2018-2019学年浙江省宁波市九校高二下学期联考数学试题(解析版)
2018年第一学期宁波市九校联考高二数学答案
2018学年第一学期宁波市九校联考高二数学试题参考答案一、选择题:本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分。
11．(0±，，2yx =± 12． 311(,,),82813． 114． ，7215．16．(1⎤⎦17． ⎦三、解答题：本大题共5小题，共74分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18．（本题满分14分） 解:(Ⅰ）当1,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，因为()f x 在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，在[]1,3上为增函数，……2分()f x ∴在1,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上最小值为(1)2f =.………………………4分当1,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，由函数11()f x x x a =+>恒成立，得12a >，解得12a >. ……6分 (Ⅱ)若命题q 为真命题，则13a <≤，解得1a ≥， …………………8分 若p 为真命题且q 为假命题，则1201a a ⎧>⎪⎨⎪<<⎩，可得112a <<，……10分若p 为假命题且q 为真命题，则1021a a ⎧<≤⎪⎨⎪≥⎩，此时a φ∈ ,……………12分由上可知，a 的取值范围为112a <<． …………………………14分解：（Ⅰ）作CH OAB H OH ⊥平面于，连,,HE OA E HF OB F CE CF ⊥⊥作于，于连 AO ∴⊥⊥平面CEH,BO 平面CFH ,,,CE OA CF OB CEO ∴⊥⊥∆所以≌CFO ∆,,OE OF OEHF =四边形为正方形，OH AOB ∴∠是的角平分线， ……………3分cos cos cos COE COH EOH ∴∠=∠⋅∠01cos cos 45,2COH COH COH ∴=∠∠=∴∠=即04sin 45CH ∴=⨯= …………………………………………8分(Ⅱ)（方法1）,,OA a OB b OC c BC c b a c b θ=记=,=,=,则=-,记- 0()cos ,()=-44cos608,a c b a c b a c b a c a b 又θ⋅-=⋅-⋅⋅-⋅⋅=⨯⨯= 0814,4,cos ,60,442a cb θθ=⋅-=∴===⨯即 所以异面直线OA 与BC 所成角的大小为060. …………………………15分 （方法2）以,,HF HE HC 所在直线分别为,,x y z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(2,2,0),(2,2,0),(2,2,0)C O A B --,则(4,0,0),(OA BC =-=- ………10分 设异面直线OA 与BC 所成角为,θ则cos cos ,OA BC OA BC OA BC θ⋅==⋅12==……………13分 060,θ∴=所以异面直线OA 与BC 所成角的大小为060. ………………15分（用补体法求解同样给分）(Ⅰ)在PBA △中，2PA =，1AB =，60PAB ∠=， 所以22221221cos603PB =+-⨯⨯⨯=，PB = 所以222PB AB PA +=，PB AB ⊥. 因为AD BC ∥，所以,,,A B C D 四点共面. 又AD ⊥平面PAB ，PB ⊂平面PAB ， 所以AD PB ⊥.又PB AB ⊥，AD AB A =，所以PB ⊥平面ABCD . ………………………7分 (Ⅱ)(方法一)在Rt PBC △中，PC 在Rt PAD △中，PD =在直角梯形ABCD中，CD =…………………………………………9分 在PDC △中，9cos 10PDC ∠==，sin PDC ∠=所以12PDC S =⨯=△14122ACD S =⨯⨯=△.………………12分 设直线PA 与平面PCD 所成的角为θ，设点A 到平面PCD 的距离为h ，因为A PDC P ACD V V --=，所以1133PDC ACD S h S PB ⨯⨯=⨯⨯△△，即11233h =⨯所以h =，sin h PA θ===，…………………………………………15分 故直线PA 与平面PCD(方法二)由(Ⅰ)知，BC ⊥平面PAB ，BC AB ⊥. 以点B 为坐标原点，以,,BA BC BP 所在直线分别 为,,x y z 轴建立如图的空间直角坐标系，则(0,0,3)P ，(1,0,0)A ，(0,2,0)C ，(140)D ，，， 所以(1,0,PA =，(0,2,PC =，(1,2,0)CD =.……………9分设直线PA 与平面PCD 所成的角为θ， 设平面PCD 的一个法向量为(,,)x y z =n ， 由00PC CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n得2020y x y ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩取y则2z =，23x =-，所以(=-n . ………………12分 所以sin |||PA PA θ⋅===⋅n n |， 故直线PA 与平面PCD ………………15分 (方法三)延长,DC AB 相交于点E ，连结PE . 因为AD BC ∥，2AD BC =， 所以BC 为ADE △的中位线，点,B C 分别为,AE DE 的中点. 所以PDE △为等腰三角形. 取PE 中点F ，连,DF AF .所以DF PE ⊥，AF PE ⊥，DF AF F =， 所以PE ⊥平面ADF ，又PE ⊂平面PCD ， 所以平面ADF ⊥平面PCD . 作AH D F ⊥于H ，连PH ， 所以AH ⊥平面PCD .所以APH ∠就是直线PA 与平面PCD 所成的角.………12分因为AF =4AD =,DF =所以222AF AD DF +=，所以AH =所以sin AH APH AP ∠===， 故直线PA 与平面PCD………………15分 21. （本题满分15分）(Ⅰ)Q PN 点是线段的垂直平分线上的点，QN QP \=，QM QN QP QM MP \+=+==,Q M N \点的轨迹是以为焦点的椭圆，22,a c ==其中1, 1.a c b \==22 1.2x Q y +=因此，点的轨迹方程是 …………5分(Ⅱ)设其中一条直线AB 的方程为(1)y k x =+代入椭圆方程可得：2222(21)4220,k x k x k +++-=AB =…………8分 设1122C(x ,y ),D(x ,y ),则1(1)2x kCD:y=-+ 即x=-2ky-1,代入椭圆方程可得：(4k 222)410,y ky ++-= 设,C D 到直线AB 的距离分别为d 1和d 2，则12d d +====…………………………………12分121()2S AB d d =⋅+===2=≤=22211""2k =当4k =，即k =时取 …………………………………15分 22．（本题满分15分）（Ⅰ）解：切线PA 的方程为y-x 21112(),x x x =-即y=2211,x x x -222.x x x -同理可得，切线PB 的方程为y=2…………4分（另解：211()PA k x x =-设切线的方程为：y-x222112110()y x kx x kx k x x ⎧=⎪--+=⎨=-⎪⎩由消去y 后可得：x y-x 221114402k x kx k x ∆=+-=∴=22111112(),,x x x x x x ∴=--切线PA 的方程为y-x 即y=2 222.x x x -同理可得，切线PB 的方程为y=2）…………4分（Ⅱ） 证明：因为点P 既在切线PA 上，也在切线PB 上，由（1）可得201012y x x x =-，202022y x x x =- ，故1202x x x +=，012y x x =. 又点M 的坐标为221212(,)22x x x x ++ ．………………………………………6分 所以点N 的纵坐标为2221212121()()222N x x x x y x x ++=+=， 即点N 的坐标为21212(,())22x x x x ++．故N 在抛物线C 上．……………8分 （Ⅲ）解 由(Ⅰ)知：2||)]A B =，212()||2x x PM -=，所以||||AB PM ===……………………………12分 设041[11,3]t y =+∈--，则022004116162953182918y t y y t t t t+==++++++．当[11,3]t =--时，即当014y =时，||||AB PM 的取最大值．……15分。
浙江省宁波市九校2022-2023学年高二下学期期末联考数学试题(解析版)
2022学年第二学期宁波市九校联考高二数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数z 满足i 1i z ⋅=+，则z 对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A 【解析】【分析】根据复数的除法运算法则，求出复数z ，即可求解. 【详解】由i 1i z ⋅=+，得21i (1i)(i)=1i ii z ++−==−−， 所以1i z =+，在复平面内对应的点为(1,1) 所以对应点位于第一象限. 故选：A.2. 设集合(){},21x Mx y y ==−，()π,cos ,442N x y y x x==−≤≤，则M N ∩中元素的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】B 【解析】【分析】在同一坐标系下画出两集合对应函数图象，交点个数即为交集元素个数【详解】对于函数21x y =−，当0x <时，01y <<；当0x ≥时，0y ≥.对于函数πcos,442yx x −≤≤，222ππ,πx ∈− ，则11y −≤≤且端点处取最大值 两函数图象在同一坐标系下大致如下，则两函数图象有3个交点，即M N ∩中元素的个数为3个. 故选：B3. 已知随机变量()211~,X N µσ，()222~,Y N µσ，它们的分布密度曲线如下图所示，则下列说法中正确.的是（ ）A. 12µµ<，2212σσ< B. 12µµ<，2212σσ> C 12µµ>，2212σσ<D. 12µµ>，2212σσ>【答案】B 【解析】【分析】由图结合正态分布曲线特点可得答案.【详解】由图可得随机变量X 的均值比随机变量Y 的均值小，则12µµ<.又由图得，随机变量X 的分布比随机变量Y 的分布更加分散，则2212σσ>. 故选：B4. 已知平面向量a ，b满足a b a b +=− ，则b a − 在a 上的投影向量为（ ） A. a −B. aC. b −D. b【答案】A 【解析】【分析】由已知可得0a b ⋅=，根据投影向量的定义及数量积的运算律求投影向量即可.【详解】由a b a b +=− 知：222222a a a b b a b b−=+⋅+⋅+ ，可得0a b ⋅= ， 所以b a − 在a上的投影向量为22()a b a a a b a a a aa a⋅−⋅−⋅=⋅=−. 故选：A 5. 若1sin()43πα+=，(0,)απ∈，则cos 2=α（ ） A. 79−B.C.D. 【答案】D 【解析】.【分析】根据同角三角函数的关系结合角度范围可得cos()4πα+，再根据二倍角公式可得sin[2()]4πα+，结合诱导公式可得cos 2α.【详解】因为(0,)απ∈，所以5(,)444πππα+∈，又13sin()sin 434ππα+=<，所以3(,)44ππαπ+∈，所以cos()4πα+，所以cos 2sin(2)sin[2()]2sin()cos()2444ππππααααα=+=+=++＝ 故选：D6. 