2012年北京市海淀区高三二模理科数学试题及答案
海淀区高三年级第二学期期末练习数学（理科）2012.05 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1、若sincos0<，则角是（A）第一或第二象限角（B）第二或第三象限角（C）第三或第四象限角（D）第二或第四象限角
2、已知命题p：0xR，021x．则p是
（A）0xR，021x（B）0xR，021x（C）0xR，021x（D）0xR，021
x
3、直线11xtyt（t为参数）的倾斜角的大小为
（A）4（B）4（C）2（D）34
4、若整数,xy满足1,1,3,2xyxyyì???-???+í????￡??则2xy+的最大值是（A）1（B）5（C）2（D）3
5、已知点12,FF是椭圆2222xy+=的两个焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么12
PFPF+的最小
值是（A）0（B）1（C）2（D）226、为了得到函数2log1yx=-的图象，可将函数2logyx=的图象上所有的点的（A）纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标不变，再向右平移1个单位长度
（B）纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标不变，再向左平移1个单位长度（C）横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移1个单位长度（D）横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移1个单位长度
7、某几何体的主视图与俯视图如图所示，左视图与主视图相同，且图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是
（A）203（B）43（C）6（D）48、点(,)Pxy是曲线1:(0)Cyxx=>上的一个动点，曲线C在点P处的切线与x轴、y轴分别交于,AB两点，点O是坐标原点. 给出三个命题：①PAPB=；②OAB的周长有最小值422+；③曲线C上存在两点,MN，使得OMN为等腰直角三角形．其中真命题的个数是（A）1 （B）2 （C）4（D）0
俯视图主视图二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上. 9、在面积为1的正方形ABCD内部随机取一点P，则PAB的面积大于等于14的概率是_________．
10、已知1021012311(1)xaaxaxax. 若数列123,,,,(111,)kaaaakk＃Z是一个单调递增数列，则k的最大值是. 11、在ABC中，若120A?，5c=，ABC的面积为53，则a= .
12、如图，O的直径AB与弦CD交于点P，7,5,15CPPDAP===，则DCBD＝______.
13、某同学为研究函数22()11(1)(01)fxxxx=+++-＃的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形ABCD和BEFC，点P是边BC上的一个动点，设CPx=，则()APPFfx+=. 请你参考这些信息，推知函数()fx的图象的对称轴是；函数()4()9gxfx=-的零点的个数是.
14、曲线C是平面内到定点(1,0)A的距离与到定直线1x=-的距离之和为3的动点P的轨迹. 则曲线C与y轴交点的坐标是；又已知点(,1)Ba（a为常数），那么PBPA+的最小值()da= . 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15、（本小题满分13分）已知公差不为０的等差数列{}na的前n项和为nS，346Sa=+，且1413,,aaa成等比数列.
（Ⅰ）求数列{}na的通项公式；
（Ⅱ）求数列1{}nS的前n项和公式.
OP
D
CBA
EFABCD
P16、（本小题满分14分）如图所示，PA^平面ABC，点C在以AB为直径的⊙O上，30CBA?，2PAAB==，点E
为线段PB的中点，点M在AB上，且OM∥AC．
（Ⅰ）求证：平面MOE∥平面PAC；（Ⅱ）求证：平面PAC^平面PCB；（Ⅲ）设二面角MBPC的大小为，求cos的值．
17、（本小题满分13分）某公司准备将100万元资金投入代理销售业务，现有A,B两个项目可供选择：(1)投资A项目一年后获得的利润X1(万元)的概率分布列如下表所示：
X1
11 12 17
P a 0.4 b 且X1的数学期望E(X1)=12；
(2)投资B项目一年后获得的利润X2(万元)与B项目产品价格的调整有关，B项目产品价格根据销售情况在4月和8月决定是否需要调整，两次调整相互独立且在4月和8月进行价格调整的概率分别为p(0< p <1)和1p. 经专家测算评估:B项目产品价格一年内调整次数X(次)与X2的关系如下表所示：X(次)0 1 2 X2(万元)4.12 11.76 20.40 （Ⅰ）求a,b的值；（Ⅱ）求X2的分布列；（Ⅲ）若E(X1)< E(X2)，则选择投资B项目，求此时p的取值范围.
MEBO
C
A
P18、（本小题满分13分）已知椭圆C:22221(0)xyabab的右焦点为(1,0)F，且点2(1,)2在椭圆C上.
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）已知动直线l过点F，且与椭圆C交于A，B两点.试问x轴上是否存在定点Q，使得716QAQB
恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
19、（本小题满分14分）已知函数21()ln()(0)2fxaxaxxa.
（Ⅰ）求()fx的单调区间；（Ⅱ）若12(ln21)a，求证：函数()fx只有一个零点0x，且012axa
；
（Ⅲ）当45a时，记函数()fx的零点为0x，若对任意120,[0,]xxx且211,xx都有
21()()fxfxm成立，求实数m的最大值.（本题可参考数据：
99ln20.7,ln0.8,ln0.59
45）
20、（本小题满分13分）将一个正整数n表示为12(*)paaap+++N的形式，其中*ia?N，1,2,,ip=
，且
paaa21，记所有这样的表示法的种数为)(nf（如4=4，4=1+3，4=2+2，4=1+1+2，4=1+1+1+1，故5)4(f）. （Ⅰ）写出)5(),3(ff的值，并说明理由；（Ⅱ）对任意正整数n，比较)1(nf与)]2()([2
1nfnf的大小，并给出证明；
（Ⅲ）当正整数6n时，求证：134)(nnf．海淀区高三年级第二学期期末练习数学（理科）参考答案2012．05
一. 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 题号1 2 3 4 5 6 7 8答案D A D B C A A C 二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9、12； 10、６； 11、61； 12、45°；
13、12x=，2； 14、(0,3)±；222,1.41,4,1.41,2,11.aaaaaaaaì?-+??
??
+-í
??--
或
注：（13）、（14）题第一空3分；第二空2分. 三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15、（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设等差数列{}na的公差为0d1.
因为346Sa=+
，所以11323362daad创+=++. ①,,,,,,,3分
因为1413,,aaa成等比数列，所以2111(12)(3)aadad+=+
. ②,,,5分
由①，②可得：13,2ad==
. ,,,,,,,,,,,,,,6分
所以21nan=+
.,,,,,,,,,,,,,,7分
（Ⅱ）由21nan=+可知：2(321)22n
nnSnn++==+.,,,,,,9分
所以11111()(2)22nSnnnn==-++. ,,,,,,,,,,,,,,11分所以
123111111nnSSSSS-+++++11111111111()2132435112nnnn=-+-+-++-+--++
21111135()212124(1)(2)nnnnnn+
=+--=++++. 所以数列1{}nS的前n项和为2354(1)(2)nnnn+
++.,,,,13分
16、（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为点E为线段PB的中点，点O为线段AB的中点，所以OE∥PA.,,,,1分因为PAì平面PAC，OE?平面PAC，所以OE∥平面PAC. ,,,,,,2分因为OM∥AC，因为ACì平面PAC，OM?平面PAC，所以OM∥平面PAC. ,,,,,,,,,,,,,,3分因为OEì平面MOE，OMì平面MOE，OEOMO=，所以平面MOE∥平面PAC.,,,,,,,,,,,,,,,5分（Ⅱ）证明：因为点C在以AB为直径的⊙O上，所以90ACB?，即BCAC. 因为PA^平面ABC，BCì平面ABC，所以PABC. ,,,,,,,,,7分因为ACì平面PAC，PAì平面PAC，PAACA=，所以BC^平面PAC. 因为BCì平面PBC，所以平面PAC^平面PCB.,,,9分（Ⅲ）解：如图，以C为原点，CA所在的直线为x轴，CB所在的直线为y轴，建立空间直角坐标系Cxyz．
因为30CBA?，2PAAB==，所以2cos303CB=?，1AC=.延长MO交CB于点D.
因为OM∥AC，所以1313,1,2222MDCBMDCDCB^=+===.
所以(1,0,2)P，(0,0,0)C，(0,3,0)B，33(,,0)22M.所以(1,0,2)CP=，(0,3,0)CB=. 设平面PCB的法向量(,,)=xyzm.因为0,0.CPCBì???í????mm所以(,,)(1,0,2)0,(,,)(0,3,0)0,xyzxyzì???í???即20,30.xzyì+=?
?
í?=
?
