浙江省宁波市九校2020-2021学年高一上学期期末联考数学试题含答案

宁波市九校联考高一数学参考答案第1页共5页宁波市一2020学年第学期期末九校联考高一数学参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．6 14．21015．3+ 16．(,4)−∞− 四、解答题：本题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．解析：（Ⅰ）{|02}A x x =<<，………………………………………………………1分 1|,,a B y y x x a ⎧⎫⎛⎫==∈∞⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭+表示函数1,,a y x x a ⎛⎫=∈∞ ⎪⎝⎭+的值域，当1a =时，1y x=在(1,)∞+上单调递减，值域{|01}B y y =<<， ………………3分 {|10}U B y y y =≥≤，或C ，………………………………………………………………4分()[1,2)U AB=C ， (5)分（Ⅱ）由A BA =知AB ⊆，由()U A B U =C 知B A ⊆，所以(0,2)B A ==，…………………………………………………………………………8分故0a >，且2(0,)(0,2)a =，即a 分18．解析：（Ⅰ）π()2sin cos()cos 26f x x x x =−+ 212sin sin cos 22cos sin cos 2112cos 222x x x x x x x xx x ⎫++⎪⎪⎝⎭++=++= π1sin(2)62x =++………………………………………………………………………3分因为π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ7π2666x ≤+≤，宁波市九校联考高一数学参考答案第2页共5页由πππ2662x ≤+≤得π06x ≤≤，故单调递增区间为π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦;………………………………………………………………5分 1πsin 2126x ⎛⎫−≤+≤ ⎪⎝⎭，所以当π6x =时，()f x 取最大值32, 当π2x =时，()f x 取小值0.………………7分（Ⅱ）设π26t x =+，()sin h t t =，π7π,66t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， “函数()()g x f x a =−有且仅有一个零点”等价于“直线12y a =−与()y h t =有且只有一个交点”，………… …………………………………………………………………10分数形结合可得11111,2222a a −=≤−<或-，即3,012a a =≤<或. 故a 的取值范围为3012a a a ⎧⎫=≤<⎨⎬⎩⎭或．…………………………………………12分 19．解析：（Ⅰ）当0k =时，不等式为4(4)0x −−>，(,4)A =−∞；…………2分当0k >时，4(,4)(,)A k k =−∞++∞；………………………………………4分当0k <时，4(,4)A k k=+；…………………………………………………6分（Ⅱ）由（1）知0k <，且465k k−≤+<−，…………………………………………8分即22540640k k k k ⎧++>⎪⎨++≤⎪⎩……………………………………………………………………10分解得k 的取值范围是[35,4)(1,35]−−−−−+…………………………………12分20．解析：（Ⅰ）由题意得23244POQ ππ∠=⨯=，弧长π25π5042l =⨯=；………2分（Ⅱ）以轴心O 为原点，与地面平行的直线为x 轴建立平面直角坐标系，0t =时，游客在点(0,50)M −，初始位置所对应的角为π2−，角速度ω为π6rad /min ，由题意可得宁波市九校联考高一数学参考答案第3页共5页ππ50sin 60,01262H t t ⎛⎫=−+≤≤ ⎪⎝⎭；………………………………………………6分（Ⅲ）法1：由4POQ π∠=得乙比甲始终落后π4rad ，故经过t 分钟后，甲乙相对于地面的距离分别为1ππ50sin 6062H t ⎛⎫=−+ ⎪⎝⎭，2π3π50sin 6064H t ⎛⎫=−+ ⎪⎝⎭，012t ≤≤，若都要获得最佳视觉效果，应满足50sin 608562t ππ⎛⎫−+≥ ⎪⎝⎭，且π3π50sin 608564t ⎛⎫−+≥ ⎪⎝⎭， ………………………………………………………8分化简得1sin 622t ππ⎛⎫−≥ ⎪⎝⎭，π3π1sin 642t ⎛⎫−≥ ⎪⎝⎭，因为012t ≤≤，所以2622t πππ3π−≤−≤，3ππ3π5π4644t −≤−≤，由6626t πππ5π≤−≤，6646t ππ3π5π≤−≤得48t ≤≤，22t 1119≤≤，故解得1182t ≤≤， ……………………………………………………………………11分所以摩天轮旋转一周能有52分钟使甲，乙两位游客都有最佳视觉效果．………12分法2：经过t 分钟后，甲相对于地面的距离为ππ50sin 6062H t ⎛⎫=−+ ⎪⎝⎭，012t ≤≤，若要获得最佳视觉效果，应满足50sin 608562t ππ⎛⎫−+≥ ⎪⎝⎭， ………………………8分化简得1sin 622t ππ⎛⎫−≥ ⎪⎝⎭，因为012t ≤≤，所以2622t πππ3π−≤−≤，由6626t πππ5π≤−≤，得48t ≤≤， ………………………………………………10分由乙比甲始终落后32min ，知乙在111922t ≤≤时获得最佳视觉效果，要使甲，乙两位游客都有最佳视觉效果，则1182t ≤≤，……………………………11分所以摩天轮旋转一周能有52分钟使甲，乙两位游客都有最佳视觉效果．…………12分 21．解析：（Ⅰ）函数2()ln x f x x−=的定义域为(0,2)，任取12(0,2)x x ∈，，且12x x <，宁波市九校联考高一数学参考答案第4页共5页21212122()()lnln x x f x f x x x −−−=−1122122ln 2x x x x x x −=−，…………………………2分因为1202x x <<<，所以112212022x x x x x x <−<−，从而21()()0f x f x −<，即21()()f x f x <，因此函数()f x 在定义域(0,2)内单调递减.…………………………………………4分（Ⅱ）设函数1()(1)ln 1x h x f x x −=+=+，定义域为(1,1)−，对于任意的(1,1)x ∈−，1()ln ()1x h x h x x +−==−−+，故()h x 为奇函数，且由()f x 是减函数可知，()h x 也是减函数，由(1)(1)0f a f b +++=，得()()()h a h b h b =−=−，故a b =−．（也可以列方程直接解出a b =−）………………7分由()()0g a g b +=得442(22)20a b a b m m +++−+=，即442(22)20a a a a m m −−+++−+=，令22a a t −=+，由,(1,1),a b a b ∈−≠得52,2t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，………………………………9分即220t mt m +−=在52,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内有解，方法1：由220t mt m +−=得222111212111t m t t t t ===−⎛⎫−−− ⎪⎝⎭，当5(2,)2t ∈时，2131611,425t ⎛⎫⎛⎫−−∈−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以21254,163111t ⎛⎫∈−− ⎪⎝⎭⎛⎫−− ⎪⎝⎭，综上所述，m 的取值范围是254,163⎛⎫−− ⎪⎝⎭……………………………………………12分方法2：设2()2u t t mt m =+−，(2)34u m =+，525()424u m =+ ①5(2)()02u u <即254163m −<<−； ②25(2)0,()02440522u u m m m ⎧>>⎪⎪⎪∆=+≥⎨⎪⎪<−<⎪⎩，无解； ③(2)0,92,4u m =⎧⎪⎨<−<⎪⎩无解；宁波市九校联考高一数学参考答案第5页共5页 ④5()0,295,42u m ⎧=⎪⎪⎨⎪<−<⎪⎩无解. 综上所述，m 的取值范围是254,163⎛⎫−− ⎪⎝⎭…………………………………………12分 22．解析：（Ⅰ）当0a =时，()||f x x =−，对于x ∀∈R ，()||()f x x f x −=−=，故()f x 为偶函数；…………………………………………………………………2分当0a ≠时，(0)||0f a =−≠，故()f x 不是奇函数；(1)|1|,(1)|1|f a a f a a =−−−=−+，由于0a ≠，故|1||1|a a −≠+，即(1)(1)f f ≠−，故()f x 不是偶函数,综上所述，当0a =时，()f x 是偶函数，当0a ≠时，()f x 既不是偶函数又不是奇函数. ………………………………4分（Ⅱ）（i ）当11a −≤≤时，()0f x bx +≤在[1,3]x ∈恒成立等价于2(1)0ax b x a +−+≤在[1,3]x ∈恒成立，即11b a x x ⎛⎫≤−++ ⎪⎝⎭恒成立，…………………………………5分若01a ≤≤，则min 110113a x a x ⎡⎤⎛⎫−++=− ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以1013b a ≤−，故2210113a b a a +≤−+≤，当0a =，1b =时，取到1；…………………………7分若10a −≤<，则min 1112a x a x ⎡⎤⎛⎫−++=− ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以12b a ≤−，故22214a b a a +≤−+≤，当1a =−，3b =时，取到4；…………………………9分（ii ）当12a <≤时，()0f x bx +≤在[1,3]x ∈恒成立等价于10a ax b x+−−≤在[1,3]x ∈恒成立，………………………………………………………………………10分①当1x a <≤时，11b a x x ⎛⎫≤−−− ⎪⎝⎭，2min 11a x a x ⎡⎤⎛⎫−−−=− ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦； ②当3a x <≤时，11b a x x ⎛⎫≤−++ ⎪⎝⎭，min 110113a x a x ⎡⎤⎛⎫−++=− ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；当12a <≤时，21013a a −≥−，故1013b a ≤−，22104133a b a a +≤−+<− 综上所述，2a b +的最大值为4.………………………………………………………12分。

