2020年1月中学生标准学术能力诊断性测试数学(文)试题(一卷)及答案
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2020年1月中学生标准学术能力诊断性测试
数学(文)试题(一卷)
本试卷共150分，考试时间120分钟。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1.已知集合U＝N,A＝{x|x＝2n,n∈N},B＝{x|1
2.复数z＝(1－mi)2(i为虚数单位)为纯虚数,则实数m＝
A.1 B.－1 C.1 D.0
3.以双曲线2213yx的顶点为焦点,离心率为33的椭圆的标准方程为
A.22143xy B.22134xy C.22196xy D.22169xy
4.函数f(x)＝3lnxx的部分图像是
5.已知α∈(0,π),3sin35,则cos26
A.2425 B.－2425 C.725 D.－725
6.点P,Q在圆x2＋y2＋kx－4y＋3＝0上(k∈R),且点P,Q关于直线2x＋y＝0对称,则该圆的半径
为
A.3 B.2 C.1 D.22
7.已知函数f(x)＝x3－x和点P(1,－1),则过点P与该函数图像相切的直线条数为
A.1 B.2 C.3 D.4
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8.某几何体的三视图如图所示(单位：cm),则该几何体的体积是
A.372cm B.373cm C.376cm D.37cm
9.已知数列{an}是等比数列,前n项和为Sn,则“2a3>a1＋a5”是“S2n－1<0”的
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
10.在△PAB中,已知2,1OBBAuuuruuur,∠AOB＝45°,点P满足OPOAOBuuuruuuruuur(λ,µ∈R),其
中2λ＋µ＝3满足,则|OPuuur|的最小值为
A.355 B.255 C.63 D.62
11.边长为2的等边△ABC和有一内角为30°的直角△ABC1所在半平面构成60°的二面角,则下
列不可能是线段CC1的取值的是
A.303 B.10 C.102 D.103
12.已知不等式x＋alnx＋1xe≥xa对x∈(1,＋∞)恒成立,则实数a的最小值为
A.－e B.－2e C.－e D.－2e
二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分。
13.如图所示的程序框图的输出值y∈(0,1],则输入值x∈ 。
清华大学中学生标准学术能力诊断性测试2020届高三5月测试数学(文)试题(一卷)与答案
中学生标准学术能力诊断性测试2020年5月测试文科数学试卷（一卷）本试卷共150分，考试时间120分钟。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}14P x x =-<<，{}2Q x x =<，则()R P Q ⋂=ð（ ） A ．[)2,4 B ．()1,-+∞ C ．[)2,+∞ D ．(]1,2- 2．已知复数z 满足4zi i=-（其中i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．4iB ．4C ．1D ．1-3．已知实数x ，y 满足约束条件222y x y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则3x y +的最大值为（ ）A ．2B ．6C ．8D ．124．已知实数a ，b 满足5a b +=，23log log a b =，则ab =（ ） A ．2B ．3C ．5D ．65．已知向量a r ，b r 满足1a =r ，2a b -=r r且a b ⊥r r ，则向量a r 与a b -r r 的夹角为（ ）A ．2π3B ．π3C ．5π6D ．π66．已知函数()ln f x x x =，则函数()f x 的单调递增区间为（ ） A ．RB ．()0,+∞C ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．(),e +∞7．数列{}n a 的前n 项和()2*23n S n n n =-∈N ，若5p q +=()*,p q ∈N ，则p q a a +=（ ） A ．6B ．8C ．9D ．108．已知x ，y ∈R ，“1x y +≤且1x y -≤”是“1x y +≤”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．已知实数0a ≠，则函数()1sin f x ax a ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象一定不可能的是（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知x ，y ∈R ，则方程组21y =⎪=+⎩的解(),x y 的个数（ ）A ．0B ．1C ．2D ．411．已知ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．若4cos a b C b a +=，且()1cos 6A B -=，则cos C =（ ） A ．23B ．34C ．23或34- D ．不存在12．已知m ，n ，p ∈R ，若三次函数()32f x x mx nx p =+++有三个零点a ，b ，c ，且满足()()3112f f -=<，()()022f f =>，则111a b c++的取值范围是（ ） A ．1,13⎛⎫⎪⎝⎭B ．11,43⎛⎫⎪⎝⎭C ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭D ．11,32⎛⎫⎪⎝⎭二、填空题：13．已知1F 和2F 是椭圆2213x y +=的两个焦点，则12F F =______． 14．将1名同学和2名老师随机地排成一排，则该名学生恰好在2名老师中间的概率为______． 15．定义在R 上的偶函数()f x 满足()184f x +=，则()2020f =______．16．已知ABC △中，π2A ∠=，3AB =，4AC =．如图，点D 为斜边BC 上一个动点，将ABD △沿AD 翻折，使得平面AB D '⊥平面ACD ．当BD =______时，B C '取到最小值．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每道试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：17．如图，点0P 是锐角α的终边与单位圆的交点，0OP 逆时针旋转π3得1OP ，1OP 逆时针旋转π3得2OP ，…，1n OP -逆时针旋转π3得n OP ．（1）若0P 的坐标为34,55⎛⎫⎪⎝⎭，求点1P 的横坐标； （2）若点2020P 的横坐标为45，求2πsin 23α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．18．某高中某班共有40个学生，将学生的身高分成4组：平频率/组距[)150,160，[)160,170，[)170,180，[)180,190进行统计，作成如图所示的频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中a 的值和身高在[)160,170内的人数；（2）求这40个学生平均身高的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）（精确到0.01）．19．如图，四棱锥P ABCD -中，PAB △是边长为2的等边三角形．梯形ABCD 满足：1BC CD ==，AB CD ∥，AB BC ⊥．（1）求证：PD AB ⊥；（2）若2PD =，求点D 到平面PBC 的距离．20．如图，已知抛物线C ：24x y =，过直线1y =上一点M 作直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，且点M 为AB 中点、作直线MN AB ⊥交y 轴于点N ．（1）求点N 的坐标；（2）求NAB △面积的最大值． 21．已知函数()()1ln f x x x =+． （1）求()y f x =在1x =处的切线方程：（2）已知实数2k >时，求证：函数()y f x =的图象与直线l ：()1y k x =-有3个交点．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．22．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲] 在极坐标系中，已知曲线C ：2221sin ρθ=+，过点()1,0F -引倾斜角为α的直线l ，交曲线C 于P ，Q 两点．（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 分别交直线2x =±于A ，B 两点，且PQ 、AF BF -、AB 成等比数列，求cos α的值． 23．[选修4-5：不等式选讲] 已知实数a ，b 满足：22a b +=． （1）求证：2821ca b b c +++≥+；（2）若对任意的a ，*b ∈R ，1211c c b a++-≤+恒成立，求c 的取值范围．中学生标准学术能力测试诊断性测试2020年5月测试文科数学（一卷）答案一．选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．14．1315．38+ 16．157三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题 17．解：（1）因为点034,55P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据三角函数的定义可得4sin 5α=，3cos 5α= 根据题意可知点1P 的横坐标为πππ314cos cos cos sin sin 333525ααα⎛⎫+=-=⨯-=⎪⎝⎭ （2）根据题意可知点2020P 的横坐标为2020π4π4cos cos 335αα⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以π4cos 35α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭又因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ππ5π,336α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以π3sin 35α⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以2πππ24sin 22sin cos 33325ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 18．解：（1）由图可得[)150,160，[)160,170，[)170,180，[)180,190三组的频率分别为0.1250，0.3000，0.1250，可得人数分别为5，12，5， 所以身高在[)160,170内的共有18人， 所以180.04504010a ==⨯；（2）这40个学生平均身高的估计值为()1155516518175121855169.2540⨯⨯+⨯+⨯+⨯= 所以这40个学生平均身高的估计值为169.25cm ． 19．解（1）取AB 的中点O ，连接OP ，OD ，因为PAB △为边长为2的等边三角形， 所以PO AB ⊥，因为1BO CD ==，AB CD ∥， 所以四边形OBCD 为平行四边形， 又因为AB BC ⊥，所以DO AB ⊥． 因为DO PO O ⋂=，所以AB ⊥平面POD ， 所以PD AB ⊥；（2）设点D 到平面PBC 的距离为h ，因为1BC DO ==，PO =，2PD =，所以DO PO ⊥，又因为DO AB ⊥，所以DO ⊥平面PAB ． 由D PBC P DBC V V --=可得，11113232h BC PB PO BC DC ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯，所以2h =． 20．解：设点()11,A x y ，()22,B x y ，中点(),1M t ，直线AB 的斜率为k ，（k 斜率显然存在且不为0）．由21122244x y x y ⎧=⎨=⎩可得()()()1212124x x x x y y -+=-， 所以1212124y y x x x x -+=⨯-，故24t k =，（1）直线MN ：()11y x t k -=--，即()112y x k k-=--，解得点()0,3N ． （2）因为直线AB 经过点(),1M t ，直线AB 的斜率为k ， 所以可得直线AB 的方程是：221y kx k =-+，由22421x y y kx k ⎧=⎨=-+⎩联立可得224840x kx k -+-=， 所以1221224,84,16160,x x k x x k k +=⎧⎪=-⎨⎪∆=-+>⎩，所以12AB x =-=|2k2＋2|又因为点N 到直线AB的距离为d =，所以NAB △的面积21S=+=≤=当213k=时，NAB△的面积取到最大值9．21．解：（1）因为()()1lnf x x x=+，所以()1lnxf x xx+'=+，所以()12f'=，又因为()10f=，所以()f x在1x=处的切线方程22y x=-；（2）证明：当2k>时，函数()y f x=的图象与直线l交点的个数等价于函数()()1ln1k xh x xx-=-+的零点个数，因为()()()()222121211x kxkh xx x x x+-'=-=++，()0,x∈+∞，设()()2221g x x k x=+-+，因为二次函数()g x在x∈R时，()010g=>，()1420g k=-<，所以存在()10,1x∈，()21,x∈+∞，使得()10g x=，()20g x=，所以()h x在()10,x单调递增，()12,x x单调递减，()2,x+∞单调递增．因为()10h=，所以()()110h x h>=，()()210h x h<=，因此()h x在()12,x x存在一个零点1x=；又因为当kx e-=，()()()1211k kkk kk e k eh e ke e-------=--=<++，所以()h x在()1,k e x-存在一个零点；当kx e=时，()()1211kkk kk eh e k ke e-⎛⎫=-=>⎪++⎝⎭，所以()h x在()2,kx e存在一个零点；所以，函数()y f x=的图象与直线l：()1y k x=-有3个交点．（二）选考题：请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]解：（1）曲线C 的方程可化为2212x y +=； （2）设直线l 的参数方程为1cos ,sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩（t 为参数），代入椭圆C 方程得()221sin 2cos 10t t αα+--=，所以1222cos 1sin t t αα+=+，12211sin t t α-=+，故12PQ t t =-=， 又因为4cos AB α=，2=cos AF BF α-，所以244cos cos αα= 当cos 0α≥时，2cos 20αα+-=，解得cos 2α=， 当cos 0α<时，2cos20αα--=，解得cos 2α=，所以cos 2α=2．∴曲线2C的直角坐标方程为20x -+=或100x -=．23．[选修4-5：不等式选讲]（1）解：（1）证明：因为2224a b b a b +++≥++=， 若0c ≤，不等式显然成立;． 若0c >，则288411c c c c=≤=++， 所以2821ca b b c +++≥+， 当()()20a b b +⨯+≥，且1c =取到等号； 综上2821ca b b c +++≥+．（2）因为122222422a b a b a b b a b a b a+++=+=++≥， 所以114c c ++-≤，解得22c -≤≤．。
中学生标准学术能力诊断性测试2020年5月测试数学试卷答案
一、选择题：
1 2 3 4 5 6 78
C D B A B ADC
二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求．全部选对的得 5 分，选对但不全的得 3 分，有选错的得 0 分.
