中学七年级数学全等三角形
2023年春上海七年级下数学辅导讲义(沪教版)第11讲 全等三角形的概念和性质及判定(讲义)解析版
第11讲 全等三角形的概念和性质及判定本节主要针对全等三角形的相关概念和性质及全等三角形的判定进行讲解，重点是全等三角形的性质的运用和判定两个三角形全等的四个判定定理，要求同学们可以达到灵活运用判定定理进行说明三角形全等的理由．本节课是几何说理的基础，综合性不高，相对简单．模块一：全等三角形的概念和性质知识精讲全等形、全等三角形及其相关的概念（1） 全等形：能够重合的两个图形叫做全等形.（2） 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形；两个全等三角形中，互相重合的顶点叫做对应顶点；互相重合的角叫做对应角；互相重合的边叫做对应边．如下图所示：已知：△ABC ≌DFE ，A 与D ，B 与F 是对应顶点，则：(C 与E 是对应顶点) 对应边有：AB 与DF ，AC 与DE ，BC 与FE ．对应角有：A D B F C E ∠∠∠∠∠∠与，与，与．全等三角形的数学语言：三角形ABC 与三角形A ′B ′C ′全等，记作△ABC ≌△A ′B ′C ′，读作“三角形ABC 全等于三角形A ′B ′C ′”．全等三角形的性质：（1）全等三角形的对应边相等，对应角相等；（2）全等三角形的面积相等，周长相等；（3）全等三角形的对应线段（高线、中线、角平分线）相等．全等三角形中应注意的问题：（1）要正确区分“对应边”与“对边”、“对应角”与“对角”的不同含义；（2）符号“≌”表示的双重含义：①“∽”表示形状相同；②“=”表示大小相等；（3）表示两个三角形全等时，表示对应的顶点的字母要写在相对应的位置上；A B C D E F画三角形：确定三角形形状、大小的条件：六个元素（三条边、三个角）中的如下三个元素：两角及其夹边；两边及其夹角；三边.例题解析例1．（2019·上海浦东新区·）下列四组三角形中，一定是全等三角形的是（）A．周长相等的两个等边三角形B．三个内角分别相等的两个三角形C．两条边和其中一个角相等的两个三角形D．面积相等的两个等腰三角形【答案】A【分析】依据全等三角形的概念即可做出选择.【详解】解：A. 周长相等的两个等边三角形，三边都相等，故A正确；B. 三个内角分别相等的两个三角形，三角形相似，不一定全等，故B错误；C. 两条边和其中一个角相等的两个三角形,只有这个角是两边夹角三角形才全等，故C错误；D. 面积相等的两个等腰三角形，不一定全等，故D错误；答案为：A.【点睛】本题考查了全等三角形的定义，即全等三角形不仅形状相同，而且大小相等.例2.下列说法正确的是（）A．全等三角形是指形状相同的三角形 B．全等三角形是指面积相等的三角形C．全等三角形的周长和面积都相等 D．所有的等边三角形都全等【难度】★【答案】C【解析】A错，形状相同，大小也要相同；B错，面积相等不一定全等，反例同底等高的三角形；D错，大小不一定相等．【总结】本题主要考查全等三角形的概念．例3.直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成的两个三角形的关系是（）A．形状相同B．周长相等C．面积相等D．全等【难度】★【答案】C【解析】等底同高，所以面积相等．【总结】本题主要考查同底等高的两个三角形的面积相等的运用．例4.如图所示，△ABC≌△CDA，且AB＝CD，则下列结论错误的是（）A ．∠1＝∠2B ．AC ＝CA C ．∠B ＝∠D D ．AC ＝BC【难度】★【答案】D【解析】全等三角形对应角相等，对应边相等．【总结】考察学生对全等三角形性质的理解及运用．例5.下列各条件中，不能作出唯一的三角形的是（ ）A ．已知两边和夹角B ．已知两角和夹边C ．已知两边和其中一边的对角D ．已知三边【难度】★【答案】C【解析】C 选项是边边角，不能作为全等的判定条件．【总结】考查全等三角形的判定定理的运用．例6.练习画出下列条件的三角形：（1） 画,ABC ∆使40,45,4A B AB cm ∠=︒∠=︒=；（2） 画,ABC ∆使6,8,10AB cm BC cm AC cm ===；（3） 画,ABC ∆使4,3,45AB cm AC cm A ==∠=︒；（4） 画,ABC ∆使8,5,50AB cm AC cm B ==∠=︒．例7.下列说法：①形状相同的两个图形是全等形；②面积相等的两个三角形是全等三角形；③全等三角形的周长相等，面积相等；④在△ABC 和△DEF 中，若∠A =∠D ，∠B =∠E ，∠C =∠F ，AB =DE ，BC =EF ，AC =DF ，则两个三角形的关系，可记作△ABC ≌△DEF ，其中说法正确的是（） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【难度】★★【答案】B【解析】（1）错，大小不一定相等；（2）面积相等不一定全等，反例同底等高；（3）对；（4）对，故选B ．【总结】考察学生对全等三角形的概念及性质的理解．例8.下列说法中错误的是（ ）A ．全等三角形的公共角是对应角，对顶角也是对应角B ．全等三角形的公共边也是对应边C ．全等三角形的公共顶点是对应顶点D ．全等三角形中相等的边所对应的角是对应角，相等的角所对的边是对应边【难度】★★【答案】C【解析】全等三角形的公共顶点不一定是对应顶点，两个全等三角形任意放置，使得三 角形的一个顶点与另一个三角形的不对应的顶点重合．【总结】考察学生对全等三角形的概念的辨析能力，以及正确的举反例．例9.如图所示，ABE ADC ABC ∆∆∆和是分别沿着AB AC 、边翻折形成的，若∠1∶∠2∶∠3=28∶5∶3，则∠α的度数为（ ）A ．80°B ．100°C ．60°D ．45°【难度】★★【答案】A【解析】设1=28x ∠，25x ∠=，33x ∠=，则36180x =，解得：5x =．1140∴∠=︒，225∠=︒，315∠=︒，22ABC ACB ∴∠∂=∠+∠212280=∠+∠=︒．【总结】考察学生对全等三角形的应用以及翻折知识的理解及运用．例10．（2021·安仁县思源实验学校七年级期末）若ABC DEF △≌△，70A ∠=︒，50B ∠=︒，点 A 的对应点是D ，AB DE =，那么F ∠的度数是_______．【答案】60︒【分析】根据全等三角形的性质求解；【详解】解：ABC DEF ≌，70A ∠=︒，50B ∠=︒，18060F C A B ︒︒∴==--=∠∠∠∠．故答案为：60︒．【点睛】本题考查全等三角形的性质，理解相关性质正确推理计算是解题关键．例11．（2020·福建泉州市·七年级期末）如图，△ABC≌△ADE，且点E在BC上，若∠DAB＝30°，则∠CED＝_____．【答案】150°【分析】根据全等三角形的性质：对应角和对应边相等解答即可．【详解】∵△ABC≌△ADE，∴∠B＝∠D，∵∠BHE＝∠DHA，∴∠BED＝∠DAB＝30°，∴∠CED＝180°﹣∠BED＝150°.故答案为：150°．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．△≌△，DEF的例12．（2020·黑龙江省红光农场学校七年级期末）已知ABC DEF周长是32cm，DE=9cm，EF=12cm，则AB=_______， BC=______，CA=_____【答案】9cm 12cm 11cm【分析】作出图形，先求出DF，再根据全等三角形对应边相等解答即可．【详解】解：∵△DEF的周长是32cm，DE=9cm，EF=12cm，∴DF=32-9-12=11cm，∵△ABC≌△DEF，∴AB=DE=9cm，BC=EF=12cm，DF=AC=11cm．故答案为：9cm；12cm；11cm．【点睛】本题考查了全等三角形对应边相等的性质，熟记性质是解题的关键，作出图形更形象直观．∆≅∆，例13．（2020·河南周口市·七年级期末）如图，ABC DEF120,20∠=︒∠=︒，则DB F∠=__________°.【答案】40【分析】根据全等三角形的性质得出∠E=∠B=120°，再根据三角形的内角和定理求出∠D 的度数即可．【详解】解：∵△ABC≌△DEF，∴∠E=∠B=120°，∵∠F=20°，∴∠D=180°-∠E-∠F=40°，故答案为40．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和三角形的内角和定理的应用，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等．例14．（2019·海南七年级期末）如图，在3×3的正方形网格中，∠1+∠2=_______度.【答案】90【分析】根据网格特点可知两个三角形全等，故可求解.【详解】由网格的特点可知两个三角形全等∴∠2=∠3∴∠1+∠2=∠1+∠3=90°，故答案为：90°.【点睛】此题主要考查三角形的角度求解，解题的关键是熟知全等三角形的性质及网格的特点.例15．（2019·山东泰安市·七年级期中）一个三角形的三边为2、5、x，另一个三角形的三边为y、2、6，若这两个三角形全等，则x + y =________．【答案】11【分析】根据全等三角形的性质求出x和y即可.【详解】解：∵这两个三角形全等∴x=6，y=5∴x + y =11故答案为11.【点睛】此题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解决此题的关键.例16．（2018·全国七年级课时练习）如图，已知△ABE≌△ACD，∠1＝∠2，∠B＝∠C，指出对应边和其他对应角．【答案】AB与AC，AE与AD，BE与CD是对应边；∠D与∠E是对应角．【分析】先根据△ABE≌△ACD，可以确定点A的对应点是A，点B的对应点是C，点D的对应点是E，然后根据对应顶点，结合图形即可找出对应边和对应角．【详解】∵△ABE≌△ACD，∠1＝∠2，∠B＝∠C，∴点A的对应点是A，点B的对应点是C，点E的对应点是D，∴∠E与∠D是对应角，AB与AC，BE与CD，AE与AD是对应边．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，一般情况下，对于图形的全等来说，能够完全重合的部分是相互对应的，实际应用中，应结合图形将对应点写在对应位置上，以免出现错误．例17．（2019·沂源县中庄中学七年级月考）如图，点B，C，D在同一条直线上，∠B=∠D=90°，△ABC≌△CDE,AB=6,BC=8,CE=10.（1）求△ABC的周长；（2）求△ACE的面积.【答案】（1）24；（2）50【分析】（1）根据三角形全等得到AC=CE，即可得出答案；（2）根据三角形全等得到∠ACB=∠CED，∠BAC=∠DCE，进而求出∠ACB+∠DCE=90°，即可得出答案.【详解】解：（1））∵△ABC≌△CDE∴AC=CE∴△ABC的周长=AB+BC+AC=24（2）∵△ABC≌△CDE∴AC=CE，∠ACB=∠CED，∠BAC=∠DCE又∠B=90°∴∠ACB+∠BAC=90°∴∠ACB+∠DCE=90°∴∠ACE=180°-（∠ACB+∠DCE）=90°∴△ACE的面积=150 2AC CE⨯⨯=【点睛】本题考查的是全等三角形的性质以及三角形的周长和面积公式，需要熟记三角形的周长和面积公式.例18.如图，在矩形ABCD中，AE平分∠DAB交DC于点E，连接BE，过E作EF⊥BE交AD于F.（1）∠DEF和∠CBE相等吗?请说明理由；（2）请找出图中与ED相等的线段(不另添加辅助线和字母)，并说明理由.【难度】★★【答案】（1）相等；（2）ED BC AD ==．【解析】（1）90DEF CEB ∠+∠=︒，90CBE CEB ∠+∠=︒，DEF CBE ∴∠=∠（同角的余角相等）（2）AE 平分DAB ∠， 45DAE ∴∠=︒，DE AD ∴=． AD BC =， DE AD BC ∴==．