T8联考八校2021届高三第一次联考数学试题(含答案解析)
江西省重点中学协作体(鹰潭一中、上饶中学等)2021届高三下学期第一次联考数学(理)试题
江西省重点中学协作体2021届高三第一次联考数学(理)试卷考试时间：120分钟分值：150分一､选择题：本题共12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{0,1,2,3}A =，集合{}2|B x x x ==，则A B =（ ） A. {0,1,2.3} B. {1,0,1}-C. {1.2}D. {0,1}D利用集合交集的定义计算即可．{}{}2|0,1B x x x ===，则{}0,1A B =故选：D2. 已知复数511i z i-=+，z 的虚部是（ ）A. 1-B. i -C. 1D. iC利用复数的乘方和除法法则化简复数z ，利用共轭复数的概念以及复数的概念可得出复数z 的虚部.()()()25111211112i i ii z i i i i i ----=====-+++-，z i ∴=，因此，z 的虚部是1.故选：C.3. 已知1::P p a≤1，2:10q a -≥则P 是q 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件B根据题意，化简,p q ，即可利用集合之间的关系，判定得到结论.1:p a≤1，化简可得:0p a <或1a ≥， 2:10q a -≥，化简可得:1q a ≤-或1a ≥，由{|1a a ≤-或1}a ≥ {|0a a <或1}a ≥， 可知,pq q p ⇒，故p 是q 的必要不充分条件，故选：B方法点睛：判断充要条件的方法是：①若p ⇒q 为真命题且q ⇒p 为假命题，则命题p 是命题q 的充分不必要条件； ②若p ⇒q 为假命题且q ⇒p 为真命题，则命题p 是命题q 的必要不充分条件； ③若p ⇒q 为真命题且q ⇒p 为真命题，则命题p 是命题q 的充要条件；④若p ⇒q 为假命题且q ⇒p 为假命题，则命题p 是命题q 的即不充分也不必要条件． ⑤判断命题p 与命题q 所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p 与命题q 的关系．4. sin155sin35cos25cos35︒︒-︒︒=（ ）A. B. 12-C.12B根据诱导公式，以及两角和的余弦公式直接化简，即可得出结果.sin155sin35cos25cos35sin 25sin35cos25cos35︒︒-︒︒=︒︒-︒︒()1cos 2535cos602=-︒+︒=-︒=-.故选：B.关键点点睛：该题主要考查利用两角和的余弦公式化简求值，涉及诱导公式，正确解题的关键是熟练掌握公式.5. 在6()2x y x y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中，25x y 的系数是（ ）A. 20B.152C. 12-D. 252-C将原式变形为666()()()22x x y x y x y y x y =⎛⎫-++-+ ⎪⎝⎭，再根据6()x y +的展开式的通项公式616rr r r T x y C -+=，分别令=5r ， 4r =求解.666()()()22x x y x y x y y x y =⎛⎫-++-+ ⎪⎝⎭， 6()x y +的展开式的通项公式为616rr r r T x y C -+=，令=5r 时，25x y 的系数是56123C =； 令4r =时，25x y 的系数是4615C =--，所以6()2x y x y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中，25x y 的系数是3-15=-12，故选：C6. “干支纪年法”是我国历法的一种传统纪年法，甲､乙､丙､丁､戊､己､庚､辛､壬､癸被称为“十天干”；子､丑､寅､卯､辰､巳､午､未､申､酉､戌､亥叫做“十二地支”“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为甲子､乙丑､丙寅……癸酉；甲戌､乙亥､丙子…癸未；甲申､乙酉､丙戌…癸巳；…，共得到60个组合，称六十甲子，周而复始，无穷无尽．2021年是“干支纪年法”中的辛丑年，那么2121年是“干支纪年法”中的（ ） A. 庚午年 B. 辛未年C. 庚辰年D. 辛巳年D根据“干支纪年法”的规则判断．2021年是辛丑年，则2081年是辛丑年，天干10个一循环，地支12个一循环，2082年到2121年共40年，天干正好又是辛，因为40除以12的余数为4，故地支为丑后的第四个巳，因此2021年是辛巳年．故选：D ．7. 已知|1|3()5x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则下列不等关系正确的是（ ）A. ()()20.5log 71 2.5(1)f f f <∞<B. ()()0.52log 2.5log 7(1)f f f <<C. ()()0.52(1)log 2.5log 7f f f <<D. ()()20.5(1)log 7log 2.5f f f <<B根据|1|3()5x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，分别求得()()0.52log 2.5,log 7,(1)f f f ，再利用35xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上递减求解.因为|1|3()5x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()0.50.50.50.5|log 2.51||log 2.51|og 5og 0502..3333log 2.55555l l f ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪ ⎪===⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()22|log 71|log 2 3.533log 755f -=⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，03(1)5f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，又因为0.50.5222log 0.2log 0.252,1log 2log 3.5log 42>==<<=，所以0.52log 0.2log 3.50>>，又35xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上递减，所以0.52og log00.2 3.5333 555 l⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎝<⎭⎭<，即()()0.52log 2.5log7(1)f f f<<，故选：B8. 若函数sin23y xπω⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位后与函数cos2y xω=的图象重合，则ω的值可能为（）A. 1-B. 2-C.12- D.14-C写出平移的函数解析式，根据诱导公式求得ω的表达式，比较可得．函数sin23y xπω⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位后得图象的解析式为1sin2()sin2633y x xππωωωπ-⎡⎤⎛⎫=-+=-⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，它与cos2y xω=相同，则1232kωπππ--=+，16,2k k Zω=--∈，只有C满足．故选：C．9. 如图ABCDEF为五面体，其中四边形ABCD为矩形，//EF AB，3332AB EF AD===，ADE和BCF△都是正三角形，则该五面体的体积为（）A.23B.232 D.322A把该五面体分割为两个等体积的四棱锥和一个直三棱柱，结合棱锥和棱柱的体积公式，即可求解.过点F作FO⊥平面ABCD，垂足为O，取BC的中点P，连接PF，过点F作FQ AB⊥，垂足为Q，连接OQ，交CD于G，得到四棱锥F BCGQ-，同理得到四棱锥E ADMN-，可得F BCGQ E ADMNV V--=，如图所示，因为ADE 和BCF △都是边长为2的等边三角形，所以11()1,3,122OP AB EF PF OQ BC =-====，可得222OF PF OP =-=，所以112212233E ADMN F BCGQ BCGQ V V S OF --==⋅=⨯⨯⨯=，中间部分三棱柱FGQ EMN -为直三棱柱， 其体积为 122122FGQ EMN FGQV SEF -=⨯=⨯⨯⨯=， 所以该五面体的体积为22722233FGQ EMN E ADMN F BCGQ V V V V ---=+==+⨯=.故选：A.求空间几何体的表面积与体积的求法：（1）公式法：对于规则的几何体的表面积和体积，可直接利用公式进行求解；（2）割补法：把不规则的图形分割成规则的图形，然后进行体积的计算，或不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算；（3）等体积法：等体积法也称积转化或等积变形，通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，多用来解决锥体的体积，特别时三棱锥的体积.10. 在三角形ABC 中，E ､F 分别为AC ､AB 上的点，BE 与CF 交于点Q 且2AE EC →→=，3AF FB →→=，AQ 交BC 于点D ，AQ QD λ→→=，则λ的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6C由题得2(1)3AQ x AB x AC →→→=+-，3(1)4AQ y AC y AB →→→=+-，求出,x y 的值，再根据1+123AD AB AC λλλλ→→→+=+，,,B D C 共线，得解.因为,,B Q E 三点共线，所以2(1)(1)3AQ x AB x AE x AB x AC →→→→→=+-=+-,因为,,C Q F 三点共线，所以3(1)(1)4AQ y AC y AF y AC y AB →→→→→=+-=+-,所以3(1)114,.223(1)3x y x y y x ⎧=-⎪⎪∴==⎨⎪=-⎪⎩， 所以11=,231AQ AB AC AD λλ→→→→=++ 所以1+123AD AB AC λλλλ→→→+=+， 因为,,B D C 共线， 所以1+11,523λλλλλ++=∴=.故选：C 结论点睛：如果,,A B C 三点共线，则1212(1)OA OB OC λλλλ→→→=++=，要根据已知条件灵活运用这个结论解题.11. 已知A ．B ．C 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上的三个点，AB 经过原点O ，AC 经过右焦点F ，若BF AC ⊥且3||||AF CF =，则该双曲线的离心率是（ ）A. B.53C.D.94A根据题意，连接','AF CF ，构造矩形'FAF B ；根据双曲线定义表示出各个边长，由直角三角形勾股定理求得a c 、的关系，进而求出离心率． 设左焦点为'F ，AF m =，连接','AF CF ，则3FC m = ，'2AF a m =+ ，'23CF a m =+，'2FF c =， 因为BF AC ⊥，且AB 经过原点O ， 所以四边形'FAF B 为矩形，在Rt △'AF C 中，222'+'AF AC F C =， 将边长代入得()()()2222+4=23a m m a m ++， 化简得m a =，所以在Rt △'AF F 中，222'+'AF AF F F =，代入边长得()()()22222a a a c ++=化简得2252c a =，即10e ，故选：A.关键点点睛：该题考查的是有关双曲线的离心率的求解问题，根据题意画出草图，分析出'FAF B 为矩形是解题关键，然后根据垂直和已知边长关系及双曲线定义写出每条线段长度，最后借助勾股定理形成等式求解离心率即可.12. 设k 、b R ∈，若关于x 的不等式()ln 1x x k x b +≤++在()0,∞+上恒成立，则221k b k +--的最小值是（ ） A. 2e - B. 11e -+ C. 1e -+ D. 1e --C令()()ln 1f x x x k x =+-+，分析得出()max b f x ≥，分1k ≤、1k >两种情况讨论，可得出()()max ln 11f x k k =----，进而可得出()ln 1222111k k b k k -++-≥---，令10t k =->，利用导数求出函数()ln 21t g t t+=-的最小值，即可得解. 令()()ln 1f x x x k x =+-+，则()f x b ≤对任意的()0,x ∈+∞恒成立，所以，()max b f x ≥. ①当1k ≤时，()110f x k x'=+->，函数()f x 在()0,∞+上单调递增，函数()f x 无最大值，不合乎题意；②当1k >时，令()0f x '=，可得11x k =-. 当101x k <<-时，()0f x '>，此时函数()f x 单调递增， 当11x k >-时，()0f x '<，此时函数()f x 单调递减， 所以，()()max 1111ln 1ln 111111f x f k k k k k k k ⎛⎫⎛⎫==+-+=---- ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭， 即()ln 11b k k ≥----，()()ln 11ln 12222211111k k k k b bk k k k -++-++-∴=+≥-=-----，设10t k =->，令()ln 21t g t t +=-，则()2ln 1t g t t+'=， 当10<<t e 时，()0g t '<，此时函数()g t 单调递减，当1t e>时，()0g t '>，此时函数()g t 单调递增.