在ABC 中，点O 满足2CO OB = ，过点O 的直线分别交射线AB ，AC 于点M ，N ，且AM mAB =，AN nAC =，则2m n +的最小值为（ ） A.83B.103C. 3D. 4【答案】A 【解析】【分析】利用共线定理的推论可得21133m n+=，然后妙用“1”可得. 【详解】由题可知，0,0m n >>，因为AM mAB = ，AN nAC =，所以1AB AM m= ，1AC AN n = ，又2CO OB = ，所以22AO AC AB AO −=−，所以21213333AO AB AC AM AN m n=+=+， 因为,,M O N 三点共线，所以21133m n+=，所以2144482(2)()3333333m n m n m n m n n m +=++=++≥+=， 当且仅当43321133m nn mm n = +=，即42,33m n ==时，等号成立.所以2m n +的最小值为83.故选：A7. 已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且()22f =，若对任意的1x ，()20,x ∈+∞，均有()()12121f x f x x x −>−成立，则不等式()11f x x −+>的解集为（ ）A. ()()2,02,−+∞B. ()(),20,2−∞−C. ()(),11,3−∞−D. ()()1,13,−+∞【答案】D 【解析】【分析】构造函数()()gx f x x =−，则()()g x f x x =−在()0,∞+上递增，判断()()g x f x x =−也是是定义在R 上的奇函数，可得()()gx f x x =−在(),0∞−上递增，分类讨论列不等式求解即可. 【详解】因为对任意的1x ，()20,x ∈+∞，均有()()12121f x f x x x −>−成立，不妨设2x >1>0x ，则−1x 20x <，所以()()()()12121122f x f x x x f x x f x x ⇒−<−−<−，构造函数()()gx f x x =−，则()()g x f x x =−在()0,∞+上递增， 因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()g x f x x =−也是是定义在R 上的奇函数， 所以()()gx f x x =−在(),0∞−上递增， 不等式()11f x x −+>化为()()()11010f x x g x −−−>⇒−>， 因为()()()()()2222020220f f g g g =⇒−=⇒=⇒−=−=，则()()121231010x g x g x x x −> −> ⇒⇒>−>−> ，或()()1212111010x g x g x x x −>− −>− ⇒⇒−<<−<−<； 10x −=时，()00g =，不合题意；综上不等式()11f x x −+>的解集为()()1,13,−+∞ ， 故选：D.8. 三面角是立体几何的重要概念之一.三面角−P ABC 是指由有公共端点P 且不共面的三条射线PA ，PB ，PC 以及相邻两射线之间的平面部分所组成的空间图形.三面角余弦定理告诉我们，若APC α∠=，BPC β∠=，APB γ∠=，平面APC 与平面BPC 所成夹角为θ，则cos cos cos cos sin sin γαβθαβ−=.现已知三棱锥−P ABC ，PA =，3BC =，45APC ∠=°，60BPC ∠=°，90APB ∠=°，则当三棱锥−P ABC 的体积最大时，它的外接球的表面积为（ ）A. 18πB. 36πC.87π2D.117π2【答案】B 【解析】【分析】作出图形，作BD PC ⊥，BM ⊥平面APC ，则θ∠=BDM ，先表示出13P ABCAPC V S BM −=⋅ ，接着用条件表示成P ABC V −=−P ABC 的体积最大，则PB PC ⋅最大，利用基本不等式得出3PB PC ==时，其体积最大，然后补全三棱锥成棱柱，根据棱柱外接球半径即可求解.【详解】由题知，45APC ∠=°，60BPC ∠=°，90APB ∠=°， 平面APC 与平面BPC 所成夹角为θ， 作BD PC ⊥，BM ⊥平面APC ， 则θ∠=BDM ，由题意得13P ABCAPC V S BM −=⋅ ，cos cos cos cos sin sin γαβθαβ−===()0,πθ∈，sin θ=，sin BM BD θβ=⋅ 13sin 22APC S PA PC PC α=⋅⋅=⋅ ，所以13P ABC APC V S BM −=⋅= 要使三棱锥−P ABC 的体积最大，则PB PC ⋅最大， 在PBC 中，由余弦定理得， 2221cos 22PB PC BC BPC PB PC+−∠==⋅⋅，整理得，229PB PC PB PC +−=⋅，2292PB PC PB PC PB PC +=⋅+≥⋅，即9PB PC ⋅≤，当且仅当3PB PC ==时，等号成立，则PA =，3PB PC BC ===，AB =因为222cos 2PA PC AC APC PA PC+−∠=⋅⋅， 解得3AC =，所以222PC AC PA +=，222AC BC AB +=， 即AC PC ⊥，ACBC ⊥，60BCP ∠=°，所以补全三棱锥成棱柱，如下图，则四边形BCPD 是菱形，点O 为其外接球的球心，即AD 中点，所以3BP =，2cos30CD PC =⋅⋅°=6AD =，所以外接球半径为3，即三棱锥−P ABC 外接球的表面积为24π336π×=. 故选：B【点睛】三棱锥外接球表面积问题，从以下几个角度分析： （1）面面角的定义以及辨析； （2）求解最值时，基本不等式的利用； （3）几何体割补法的应用； （4）数形结合思想的应用.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 下列等式成立的是（ ） A. 0!0=B. 11A A m m n n n −−=C. 11(1)C (1)C mm n n n m +++=+ D. 111C C C m m m n n n −+++=【答案】BC 【解析】【分析】利用排列数、组合数公式对各选项逐一计算判断作答. 【详解】根据阶乘的概念可知，0!1=，故A 错误；()()()111!!!!A A m m n n n n n n n m n m −−−===−−，故B 正确； 因为11(1)!1!1C C (1)!()!1!()!1m m n n n n n n m n m m m n m m +++++===+−+−+，所以11(1)C (1)C m m n n n m +++=+，故C 正确； 根据组合数的性质可知11C C C mm m n n n −++=，故D 错误；故选：BC10. 以下四个正方体中，满足AB ⊥平面CDE 的有（ ）A. B.C. D.【答案】BD 【解析】AC ，根据直线与平面垂直的判定定理判断BD. 【详解】对A ，CE AD ∥，π4DAB ∠=，AB ∴与CE 所成角为π4，故AB 与平面CDE 不垂直， 故A 错误；对B ，在正方体中，ED ⊥平面ABD ，AB ⊂平面ABD ，所以AB ED ⊥， 又AB CE ，DE CE E ∩=，,DE CE ⊂平面CDE ，所以AB ⊥平面CDE ，故B 正确；对C ，连接,AF BF ，如图，在正方体中，由正方体面上的对角线相等可知，ABF △为正三角形，所以π3BAF ∠=，又CE AF ∥，AB 与CE 所成的角为π3，所以AB 与平面CDE 不垂直，故C 不正确； 对D ，连接,MB BN ，如图，因为AM ⊥平面CMEB ，EC ⊂平面CMEB ，所以AM EC ⊥，又BM EC ⊥，,BM AM M BM AM =⊂ ，平面AMB ，所以EC ⊥平面AMB ，又AB ⊂平面AMB ，所以EC AB ⊥，同理可得ED AB ⊥，再由,,EC ED E EC ED =⊂ 平面ECD ，所以AB ⊥平面CDE ，故D 正确. 故选：BD11. 已知函数()f x 的定义域为R ，()21f x +是偶函数，()1f x −的图象关于点()3,3中心对称，则下列说法正确的是（ ）A. ()()2f x f x =+ B. ()203f =C. ()()24f x f k x +=−，Z k ∈D.411()123k i f i k −==−∑，Z k ∈【答案】BCD 【解析】【分析】根据()21f x +是偶函数可得函数()f x 关于直线1x =对称，由()1f x −的图象关于点()3,3中心对称可得()f x 关于点(2,3)成中心对称，据此可推导出函数为周期函数，判断A ，再由函数的周期求出()20f 判断B ，由周期性及对称性可判断C ，由以上分析利用()()41411()4k ki i f i f i f k −===−∑∑求解可判断D.【详解】因为()21f x +是偶函数，所以(21)(21)f x f x −+=+，可得(1)(1)−+=+f x f x ，故()f x 关于直线1x =对称，因为()1f x −的图象关于点()3,3中心对称，所以()f x 关于点(2,3)成中心对称，所以(2)(2)6f x f x −++=，又由(1)(1)−+=+f x f x 可得()(2)f x f x −=+，所以(2)()6f x f x −+−=，即(2)()6f x f x ++=，所以(4)(2)6f x f x +++=， 两式相减可得(4)()0f x f x +−=，即(4)()f x f x +=，所以4T =，故A 错误； 由周期4T =，()20(4)(0)f f f ∴==，又(0)(4)6f f +=，所以(0)(4)3f f ==，即()203f =，故B 正确；由周期4T =，()4()f k x f x ∴−=−，Z k ∈，由()(2)f x f x −=+可得，()()24f x f k x +=−，Z k ∈，故C 正确；由上述分析可知(2)(4)3f f ==，又因为(1)(3)6f f +=， 所以(1)(2)(3)(4)12f f f f +++=，所以()()41411()4123k ki i f i f i f k k −===−=−∑∑， 故D 正确. 故选：BCD【点睛】关键点点睛：当函数满足()()f a x f b x +=−时，函数()f x 关于直线2a bx +=对称， 当函数满足()()2f a x f b x c ++−=时，函数关于点,2a b c +成中心对称.12. 摸出一个小球，记录颜色后放回，当三种颜色的小球均被摸出过时就停止摸球.设=i A “第i 次摸到红球”，i B =“第i 次摸到黄球”，i C =“第i 次摸到蓝球”，i D =“摸完第i 次球后就停止摸球”，则（ ）A. ()329P D =B. ()41227P D A =C. ()11223n n n P D −−−=，3n ≥ D. ()312223n n n n n P D B C −−−−=，3n ≥【答案】ACD 【解析】【分析】AC 选项，求出n D 包含的事件数为()12322C n −−，从而得到()n P D ，并计算出()3P D ；B 选项，计算出()41227P D A =，()113P A =，利用条件概率公式计算出答案，D 选项，表达出()31223n n n n n P D B C −−−=，3n ≥，和()21233n n n n P B C −−−=，3n ≥，利用条件概率公式得到答案.【详解】AC 选项，n D =“摸完第n 次球后就停止摸球”，有放回的摸n 次，有3n 种可能，若恰好摸球n 次就停止摸球，则恰好第n 次三种颜色都被摸到，即前()1n −次摸到2种颜色，第n 次摸到第三种颜色，共()12322C n −−种情况，则()()1311222322C 3nn n nn P D −−−−==−，3n ≥，()23222239P D −==，AC 正确； B 选项，事件41D A 表示第一次摸到红球，摸到第4次，摸球结束，若第2次或第3次摸到的球为红球，此时有12A 种情况，不妨设第2次摸到的球为红球， 则第3次和第4次摸到的球为蓝球或黄球，有2种可能， 故有122A 4=种情况，若第2次和第3次都没有摸到红球，则第2次和第3次摸到的球颜色相同，第4次摸到的球和第2,3次摸到的球颜色不同，故有22A 2=种情况，故()41426n D A =+=，其中摸4次球可能得情况有4381=种情况，故()41761228P D A ==， 其中()113P A =，故()4129P D A =，B 错误； D 选项，12n n n D B C −−表示“第()2n −次摸到蓝球，第()1n −次摸到黄球，第n 次摸到红球，停止摸球”，则前()3n −次摸到的球时蓝球或红球，故有32n −种可能，故()31223n n n n n P D B C −−−=，3n ≥，12n n B C −−表示“在前n 次摸球中，第()2n −次摸到蓝球，第()1n −次摸到黄球”，故有23n −种可能， 故()21233n n n n P B C −−−=，3n ≥，则()312223n n n n n P D B C −−−−=，3n ≥，D 正确.