第11章数的开方小结1
⑷用计算器求立方根
㈡实数与数轴 1.无理数与实数
⑴无理数:无限不循环的小数叫做无理数. ⑵实数: 有理数与无理数统称为实数。 整数 有理数 正整数 零 负整数
(可化为有限小数 或无限循环小数)
实数
无理数
分数 正无理数
(无限不循环小数)
负无理数
注意:无理数的三种表现形式:
做a的平方根。或:如果x2=a，那么x叫做a的平方根. ⑵平方根的性质
一个正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的 平方根是0；负数没有平方根。 ⑶平方根的记法 正数a的正的平方根(算术平方根)记作: a 正数a的负的平方根记作: a
正数a的平方根记作: a
⑷开平方
求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方. ⑸算术平方根 正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根。
注意：
算术平方根与绝对值、偶次幂都是非负数。 ⑹用计算器求正数的算术平方根 2.立方根
⑴定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫
做a的立方根。
⑵立方根的性质
正数的立方根是一个正数; 0的立方根是0本身; 负数的立方根是一个负数.
注意： 只有非负数才有平方根,但任何数都有立
方根；正数有两个平方根,，但任何数都只有一个立 方根.
①开方开不尽的根号式 ②π与含π的某些式子
8 3 25 、
2、 1
③特殊数--------0.1010010001…(每两个1之间 依次多一个0)
⑶实数的运算 2.实数与数轴上的点的关系 ⑴在数轴上画表示 2 的点 ⑵实数与数轴上的点的关系 实数与数轴上的点成一一对应关系.
2013.9.10
制作：遂宁一中HDL
一、本章知识结构
算术平方根的 意义与性质 无理数的意义
数 的 开 方
平 方 根
平方根的意义和性质 求平方根 开平方
立 方 根
立方根的意义和性质
实 数
实数的分类 实数与数轴 上点的关系 实数的运算与性质
求立方根
开立方
二、本章主要内容 ㈠数的开方 1.平方根 ⑴定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫
《第11章 数的开方小结与复习教案 (公开课获奖)2022华师大版 (新版)华东师大版
第11章数的开方教学目标1、进一步巩固实数的开方的有关概念。
2、进一步巩固实数的运算法则和运算定律。
3．进一步巩固用估算方法来比较两数的大小，利用结算方法求无理数的范围。
教学过程2．用计算器求下列各式的值：－56169 0.0006705 3－48393418.93．一个圆柱的体积是10m3，且底面圆的直径与圆柱的高相等，求这个圆柱的底面半径(∏取3.14，结果保留2个有效数字)。
二、复习估算法问题l：你在生活中使用过估算的方法吗?举例说明。
问题2：你能比较下列各组里两个实数的大小吗?（1）－∏，－3.1415926 （2）29 ,5413问题3：你能计算：∏＋10 －1－2 3 (结果精确到0.01)吗?三、复习实数的有关概念问题l：什么叫做无理数?什么叫做实数?(无限不循环小数叫无理数；有理数和无理数统称为实数) 问题2：实数可以怎样分类?1．按正负数分类，实数可以分为正实数、负实数、0；2．按有理数、无理数分类。
问题3：你能在数轴上找到表示 2 的点吗?问题4：无理数与数轴上的点一一对应吗?问题5：有理数与数轴上的点一一对应吗?问题6：实数与数轴上的点一一对应吗?练习：P22页复习题5、6。
五、知识结构图有理数的乘法和除法教学目标：1、了解有理数除法的意义，理解有理数的除法法则，会进行有理数的除法运算，会求有理数的倒数。
2、通过实例，探究出有理数除法法则。
会把有理数除法转化为有理数乘法，培养学生的化归思想。
重点：有理数除法法则的运用及倒数的概念难点：怎样根据不同的情况来选取适当的方法求商，0不能作除数以及0没有倒数的理解。
教学过程：一、创设情景，导入新课1、有理数乘法法则两数相乘，同号得正,异号得负，并把绝对值相乘.几个数相乘，积的符号由负因数的个数决定.当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正。
有一个因数是0，积就为0.2、有理数乘法运算律：a×b = b×a (a×b)×c = a×(b×c). a×(b+c)=a×b + a×c3、计算（分组练习，然后交流）（见ppt）二、合作交流，解读探究1、（1）6个同样大小的苹果平均分给3个小孩，每个小孩分到几个苹果？（2）怎样计算下列各式？（－6）÷3 6÷（－3）（－6）÷（－3）学生：独立思考后，再将结果与同桌交流。
八年级数学上册 11 数的开方小结与复习学案 华东师大版(2021学年)
