：设T 有n 顶点，则有n －1条边．T 中有2个 2度顶点，1个3度顶点，3个4度顶点， 其余n －2－1-3个1度顶点．由握手定理： 2·2+1·3+3·4+ (n －2－1-3)=2(n －1) 解得 n =15．于是T 有15-6=9片树叶五、证明题1．若无向图G 中只有两个奇数度结点，则这两个结点一定是连通的．证：用反证法．设G 中的两个奇数度结点分别为u 和v ．假若u 和v 不连通．即它们之间无任何通路，则G 至少有两个连通分支G 1，G 2，且u 和v 分别属于G 1和G 2，于是G 1和G 2各含有一个奇数度结点．这与握手定理的推论矛盾．因而u 和v 一定是连通的．a b ec d 图3图4b • 23 1c • • a 4 • f 9 3d • •e 图6b •23 1 15 c • 25 •a 4 • f 28 9 16 3 d • 15 • e 图5。
离散数学7-1图论
图7-1.9 不同构的图
作业
P279 (1) (4)
如图7-1.6中的(a)和(b)互为补图。
[定义] 子图(subgraph) 设图G=<V,E>，如果有图G’= <V’,E’>，若有 V’ V ，E’ E，则称图G’是图G的子图。 [定义] 生成子图(spanning subgraph) 如果图G的子图G’包含G的所有结点,则称该图 G’为G的生成子图。如图7-1.8中G'和G"都是 G的生成子图。
[定义] 相对于图G的补图 设图G'＝〈V',E'〉是图G＝〈V,E〉的子图,若 给定另外一个图G"＝〈V",E"〉使得E"＝EE', 且 V" 中仅包含 E"的边所关联的结点。则 称G"是子图G'的相对于图G的补图。
图7-1.7 (c )为(b)相对于(a)的补图
如图 7-1.7 中的图 (c) 是图 (b) 相对于图 (a) 的补 图。而图 (b) 不是图 (c) 相对于图 (a) 的补图 , 因为图(b)中有结点c。在上面的一些基本概 念中,一个图由一个图形表示,由于图形的结 点的位置和连线长度都可任意选择 , 故一个 图的图形表示并不是唯一的。下面我们讨 论图的同构的概念。
表7-1.1
结 点 出 度 入 度
a 2 0
b 1 1
c 0 2
d 1 1
结 点 出 度
入 度
v1 1 1
v2 0 2
v3 2 0
v4 1 1
分析本例还可以知道 , 此两图结点的度数也 分别对应相等,如表7-1.1所示。
两图同构的一些必要条件: 1.结点数目相等; 3.边数相等; 3.度数相等的结点数目相等。 需要指出的是这几个条件不是两个图同构的 充分条件,例如图7-1.9中的(a)和(b)满足上 述的三个条件,但此两个图并不同构。
山东科技大学 离散数学7-6对偶图与着色7-7 树+复习
7-8 根树及其应用
一、根树
1、有向树 定义7-8.1 如果一个有向图在不考虑边的方向时
是一棵树，那么，该有向图称为 有向树。
2、根树
定义7-8.2 一棵有向树,如果恰有一个 结点的入度为0，其余所有结点的入度都为1, 则称为根树(rooted tree)。 入度为0的结点称为T的树根。 出度为0的结点称为树叶。 出度不为0的结点称为分支点或内点。
7. 设a和b是格<A, ≤>中的两个元素，证明 (1)a∧b=b 当且仅当a∨b=a (2) a∧b < b和a∧b <a 当且仅当a与b是不可比较的 证明： (1)在格中吸收律满足, 则 由a∧b=b, a∨b=a∨(a∧b)=a 反之, 若a∨b=a, 则a∧b= (a∨b)∧b=b (2)若a∧b < b和a∧b <a, 即表明a∧b ≠b和a∧b ≠a, 用反证法： 假设a与b是可比较的, 则 a≤b，a∧b=a，矛盾; b≤a，a∧b=b，矛盾 因此a与b是不可比较的。 反之, a与b是不可比较的, 则a≤b和b≤a均不成立, 即a∧b ≠b和a∧b ≠a 根据∧的定义：a∧b≤a 和 a∧b≤b, 故 a∧b < b和a∧b <a
点中的某一个称为根,其他所有结点被分成有限个
在有向树中，结点的出现次序是没有意义的。 但实际应用中，有时要给出同一级中结点的相对 次序，这便导出有序树的概念。 4、有序数：在根树中规定了每一层上结点的次 序，称为有序树。
为表示结点间的关系，有时借用家族中的术语。
定义 在以v0为根的树中， （1）v1，v2,…，vk称为v0的 儿子，v0称为它们的 父亲。vi，vj 同为一顶点v的儿子时，称它们为兄弟。 （2）顶点间的父子关系的传递闭包称为顶点间
