八年级数学正方形拔高拓展题专项练习
八年级数学正方形拔高拓展题专项练习
拓展：1.数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．90AEF，
且EF交正方形外角DCG的平行线CF于点F，求证：AE=EF．
经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证
AMEECF△≌△，所以AEEF
．
在此基础上，同学们作了进一步的研究：
（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一
点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；
如果不正确，请说明理由；
（2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”
仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．
A D F C G E B 图1 A
D
F
C G E
B
图2
A
D
F
C
G
E
B
图3
2.如图，正方形ABCD和正方形A′OB′C′是全等图形，则当正方形A′OB′C′绕正方形ABCD的中心O顺时针
旋转的过程中．
（1）证明：CF=BE；
（2）若正方形ABCD的面积是4，求四边形OECF的面积．
3.如图，BD为正方形ABCD的对角线，BE平分∠DBC,交DC于点E，将△BCE绕点C顺时针旋转90°得
到△DCF，若CE=1cm，求BF的长。
4.如图，正方形ABCD和直角△ABE，∠AEB=90°，将△ABE绕点O旋转180°得到△CDF
（1）在图中画出点O和△CDF，并简要说明作图过程
（2）若AE=12，AB=13,求EF的长。
5.边长为22的正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点（点P与A,C不重合）。连接BP,将BP
绕点B顺时针旋转90°得到BQ,连接QP,QP与BC交于点E，QP的延长线于AD（或AD的延长线）交于
点F。
（1）连接CQ，求证CQ=AP
(2)设AP=x，CE=y，试写出y与x的函数关系式，并求当x为何值时，38CEBC（相似证明）
（3）猜想PF与EQ的数量关系，并证明你的结论。
6.问题背景：
如图1，在正方形ABCD的内部，作∠DAE=∠ABF=∠BCG=∠CDH,根据三角形全等的条件，易得△DAE
≌△ABF≌△BCG≌△CDH，从而得到四边形EFGH是正方形。
类比研究：
如图2，在正三角形ABC的内部，作∠BAD=∠CBE=∠ACF，AD,BE,CF两两相交与D,E,F三点（D,E,F
三点不重合）。
（1）△ABD，△BCE，△CAF是否全等？如果是，请选择其中一对进行证明。
（2）△DEF是否为正三角形？请说明理由。
（3）进一步探究发现，在（2）的条件下，△ABD的三边存在一定的等量关系，设BD=a，AD=b,AB=c，
请探究a，b，C满足
的等量关系。
7.如图1，正方形ABCD的边长为6cm，点F从点B出发，沿射线AB方向以1cm/s的速度移动，点E从
点D出发，向点A以1cm/s的速度移动（不到点A）。设点E、F同时出发移动t秒。
（1）在点E，F移动过程中，连接CE，CF，EF，则△CEF的形状是_________，始终保持不变。
（2）如图2，连接EF，设EF交BD于点M，当t=2时，求AM的长；
（3）如图3，点G,H分别在边AB,CD上，且GH=35cm，连接EF，当EF与GH的夹角为45°，求t的
值。
8.如图，在正方形ABCD中，点E是AB上一点，点F是AD延长线上一点，且BE=DF.
（1）求证：CE=CF;
(2)若点G在AD上，且∠ECG=45°，探索BE、EG、GD三条线段的数量关系。并加以证明；
（3）在（2）的条件下，若BC=10cm，BE=3cm，求BG的长度（结果精确到0.01cm）
9.如图，边长为3的正方形OABC摆放在平面直角坐标系xoy中，点A在x轴上，点C在y轴上，点P
是BC边上的动点（不与B、C重合），点E是射线CO上的动点，连接AP,射线PE交x轴于点D，∠CPE=
∠APB,EF∥AP交x轴于点F。
（1）当△APD为等边三角形时，求点P的坐标。
（2）当以A、P、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，求直线PE的解析式。
10.如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是CD的中点，F是BC上的一点，且∠AEF=90°，延长AE
交BC的延长线于点G.
（1）求GE的长。
（2）求证：AE平分∠DAF
（3）求CF的长。
11.