所以，()min 11g t g e e ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，因此，221k b k +--的最小值是1e -.故选：C.结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1）x D ∀∈，()()min m f x m f x ≤⇔≤； （2）x D ∀∈，()()max m f x m f x ≥⇔≥； （3）x D ∃∈，()()max m f x m f x ≤⇔≤； （4）x D ∃∈，()()min m f x m f x ≥⇔≥.二､填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分13. 已知实数x ，y 满足约束条件222440x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩，则3z x y =-的最大值为_____．10作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移该直线可得最优解．作出可行域，如图ABC 及其内部（含边界），其中()0,1A ，()2,0B ，()4,2C ，作直线30x y -=，由3z x y =-得3y x z =-，直线向下平移时截距减小，z 增大， 当直线l 过()4,2C 时，max 34210z =⨯-=， 故答案为：10.14. 已知函数()f x 是奇函数，当0x <时，()sin 1f x x =-，则函数() f x 在2x π=处的切线方程为_____．2y =先求出切线的斜率，再求出切线的方程.详解】当0x <时，()=cos f x x '，所以()=cos()022f ππ'--=，因为函数是奇函数，所以对称点处的导数相同，所以()()=022f f ππ''=-，所以切线的斜率为0，又因为()()[sin()1]2222f f πππ=--=---=， 所以切线方程为2y =. 故答案为：2y =结论点睛：曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线方程为000()()()y f x f x x x '-=-，这个结论要理解记住并熟练利用.15. 过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 的直线l 与C 相交于A.B 两点，且A.B 两点在准线上的射影分别为M.N ，AFM △的面积与BFN 的面积互为倒数，则MFN △的面积为_____． 2根据题意，画出图形，结合抛物线的定义以及三角形的面积公式，根据题中所给的条件，列出等量关系，求得结果.【详解】设,,MAF AF a BF b θ∠===，由抛物线定义可得,AM a BN b ==， 且180********AFM BFN ︒-∠+︒-∠=︒，故90AFM BFN ∠+∠=︒， 故90MFO NFO ∠+∠=︒即MF NF ⊥.设MAF θ∠=，则由余弦定理得222(1cos )MF a θ=-，222(1cos )NF b θ=+，2211sin ,sin 22MAFNBFSa Sb θθ== 因为AFM △的面积与BFN 的面积互为倒数，所以有2211sin sin 122a b θθ⋅=，即222sin 4a b θ=，所以2222221()()sin 44MFN S MF NF a b θ===，所以MFN △的面积为2， 故答案：2.关键点点睛：该题考查的是有关抛物线中的三角形的面积的求解问题，正确解题的关键是熟练掌握抛物线的定义，得到其相应的性质.16. 在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，//,AB CD AB AD ⊥，22CD AD AB ===，若动点Q 在平面P AD 内运动，使得CQD ∠与BQA ∠相等，则三棱锥- Q ACD 的体积最大时的外接球的体积为_____． 40103π 根据题意推出AB QA ⊥，CD QD ⊥，再根据CQD BQA ∠=∠推出2QD AQ =，在平面PDA 内，建立直角坐标系求出Q 点轨迹是圆22(3)8x y -+=，从而可求出点Q 到DA 的距离最大为22，即三棱锥 - Q ACD 的高的最大值为22，再寻找三棱锥的外接球球心，计算球半径，进而计算球的体积即得结果.因为PA ⊥平面ABCD ，所以平面PAD ⊥平面ABCD ，因为//AB CD ，AB ⊥AD ，所以AB ⊥平面PAD ，CD ⊥平面PAD ， 因为Q 在PAD △内及边上，所以QA 、QD 在平面PAD 内， 所以AB QA ⊥，CD QD ⊥， 所以在Rt CDQ △内，tan CD CQD DQ ∠=，在Rt ABQ △内，tan ABBQA QA=，因为CQD BQA ∠=∠，所以CD AB DQ QA=，因为2,2CD AB ==， 所以2QD AQ=，在平面PDA 内，以DA 的中点为原点O ，线段DA 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系： 则(1,0)D -，(1,0)A ，设(,)P x y ，则22||(1)DQ x y =++，22||(1)QA x y =-+，由2QD AQ =得2222(1)2(1)x y x y ++=⋅-+，化简得22(3)8x y -+=， 所以动点Q 在平面P AD 内运动，Q 点轨迹是圆22(3)8x y -+=，如图所示，当Q 在过圆心的垂线时点Q 到DA 的距离最大为半径22，也就是三棱锥Q ACD -的高的最大值为22，下面的计算不妨设点Q 在x 轴上方，QAD 外接圆圆心在DA 中垂线上，即y 轴上，设外接圆圆心N ，半径r ，则2sin DQr DAQ=∠，而22,2,4QS AS DS ===，故()()222222223,42226AQ DQ =+==+=，222sin sin 233QS DAQ QAS AQ ∠=∠===，所以32266sin 2DQ r DAQ ==⨯=∠，故3AN r ==，则223122ON =-=.如图三棱锥Q ACD -，CD ⊥平面PAD ，2CD AD ==，ACD △的外接圆圆心在斜边中点M 上，过M ，N 作平面ACD 和平面QAD 的垂线，交于点I ，即是三棱锥外接球球心，因为12,222DM AC IM ON ====， 所以三棱锥Q ACD -外接球半径()()222222210R DI DM IM ==+=+=，所以三棱锥Q ACD -的外接球的体积为3344333V R ππ===.故答案为：3. 方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径； ③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可. 三､解答题：共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．第T ~22为必考题，每个试题考生都必须作答，第22､23题为选做题，考生根据要求作答． (一)必考题：共60分17. 已知等差数列{}n a 为递减数列且首项15a =，等比数列{}n b 前三项依次为11a -，22a +，33a ．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n n a b +的前n 项和n S ．（1）6n a n =-，1342n n b -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭；（2）211388222nn n n S ⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭.（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由题设求出d 即可求得n a ，进而求得等比数列{}n b 的首项1b 和公比q ，即可求得n b ；（2）先由（1）求得n n a b +，再利用分组求和法求得其前n 项和n S 即可. （1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意得：2(7)4(156),1d d d +=⨯+∴=-，或11d =（舍）6n a n ∴=-又11254,6b a b =-==，∴公比133422n n q b -⎛⎫=∴=⋅ ⎪⎝⎭（2）13 6,42nn na n b-⎛⎫=-=⋅ ⎪⎝⎭1122n n nS a b a b a b=++++⋯⋯⋯⋯⋯⋯++()()1212n na a ab b b=++⋯⋯⋯⋯+++⋯⋯⋯211388222nnn ns⎛⎫∴=-+-+ ⎪⎝⎭．思路点睛：该题考查的是有关数列的问题，解题思路如下：（1）首先设出数列的公差，利用题中所给的条件，建立等量关系式，求得公差，根据首项，写出{}n a的通项，进而求得{}n b的首项和公比，求得其通项公式；（2）结合（1）的结论，利用分组求和法，求得其前n项和n S.18. 如图，在三棱锥A BCD-中，ABD△是等边三角形，2AC=，2BC CD==，BC CD⊥，E为空间内一点，且CDE△为以CD为斜边的等腰直角三角形．（1）证明：平面ABD⊥平面BCD；（2）若2BE=，试求平面ABD与平面ECD所成锐二面角的余弦值．（1）证明见解析；（26（1）取BD的中点O，连接OC，OA，证明二面角A BD C--的平面角AOC∠是直角，得面面垂直；（2）以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，OA为z轴建立空间直角坐标系，不妨令E在平面BCD上方，取CD的中点F，连接OF，EF，可证明CD⊥平面EOF，得证平面EOF⊥平面OCD，EFOπθ∠=-，得出各点坐标，由2BE=求得cosθ，得出E点坐标，再求出两个平面的法向量，由法向量夹角得二面角．解：（1）取BD的中点O，连接OC，OA，因为ABD △是等边三角形，2BD =，所以AO BD ⊥，且3AO =，又因为2BC CD ==，所以OC BD⊥112CO BD ==，又2AC = 222AO OC AC AO OC ∴+=∴⊥ 又AO BD ⊥，因为CO BD O ⋂=，二面角A BD C --的平面角AOC ∠是直角， ∴平面ABD ⊥平面BCD ；（2）由（1）以O 为原点，OC 为x 轴，OD 为y 轴，OA 为z 轴建立空间直角坐标系， 不妨令E 在平面BCD 上方取CD 的中点F ，连接OF ，EF ，则,OF CD EF CD ⊥⊥．OF EF F ⋂=，,OF EF ⊂平面EOF ，∴CD ⊥平面EOF ，CD ⊂平面OCD ，∴平面EOF ⊥平面OCD ，22OF =，6EF =，设EFO πθ∠=-，则(0,0,0)O ，(1,0,0)C ，(0,1,0)D ，3)A ，(0,1,0)B -1111211132cos ,cos ,cos ,cos 22222222E BE θθθθθθ⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 13336232cos 2,cos ,sin ,,,22444BE E θθθ⎛=+=∴=∴=∴ ⎝⎭所以(1,1,0)CD =-，13,,444CE ⎛=- ⎝⎭，设平面ECD 的一个法向量为(,,)n x y z =，则0CD n CE n ⎧⋅=⎨⋅=⎩， 0136044x y x y z -+=⎧⎪∴⎨-++=⎪⎩， 令1x =，则1,1,3n ⎛=- ⎝⎭因为平面ABD 的一个法向量为(1,0,0)OC =，所以|cos ,|4OC n〈〉==，即平面ECD 与平面ECD 方法点睛：本题考查证明面面垂直，考查向量法求二面角．求二面角的方法：（1）几何法（定义法）：根据定义作出二面角的平面角并证明，然后解三角形得出结论； （2）空间向量法：建立空间直角坐标系，写出各点为坐标，求出二面角两个面的法向量，由两个平面法向量的夹角得二面角（它们相等或互补）．19. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，长轴为4，不过原点O 且不平行于坐标轴的直线l 与C有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ，直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值34-．（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 过右焦点2F ，问y 轴上是否存在点D ，使得三角形ABD 为正三角形，若存在，求出点D ，若不存在，请说明理由．（1）22143x y +=；（2）不存在这样的点D ，理由见解析.（1）由题意可得2a =，设点()11,A x y ，()22B x y ，利用点差法可得22AB OMk k b a=-⋅，即可求出b ，从而得解；（2）设直线:(1)l y k x =-，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，即可表示出点M ，假设存在点D ，求出MD 的直线方程，从而得到D 点坐标，利用弦长公式求出AB 、MD ，由ABD △为等边三角形，则||||MD AB =，即可得到方程，即可判断； 解（1）由题意可知：24a =，所以2a =设点()11,A x y ，()22B x y ，A ，B 在椭圆上2211221x y a b∴+=．．．．．．．．．．．．．．① 2222221x y a b +=．．．．．．．．．．．．．．．② 因为34AB OM k k ⋅=-2112211234y y y y x x x x -+∴⋅=--+．．．．．．．．．．．．．．