离散数学第二版答案(6-7章)
离散数学第二版答案(6-7章)LT第六章 代数系统6.1第129页1． 证明：任取,x y I ∈，(,)*(,)g y x y x y x yx x y xy g x y ==+-=+-=，因此，二元运算*是可交换的； 任取,,x y z I ∈，(,(,))*(*)*()()g x g y z x y z x y z yz x y z yz x y z yz x y z xy xz yz xyz==+-=++--+-=++---+((,),)(*)*()*()(,(,))g g x y z x y z x y xy zx y xy z x y xy z x y z xy xz yz xyz g x g y z ==+-=+-+-+-=++---+=因此，运算*是可结合的。
该运算的么元是0，0的逆元是0，2的逆元是2，其余元素没有逆元。
2．证明：任取,,x y N x y ∈≠，由*,*x y x y x y x ==≠知，**y x x y ≠，*运算不是可交换的。
任取,,x y z N ∈，由(*)**x y z x z x ==，*(*)*x y z x y x ==知，(*)**(*)x y z x y z =，*运算是可结合的。
任取x N ∈，*x x x =，可知N 中的所有元素都是等幂的。
*运算有右么元，任取,x y N ∈，*x y x =，知N 中的所有元素都是右么元。
*运算没有左么元。
证明：采用反证法。
假定e 为*运算的左么元，取,b N b e ∈≠，由*的运算公式知*e b e =，由么元的性质知，*e b b =，得e b =，这与b e ≠相矛盾，因此，*运算没有左么元。
3．解： ① 任取y x I y x ≠∈,,的最小公倍数和y x y x =*的最小公倍数和的最小公倍数和y x x y x y ==*因此对于任意的y x I y x ≠∈,,都有x y y x **=，即二元运算*是可交换的。
《离散数学》第七章_图论-第3-4节
图的可达性矩阵计算方法（3） Warshall算法
无向图的可达性矩阵称为连通矩阵，也是对称的。
第21页
河南工业大学离散数学课程组 例7-3.3 求右图中图G中的可达性矩阵。
分析：先计算图的邻接矩阵A布尔乘法的的2、3、4、 v1 v4 5次幂，然后做布尔加即可。 解： v2
v3 v5
P=A∨ A(2) ∨ A(3) ∨A(4)∨A(5)
第1页
河南工业大学离散数学课程组
预备知识
第2页
河南工业大学离散数学课程组
预备知识
第3页
河南工业大学离散数学课程组
一、图的邻接矩阵
以结点与结点之间的邻接关系确定的矩阵。
定义7-3.1 设简单图G=<V,E>，其中V={v1,v2,…,vn}， 则n阶方阵A(G)=(aij)nn ，称为图G的邻接矩阵。 其中第i行j列的元素。
p ij =
v1 1 1 1 1 v2 1 1 1 1 P v3 1 1 1 1 v4 0 0 0 0 v5 0 0 0 0
1 0
1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1
v i 和 vj 至少有一条路
从vi到vj没有路
0 0 0 0 0 0 1 1 1 1
河南工业大学离散数学课程组第40页欧拉图与汉密尔顿图总结欧拉图与汉密尔顿图的判别方法全体非空连通图满足定理741的条件不满足定理741的条件全体非空连通图汉密尔顿图非汉密尔顿图满足必要条件但不满足任何充分条件至少满足一个充分条件不满足某个必要条件不能根据已知的充分条件或已知的必要条件判别是否是汉密尔顿图
0 1 A(G)= 1 0 0 第7页 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0
离散数学第二版答案(6-7章)
离散数学第二版答案(6-7章)第六章 代数系统6.1第129页1． 证明：任取,x y I ∈，(,)*(,)g y x y x y x yx x y xy g x y ==+-=+-=，因此，二元运算*是可交换的； 任取,,x y z I ∈，(,(,))*(*)*()()g x g y z x y z x y z yz x y z yz x y z yz x y z xy xz yz xyz==+-=++--+-=++---+((,),)(*)*()*()(,(,))g g x y z x y z x y xy zx y xy z x y xy z x y z xy xz yz xyz g x g y z ==+-=+-+-+-=++---+=因此，运算*是可结合的。