合集下载

浙江省宁波市九校2021-2022学年高二上学期期末联考数学试题及答案

浙江省宁波市九校2021-2022学年高二上学期期末联考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．已知向量()1,2,1a =--，(),1,b x y =-．若//a b ，则（） A ．1x y += B ．1x y -= C ．0x y +=D ．1x y -=-2．已知数列{}n a 的通项公式为()2*29n a n n n N =-+∈．若数列{}n a 的前n 项和为n S ，则n S 取得最大值时n 的值为（） A ．2B ．3C ．4D ．53．若函数()y f x =的图象如图所示，则函数()y f x =的导函数()y f x '=的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．4．已知直线:1l y x =+，椭圆22:13x C y +=．若直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，则线段AB 的中点的坐标为（） A ．13,44⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．31,44⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．13,22⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．31,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭5．若数列{}n a 为等差数列，数列{}n b 为等比数列，则下列不等式一定成立的是（） A ．1423b b b b +≤+ B ．4132b b b b ≤-- C ．3124a a a a ≥D ．3124a a a a ≤6．已知()f x '是偶函数()()R f x x ∈的导函数，()11f =．若0x ≥时，()()30f x xf x '+>，则使得不等式()()3202220221x f x -->成立的x 的取值范围是（） A ．()2021,+∞ B ．(),2021-∞ C ．()2023,+∞D ．(),2023-∞7．若将双曲线22:C mx ny λ-=绕其对称中心顺时针旋转120°后可得到某一函数的图象，且该函数在区间()0,∞+上存在最小值，则双曲线C 的离心率为（）A B C ．2 D ．8．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC =且AB AC ⊥，点E 为1AA 中点．若平面α过点E ，且平面α与直线AB 所成角和平面α与平面11BCC B 所成锐二面角的大小均为30°，则这样的平面α有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、多选题9．若OA ，OB ，OC 是三个不共面的单位向量，且两两夹角均为θ，则（） A ．θ的取值范围是()0,πB ．{},,OA AB BC 能构成空间的一个基底C ．“2OP OA OB OC =-+”是“P ，A ，B ，C 四点共面”的充分不必要条件D ．()0OA OB OC BC ++⋅=10．在平面直角坐标系xOy 中，点()1,0F ，动点M 到点F 的距离与到直线1x =-的距离相等，记M 的轨迹为曲线C ．若过点F 的直线与曲线C 交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，则（） A ．121y y =-B ．OAB 的面积的最小值是2C ．当2AF BF =时，92AB =D ．以线段OF 为直径的圆与圆()22:31N x y -+=相离11．若函数()()()e xf x x a a R =-∈，则（）A ．函数()y f x =的值域为RB ．函数()()g x xf x =有三个单调区间C ．方程()0f x x +=有且仅有一个根D ．函数()()y f f x =有且仅有一个零点12．若数列{}n a 满足()2*1122n n n a a ma n N +=++∈，则（） A ．当112a =，1m =时，13n na a +> B ．当112a =，1m =时，121113n a a a ++⋅⋅⋅+>C ．当13a =，1m =-时，1211na a a >⋅⋅⋅D ．当13a =，1m =-时，112131112n n n a a a a a ++++-⋅⋅⋅+=- 三、填空题13．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上面一层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……．设各层球数构成一个数列{}n a ，其中11a =，23a =，36a =，则5a =______．14．已知点1F 为双曲线22:14x C y -=的左焦点，过原点的直线l 与双曲线C 相交于P ，Q 两点．若13PF =，则1QF =______．15．如图，正四棱锥P ABCD -的棱长均为2，点E 为侧棱PD 的中点．若点M ，N分别为直线AB ，CE 上的动点，则MN 的最小值为______．16．若函数()()213ln 32x ke x f x x x k R x x=--+-∈恰有两个极值点，则k 的取值范围是______．四、解答题17．已知过点()3,2A 的圆的圆心M 在直线3y x =上，且y 轴被该圆截得的弦长为4． (1)求圆M 的标准方程；(2)设点()2,3N -，若点P 为x 轴上一动点，求PM PN +的最小值，并写出取得最小值时点P 的坐标．18．已知函数()()3212af x x x x a R =--+∈． (1)当1a =时，求曲线()y f x =在点()()2,2P f 处的切线方程； (2)若对任意的1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．19．已知正项等差数列{}n a 满足：()*334N n n a a n =+∈，且12a ，2a ，31a +成等比数列．(1)求{}n a 的通项公式；(2)设{}n b 的前n 项和为n S ，且22n n n S a =+，求{}2n b 的前n 项和．20．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AD BC ∥，AD CD ⊥，AB AC ⊥，22CD AD ==．(1)证明：PB AC ⊥；(2)当PB 的长为何值时，直线AB 与平面PCD 所成角的正弦值为45？21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>端点为顶点构成的三角形的面积为(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点()0,2P 作直线l 与椭圆C 相切于点Q ，且直线l 斜率大于0，过线段PQ 的中点R 作直线交椭圆于A ，B 两点（点A ，B 不在y 轴上），连结P A ，PB ，分别与椭圆交于点M ，N ，试判断直线MN 的斜率是否为定值；若是，请求出该定值．22．已知函数()())ln 1R f x x a =++∈． (1)讨论函数()y f x =的单调性；(2)若函数()y f x =有两个零点1x ，2x ，证明：124121x x x x e ⋅++>-．参考答案：1．A 【解析】【分析】根据给定条件利用空间向量平行的坐标表示直接计算作答. 【详解】向量()1,2,1a =--，(),1,b x y =-，因//a b ，则1121x y-==--，解得12x y ==，所以0x y -=，B ，D 都不正确；1x y +=，C 不正确，A 正确. 故选：A 2．C 【解析】【分析】根据单调性分析出数列{}n a 的正数项有哪些即可求解. 【详解】由条件有221[2(1)9(1)](29)47n n a a n n n n n +=-+++--+=--+，当10n n a a +->时，1n =，即1207a a <=<；当10n n a a +-<时，2n ≥，即6543254a a a a a <=-<=<<.即654321504a a a a a a <=-<<=<<<，所以n S 取得最大值时n 的值为4. 故选：C 3．C 【解析】【分析】由函数()f x 的图象可知其单调性情况，再由导函数与原函数的关系即可得解. 【详解】由函数()f x 的图象可知，当0x <时，从左向右函数()f x 先增后减，故0x <时，从左向右导函数()f x '先正后负，故排除AB ；当0x >时，从左向右函数()f x 先减后增，故0x >时，从左向右导函数()f x '先负后正，故排除D. 故选：C. 4．B 【解析】【分析】联立直线方程与椭圆方程，消y 得到关于x 的一元二次方程，根据韦达定理可得32A B x x +=-，进而得出中点的横坐标，代入直线方程求出中点的纵坐标即可.【详解】由题意知，22113y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得2230x x +=，则9810∆=-=>，32A B x x +=-，所以A 、B 两点中点的横坐标为：13()24A B x x +=-，所以中点的纵坐标为：31144-=，即线段AB 的中点的坐标为31()44-，.故选：B 5．D 【解析】【分析】对选项A ，令112n n b -⎛⎫=- ⎪⎝⎭即可检验；对选项B ，令2nn b =即可检验；对选项C ，令n a n=即可检验；对选项D ，设出等差数列的首项和公比，然后作差即可. 【详解】若112n n b -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则12341111,,,248b b b b ==-==-可得：14237184b b b b +=>=-+，故选项A 错误；若2nn b =，则12342,4,8,16b b b b ====可得：4132144b b b b -=>-=，故选项B 错误；若n a n =，则12341,2,3,4a a a a ==== 可得：124346a a a a =<=，故选项C 错误；不妨设{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则有：()112411133a a a a d a a d =+=+()()22311121223a d a d a d a a d a =++=++则有：4223120a a a a d -=≥，故选项D 正确故选：D 6．C 【解析】【分析】构造函数()()3g x x f x =，分析函数()g x 在R 上的单调性，将所求不等式变形为()()20221g x g ->，可得出关于x 的不等式，即可得解.【详解】构造函数()()3g x x f x =，其中R x ∈，则()()()()()33g x x f x x f x g x -=--=-=-，所以，函数()g x 为R 上的奇函数，当0x ≥时，()()()()()232330g x x f x x f x x f x xf x '''=+=+≥⎡⎤⎣⎦，且()g x '不恒为零，所以，函数()g x 在[)0,∞+上为增函数，且该函数在(],0-∞上也为增函数，故函数()g x 在R 上为增函数，因为()11f =，则()()111g f ==，由()()3202220221x f x -->得()()20221g x g ->，可得20221x ->，解得2023x >.故选：C. 7．C【解析】【分析】由题意，可知双曲线的一条渐近线的倾斜角为120°，再确定参数的正负即可求解. 【详解】双曲线22:C mx ny λ-=，令0λ=，则22m y x n =，显然0mn>，则一条渐近线方程为y =，绕其对称中心顺时针旋转120°后可得到某一函数的图象，则渐近线就需要旋转到与坐标轴重合，故渐近线方程y =的倾斜角为120°3m n =，该函数在区间()0,∞+上存在最小值，可知0,0,0m n λ>>>，所以2222313x y nx ny nnλλλ=⇒--=，所以2e ===. 