如图，正方形ABCD中，4AB，P是CD边上的动点（P点不与C、D重合），过点P作直线与
BC
的延长线交于点E，与AD交于点F，且CPCE，连接DE、BP、BF，设CPx，PBF△的面
积为1S，PDE△的面积为2S．
（1）求证：BPDE．
（2）求12SS关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．
（3）分别求当30PBF和45PBF时12SS的值．
D
A
B
CE
F
P
备用图
P
F
EC
B
A
D
12.如图①，正方形ABCD中，点A、B的坐标分别为（0,6）、（8,0），点C在第一象限。点Q从x轴上
某一点沿x轴正方形运动，同时M点从原点出发，沿x轴正方向运动。
（1）若点Q的横坐标为x（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图像如图②所示，直接写出点Q开始
运动时的坐标___________，点Q的运动速度___________________（单位长度秒）
（2）求正方形边长及顶点C的坐标
（3）已知M点的速度为Q点的速度的45倍，过M点作x轴的垂线，交线段AB于点P,试问：OP与PQ
能否相等，若能，求出P点的坐标，若不能，请说明理由。
八年级数学正方形专题训练卷(附答案)
八年级数学正方形专题训练卷（附答案）一、单选题1.小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使▱ABCD为正方形（如图），现有下列四种选法，你认为其中错误的是（）A. ①②B. ②③C. ①③D. ②④2.如图，在边长为2的正方形ABCD中，M为边AD的中点，延长MD至点E，使ME=MC，以DE为边作正方形DEFG，点G在边CD上，则DG 的长为A. B. C. D.3.如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为（）A. 14B. 15C. 16D. 174.已知四边形ABCD的两条对角线AC与BD互相垂直，则下列结论正确的是( )A. 当AC=BD时，四边形ABCD是矩形B. 当AB=AD，CB=CD时，四边形ABCD是菱形C. 当AB=AD=BC时，四边形ABCD是菱形D. 当AC=BD，AD=AB时，四边形ABCD是正方形5.如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1+S2的值为（）A. 16B. 17C. 18D. 196.如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则图中的等腰直角三角形有（）A. 4个B. 6个C. 8个D. 10个7.正方形ABCD中，E、F分别为AB、BC的中点，AF与DE相交于点O，则=（）A. B. C. D.8.如图，在△ABC中，点E，D，F分别在边AB，BC，CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列四个判断中，不正确的是（）A. 四边形AEDF是平行四边形B. 如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是矩形C. 如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形D. 如果AD⊥BC，那么四边形AEDF是菱形二、填空题9.在直角坐标系中，直线y=x+1与y轴交于点A，按如图方式作正方形A1B1C1O、A2B2C2C1、A3B3C3C2…，A1、A2、A3…在直线y=x+1上，点C1、C2、C3…在x轴上，图中阴影部分三角形的面积从左到右依次记为S1、S2、S3、…S n，则S n的值为________ （用含n的代数式表示，n为正整数）．10.如图，已知正方形ABCD边长为3，点E在AB边上且BE=1，点P，Q分别是边BC，CD的动点（均不与顶点重合），当四边形AEPQ的周长取最小值时，四边形AEPQ的面积是 ________．11.已知E是正方形ABCD的对角线AC上一点，AE=AD，过点E作AC的垂线，交边CD于点F，那么∠FAD=________ 度.12.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠BED的度数是 ________．13.如图，在正方形ABCD中，如果AF=BE，那么∠AOD的度数是________ .14.如图，以△ABC的三边为边分别作等边△ACD、△ABE、△BCF，则下列结论：①△EBF≌△DFC；②四边形AEFD为平行四边形；③当AB=AC，∠BAC=120°时，四边形AEFD是正方形．其中正确的结论是________ ．（请写出正确结论的序号）．15.如图，正方形ABCD的边长为a，在AB、BC、CD、DA边上分别取点A1、B1、C1、D1，使AA1=BB1=CC1=DD1=a，在边A1B1、B1C1、C1D1、D1A1上分别取点A2、B2、C2、D2，使A1A2=B1B2=C1C2=D1D2=A1B2，…．依次规律继续下去，则正方形A n B n C n D n的面积为________ .16.我们把平面内与四边形各边端点构成的三角形都是等腰三角形的点叫做这个四边形的腰点（如矩形的对角线交点是矩形的一个腰点），则正方形的腰点共有________ 个.17.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形CDE，连接AE，BE，则∠AEB的度数为 ________．18.如图，在平面直角坐标系中，边长不等的正方形依次排列，每个正方形都有一个顶点落在函数的图象上，从左向右第3个正方形中的一个顶点A的坐标为（6，2），阴影三角形部分的面积从左向右依次记为S1、S2、S3、…、S n，则第4个正方形的边长是 ________，S3的值为 ________．