该运算的么元是0，0的逆元是0，2的逆元是2，其余元素没有逆元。
2．证明：任取,,x y N x y ∈≠，由*,*x y x y x y x ==≠知，**y x x y ≠，*运算不是可交换的。
任取,,x y z N ∈，由(*)**x y z x z x ==，*(*)*x y z x y x ==知，(*)**(*)x y z x y z =，*运算是可结合的。
任取x N ∈，*x x x =，可知N 中的所有元素都是等幂的。
*运算有右么元，任取,x y N ∈，*x y x =，知N 中的所有元素都是右么元。
*运算没有左么元。
证明：采用反证法。
假定e 为*运算的左么元，取,b N b e ∈≠，由*的运算公式知*e b e =，由么元的性质知，*e b b =，得e b =，这与b e ≠相矛盾，因此，*运算没有左么元。
3．解： ① 任取y x I y x ≠∈,,的最小公倍数和y x y x =*的最小公倍数和的最小公倍数和y x x y x y ==*因此对于任意的y x I y x ≠∈,,都有x y y x **=，即二元运算*是可交换的。
离散数学习题课7
5、 第七章图论 1、 设无向图中有6条边，3度和5度的顶点各一个，其余的都是 2度顶点，问该图有几 个顶点？
2、 设G是(n 一2)个顶点的无向简单图，G是它的补图，已知.：(GH k1，(G) = k2，
求-(G)和；;(G) 3、 画出无向图K4的所有非同构的子图，指出哪些是生成子图，哪些是补图。 4、 对下面两张图，求解 a) 求图的全部点割集和边割集，并指出其中的割点和割边。
b) 求G的点连通度k(G)和边连通度■ (G)。
有向图如下图所示： a)图中V1到V4长度为1、2、3、4的路各为几条？请给出矩阵说明。
d ------ e5 b) 图中V1到V1长度为1、2、3、4的回路各为几条？ C)图中长度为4的路有多少条？其中长度为 4的回路有多少条? d) 图中长度小于或等于 4的路有多少条？其中有多少条是回路？ e) 写出图的可达矩阵
图3 6、 设G*是具有k(k _2)个连通分支的平面图 G的对偶图，已知 G的边数m=10，面数
r=3，求G*的面数r*。 7、 如下图G所示： a) 判断G是否是一个平面图，如果是，请给出图 G的同构图，保证每条边除了端点 外没有其他交点。 b) 求出G的各面的次数，并验证其和为边数的两倍。
0
8、 考虑从油田铺设管道把原油送到加工厂， 要求管道必须沿所给路线铺设， 如下图所示， v1是油田，v7是原油加工厂，wij为vi与vj之间的距离，请用 Dijkstra算法求从v1 到v7总长最短的铺设方案，并给出最短铺设距离。
V1 V3
if、 \ 厂
图4 v3 v5 9、 一棵无向树T有5片树叶，3个2度分支点，其余的分支点都是 3度顶点，问T有几个 顶点？ 10、 设7个字母在通信中出现的频率如下： a： 35% b： 20% c： 5% d: 10% e： 10% f: 5% g： 5%, 请寻找一种编码方式，使得传输 10n (n> =2)个按上述频率出现的字母需要的二进制数字 最少。
离散数学任务7答案
离散数学作业2离散数学图论部分形成性考核书面作业本课程形成性考核书面作业共3次，内容主要分别是图论部分、数理逻辑部分的综合练习，基本上是按照考试的题型安排练习题目，目的是通过综合性书面作业，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握。
本次形考书面作业是第二次作业，大家要认真及时地完成图论部分的综合练习作业。
要求：将此作业用A4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，完成并上交任课教师（不收电子稿）。
并在07任务界面下方点击“保存”和“交卷”按钮，以便教师评分。