故选：ACD【点睛】常见的条件概率处理方法，其一是用样本点数的比值处理，需要弄情况事件包含的样本点数，其二是用概率的比值处理，也可以缩小样本空间，从而确定概率，解决实际问题的关键在于分析情况基本事件.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知实数a ，b 满足25a bm ==且1112a b +=，则m ＝______. 【答案】100 【解析】【分析】根据指数与对数的互化公式，表示出,a b ，再结合换底公式表示出1112a b +=，最后结合对数运算即可求解【详解】由25a bm ==可得2511log ,log log 2,log 5m m a m b m a b==⇒==， 又1112a b +=，即1log 2log 5log 102m m m +==， 所以1210m =，即100m = 故答案为：10014. 现有一枚质地不均匀的硬币，若随机抛掷它两次均正面朝上的概率为12，则随机抛掷它两次得到正面、反面朝上各一次的概率为______；若随机抛掷它10次得到正面朝上的次数为ξ，则()E ξ=______.（第一空2分，第二空3分） 【答案】 ①1##1−②. 【解析】【分析】p ，再由独立重复试验求出正面、反面朝上各一次的概率为，由二项分布的期望公式求期望.【详解】设这枚硬币正面朝上的概率为p ，反面朝上的概率为1p −， 则两次正面朝上的概率为212p =，解得p = ，所以随机抛掷两次得到正面，反面朝上各一次的概率为()12C 1211P p p =−=− . 由题易知随机变量ξ服从二项分布ξ~10B ，则()10E ξ=.1−；15. 已知函数()()ln 2e ,0234,0x a x f x x ax a x − −<= −++−≥ ，若()f x 有4个零点，则实数a 的范围是______..【答案】41,3【解析】【分析】由题可得方程()ln e x a −=与方程22340,0x ax a x −++−=≥各有两个根，对于前者转化为函数()()ln ex g x −=图象与直线y a =有两个交点，后者由判别式结合韦达定理可得a 范围，综合后可得答案.【详解】当0x <时，()()()ln ,1ln ln ,10x x x x x −≤− −= −−−<<，则函数()()()()ln ln ln e ,1e 1e,10x x x x x g x x x −−−− =−<− == =−−≤<在(),1−∞−上单调递减，在[)10−，上单调递增，据此可得()g x 大致图象如下，又()ln e x a −=方程的解的个数相当于函数()g x 图象与直线y a =交点个数，方程22340,0x ax a x −++−=≥最多2个根，()f x 有4个零点，则方程()ln e x a −=与方程22340,0x ax a x −++−=≥各有两个根.设方程22340,0x ax a x −++−=≥两根为12,x x ，则212121Δ41216041203430a a a a x x a x x a > +−>⇒<≤+=> =−≥ . 故答案为：41,3.【点睛】16. 已知平面向量a ，b ，()1,2i c i =满足22a b b ==⋅=，1i c a −= ，则()1222R c b c b λλλ−+−∈的最小值为______.【答案】3−##3−+【解析】【分析】求出向量,a b的模及夹角，记1122,,2,,2OA a OB b OB b OC c OC c λ=====′ ，得出对应点的轨迹，利用数形结合求最值.【详解】由||2||2a b b==⋅=，即21cos ,a b ×× ，所以π,4a b = ， 记1122,,2,,2OA a OB b OB b OC c OC c λ′=====，因为1i c a −=， 所以1C 在以A 为圆心，1为半径的圆上，2C 在以A ′为圆心，2为半径的圆上，其中(2,0),(4,0)A A ′，所以11222122222||||c B b c b c b c b C B C λλλλ−+−=−′+=′+−， 作A 关于直线l （OB所在直线）的对称圆，1C 的对称点记为3C ，知1(0,2)A ，则1232B C B C B C B C +=+′′′′，如图，由图可知，当132,,,,A C B C A ′′共线时，32||||C B C B ′′+存在最小值，因为111,2A A A A r r ′===′，所以32||||C B C B ′′+最小值为3.故答案为：3−【点睛】关键点点睛：利用向量的的几何表示，原问题转化为求32||||C B C B ′′+最小值，数形结合，利用共线线段最短得解.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且______，请从下列两个条件中任选一个填入上方的横线中作为已知条件，并解答本题（如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分）：①sinsin 2B Cc a C +=；②)222ABC S b c a =+− ，（1）求A ；（2）若D 为边BC 上一点，且2CD AD BD ==，试判断ABC 是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形，并说明理由. 【答案】（1）π3A =（2）直角三角形，理由见解析 【解析】【分析】（1）选①：利用诱导公式化简，再由正弦定理边化角，然后由二倍角公式化简可得；选②：根据面积公式和余弦定理列方程可解；（2）根据已知先得1233AD AB AC =+，然后平方，联立余弦定理求解可得2c b =，a ，然后可判断三角形形状. 【小问1详解】若选①：πsin sin cos 222B C A A c c c +−== ，cos sin 2A c a C ∴=，sin cos sin sin 2AC A C ∴=， ()0,π,sin 0C C ∈> ，cossin 2sin cos 222A A AA ∴==， π0,,cos 0222A A ∈>，1sin 22A ∴=， 所以π26A =，解得π3A =.若选②：)2222cos cos ABC S b c a bc A A =+−== ，1cos sin 2A bc A =， sin A A =，tan A ∴， 因为()0,πA ∈，故π3A =. 【小问2详解】 2CD BD AD == ，212,,333AD a CD a BD a ∴===且2BD DC = 22AD AB AC AD ∴−=−，即1233AD AB AC =+ ， 222144999AD AB AC AB AC ∴=++⋅，22241429999a cb bc ∴=++，即222442a c b bc =++①， 又由余弦定理得222a b c bc =+−②，联立①②可得2c b =，a ，从而222+=a b c ，故ABC 是直角三角形.18. 已知函数()sin cos (0)f x x x ωωω=+>的图象关于直线π8x =对称，且()f x 在π0,6上没有最小值.（1）求()f x 的单调增区间；（2）已知函数()()log 242x a g x a a =−+（0a >且1a ≠），对任意1ππ,42x∈，总存在[]21,2x ∈，使得()()12f x g x ≤，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）)3πππ,πZ 88k k k−++∈（2）2a ≥或112a ≤<. 【解析】【分析】（1）由两角和的正弦公式化简，再由对称轴及在π0,6上没有最小值求出解析式，由正弦型函数的单调性求单调区间即可；（2）根据存在性及任意性问题转化为()()12max max f x g x ≤，分别利用三角函数及对数型函数的性质求最值，解不等式即可. 【小问1详解】()πsin cos 4f x x x x ωωω=++.()f x 的图象关于直线π8x =对称. ππππ,Z 842k k ω∴+=+∈，解得82,Z k k ω=+∈. 当π0,6x∈时，ππππ,4464x ωω+∈+ . ()f x 在π0,6上没有最小值.ππ3π642ω∴+≤，解得152ω≤.又0ω>，所以2ω=，所以()π24f x x=+.令()πππ2π22πZ 242k x k k −+≤+≤+∈， 解得()3ππππZ 88k x k k −+≤≤+∈. 所以()f x 的单调增区间为()3πππ,πZ 88k k k−++∈.【小问2详解】任意1ππ,42x∈，均存在[]20,2x ∈，使得()()12f x g x ≤. ()()12max max f x g x ∴≤.1ππ,42x ∈ .1π3π5π2,444x ∴+∈ .()m x 11a sin 1π24f x x∴ +≤≤=.又log ,242x a y t t a a ==−+ （0a >且1a ≠）单调性相同， ()()log 242x a g x a a ∴=−+在定义域上是增函数.()()()2max 2log 2421a g x g a a ∴==−+≥.21242a a a a > ∴ −+≥或2010242a a a a << <−+≤ 2a ∴≥或112a ≤<. 19. 航班正点率是指航空旅客运输部门在执行运输计划时，航班实际出发时间与计划出发时间较为一致的航班数量与全部航班数量的比率.人们常用航班正点率来衡量一个航空公司的运行效率和服务质量.现随机抽取10家航空公司，对其近一年的航班正点率和顾客投诉次数进行调查，得到数据如下：航空公司编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10航班正点率ix/% 82 7777 76 74 73 71 70 9169顾客投诉次数iy/次21 58 79 68 74 93 72 122 18 125 整理数据得：10153620i iix y=≈∑，102158150iix=≈∑，102164810iiy=≈∑，101760iix==∑，101730iiy==∑，70≈.（1）（i）证明：样本相关系数nnx yr=；（ii）根据以上数据计算样本相关系数（结果保留2位小数），并由此推断顾客投诉次数与航班正点率之间的线性相关程度（若0.81r≤≤，则认为线性相关程度很强；若0.30.8r≤<，则认为线性相关程度一般；若0.3r<，则认为线性相关程度很弱）.（2）用一元线性回归模型对上表中的样本数据进行拟合，得到顾客投诉次数关于航班正点率的经验回归方程为5y x a=−+.数，并希望一年内收到的顾客投诉不超过73次，试估计该公司的航班正点率应达到多少？参考公式：样本相关系数nx yr=【答案】（1）（i）证明见解析；（ii）0.89−；顾客投诉次数与航班正点率之间的线性相关程度很强（2）76%.【解析】【分析】（1）（i）将()()1ni iix x y y=−−∑展开，结合平均数意义化简可得()()11n ni i i ii ix x y y x y nx y=−−=−∑∑，然后分别用,i x x,i x x替代,i y y，用,i y y分别替代,i x x可证；（ii）根据所给数据代入公式计算,然后可作出判断；（2）利用样本中心点求 a，然后根据回归方程解不等式可得. 