八年级数学上册１1 数的开方小结与复习学案 (新版）华东师大版编辑整理:尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（八年级数学上册 1１数的开方小结与复习学案（新版)华东师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第11章小结与复习【学习目标】1.理解平方根、算术平方根、立方根的概念和性质,会求一个数的平方根、算术平方根和立方根;2.理解无理数的意义,知道实数分为有理数和无理数，会求一个实数的相反数和绝对值,知道实数与数轴上的点是一一对应的关系;３.会比较简单的无理数的大小,并能掌握无理数的运算.【学习重点】理解并掌握平方根和算术平方根、立方根的意义，熟练掌握无理数的运算．【学习难点】用估算法来比较两个数的大小，会估算无理数的数值范围.行为提示:点燃激情,引发学生思考本节课学什么．行为提示：教会学生看书，独学时对于书中的问题一定要认真探究，书写答案．教会学生落实重点.学法指导:一定要从性质出发．知识链接：任何实数的立方根只有一个,其开方后数的符号不会发生改变．情景导入生成问题知识结构我能建自学互研生成能力错误!1.定义:如果x2=a,那么这个数x叫做a的平方根,则ｘ＝±＼r(a)．典例1：求下列各数的平方根:(1)100;(２)0．49；(3)19１6；（４)（-6）2.解：（1）±1０；（2)±０．7;(３)±错误!；(４)±6。
2．平方根的性质：（１)一个正数有两个平方根，它们互为相反数；（2)0的平方根只有一个,就是它本身；(3)负数没有平方根.典例2:(１）要使±错误!有意义,则ａ的取值范围为ａ≥２;(2)平方根是它本身的数有０．3.算术平方根:正数ａ的正的平方根,叫做a的算术平方根,记作错误!.典例3:下列各式中,正确的是( C）A.错误!=±4 Ｂ．±错误!＝４Ｃ。
第11章--数的开方知识点总结
第11章数的开方知识点总结平方根★1.平方根的定义: 如果一个数的________等于a,那么这个数叫做a的__________.2,那么________叫做________的__________.即如果ax★2.数的开方: 数的开方是一种运算,它包括开平方和开立方.（1）开平方: 求一个数的平方根的运算,叫做开平方;（2）开立方: 求一个数的________的运算,叫做开立方.★3.平方根的特征:（1）正数的平方根有________个,它们互为________;（2）0的平方根只有________个,是________,即它本身;（3）负数________平方根.★4.平方根的表示:非负数a的平方根表示为__________.其中a叫做__________,对a 的要求是________.★5.算术平方根非负数a的算术平方根表示为__________.★6.关于算术平方根正数的算术平方根只有________个,0的算术平方根是________,负数没有平方根,当然也就没有____________.算术平方根等于它本身的数有________个,分别是____________.平方根等于它本身的数有________个,是________.★7.()0≥a a 具有双重非负性:（1）0≥a ; （2）0≥a .★8.非负数的和为0的问题若几个非负数的和等于0,则每个非负数分别等于________. 若02=++C B A ,则______________________.★9.重要结论:（1）⎩⎨⎧==________________________2a （2）()=2a ________,()=-2a ________.（3）若A B B A --与都有意义,则____________.★10.新概念---完全平方数如果一个数是另一个整数的完全平方,那么这个数就叫做_______,如0、1.4.9、16.25.36.49、64.81.100等.完全平方数可以用于估算某些无理数的值,即开方开不尽的数. ★11.易错题例1. 16的平方根是________, 的平方根是________.例2. 81的平方根是________, 的平方根是________.例3. 的平方根是________,算术平方根是________.例4. 如果 ________.例5. 的平方根是________,用数学式子表示为_______________. 例 6. 若某个数的平方根只有一个,则这个数是______.若一个自然数的算术平方根是 ,则和这个自然数相邻的下一个自然数是________. ★12.立方根的定义: 如果一个数的________等于a ,那么这个数叫做a 的________.一个数a 的立方根表示为________,其中a 可以是任何________. ★13.立方根的特征:（1）任何数都有________,且都只有________个;（2）正数的立方根是________数,0的立方根是________,负数的立方根是________;（3）立方根等于它本身的数有________个,分别是____________. ★14.关于立方根的结论:（1）33a a -=-,即三次根号内的负号可以移到根号的外面;（2）()=33a ________;（3）若=+=+B A B A 则,033________.★15.无理数的定义: ________________小数叫做无理数.如圆周率π就是一个无理数.★16.实数的定义: ________和________统称为实数.实数与数轴上的点是__________的.实数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧等数）如开方开不尽，无理数（无限不循环小或无限循环小数）分数（可化为有限小数负整数正整数整数有理数π0 典型例题分析1.。
华师版八年级上学期第11章《数的开方》知识点整理及针对性训练
A．3 B． C． D．9
举一反三：
1.下列说法中正确的是（）
A、 的平方根是±3B、1的立方根是±1
C、 =±1D、 是5的平方根的相反数
2. 1.25的算术平方根是__________；平方根是__________. -27立方根是__________. ___________， ___________， ___________.