令1z=，则2,0xy=-=.所以(2,0,1)=-m. ,,,,,,,,,12分
同理可求平面PMB的一个法向量n1,3,1. ,,,,,,,,,,13分
所以1cos,5mnmnmn.所以1cos5=. ,,,,,,,,,14分
DzyxM
EBO
C
A
P
数学_2012年北京市海淀区高考数学一模试卷(理科)(含答案)
2012年北京市海淀区高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合A ＝{x|x >1}，B ＝{x|x <m}，且A ∪B ＝R ，那么m 的值可以是（ ） A −1 B 0 C 1 D 22. 在等比数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝a 3a 5，则a 7＝（ ） A 116B 18C 14D 123. 在极坐标系中，过点(2,3π2)且平行于极轴的直线的极坐标方程是（ ）A ρsinθ=−2B ρcosθ=−2C ρsinθ=2D ρcosθ=2 4. 已知向量a →=(1, x)，b →=(−1, x)，若2a →−b →与b →垂直，则|a →|=( ) A √2 B √3 C 2 D 45. 执行如图所示的程序框图，输出的k 值是（ ）A 4B 5C 6D 76. 从甲、乙等5个人中选出3人排成一列，则甲不在排头的排法种数是（ ） A 12 B 24 C 36 D 487. 已知函数f(x)={−x 2+ax ，x ≤1，ax −1,x >1， 若∃x 1，x 2∈R ，x 1≠x 2，使得f(x 1)=f(x 2)成立，则实数a 的取值范围是（ ）A a <2B a >2C −2<a <2D a >2或a <−28. 在正方体ABCD −A′B′C′D′中，若点P （异于点B ）是棱上一点，则满足BP 与AC′所成的角为45∘的点P 的个数为（ ）A 0B 3C 4D 6二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上. 9. 复数a+2i 1−i在复平面内所对应的点在虚轴上，那么实数a =________．10. 过双曲线x 29−y 216=1的右焦点，且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程是________． 11. 若tanα=12，则cos(2α+π2)＝________．12. 设某商品的需求函数为Q ＝100−5P ，其中Q ，P 分别表示需求量和价格，如果商品需求弹性EQEP 大于1（其中EQEP =−Q ′Q P ，Q ′是Q 的导数），则商品价格P 的取值范围是________．13. 如图，以△ABC 的边AB 为直径的半圆交AC 于点D ，交BC 于点E ，EF ⊥AB 于点F ，AF =3BF ，BE =2EC =2，那么∠CDE =________，CD =________． 14. 已知函数f(x)={1,x ∈Q 0,x ∈C R Q则(I)f （f(x)）=________； （II ）给出下列三个命题： ①函数f(x)是偶函数；②存在x i ∈R(i =1, 2, 3)，使得以点（x i , f(x i )）(i =1, 2, 3)为顶点的三角形是等腰直角三角形；③存在x i ∈R(i =1, 2, 3, 4)，使得以点（x i , f(x i )）(i =1, 2, 3, 4)为顶点的四边形为菱形． 其中，所有真命题的序号是________．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列． （1）若b =√13，a =3，求c 的值； （2）设t =sinAsinC ，求t 的最大值．16. 在四棱锥P −ABCD 中，AB // CD ，AB ⊥AD ，AB =4,AD =2√2,CD =2，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝4．(Ⅰ)设平面PAB ∩平面PCD ＝m ，求证：CD // m ； (Ⅱ)求证：BD ⊥平面PAC ；(Ⅲ)设点Q 为线段PB 上一点，且直线QC 与平面PAC 所成角的正弦值为√33，求PQPB 的值．17. 某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是[0, 100]，样本数据分组为[0, 20),[20, 40),[40, 60),[60, 80),[80, 100]． （1）求直方图中x 的值；（2）如果上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，请估计学校600名新生中有多少名学生可以申请住宿；（3）从学校的新生中任选4名学生，这4名学生中上学所需时间少于20分钟的人数记为X ，求X 的分布列和数学期望．（以直方图中新生上学所需时间少于20分钟的频率作为每名学生上学所需时间少于20分钟的概率）18. 已知函数f(x)=e −kx (x 2+x −1k )(k <0)．（1）求f(x)的单调区间；（2）是否存在实数k ，使得函数f(x)的极大值等于3e −2？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．19. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆G 的中心为坐标原点，左焦点为F 1(−1, 0)，P 为椭圆G 的上顶点，且∠PF 1O ＝45∘． (Ⅰ)求椭圆G 的标准方程；(Ⅱ)已知直线l 1:y ＝kx +m 1与椭圆G 交于A ，B 两点，直线l 2:y ＝kx +m 2(m 1≠m 2)与椭圆G 交于C ，D 两点，且|AB|＝|CD|，如图所示． (ⅰ)证明：m 1+m 2＝0；(ⅱ)求四边形ABCD 的面积S 的最大值．20. 对于集合M ，定义函数f M (x)={−1,x ∈M1,x ∉M. 对于两个集合M ，N ，定义集合M △N ＝{x|f M (x)⋅f N (x)＝−1}．已知A ＝{2, 4, 6, 8, 10}，B ＝{1, 2, 4, 8, 16}． (Ⅰ)写出f A (1)和f B (1)的值，并用列举法写出集合A △B ；(Ⅱ)用Card(M)表示有限集合M 所含元素的个数，求Card(X △A)+Card(X △B)的最小值；(Ⅲ)有多少个集合对(P, Q)，满足P，Q⊆A∪B，且(P△A)△(Q△B)＝A△B？2012年北京市海淀区高考数学一模试卷（理科）答案1. D2. B3. A4. C5. B6. D7. A8. B9. 210. 4x−3y−20=011. −4512. (10, 20)13. 60∘,3√131314. 1，①③．15. 解：（1）因为A，B，C成等差数列，所以2B=A+C．因为A+B+C=π，所以B=π3．因为b=√13，a=3，b2=a2+c2−2accosB，所以c2−3c−4=0，解得c=4，或c=−1（舍去）．（2）因为A+C=23π，所以，t=sinAsin(2π3−A)=sinA(√32cosA+12sinA)=√34sin2A+12(1−cos2A2)=14+12sin(2A−π6)．因为0<A<2π3，所以，−π6<2A−π6<7π6．所以当2A−π6=π2，即A=π3时，t有最大值34．16. （1）如图所示，过点B作BM // PA，并且取BM＝PA，连接PM，CM．∴ 四边形PABM为平行四边形，∴ PM // AB，∵ AB // CD，∴ PM // CD，即PM为平面PAB∩平面PCD＝m，m // CD．（2）在Rt△BAD和Rt△ADC中，由勾股定理可得BD=√42+(2√2)2=2√6，AC=√22+(2√2)2=2√3．∵ AB // DC，∴ ODOB =OCOA=24=12，∴ OD=13BD=2√63，OC=13AC=2√33．∴ OD 2+OC 2=(2√63)2+(2√33)2=4＝CD 2，∴ OC ⊥OD ，即BD ⊥AC ；∵ PA ⊥底面ABCD ，∴ PA ⊥BD ． ∵ PA ∩AC ＝A ，∴ BD ⊥平面PAC ．(Ⅲ)建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0, 0, 0)， B(4, 0, 0)，D(0, 2√2, 0)，C(2, 2√2, 0)，P(0, 0, 4)． ∴ PB →=(4,0,−4)，设PQ →=λPB →，则Q(4λ, 0, 4−4λ)，∴ QC →=(2−4λ,2√2,4λ−4)． BD →=(−4,2√2,0)，由（2）可知BD →为平面PAC 的法向量． ∴ cos <BD →,QC →>=BD →⋅QC →|BD →||QC →|=16λ2√6√(2−4λ)2+(2√2)2+(4λ−4)2，∵ 直线QC 与平面PAC 所成角的正弦值为√33， ∴ √33=|16λ|2√6√(2−4λ)2+8+(4λ−4)2，化为12λ＝7，解得λ=712． ∴ PQPB =712．17. 解：（1）由直方图可得：20×x +0.025×20+0.0065×20+0.003×2×20=1． 所以 x =0.0125．（2）新生上学所需时间不少于1小时的频率为：0.003×2×20=0.12， 因为600×0.12=72，所以600名新生中有72名学生可以申请住宿． （3）X 的可能取值为0，1，2，3，4．由直方图可知，每位学生上学所需时间少于20分钟的概率为14， P(X =0)=(34)4=81256，P(X =1)=C 41(14)(34)3=2764， P(X =2)=C 42(14)2(34)2=27128，P(X =3)=C 43(14)3(34)=364，P(X =4)=(14)4=1256．所以X 的分布列为：EX =0×81256+1×2764+2×27128+3×364+4×1256=1．（或EX =4×14=1）所以X 的数学期望为1．18. 解：（1）f(x)的定义域为R ，f′(x)=−ke −kx (x 2+x −1k )+e −kx (2x +1)=e −kx [−kx 2+(2−k)x +2]，即 f ′(x)=−e −kx (kx −2)(x +1)(k <0)． 令f ′(x)=0，解得：x =−1或x =2k ．①当k =−2时，f ′(x)=2e 2x (x +1)2≥0， 故f(x)的单调递增区间是(−∞, +∞)；②当−2<k <0时，f(x)，f ′(x)随x 的变化情况如下：所以，函数f(x)的单调递增区间是(−∞,2k )和(−1, +∞)，单调递减区间是(2k，−1)． ③当k <−2时，f(x)，f ′(x)随x 的变化情况如下：所以，函数f(x)的单调递增区间是(−∞, −1)和(2k，+∞)，单调递减区间是(−1,2k)． 综上，当k =−2时，f(x)的单调递增区间是(−∞, +∞)；当−2<k <0时，f(x)的单调递增区间是(−∞,2k )和(−1, +∞)，单调递减区间是(2k ，−1)；当k <−2时，f(x)的单调递增区间是(−∞, −1)和(2k ，+∞)，单调递减区间是(−1,2k )． （2） ①当k =−2时，f(x)无极大值．②当−2<k <0时，f(x)的极大值为f(2k)=e −2(4k2+1k)，令e −2(4k 2+1k)=3e −2，即4k 2+1k=3，解得 k =−1或k =43（舍）．③当k <−2时，f(x)的极大值为f(−1)=−e k k． 因为 e k <e −2，0<−1k <12，所以 −e k k<12e −2．因为 12e −2<3e −2，所以 f(x)的极大值不可能等于3e −2， 综上所述，当k =−1时，f(x)的极大值等于3e −2． 19. （1）设椭圆G 的标准方程为x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)．因为F 1(−1, 0)，∠PF 1O ＝45∘，所以b ＝c ＝1．所以，a 2＝b 2+c 2＝2．所以，椭圆G 的标准方程为x 22+y 2=1．（2）设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，C(x 3, y 3)，D(x 4, y 4)． (ⅰ)证明：由{y =kx +m 1x 22+y 2=1.消去y 得：(1+2k 2)x 2+4km 1x +2m 12−2=0．则△=8(2k 2−m 12+1)>0，{x 1+x 2=−4km11+2k 2x 1x 2=2m 12−21+2k 2.⋯ 所以 |AB|=√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2=√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+k 2√(−4km 11+2k 2)2−4⋅2m 12−21+2k 2=2√2√1+k 2√2k 2−m 12+11+2k 2．同理 |CD|=2√2√1+k 2√2k 2−m 22+11+2k 2．因为|AB|＝|CD|， 所以 2√2√1+k 2√2k 2−m 12+11+2k 2=2√2√1+k 2√2k 2−m 22+11+2k 2．因为 m 1≠m 2，所以m 1+m 2＝0．(ⅱ)由题意得四边形ABCD 是平行四边形，设两平行线AB ，CD 间的距离为d ，则 d =12√1+k 2．因为 m 1+m 2＝0，所以 d =1√1+k 2．所以 S =|AB|⋅d =2√2√1+k 2√2k 2−m 12+11+2k 2⋅1√1+k 2=4√2√(2k 2−m 12+1)m 121+2k 2≤4√22121221+2k 2=2√2． （或S =4√2√(2k 2+1)m 12−m 14(1+2k 2)2=4√2√−(m 121+2k 2−12)2+14≤2√2）所以 当2k 2+1=2m 12时，四边形ABCD 的面积S 取得最大值为2√2．20. （1）结合所给定义知，f A (1)＝1，f B (1)＝−1，A △B ＝{1, 6, 10, 16}． （2）根据题意可知：对于集合C ，X ，①若a∈C且a∉X，则Card(C△(X∪{a})＝Card(C△X)−1；②若a∉C且a∉X，则Card(C△(X∪{a})＝Card(C△X)+1．所以要使Card(X△A)+Card(X△B)的值最小，2，4，8一定属于集合X；1，6，10，16是否属于X不影响Card(X△A)+Card(X△B)的值，但集合X不能含有A∪B 之外的元素．所以当X为集合{1, 6, 10, 16}的子集与集合{2, 4, 8}的并集时，Card(X△A)+Card(X△B)取到最小值4．所以Card(X△A)+Card(X△B)的最小值(Ⅲ)因为A△B＝{x|f A(x)⋅f B(x)＝−1}，所以A△B＝B△A．由定义可知：f A△B(x)＝f A(x)⋅f B(x)．所以对任意元素x，f（A△B）△C(x)＝f A△B(x)⋅f C(x)＝f A(x)⋅f B(x)⋅f C(x)，fA△（B△C）(x)＝f A(x)⋅f B△C(x)＝f A(x)⋅f B(x)⋅f C(x)．所以f（A△B）△C (x)＝fA△（B△C）(x)．所以(A△B)△C＝A△(B△C)．由(P△A)△(Q△B)＝A△B知：(P△Q)△(A△B)＝A△B．所以(P△Q)△(A△B)△(A△B)＝(A△B)△(A△B)．所以P△Q△⌀＝⌀．所以P△Q＝⌀，即P＝Q．因为P，Q⊆A∪B，所以满足题意的集合对(P, Q)的个数为27＝128．。