【小问1详解】（i ）证明：()()()11ni iiini i i i x x x y x y x y y y x y ===+−−−−∑∑1111n n nni i i ii i i i x y x y x y x y =====−−+∑∑∑∑ 1111nnnniii ii i i i x y y x x y x y =====−−+∑∑∑∑1()()ni ii x y y nx x ny nx y ==−−+∑1ni ii x y nx y ==−∑，在上式中分别用,i x x 替代,i y y ，得()22211nni i i i x x x nx ==−=−∑∑，同理，也有()22211nni i i i y y y n y ==−=−∑∑，故样本相关系数nnx yr =.（ii ）可知10117610i i x x ===∑，10117310i i y y ===∑.10110536201076731860i i i x y x y =∴−≈−××=−∑，10222110581501076390ii xx =−≈−×=∑， 1022211064810107311520ii yy =−≈−×=∑，1010x y x yr−∴≈620.8970≈−≈−，故顾客投诉次数与航班正点率之间的线性相关程度很强.【小问2详解】557673453a x y =+=×+=令545373ˆyx =−+≤，得76x ≥. 即该公司的航班正点率应达到76%.20. 2023年4月23日是第28个“世界读书日”.为了倡导学生享受阅读带来的乐趣、尊重和保护知识产权，立德中学举办了一次阅读知识竞赛.初赛中每支队伍均要参加两轮比赛，只有两轮比赛均通过的队伍才能晋级.现有甲、乙两队参赛，初赛中甲队通过第一轮和第二轮的概率均为34，乙队通过第一轮和第二轮的概率分别为35，23，且各队各轮比赛互不影响. （1）记甲、乙两队中晋级的队伍数量为X ，求X 的分布列和数学期望；（2）经过激烈的比拼，甲、乙两队成功进入决赛争夺冠军.决赛共有两道抢答题.第一题中，某支队伍若抢到并答对则加10分，若抢到但答错则对方加10分.第二题中，某支队伍若抢到并答对则加20分，若抢到但答错则对方加20分.最终得分高的队伍获胜.假设两支队伍在每一题中抢到答题权的概率均为12，且每一题答对的概率分别与初赛中通过对应轮次的概率相等.各队各题作答互不影响.已知甲队获得了冠军，计算第二题是由甲队抢到答题权的概率. 【答案】（1）分布列见解析，7780（2）57【解析】【分析】（1）设“甲队晋级”为事件M ，“乙队晋级”为事件N ，求得9()16P M =，2()5P N =，得到X 的可能取值为0,1,2，求得相应的概率，出分布列，结合期望的公式，即可求解；（2）记事件A = “甲队获得冠军”，B = “该题由甲队抢到答题权”，结合条件概率的公式，即可求解. 【小问1详解】解：设“甲队晋级”为事件M ，“乙队晋级”为事件N ， 可得339()4416P M =×=，322()535P N =×=，则随机变量X 的可能取值为0,1,2，可得()922101116580P X==−×−=；()92924111116516580P X==−×+×−=. ()929216540P X ==×=.所以随机变量X 的分布列为则期望()214197701280804080E X =×+×+×=. 【小问2详解】解：根据题意，设甲乙两队通过初赛的事件分布为12,A A ，可得12339322(),()4416535P A P A =×==×=， 即甲乙进入决赛的概率分别为916和25，记事件A = “甲队获得冠军”，B = “该题由甲队抢到答题权”， 可得()()()()()191393||21625160P A P B P A B P B P A B =+=×+×=， 又由()()()199()(|)()21632P AB P AB P B P B P A B P B =⋅==×=，故()()()9532|937160P AB P B A P A ===. 21. 如图，四面体ABCD 中，平面ABC⊥平面BCD ，AB AC ⊥，AB AC ==1CD =，（1）若AD AB ⊥，证明：CD ⊥平面ABC ；（2）设过直线AD 且与直线BC 平行的平面为α，当BD 与平面ABC 所成的角最大时，求平面α与平面BCD 的夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析 （2【解析】【分析】（1）利用面面垂直的性质定理证得⊥AE 平面BCD ，进而得到AE CD ⊥，从而利用线面垂直的判定定理依次证得AB ⊥平面ACD ，CD ⊥平面ABC ；（2）先由题意推得BD 与平面ABC 所成的角最大时DF 的值，再推得平面α与平面BCD 的夹角的平面角为AGE ∠，从而在Rt AEG △中求得所求. 【小问1详解】过点A 作AE BC ⊥，垂足为E ，平面ABC⊥平面BCD ，平面ABC ∩平面BCD BC =，AE BC ⊥，AE ⊂平面ABC ，AE ∴⊥平面BCD ，又CD ⊂平面BCD ，AE CD ∴⊥，AD AB ⊥ ，AB AC ⊥，AC AD A = ，AC AD ⊂ 平面ACD ，AB ∴⊥平面ACD ，又CD ⊂平面ACD ，AB CD ∴⊥，又,,AE AB A AE AB =⊂ 平面ABC ，故CD ⊥平面ABC .【小问2详解】过点D 作DF BC ⊥，垂足为F平面ABC⊥平面BCD ，平面ABC ∩平面BCD BC =，DF BC ⊥，DF ⊂平面BCD ，DF ⊥∴平面ABC ，DBC ∴∠是BD 与平面ABC 所成的角，在ABC 中，ABAC ⊥，AB AC ==2BC =，故sin sin CD BC DBC BDC=∠∠，即12sin sin DBC BDC =∠∠，则1sin sin 2DBC BDC ∠=∠，∴当sin 1BDC ∠=，即CD BD ⊥时，sin DBC ∠最大，且最大值为12，此时π6DBC ∠=，BD =，DF =， 记l α= 平面BCD ，过点E 作EG l ⊥，垂足为G ，连接AG ，//BC α ，BC ⊂平面BCD ，l α= 平面BCD ，//l BC ∴，故平面ADG 就是平面α，AE 平面BCD ，AE l ∴⊥，EG l ⊥ ，EG AE E ∩=，,EG AE ⊂平面AGE ，l ∴⊥平面AGE ，又AG ⊂平面AGE ，l AG ∴⊥，AGE ∴∠是平面α与平面BCD 的夹角，则π02AGE <∠<， 又因为DF BC ⊥，//l BC ，所以//GE DF ，所以四边形DFEG 是平行四边形，故GE DF ==，则在Rt AEG △中，AG ， 所以平面α与平面BCD的夹角余弦值为cos GE AGE AG ∠=. .22. 已知()1f x x =+，()22g x x =+.定义{},min ,,a a b a b b b a ≤ =≤ ，设()()(){}min ,2m x f x t g x t =−−，R t ∈．（1）若3t =，（i ）画出函数()m x 的图象； （ii ）直接写出函数()m x 的单调区间；（2）定义区间(),A p q =的长度()L A q p =−.若()*12Nn B A A A n =∪∪∪∈ ，(1)i j A A i j n =∅≤<≤ ，则()1()ni i L B L A ==∑.设关于x 的不等式()m x t <的解集为D .是否存在t ，使得()6L D =？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（i ）作图见解析；（ii ）单调减区间为(),3−∞，()5,6，单调增区间为()3,5，()6,+∞ （2）存在，3t = 【解析】【分析】（1）（i ）3t =时，(){}2min 31,1238m x x x x =−+−+，求出方程221238x x x −=−+的根，即可画出()m x 的图象；（ii ）由()m x 的图象即可写出其单调区间； （2）由()min 1m x =得不等式()m x t <有解必要条件是1t >，再对t 的值分情况讨论即可. 【小问1详解】（i ）若3t =，则()31f x t x −=−+，()()222621238g x t x x x −=−+=−+.(){}2min 31,1238m x x x x ∴=−+−+. 令221238x x x −=−+， 得15=x ，28x =.故函数()m x 的图象如图所示.（ii ）由函数()m x 的图象可知()m x 的单调减区间为(),3−∞，()5,6， 单调增区间为()3,5，()6,+∞.- 【小问2详解】()min 1f x = ，()min 2g x =.()min 1m x ∴=. ∴不等式()m x t <有解的必要条件是1t >.①当12t <≤时，如图①所示，令()m x t <，即()f x t <，得()1,21D t =−.的()222L D t ∴=−≤，不符合题意.当2t >时，令()1x t g x −+=，得()2241410x t x t t −++++=解得1x =，2x =令11x t t −+=，得3t =.②当23t <≤时，如图②所示，()f x t <的解集为()1,21t −，()g x t <的解集为(2t t −+，此时()22L D t =−+. 令()6L D =，解得3t =.③当3t >时，如图③所示，2220t x t +−=+=< ，22t x ∴+< ，令()m x t <，得(1,2D t =.()21L D t ∴=+−.令()6L D =，解得3t =或174t =，均舍去. 综上所述，3t =..【点睛】思路点睛：本题考查了函数的新定义问题，对于第（2）小题，突破口是由()min 1m x =得不等式()m x t <有解的必要条件是1t >，再对t 与()f x 和()g x 的最小值进行分类讨论求解.。
浙江省宁波市2019版数学高二下学期理数期末考试试卷C卷
浙江省宁波市2019版数学高二下学期理数期末考试试卷C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2016高一上·青海期中) 已知全集U=R，设集合A={x|y=lg（x﹣1）}，集合B={y|y=2x ，x≥1}，则A∩（∁UB）=（）A . [1，2]B . [1，2）C . （1，2）D . （1，2]2. （2分）已知复数i为虚数单位），且，则z=（）A .B .C . 或D . 或3. （2分） (2019高二上·湖南期中) 以下四个命题：①“若，则”的逆否命题为真命题②“ ”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件③若为假命题，则，均为假命题④对于命题：，，则为：，其中真命题的个数是（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个4. （2分）下列函数中，在（0，+∞）上为减函数的是（）A . f（x）=B . f(x) =C .D .5. （2分） (2018高二下·通许期末) 抛掷甲、乙两颗骰子，若事件A：“甲骰子的点数大于4”；事件B：“甲、乙两骰子的点数之和等于7”，则的值等于（）A .B .C .D .6. （2分）(2018·遵义模拟) 对于任意的正实数x ，y都有（2x )ln 成立，则实数m的取值范围为（）A .B .C .D .7. （2分）已知圆C方程为：（x﹣2）2+（y﹣1）2=9，直线a的方程为3x﹣4y﹣12=0，在圆C上到直线a的距离为1的点有（）个．A . 4B . 3C . 2D . 18. （2分）如果数据x1 ， x2 ，…xn的平均数是 2，方差是3，则2x1+3，2x2+3…，2xn+3的平均数和方差分别是（）A . 4与3B . 7和3C . 7和12D . 4和 129. （2分） (2017高二下·沈阳期末) 下列说法：①分类变量与的随机变量越大，说明“ 与有关系”的可信度越大.②以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则的值分别是和0.3.③根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程为中，，则 .④如果两个变量与之间不存在着线性关系，那么根据它们的一组数据不能写出一个线性方程正确的个数是（）A . 1B . 2C . 3D . 410. （2分）(2017·蚌埠模拟) 我们把各位数字之和等于6的三位数称为“吉祥数”，例如123就是一个“吉祥数”，则这样的“吉祥数”一共有（）A . 28个B . 21个C . 