函数的最大值和最小值的求解方法[1]
般不等式（或方程）求解，但无论如何都必须在定义
域内或给定的范围内进行.
知能迁移4 已知定义在区间（0，+∞）上的函数f(x)
满足 f ( x=1f()x1)-f(x2)，且当x>1时，f(x)<0. （1）求f(1)的x2值；
（2）判断f(x）的单调性； （3）若f(3)=-1,解不等式f(|x|)<-2. 解 （1）令x1=x2>0, 代入得f(1)=f(x1)-f(x1)=0,故f(1)=0.
(ax)'( x2 1) ax( x2 ( x2 1)2
1)'
a( x2 1) ax 2x
( x2 1)2
ax2 a 2ax2 a(1 x2 ) . 当a>0时(，x2∵-11)<2x<1, (x2 1)2
即同f理′，((axx当)(21<a0<,10此x时)22时，) ff（(x0x)),在在（（--11，，11））上上为为增减函函数数..
知能迁移2 函数y=
log
1
(2x的2 递3减x区间1)为
（）
2
A
A.(1,+∞)
B.
C.
D.
解析( 1作,出t=)2x2-3x+1的示意
(, 3]
[
3
4 ,)
图如图2所示，
4
∵0< <1,∴
递减.
要使
递减,
t应该大于1 0且递增, 故x∈(1,2+∞).
y log 1 t
2
y log 1 (2x2 3x 1)
2
题型三 函数的单调性与最值
【例3】已知函数
x2 x∈2[x1,+∞a ).
f (x)
,
(1)当a= 时,求f(x)的最小值;
x
1
(2)若对任意x2∈[1,+∞),f(x)>0恒成立，试求实
数a的取值范围.
第(1)问可先证明函数f(x)在[1,+∞)
上的单调性,然后利用函数的单调性求解，对于第 (2思)问维可启采迪用转化为求函数f(x)在[1,+∞)上的最小
【例1】已知函数
f (x) ax x 2 (a 1).
证明：函数f(x)在(-1,+∞)上为增函x数. 1
（1）用函数单调性的定义.
（思2）维用启导迪数法. 证明 方法一 任取x1,x2∈(-1,+∞),
不妨设x1<x2,则x2-x1>0,
a x2 x1 1且a x1 0,
a x2 a x1 a (a x1 x2 x1 1) 0,
值大于0的问题来解决.
解 (1)当a 1 时, f ( x) x 1 2,
设1≤x1<x2,
2
2x
则f(x2)-f(x1)=
1
∵1≤x1<x2,∴x2-x1>0(,x2x21x2>2x,1 )(1 2 x1 x2 ),
∴f(x2)-f(x11)>0,f(x11)<f(x2).1 ∴f(0x)在2区x间1 x[21,+∞2),1上为2增x函1 x数2 ， 0,
=f(a)+f(b)-1,并且当x>0时，f(x)>1. （1）求证：f(x)是R上的增函数； （2）若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)<3.
问题(1)是抽象函数单调性的证明,所 以要用单调性的定义. 问思题维(2启)将迪函数不等式中抽象的函数符号“f”运 用单调性“去掉”,为此需将右边常数3看成某个 变量的函数值.
2
x1
2
0,
x2 1 x1 1
方法二
f (x) ax 1 3 (a 1),
x 1
求导数得
f '(x) ax
∵a>1,∴当x>-1时，axln
ln a
a>0,
(x
3 1) 2
,
f′(x)>0在（-1，+∞）上恒成立，
3 (x 1)2
0,
则f(x)在（-1,+∞）上为增函数.
对于给出具体解析式的函数，判断或证明
综上可知，a>0时，f（x)在（-1，1）上为减函数； a<0时，f(x)在（-1，1）上为增函数.
题型二 复合函数的单调性
【例2】已知函数f(x)=log2(x2-2x-3)，则使f(x)为减
函数的区间是
()
A.(3,6)
B.(-1,0)
D
C.(1,2)
D.（-3,-1）
先求得函数的定义域,然后再结合二次
又∵x1+1>0,x2+1>0,
x2 2 x1 2 (x2 2)( x1 1) (x1 2)( x2 1)
x2 1 x1 1
(x1 1)( x2 1)
于(是x23f((xx21)2)-(f(xxx111))=1) 0,
故函数f(x)在（-1,+∞）上为增函数.
a x2 a x1 x2
()
D
A.
