正余弦定理专题练习(含答案)
正余弦定理专题 2020.3
一、选择题
1、在△ABC中，a=1，B=45°，S△ABC=2，则△ABC外接圆的直径为 ( ) A.4 B.60 C.5 D.6
【解析】选C.因为由三角形的面积公式得： S=acsin B=×1×c×=2，所以c=4，又因为a=1，cos B=，
根据余弦定理得：b2=1+32-8=25，解得b=5.
所以△ABC的外接圆的直径为==5.
2、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果c=a，B=30°，那么角C等于 ( )
A.120° B.105° C.90° D.75°
【解析】选A.因为c=a，所以sin C=sin A =sin(180°-30°-C) =sin(30°+C)=，
即sin C=-cos C. 所以tan C=-.又0° 所以C=120°. 3、在△ABC中，已知sin2A+sin2B-sin Asin B=sin2C，且满足ab=4，则该三角形的面积为( ) A.1 B.2 C. D. 【解析】选D.因为sin2A+sin2B-sin Asin B=sin2C， 根据正弦定理得a2+b2-ab=c2， 由余弦定理得2abcos C=ab，所以cos C=， 所以sin C==， 4、若△ABC为钝角三角形，三边长分别为2，3，x，则x的取值范围是( ) A.(1，) B.(，5) C.(，) D.(1，)∪(，5) 【解析】选D.(1)若x>3，则x对角的余弦值<0且2+3>x，解得 (2)若x<3，则3对角的余弦值<0 且x+2>3，解得1 所以S=absin C=×4×=. 二、填空题 5、在△ABC中，已知A=60°，tan B=，a=2，则c=________. 【解析】因为tan B=，所以sin B=，cos B=.又因为A=60°，所以 sin C=sin[180°-(A+B)]=sin(120°-B) =sin 120°cos B-cos 120°sin B=+. 由正弦定理，得=， 即c===. 答案： 6、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若(a2+c2-b2)tan B=ac，则角B的度数为________. 【解析】由余弦定理，得2accos B·tan B=ac，整理，得sin B=，所以B=60°或120°. 答案：60°或120° 7、△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c且满足acos B-bcos A=c，则△ABC的形状为________. 【解析】根据正弦定理，得a=2Rsin A，b=2Rsin B，C=2Rsin C(其中R是△ABC外接圆的半径)， 代入acos B-bcos A=c得 2Rsin Acos B-2Rsin Bcos A=2Rsin C， 所以sin Acos B-sin Bcos A=sin (A+B)， 所以sin Acos B-sin Bcos A =sin Acos B+sin Bcos A， 所以2sin Bcos A=0， 又因为sin B≠0，所以cos A=0， 又A∈(0，π)，所以A=， 所以该三角形为直角三角形. 答案：直角三角形 8、在△ABC中，若3b=2asin B，cos A=cos C，则△ABC的形状为________. 【解析】由正弦定理知b=2R·sin B，a=2R·sin A，则3b=2a·sin B可化为：3sin B=2sin A·sin B.因为0° 所以sin B≠0，所以sin A=，所以A=60°或120°，又cos A=cos C，所以A=C，所以A=60°，所以△ABC为等边三角形. 答案：等边三角形 9、在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，a=，b=，1+2cos(B+C)=0，则边BC上的高为________. 【解析】由1+2cos(B+C)=0和B+C=π-A，得1-2cos A=0，所以cos A=，sin A=. 再由正弦定理，得sin B==. 由b 从而cos B==. 由上述结果知sin C=sin(A+B)=×=.设边BC上的高为h，则有h=bsin C=. 答案： 10、在锐角三角形ABC中，a，b，c所对的角分别为A，B，C，A=2B，则的取值范围是________. 【解析】在锐角三角形ABC中，A，B，C<90°， 即所以30° 答案：(，) 三、解答题 11、在△ABC中，a，b，c分别是角A，B， C所对的边且b=6，a=2，A=30°，求ac的值. 【解析】由正弦定理=得 sin B===. 由条件b=6，a=2，b>a知B>A. 所以B=60°或120°. (1)当B=60°时，C=180°-A-B =180°-30°-60°=90°. 在Rt△ABC中，C=90°，a=2，b=6，c=4， 所以ac=2×4=24. (2)当B=120°时，C=180°-A-B =180°-30°-120°=30°， 所以A=C，则有a=c=2. 