高中数学必修5数列复习提纲
《数列》复习
1.数列的通项
求数列通项公式的常用方法：
（1）观察与归纳法：先观察哪些因素随项数n 的变化而变化，哪些因素不变：分析符号、数字、字母与
项数n 在变化过程中的联系，初步归纳公式。
（2）公式法：等差数列与等比数列。
（3）利用n S 与n a 的关系求n a ：11,(1),(2)n n
n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩ （4）构造新数列法；（5）逐项作差求和法；（6）逐项作商求积法
2.等差数列{}n a 中：
（1）等差数列公差的取值与等差数列的单调性；
（2）1(1)n a a n d =+-()m a n m d =+-；
（3）{}n ka 也成等差数列；
(4)两等差数列对应项和(差)组成的新数列仍成等差数列.
(5)1211221213,,m m m m m m m a a a a a a a a a +++++++++++++L L L L 仍成等差数列.
（6）1()2n n n a a S +=，1(1)2
n n n S na d -=+，21()22n d d S n a n =+-， 2121n n S a n -=-，()(21)n n n
n A a f n f n B b =⇒=-. (7)若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+；若2p q m +=，则2p q m a a a += ,()0p q p q a q a p p q a +==≠⇒=，
,()()p q p q S q S p p q S p q +==≠⇒=-+；m n m n S S S mnd +=++.
(8)“首正”的递减等差数列中，前n 项和的最大值是所有非负项之和；
（9）等差中项：若,,a A b 成等差数列，则2
a b A +=叫做,a b 的等差中项。
（10）判定数列是否是等差数列的主要方法有：定义法、中项法、通项法、和式法、图像法。
3.等比数列{}n a 中：
（1）等比数列的符号特征(全正或全负或一正一负)，等比数列的首项、公比与等比数列的单调性。
（2）11n n a a q -=n m m a q -=；
（3）{||}n a 、{}n ka 成等比数列；{}{}n n a b 、
成等比数列{}n n a b ⇒成等比数列. （4）两等比数列对应项积(商)组成的新数列仍成等比数列.
（5）1211,,m k k k m a a a a a a ++-++++++L L L 成等比数列.
（6）111111 (1) (1)(1) (1) (1)1111n n n n na q na q S a a a a q a q q q q q q q q ==⎧⎧⎪⎪==--⎨⎨-+≠=≠⎪⎪----⎩⎩
. （7）p q m n p q m n b b b b +=+⇒⋅=⋅；22m p q m p q b b b =+⇒=⋅m n m n m n n m S S q S S q S +=+=+.
（8）“首大于1”的正值递减等比数列中，前n 项积的最大值是所有大于或等于1的项的积；“首小于1”的正值递增等比数列中，前n 项积的最小值是所有小于或等于1的项的积；
（9）并非任何两数总有等比中项. 仅当实数,a b 同号时，实数,a b 存在等比中项.对同号两实数,a b 的等
比中项不仅存在，而且有一对G =也就是说，两实数要么没有等比中项(非同号时)，如果有，必有一对(同号时)。
（10）判定数列是否是等比数列的方法主要有：定义法、中项法、通项法、和式法
4.等差数列与等比数列的联系：各项都不为零的常数列既是等差数列又是等比数列
5.数列求和的常用方法：
（1）公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式 ③1123(1)2n n n ++++=+L ，22221123(1)(21)6
n n n n ++++=++L ， 2135(21)n n ++++-=L ，2135(21)(1)n n +++++=+L .
（2）分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和.
（3）倒序相加法：在数列求和中，若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前n 和公式的推导方法）.
（4）错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法，将其和转化为“一个新的的等比数列的和”求解（注意：一般错位相减后，其中“新等比数列的项数是原数列的项数减一的差”！）（这也是等比数列前n 和公式的推导方法之一）.