B.
C. k 1
D.
k1
2
2
解析k 使y=(12k+1)x+b在（-∞，+∞k）上 是 减1 函数,
则2k+1<0，即2
2
k 1. 2
5.设x1,x2为y=f(x)的定义域内的任意两个变量，有以 下几个命题： ①(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0； ②(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0；
∴f（2）=3，
8分
∴原不等式可化为f(3m2-m-2)<f(2),
∵f(x)是R上的增函数，∴3m2-m-2<2,
10分
解得-1<m< ,故解集为
12分
f(x)在定义4 域上（或某一单调区间4上） 具有单调性，则3f(x1)<f(x2) f(x1)-(f(x12),<30),若函数是
增探函究数提,高则f(x1)<f(x2) x1<x2,函数不等式（或方程）
∴f(x)在区间[1,+∞)上的最小值为f(1)=
(2)在区间[1,+∞)上f(x)>0恒成立
x2+2x+a>0恒成立.
7
•.
2
设y=x2+2x+a,x∈[1,+∞), 则函数y=x2+2x+a=(x+1)2+a-1在区间[1,+∞)上是 增函数. ∴当x=1时，ymin=3+a, 于是当且仅当ymin=3+a>0时,函数f(x)>0恒成立， 故a>-3.
（2）任取x1,x2∈(0,+∞)，且x1>x2,则 由于当x>1时，f(x)<0,
x1 1, x2
所因所以此以f函(x数1)ff<((fx(xx)x12在2)),区即间0f((,0x1,)+-∞f()x上2)<是0,单调递减函数.
（3）由
(x2 x1)( x1x2 1) 0. 因此，( 当x12a>01时)(，xf22(x1)1-)f(x2)>0,
即f(x1)>f(x2),此时函数为减函数； 当a<0时，f(x1)-f(x2)<0, 即f(x1)<f(x2),此时函数f(x)为增函数. 方法二
ax
f (x)
x2
, 1
f
'(x)
知能迁移3 已知函数
f ( x)(a>01,x>01),
(1)求证:f(x)在(0,+∞)上是单调递增函a数; x
(2)若f(x)在
上的值域是
求a的值.
1
1
(1)证明
设x2>x1[•>20,,则2]x2-x1>0,x1x2>0,
[• ,2], 2
11 11
∴∴ff((f1xx2)()在x>f2(()01x,1)+,∞f )(x上x21是)单x调1( a递0增,x的2.) ( a
3.已知f(x)为R上的减函数，则满足 的实数x的取值范围是 A.(-1,1) B.(0,1) C.(-1,0)∪(0,1) D.（-∞,-1)∪(1,+∞)
解析 由已知条件：
不等式等价于 解得-1<x<1,且x≠0.
| 1 | 1, x
|xx|01,
f (| 1 |) f (1) （ ）x
C
4.函数y=(2k+1)x+b在（-∞，+∞）上是减函数，则
解 （1）设x1,x2∈R，且x1<x2,
则x2-x1>0,∴f(x2-x1)>1.
2分
f(x2)-f(x1)=f((x2-x1)+x1)-f(x1)
=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)
=f(x2-x1)-1>0.
5分
∴f（x2）>f(x1).
即f(x)是R上的增函数.
6分
（2）∵f（4）=f（2+2）=f（2）+f（2）-1=5，
要注意函数思想在求函数值域中的运 用,(1)中用函数单调性求函数的最小值;(2)中用函 数探的究最提值高解决恒成立问题.在(2)中，还可以使用分 离参数法，要使x2+2x+a>0在[1,+∞)上恒成立, 只要a>-x2-2x=-(x+1)2+1恒成立，由二次函数 的性质得-(x+1)2+1≤-3,所以只要a>-3即可.
其在某区间上的单调性问题，可以结合定义（基本步 骤探为究取提点高、作差或作商、变形、判断）求解.可导函 数则可以利用导数解之.