35个D . 56个11. （2分） (2018高二上·扶余月考) 已知命题p:；命题q:若，下列为真命题的是（）A . p∧qB . p∨qC . p∧(┐q)D . ┐p12. （2分） (2017·石嘴山模拟) 设x，y满足约束条件，则z=3x+y的最小值为（）A . 0B . 1C . 2D . 3二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）（2x﹣y）5的展开式中，x2y3的系数为________ ．14. （1分）用反证法证明命题：“如果a，b∈N，ab可被3整除，那么a，b中至少有一个能被3整除”时，假设的内容应为________ ．15. （1分）某人进行射击，每次中靶的概率均为0.6，现规定：若中靶就停止射击；若没中靶，则继续射击．如果只有4发子弹，则射击停止后剩余子弹数ξ的数学期望为________．16. （1分）对任意的两个实数a，b，定义，若f（x）=4﹣x2 ， g（x）=3x，则min （f（x），g（x））的最大值为________．三、解答题 (共6题；共50分)17. （5分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数）．在以O为极点，Ox为极轴的极坐标系中，曲线C2：sinθ﹣ρcos2θ=0．若曲线C1和曲线C2相交于A，B两点．（Ⅰ）求曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）求点M（﹣1，2）到A，B两点的距离之积．18. （10分）(2020·海南模拟) 某土特产超市为预估2020年元旦期间游客购买土特产的情况，对2019年元旦期间的90位游客购买情况进行统计，得到如下人数分布表.购买金额（元）人数101520152010附：参考公式和数据：， .附表：2.072 2.7063.841 6.6357.8790.1500.1000.0500.0100.005（1）根据以上数据完成列联表，并判断是否有的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关.合计（2）为吸引游客，该超市推出一种优惠方案，购买金额不少于60元可抽奖3次，每次中奖概率为（每次抽奖互不影响，且的值等于人数分布表中购买金额不少于60元的频率），中奖1次减5元，中奖2次减10元，中奖3次减15元.若游客甲计划购买80元的土特产，请列出实际付款数（元）的分布列并求其数学期望.19. （10分）(2019·南通模拟) 已知函数．（1）讨论的单调性；（2）设的导函数为，若有两个不相同的零点．① 求实数的取值范围；② 证明：．20. （10分） (2018高二下·张家口期末) 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，直线与曲线交于两点，直线与曲线交于两点.（1）当时，求两点的极坐标；（2）设，求的值.21. （5分）现有甲、乙两个靶．某射手向甲靶射击两次，每次命中的概率为，每命中一次得1分，没有命中得0分；向乙靶射击一次，命中的概率为，命中得2分，没有命中得0分．该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．（I）求该射手恰好命中两次的概率；（II）求该射手的总得分X的分布列及数学期望EX．22. （10分） (2017高二下·中原期末) 已知f（x）=xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣3．（1）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；（2）对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分)17-1、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、21-1、22-1、22-2、。
宁波市第二中学2018-2019学年高二9月月考数学试题解析
宁波市第二中学2018-2019学年高二9月月考数学试题解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 在等差数列{}n a 中，11a =，公差0d ≠，n S 为{}n a 的前n 项和.若向量13(,)m a a =，133(,)n a a =-， 且0m n ?，则2163n n S a ++的最小值为（ ）A ．4B ．3 C．2 D ．92【命题意图】本题考查等差数列的性质，等差数列的前n 项和，向量的数量积，基本不等式等基础知识，意在考查学生的学生运算能力，观察分析，解决问题的能力．2． 一个几何体的三个视图如下，每个小格表示一个单位, 则该几何体的侧面积为（ ）A.4πB. C. 5πD. 2π+【命题意图】本题考查空间几何体的三视图，几何体的侧面积等基础知识，意在考查学生空间想象能力和计算能力．3． 已知角α的终边经过点(sin15,cos15)-，则2cos α的值为（ ）A．12+ B．12- C. 34D ．0 4． 已知全集为R ，且集合}2)1(log |{2<+=x x A ，}012|{≥--=x x x B ，则)(B C A R 等于（ ）A ．)1,1(-B ．]1,1(-C ．)2,1[D ．]2,1[【命题意图】本题考查集合的交集、补集运算，同时也考查了简单对数不等式、分式不等式的解法及数形结合的思想方法，属于容易题.5． S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若3a 8－2a 7＝4，则下列结论正确的是（ ） A ．S 18＝72 B ．S 19＝76 C ．S 20＝80D ．S 21＝846． 已知实数y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+≤-5342y x y x x y ，若目标函数mx y z -=取得最大值时有唯一的最优解)3,1(，则实数m 的取值范围是（ ）A ．1-<mB ．10<<mC ．1>mD ．1≥m【命题意图】本题考查了线性规划知识，突出了对线性目标函数在给定可行域上最值的探讨，该题属于逆向问题，重点把握好作图的准确性及几何意义的转化，难度中等.7． 如图，棱长为的正方体1111D ABC A B C D -中，,E F 是侧面对角线11,BC AD 上一点，若 1BED F 是菱形，则其在底面ABCD 上投影的四边形面积（ ）A ．12 B ．34C. 2 D．34-8． 设等比数列{}n a 的前项和为n S ，若633S S =，则96SS =（ ）A ．2B ．73 C.83D ．39． 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，12,F F 分别在其左、右焦点，点P 为双曲线的右支上的一点，圆M 为三角形12PF F 的内切圆，PM 所在直线与轴的交点坐标为(1,0)，与双曲线的一条渐，则双曲线C 的离心率是（ ） AB ．2 CD10．已知全集为R ，且集合}2)1(log |{2<+=x x A ，}012|{>--=x x x B ，则=)(B C A R （ ） A ．)1,1(- B ．]1,1(- C ．]2,1( D ．]2,1[【命题意图】本题考查集合的交集、补集运算，同时也考查了简单对数不等式、分式不等式的解法及数形结合的思想方法，属于容易题.11．若等边三角形ABC 的边长为2，N 为AB 的中点，且AB 上一点M 满足CM xCA yCB =+， 则当14x y+取最小值时，CM CN ⋅=（ ） A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 12．已知两条直线12:,:0L y x L ax y =-=，其中为实数，当这两条直线的夹角在0,12π⎛⎫⎪⎝⎭内变动 时，的取值范围是（ ）A ． ()0,1 B．3⎛ ⎝ C．()1,33⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D ．(二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．若函数63e ()()32ex x bf x x a =-∈R 为奇函数，则ab =___________． 【命题意图】本题考查函数的奇偶性，意在考查方程思想与计算能力．14．阅读下图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的n 的值等于_________. 15．设幂函数()f x kx α=的图象经过点16．已知关于的不等式20x ax b ++<210bx ax ++>的解集 为___________.三、解答题（本大共6小题，共17．已知数列{}n a 的前项和公式为n S （1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）求n S 的最小值及对应的值.18．（本小题满分12分）已知过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点，斜率为的直线交抛物线于11A x y （，） 和22B x y （，）（12x x ＜）两点，且92AB =． （I ）求该抛物线C 的方程；（II ）如图所示，设O 为坐标原点，取C 上不同于O 的点S ，以OS 为直径作圆与C 相交另外一点R ， 求该圆面积的最小值时点S 的坐标．19．（本小题满分12分）已知圆()()22:1225C x y -+-=,直线()()():211740L m x m y m m R +++--=∈.（1）证明: 无论m 取什么实数,L 与圆恒交于两点; （2）求直线被圆C 截得的弦长最小时L 的方程.20．（本小题满分10分） 已知函数()2f x x a x =++-．（1）若4a =-求不等式()6f x ≥的解集； （2）若()3f x x ≤-的解集包含[]0,1，求实数的取值范围．21．（本小题满分12分）如图四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面为菱形，AA 1⊥底面ABCD ，M 为A 1A 的中点，AB ＝BD ＝2，且△BMC 1为等腰三角形．（1）求证：BD⊥MC1；（2）求四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积．22．设不等式的解集为.（1）求集合；（2）若，∈，试比较与的大小。
2019-2020学年浙江省“9 1”联盟高二下学期期中数学试题(解析版)
C. 为增函数,为非奇非偶函数,不满足条件．
D.令 ，定义域为 ， ，该函数为偶函数，当 时， 为增函数,满足条件,
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了常见函数的奇偶性与单调性,属于基础题型.
4．用数学归纳法证明“ … ”时，由 到 时，不等试左边应添加的项是( )
C． 增大， 减小D． 减小， 增大
【答案】B
【解析】分别计算 和 的表达式，再判断单调性.
【详解】
,当 在 内增大时, 增大
，当 在 内增大时, 增大
故答案选B
【点睛】
本题考查了 和 的计算，函数的单调性，属于综合题型.
8．已知定义在 上的函数 ，设两曲线 与 在公共点处的切线相同，则 值等于（ ）
9．已知双曲线 的左右焦点分别为 ， ，过点 且垂直于x轴的直线与该双曲线的左支交于A，B两点， ， .分别交y轴于P，Q两点，若 的周长为12，则 取得最大值时，该双曲线的离心率为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据 轴且过左焦点 可得 ，由题意知 的周长为 周长的2倍，可得 ，化简得 ，转化 ，利用导数确定取最值时 ，即可求解.
对于D，由 ，可解的 ，所以原方程等价于 或 ，解得 ，故方程 有4个根.
故选：D
【点睛】
本题主要考查了判断方程的根的个数问题，涉及函数与方程思想，分类讨论，属于难题.
二、双空题
11．若全集 ， ， ， ______； ______.