③ 由①-②得2222121222220x x y y a a b b -+-=，即22221212220x x y y a b--+=，所以2211222112y y y y b x x x x a -+⋅=--+ 由③得2234b a -=-23b ∴=∴椭圆C 方程为：22143x y +=（2）设直线:(1)l y k x =-联立22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得()22223484120k x k x k +-+-= 221212228412,3434k k x x x x k k-∴+==++ ()()()2121212228623112344k ky y k x x x k k k k x k k k =-+-=-∴=-+⨯++-=+ 22243,3434k k M k k ⎛⎫∴- ⎪++⎝⎭，假设存在点D ，则MD 的直线方程为：2223143434k k y x k k k ⎛⎫+=-- ⎪++⎝⎭ 20,34k D k ⎛⎫∴ ⎪+⎝⎭所以()2122121||34k AB x k +=-==+．||0MD =-=若ABD △为等边三角形则：||||MD AB =()2221214||23434k k k k+=++即223270k +=，方程无实数解， ∴不存在这样的点D(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形． 20. 某超市计划按月订购一种预防感冒饮品，每天进货量相同，进货成本每瓶5元，售价每瓶8元，未售出的饮品降价处理，以每瓶3元的价格当天全部处理完．根据一段时间以来的销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：C ︒)有关．如果最高气温不低于30，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[25,30)，需求量为300瓶；如果最高气温低于25，需求量为200瓶．为了确定七月份的订购计划，统计了前三年七月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率． （1）求七月份这种饮品一天的需求量x (单位：瓶)的分布列；（2）若七月份一天销售这种饮品的利润的数学期望值不低于700元，则该月份一天的进货量n (单位：瓶)应满足什么条件? （1）答案见解析；（2）267400n ≤≤.（1）根据题意，求得随机变量X 的所有可能取值为500，300，200，求得相应的概率，即可求得随机变量的分布列；（2）由题意得出200500n ≤≤，分别求得300500n ≤≤和200300n ≤<时，12(,)()E Y E Y ，再令1)(700E Y ≥和2)(700E Y ≥，即可求解.（1）依题意，可得随机变量X 的所有可能取值为500，300，200，． 由表格数据知273627(500)0.3,(300)0.4,(200)0.3909090P x P x P x =========， 因此分布列为（2）由题意可知，这种饮品一天的需求量最多为500瓶，最少为200瓶， 因此只需考虑200500n ≤≤， 当300500n ≤≤时，1(0.3[20032(200)]0.4[3003(300)2]0.339000.5)E Y n n n n =⨯⨯--+⨯--⨯+⨯=-，令1)(700E Y ≥，即9000.5700n -≥，解得400n ≤． 当200300n ≤<时，2()0.3[20032(200)]0.73 1.5n 300E Y n n =⨯⨯--+⨯=+令2)(700E Y ≥，即1.5n 300700+≥，解得 8003n ≥， 因为n Z ∈，所以267n ≥， 综上可得267400n ≤≤. 21. 已知函数ln()()ax f x ax=． （1）讨论函数()f x 的单调区间． （2）若当1a =时，()9()2()f x F x f x ex=+，求证：()0F x > （1）答案见解析；（2）证明见解析.（1）对函数()f x 求导，分0a >和0a <两种情况，结合函数的定义域得出函数的单调性；（2）要证()0F x >，由于0x >，即证ln 2ln e90x xx +>．令ln ()2ln e9(0)x xm x x x =+>，对函数求导并化简，构造()(1ln )ln h x x x x =-+二次求导，令分子为()2ln 1x x x ϕ=-+，利用导数判断出单调性和最小值，得出函数()h x 的单调性，由零点存在定理知极小值即为最小值，利用导数判断出最小值的范围，命题得证． （1）()21ln ()ax f x ax -'=， 当0a >，定义域为(0,)+∞，令()0f x '>，得0e x a <<，()0f x '<得e x a> ()f x ∴在0,e a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在,e a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减当0a <，定义域为(,0)-∞，令()0f x '>，得ex a <，()0f x '<得0e x a<< ()f x ∴在,e a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭单调递增，在,0e a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减（2）要证()0F x >，0x，即证ln 2ln e90x xx +>．令ln ()2ln e9(0)x xm x x x =+>，则ln ln ln 221ln 12m ()2ln 2[ln (1ln )]xxx xxxxex ex e x x x x x x-'=⋅⋅+⋅=-+， 设()(1ln )ln h x x x x =-+，则12ln 2ln 1()1x x x h x x x x'-+=-+=， 令()2ln 1x x x ϕ=-+，其中0x >，22()1x x x xϕ-'=-=． 当02x <<时，()0x ϕ'<，此时函数()ϕx 单调递减；所以，min ()(2)32ln 20x ϕϕ==->，则对任意的0x >，()0h x '>， 所以，函数()h x 在(0,)+∞上为增函数，因为11111ln ln 02222h ⎛⎫⎛⎫=-+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(1)10h =>，由零点存在定理可知，存在01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()()00001ln ln 0h x x x x =-+=，可得000ln 1ln 1x x x =-．当00x x <<时，h(x)<0，即()0F x '<，此时函数()F x 单调递减；当0x x >时，()0h x >，即()0F x '>，此时函数()F x 单调递增．()0000ln 11ln 1ln 2min 000009m()m 2ln 92ln 9ln 2ln x x x x x x e x ex x e x --⎛⎫∴==+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭， 令1121022929ln (ln 2,0),()2,()0(1)t t t x p t e p t e t t t '--=∈-=+=--<-， 则函数()p t 在(ln 2,0)t ∈-时单调递减， 所以，1ln 229()(ln 2)20ln 2p t p e -+<-=-<，所以，()min 0m()0x m x => 因此，对任意的0x >，m()0x >，即()0F x >．方法点睛：本题考查导函数在函数单调性和极值以及最值中的应用，考查导数证明不等式，考查分类讨论思想，其中利用导函数判断单调性的步骤为：1. 先求出原函数的定义域；2. 对原函数求导；3. 令导数大于零；解出自变量的范围；该范围即为该函数的增区间；同理令导数小于零，得到减区间；4. 若定义域在增区间内，则函数单增；若定义域在减区间内则函数单减，若以上都不满足，则函数不单调．(二)选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．22. 在直角坐标系 xOy 中，已知曲线1C 的参数方程为44241121t x t ty t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩(t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为cos 43πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭． （1）写出曲线1C 的普通方程，2C 的直角坐标方程；（2）过曲线1C 上任意一点P 作与2C 夹角为60°的直线，交2C 于点A ，求||PA 的最大值与最小值．（1）221(0)x y y +=≥，80x -=；（2）最小值3，最大值3. （1）用消元法得1C 的普通方程，由公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩化极坐标方程为直角坐标方程； （2）求出P 到直线2C 的距离的最大值和最小值后可得结论．（1）曲线1C 的普通方程为221(0)x y y +=≥直线2C 的普通方程为80x -=．（2）曲线1C 上任意一点(cos ,sin )[0,]P θθθπ∈到2C 的距离为1|cos 8|cos 423d πθθθ⎛⎫=-=+- ⎪⎝⎭．则cos 4sin 603d PA πθ⎛⎫==+- ⎪︒⎝⎭，当0θ=，||PA 取得最小值，最小值为3．当23πθ=，||PA 取得最大值，最达值为3． 关键点点睛：本题考查参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查点到直线的距离公式．化参数方程为直角坐标方程时，注意变量的取值范围，本题中0y ≥，对圆来讲可以用参数方程cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩表示圆上的点，从而求得点到直线的距离，利用三角函数知识求得最值．这里仍然要注意θ的范围是[0,]π．23. 已知a ，b ，c 为正数．（1）证明233232332b c a a c b a b c a b c+-+-+-++≥； （2）求4444111a b c a b c ⎛⎫+++++ ⎪⎝⎭的最小值．（1）证明见解析；（2）（1）利用基本不等式可证得命题成立；（2）三次使用不等式且等号同时成立，可求得最小值．（1）证明a ，b ，c 均为正数，23322223232b a c a c b a b a c b c∴+≥+≥+≥ 以上三式相加，得233263232b a c a c b a b a c b c +++++≥ 2332111333223b c a c a b a a b b c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+-++-++-≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭即233232332b c a a c b a b c a b c+-+-+-++≥．（当且仅当32a b c ==时等号成立） （2）因为0a >，0b >，0c >，444444343111813()()a b c abc a b c abc ⎛⎛⎫∴+++++≥=+ ⎪ ⎝⎭⎝≥= 当且仅当383a b c ===，即时等号成立．所以原式的最小值为。
全国大联考2021届高三第八次联考数学(理)试卷 Word版含答案
全 国 大 联 考2021届高三第八次联考·数学试卷考生留意:1.本试卷共150分.考试时间120分钟.2.答题前,考生务必将密封线内的项目填写清楚.3.请将各题答案填在试卷后面的答题卷上.4.交卷时,可依据需要在加注“”标志的夹缝处进行裁剪.5.本试卷主要考试内容:高考全部内容.第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合A={x|y=1√2},B={x|x ≤10},则A ∩B 等于A.(2,10)B.(2,10]C.[4,10]D.(4,10]2.已知a,b ∈R,i 是虚数单位,若a-i 与2+bi 互为共轭复数,则(a+bi)2等于A.5-4iB.5+4iC.3-4iD.3+4i3.“lg x ,lg y,lg z 成等差数列”是“y 2=xz”成立的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 4.若sin α=-35,α是第三象限的角,则cos α2+sin α2cos α2-sin α2等于 A.12 B .-12C.2D.-25.设 F 1、F 2分别是双曲线 C:x 2a 2-y 2b2=1的左、右焦点,点 P(√62,√22)在此双曲线上,且 PF 1⊥PF 2,则双曲线C 的离心率e 等于A.√22B.√2C.√3D.√626.如图所示,这是一个几何体的三视图,则该几何体的体积为A.2π+8B.8π+8C.4π+8D.6π+87.若(ax 2+b x)6的开放式中x 3项的系数为20,则a 2+b 2的最小值为A.1B.2C.3D.48.执行如图所示的程序框图,若f(x)=3x 2-1,取g=110,则输出的值为A.1932 B.916 C.58D.349.点Q(x,y)是如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界)的任意一点,若目标函数 z=x+ay 取得最小值的最优解有很多个,则yx -a 的最大值是A.23 B .16C.25D.1410.如图,矩形ABCD 的四个顶点的坐标分别为A(0,-1),B(π,-1),C(π,1),D(0,1),正弦曲线f(x)=sin x 和余弦曲线g(x)=cos x 在矩形ABCD 内交于点F,向矩形ABCD 区域内随机投掷一点,则该点落在阴影区域内的概率是A.1+√2π B.1π C.1+√22πD.12π11.