(5）裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有： ①
111(1)1n n n n =-++ ②1111()()n n k k n n k
=-++，。
高中数学人教版必修五数列总复习课件
则 am an ap aq 2ak
（3）{an}是等差数列，若从中取下标项数成等差数列的项， 则相应的项构成等差数列
（4）若数列 {an}是等差数列，则 Sk , S2k Sk , S3k S2k , S4k S3k ,
也是等差数列 d k 2d
（5）在等差数列中，若项数为2n，则S偶 S奇 nd
若项数为2n 1,则S奇
S偶
an
(中间项），S奇 S偶
n n 1
等比数列的重要性质
（1） an am qnm
qnm n p q 2k, 则am an ap aq
（3）{an}是等比数列，若从中取下标项数成等差数列的项， 则相应的项构成等比数列
（4）{an} 是等比数列且q 1 ，则Sk , S2k Sk , S3k S2k , S4k S3k ,
(q 1) (q 1)
判断（或证明）数列为等差(等比）的方法：
解答题的方法： 方法1（定义法）( a n + 1 －a n = d 或 a n －a n －1 = d ( n ≥ 2 )
方法2(等差中项法) a n + 1 +a n －1 = 2a n ( n ≥ 2 )
非解答题的方法： 方法3：通项公式法 等差数列通项公式，形如an＝kn＋b，
而 a1 b1
a29 b29
a15 b15
∴ a15 82 b15 65
高中数学人教版必修五第二章数列总 复习 课件（共21张PPT）
专题一：一般数列求和法
①公式法求和， 如an=2n-5, an=3n
②分组求和法求和， 如an=2n+3n
③裂项相消法求和，如
1 an n(n 1)
④错位相减法求和，如an=(2n-1)2n
高中数学必修5第二章等差数列知识点
等差数列1、等差数列的概念：1 2,n n d a a n n N d -=-≥∈（）为常数（用来判断数列是否为等差数列）2、等差数列通项公式：*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈，首项:1a ，公差:d ，末项:n a ；推广：d m n a a m n )(-+=，从而mn a a d m n --=。
3、等差中项：（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2b a A +=或b a A +=2 （2）等差中项：数列{}n a 是等差数列-11122(2)2n n n n n n a a a n a a a +++=+≥⇔=+ 4、等差数列的前n 项和公式： ①22111()(1)1()2222n n n a a n n d S na d n a d n An Bn +-==+=+-=+ （其中A 、B 是常数，所以当0d ≠时，n S 是关于n 的二次式且常数项为0）②特别地，当项数为奇数21n +时，1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项 ()()()12121121212n n n n a a S n a +++++==+（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）5、等差数列的判定方法：（1）定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔{}n a 是等差数列；（2）等差中项：数列{}n a 是等差数列-11122(2)2n n n n n n a a a n a a a +++⇔=+≥⇔=+；（3）数列{}n a 是等差数列n a kn b ⇔=+（其中b k ,是常数）；（4）数列{}n a 是等差数列2n S An Bn ⇔=+,（其中A 、B 是常数）。
6、等差数列的证明方法：定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔{}n a 是等差数列．7、提醒：（1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。
人教版高中数学必修五《数列》基础知识要点总结
①观察法:根据数列的前几项归纳出数列的通项公式；
②公式法：利用 求通项公式
③根据递推公式求通项公式：
（1）迭代法：对于形如 型的递推公式，采取逐次降低“下标”数值的反复迭代方式，最终使 与初始值 (或 )建立联系的方法就是迭代法．
（2）累加法：形如 的递推公式可用 求出通项；
若 和 分别是公比为 和 的等比数列，则数列 ， 仍是等比数列，它们的公比分别为 ， 。
9、等差（比）数列的单调性
①若 ，则 为递增数列；
②若 ，则 为递减数列；
③若 ，则 为常数列。
①当 时， 为常数列；
②当 时， 为摆动数列；
③当 ， 时， 为递增数列；
④当 ， 时， 为递减数列；
⑤当 ， 时， 为递减数列；
2、等差（比）中项
由三个数 ， ， 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列。这时， 叫做 与 的等差中项.
若 与 的等差中项，则 。
如果在 ， 两个数中间插入一个数 ，使 ， ， 成等比数列。这时， 叫做 与 的等比中项.
①、 与 是两个同号的非零实数
②、若 是 与 的等比中项，则
3、判断等差（比）数列的方法
13、前n项和的性质3
等差数列 的前 项和为 ，项数为 （ ）项，则① ，② ，③ ；
等差数列 的前 项和为 ，项数为 （ ）项，则① ，② ，③ .