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…………………5 分 …………………6 分
从而，平面 APD 和平面 PCD 的法向量分别为 r1 = ( 3, −1, 0), r2 = ( 3,1, 3)
…………………7 分
二面角 A − PD − C 的余弦值 =|r1 r2 | /(| r1 | | r2 |= 2 / (2
．
则当 n
2 时 Sn2
=
1 n2
1 n2 −1
=
1 2
n
1 −1
−
n
1 +
1
．
…………6 分
故当 n 2 时 S12 + S22 +
+
Sn2
1+
1 2
1 −
1 3
+
1 2
1 2
−
1 4
+
+
1 2
1 n −1
−
n
1 +1
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=
1+
1 2
1 +
1 2
−
1 n
−
n
1 +1
P( X = 0) = 1 , P( X = 1) = (1)2 = 1 , P( X = 2) = (1)3 = 1 , P( X = 3) = (1)3 = 1
中学生标准学术能力诊断式测试2024年1月
中学生标准学术能力诊断式测试2024年1月中国中小学生标准学术能力诊断式测试对全国中学生学业水平评估起到了重要的作用。
作为一项旨在了解学生学习能力以及学术水平的测评，它不仅可以促使学生主动学习，提高学业成绩，还可以为教师提供有针对性的教学辅导指导。
2024年1月的中学生标准学术能力诊断式测试，将在很大程度上继续延续以往几年的考试方式。
该考试将主要从语文、数学和英语三个科目进行测试，分别包括阅读理解、写作能力、计算能力和应用题。
通过这种方式，可以综合评估学生的语言表达、逻辑思维、科学计算和实际应用等能力。
此外，继往开来，考试中也可能增加其他科学、社会和艺术等学科的测试内容，以更全面地评估学生在不同学科领域的学术能力。
对于学生而言，这样的诊断式测试是一个很好的机会，能够及时了解自己学习的优势和不足。
通过对考试结果的分析，他们可以更好地调整学习策略，有针对性地提高自己的学业表现。
此外，这种测试还可以帮助学生认识到自身在学术能力方面的问题，并激发他们进一步追求知识的兴趣和动力。
考试的公平性和客观性也能够对学生成绩进行实质性的评估，避免了单纯依赖平时成绩造成的不公正现象。
对于教师而言，这种诊断式测试是一个重要的工具。
通过考试结果，教师可以分析学生的学习情况，了解学生在不同科目上的薄弱环节，并根据测试结果及时调整教学内容和方法。
例如，对于学生成绩较好的科目，可以注重进行拓展性探究，培养学生的创造性思维和创新能力；而对于学生成绩较差的科目，可以通过有针对性的补充教学，帮助学生克服困难，提高学习效果。
此外，通过对考试结果的综合分析，教师还可以对学校的教学方向和教学改革提出建设性的意见和建议。
总的来说，2024年1月的中学生标准学术能力诊断式测试对于学生和教师而言都具有重要的意义。
在学生方面，它能够帮助他们全面了解自己的学术能力，调整学习策略，提高学业成绩；在教师方面，它能够提供有针对性的教学指导，促进学生全面发展。
2020届清华大学中学生标准学术能力诊断性测试高三5月测试数学(理)试题(一卷)(解析版)
中学生标准学术能力诊断性测试2020年5月测试理科数学试卷（一卷）本试卷共150分，考试时间120分钟.一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{}2log (2)0A x x =->，{}245,B y y xx x A ==-+∈，则A B =U （ ）A.[)3,+∞B.[)2,+∞ C.()2,+∞D.()3,+∞【答案】C 【分析】先解对数不等式求出集合A ，再根据二次函数的单调性求出集合B ，然后根据并集的定义求解即可．【详解】解：∵2log (2)0x ->， ∴21x ->，即3x >， ∴()3,A =+∞，∴()2245212y x x x =-+=-+>， ∴()2,B =+∞，∴A B =U ()2,+∞，故选：C ．【点睛】本题主要考查集合的并集运算，考查对数不等式的解法，考查二次函数的值域，属于基础题． 2.在复平面内，复数231ii+-的虚部为（ ）C. D. 【答案】B 【分析】根据复数代数形式的除法运算和复数的模先化简该复数，再根据虚部的定义得出结论．【详解】解：∵)()()231111122ii i i i i i ++===+---+，∴复数231i i +-的虚部为，故选：B ．【点睛】本题主要考查复数代数形式的除法运算，考查复数的模和虚部的定义，属于基础题．3.已知单位向量a r ，br满足22a b a b +=-r r r r ，则()()3a b a b -⋅+=r rr r （ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B 【分析】由22a b a b +=-r r r r 可得0a b ⋅=r r ，再根据平面向量的数量积的定义即可求出答案． 【详解】解：∵22a b a b +=-r r r r ，∴()()2222a ba b+=-r r r r ，化简得0a b ⋅=r r ，∵1a =r，1=r b ，∴()()223322a b a b a b a b -⋅+=-+⋅=r r r r rr r r ，故选：B ．【点睛】本题主要考查平面向量数量积的定义及其应用，属于基础题．4.下列程序框图的算法思想源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入16a =，10b =，则程序中需要做减法的次数为（ ）A. 6B. 5C. 4D. 3【答案】C 【分析】由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的,a b 的值，即可得到结论． 【详解】解：由16a =，10b =，满足a b ¹，满足a b >，则16106a =-=； 满足a b ¹，不满足a b >，则1064b =-=； 满足a b ¹，满足a b >，则642a =-=； 满足a b ¹，不满足a b >，则422b =-=；不满足a b ¹，则输出2a =； 则程序中需要做减法的次数为4， 故选：C ．【点睛】本题主要考查算法和程序框图，主要考查循环结构的理解和运用，以及赋值语句的运用，属于基础题． 5.在()()252211x x x ++-的展开式中，4x 的系数为（ ）A. 6-B. 6C. 10D. 4【答案】A 【分析】 因为()()()()2545221111x x x x x ++-+-=，且()41+x 的展开式的通项公式为14r r r T C x +=，()51x -的展开式的通项公式为()5151kk k k T C x -+=⋅-⋅，令4r k +=，由此可求出答案．【详解】解：∵()()()()2545221111x x x x x ++-+-=，∵()41+x 的展开式的通项公式为41441rrr r rr T C x C x -+=⋅⋅=，()51x -的展开式的通项公式为()5151kkk k T C x -+=⋅-⋅，则展开式中含4x 的项需满足4r k +=，∴展开式中4x 的系数为()()20413454511C C C C ⋅-+⋅-()()342231454511C C C C +⋅-+⋅-()540451C C +⋅-54060201=-+-+-6=-，故选：A ．【点睛】本题主要考查二项展开式的通项公式的应用，考查计算能力与推理能力，属于中档题． 6.在三角形ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且满足22265b c a bc +=+，则sin 2B C +⎛⎫=⎪⎝⎭（ ）A.2C.5【答案】D 【分析】根据余弦定理结合题意得3cos 5A =，而sin cos 22B C A +⎛⎫= ⎪⎝⎭，再根据半角公式求解即可．【详解】解：∵22265bc a bc +=+，即22265a b c bc -=+，由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-， ∴62cos 5bc A bc =， ∴3cos 5A =，则02A π<<， ∵ABC π++=， ∴1cos 25sin cos 222B C A A ++⎛⎫===⎪⎝⎭， 故选：D ．【点睛】本题主要考查余弦定理的应用，考查半角公式的应用，属于基础题．7.函数()32x e f x x -=-的部分图像大致是（ ）A. B. C. D.【答案】A 【分析】根据指数函数的值域和绝对值的几何意义可知()302x e f x x -=>-，再结合导数求出函数在()2,+∞上的单调性，由此可得出答案．【详解】解：根据指数函数的值域和绝对值的几何意义可知()302x e f x x -=>-，则C 、D 错； 当2x >时，()32x x e f x --=，()()()23'32x f x x e x ---=， 由()'0f x >得3x >，由()'0f x <得23x <<，∴函数()f x 在()2,3上单调递减，在()3,+∞上单调递增，则A 对，B 错；故选：A ．【点睛】本题主要考查函数图象的识别，考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题．8.已知函数()31663x x f x x x e e -=--+-，若211011f f a a ⎛⎫⎛⎫+≤ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭，则a 的取值范围为（ ） A. (][),12,-∞-⋃+∞ B. ()1,2-C.()()1,00,1-UD.()[)1,12,-+∞U【答案】D 【分析】先判断函数的奇偶性，再求导研究函数的单调性，再结合奇偶性与单调性解不等式即可．【详解】解：∵()31663x x f x x x e e -=--+-，定义域为R ，∴()()31663x x f x x x e f x e --=+-+=-， ∴函数()f x 为奇函数，∵()21660x x f'x x e e -=---<-，∴函数()f x 在R 上单调递减，∵211011f f a a ⎛⎫⎛⎫+≤ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭ ∴21111f f a a ⎛⎫⎛⎫≤-⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭，则21111f f a a ⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪+⎝-⎝⎭⎭， ∴21111a a ≥+-， ∴()()2011a a a +-≥-， ∴()()20110a a a -≤⎧⎨+-<⎩或()()20110a a a -≥⎧⎨+->⎩，解得11a -<<，或2a ≥， 故选：D ．【点睛】本题主要考查利用函数的奇偶性与单调性解不等式，考查利用导数研究函数的单调性，考查分式不等式的解法，属于中档题． 9.已知等差数列{}n a 满足：11a =，4164a a +=，则1912222a a a⨯⨯⋅⋅⋅⨯=（ ）A. 382B. 192C. 162D. 762【分析】根据等差数列的性质和求和公式可得()()1194161219191922a a a a a a a ++++⋅⋅⋅+==，由此可求出答案． 