函数的最大值和最小值的求解方法[1]
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根 A.有且只有一个
B.有2个
（） C
C.至多有一个
D.以上均不对
解析 ∵f（x）在R上是增函数，
∴对任意x1,x2∈R,若x1<x2,则f(x1)<f(x2), 反之亦成立.故若存在f(x0)=0,则x0只有一个. 若对任意x∈R都无f(x)=0,则f(x)=0无根.
3.已知f(x)为R上的减函数，则满足 的实数x的取值范围是 A.(-1,1) B.(0,1) C.(-1,0)∪(0,1) D.（-∞,-1)∪(1,+∞)
要注意函数思想在求函数值域中的运 用,(1)中用函数单调性求函数的最小值;(2)中用函 数探的究最提值高解决恒成立问题.在(2)中，还可以使用分 离参数法，要使x2+2x+a>0在[1,+∞)上恒成立, 只要a>-x2-2x=-(x+1)2+1恒成立，由二次函数 的性质得-(x+1)2+1≤-3,所以只要a>-3即可.
（2）任取x1,x2∈(0,+∞)，且x1>x2,则 由于当x>1时，f(x)<0,
x1 1, x2
所因所以此以f函(x数1)ff<((fx(xx)x12在2)),区即间0f((,0x1,)+-∞f()x上2)<是0,单调递减函数.
（3）由
知能迁移2 函数y=
log
1
(2x的2 递3减x区间1)为
（）
2
A
A.(1,+∞)
B.
C.
D.
解析( 1作,出t=)2x2-3x+1的示意
(, 3]
[
3
4 ,)
图如图2所示，
4
函数的最大值与最小值90830
（Ⅰ）求导数 f ( x) ；
（Ⅱ）若 f (1) 0 ，求 f ( x)在[-2，2]上的 最大值和最小值；
（Ⅲ）若 f ( x) 在（-∞，-2]和[2，+∞）上 都是递增的，求a的取值范围。
练习1:求函数f(x)=2x3+3x2-12x+14在区间[-3,4]上的最
r 2
V
(3 V 2
)2
由于S(r)只有一个极值,所以它是最小值. 答:当罐的高与底半径相等时,所用的材料最省.
(3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个,
而函数的极值则可能不止一个,也可能没有极值,并且极大 值(极小值)不一定就是最大值(最小值),
但除端点外在区间内部的最大值(或最小值),则一 定是极大值(或极小值).
的最大值为 ,最小值为
。
分析: (1) 由 f ´(x)=3x²+6x－9=0, 得x1=－3，x2=1 函数值为f (－3)=27, f (1)=－5
(2) 区间［－4 , 4 ］端点处的函数值为 f (－4) =20 , f (4) =76
当x变化时，y′ 、 y的变化情况如下表：
x -4 (-4,-3) -3 (- 1 (1,4) 4 3,1)
大值和最小值.
答案:最大值为f(4)=142,最小值为f(1)=7.
四、实际应用
1.实际问题中的应用. 在日常生活、生产和科研中,常常会遇到求函数的
最大(小)值的问题.建立目标函数,然后利用导数的方法 求最值是求解这类问题常注意确定函数的定义域.
在实际问题中,有时会遇到函数在区间内只有一个 点使 f (x) 0 的情形,如果函数在这个点有极大(小)值, 那么不与端点值比较,也可以知道这就是最大(小)值. 这里所说的也适用于开区间或无穷区间.