【总结】考察学生对图形的理解和掌握，能够迅速的根据图形发现同角的余角相等，再 利用特殊的角度45得出等腰直角三角形，从而解题．例19.如图所示，30255ADF BCE B F BC cm ∆≅∆∠=︒∠=︒=，，，，14CD cm DF cm ==，．求：（1）1∠的度数；（2）AC 的长．【难度】★★【答案】（1）1=55∠°；（2）4AC cm =．【解析】（1）ADF BCE ≅，30A B ∴∠=∠=︒，AD BC =，155A F ∴∠=∠+∠=︒；（2）ADF BCE ≅，AD BC ∴=， 514AC AD CD cm ∴=-=-=．【总结】考察学生对全等三角形对应边相等，对应角相等的掌握，并且学会正确运用． 例20.如图，在△ABC 中，∠A ：∠B ：∠ACB =2:5:11，若将△ABC 绕点C 逆时针旋转，试旋转前后的△A ’B ’C ’中的顶点B ’在原三角形的边AC 的延长线上，求∠BCA ’的度数．【难度】★★【答案】40︒．【解析】设2A x ∠=，5B x ∠=，11ACB x ∠=，则18180x =， 解得：10x =，∴110BCA ∠=，70BCB '∠=．110A CB ''∠=， 40BCA '∴∠=．【总结】考察学生对旋转的理解，注意利用全等三角形的性质进行解题．例21.如图，已知△ABC ≌△ADE ，BC 的延长线交AD 于点F ，交AE 的延长线于G ，∠ACB =1050，∠CAD =100，∠ADE =250，求∠DFB 和∠AGB 的度数．【难度】★★【答案】∠DFB =85︒，∠AGB =45︒．【解析】证明：ABC ADE ≅，25ADE ABC ∴∠=∠=︒，50CAB EAD ∠=∠=︒，10502585DFB ∴∠=︒+︒+︒=︒，1801102545AGB ∠=︒-︒-︒=︒．【总结】本题主要考察学生对全等三角形的性质及三角形外角性质和内角和定理的综合 运用．例22.如图，把△ABC 纸片沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCDE 内部时.（1）写出图中一对全等的三角形，并写出它们的所有对应角；（2）设∠AED 的度数为x ，∠ADE 的度数为y ，那么∠1，∠2的度数分别是多少?（用含有x 或y 的代数式表示）（3）∠A 与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请找出这个规律．【难度】★★★【答案】（1）AED A ED '≅，A A '∠=∠，AED A ED '∠=∠，ADE A DE '∠=∠；（2）11802x ∠=-，21802y ∠=-；（3）()1122A ∠=∠+∠． 【解析】（3）证明：∵()180A x y ∠=-+，1+2=3602()x y ∠∠-+，∴()1122A ∠=∠+∠． 【总结】本题一方面考查翻折的性质，另一方面考查全等三角形的性质及三角形内角和 定理的运用．例23.如图（1）所示，把△ABC 沿直线BC 移动线段BC 那样长的距离可以变到△ECD 的位置；如图（2）所示，以BC 为轴把△ABC 翻折180°，可以变到△DBC 的位置；如图（3）所示，以点A 为中心，把△ABC 旋转180°，可以变到△AED 的位置，像这样，只改变图形的位置，而不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换. 在全等变换中可以清楚地识别全等三角形的对应元素，以上的三种全等变换分别叫平移变换、翻折变换和旋转变换，问题：如图（4），△ABC ≌△DEF ，B 和E 、C 和F 是对应顶点，问通过怎样的全等变换可以使它们重合，并指出它们相等的边和角．AB CD E （1）AB C D （2）AB C D E （3）A B C （4）D E F【难度】★★★【答案】翻折变换，平移变换或旋转变换，平移变换．【解析】AB ED =，BC EF =，AC DF =．【总结】考察学生对图形的运动的理解和掌握，需要学生进行一定的空间想象． 模块二：全等三角形的判定知识精讲本模块复习了全等三角形的4个判定定理，主要是已知条件为“两边及夹角对应 相等（SAS ）”，“两角及夹边对应相等（ASA ）”，“两角及其中一角的对边对应相等（AAS ）”“三边对应相等（SSS ）”的两个三角形全等．例题解析例1.如图，已知∠B =∠D ，∠1=∠2，AC =AE ，说明△ABC ≌△ADE 的理由．【难度】★★【解析】证明：12∠=∠，12DAC DAC ∴∠+∠=∠+∠，即BAC DAE ∠=∠．在ABC 和DAE 中，B D BAC DAE AC AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABC ≌△ADE （A.A.S ）．【总结】考察学生对全等三角形的判定条件的掌握．例2.如图，已知∠C =∠E ，BE =CD ，说明△ABE 与△ADC 全等的理由，AB 与AD相等吗?为什么?【难度】★【解析】证明：在ABE 和ADC 中，A A C E BE CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ABE ADC ∴≅（A.A.S ）， AB AD ∴=．【总结】考察学生对全等三角形的判定及性质的综合运用．例3.如图，已知AD =BC ，AE =BE ．说明AC =BD ，∠C =∠D 的理由．【难度】★【解析】证明：AD BC =，AE BE =，DE CE ∴=．在ACE 和BDE 中，AE BE =AEC BED ∠=∠，ACE BDE ∴≅（S.A.S ）AC BD ∴=，C D ∠=∠（全等三角形的对应边相等，对应角相等）【总结】考察学生对全等三角形的判定及性质的综合运用．例4如图，已知AB =CD ，AD =BC ，说明∠A =∠C 的理由．【难度】★【解析】证明：连接BD在ABD 和CDB 中，AB CD AD BC BD DB =⎧⎪=⎨⎪=⎩， (..)ABD CDB S S S ∴≅A C ∴∠=∠（全等三角形的对应角相等）【总结】考察学生对全等三角形的判定及性质的综合运用．例5.如图，已知BD 是△ABC 的中线，B 、D 、E 、F 在一条直线上，且AE ∥CF ，说明△ADE 与△CDF 全等的理由．【难度】★★【解析】//AE CF ， E EFC ∴∠=∠．∵BD 是△ABC 的中线， ∴AD CD =．在ADE 和CDF 中，ADE FDC AD CD ⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ADE CDF ∴≅（A.A.S ）． 【总结】考察学生对全等三角形的判定条件的掌握．例6.如图，已知AC ∥BD ，AC =BD ，（1）说明△AOC 与△BOD 全等的理由；（2）说明EO =FO 的理由．【难度】★★【解析】证明：（1）//AC BD ，C D ∴∠=∠．在AOC 和BOD 中，C D AOC BOD AC BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， AOC BOD ∴≅（A.A.S ）； （2）AOC BOD ≅， CO DO ∴=．在CEO 和DFO 中，C D CO DOCOE DOF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()CEO DFO ASA ∴≅， EO FO ∴=．【总结】考察学生对全等三角形的判定及性质的综合运用．例7.如图，CD ⊥AB 于D ，BE ⊥AC 于E ，OD =OE ，说明AB =AC 的理由．【难度】★★【解析】CD AB BE AC ⊥⊥，， 90BDC DEC ∴∠=∠=︒．在BDO 和CEO 中，DO EODOB COE ⎪=⎨⎪∠=∠⎩， (..)BDO CEO A S A ∴≅． DO EO ∴=，B C ∠=∠， BO CO =， BE CD ∴=．在ABE 和ACD 中，A A BE CDBC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴ABE ≌ACD （A.S.A ）， AB AC ∴=（全等三角形的对应边相等）【总结】本题主要考察学生对全等三角形的判定条件的掌握，注意利用多次全等． 例8.如图，已知AD ∥BC ，BF ∥DE ，AE =CF ．（1） △ADE 与△CBF 全等吗，为什么?（2） 说明AB =CD 的理由；（3） 图中有哪几对全等三角形?【难度】★★【解析】证明：（1）全等，//AD BC ， DAC ACB ∴∠=∠．//BF DE ，DEF BFE ∴∠=∠， AED BFC ∴∠=∠．在AED 和BFC 中，DAC ACB AE CF AED BFC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， (..)ADE CBF A S A ∴≅；（2）ADE CBF ≅， AD BC ∴=．在ABC 和ADC 中AD BC DAC ACB AC AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(..)ABC ADC S A S ∴≅，AB CD ∴=（全等三角形的对应边相等）；（3）AED CFB ≅；DEC BFA ≅；ABC CDA ≅．【总结】本题主要考察全等三角形的判定与性质的综合运用．例9.如图，已知AB =CD ，BM =CM ，AC =BD ，说明AM =DM 的理由．【难度】★★【解析】在ABC 和BCD 中，AB CD AC BD BC BC =⎧⎪=⎨⎪=⎩， (..)ABC DCB S S S ∴≅， ABC BCD ∴∠=∠，在ABM 和DCM 中，AB CD ABC BCD BM CM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(..)ABM DCM S A S ∴≅， AM DM ∴=．【总结】本题主要考察全等三角形的判定与性质的综合运用，利用多次全等进行证明． 例10.如图，∠1=∠2，AC =BD ，E 、A 、B 、F 在同一条直线上，说明：∠CAD =∠DBC 的理由．【难度】★★【解析】12∠=∠， CAB DBA ∴∠=∠．在CAB 和DBA 中，AC BD CAB DBA AB AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， (..)CAB DBA S A S ∴≅，CBA DAB ∴∠=∠，又CAB DBA ∠=∠，CAD DBC ∴∠=∠．【总结】本题主要考察全等三角形的判定与角的和差的综合运用．例11.如图所示，AB =AC ，CE =BE ，连结AE 并延长交BC 于D ，说明AD ⊥BC 的理由．【难度】★★【解析】证明：在ABE 和ACE 中，AB AC BE CE AE AE =⎧⎪=⎨⎪=⎩，(..)ABE ACE S S S ∴≅，BAD CAD ∴∠=∠．在ABD 和ACD 中，AB AC BAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， (..)ABD ACD S A S ∴≅，90ADB ADC ∴∠=∠=， AD BC ∴⊥．【总结】本题主要考查全等三角形的判定的综合运用，通过多次全等得到垂直． 例12.如图所示，BE 、CD 相交于O ，AB =AC ，AD =AE ，说明OD =OE 的理由．【难度】★★【解析】证明：在ADC 和AEB 中，AD AE A A AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴(..)ADC AEB S A S ≅B C ∴∠=∠（全等三角形的对应角相等）AB CA =，AD AE =，BD CE ∴=．