【详解】解：∵等差数列{}n a 满足：11a =，4164a a +=，∴()()119416121919193822a a a a a a a ++++⋅⋅⋅+===，∴191219123822222a a a a a a ++⋅⋅⋅+⨯⨯⋅⋅⋅⨯==，故选：A ．【点睛】本题主要考查等差数列的性质的应用，考查等差数列的求和公式，属于基础题．10.已知椭圆()222210x y a b a b +=>>21y x =+相切，则a =（ ）A. 2D. 1【答案】D 【分析】由题意可得222b c e a a b c =⎪==⎨⎪⎪-=⎪⎩，解出即可．【详解】解：由题意有，以原点为圆心以椭圆短半轴长为半径的圆的方程为222x y b +=， 直线21y x =+的一般式为210x y -+=，又椭圆22221x y a b+=，∴222b c e a a b c =⎪==⎨⎪⎪-=⎪⎩，解得1a b c ⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质，考查直线与圆的位置关系，属于中档题．11.设()f x 为定义于[]1,1-上的偶函数，当[]0,1x ∈时，()12f x x =-，则方程()()22xf f x =的实数解的个数为（ ） A. 8 B. 6C. 4D. 2【答案】A 【分析】由题意可知，()()f f x 为偶函数，()[]0,1f x ∈，则()()()12f f x f x =-141,02134,12x x x x ⎧-≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩，画出函数()()f f x 和22x y =在[]0,1上的图象，结合图象即可得出结论．【详解】解：当[]0,1x ∈时，()112,0212121,12x x f x x x x ⎧-≤≤⎪⎪=-=⎨⎪-<≤⎪⎩，∴()[]0,1f x ∈，∴当[]0,1x ∈时，()()()12f f x f x =-()()11212,0211221,12x x x x ⎧--≤≤⎪⎪=⎨⎪--<≤⎪⎩141,02134,12x x x x ⎧-≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩114,041141,421334,24343,14x x x x x x x x ⎧-≤≤⎪⎪⎪-<≤⎪=⎨⎪-<≤⎪⎪⎪-<≤⎩，又()()()()f f x f f x -=，∴()()ff x 为偶函数，且22x y =为偶函数，画出函数()()f f x 和22x y =在[]0,1上的图象如图，由图可知，函数()()f f x 和22x y =的图象在[]0,1上有4个交点，∴由偶函数的性质可知，函数()()f f x 和22x y =的图象在[]1,0-上有4个交点，∴函数()()f f x 和22x y =的图象在[]1,1-上有8个交点，即方程()()22x f f x =的实数解的个数为8，故选：A ．【点睛】本题主要考查方程的根与函数的零点以及函数图象的交点之间的关系，考查转化与化归思想，考查分类讨论思想，考查数形结合思想，考查计算能力与推理能力，属于难题． 12.已知当[]0,1x ∈时，不等式()()22cos 11sin 0x x x x θθ--+->恒成立，则θ的取值范围为（ ）A. π5πππ1212k k θ+<<+（k 为任意整数） B. π5πππ66k k θ+<<+（k 为任意整数） C. π5π2π2π1212k k θ+<<+（k 为任意整数） D. π5π2π2π66k k θ+<<+（k 为任意整数） 【答案】C 【分析】可设不等式左边为()f x 并化简，求出()f x 的最小值，令其大于0，得到θ的取值范围即可．【详解】解：设()()22()cos 11sin f x x x x x θθ=--+-2(1sin cos )(2sin 1)sin x x θθθθ=++-++，①若1cos sin 0θθ++=，即3222k k θππππ=++或时，原不等式不恒成立； ②若1cos sin 0θθ++≠即3222k k θππππ≠++或时，()f x Q 在[0,1]的最小值为(0)f 或()1f 或2sin 1[]2(1cos sin )f θθθ+++，∴(0)0(1)02sin 1[]02(1cos sin )f f f θθθ⎧⎪>⎪⎪>⎨⎪+⎪>++⎪⎩， ∴sin 0cos 01sin 22θθθ⎧⎪>⎪>⎨⎪⎪>⎩，解得522()1212k k k Z πππθπ+<<+∈， 故选：C ．【点睛】本题主要考查不等式恒成立的问题，考查三角函数的性质，考查分类讨论思想，考查计算能力与转化能力，属于难题．二、填空题：本大题共4小题. 13.设数列{}n a 满足14a=，210a =，215n a a -=，3n ∀≥，则201920181ln ln 2a a -=______. 【答案】ln 5 【分析】由题意可得，(()21lnln 5n n a a -=，化简整理得112112ln ln ln ln ln 522n n n n a a a a ---⎛⎫⎛⎫---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令11ln ln 2n n n b a a +=-，可得()122ln5ln5n n b b ---=-，由此可得ln 5n b =，从而可求出答案．【详解】解：∵215n a a -=，3n ∀≥，∴当3n ≥时，(()21lnln 5n n a a -=，即2112ln ln ln 52ln 2n n na a a --+=+， ∴1212ln 2ln ln ln 52n n n a a a ---+=，∴112112ln ln ln ln ln 522n n n n a a a a ---⎛⎫⎛⎫---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令11ln ln 2n n n b a a +=-，则122ln 5n n b b ---=，且1211ln ln ln 52a b a =-=，∴()122ln5ln5n n b b ---=-，又1ln 50b -=， ∴ln 5n b =，即11lnln ln 52n n a a +-=， ∴201920181ln ln ln 52a a -=， 故答案为：ln 5．【点睛】本题主要考查数列递推公式的应用，考查推理能力与计算能力，考查转化与化归思想，属于中档题．14.设实数x ，y 满足02203x y x y x -≥⎧⎪++≥⎨⎪≤⎩，则22x y +的最大值为______.【答案】73 【分析】画出不等式组表示的可行域，利用目标函数的几何意义（到原点的距离的平方）转化求解即可． 【详解】解：不等式组的图象如图：22x y +的几何意义是可行域内的点和原点的距离的平方，显然A 到原点的距离最大，由2203x y x ++=⎧⎨=⎩，解得()3,8A -，则22xy +的最大值为：96473+=，故答案为：73．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键，属于基础题．15.假设抛一枚质地均匀的色子，若抛出的点数为1、2或3，我们称为“小”，否则，若抛出的点数为4、5或6，则称为“大”.独立重复地抛这枚色子两次，已知两次都为“大”，则第1次抛出的点数为6的概率______. 【答案】13【分析】由题意可知，第1次抛出的点数为4、5或6，根据相互独立的事件的概率互不影响即可求出答案． 【详解】解：由题意可知，第1次抛出的点数为4、5或6， ∵独立重复地抛这枚色子两次，两次抛掷互不影响， ∴第1次抛出的点数为6的概率13p =， 故答案为：13． 【点睛】本题主要考查独立重复试验的应用，属于基础题． 16.已知定义于实数R 上的奇函数()f x 满足()'2f x >-，则不等式()()()2132ln 312f x x x x -<-+-的解集为______. 【答案】()0,1【分析】 设()()()()2132ln 312,0g x f x x x x x =----->，则()()()2132ln 312f x x x x -<-+-()0g x ⇔<，()()''14ln 46g x f x x x x =-+-+，令()4ln 46h x x x x =-+，则()'4ln h x x =，求导后可得()()12h x h ≥=，结合题意可得()'220g x >-+=，得函数()gx 在()0+∞，上单调递增，而()10g =，由此可求出解集． 【详解】解：设()()()()2132ln 312,0g x f x x x x x =----->，则()()()2132ln 312f x x x x -<-+-()0g x ⇔<，∵()()''14ln 46g x f x x x x =-+-+，令()4ln 46h x x x x =-+，则()'4ln h x x =，由()'0hx >得1x >，由()'0h x <得01x <<，∴当1x =时，函数()h x 取得极小值同时也是最小值()12h =，∵()'12fx ->-，()2h x ≥，∴()'220gx >-+=，∴函数()g x 在()0+∞，上单调递增， 又()()()()2111132ln13120gf =-----=， ∴由()0gx <得()()1g x g <，∴01x <<， 故答案为：()0,1．【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用函数的单调性解不等式，考查计算能力与推理能力，属于难题．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：17.设ABC V 中，()cos cos cos 0C A A B +=，内角A 、B 、C 对应的对边长分别为a 、b 、c .（1）求角B 的大小； （2）若2248a c +=，求ABC V 面积S 的最大值，并求出S 取得最大值时b 的值.【答案】（1）π3B =（2）面积S 的最大值为b =【分析】（1）在三角形中，()cos cos cos cos sin sin C A B A B A B =-+=-+，结合条件可得π2sin sin 03A B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，由此可求出答案；（2）由2248a c +=可得2ac ≤，则11sin 222S ac B =≤⋅=，此时2a =，1c =，再由余弦定理即可求出答案．【详解】解：（1）∵()cos coscos cos sin sin C A B A B A B =-+=-+，∴()cos cos cos sin cos cos C A A B A B A B +=-π2sin sin 03A B ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，∵sin 0A >，0πB <<，∴πsin 03B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则π3B =； （2）因a ，0c >，2248a c +=，2244a c ac +≥，故2ac ≤，于是，11sin 22222S ac B =≤⋅⋅=，∴ABC V 面积S 的最大值为2， 且当S 取得最大值时，2ac =，2a c =，可得2a =，1c =，由余弦定理，2222cos 3b a c ac B =+-=，即得b =【点睛】本题主要考查余弦定理的应用，考查三角形的面积公式，考查重要不等式的应用，属于基础题． 