19.边长为1的一个正方形和一个等边三角形如图摆放，则△ABC的面积为________ .20.如图，已知正方形ABCD的边长为4，对角线AC与BD相交于点O，点E在DC边的延长线上．若∠CAE=15°，则AE= ________．三、解答题21.如图，在正方形ABCD中，G是BC上任意一点，连接AG，DE⊥AG于E，BF∥DE交AG于F，探究线段AF、BF、EF三者之间的数量关系，并说明理由．22.在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于A、B，在△AOB内部作正方形，使正方形的四个顶点都落在该三角形的边上，求正方形落在x轴正半轴的顶点坐标．四、综合题23.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是△ABC的一条角平分线．点O、E、F分别在BD、BC、AC上，且四边形OECF是正方形．（1）求证：点O在∠BAC的平分线上;（2）若AC=5，BC=12，求OE的长．24.如图，在正方形ABCD中，点P在AD上，且不与A、D重合，BP的垂直平分线分别交CD、AB于E、F 两点，垂足为Q，过E作EH⊥AB于H．（1）求证：HF=AP；（2）若正方形ABCD的边长为12，AP=4，求线段EQ的长．25.如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC 于点G，连接AG．（1）求证：△ABG≌△AFG；（2）求BG的长．答案一、单选题1. B2. D3. C4. C5. B6. C7. D8. D二、填空题9. 22n﹣310. 11. 22.512. 45° 13. 90° 14. ①②15. 16. 9 17. 30°18. 3；19. 20. 8三、解答题21. 解：线段AF、BF、EF三者之间的数量关系AF=BF+EF，理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠DAB=∠ABC=90°．∵DE⊥AG于E，BF∥DE交AG于F，∴∠AED=∠DEF=∠AFB=90°，∴∠ADE+∠DAE=90°，∠DAE+∠BAF=90°，∴∠ADE=∠BAF．在△ABF和△DAE中，∴△ABF≌△DAE （AAS），∴BF=AE．∵AF=AE+EF，AF=BF+EF．22. 解：分两种情况；①如图1，令x=0，则y=3，令y=0，则x=3，∴OA=OB=3，∴∠BAO=45°，∵DE⊥OA，∴DE=AE，∵四边形COED是正方形，∴OE=DE，∴OE=AE，∴OE=OA=，∴E（，0）；②如图2，由①知△OFC，△EFA是等腰直角三角形，∴CF=OF，AF=EF，∵四边形CDEF是正方形，∴EF=CF，∴AF=OF=2OF，∴OA=OF+2OF=3，∴OF=1，∴F（1，0）．四、综合题23. （1）证明：过点O作OM⊥AB，∵BD是∠ABC的一条角平分线，∴OE=OM，∵四边形OECF是正方形，∴OE=OF，∴OF=OM，∴AO是∠BAC的角平分线，即点O在∠BAC的平分线上（2）解：∵在Rt△ABC中，AC=5，BC=12，∴AB===13，设OE=CF=x，BE=BM=y，AM=AF=z，∴，解得：，∴OE=2．24. （1）【解答】证明：∵EQ⊥BO，EH⊥AB，∴∠EQN=∠BHM=90°．∵∠EMQ=∠BMH，∴△EMQ∽△BMH，∴∠QEM=∠HBM．在Rt△APB与Rt△HFE中，，∴△APB≌△HFE，∴HF=AP；（2）解：由勾股定理得，BP=．∵EF是BP的垂直平分线，∴BQ=BP=，∴QF=BQ•tan∠FBQ=BQ•tan∠ABP=×=．由1知，△APB≌△HFE，∴EF=BP=，∴EQ=EF﹣QF=﹣=．25. （1）证明：在正方形ABCD中，AD=AB=BC=CD，∠D=∠B=∠BCD=90°，∵将△ADE沿AE对折至△AFE，∴AD=AF，DE=EF，∠D=∠AFE=90°，∴AB=AF，∠B=∠AFG=90°，又∵AG=AG，在Rt△ABG和Rt△AFG中，，∴△ABG≌△AFG（HL）；（2）解：∵△ABG≌△AFG，∴BG=FG，设BG=FG=x，则GC=6﹣x，∵E为CD的中点，∴CE=EF=DE=3，∴EG=3+x，∴在Rt△CEG中，32+（6﹣x）2=（3+x）2，解得x=2，∴BG=2．。
【小升初冲刺】数学专项复习：二、图形与几何3.正方形的周长--拔高(学生版)通用版(含答案)
3.正方形的周长【知识点睛】正方形周长是围成正方形的边长总和，由于正方形的特征是4条边都相等，所以正方形周长=边长×4．用字母表示为c=4a．【小题狂做】一．选择题（共3小题）1．（2018秋•罗湖区期末）一根绳子刚好可以围成一个长6分米，宽4分米的长方形，如果把这根绳子围成一个最大的正方形，这个正方形的边长是（）分米．A．7B．6C．5D．42．（2018秋•成华区期末）把一张边长10厘米的正方形纸沿中线对折成长方形．下面说法正确的是（）A．周长比原来减少了一半B．周长比原来增加了10厘米C．周长比原来减少了10厘米D．周长不变3．（2018秋•南通期末）一个正方形剪成2个长方形后，两个长方形的周长和（）原来正方形的周长．A．等于B．大于C．小于二．填空题（共9小题）4．（2018秋•单县期末）一个正方形的边长是分米，它的周长是20分米．5．（2018秋•郑州期末）小明围着边长是40米的花坛走了5圈，一共走了米．6．（2018秋•浦口区期末）王瑾用两根同样长的铁丝分别围成一个正方形和一个五角星（如图），正方形的边长是15厘米，这个五角星的周长是厘米．7．（2018秋•临洮县期末）正方形的周长是它的边长的倍．长方形的周长是{+}×28．（2018秋•华池县期末）张伯伯绕一个边长为250米的正方形人工湖走一圈，走了米，合千米．9．（2017秋•桐梓县期末）一块正方形菜地，边长是6米，四周要围上篱笆，篱笆长米．10．（2017秋•临河区期末）一个长方形花坛，长为6米，宽为2米，它的周长是．