所以ac=2×2=12. 12、△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.向量m=(a，b)与n=(cos A，sin B)平行. (1)求A. (2)若a=，b=2，求sin C. 【解析】(1)因为m∥n，所以asin B-bcos A=0.由正弦定理，得 sin Asin B-sin Bcos A=0，又因为sin B≠0，从而tan A=.由于0 (2)由正弦定理，得=， 从而sin B=， 又由a>b，知A>B，所以cos B=. 故sin C=sin(A+B)=sin(B+)=sin Bcos +cos Bsin=. 13、在△ABC中，求证： (1)=. (2)=. 【证明】(1)由余弦定理， a2=b2+c2-2bccos A，于是 = =1-·2cos A=1-·2cos A = = =. (2)方法一：= =·==. 方法二：= ===. 14、在△ABC中，已知(a+b+c)(a+b-c)=3ab，且2cos Asin B=sin C，确定△ABC的形状. 【解析】由正弦定理得=， 由2cos Asin B=sin C，有cos A==. 又由余弦定理得cos A=， 所以=，即c2=b2+c2-a2， 所以a2=b2，所以a=b. 又因为(a+b+c)(a+b-c)=3ab， 所以(a+b)2-c2=3ab，所以4b2-c2=3b2， 即b2=c2.所以b=c，所以a=b=c. 15、所以△ABC为等边三角形.已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，+=. (1)求角A的大小. (2)若a=2，△ABC的面积为，求边b，c. 【解析】(1)由+=及正弦定理得+=， 得，sin Acos B+cos Asin B=2sin Ccos A，即 sin(A+B)=2sin CcosA. 因为sin(A+B)=sin(π-C)=sin C，且sin C≠0， 所以，cos A=.又0 (2)因为△ABC的面积S=bcsin A=bcsin=，所以，bc=4.① 由余弦定理得，a2=b2+c2-2bccos A，22=b2+c2-2bccos所以，b2+c2 =8，② 联立①②解得，b=c=2. 16、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2-(b-c)2=(2-)bc， sin Asin B=cos2，BC边上的中线AM的长为. (1)求角A和角B的大小. (2)求△ABC的周长. 【解析】(1)由a2-(b-c)2=(2-)bc， 得a2-b2-c2=-bc 所以cos A==. 又0 由sin Asin B=cos2，得sin B=， 即sin B=1+cos C，则cos C<0，即C为钝角. 所以B为锐角，且B+C=， 则sin=1+cos C， 化简得cos=-1， 解得C=，所以B=. (2)由(1)知，a=b，在△ACM中， 由余弦定理得AM2=b2+-2b··cos C=b2++=()2，解得b=2，所以a=2. 在△ABC中c2=a2+b2-2abcos C =22+22-2×2×2×cos =12， 所以c=2.所以△ABC的周长为4+2.
完整版正弦定理余弦定理应用实例练习含答案
后，就可以计算出A、B两点的距离为( )
课时作业3应用举例
时间：45分钟 满分：100分
1. 海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成
60°勺视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，贝J B、C间的距离是
()
A. 10^3海里
C. 5迈海里
【答案】 D
【解析】 如图，/A= 60° /B = 75°
贝JZC = 45 °,
由正弦定理得:
BC AB si nA 10x sin60 BC= sinC = sin45
2. 如图所示，设A、B两点在河的两岸，一测量者在 A所在的河
岸边选定一点 C,测出AC的距离为50m, / ACB= 45° / CAB= 105°B. 10/6海里
D. 5^6海里 课堂训练 —30 =150 ° ZCBO = 45 ° AB=
35 ,
【答案】 A
【解析】 因为ZACB = 45° ZCAB= 105°所以ZABC= 30°根
据正弦定理可知'sin%=sin監，即爲=馬，解得AB=
5072m,选 A.
3. 从某电视塔的正东方向的A处，测得塔顶仰角是60°从电视 塔的西偏南30°的B处，测得塔顶仰角为45° A, B间距离是35m,
【答案】
如图所示，塔高为0C,贝JZOAC= 60° 从OB= 180°A. 5Oj2m
C. 25 辺m
则此电视塔的高度是 m.
【解析】
设电视塔高度为hm,则OA=^h, OB= h,在△KOB中由余弦定
理可得 AB2= OA2 + OB2— 2OA OB cos/AOB,
即 352=（誓h）2 + h2— 2x¥hx hx （—乎）
解得h= 5佰.