故选：C 8．B 【解析】【分析】构造出长方体1111ABCD A B C D -，取1BB 中点,F 连接,EF 然后利用临界位置分情况讨论即可. 【详解】如图，构造出长方体1111ABCD A B C D -，取1BB 中点F ，连接,EF则所有过E 点与EF 成30角的平面α，均与以EF 为轴的圆锥相切， α过E 点绕EF 且与EF 成30角，当α与水平面垂直且在面11ABB A 的左侧（在长方体1111ABCD A B C D -的外面）时，α与面11BCC B 所成角为75°（AB 与面11BCC B 成45°，AB 与α成30°），α过E 点绕EF 旋转，转一周，90°显然最大，到了另一个边界（在面11ABB A 与11ADD A 之间）为15度，即α与面11BCC B 所成角从75°→90 °→15°→90 °→75°变化，此过程中，有两次角为30 ，综上，这样的平面α有2个，故选：B. 9．BD 【解析】【分析】根据给定条件结合空间向量相关知识逐一分析各个选项即可判断作答. 【详解】因OA ，OB ，OC 是三个不共面的单位向量，且两两夹角均为θ，则三棱锥O ABC -是侧棱长为1的正三棱锥，如图，作OO '⊥平面ABC 于点O '，连接,,O A O B O C '''，则(0,1)O A O B O C r '''===∈，23AO B BO C CO A π'''∠=∠=∠=，BC =，BOC 中，由余弦定理得22221131cos 1(,1)21122BC r θ+-==-∈-⨯⨯，于是得2(0,)3πθ∈，A 不正确；因OA ，OB ，OC 是不共面的，由空间向量基底的意义知，B 正确；假定P ，A ，B ，C 四点共面，依题意，存在唯一实数对(,)x y 使得BP xBA yBC =+，即(1)OP xOA x y OB yOC =+--+，而2OP OA OB OC =-+，由空间向量基本定理知2111x x y y =⎧⎪--=-⎨⎪=⎩，此方程组无解，则有P ，A ，B ，C 四点不共面，“2OP OA OB OC =-+”是“P ，A ，B ，C 四点共面”的不充分不必要条件，C 不正确；22()()()OA OB OC BC OA OB OC OC OB OA OC OA OB OC OB ++⋅=++⋅-=⋅-⋅+-cos cos 110θθ=-+-=，D 正确. 故选：BD 10．BCD 【解析】【分析】由题意可知点M 的轨迹是以 F 为焦点 , 直线1x =-为准线的抛物线，结合抛物线的相关知识可以判断ABC ，结合圆与圆的位置关系的相关知识，可判断D 【详解】依据题意动点M 到点 F ( 1 , 0 ) 的距离与它到直线1x =-的距离相等，由抛物线定义知点M 的轨迹是以 F 为焦点 , 直线1x =-为准线的抛物线，所以点 P 的轨迹 C 的方程为 24,y x =对于A ，取 AB ⊥ x 轴，则124,y y =-故A 错误；对于B ，显然直线AB 的斜率不为 0 , 设直线AB 的方程为1x my =+, 联立214x my y x =+⎧⎨=⎩整理可得 2440,?y my --= 所以124,y y m +=124,y y =-所以Δ121116222OAB S OF y y =⋅-==，当0m =时取等号，所以OAB 的面积的最小值是 2，所以B 正确； C 中，2AF BF =时 , 则 2,AF FB = 所以()1122(1,)21,,x y x y --=- 122y y =-⊥ ,而124,y y m +=⊥，124,y y =-⊥， ⊥⊥⊥联立可得 22121215()24282m x x m y y m =+=++=+=由抛物线的性质可得 12592,22AB x x p =++=+=所以C 正确； D 中 , 以OF 为直径的圆的方程为2211()24x y -+=, 圆心1(,0),2C 半径112r =圆22:(3)1N x y -+=的圆心()3,0,N 半径21,r = 所以圆心距121513312222CN r r =-=>+=+= 可得两个圆相离，所以 D 正确；故选： BCD . 11．BC 【解析】【分析】利用导数研究函数的单调性求出函数的值域，即可判断选项A ；利用导数研究函数的单调性和二次函数的性质，即可判断选项B ；将问题转化为函数图象的交点，分别利用二次求导、三次求导讨论函数的单调性，即可判断选项C 、D ；【详解】A ：()e ()e (1)e x x x f x x a x a '=+-=-+，令()01f x x a '=⇒=-，所以在(1)a -+∞，上()0f x '>，()f x 单调递增，在(1)a -∞-，上()0f x '<，()f x 单调递减，所以1min ()(1)e 0a f x f a -=-=-<，所以()f x 的值域为1(e )a --+∞，，故A 错误； B ：2()()()e x g x xf x x ax ==-，2()[(2)]e x g x x a a '=+--，令2()(2)h x x a a =+--，240=∆+>a ，所以函数()h x 有两个零点12x x ==所以在12()()x x -∞+∞，，上()0h x >，即()0g x '>，则()g x 单调递增，在12()x x ，上()0h x <，即()0g x '<，则()g x 单调递减，所以()()g x xf x =有3个单调区间，故B 正确； C ：方程()0f x x +=的根为e x x a x =+的根，令()ex xp x x =+，则1e 1()1e ex x xx xp x -+-'=+=，令()e 1x q x x =+-，则()e 1x q x '=-，所以在(0)∞-，上()0q x '<，()q x 单调递减，在(0)+∞，上()0q x '>，()q x 单调递增，所以min ()(0)0q x q ==，所以()0q x >，有()0p x '>，()p x 单调递增，所以函数y a =与()e x x p x x =+有一个交点，即方程e xxa x =+有一个根，所以方程()0f x x +=有且只有一个根，故C 正确；D ：函数(())y f f x =的零点为方程(())0f f x =的根，令()t f x =，则()0f t =，所以()e 0tt a t a -=⇒=，有()f x a =，即()e xx a a -=，得e =e 1xx x a +，令e ()e 1xx x s x =+，则2e (e 1)()(e 1)x x x x s x ++'=+，令()e 1x u x x =++，则()e 10x u x '=+>，所以()u x 在R 上单调递增，又lim ()lim ()x x u x u x →-∞→+∞=-∞=+∞，，所以存在0x R ∈使得0()0u x =，则在0()x -∞，上()0u x <，即()0s x '<，()s x 单调递减，在0()，x +∞上()0u x >，即()0s x '>，()s x 单调递增，所以min 0()()s x s x ==000e e 1x x x +，当000e e 1x x x a <+时，方程(())0f f x =无根，函数(())y f f x =没有零点；当000e e 1x x x a =+时，方程(())0f f x =有一个根，函数(())y f f x =有一个零点；当000e e 1x x x a >+时，方程(())0f f x =有两个根，函数(())y f f x =有两个零点，故D 错误.故选：BC 【点睛】在解函数零点相关的问题时，通常将问题转化为方程的根或函数的交点来研究，利用导数讨论函数的单调性、值域时，若第一次导没有得出结果，往往要进行二次求导或三次求导，平时练习应注重培养计算能力、逻辑推理能力和数形结合、分类讨论思想. 12．AD 【解析】【分析】利用基本不等式和二次函数的性质即可判断选项A ；由选项A 可知13n n a a +>，根据累乘法得到1123n n a -<，结合不等式的性质即可判断选项B ；举例1n =，即可判断选项C ；将递推公式变形可得111122n n n a a a +=---，结合裂项相消法即可判断选项D. 【详解】A ：当1112a m ==，时，21122n n n a a a +=++，所以112132n n n n a a a a +=++≥，当且仅当122n na a =即2n a =时等号成立，又2221113113212(1)(1)22222228n n n n a a a a +=++=++≥++=>，所以等号取不到，故A 正确；B ：由A 知13n n a a +>，由累乘法得111332n n n a a -->⋅=，所以1123n n a -<，所以0111211()111111132()23[1()]31333313nn n n a a a --+++<+++=⨯=-<-，故B 错误； C ：当1n =时，11113a =<，不满足题意，故C 错误；D ：当131a m ==-，时，21122n n n a a a +=-+，所以21112(2)=(2)22n n n n n a a a a a +-=--，有112112(2)2n n n n n a a a a a +==----，即111122n n n a a a +=---，所以12122311111112222n a a a a a a a +++=-+-++----11122n n a a +--- 112a =--11113111222n n n n a a a a ++++-=-=---，故D 正确.故选：AD 13．15 【解析】【分析】由分析可知每次小球数量刚好是等差数列的求和，最后直接公式即可算出答案. 【详解】由题意可知 , 1211?,?212a a a ==+=+，32 3123?,?a a =+=++ (1)1232n n n a n +=+++⋯+=所以，55(51)152a +== 故答案为：15 14．7 【解析】【分析】先证明四边形12F PF Q 是平行四边形，再根据双曲线的定义可求解. 【详解】由双曲线的对称性，可知||||OP OQ =，又12||||OF OF =，所以四边形12F PF Q 是平行四边形，所以21||||PF QF =，由132PF c a ==+，可知点P 在双曲线的左支，如下图所示：由双曲线定义有21||||4PF PF -=，又1||3PF =，所以12||||7QF PF ==. 故答案为：7 15【解析】【分析】根据题意，先建立空间直角坐标系O xyz -，然后写出相关点的坐标，再写出相关的向量，然后根据点,M N 分别为直线,AB CE 上写出点,M N的坐标，这样就得到MN →=1,x λ的取值范围而确定minMN→=【详解】建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则有：()1,1,0A --，()1,1,0B -，()1,1,0C ，()1,1,0D -，(P ，11,22E ⎛- ⎝⎭可得：31,22CE →⎛=-- ⎝⎭设()1,1,0M x -，且111x -≤≤，()222,,N x y z 则有：CN CE λ→→=，其中01λ≤≤可得：311,122N λλ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭则有：1311,222MN x λλ→⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭故MN →=则当且仅当14,13x λ==-时，minMN→=16．341e k ≤< 【解析】【分析】求导得221()[(1)]xx f x ke x x-'=--有两个极值点等价于函数2(1)x y ke x =--有一个不等于1的零点，分离参数得2(1)x x k e -=，令2(1)()xx h x e -=，利用导数研究()h x 的单调性并作出()h x 的图象，根据图象即可得出k 的取值范围．