11．（2018秋•郓城县校级月考）一个正方形花坛的周长是12米，它的边长是分米．12．（2017秋•武城县期末）一个正方形花圃，周长是28米，这个正方形花圃的边长是米．三．判断题（共1小题）13．（2018秋•成都期末）一张周长为40厘米的正方形纸剪成完全一样的两张长方形纸，每个长方形纸的周长都是20厘米．（判断对错）四．计算题（共1小题）14．（2018秋•隆昌市期末）把一根铁丝围成一个长是11厘米，宽是5厘米的长方形后，还剩4厘米．如果把这根铁丝围成一个正方形，这个正方形的边长是多少厘米？五．应用题（共2小题）15．（2018秋•祁连县期末）一张长方形纸，长20厘米宽15厘米．从这张纸上剪下一个最大的正方形．正方形的周长是多少厘米？剩下的图形的周长是多少厘米？16．（2018秋•西山区期末）一张长方形纸，长30厘米，宽25厘米．从这张纸上剪下一个最大的正方形．剪下的正方形周长是多少厘米？六．解答题（共5小题）17．（2018秋•新疆期末）刘奶奶锻炼身体，每天绕着边长为200米的正方形操场跑10圈，她每天跑多少米？合多少千米？18．（2018秋•单县期末）一条铁丝可以围成一个长8厘米，宽4厘米的长方形，如果用它围成一个正方形，正方形的边长是多少厘米？19．（2018秋•龙岗区期末）把一张长9厘米，宽6厘米的长方形纸巾，剪成一个最大的正方形，这个正方形的周长是多少厘米？20．如图中正方形A的边长是8厘米，正方形B的边长是12厘米．大正方形的周长是多少厘米？21．（2018秋•新都区期末）一根铁丝刚好围成一个长为8厘米，宽为2厘米的长方形，如果用这根铁丝围城一个正方形，正方形的边长是多少厘米？俗话说，兴趣是最好的老师。
八年级数学勾股定理拓展提高(勾股定理)拔高练习
八年级数学勾股定理拓展提高(勾股定理)拔高练习一、填空题(共5道，每道4分)1.教材1题：△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长是_______.2.教材3题：在直线l上依次摆放着七个正方形(如图所示)．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1＋S2＋S3＋S4＝_______．3题图3.教材4题：△ABC周长是24，M是AB4.教材5题：将一根长24cm露在杯子外面的长为hcm5.教材10题：矩形ABCD中，BC=4，DC=3F处，求EF二、解答题(共51.教材9BC沿直线BD折叠，使它落在斜边AB上的点2题图2.EBC与∠DCB互余，求+的值.3.教材12MN折叠，使点B落在CDB´C=3，求CN和AM的长.3题图4题图5题图4.教材14题：如图，某隧道的截面是一个半径为3.6米的半圆形，一辆高2.4米，宽3米的卡车能通过该隧道吗？5.教材16题：如图，某沿海城市A接到台风警报，在该市正南方向150km的B处有一台风中心正以20km/h的速度向BC方向移动，已知城市A到BC的距离AD=90km（1）台风中心经过多长时间从B点移到D点？（2）如果在距台风中心30km的圆形区域内都有受到台风破坏的危险，为让D点的游人脱离危险，游人必顺在接到台风警报后的几小时内撤离（撤离速度为6km/h）？三、证明题(共3道，每道10分)1.教材2题：如图，在正方形ABCD中，E是DC的中点，F为BC上的一点且BC=4CF，试说明△AEF是直角三角形.1题图2题图3题图2.作业1题：如图，已知P是矩形ABCD内任一点，求证：PA2+PC2=PB2+PD23.教材6题：如图所示．已知：在正方形ABCD中，∠BAC的平分线交BC于E，作EF⊥AC于F，作FG⊥AB于G。
人教版八年级数学下册 正方形课后练习题 (Word版含答案)
18.2.3正方形课后练习题一、选择题1．下列说法正确的是（）A．平行四边形的对角线互相平分且相等B．矩形的对角线相等且互相平分C．菱形的对角线互相垂直且相等D．正方形的对角线是正方形的对称轴2．如图,在正方形ABCD中,点E、F分别在边CD、AD上,BE与CF交于点G．若BC＝8,DE＝AF＝2,则FG的长为（）A．B．C．D．3．如图,在正方形ABCD中,点E,F分别为AB,AD的中点,CE,BF相交于点G,AB＝2,则CG＝（）A．B．C．D．4．如图,正方形ABCD的边长为4,点E在对角线BD上,且∠BAE＝22.5°,EF⊥AB,垂足为F,则EF 的长为（）A．4﹣2B．3﹣4 C．1 D．5．如图,有一块边长为4的正方形塑料模板ABCD,将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在A点,两条直角边分别与CD交于点F,与CB延长线交于点E．则四边形AECF的面积是（）A ．13B ．14C ．15D ．166．如图,正方形ABCD 的边长为6,将正方形折叠,使顶点D 落在BC 边上的点E 处,折痕为GH ,若BE ：EC =2：1,则线段CH 的长是（ ）A ．B ．C ．3D ．3.57．如图,正方形ABCD 的边长为2,E 是BC 的中点,点P 是AC 边上的一个动点,连结BP ,EP ,则BP ＋EP 的最小值为（ ）AB C D ＋18．如图,正方形ABCD 的边长为1,取AB 中点E ,取BC 中点F ,连接DE ,AF ,DE 与AF 交于点O ．连接OC ,则OC ＝（ ）52835322A ．1B ．C ．D ．9．如图,四边形ABCD 为正方形,O 为AC 、BD 的交点,△DCE 为Rt △,∠CED ＝90°,OE ＝2,若CE •DE ＝4,则正方形的面积为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．810．如图,正方形ABCD ,对角线,AC BD 相交于点O,过点D 作ODC ∠的角平分线交OC 于点G,过点C 作CF DG ⊥,垂足为F,交BD 于点E,则:ADG BCE S S 的比为（ ）A ．21):1B ．(221):1C ．