2012年北京市各区二模试题分类解析【数学文】(14)：空间几何体.pdf
1．运用多种修辞方法，表达思想感情，增强气势。
2．品味语言，理解语言中所包含的深意。
教学时数：一课时。
教学过程 一、预习 1．给下列加点字注音。
（多媒体显示） 伫立(zhu4) 睥睨(pi4 ni4) 咆哮(xiao4) 波澜(lan2) 污秽(hui4) 犀利(xi1) 劈开(pi1) 稽首(qi3) 驰骋(cheng3)虐待(nüe4) 2．解释下列词语。
睥睨：眼睛斜着看，形容高傲的样子。
污秽：不干净。
犀利：(武器、言语等)锋利；锐利。
播弄：摆布。
虐待：用残暴狠毒的手段待人。
雷霆：雷暴；霹雳。
踌躇：犹豫。
鞭挞：鞭打。
比喻抨击。
祈祷：一种宗教仪式，信仰宗教的人向神默告自己的愿望。
忏悔：认识了过去的错误或罪过而感觉痛心。
罪孽：迷信的人认为应受到报应的罪恶。
拖泥带水：比喻说话、写文章不简洁或做事不干脆。
二、导入 介绍历史尉《屈原》写作的时代背景。
郭沫若历史剧《屈原》写于1942年1月。
当时是抗日战争后期，日本帝国主义侵占了中国的半壁河山。
1942年1月，时值“皖南事变，，以后，郭沫若在重庆创作了《屈原》，借古讽今，揭露国民党统治下的黑暗现实。
他借屈原的独自，鞭挞蒋介石的反动统治，抒发了人民的愤恨。
《雷电颂>出现在《屈原》第五幕第二场。
屈原被囚禁在东皇太一庙。
他手足带着刑具，颈上系着长链，散发披肩，独身徘徊。
这时，狂风咆哮，电闪雷鸣。
面对这黑暗的世界，他想到祖国就要沦亡，听着风吼、雷鸣，看着闪电劈空，他感到了大自然的伟大力量，他激愤的心情发展到极点，他的心像火一样燃烧起来，铸成了这大气磅礴，动人心魄的独自——《雷电颂》。
它是屈原斗争精神的最集中、最突出的表现。
是全剧高潮中最强力的一个音符。
三、朗读课文 课文在形式上并不押韵，但节奏分明，声调铿锵有力，要求学生反复朗读，品味文章语言，体会文章气势，并谈感受。
四、再读课文，理清思路 学生讨论、交流。
明确： 《雷电颂》这段独白，大致包含两方面的内容：一是对风、雷、电的期待与歌颂，一是对光明的渴望与追求。
【精品解析】北京市海淀区2012届高三数学5月高考二模试题解析 文 (教师版)
精品解析：北京市海淀区2012届高三5月高考二模数学（文）试题解析（教师版）【试题总体说明】本套试卷的题型分布与2011年北京高考题没有区别，延续了北京的8、6、6分布， 6道大题的考点与以往也没有什么不同，分别涉及了三角函数、立体几何、概率、函数大题、解析几何、新题型。
1．命题覆盖面广，琐碎知识考察力度加大。
这套前14道小题，几乎没有高中同一章节的 内容，考察内容十分分散。
其实，这是新课标的一个重要特点。
新课标的理科教材与原大 纲相比，内容有增无减，增加了算法、三视图、积分、几何概型、平面几何、参数方程极 坐标等许多内容，而这些内容一定要体现在高考试卷中。
本套试题的小题1-6,9-13等试题 难度较低，考查学生的基础知识掌握情况.2.中档题较少，新颖试题难度较大。
这次试题中的7设计比较新颖，考查学生的空间想象 能力；8、14题都是综合问题，第8题是以函数为背景考查命题真假，计算量较大；第14 题考查抛物线的定义和轨迹问题，考察学生综合运用知识的能力，稍有失误就会失分。
3.解答题中规中矩，体现知识的综合性，考查学生的素质和能力.这次解答题的命题点与以往是没有变化的，变化的只是具体的题目。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）函数21,12y x x=-+-?的值域是（A ）(3,0]- （B ） (3,1]- （C ）[0,1] （D ）[1,5) 【答案】B 【解析】212,(4,0],(3,1].xx y -?\-?\?【答案】C【解析】223cos 15sin 15cos30.-==（4）执行如图所示的程序框图，若输入x 的值为10，则输出的x 值为（A ）4 （B ）2 （C ）1 （D ）0 【答案】A【解析】2102,1022,2,2 4.x x x x =>=->鬃?\==（5）已知平面,αβ和直线m ，且m Ìα，则“α∥β”是“m ∥β”的（A ）充要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分不必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（6）为了得到函数21log (1)2y x =-的图象，可将函数2log y x =的图象上所有的点的 （A ）纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标不变，再向右平移1个单位长度 （B ）纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标不变，再向左平移1个单位长度（C ）横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移1个单位长度 （D ）横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移1个单位长度 【答案】A 【解析】21log (1),2y x =-22log log (1)y x y x \=?-?21log (1),2x - 故纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标不变，再向右平移1个单位长度得到函数的图像，答案为A 。
2012北京海淀区中考二模数学和答案(word版)
海淀区九年级第二学期期末练习数学2012. 6一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．1. -5的倒数是A．15B．15-C．5-D．52. 2012年4月22日是第43个世界地球日，中国国土资源报社联合腾讯网发起“世界地球日”微话题，共有18 891 511人次参与了这次活动，将18 891 511用科学记数法表示（保留三个有效数字）约为A. 18.9⨯106B. 0.189⨯108C. 1.89⨯107D. 18.8⨯1063. 把2x2− 4x + 2分解因式，结果正确的是A．2(x− 1)2B．2x(x− 2) C．2(x2− 2x + 1) D．(2x−2)24. 右图是由七个相同的小正方体堆砌而成的几何体，则这个几何体的俯视图是A BCD5．从1, -2, 3这三个数中,随机抽取两个数相乘,积为正数的概率是A．0 B．13C．23D．16. 如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=3，D，E分别在AB、AC上，将△ADE沿DE翻折后，点A 落在点A ′处，若A ′为CE 的中点，则折痕DE 的长为A.21 B. 3 C. 2D. 1C. 中位数是51.5D. 众数是588．如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ,∠ABC =60°，AB = DC =2, AD =1， R 、P 分别是BC 、CD 边上的动点（点R 、B 不重合, 点P 、C 不 重合），E 、F 分别是AP 、RP 的中点，设BR=x ，EF=y ，则下列 图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是A B C D 二、填空题（本题共16分，每小题4分）9. 若二次根式23-x 有意义，则 x 的取值范围是 .10．若一个多边形的内角和等于540︒，则这个多边形的边数是 . 11. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 、B 、C 在双 曲线xy 6=上，BD ⊥x 轴于D , CE ⊥ y 轴于E ,点F 在x 轴上， 且AO =AF , 则图中阴影部分的面积之和为 .A'ED ABCF E RP B CDA12．小东玩一种“挪珠子”游戏，根据挪动珠子的难度不同而得分不同，规定每次挪动珠子的颗数与所得分数的对应关系如下表所示：按表中规律，当所得分数为71分时，则挪动的珠子数为 颗; 当挪动n 颗 珠子时（n 为大于1的整数）, 所得分数为 （用含n 的代数式表示）. 三、解答题（本题共30分，每小题5分） 1311|5|()3tan604---+︒． 14．解方程：6123x x x +=-+.15. 如图，AC //EG , BC //EF , 直线GE 分别交BC 、BA 于P 、D ，且AC=GE , BC=FE . 求证：∠A =∠G .16．已知2220a a --=，求代数式221111121a a a a a --÷--++的值．17. 如图，一次函数的图象与x 轴、y 轴分别交于点A (-2, 0)、B (0, 2). （1）求一次函数的解析式;（2）若点C 在x 轴上，且OC =23, 请直接写出∠ABC 的度数.18. 如图，在四边形ABCD 中，∠ADB =∠CBD =90︒，BE//CD 交AD 于E , 且EA=EB ．若AB=54，DB =4, 求四边形ABCD 的面积．GFEDC BAP EDCA四、解答题（本题共20分，第19题、第20题各5分，第21题6分，第22题4分） 19. 某街道办事处需印制主题为“做文明有礼的北京人，垃圾减量垃圾分类从我做起”的宣传单. 街道办事处附近的甲、乙两家图文社印制此种宣传单的收费标准如下： 甲图文社收费s （元）与印制数t (张)的函数关系如下表：乙图文社的收费方式为：印制2 000张以内（含2 000张），按每张0.13元收费；超过 2 000张，均按每张0.09元收费.（1）根据表中给出的对应规律，写出甲图文社收费s （元）与印制数t (张)的函数关系式； （2）由于马上要用宣传单，街道办事处同时在甲、乙两家图文社共印制了1 500张宣传单，印制费共179元，问街道办事处在甲、乙两家图文社各印制了多少张宣传单？（3）若在下周的宣传活动中，街道办事处还需要加印5 000张宣传单，在甲、乙两家图文社中选择 图文社更省钱.20．如图，AC 、BC 是⊙O 的弦, BC //AO , AO 的延长线与过点C 的射线交于点D , 且∠D =90︒-2∠A .（1）求证：直线CD 是⊙O 的切线；（2）若BC=4，1tan 2D =，求CD 和AD 的长．21. 李老师为了了解所教班级学生完成数学课前预习的具体情况，对本班部分学生进行了 为期半个月的跟踪调查，他将调查结果分为四类，A ：很好；B ：较好；C ：一般；D ： 较差.并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：类别50%25%15%D CB A（1）李老师一共调查了多少名同学？（2）C 类女生有 名，D 类男生有 名，将上面条形统计图补充完整； （3）为了共同进步，李老师想从被调查的A 类和D 类学生中各随机选取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用列表法或画树形图的方法求出所选两位同学恰好是一位 男同学和一位女同学的概率. 22．阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：我们定义: 如果一个图形绕着某定点旋转一定的角度α (0︒ <α <360︒) 后所得的图形与原图形重合，则称此图形是旋转对称图形. 如等边三角形就是一个旋转角为120︒的旋转对称图形. 如图1，点O 是等边三角形△ABC 的中心, D 、E 、F 分别为AB 、BC 、 CA 的中点, 请你将△ABC 分割并拼补成一个与△ABC 面积相等的新的旋转对称图形.图1 图2小明利用旋转解决了这个问题，图2中阴影部分所示的图形即是与△ABC 面积相等的新的旋转对称图形.请你参考小明同学解决问题的方法，利用图形变换解决下列问题： 如图3，在等边△ABC 中, E 1、E 2、E 3分别为AB 、BC 、CA 的中点，P 1、P 2, M 1、M 2, N 1、N 2分别为AB 、BC 、CA 的三等分点. （1）在图3中画出一个和△ABC 面积相等的新的旋转 对称图形，并用阴影表示（保留画图痕迹）；（2）若△ABC 的面积为a ，则图3中△FGH 的面积为 ．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．已知抛物线 2(1)(2)1y m x m x =-+--与x 轴交于A 、B 两点． （1）求m 的取值范围；E 3 E 12 P 1 P 2N 1N 2 2M 1BA 图3G FH（2）若m >1, 且点A 在点B 的左侧，OA : OB =1 : 3, 试确定抛物线的解析式； （3）设（2）中抛物线与y 轴的交点为C ，过点C 作直线l //x 轴, 将抛物线在y 轴左侧的部分沿直线 l 翻折, 抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象. 