【详解】函数()f x 的定义域为(0)+∞，， 221()[(1)]xx f x ke x x-'=--，令()0f x '=，解得1x =或2(1)xx k e -=，若函数()f x 有2个极值点，则函数y k =与2(1)()xx h x e -=图象在(0)+∞，上恰有1个横坐标不为1的交点，而(1)(3)()xx x h x e --'=-，令()013h x x '>⇒<<，令()01h x x '<⇒<或3x >，故()h x 在(0)1，和(3)+∞，上单调递减，在(13)，上单调递增，又34(0)1(1)0(3)lim ()0x h h h h x e →+∞====，，，，如图所示，由图可得341k e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，.故答案为：341e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭， 17．(1)()()22135x y -+-=(2)1,02P ⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）用待定系数法设出圆心，根据圆过点和弦长列出方程求解即可；（2）当三点共线时PM PN +有最小值，求出直线MN 的方程，令y =0即可. (1)由题意可设圆心(),3M a a ，因为y 轴被圆M 截得的弦长为4，所以2222442r a a ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，又()()2222332r MA a a ==-+-，则()()2224332a a a +=-+-，化简得2210a a -+=，解得1a =，则圆心()1,3M ，半径r 所以圆M 的标准方程为()()22135x y -+-=． (2)点()2,3N -关于x 轴的对称点为()2,3N '--，则PM PN PM PN MN ''+=+≥==当且仅当M ，P ，N '三点共线时等号成立，因为()()33212MN k --==--，则直线的方程为()321y x -=-，即21y x =+，令0y =，得12x =-，则1,02P ⎛⎫- ⎪⎝⎭．18．(1)15112y x =-(2)2a ≤ 【解析】【分析】（1）先求导，由到数值求出斜率，最后根据点斜式求出方程即可；（2）采用分离常数法，转化为求新函数的值域即可. (1)1a =时，()32121f x x x x =--+，()22132f x x x '=--，则()24f =，()1522f '=，所以在点()()2,2P f 处的切线方程为()15422y x -=-，即15112y x =-．(2)对任意的1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，()0f x ≥恒成立，即212a x x x ⎛⎫≤-+ ⎪⎝⎭，对任意的1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，令()212g x x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，即()min a g x ≤，则()()()()32222222121211221x x x x x g x x x x x ---++⎛⎫'=--== ⎪⎝⎭，因为2210x x ++>，20x >，所以当112x ≤<时，()0g x '<，()g x 在区间1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，当12x <≤时，()0g x '>，()g x 在区间(]1,2上单调递增，则()()min 12g x g ==，所以2a ≤． 19．(1)32n a n =-； (2)262334nn +-+⋅.【解析】【分析】（1）利用等差数列的通项公式结合条件即求；（2）利用条件可得632n nnb -=，然后利用错位相减法即求. (1)设等差数列{}n a 的公差为d ，由334n n a a =+得3134a a =+，即11234a d a +=+，化简得12d a =+，又12a ，2a ，31a +成等比数列，则()221321a a a =+，即()()2111221a d a a d +=++，将12d a =+代入上式得()()211122235a a a +=+，化简得21120a a +-=，解得11a =或－2（舍去），则3d =，所以32n a n =-． (2) ⊥2322n n n n a nS +==，当2n ≥时，()1131363222n n n n n nn n nb S S ----=-=-=，当1n =时，1132==b S ，符合上式，则632n nnb -=，所以22661624n nn n nb --==⋅，令242n n T b b b =++⋅⋅⋅+，则120116444n n n T --⎛⎫=++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭，231101164444n n n T +--=++⋅⎛⎫ ⎪⎝⋅+⎭⋅， ⊥2121311111116244=142311116644441 444n n n n n n n n n T ++-+⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎢⎥+-⎢⎥-⎛⎫-=++⋅⋅⋅++= ⎪⎝⎭-⎢⎥⎣⎦，化简得262334n nn T +=-+⋅．综上，{}2n b 的前n 项和262334n nn T +=-+⋅．20．(1)证明见解析(2)PB =【解析】【分析】（1）由线面垂直的判断定理证明AC ⊥平面P AB ，再由线面垂直的性质定理即可证明PB AC ⊥；（2）以A 为原点，AB ，AC ，AP 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系A xyz -，设()0,0,P t ，求出平面PCD 的法向量m 的坐标，根据直线AB 与平面PCD 所成角的正弦值为45，利用向量法可求得24t =，从而可求解PB 的长. (1)证明：因为PA ⊥底面ABCD ，又AC ⊂平面ABCD ，所以PA AC ⊥，又AB AC ⊥，AB PA A ⋂=，AB ，PA ⊂平面P AB ，所以AC ⊥平面P AB ，又PB ⊂平面P AB ，所以PB AC ⊥； (2)解：因为PA ⊥底面ABCD ，AB AC ⊥，所以以A 为原点，AB ，AC ，AP 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系A xyz -，因为AD BC ∥，AD CD ⊥，AB AC ⊥，所以Rt Rt ABC DCA ∽，则AC =AB =所以()0,0,0A ，()B ，()C ，D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，设()0,0,P t，则25DC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()25,0,0AB =，()PC t =-，设平面PCD 的法向量为(),,mx y z =，则250550m DC y m PC y tz ⎧⋅==⎪⎨⎪⋅=-=⎩，令2x =，则1y =-，z =所以2,1,m ⎛=- ⎝⎭，所以4cos ,525m AB m AB m AB⋅<>===⋅，解得24t =，则PB ==所以当PB =AB 与平面PCD 所成角正弦值为45．21．(1)22182x y +=(2)是，12【解析】【分析】（1）根据离心率以及椭圆两个焦点与短轴的一个端点为顶点构成的三角形的面积列出等式即可求解；（2）设出相关直线与相关点的坐标，直线与椭圆联立，点的坐标配合斜率公式化简，再运用韦达理化简可证明. (1)由题意得222122c ac b a b c ⎧=⎪⎪⎪⋅⋅=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得2282a b ⎧=⎨=⎩，则椭圆C 的标准方程为22182x y +=． (2)设切线PQ 的方程为()20y kx k =+>，()11,A x y ，()22,B x y ，()33,M x y ，()44,N x y ，由222182y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得()22141680k x kx +++=⊥，则()()()22216321432410k k k ∆=-+=-=，解得12k =或12-（舍去），将12k =代入⊥得， 2440x x ++=，解得2Q x =-，则2121Q Q y x =+=，所以()2,1Q -，又R 为PQ 中点，则31,2R ⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为P A ，PB 斜率都存在，不妨设1112PA y k k x -==，2222PB y k k x -==，由⊥可得1321814x x k ⋅=+，所以()11132222111111*********8416168163214214x x x x x y y y y x k y x x ===+-+⎡==+--+⎛⎫-+ ⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎭⎦⎪⎝，113311222232y y y x x y --=+=+-，同理24232x x y =-， 2422232y y y -=+-，则()()34213412211232MN y y y y k x x x x x y x y --==--+-，又R ，A ，B 三点共线，则()()1212331122y x x y ⎛⎫⎛⎫-+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得()()2112212132x y x y x x y y -=-+-，所以()()()()2121211221211322322MN y y y y k y y x x x x y y --===-⎡⎤-+-+-⎢⎥⎣⎦.22．(1)函数()y f x =的单调性见解析； (2)证明见解析. 【解析】【分析】(1)求出函数()f x 的导数()f x '，按a 值分类讨论判断()f x '的正负作答.(2)将12,x x 分别代入计算化简变形，再对所证不等式作等价变形，构造函数，借助函数导数推理作答. (1)已知函数()y f x =的定义域为()1,-+∞，()11f x x '=+，当0a ≥时，()0f x '>恒成立，所以()f x 在区间()1,-+∞上单调递增；当0a <时，由()0f x '<，解得241x a >-，由()0f x '>，解得2411x a -<<-， ()f x 的单调递增区间为24(1,1)a --，单调递减区间为24(1,)a-+∞，所以，当0a ≥时，()f x 在()1,-+∞上单调递增，当0a <时，()f x 在24(1,1)a --上单调递增，在上24(1,)a -+∞单调递减. (2)依题意，不妨设12x x <，则()1ln 10x ++=，()2ln 10x ++=，于是得()()12ln 1ln 10x x a ++++=，即()()12ln 11x x a⎡⎤++=-⎣⎦，亦有()()21ln 1ln 10x x a +-++=，即()()21ln 1ln 1x x a+-+=-，因此，()()()()1221ln 11ln 1ln 1x x x x ⎡⎤++⎣⎦=+-+，要证明124121x x x x e ⋅++>-，即证()()41211x x e +⋅+>，即证41221ln[(1)(1)][ln(1)ln(1)]ln 4x x x x e ++=+-+>=，即证21ln(1)ln(1)x x +-+>211ln1x x +=+令1t =>，()()214ln ln 211t h t t t t t -=-=+-++，()()()()222114011t h t t t t t -'=-=>++，则有()h t 在()1,+∞上单调递增，1t ∀>，()(1)0h t h >=，即ln立，所以124121x x x x e ⋅++>-.【点睛】思路点睛：涉及双变量的不等式证明问题，将所证不等式等价转化，构造新函数，再借助导数探讨函数的单调性、极(最)值问题处理.。