在BDO 和CEO 中，DOB COE ∠=∠B C ∠=∠BD CE =(..)BDO CEO A A S ∴≅， OD OE ∴=（全等三角形的对应边相等）【总结】本题主要考查全等三角形的判定的综合运用，注意对全等的多次运用． 例13．（2019·上海奉贤区·七年级期末）阅读并填空：如图，ABC 是等腰三角形，AB AC =，D 是边AC 延长线上的一点，E 在边AB 上且联接DE 交BC 于O ，如果OE OD ，那么CD BE =，为什么？解：过点E 作EF AC 交BC 于F所以ACB EFB ∠=∠（两直线平行，同位角相等）D OEF ∠=∠（________）在OCD 与OFE △中()________COD FOE OD OED OEF ⎧∠=∠⎪=⎨⎪∠=∠⎩所以OCD OFE △≌△，（________）所以CD FE =（________）因为AB AC =（已知）所以ACB B =∠∠（________）所以EFB B ∠=∠（等量代换）所以BE FE =（________）所以CD BE =【分析】先根据平行线的性质，得到角的关系，然后证明OCD OFE △≌△，写出证明过程和依据即可．【详解】解：过点E 作//EF AC 交BC 于F ，∴ACB EFB ∠=∠（两直线平行，同位角相等），∴D OEF ∠=∠（两直线平行，内错角相等），在OCD 与OFE △中()()()COD FOE OD OED OEF ⎧∠=∠⎪=⎨⎪∠=∠⎩对顶角相等已知已证， ∴OCD OFE △≌△，（ASA ）∴CD FE =（全等三角形对应边相等）∵AB AC =（已知）∴ACB B =∠∠（等边对等角）∴EFB B ∠=∠（等量代换）∴BE FE =（等角对等边）∴CD BE =；【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是由平行线的性质正确找到证明三角形全等的条件，从而进行证明.例14．（2019·上海市民办新竹园中学七年级期中）如图，△ABC 中，D 是BC 的中点，过点D 的直线GF 交AC 于F ，交AC 的平行线BG 于G 点，DE ⊥GF ，交AB 于点E ，连接EG ，EF.（1）说明：BG=CF ；（2）BE ，CF 与EF 这三条线段能否组成一个三角形？【分析】（1）由BG ∥AC 得出∠DBG=∠DCF,从而利用ASA 得出△BGD 与△CFD全等，进一步证得结论（2）根据△BGD与△CFD全等得出GD=FD,BG=CF,再又因为DE⊥GF，从而得出EG=EF,从而进一步得出结论【详解】（1）∵BG∥AC∴∠DBG=∠DCF又∵D为BC中点∴BD=CD又∵∠BDG=∠CDF∴△BGD≅△CFD（ASA）∴BG=CF（2）能证明如下：∵△BGD≅△CFD∴BG=CF，GD=DF又∵DE⊥GF∴GE=EF∵BE,BG,GE组成了△BGE∴BE,BG,GE三边满足三角形三边的关系同理，与BG,GE相等的两边CF,EF与BE三条线段亦满足三角形三边关系∴BE,CF,EF这三条线段可以组成三角形【点睛】本题主要考查了三角形全等的综合运用，熟练掌握三角形全等的判断及性质是关键例15．（2018·华东理工大学附属中学七年级月考）如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别在边BC、AC、AB上，且FD=DE，BF=CD，∠FDE=∠B,请说明∠B=∠C【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠FDC=∠B+∠DFB ，再根据∠FDE=∠B ，证明∠DFB=∠EDC ，然后根据边角边定理证明△DFB 与△EDC 全等，根据此思路进行解答即可.【详解】证明：∵∠FDC=∠B+∠DFB （三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和） 即∠FDE+∠EDC=∠B+∠DFB又∵∠FDE=∠B （已知）∴∠DFB=∠EDC在△DFB 与△EDC 中FB=ED （已知），∠DFB=∠EDC ，BF=CD （已知）∴△DFB ≌△EDC （SAS ）∴∠B =∠C .【点睛】本题考查了全等三角形的判定与全等三角形的性质，熟练掌握判定定理与性质定理，理清证明思路是写出理由与步骤的关键.例16．（2019·上海浦东新区·）公园里有一条“Z ”字形道路ABCD ，如图所示，其中AB CD ∥，在AB ，CD ，BC 三段路旁各有一只小石凳E ，F ，M ，且BE CF =，M 是BC 的中点，试说明三只石凳E ，F ，M 恰好在一条直线上.（提示：可通过证明180EMF =∠）【分析】先根据SAS 判定△BEM ≌△CFM ，从而得出∠BME=∠CMF.通过角之间的转换可得到E ，M ，F 在一条直线上.【详解】证明：∵AB CD ∥（已知）∴B C ∠=∠（两直线平行，内错角相等）在EBM △与FCM △中，BE CF B CBM CM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（已知）（已证）（中点的意义）∴(...)EBM FCM S A S △≌△∴BME CMF ∠=∠（全等三角形的对应角相等）∵180BMF CMF +=∠∠（平角的意义）∴180BMF BME ∠+∠=（等量代换）∴E ，M ，F 三点共线（平角的意义）【点睛】本题主要考查了学生对全等三角形的判定的掌握情况，关键是共线的证明方法. 例17．（2019·上海浦东新区·）如图，已知ABC △中，AB AC =，O 是ABC △内一点，且OB OC =，试说明AO BC ⊥的理由.【分析】先证明AOB AOC △≌△，再利用全等三角形的性质得到BAO CAO ∠=∠，然后利用等腰三角形三线合一的性质，即可证明.【详解】证明：在AOB 与AOC △中，AB AC OB OCAO AO （已知）（已知）（公共边）=⎧⎪=⎨⎪=⎩∴(...)AOB AOC S S S △≌△∴BAO CAO ∠=∠（全等三角形的对应角相等）∵AB AC =（已知）∴AO BC ⊥（等腰三角形的三线合一）【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题和等腰三角形三线合一性质的运用.例18．（2018·上海市第八中学七年级月考）如图，点E 、F 位于线段AC 上，且 AF=CE ， AB ∥CD ， BE ∥DF 。
中学数学 全等三角形 练习题(含答案)
解法三：如图，作 CG AG 的平分线 CF 交 AM 于 F ，
C
A
则 ACF MCF 45 ，即 ACF CBD 45 ． ∵ AC BC ， CD AM ， ∴ CAF CMF BCD CMF 90 ．∴ BM 1 ．
AC 2 又 B CAD ，∴ ACF ≌ CBD ．∴ CF BD ． 又 CM BM ，MCF MBD ． ∴ CFM ≌ BDM ．∴ FMC DMB ． 解法四：如图，过 D 作 DG CB ．
然成立，请你说明理由．
F
E
C
C
E G
F
G
H
A
M
D
N
B
A
MD
NB
图1
图2
【答案】⑴ ∵ A 30，ACB 90 ， D 是 AB 的中点，∴ BC BD ， B 60
∴△BCD 是等边三角形．
又∵ CN DB ，∴ DN 1 DB ， 2
∵ EDF 90 ， BCD 是等边三角形． ∴ ADG 30 ，而 A 30 ，∴ GA GD ．
M
F
D
B
C
M G
A
∵ B 45 ， ∴ DG BG ． ∵ DCG AMC FAC AMC 90 ， ∴ DCG FAC ． ∴ DCG ∽ MAC ． ∴ DG∶CG CM∶AC 1∶2 ，则 BG∶CG 1∶2 ． ∵ DG ∥ AC ， ∴ BD∶AD 1∶2 ，而 BM∶AC 1∶2 ， B CAD ． ∴ BMD ∽ ACD ， ∴ BMD ACD ． 而 ACD AMC ，
A
D E
B
F
C
【答案】过 C 作 CH 垂直于 AC 交 AF 延长线于 H 点； 易证 ABD≌AHC ， HC AD ；进而证明 FHC≌FDC ，得到 HC CD ，则 D 为 AC 中点．
三角形全等的判定---边边边
探索三角形全等的条件（一）----------“边边边”定理教材分析本节课选自北师大版《七年级数学下册》第五章第四节探索三角形全等的条件第一课时，本节课探索第一种判定方法—边边边，为了使学生更好地掌握这一部分内容，遵循启发式教学原则，用设问形式创设问题情景，设计一系列实践活动，引导学生操作、观察、探索、交流、发现、思维，真正把学生放到主体位置，发展学生的空间观念，体会分析问题、解决问题的方法，积累数学活动经验，为以后的证明打下基础。
学情分析学生的知识技能基础：学生在前几节中，已经了解了三角形的有关概念（内角、外角、中线、高、角平分线），以及三角形三边之间的关系、图形的全等，对本节课要学习的三角形全等条件中的“边边边”和三角形的稳定性来说已经具备了一定的知识技能基础。
学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了一些探索图形全等的活动，通过拼图、折纸等方式解决了一些简单的现实问题，获得了一些数学活动经验的基础；同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。
教学目标1．知识与技能目标：掌握三角形全等的“边边边”条件，了解三角形的稳定性。
2．过程与方法目标：在探索三角形全等的条件及其运用的过程中，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程，初步形成解决问题的基本策略。
3．情感与态度价值观目标：通过探索活动，体验数学知识在现实生活中的广泛应用，培养学生勇于探索、敢于创新的精神。
教学重点和难点重点：三角形全等条件的探索过程和三角形全等的“边边边”条件。
难点：三角形全等条件的探索中的分类思想的渗透。
教学方法探究式，启发式，小组讨论法与实验法相结合教具准备剪刀，纸，三角板，量角器，刻度尺，多媒体教学过程（提出问题----分析探究----实践验证----得出结论----总结升华）一、创设情境，提出问题出示ppt：大家来看一个问题：校运动会上，为了活跃会场气氛，班长想让每个同学自制一面三角形的小彩旗，可怎样才能使全班同学做的小彩旗的形状与大小完全相同呢？班长至少需要报给同学们几个数据呢？[学情预设]学生考虑情况和条件多，大多围绕角和边进行分析。
3.1全等三角形判定ASA-王培芹-奎聚中学
BD = CE ？
练习1：已知AB=AC，∠B=∠C，说明△ABD≌△ACE的理由 A 解：在△ABD和△ACE中， ∠B=∠C（已知） AB=AC （已知） ∠A=∠A（公共角） ∴ △ABD≌△ACE （ASA） B C E D
练习2.gsp
OP平分∠ MON,PO 平分∠ MPN 求证: △ POM ≌ △ PON
（1）定义 （2）性质：量对应边及对应角
三角形全等的判定方法1 实验：
角边角公理 简记为“角边角”或“ASA” 1.任意画一个△ABC
有两角和它们的夹边对应相等 的两个三角形全等.
3.在B′C′的同旁分别以B ′ 、C′为顶点画∠MB′C′=∠B， ∠NC′B′=∠C，MB′与NC′交于A′. M A′
A
C
练习2：下列三角形中有哪几对是全等的？请找出来并说出 你是运用了哪个三角形全等的判定定理。
10
47°
61°
（1）
（2）
70° 60° ┐ 3 50° 10 27° 48°
（6）
（7）
┐
3 50°
72° 58° 5
10
70° 60°
83°
48°
（3）
10 61° 47°
（4）
（5）
5 58° 72°
∴ ∠B=∠DEF ∵ AC∥DF ∴ ∠F=∠ACB ∵ BE=CF ∴ BE+CE=CF+EC 即BE=CF 在△ ABC和 △ DEF中 ∠B=∠DEF BE=CF ∠F=∠ACB ∴ △ ABC≌ △ DEF
B
E
C
F
小结 0 拓展
1.梳理怎样判定三角形全等 的知识 2.通过这节课你增长了….