4. 如图所示，海中小岛A周围38海里内有暗礁，一船正向南航
行，在B处测得小岛A在船的南偏东30°,航行30海里后，在C处 测得小岛在船的南偏东 45° °如果此船不改变航向，继续向南航行, 有无触礁的危险?
【分析】 船继续向南航行，有无触礁的危险，取决于 A到直线
正余弦定理练习题(含答案)[1]
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在“ABC中，0, b, c分別是角4 8. C所对的边，若^ = 105% 8=45% 则c=（
A. 1 C. 2
在茲 ABC 中，已知 a=3y[2. cosC=j, Sg=4品 则 b= ____________ .
在茲ABC中，b=4{i, C=30。，c=2,则此三角形有 ________ 组解.
如图所示，货轮在海上以40 km/h的速度沿着方位角（指从正北方向顺时针转到目标方 向线的水平转角）为140。的方向航行，为了确定船位，船在B点观测灯塔A的方位角为110%
航行半小时后船到达C点，观测灯塔人的方位角是65。・则货轮到达C点时，与灯塔A的距离是多少
18. ii：A ABC 中，0、b、c 分別为角 A、8. C 的对边•若 a=2晶 sin|cos|=^r sin Bsin C=cos^.求 A、 6 及
b、c.
19. （2009年高考四川卷）^A ABC中，久B为锐角•角久B、C所对应的边分別为6 b、c,且cos 2A= sin ⑴求 A+B 的值：（2）若 o—/?=匹一1,求 a, b, c 的值.
20. 'ABC 中，0b=65/5，sin fi=sinC △ ABC 的面枳为 15 羽，求边 b 的长.在AAfiC 中，Z&=45°, ZB=60°, a=2.
2.
3. 已知 0=8, S=60°, C=75°, B・ 45/3 C.
角A、B、C的对边分別为a、
B・ 135" 正弦定理练习题
则b等于（）
D. 2& 则b等于（）
4&
b. G &=60。，0=4羽，b=4品则角 5为（ D.以上答案都不对
4. 在△ ABC中，
A. 4迈
在△ ABC中，
A. 45°或 135° B・ 135" C・ 45°
在 AABC 中，o: b： c=i: 5 : 6.贝 IJsiM: sinB : sinC 等于（ ）
A. 1:5:6 B. 6:5:1 C. 6:1:5
专题4-3 正余弦定理与解三角形小题归类-(解析版)
专题4-3 正余弦定理与解三角形小题归类
目录
一、热点题型归纳
【题型一】正余弦定理 .............................................................................................................................. 2
【题型二】求角 .......................................................................................................................................... 3
【题型三】判断三角形形状 ...................................................................................................................... 4
【题型四】面积与最值 .............................................................................................................................. 6
【题型五】周长与最值 .............................................................................................................................. 8
【题型六】角的最值 .................................................................................................................................. 9
(完整版)正余弦定理习题加答案详解超级详细
第1页（共9页）
正余弦定理高中数学组卷
一．选择题（共9小题）
1．（2016•太原校级二模）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，a=2，，则b的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2016•潍坊模拟）在△ABC中，sinA=sinB是△ABC为等腰三角形的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2016•岳阳校级模拟）在△ABC中，A：B：C=1：2：3，则a：b：c等于（ ）
A．1：2：3 B．3：2：1 C．1：：2 D．2：：1
4．（2016•大连一模）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足acosA=bcosB，那么△ABC的形状一定是 （ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形
5．（2016•河西区一模）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则∠B=（ ）
A． B． C． D．
6．（2016•宝鸡一模）在△ABC，a=，b=，B=，则A等于（ ）
A． B． C． D．或
7．（2016•岳阳二模）△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB+bcos2A=a，则=（ ）
A．2 B．2 C． D．
8．（2016•新余二模）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且（2a+c）cosB+bcosC=0．角B的值为（ ）
A． B． C． D．
9．（2016•江西模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且A=2B，则等于（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共7小题）
第2页（共9页）
10．（2016•上海二模）△ABC中，，BC=3，，则∠C=
．
11．（2016•丰台区一模）在锐角△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若b=2asinB，则角A等于 ．
高中数学必修二 专题6 7 正弦、余弦定理-同步培优专练
专题6.7 正弦、余弦定理
知识储备
一．余弦定理
在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有
余弦定理 语言叙述 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍
公式表达 a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos B，c2＝a2＋b2－2abcos C
推论 cos A＝bcacb2222cos
B＝acbca2222，cos C＝abcab2222
【思考】在a2＝b2＋c2－2bccos A中，若A＝90°，公式会变成什么？
【答案】a2＝b2＋c2，即勾股定理.