2∶1D ．5∶2二、填空题11．顺次连接四边形ABCD 各边中点E 、F 、G 、H ,得到四边形EFGH ,只要添加___条件,就能保证四边形EFGH 是矩形．12．如图,正方形ABCD 和正方形CEFG 中,点D 在CG 上,AD DG ＝,H 是AF 的中点,那么CH 的长是_____．2213．正方形ABCD 的边长为4,则图中阴影部分的面积为 _____．14．如图,在正方形ABCD 中,AB ＝4,E 为对角线AC 上与A ,C 不重合的一个动点,过点E 作EF ∶AB 于点F ,EG ∶BC 于点G ,连接DE ,FG ,下列结论：∶DE ＝FG ；∶DE ∶FG ；∶∶BFG ＝∶ADE ；∶FG 的最小值为3．其中正确结论的序号为__．15．如图,E 、F 、G 、H 分别是四边形ABCD 各边的中点,对角线AC 、BD 的长分别为7和9,则四边形EFGH 的周长是______．三、解答题16．已知：如图,在Rt ABC 中,90ACB ∠=︒,CD 是ABC 的角平分线,DE BC ⊥,DF AC ⊥,垂足分別为E 、F ．求证：四边形CEDF 是正方形．17．如图,在正方形ABCD 中,E 是BC 的中点,连接AE ,过点B 作射线BM 交CD 于点F , 交AE 于点O,且BF ⊥AE ．(1)求证：BF ＝AE ；(2)连接OD ,猜想OD 与AB 的数量关系,并证明．18．如图,点P （3m -1,-2m +4）在第一象限的角平分线OC 上,AP ⊥BP ,点A 在x 轴正半轴上,点B 在y 轴正半轴上．(1)求点P 的坐标．(2)当∠APB 绕点P 旋转时,①OA +OB 的值是否发生变化？若变化,求出其变化范围；若不变,求出这个定值． ②请求出OA 2+OB 2的最小值．19．如图,Rt △ABC 中,,CD 是斜边AB 上的中线,分别过点A ,C 作,,两线交于点E ．90ACB ∠=︒AE DC ∥CE AB ∥(1)求证：四边形AECD 是菱形；(2)若∠B ＝45°,CD ＝2,求四边形AECD 的面积．20．如图,在ABC 中,90ACB ∠=︒,B A ∠>∠,点D 为边AB 的中点,//DE BC 交AC 于点E ,//CF AB 交DE 的延长线于点F ．（1）求证：DE EF =；（2）当Rt ABC 满足什么条件时,四边形ADCF 是正方形？请证明你的结论．21．提出问题：（1）如图1,已知在锐角ABC 中,分别以AB 、AC 为边向ABC 外作等腰直角ABD △和等腰直角ACE ,连接BE 、CD ,则线段BE 与线段CD 的数量关系是 ； （2）如图2,在ABC 中,90ACB ∠=︒,分别以边AB 、AC 向外作正方形ABDE 和正方形ACFG ,连接CE ,BG ,EG ．猜想线段CE 与线段BG 的有什么关系？并说明理由．（提示：正方形的各边都相等,各角均为90︒）（3）在（2）的条件下,探究ABC 与AEG △面积是否相等？说明理由．【参考答案】1．B 2．A 3．D 4．A 5．D 6．B 7．A 8．A 9．D 10．D11．AC BD⊥1213．814．∶∶∶15．1616．证明：∶CD平分ACB∠,DE BC⊥,DF AC⊥,∶DE DF=,90DFC∠=︒,90DEC∠=︒,又∶90ACB∠=︒,∶四边形DECF是矩形,∶DE DF=,∶矩形DECF是正方形．17．(1)证明：在正方形ABCD中,∶ABC=∶C=90°,AB=BC,∶∶BAE+∶AEB=90°,∶BF∶AE,∶∶EOB=90°,∶∶CBF+∶AEB=90°,∶∶BAE=∶CBF,∶∶ABE∶∶BCF,∶BF=AE；(2)解：OD=AB,理由如下：如图,延长AD交射线BM于点G,由（1）得：∶ABE∶∶BCF,∶BE=CF,∶E是BC的中点,∶,∶CF=DF,∶AD∶BC,∶∶DGF=∶CBF,101122CF BE BC CD===在∶DGF 和∶CBF 中,∶∶DGF =∶CBF ,∶DFG =∶BFC ,DF =CF ,∶∶DGF ∶∶CBF ,∶DG =BC ,∶DG =AD ,即OD 为∶AOG 的中线,∶BF ∶AE ,∶． 18．(1)解：∶点P （3m -1,-2m +4）在第一象限的角平分线OC 上, ∶3m -1=-2m +4,∶m =1,∶P （2,2）；(2)∶过点P 作PM ∶y 轴于M ,PN ∶OA 于N ．∶∶PMO =∶PNO =∶MON =90°,∶四边形OMPN 是矩形,∶OP 平分∶MON ,PM ∶OM ,PN ∶ON ,∶PM =PN ,∶四边形OMPN 是正方形,∶P （2,2）,∶PM =PN =OM =ON =2,∶AP ∶BP ,∶∶APB =∶MPN =90°,∶∶MPB +∶BPN =∶BPN +∶NP A =90°,∶∶MPB =∶NP A ,在△PMB 和△PNA 中,, ∶∶PMB ∶∶PNA （ASA ）,∶BM =AN ,∶OB +OA =OM -BM +ON +AN =2OM =4．12OD AG AD AB ===MPB NPA PM PN PMB PNA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∶连接AB ,∶∶AOB =90°,∶OA 2+OB 2=AB 2．∶∶BP A =90°,∶AB 2=P A 2+PB 2=2P A 2,∶OA 2+OB 2=2P A 2,当P A 最小时,OA 2+OB 2也最小．根据垂线段最短原理,P A 最小值为2．∶OA 2+OB 2的最小值为8．19．(1)证明：∶AE∥DC ,CE∥AB ,∶四边形AECD 是平行四边形,∶Rt∶ABC 中,,CD 是斜边AB 上的中线, ∶CD =AD ,∶四边形AECD 是菱形．(2)解：∶Rt∶ABC 中,,CD 是斜边AB 上的中线, ∶CD =AD=DB=2,∶∶B =∶BCD =45°,∶∶CDA =∶B +∶BCD =90°,∶四边形AECD 是正方形,∶ S 正方形AECD = CD 2=4．