请你结合新图象回答: 当直线13y x b =+与新图象只有一个公共点P (x 0, y 0)且 y 0≤7时, 求b 的取值范围.24. 如图, 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线x x my 222-=与x 轴负半轴交于点A , 顶点为B , 且对称轴与x 轴交于点C .（1）求点B 的坐标 (用含m 的代数式表示)；（2）D 为BO 中点，直线AD 交y 轴于E ，若点E 的坐标为(0, 2), 求抛物线的解析式； （3）在（2）的条件下，点M 在直线BO 上，且使得△AMC 的周长最小，P 在抛物线上，Q 在直线 BC 上，若以A 、M 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的坐 标.25. 在矩形ABCD 中, 点F 在AD 延长线上，且DF = DC , M 为AB 边上一点, N 为MD 的中 点, 点E 在直线CF 上（点E 、C 不重合）.（1）如图1, 若AB =BC , 点M 、A 重合, E 为CF 的中点，试探究BN 与NE 的位置关系及BMCE的值, 并证明你的结论; （2）如图2，且若AB =BC , 点M 、A 不重合, BN =NE ，你在（1）中得到的两个结论是否成立, 若成立,加以证明; 若不成立, 请说明理由;（3）如图3，若点M 、A 不重合，BN =NE ，你在（1）中得到的结论两个是否成立, 请直接写出你的结论.图1 图2 图3FA ( M) DNDCENM B FECBFNMECBA海淀区九年级第二学期期末练习数学试卷答案及评分参考 2012. 6说明: 与参考答案不同, 但解答正确相应给分. 一、选择题（本题共32分，每小题4分）1. B2. C3. A4. C5. B6. D7. D8. C 二、填空题（本题共16分，每小题4分）9.23x ≥10. 5 11. 12 12．8; 21n n +- （每空各 2分） 三、解答题（本题共30分，每小题5分）13115()3tan604---+︒=54-+ …………………………………………………4分=1. …………………………………………………5分14．解：去分母，得 ()()()()63223x x x x x ++-=-+． ………………………………2分2261826x x x x x ++-=+-. ……………………………………………………3分 整理，得 324x =-． 解得 8x =-． ………………………………………………………………4分 经检验，8x =-是原方程的解． 所以原方程的解是8x =-． ……………………………………………………5分15．证明：∵ AC //EG ，∴ C CPG ∠=∠． …………1分 ∵ BC //EF ，∴ CPG FEG ∠=∠．∴ C FEG ∠=∠． …………………………………………2分在△ABC 和△GFE 中，,,,AC GE C FEG BC FE =⎧⎪∠=∠⎨=⎪⎩ ∴ △ABC ≌△GFE ． …………………………………………………4分∴A G ∠=∠． …………………………………………………5分16. 解：原式=()()()21111111a a a a a +-⋅-+-- ……………………………………………2分 =()21111a a a +--- …………………………………………………3分 =22.(1)a -- …………………………………………………4分 由2220a a --=，得 2(1)3a -=.∴ 原式=23-. …………………………………………………5分GFEDC AP17．解：（1）依题意设一次函数解析式为2y kx =+. …………………………………1分∵ 点A (2,0-)在一次函数图象上， ∴022k =-+. ∴ k =1. ……………………………………………………2分 ∴ 一次函数的解析式为2y x =+. …………………………………3分 （2）ABC ∠的度数为15︒或105︒． （每解各1分） ……………………5分18．解: ∵∠ADB =∠CBD =90︒，∴ DE ∥CB . ∵ BE ∥CD ， ∴ 四边形BEDC 是平行四边形. ………1分 ∴ BC=DE .在Rt △ABD 中，由勾股定理得8AD ===. ………2分设DE x =，则8EA x =-． ∴8EB EA x ==-．在Rt △BDE 中，由勾股定理得 222DE BD EB +=.∴ 22248x x +=-（）． ……………………………………………………3分 ∴ 3x =．∴ 3BC DE ==． ……………………………………………………4分∴1116622.22ABD BDC ABCD S S S BD AD BD BC ∆∆=+=⋅+⋅=+=四边形 ………… 5分 四、解答题（本题共20分，第19题、第20题各5分，第21题6分, 第22题4分） 19．解：（1）甲图文社收费s （元）与印制数t （张）的函数关系式为0.11s t =. ……1分（2）设在甲、乙两家图文社各印制了x 张、y 张宣传单， 依题意得{1500,0.110.13179.x y x y +=+= ………………………………………… 2分解得800,700.x y =⎧⎨=⎩……………………………………………… 3分答：在甲、乙两家图文社各印制了800张、700张宣传单. ………………4分（3） 乙 . ……………………………………………………… 5分20.（1）证明：连结OC .∴ ∠DOC =2∠A . …………1分 ∵∠D = 90°2A -∠， ∴∠D +∠DOC =90°. ∴ ∠OCD =90°.∵ OC 是⊙O 的半径，∴ 直线CD 是⊙O 的切线. ………………………………………………2分 （2）解: 过点O 作OE ⊥BC 于E , 则∠OEC =90︒.∵ BC =4,∴ CE =12BC =2.∵ BC //AO ,∴ ∠OCE =∠DOC .D EC BA∵∠COE +∠OCE =90︒, ∠D +∠DOC =90︒,∴ ∠COE =∠D . ……………………………………………………3分 ∵tan D =12, ∴tan COE ∠=12. ∵∠OEC =90︒, CE =2,∴4tan CEOE COE==∠.在Rt △OEC 中, 由勾股定理可得OC ==在Rt △ODC 中, 由1tan 2OC D CD ==，得CD =, ……………………4分由勾股定理可得 10.OD =∴10.AD OA OD OC OD =+=+= …………………………………5分 21．解：（1）(64)50%20+÷=. 所以李老师一共调查了20名学生. …………………1分 （2）C 类女生有 3 名，D 类男生有 1 名；补充条形统计图略.说明：其中每空1分，条形统计图1分. ……………………………………4分 （3）解法一：由题意画树形图如下：………………………5分从树形图看出，所有可能出现的结果共有6种，且每种结果出现的可能性相等，所选 两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的结果共有3种. 所以P (所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学)=3162=. ………………6分 解法二：由题意列表如下：………………………5分由上表得出，所有可能出现的结果共有6种，且每种结果出现的可能性相等，所选 两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的结果共有3种. 所以P (所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学)=3162=. ………………6分 22.解：（1）画图如下：(答案不唯一) …………………………………2分图3从D 类中选取从A 类中选取女女男男女女男女男（2）图3中△FGH 的面积为7a. …………………………………4分 五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23. 解：（1）∵ 抛物线2(1)(2)1y m x m x =-+--与x 轴交于A 、B 两点，∴210,(2)4(1)0.m m m ì-?ïïíïD =-+->ïî由①得1m ¹， 由②得0m ¹，∴ m 的取值范围是0m ¹且1m ¹． ……………………………………………2分 （2）∵ 点A 、B 是抛物线2(1)(2)1y m x m x =-+--与x 轴的交点，∴ 令0y =，即 2(1)(2)10m x m x -+--=． 解得 11x =-，211x m =-． ∵1m >，∴10 1.1m >>-- ∵ 点A 在点B 左侧，∴ 点A 的坐标为(1,0)-，点B 的坐标为1(,0)1m -. …………………………3分 ∴ OA=1，OB =11m -． ∵ OA : OB =1 : 3，∴ 131m =-.∴ 43m =．∴ 抛物线的解析式为212133y x x =--． ………………………………………4分 （3）∵ 点C 是抛物线212133y x x =--与y 轴的交点，∴ 点C 的坐标为(0,1)-.依题意翻折后的图象如图所示．令7y =，即2121733x x --=． 解得16x =, 24x =-．∴ 新图象经过点D (6,7). 当直线13y x b =+经过D 点时，可得5b =.① ② …………………………………………1分当直线13y x b =+经过C 点时，可得1b =-．当直线1(1)3y x b b =+<-与函数2121(33y x x x =-->的图象仅有一个公共点P (x 0, y 0)时，得20001121333x b x x +=--.整理得 203330.x x b ---= 由2(3)4(33)12210b b D =----=+=，得74b =-结合图象可知，符合题意的b 的取值范围为15b -<≤或4b <-． ……………7分 说明：15b -<≤ （2分），每边不等式正确各1分；74b <-（1分） 24.解：（1）∵22222221212112()()4422y x x x mx m m x m m m m m m =-=-+-⋅=--，∴抛物线的顶点B 的坐标为11(,)22m m -. ……………………………1分（2）令2220x x m-=，解得10x =, 2x m =.∵ 抛物线x x my 222-=与x 轴负半轴交于点A ，∴ A (m , 0), 且m <0. …………………………………………………2分过点D 作DF ⊥x 轴于F .由 D 为BO 中点，DF //BC , 可得CF =FO =1.2CO ∴ DF =1.2BC由抛物线的对称性得 AC = OC . ∴ AF : AO =3 : 4. ∵ DF //EO ,∴ △AFD ∽△AOE .∴ .FD AF OE AO=由E (0, 2)，B 11(,)22m m -，得OE =2, DF =14m -.∴134.24m-=∴ m = -6.∴ 抛物线的解析式为2123y x x =--. ………………………………………3分（3）依题意，得A （-6,0）、B (-3, 3)、C (-3, 0).可得直线OB 的解析式为x y -=,直线BC 为3x =-. 作点C 关于直线BO 的对称点C '(0，3)，连接AC '交BO 于M ，则M 即为所求. 由A （-6，0），C ' (0, 3)，可得直线AC '的解析式为321+=x y .由13,2y x y x⎧=+⎪⎨⎪=-⎩ 解得2,2.x y =-⎧⎨=⎩ ∴ 点M 的坐标为(-2, 2). ……………4分由点P 在抛物线2123y x x =--上，设P (t ，213t - (ⅰ)当AM 为所求平行四边形的一边时. 如右图，过M 作MG ⊥ x 轴于G ,过P 1作P1H ⊥ BC 于H , 则x G = x M =-2, x H = x B =-3.由四边形AM P 1Q 1为平行四边形， 可证△AMG ≌△P 1Q 1H . 可得P 1H = AG =4. ∴ t -(-3)=4. ∴ t =1.∴17(1,)3P -. ……………………5分 如右图，同 方法可得 P 2H=AG =4. ∴ -3- t =4. ∴ t =-7.∴27(7,)3P --. ……………………6分(ⅱ)当AM 为所求平行四边形的对角线时, 如右图，过M 作MH ⊥BC 于H , 过P 3作P 3G ⊥ x 轴于G ,则x H = x B =-3，x G =3P x =t . 由四边形AP 3MQ 3为平行四边形， 可证△A P 3G ≌△MQ 3H . 可得AG = MH =1. ∴ t -(-6)=1. ∴ t =-5. ∴35(5,)3P -. ……………………………………………………7分 综上，点P 的坐标为17(1,)3P -、27(7,)3P --、35(5,)3P -.25. 解：（1）BN 与NE 的位置关系是BN ⊥NE ；CE BM.证明：如图，过点E 作EG ⊥AF 于G , 则∠EGN =90°．∵ 矩形ABCD 中, AB =BC ， ∴ 矩形ABCD 为正方形.∴ AB =AD =CD , ∠A =∠ADC =∠DCB =90°． ∴ EG//CD , ∠EGN =∠A , ∠CDF =90°． ………………………………1分 ∵ E 为CF 的中点，EG//CD ,∴ GF =DG =11.22DF CD =∴ 1.2GE CD =∵ N 为MD (AD )的中点， ∴ AN =ND =11.22AD CD = ∴ GE =AN , NG=ND+DG=ND+AN=AD=AB . ……………………………2分 ∴ △NGE ≌△BAN ． ∴ ∠1=∠2. ∵ ∠2+∠3=90°， ∴ ∠1+∠3=90°． ∴ ∠BNE =90°. ∴ BN ⊥NE ． ……………………………………………………………3分 ∵ ∠CDF =90°, CD =DF , 可得 ∠F =∠FCD =45°，CFCD= .于是12CFCE CE CE BM BA CD CD ==== ……………………………………4分 （2）在（1）中得到的两个结论均成立.证明：如图，延长BN 交CD 的延长线于点G ，连结BE 、GE ，过E 作EH ⊥CE ，交CD 于点H ．∵ 四边形ABCD 是矩形，∴ AB ∥CG ．∴ ∠MBN =∠DGN ，∠BMN =∠GDN . ∵ N 为MD 的中点，∴ MN =DN ．∴ △BMN ≌△GDN ．∴ MB =DG ，BN =GN . ∵ BN =NE ，∴ BN =NE =GN . ∴ ∠BEG =90°． ……………………………………………5分 ∵ EH ⊥CE ， ∴ ∠CEH =90°． ∴ ∠BEG =∠CEH ．HGA BC DEM N F 321GFEA (M )CD NB∴ ∠BEC =∠GEH ． 由（1）得∠DCF =45°． ∴ ∠CHE =∠HCE =45°． ∴ EC=EH , ∠EHG =135°．∵∠ECB =∠DCB +∠HCE =135°， ∴ ∠ECB =∠EHG ． ∴ △ECB ≌△EHG ． ∴ EB =EG ，CB =HG ． ∵ BN =NG ，∴ BN ⊥NE. ……………………………………………6分∵ BM =DG= HG -HD= BC -HD =CD -CE ，∴CE BM. ……………………………………………7分（3）BN ⊥NE ；CEBM.………………………………………………8分。