18.如下为简化的计划生育模型：每个家庭允许生男孩最多一个，即某一胎若为男孩，则不能再生下一胎，而女孩可以多个.为方便起见，此处约定每个家庭最多可生育3个小孩，即若第一胎或前两胎为女孩，则继续生，但若第三胎还是女孩，则不能再生了.设每一胎生男生女等可能，且各次生育相互独立.依据每个家庭最多生育一个男孩的政策以及我们对生育女孩的约定，令X 为某一家庭所生的女孩数，Y 为此家庭所生的男孩数.（1）求X ，Y 的分布列，并比较它们数学期望的大小；（2）求概率()()PX D X >，其中()D X 为X 的方差.【答案】（1）分布列见解析：EX EY =（2）14【分析】 （1）易知X 的取值为0，1，2，3，Y 的取值为0，1，利用相互独立的事件的概率公式求出相应概率，由此可得分布列，再根据数学期望的计算公式求出期望，进而比较大小；（2）结合公式()()22)(D X E X EX =-求出方差，再根据互斥事件的概率加法公式即可求出结果． 【详解】解：（1）易知X 的取值为0，1，2，3，对应取值的概率为别为：()102P X ==，()211124P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()311228P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()311328P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭ 即得X 的分布列如下类似地，Y 的取值为0，1，对应取值的概率分别为：()()1038P Y P X ====，()()71108P Y P Y ==-==；得Y 的分布列如下：X0 1P18 78由X ，Y 的分布列可得它们的期望分别为：11117()012324888E X =⨯+⨯+⨯+⨯=，177()01888E Y =⨯+⨯=，因此()()E X E Y =；（2）()()22222221111771(012)32488864D XE X EX ⎛⎫=-=⨯+⨯+⨯+⨯-=⎪⎝⎭， 故()()()()71123644PX D X P X P X P X ⎛⎫>=>==+== ⎪⎝⎭． 【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列及数学期望、方差，考查计算能力与推理能力，属于中档题． 19.如图，已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为边长为2的菱形，PA ⊥平面ABCD ，2PA =，60ABC ∠=︒，F 为棱PC 上一点，且:1:3PF FC =.（1）求证：BD AF ⊥；（2）求二面角A PD C--余弦值；（3）求三棱锥F APD -的体积V . 【答案】（1）证明见解析；（2）77（3）36【分析】（1）由PA ⊥平面ABCD 得PA BD ⊥，又底面ABCD 为菱形可得AC BD ⊥，则BD ⊥平面PAC ，从而BD AF ⊥；（2）设菱形ABCD 的对角线交点为O ，以O 为原点，分别以OC u u u r 、OD uuu r的方向为x ，y 轴建立空间直角坐标系，借助空间向量求出平面法向量的夹角，从而求出答案；（3）由图可知P ACD F ACD V V V --=-，由题意可知三棱锥P ACD -的高为3342PA =，由此可求出答案． 【详解】解：（1）因PA ⊥平面ABCD ，故PA BD ⊥， 又因底面ABCD 为菱形，故AC BD ⊥，又PA AC A =I，,PA AC ⊂平面PAC ，∴BD ⊥平面PAC ， 而AF⊂平面PAC ，∴BD AF ⊥；（2）设菱形ABCD 的对角线交点为O ，因AC BD ⊥，PA ⊥平面ABCD ，以O 为原点，分别以OC u u u r 、OD uuu r的方向为x ，y 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()1,0,0A-，()1,0,2P -，()3,0D ，()1,0,0C ，∴()0,0,2AP =u u u r，()3,0AD =u u u r ，()2,0,2PC =-u u u r，()3,0CD =-u u u r ，∴平面APD 和平面PCD 的一个法向量分别为()13,1,0r =-r，23,1,3r =u r，∴1212127cos ,27r r r r r r ⋅===⋅⨯r r r rr r ，由图可知二面角A PD C --的平面角为锐角， ∴二面角A PD C --7（3）由图可知，P ACD F ACD V V V --=-，因:1:3PF FC =，可知三棱锥P ACD -的高为3342PA =，∴1311232326ACD VS ⎛⎫=⨯⨯-==⎪⎝⎭△． 【点睛】本题主要考查线面垂直的判定与性质，考查二面角的求法，考查三棱锥的体积的求法，考查计算能力与推理能力，属于中档题．20.已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的离心率3e =，其左焦点1F到此双曲线渐近线的距离为（1）求双曲线C 的方程； （2）若过点()2,0D的直线l 交双曲线C 于AB 两点，且以AB 为直径的圆E 过原点O ，求圆E 的圆心到抛物线24x y =的准线的距离.【答案】（1）2218y x -=（21+1【分析】（1）由题意可得2223c e a a b c ⎧==⎪=+=⎪⎩，解出即可； （2）由题意设直线AB的方程为2x my =+，联立直线与椭圆的方程并消元，设()11,Ax y ，()22,B x y ，可得韦达定理的结论，又以AB 为直径的圆过原点O 得12120x x y y+=，代入可求得2=±m ，根据中点坐标公式求得圆E 的圆心的纵坐标，从而可求出答案．【详解】解：（1）由题意可得2223c e a a b c ⎧==⎪=+=⎪⎩， 解得13a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴双曲线C 的方程为2218y x -=；（2）易知直线AB 与x 轴不重合，设直线AB 的方程为2x my =+，联立方程22182y x x my ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，可得()228132240m y my -++=， 上述方程式的判别式()232830m ∆=+>，以及2810m -≠（否则直线l 不能与双曲线交两点）， 设()11,Ax y ，()22,B x y ，则1223281m y y m +=--，1222481y y m =-， 同时可得()()()2212121212284222481m x x my my m y y m y y m +=++=+++=--，以AB 为直径的圆过原点O ，知12120x x y y +=，结合2810m -≠，可知28424m +=，=m ， ∴圆E 的圆心即AB中点的纵坐标为12216281y y m m +=-=-， ∵抛物线24x y =的准线方程为1y =-，∴圆E 的圆心到抛物线24x y =的准线距离为1+1． 【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查计算能力，考查转化与化归思想，属于中档题． 21.设函数()3ln aef x x b x=-+，0x >，其中e 为欧拉数，a ，b 为未知实数，且0a >.如果()0,e 和(),e ∞均为函数()f x 的单调区间.（1）求a ； （2）若函数()()3hx f x cx =+在()()0,,e e ⋃∞上有极值点，c 为实数，求c 的取值范围.【答案】（1）3a =（2）22,0,e e ⎛⎫⎛⎫-⋃∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】（1）令()3ln 3ln ae aeg x xx x x=-=-，0x >，求导得函数()g x 在()0,∞上单调递增，设()0g x =的唯一根为0x ，则0x 满足003ln aex x =，由题设得0x e =， 由此可得答案； （2）由题意得存在()()00,,x e e ∈⋃∞，使得()0h x '=，再分类讨论结合一元二次方程根的分布即可求出答案．【详解】解：（1）令()3ln 3ln ae aeg x xx x x=-=-，0x >， ∴()23)0aeg x x x'=+>（因0a >，0x >）， ∴函数()gx 在()0,∞上单调递增，设()0gx =的唯一根为0x ，即0x 满足003ln ae x x =，（利用3ln x ，ae x的函数图象很容易确定） 于是，当()00,x x ∈时，()0g x <，而当()0,x x ∈∞时，()0g x >， 从而，当()00,x x ∈时，()3ln aef x x b x =-+， 当()0,x x ∈∞时，()3ln aef x x b x=-+， 可知，()00,x 为()f x 的单调递减区间，()0,∞x 为()f x 的单调递增区间，进而，由题设得0x e =， 因此，003ln 3x x a e==； （2）若函数()()3hx f x cx =+在()()0,,e e ⋃∞上有极值点，则易知存在()()00,,x e e ∈⋃∞，使得()0h x '=，注意到()()()22333,0,333,,e c x e x xh x e c x e x x ⎧--+∈⎪⎪=⎨⎪++∈'∞⎪⎩，①若23330e c x x --+=在()0,e 上有根，等价于20ey y c +-=在1,e ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭上有解，由一元二次方程根的分布可得，只需满足2110e c e e⎛⎫+-< ⎪⎝⎭，解得2c e >； ②若23330e c x x ++=在(),e ∞上有根，等价于20ey y c ++=在10,e ⎛⎫⎪⎝⎭上有解， 由一元二次方程根的分布可得，只需满足0c <且2110e c e e⎛⎫++> ⎪⎝⎭，解得20c e -<<；综上，c 的取值范围为22,0,e e ⎛⎫⎛⎫-⋃∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查分类讨论思想，考查计算能力与推理能力，属于难题． （二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.[选修4-5：不等式选讲] 22.设()f x 为定义于()0,1上的函数，满足：（1）对任意()0,1x ∈，都有()0f x >；（2）对任意x ，()0,1y ∈，都有()()()()121f x f x f y f y -+≤-. 求证：()f x 在()0,1上的导数恒为零.