2019-2020学年浙江省“9+1”联盟高二下学期期中数学试题
一、单选题
1．设集合 ， ，则方程 表示焦点位于x轴上的椭圆有( )
浙江省九加一联盟2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题 Word版含解析
2019学年第二学期9+1高中联盟期中考试高二年级数学学科试题一、选择题（本大题共10题，每小题4分，共40分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选，错选均不得分）1.设集合{}1,2,3,4A =，,m n A ∈，则方程221x y m n+=表示焦点位于x 轴上的椭圆有( )A. 6个B. 8个C. 12个D. 16个【答案】A 【解析】 【分析】根据m n >，对A 中元素进行分析即可求解. 【详解】因为椭圆焦点在x 轴上， 所以m n >， 当2m =时，1n =； 当3m =时，1,2n =； 当4m =时，1,2,3n =， 一共有6个符合要求的椭圆， 故选：A【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，椭圆焦点的位置，属于容易题.2.设,x y R ∈，则11()()22x y>是22log log x y <成立的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性、对数函数的单调性，可得出结论.【详解】因为1()2xy =为R 上的减函数，2log y x =是(0,)+∞上的增函数，所以由11()()22x y>可得x y <（,x y R ∈）22log log x y <，由22log log x y <可得x y <（,x y R +∈）⇒11()()22x y >，故11()()22x y>是22log log x y <成立的必要不充分条件，故选：B【点睛】本题主要考查了指数函数的单调性，对数函数的单调性，必要不充分条件，属于中档题.3.下列函数中是偶函数，且在0∞+（，）上单调递增的是 （）A. 3y x = B. 2y lgx =-C. 2xy = D. y =【答案】D 【解析】 【分析】根据各函数的性质与单调性逐个判断即可. 【详解】.A 函数为奇函数,不满足条件．B .函数的定义域为{|0}x x ≠,函数为偶函数,当0x >时,22y lgx lgx =-=-为减函数,不满足条件．C .2x y =为增函数,为非奇非偶函数,不满足条件．D .令()f x =定义域为R ，()()f x f x -===，该函数为偶函数，当0x >时，y =,满足条件,故选：D ．【点睛】本题主要考查了常见函数的奇偶性与单调性,属于基础题型. 4.用数学归纳法证明“1112n n ++++ (111)()24n N n n +≥∈+”时，由n k =到1n k =+时，不等试左边应添加的项是( )A. 12(1)k +B.112122k k +++ C.11121221k k k +-+++ D.1111212212k k k k +--++++ 【答案】C 【解析】 【分析】分别代入,1n k n k ==+，两式作差可得左边应添加项．【详解】由n=k时，左边为11112k k k k+++++，当n=k+1时，左边为11111231(1)(1) k k k k k k k k +++++++++++++所以增加项为两式作差得：11121221k k k+-+++，选C.【点睛】运用数学归纳法证明命题要分两步，第一步是归纳奠基(或递推基础)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立，第二步是归纳递推(或归纳假设)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立，只要完成这两步，就可以断定命题对从n0开始的所有的正整数都成立，两步缺一不可．5.现某路口对一周内过往人员进行健康码检查安排7名工作人员进行值班，每人值班1天，每天1人，其中甲乙两人需要安排在相邻两天，且甲不排在周三，则不同的安排方法有( ) A. 1440种 B. 1400种 C. 1320种 D. 1200种【答案】D【解析】【分析】根据题意,分2步进行分析: ①将甲、乙按要求安排，②将剩下的5人全排列，安排在剩下的5天，由分步计数原理计算可得答案.【详解】根据题意，分2步进行分析:①要求甲、乙安排在相邻两天，且甲不排在周三，先把周一周二、周二周三、⋯、周六周日看作6个位置，任选一个位置，排上甲乙两人，有126212A A=种方法，其中甲排在周三去掉，则甲乙的安排方法有1262210A A-=种,②将剩下的5人全排列，安排在剩下的5天，有55120A=种情况；由分步计数乘法原理知，则有101201200⨯=种安排方法.故选：D【点睛】本题主要考查了排列、组合的实际应用，涉及分步计数原理的应用，属于中档题.6.已知函数2In||()xf x xx=-，则函数的图象为（）A. B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】根据绝对值的性质，可以化简函数的解析式，用导数研究函数在0x <时的单调性，运用排除法可以选出正确的答案.【详解】222In ,(0)In ()=In(),(0)x x x x x f x x x x x x x ⎧->⎪⎪=-⎨-⎪-<⎪⎩，当x ＜0时，3221ln()21ln()()2x x x f x x x x '---+-=-=．令3()21ln()g x x x -=+-，由32161()60x g x x x x'+=+==，得316x =-，当x ∈（﹣∞，316'()0g x ＞，当x ∈（3160）时，'()0g x <． 所以()g x 有极大值为333311141()2()1ln ln 6066633g =⨯--+=--<． 又20(0)x x >≠，所以'()f x 的最大值小于0．所以函数()f x 在（﹣∞，0）上为减函数，这样可以排除A 、B 、C ，故选D. 【点睛】本题考查了函数的图象，应用导数研究函数的单调性是解题的关键.7.设1x <<，随机变量ξ的分布列如下：则当x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内增大时（ ） A. ()E ξ减小，()D ξ减小 B. ()E ξ增大，()D ξ增大 C. ()E ξ增大，()D ξ减小 D. ()E ξ减小，()D ξ增大【答案】B 【解析】 【分析】分别计算()E ξ和()D ξ的表达式，再判断单调性.【详解】()00.51(0.5)20.5E x x x ξ=⨯+⨯-+=+,当x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内增大时, ()E ξ增大()222210.5(0.50)(0.5)(0.51)(0.52)24D x x x x x x x ξ=⨯+-+-⨯+-++-=-++ ()25(1)4D x ξ=--+，当x 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭内增大时, ()D ξ增大 故答案选B【点睛】本题考查了()E ξ和()D ξ计算，函数的单调性，属于综合题型.8.已知定义在(0,)+∞上的函数2(),()6ln 4f x x m h x x x =-=-，设两曲线()y f x =与()y h x =在公共点处的切线相同，则m 值等于（ ）A. 3-B. 1C. 3D. 5【答案】D 【解析】 【分析】设曲线()y f x =与()y h x =在公共点()00,x y 处的切线相同，得出方程组()()()()0000f x h x f x h x ''⎧=⎪⎨=⎪⎩，即可求解，得到答案.【详解】依题意，设曲线()y f x =与()y h x =在公共点()00,x y 处的切线相同. 因为2()f x x m =-，()6ln 4h x x x =-则()2f x x '=，6()4h x x'=- 所以()()()()0000f x h x f x h x ''⎧=⎪⎨=⎪⎩，即2000006ln 4624x m x x x x ⎧-=-⎪⎨=-⎪⎩， ∵00x >，解得01x =，5m =. 故选D.【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解参数问题，其中解答中熟练导数的运算公式，以及利用导数的几何意义列出相应的方程组是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.9.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，过点1F 且垂直于x 轴的直线与该双曲线的左支交于A ，B 两点，2AF ，2BF .分别交y 轴于P ，Q 两点，若2PQF 的周长为12，则2ab 取得最大值时，该双曲线的离心率为( )【答案】B 【解析】 【分析】根据AB x ⊥轴且过左焦点1F 可得22b ABa，由题意知2ABF 的周长为2PQF 周长的2倍，可得2224AB AF BF ++=，化简得2226a b a c +==，转化22(6)a ab a a =-，利用导数确定取最值时a ，即可求解. 【详解】因为1(,0)F c -，所以把x c =-代入双曲线方程可得：2by a=±，故22||b AB a=，因为//PQ AB ，12PQ AB =，2PQF 周长为12， 所以2ABF 的周长为24， 即2224AB AF BF ++=，所以22222+224b b b a a a a a+++=，化简得：2226a b a c +==，()223266ab a a a a a ∴=-=-+，令32()6(0)f a a a a =-+>，则2()3123(4)f a a a a a '=-+=--，∴当04a <<时，()0f a '>，函数单调递增，当4a >时，()0f a '<，函数单调递减，4a ∴=时函数有唯一极大值也是最大值，此时26424c =⨯=，c = 所以6c ea ， 故选：B【点睛】本题主要考查了双曲线的定义、离心率等,还涉及利用导数求具体函数的最值问题，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属中档题.10.下列函数使方程()()f f x x =的实根个数最多的为( ) A. 2()f x x x =-B. ()xf x e =C. ()sin f x x =D.()21f x x =-【答案】D 【解析】【分析】根据()()f f x x =，写出具体方程，转化为判断对应的方程有解无解，有解时根的个数问题. 【详解】对于A ，由()()f f x x =可得()()222x xxx x ---=，即4320x x -=，解得0,2x x ==共有2个实数根；对于B ，由()()f f x x =可得xe e x =，因为e 1x x +，所以1e e 2xex x x ++>，所以方程无实根；对于C ，由()()f f x x =可得sin(sin )x x =，在区间 0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上sin x x <，所以sin(sin )sin x x x <<成立，显然,2x π⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭时也成立，结合奇函数的性质知，方程只有一解0x =；对于D ，由21x x -=，可解的121,13x x ==，所以原方程等价于()1132f x x =-=或()211f x x -==，解得123412,,1,033x x x x ====，故方程()()f f x x =有4个根.故选：D【点睛】本题主要考查了判断方程的根的个数问题，涉及函数与方程思想，分类讨论，属于难题.二、填空题（本大题共7题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分） 11.若全集4{|}U x x =≥-，{|32}A x x =-≤≤，{|13}B x x =-≤<，AB =______；UA______.【答案】 (1). {|12}x x -≤≤ (2). {4|3x x ≤<--或2}x > 【解析】 【分析】根据集合的交集、补集运算，即可求解. 【详解】{|32}A x x =-≤≤，{|13}B x x =-≤<，[1,2]A B ∴=-， {|4}U x x =≥-，UA {4|3x x ≤<--或2}x >，故答案为： {|12}x x -≤≤；{4|3x x ≤<--或2}x > 【点睛】本题主要考查了集合的交集、补集运算，属于容易题.12.已知随机变量X ，Y 满足1~(5,)4X B ，23Y X =+，则()E Y =______；()D Y =______.【答案】 (1). 112(2). 154【解析】 【分析】利用公式()2()3E Y E X =+，2()2()D Y D X =直接计算即可. 【详解】因为1~(5,)4X B ，所以15()544E X =⨯=，1115()51)4416D X =⨯⨯-=（，又23Y X =+，11()2()32E Y E X ∴=+=, 21515()2()4164D Y D X ==⨯=,故答案为：112；154【点睛】本题主要考查了二项分布及期望、方差的运算，考查了推理运算能力，属于中档题. 