在等比数列中，若项数为 （ ），则
三、典型题型小结
1、三（四）个数为 ， ， ， ，公差为 。若三个数成等差数列常设为 ， ， ，公差为 。
人教版高中数学必修五《数列》基础知识要点总结(总4页)
第二章 《数列》基础知识小结
一、数列的概念与表示方法
数学期末复习知识提纲(必修5,必修2)
l 上每一
点的横坐标都等于 x1，所以它的方程是 x=x1。 ②斜截式： y kx b ，直线斜率为 k，直线在 y 轴上的截距为 b
③两点式： y y1 y2 y1
x x2
x1 x1（x1来自x2 , y1y2 ）直线两点 x1, y1 ， x2 , y2
1． a, b, c成等比 b2 ac ， 称 b 为 a 与 c 的等比中项
2．若 m n p q（ m 、n 、p 、q * ）， 2．若 m n p q（ m 、n 、p 、q * ），
则 am an ap aq
则 am an ap aq
3． Sn ， S2 n Sn ， S3n S2n 成等差数列 3． Sn ， S2 n Sn ， S3n S2 n 成等比数列
当 l1 : y k1 x b1 ， l 2 : y k2 x b2 时，
l1 // l 2 k1 k2 , b1 b2 ； l1 l2 k1k 2 1
注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。 （ 7）两条直线的交点
l1 : A1x B1y C1 0 l 2 : A2x B2 y C2 0 相交，交点坐标即方程组
② sin
a ， sin 2R
b ， sin C c ；③ a : b : c sin : sin : sin C ；
2R
2R
3、三角形面积公式： S C
1 bc sin
2
1 ab sin C
1 ac sin
．
2
2
4、余弦定理：在
S
1 ra
b
c r为 ABC 内切圆半径
期末复习知识提纲(必修5,必修2)
⎩⎨⎧无穷数列有穷数列按项数 2221,21(1)2n n a a n a a n a n =⎧⎪=+=⎪⎨=-+⎪⎪=-⋅⎩n n n n n 常数列:递增数列:按单调性递减数列:摆动数列: 2007学年高一数学期末复习知识提纲一、高中数学必修5知识点（一）解三角形：1、正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，，则有2sin sin sin a b c R C ===A B (R 为C ∆AB 的外接圆的半径)2、正弦定理的变形公式：①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2c C R=；③::sin :sin :sin a b c C =A B ； 3、三角形面积公式：111sin sin sin 222C S bc ab C ac ∆AB =A ==B ．4、余弦定理：在C ∆AB 中，有2222cos a b c bc =+-A ，推论：222cos 2b c a bc+-A = （二）数列：1.数列的有关概念：（1） 数列：按照一定次序排列的一列数。
数列是有序的。
数列是定义在自然数N*或它的有限子集{1,2,3,…,n }上的函数。
（2） 通项公式：数列的第n 项a n 与n 之间的函数关系用一个公式来表示，这个公式即是该数列的通项公式。
如: 221n a n =-。
（3） 递推公式：已知数列{a n }的第1项（或前几项），且任一项a n 与他的前一项a n -1（或前几项）可以用一个公式来表示，这个公式即是该数列的递推公式。
如: 121,2,a a ==12(2)n n n a a a n --=+>。
2．数列的表示方法：（1） 列举法：如1，3，5，7，9，… （2）图象法：用（n, a n ）孤立点表示。
（3） 解析法：用通项公式表示。
高中数学必修5数列主要知识梳理
高中数学必修5 数列主要知识梳理发布时间：2022-01-12T03:20:04.530Z 来源：《中小学教育》2021年第30期作者：罗元庆[导读] 高中数学必修5 数列主要知识梳理罗元庆陕西省汉中市勉县武侯中学一判断一个数列是等差数列的方法1 定义法（1）文字定义法：若一个数列从第二项起，每一项与它的前一项之差都等于同一个常数，，则称这个数列是等差数列，这个常数叫等差数列的公差。
(2)符号定义法1：若，则称这个数列是等差数列，d是这个数列的公差。
(3)符号定义法2：若:，则称这个数列是等差数列，d是这个数列的公差2 (1)等差中项法1：若一个数列中连续三项成等差数列则称这个数列是等差数列。
(2)等差中项法2：若一个数列中连续三项成等差数列的等差中项，则称这个数列是等差数列。
3 通项公式法：若一个数列的通项公式形如的形式，则此数列必是等差数列，且公差为。