方根，记为：“ ”，读作，“根号a”，其中，a称为被开方数。特别规定：0的
算术平方根仍然为0。
2、算术平方根的性质：具有双重非负性，即： 。
3、算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示
为： ；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为： 。
选学内容：分母有理化
1．分母有理化
定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。
2．有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下：
①单项二次根式：利用 来确定，如： ， ， 与 等分别互为有理化因式。
②两项二次根式：利用平方差公式来确定。如 与 ， ， 分别互为有理化因式。
若a≥0，则a的平方根是 ，a的算术平方根 ；若a<0，则a没有平方根和算术平方根；若a为任意实数，则a的立方根是 。
【例1】 的平方根是______；【例2】 的平方根是_________
【例3】下列各式属于最简二次根式的是（）
A．
【例4】（2010山东德州）下列计算正确的是（）
（A） （B） （C） （D）
3．计算
4．比较大小 与
第十一章数的开方
第11章平方根与立方根一、要点梳理要点一、平方根和算术平方根的概念1.平方根的定义如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根，也叫做的二次方根. 一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算.要点诠释：一个正数的正平方根用“”表示；的负平方根用“-”表示；因此，一个正数的平方根用“±”表示，其中叫做被开方数.2.算术平方根的定义正数的正的平方根称为算术平方根.（规定0的算术平方根还是0）；一个数（≥0）的算术平方根记作“”.要点诠释：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0.二、要点梳理要点二、平方根和算术平方根的区别与联系1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和2．联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0．要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.三、要点梳理要点三、平方根的性质四、要点梳理要点四、平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，.典型例题类型一、平方根和算术平方根的概念1、下列说法错误的是（）A．5是25的算术平方根 B．l是l的一个平方根C．的平方根是－4 D．0的平方根与算术平方根都是0【答案】C；【解析】利用平方根和算术平方根的定义判定得出正确选项．A.因为＝5，所以本说法正确；B.因为±＝±1，所以l是l的一个平方根说法正确；C.因为±＝±＝±4，所以本说法错误；D.因为＝0，＝0，所以本说法正确；【总结升华】此题主要考查了平方根、算术平方根的定义，关键是明确运用好定义解决问题．2、填空：（1）是的负平方根．（2）表示的算术平方根，．（3）的算术平方根为．（4）若，则，若，则．【思路点拨】（3）就是的算术平方根＝，此题求的是的算术平方根.【答案与解析】(1)16；(2) (3) (4) 9；±3【总结升华】要审清楚题意，不要被表面现象迷惑.注意数学语言与数学符号之间的转化.典型例题类型二、平方根的运算3、求下列各式的值．(1)；(2)．【思路点拨】（1）首先要弄清楚每个符号表示的意义.（2）注意运算顺序.【答案与解析】解：(1)；(2)．【总结升华】(1)混合运算的运算顺序是先算平方开方，再乘除，后加减，同一级运算按先后顺序进行．(2)初学可以根据平方根、算术平方根的意义和表示方法来解，熟练后直接根据来解．典型例题类型三、平方根的应用4、要在一块长方形的土地上做田间试验，其长是宽的3倍，面积是1323平方米．求长和宽各是多少米？【答案与解析】解：设宽为，长为3，由题意得，·3＝13233＝1323＝－21(舍去)答：长为63米，宽为21米.【总结升华】根据面积由平方根的定义求出边长，注意实际问题中边长都是正数.巩固练习一．选择题1. 16的平方根是（）A.－4B.4C.± 4D. 2562．下列各数中没有平方根的是（）A． B．0 C． D．3．下列说法正确的是（）A．169的平方根是13 B．1.69的平方根是±1.3C．的平方根是－13 D．－（－13）没有平方根4．若＝－4，则估计的值所在的范围是（）A．1＜＜2 B. 2＜＜3 C. 3＜＜4 D. 4＜＜55. 下列语句不正确的是（）A．0的平方根是0 B．正数的两个平方根互为相反数C．－的平方根是±2 D．是的一个平方根6．一个数的算术平方根是，则比这个数大8数是（）A．＋8B．－4C． D．二．填空题7．计算：（1）______；（2）______；（3）______；（4）______；（5）______；（6）______．