21．解：（1）如图（1）所示：∵点(),0B b ,()0,D d ,∴OB b =,OD d =,∵四边形OBCD 是矩形, 90ACB ∠=︒90ACB ∠=︒∴CD OB b ==,BC OD d ==,∴点(),C b d ；（2）如图（2）所示：∵四边形ABCD 是菱形,∴OA OC =,OB OD =,∵点(),0C c ,()0,D d ,∴OA OC c ==,OB OD d ==,∴点(),0A c -,点()0,B d -；（3）如图（3）所示：∵四边形OBCD 是正方形,∴OB BC CD OD ===,∵点()0,D d ,∴OD d =,∴OB BC CD d ===,∴点(),0B d ,点(),C d d ．23．解：（1）∶∶ABD 和∶ACE 都是等腰直角三角形, ∶AB ＝AD ,AC ＝AE ,∶DAB ＝∶CAE ＝90°, ∶∶DAC ＝∶BAE ,∶∶ADC ∶∶ABE （SAS ）,∶BE ＝CD ,故答案为： BE CD =；（2）CE BG =,CE BG ⊥；理由如下： 如图,设AB 与CE 的交点为P ,∶四边形ACFG 和四边形ABDE 是正方形, ∶AB ＝AE ,AC ＝AG ,∶EAB ＝∶GAC ＝90°,, EAB BAC GAC BAC ∴∠+∠=∠+∠,EAC BAG ∴∠=∠,在EAC ∆和BAG ∆中,EA BA EAC BAG AC AG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,()EAC BAG SAS ∴∆≅∆,CE BG ∴=,AEC ABG ∠=,90AEC APE ∠+∠=︒,APE BPC ∠=∠, 90BPC ABG ∴∠+∠=︒,CE BG ∴⊥；即：CE BG =,CE BG ⊥；（3）如图,过点E 作EH AG ⊥交GA 延长线于H ；90EHA BCA ∴∠=∠︒=∠,90EAH BAH ∠+∠=︒,90BAC BAH ∠+∠=︒, EAH BAC ∴∠=∠,在EHA ∆和BCA ∆中,EHA BCA EAH BAC AE AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, EHA BCA ∴∆≅∆,EH BC ∴=,AC AG =1122ABC S AC BC AC EH ∆∴=⨯=⨯, 1122AGE S AG EH AC EH ∆=⨯=⨯ ABC AGE S S ∆∆∴=。
八年级数学正方形练习题
10月27日 矩形、正方形（2）快速反应1. ____________________的矩形叫做正方形。
2. 正方形具有_________、___________、____________的一切性质。
3. 如图，四边形ABCD 是正方形，两条对角线相交于点O ，OA=2，则∠AOB=________,∠OAB=________,BD =____________,AB=__________.A B C DO4. 第三题图中等腰三角形的个数是（ ）A.4个B.5个C.6个D.8个5. 判断。
（1） 正方形一定是矩形。
（ ）（2） 正方形一定是菱形。
（ ）（3） 菱形一定是正方形。
（ ）（4） 矩形一定是正方形。
（ ）（5） 正方形、矩形、菱形都是平行四边形。
（ ）自主学习1． 在下列性质中，平行四边形具有的是__________，矩形具有的是_________，菱形具有的是__________，正方形具有的是____________。
（1） 四边都相等；（2） 对角线互相平分；（3） 对角线相等；（4） 对角线互相垂直；（5） 四个角都是直角；（6） 每条对角线平分一组对角；（7） 对边相等且平行；（8） 有两条对称轴。
2． 正方形两条对角线的和为8cm ，它的面积为____________.3． 在正方形ABCD 中，E 在BC 上，BE=2，CE=1，P 在BD 上，则PE 和PC 的长度之和最小可达到_____________4． 如图，点E 、F 在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，BE=CF.（1） AE 与BF 相等吗？为什么？（2） AE 与BF 是否垂直？说明你的理由。
A B C DE F G5． 如图，正方形ABCD 中对角线AC 、BD 相交于O ，E 为AC 上一点，AG ⊥EB交EB 于G ，AG 交BD 于F 。
（1） 说明OE=OF 的道理；（2） 在（1）中，若E 为AC 延长线上，AG ⊥EB 交EB 的延长线于G ，AG 、BD 的延长线交于F ，其他条件不变，如图2，则结论：“OE=OF ”还成立吗？请说明理由。
八年级数学《正方形》练习题含答案
八年级数学《正方形》练习题【同步达纲练习】一、填空1.正方形既是相等的矩形，又是有一个角是的菱形.2.正方形和菱形比较，除具有的性质外，它们具有的共同性质还有：四条边都，对角线 .3.对角线的四边形是正方形.4.正方形和矩形比较，除具有的性质外，它们还具有的共同性质还有：四个角都，对角线.5.如果一个正方形的边长恰好等于边长为m的正方形对角线的长，那么这两个正方形周长和为，面积的和为 .6.如图4.6-12，正方形ABCD中，E、F分别是CD、DA上的点，并且EF＝AF+CE，∠BEF ＝∠BEC，那么∠EBF＝度.7.如图4.6-13，正方形ABCD中，E是CF上的点，四边形BEFD是菱形，那么∠BEF＝度.图4.6-12 图4.6-138.如图4.6-14，E是正方形ABCD边BC延长线上的一点，若EC＝AC，AE交CD于F，那么∠AFC＝度.图4.6-14 图4.6-159.如图4.6-15，将边长为12的正方形纸片ABCD的顶点A折叠至DC边上一点E，若DE为5，则折痕PQ的长为 .10.P是正方形ABCD内一点，△PAB为正三角形，若正方形的面积为1，则△PAB的面积为 .二、选择题1.下列命题是真命题的是( )A.