已知抛物线y 2=4x 的焦点为F,过点P(2,0)的直线交抛物线于A,B 两点,直线AF,BF 分别与抛物线交于点C,D,设直线AB,CD 的斜率分别为k 1,k 2,则k1k 2等于A.13 B .12C.1D.212.已知函数g(x)=13x 3+2x-m+mx (m>0)是[1,+∞)上的增函数.当实数m 取最大值时,若存在点Q,使得过点Q 的直线与曲线y=g(x)围成两个封闭图形,且这两个封闭图形的面积总相等,则点Q 的坐标为A.(0,-3)B.(2,-3) C .(0,0) D.(0,3)第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卷中的横线上. 13.向量a 、b 满足|a|=1,|a-b|=√32,a 与b 的夹角为60°,则|b|= ▲ .14.某宾馆支配A 、B 、C 、D 、E 五人入住3个房间,每个房间至少住1人,且A 、B 不能住同一房间,则共有 ▲ 种不同的支配方法(用数字作答).15.表面积为60π的球面上有四点S,A,B,C 且△ABC 是等边三角形,球心O 到平面ABC 的距离为√3,若平面SAB ⊥平面ABC,则棱锥S-ABC 体积的最大值为 ▲ . 16.已知数列{a n },{b n }满足a 1=12,a n +b n =1,b n+1=bn 1-a n2(n ∈N *),则b 2021= ▲ .三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)如图,在△ABC 中,B=π3,BC=2,点D 在边AB 上,AD=DC,DE ⊥AC,E 为垂足. (1)若△BCD 的面积为√33,求CD 的长; (2)若ED=√62,求角A 的大小.18.(本小题满分12分)在一个盒子中,放有大小相同的红、白、黄三个小球,现从中任意摸出一球,若是红球记1分,白球记2分,黄球记3分.现从这个盒子中,有放回地先后摸出两球,所得分数分别记为x 、y,设O 为坐标原点,点P 的坐标为(x-2,x-y),记ξ=|OP⃗⃗⃗⃗⃗ |2. (1)求随机变量ξ的最大值,并求大事“ξ取得最大值”的概率;(2)求随机变量ξ的分布列和数学期望.19.(本小题满分12分)如图,在棱长为2的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,点E,F 分别是棱AB,BC 上的动点,且AE=BF.(1)求证:A 1F ⊥C 1E;(2)当三棱锥B 1-BEF 的体积取得最大值时,求二面角B 1-EF-B 的正切值.20.(本小题满分12分)定义:若两个椭圆的离心率相等,则称两个椭圆是“相像”的.如图,椭圆C 1与椭圆C 2是相像的两个椭圆,并且相交于上下两个顶点.椭圆C 1:x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的长轴长是4,椭圆C 2:y 2d 2+x 2n2=1(d>n>0)短轴长是1,点F 1,F 2分别是椭圆C 1的左焦点与右焦点.。
2021年高三5月联考数学理试题 含答案
绝密★启用前2021年高三5月联考数学理试题含答案本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其它题为必考题。
考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
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第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.设集合M＝{－1,0,1}，N＝{x|x2≤x}，则M ∩N等于( )A．{0} B．{0,1} C．{－1,1} D．{－1,0,1}2.在复平面内，复数Z满足，则Z的共轭复数对应的点位于（）A.第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 等差数列的前项和为，那么值的是（）A．65B．70C．130D．2604．给出下列四个结论，其中正确的是( )A．若，则a<bB．“a=3"是“直线l1：与直线l2:垂直”的充要条件C．在区间上随机取一个数x，sin的值介于0到之间的概率是D．对于命题P：∈R使得<0，则：∈R均有>05.定义行列式运算：.若将函数的图象向左平移个单位后，所得图象对应的函数为奇函数，则的最小值是（）A．B．C．D．6．在△ABC中，若，则△ABC的形状为（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形7.设x,y满足约束条件，若目标函数的最大值为12，则=（）A.4B.C.D.8. 设是定义在上的恒不为零的函数，对任意实数，都有，若，则数列的前项和的取值范围是（）A. B. C. D.9．已知为如图所示的程序框图输出的结果，则二项式的展开式中常数项是（）A. -20B. 52 C. -192 D. -16010．已知三棱锥O—ABC，A、B、C三点均在球心为O的球表面上，∠ABC=120°，AB=BC=1，三棱锥O—ABC的体积为，则球O的表面积是（）A．64 B．16 C．D．54411．定义在R上的函数满足f（1）=1，且对任意x∈R都有，则不等式的解集为（）A．（1，2）B．（－∞，1）C．（1，+∞）D．（－1，1）232俯视图正视图12.过椭圆上一点作圆的两条切线,点为切点.过的直线与轴, 轴分别交于点两点, 则的面积的最小值为( )A .B .C . 1D . 二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2021-2022学年湖北省新高考高三上学期联考数学试题及答案解析
2021-2022学年湖北省新高考高三上学期联考数学试题一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知集合A={x|−x 2+2x+3≥0}，B={x|2 x +1≥8}，则A∩B=A. {x|x≥3}B. {x|x≥2}C. {x|2≤x≤3}D. {x|1≤x≤2}2.已知复数z=3+2i，则|z 2|=A. 340B. 2√95C. 169D. 133.已知某品牌客车的使用年限x(年)与维护费用y(千元)之间有如下数据：若x与y之间具有线性相关关系，且y关于x的线性回归方程为ŷ=1.15x+a，据此估计，使用年限为8年时，维护费用约为A. 7.55千元B. 8.7千元C. 9.7千元D. 10.25千元4.已知向量a⃗=(−2,0)，b⃗ =(−12,√32)，则a⃗与a⃗+b⃗ 的夹角的余弦值为A. 5√714B. 528C. −5√714D. −5285.习近平主席“绿水青山就是金山银山”的反复叮咛，人们已经耳熟能详，由此带来的发展方式转化，实实在在地改变着中国的样貌．某工厂产生的废气必须经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的0.25%.已知在过滤过程中的污染物的残留数量P(单位：毫克/升)与过滤时间t(单位：小时)之间的函数关系为P=P 0·e kt(其中e是自然对数的底数，k为常数，P 0为原污染物总量).若前4个小时废气中的污染物被过滤掉了80%，则要能够按规定排放废气，还需要过滤n小时，则正整数n的最小值为(参考数据：log52≈0.43)A. 9B. 11C. 13D. 156.已知F 1，F 2分别是双曲线x2−y224=1的左、右焦点，若P是双曲线左支上的点，且|PF 1||PF 2|=48.则△F 1PF 2的面积为A. 8B. 16C. 24D. 8√37.已知S n是数列{a n}的前n项和，且满足a 1=1，a n +1=2S n，则a 2021=A. 32020B. 32019C. 22020D. 2×320198.若关于x的不等式e ax−x+sin2ax>1e ax −1x+sin(lnx2)在(0,+∞)上恒成立，则实数a的取值范围是A. (2e ,+∞) B. (1e,+∞) C. (−∞,1e) D. (−∞,2e)二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.已知函数f(x)=3sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的图象如图所示，则下列说法正确的是A. f(x)的图象关于直线x=−π4对称B. f(x)的图象的一个对称中心是(−π4,0)C. 将f(x)的图象向右平移π12个单位长度，得到y=3sin3x的图象D. 将f(x)的图象向左平移π12个单位长度，得到y=3sin3x的图象10.下列说法中正确的是A. 已知随机变量X服从二项分布B(4,13)，则E(X)=89B. 已知随机变量X服从正态分布N(3，σ2)且P(X≤5)＝0.85，则P(1＜X≤3)＝0.35C. 已知随机变量X的方差为D(X)，则D(2X-3)＝2D(X)-3D. “A与B是互斥事件”是“A与B互为对立事件”的必要不充分条件11.在棱长为1的正方体ABCD−A 1B 1C 1D 1中，M，N分别为棱A 1D 1，DD 1的中点，则下列说法正确的是A. M，B 1，N，C四点共面B. 正方体ABCD−A 1B 1C 1D 1的外接球的表面积为12πC. 点C到平面MNC 1的距离为23D. 直线A 1C与平面MNC 1所成的角的正弦值为√3912. 已知抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)在C 上，则下列说法正确的是A. 若点P(2,−1)，则△PAF 的周长的最小值为3+√2B. 若点P(m ，2)是C 上的一点，且AF ⃗⃗⃗⃗⃗ +BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =FP⃗⃗⃗⃗⃗ ，则|AF|，|FP|，|BF|成等差数列 C. 若A ，F ，B 三点共线，则y 1y 2=−2D. 若|AB|=8，则AB 的中点到y 轴距离的最小值为3三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知直线l ：2x −y −1=0与圆C ：x 2+y 2−8y +6=0相交于A ，B 两点，则|AB|=__________．14. 已知cos (θ+π4)=14，则tanθ+1tanθ=__________．15. 将语文、数学、英语、物理、化学、生物六本书排成一排，其中语文、数学相邻，且物理、化学不在语文、数学的同一侧，则不同的排法共有__________种．(用数字作答)16. 在三棱锥P −ABC 中，平面PBC ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，AC =PB.若PC =BC =a ，且三棱锥P −ABC 体积的最大值为43，则a =__________．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 在数列{a n }中，a 1=1，其前n 项和S n 满足S n+1=S n +a n1+2a n ．(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n =an2n+1，求数列{b n }的前n 项和T n ．18.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知1sinA +1sinB=2√6，且C=π3，c=6．(1)求证：a+b=√22ab；(2)求△ABC的面积．19.如图，在四棱锥S−ABCD中，底面ABCD是正方形，平面SBD⊥平面ABCD，SD=√2AB=2，SB=√2SD，点E是棱SD上一点(不包含端点)．(1)求证：AC⊥BE；(2)若二面角C−AE−D的余弦值为√33，求DE的长度．20. 某学校进行班级之间的中国历史知识竞赛活动，甲、乙两位同学代表各自班级以抢答的形式展开，共五道题，抢到并回答正确者得一分，答错则对方得一分，先得三分者获胜．每一次抢题且甲、乙两人抢到每道题的概率都是12，甲、乙正确回答每道题的概率分别为45，35，且两人各道题是否回答正确均相互独立． (1)比赛开始，求甲先得一分的概率； (2)求甲获胜的概率．21. 已知圆O ：x 2+y 2=2，椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >√2)的离心率为√22，P 是C 上的一点，A 是圆O 上的一点，|PA|的最大值为√6+√2． (1)求椭圆C 的方程；(2)点M 是C 上异于P 的一点，PM 与圆O 相切于点N ，证明：|PO|2=|PM|·|PN|.22. 已知函数f(x)=aln x +x ，g(x)=12x 2−(a +2)x +32a(a ∈R)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若a>1，ℎ(x)=f(x)+g(x)，x 1，x 2为ℎ(x)的两个极值点，证明：ℎ(x1)+ℎ(x2)<7．2答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查了集合的交集运算和解不等式，属于基础题．先解不等式求得集合A、B，然后利用交集的运算求解．【解答】解：∵A={x|−x2+2x+3⩾0}={x|−1≤x≤3}，B={x|2x+1≥8}={x|x⩾2}，∴A∩B={x|2≤x≤3}．故选C．2.【答案】D【解析】【分析】本题考查复数的运算，复数的模的求法，是基础题．根据复数的运算法则求出z2，再利用复数模的公式计算即可．【解答】解：因为z=3+2i，故z2=9+12i+4i2=5+12i，所以|z2|=√52+122=13．3.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查回归直线方程，属于基础题．由已知求得样本点的中心坐标，代入线性回归方程求得a ，在线性回归方程中，取x =8求得y ̂的值得答案． 