例说求函数的最大值和最小值的方法
例说求函数的最大值和最小值的方法例1.设x 是正实数，求函数xx x y 32++=的最小值。
解：先估计y 的下界。
55)1(3)1(5)21(3)12(222≥+-+-=+-+++-=xx x x x x x y 又当x =1时，y =5，所以y 的最小值为5。
说明 本题是利用“配方法”先求出y 的下界，然后再“举例”说明这个下界是可以限到的。
“举例”是必不可少的，否则就不一定对了。
例如，本题我们也可以这样估计：77)1(3)1(7)21(3)12(222-≥-++-=-++++-=xx x x x x x y 但y 是取不到-7的。
即-7不能作为y 的最小值。
例2. 求函数1223222++--=x x x x y 的最大值和最小值。
解 去分母、整理得：(2y -1)x 2+2(y +1)x +(y +3)=0. 当21≠y 时，这是一个关于x 的二次方程，因为x 、y 均为实数，所以 ∆=[2(y +1)]2-4(2y -1)(y +3)≥0, y 2+3y --4≤0,所以 -4≤y ≤1 又当31-=x 时，y =-4;x =-2时，y =1.所以y min =-4，y max =1. 说明 本题求是最值的方法叫做判别式法。
例3.求函数152++-=x x y ，x ∈[0,1]的最大值解：设]2,1[1∈=+t t x ，则x =t 2-1y = -2(t 2-1)+5t = -2t 2+5t +1原函数当t =169,45=x 即时取最大值833 例4求函数223,5212≤≤+--=x x x x y 的最小值和最大值 解：令x -1=t (121≤≤t ) 则t t t t y 4142+=+=y min =51,172max =y 例5.已知实数x ,y 满足1≤x 2+y 2≤4,求f (x )=x 2+xy +y 2的最小值和最大值 解：∵)(2122y x xy +≤ ∴6)(23),(2222≤+≤++=y x xy y x y x f 又当2==y x 时f (x ,y )=6，故f (x ,y )max =6 又因为)(2122y x xy +-≥ ∴21)(21),(2222≥+≥++=y x xy y x y x f 又当22,22-==y x 时f (x ,y )=21，故f (x ,y )min =21例6.求函数2224)1(5+++=x x x y 的最大值和最小值 解：原函数即111)1(5222++-+=x x y 令112+=x t (0<t ≤1) 则y =5t 2-t +1 ∴当x =±3时，函数有最小值2019，当x =0时，函数取最大值5 例7.求函数|]211[1|)(+-=x x x f 的最大值 解：设α=+=+}211{,]211[x n x ，则 f (x )=|21|1|-=-αn x 由于 0≤α<1,故f (x )≤21，又当x =122-k (k 为整数)时f (x )= 21, 故f (x )max =21 例8.求函数113632424+-++--=x x x x x y 的最大值 解：原函数即222222)1()0()2()3()(-+---+-=x x x x x f 在直角坐标系中，设点P(x ,x 2),A(3,2),B(0,1)，则f (x )=|PA|-|PB|≤|AB|=10 又当6137+-=x 时，f (x )= 10 故f max (x ) = 10例9.设a 是实数,求二次函数y =x 2-4ax +5a 2-3a 的最小值m ，当0≤a 2-4a -2≤10中变动时，求m 的最大值解：y =x 2-4ax +5a 2-3a =(x -2a )2+a 2-3a由0≤a 2-4a -2≤10解得：622-≤≤-a 或62+≤a ≤6 故当a =6时，m 取最大值18例10.已知函数f (x )=log 2(x +1)，并且当点(x ,y )在y =f (x )的图象上运动时，点)2,3(y x 在y =g (x )的图象上运动，求函数p (x )=g (x )-f (x )的最大值。
函数的最大值与最小值
(3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个, 而函数的极值则可能不止一个,也可能没有极值,并且 极大值(极小值)不一定就是最大值(最小值),但除端点 外在区间内部的最大值(或最小值),则一定是极大值 (或极小值).
(4)如果函数不在闭区间[a,b]上可导,则在确定函数的最 值时,不仅比较该函数各导数为零的点与端点处的值, 还要比较函数在定义域内各不可导的点处的值. (5)在解决实际应用问题中,如果函数在区间内只有一个 极值点(这样的函数称为单峰函数),那么要根据实际 意义判定是最大值还是最小值即可,不必再与端点的 函数值进行比较.
练习2:求函数f(x)=p2x2(1-x)p(p是正数)在[0,1]上的最 大值. 2 p1 解: f ( x) p x(1 x) [2 (2 p) x].