2012北京西城高考二模数学理(含解析)
北京市西城区2012年高三二模试卷 数 学（理科)2012．5 第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分． 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合2{|log 1}A x x =<，{|0B x x c =<<，其中0}c >．若A B B =，则c 的取值范 围是（ ）．A ．(0,1]B ．[1,)+∞C ．(0,2]D ．[2,)+∞2．执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数： ①()e x f x =； ②()e x f x =-； ③1()f x x x -=+； ④1()f x x x -=- ． 则输出函数的序号为（ ）．A ．①B ．②C ．③D ．④3．椭圆 3cos 5sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ是参数）的离心率是（ ）．A ．35B ．45C ．925D ．16254．已知向量(,1)x =a ，(,4)x =-b ，其中x ∈R ．则“2x =”是“⊥a b ”的（ ）． A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件 5．右图是1，2两组各7名同学体重（单位：kg ） 数据的茎叶图．设1，2两组数据的平均数依次 为1x 和2x ，标准差依次为1s 和2s ，那么（ ）． （注：标准差222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++-，其中x 为12,,,n x x x 的平均数）A ．12x x >，12s s >B ．12x x >，12s s <C ．12x x <，12s s <D ．12x x <，12s s >6．已知函数()1f x kx =+，其中实数k 随机选自区间[2,1]-．对[0,1]x ∀∈，()0f x ≥的概率是（ ）．A ．13B ．12C ．23D ．347．某大楼共有12层，有11人在第1层上了电梯，他们分别要去第2至第12层，每层1人．因 特殊原因，电梯只允许停1次，只可使1人如愿到达，其余10人都要步行到达所去的楼层．假设这10位乘客的初始“不满意度”均为0，乘客每向下步行1层的“不满意度”增量为1，每向上步行1层的“不满意度”增量为2，10人的“不满意度”之和记为S ，则S 的最小值是（ ）．A ．42B ．41C ．40D ．398．对数列{}n a ，如果*k ∃∈N 及12,,,k λλλ∈R ，使1122n k n k n k k n a a a a λλλ++-+-=+++成立，其中*n ∈N ，则称{}n a 为k 阶递归数列．给出下列三个结论： ①若{}n a 是等比数列，则{}n a 为1阶递归数列； ②若{}n a 是等差数列，则{}n a 为2阶递归数列；③若数列{}n a 的通项公式为2n a n =，则{}n a 为3阶递归数列． 其中，正确结论的个数是（ ）． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9．在ABC △中，3BC =，2AC =，π3A =，则B =_____．10．已知复数z 满足(1i)1z -⋅=，则z =_____．11．如图，ABC △是⊙O 的内接三角形，PA 是⊙O 的切线，PB 交AC 于点E ，交⊙O 于点D ．若 PA PE =，60ABC ∠=，1PD =，9PB =，则PA =_____；EC =_____．12．已知函数2()1f x x bx =++是R 上的偶函数，则实数b =_____；不等式(1)||f x x -<的解集为_____．13．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，该几何体的体积是_____；若该几何体的所有顶点在同一球面上，则球的表面积是_____．14．曲线C 是平面内到定点(0,1)F 和定直线:1l y =-的距离之和等于4的点的轨迹，给出下列三个结论： ① 曲线C 关于y 轴对称；② 若点(,)P x y 在曲线C 上，则||2y ≤；③ 若点P 在曲线C 上，则1||4PF ≤≤． 其中，所有正确结论的序号是____________．三、解答题共6小题，共80分． 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）已知函数22π()cos ()sin 6f x x x =--．（Ⅰ）求π()12f 的值；（Ⅱ）若对于任意的π[0,]2x ∈，都有()f x c ≤，求实数c 的取值范围．如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直．AB∥CD，AB BC⊥，22AB CD BC==，EA EB⊥．（Ⅰ）求证：AB DE⊥；（Ⅱ）求直线EC与平面ABE所成角的正弦值；（Ⅲ）线段EA上是否存在点F，使EC∥平面FBD？若存在，求出EFEA；若不存在，说明理由．甲、乙两人参加某种选拔测试．在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是35，乙能答对其中的5道题．规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）减5分，至少得15分才能入选．（Ⅰ）求乙得分的分布列和数学期望；（Ⅱ）求甲、乙两人中至少有一人入选的概率．已知抛物线24y x =的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点． （Ⅰ）若2AF FB =，求直线AB 的斜率；（Ⅱ）设点M 在线段AB 上运动，原点O 关于点M 的对称点为C ，求四边形OACB 面积的最小值．已知函数2221()1ax a f x x +-=+，其中a ∈R ．（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在原点处的切线方程；（Ⅱ）求()f x 的单调区间；（Ⅲ）若()f x 在[0,)+∞上存在最大值和最小值，求a 的取值范围．若12(0n n i A a a a a ==或1,1,2,,)i n =，则称n A 为0和1的一个n 位排列．对于n A ，将排列121n n a a a a -记为1()n R A ；将排列112n n n a a a a --记为2()n R A ；依此类推，直至()n n n R A A =．对于排列n A 和()i n R A (1,2,,1)i n =-，它们对应位置数字相同的个数减去对应位置数字不同的个数，叫做n A 和()i n R A 的相关值，记作(,())i n n t A R A ．例如3110A =，则 13()011R A =，133(,())1t A R A =-．若(,())1(1,2,,1)i n n t A R A i n =-=-，则称n A 为最佳排列．（Ⅰ）写出所有的最佳排列3A ； （Ⅱ）证明：不存在最佳排列5A ；（Ⅲ）若某个21(k A k +是正整数)为最佳排列，求排列21k A +中1的个数．北京市西城区2012年高三二模试卷数学（理科）参考答案及评分标准2012．5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．1．D ； 2．D ； 3．B ； 4．A ； 5．C ； 6．C ； 7．C ； 8．D ． 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．π4； 10．1i22+； 11．3，4； 12．0，()1,2 13．13，3π； 14．① ② ③．注：11、12、13第一问2分，第二问3分；14题少填不给分． 三、解答题：本大题共6小题，共80分． 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：22ππππ3()cos ()sin cos 1212126f =--==． ………………5分（Ⅱ）解：1π1()[1cos(2)](1cos2)232f x x x =+--- ………………7分1π133[cos(2)cos2](2cos2)2322x x x x =-+=+ ………………8分 3π)3x =+． ………………9分 因为 π[0,]2x ∈，所以 ππ4π2[,]333x +∈， ………………10分所以当 ππ232x +=，即 π12x =时，()f x 3． ……………11分 所以 π[0,]2x ∀∈，()f x c ≤等价于 3c ≤．故当 π[0,]2x ∀∈，()f x c ≤时，c 的取值范围是3[)+∞． ……………13分16．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：取AB 中点O ，连结EO ，DO ．因为EB EA =，所以EO AB ⊥． ……………1分 因为四边形ABCD 为直角梯形，22AB CD BC ==，AB BC ⊥， 所以四边形OBCD 为正方形，所以AB OD ⊥． …2分 所以AB ⊥平面EOD ． ………………3分 所以AB ED ⊥． ………………4分 （Ⅱ）解：因为平面ABE ⊥平面ABCD ，且 EO AB ⊥，所以EO ⊥平面ABCD ，所以EO OD ⊥． 由,,OB OD OE 两两垂直，建立如图所示的空间直角 坐标系O xyz -． …………5分因为三角形EAB 为等腰直角三角形，所以OA OB OD OE ===，设1OB =，所以 (0,0,0),(1,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(0,0,1)O A B C D E -．所以 (1,1,1)EC =-，平面ABE 的一个法向量为(0,1,0)OD =． ……………7分 设直线EC 与平面ABE 所成的角为θ， 所以||3sin |cos ,|||||EC OD EC OD EC OD θ⋅=〈〉==即直线EC 与平面ABE ． …………9分 （Ⅲ）解：存在点F ，且13EF EA =时，有EC ∥平面FBD ． ………10分 证明如下：由111(,0,)333EF EA ==--，12(,0,)33F -，所以42(,0,)33FB =-．设平面FBD 的法向量为n (,,)a b c =，则有0,0.BD FB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 所以 0,420.33a b a z -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩取1a =，得(1,1,2)=n ． ………………12分 因为 EC ⋅n (1,1,1)(1,1,2)0=-⋅=，且EC ⊄平面FBD ，所以EC ∥平面FBD ． 即点F 满足13EF EA =时，有EC ∥平面FBD ． ………………14分 17．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：设乙答题所得分数为X ，则X 的可能取值为15,0,15,30-．………………1分35310C 1(15)C 12P X =-==； 2155310C C 5(0)C 12P X ===；1255310C C 5(15)C 12P X ===； 35310C 1(30)C 12P X ===． ………………5分乙得分的分布列如下：分155115(15)01530121212122EX =⨯-+⨯+⨯+⨯=． ………………7分 （Ⅱ）解：由已知甲、乙至少答对2题才能入选，记甲入选为事件A ，乙入选为事件B ．则223332381()C ()()()555125P A =+=， ………………10分511()12122P B =+=． ………………11分故甲乙两人至少有一人入选的概率4411031()11252125P P A B =-⋅=-⨯=． ……13分 18．