8．的算术平方根的相反数是________.9. 的平方根是______；0.0001算术平方根是______；0的平方根是______．10．的算术平方根是______；的算术平方根的相反数是______．11．一个数的平方根是±2，则这个数的平方是______．12．表示3的______；表示3的______．三．解答题13．求下列各式中的．（1）；（2）；14．要切一块面积为16的正方形钢板，它的边长是多少？15．思考题：估计与最接近的整数．【答案与解析】一．选择题1. 【答案】C；【解析】正数的平方根有两个，它们互为相反数.2. 【答案】D；【解析】负数没有平方根.3. 【答案】B；【解析】169的平方根是，的平方根是.4. 【答案】B；【解析】，所以2＜－4＜3 .5. 【答案】C【解析】－没有平方根.6. 【答案】D；【解析】一个数的算术平方根是，则这个数是. 二．填空题7. 【答案】11；－16；；9；3；.8. 【答案】；9. 【答案】；0.01；0.10.【答案】2；－3；【解析】＝4，＝9，此题就是求4的算术平方根和9的算术平方根的相反数.11.【答案】16；【解析】一个数的平方根是±2，则这个数是4，4的平方是16.12.【答案】算术平方根；平方根.三．解答题13.【解析】解：（1）（2）14.【解析】解：设正方形钢板的边长为cm，则由题意，∴＝±4∵正方形的边长为正数，∴＝4.答：正方形的边长为4cm.15.【解析】解：∵25＜35＜36∴即5＜＜6∵35比较接近36，∴最接近的整数是6.第11章数的开方11.2立方根一、要点梳理要点一、立方根的定义如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，记作表示，其中是被开方数，3是根指数.符号“”读作“三次根号”.求一个数的立方根的运算，叫做开立方.要点诠释：开立方和立方互为逆运算.二、要点梳理要点二、立方根的特征立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.要点诠释：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数.三、要点梳理要点三、立方根的性质要点诠释：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题.四、要点梳理要点四、立方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如，，，，.典型例题类型一、立方根的概念1、下列结论正确的是（）A．64的立方根是±4 B．是的立方根C．立方根等于本身的数只有0和1D．【答案】D；【解析】64的立方根是4；是的立方根；立方根等于本身的数只有0和±1.【总结升华】一个非零数与它的立方根符号相同；.典型例题类型二、立方根的计算2、求下列各式的值：（1）（2）（3）（4）（5）【答案与解析】解：（1）（2）（3）（4）（5）【总结升华】立方根的计算，注意符号和运算顺序，带分数要转化成假分数再开立方.典型例题类型三、利用立方根解方程3、求下列各式中的值．（1）；（2）；（3）；（4）．【思路点拨】根据立方根的定义，若，则，对于（2）、（3）、（4）可分别把看成一个整体.【答案与解析】解：（1）∵，∴，∴.【总结升华】本题是用开立方的方法解一元三次方程，（2）（3）（4）小题中运用了整体思想，分散了难度.典型例题类型四、立方根实际应用4、在做物理实验时，小明用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱体烧杯中，并用一量筒量得铁块排出的水的体积为64，小明又将铁块从水中提起，量得烧杯中的水位下降了．请问烧杯内部的底面半径和铁块的棱长各是多少？【思路点拨】铁块排出的64水的体积，是铁块的体积，也是高为烧杯的体积.【答案与解析】解：铁块排出的64的水的体积，是铁块的体积．设铁块的棱长为，可列方程解得设烧杯内部的底面半径为，可列方程,解得 6.答：烧杯内部的底面半径为6，铁块的棱长 4 .【总结升华】应该熟悉体积公式，依题意建立相等关系（方程），解方程时，常常用到求平方根、立方根，要结合实际意义进行取舍.本题体现与物理学科的综合.巩固练习一．选择题1．下列结论正确的是（）A．的立方根是 B．没有立方根C．有理数一定有立方根D．的立方根是－12．如果－是的立方根，则下列结论正确的是（）A．－＝B．－＝C．＝ D．＝3．下列说法中正确的有（）个.①负数没有平方根，但负数有立方根．②的平方根是的立方根是③如果，那么＝－2．④算术平方根等于立方根的数只有1．A．1 B．2 C．3 D．44．是的平方根，是64的立方根，则＝（）A. 3B. 7 C．3，7 D. 1，75. 下列各式中，正确的是（）A． B． C． D．6. 有如下命题：①负数没有立方根；②一个实数的立方根不是正数就是负数；③一个正数或负数的立方根与这个数同号；④如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是1或0，其中错误的是（）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④二．