4 前项和公式法：若一个数列的前项和形如的形式，则此数列必是等差数列。
二判断一个数列是等比数列的方法1 定义法（1）文字定义法：若一个数列从第二项起，每一项与它的前一项之比都等于同一个常数，，则称这个数列是等比数列，这个常数叫等比数列的公比。
（2）符号定义法1：若则称这个数列是等比数列, q是这个数列的公比。
（3）符号定义法2：若:则称这个数列是等比数列，q是这个数列的公比2 等比中项法1：若一个数列中连续三项成等比数列则称这个数列是等比数列。
等比中项法2：若一个数列中连续三项成等比数列，则称这个数列是等比数列。
3 通项公式法：若一个数列的通项公式形如的形式，则此数列必是等比数列，公比为。
4 前项和公式法：若一个数列的前项和形如的形式，则此数列必是等比数列。
三求一般数列通项公式的方法1、累加法2、累乘法。
高中数学必修5 第二章 数列 知识整理
第二章 数列2.1 数列1.数列（1）数列的概念按照一定次序排列的一列数称为数列。
数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，…，所以，数列的一般形式可以写成：123,,,,,n a a a a ……，简记为{}n a 。
其中数列{}n a 的第n 项n a 也叫做数列的通项。
注意：①数列中每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项（通常也叫做首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项，…，排在第n 位的数称为这个数列的第n 项。
所以，数列的一般形式可以写成123,,,,n a a a a …，简记为{}n a 。
如：数列1，2，3，4，…，可以简记为{n}。
②数列中的数是按一定次序排列的。
因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就不是相同的数列。
如：数列1，2，3，4，5与5，4，3，2，1是不同的数列。
③数列的定义中，并没有规定数列中的数必须不同。
因此，同一个数在数列中可以重复出现。
如：1,1,1,1,1,1,---…；2,2,2,2,2,…等。
④{}n a 与n a 是不同的概念。
{}n a 表示数列123,,,,,n a a a a ……，而n a 仅表示数列{}n a的第n 项。
⑤从映射函数的观点看，数列可以看做是一个定义域为正整数N +（或它的有限子集{1,2,3,,}n …）的数与自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，这里的函数是一种特殊函数：它的自变量只能取正整数，由于数列的值是函数值，序号是自变量，数列的通项公式也就是相应函数的解析式。
可以将序号为横坐标，相应的像为纵坐标，通过描点画图来表示一个数列，从数列的图像表示可以直观的看出数列的变化情况。
（2）数列的分类①按照数列的项数的多少可分为：有穷数列与无穷数列。
项数有限的数列叫有穷数列，项数无限的数列叫无穷数列。
②按照数列的每一项随序号变化的情况可分为：递增数列、递减数列、常数列、摆动数列。
高中数学必修5数列知识点总结复习进程
数列1. 等差数列通项公式：1(1),n a a n d n *=+-∈N 等差中项：如果2a b A +=，那么A 是a 与b 的等差中项 前n 项和：11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+ 若n a 是等差数列，且k l m n +=+，则k l m n a a a a +=+ ✧ 等差数列的通项求法应该围绕条件结合1,a d ，或是利用特殊项。
✧ 等差数列的最值问题求使0(0)n n a a ≥≤成立的最大n 值即可得n S 的最值。
例1.{}n a 是等差数列，538,6a S ==，则9a =_________ 解析：513113248,33362a a d S a d a d ⨯=+==+=+=，解得10,2a d ==，916a =例2. {}n a 是等差数列，13110,a S S >=，则当n 为多少时，n S 最大？ 解析：由311S S =得1213d a =-，从而 21111(1)249()(7)2131313n a n n S na a n a -=+⨯-=--+，又10a >所以1013a -< 故 7n =2. 等比数列通项公式：11(0)n n a a q q -=≠等比中项：2G ab =前n 项和：111(1)(1)(1)11n n n na q S a a q a q q q q =⎧⎪=--⎨=≠⎪--⎩若{}n a 是等比数列，且m n p q +=+，则m n p q a a a a ⋅=⋅ 例. {}n a 是由正数组成的等比数列，2431,7a a S ==，则5S =__________解析：由0n a >，242411a a a q ==，231117S a a q a q =++=，解得1114,,22a q ==-（舍去）。