在△ABD和△ACE中，
三角形全等的判定说课稿ppt
• 本环节这样设疑，激发了学生的好奇心，把学生 的学习情绪，思维活动调解到积极状态，为上好 这节课打下良好基础。揭示课题，展示目标，使 学生明确探究方向，避免盲目性。
• 自主合作:这一环节采取独学——对学——群学方法，以学生画图活动 为主线，展开探究活动，这里教师要引导学生分别从边和角的角度分 析一个条件，两个条件各有哪几种情形？通过学生实践形成认知，只 给出一个条件或两个条件不能保证所画的两个三角形全等。这里采取 独学，对学可完成探究活动。
本节课板书设计：
• 12.2三角形全等的判定（第1课时） • 一、三边分别相等的两个三角形全等（简
写成“边边边”或“SSS” • 二、举例应用： • 三、作一个角等于已知角
六、说评价
• 1、本节课以学生画图活动为主线，展开探究活动，注重 “SSS”条件的探究过程和学生的亲身体验，教师最大限 度地让每一个学生都参与到画图中去，让他们从实践中获 得知识，培养学生探索，发现，概括规律的能力。
• 小结延伸:
• 让学生围绕目标进行总结，这样可以提高 学生归纳，概括能力，使知识再一次强化。
四、说设计
第一环节：导入明标，约5分钟 第二环节：自主合作，约15分钟 第三环节：展示点拨，约15分钟 第四环节：变式检测，约8分钟 第五环节：小结延伸，约2分钟
五、说板书
多媒体或导学案都不能取代板书，目前我 认为板书分为：教师的板书、学生展示环 节板书。通过板书可以了解教师讲课思路， 就能了解教材的逻辑线索
二、说学情
• 1、知识掌握上，学生刚学过三角形的有关 边、角知识和全等三角形的有关概念和性 质。它们是本节课的依据，因此学生学习 本节课有一定知识基础。
• 2、学习本节课障碍，在七年级下册出现证 明和证明格式的基础上，进一步学习推理 论证的方法。要求学生有理有据地推理证 明，准确地表达推理过程，是比较有困难 的。在教学中要减缓坡度，循序渐进。
找准全等三角形对应元素的诀窍
变式二： 如图 １０， 答案不唯一．
图９
图 １０
《由 少 到 多 探 索 三 角 形 全 等 的 条 件》 “ 即 学 即 练 ”
１． 稳定 性 ２．（ ３）
３． ＡＢ ＝ ＤＣ或∠ＡＣＢ ＝ ∠ＤＢＣ ４． ＡＢ∥
ห้องสมุดไป่ตู้
ＣＤ、∠ Ａ ＝ ∠ Ｄ 或 ∠ Ｂ ＝ ∠ Ｃ
５． Ｂ
６． Ｄ
７． Ｂ
８． Ａ
９ ． △ ＣＡＢ △ ＤＡＢ， △ ＣＡＥ △ ＤＡＥ ， △ ＣＥＢ △ ＤＥＢ． 证 明 略 ．
（ ２） 根据两个全等三角形的位置来找．
① 有公共边的， 公共边一定是对应边； ② 有公共角的， 公共角一定
是对应角； ③ 有对顶角的， 对顶角一定是对应角．
（ ３） 根据大小来找．
① 一对最长的边是对应边， 一对最短的边是对应边； ② 一对最大的
角是对应角， 一对最小的角是对应角．
（ ４） 根据两个全等三角形的位置关系， 分析其中一个是由另一个经
图 １８
堂
度 数 ． 因 为 △ＯＡＤ △ＯＢＣ， 所 以 ∠ＯＡＤ ＝ ∠ＯＢＣ． 由 ∠Ｏ ＝ ６５°， ∠Ｃ ＝
２０°， 可得∠ＯＢＣ ＝ １８０°－ ６５°－ ２０°＝ ９５°． 所以∠ＯＡＤ ＝ ９５°．
２． （ ２００６年·济南市） 如图 １９， 一张长方形纸片沿ＡＢ对折， 以ＡＢ的中
点Ｏ为顶点， 将平角五等分， 并沿五等分线折叠， 再从点Ｃ处剪开， 使展形
６． 如图 １４， 将一张长方形纸片按图示的方式折叠 ， ＢＣ、ＢＤ为折痕，
则∠ＣＢＤ的度数为（
）．
Ａ． ６０°
Ｂ． ７５°
Ｃ． ９０°
Ｄ．９５°
７． 如 图 １５， △ＡＢＣ △Ａ１Ｂ１Ｃ， 且 ∠Ａ∶∠ＡＢＣ∶∠ＡＣＢ ＝ １ ∶３ ∶５， 则
全等三角形判定的应用
刘永智（甘肃省天水市麦积区街子初级中学 ７４１０３７）刘永智中学一级教师，多年致力于数学解题方法与思想的探索，学生数学学习心理的研究．在教学中善于创新，富有启发性．在《数理天地》、《中学生数学》、《中小学数学》等杂志发表文章五十多篇。
学习了全等三角形的判定以后，我们知道全等三角形对应边相等，对应角相等，也知道证明两个三角形全等有ＳＡＳ，ＡＳＡ，ＡＡＳ，ＳＳＳ等理论可以应用，对于直角三角形全等的判定，除了可以利用以上理论，还可以用ＨＬ．学习了这么多全等三角形的证明方法，究竟有何用呢？下面我就谈谈自己的一些粗浅的认识．学习了全等三角形的判定知识以后，通过证明三角形全等，其应用主要有：１．证明两条线段相等 证明所求证的相等线段是某一对全等三角形的对应边，再利用全等三角形的对应边相等，证得所求证的线段对应相等．图１例１ 如图１，Ｍ是线段ＡＢ的中点，ＭＣ＝ＭＤ，∠ＡＭＣ＝∠ＢＭＤ．求证：ＡＣ＝ＢＤ．分析 因为线段ＡＣ和ＢＤ分别在△ＡＭＣ和△ＢＭＤ中，而且从题目所给的条件容易证明这两个三角形全等．证明 因为Ｍ是线段ＡＢ的中点，所以ＡＭ＝ＢＭ．在△ＡＭＣ与△ＢＭＤ中，因为ＡＭ＝ＢＭ，∠ＡＭＣ＝∠ＢＭＤ，ＭＣ＝ＭＤ，烅烄烆所以△ＡＭＣ≌△ＢＭＤ，可得ＡＣ＝ＢＤ．２．证明两个角相等 证明所求证的相等角是某一对全等三角形的对应角，再利用全等三角形的对应角相等，证得所求证的角对应相等．图２例２ 如图２，ＡＢ＝ＡＤ，ＢＣ＝ＤＣ．求证：∠Ｂ＝∠Ｄ．分析 要证明∠Ｂ＝∠Ｄ，如果放在三角形中，相对比较好解决一些，但是图中没有．根据已知条件，发现所给的条件均分布于ＡＣ两旁，为此，连接ＡＣ，利用ＳＳＳ可证明△ＡＢＣ≌△ＡＤＣ，从而问题得以解决．证明 连接ＡＣ．在△ＡＢＣ与△ＡＤＣ中，ＡＢ＝ＡＤ，ＢＣ＝ＤＣ，ＡＣ＝ＡＣ，烅烄烆所以△ＡＢＣ≌△ＡＤＣ，可得∠Ｂ＝∠Ｄ．３．证明两直线平行 我们知道，证明两直线平行有如下几种方法：平行直线的定义，即平面内不相交的两条直线平行；平行公理，即过不在直线一点有且只有一条直线与已知直线平行；平行公理的推论，即如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行；同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；垂直于同一条直线的两条直线平行．通过证明三角形的全等关系，可以推得角的相等关系，从而可以用来证明直线平行．·６·数理天地初中版数学基础精讲２０２０年第１２期图３ 例３ 如图３，ＡＣ和ＢＤ相交于点Ｏ，ＡＯ＝ＣＯ，ＢＯ＝ＤＯ．求证：ＡＢ∥ＣＤ．分析 ∠Ａ与∠Ｃ（∠Ｂ与∠Ｄ）是两平行线被直线ＡＣ（ＢＤ）所截形成的内错角，所以可利用内错角相等，两直线平行加以证明．而内错角又在两个三角形中，可以证明这两个三角形全等来解决本问题．证明 在△ＡＯＢ与△ＣＯＤ中，ＡＯ＝ＣＯ，∠ＡＯＢ＝∠ＣＯＤ，ＢＯ＝ＤＯ，烅烄烆所以△ＡＯＢ≌△ＣＯＤ，可得∠Ａ＝∠Ｃ，故ＡＢ∥ＣＤ．４．证明角平分线 证明角平分线所分的两个角相等，利用全等可以解决这一问题．图４例４ 如图４，在∠ＭＯＮ的两边上有两点Ａ，Ｂ．ＯＡ＝ＯＢ，点Ｐ是∠ＭＯＮ内的一点，ＡＰ＝ＢＰ．求证：射线ＯＰ平分∠ＭＯＮ．分析 要证明射线ＯＰ平分∠ＭＯＮ，需要证明∠ＡＯＰ＝∠ＢＯＰ，结合图形和题目中的条件容易证得△ＡＯＰ≌△ＢＯＰ．证明 在△ＡＯＰ与△ＢＯＰ中，ＯＡ＝ＯＢ，ＡＰ＝ＢＰ，ＯＰ＝ＯＰ，烅烄烆所以△ＡＯＰ≌△ＢＯＰ，可得∠ＡＯＰ＝∠ＢＯＰ，所以射线ＯＰ平分∠ＭＯＮ．５．证明两直线互相垂直 证明两直线所分的四个角中的两个邻补角是某对全等三角形的对应角．例５ 如图５，ＡＤ是△ＡＢＣ的中线，ＡＢ＝ＡＣ．求证：ＡＤ⊥ＢＣ．图５ 分析 要证明ＡＤ⊥ＢＣ，可以证明∠ＡＤＢ＝９０°或∠ＡＤＣ＝９０°，结合图形可知∠ＡＤＢ＋∠ＡＤＣ＝１８０°，结合题目条件可证得△ＡＤＢ≌△ＡＤＣ，因此可得∠ＡＤＢ＝∠ＡＤＣ，从而可求得 ∠ＡＤＢ＝∠ＡＤＣ＝９０°．证明 因为ＡＤ是△ＡＢＣ的中线，所以ＢＤ＝ＣＤ．在△ＡＤＢ与△ＡＤＣ中，ＢＤ＝ＣＤ，ＡＢ＝ＡＣ，ＡＤ＝ＡＤ，烅烄烆所以△ＡＤＢ≌△ＡＤＣ，可得∠ＡＤＢ＝∠ＡＤＣ．因为∠ＡＤＢ＋∠ＡＤＣ＝１８０°，所以∠ＡＤＢ＝∠ＡＤＣ＝９０°，故ＡＤ⊥ＢＣ．６．证明与中点或者中线有关的问题 图６例６ 如图６，ＡＤ是△ＡＢＣ的角平分线，ＡＢ＝ＡＣ．求证：ＡＤ是△ＡＢＣ的中线．分析 要证明ＡＤ是△ＡＢＣ的中线，就是要证明ＢＤ＝ＣＤ，结合图形及题目中的条件可证得△ＡＤＢ≌△ＡＤＣ．证明 因为ＡＤ是△ＡＢＣ的角平分线，所以∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ．在△ＡＤＢ与△ＡＤＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ，ＡＤ＝ＡＤ，烅烄烆所以△ＡＤＢ≌△ＡＤＣ，可得ＢＤ＝ＣＤ，所以ＡＤ是△ＡＢＣ的中线．此外，利用证明全等三角形还可以证得三角形的面积相等，角平分线相等，中线相等，高线相等，周长相等等，在此就不一一列举了．·７·２０２０年第１２期数学基础精讲数理天地初中版。
2023年春上海七年级下数学辅导讲义(沪教版)第12讲全等三角形的综合(讲义)解析版
第12讲 全等三角形的综合本节课通过推理和专题训练，学会运用全等三角形的判定方法去解决三角形全等的综合问题．通过添加辅助线解决相关的边角证明问题，本节的内容相对综合，难度稍大．模块一：全等三角形判定的综合知识精讲全等三角形综合主要是通过全等得出结论，进而求出相应的边和角之间的关系．对于稍复杂的会通过添加平行线，倍长中线或截长补短等方法，解决综合问题．例题解析例1.已知：AE ＝ED ，BD ＝AB ，试说明：CA ＝CD ．【难度】★【解析】在△ABE 与△DBE 中，AE ED AB BD BE BE =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ()ABE DBE SSS ∴∆≅∆，AEB DEB ∴∠=∠， AEC DEC ∴∠=∠．在△ACE 与△DCE 中，AE ED AEC DEC CE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()AEC DEC SAS ∴∆≅，CA CD ∴=（全等三角形的对应边相等）． 【总结】本题主要考查了全等三角形判定定理的应用．例2.如图，已知AB ＝DC ，AC ＝DB ，BE ＝CE ，试说明：AE ＝DE ．【难度】★【解析】在△ABC 和△DCB 中，AB DC AC DB BC CB =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ∴△ABC ≌△DCB （S.S.S ）， ∴∠ABC=∠DCB ．在△ABE 和△DCE 中，AB DC ABC DCB BE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABE ≌△DCE （S.A.S ）， ∴AE=DE （全等三角形的对应边相等）．【总结】本题主要考查了全等三角形判定定理的应用．例3.已知：AB ∥CD ，OE ＝OF ，试说明：AB ＝CD ．【难度】★【解析】//AB CD ，A D B C ∴∠=∠∠=∠，．(..)A D B CA D AOE DOF AOE DOF OE OF AOE DOF A A S AO DO∴∠=∠∠=∠∠=∠⎧⎪∆∆∠=∠⎨⎪=⎩∴∆≅∆∴=，在和中，，(..)AO DO AOB DOC A DB C AOB DOC A A S =⎧⎪∆∆∠=∠⎨⎪∠=∠⎩∴∆≅∆在和中，AB CD ∴=（全等三角形的对应边相等）． 【总结】本题主要考查了全等三角形判定定理和性质定理的综合应用．例4.如图：A 、E 、F 、C 四点在同一条直线上，AE =CF ，过E 、F 分别作BE ⊥AC 、DF ⊥AC ，且AB =CD ，AB ∥CD ．试说明：BD 平分EF ．【难度】★★【解析】∵AB ∥CD ，∴∠A=∠C ．在△AGB 和△CGD 中，A C AGB CGD AB CD ∠=∠∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩∴ΔAGB ≌ΔCGD(AAS)， ∴BG=DG ．∵BE ⊥AC ，DF ⊥AC ， ∴∠BEG=∠DFG=90°．在△BGE 和△DGF 中，BGE DGF BEG DGF BG DG ∠=∠∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩∴ΔBGE ≌ΔDGF (A .A .S )， ∴GE=GF ， 即BD 平分EF ．【总结】本题主要考查了全等三角形判定定理和性质定理的应用．例5.如图，已知AD =AE ，AB =AC ．试说明：BF =FC ．【难度】★★【解析】ABE ACD ∆∆在和中，AD AE A A AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABE ACD SAS ∴∆≅∆， B C ∴∠=∠．BD AB AD CE AC AE BD CE =-=-∴=，，．BDF CEF ∆∆在和中，DFB EFC B CBD CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(..)BDF CEF A A S ∴∆≅∆ ， .BF CF ∴= 【总结】本题主要考查了全等三角形判定定理和性质定理的应用．例6．（2018·山东济南市·七年级期中）如图，在ABC 和BCD △中，90BAC BCD ︒∠=∠=，AB AC =，CB CD =；延长CA 至点E ，使AE AC =；延长CB 至点F ，使BF BC =．