【解答】 解：x =2+3+4+5+65=4，y =2+2.5+4.5+5+6.55=4.1，则样本点的中心坐标为(4,4.1)，代入y ̂=1.15x +a ， 得a =−0.5，则y ̂=1.15x −0.5． 取x =8，可得ŷ=1.15×8−0.5=8.7． ∴使用年限为8年时，维护费用约为8.7千元．4.【答案】A【解析】 【分析】本题考查了平面向量的坐标运算、向量的夹角，属于基础题． 根据平面向量夹角的运算公式直接求解即可． 【解答】解：∵a ⃗ =(−2,0)，b ⃗ =(−12,√32)，∴a ⃗ +b ⃗ =(−52,√32)， ∴|a ⃗ +b ⃗ |=√7，|a ⃗ |=2，a ⃗ ⋅(a ⃗ +b ⃗ )=5． 设a ⃗ 与a ⃗ +b ⃗ 的夹角为θ， 则cosθ=a ⃗ ⋅(a ⃗ +b ⃗ )|a ⃗ ||a ⃗ +b⃗ |=5√714． 故选A ．5.【答案】B【解析】 【分析】本题考查指数函数模型的应用，考查指数不等式的解法，考查运算求解能力．属于中档题．由已知条件求得0.2=e4k，得k=−ln54，然后解指数方程0.25%P0=P0⋅e kt，求得t，则答案可求．【解答】解：由题意，前4个小时废气中的污染物被过滤掉了80%，∵P=P0·e kt，∴(1−80%)P0=P0·e4k，得0.2=e4k，即k=−ln54，由0.25%P0=P0·e kt，得ln0.0025=−ln54t，∴t=4ln400ln5=8log520=8(1+2log52)≈14.88．故整数n的最小值为15−4=11．6.【答案】C【解析】【分析】本题考查双曲线的定义及性质、三角形的面积公式的应用，属于中档题．由双曲线的定义可知|PF2|−|PF1|=2，|F1F2|=10，再在△PF1F2中利用由余弦定理可求出∠F1PF2=90∘，从而求出△F1PF2的面积．【解答】解：∵P是双曲线左支上的点，∴|PF2|−|PF1|=2，|F1F2|=10，在△PF1F2中，由余弦定理得cos∠F1PF2=|PF1|2+|PF2|2−|F1F2|22|PF1||PF2|=(|PF2|−|PF1|)2+2|PF1||PF2|−|F1F2|22|PF1||PF2|=4+2×48−1002×48=0，∴∠F1PF2=90∘，∴△F1PF2的面积为12|PF1|⋅|PF2|=12×48=24，故选：C．7.【答案】D【解析】 【分析】本题考查了数列的递推公式和数列的通项公式和前n 项和公式，属于中档题． 根据数列的递推公式即可求出数列{a n }从第二项开始是一个以3为公比的等比数列，进而求得答案． 【解答】解：当n =1时，a 2=2S 1=2a 1=2， 当n ≥2时，由a n+1=2S n ，可得a n =2S n−1， 两式相减得a n+1−a n =2a n ， 所以a n+1=3a n ，且a 2=2≠3.则数列{a n }从第二项开始是一个以3为公比的等比数列， 则a n =2×3n−2(n ≥2)， 故a n ={1,n =1,2×3n−2,n ≥2.所以a 2021=2×32019． 故选D ．8.【答案】B【解析】 【分析】本题考查利用导数求函数的单调性、最值，考查恒成立问题，属于拔高题． 令f(x)=e x −e −x +sin2x ，f(x)在R 上单调递增，不等式在(0,+∞)上恒成立，即e ax −e −ax +sin2ax >e lnx −e −ln x +sin(2lnx)在(0,+∞)上恒成立，即f(ax)>f(lnx)在(0,+∞)上恒成立，即ax >lnx 在(0,+∞)上恒成立，即a >lnx x在(0,+∞)上恒成立，利用导数可得结果． 【解答】解：令f(x)=e x −e −x +sin2x ，易得f′(x)=e x +e −x +2cos2x ≥0在R 上恒成立， 所以f(x)在R 上单调递增，不等式e ax −x +sin2ax >1e ax −1x +sin(lnx 2)，即e ax −e −ax +sin2ax >e lnx −e −ln x +sin(2lnx)在(0,+∞)上恒成立，即f(ax)>f(lnx)在(0,+∞)上恒成立，即ax >lnx 在(0,+∞)上恒成立， 即a >lnx x在(0,+∞)上恒成立，令g(x)=lnx x，则g′(x)=1−lnx x 2，令g′(x)>0，解得0<x <e ，令g ′(x)<0，解得x >e ， 故g(x)在(0,e)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减， 所以g(x)max =g(e)=1e .所以实数a 的取值范围是(1e ,+∞).9.【答案】AC【解析】 【分析】本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出函数的解析式是解决本题的关键，要求熟练掌握函数图象之间的变化关系，属于中档题．根据图象求出A ，ω和φ，即可求函数f(x)的解析式，依次对各选项进行判断即可． 【解答】解：由图象可知，函数f(x)的最小正周期为T =4(5π12−π4)=2π3，则ω=2πT=3，当x =5π12时，函数y =f(x)取得最小值，则3×5π12+φ=3π2+2kπ(k ∈Z)，得φ=π4+2kπ(k ∈Z)，因为|φ|<π2，所以k =0，φ=π4，则f(x)=3sin(3x +π4)， 当x =−π4时，f(−π4)=3sin(−3π4+π4)=−3，故A 正确，B 错误;将函数f(x)的图象向右平移π12个单位长度， 得到y =3sin[3(x −π12)+π4]=3sin3x ，故C 正确; 将函数f(x)的图象向左平移π12个单位长度， 得到y =3sin[3(x +π12)+π4]=3cos3x ，故D 错误． 故选AC ．10.【答案】BD【解析】【分析】本题主要考查二项分布、正态分布的概率计算以及离散型随机变量的期望、方差的性质，属于中档题.由二项分布的概率计算公式可判断A ；根据正态分布的概率计算可判断B ；由离散型随机变量的期望、方差的性质可判断C ;由充要条件的判断和互斥事件与对立事件的关系可判定D . 【解答】解：已知随机变量X ~B (4,13),则E (X )=4×13=43，故A 错误；因为随机变量X ~N (3,σ2),对称轴为X =3,P (X ≤5)=0.85,所以P (X ≤1)=0.15, 所以P (1＜X ≤3)=P (X ⩽3)−P (X ⩽1)=0.5−0.15=0.35,故B 正确; 因为D (2X -3)=4D (X ),故C 错误;充分性:“A 与B 是互斥事件”⇏“A 与B 互为对立事件”,充分性不成立; 必要性:“A 与B 是互斥事件”⇐“A 与B 互为对立事件”,必要性成立.因此“A 与B 是互斥事件”是“A 与B 互为对立事件”的必要不充分条件,故D 正确. 故选BD .11.【答案】ACD【解析】 【分析】本题考查了四点共线问题，考查了正方体外接球，考查了点到平面的距离以及直线与平面所成的角，属于中档题．利用线线平行关系可判断A ，求得正方体外接球半径可判断B ，利用空间向量判断CD 即可． 【解答】解：正方体中，A 1D//B 1C ，而M ，N 分别为棱A 1D 1，DD 1的中点， 则MN//A 1D ，所以B 1C//MN ，所以M ，B 1，N ，C 四点共面.故A 正确； 设正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的外接球的半径为R ，则R =√12+12+122=√32， 所以正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的外接球的表面积S =4πR 2=3π.故B 错误；以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系． 则C(0,1,0)，C 1(0,1,1)，M(12,0,1)，N(0,0,12)，A 1(1,0,1)，所以CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−1,1)，CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,1)，C 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,−1,0)，NC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,12). 设平面MNC 1的一个法向量为n⃗ =(x,y,z)， 则{n ⃗ ⋅C 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12x −y =0,n⃗ ⋅NC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =y +12z =0,令x =2，则y =1，z =−2， 所以平面MNC 1的一个法向量为n ⃗ =(2,1,−2)． 所以点C 到平面MNC 1的距离d =|n ⃗⃗ ⋅CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |n ⃗⃗ ||=23.故C 正确;设直线A 1C 与平面MNC 1所成的角为θ，则sinθ=|CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n ⃗⃗|CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ ||=√39.故D 正确．故选ACD ．12.【答案】ABD【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线的性质及几何意义，等差数列的性质，直线与抛物线的位置关系的应用，属于中档题．根据抛物线的性质和定义即可判断AD ；根据等差数列的性质及向量的线性运算可判断B ；根据直线和抛物线的位置关系，利用韦达定理可判断C ． 【解答】解：过A 作C 的准线的垂线，垂足为A′， 则|PA|+|AF|+|PF|=|PA|+|AA′|+√2，|PA|+|AA′|的最小值即为点P 到C 的准线的距离，所以△PAF 周长的最小值为3+√2.故A 正确；因为点P(m,2)是C 上一点，所以4=4m ，解得m =1， 则AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−x 1,−y 1)，FP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2)，BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−x 2,−y 2)， 因为AF ⃗⃗⃗⃗⃗ +BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =FP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则1−x 1+1−x 2=0，可得x 1+x 2=2， 则|AF|+|BF|=x 1+x 2+2=4=2|FP|.故B 正确； 若A ，F ，B 三点共线，则直线AB 不可能与x 轴重合， 设直线AB 的方程为x =my +1，联立{y 2=4x,x =my +1,整理可得y 2−4my −4=0，Δ=16m 2+16>0，由韦达定理可得y 1y 2=−4，故C 错误;由|AF|+|BF|≥|AB|=8，即x 1+x 2+2≥8，即x 1+x 2≥6，所以AB的中点到y轴距离d=x1+x22≥3，当且仅当A，F，B三点共线时，等号成立，故D正确．故选ABD．13.【答案】2√5【解析】【分析】本题考查圆心到直线的距离，考查垂径定理，考查计算能力，属于基础题．将圆的方程化为标准方程，可得圆心与半径，由垂径定理计算可得．【解答】解：圆x2+y2−8y+6=0化为标准方程为x2+(y−4)2=10，∴圆心坐标为(0,4)，半径为√10，∵圆心到直线2x−y−1=0的距离为√22+(−1)2=√5，∴弦AB的长等于2√10−5=2√5．14.【答案】167【解析】【分析】本题主要考查了同角三角函数的基本关系，两角和与差的三角函数公式的应用，属于基础题．根据已知及两角和与差的三角函数公式的计算，得sinθcosθ=716，根据同角三角函数的基本关系的计算，求出tan θ+1tan θ的值．【解答】解：由cos(θ+π4)=√22cosθ−√22sinθ=14，即cosθ−sinθ=√24，两边平方，得sinθcosθ=716，所以tanθ+1tanθ=sinθcosθ+cosθsinθ=sin2θ+cos2θsinθcosθ=167．15.【答案】80【解析】【分析】本题主要考查了排列与排列数公式，分步乘法计数原理的应用，属于基础题．根据已知及排列与排列数公式，分步乘法计数原理的计算，得不同的排法种数为A22×A22×(A42+C41A22)，求出不同的排法共有80种．【解答】解：将语文、数学捆绑视为一本书，考虑左右位置，共有A22种方法;物理、化学放两侧，有A22种排法;最后将英语、生物插入4个空位中的2个或者1个共A42+C41A22种排法．由分步乘法计数原理可知，不同的排法种数为A22×A22×(A42+C41A22)=80．16.【答案】√3【解析】【分析】本题考查面面垂直的性质，棱锥的体积公式，利用导数研究函数的单调性和最值，属于较难题．先由面面垂直的性质知AC⊥平面PBC，取PB中点M，连结CM，设AC=2x，可得CM=√a2−x2(0<x<a)然后换元可得三棱锥的体积V(t)=2a2t−2t3，利用导数求最值即可3解得a．【解答】解：因为平面PBC⊥平面ABC，平面PBC∩平面ABC=BC，AC⊂平面ABC，AC⊥BC，所以AC⊥平面PBC．设AC=2x，因为PC=BC=a，PB=AC=2x(0<x<a)．取PB中点M，连结CM，M为PB的中点，又PC=BC，所以CM⊥PB，CM=√a2−x2，×2x×√a2−x2=x√a2−x2，所以S▵PBC=12所以V 三棱锥P−ABC =13×(x√a 2−x 2)×2x =2x 2√a 2−x 23．