一、单项选择题1．设图G 的邻接矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0101010010000011100000100，则G 的边数为( )．A ．5B ．6C ．3D ．4答 D2．设图G ＝<V , E >，则下列结论成立的是 ( )． A ．deg(V )=2∣E ∣ B ．deg(V )=∣E ∣ C ．E v Vv 2)deg(=∑∈ D ．E v Vv =∑∈)deg(答 C （握手定理）3．设有向图（a ）、（b ）、（c ）与（d ）如下图所示，则下列结论成立的是( )．A ．（a ）是强连通的B ．（b ）是强连通的C ．（c ）是强连通的D ．（d ）是强连通的 答 A （有一条经过每个结点的回路）4．给定无向图G 如右图所示，下面给出的结 点集子集中，不是点割集的为（ ）．A ．{b , d }B ．{d }C ．{a , c }D ．{b , e } 答 B5．图G 如右图所示，以下说法正确的是( )． A ．{(a , c )}是割边 B ．{(a , c )}是边割集 C ．{(b , c )}是边割集 D ．{(a, c ) ,(b, c )}是边割集 答 D6．无向图G 存在欧拉通路，当且仅当( )． A ．G 中所有结点的度数全为偶数 B ．G 中至多有两个奇数度结点 C ．G 连通且所有结点的度数全为偶数 D ．G 连通且至多有两个奇数度结点 答 D7．若G 是一个欧拉图，则G 一定是( )．A ．平面图B ．汉密尔顿图C ．连通图D ．对偶图答 C8．设G 是连通平面图，有v 个结点，e 条边，r 个面，则r = ( )． A ．e －v ＋2 B ．v ＋e －2 C ．e －v －2 D ．e ＋v ＋2 答 A （欧拉公式：v -e +r = 2）9．设G 是有n 个结点，m 条边的连通图，必须删去G 的( )条边，才能确定G 的一棵生成树．A ．1m n -+B ．m n -C ．1m n ++D ．1n m -+ 答 A （n 个结点的连通图的生成树有1n -条边，必须删去(1)m n --条边） 10．已知一棵无向树T 中有8个结点，4度，3度，2度的分支点各一个，T 的树叶数为（ ）．A ．8B ．5C ．4D ．3 解 这棵无向树T 有7条边，所有结点的度数之和为14，而4度、3度、2度的分支点各一个共3个结点占用了9度，所以剩下的5个结点占用5度，故有5片树叶．答 Bο a οο οο b c de 5题图 a b dc eο ο ο ο ο 4题图二、填空题1．已知图G中有1个1度结点，2个2度结点，3个3度结点，4个4度结点，则G的边数是．解设G有x条边，则由握手定理，112233442x⨯+⨯+⨯+⨯=，15x=答152．设给定图G(如右由图所示)，则图G的点割集是．答{f}、{c,e}3．设G是一个图，结点集合为V，边集合为E，则G的结点等于边数的两倍．答的度数之和4．设有向图D为欧拉图，则图D中每个结点的入度．答等于出度5．设G=<V，E>是具有n个结点的简单图，若在G中每一对结点度数之和大于等于，则在G中存在一条汉密尔顿路．答n-16．设无向图G＝<V，E>是汉密尔顿图，则V的任意非空子集V1，都有≤∣V1∣．答W(G-V1)7．设完全图Kn 有n个结点(n≥2)，m条边，当时，Kn中存在欧拉回路．答n为奇数8．设图G=<V,E>，其中|V|=n，|E|=m．则图G是树当且仅当G是连通的，且m=．答n-19．连通无向图G有6个顶点9条边，从G中删去条边才有可能得到G的一棵生成树T．答 410．设正则5叉树的树叶数为17，则分支数为i = ．答4（定理5.2.1：(m-1)i=t-1）三、判断说明题（判断下列各题，并说明理由．）1．(1) 如果图G是无向图，且其结点度数均为偶数，则图G存在一条欧拉回路．解错误．只有当G是连通图且其结点度数均为偶数时，图G才存在一条欧拉回路．(2) 图G1，(如下图所示) 是欧拉图．解正确．图G1是连通图，有4个2度结点，2个4度结点，即图G1的结点全是偶数度结点，所以是欧拉图．2．图G2（如下图所示）不是欧拉图而是汉密尔顿图．解正确．图G2有4个3度结点a，b，d，f，所以图G2不是欧拉图．图G2有汉密尔顿回路abefgdca，所以图G2是汉密尔顿图．3．(1) 设G是一个有7个结点16条边的连通简单图，则G为平面图．(2) 设G是一个连通平面图，且有6个结点11条边，则G有7个面．解（1）错误．由定理4.3.3知，若G有v个结点e条边，且v≥3，则e≤3v-6．但本题中，16≤3×7-6不成立．（2）正确．由欧拉定理，连通平面图G的结点数为v，边数为e，面数为r，则v-e+r=2．于是有r=2-v+e=2-6+11=7．