填空题7．若一个偶数的立方根比2大，平方根比4小，则这个数一定是______．8．－8的立方根与的平方根的和是______．9．若与的立方根互为相反数，则与的关系是______．10．一个数的平方等于64，则这个数的立方根是______．11. 如果那么的值是______．12．若，则____________.三．解答题13. 一个长方体的长为5cm，宽为2cm，高为3cm，而另一个正方体的体积是它的2倍，求这个正方体的棱长a．（结果精确到0.01cm）14．已知5＋19的立方根是4，求2＋7的平方根．15．若和互为相反数，求的值.【答案与解析】一．选择题1. 【答案】 C；【解析】的立方根是；的立方根是1. 一个非零数与它的立方根符号相同.2. 【答案】A；【解析】由题意.3. 【答案】A；【解析】只有①正确. 算术平方根等于立方根的数有0和1．4. 【答案】D；【解析】∵是的平方根，y是64的立方根，∴＝±3，＝4 则＝3＋4＝7或＝－3＋4＝1.5．【答案】D；【解析】A.结果应为4；B.结果应为5；C.无意义.6. 【答案】B；【解析】①负数有立方根；②一个实数的立方根是正数、0、负数；④如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是±1或0．二．填空题7．【答案】10；12；14.【解析】∵2的立方是8，4的平方是16，所以符合题意的偶数是10，12，14．8．【答案】1或－5；【解析】注意＝9，9的平方根是±3.9. 【答案】；【解析】两个互为相反数的实数的立方根也互为相反数.10.【答案】2或-2；【解析】∵64的平方根是±8，±8的立方根是±2，∴这个数的立方根是±2．11.【答案】－343；【解析】＋4＝64，＝60，－67＝－7，.12.【答案】；【解析】－1＝－2，＝－1.三．解答题13.【解析】解：依题意得：=5×2×3×2=60，解得：a=≈3.91，答：这个正方体的棱长是3.91cm．14.【解析】解：∵5＋19的立方根是4∴5＋19，即64＝5＋19，解得＝9∴2＋7＝25∴2＋7的平方根＝.15.【解析】解：∵和互为相反数∴＋＝0，∴＝－，∴＝，∴2－1＝3－1, 2＝3，∴＝.11.2实数一、要点梳理要点一、有理数与无理数有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.要点诠释：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式.（2）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如.二、要点梳理要点二、实数有理数和无理数统称为实数.1.实数的分类按定义分：实数按与0的大小关系分：实数2.实数与数轴上的点一一对应.数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.三、要点梳理要点三、实数大小的比较对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大.正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小.四、要点梳理要点四、实数的运算有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.实数的运算顺序是：先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减.如果遇到括号，则先进行括号里的运算.典型例题类型一、实数概念1、指出下列各数中的有理数和无理数：【思路点拨】对实数进行分类时，应先对某些数进行计算或化简，然后根据它的最后结果进行分类，不能仅看到根号表示的数就认为是无理数.π是无理数，化简后含π的代数式也是无理数.【答案与解析】有理数有无理数有……【总结升华】有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：0.1010010001…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如，，，.典型例题类型二、实数大小的比较2、比较和0.5的大小．【答案与解析】解：作商，得．因为，即，所以．【总结升华】根据若，均为正数，则由“，，”分别得到结论“，，，”从而比较两个实数的大小．比较大小的方法有作差法和作商法等，根据具体情况选用适当的方法.3、如图，数轴上点表示的数可能是A. B. C. D.【答案】B；【解析】－3＜＜－2.【总结升华】关键是估计出的大小.典型例题类型三、实数的运算4、计算：（1）|－6|－－；（2）π－（精确到0.001）【答案与解析】解：（1）原式=6－3－1=2．（2）原式≈3.1416－4.4721≈－1.331【总结升华】此题考查了实数的运算，涉及的知识有：平方根的定义，绝对值的代数意义，近似数，熟练掌握运算法则是解本题的关键．5、若，则________．【思路点拨】由有限个非负数之和为零，则每个数都应为零可得到方程中，b，c的值.