二．正弦定理
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.即CcBbAasinsinsin
三．正弦定理的变形公式
1.a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C.
2.RcCRbBRaA2sin,2sin,2sin(其中R是△ABC外接圆的半径).
【思考】在正弦定理中，三角形的各边与其所对角的正弦的比都相等，那么这个比值等于多少？与该三角形外接圆的直径有什么关系？
【答案】等于2R(R为该三角形外接圆的半径)，与该三角形外接圆的直径相等.
能力检测
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 注意事项：
本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2021·广西桂林市·高二期末（理））ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若45A，60B，2a，则b（ ）
A．6 B．2 C．3 D．26
余弦定理练习题（含答案）
余弦定理定义及公式余弦定理，是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定理。是勾股定理在一般三角形情形下的推广。a²=b²+c²-2bccosA
余弦定理证明
如上图所示，△ABC，在c上做高，根据射影定理，可得到：
将等式同乘以c得到：
运用同样的方式可以得到：
将两式相加：
向量证明
正弦定理和余弦定理正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（1）已知三角形的两角与一边，解三角形（2）已知三角形的两边和其中一边所对的角，解三角形（3）运用a：b：c=sinA：sinB：sinC解决角之间的转换关系直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比叫做这个角的正弦。
余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。直角三角形的一个锐角的邻边和斜边的比值叫这个锐角的余弦值
余弦定理练习题
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1．在△ABC中，如果BC＝6，AB＝4，cosB＝，那么AC等于( )13A．6 B．2 C．3 D．46662．在△ABC中，a＝2，b＝－1，C＝30°，则c等于( )3A. B. C. D．23253．在△ABC中，a2＝b2＋c2＋bc，则∠A等于( )3A．60° B．45° C．120° D．150°4．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若(a2＋c2－b2)tanB＝ac，则∠B的值为( )3
A. B. C.或 D.或π6π3π65π6π32π35．在△ABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边，则acosB＋bcosA等于( )A．a B．b C．c D．以上均不对6．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为( )A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．由增加的长度决定
7．已知锐角三角形ABC中，||＝4，||＝1，△ABC的面积为，则·的值为( )AB→ AC→ 3AB→ AC→ A．2 B．－2 C．4 D．－48．在△ABC中，b＝，c＝3，B＝30°，则a为( )3A. B．2 C.或2 D．233339．已知△ABC的三个内角满足2B＝A＋C，且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD的长为________．10．△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝(－1)∶(＋1)∶，求最大角的度数．331011．已知a、b、c是△ABC的三边，S是△ABC的面积，若a＝4，b＝5，S＝5，则边c的值为3________．12．在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4，则cos A∶cos B∶cos C＝________.
正弦定理、余弦定理习题
正弦定理、余弦定理习题
题型一 正、余弦定理的简单应用
例1 (1)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝3bc，sin C＝23sin B，则A等于 ( )A．30° B．60° C．120° D．150°
(2)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C，则sin B＋sin C的最大值为( ) A．0 B．1 C.12 D.2
变式练习1
(1)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知8b＝5c，C＝2B，则cos C等于 ( ) A.725 B．－725 C．±725 D.2425
(2)已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a＝1，b＝3，A＋C＝2B，则角A的大小为________．
题型二 正弦定理、余弦定理的综合应用
例2 (2012·课标全国)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acos C＋3asin C－b－c＝0.(1)求A；(2)若a＝2，△ABC的面积为3，求b，c.
变式练习2在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c.
(1)若c＝2，C＝π3，且△ABC的面积为3，求a，b的值；
(2)若sin C＋sin(B－A)＝sin 2A，试判断△ABC的形状．
例3 在△ABC中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，试判断△ABC的形状．
变式练习3
已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，角B所对的边b＝3，且函数f(x)＝23sin2x＋2sin xcos x－3在x＝A处取得最大值．(1)求f(x)的值域及周期；(2)求△ABC的面积．
正弦定理、余弦定理习题答案
例1解析 (1)∵sin C＝23sin B，由正弦定理得c＝23b，
正弦定理、余弦定理练习题及答案
正弦定理、余弦定理练习题及答案
正弦定理、余弦定理练习题
年级__________ 班级_________ 学号_________ 姓名__________ 分数____
一、选择题(共20题，题分合计100分)
1.已知在△ABC中,sin A:sin B:sin C=3:2:4,那么cos C的值为
A.-
B.