4．下图给出的树是否同构的．解图(a)有一个4度结点，图(b)、(c)没有4度结点，所以图(a)不与图(b)、(c)同构；在图(b)、(c)中标上结点标号，如下图，建立从图(b)结点到图(c)结点的映射() (1,2,3,4,5)i i f b c i ==，则f 是同构双射，所以图(b )与图(c )同构．四、计算题1．设G =<V ，E >，V ={ v 1，v 2，v 3，v 4，v 5}，E ={ (v 1,v 3)，(v 2,v 3)，(v 2,v 4)，(v 3,v 4)，(v 3,v 5)，(v 4,v 5) }，试(1) 给出G 的图形表示； (2) 写出其邻接矩阵；(3) 求出每个结点的度数； (4) 画出其补图的图形． 解 （1）G 的图形为：（2）图G 的邻接矩阵为：0010000110110110110100110A ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（3）图G 的每个结点的度数为：1deg()1v =，2deg()2v =，3deg()4v =，4deg()3v =，5deg()2v =．（4）图G 的补图为：2．图G =<V , E >，其中V ={a , b , c , d , e , f }，E ={ (a , b ), (a , c ), (a , e ), (b , d ), (b , e ), (c , e ), (d , e ), (d , f ), (e , f ) }，对应边的权值依次为5，2，1，2，6，1，9，3及8．(1) 画出G 的图形； (2) 写出G 的邻接矩阵； (3) 求出G 权最小的生成树及其权值． 解 （1）G 的图形如左下图：（2）G 的邻接矩阵为：011010100110100010010011111101000110A ⎛⎫⎪⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭（3）图G 有6个结点，其生成树有5条边，用Kruskal 算法求其权最小的生成树T ：第1步，取具最小权1的边(a ,e )； 第2步，取剩余边中具最小权1的边(c ,e )；第3步，取剩余边中不与前2条边构成回路的具最小权2的边(b ,d )； 第4步，取剩余边中不与前3条边构成回路的具最小权3的边(d ,f )； 第5步，取剩余边中不与前4条边构成回路的具最小权5的边(a ,b )． 所求最小生成树T 如右下图，其权为()1123512W T =++++=．3．已知带权图G 如右图所示．(1) 求图G 的最小生成树； (2)计算该生成树的权值． 解 （1）图G 有6个结点，其生成树有5条边，用Kruskal算法求其权最小的生成树T ：第1步，取具最小权1的边； 第2步，取剩余边中具最小权2的边；第3步，取剩余边中不与前2条边构成回路的具最小权3的边； 第4步，取剩余边中不与前3条边构成回路的具最小权5的边； 第5步，取剩余边中不与前4条边构成回路的具最小权7的边．所求最小生成树T 如右图．（2）该最小生成树的权为()1235718W T =++++=．4．设有一组权为2, 3, 5, 7, 17, 31，试画出相应的最优二叉树，计算该最优二叉树的权．解 所求最优二叉树T 如下图：所求最优二叉树T 的权为：()(23)55473172311131w T =+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=五、证明题1．设G 是一个n 阶无向简单图，n 是大于等于3的奇数．证明图G 与它的补图G 中的奇数度顶点个数相等．证明 设,G V E =<>，,G V E '=<>．则E '是由n 阶无向完全图n K 的边删去E 所得到的．所以对于任意结点u V ∈，u 在G 和G 中的度数之和等于u 在n K 中的度数．由于n 是大于等于3的奇数，从而n K 的每个结点都是偶数度的（ 1 (2)n -≥度），于是若u V ∈在G 中是奇数度结点，则它在G 中也是奇数度结点．故图G 与它的补图G 中的奇数度结点个数相等．2．设连通图G 有k 个奇数度的结点，证明在图G 中至少要添加2k条边才能使其成为欧拉图．证明 由定理3.1.2知，k 必为偶数．要使这k 个奇数度结点变成偶数度结点，从而使图G 变成欧拉图，可在每两个结点间添加一条边．故在图G 中至少要添加2k条边才能使其成为欧拉图．。