设t =√a 2−x 2(0<t <a)，则x 2=a 2−t 2， 所以V 三棱锥P−ABC =V(t)=2t(a 2−t 2)3=2a 2t−2t 33(0<t <a)，所以V′(t)=2a 2−6t 23，令V′(t)=0，得t =√33a ，所以当0<t <√33a 时V′(t)>0，当√33a <t <a 时V′(t)<0，故V(t)在(0,√33a)上单调递增，在(√33a,a)上单调递减．所以当t =√33a 时，V(t)取最大值4√327a 3，此时4√327a 3=43，解得a =√3．17.【答案】解：(1)∵S n+1=S n +a n1+2a n ，a n+1=S n+1−S n ，∴a n+1=a n1+2a n ，即1a n+1−1a n=2，∴数列{1a n}是首项为1a 1=1，公差为2的等差数列，可得1a n=1+2(n −1)=2n −1，即a n =12n−1．(2)由b n =a n2n+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，∴T n =12[(1−13)+(13−15)+⋯+(12n −1−12n +1)]=12(1−12n+1)=n2n+1．【解析】本题考查数列的递推关系及等差数列通项公式，考查裂项相消法求和，属于中档题． (1)由题意知，1an+1−1a n=2，进一步可得数列{1a n}是以1为首项，公差为2的等差数列，即可求得1a n，从而可得{a n }的通项公式；(2)根据b n =a n2n+1=1(2n−1)(2n+1) ，利用裂项相消法求和即可得数列{b n }的前n 项和T n ．18.【答案】(1)证明：C =π3，c =6，所以csinC =4√3，根据正弦定理得sinA =4√3，sinB =4√3．又1sinA +1sinB =2√6， 所以1a 4√3+1b 4√3=2√6，即a +b =√22ab ．(2)解：由余弦定理得c 2=a 2+b 2−2abcosC =a 2+b 2−ab =(a +b)2−3ab ， 由(1)a +b =√22ab ，结合c =6可得(ab)2−6ab −72=0，即(ab −12)(ab +6)=0， 解得ab =12或ab =−6(舍去)， 所以S △ABC =12absinC =3√3．【解析】本题考查正余弦定理以及三角形面积公式，属于中档题． (1)由正弦定理可得sinA =a4√3，sinB =b4√3，可得1a 4√3+1b 4√3=2√6，可得结果；(2)由余弦定理得到ab ，再由三角形面积公式可得结果．19.【答案】解：(1)证明：因为四边形ABCD 为正方形，AB =√2，所以BD =2.在△SBD中，SD =2，BD =2，SB =2√2， 易得SB 2=SD 2+BD 2，所以SD ⊥BD ．因为平面SBD ⊥平面ABCD ，平面SBD ∩平面ABCD =BD ，SD ⊂平面SBD ， 所以SD ⊥平面ABCD ． 又AC ⊂平面ABCD ， 所以SD ⊥AC ，因为底面ABCD 是正方形，所以AC ⊥DB.又SD ∩DB =D ，SD ，DB ⊂平面SDB ， 所以AC ⊥平面SDB ． 又BE ⊂平面SDB ， 所以AC ⊥BE ．(2)解：以D 为原点，DA ，DC ，DS 所在直线分别作为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设DE =λ，则D(0,0,0)，A(√2,0,0)，C(0,√2,0)，E(0,0,λ)， 所以EA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,0,−λ)，EC⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√2,−λ).设平面ACE 的法向量为n ⃗ =(x,y,z)，则由n ⃗ ⊥EA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ ⊥EC ⃗⃗⃗⃗⃗ 得 {n ⃗ ⋅EA⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ⃗ ⋅EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{√2x −λz =0,√2y −λz =0,取z =√2，得n ⃗ =(λ,λ,√2).易知平面ADE 的一个法向量为DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√2,0)． 设二面角C −AE −D 的大小是θ， 由图可知θ为锐角，则cosθ=|DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√2λ2+2=√33， 解得λ=√2， 即DE =√2．【解析】本题考查空间中线线垂直的判定，涉及面面垂直的性质定理及线面垂直的判定定理，考查利用空间向量解决二面角的余弦值问题，属于中档题．(1)利用面面垂直的性质定理及线面垂直的判定定理得出AC ⊥平面SDB ，进而得出证明； (2)建立空间直角坐标系，求出两个面的法向量，求解即可．20.【答案】解：(1)每道题的抢答中，记甲得一分为事件M ，∵M 发生有两种可能：甲抢到题且答对，乙抢到题且答错， ∴P(M)=12×45+12×25=35，∴比赛开始，甲率先得一分的概率35.(2)由(1)知，在每道题的抢答中甲、乙得一分的概率分别35，25， 设两人共抢答了X 道题比赛结束，且甲获胜， 根据比赛规则，X 的所有可能取值分别为3，4，5， 则P(X =3)=(35)3=27125，P(X =4)=C 31(25)(35)3=162625， P(X =5)=C 42(25)2(35)3=6483125，则甲获胜的概率P =P(X =3)+P(X =4)+P(X =5)=21333125.【解析】本题主要考查概率的计算，相互独立事件概率乘法公式，属于中档题． (1)记甲得一分为事件M ，M 发生有两种可能：抢到题且答对，乙抢到题且答错，分别求出对应的概率，并求和，即可求解．(2)由(1)知，在每道题的抢答中甲、乙得一分的概率分别35，25，设两人共抢答了X 道题比赛结束，且甲获胜，根据比赛规则，X 的所有可能取值分别为3，4，5，分别求出对应的概率，并求和，即可求解．21.【答案】解：(1)解：|PA|≤|PO|+|OA|≤a +√2=√6+√2，所以a =√6．设C 的焦距是2c ，则ca =√22，解得c =√3，则b 2=a 2−c 2=3， 所以C 的方程是x 26+y 23=1；(2)证明： ①当直线PM 斜率不存在时，PM 的方程为x =√2或x =−√2． 当x =√2时，P(√2,√2)，M(√2,−√2)，此时OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即OP ⊥OM; 当x =−√2时，同理可得OP ⊥OM ； ②当直线PM 斜率存在时，设PM 方程为y =kx +m ，即kx −y +m =0． 因为直线与圆相切，所以√k 2+1=√2，即m 2=2k 2+2， 联立{kx −y +m =0,x 26+y 23=1,得(1+2k 2)x 2+4kmx +2m 2−6=0．设P(x 1,y 1)，M(x 2,y 2)，则x 1+x 2=−4km 1+2k 2，x 1x 2=2m 2−61+2k 2，所以OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(kx 1+m)(kx 2+m)=(1+k 2)x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2 =(1+k 2)×2m 2−61+2k 2+km ×(−4km1+2k 2)+m 2=3m 2−6k 2−61+2k 2，代入m 2=2k 2+2整理可得OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即OP ⊥OM ， 综上，OP ⊥OM ，又PM 与圆O 相切于点N ，所以ON ⊥PM ，易得△PON∽△PMO ， 所以|PO ||PM |=|PN||PO |，即|PO|2=|PM|⋅|PN|．【解析】本题考查直线与椭圆、直线与圆的综合应用，属于较难题． (1)由条件求出a ，b ，即可得椭圆方程；(2)分直线PM 斜率不存在和直线PM 斜率存在两种情况讨论，利用OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0得到OP ⊥OM ，，得△PON∽△PMO ，利用相似三角形的性质即可求证．22.【答案】解：(1)∵f(x)=alnx+x(x>0)∴f′(x)=ax +1=x+ax，当a≥0时，f′(x)>0在(0,+∞)上恒成立，所以f(x)的单调增区间是(0,+∞);当a<0时，令f′(x)>0，解得x>−a，令f′(x)<0，解得0<x<−a，所以f(x)在(0,−a)上单调递减，在(−a,+∞)上单调递增；(2)证明：ℎ(x)=f(x)+g(x)=alnx+x+12x2−(a+2)x+32a=alnx+12x2−(a+1)x+32a，ℎ′(x)=x−(a+1)+ax =x2−(a+1)x+ax=(x−1)(x−a)x(a>1)，当x>a或0<x<1，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增;当1<x<a，ℎ′(x)<0，函数ℎ(x)单调递减，不妨设x1<x2，则x1=1,x2=a，ℎ(x1)+ℎ(x2)−72=ℎ(1)+ℎ(a)−72=12−a−1+12a2−a(a+1)+alna+3a−72=−12a2+a+alna−4．令u(a)=−12a2+a+alna−4(其中a>1)，则u′(a)=−a+2+lna，令m(a)=u′(a)，可得m′(a)=−1+1a<0，即u′(a)在(1,+∞)上单调递减，且u′(3)=ln3−1>0，u′(4)= ln4−2<0，故存在a0∈(3,4)使得u′(a0)=0，即2−a0+lna0=0．当a∈(1,a0)时，u′(a)>0，u(a)单调递增;当a∈(a0,+∞)时，u′(a)<0，u(a)单调递减，故当a=a0时，u(a)取得最大值u(a0)=−12a02+a0+a0lna0−4=−12a02+a0+a0(a0−2)−4=12a02−a0−4．因为a0∈(3,4)，结合二次函数的性质可知，u(a0)<u(4)=0，所以ℎ(x1)+ℎ(x2)−72<0，即ℎ(x1)+ℎ(x2)<72．【解析】本题考查利用导数求函数单调区间，证明不等式，属于难题．(1)对函数f(x)=alnx+x求导，对a分类讨论，利用导数f′(x)求单调区间．(2)对ℎ(x)求导，找到极值点x1=1,x2=a，将证明不等式ℎ(x1)+ℎ(x2)<72成立转化为ℎ(x1)+ℎ(x2)−72<0成立，代入极值点，得ℎ(x1)+ℎ(x2)−72=−12a2+a+alna−4，a2+a+alna−4，利用导数求此函数的最值，即可证明结论．再构造新函数u(a)=−12第21页，共21页。
2021届湘豫名校高三联考数学试题(含答案解析版)
故选：A.
【点睛】
本题考查根据函数解析式判断函数图像，主要可以通过函数性质以及去特殊值来进行判
断，例如本题可通过函数的奇偶性来判断，考查推理能力，是简单题.
7．纹样是中国传统文化的重要组成部分，它既代表着中华民族的悠久历史、社会的发
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展进步，也是世界文化艺术宝库中的巨大财富．小楠从小就对纹样艺术有浓厚的兴趣．收 集了如下 9 枚纹样微章，其中 4 枚凤纹徽章，5 枚龙纹微章．小楠从 9 枚徽章中任取 3 枚，则其中至少有一枚凤纹徽章的概率为（ ）．
面积为 8，则 cos B （ ）．
A． 13 17 85
B． 16 17 85
C． 25 881 881
D． 4 5
【答案】B
【解析】本题首先可以根据 SADC
8 得出 sin DAC
4 5
，然后根据 sin DAC
4 5
得
出
cos
DAC
3 5
以及
DC
17 ，再然后根据 DC
17 得出 sin ACD 16 17 ， 85
因为“至少有一枚凤纹徽章”的对立事件为“一枚凤纹徽章也没有”，
所以
P
1
C53 C93
1
543 987
37 42
，
故选：B.
【点睛】
本题考查超几何分布的相关概率计算，考查对立事件的灵活应用，考查推理能力，体现
了基础性和综合性，是简单题.
8．设函数
f
x sin x
π 6
N
在
5π 12
66
2
当 2x - π = 3π 时取最小值，最大值为 1，故①正确， 62
长郡十八校联盟2023届高三第一次联考(全国卷)理科数学试题