连接AD ，AF ，DF ，EF ．延长DB 交EF 于点N ．（1）求证：AD AF =；（2）求证：BD EF =．【分析】（1）结合题意得：ABF BAC ACB ∠=∠+∠，ACD ACB BCD ∠=∠+∠，推导得ABF ACD ∠=∠；通过证明ABF ACD △≌△，即可完成证明；（2）根据（1）的结论ABF ACD △≌△得：BAF CAD ∠=∠；根据题意得90BAE ∠=；再通过证明AEF ABD △≌△，即可完成证明．【详解】（1） ∵ABF BAC ACB ∠=∠+∠，ACD ACB BCD ∠=∠+∠，90BAC BCD ︒∠=∠=∴ABF ACD ∠=∠∵BF BC =，CB CD =∴BF BC CD ==即AB AC ABF ACD BF CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABF ACD △≌△∴AF AD =；（2）∵90BAC ︒∠=∴18090BAE BAC ∠=-∠=结合（1）的结论ABF ACD △≌△∴BAF CAD ∠=∠∵90EAF BAE BAF BAF ∠=∠-∠=-∠，90BAD BAC CAD CAD ∠=∠-∠=-∠ ∴EAF BAD ∠=∠∵AE AC =，AB AC =∴AE AC AB ==即AF AD EAF BAD AE AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴AEF ABD △≌△∴BD EF =．【点睛】本题考查了三角形外角、全等三角形的知识；解题的关键是熟练掌握三角形外角、全等三角形的性质，从而完成求解．例7．（2020·山东东营市·七年级期中）如图，点E 在CD 上，BC 与AE 交于点F ，AB=CB ，BE=BD ，∠1=∠2．（1）求证：ABE CBD ≅△△；（2）证明：∠1=∠3．【分析】（1）先根据角的和差可得ABE CBD ∠=∠，再根据三角形全等的判定定理即可得证；（2）先根据三角形全等的性质可得A C ∠=∠，再根据对顶角相等可得AFB CFE ∠=∠，然后根据三角形的内角和定理、等量代换即可得证．【详解】（1）12∠=∠，12CBE CBE ∴∠+∠=∠+∠，即ABE CBD ∠=∠，在ABE △和CBD 中，AB CB ABE CBD BE BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABE CBD SAS ∴≅；（2）由（1）已证：ABE CBD ≅△△，A C ∴∠=∠，由对顶角相等得：AFB CFE ∠=∠，又11803180A AFB C CFE ∠=︒-∠-∠⎧⎨∠=︒-∠-∠⎩， 13∠∠∴=．【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、对顶角相等、三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握三角形全等的判定定理与性质是解题关键．例8．（2020·山东济南市·七年级期末）已知Rt △ABC 和Rt △DBE ，∠ABC ＝∠DBE ＝90°，AB ＝CB ，DB ＝EB ， CE 所在的直线交AD 于点F ．(1)如图1，若点D 在△ABC 外，点B 在AB 边上，求证：AD ＝CE ，AD ⊥CE ．(2)若将图1中的△DBE 绕点B 顺时针旋转，使点B 在△ABC 内部，如图2，求证：AD ＝CE ，AD ⊥CE ．(3)若将图1中的△DBE 绕点B 逆时针旋转，使点D 、E 都在△ABC 外部，如图3，请直出AD和CE 的数量和位置关系．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）AD CE =，AD CE ⊥【分析】（1）证明ABD CBE ≌，根据全等三角形的性质得到AD CE =，BAD BCE ∠=∠，根据垂直的定义证明即可；（2）证明ABD CBE ∠=∠，同（1）的方法证明；（3）证明ABD CBE ∠=∠，同（2）的方法证明结论．【详解】（1）证明：在ABD △和CBE △中，90DB EB ABD CBE AB CB =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩， ()ABD CBE SAS ∴△≌△AD CE ∴=，BAD BCE ∠=∠，90ABD ∠=︒，90ADB BAD ∴∠+∠=︒，90ADB BCE ∴∠+∠=︒，90CFD ∴∠=︒，AD CE ∴⊥，AD CE ∴=，AD CE ⊥；（2）证明：ABC DBE ∠=∠，ABC ABE DBE ABE ∴∠-∠=∠-∠，即ABD CBE ∠=∠，在ABD △和CBE △中，DB EB ABD CBE AB CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABD CBE SAS ∴△≌△AD CE ∴=，BAD BCE ∠=∠，90ABC ∠=︒，90BOC BAE ∴∠+∠=︒，BOC AOF ∠=∠，90BAD AOF ∴∠+∠=︒，90AFO ∴∠=︒，AD CE ∴⊥，AD CE ∴=，AD CE ⊥；（3）AD CE =，AD CE ⊥；理由如下：ABC DBE ∠=∠，ABC ABE DBE ABE ∴∠+∠=∠+∠，即ABD CBE ∠=∠，在ABD △和CBE △中，DB EB ABD CBE AB CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()ABD CBE SAS ∴△≌△AD CE ∴=，BAD BCE ∠=∠，90ABC ∠=︒，90BOC BAE ∴∠+∠=︒，BOC AOF ∠=∠，90BAD AOF ∴∠+∠=︒，90AFO ∴∠=︒，AD CE ∴⊥，AD CE ∴=，AD CE ⊥．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、旋转变换的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．例9．（2020·山东枣庄市·七年级期末）如图，在ABC 中，D 为AB 的中点，10AB AC cm ==，8BC cm =．动点P 从点B 出发，沿BC 方向以3/cm s 的速度向点C 运动；同时动点Q 从点C 出发，沿CA 方向以3/cm s 的速度向点A 运动，运动时间是ts ．（1）在运动过程中，当点C 位于线段PQ 的垂直平分线上时，求出t 的值；（2）在运动过程中，当BPD CQP ≌时，求出t 的值；（3）是否存在某一时刻t ，使BPD CPQ ≌？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）43t =时，点C 位于线段PQ 的垂直平分线上；（2）1t ＝；（3）不存在，理由见解析． 【分析】（1）根据题意求出BP ，CQ ，结合图形用含t 的代数式表示CP 的长度，根据线段垂直平分线的性质得到CP ＝CQ ，列式计算即可；（2）根据全等三角形的对应边相等列式计算；（3）根据全等三角形的对应边相等列式计算，判断即可．【详解】解：（1）由题意得3BP CQ t ＝＝，则83CP t -＝，当点C 位于线段PQ 的垂直平分线上时，CP CQ ＝，∴833t t -＝， 解得，43t =， 则当43t =时，点C 位于线段PQ 的垂直平分线上； （2）∵D 为AB 的中点，10AB AC ＝＝，∴5BD ＝，∵BPD CQP ≌，∴BD CP ＝，∴835t -＝，解得，1t ＝， 则当BPD CQP ≌时，1t ＝； （3）不存在，∵BPD CPQ △≌△，∴BD CQ BP CP ＝，＝，则35383t t t -＝，＝ 解得，53t =，43t =， ∴不存在某一时刻t ，使BPD CPQ △≌△．【点睛】本题考查的是几何动点运动问题、全等三角形的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．模块二：添加辅助线构造全等三角形知识精讲1、 倍长中线法；2、 添加平行线构造全等三角形；3、 截长补短构造全等的三角形；4、 图形的运动构造全等三角形．例题解析例1．（2018·江西吉安市·七年级期中）如图，D 是△ABC 的BC 边上的中点，连接AD ，并延长到点E 使DE=AD ，再连接CE. 若AC=10，AB=6，求中线AD 的取值范围.【答案】2＜AD ＜8.【分析】先证△ABD ≌△ECD(SAS),证得4＜AE ＜16，由此即可求得AD 的取值范围.【详解】∵D 是BC 边的中点，∴BD=CD.又∠ADB 与∠EDC 是对顶角，∴∠ADB=∠EDC.在△ABD 和△ECD 中，ADB EDC BD CD,AD ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△ECD(SAS),∴CE=AB=6.在△ACE 中，AE ＞AC-CE,且AE ＜AC+CE,∴4＜AE ＜16，即4＜2AD ＜16，∴2＜AD ＜8.【点睛】此题考查三角形的中线的性质，根据全等证得中线的2倍线段AE 的取值范围是解题的关键.例2．（2019·沂源县中庄中学七年级月考）仔细阅读下面的解题过程，并完成填空：如图13，AD 为△ABC 的中线，已知AD=4cm,试确定AB+AC 的取值范围.解：延长AD 到E,使DE = AD,连接BE.因为AD 为△ABC 的中线，所以BD=CD ．在△ACD和△EBD中，因为AD=DE,∠ADC=∠EDB,CD=BD，所以△ACD≌△EBD（__________). 所以BE=AC(_____________________).因为AB+BE>AE(_____________________)，所以AB+AC>AE.因为AE=2AD=8cm，所以AB+AC>_______cm.【分析】根据三角形全等的判定与性质以及三角形的内角和，即可得出答案.【详解】解：延长AD到E,使DE = AD,连接BE.因为AD为△ABC的中线，所以BD=CD.在△ACD和△EBD中，因为AD=DE,∠ADC=∠EDB,CD=BD，所以△ACD≌△EBD（SAS).所以BE=AC(全等三角形的性质).因为AB+BE>AE(两边之和大于第三边)，所以AB+AC>AE.因为AE=2AD=8cm，所以AB+AC>8cm.【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质以及三角形边的性质，需要熟练掌握各种性质与定理.例3．（2020·辽宁锦州市·）在ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD ⊥MN于D，BE⊥MN于E．（1）如图1所示位置时判断ADC与CEB是否全等，并说明理由；（2）如图2所示位置时判断ADC与CEB是否全等，并说明理由．【答案】（1）全等，见解析；（2）全等，见解析【分析】（1）首先根据同角的余角证明∠DAC ＝∠BCE ，再利用AAS 定理证明△DAC ≌△ECB ；（2）首先根据同角的余角证明∠DAC ＝∠BCE ，进而利用HL 定理证明△ACD ≌△CBE ．【详解】（1）如图1，全等，理由：∵∠ACB ＝90°，AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E ，∴∠DAC+∠DCA ＝∠BCE+∠DCA ，∴∠DAC ＝∠BCE ，在△DAC 与△ECB 中，∵90DAC BCE ADC CEB AC BC ︒∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，∴△DAC ≌△ECB （AAS ）；（2）如图2，全等，理由：∵∠ACB ＝90°，AD ⊥MN ，∴∠DAC+∠ACD ＝∠ACD+∠BCE ，∴∠DAC ＝∠BCE ，在△ACD 与△CBE 中，∵DAC ECB ADC CEB AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△CBE （AAS ）．【点睛】本题考查全等三角形的判定及其性质定理的同时，还渗透了对旋转变换的考查；解题的关键是灵活运用全等三角形的判定定理解题．4．（2020·辽宁丹东市·七年级期末）已知：如图1，在ABC ∆和ADE ∆中，C E ∠=∠，CAE DAB ∠=∠，BC DE =．（1）请说明ABC ADE ∆∆≌．（2）如图2，连接CE 和BD ，DE ，AD 与BC 分别交于点M 和N ，56DMB ∠=︒，求ACE ∠的度数．（3）在（2）的条件下，若CN EM =，请直接写出CBA ∠的度数．【答案】（1）证明见解析；（2）∠ACE =62°；（3）∠CBA =6°．【分析】(1)根据已知条件可以确定∠CAB =∠EAD ，结合已知条件，用AAS 可判定△ABC ≌△ADE ；(2)由(1)中△ABC ≌△ADE 可得∠CBA=∠EDA ,AC=AE ，在△MND 和△ANB 中，用三角形内角和定理由∠MND=∠ANB 可得∠DAB=∠DMB=56°，即∠CAE =∠DAB=56°，由AC=AE ，可得∠ACE =∠AEC=1(18056)622︒-︒=︒； (3) 连接AM ，先证NCA MEA ≅(SAS),得到AM=AN,EAM CAN ∠=∠,进而可得EAC MAN ∠=∠,由(2)可知=56EAC MAN ︒∠=∠,根据等腰三角形内角和可得ANM ∠= 1(18056)622︒︒︒-=，由三角形外角定理可得CBA ANM DAB ∠=∠-∠=62︒-56︒= 6︒.