【答案】3；【解析】解：由非负数性质可知：，即，∴．【总结升华】初中阶段所学的非负数有||，，非负数的和为0，只能每个非负数分别为0 .巩固练习一．选择题1．下列说法错误的是（）A．实数都可以表示在数轴上 B．数轴上的点不全是有理数C．坐标系中的点的坐标都是实数对 D．是近似值，无法在数轴上表示准确2. 下列说法正确的是（）A．无理数都是无限不循环小数 B．无限小数都是无理数C．有理数都是有限小数 D．带根号的数都是无理数3．估计的大小应在（）A．7～8之间 B．8.0～8.5之间C．8.5～9.0之间 D．9～10之间4．如图，数轴上点表示的数可能是（）.A．B．C．D．5. 实数和的大小关系是（）A．B．C．D．6．一个正方体水晶砖，体积为100，它的棱长大约在（）A．4～5之间 B．5～6之间C．6～7之间 D．7～8之间二．填空题7．在，，，，这五个实数中，无理数是_________________．8．在数轴上与1距离是的点，表示的实数为______．9．｜3.14－π｜＝______； ______．10．的整数部分是________，小数部分是________．11．已知为整数，且满足在与之间，则________．12．的相反数是________，绝对值是_________，平方等于_________.三．解答题13．计算：（1）．（2）．14. 天安门广场的面积大约是440000，若将其近似看作一个正方形，那么它的边长大约是多少？（用计算器计算，精确到）15. 已知求的值．【答案与解析】一．选择题1. 【答案】D；【解析】实数和数轴上的点一一对应，无理数也可以在数轴上表示.2. 【答案】A；【解析】根据无理数的定义作答.3. 【答案】C；【解析】，因为76比较接近81，所以在8.5～9.0之间.4. 【答案】B；【解析】2＜＜35. 【答案】C；【解析】.6. 【答案】A；【解析】.二．填空题7．【答案】，；8. 【答案】；【解析】与1的距离是的点在1的左右两边各有一个点，分别是、.9. 【答案】π－3.14；.【解析】负数的绝对值等于它的相反数.10.【答案】2；；【解析】，故整数部分为2，－2为小数部分.11.【答案】－1, 0, 1；12.【答案】【解析】.三．解答题13．【解析】解：（1）＝3＋（）＝（2）＝＝＝．14．【解析】解：设广场的边长为，由题意得：440000＝≈663.答：它的边长约为663m. 15．【解析】解：∵∴－2＝0且＝0解得＝2，＝－3，∴＝2－3＝－1.提高：类型一、实数概念1、把下列各数分别填入相应的集合内：，，，，，，，，，，0，0.3737737773……（相邻两个3之间7的个数逐次增加1）【答案与解析】有理数有：，，，，0，无理数有：，，，，，， 0.3737737773……【总结升华】有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：0.3737737773……③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如，，，，.典型例题类型二、实数大小的比较2、（2013•宜昌）实数a，b在数轴上的位置如图所示，以下说法正确的是（）A．a+b=0B．b＜a C．ab＞0D．|b|＜|a|【思路点拨】根据图形可知，a是一个负数，并且它的绝对是大于1小于2，b是一个正数，并且它的绝对值是大于0小于1，即可得出|b|＜|a|．【答案】D；【解析】解：根据图形可知：-2＜a＜-1，0＜b＜1，则|b|＜|a|；故选D．【总结升华】此题主要考查了实数与数轴，解答此题的关键是根据数轴上的任意两个数，右边的数总比左边的数大，负数的绝对值等于它的相反数，正数的绝对值等于本身．类型三、实数的运算3、文文设计了一个关于实数运算的程序，按此程序，输入一个数后，输出的数比输入的数的平方小1，若输入，则输出的结果为（）A．5 B．6 C．7 D．8【思路点拨】根据运算程序得出输出数的式子，再根据实数的运算计算出此数即可．【答案】B；【解析】解：∵输入一个数后，输出的数比输入的数的平方小1，∴输入，则输出的结果为－1=7－1=6．故选 B．【总结升华】本题考查的是实数的运算，根据题意得出输出数的式子是解答此题的关键．类型四、实数的综合运用4、已知，且，求的值．【答案与解析】解：∵，且，．∴，即，．解得＝3，＝5，得＝64．∴．【总结升华】本题考查非负性与立方、立方根的综合运用，由，可求、，又，所以＝64，则可求．巩固练习一．选择题1．代数式，，||，，中，一定是正数的有（）．A．4个 B．3个 C．2个 D．1个2. 三个数，－3，的大小顺序是（）．A． B．C． D．3. 要使，的取值范围是（）．A．≤3 B．≥3 C．0≤≤3 D．一切实数4. 估算的值在（）．A．7和8之间 B．6和7之间 C．3和4之间 D．2和3之间5. 若，、互为相反数，则下列各对数中互为相反数的一对是（）A． B．与 C．与 D．与6. 实数、、在数轴上对应点的位置如图所示，则下列关系正确的是（）A．＞0 B．＜0 C． D．二．填空题7．，3.33……，，，，，，，中，无理数的个数是个.8. ＜0时，化简＝________.9. 计算：＝__________．10．已知互为相反数,互为倒数,,则的值.11. 