一、单选题1.已知直线两两异面，且，，下列说法正确的是（ ）A ．存在平面，使，，且，，B ．存在平面，使，，且，，C ．存在唯一的平面，使，且与所成角相等D ．存在平面，使，，且2.已知向量，，若，则（ ）A ．0B．C ．1D ．23.平面直角坐标系中，点集，则点集所覆盖的平面图形的面积为（ ）A．B．C．D．4.已知是圆外的动点，过点作圆的两条切线，设两切点分别为，，当的值最小时，点到圆心的距离为（ ）A．B．C．D ．25. 已知则=（ ）A ．4B．C ．10D ．166. 设集合，，则（ ）A．B．C．D．7. 已知复数满足，则的虚部为（ ）A．B．C．D．8. .已知函数，则是（ ）A ．最小正周期为的奇函数B ．最小正周期为的奇函数C ．最小正周期为的偶函数D ．最小正周期为的偶函数9.已知复数，则（ ）A ．2022B ．2023C．D．10. 若函数在区间上单调递增，则ω的取值范围是（ ）A．B．C．D．11. 设命题甲为“”，命题乙为“”，那么甲是乙的（ ）A ．充分而不必要条件B ．充分必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件12. 黑洞原指非常奇怪的天体，它体积小、密度大、吸引力强，任何物体到了它那里都别想再出来，数字中也有类似的“黑洞”.任意取一个数字串，长度不限，依次写出该数字串中偶数的个数、奇数的个数以及总的数字个数，把这三个数从左到右写成一个新的数字串.重复以上工作，最后会得到一个反复出现的数字串，我们称它为“数字黑洞”，如果把这个数字串设为，则（ ）A．B．C．D．长郡十八校联盟2023届高三第一次联考(全国卷)理科数学试题二、多选题13. 已知函数，若函数只有两个零点，则实数的取值范围是（ ）A．B．C．D．14. 贾宪是我国北宋著名的数学家，其创制的数字图式（如图）又称“贾宪三角”，后被南宋数学家杨辉的著作《详解九章算法》所引用．维空间中的几何元素与之有巧妙的联系，使我们从现实空间进入了虚拟空间．例如，1维最简几何图形线段它有2个0维的端点，1个1维的线段：2维最简几何图形三角形它有3个0维的端点，3个1维的线段，1个2维的三角形区域，如下表所示．利用贾宪三角，从1维到9维最简几何图形中，所有1维线段数的和为（）元素维度几何体维度0123…（线段）21（三角形）331（四面体）4641元素维度几何体维度……………A ．120B ．165C ．219D ．24015. 某品牌可降解塑料袋经自然降解后残留量y 与时间t （单位：年）之间的关系为．其中为初始量，k 为降解系数．已知该品牌塑料袋2年后残留量为初始量的．若该品牌塑料袋需要经过n 年，使其残留量为初始量的，则n 的值约为（）（参考数据：，）A ．20B ．16C ．12D ．716. 已知在同一坐标系下，指数函数和的图象如图，则下列关系中正确的是（）A．B．C．D．17. 已知正方体的棱长为，，，则下列说法正确的有（ ）A ．的最小值是B ．当时，为线段的中点C ．当时，平面D ．以为球心，为半径的球面与该正方体的表面形成的交线长为18. 已知a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ）A ．若，则B ．若，则C ．若，则D ．若，则19. 已知向量，是平面内的一组基向量，O 为内的定点，对于内任意一点P ，当时，则称有序实数对为点P 的广义坐标．若点A ，B 的广义坐标分别为，，关于下列命题正确的是（ ）A ．线段A ，B 的中点的广义坐标为B．A ，B 两点间的距离为C ．若向量平行于向量，则D ．若向量垂直于向量，则20. 在棱长为的正四面体中，过点且与平行的平面分别与棱交于点，点为线段上的动点，则下列结论正确的是（ ）A ．B ．当分别为线段中点时，与所成角的余弦值为C ．线段的最小值为D ．空间四边形的周长的最小值为21. 已知某正方体的体积为64，它的内切球的球面上有四个不同点，，，，且，则下列说法正确的是（ ）A ．若，则直线与可能异面B ．若，则直线与可能平行C ．若，则平行直线与间距离的取值范围是D ．若直线与相交，则四边形面积的取值范围是22. 已知为坐标原点，，是双曲线的焦点，在双曲线上，且，，则下列说法正确的是（ ）A ．的面积为24B．双曲线的离心率为C．点的横坐标为D ．过双曲线上任一点作两渐近线的垂线，垂足分别为，，当取得最小值时23. 底面为直角三角形的三棱锥的体积为4，该三棱锥的各个顶点都在球O 的表面上，点P 在底面ABC 上的射影为K ，，则下列说法正确的是（ ）A ．若点K 与点A 重合，则球O 的表面积的最小值为B．若点K 与点A 重合，则球O 的体积的最小值为C．若点K 是的斜边的中点，则球O 的表面积的最小值为D．若点K 是的斜边的中点，则球O 的体积的最小值为24. 已知P 是圆O ：上的动点，点Q (1，0)，以P 为圆心，PQ 为半径作圆P ，设圆P 与圆O 相交于A ，B 两点．则下列选项正确的是三、填空题四、解答题（ ）A ．当P 点坐标为(2,0)时，圆P 的面积最小B ．直线AB 过定点C ．点Q 到直线AB 的距离为定值D．25. 是虚数单位，复数___________.26. 设，若函数是偶函数，则的单调递增区间是_________.27. 在平面直角坐标系中，角的顶点为坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，若，点在角的终边上，则角___________.(用弧度表示)28.已知是递增的等差数列，其前项和为，且，写出一个满足条件的数列的通项公式______．29.抛物线上点A 与焦点F 距离为2，以AF 为直径的圆与y 轴交于点，则_________.30.已知在中，，，是边上的中线，且，则的长为___________.31. 将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的函数图象向左平移个单位，最后所得到的图象对应的解析式是 ．32. 彝族图案作为人类社会发展的一种物质文化，有着灿烂历史．按照图案的载体大致分为彝族服饰图案、彝族漆器图案、彝族银器图案等，其中蕴含着丰富的数学文化，如图1，漆器图案中出现的“阿基米德螺线”，该曲线是由一动点匀速离开一个固定点的同时又以固定的角速度绕该固定点转动所形成的轨迹．这些螺线均匀分布，将其简化抽象为图2，若，则所对应的弧长为______．33. 已知函数.（1）化简函数的表达式，并求函数的最小正周期；（2）若点是图象的对称中心，且，求点的坐标.34. 化简：．35.已知(1)化简．(2)若为第三象限角，且，求的值．36. 已知椭圆，直线过的左顶点与上顶点，且与两坐标轴围成的三角形的面积为1．(1)求椭圆的标准方程；五、解答题(2)已知点，（异于点）是椭圆上不同的两点，且，过作的垂线，垂足为，求到直线的距离的最大值．37. 已知角的顶点与原点O 重合，它的始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点.(1)求的值；(2)求值：.38. 已知的内角的对边分别为，且，(1)求的大小；(2)若，求的面积．39. 在三棱锥中，G 是的重心，P 是面内一点，且平面.（1）画出点P 的轨迹，并说明理由；（2）平面，，，，当最短时，求二面角的余弦值.40.某校为检测高一年级学生疫情期间网课的听课效果，从年级随机抽取名学生期初考试数学成绩（单位：分），画出频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是、、、、.(1)求图中的值，并根据频率分布直方图估计这名学生数学成绩的平均分；(2)从和分数段内采用分层抽样的方法抽取名学生，再从这名学生中随机抽取名学生进行座谈，求这名学生中有两名成绩在的概率；(3)已知（2）问中抽取的名同学中含有甲、乙两人，甲已经被抽出座谈，求乙也参与座谈的概率.41.三棱锥中，，，，平面，，为中点，点在棱上(端点除外).过直线的平面与平面垂直，平面与此三棱锥的面相交，交线围成一个四边形.（1）在图中画出这个四边形，并写出作法(不要求证明)；（2）若.求直线与平面所成角的正弦值.42.如图，是底部不可到达的一个塔型建筑物，为塔的最高点．现需在塔对岸测出塔高， 甲、乙两同学各提出了一种测量方法，甲同学的方法是：选与塔底在同一水平面内的一条基线，使不在同一条直线上，测出及的大小（分别用表示测得的数据）以及间的距离（用表示测得的数据），另外需在点测得塔顶的仰角（用表示测量的数据），就可以求得塔高．乙同学的方法是：选一条水平基线，使三点在同一条直线上．在处分别测得塔顶的仰角（分别用表示测得的数据）以及间的距离（用表示测得的数据），就可以求得塔高．请从甲或乙的想法中选出一种测量方法，写出你的选择并按如下要求完成测量计算：①画出测量示意图；②用所叙述的相应字母表示测量数据，画图时按顺时针方向标注，按从左到右的方向标注；③求塔高．43. 保障性租赁住房，是政府为缓解新市民、青年人住房困难，作出的重要决策部署．2021年7月，国务院办公厅发布《关于加快发展保障性租赁住房的意见》后，国内多个城市陆续发布了保障性租赁住房相关政策或征求意见稿．为了响应国家号召，某地区计划2021年新建住房40万平方米，其中有25万平方米是保障性租赁住房．预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长，另外，每年新建住房中，保障性租赁住房的面积均比上一年增加5万平方米．(1)到哪一年底，该市历年所建保障性租赁住房的累计面积(以2021年为累计的第一年)将首次不少于475万平方米?(2)到哪一年底，当年建造的保障性租赁住房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于?44. 在中学生综合素质评价某个维度的测评中，分优秀、合格、尚待改进三个等级进行学生互评.某校高一年级有男生500人，女生400人，为了了解性别对该维度测评结果的影响，采用分层抽样方法从高一年级抽取了45名学生的测评结果，并作出频数统计表如下：表一：男生男生等级优秀合格尚待改进频数155表二：女生女生等级优秀合格尚待改进频数153（1）求,的值；（2）从表一、二中所有尚待改进的学生中随机抽取3人进行交谈，记其中抽取的女生人数为，求随机变量的分布列及数学期望；（3）由表中统计数据填写列联表，并判断是否有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”.男生女生总计优秀非优秀总计45六、解答题参考公式：，其中.参考数据：0.010.050.012.7063.8416.63545. 已知三棱柱中，，，平面ABC，，E 为AB 中点，D 为上一点.(1)求证：；(2)当D 为的中点时，求三棱锥与四棱锥的体积之比.46. 已知函数，是的导函数.(1)若，求证：当时，恒成立；(2)若存在极小值，求的取值范围.47.如图，在三棱柱中，点P ，G 分别是，的中点，已知⊥平面ABC ，==3，==2.(1)求异面直线与AB 所成角的余弦值；(2)求证：⊥平面；(3)求直线与平面所成角的正弦值.48. 已知函数，.(1)若是奇函数，求a的值并判断的单调性（单调性不需证明）；(2)对任意，总存在唯一的，使得成立，求正实数a 的取值范围.49. 已知，函数，其中e 是自然对数的底数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)当时，求函数的单调区间；(3)求证：函数存在极值点，并求极值点的最小值.七、解答题50.已知三棱柱在中, 侧面为正方形, 延长到,使得,平面平面.(1)若分别为的中点, 求证：平面；(2)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.51. 为了研究学生每天整理数学错题情况，某课题组在某市中学生中随机抽取了100名学生调查了他们期中考试的数学成绩和平时整理数学错题情况，并绘制了下列两个统计图表，图①为学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，图②为学生一个星期内整理数学错题天数的扇形图．若本次数学成绩在110分及以上视为优秀，将一个星期有4天及以上整理数学错题视为“经常整理”，少于4天视为“不经常整理”．已知数学成绩优秀的学生中，经常整理错题的学生占．(1)根据图①、图②中的数据，画出列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析数学成绩优秀与经常整理数学错题是否有关？(2)用频率估计概率，在全市中学生中按经常整理错题与不经常整理错题进行分层随机抽样，随机抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2人进行座谈，求这2名同学中经常整理错题且数学成绩优秀的人数X 的分布列和数学期望．附：，其中．0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82852. 某投资公司2012年至2021年每年的投资金额（单位：万元）与年利润增量（单位：万元）的散点图如图：该投资公司为了预测2022年投资金额为20万元时的年利润增量，建立了关于的两个回归模型；模型①：由最小二乘公式可求得与的线性回归方程：；模型②：由图中样本点的分布，可以认为样本点集中在由线：的附近，对投资金额做换元，令，则，且有，(1)根据所给的统计量，求模型②中关于的回归方程；(2)分别利用这两个回归模型，预测投资金额为20万元时的年利润增量（结果保留两位小数）；附：样本的最小乘估计公式为；参考数据：.53. 某居民小区为缓解业主停车难的问题，拟对小区内一块扇形空地进行改建.如图所示，平行四边形区域为停车场，其余部分建成绿地，点在围墙弧上，点和点分别在道路和道路上，且米，，设．（1）求停车场面积关于的函数关系式，并指出的取值范围；（2）当为何值时，停车场面积最大，并求出最大值（精确到平方米）.54. 袋中有2个黑球和1个白球，现随机从中有放回地取球，每次取1个，约定：连续两次取到黑球或者取满5次，则取球结束．在取球过程中，计分规则如下：若取到1次黑球，得2分；取到1次白球，得1分．小明按照如上约定和规则进行取球，最终累计积分为．(1)求小明取球次数不超过4次的概率；(2)求的分布列和期望．55. 冬天的北方室外温度极低，若轻薄保暖的石墨烯发热膜能用在衣服上，可爱的医务工作者行动会更方便．石墨烯发热膜的制作：从石墨中分离出石墨烯，制成石墨烯发热膜．从石墨分离石墨烯的一种方法是化学气相沉积法，使石墨升华后附着在材料上再结晶．现有A材料、B材料供选择，研究人员对附着在A、B材料上再结晶各做了50次试验，得到如下等高条形图．（1）由上面等高条形图，填写列联表，判断是否有99%的把握认为试验成功与材料有关？（2）研究人员得到石墨烯后，再制作石墨烯发热膜有三个环节：①透明基底及UV胶层；②石墨烯层；③表面封装层．每个环节生产合格的概率均为，且各生产环节相互独立．已知生产1吨的石墨烯发热膜的固定成本为1万元，若生产不合格还需进行修复，且生产1吨石塑烯发热膜的每个环节修复费用均为1000元．如何定价，才能实现每生产1吨石墨烯发热膜获利可达1万元以上的目标？附：参考公式：，其中．0.1000.0500.0100.0050.001k 2.706 3.841 6.6357.87910.82856. 某种产品特约经销商根据以往当地的需求情况，得出如下该种产品日需求量的频率分布直方图．八、解答题(1)求图中a 的值，并估计日需求量的众数；(2)某日，经销商购进130件该种产品，根据近期市场行情，当天每售出1件能获利30元，未售出的部分，每件亏损20元．设当天需求量为件（），纯利润为S 元．（ⅰ）将S 表示为的函数；（ⅱ）据频率分布直方图估计当天纯利润S 不少于3400元的概率．57.双曲线：的左顶点为，右焦点为，离心率．(1)设点和点到某一条渐近线的距离分别为和，求的值．(2)过点且不与轴重合的直线交双曲线于，两点，①已知点在第一象限，设直线和直线的倾斜角分别为，，若，求；②求．58. 已知三棱锥的侧棱，．且为靠近的三等分点．(1)证明：；(2)求点到平面的距离．59. ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，向量，，且．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若a ＝2，，求ABC 的面积．60.如图，圆柱是矩形绕其边所在直线旋转一周所得，AB 是底面圆的直径，点C 是弧AB 的中点.（1）求三棱锥体积与圆柱体积的比值；（2）若圆柱的母线长度与底面半径相等，点M 是线段的中点，求异面直线CM 与所成角的大小.61. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是，已知（1）求角B 的大小；（2）求三角形ABC 的面积.62.已知函数．（1）求函数的最小正周期和严格增区间；（2）函数图像可以由函数的图象经过怎样的变换得到？。