13.用数字0，1，2，3，4，5组成无重复数字的6位自然数.（1）可以组成______个不同的偶数；（2）若要求相邻两个数字奇偶性不同，则可以组成______个.（用数字作答）. 【答案】 (1). 312 (2). 60 【解析】 【分析】(1)根据尾数为0或尾数2或4分别求解即可； (2)分首位为偶数和奇数分别求解即可.【详解】用数字0，1，2，3，4，5组成无重复数字的6位自然数，（1）末位为0时有：55120A =个；末位为2或4时有：14442192A A ⨯⨯=个，故共有120192312+=个偶数.（2）若首位为偶数，则首位不为0，有12322324C A A ⨯⨯=， 若首位为奇数，则有：333336A A ⨯=个；故共有：243660+=个. 故答案为：312；60【点睛】本题主要考查了排列组合的应用，分类讨论的思想，计数原理，属于中档题. 14.设()9210012101241b x x a a x a x a x x x ⎛⎫+-=+++++ ⎪⎝⎭，则12100210222a a a a ++++=_______. 【答案】5 【解析】分析：先求出b 值，再赋值12x =，即可求得所求式子的值. 详解：由题易知：()999b 11C =⨯-=-令12x =，可得1012021032b 222a a a a =+++++∴10120210222a a a a ++++＝5故答案为5点睛：本题考查了二项式定理的有关知识，关键是根据目标的结构合理赋值，属于中档题. 15.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()10f -=，当0x >时，()()2f x xf x '>则使得()0f x ≥成立的x 的取值范围是______.【答案】][,1]01(,-∞-⋃ 【解析】 【分析】构造函数设函数2()()f x g x x=，利用导数得到()g x 在(0,)+∞是减函数，再根据()f x 为奇函数，f （1）(1)0f =-=，画出奇函数()g x 图象的大致形状，数形结合即可解得()0f x 的解集．【详解】设函数2()()f x g x x =，当0x >时，243()2()()2()()x f x xf x xf x f x g x x x '-'-'==，当0x >时，2()()f x xf x '>， ()0g x ∴'<，∴函数()g x 在(0,)+∞上单调递减，又()f x 为定义在R 上的奇函数，2()()f x g x x ∴=为奇函数， 可得()g x 在(,0)-∞上单调递减． 再由(1)0f -=，得(1)g g -=（1）0=． 作出函数()g x 图象的大致形状如图，由图可知，当(x ∈-∞，1])(0-⋃，1]时，()0g x ， 则()0f x ．又()f x 为定义在R 上的奇函数，(0)0f ∴=．综上，使得()0f x 成立的x 的取值范围是(,1][0-∞-，1]． 故答案为：(,1][0-∞-，1]．【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，正确构造函数是关键，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．16.已知椭圆22:14y C x +=，(0,)P m 为y 轴上一动点.若存在以点P 为圆心圆P 与椭圆C有四个不同的公共点，则m 的取值范围是______.【答案】33(,)22- 【解析】 【分析】设圆P 的方程，联立椭圆方程，可得关于y 的二次方程，利用判别式为0,以及圆P 经过点(0, -2)，可得圆与椭圆有3个交点时32m =-，同理可得圆过(0,2)且与椭圆有3个交点时，32m =，数形结合可求出m 的取值范围. 【详解】由题意，设圆P 的方程为222()x y m r +-=，联立椭圆22:14y C x +=可得：222384440y my m r --+-=，由()2222264124441648480m m r mr ∆=-+-=+-=可得：22330m r +-=①，由圆P 过点(0,2)-，(0,2) 可得：22(2)m r --=②， 由①②可得32m =-， 同理，由圆P 过点(0,2)时可得32m =， 如图，结合图形可知，当33,22m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，以P 为圆心的圆与椭圆C 有四个不同的公共点， 故答案为：33(,)22-【点睛】本题主要考查了椭圆与圆的位置关系，考查数形结合思想和运算能力、推理能力，属于中档题.17.若函数()(0)f x a a =-≠不存在零点，则a 的取值范围是______.【答案】()0,24(),⋃+∞ 【解析】 【分析】函数()(0)f x a a =≠不存在零点，转化为方程(0)a a =≠无实根，等价于22a a =+的取值范围，即可求解.【详解】函数要有意义，则需00a x a x -≥⎧⎨+≥⎩，解得a x a -≤≤，所以a a -≤，又0a ≠，所以0a >，函数定义域为[,]x a a ∈-，因函数()(0)f x a a =-≠不存在零点，(0)a a =≠无实根，平方可得：22a a =+22[0,]a x a -，2[2,4]a a a ∴+，因为方程无实根， 所以22a a <或24a a >， 解得2a <或4a >， 故答案为：()0,24(),⋃+∞【点睛】本题主要考查了函数零点，方程的根的判定，转化思想，属于难题.三、解答题（本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 18.一个袋子里装有7个球，其中有红球4个.白球3个.这些球除颜色外全相同. （1）若一次从袋中取出3个球，取出的球颜色不完全相同的概率；（2）若一次从袋中取出3个球.其中若取到红球得0分，取到白球得1分，记随机变量ξ为取出的三个小球得分之和，求ξ的分布列，并求其数学期望.【答案】（1）67；（2）分布列见解析，97.【解析】【分析】（1）根据组合知识可知一次从袋中取出3个球的基本事件总数为37C，分类可知取出的球颜色不完全相同的取法总数，利用古典概型求解即可；（2）ξ的可能取值为0,1,2,3，利用古典概型分别计算其概率，列出分布列，求期望即可.【详解】（1）一次从袋中取出3个球的基本事件总数为3735C=种. 设“取出的球颜色不完全相同”为事件A，共有两大类，两红一白：211318C C=，两白一红：124312C C=，306()357P A==.（2）3个红球得0分：344 (0)3535CPξ===；2红1白得1分：214318 (1)3535C CPξ===；1红2白得2分：224312 (2)3535C CPξ===；3个白球得3分：331 (3)3535CPξ===；4181219 ()0123353535357 Eξ=⨯+⨯+⨯+⨯=.【点睛】本题主要考查了组合的应用，古典概型，随机变量的分布列，期望，属于中档题.19.如图，在四棱锥P ABCD-中，PC⊥平面ABCD，//AB CD，AB AD⊥，222AB AD CD===，5PD=，E为PB的中点.（1）证明：平面EAC⊥平面PBC；（2）求直线PD与平面AEC所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）1515.【解析】【分析】（1）可先证明PC AC⊥，AC BC⊥，从而AC⊥平面PBC，由此能证明平面EAC⊥平面PBC；（2）推导出PC CD⊥,以C为原点，在平面ABCD中过C作CD的垂线为x轴，CD为y轴，CP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法直线PD与平面AEC所成角的正弦值【详解】（1）证明：由PC⊥平面ABCD，故PC AC⊥.又2AB=，1CD=，AD AB⊥，所以2AC BC==故22AC BC AB+=，AC BC ⊥.又PC BC C⋂=，所以AC⊥平面PBC，又AC⊂平面ACE所以平面ACE⊥平面PBC. （2）PC⊥平面ABCD，故PC CD⊥. 又5PD=，2PC=. 如图建立坐标系，()0,0,0C ，()0,1,0D ，()0,0,2P ，()1,1,0A ，()1,1,0B -，11(,,1)22E -.∴()0,1,2PD =-， (1,1,0)CA →=， 11(,,1)22CE →=-. 设平面ACE 的一个法量为(,,)n x y z =，由00n CA n CE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得020x y x y z +=⎧⎨-+=⎩，取1y =，则1,1x z =-=故(1,1,1)n →=-，设直线PD 与平面AEC 所成角为θ， 则()15sin cos ,35n PD θ===⨯. 【点睛】本题主要考查了面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等，属于中档题.20.已知函数32()f x x ax bx c =+++的图象经过坐标原点，且在1x =处取得极大值. （1）求实数a 的取值范围；（2）若方程2(23)()9a f x +=-好有两个不同的根求()f x 的解析式.【答案】（1）(,3)-∞-；（2）32()915f x x x x =-+. 【解析】 【分析】（1）求函数导数，由题意知()10f '=，且1x =处取得极大值，即可求出a 的范围；（2）根据（1）可求出函数在233a x +=-时的极小值26(23)27a a ++，只需当226(23)(23)279a a a +++=-时，方程2(23)()9a f x +=-恰好有两个不同的根，即可求解. 【详解】（1）()00f =，0c，2()32f x x ax b '=++，()1023f b a '=⇒=--，∴2()32(23)(1)(323)f x x ax a x x a '=+-+=-++， 由()01f x x '=⇒=或233a x +=-， 因为当1x =时取得极大值，所以23133a a +-><-⇒ 所以a 的取值范围是(,3)-∞-.（2）由表：26(23)27a a ++依题意得：226(23)(23)279a a a +++=-，解得：9a =-， 所以函数()f x 的解析式是：32()915f x x x x =-+.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和极值问题，考查学生的分析能力和运算能力，属于中档题. 21.如图，过点10,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭作直线l 交抛物线C ：2y x =于A ，B 两点（点A 在P ，B 之间），设点A ，B 的纵坐标分别为1y ，2y ，过点A 作x 轴的垂线交直线OB 于点D .（1）求证：12112y y +=； （2）求OAD ∆的面积S 的最大值. 【答案】（1）见解析；（2）27256【解析】 【分析】（1）设直线l 的方程为12y kx =+，联立方程组，运用韦达定理，化简即可得到证明； （2）由>0∆，求得k 的范围，点A 在P 、B 之间，可得()10,1y ∈，求得D 的坐标，运用三角形的面积公式和导数，得出函数的单调性和最值，即可求解面积的最大值． 【详解】（1）由题意，设直线l 的方程为12y kx =+， 联立方程组212y kx y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，可得2102ky y -+=，所以1212112120y y k y y k k ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪∆=->⎪⎪⎩，则所以121212112y y y y y y ++==． （2）由（1）可得120k ∆=->，解得12k <， 因为点()211,A y y 在P ，B之间，所以112y k ==， 所以()10,1y ∈，由已知可设点()21,D D y y ，由点D 在直线OB ：21y x y =上可得212D y y y =， 所以OAD ∆的面积22111212y S y y y ⎛⎫=⨯⨯- ⎪⎝⎭，因为21112y y =-，所以22341111111122S y y y y y y ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为()21134S y y '=-，可得1304y <<时，0S '>，函数S 单调递增，当1314y <<时，0S '<，函数S 单调递减， 所以当134y =，即49k =时，OAD ∆的面积S 的最大值27256.【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程及几何性质、以及直线与抛物线的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与抛物线联立方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力．22.已知函数()xe f x x=，()ln g x x x =-.