浙江宁波市九校2024年高一下学期期末联考数学试题+答案

宁波市2023学年第二学期期末九校联考高一数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．四棱锥至多有几个面是直角三角形？ A ．2B ．3C ．4D ．52．已知点()2,3A ，()3,1−B ，若直线l 过点()0,1P 且与线段AB 相交，则直线I 的斜率k 的取值范围是（） A ．23≤−k 或1≥k B ．23≤−k 或01≤≤k C ．203−≤≤k 或1≥kD ．213−≤≤k 3．若平面向量,,a b c 两两的夹角相等，且1= a ，1= b ，2= c ，则++=a b c （） A ．1B ．4C ．1或4D ．1或24．已知m ，n 为两条不同的直线，αβ为两个不同的平面，若α⊥m ，β⊂n ，则“⊥m n ”是“αβ∥”的（） A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件5．逢山开路，遇水搭桥，我国摘取了一系列高速公路“世界之最”，锻造出中国路、中国桥等一张张闪亮的“中国名片”。

如图，一辆汽车在一条水平的高速公路上直线行驶，在A ，B ，C 三处测得道路一侧山顶的仰角依次为30°，45°，60°，若=AB a ，()03=<<BC b a b ，则此山的高度为（）ABCD6．已知复数11=+z i 是关于x 的方程2)0(,++=∈x px q p q R 的一个根，若复数z 满足1−=−z z p q ，复数z 在复平面内对应的点Z 的集合为图形M ，则M 围成的面积为（） A ．πB ．4πC ．16πD ．25π7．慢走是一种简单又优良的锻炼方式，它不仅可以帮助减肥，还可以增强心肺功能、血管弹性、肌肉力量等小温从小到大记录了近6周的慢走里程（单位：公里）：11，12，m ，n ，20，27，其中这6周的慢走里程的中位数为16，若要使这6周的周慢走里程的标准差最小，则=m （） A ．14B ．15C ．16D ．178．在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2222sin −+=b c B c a ，且2=a ，则tan tan tan AB C的最大值为（）A 2−B ．3−C D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列描述正确的是（）A ．若事件A ，B 相互独立，()0.6=P A ，()0.3=P B ，则()0.54= P AB AB B ．若三个事件A ，B ，C 两两独立，则满足()()()()=P ABC P A P B P CC ．若()0>P A ，()0>P B ，则事件A ，B 相互独立与A ，B 互斥一定不能同时成立D ．必然事件和不可能事件与任意事件相互独立10．已知复数12=−+z ，则下列说法正确的是A ．zB ．12=−z z C ．复平面内1+z z对应的点位于第二象限 D ．2024=z z11．如图，已知四面体ABCD 的各条棱长均等于2，E ，F 分别是棱AD ，BC 的中点．G 为平面ABD 上的一动点，则下列说法中正确的有（）A ．三棱锥E -AFCB ．线段+CG GFC ．当G 落在直线BD 上时，异面直线EF 与AG D ．垂直于EF 的一个面α，截该四面体截得的截面面积最大为1第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，12．已知直线1:40+−=l ax y 23:202+++=l x a y 平行，则实数=a _______． 13．已知圆O 的直径AB 把圆分成上下两个半圆，点C ，D 分别在上、下半圆上（都不与A ，B 点重合）若2=AC ，1=AD ，则⋅=AB DC _______．14．已知三棱锥P -ABC 的四个面是全等的等腰三角形，且=PA ，==PB AB ，点D 为三棱锥P -ABC 的外接球球面上一动点，=PD 时，动点D 的轨迹长度为_______．四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15．（13分）如图，在等腰梯形ABCD 中，2222====ADDC CB AB a ，E ，F 分别为AB ，AD 的中点，BF 与DE 交于点M ．（1）用 AD ，AE 表示 BF ；（2）求线段AM 的长．16．（15分）已知直线l ：()()1231−=−+a y a x ．（1）求证：直线l 过定点；（2）若直线l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围；（3）若直线l 与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求l 的方程17．（15分）“数学好玩”是国际著名数学家陈省身赠送给少年数学爱好者们的一句话某校为了更好地培养学生创新精神和实践能力，激发学生钻研数学的兴趣和热情，特举办数学节活动．在活动中，共有20道数学问题，满分100分在所有的答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩分成六段：[)40,50，[)50,60，……，[]90,100，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中a 的值，并估计该校全体学生这次数学成绩的中位数；（2）活动中，甲、乙、丙三位同学独立参加竞赛，已知甲同学答对了12道，乙同学答对了8道，丙同学答对了n 道，假设每道数学问题难度相当，被答对的可能性都相同．（i ）任选一道数学问题，求甲、乙两位同学恰有一人答对的概率；（ii ）任选一道数学问题，若甲、乙、丙三个人中至少有一个人答对的概率为2225，求n 的值． 18．（17分）如图1，有一个边长为4的正六边形ABCDEF ，将四边形ADEF 沿着AD 翻折到四边形ADGH 的位置，连接BH ，CG ，形成的多面体ABCDGH 如图2所示．（1）求证：AD ⊥CG ：（2）若AH ⊥CD ，试求直线CH 与平面ABCD 所成角的正弦值：（3）若二面角H -AD -B M 是线段CG 上的一个动点（M 与C ，G 不重合），试问四棱锥M -ABCD 与四棱锥M -ADGH 的体积之和是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，请说明理由19．（17分）矩形ABCD 中，P ，Q 为边AB 的两个三等分点，满足===AP PQ QB BC ，R 点从点A 出发．沿着折线段AD -DC -CB 向点B 运动（不包含A ，B 两点），记α∠=ARP ，β∠=BRQ ．（1）当△APR 是等腰三角形时，求sin α；（2）当R 在线段AD （不包含A ，D 两点）。

2019学年宁波市九校联考高一数学试题(附答案)

九校联考高一数学试题（附答案）选择题部分 (共40分)一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知,,a b c R ∈,且a b >，那么下列各式中正确的是A.1ab>B.11a b <C.22ac bc >D.33a b >2.直线320x y --=的斜率及在y 轴上的截距分别是 A.3,2 B.3,2- C.3,2-D.3,2--3.我们把n m -叫做区间(,)m n 的长度.下列关于x 的不等式中，解集区间长度不超过5的是 A.2560x x +-<B.22910x x --<C.222(1)230x a x a a --+--<D.23640x x ++>4.若3sin()45πα-=，则sin 2α= A.725B.15C.15-D.725-5.已知等比数列}{n a 的前n 项的和13()n n S t n N +*=-∈，则=tA.1-B.1C.3-D.36.若直线()100,0ax by a b ++=>>过圆228210x y x y ++++=的圆心，则14a b+的最小值是 A.8B.12C.16D.207.在某港口观察,A B 两座灯塔，A 在该港口的西南方向上，且与港口相距20海里，B 在该港口的南偏东15方向上，两座灯塔相距106海里，那么灯塔B 在灯塔A 的 A.南偏东 75方向上 B.东南方向上C.北偏东75方向上D.南偏东60方向上8.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，3a =，7c =，13cos 14A =，且三边成等差数列，那么ABC ∆的面积等于A.1534 B.1532C.154D.1529.若实数,x y 满足不等式组30, 230,1, x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩目标函数z kx y =-的最大值为6，则=kA.1B.2C.3D.410.已知关于x 的不等式24(1)x m x -≥-的解集为[,]a b ，且3b a -=，那么m = A.32±B.3±C.32-D.3非选择题部分 (共110分)二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

2020-2021学年浙江省宁波市九校联考高二(上)期末数学试卷 (解析版)