一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形B.对角线相等的四边形是矩形C.一组对边平行且有一组对角相等的四边形是平行四边形D.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形2.正方形具有而矩形不一定具有性质是( )A.对角线互相平分B.对角线相等C.对角线互相平分且相等D.对角线互相垂直3.下列命题中，错误的是( )A.对角线相等且互相垂直的四边形是菱形B.两组对边分别相等的四边是平行四边形C.有一个角是直角的平行四边形是矩形D.四个角相等的菱形是正方形4.如图，正方形ABCD中，CE＝MN，∠MCE＝35°，那么∠ANM是( )A.45°B.55°C.65°D.75°5.下列命题正确的是( )A.一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B.以一条对角线所在直线为对称轴的平行四边形是菱形C.顺次连结矩形四条边中点所得的四边形仍是矩形6.下列命题中，假命题是( )A.矩形的对角线相等B.菱形的对角线互相垂直C.正方形的对角线相等且互相垂直D.梯形的对角线互相平分7.在正方形ABCD的对角线AC上取一点E，使AE＝AB，作EF⊥AC交BC于F，则下列关系式成立的是( )A.BF＝ECB.BF≠ECC.BF＜ECD.BF＞EC8.以正方形ABCD的边AB向外作等边三角形ABE，BD、CE交于F，则∠AFD的度数为( )A.50°B.60°C.67.5°D.75°9.在正方形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的三等分点，则四边形EFGH 是( )A.正方形B.菱形C.矩形D.平行四边形10.给出下列结论：(1)正方形具有平行四边形的一切性质，(2)正方形具有矩形的一切性质，(3)正方形具有菱形的一切性质，(4)正方形共有两条对称轴，(5)正方形共有四条对称轴，其中正确的结论有( )A.2B.3个C.4个D.5个三、解答题1.在正方形ABCD的边BC的延长线上取一点E，使CE＝AC，连结AE交CD于F，求∠AFD 的度数?2.如图所示，K是正方形ABCD内一点，以AK为一边作正方形AKLM，使L、M、D在AK 的同旁，连结BK和DM，求证：BK＝DM.3.如图，已知正方形ABCD，在BC上取一点E，延长AB至F，使BF＝BE，AE的延长线交CF于G，求证AG⊥CF.4.如图，E为正方形ABCD的边AB延长线上一点，DE交AC于F，交BC于G，H为GE的中点.求证：BF⊥BH.5.如图，E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，且∠EAF ＝45°，求证：EF ＝BE+DF.【素质优化训练】如图，M 为正方形ABCD 的AB 边上的中点，MN ⊥DM ，BN 平分∠CBG. 求证：DM ＝MN【生活实际运用】如图，正方形ABCD 的对角线相交于点O.点O 是正方形A ′B ′C ′O 的一个顶点.如果两个正方形的边长相等，那么正方形A ′B ′C ′O 绕点O 无论怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的41，想一想这是为什么.【知识探究学习】如图，已知E 是正方形ABCD 的边BC 上的中点，F 是CD 上一点，AE 平分∠BAF ，求证：AF ＝BC+CF.参考答案一、1.邻边相等直角 2.平行四边形相等互相垂直且平分每一组对角 3.相互平分相等互相垂直 4.平行四边形是直角互相垂直 5.4(2+1)m 3m2 6.45°37.150° 8.112.5° 9.13 10.4二、1.C 2.D 3.A 4.B 5.B 6.D 7.A 8.C 9.A 10.C三、1.67.5° 2.提示：证△MAD≌△KAB(SAS) 3.提示：证△ABE≌△CBF，再证∠AGC ＝∠ABE＝90° 4.先证△BCF≌△DCF，得：∠CDF＝∠CBF，进而证∠GBF＝∠HBG，得：∠FBG+∠GBH＝∠GBH+∠HBE＝90°，得BF⊥BH 5.提示：延长CB到G，使BG＝FD，证△ABG ≌△ADF，得：∠BAG＝∠DAF，再证△AEF≌△AEG，得EF＝EG＝EB+BG＝EB+DF【素质优化训练】提示：取AD的中点E，连EM.【生活实际运用】略.【知识探究学习】提示：延长FC交AE的延长线于H.。
八年级数学《正方形》随堂练习题含答案
八年级数学《正方形》随堂练习题【同步达纲练习】1．选择题（1）下列命题中，假命题的个数是（）①四边都相等的四边形是正方形②对角线互相垂直的平行四边形是正方形③四角都相等的四边形是正方形④对角线相等的菱形是正方形A．1 B．2 C．3 D．4（2）正方形具有而菱形不具有的性质是（）A．对角线互相垂直平分B．对角线相等C．邻边相等D．每条对角线平分一组对角（3）正方形的对角线与边长之比为（）A．1∶1 B．2∶1 C．1∶2 D．2∶1（4）以等边△ABC的边BC为边向外作正方形BCDE，则①∠ABD＝105°，②∠ACD＝150°，③∠DAE＝30°，④△ABE≌△ACD，其中正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个（5）在正方形ABCD中，P、Q、R、S分别在边AB、BC、CD、DA上，且AP＝BQ＝CR＝DS ＝1，AB＝5，那么四边形PQRS的面积等于（）A．17 B．16 C．15 D．9（6）如图4－54，正方形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，过O点作OE⊥OF分别交AB、BC于E、F，若AE＝4，CF＝3，则EF等于（）图4—54A．7 B．5 C．4 D．3（7）在正方形ABCD中，E、F两点分别是BC、CD边上的点，若△AEF是边长为2的等边三角形，则正方形ABCD的边长为（）A．