刚体例题及部分练习题

[例2]在半径分别为R1和R2 2]在半径分别为 在半径分别为R 的阶梯形滑轮上反向绕有 两根轻绳，各挂质量为m1 R 两根轻绳，各挂质量为m 2 、m2的物体。如滑轮与轴 的物体。 间的摩擦不计， 间的摩擦不计，滑轮的转 动惯量为J 动惯量为J。求滑轮的角加 m2 速度β及各绳中的张力T 速度β及各绳中的张力T1、 T2
[例3]物体 、B的质量分别为 1和m2， 例 物体 物体A、 的质量分别为 的质量分别为m 用一轻绳相连，绳子跨过质量为M， 用一轻绳相连，绳子跨过质量为 ，半 径为R的匀质定滑轮 的匀质定滑轮C。 下降， 与 径为 的匀质定滑轮 。如A下降，B与 下降 水平桌面间的滑动摩擦系数为µ， 水平桌面间的滑动摩擦系数为 ，绳与 滑轮之间无相对滑动，求系统的加速度 滑轮之间无相对滑动， 及绳中的张力T 及绳中的张力 1和T2 B C
L
ms
v 时间内径矢扫过的面积 ∆t 时间内径矢扫过的面积 ∆S = 1 r ∆r sin θ v为 2
v r (t )
v r (t + dt)
v ∆r
单位时间扫过的面积 单位时间扫过的面积
v v
m θ
v ms m v QF = −G 3 r r
∆S 1 1 lim = rvsin θ = L ∆t→0 ∆t 2 2m
内力做功，转动动能变化 内力做功，转动动能变化
1 J0ω0 = J0ω 3
ω =3 0 ω
1 1 J0 3 2 2 2 Ek0 = J0ω0 < Ek = 9ω0 = J0ω0 2 2 3 2
2
可得
mv(R − r) ω =− <0 1 2 2 2 m(R + r ) + MR 2
----顺时针运转 ----顺时针运转
质点运动与刚体定轴转动对照
质点运动 速度 加速度 力 质量 动量 m
v v dr v= dt v v dv a= dt
刚体定轴转动 刚体定轴转动
v F
dθ 角速度 ω= dt v v dω 角加速度 α = dt v
v ∆S 1 ∆r = r sin θ ∆t 2 ∆t
v v L =C
所以相等的时间内扫过相等的面积。 所以相等的时间内扫过相等的面积。
例 一滑冰者开始转动时 此时的转动角速度. 此时的转动角速度
2 Ek0 = J0 0
ω 2 ，然后
将手臂收回， 将手臂收回，使转动惯量减少为原来的 1/3，求 ， 注意：刚体定轴转动内力矩的功之和为零， 注意：刚体定轴转动内力矩的功之和为零， 非刚体不一定. 非刚体不一定 解：外力矩为零，角动量守恒 外力矩为零，
电风扇在开启电源后， 例 电风扇在开启电源后，经t1时间达到了额定 转速， 当关闭电源后， 转速，此时相应的角速度为ω0 ，当关闭电源后， 经过t 时间风扇停转． 经过 2时间风扇停转．已知风扇转子的转动惯 量为J， 量为 ，并假设摩擦阻力矩和电机的电磁力矩均 为常量，求电机的电磁力矩． 为常量，求电机的电磁力矩． 解：
A
v T v 1
A
v y m1g
v N
v fk v m2 g
B
T2
y
v T' 1
v T2 '
C
A B
解：建立如图坐标系
x
m g −T = m a1 TR −T2R2 = J β 1 1 1 1 1 1 T2 − fk = m2a2 2 J = MR N − m2 g = 0 2 f = µN a1 = a2 = a = rβ k
R 1
m1
m g −T = m a1 m2 m1 v v 1 1 1 T2 − m2g = m2a2 v v T2 ' T1' m2 g m g 1 TR −T R = J β 1 1 2 2 a =Rβ a =R β 1 1 2 2 m R − m2R2 1 1 解得 β = g 2 2 J + m R + m2R2 1 1
力矩 转动惯量 角动量
v
v M
v v P = mv
J = ∫ r dm v v L = Jω
2
一人握有两只哑铃, 例 一人握有两只哑铃 站在一可无摩擦 地转动的水平平台上, 开始时两手平握哑铃, 地转动的水平平台上 开始时两手平握哑铃 人、 哑铃、平台组成的系统以一角速度旋转, 哑铃、平台组成的系统以一角速度旋转 后来此 人将哑铃下垂于身体两侧, 在此过程中, 人将哑铃下垂于身体两侧 在此过程中 系统 (A) 角动量守恒 机械能不守恒 角动量守恒, 机械能不守恒; (B) 角动量守恒 机械能守恒 角动量守恒, 机械能守恒; (C) 角动量不守恒, 机械能守恒; 角动量不守恒 机械能守恒 (D) 角动量不守恒 机械能不守恒 角动量不守恒, 机械能不守恒.