2020-2021学年浙江省宁波市九校联考高二（上）期末数学试卷一、选择题（共10小题）.1．双曲线x2﹣＝1的渐近线方程是（）A．B．C．D．y＝±3x2．若复数z满足z+（5﹣6i）＝3，则z的虚部是（）A．﹣2i B．6i C．1D．63．已知向量，分别是直线l1、l2的方向向量，若l1⊥l2，则下列几组解中可能正确的是（）A．x＝2，y＝4B．x＝4，y＝3C．x＝1，y＝3D．x＝6，y＝24．在直线与双曲线位置关系中，“公共点只有一个”是“直线与双曲线相切”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件5．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，下列命题中正确的是（）①⇒m⊥α；②⇒α⊥β；③⇒m∥n；④⇒m∥n．A．①②B．①④C．②③D．②④6．已知O﹣ABC为空间四面体，P为底面ABC上一点，且满足，则以下等式一定成立的是（）A．x+y+z＝1B．x+y+z＝0C．x+y+z＝﹣1D．7．设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，若点P在双曲线上，且△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|+|PF2|的取值范围是（）A．B．（6，8）C．D．（6，10）8．已知F1，F2是椭圆C1和双曲线C2的公共焦点，P是它们的一个公共交点，且∠F1PF2＝，若椭圆C1离心率记为e1，双曲线C2离心率记为e2，则27e12+e22的最小值为（）A．25B．100C．9D．369．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M是底面正方形ABCD的中心，点P是底面ABCD所在平面内的一个动点，且满足∠MC1P＝30°，则动点P的轨迹为（）A．圆B．抛物线C．双曲线D．椭圆10．已知椭圆C的方程为，过右焦点F且倾斜角为的直线与椭圆C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线和AB于点P和M，若3|AB|＝4|PM|，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题（共7小题）.11．复数z1＝1+i，z2＝3﹣2i，则|z1|＝，＝．12．（1）方程表示的曲线是双曲线，则实数a的取值范围为；（2）若双曲线C：的焦点坐标为（0，±5），则实数a的值为．13．已知某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积为cm2，体积为cm3．14．已知过点A（﹣3，0），且斜率为k的动直线l与抛物线C：x2＝2y相交于B，C两点，则k的取值范围为；若N为抛物线C上一动点，M为线段AN中点，则点M的轨迹方程为．15．在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝2，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值是．16．若平面向量，为单位向量，，空间向量满足，，，则对任意的实数t1，t2，的最小值是．17．已知椭圆：，不过点的动直线l交椭圆于A，B两点，且AQ ⊥BQ，则直线l过定点．三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．已知命题p：若复数z满足|z﹣3+4i|+|z+3﹣4i|＝2a，则复数z在复平面上对应点的轨迹为椭圆．命题q：函数f（x）＝﹣x2+x+a在[﹣2，2]上存在零点．（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；（2）若命题p，q中有且只有一个真命题，求实数a的取值范围．19．在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC，点M在线段PB 上，且2PM＝MB．（1）试在线段PC上找一点N，使BC∥平面AMN，并说明理由；（2）试求直线AM与平面PBC所成角的正弦值．20．设抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离为|AF|﹣1．AB为抛物线的焦点弦，点M在抛物线的准线上，O为坐标原点．（1）求p的值；（2）连接MA，MF，MB，分别将其斜率记为k1，k，k2，试问是否为定值．若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．21．在Rt△ABC中，∠A＝60°，以BC为边在平面ABC内作如图所示的等边△BCD，E为BC边上一点，且EC＝2BE，F为线段AC上的点，现沿BF将△ABF折起，使A点到达位置A'，且A'点在平面BCD内的射影恰为E点．（1）求证：DF⊥A'B；（2）求二面角B﹣A'D﹣C的平面角的余弦值．22．在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2＝4，椭圆，A为椭圆的上顶点．过原点的直线与圆O交于点M，N两点，且点M在第一象限，直线AM与椭圆C 的另一交点为P，直线AN与椭圆C的另一交点为Q．（1）若|AP|＝2|AM|，求直线AM的斜率；（2）设△AMN与△APQ的面积分别为S1，S2，求的最大值．参考答案一、选择题（共10小题）.1．双曲线x2﹣＝1的渐近线方程是（）A．B．C．D．y＝±3x解：由双曲线x2﹣＝1方程可得渐近线方程为：y＝x，故选：B．2．若复数z满足z+（5﹣6i）＝3，则z的虚部是（）A．﹣2i B．6i C．1D．6解：因为z+（5﹣6i）＝3，所以z＝3﹣（5﹣6i）＝﹣2+6i，所以z的虚部是6．故选：D．3．已知向量，分别是直线l1、l2的方向向量，若l1⊥l2，则下列几组解中可能正确的是（）A．x＝2，y＝4B．x＝4，y＝3C．x＝1，y＝3D．x＝6，y＝2解：因为向量，分别是直线l1、l2的方向向量，且l1⊥l2，所以，所以4×（﹣7）+4x+5y＝0，解得4x+5y＝28，当x＝2，y＝2时，等式成立，故选项A正确；当x＝4，y＝3；x＝1，y＝3；x＝6，y＝2时，等式不成立，故选项B，C，D不正确．故选：A．4．在直线与双曲线位置关系中，“公共点只有一个”是“直线与双曲线相切”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解：在直线与双曲线位置关系中，“公共点只有一个”包含两种情况：一种是直线与双曲线相切；一种是直线与双曲线的渐近线平行，故“公共点只有一个”是“直线与双曲线相切”的必要不充分条件．故选：C．5．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，下列命题中正确的是（）①⇒m⊥α；②⇒α⊥β；③⇒m∥n；④⇒m∥n．A．①②B．①④C．②③D．②④解：由m，n是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，知：对于①，⇒m与α相交、平行或m⊂α，故①错误；对于②，由面面垂直的判定定理得⇒α⊥β，故②正确；对于③，由线面垂直的性质定理得：⇒m∥n，故③正确；对于④，⇒m与n平行或异面，故④错误．故选：C．6．已知O﹣ABC为空间四面体，P为底面ABC上一点，且满足，则以下等式一定成立的是（）A．x+y+z＝1B．x+y+z＝0C．x+y+z＝﹣1D．解：因为，且，所以，故，因为P，A，B，C四点共面，所以，故x+y+z＝0．故选：B．7．设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，若点P在双曲线上，且△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|+|PF2|的取值范围是（）A．B．（6，8）C．D．（6，10）解：如图，由双曲线，得a2＝1，b2＝4，∴c＝＝＝．不妨以P在双曲线右支为例，当PF2⊥x轴时，把x＝代入，得y＝±4，即|PF2|＝4，此时|PF1|＝|PF2|+2＝4+2＝6，则|PF1|+|PF2|＝10；由PF1⊥PF2，得|PF1|2+|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2＝20，又|PF1|﹣|PF2|＝2，①两边平方得：|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1||PF2|＝4，∴|PF1||PF2|＝8，②联立①②解得：|PF1|＝4，|PF2|＝2，此时|PF1|+|PF2|＝6．∴使△F1PF2为锐角三角形的|PF1|+|PF2|的取值范围是（6，10）．故选：D．8．已知F1，F2是椭圆C1和双曲线C2的公共焦点，P是它们的一个公共交点，且∠F1PF2＝，若椭圆C1离心率记为e1，双曲线C2离心率记为e2，则27e12+e22的最小值为（）A．25B．100C．9D．36解：设椭圆的方程为：，双曲线的方程为：，由定义可得：|PF1|+|PF2|＝2a1，|PF1|﹣|PF2|＝2a2，所以|PF1|＝a1+a2，|PF2|＝a1﹣a2，在三角形PF1F2中，由余弦定理可得：4c（a cos，即4c，所以27e＝＝＝＝，当且仅当时取等号，此时27e12+e22的最小值为25，故选：A．9．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M是底面正方形ABCD的中心，点P是底面ABCD所在平面内的一个动点，且满足∠MC1P＝30°，则动点P的轨迹为（）A．圆B．抛物线C．双曲线D．椭圆解：以点D为坐标原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，C1（0，1，1），设P（x，y，0），则，，而∠MC1P＝30°，所以|cos＜＞|＝＝，化简整理得7x2+7y2+2xy﹣6x﹣12y＝0，因为B2﹣4AC＝4﹣4×49＜0，所以上式表示椭圆，即点P的轨迹为椭圆．故选：D．10．已知椭圆C的方程为，过右焦点F且倾斜角为的直线与椭圆C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线和AB于点P和M，若3|AB|＝4|PM|，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．解：由题意可得直线的方程为：y＝x﹣c，代入椭圆方程可得：（a2+b2）x2﹣2a2cx+a2c2﹣a2b2＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x，所以x，易知x，所以|AB|＝＝，|PM|＝＝，又3|AB|＝4|PM|，所以3×，化简可得：，故选：B．二、填空题：本大题共7题，多空每题6分，单空每题4分，共36分．11．复数z1＝1+i，z2＝3﹣2i，则|z1|＝，＝．解：∵z1＝1+i，z2＝3﹣2i，∴|z1|＝，＝＝＝，故答案为：；．12．（1）方程表示的曲线是双曲线，则实数a的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞）；（2）若双曲线C：的焦点坐标为（0，±5），则实数a的值为﹣11．解：（1）∵方程表示的曲线是双曲线，∴（a+1）（4﹣a）＜0，解得a＜﹣1或a＞4．故答案是：（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞）；（2）∵双曲线C：的焦点坐标为（0，±5），∴（4﹣a）﹣（a+1）＝52，解得a＝﹣11．故答案是：﹣11．13．已知某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积为36cm2，体积为12cm3．解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为四棱锥体．如图所示：所以该几何体的表面积为S＝＝36．．故答案为：36；12．14．已知过点A（﹣3，0），且斜率为k的动直线l与抛物线C：x2＝2y相交于B，C两点，则k的取值范围为k＜﹣6或k＞0；若N为抛物线C上一动点，M为线段AN中点，则点M的轨迹方程为．解：依题意，设直线l的方程为y＝k（x+3），联立方程，消去y得：x2﹣2kx﹣6k＝0，因为直线与抛物线C：x2＝2y相交于B，C两点，所以△＝4k2+24k＞0，解得k（k+6）＞0，即k＜﹣6或k＞0；设M（x，y），M为线段AN中点，A（﹣3，0），则利用中点坐标公式得N（2x+3，2y），又N为抛物线C上，故（2x+3）2＝2×2y，即点M的轨迹方程为．故答案为：k＜﹣6或k＞0；．15．在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝2，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值是．解：如图，＝，＝＝，＝（）•（）＝＝2×2×cos60°+4+2×2×cos60°＝8，||＝||＝＝＝＝2，∴cos＜＞＝＝＝，∴异面直线AB1与BC1所成角的余弦值是．故答案为：．16．若平面向量，为单位向量，，空间向量满足，，，则对任意的实数t1，t2，的最小值是6．解：2＝2+t122+t222﹣2t1•﹣2t2•+2t1t2•，由题得2＝2＝1，||＝8，•＝4，•＝5，将条件代入可得，上式＝64+t12+t22﹣2t1×4﹣2t2×5+2t1t2×＝64+t12+t22﹣8t1﹣10t2+t1t2＝（t1+）2+（t2﹣4）2+36≥36，当且仅当t1＝2，t2＝4取等号，故|﹣t1﹣t2|的最小值是6，故答案为：6．17．已知椭圆：，不过点的动直线l交椭圆于A，B两点，且AQ ⊥BQ，则直线l过定点．解：若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为：x＝，代入椭圆方程可得：y＝±1，显然Q与A，B中的一点重合，不符题意，所以直线l的斜率存在，设直线l的方程为：y＝kx+b，与椭圆方程联立消去y可得：（1+2k2）x2+4kbx+2b2﹣4＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x，所以y，y1y2＝（kx1+b）（kx2+b）＝k＝，由AQ⊥BQ可得，即（x＝x+y1y2﹣（y1+y2）+1＝＝0化简可得：3b，即（3b++1）（b+k﹣1）＝0，当b+k﹣1＝0时，直线l的方程为：y＝k（x﹣）+1，此时直线l过定点（，1），不符题意，所以3b+k+1＝0，即b＝﹣，所以直线l的方程为：y＝k（x﹣）﹣，此时直线恒过定点（），故答案为：（）．三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．已知命题p：若复数z满足|z﹣3+4i|+|z+3﹣4i|＝2a，则复数z在复平面上对应点的轨迹为椭圆．命题q：函数f（x）＝﹣x2+x+a在[﹣2，2]上存在零点．（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；（2）若命题p，q中有且只有一个真命题，求实数a的取值范围．解：（1）由题意得，在复平面上，定点3﹣4i与﹣3+4i距离为|（3﹣4i）﹣（﹣3+4i）|＝10，z在复平面对应轨迹为椭圆，所以a满足，2a＞10⇒a＞5⇒a∈（5，+∞）；（2）命题q真：x∈[﹣2，2]时，，由命题p，q中有且只有一个真命题，得p与q一真一假．若p真q假，则⇔a∈（6，+∞）；若p假q真，则⇔；所以．19．在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC，点M在线段PB 上，且2PM＝MB．（1）试在线段PC上找一点N，使BC∥平面AMN，并说明理由；（2）试求直线AM与平面PBC所成角的正弦值．【解答】（1）证明：作PC上靠近P点的三等分点N，∵M是PB上三等分点，∴BC∥MN，且BC⊄平面AMN，MN⊂平面AMN，∴BC∥平面AMN．（2）解：法一：取PB中点记为A'，∵BC⊥平面PAB∴AA'⊥BC，又∵△PAB为等腰三角形，∴AA'⊥PB，∴AA'⊥平面PBC，∴A'为A点在平面PBC上投影，∴∠AMA'即为所求线面角，在△AMA'中，，，∴，∴．法二：如图所示建系，设AB＝1，B（0，0，0），A（﹣1，0，0），C（0，1，0），P（﹣1，0，1），，，，，设平面PBC法向量为，，不妨设x＝1，z＝1，可得，．20．设抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离为|AF|﹣1．AB为抛物线的焦点弦，点M在抛物线的准线上，O为坐标原点．（1）求p的值；（2）连接MA，MF，MB，分别将其斜率记为k1，k，k2，试问是否为定值．若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．解：（1）由抛物线定义得，点A到准线的距离等于|AF|，∴，则p＝2；（2）设M（﹣1，t），A（x1，y1），B（x2，y2），已知F（1，0），则，，，联立直线与抛物线方程，得y2﹣4my﹣4＝0．∴y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，，①∴＝，将①式代入，可得，得，故为定值2．21．在Rt△ABC中，∠A＝60°，以BC为边在平面ABC内作如图所示的等边△BCD，E为BC边上一点，且EC＝2BE，F为线段AC上的点，现沿BF将△ABF折起，使A点到达位置A'，且A'点在平面BCD内的射影恰为E点．（1）求证：DF⊥A'B；（2）求二面角B﹣A'D﹣C的平面角的余弦值．【解答】（1）证明：由题意得，A'在平面BCD内射影恰为E点，则A'E⊥平面BCD，设AB＝1，，且折痕BF⊥AE，又∵，∴．∴AE为∠A的角平分线，∴△ABF为等边三角形，∴AB＝AF＝FC＝1，F恰为AC边中点，连接DF，交BC于点H，H恰为BC边中，∵△ABF为等边三角形，∴DF⊥BC，又∵A'E⊥DF，BC⊂平面A'BC，A'E⊂平面A'BC，∴DF⊥平面A'BC，A'B⊂平面A'BC∴DF⊥A'B．（2）如图所示，建立空间直角坐标系，H（0，0，0），D，C，B，F，E，，，，，设平面BA'D法向量为＝（x，y，z），，可取＝（，﹣，）；平面A'DC法向量为＝（x，y，z），，可取＝（1，，），∴，∴二面角B﹣A'D﹣C的平面角的余弦值为．22．在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2＝4，椭圆，A为椭圆的上顶点．过原点的直线与圆O交于点M，N两点，且点M在第一象限，直线AM与椭圆C 的另一交点为P，直线AN与椭圆C的另一交点为Q．（1）若|AP|＝2|AM|，求直线AM的斜率；（2）设△AMN与△APQ的面积分别为S1，S2，求的最大值．解：（1）设直线AP的方程为y＝kx+2（k＜0），联立直线与椭圆方程，消去y可得，（1+3k2）x2+12kx＝0，所以得到，联立直线与圆方程，消去y可得，（1+k2）x2+4kx＝0，所以，由|AP|＝2|AM|得，x P＝2x M，故，解得，因为k＜0，所以．（2）由M与N关于原点对称，可得N点坐标，所以，，，所以，同理可得，，则有＝＝，当且仅当，即k＝﹣1时取得等号，所以的最大值为．。