（1）若函数()()()()h x af x g x a R =+∈在[)1,+∞单调递增，求实数a 的取值范围； （2）若()(),0g x mx n m R n ≤+∈>恒成立，求()1m n +的最小值()n ϕ的最大值.【答案】（1）1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；（2）21e .【解析】 【分析】（1）由题设有()()'0,1,h x x ≥∀∈+∞，参变分离后可得a 的取值范围. （2）()(),0g x mx n m R n ≤+∈>等价于()ln 10x m x n -+-≤，令()()ln 1F x x m x n =-+-，分10m +≤和10m +>后可得()max 11F x F m ⎛⎫= ⎪+⎝⎭，其中10m +>，故101F m ⎛⎫≤⎪+⎝⎭即11n m e --+≥，从而()11n m n ne --+≥，令()1n n ne ϕ--=，利用导数可求其最大值.【详解】（1）()ln xe h x a x x x=+-，()()()()2211111x x x ae e x h x a x x x ---'∴=+-=， 若函数()()()()h x af x g x a R =+∈ 在[)1,+∞单调递增，()()()2110x x ae h x x--'∴=≥ 对任意[)1,x ∈+∞恒成立， 110x xae a e ∴-≥⇒≥，1x y e=在[)1,+∞单调递减， ∴当1x =时，max 11x e e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1a e ∴≥.故所求实数a 的取值范围为1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.（2）()g x mx n ≤+ ()()ln ln 10g x x x mx n x m x n =-≤+⇒-+-≤ 即令()()ln 1F x x m x n =-+- ，则()0F x ≤恒成立()()()1111m x F x m x x-+'=-+= 若10m +≤，则当n x e >时()0F x >，与()0F x ≤恒成立矛盾，所以10m +>, 由()0F x '=得11x m =+， 当10,1x m ⎛⎫∈ ⎪+⎝⎭时()0F x '> ，()F x 单调递增； 当1,1x m ⎛⎫∈+∞ ⎪+⎝⎭时()0F x '<， ()F x 单调递减； ()()1ln 1101F x F m n m ⎛⎫∴≤=-+--≤ ⎪+⎝⎭，11n m e --∴+≥， 0n > ，()11n m n ne--∴+≥ ,()1m n ∴+的最小值()1n n ne ϕ--= . 又()()1111n n n n e ne n e ϕ------'=-=-，∴当()0,1n ∈时，()0n ϕ'> ，()n ϕ单调递增；当()1,n ∈+∞时，()0n ϕ'< ，()n ϕ单调递减，()()2max 11n e ϕϕ∴==. 【点睛】一般地，若()f x 在区间(),a b 上可导，且()()()'0'0f x f x ><，则()f x 在(),a b 上为单调增（减）函数；反之，若()f x 在区间(),a b 上可导且为单调增（减）函数，则()()()'0'0f x f x ≥≤．求函数的最值，应结合函数的定义域去讨论函数的单调性，有的函数的单调性可以利用基本初等函数的单调性、复合函数的单调性判断法则得到，有的函数的单调性需结合导数的符号进行判断，如果导数的符合还不能判断，则需构建新函数（也就是原函数的导函数），再利用导数判断其符号．。
浙江省宁波市2019届高二数学下学期期中试题(含解析)
2018-2019 学年第二学期高二年级期中考试数学试卷选择题 :本大题共10 小题 ,每小题4分,共40分．在每小题给出的四个选项中, 金榜题名，高考必胜 ! 蝉鸣声里勾起高考记忆三年的生活，每天睡眠不足六个小时，十二节四十五分钟的课加上早晚自习，每天可以用完一支中性笔，在无数杯速溶咖啡的刺激下，依然活蹦乱跳，当我穿过昏暗的清晨走向教学楼时，我看到了远方地平线上渐渐升起的黎明充满自信，相信自己很多考生失利不是输在知识技能上而是败在信心上，觉得自己不行。
临近考试前可以设置完成一些小目标，比如说今天走 1 万步等，考试之前给自己打气，告诉自己“我一定行”!只有一项是符合题目要求的．最新试卷十年寒窗苦，踏上高考路，心态放平和，信心要十足，面对考试卷，下笔如有神，短信送祝福，愿你能高中，马到功自最新试卷多少汗水曾洒下，多少期待曾播种，终是在高考交卷的一刹尘埃落地，多少记忆梦中惦记，多少青春付与流水，人生，总有一次这样的成败，才算长大。
成，金榜定题名。
1. 已知函数则的值为( )A. -20B. -10C. 10D. 20【答案】 D【解析】试题分析：因为，所以，，故选 D.考点：导数的定义及对数函数求导.2. 从一批产品中取出三件，设=“三件产品全不是次品”，=“三件产品全是次品”，=“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是（）A.A 与 C互斥B.B与 C互斥C.任两个均互斥D.任两个均不互斥【答案】 B【解析】试题分析：事件 C 包括三种情况，一是有两个次品一个正品，二是有一个次品两个正品，三是三件都是正品，即不全是次品，把事件 C 同另外的两个事件进行比较，看清两个事件能否同时发生，得到结果．解：由题意知事件 C包括三种情况，一是有两个次品一个正品，二是有一个次品两个正品，三是三件都是正品，∴事件 C 中不包含 B 事件，事件 C 和事件 B 不能同时发生，∴B与 C 互斥，故选 B．点评：本题考查互斥事件和对立事件，是一个概念辨析问题，注意这种问题一般需要写出事件所包含的所有的结果，把几个事件进行比较，得到结论．3.二项式的展开式中的有理项共有（）A.4 项B.5项C.6项D.7项【答案】 C【解析】二项式的展开式中通项公式为，令为整数，可得r=0 ， 2， 4， 6， 8， 10，共计 6 项，本题选择C选项 .4. 2017年 4 月19 日是“期中考试”，这天小明的妈妈为小明煮了 5 个粽子，其中两个腊肉馅三个豆沙馅，小明随机取出两个，事件“取到的两个都是豆沙馅”，则=“取到的两个为同一种馅”，事件（）=A. B. C. D.【答案】 A【解析】由题意，,，故选： A．【思路点睛】求条件概率一般有两种方法：一是对于古典概型类题目，可采用缩减基本事件总数的办法来计算，P(B|A) ＝其中 n(AB) 表示事件AB包含的基本事件个数，n(A) 表示事件 A 包含的基本事件个数．，二是直接根据定义计算，P(B|A)＝，特别要注意P(AB) 的求法．5.设函数在定义域内可导，它的图象如图所示，则它的导函数图象可能为 ()A. B. C.D.【答案】 D【解析】函数的图象可知,x <0 时 , 函数是增函数 ,f′( )>0 ，x函数f (x) 有两个极值点，导函数的图象与x轴有 2个交点，排除，；A Cx >0 的极大值前是增函数，导函数为正值，排除.B本题选择D选项 .6.已知，若~,则和分别是（）A.6 和 2.4B.2和2.4C.2和5.6D.6和5.6【答案】 B【解析】由已知随机变量X+Y=8，所以有 Y=8- X.因此， E( Y)=8- E( X)=8- 10×0.6=2，D( Y)=(-1)2D( X)=10×0.6×0.4=2.4.本题选择 B 选项 .7.某五所大学进行自主招生，同时向一所重点中学的五位学习成绩优秀，并在某些方面有特长的学生发出提前录取通知单 . 若这五名学生都乐意进这五所大学中的任意一所就读，则仅有两名学生录取到同一所大学( 其余三人在其他学校各选一所不同大学) 的概率是( )A. B. C. D.【答案】 C【解析】五所学生自由录取五名学生, 共有 55种不同的录取情况其中满足条件：仅有两名学生录取到同一所大学( 其余三人在其他学校各选一所不同大学)的情况的录取情况有：种， ... ... ...............则：则仅有两名学生录取到同一所大学( 其余三人在其他学校各选一所不同大学) 的概率：本题选择C选项 .8.已知可导函数满足，则当时，大小关系为（）A. B. C. D.【答案】 B【解析】试题分析：所以函数为增函数考点：函数导数与单调性9.某班班会准备从甲、乙等 7 名学生中选派 4 名进行发言，要求甲、乙两人至少有一人参加．当甲、乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻．那么不同的发言顺序的种数为 ()A. 360B. 520C. 600D. 720【答案】 C【解析】试题分析：分两种情况：一种是甲乙有一人参加共有, 一种是甲乙都参加共有综上共有600 种，选 C．考点：有条件的排列问题，不相邻问题．10.设函数，若存在唯一的整数使得，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】 D【解析】设 g(x)=e x(2x - 1) ， y=ax - a，由题意知存在唯一的整数x0使得 g(x 0) 在直线 y=ax - a 的下方，∵g′(x)=e x (2x - 1)+2e x =e x(2x+1) ，∴当时,g ′(x)<0, 当时,g ′(x)>0，∴当时 ,g(x)取最小值，当 x=0 时 ,g(0)= - 1, 当 x=1 时 ,g(1)=e>0 ，直线 y=ax - a 恒过定点 (1,0) 且斜率为 a，故-a>g(0)= - 1 且 g( - 1)= - 3e-1? - a- a, 解得本题选择D选项 .二．填空题 : 本大题共 7 小题 , 多空每空 3 分，单空每题 4 分, 共 36 分．把答案填在答题卷的相应位置．11.在一次招聘中，主考官要求应聘者从 6 道备选题中一次性随机抽取 3 道题，并独立完成所抽取的 3 道题。
浙江省宁波市镇海区镇海中学2018-2019学年高二下学期期末数学试题
5．A
【解析】
【分析】
利用已知条件，分类讨论化简可得.
【详解】
因为 ，所以当 时，有 ，即 ；
当 时，则 一定成立，而 和 均不一定成立；
当 时，有 ，即 ；
综上可得选项A正确.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查不等关系的判定，不等关系一般是利用不等式的性质或者特值排除法进行求解，侧重考查逻辑推理的核心素养.
17．[25，57]
【解析】
【分析】
先把不等式变形为﹣b≤a（x ）≤4﹣b恒成立，结合f（x）＝x 最值，找到 的限制条件，结合线性规划的知识可得.
【详解】
对于任意x∈[1，4]，不等式0≤ax2+bx+4a≤4x恒成立，
可得当x∈[1，4]时，不等式﹣b≤a（x ）≤4﹣b恒成立，
设f（x）＝x ，x∈[1，4]；
16．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）
【解析】
【分析】
先表示出 ，结合{an}单调递增可求首项a1的范围.
【详解】
因为 ，所以 ，
解得 或 ，则有 或
由于 ，所以 或
解得 或 ，
故答案为： .
【点睛】
本题主要考查数列的单调性，数列的单调性一般通过相邻两项差的符号来确定，侧重考查逻辑推理和数学运算的核心素养.
7．B
【解析】
【分析】
首先设公差为 ，由题中的条件可得 和 ，利用待定系数法可得 ，结合所求的范围及不等式的性质可得
.
【详解】
设公差为 ，由 ，得 ，即 ；
同理由 可得 .
故可设 ，所以有 ，所以有 ，解得 ，即 ，
因为 ， .
2018-2019学年浙江省杭州市高二下学期期中联考数学试题(解析版)
故选D．
【点睛】
本题主要考查了二面角的平面角的判断，以及重要结论的应用，考查了空间想象力，属于中档题.
二、双空题
11．已知复数 （i是虚数单位），则复数 的共轭复数 ____________； ____________.
【答案】
【解析】根据复数的除法计算 ，由共轭复数及复数模的概念即可求解.
当 时，函数 ，与 的图象至少有两个交点．
实数 的取值范围是 ．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了利用导数研究函数的单调性、切线斜率、方程的解转化为曲线的交点，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
四、解答题
18．已知函数 .
（1）求 ；
（2）用数学归纳法证明 .
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【解析】（1）由 ，可得 ；
【答案】
【解析】根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点间的最短距离，由此即可求解．
【详解】
圆台上底面半径为 ，下底面半径为 ，母线长为2，
由相似三角形的知识得，B点为圆锥母线的中点，
将圆台所在的圆锥展开如图所示：
则线段AB就是蚂蚁经过的最短距离，
因为圆锥的底面边缘的周长 扇形的弧长，
所以扇形的弧长 ，
A．①②B．①④C．①③D．②④
【答案】B
【解析】考虑 、 相交，运用线面平行的性质定理，推得 ，即可判断（1）；由线面垂直和面面垂直的性质定理，以及线面的位置关系，可判断（2）；由线面垂直和面面垂直的性质定理，以及线线的位置关系可判断（3）；由线面垂直和面面垂直的判定定理，即可判断（4）．
【详解】
在三角形 中，由余弦定理可得：
，
即异面直线 与 所成角的余弦值为 ，