C.-
D.
2.在△ABC中，a=λ,b=λ,A=45°,则满足此条件的三角形的个数是
A.0
B.1
C.2
D.无数个
3.在△ABC中，b cos A=a cos B，则三角形为
A.直角三角形
B.锐角三角形
C.等腰三角形
D.等边三角形
4.已知三角形的三边长分别为x2+x+1,x2-1和2x+1(x＞1)，则最大角为
A.150°
B.120°
C.60°
D.75°
5.在△ABC中，=1，=2，（+）·（+）=5+2则边||等于
A.B.5-2 C. D.
6.在△ABC中，已知B=30°,b=50,c=150，那么这个三角形是 A.等边三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形
D.等腰三角形或直角三角形
7.在△ABC中，若b2sin2C+c2sin2B=2bc cos B cos C，则此三角形为
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.等边三角形
D.等腰直角三角形
8.正弦定理适应的范围是
A.Rt△
B.锐角△
C.钝角△
D.任意△
9.已知△ABC中，a=10,B=60°,C=45°，则c=
A.10+
B.10（-1）
C.（+1）
D.10
10.在△ABC中，b sin A＜a＜b，则此三角形有
A.一解
B.两解
C.无解
D.不确定
11.三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程5x2-7x-6=0的根，则三角形的另一边长为
A.52
B.2
C.16 D.4
12.在△ABC中，a2=b2+c2+bc，则A等于
A.60°
B.45°
(完整版)正弦与余弦定理练习题及答案
正弦定理练习题
1．在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，a＝2，则b等于( )
A.6 B.2 C.3 D．26
2．在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，则b等于( )
A．42 B．43 C．46 D.323
3．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，A＝60°，a＝43，b＝42，则角B为( )
A．45°或135° B．135° C．45° D．以上答案都不对
4．在△ABC中，a∶b∶c＝1∶5∶6，则sinA∶sinB∶sinC等于( )
A．1∶5∶6 B．6∶5∶1 C．6∶1∶5 D．不确定
5．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若A＝105°，B＝45°，b＝2，则c＝( )
A．1 B.12 C．2 D.14
6．在△ABC中，若cos Acos B＝ba，则△ABC是( )
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
7．已知△ABC中，AB＝3，AC＝1，∠B＝30°，则△ABC的面积为( )
A.32 B.34 C.32或3 D.34或32
8．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若c＝2，b＝6，B＝120°，则a等于(
)
A.6 B．2 C.3 D.2
9．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a＝1，c＝3，C＝π3，则A＝________.
10．在△ABC中，已知a＝433，b＝4，A＝30°，则sinB＝________.
正余弦定理练习题（含答案）
A.6 B.2 C.3 D．26
2．在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，则b等于( )
A．42 B．43 C．46 D.323
3．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，A＝60°，a＝43，b＝42，则角B为( ) A．45°或135° B．135° C．45° D．以上答案都不对．以上答案都不对 4．在△ABC中，a∶b∶c＝1∶5∶6，则sinA∶sinB∶sinC等于( ) A．1∶5∶6 B．6∶5∶1 C．6∶1∶5 D．不确定．不确定 解析：选A.由正弦定理知sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝1∶5∶6.
5．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若A＝105°，B＝45°，b＝2，则c＝( )
A．1 B.12 C．2 D.14
6．在△ABC中，若cos Acos B＝b
．已知△ABC中，AB＝3，AC＝1，∠B＝30°，则△ABC
C.3
2或3 D.3
4或3
、b、c.若c＝2，b＝6，B＝120°，则a等于( ) A.6 B．2 C.3 D.2
9．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a＝1，c＝3，C＝π3，则A＝________.
10．在△ABC中，已知a＝433，b＝4，A＝30°，则sinB＝________.
11．在△ABC中，已知∠A＝30°，∠B＝120°，b＝12，则a＋c＝________. 12．在△ABC中，a＝2bcosC，则△ABC的形状为________．
13．在△ABC中，A＝60°，a＝63，b＝12，S△ABC＝183，则a＋b＋csinA＋sinB＋sinC＝________，c＝________.
14．已知△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，a＝1，则a－2b＋csin A－2sin B＋sin C＝________.
15．在△ABC中，已知a＝32，cosC＝13，S△ABC＝43，则b＝________.