【答案】证明见解析； 【分析】由题意可得，对任意x ，()0,1y ∈，都有()f x ，()1f x -，()f y ，()10f y ->， 由()()()()121f x f x f y f y -+≤-得()()()()()()1121f x f y f y f x f y f y -+-≤-，令1x y=-，可得()()()()()()221210f x f x f x f x +---≤，即()()()210f x f x --≤，则()()1f x f x =-，于是()()()()121f x f x f y f y -+≤-化为()()22f x f y ≤，即()()f x f y ≤，同理，亦有()()f y f x ≤，则()()f x f y =，由此得证．【详解】证明：要证明()f x 在()0,1上的导数恒为零，等价于证明()f x 在()0,1上恒为常数；因对任意()0,1x ∈，都有()0f x >，故对任意x ，()0,1y ∈，都有()f x ，()1f x -，()f y ，()10f y ->，对任意x ，()0,1y ∈，都有()()()()121f x f x f y f y -+≤-， 故有()()()()()()1121f x f y f y f x f y f y -+-≤-，因上式对于任意()0,1x ∈都成立，故令1x y =-，可得()()()()()()221210f x f x f x f x +---≤，即()()()210f x f x --≤，∴()()1f x f x =-，()0,1x ∀∈，于是，()()()()121f x f x f y f y -+≤-可化为()()22f x f y ≤，即()()f x f y ≤，x ∀，()0,1y ∈， 同理，亦有()()f y f x ≤，x ∀，()0,1y ∈， 因此，x ∀，()0,1y ∈，()()f x f y =，即得证()f x 在()0,1上恒为一个常数，∴()f x 在()0,1上的导数恒为零．【点睛】本题主要考查抽象函数的导数的应用，考查转化与化归思想，考查计算能力，属于难题． [选修2-2，推理与证明] 23.设数列{}n a 为非负实数列，且满足1220k k k a a a ++-+≥，11ki i a =≤∑，1k =，2，….求证：1220k k a a k +≤-<，1k =，2，….【答案】证明见解析； 【分析】先证10k k a a --≥，1k=，2，…，反证法，若存在某个01k ≥，使得001k k a a +<，则有从0k a 起，非负数列{}n a 单调递增，从而得出矛盾，得到假设不成立； 再证122kk a a k+-<，1k =，2，…，令10k k k b a a +=-≥，则1k k k a a b ++=，有题意可知1k k b b +≥，再由条件可得到123123k b b b kb ≥+++⋅⋅⋅+()()1122k k k k k b b +≥++⋅⋅⋅+=，由此即可证明． 【详解】证明：先证10k k a a --≥，1k=，2，…，21若存在某个01k ≥，使得001k k a a +<，则有000001122k k k k k a a a a a ++++≤-+<，即从0k a 起，非负数列{}n a 单调递增， ∴1kii a =∑将随着k 的增加而趋于正无穷，不可能永远小于等于1， 即与11k ii a =≤∑，1k =，2，…矛盾， 故10k k a a +-≥，1k=，2，…； 再证122k k a a k+-<，1k =，2，…， 令10k k k b a a +=-≥，1k =，2，…，则1k k k a a b ++=，由1220k k k a a a ++-+≥可知1k k b b +≥，1k=，2，…， 又因123411ki k i a a a a a a =≥=++++⋅⋅⋅+∑12342k b a a a a =++++⋅⋅⋅+12323k b b a a =+++⋅⋅⋅+123123k k b b b kb ka +=+++⋅⋅⋅++12323k b b b kb ≥+++⋅⋅⋅+，故有()()1231123122k k k k k b b b kb k b b +≥+++⋅⋅⋅+≥++⋅⋅⋅+=， ∴()2221k b k k k ≤<+，即证得122k k a a k +-<，1k =，2，…； 综上：1220k k a a k +≤-<，1k =，2，…． 【点睛】本题主要考查反证法证明不等式，考查数列的递推公式的应用，考查推理能力与计算能力，属于难题．。
清华大学中学生标准学术能力(TDA)诊断性测试2024-2025学年高二上学期数学试卷和答案
标准学术能力诊断性测试2024年9月测试数学试卷（A 卷）本试卷共150分，考试时间90分钟.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设,a b ∈R ，则“22log log a b >”是“1122b a ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.集合(){}{}22ln 23,23,A x y x x B y y x x x A ==--==-+∈∣∣，则A B ⋂=R ð（）A.(),1∞-- B.()(],13,6∞--⋃C.()3,∞+ D.()[),16,∞∞--⋃+3.已知复数z 满足5z z ⋅=，则24i z -+的最大值为（）C. D.4.已知非零向量,a b 满足3a b = ，向量a 在向量b 方向上的投影向量是9b - ，则a 与b 夹角的余弦值为（） A.33 B.13 C.33- D.13-5.设函数()f x 的定义域为R ，且()()()()42,2f x f x f x f x -++=+=-，当[]1,2x ∈时，()()()2,303f x ax x b f f =+++=-，则b a -=（）A.9-B.6-C.6D.96.班级里有50名学生，在一次考试中统计出平均分为80分，方差为70，后来发现有3名同学的分数登错了，甲实际得60分却记成了75分，乙实际得80分却记成了90分，丙实际得90分却记成了65分，则关于更正后的平均分和方差分别是（）A.82，73 B.80，73 C.82，67D.80，677.已知()sin 404cos50cos40cos θθ-=⋅⋅ ，且ππ,22θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则θ=（）A.π3- B.π6- C.π6 D.π38.已知函数()2221x f x x =-++，则不等式()()2232f t f t +->的解集为（）A.()(),13,∞∞--⋃+ B.()1,3- C.()(),31,∞∞--⋃+ D.()3,1-二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对但不全得3分，有错选的得0分.9.已知实数,,a b c 满足0a b c <<<，则下列结论正确的是（）A.11a c b c>-- B.a a c b b c +<+C.b c a c a b --> D.2ac b bc ab+<+10.已知函数()sin3cos3f x a x x =-，且()3π4f x f ⎛⎫≤⎪⎝⎭对任意的x ∈R 恒成立，则下列结论正确的是（）A.1a =±B.()f x 的图象关于点π,04⎛⎫ ⎪⎝⎭对称C.将()f x 的图象向左移π12个单位，得到的图象关于y 轴对称D.当π23π,1236x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，满足()2f x ≤-成立的x 的取值范围是π7π,3636⎡⎤-⎢⎥⎣⎦11.在长方体1111ABCD A B C D -中，已知4,2AB BC ==，13,AA M N =､分别为1111B C A B ､的中点，则下列结论正确的是（）A.异面直线BM 与AC 所成角的余弦值为7210B.点T 为长方形ABCD 内一点，满足1D T ∥平面BMN 时，1D T的最小值为5C.三棱锥1B B MN -的外接球的体积为14πD.过点,,D M N 的平面截长方体1111ABCD A B C D -所得的截面周长为+三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若实数,x y 满足1232,34x y x y ≤+≤≤-+≤，则x y +的取值范围是__________.13.如图所示，在梯形ABCD 中，1,3AE AB AD =∥,3,BC BC AD CE =与BD 交于点O ，若AO x AD y AB =+ ，则x y -=__________.14.在四面体ABCD 中，3,,CD AD CD BC CD =⊥⊥，且AD 与BC 所成的角为30 .若四面体ABCD 的体积为2，则它的外接球表面积的最小值为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）已知复数12213i z =-+=--.（1）若12z z z =，求z ；（2）在复平面内，复数12,z z 对应的向量分别是,OA OB ，其中O 是原点，求AOB ∠的大小.16.（15分）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且cos cos 1a C b A c -+=.（1）求角A ；（2）已知b D =为BC 边上一点，且2,BD BAC ADC ∠∠==，求AD 的长.17.（15分）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，PA ⊥平面ABCD ，点Q 为PA 的三等分点，满足13PQ PA =.（1）设平面QCD 与直线PB 相交于点S ，求证：QS ∥CD ；（2）若3,2,60,AB AD DAB PA ∠==== ，求直线CQ 与平面PAD 所成角的大小.18.（17分）甲､乙两位同学进行投篮训练，每个人投3次，甲同学投篮的命中率为p ，乙同学投篮的命中率为()q p q >，且在投篮中每人每次是否命中的结果互不影响.已知每次投篮甲､乙同时命中的概率为15，恰有一人命中的概率为815.（1）求,p q 的值；（2）求甲､乙两人投篮总共命中两次的概率.19.（17分）已知函数()233x x f x a --=⋅+是偶函数，()246h x x x =-+.（1）求函数()e 2x y h a =-的零点；（2）当[],x m n ∈时，函数(()h f x 与()f x 的值域相同，求n m -的最大值.标准学术能力诊断性测试2024年9月测试数学（A卷）参考答案一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.12345678A B C C D B A C二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对但不全的得3分，有错选的得0分.91011AD BC BD三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.21,55⎡⎤-⎢⎥⎣⎦13.11114.73π-四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）解：（1）()() ()()12224i13i24i26i4i127i13i13i13i19i5 zzz-+---++-++ =====-+-+---5z∴==（2）依题意向量()()2,4,1,3OA OB=-=--于是有()()()214310OA OB⋅=-⨯-+⨯-=-OA OB====AOB∠为OA 与OB 的夹角，2cos2OA OBAOBOA OB∠⋅∴==-[]0,πAOB∠∈，3π4AOB∠∴=16.