【详解】解：（1）∵∠CAE =∠DAB ，∴∠CAE +∠CAD =∠DAB +∠CAD ，即∠CAB =∠EAD ，在△ABC 和△ADE 中，C E CAB EAD BC DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△ADE （AAS ），（2）∵△ABC ≌△ADE ，∴∠CBA=∠EDA ,AC=AE ，在△MND 和△ANB 中，∵∠EDA +∠MND+∠DMB =180︒，∠CBA +∠ANB +∠DAB =180︒，又∵ ∠MND=∠ANB ，∴ ∠DAB=∠DMB=56︒，∴∠CAE =∠DAB=56︒，∵AC=AE ，∴∠ACE =∠AEC=1(18056)622︒︒︒-=， ∴∠ACE =62︒，（3）∠CBA=6︒，如图所示，连接AM ，NCA MEA ∠=∠,CN=EM,CA=EA,∴NCA MEA ≅(SAS),∴AM=AN,EAM CAN ∠=∠,∴EAM CAM ∠-∠=CAN CAM ∠-∠即EAC MAN ∠=∠,由(2)可得：=56EAC MAN ︒∠=∠,∴ANM ∠=1(18056)622︒︒︒-=, ∠CAE =∠DAB=56︒∴CBA ANM DAB ∠=∠-∠=62︒-56︒= 6︒.【点睛】本题综合考查了三角形的相关定理与证明，较为综合，熟练掌握三角形的内角和定理，外角定理，全等三角形的判定与性质是解题的关键.例5．（2020·山东济南市·七年级期中）在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于D ， BE ⊥MN 于E ．(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证：△ADC ≌△CEB ；(2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，试问DE 、AD 、BE 的等量关系?并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）DE=AD-BE ，理由见解析【分析】（1）由已知推出∠ADC=∠BEC=90°，因为∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，推出∠DAC=∠BCE ，根据AAS 即可得到答案；（2）与（1）证法类似可证出∠ACD=∠EBC ，能推出△ADC ≌△CEB ，得到AD=CE ，CD=BE ，即可得到答案．【详解】解：（1）证明：如图1，∵AD ⊥DE ，BE ⊥DE ，∴∠ADC=∠BEC=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠BCE ，在△ADC 和△CEB 中，CDA BEC DAC ECB AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADC ≌△CEB （AAS ）；（2）结论：DE=AD-BE ．理由：如图2，∵BE ⊥EC ，AD ⊥CE ，∴∠ADC=∠BEC=90°，∴∠EBC+∠ECB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ECB+∠ACE=90°，∴∠ACD=∠EBC ，在△ADC 和△CEB 中，ACD CBE ADC BEC AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADC ≌△CEB （AAS ），∴AD=CE ，CD=BE ，∴DE=EC-CD=AD-BE ．【点睛】本题主要考查了余角的性质，全等三角形的性质和判定等知识点，能根据已知证明△ACD ≌△CBE 是解此题的关键，题型较好，综合性比较强．6．（2018·四川达州市·七年级期末）如图，在ABC ∆中，AD BC ⊥，垂足为D ，E 为BD 上的一点，EG AD ，分别交AB 和CA 的延长线于点F ，G ，AFG G ∠=∠.（1）试说明ABD ACD ∆≅∆；（2）若40B ∠=︒，求G ∠和FAG ∠的大小.【答案】（1）见解析（2）50°，80°【分析】（1）根据题意利用角边角判断定理，证明ABD ACD ∆≅∆即可.（2）若40B ∠=︒，再证明50G AFG ∠=∠=︒，即可计算FAG ∠的度数.【详解】（1）∵AD EG ，∴AFG BAD ∠=∠，G DAC ∠=∠，又∵G AFG ∠=∠，∴DAC DAB ∠=∠，又∵AD BC ⊥，∴90ADB ADC ∠=∠=︒，又∵AD DA =，∴ABD ACD ∆≅∆.（2）∵AD BC ⊥，∴90ADB ∠=︒，又∵AD EG ，∴90FEB ∠=︒，又∵40B ∠=︒，∴50EFB ∠=︒，又∵EFB AFG ∠=∠，∴50G AFG ∠=∠=︒，∴80FAG ∠=︒.【点睛】本题主要考查三角形全等的证明，关键在于熟练的利用三角形全等的判定定理. 例7．（2019·全国七年级单元测试）在直角三角形ABC 中，90,30︒︒∠=∠=ACB BAC ，分别以AB 、AC 为边在ABC ∆外侧作等边ABE ∆和等边ACD ∆，DE 交AB 于点F ，求证：=EF FD .【分析】过点E 作EG AB ⊥于点G ，则有1122AG BG AE AB ===，再证 ()SAS ACB EGA ≅，得到EG AC =.从而得到90DAF DAC CAB ∠=∠+∠=︒，所以(AAS)ADF GEF ≅，即可完成证明。
全等三角形考点汇总
全等三角形全等三角形的概念：经过翻转、平移、旋转后，能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 全等三角形的性质：1. 对应边和对应角完全相等2. 能完全重合的顶点叫做对应顶点3. 全等三角形的周长和面积相等（反之不成立）4. 对应边上的高对应相等，对应边上的中线相等，对应角的角平分线相等 三角形全等判定定理1. 三边对应相等的三角形是全等三角形（SSS 边边边）2. 两边及其夹角对应相等的三角形是全等三角形（SAS 边角边)3. 两角及其夹边对应相等的三角形是全等三角形（ASA 角边角)4. 两角及其一角的对边对应相等的三角形是全等三角形（AAS 角角边)5. 在一对直角三角形中，斜边及一条直角边对应相等是全等三角形（HL) 备注：1）判定三角形全等必须有一组对应边相等2）三角形全等中，两边对应相等，一角，必须是夹角才全等 全等三角形的证明思路SAS HL SSS AAS SAS ASAAAS ASA AAS ⎧→⎧⎪⎪→⎨⎪⎪⎪→⎩⎪⎪→→⎧⎪⎪→⎧⎪⎪⎨⎨⎪→⎨⎪⎪⎪⎪⎪→⎩⎩⎪⎪→⎧⎪⎨→⎪⎩⎪⎩找夹角已知两边找直角找另一边边为角的对边找任一角找夹角的另一边已知一边一角边为角的邻边找夹边的另一角找边的对角找夹边已知两角找任一边专题一考点一 全等图形识别略定义：经过翻转 平移可以完全重合的图形才是全等图形考点二 利用全等图形求正方形网格中角度之和例题1：（2021·全国·八年级专题练习）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠3-∠2=（ ）A．30°B．45°C．60°D．135°+= 2.（2022·山东·济南市槐荫区教育教学研究中心二模）如图，在44⨯的正方形网格中，求αβ______度．3.（2020·江苏省灌云高级中学城西分校八年级阶段练习）如图，由4个相同的小正方形组成的格点图中，∠1+∠2+∠3=________度．考点三全等三角形的概念略考点四全等三角形的性质1.（2022·四川省南充市白塔中学八年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（-12，5），过点A作AB∠x轴于B，C是x轴负半轴上一动点，D是y轴正半轴上一动点，若始终保持CD=OA，且使∠ABO与∠OCD全等，则点D坐标为__________________．2.（2022·云南昭通·八年级期末）如图，把∠ABC沿线段DE折叠，使点B落在点F处；若∥，∠A=70°，AB=AC，则∠CEF的度数为（）AC DEA．55°B．60°C．65°D．70°3.（2022·广西·西林县民族初中八年级期末）如图，△ABC∠∠ADE，若∠BAE=135°，∠DAC=55°，那么∠CFE的度数是_________．4.（2022·辽宁·东北育才学校七年级期中）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=16．点P从A点出发沿A—C—B路径向终点运动，终点为B点；点Q从B点出发沿B—C—A路径向终点运动，终点为A点．点P和Q分别以2和6的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过P和Q作PE∠l于E，QF∠l于F．若要△PEC 与△QFC全等，则点P的运动时间为_______．专题二 全等三角形的判定（证明） 考点一 用SAS 证明三角形全等1.（2022·四川省南充市白塔中学八年级阶段练习）如图，点B 、C 、E 、F 共线，AB =DC ，∠B =∠C ，BF =CE ．求证：∠ABE ∠∠DCF ．考点二 用ASA 证明三角形全等1.（2022·广西百色·二模）如图，在△ABC 和△DCB 中，∠A ＝∠D ，AC 和DB 相交于点O ，OA ＝OD ．(1)AB ＝DC ； (2)△ABC ∠∠DCB ．2.（2022·贵州遵义·八年级期末）如图，已知AB DE ∥，ACB D ∠=∠，AC DE =．(1)求证：ABC EAD ≅．(2)若60BCE ∠=︒，求BAD ∠的度数．考点三 用AAS 证明三角形全等1.（2022·福建省福州第一中学模拟预测）如图，已知A ，F ，E ，C 在同一直线上，AB ∠CD ，∠ABE =∠CDF ，AF =CE ．求证：AB =CD ．考点四 用SSS 证明三角形全等1.（2021·河南省实验中学七年级期中）如图，在线段BC 上有两点E ，F ，在线段CB 的异侧有两点A ，D ，且满足AB CD =，AE DF =，CE BF =，连接AF ；(1)B 与C ∠相等吗？请说明理由．(2)若40B ∠=︒，20∠=DFC °，AF 平分BAE ∠时，求BAF ∠的度数．2.（2022·山东济宁·八年级期末）如图，在四边形ABCD 中，CB AB ⊥于点B ，CD AD ⊥于点D ，点E ，F 分别在AB ，AD 上，AE AF =，CE CF =．(1)若8AE =，6CD =，求四边形AECF 的面积；(2)猜想∠DAB ，∠ECF ，∠DFC 三者之间的数量关系，并证明你的猜想．考点五 用HL 证明三角形全等1.（2022·四川省南充市白塔中学八年级阶段练习）如图，AB =CD ，AE ∠BC 于E ，DF ∠BC 于F ，且BF =CE ．(1)求证AE=DF；(2)判定AB和CD的位置关系，并说明理由．2.（2022·安徽安庆·八年级期末）如图，AD，BC相交于点O，AD=BC，∠C=∠D=90°．(1)求证：∠ACB∠∠BDA；(2)若∠CAB=54°，求∠CAO的度数．2.（2022·江西·永丰县恩江中学八年级阶段练习）如图，在∠ABC中，BC=AB，∠ABC=90°，F 为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF．(1)求证：Rt∠ABE∠Rt∠CBF；(2)若∠CAE=30°，求∠ACF的度数．全等三角形综合和常见全等模型汇总1.全等三角形中的平移模型几种常见全等三角形基本图形（平移）1.如图所示，AB∥DE，AC∥DF，BE=CF，求证AB=DE.2.如图，点O是线段AB的中点,OD∥BC且OD=BC，已知∠ADO=34°，∠B=67°，求∠A的度数．2.全等三角形中的轴对称模型1.如图，过等边△ABC的顶点A作线段AD，若∠DAB=20°，则∠COD的度数是（）A,100°B,80°C,60°D,40°2.在等边△ABC,点E是AB上的动点，点E与点A，B不重合，点D在CB的延长线上，且EC=ED。
第10讲 认识三角形与图形全等-七年级数学下册同步精品讲义