若，求的值.12. 当时,有最大值,最大值是 ________.三．解答题13. 某小区有一块长为8米、宽为4米的长方形草坪，计划在草坪面积不减少的情况下，把它改造成一个正方形，如果改造后的正方形草坪的边长为x 米．求正方形的边长.（估算到0.1）14. 3×（－）+2（×+），（精确到0.01）15．已知实数、、满足，求的值；【答案与解析】一．选择题1. 【答案】D；【解析】仅＞0，其余可以为0，还可为负数．2. 【答案】B；【解析】．3. 【答案】D；【解析】本题主要考查立方根的性质，即．因为，所以可取一切实数．4. 【答案】D；【解析】，，所以选D.5. 【答案】C；【解析】＋＝0，＝－，所以，所以＋＝0.6. 【答案】B；【解析】从数轴上可以看出－3＜＜－2，－2＜＜－1，0＜＜1，所以很明显＜0.二．填空题7. 【答案】4；【解析】，，，为无理数.8. 【答案】0；【解析】∵，∴．9. 【答案】；【解析】．10.【答案】－4；【解析】原式＝.11.【答案】1；【解析】∴，∴.12.【答案】±2；3；【解析】当时，有最大值3.三．解答题13.【解析】解：根据题意得：x2=8×4=32x≈5.6．答：正方形的边长约为5.6米．14. 【解析】解：3×（－）+2（×+）=3－3－3+3=－3+3≈－9.487+3≈－6.4915．【解析】解：∵，，．由题意，得方程组，解得．∴＝.数的开方全章总复习基础知识网络要点梳理要点一：平方根和立方根平方根立方根被开方数非负数任意实数符号表示性质一个正数有两个平方根，且互为相反数；零的平方根为零；负数没有平方根；一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零；重要结论要点梳理要点二：实数有理数和无理数统称为实数.1.实数的分类按定义分：实数按与0的大小关系分：实数要点诠释：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数．（2）无理数分成三类：①开方开不尽的数，如，等；②有特殊意义的数，如π；③有特定结构的数，如0.1010010001…（3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式.（4）实数和数轴上点是一一对应的.2.实数与数轴上的点的对应关系数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应，即实数与数轴上的点一一对应.3.实数的三个非负性及性质在实数范围内，正数和零统称为非负数。
第 11 章 数的开方 思维图解+项目学习 知识考点梳理(课件)华东师大版数学八年级上册
. ≈0.669，
≈14.42，
，它的立方根扩大为原来的
，
≈1.442，∴
. ≈0.144 2.
≈6.69，
项目学习
［答案］（1）①0.707 1 ②2.236 1
③7.071 ④22.361
（2）26.83 0.026 83
（3）3 800 （４）6.69
探究一般规律，形成数学的方法与策略.感悟数学抽象对于
数学产生与发展的作用，感悟用数学的眼光观察现实世界
的意义，形成数学想象力，提高学习数学的兴趣.
项目学习
例 1
用计算器计算：
（1） × + =________；
（2） × + =________；
（3） × + =________；
用计算器开平方、开立方时，要注意不同计算
器的按键顺序不同
第 11 章 数的开方
单
元
思
维
图
解
实数的相关
概பைடு நூலகம்及分类
数
的
开
方
实
数
实数与
数轴
有理数（整
数和分数）
正有理数
无理数（无限
不循环小数）
正无理数
0
负有理数
负无理数
实数与数轴上的点一一对应
数轴上任意一点表示的数，
不是有理数就是无理数
实数的性质
相反数、绝对值、倒数、
5 个关键概念：平方根，算术平方根，立方根，无理数
，实数
3 个重要性质：平方根的性质，立方根的性质，实数的
性质
2 种常用关系：开方与乘方的关系，实数与数轴的关系
初中数学 华东师大版八年级上册 第11章数的开方知识点总结
数的开方知识点总结平方根定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫a的平方根平方根的符号是±√2，根指数2一般省略不写平方根的性质：①一个正数有2个平方根且互为相反数②一个负数没有平方根③0只有一个平方根是0算术平方根的定义：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根；0的算术平方根是0算术平方根的符号是√平方根是它本身的数是0立方根定义：如果一个数的立方是a ，那么这个数叫a 的立方根 立方根的符号：√3，根指数3不能省略立方根的性质：任何数都有立方根，且只有一个，而且与它本身的符号一致立方根的符号：√3，根指数3不能省略立方根的性质：任何数都有立方根，且只有一个，而且与它本身的符号一致典型例题：1. 解下列关于x 的方程：（1）29(32)16x +=；（2）31(21)42x -=-．2. 已知实数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，3、 一个正数的平方根是27a -和4a +，求这个正数和a ．4、已知x -2的平方根是±2，2x +y +7的立方根是3，求x 2+y 2的平方根．5、求√7的整数部分和小数部分6、把下列各数分别填在相应的括号−12,3.1415，√3，−0.32,7.143，√，√……，π2，337，0，1π，，整数{ } 负数{ } 分数{ } 有理数{ }无理数{ }实数{有理数{ 整数{正整数0负整数分数{正分数负分数无理数{开方不尽特殊结构含π的数实数{有理数{整数{正整数√16,0：0负整数√−83，分数{正分数3.1415，7.143，337负分数−1，−0.32无理数{开方不尽√3，特殊结构5.3131131113……含π的数π2，1π。