2 . 令 f ( x ) 0,解得 x1 0, x2 1, x3 2 p 2 p 2 p ) 4( ) , 在[0,1]上,有f(0)=0,f(1)=0, f ( 2 p 2 p p 2 p 故所求最大值是4( ) . 2 p
75 2 75 2 , f (1 2 ) . 相应的函数值为: f (1 2 ) 2 2 又f(x)在区间端点的函数值为:f(-1)=6,f(3)=0 75 2 ; 比较得, f(x)在点 x1 1 2 处取得最大值 2 75 2 . 在点 x2 1 2 处取得最小值 2
二、新课——函数的最值y源自观察右边一 个定义在区间 [a,b]上的函数 a x1 o X X b x y=f(x)的图象. f(x2) f(x1)、f(x3) 是极小值，_________ 发现图中____________ 是极 f(b) ，最小值 大值，在区间上的函数的最大值是______ f(x3) 。 是_______
函数的极值与最值的求解方法
函数的极值与最值的求解方法在数学中，函数的极值与最值是我们经常遇到的问题。
极值是指函数在某一区间内达到的最大值或最小值，而最值则是函数在整个定义域内的最大值或最小值。
正确地求解函数的极值与最值对于解决实际问题和优化算法具有重要意义。
本文将介绍一些常见的函数极值与最值的求解方法。
一、导数法求函数极值导数法是求解函数极值的常用方法之一。
对于一元函数，我们可以通过求取其导数来确定函数的极值点。
具体步骤如下：1. 求取函数的导数。
根据函数的表达式，求取其一阶导数。
对于高阶导数存在的情况，可以继续求取导数直到找到导数不存在的点。
2. 解方程求取导数为零的点。
导数为零的点对应着函数的极值点。
将导数等于零的方程进行求解，找到函数的极值点。
3. 判断极值类型。
在找到导数为零的点后，可以通过二阶导数或借助函数图像来判断该点处的极值类型。
若二阶导数大于零，则为极小值；若二阶导数小于零，则为极大值。
二、边界法求函数最值边界法是求解函数最值的一种有效方法。
当函数在闭区间上连续且有界时，最值一定是在该闭区间的端点处取得的。
具体步骤如下：1. 确定函数定义域的闭区间。
根据函数表达式或实际问题，找到函数定义域所对应的闭区间。
2. 计算函数在端点处的取值。
将函数在闭区间的端点处依次带入函数表达式，计算函数的取值。
3. 比较函数取值找到最值。
对于最大值，选取函数取值最大的端点；对于最小值，选取函数取值最小的端点。
三、拉格朗日乘数法求函数约束条件下的极值当函数需要满足一定的约束条件时，可以使用拉格朗日乘数法来求解函数的极值。
该方法适用于带有约束条件的最优化问题，具体步骤如下：1. 设置拉格朗日函数。
将原函数与约束条件构建为一个拉格朗日函数，其中拉格朗日乘子为未知数。
2. 求取拉格朗日函数的偏导数。
对拉格朗日函数进行偏导数运算，得到一组方程。
3. 解方程求取极值点。
将得到的偏导数方程组求解，找到满足约束条件的极值点。
4. 判断极值类型。
使函数的值最大或最小的方法
使函数的值最大或最小的方法在数学中，我们经常需要找到一个函数的最大值或最小值。
这些极值点对于问题的解决至关重要。
下面将介绍一些常用的方法，可以帮助我们找到函数的最大值或最小值。
1. 导数法导数法是一种常用的方法，通过求函数的导数来找到函数的极值点。
根据导数的定义，函数在极值点处的导数为零或不存在。
首先，我们需要计算函数的导数。
对于一个一元函数，我们可以使用微积分中的导数计算公式来求导。
然后，我们将导数为零或不存在的点找出来，这些点即为函数的极值点。
通过计算函数在这些点上的值，我们可以确定函数的最大值或最小值。
例如，假设我们需要找到函数f(x) = x^2 - 2x + 1的最小值。
首先，我们计算函数的导数f'(x) = 2x - 2。
然后，我们令f'(x) = 0，解方程得到x = 1。
接下来，我们计算f(x)在x = 1处的值，即f(1) = 0。
因此，函数f(x)的最小值为0。
2. 二分法二分法是一种适用于单调函数的方法，通过不断缩小搜索范围来找到函数的极值。
对于一个闭区间[a, b]上的函数f(x)，如果f(a) > f(b)，则函数在[a, b]上是单调递减的；如果f(a) < f(b)，则函数在[a, b]上是单调递增的。
首先，我们取区间的中点c = (a + b) / 2。