213+B．213-C．3 D．2（8）如图4－55，在正方形ABCD中，CE＝MN，∠MCE＝35°，那么∠ANM等于（）图4—55 A ．45° B ．55° C ．65°D ．75°2．填空题（1）已知正方形的面积是16 cm 2，则它的一边长是_____，一条对角线长是_____．（2）已知正方形的对角线长为22，则此正方形的周长为_____，面积为_____．（3）在正方形ABCD 中，两条对角线相交于O ，∠BAC 的平分线交BD 于E ，若正方形ABCD 的周长是16 cm ，则DE ＝_____cm ．（4）在正方形ABCD 的边BC 的延长线上取一点E ，使CE ＝AC ，连结AE 交CD 于F ，那么∠AFC 等于_____度．3．如图4－56，已知正方形ABCD 中，E 为CD 边上一点，F 为BC 延长线上一点，且CE ＝CF ．图4—56（1）求证：△BCE ≌△DCF ；（2）若∠BEC ＝60°，求∠EFD 的度数．4．已知：如图4－57，在正方形ABCD 中，E 是CB 延长线上一点，EB ＝21BC ，如果F 是AB 的中点，请你在正方形ABCD 上找一点，与F 点连结成线段，并证明它和AE 相等．图4—575．以△ABC 的AB 、AC 为边，向三角形外作正方形ABDE 及ACGF ，作AN ⊥BC 于点N ，延长NA 交EF 于M 点．（1）求证：EM ＝FM ；（2）若使AM ＝21EF ，则△ABC 必须满足什么条件呢？图4—586．如图4－58，已知正方形ABCD 中，M 、F 分别在边AB 、AD 上，且MB ＝FD ，E 是AB 延长线上一点，MN ⊥DM ，MN 与∠CBE 的平分线相交于N ．求证：DM ＝MN ．7．如图4－59，已知C 是线段AB 上的一点，分别以AC 、BC 为边作正方形ACDE 和BCFG ．图4—59求证：AF ＝DB ；若点C 在线段AB 的延长线上，猜想上述结论是否正确，如果正确，请加以证明，如果不正确，请说明理由．【思路拓展题】你会设计吗今有一片正方形土地，要在其上修筑两条笔直的道路，使道路把这片地分成形状相同且面积相等的4部分，若道路的宽度忽略不计，请设计三种不同的修筑方案．（在给出如图4－60的三张正方形纸片上分别画图，并简述画图步骤）图4—60参考答案【同步达纲练习】1．（1）C （2）B （3）B （4）D （5）A （6）B （7）A（8）B2．（1）4 42（2）8 4 （3）4 （4）112.53．（1）略（2）15°4．连结CF，可证△ABE≌△CBF或连结DF，让△ABE≌△DAF。
八年级数学下册《正方形》练习题doc
八年级数学下册《正方形》练习题doc八年级数学下册《正方形》练习题一、选择题1、下列说法正确的是（） A. 有一组邻边相等的四边形是正方形 B. 四条边都相等的四边形是正方形 C. 有一个角是直角的平行四边形是正方形 D. 有一个角是直角的菱形是正方形2、如图所示，在正方形ABCD中，E为CD边的中点，点F在BC边上，且，那么△ADE与△ECF是否相似？如果相似，那么它的相似比又是多少？二、填空题1、在□ABCD中，已知∠A=60°，则∠B= _________ ，∠C= _________ .2、在边长为10的正方形中挖去一个边长为x的小正方形，如果剩下的小矩形与原来的正方形相似，那么x的值为 _________ .3、等腰梯形的上、下两底之和为10cm，它的对角线互相垂直，则梯形的高为 _________ cm.4、如图所示，在正方形ABCD中，E为CD边的中点，点F在BC边上，且，那么△ADE与△ECF是否相似？如果相似，那么它的相似比又是多少？三、解答题1、如图所示，已知点E、F分别是正方形ABCD的边AB、BC的中点，CE、DF相交于点O，连接AO、OF、AE. 求证：△AOF是等腰三角形.2、已知：如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，BC=DC，BC平分∠DAC. 求证：（1）△ABC≌△ADC；（2）AB=AD.3、如图所示，在正方形ABCD中，E为CD边的中点，点F在BC边上，且，那么△ADE与△ECF是否相似？如果相似，那么它的相似比又是多少？4、如图所示，在□ABCD中，E为BC边的中点，连接DE并延长，交AB的延长线于点F，求证：AB=AF.5、如图所示，在正方形ABCD中，E为BC边的中点，F为CD边上的点，且DF=BC，连接AF、AE，试说明：AF垂直于AE.参考答案：一、选择题1、正确答案是：D. 有一个角是直角的菱形是正方形根据正方形的定义可知，有一组邻边相等的四边形是菱形，故选项A错误；四条边都相等的四边形是菱形，故选项B错误；有一个角是直角的菱形是正方形，故选项D正确；有一个角是直角的平行四边形是矩形，不一定是正方形，故选项C错误.2、由勾股定理可知：AE2+CF2=EF2=25 AE=2EF ∵点E为CD边的中点∴DE=EC= CF=5∵BC=10∴BF=10-5=5∴BF=EC∵ BC//AD∴△ECF～△ADE∴相似比为：EC：AD=1：2．二、填空题1、120°； 60° .2、由题意得小正方形的边长为2或8（舍去）所以x的值为2 .3、由已知条件易证△ADO～△BDC∴，又∵等腰梯形的高为8cm∴ .4、由已知条件易证△ADO～△BDC∴，又∵等腰梯形的高为8cm∴ .三、解答题1、由已知可得△ADO～△BFC ，，即∴ .∵，∴，即，即，∴ .∵，∴ .又∵，∴ .∴ .即△AOF是等腰三角形 .2、（1）由已知可得∵，∴ .又∵，∴ .（2）由已知可得∵，∴ .又∵，∴ .∵，∴ .即AB=AD .3、由已知可得∵，∴ .又∵，∴ .即△ADE～△ECF即相似比为：AD：EC=1：1 .4、由已知可得∵，∴ .又∵，∴ .即AB=AF .5、由已知可得∵，∴ .又∵，∴ .即AF2+AE2=EF2+AD2+DE2+DF2又∵DF=BC=AD∴AF2+AE2=EF。