浙江省宁波市九校2022-2023学年高一下学期期末联考数学试题(原卷版)

宁波市2022学年第二学期期末九校联考高一数学试题选择题部分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数13i12i z +=−，则z 的共轭复数的虚部为（）A. 1B. iC. i −D. 1−2. 在平面直角坐标系xOy 中，若角α以x 轴的非负半轴为始边，且终边过点()4,3−，则2πcos α −的值为（）A. 35B.35C. 45−D.453. 设l 是一条直线，α，β是两个不同的平面，下列说法正确的是（） A. 若l α∥，l β ，则αβ∥ B. 若αβ⊥，l α∥，则l β⊥ C. 若l α⊥，l β⊥，则αβ∥D. 若αβ∥，l α∥，则l β4. 在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑A BCD −中，AB ⊥平面BCD ，BC CD ⊥，且1ABBC CD ===，则其内切球表面积为（） A. 3πB.C. (3π−D.)1π−5. 已知等比数列{}n a 的前n 项积．为n T ，若798T T T >>，则（） A.0q <B. 10a <C. 15161T T <<D. 16171T T <<6. 如图，在棱长均为2的直三棱柱111ABC A B C 中，D 是11A B 的中点，过B 、C 、D 三点的平面将该三棱柱截成两部分，则顶点1B 所在部分的体积为（）A.B.C.D.7. 在ABC 中，0P 是边AB 的中点，且对于边AB 上任意一点P ，恒有00PB PC P B P C ⋅≥⋅，则ABC 一定是（） A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形8. 十七世纪法国数学家皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”.它的答案是：当三角形的三个角均小于120 时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角120 ；当三角形有一内角大于或等于120°时，所求点为三角形最大内角的顶点.在费马问题中所求的点称为费马点，已知在ABC 中，已知2π3C =，1AC =，2BC =，且点M 在AB 线段上，且满足CM BM =，若点P 为AMC 的费马点，则PA PM PM PC PA PC ⋅+⋅+⋅=（） A. 1−B. 45−C. 35D. 25−二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 下列说法正确是（）A. 若//a b ，//b c，则//a c B. ()a b c a b c ⋅⋅≤C. 若()a cb ⊥− ，则a b ac ⋅=⋅D. ()()2a b b a b⋅⋅=⋅10. 下列说法正确的是（）A. 若()πsin 2cos 3f x x x ωω=++()0ω>的最小正周期为π，则2ω= B. 在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，则“A B ＞”是“a b ＞”的充要条件 C. 三个不全相等的实数a ，b ，c 依次成等差数列，则2a ，2b ，2c 可能成等差数列 D. ABC 的斜二测直观图是边长为2的正三角形，则ABC的面积为11. 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的数学著作，其中第十一卷称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥.如图，AB ，CD 是直角圆锥SO 底面圆的两条不同的直径，下列说法正确的是（）的A. 存在某条直径CD ，使得AD SD ⊥B. 若2AB =，则三棱锥S AOD −体积的最大值为16C. 对于任意直径CD ，直线AD 与直线SB 互为异面直线D. 若π6ABD ∠=，则异面直线SA 与CD12. 已知数列{}n a 中各项都小于2，221143n n n n a a a a ++−=−，记数列{}n a 前n 项和为n S ，则以下结论正确的是（）A. 任意1a 与正整数m ，使得10m m a a +≥B. 存在1a 与正整数m ，使得134m m a a +>C. 任意非零实数1a 与正整数m ，都有1m m a a +<D. 若11a =，则()2022 1.5,4S ∈非选择题部分三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 杭州第19届亚运会会徽“潮涌”主题图形融合了扇面、钱塘江、钱江潮头、赛道、互联网及太阳六大元素，其中扇面造型代表了江南厚重的人文底蕴.在中国历史上，历代书画家都喜欢在扇面上绘画或书写以抒情达意.一幅扇面书法作品如图所示，经测量，上、下两条弧分别是半径为30和12的两个同心圆上的弧（长度单位为cm ），侧边两条线段的延长线交于同心圆的圆心，且圆心角为2π3.若某空间几何体的侧面展开图恰好与图中扇面形状、大小一致，则该几何体的高为______.的的14. 已知等差数列{}n a ，88a =，9π83a =+，则576cos cos cos a a a +=______. 15. 如图，在直三棱柱111ABC A B C 中，13BC CC ==，4AC =，AC BC ⊥，动点P 在111A B C △内（包括边界上），且始终满足1BP AB ⊥，则动点P 的轨迹长度是______.16. 已知向量a ，b 夹角为π3，且3a b ⋅= ，向量c 满足()()101c a b λλλ+−<< ，且a c b c ⋅=⋅ ，记c a x a ⋅=，c b y b ⋅= ，则22x x y y +−的最大值为______. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 定义一种运算：(),c a b ac bd d=+.（1）已知z 为复数，且()3,73i 4z z =−，求z ；（2）已知x 、y 为实数，()()2sin i sin 2,21,sin x y x x y+−也是实数，将y 表示为x 的函数并求该函数的单调递增区间.18. 今年9月，象山将承办第19届杭州亚运会帆船与沙滩排球项目比赛，届时大量游客来象打卡“北纬30度最美海岸线”.其中亚帆中心所在地——松兰山旅游度假区每年各个月份从事旅游服务工作的人数会发生周期性的变化.现假设该景区每年各个月份从事旅游服务工作的人数可近似地用函数()()40cos 4f x A x k ω=++ 来刻画.其中正整数x 表示月份且[]1,12x ∈，例如1x =时表示1月份，A 和k 是正整数，0ω>.统计发现，该景区每年各个月份从事旅游服务工作的人数有以下规律：①各年相同的月份从事旅游服务工作的人数基本相同；②从事旅游服务工作的人数最多的8月份和最少的2月份相差约160人； ③2月份从事旅游服务工作的人数约为40人，随后逐月递增直到8月份达到最多.的的（1）试根据已知信息，确定一个符合条件的()y f x =的表达式；（2）一般地，当该地区从事旅游服务工作的人数超过160人时，该地区就进入了一年中的旅游旺季，那么一年中的哪几个月是该地区的旅游旺季？请说明理由. 19. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且243n S n n =+−.（1）求{}n a 的通项公式；（2）记125n n n n b S S ++=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T .20. 在ABC 中，内角A ，B 都是锐角.（1）若π3C ∠=，2c =，求ABC 周长的取值范围；（2）若222sin sin sin A B C +>，求证：22sin sin 1A B +>.21. 已知边长为6的菱形ABCD ，π3ABC ∠=，把ABC 沿着AC 翻折至1AB C 的位置，构成三棱锥1B ACD −，且112DE DB = ，13CF CD =，FE =（1）证明：1AC B D ⊥；（2）求二面角1B AC D −−的大小；（3）求EF 与平面1AB C 所成角的正弦值.22. 已知数列{}n a 中，11a =，当2n ≥时，其前n 项和n S 满足：()21n n n S a S =−，且0n S ≠，数列{}n b 满足：对任意*n ∈N 有()11212122n n nb b b n S S S ++++=−⋅+ . （1）求证：数列1n S是等差数列；（2）求数列{}n b 的通项公式；（3）设n T 是数列122n n n b b − −的前n 项和，求证：32n T <.。