然后，比较f(a)和f(c)的值。
如果f(a) > f(c)，则函数的极值在[a, c]之间；如果f(a) < f(c)，则函数的极值在[c, b]之间。
通过不断缩小搜索范围，最终可以找到函数的极值点。
例如，我们需要找到函数f(x) = x^2的最大值，在区间[0, 2]上。
我们首先取中点c = (0 + 2) / 2 = 1，计算f(0) = 0和f(1) = 1的值。
由于f(1) > f(0)，我们可以确定函数的极值在区间[1, 2]之间。
然后，我们再次取中点c = (1 + 2) / 2 = 1.5，计算f(1)和f(1.5)的值。
初中数学 如何求解三角函数的最大值和最小值
初中数学如何求解三角函数的最大值和最小值在初中数学中，求解三角函数的最大值和最小值是一个重要的概念。
在本文中，我们将介绍如何求解三角函数的最大值和最小值，包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
首先，让我们来看正弦函数的最大值和最小值。
正弦函数的值范围在[-1, 1]之间。
因此，正弦函数的最大值是1，最小值是-1。
正弦函数的最大值和最小值分别对应于函数图像上的顶点和谷底。
在单位圆上，正弦函数的最大值出现在x = π/2 (或90度)，最小值出现在x = 3π/2 (或270度)。
对于一般的正弦函数y = Asin(Bx + C) + D，其中A、B、C和D是常数，最大值和最小值的位置可以通过对函数进行平移、伸缩和反转来确定。
接下来，让我们来看余弦函数的最大值和最小值。
余弦函数的值范围也在[-1, 1]之间。
因此，余弦函数的最大值是1，最小值是-1。
余弦函数的最大值和最小值分别对应于函数图像上的顶点和谷底。
在单位圆上，余弦函数的最大值出现在x = 0 (或360度)，最小值出现在x = π (或180度)。
对于一般的余弦函数y = Acos(Bx + C) + D，其中A、B、C和D是常数，最大值和最小值的位置可以通过对函数进行平移、伸缩和反转来确定。
最后，让我们来看正切函数的最大值和最小值。
正切函数的最大值和最小值是无穷大和负无穷大。
正切函数的最大值和最小值没有特定的位置，因为正切函数在不同的点上都会趋近于无穷大或负无穷大。
对于一般的正切函数y = Atan(Bx + C) + D，其中A、B、C和D是常数，正切函数的最大值和最小值的位置可以通过对函数进行平移、伸缩和反转来确定。
综上所述，我们可以通过观察三角函数的图像范围和周期性来确定三角函数的最大值和最小值。
了解如何求解三角函数的最大值和最小值对于解决与三角函数相关的问题非常重要，例如优化问题和最值问题。
通过实际的练习和例题，我们可以更好地理解和应用这些概念。
函数的最大值与最小值
(3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个, 而函数的极值则可能不止一个,也可能没有极值,并且 极大值(极小值)不一定就是最大值(最小值),但除端点 外在区间内部的最大值(或最小值),则一定是极大值 (或极小值).
(4)如果函数不在闭区间[a,b]上可导,则在确定函数的最 值时,不仅比较该函数各导数为零的点与端点处的值, 还要比较函数在定义域内各不可导的点处的值. (5)在解决实际应用问题中,如果函数在区间内只有一个 极值点(这样的函数称为单峰函数),那么要根据实际 意义判定是最大值还是最小值即可,不必再与端点的 函数值进行比较.
练习2:求函数f(x)=p2x2(1-x)p(p是正数)在[0,1]上的最 大值. 2 p1 解: f ( x) p x(1 x) [2 (2 p) x].
2 . 令 f ( x ) 0,解得 x1 0, x2 1, x3 2 p 2 p 2 p ) 4( ) , 在[0,1]上,有f(0)=0,f(1)=0, f ( 2 p 2 p p 2 p 故所求最大值是4( ) . 2 p
x1 (0,2), 所以当 x 2 时, S ( x )max 3 2 3 32 3 ,0) 时,矩形的最大面积是 . 因此当点B为( 2 2 9
2 3
3 32 3 . 9
3
例2:已知x,y为正实数,且x2-2x+4y2=0,求xy的最大值. 解:由x2-2x+4y2=0得:(x-1)2+4y2=1.