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：依题意(1,0)F ，设直线AB 方程为1x my =+． ………………1分将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，消去x 得2440y my --=． …………3分 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，所以 124y y m +=，124y y =-． ① ………………4分 因为2AF FB =，所以122y y =-． ② ………………5分 联立①和②，消去12,y y，得m = ………6分 所以直线AB的斜率是± ………………7分（Ⅱ）解：由点C 与原点O 关于点M 对称，得M 是线段OC 的中点，从而点O 与点C 到直线AB 的距离相等，所以四边形OACB 的面积等于2AOB S △． ……………… 9分 因为12122||||2ABC S OF y y =⨯⋅⋅-△ ………………10分= ………………12分所以0m =时，四边形OACB 的面积最小，最小值是4． ………………13分 19．（本小题满分14分） （Ⅰ）解：当1a =时，22()1x f x x =+，22(1)(1)()2(1)x x f x x +-'=-+． ………………2分由 (0)2f '=，得曲线()y f x =在原点处的切线方程是20x y -=．…………3分 （Ⅱ）解：2()(1)()21x a ax f x x +-'=-+． ………………4分① 当0a =时，22()1xf x x '=+． 所以()f x 在(0,)+∞单调递增，在(,0)-∞单调递减． ………………5分 当0a ≠，21()()()21x a x a f x a x +-'=-+．② 当0a >时，令()0f x '=，得1x a =-，21x=，()f x 与()f x '的情况如下：故()f x 的单调减区间是(,)a -∞-，1(,)a +∞；单调增区间是1(,)a a-． ………7分③ 当0a <时，()f x 与()f x '的情况如下：所以()f x 的单调增区间是1(,)a-∞；单调减区间是1(,)a a --，(,)a -+∞．………………9分 （Ⅲ）解：由（Ⅱ）得， 0a =时不合题意． ………………10分 当0a >时，由（Ⅱ）得，()f x 在1(0,)a单调递增，在1(,)a +∞单调递减，所以()f x 在(0,)+∞上存在最大值21()0f a a=>．设0x 为()f x 的零点，易知2012a x a-=，且01x a <．从而0x x >时，()0f x >；0x x <时，()0f x <．若()f x 在[0,)+∞上存在最小值，必有(0)0f ≤，解得11a -≤≤．所以0a >时，若()f x 在[0,)+∞上存在最大值和最小值，a 的取值范围是(0,1]． ………………12分 当0a <时，由（Ⅱ）得，()f x 在(0,)a -单调递减，在(,)a -+∞单调递增，所以()f x在(0,)+∞上存在最小值()1f a -=-．若()f x 在[0,)+∞上存在最大值，必有(0)0f ≥，解得1a ≥，或1a ≤-．所以0a <时，若()f x 在[0,)+∞上存在最大值和最小值，a 的取值范围是(,1]-∞-． 综上，a 的取值范围是(,1](0,1]-∞-． ………………14分 20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：最佳排列3A 为110，101，100，011，010，001． ………………3分 （Ⅱ）证明：设512345A a a a a a =，则1551234()R A a a a a a =，因为 155(,())1t A R A =-，所以15||a a -，21||a a -，32||a a -，43||a a -，54||a a -之中有2个0，3个1． 按512345a a a a a a →→→→→的顺序研究数码变化，由上述分析可知有2次数码不发生改变，有3次数码发生了改变． 但是5a 经过奇数次数码改变不能回到自身， 所以不存在5A ，使得155(,())1t A R A =-，从而不存在最佳排列5A ． ………………7分 （Ⅲ）解：由211221(0k k i A a a a a ++==或1,1,2,,21)i k =+，得12121122()k k k R A a a a a ++=， 2212211221()k k k k R A a a a a a ++-=，……2121342112()k k k R A a a a a a -++=， 22123211()k k k R A a a a a ++=．因为2121(,())1(1,2,,2)i k k t A R A i k ++=-=，所以21k A +与每个21()i k R A +有k 个对应位置数码相同，有1k +个对应位置数码不 同，因此有12121221212||||||||1k k k k k a a a a a a a a k +-+-+-++-+-=+， 122212222121||||||||1k k k k k k a a a a a a a a k +-+--+-++-+-=+，……，132421212||||||||1k k a a a a a a a a k +-+-++-+-=+，1223221211||||||||1k k k a a a a a a a a k ++-+-++-+-=+．以上各式求和得， (1)2S k k =+⨯． ………………10分 另一方面，S 还可以这样求和：设12221,,...,,k k a a a a +中有x 个0，y 个1，则2S xy =． ………………11分 所以21,22(1).x y k xy k k +=+⎧⎨=+⎩解得,1,x k y k =⎧⎨=+⎩或1,.x k y k =+⎧⎨=⎩ 所以排列21k A +中1的个数是k 或1k +． ………………13分北京市西城区高三二模试卷 数学（理科）选填解析一、 选择题 1．【答案】D【解析】解：当{}{}2|log 102A x x x =<=<<， A B B =，A B ∴⊆，即2c ≥．故选D ．2．【答案】D【解析】解：由题可知输出的函数为存在零点的函数， 因为()e 0x f x =>，所以该函数不存在零点； 因为()e 0x f x =-<，所以该函数不存在零点；因为1()f x x x -=+为对勾函数且()2f x ≤-或()2f x ≥，所以该函数不存在零点； 因为当1x =时，1()0f x x x -=-=，所以该函数存在零点． 故选D ．3．【答案】B【解析】解：由参数方程的知识可知椭圆方程为221259y x +=，故离心率45c e a ==． 故选B ．4．【答案】A【解析】解：当⊥a b 时，()()2,1,440x x x ⋅=⋅-=-+=a b ，即2x =±，所以2x =是2x =±的充分不必要条件． 故选A ．5．【答案】C【解析】解：可知()1153565758617072617x =⨯++++++=，()2154565860617273627x =⨯++++++=；1s =，2s =故选C ．6．【答案】C【解析】解：由题可知()110f k =+≥，()010f =≥，故1k ≥-，所以概率()()112123p --==--． 故选C ．7．【答案】C【解析】解：由题可知，设在第()212n n ≤≤层下，S 达到最小值， 而()()23110S n n n =-+-++⨯+⨯⎡⎤⎣⎦()()111122n n +++-+-⨯⎡⎤⎣⎦()()()()1213122n n n n -⨯-=+-⨯-235315722n n =-+，可知函数的对称轴为536n =，由于n 为整数， 故当9n =时，min 40S =． 故选C ．8．【答案】D【解析】解：① 正确．若数列{}n a 为等比数列， 且为1阶递归数列，只需存在1λ∈R ， 使得111111n n n n a a a q a q λλ-+=+⇔=， 即1q λ=，满足题意；② 正确．若数列{}n a 为等差数列， 且为2阶递归数列，只需存在12,λλ∈R ，使得()[]()21121112111n n n a a a a n d a nd a n d λλλλ++=+⇔++=+++-⎡⎤⎣⎦， 即121λλ=+且()1221n n λλλ+=+-， 当122,1λλ==-时，满足题意；③ 正确．若数列{}n a 的通项公式为2n a n =， 且为3阶递归数列，只需存在123,,λλλ∈R ，使得()()()2222312213123321n n n n a a a a n n n n λλλλλλ+++=++⇔+=++++， 即1231212142649λλλλλλλ++=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩， 当1233,3,1λλλ==-=时，满足题意． 故选D ．二、 填空题 9．【答案】π4【解析】解：由正弦定理可知sin sin sin sin 3BC AC B A B ===， 所以π4B =． 故答案为π4．10．【答案】1i 22+ 【解析】解：由题可知111i 1i 1i 1i 1i 2z ++==⋅=--+． 故答案为1i22+．11．【答案】3，4【解析】解：由切割线定理可知219PA PD PB =⋅=⨯，所以3PA =； 因为60PAC ABC ∠=∠=，且PA PE =，故3AE AP EP ===，则2DE PE PD =-=，6BE PB PE =-=，由相交弦定理可知312AE EC BE ED EC ⋅=⋅⇒=，所以4EC =． 故答案为3，4．12．【答案】0，()1,2【解析】解：由题可知002bb -=⇒=；当0x ≥，则不等式为()221132012x x x x x -+<⇒-+<⇒<<， 当0x <，则不等式为()221120x x x x -+<-⇒-+<， 因为180∆=-<，故方程无解． 故答案为0，()1,2．13．【答案】13，3π【解析】解：由题可知,,PA AB AD 两两垂直，所以1133V PA AB AD =⋅⋅⋅=；可知三棱锥P ABCD -的外接球的直径为PC =所以表面积2224π4π4π3π2PC S r ⎛⎫==⋅=⨯= ⎪⎝⎭⎝⎭． 故答案为13，3π．14．【答案】① ② ③【解析】解：设曲线C 上的动点为(),P x y ，则14y +=，整理的216481x y y =+-+，① 正确．显然()1,P x y -也满足曲线方程， 则曲线C 关于y 轴对称；② 正确．当1y ≥-时，2224x y =-≤，故12y -≤≤；当1y <-时，22212x y =-≥-，故21y -≤<-； 综上，2y ≤；PDCBA③ 正确．由题可知41PF y =-+， 因为22y -≤≤，所以013y ≤+≤， 故14PF ≤≤． 故答案为① ② ③．友情提示：部分文档来自网络整理，供您参考！文档可复制、编制，期待您的好评与关注！。
北京市海淀区高三二模数学理科含答案
海淀区高三年级第二学期期末练习数 学 （理科） 2013.5本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.集合{}|(1)(2)0A x x x =-+≤，B ={}0x x <，则A B = A ．(,0]-∞ B ．(,1]-∞ C ．[1,2] D ．[1,)+∞2.已知数列{}n a 是公比为q 的等比数列，且134a a ⋅=，48a =，则1a q +的值为 A ．3 B ．2 C ．3或2- D ．3或3-3. 如图，在边长为a 的正方形内有不规则图形Ω. 向正方形内随机撒豆子，若 撒在图形Ω内和正方形内的豆子数分别为,m n ，则图形Ω面积的估计值为A.ma nB.na mC. 2ma nD. 2na m4.某空间几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为 A.180 B.240 C.276 D.3005.在四边形ABCD 中，“λ∃∈R ，使得,AB DC AD BC λλ==”是“四边形ABCD 为平行四边形”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6.用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，且5不排在百位，2，4都不排在个位和万位，则这样的五位数个数为A.32B. 36C. 42D.487.双曲线C 的左右焦点分别为12,F F ，且2F 恰为抛物线24y x =的焦点，设双曲线C 与该抛物线的一个交点为A ，若12AF F ∆是以1AF 为底边的等腰三角形，则双曲线C 的离心率为 A. 2 B.12+ C.13+ D.23+666左视图5俯视图主视图8. 若数列{}n a 满足：存在正整数T ，对于任意正整数n 都有n T n a a +=成立，则称数列{}n a 为周期数列，周期为T . 已知数列{}n a 满足1(0)a m m =>，11, 1=1, 0 1.n n n n na a a a a +->⎧⎪⎨<≤⎪⎩，则下列结论中错误．．的是 A. 若34a =，则m 可以取3个不同的值 B. 若2m =，则数列{}n a 是周期为3的数列C.T ∀∈*N 且2T ≥，存在1m >，{}n a 是周期为T 的数列D.Q m ∃∈且2m ≥，数列{}n a 是周期数列二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9. 在极坐标系中，极点到直线cos 2ρθ=的距离为_______.10.已知1211ln ,sin ,222a b c -===，则,,a b c 按照从大到小．．．．排列为______. 11.直线1l 过点(2,0)-且倾斜角为30，直线2l 过点(2,0)且与直线1l 垂直，则直线1l 与直线2l 的交点坐标为____.12.在ABC ∆中，30,45,2A B a ∠=∠==，则_____;b =C _____.AB S ∆=13.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，若动点P 在线段1BD 上运动，则DC AP ⋅的取值范围是______________.14.在平面直角坐标系中，动点(,)P x y 到两条坐标轴的距离之和等于它到点(1,1)的距离，记点P 的轨迹为曲线W . (I) 给出下列三个结论： ①曲线W 关于原点对称； ②曲线W 关于直线y x =对称；③曲线W 与x 轴非负半轴，y 轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于12； 其中，所有正确结论的序号是_____。