所以5314S =3. 求数列的通项✧ 利用1n n n a S S -=-，注意n=1时的情况。
高中数学数列、解三角形、不等式综合复习
本讲主要复习了必修（5）数列、解三角形、不等式等三部分知识要点和考点。
在利用这些知识点解决问题时注重函数的思想、数与形结合的思想、方程的数学思想、分类讨论的数学思想、等价转化的数学思想及配方法、特值法、分离参数法等数学思想方法的应用。
考点一：数列、不等式、解三角形等基础知识的考查例1、在下列命题中，把正确命题的序号填在题后的横线上。
（1）当三角形的各角的余切成等差数列时，各角所对边的平方成等差数列（2）已知不等式①②x2－6x+8<0 ③2x2－9x+m<0若同时满足①②的x值也满足③，则m9.（3）一个等差数列和一个等比数列，其首项是相等的正数，若其第（2n+1）项是相等的，则这两个数列的第（n+1）项也是相等的。
（4）方程有解时a的取值范围是在上述命题中正确命题的序号是。
分析：（1）设三个角A，B，C所对的边分别是a，b，c.由已知条件得：2cotB=cotA+cotC然后化为正、余弦。
通分再利用正、余弦定理可证：2b2=a2+c2.（2）可用特值法：先求不等式①②解集的交集。
再对m取特值验证。
也可利用二次函数的图像解决。
（3）利用等差、等比数列的通项公式表示这两个数列的第（n+1）项，然后比较大小。
或取特值验证。
（4）分离参数法：把a分离出来，用表示a，再用均值不等式求解。
解析：（1）由已知得：2cotB=cotA+cotC.利用正、余弦定理可证：2b2=a2+c2.故命题（1）是正确的。
（2）不等式①②的交集是（2，3），取m=0时，不等式化为：显然当2<x<3时，不等式成立。
故命题（2）错误另解：利用二次函数图像求解：设f（x）=2x2－9x+m，如图由已知得：（3）设数列分别是等差数列、等比数列。
首项分别是>0公差和公比分别是d、q，取n=2，q=2，由已知：即：，故==－=故，故命题（3）错误。
（4）由方程得：－（4+a）=.故此命题错误。
考点二：不等式与数列的综合应用的考查例2、已知数列{a}是首项a1＞0，q＞－1且q≠1的等比数列，设数列{b}的通项为b=a－ka（n∈N），数列{a}、{b}的前n项和分别为S，T．如果T＞kS对一切自然数n都成立，求实数k的取值范围．分析：由探寻T和S的关系入手谋求解题思路。
数学期末复习知识提纲(必修5,必修2)
高一数学期末复习知识提纲一、高中数学必修5知识点（一）解三角形：1、正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，，则有2sin sin sin a b cR C===AB (R 为C ∆AB 的外接圆的半径)2、正弦定理的变形公式：①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2c C R=；③::sin :sin :sin a b c C =A B ； 3、三角形面积公式：111sin sin sin 222C S bc ab C ac ∆AB =A ==B ．()()内切圆半径为ABC 21S ∆++=r c b a r 4、余弦定理：在C ∆AB 中，有2222cos a b c bc =+-A ，推论：222cos 2b c a bc+-A =（二）数列：1．数列{a n }及前n 项和之间的关系:123n n S a a a a =++++K 11,(1),(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩（三）不等式小结：代数式的大小比较或证明通常用作差比较法：作差、化积（商）、判断、结论。
在字母比较的选择或填空题中，常采用特殊值法验证。
1、一元二次不等式解法：（1）化成标准式：20,(0)ax bx c a ++>>；（2）求出对应的一元二次方程的根； （3）画出对应的二次函数的图象； （4）根据不等号方向取出相应的解集。
线性规划问题：（1）．了解线性约束条件、目标函数、可行域、可行解、最优解（2）．线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题． （3）．解线性规划实际问题的步骤：（1）将数据列成表格；（2）列出约束条件与目标函数；（3）根据求最值方法：①画：画可行域；②移：移与目标函数一致的平行直线；③求：求最值点坐标；④答；求最值； （4）验证。