（15分）解：（1）由正弦定理可得：cos sin cos sin cos 1sin a C b A C B A c C--+==()cos 1sin sin cos sin A C A C B ∴+=-，由()sin sin B A C =+可得：()cos sin sin sin cos sin A C C A C A C ⋅+=-+，cos sin sin sin cos sin cos cos sin A C C A C A C A C ⋅+=--，cos sin sin cos sin A C C A C∴⋅+=-sin 0C ≠ 可得：cos 1cos A A +=-，1cos 2A ∴=-，()0,πA ∈ ，2π3A ∴=（2）,BAC ADC BCA ACD ∠∠∠∠== ，BAC ∴ 与ADC 相似，满足：AC BC CD AC =，设CD x =，则有3x =解得：1,3x x ==-（舍去），即：1CD =2π3ADC BAC ∠∠== ，在ADC 中，由余弦定理可得：2222πcos 32AD CD AC AD CD+-=⋅⋅，即：211221AD AD +--=⨯⨯解得：1,2AD AD ==-（舍去），AD ∴的长为117.（15分）解：（1）证明：因为平面QCD 与直线PB 相交于点S ，所以平面QCD ⋂平面PAB QS=因为四边形ABCD 为平行四边形，AB ∴∥CD ，AB ⊄ 平面,QCD CD ⊂平面,QCD AB ∴∥平面QCDAB ⊂ 平面PAB ，平面QCD ⋂平面,PAB QS AB =∴∥QS ，AB ∥,CD QS ∴∥CD（2）过点C 作CH AD ⊥于点H ，PA ⊥ 平面,ABCD PA ⊂平面PAD ，所以平面PAD ⊥平面ABCD ，因为平面PAD ⋂平面ABCD AD =，且CH AD ⊥，CH ∴⊥平面PAD连接,QH CQH ∠∴是直线CQ 与平面PAD 所成的角因为点Q 为PA 的三等分点，232,223PA QA PA =∴==，在Rt DCH 中，333sin602CH =⋅= 在ACD 中，利用余弦定理可得：222223cos120,19223AC AC +-=∴=⨯⨯ ，在Rt QAC 中，222(22)1933QC QA AC =+=+=在Rt QCH 中，3312sin 233CH CQH CQ ∠===，可得π6CQH ∠=，即直线CQ 与平面PAD 所成的角等于π618.（17分）解：（1）设事件A ：甲投篮命中，事件B ：乙投篮命中，甲､乙投篮同时命中的事件为C ，则C AB =，恰有一人命中的事件为D ，则D AB AB =⋃，由于两人投篮互不影响，且在投篮中每人每次是否命中的结果互不影响，所以A 与B 相互独立，,AB AB 互斥，所以：()()()()P C P AB P A P B ==⋅()(()()(()()()P D P AB AB P AB P AB P A P B P A P B =⋃=+=⋅+⋅可得：()()1581115pq p q p q ⎧=⎪⎪⎨⎪-+-=⎪⎩解得：1335p q ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或3315,,,1533p p q p q q ⎧=⎪⎪>∴==⎨⎪=⎪⎩（2）设i A ：甲投篮命中了i 次；j B ：乙投篮命中了j 次，,0,1,2,3i j =，()30285125P A ⎛⎫== ⎪⎝⎭()2213223223365555555125P A ⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()2223232323545555555125P A ⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()3028327P B ⎛⎫== ⎪⎝⎭()2211221221433333339P B ⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()2222112112233333339P B ⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设E ：甲､乙两人投篮总共命中两次，则021120E A B A B A B =++由于i A 与j B 相互独立，021120,,A B A B A B 互斥，()()()()()()()()021*********P E P A B A B A B P A P B P A P B P A P B ∴=++=⋅+⋅+⋅8236454830412591259125271125=⨯+⨯+⨯=19.（17分）解：（1）()233x x f x a --=⋅+ 是偶函数，则()()f x f x -=，即11333399x x x x a a --⋅+=⋅+，()113309x x a -⎛⎫∴--= ⎪⎝⎭，由x 的任意性得119a =，即9a =()246h x x x =-+ ，()()()()()22e 2e 4e 618e 4e 12e 6e 2x xx x x x x y h a ∴=-=-⋅+-=-⋅-=-+，令()()e 6e 20x x -+=，则e 6x =或e 2x =-（舍去），即ln6x =，()e 2x y h a ∴=-有一个零点，为ln6（2）设当[],x m n ∈时，函数()f x 的值域为[],s t ，则函数()()h f x 的值域也为[],s t ，由（1）知()2933332x x x x f x ---=⋅+=+≥=当且仅当33x x -=，即0x =时等号成立，令()p f x =，则2p ≥，()2246(2)2h x x x x =-+=-+ 在区间[)2,∞+上单调递增，所以当[],p s t ∈时，()2,s h p ≥的值域为()(),h s h t ⎡⎤⎣⎦，即()()h s s h t t ⎧=⎪⎨=⎪⎩，则224646s s s t t t ⎧-+=⎨-+=⎩，即,s t 为方程246x x x -+=的两个根，解得23s t =⎧⎨=⎩，所以当[],x m n ∈时，()f x 的值域为[]2,3令()30x x λ=>，则()133,1x x y f x λλλ-==+=+>，3x λ= 在()0,∞+上单调递增，对勾函数1y λλ=+在()1,∞+上单调递增，由复合函数的单调性知，()f x 在()0,∞+上单调递增，()f x 是偶函数，()f x ∴在(),0∞-上单调递减令()3f x =，即333x x -+=，解得332x +=或332x =，即33log 2x +=或33log 2x -=，故n m -的最大值为3333535735log log log 222-+-=答案解析1.A【解析】由22log log a b >可得0a b >>，由1122b a⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得a b >，由a b >得不到0a b >>，故必要性不成立；由0a b >>可以得到a b >，故充分性成立，则“22log log a b >”是“1122b a ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”的充分不必要条件.2.B 【解析】集合(){}{}22ln 23230A x y x x x x x ==--=-->∣∣()(){}310{13},x x x x x x =-+>=<->∣∣或集合{}{}223,6B yy x x x A y y ==-+∈=>∣∣，{}()(]6,,13,6B y y A B ∞=≤∴⋂=--⋃R R ∣3.C【解析】复数z 满足5z z ⋅=，设22i,5z a b z z a b =+⋅=+=，()()2224i 24i (2)(4)z a b a b -+=-++=-++，则点()2,4-到圆225a b +=+=4.C【解析】设非零向量,a b 夹角为θ，向量a 在向量b 方向上的投影向量是39b - ，则cos ,39b a a b b θ⨯=-= ∣，解得3cos 3θ=-.5.D【解析】()()42f x f x -++= ，取()()1,312x f f =+=，()()()321211f f a b a b =-=-++=--，()()2f x f x +=- ，取()()0,2042x f f a b ===++，()()303,1423,2f f a b a b a +=---+++=-=- ，()()42f x f x -++= ，取2x =，则()21f =，则7b =，则729b a -=+=.6.B【解析】设更正前甲，乙，丙 的成绩依次为12350,,,,a a a a ，则12505080a a a +++=⨯ ，即507590655080a ++++=⨯ ，()222250(7580)(9080)(6580)807050a -+-+-++-=⨯ ，更正后平均分：()5016080908050x a =++++= ，()22222501(6080)(8080)(9080)807350s a ⎡⎤=-+-+-++-=⎣⎦ .7.A 【解析】()sin 40sin40cos cos40sin θθθ-=- 4cos50cos40cos 4sin40cos40cos θθ=⋅⋅=⋅⋅ 1cot40tan 4cos40θ⇒-=14cos40tan cot40θ-⇒=sin404sin40cos40cos40-=()sin 30102sin80cos40+-= 13cos102cos1022cos40+-=3313sin10cos10sin10cos102222cos40cos40--==()()sin 1060sin 50cos40cos40--===πππ,,223θθ⎛⎫∈-∴=- ⎪⎝⎭.8.C【解析】设()()21121x g x f x x =-=-++，()()2221112121x x x g x f x x x -⋅-=--=--+=--+++，()()2221102121x x x g x g x x x ⎛⎫⋅+-=-++--+= ⎪++⎝⎭，设()()1212121222,112121x x x x g x g x x x ⎛⎫⎛⎫>-=-+--+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()()()()()122121121222222021212121x x x x x x x x x x -⎛⎫=-+-=-+> ⎪++++⎝⎭，故()g x 为奇函数，且单调递增，()()()()()()22223212310230f t f t f t f t g t g t +->⇒-+-->⇒+->，()()()()()222302332g t g t g t g t g t +->⇒>--=-，故232t t >-，解得()(),31,t ∞∞∈--⋃+.9.AD【解析】A.0a b c <<<，可得a c b c -<-，故11a c b c>--，A 正确；B.设不等式成立，则()()a a c b c b b c b b b c++<++，可得ab ac ab bc +<+，即ac bc <，由0a b c <<<可得ac bc >，故假设不成立，B 错误；C.