辽宁省部分重点高中2021届高三第一学期联考数学试题及答案
高三考试数学试卷考生注意：1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.2.请将各大题答案填写在答题卡上.3.本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语、函数与导数、三角函数与解三角形、向量、数列、复数、不等式、立体几体、解析几何.第I卷一、选择题1.设集合A = {x∖-2<x≤∖}, B = {x∣-x2-3x + 4>θ},则ACB=（）2. "Λ∈Q"是^XeZ f9的(A. (-4J)B. (-2,1] D. (—2,1)A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充要条件D. 既不充分也不必要条件3・复数的虚部为（（1 +万A.4.A.丄2λ C rιl Sin^-2cos^若tan6> = 3> 则-----------3 sin + cos4B. —一110B. C. 1・-I2D.D.1・-Z2310 5.已知向量α = (2,4), b= (l√ι) > 若Clllb则3a - Hb =()A. B.A. /(x)图象的对称中心为(——+ —^-,0∈ Z)7. 朱载境是明太祖朱元璋的九世孙，虽然贵为藩王世子，却自幼俭朴敦本，聪颖好学，遂成为明代著名的 律学家，历学家、音乐家.朱载1育对文艺的最大贡献是他创建下十二平均律，亦称“十二等程律”.十二平 均律是将八度的音程按频率比例分成十二等份，也就是说，半单比例应该是2吉，如果12音阶中第一个音 的频率是F ,那么第二个音的频率就是2⅛F ,第三个单的频率就是2⅛y7 ,第四个音的频率是2⅛f .……， 第十二个音的频率是2詈尸，第十三个音的频率是2罟尸，就是2F.在该问题中，从第二个音到第十三个 音，这十二个音的频率之和为( ).8 •如图，在四而体ABCD 中，AB = CD = 3, AC = BD = 皿 AD = BC = 2® ΛABC 的重心为0, 则 DO=( ).二. 选择题9.已知命题p ：Vx>0, InX>0,贝∣J ( A. rP 是真命题 -n/?:3x>0, lav≤O10.已知函数Z(X) = 2COS 2 6yχ + √3 sin 2ωx(ω > 0),若/⑴ 的最小正周期为G 则下列说法正确的有 B. 函数y = ∕(χ)-2在[O,刃上有且只有两个零点A. 2FC.——2π-lC."是真命题C./(X)的单调递增区间为一£ +炽,? +畑(ZceZ).3 6 」D.将函数y = 2sin2x+1的图象向左平移+个单位长度，可得到/(x)的图彖1厶11.已知正方体ABCD-A^CP X的棱长为2, E, F分别是AA , CCI的中点，过f, F的平而α与该正方体的每条棱所成的角均相等，以平而Q截该正方体得到的截而为底而，以为顶点的棱锥记为棱锥 C，则( )A.正方体ABCD-A I B I C I D I的外接球的体积为4血4B.正方体ABCD-A I B I C i D l的内切球的表而积为一穴C.棱锥Q的体积为33D.棱锥G的体积为=22 212.已知双曲线C：二一二= l(α>O">O)与直线y = d交于A, B两点，点P为C上一动点，记直线Cr ∖yPA, PB的斜率分別为紡…kp li, C的左、右焦点分別为F^F2.若k pλ∙k pii=^t且C的焦点到渐近线的距离为1,则下列说法正确的是( )A. a = 2B.C的离心率为2C.若P斤丄PF2,则斤巧的而积为2D.若片佗的面积为2巧，则济竹为钝角三角形第II卷三、填空题[2v,x≤0. X13.已知函数/U) = 「,则/(6)= ________ .J (x-3),x >0214.已知直线/与直线x-y + 2 = 0平行，且与曲线y = ∖nx一一 + 1相切，则直线/的方程是_____ ・X15.若nι>Of n >0^ m+n = Smn-I > 贝∣J"7+"的最小值为__________16.已知直线x + 3y-7 = O 与椭圆—+ C = 1（O<∕9<3）相交于4〃两点•椭圆的两个焦点分别是F p F., 9 Ir线段AB 的中点为C(l,2),则△(?斤佗的面积为 _________ 四、解答题I — 1 1 /1 λ0_ 17. (1)化简：√82+ Iog 9 8XIog 2 27 + 0.064 3-164 + - 一扬T .7 >(2)已知T = 3 , 2" =5,求Iogi 2 20(用加皿表示)・18・在φa + c = y ∕3b 且 2sir√ B = 3sin AsinC ，® (SinA -SinC)2=sin 2B-SinASinC, (^)ΛABC 的 而积S = W -U这三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并作答.4问题：在AABC 中，内角A,B,C 所对的边分别为gb,c,且 _____________ .（1）求 sinB ：（2）若a = 2c,且厶ABC 的而积为2√3>求厶ABC 的周长・ 注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分. 19 •设正项数列｛©｝的前刃项和为a l =l 9且S^=S tt +2y ∣S^ + ∖. （1）证明：数列｛、何］是等差数列并求数列｛©｝的通项公式;⑵已知化=詁「，数列｛$｝的前"项的和为人，若T n <λ LJn 求久的取值范用・20. 如图，在四棱锥P-ABCD 底而ABCD 是正方形，侧而PAD 是边长为2的正三角形，PD 丄CD •点E 为线段PC 的中点，点F 是43上的点.21. 已知函数/（x ） = （x-l ）e r（1）求/（x ）的最值：—+ 一js,）对一切 n ∈ N* 恒成立,（1）当F 为43中点时，证明：平而DEF 丄平而PCD(2)若/(x) +JnInX+ x + "对xw(0,+oo)恒成立，求"的取值范用.22.抛物线C-.x2 =2Py(P >0)的焦点为F ,过F且垂直于，轴的直线交抛物线C于M, N两点，。
江苏南通徐州宿迁淮安泰州镇江六市联考2020-2021学年下高三第一次调研考试数学试题(全解析)
江苏省南通、徐州、宿迁、淮安、泰州、镇江六市联考2021届高三第一次调研测试数 学2021．02注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号，考场号、座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时， 选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题 5分，共 40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合A ＝{}26x N x ∈<<，B ＝{}2log (1)2x x -<，则A B ＝A ．{}35x x ≤<B ．{}25x x <<C ．{3，4}D ．{3，4，5} 2．已知2＋i 是关于x 的方程250x ax ++=的根，则实数a ＝A ．2－iB ．－4C ．2D ．4 3．哥隆尺是一种特殊的尺子，图1的哥隆尺可以一次性度量的长度为1，2，3，4，5，6．图2的哥隆尺不能一次性度量的长度为A ．11B ．13C ．15D ．174．医学家们为了揭示药物在人体内吸收、排出的规律，常借助恒速静脉滴注一室模型来进行描述，在该模型中，人体内药物含量x （单位：mg ）与给药时间t （单位：h ）近似满足函数关系式0(1e )kt k x k-=-，其中0k ，k 分别称为给药速率和药物消除速率（单位：mg /h ）．经测试发现，当t ＝23时，02k x k=，则该药物的消除速率k 的值约为（ln2≈0.69） A ．3100 B ．310 C ．103 D ．10035．(12)n x -的二项展开式中，奇数项的系数和为 A ．2nB ．12n - C ．(1)32n n -+ D ．(1)32n n--6．函数sin 21xy x π=-的图象大致为A BC D 7．已知点P 是△ABC 所在平面内一点，有下列四个等式： 甲：PA PB PC ++=0； 乙：()()PA PA PB PC PA PB ⋅-=⋅-； 丙：PA PB PC ==； 丁：PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅． 如果只有一个等式不成立，则该等式为A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁8．已知曲线ln y x =在A (1x ，1y )，B (2x ，2y )两点处的切线分别与曲线e x y =相切于C (3x ，3y )，D (4x ，4y )，则1234x x y y +的值为A ．1B ．2C ．52D ．174二、 选择题：本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
2021届湖南省高三长郡中学、衡阳八中等十三校重点中学第一次联考数学(文)试卷
15．若函数 在区间 上的最小值大于零，则 的取值范围是__________．
三、解答题
16．在数列 中，已知 .
（1）证明数列 是等比数列，并求数列 的通项公式；
（2）设 的前 项和为 ，求证： .
【方法点睛】空间几何体的三视图是从正面、侧面、上面三个方向对一个几何体的全方位透视，因此解答这类问题的关键是根据三视图所提供的图形信息弄清楚该几何体的形状和有关数据，然后选择运用相应的体积和面积公式进行求解.
考点：1、直三棱柱的空间几何体；2、三棱柱的表面积.
7．A
【解析】
由算法流程图所提供的算法程序可知：当 时， ，运算程序结束，所以当 时运算程序不再继续，故应填 ，应选答案A．
A． 年B． 年C． 年D． 年
10．在 中，角 的对边分别为 ，若 ，则向量 在 方向上的投影为（ ）
A． B． C． D．
11．将函数 的图象向左平移 个单位，再向上平移2个单位，得到 的图象.若 ，且 ，则 的最大值为 （ ）
A． B． C． D．
12．抛物线 的焦点与双曲线 的右焦点的连线在第一象限内与 交于点 .若 在点 处的切线平行于 的一条渐近线，则 （ ）
（1）求曲线 的极坐标方程；
（2）若射线 分别交 于 两点，求 的最大值.
22．选修4-5：不等式选讲.
已知函数 .
（1）求 时，求不等式 的解集；
（2）当 时，若 的图象与 轴围成的三角形面积等于6，求 的值.
参考答案
1．B
【解析】由题设可得 ，应选答案B。
2．D
【解析】因为 ，所以点 在第四象限，应选答案D。
数学一轮复习第十一章11.2数系的扩充与复数的引入课时作业理含解析
课时作业67 数系的扩充与复数的引入［基础达标]一、选择题1．[2021·黄冈中学，华师附中等八校联考]设i是虚数单位，若复数a＋5i1＋2i(a∈R）是纯虚数，则a＝(）A．－1B．1C．－2D．22．［2021·湖南省长沙市高三调研试题]复数错误!＝（) A.错误!－iB。
错误!－错误!iC．－1D．－i3．[2021·大同市高三学情调研测试试题］设z＝错误!2，则z 的共轭复数为（)A．－1B．1C．iD．－i4．[2021·南昌市高三年级摸底测试卷］复数z满足错误!＝1－i，则｜z｜＝()A．2iB．2C．iD．15．[2021·合肥市高三调研性检测］已知i是虚数单位，复数z＝错误!在复平面内对应的点位于（)A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限6．[2021·安徽省示范高中名校高三联考]已知i为虚数单位，z＝错误!，则z的虚部为（）A．1B．－3C．iD．－3i7．[2021·惠州市高三调研考试试题]已知复数z满足（1－i）z＝2＋i(其中i为虚数单位），则z的共轭复数是（）A．－错误!－错误!iB.错误!＋错误!iC．－错误!＋错误!iD.错误!－错误!i8．［2021·长沙市四校高三年级模拟考试］已知复数z＝错误!，则下列结论正确的是（)A．z的虚部为iB．|z|＝2C．z的共轭复数错误!＝－1＋iD．z2为纯虚数9．［2021·广东省七校联合体高三第一次联考试题]已知复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称,若z1＝1－2i，则错误!＝(）A.35－错误!iB．－错误!＋错误!iC．－错误!－错误!iD.错误!＋错误!i10．［2021·唐山市高三年级摸底考试］已知p，q∈R,1＋i是关于x的方程x2＋px＋q＝0的一个根，其中i为虚数单位，则p·q＝()A．－4B．0C．2D．4二、填空题11．[2020·江苏卷］已知i是虚数单位，则复数z＝（1＋i)·（2－i)的实部是________．12．［2021·重庆学业质量抽测］已知复数z1＝1＋2i，z1＋z2＝2＋i，则z1·z2＝________。