第10讲认识三角形与图形全等目标导航知识精讲知识点01三角形（1）三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．组成三角形的线段叫做三角形的边．相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点．相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角．（2）按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）．（3）三角形的主要线段：角平分线、中线、高．（4）三角形具有稳定性．【知识拓展1】（2021秋•阳新县期末）如图表示的是三角形的分类，则正确的表示是（）A．M表示三边均不相等的三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形B．M表示三边均不相等的三角形，N表示等边三角形，P表示等腰三角形C．M表示等腰三角形，N表示等边三角形，P表示三边均不相等的三角形D．M表示等边三角形，N表示等腰三角形，P表示三边均不相等的三角形【即学即练1】（2021秋•静安区期末）下列说法错误的是（）A．任意一个直角三角形都可以被分割成两个等腰三角形B．任意一个等腰三角形都可以被分割成两个等腰三角形C．任意一个直角三角形都可以被分割成两个直角三角形D．任意一个等腰三角形都可以被分割成两个直角三角形【即学即练2】（2021秋•双牌县期末）下面是小强用三根火柴组成的图形，其中符合三角形概念的是（）A．B．C．D．知识点02三角形的角平分线、中线和高（1）从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．（2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．（3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．（4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段．（5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．【知识拓展2】（2021秋•两江新区期末）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，AD为BC边上的中线，则△ABD与△ACD的周长之差为（）A．2B．3C．4D．5【即学即练1】（2021秋•沙坪坝区校级期末）数学课上，同学们在作△ABC中AC边上的高时，共画出下列四种图形，其中正确的是（）A．B．C．D．【即学即练2】（2021秋•思明区校级期末）如图，AD，BE，CF是△ABC的三条中线，则下列结论正确的是（）A．BC＝2AD B．AB＝2AF C．AD＝CD D．BE＝CF知识点03三角形的面积（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△＝×底×高．（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．【知识拓展3】（2021秋•正阳县期末）如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别是BC、AD、CE的中点，且△ABC的面积为24，则△BEF的面积是（）A．2B．4C．6D．8【即学即练1】（2021秋•同安区期末）如图，S△ABD＝S△ACD，已知AB＝8cm，AC＝5cm，那么△ABD和△ACD的周长差是cm．【即学即练2】（2021秋•嘉鱼县期末）如图，在△ABC中，AD，AE分别是边BC上的高和中线，AD＝2cm，△ACE的面积是3cm2，则BC＝cm．知识点04三角形的重心（1）三角形的重心是三角形三边中线的交点．（2）重心的性质：①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等．③重心到三角形3个顶点距离的和最小．（等边三角形）【知识拓展4】（2021秋•泉州期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点G是△ABC的重心，GE⊥AC，垂足为E，若GE＝3，则线段CB的长度为（）A．10B．9C．6D．【即学即练1】（2021秋•莱州市期末）如图，点O是△ABC的重心，连接AO并延长交BC于点D．若BC ＝6，则CD＝．【即学即练2】（2021秋•广丰区期末）三角形的中线把三角形分成了面积相等的两部分，而三条中线交于一点，这一点叫此三角形的心．知识点05三角形三边关系（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．（3）三角形的两边差小于第三边．（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．【知识拓展5】（2021秋•樊城区期末）若线段AP，BP，AB满足AP+BP＞AB，则关于P点的位置，下列说法正确的是（）A．P点一定在直线AB上B．P点一定在直线AB外C．P点一定在线段AB上D．P点一定在线段AB外【即学即练1】（2021秋•宜春期末）下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A．3，4，8B．5，6，11C．5，6，10D．4，5，9【即学即练2】（2021秋•岑溪市期末）已知一个三角形有两边长分别为3和9，则它的第三边长可能是（）A．4B．5C．6D．7知识点06三角形内角和定理（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．（3）三角形内角和定理的证明证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．（4）三角形内角和定理的应用主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．【知识拓展6】（2021秋•大余县期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE，BF分别是∠BAC，∠ABC的平分线．∠BAC＝50°，∠ABC＝60°．则∠DAE+∠ACD等于（）A．75°B．80°C．85°D．90°【即学即练1】（2021秋•铅山县期末）如图，BD平分∠ABC，CD平分∠ACD，若∠A＝80°，则∠D的度数为（）A．100°B．120°C．130°D．140°【即学即练2】（2021秋•连江县期末）如图，已知△ABC中，BD，CE分别是△ABC的角平分线，BD与CE交于点O，如果设∠A＝n°（0＜n＜180），那么∠COD的度数是（）A．45°+n°B．90°C．90°﹣D．180°﹣n°知识点07全等图形（1）全等形的概念能够完全重合的两个图形叫做全等形．（2）全等三角形能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．（3）三角形全等的符号“全等”用符号“≌”表示．注意：在记两个三角形全等时，通常把对应顶点写在对应位置上．（4）对应顶点、对应边、对应角把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角．【知识拓展1】（2021秋•潜江期末）下列说法正确的是（）A．两个面积相等的图形一定是全等图形B．两个全等图形形状一定相同C．两个周长相等的图形一定是全等图形D．两个正三角形一定是全等图形【即学即练1】图中所示的网格是正方形网格，则下列关系正确的是（）A．∠1＞∠2B．∠1＜∠2C．∠1+∠2＝90°D．∠1+∠2＝180°【即学即练2】（2021秋•辛集市期末）观察下面的6组图形，其中是全等图形的有（）A．3组B．4组C．5组D．6组知识点08直角三角形的性质（1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形．（2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）．性质2：在直角三角形中，两个锐角互余．性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．【知识拓展8】（2021秋•富川县期末）在一个直角三角形中，一个锐角等于56°，则另一个锐角的度数是（）A．26°B．34°C．36°D．44°【即学即练1】（2021秋•越城区期末）如图，在△ABC中，点P在边BC上（不与点B，点C重合），（）A．若∠BAC＝90°，∠BAP＝∠B，则AC＝PCB．若∠BAC＝90°，∠BAP＝∠C，则AP⊥BCC．若AP⊥BC，PB＝PC，则∠BAC＝90°D．若PB＝PC，∠BAP＝∠CAP，则∠BAC＝90°【即学即练2】（2021秋•嘉鱼县期末）在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝40°，则∠C ＝度．能力拓展【考点1】：认识三角形例题1．（2021·石家庄市第四十一中学七年级期末）若三角形的两边长是2cm 和5cm，第三边长的数值是奇数，则这个三角形的周长是（）A．9cm B．12cm C．10cm D．14cm【变式1】（2021·山东烟台市·七年级期末）用直角三角板作ABC的高，下列作法正确的是（）A．B．C．D．【变式2】（2021·浙江温州市·七年级期末）如图，三角形ABC 中，AC BC ⊥，CD AB ⊥于点D ，则下列线段关系成立的是（ ）A ．AD BC AB +< B ．BD AC AB +< C ．2BC AC CD +>D ． AC BC AB +<例题2．（2020·辽宁锦州市·七年级期末）已知三角形ABC ，且AB =3厘米，BC =2厘米，A 、C 两点间的距离为x 厘米，那么x 的取值范围是________．【变式1】（2021·广西南宁市·七年级期末）现有一张边长为1的正方形纸片，第一次沿着线段1AP 剪开，留下三角形1ABP ；第二次取1BP 的中点2P ，再沿着2AP 剪开，留下三角形2ABP ；第三次取2BP 的中点3P ，再沿着3AP 剪开，留下三角形3ABP ；…，如此进行下去，在第n 次后，被剪去图形的面积之和是________．【变式2】（2020·浙江杭州市·七年级期末）已知直线//m n ，将一块含有45︒角的直角三角板ABC 按如图方式放置，其中斜边BC 与直线n 相交于点D ．若124︒∠=，则2∠的度数为_______．例3．（2021·兰州市第三十六中学七年级期末）把两个形状相同，大小不同的三角板如图所示拼在一起，已知B DAC x ∠=∠=，2C BAD x ∠=∠=． （1）求C ∠的度数；（2）如图，如果ACF BCF ∠=∠，试比较AEC ∠和BFC ∠的大小．【变式1】（2021·浙江台州市·七年级期末）如图，在平面内有三个点、、A B C（1）根据下列语句画图： ①连接AB ； ②作直线BC ；③作射线AC ，在AC 的延长线上取一点D 使得CD CB =，连接BD ； （2）比较,,AB BD AB BC CD AD +++的大小关系．【变式2】（2021·四川绵阳市·东辰国际学校七年级期末）如图，两个形状、大小完全相同的含有30°、60°的直角三角板如图①放置，PA、PB与直线MN重合，且三角板PAC、三角板PBD均可绕点P逆时针旋转（1）试说明∠DPC=90°；（2）如图②，若三角板PBD保持不动，三角板PAC绕点P逆时针旋转旋转一定角度，PF平分∠APD，PE 平分∠CPD，求∠EPF；（3）如图③．在图①基础上，若三角板PAC开始绕点P逆时针旋转，转速为5°/秒，同时三角板PBD绕点P逆时针旋转，转速为1°/秒，（当PA转到与PM重合时，两三角板都停止转动），在旋转过程中，PC、PB、PD三条射线中，当其中一条射线平分另两条射线的夹角时，请求出旋转的时间．【考点2】：图形的全等例题1．（2001·浙江省杭州第十中学七年级期末）如图所示，某同学将一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（）A．带①去B．带②去C．带③去D．带①②去【变式1】（2020·四川成都市·七年级期末）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3=（）A ．90°B ．120°C ．135°D ．150°【变式2】（2020·山东泰安市·七年级期末）下列说法正确的是( )A ．全等三角形是指形状相同的两个三角形B ．全等三角形是指面积相等的两个三角形C ．两个等边三角形是全等三角形D ．全等三角形是指两个能完全重合的三角形例题2．（2021·湖北黄石市·七年级期末）如图，是一个33⨯的正方形网格，则∠1+∠2+∠3+∠4=________．【变式1】（2020·重庆七年级期末）如图，图中由实线围成的图形与①是全等形的有______．（填番号）【变式2】（2020·山西临汾市·七年级期末）如图，ABC ADE ≅，如果5,7,6AB cm BC cm AC cm ===，那么DE 的长是______．例题3．（2020·江苏苏州市·七年级期末）如图，用三种不同的方法沿网格线把正方形分割成4个全等的图形（三种方法得到的图形相互间不全等）．【变式1】（2018·全国七年级期末）如图，在△ABC和△DBC中，∠ACB=∠DBC=90°，E是BC的中点，DE⊥AB，垂足为点F，且AB=DE．（1）求证：BD＝BC；（2）若BD＝6cm，求AC的长．【变式2】（2019·山东青岛市·七年级期末）图①，图②都是由一个正方形和一个等腰直角三角形组成的图形.（1）用实线把图①分割成六个全等图形；（2）用实线把图②分割成四个全等图形.分层提分题组A 基础过关练一．选择题（共6小题）1．（2021秋•思明区校级期末）如图，CM是△ABC的中线，AM＝4cm，则BM的长为（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm2．（2021秋•东城区校级期末）如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AC于点E，DE＝4，AC＝6，那么△ACD的面积是（）A．10B．12C．16D．