2012届北京市海淀区高三期末数学理科试题(WORD精校版)
北京市海淀区2012届高三上学期期末考试试题数 学（理）2012.01一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）复数52i=+ ( ) （A ）2i - （B ）21i 55+ （C ）105i - （D ）105i 33- （2）如图，正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点.那么=EF（A ）1123AB AD-（B ）1142AB AD+（C ）1132AB DA+（D ）1223AB AD-（3）若数列{}n a 满足：119a =，13(*)n n a a n +=-∈N ，则数列{}n a 的前n 项和数值最大时，n 的值是（A ）6 （B ）7 （C ）8 （D ）9（4）已知平面α，β，直线l ，若αβ^，l αβ= ，则（A ）垂直于平面β的平面一定平行于平面α （B ）垂直于直线l 的直线一定垂直于平面α （C ）垂直于平面β的平面一定平行于直线l （D ）垂直于直线l 的平面一定与平面α,β都垂直（5）函数()sin(2)(,)f x A x A ϕϕ=+ R 的部分图象如图所示，那么(0)f = （ ）（A ）12-（B）2-（C ）1- （D）-（6）执行如图所示的程序框图，输出的i 值为（ ）（A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8（7）已知函数2()cos sin f x x x =+，那么下列命题中假命题．．．是 （ ） （A ）()f x 既不是奇函数也不是偶函数 （B ）()f x 在[,0]π-上恰有一个零点（C ）()f x 是周期函数 （D ）()f x 在(,2π5π)6上是增函数（8）点P 到图形C 上每一个点的距离的最小值称为点P 到图形C 的距离，那么平面内到定圆C 的距离与到定点A 的距离相等的点的轨迹不可能．．．是 （ ）（A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线的一支 （D ）直线 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上.（9）51)的展开式中2x 的系数是 . （用数字作答）（10）若实数,x y 满足40,20,250,x y x y x y ì+- ïïï-- íïï+- ïïî则2z x y =+的最大值为 .（11）抛物线2x ay =过点1(1,)4A ，则点A 到此抛物线的焦点的距离为 .甲城市 乙城市（12）甲和乙两个城市去年上半年每月的平均气温（单位：C °）用茎叶图记录如下，根据茎叶图可知，两城市中平均温度较高的城市是____________，气温波动较大的城市是____________.（13）已知圆C ：22(1)2x y -+=，过点(1,0)A -的直线l 将圆C 分成弧长之比为1:3的两段圆弧，则直线l 的方程为 . （14）已知正三棱柱'''ABC A B C -的正（主）视图和侧（左）视图如图所示. 设,'''ABC A B C ∆∆的中心分别是,'O O ，现将此三棱柱绕直线'OO 旋转，射线OA 旋转所成的角为x 弧度（x 可以取到任意一个实数），对应的俯视图的面积为()S x ，则函数()S x 的最大值为 ；最小正周期为 .8,3π说明：“三棱柱绕直线'OO 旋转”包括逆时针方向和顺时针方向，逆时针方向旋转时，OA 旋转所成的角为正角，顺时针方向旋转时，OA 旋转所成的角为负角.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分13分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， 2A B =，sin 3B =. （Ⅰ）求cos A 及sinC 的值； （Ⅱ）若2b =，求ABC ∆的面积.9 0 8 7 7 3 1 2 4 72 2 0 4 7侧（左）视图正（主）视图(16)（本小题满分13分）为加强大学生实践、创新能力和团队精神的培养，促进高等教育教学改革，教育部门主办了全国大学生智能汽车竞赛. 该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，参加决赛的队伍按照抽签方式决定出场顺序.通过预赛，选拔出甲、乙等五支队伍参加决赛. （Ⅰ）求决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率；（Ⅱ）若决赛中甲队和乙队之间间隔的队伍数记为X ，求X 的分布列和数学期望.(17)（本小题满分14分）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，AB ∥CD ，90ABC ? ，2AB PB PC BC CD ====，平面PBC ^平面ABCD .（Ⅰ）求证：AB ^平面PBC ；（Ⅱ）求平面PAD 和平面BCP 所成二面角（小于90°）的大小； （Ⅲ）在棱PB 上是否存在点M 使得CM ∥平面PAD ？若存在，求PMPB的值；若不存在，请说明理由.(18)（本小题满分13分）已知函数2()e ()xf x x ax a =+-，其中a 是常数.PABC D(Ⅰ)当1a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）若存在实数k ，使得关于x 的方程()f x k =在[0,)+∞上有两个不相等的实数根，求k 的取值范围.(19)（本小题满分14分）已知焦点在x 轴上的椭圆C 过点(0,1),Q 为椭圆C 的左顶点. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程； （Ⅱ）已知过点6(,0)5-的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点. （ⅰ）若直线l 垂直于x 轴，求AQB ∠的大小;（ⅱ）若直线l 与x 轴不垂直，是否存在直线l 使得QAB ∆为等腰三角形？如果存在，求出直线l 的方程；如果不存在，请说明理由.(20)（本小题满分14分）已知集合{1,2,3,,}(*)M n n = N ，若集合12{,,,}(*)m A a a a M m =臀N ，且对任意的b M Î，存在,(1)i j a a A i jm 危＃，使得12i j b a a λλ=+（其中12,{1,0,1}λλ?），则称集合A 为集合M 的一个m 元基底.（Ⅰ）分别判断下列集合A 是否为集合M 的一个二元基底，并说明理由； ①{1,5}A =，{1,2,3,4,5}M =；②{2,3}A =，{1,2,3,4,5,6}M =.（Ⅱ）若集合A 是集合M 的一个m 元基底，证明：(1)m m n + ；（Ⅲ）若集合A 为集合{1,2,3,,19}M = 的一个m 元基底，求出m 的最小可能值，并写出当m 取最小值时M 的一个基底A .参考答案及评分标准 2012．01一. 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 题号 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 答案ADBDCABD二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. （9）5 （10）7 （11）54（12）乙，乙（13）(1)3y x =+或(1)3y x =-+ （14）8；3π注：（13）题正确答出一种情况给3分，全对给5分；（12）、（14）题第一空3分；第二空2分.三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为2A B =，所以2cos cos 212sin A B B ==-. ………………………………………2分因为sin B =， 所以11cos 1233A =-?. ………………………………………3分 由题意可知，(0,)2B πÎ.所以cos B =………………………………………5分因为sin sin 22sin cos A B B B ===.………………………………………6分 所以sin sin[()]sin()C A B A B π=-+=+sin cos cos sin A B A B =+=. ………………………………………8分 （Ⅱ）因为sin sin b aB A=，2b =， ………………………………………10分=.所以3a =. ………………………………………11分所以1sin 29ABC S ab C ∆==. ………………………………………13分 (16)（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设“甲、乙两支队伍恰好排在前两位”为事件A ，则()23!15!10P A ⨯==. ………………………………………4分 所以 甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率为110.………………………………………5分（Ⅱ）随机变量X 的可能取值为0, 1, 2, 3. ………………………………………6分()24!205!5P X ⨯===， ()323!315!10P X ⨯⨯===，()22!32!125!5P X ⨯⨯⨯===，()23!135!10P X ⨯===. ………………………………………10分随机变量X 的分布列为：因为 01231510510EX =⨯+⨯+⨯+⨯=，所以 随机变量X 的数学期望为1. ………………………………………13分(17)（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为 90ABC? ，所以 AB BC ⊥. ………………………………………1分 因为 平面PBC ^平面ABCD ，平面PBC 平面ABCD BC =，AB Ì平面ABCD ，所以 AB ^平面PBC . ………………………………………3分 （Ⅱ）解：取BC 的中点O ，连接PO . 因为PB PC =， 所以 PO BC ⊥.因为 平面PBC ^平面ABCD ，平面PBC 平面ABCD BC =，PO Ì平面PBC ， 所以 PO ^平面ABCD . ………………………………………4分 如图，以O 为原点，OB 所在的直线为x 轴，在平面ABCD 内过O 垂直于BC 的直线为y 轴，OP 所在的直线为z 轴建立空间直角坐标系O xyz -．不妨设2BC =.由 直角梯形ABCD 中2AB PB PC BC CD ====可得P ，(1,1,0)D -，(1,2,0)A .所以(1,DP =- ，(2,1,0)DA =.设平面PAD 的法向量(,,)=x y z m .因为 0,0.DP DAìï?ïíï?ïî m m所以(,,)(1,0,(,,)(2,1,0)0,x y z x y z ìï?=ïíï?ïî即0,20.x y x y ìï-+=ïíï+=ïî 令1x =，则2, y z =-=-所以(1,2,=--m . ………………………………………7分取平面BCP 的一个法向量n ()0,1,0=. 所以cos ,⋅==m n m n m n . 所以 平面ADP 和平面BCP 所成的二面角（小于90°）的大小为4π. ………………………………………9分 （Ⅲ）解：在棱PB 上存在点M 使得CM ∥平面PAD ，此时12PM PB =. 理由如 下： ………………………………………10分 取AB 的中点N ，连接CM ，CN ，MN . 则 MN ∥PA ，12AN AB =. 因为 2AB CD =，NMPABCD所以 AN CD =. 因为 AB ∥CD ，所以 四边形ANCD 是平行四边形. 所以 CN ∥AD .因为 , MN CN N PA AD A == ，所以 平面MNC ∥平面PAD . ………………………………………13分 因为 CM Ì平面MNC ，所以 CM ∥平面PAD . ………………………………………14分(18)（本小题满分13分）解：(Ⅰ)由2()e ()xf x x ax a =+-可得2'()e [(2)]xf x x a x =++. ………………………………………2分 当1a =时,(1)e f = ,'(1)4e f =. ………………………………………4分 所以 曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为()e 4e 1y x -=-，即4e 3e y x =-. ………………………………………5分 （Ⅱ） 令2'()e ((2))0xf x x a x =++=，解得(2)x a =-+或0x =. ………………………………………6分 当(2)0a -+≤，即2a ≥-时，在区间[0,)+∞上，'()0f x ≥，所以()f x 是[0,)+∞上的增函数.所以 方程()f x k =在[0,)+∞上不可能有两个不相等的实数根.