例一飞轮在时间t内转过角度 θ = at + bt 3 − ct 4 ， 都是常量，求它的角加速度. 式中 a、b、c 都是常量，求它的角加速度.
解：
d 3 4 ω = (at + bt − ct ) dt 2 3 = a + 3bt − 4ct d 2 3 α = (a + 3bt − 4ct ) dt 2 = 6bt −12ct
m1 − µm2 解得 a = g m1 + m2 + M 2
(µ +1)m2 + M 2 T1 = m1g m1 + m2 + M 2
(µ +1)m1 + µM 2 T2 = m2 g m1 + m2 + M 2
[例4] 质量为M、半径为R的水平放置、 质量为M 半径为R的水平放置、 圆盘转台上，两质量均为m 圆盘转台上，两质量均为m的电动汽车 模型可分别沿半径为R 模型可分别沿半径为R和r(R＞r)两轨道 运行。最初小车和转台都不动， 运行。最初小车和转台都不动，令外轨 道小车作反时针转动， 道小车作反时针转动，内轨道小车顺时 针转动，相对于转台的速率均为v 针转动，相对于转台的速率均为v。求转 v v 台对地面的角速度 v v
解：设m1向下运动
v T2
v T 1
J + m R + m2R R2 1 T= mg 1 1 2 J + m R + m2R2
2 2 2 2 1 1
J + m R + m R R2 1 1 T2 = m2 g 2 J + m R + m2R2
2 1 1 2 1 1

讨论： 讨论： 当m R > m2R2 时，物体运动方向与所设 1 1 相同， 相同，反之则相反 当 m R = m2R2 时，β = 0，即滑轮静止 1 1 或匀速转动 当 R = R2 时， 则为定滑轮的情况 1
关于力矩有以下几种说法: 例 关于力矩有以下几种说法 （1）内力矩不会改变刚体对某个轴的角动量 ）内力矩不会改变刚体对某个轴的角动量; （2）作用力和反作用力对同一轴的力矩之和必为零 ）作用力和反作用力对同一轴的力矩之和必为零; （3）质量相等, 形状和大小不同的两个刚体, 在相同 ）质量相等 形状和大小不同的两个刚体 力矩的作用下, 他们的角加速度一定相等; 力矩的作用下 他们的角加速度一定相等 在上述说法中 (A) 只有（2）是正确的 只有（ ）是正确的; (B)（1）、（ ）是正确的; （ ）、（2）是正确的 ）、（ (C)（2）、（ ）是正确的 （ ）、（ ）、（3）是正确的; (D)（1）、（ ）、（ ）都是正确的 （ ）、（ ）、（3）都是正确的. ）、（2）、（
r
R
解：设转台对地面的角速度为 ω 且逆 ， 时针运转 v v v v A相对于地面的角速度
ωA =ω + v R
B
r
R
A
B相对于地面的角速度
J AωA + JBωB + Jω = 0 2 2 2 其中 J A = mR JB = mr J = MR 2
由角动量守恒
ωB =ω −v r
v v 1 2 2 ∴mR (ω + ) + mr (ω − ) + MR ω = 0 R r 2
M − Mf = Jα1 Mf = Jα2 ω0 = α1t1 = α2t2 1 1 M = Jω0 ( + ) t1 t2
例：证明关于行星运动的开普勒第二定律，行星 证明关于行星运动的开普勒第二定律， 对太阳的径矢在相等的时间内扫过相等的面积。 对太阳的径矢在相等的时间内扫过相等的面积。 证明: 证明
人造地球卫星, 例 人造地球卫星 绕地球作椭圆轨道 运动, 地球在椭圆的一个焦点上, 则卫星： 运动 地球在椭圆的一个焦点上 则卫星：
(A) 动量不守恒 动能守恒 动量不守恒, 动能守恒; (B) 动量守恒 动能不守恒 动量守恒, 动能不守恒; (C) 角动量守恒 动能不守恒 角动量守恒, 动能不守恒; (D) 角动量不守恒 动能守恒 角动量不守恒, 动能守恒.