八年级数学上册 第十一章 数的开方章节复习与小结课件 (新版)华东师大版
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◆考点突破 ◆考前过三关 （ ◎精第选一关 ◎第二关 ◎第三关 ）
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华东师大版八年级上册 第11章数的开方知识点总结
数的开方知识点总结平方根定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫a的平方根平方根的符号是±√2，根指数2一般省略不写平方根的性质：①一个正数有2个平方根且互为相反数②一个负数没有平方根③0只有一个平方根是0算术平方根的定义：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根；0的算术平方根是0 算术平方根的符号是√平方根是它本身的数是0立方根定义：如果一个数的立方是a ，那么这个数叫a 的立方根 立方根的符号：√3，根指数3不能省略立方根的性质：任何数都有立方根，且只有一个，而且与它本身的符号一致立方根的符号：√3，根指数3不能省略立方根的性质：任何数都有立方根，且只有一个，而且与它本身的符号一致典型例题：1. 解下列关于x 的方程：（1）29(32)16x +=；（2）31(21)42x -=-．2. 已知实数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，3、 一个正数的平方根是27a -和4a +，求这个正数和a ．4、已知x -2的平方根是±2，2x +y +7的立方根是3，求x 2+y 2的平方根．5、求√7的整数部分和小数部分6、把下列各数分别填在相应的括号−12,3.1415，√−83，−0.32,7.143，√3，√16,5.3131131113……，π2，337，0，1π，，整数{ } 负数{ } 分数{ } 有理数{ }无理数{ }实数{有理数{ 整数{正整数0负整数分数{正分数负分数无理数{开方不尽特殊结构含π的数实数{有理数{整数{正整数√16,0：0负整数√−83，分数{正分数3.1415，7.143，337负分数−1，−0.32无理数{开方不尽√3，特殊结构5.3131131113……含π的数π2，1π。
数的开方知识点总结
第11章 数的开方知识点总结1.关于平方根:（1）一个正数有两个平方根,这两个平方根互为相反数;（2）0只有一个平方根,是它本身;（3）负数没有平方根.2.非负数a 的平方根表示为)0(≥±a a ,算术平方根表示为a .3.若A 有意义,则0≥A .即要求被开方数为非负数.其中的A 既可以是单个的字母,也可以是代数式.4.算术平方根等于它本身的数是0,1.5.a 具有双重非负性:（1）0≥a ;（2）0≥a .6.若几个非负数的和等于0,则每个非负数分别等于0.写出公式为: 若02=++C B A ,则⎪⎩⎪⎨⎧===000C B A7.若B A -与A B -都有意义,则.B A = 8.()a a =±2,分开来记为:（1）()a a =2;（2）()a a =-2. 9.⎩⎨⎧≤-≥==)0()0(2a a a a a a . 10.b a b a +≠+11.b a b a ⋅=. 12.)0(≥a a 与a 的平方根是不一样的.如16的平方根是4±,而16的平方根是2±.13.介绍一个新概念——完全平方数如果一个数是另一个整数的完全平方,那么这个数就叫做完全平方数.如0、1、4、9、16、25等都是完全平方数.完全平方数可用于估算某些无理数的值（如开方开不尽）.14.任何实数都有立方根,且每个数的立方根只有一个.正数的立方根是正数,负数的立方根是负数.15.关于立方根的重要结论:（1）()a a =33;（2）a a =33;（3）若33B A -=（或033=+B A ）,则0=+B A .16.立方根等于它本身的数是0,±1.17.有理数和无理数统称为实数,实数的分类:实数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧等数）如开方开不尽，无理数（无限不循环小或无限循环小数）分数（可化为有限小数负整数正整数整数有理数π0 18.实数与数轴上的点是一一对应的:任何一个实数都可以用数轴上的一个点表示,数轴上的任何一个点,都表示一个实数.这种关系就是一一对应.。