不妨假设211313210,,1332b c a c a b c a b --+--+=-<=-<=-<====--，故,C b c a c a b --<错误；D.设不等式成立，()()22,,,0ac b bc ab ac bc ab b a b c a b b a b c +<+-<--<-<<< ，()()a b c a b b -<-成立，故2ac b bc ab +<+成立，D 正确.10.BC【解析】A.()()sin3cos33sin 0,cos πf x a x x x ϕϕϕϕ⎛⎫=-=+=-=≤ ⎪⎝⎭()3π4f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对任意x ∈R 恒成立，()f x ∴在3π4x =处取得极值，即3ππ3π42k ϕ⨯+=+，解得7π3ππ,sin 0,π,,sin 4422k ϕϕϕϕϕϕ=-+=-≤∴=-=-=- ，可求得1a =-，A 错误；B.()()3ππ3,0,44f x x f f x ⎛⎫⎛⎫=-=∴ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象关于点π,04⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，B 正确；C.将()f x 的图象向左平移π12个单位，得到()π3ππ3331242g x x x x ⎛⎫⎛⎫=+⨯-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数图象关于y 轴对称，C 正确；D.()3π2342f x x ⎛⎫=-≤- ⎪⎝⎭，即3π1sin 342x ⎛⎫-≤- ⎪⎝⎭，7π3π11π2π32π646k x k ∴+≤-≤+，解得23π231π2ππ363363k x k +≤≤+，由题意知π23π,1236x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，符合条件的k 的取值为1,0-，当1k =-时，π7π3636x -≤≤，均在定义域内，满足条件，当0k =时，23π31π3636x ≤≤，此时仅有23π36x =满足条件，所以满足()22f x ≤-成立的x 的取值范围为π7π23π,363636⎡⎤⎧⎫-⋃⎨⎬⎢⎣⎦⎩⎭，D 错误.11.BD【解析】A.MN ∥,AC BMN ∠∴为直线MN 与AC 所成角，在BMN 中，根据余弦定理可知222cos 2BM MN BN BMN BM MN∠+-=⋅，422BM MN BN ======，代入求得cos 10BMN A ∠=错误；B.取AD 的中点E ，取CD F ，取11A D 的中点S ，连接11,,,,EF D E D F AS SM ，SM ∥,AB AS ∥BM ，所以四边形ABMS 是平行四边形，AS ∥BM 且AS ∥11,D E D E ∴∥1BM D E ∴∥平面BMN ，同理可得1D F ∥平面BMN ，1DT ∥平面,BMN T ∈平面ABCD ，所以点T 的运动轨迹为线段EF ，在1ΔD EF 中，过点1D 作1D T EF ⊥，此时1D T 取得最小值，由题意可知，11D E D F EF ===，1111sin sin sin 105D EF BMN D T D E D EF ∠∠∠====，B 正确；C.取MN 的中点1O ，连接11B O ，则1111O N O M O B ==，过点1O 作1OO ∥1BB ，且111322OO BB ==，OM ∴为外接球的半径，在1Rt MB N 中，MN =，2R OM ∴==，34ππ,33V R C ∴==球错误；D.由平面11AA D D ∥平面11BB C C 得，过点,,D M N 的平面必与11,AA C C 有交点，设过点,,D M N 的平面与平面11AA D D 和平面11BB C C 分别交于,DO PM DO ∴∥,PM 同理可得DP ∥,ON 过点,,D M N 的平面截长方体1111ABCD A B C D -所得的截面图形为五边形DPMNO ，如图所示，以D 为坐标原点，以1,,DA DC DD 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设,AO m CP n ==，则()()()()()0,0,0,2,0,,0,4,,1,4,3,2,2,3D O m P n M N ，()()()()0,2,3,1,0,3,2,0,,0,4,ON m PM n DO m DP n ∴=-=-== ，DP ∥,ON DO ∥PM ，()()2323m n n m ⎧=-⎪∴⎨=-⎪⎩，解得2m n ==，DO DP ∴==ON PM MN ====，所以五边形DPMNO 的周长为DO DP ON PM MN ++++==+，D 正确.12.21,55⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】令()()()()2323x y m x y n x y m n x m n y +=++-+=-++，2131m n m n -=⎧∴⎨+=⎩，解得()()2121,,235555m n x y x y x y ==-∴+=+--+，1232,34x y x y ≤+≤≤-+≤ ，则()()22441323,555555x y x y ≤+≤-≤--+≤-，24435555x y ∴-≤+≤-，即21,55x y ⎡⎤+∈-⎢⎣⎦.13.111【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，设1AD =，则3BC =，()()()()220,0,3,0,,,1,,,33B C A m n D m n E m n ⎛⎫∴+ ⎪⎝⎭，所以直线BD 的方程为1n y x m =+，直线CE 的方程为()2329n y x m =--，联立两直线方程求得()()666655,,,,1,0,,11111111m n m n O AO AD AB m n +-⎛⎫⎛⎫∴=-==-- ⎪ ⎝⎭⎝⎭ ，6511,511m x my AO xAD y AB n ny -⎧=-⎪⎪=+∴⎨⎪-=-⎪⎩ ，解得651,,111111x y x y ==∴-=.14.73π-【解析】依题意，可将四面体ABCD 补形为如图所示的直三棱柱ADE FCB -，AD 与BC 所成的角为30 ，30BCF ∠∴= 或150，设,CB x CF y ==，外接球半径记为R ，外接球的球心如图点O ，11113sin 23324ABCD CBF V DC S xy BCF xy ∠⎛⎫∴=⋅⋅=⨯⨯== ⎪⎝⎭ ，解得8xy =，在2Rt OCO 中，2222222223922sin 4BF R OC OO CO BF BCF ∠⎛⎫⎛⎫==+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，在BCF 中，由余弦定理可得2222cos BF BC CF BC CF BCF ∠=+-⋅⋅，要使外接球表面积最小，则R 要尽可能小，则BCF ∠应取30 ，(2222BF x y xy ∴=+≥-，当且仅当x y =时取等，(22min 99732444R BF xy ∴=+=+=-所以外接球表面积的最小值2min min 4π73πS R ==-.。
清华大学中学生标准学术能力诊断性测试2020届高三5月(THUSSAT)文科数学试题 (含答案)
32
3
2
所以 h = 3 ． 2
………………12 分
20．解：设点 A( x1, y1 ) ， B ( x2 , y2 ) ，中点 M (t,1) ，
直线 AB 的斜率为 k ，（ k 斜率显然存在且不为 0 ）．
由
x12 x22
= =
4 y1, 4 y2 ,
可得 ( x1 − x2 )( x1 + x2 ) = 4( y1 − y2 ) ，
第2页 共 5 页
y N
B M
OA
x
（第 20 题）
所以
x1
+
x2
=
4
y1 x1
− −
y2 x2
，故
2t
=
4k
，
………………3 分
（1）直线 MN : y −1 = − 1 ( x − t ) ，即 y −1 = − 1 ( x − 2k ) ，解得点 N (0,3) ；………6 分
k
k
（2）因为直线 AB 经过点 M (t,1) ，直线 AB 的斜率为 k ，
C．
1 e
,
+
D． (e, +)
( ) ( ) 7．数列 an 的前 n 项和 Sn = 2n2 − 3n n N* ，若 p + q = 5 p, q N* ，则 ap + aq =
A． 6
B． 8
C． 9
D．10
8．已知 x, y R ，“ x + y 1 且 x − y 1 ”是“ | x | + | y | 1”的
A．[2, 4)
B． (−1, +)
C．[2, +)
全国卷新课标2020年1月诊断性测试理科数学试卷
递增区间．
18．（12 分）如图，多面体 ABCDFE 中，四边形 ABEF 和四边形 CDFE 是
两个全等的菱形， AB = 2 , BAF = ECD = 60 ．
（1）求证： BD ⊥ DC ；
（2）如果二面角 B − EF − D 的平面角为 60 ，求直线 BD 与平面 BCE 所
B．双曲线
C．椭圆
D．抛物线
（第 10 题图）
11．已知函数 f (x) = (ln x −1)(x − 2)i − m(i = 1, 2) , e 是自然对数的底数，存在 m R
A．当 i = 1时， f (x) 零点个数可能有 3 个
B．当 i = 1时， f (x) 零点个数可能有 4 个
C．当 i = 2 时， f (x) 零点个数可能有 3 个
( ) 1,2 时，求 S△OMP 的取值范围． S△ONP
（第 20 题图）
21．（12 分）已知函数 f (x) = (x +1)(ex −1) ．
（1）求 f (x) 在点（-1, f (−1)) 处的切线方程；
（2）若方程
f
(x)
=
b
有两个实数根
x1,
x2
，且
x1
x2
，证明：
x2
−
（第 18 题图）
成角的正弦值．
19．（12 分）已知等比数列{an}的公比 q 1，且 a1 + a3 + a5 = 42, a3 + 9 是 a1 , a5 的等差中项．数列
{bn} 的通项公式 bn =
2n
,nN*．
an −1 + an+1 −1
（1）求数列{an}的通项公式；
中学生标准学术能力诊断性测试2020年1月试题 生物-含答案
中学生标准学术能力诊断性测试2020年1月测试生物试卷本试卷共300分，考试时间150分钟。
一、选择题：本题共13小题，每小题6分，共78分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.2019年9月11日，我国科学家发表了世界首例通过基因编辑干细胞治疗艾滋病案例的相关研究。
HIV侵染人体后与T细胞表面CD4和CCR5受体结合，破坏人体的免疫系统。
该研究采用基因编辑技术对患者的成体造血干细胞中的CCR5基因进行编辑后，将编辑细胞移植回艾滋病患者体内。
下列有关叙述正确的是A.CD4和CCR5受体的化学本质是糖蛋白，与HIV结合的过程体现了质膜具有细胞间信息交流的功能B.CD4和CCR5基因仅存在于人体的T细胞中，表达时需要RNA聚合酶参与C.被改造的造血干细胞具有全能性，可以分化为带异常CCR5受体的T细胞D.被HIV感染的T细胞的清除属于细胞凋亡，此凋亡使得人体的特异性免疫功能下降2.中科院覃重军团队用基因编辑的方法将酿酒酵母中16条天然染色体合成为1条，创建出国际首例人造单染色体真核细胞SY14，打开了“人造生命”的大门。