243．（2021秋•玉林期末）下列长度的三条线段能构成三角形的是（）A．3，4，8B．5，6，11C．5，5，10D．3，7，94．（2021秋•全椒县期末）如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠BAC＝50°，∠ABC＝60°，则∠DAE＝（）A．5°B．4°C．8°D．6°5．（2021秋•无为市期末）如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则∠1+∠2＝（）A．60°B．90°C．100°D．120°6．（2021秋•望城区期末）在一个直角三角形中，有一个锐角等于25°，则另一个锐角的度数是（）A．25°B．55°C．65°D．75°二．填空题（共8小题）7．（2021秋•岚皋县校级月考）图中以AE为边的三角形共有个．8．（2021秋•天河区期末）在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多3cm，已知AB＝4cm，则AC的长为cm．9．（2021秋•定海区校级月考）如图，△ABC中，D是BC边上的一点（不与B，C重合），点E，F是线段AD的三等分点，记△BDF的面积为S1，△ACE的面积为S2，若S1+S2＝3，则△ABC的面积为．10．（2021秋•港南区期中）如图，BD、CE是△ABC的高，若AB＝4，AC＝6，CE＝5，则BD的长度是．11．（2021秋•广丰区期末）三角形的中线把三角形分成了面积相等的两部分，而三条中线交于一点，这一点叫此三角形的心．12．（2021秋•巢湖市期末）△ABC的两边长分别是2和5，且第三边为奇数，则第三边长为．13．（2021秋•包河区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，将△BDC沿CD折叠，点B落在AC边上的点B′处，若∠ADB′＝20°，则∠A的度数是．14．（2021秋•大连月考）直角三角形中两个锐角的差为20°，则较小的锐角度数是°．三．解答题（共3小题）15．（2021秋•启东市期末）如图，在△ABC中，∠CAE＝18°，∠C＝42°，∠CBD＝27°．（1）求∠AFB的度数；（2）若∠BAF＝2∠ABF，求∠BAF的度数．16．（2021秋•双台子区期末）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，AE⊥CD，垂足为F，交BC于点E，若∠BAE＝33°，∠B＝37°，求∠EAC的度数．17．（2021秋•临漳县期末）阅读并填空将三角尺（△MPN，∠MPN＝90°）放置在△ABC上（点P在△ABC 内），如图1所示，三角尺的两边PM、PN恰好经过点B和点C．我们来探究：∠ABP与∠ACP是否存在某种数量关系．（1）特例探索：若∠A＝50°，则∠PBC+∠PCB＝度；∠ABP+∠ACP＝度；（2）类比探索：∠ABP、∠ACP、∠A的关系是；（3）变式探索：如图2所示，改变三角尺的位置，使点P在△ABC外，三角尺的两边PM、PN仍恰好经过点B和点C，则∠ABP、∠ACP、∠A的关系是．题组B 能力提升练一．选择题（共7小题）1．（2021秋•兴城市期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝70°，点D、E分别在AB、AC上，将△ADE沿DE折叠，使点A落在点F处．则∠BDF﹣∠CEF＝（）A．20°B．30°C．40°D．50°2．（2021秋•椒江区期末）如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝70°，CD是∠ACB的平分线，CH⊥AB 于点H，则∠DCH的度数是（）A．5°B．10°C．15°D．20°3．（2021秋•开州区期末）如图，在△ABC中，D在BC的延长线上，过D作DF⊥AB于F，交AC于E．已知∠A＝35°，∠ECD＝85°，则∠D＝（）A．30°B．40°C．45°D．50°4．（2021秋•忠县期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点D是AC上一点，将△ABD 沿线段BD翻折，使得点A落在A'处，若∠A'BC＝30°，则∠CBD＝（）A．5°B．10°C．15°D．20°5．（2021秋•密山市期末）如图，AD是△ABC的中线，CE是△ACD的中线，DF是△CDE的中线，若S△DEF＝4，则S△ABC等于（）A．16B．24C．32D．306．（2021秋•潮安区期末）如图，AD是△ABC的中线，点E是AD的中点，连接BE、CE，若△ABC的面积是8，则阴影部分的面积为（）A．4B．2C．6D．87．（2021秋•江宁区期中）如图，在四边形ABCD与四边形A'B'C'D'中，AB＝A'B'，∠B＝∠B'，BC＝B'C'．下列条件中：①∠A＝∠A'，AD＝A'D'；②∠A＝∠A'，CD＝C'D'；③∠A＝∠A'，∠D＝∠D'；④AD＝A'D'，CD＝C'D'．添加上述条件中的其中一个，可使四边形ABCD≌四边形A'B'C'D'．上述条件中符合要求的有（）A．①②③B．①③④C．①④D．①②③④二．填空题（共8小题）8．（2021秋•博兴县期末）如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC于点D，若∠BAC＝76°，∠C＝64°，则∠DAE的度数是．9．（2021秋•平罗县期末）如图，△ABC中，D在BC的延长线上，过D作DF⊥AB于F，交AC于E．已知∠A＝35°，∠ECD＝85°，则∠D＝．10．（2021秋•博白县期末）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，且A'B平分∠ABC，A'C 平分∠ACB，若∠BA'C＝120°，则∠1+∠2的度数为．11．（2020秋•十堰期末）如图，在2×2的方格纸中，∠1+∠2等于．12．（2021秋•鹿城区校级月考）由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示，连接BE并延长交AD于点F，若AG＝2BG，则＝．13．（2021春•东阳市期末）如图，把一张长方形纸板裁去两个边长为3cm的小正方形和两个全等的小长方形，再把剩余部分（阴影部分）四周折起，恰好做成一个有底有盖的长方体纸盒，纸盒底面长方形的长为3kcm，宽为2kcm，则：（1）裁去的每个小长方形面积为cm2．（用k的代数式表示）（2）若长方体纸盒的表面积是底面积的正整数倍，则正整数k的值为．14．（2021秋•湖州期末）如图，在△ABC中，AE是△ABC的角平分线，D是AE延长线上一点，DH⊥BC 于点H．若∠B＝30°，∠C＝50°，则∠EDH＝．15．（2021秋•山亭区期末）定义：当三角形中一个内角α是另一个内角的两倍时，我们称此三角形为“倍角三角形”，其中α称为“倍角”，如果一个“倍角三角形”的一个内角为99°，那么倍角α的度数是．三．解答题（共4小题）16．（2021秋•建昌县期末）如图，AD是∠BAC的平分线，CE是△ADC边AD上的高，若∠BAC＝70°，∠ECD＝20°．求∠ACB的度数．17．（2021秋•沙依巴克区校级期末）如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝80°，AD⊥BC于D，且AE 平分∠BAC，求∠EAD的度数．18．（2021秋•南昌期末）如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC交BC于点E．（1）若∠C＝40°，求∠DAE的度数；（2）若EF⊥AE，交AC于点F，请补全图形，并在第（1）问的条件下，求∠FEC的度数．19．（2021秋•邗江区期末）点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC＝120°，一直角三角板的直角顶点放在点O处．（1）如图1，将三角板DOE的一边OD与射线OB重合时，则∠COD＝∠COE；（2）如图2，将图1中的三角板DOE绕点O逆时针旋转一定角度，当OC恰好是∠BOE的角平分线时，求∠COD的度数；（3）将图1中的三角尺DOE绕点O逆时针旋转旋转一周，设旋转的角度为α度，在旋转的过程中，能否使∠AOE＝3∠COD？若能，求出α的度数；若不能，说明理由．题组C 培优拔尖练一．选择题（共3小题）1．（2021秋•拱墅区校级月考）如图，O是△ABC的重心，过O的一条直线分别与AB、AC相交于G、H（均不与△ABC的顶点重合），S四边形BCHG，S△AGH分别表示四边形BCHG和△AGH的面积，则的最大值是（）A．B．1C．D．2．（2021春•九龙坡区校级期末）如图，在△ABC中，延长CA至点F，使得AF＝CA，延长AB至点D，使得BD＝2AB，延长BC至点E，使得CE＝3CB，连接EF、FD、DE，若S△DEF＝36，则S△ABC为（）A．2B．3C．4D．53．（2021春•青山区期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF 交AD于点G，交BE于点H，下面说法正确的是（）①△ABE的面积＝△BCE的面积；②∠AFG＝∠AGF；③∠F AG＝2∠ACF；④BH＝CH．A．①②③④B．①②③C．②④D．①③二．填空题（共3小题）4．（2021秋•武昌区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝2α，CD平分∠ACB，∠CAD＝30°﹣α，∠BAD ＝30°，则∠BDC＝．（用含α的式子表示）5．（2021春•高邮市期中）如图，对面积为1的△ABC逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长AB，BC，CA至点A1，B1，C1，使得A1B＝2AB，B1C＝2BC，C1A＝2CA，顺次连接A1，B1，C1，得到△A1B1C1，记其面积为S1；第二次操作，分别延长A1B1，B1C1，C1A1至点A2，B2，C2，使得A2B1＝2A1B1，B2C1＝2B1C1，C2A1＝2C1A1，顺次连接A2，B2，C2，得到△A2B2C2，记其面积为S2；…；按此规律继续下去，可得到△A4B4C4，则其面积S4＝．6．（2021春•宝应县月考）如图，A，B，C分别是线段A1B、B1C、C1A的中点，若△A1B1C1的面积是28，那么△ABC的面积是．三．解答题（共5小题）7．（2021秋•青田县期末）如图，直线l∥线段BC，点A是直线l上一动点．在△ABC中，AD是△ABC的高线，AE是∠BAC的角平分线．（1）如图1，若∠ABC＝65°，∠BAC＝80°，求∠DAE的度数；（2）当点A在直线l上运动时，探究∠BAD，∠DAE，∠BAE之间的数量关系，并画出对应图形进行说明．8．（2021秋•西湖区校级期末）新定义：在△ABC中，若存在一个内角是另外一个内角度数的n倍（n为大于1的正整数），则称△ABC为n倍角三角形．例如，在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝60°，∠C＝40°，可知∠A＝2∠C，所以△ABC为2倍角三角形．（1）在△DEF中，∠E＝40°，∠F＝35°，则△DEF为倍角三角形．（2）如图1，直线MN与直线PQ相交于O，∠POM＝30°，点A、点B分别是射线OP、OM上的动点；已知∠BAO、∠OBA的角平分线交于点C，在△ABC中，如果有一个角是另一个角的2倍，请求出∠BAC 的度数．（3）如图2，直线MN⊥直线PQ于点O，点A、点B分别在射线OP、OM上，已知∠BAO、∠OAG的角平分线分别与∠BOQ的角平分线所在的直线交于点E、F，若△AEF为3倍角三角形，试求∠ABO的度数．9．（2021秋•兴庆区校级期末）如图，已知AB∥CD，现将一直角三角形PMN放入图中，其中∠P＝90°，PM交AB于点E，PN交CD于点F．（1）当△PMN所放位置如图①所示时，求出∠PFD与∠AEM的数量关系；（2）当△PMN所放位置如图②所示时，求证：∠PFD﹣∠AEM＝90°；（3）在（2）的条件下，若MN与CD交于点O，且∠DON＝15°，∠PEB＝30°，求∠N的度数．10．我们把两个能够互相重合的图形称为全等形．（1）请你用四种方法把长和宽分别为5和3的矩形分成四个均不全等的小矩形或正方形，且矩形或正方形的各边长均为整数；（2）是否能将上述3×5的矩形分成五个均不全等的整数边矩形？若能，请画出．11．（2021秋•思明区校级期末）问题提出：（1）我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做“偏等积三角形”．如图1，△ABC中，AC＝7，BC＝9，AB＝10，P为AC上一点，当AP＝时，△ABP与△CBP是偏等积三角形；问题解决：（2）如图2，四边形ABED是一片绿色花园，△ACB、△DCE是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°（0＜∠BCE＜90°），①△ACD与△BCE是偏等积三角形吗？请说明理由；②已知BE＝60m，△ACD的面积为2100m3．如图3，计划修建一条经过点C的笔直的小路CF，F在BE 边上，FC的延长线经过AD中点G．若小路每米造价600元，请计算修建小路的总造价．。