1 1 2 2 例3:证明不等式: ln x ( x 1) 1 (1 x )3 ( x 0). x 2 3 1 1 2 2 3 f ( x ) ln x ( x 1 ) ( x 1 ) ( x 0). 证 :设 x 2 3 1 1 2 3 2x 1 则 f ( x ) 2 ( x 1) 2( x 1) ( x 1) 2 , x x x
利用基本不等式求最值的类型及方法
利用基本不等式求最值的类型及方法基本不等式是利用数学推理和不等式性质来求解最值问题的一种方法。
在解决最值问题时，运用基本不等式能够有效地简化计算过程，并找到最优解。
下面将介绍几种常见的类型和方法。
1.求函数最值：假设已知一个函数f(x)，要求其在一些区间[a,b]上的最大值或最小值。
可以利用基本不等式结合导数来求解。
首先，对函数f(x)求导得到极值点，即f'(x)=0的解，然后利用基本不等式推论得到最值。
2. 求二次函数最值：对于一个二次函数f(x) = ax² + bx + c(a≠0)，可以通过求解二次函数的顶点来确定其最值。
二次函数的最大值或最小值在顶点处取得。
通过计算出二次函数的顶点坐标，可以得到函数的最值。
3.求几何问题最值：在几何问题中，常常需要求解最长距离、最短路径等最值问题。
对于空间几何问题，可以利用三角不等式和柯西-施瓦茨不等式等基本不等式进行推导，找到满足条件的最优解。
4.求代数问题最值：在代数问题中，常常需要求解最大值或最小值。
例如，求解多项式函数的最值、线性规划等问题。
可以利用基本不等式来对多项式进行分解和化简，从而找到最大值或最小值。
5.求概率问题最值：在概率问题中，需要求解满足一定概率条件的最值问题。
例如，已知一些事件发生的概率，求解最大化或最小化概率的问题。
通过利用基本不等式可以对概率进行推导和计算，找到满足条件的最值。
在使用基本不等式求解最值问题时，需要注意以下几个基本方法：1.将问题抽象化：将具体的问题转化为符号运算和数学模型，将需要求解的最值问题用数学语言表达出来。
2.应用基本不等式：根据不同的问题类型，运用相应的基本不等式进行推导和计算。
常用的基本不等式有柯西-施瓦茨不等式、均值不等式、三角不等式等。
3.约束条件转化：将约束条件转化为等式或不等式，以便进行运算。
4.求解极值点：通过对函数求导，找到函数的极值点。
利用基本不等式结合导数求解最值问题。
3.求函数最值问题常用的10种方法
【例 1】设函数 f(x)的定义域为 R，有下列三个命 题： ① 若存在常数 M ，使得对任意 x∈R，有 f(x)≤M ，
则 M 是函数 f(x)的最大值；
② 若存在 x0∈R，使得对任意 x∈R，且 x≠x0，有 f(x)<f(x0)，则 f(x0)是函数 f(x)的最大值；
③ 若存在 x0∈R，使得对任意 x∈R，有 f(x)≤f(x0)，
φ(y)＝0(g(y)≠0)的判别式Δ≥0去求解，要注意验
证g(y)＝0时y的值对应的x的值是否是函数定义域内 的值，若是，则使g(y)＝0的y的值在函数的值域内，否 则相反．
八、平方法 对含根式的函数或含绝对值的函数，有时利用平方 法，可以巧妙地将函数最值问题转化为我们熟知 的、易于解决的函数最值问题．
一、定义法 函数最值的定义：一般地，设函数y＝f(x)的定义 域为I，如果存在实数M ，满足：①对任意x∈I，都 有f(x)≤M ，②存在x0∈I，使得f(x0)＝M ，则称M 为
函数y＝f(x)的最大值；如果存在实数N ，满足：
① 对任意x∈I，都有f(x)≥N ，②存在x0∈I，使得 f(x0)＝N ，则称N 为函数y＝f(x)的最小值． 我们直接利用函数最值的定义，可以判断函数最值 的相关问题．
【例8】 已知函数y＝ 1－x＋ x＋3的最大值为
m
M ，最小值为m ，则 的值为
M
A.14
B.12
C.
2 2
()
D.
3 2
分析 本题是无理函数的最值问题，可以先确定定义
域，再两边平方，即可化为二次函数的最值问题，进
而可以利用二次函数的最值解决．
1－x≥0， 解析 由题意，得
x＋3≥0，