有关说法正确的是A.SY14的细胞壁具有支持保护作用，可被纤维素酶和果胶酶温和去除B.SY14的遗传物质是DNA，合成蛋白质时边转录边翻译C.SY14的形成发生了染色体的结构变异和数目变异D.SY14细胞膜的组成成分从外到里依次为糖类、蛋白质、磷脂分子3.生物学上的分子马达是把化学能直接转换为机械能的一类蛋白大分子的总称。
ATP合成酶－旋转分子马达之一，被称为生命能量的“印钞机”，其作用机理如图所示，下列说法错误的是A.该酶与生物膜结合后能催化合成ATP，A TP的水解通常与放能反应联系B.由于细菌细胞无其他的生物膜结构，该酶应分布于细胞膜上C.H＋跨该膜的运输方式是协助扩散，因其顺浓度梯度运输且需载体协助D.该酶所催化的反应在细胞中是时刻不停发生并与ATP的水解处于动态平衡4..安哥拉兔体色的遗传受一对等位基因S(黑色)和s(白色)控制，某地一个随机交配的大种群中，S和s的基因频率各占一半，现逐代人工选择，淘汰白色兔子。
中学生标准学术能力诊断性测试2024年1月测试语文试题及答案解析
中学生标准学术能力诊断性测试2024年1月测试语文试题一、现代文阅读（35分）（一）论述类文本阅读（本题共5小题，17分）阅读下面的文字，完成1-5题。
材料一：所谓“搭子社交”，就是指通过社交平台或应用程序，以寻找共同兴趣、目标或者活动为前提的社交方式。
“搭子”社交覆盖了诸多领域，例如“饭搭子”“旅游搭子”“羽毛球搭子”等。
年轻人通过不同类型的“搭子”探索并创造属于自己的社交网络，满足了个人在不同生活方面的社交需求。
搭子社交的目标是通过提供精准的陪伴，满足用户在特定领域中的社交需求。
一方面，通过搭子社交，人们可以参与到各种有趣的活动中，拓宽自己的社交圈子，结交更多志同道合的朋友。
另一方面，在这里，人们可以找到更多同样喜欢某一活动或话题的人，相互交流经验、分享资源，进一步提升各自的技能和知识水平。
在过度社交化的时代，人们正在经历“熟人社交倦怠”。
人们常常采取各种“断连”的方式来逃避过度连接的社会环境。
“反连接”并不是指无条件断绝一切关系，而是断绝特定情境下可能给个体带来过大压力和负担的关系，使个体重新获得必要的私人空间、时间和自由。
年轻人在建立搭子关系时，通常会选择避开当前的圈子，与陌生人建立联系。
因此，他们更加注重搭子关系的实用性，保持一定的社交距离，通过默契的距离感的维持，双方可以轻松地待在自己的舒适区，无需假装熟悉或频繁互动。
对于在大城市奋斗的年轻人来说，父母的关怀往往受到地理距离的限制，朋友之间需要“跨越半个城市或者多个时区”才能见面，而爱情也并不容易获得。
因此，年轻人常常会面临孤独的时刻，需要独自进行一些活动来填补这种空虚感。
年轻人倾向与陌生人进行社交，可能是因为他们更有动力去寻找新的人际关系，以满足他们的社交需求、开拓个人发展的机会，并获得新的信息和资源。
可以说，搭子社交之所以流行，是因为它成为了传统固定关系的补充。
（摘编自腾讯媒体研究院2023-09-08《“搭子”社交：一种特定情境下的精准陪伴关系》）材料二：中国传统社会具有安土重迁、世代稳定的特点，在日常的生产劳作中，形成了以差序格局为基础的熟人社会。
2020届清华大学中学生标准学术能力诊断性测试高三5月测试数学(文)试题(一卷)解析
绝密★启用前2020届清华大学中学生标准学术能力诊断性测试高三5月测试数学（文）试题（一卷）学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．已知集合{}{}14,2P x x Q x x =-<<=<，那么()R P C Q ⋂=（）A ．[)2,4B ．()1,-+∞C ．[)2,+∞D ．(]1,2- 答案：A {}2R C Q x x =≥，所以()[)2,4R P C Q ⋂=，选A.2．已知复数z 满足4z i i =-（其中i 为虚数单位），则z 的虚部为（） A ．4iB ．4C ．1D ．1- 答案：B把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．解： 由4z i i=-，得2(4)414z i i i i i =-=-=+． ∴复数z 的虚部是4．故选：B ．点评：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．已知实数x ，y 满足约束条件222y x y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则3x y +的最大值为（）A ．2B ．6C ．8D ．12答案：C先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，3z x y =+表示直线在y 轴上的截距，只需求出可行域直线在y 轴上的截距最大值即可．解：先根据约束条件画出可行域，作直线30x y +=，讲直线30x y +=平移，当过点(2,2)时，3x y +取得最大值 ()max 33228x y +=⨯+=故选：C ．点评：本题主要考查线性规划问题，以及利用几何意义求最值，属于基础题．4．已知实数a ，b 满足5a b +=，23log log a b =，则ab =（）A ．2B ．3C ．5D ．6 答案：D设23log log a b k ==，则2k a =，3k b =，再利用5a b +=即可求出k 的值，进而求出a ，b 的值．解：设23log log a b k ==，则2k a =，3k b =，235k k a b ∴+=+=，1k ∴=，2a ∴=，3b =，∴236ab =⨯=故选：D ．点评：本题主要考查了对数式与指数式的互化，以及对数的运算性质，是基础题．5．已知向量a r ，b r 满足1a =r ，2a b -=r r 且a b ⊥r r ，则向量a r 与a b -r r 的夹角为（）A ．2π3B ．π3C ．5π6D ．π6答案：B根据()a b b -⊥r r r 即可得出()0a b b -=r r r g ，从而得出·1a b =r r ，进而得出1cos ,2a b <>=r r ，根据向量夹角的范围即可求出夹角．解：Q a b ⊥r r ，∴0a b ⋅=r r∴()21a a b a a b ⋅-=-⋅=r r r r r r 设向量a r 与a b -r r 的夹角为θ∴()1cos 2a a b a a b θ⋅-==-r r r r r r ∵()0,θπ∈∴3πθ=故选：B ．点评：考查向量垂直的充要条件，以及向量数量积的运算，向量夹角的余弦公式，属于中档题．6．已知函数()ln f x x x =，则函数()f x 的单调递增区间为（）A ．RB ．()0,∞+C ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．(),e +∞答案：C 求()ln f x x x =的导数()f x '，由()0f x '>，即可求得答案．解：()ln 1f x x '=+Q ，令()0f x '>得：ln 1x >-，11x e e-∴>=． ∴函数()ln f x x x =的单调递增区间为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭． 故选：C ．点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，易错点在于忽视函数的定义域，属于中档题．7．数列{}n a 的前n 项和()2*23n S n n n =-∈N ，若5p q +=()*,p q ∈N ，则p q a a +=（）A ．6B ．8C ．9D ．10答案：D 当1n =时，可得1a ，当2n …时，1n n n a S S -=-，验证1n =时是否适合可得通项公式，代入通项公式求解可得结果．解：当1n =时，11231a S ==-=-，当2n …时，221232(1)3(1)45n n n a S S n n n n n -=-=---+-=-， 当1n =时，上式也适合，∴数列{}n a 的通项公式为：45n a n =-∴()454541010p q a a p q p q +=-+-=+-=故选：D ．点评：本题考查等差数列的前n 项和公式和通项公式的关系，属中档题．8．已知x ，y ∈R ，“1x y +≤且1x y -≤”是“1x y +≤”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：C作出不等式组对应的平面区域，利用区域关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解： 1x y +≤且1x y -≤等价于1111x y x y -≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩ 1x y +≤等价于()()()()10,010,010,010,0x y x y x y x y x y x y x y x y ⎧+≤≥≥⎪-≤≥≤⎪⎨-+≤≤≥⎪⎪--≤≤≤⎩作出两个不等式组对应的平面区域都是以()1,0，()0,1，()1,0-，()0,1-为顶点的正方形∴“1x y +≤且1x y -≤”是“1x y +≤”的充要条件，故选：C ．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合充分条件和必要条件结合平面区域的关系是解决本题的关键．9．已知实数0a ≠，则函数()1sin f x ax a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象一定不可能的是（） A ．B ．C ．D ．答案：A求函数的导数，判断()0f '的正负情况，即可得出答案.解：∵()1sin f x ax a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∴()1cos f x a ax a ⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭ ∴()10cos f a a'=， 观察各选项的图象，判断()0f '的正负情况，得：观察A 选项的图象，得()10sin 0f a=>，34T <<，故234a π<< ∴223a ππ<<，3122a ππ<<，()10cos 0f a a'=> 故A 选项的图象不符合观察B 选项的图象，得()10sin 0f a=>，67T <<，故267a π<< ∴273a ππ<<，3172a ππ<<，()10cos 0f a a'=> 故B 选项的图象符合观察C 选项的图象，得()10sin 0f a=>，69T <<，故269a π<< ∴293a ππ<<，3192a ππ<<，()10cos 0f a a'=> 故C 选项的图象符合观察D 选项的图象，得()10sin 0f a=>，24T <<，故224a π<< ∴2a ππ<<，112a ππ<<，()10cos 0f a a'=> 故D 选项的图象符合故选：A.点评：本题考查了函数的图象的识别，利用导数判断函数的性质，属于中档题．10．已知x ，y ∈R ，则方程组21y =⎪=+⎩的解(),x y 的个。