浙江省宁波市九校2020-2021学年高二第一学期期末联考数学试题

本题考查简易逻辑的知识，主要是四种命题的真假和相互关系，考查推理能力，属于基础题．
5．A
【解析】
【分析】
求出抛物线的标准方程，结合抛物线的焦点坐标，建立不等式关系进行判断即可．
【详解】
解：抛物线mx2+ny＝0的标准方程为x2 y＝4（）y，
2．D
【分析】
把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【详解】
解：由（1+i）2•z＝2+i，得2iz＝2+i，
∴ ，
∴复数z对应的点的坐标为（，﹣1），位于第四象限．
故选D．
【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
3．A
【解析】
【分析】
在A中，由线面垂直的性质定理得m∥n；在B中，α与β相交或平行；在C中，α⊥β；在D中，α与β相交或平行．
【校级联考】浙江省宁波市九校2020-2021学年高二第一学期期末联考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．椭圆的短轴长为（）
A．8B．10C．5D．4
2．设复数满足，其中为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于( )
A． B． C． D．
9．如图，四边形，，，现将沿折起，当二面角的大小在时，直线和所成角为，则的最大值为（）
A． B． C． D．
10．若长方体中，，，，，分别为，，上的点，，， .分别记二面角，，的平面角为，，，则（）
A． B．
C． D．与的值有关

宁波市九校2020-2021学年高一下学期期末考试历史试题(含答案)

宁波市九校2020-2021学年高一下学期期末考试历史试题一、单项选择题(每小题2分，共70分)1.良渚文化的考古发现表明“当时的中国即将迈入阶级社会门槛”。

下列考古资料最能印证此观点的是A.①②B.①③C.②③D.②④2.据《左传·定公四年》记载：西周建国后，将“殷民六族”分赐给鲁公，使其“帅其宗氏，辑其分族……以法则周公，用即命于周”。

给予康叔(卫国)以“殷民七族”和其它权力，便于其执行王室任命的职务。

对以上记载分析正确的是①分散了商朝遗民的力量②说明鲁卫两国处于王畿地区③利于文化共同体的发展④体现了诸侯权利义务的统一A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④3.《桓灵时童谣》有云：“举秀才，不知书。

察孝廉，父别居。

寒素清白浊如泥，高第良将怯如黾。

”这反映了当时选官制度效能有限。

后来，更因其所依赖的乡里清议失去社会基础，从而导致选官多操纵在地方大族名士手中。

上述“当时的选官制度”是A.世官制B.察举制C.九品中正制D.科举制4.学者齐涛指出，中国古代土地赋役制度可以划分为三个阶段：第一阶段的特点是税人与税地的合一；第二阶段的特点是以人户为税基占主导；第三阶段的特点是土地为税基占主导。

其中体现第二阶段向第三阶段演进的标志性制度的确立是在A.商鞅变法时期B.隋炀帝时期C.唐玄宗时期D.唐德宗时期5.“汉承秦制，有所损益”。

下列加强地方管理的措施属于汉朝“增益”的是A.户籍制度B.乡里制度C.刺史制度D.通判制度6.从十六国到北朝，北方政权在民族交融的基础上逐渐壮大，为全国统一准备了条件。

下列事件或现象最能体现这一主题的是A.淝水之战B.“王与马，共天下”C.杨广灭陈D.拓跋宏迁都洛阳7.安西都护府是唐朝和西部少数民族关系的晴雨表之一，历经变迁：联系上表，结合所学，下列有关安西都护府判断正确的是A.为配合管理东突厥政权而设置B.唐蕃联合灭西突厥后治所迁到龟兹C.治所迁回龟兹得益于文成公主入藏D.唐蕃会盟发生在其与唐中央政府失联后8.北宋名臣、历史学家薛居正的儿子薛惟吉死后，其妻柴氏想要携资(十万贯)再嫁，因此，同平章事(中书门下长官)向敏中、右仆射(尚书省长官)张齐贤都争着求娶，相互闹得不可开交。

浙江省宁波市九校2020-2021学年高二下学期期末联考数学试题(1)

5．A
【分析】
利用特殊值，对函数图象进行排除，由此得出正确选项.
【详解】
由于，排除B选项.
由于，，函数单调递减，排除C选项.
由于，排除D选项.故选A.
【点睛】
本小题主要考查已知具体函数的解析式，判断函数的图象，属于基础题.
6．D
【解析】
根据题意，从1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取四个数，使其和为偶数需要分3种情况讨论：
①当取出的4个数都是奇数,有种情况，
②当取出的4个数有2个奇数、2个偶数,有种情况，
③当取出的4个数都是偶数,当取出的数字没有奇数有种情况，
根据分类计数原理总共有5+60+1=66种取法；
本题选择D选项.
7．C
【解析】
∵1<a<b，∴b−1>a−1>0，∴m=ab−1>aa−1>n=ba−1，则m>n，
16．已知的最小值为，则实数 ____.
17．已知函数在区间上有零点，则的最大值是________.
四、解答题
18．已知， .
(Ⅰ)求；
(Ⅱ)猜想与的关系，并用数学归纳法证明.
19．(Ⅰ)已知，其中 .（i）求；（ii）求 .
(Ⅱ)2021年5月,北京召开“一带一路”国际合作高峰论坛.组委会将甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者分配到翻译、导游、礼仪、司机四个不同的岗位，每个岗位至少有一人参加，且五人均能胜任这四个岗位.
【全国校级联考】浙江省宁波市九校2020-2021学年高二下学期期末联考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

【新结构】2023-2024学年浙江省宁波市九校高一下学期期末联考数学试题+答案解析

【新结构】2023-2024学年浙江省宁波市九校高一下学期期末联考数学试题❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.四棱锥至多有几个面是直角三角形?A.2 B.3C.4D.52.已知点，，若直线l 过点且与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是A.或B.或C.或D.3.若平面向量两两的夹角相等，且，，，则A.1B.4C.1或4D.1或24.已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，若，则“”是“”的A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件5.逢山开路，遇水架桥，我国摘取了一系列高速公路“世界之最”，锻造出中国路、中国桥等一张张闪亮的“中国名片”.如图，一辆汽车在一条水平的高速公路上直线行驶，在A ，B ，C 三处测得道路一侧山顶P的仰角依次为，，，其中，，则此山的高度为A.B.C. D.6.已知复数是关于x 的方程的一个根，若复数z 满足，复数z 在复平面内对应的点Z 的集合为图形M ，则M 围成的面积为A.B.C.D.7.慢走是一种简单又优良的锻炼方式，它不仅可以帮助减肥，还可以增强心肺功能、血管弹性、肌肉力量等小温从小到大记录了近6周的慢走里程单位：公里：，其中这6周的慢走里程的中位数为16，若要使这6周的周慢走里程的标准差最小，则()A.14B.15C.16D.178.在锐角三角形ABC中，角的对边分别为若，且，则的最大值为A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，共15分。