………………………………………8分当(2)0a -+>，即2a <-时，()'(),f x f x 随x 的变化情况如下表由上表可知函数()f x 在[0,)+∞上的最小值为2((2))ea f a +-+=. ………………………………………10分 因为 函数()f x 是(0,(2))a -+上的减函数，是((2),)a -++∞上的增函数， 且当x a ≥-时，有()f x e ()aa a -≥->-. ………………………………………11分所以 要使方程()f x k =在[0,)+∞上有两个不相等的实数根，k 的取值范围必须是24(,]e a a a ++-. ……………………………………13分 (19)（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设椭圆C 的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，且222a b c =+.由题意可知：1b =，2c a =. ………………………………………2分 所以24a =.所以，椭圆C 的标准方程为2214x y +=. ……………………………………3分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得(2,0)Q -.设1122(,),(,)A x y B x y . （ⅰ）当直线l 垂直于x 轴时，直线l 的方程为65x =-. 由226,514x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 解得：6,545x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或6,54.5x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩即6464(,), (,)5555A B ---（不妨设点A 在x 轴上方）.………………………………………5分则直线AQ 的斜率1AQ k =，直线BQ 的斜率1BQ k =-. 因为 1AQ BQ k k ⋅=-， 所以 AQ BQ ^.所以 2AQB π∠=. ………………………………………6分 （ⅱ）当直线l 与x 轴不垂直时，由题意可设直线AB 的方程为6()(0)5y k x k =+≠.由226(),514y k x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y 得：2222(25100)2401441000k x k x k +++-=. 因为 点6(,0)5-在椭圆C 的内部，显然0∆>. 21222122240,25100144100.25100k x x k k x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩………………………………………8分 因为 1122(2,), (2,)QA x y QB x y =+=+ ，116()5y k x =+，226()5y k x =+，所以 1212(2)(2)QA QB x x y y ⋅=+++121266(2)(2)()()55x x k x k x =++++⋅+ 2221212636(1)(2)()4525k x x k x x k =++++++ 2222222144100624036(1)(2)()402510052510025k k k k k k k -=+++-++=++. 所以 QA QB ⊥.所以 QAB ∆为直角三角形. ………………………………………11分 假设存在直线l 使得QAB ∆为等腰三角形，则QA QB =取AB 的中点M ，连接QM ，则QM AB ^.记点6(,0)5-为N . 另一方面，点M 的横坐标22122212024225100520M x x k k x k k+==-=-++， 所以 点M 的纵坐标266()5520M M ky k x k=+=+. 所以 222221016666(,)(,)520520520520k k k QM NMk k k k+? ++++222601320(520)k k += +. 所以 QM 与NM不垂直，矛盾.所以 当直线l 与x 轴不垂直时，不存在直线l 使得QAB ∆为等腰三角形.………………………………………13分(20)（本小题满分14分）解：（Ⅰ）①{1,5}A =不是{1,2,3,4,5}M =的一个二元基底.理由是 1212315(,{1,0,1})λλλλ棺+孜-；②{2,3}A =是{1,2,3,4,5,6}M =的一个二元基底. 理由是 11213,21203,30213=-????? ， 41212,51213,61313=????? .………………………………………3分 （Ⅱ）不妨设12m a a a <<< ，则 形如10i j a a ? (1)ij m ＃ 的正整数共有m 个； 形如11ii a a ? (1)im ＃的正整数共有m 个；形如11i j a a ? (1)ij m ? 的正整数至多有2mC 个； 形如(1)1i j a a -? (1)ij m ? 的正整数至多有2mC 个. 又集合{1,2,3,,}M n = 含n 个不同的正整数，A 为集合M 的一个m 元基底. 故22m m m m C C n +++ ，即(1)m m n + . ………………………………………8分 （Ⅲ）由（Ⅱ）可知(1)19m m + ，所以4m ³.当4m =时，(1)191m m +-=，即用基底中元素表示出的数最多重复一个. * 假设1234{,,,}A a a a a =为{1,2,3,,19}M = 的一个4元基底， 不妨设1234a a a a <<<，则410a ³. 当410a =时，有39a =，这时28a =或7.如果28a =，则由1109,198,1899,18108=-=-=+=+，与结论*矛盾. 如果27a =，则16a =或5.易知{6,7,9,10A =和{5,7,9,10}A =都不是{1,2,3,,19M = 的4元基底，矛盾. 当411a =时，有38a =，这时27a =，16a =，易知{6,7,8,11}A =不是{1,2,3,,19M = 的4元基底，矛盾.当412a =时，有37a =，这时26a =，15a =，易知{5,6,7,12}A =不是{1,2,3,,19M = 的4元基底，矛盾.当413a =时，有36a =，25a =，14a =，易知{4,5,6,1A =不是{1,2,3,,1M = 的4元基底，矛盾. 当414a =时，有35a =，24a =，13a =，易知{3,4,5,1A =不是{1,2,3,,M = 的4元基底，矛盾.当415a =时，有34a =，23a =，12a =，易知{2,3,4,1A =不是{1,2,3,,1M = 的4元基底，矛盾. 当416a =时，有33a =，22a =，11a =，易知{1,2,3,16}A =不是{1,2,3,,M = 的4元基底，矛盾.当417a ³时，A 均不可能是M 的4元基底.当5m =时，M 的一个基底{1,3,5,9,16}A =；或{3,7,8,9,10}；或{4,7,8,9,10}等，只要写出一个即可.综上，m 的最小可能值为5. ………………………………………14分。
2012海淀二模数学word答案
海淀区九年级第二学期期末练习数学试卷答案及评分参考 2012. 6说明: 与参考答案不同, 但解答正确相应给分. 一、选择题（本题共32分，每小题4分）1. B2. C3. A4. C5. B6. D7. D8. C 二、填空题（本题共16分，每小题4分）9.23x ≥10. 5 11. 12 12．8; 21n n +- （每空各 2分） 三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．解：11125()3tan604-+--+︒=235433+-+ …………………………………………………4分=531+. …………………………………………………5分14．解：去分母，得 ()()()()63223x x x x x ++-=-+． ………………………………2分2261826x x x x x ++-=+-. ……………………………………………………3分 整理，得 324x =-．解得 8x =-． ………………………………………………………………4分 经检验，8x =-是原方程的解．所以原方程的解是8x =-． ……………………………………………………5分15．证明：∵ AC //EG ，∴ C CPG ∠=∠． …………1分 ∵ BC //EF ，∴ CPG FEG ∠=∠．∴ C FEG ∠=∠． …………………………………………2分在△ABC 和△GFE 中，,,,AC GE C FEG BC FE =⎧⎪∠=∠⎨=⎪⎩ ∴ △ABC ≌△GFE ． …………………………………………………4分∴A G ∠=∠． …………………………………………………5分16. 解：原式=()()()21111111a a a a a +-⋅-+-- ……………………………………………2分 =()21111a a a +--- …………………………………………………3分 =22.(1)a -- …………………………………………………4分由2220a a --=，得 2(1)3a -=. ∴ 原式=23-. ……5分17．解：（1）依题意设一次函数解析式为2y kx =+. …………………………………1分∵ 点A (2,0-)在一次函数图象上， ∴022k =-+. ∴ k =1. …2分∴ 一次函数的解析式为2y x =+. …………………………………3分 （2）ABC ∠的度数为15︒或105︒． （每解各1分） ……………………5分18．解: ∵∠ADB =∠CBD =90︒， ∴ DE ∥CB .∵ BE ∥CD ，∴ 四边形BEDC 是平行四边形. ………1分 ∴ BC=DE . GFEDC B AP D E C在Rt △ABD 中，由勾股定理得 2222(45)48AD AB BD =-=-=. ………2分设DE x =，则8EA x =-．∴8EB EA x ==-．在Rt △BDE 中，由勾股定理得 222DE BD EB +=.∴ 22248x x +=-（）． ……………………………………………………3分 ∴ 3x =．∴ 3BC DE ==． ……………………………………………………4分∴1116622.22ABD BDC ABCD S S S BD AD BD BC ∆∆=+=⋅+⋅=+=四边形 ………… 5分 四、解答题（本题共20分，第19题、第20题各5分，第21题6分, 第22题4分）19．解：（1）甲图文社收费s （元）与印制数t （张）的函数关系式为0.11s t =. ……1分（2）设在甲、乙两家图文社各印制了x 张、y 张宣传单， 依题意得 {1500,0.110.13179.x y x y +=+= ………………………………………… 2分解得800,700.x y =⎧⎨=⎩……………………………………………… 3分答：在甲、乙两家图文社各印制了800张、700张宣传单. ………………4分（3） 乙 . ……………………………………………………… 5分20.（1）证明：连结OC .∴ ∠DOC =2∠A . …………1分 ∵∠D = 90°2A -∠，∴∠D +∠DOC =90°. ∴ ∠OCD =90°. ∵ OC 是⊙O 的半径，∴ 直线CD 是⊙O 的切线. ………………………………………………2分 （2）解: 过点O 作OE ⊥BC 于E , 则∠OEC =90︒.∵ BC =4, ∴ CE =12BC =2. ∵ BC //AO , ∴ ∠OCE =∠DOC .∵∠COE +∠OCE =90︒, ∠D +∠DOC =90︒,∴ ∠COE =∠D . ……………………3分 ∵tan D =12,∴tan COE ∠=12.∵∠OEC =90︒, CE =2,∴4tan CEOE COE ==∠.在Rt △OEC 中, 由勾股定理可得 222 5.OC OE CE =+=在Rt △ODC 中, 由1tan 2OC D CD ==，得45CD =, ……………………4分由勾股定理可得 10.OD =∴2510.AD OA OD OC OD =+=+=+ …………………………………5分 21．解：（1）(64)50%20+÷=. 所以李老师一共调查了20名学生. …………………1分 （2）C 类女生有 3 名，D 类男生有 1 名；补充条形统计图略.说明：其中每空1分，条形统计图1分. ……………………………………4分 （3）解法一：由题意画树形图如下：………………………5分从树形图看出，所有可能出现的结果共有6种，且每种结果出现的可能性相等，所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的结果共有3种.所以P (所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学)=3162=. ………………6分解法二：由题意列表如下：A 类 D 类男 女 女男 （男，男）（女，男） （女，男） 女（男，女）（女，女）（女，女）………………………5分O DC BA EABCDO从D 类中选取从A 类中选取女女男男女女男女男由上表得出，所有可能出现的结果共有6种，且每种结果出现的可能性相等，所选 两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的结果共有3种.所以P (所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学)=3162=. ………………6分22.解：（1）画图如下：(答案不唯一) …………………………………2分图3 （2）图3中△FGH 的面积为7a. …………………………………4分 五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23. 解：（1）∵ 抛物线2(1)(2)1y m x m x =-+--与x 轴交于A 、B 两点，∴210,(2)4(1)0.m m m ì- ïïíïD =-+->ïî 由①得1m ¹，由②得0m ¹， ∴ m 的取值范围是0m ¹且1m ¹． ………………2分（2）∵ 点A 、B 是抛物线2(1)(2)1y m x m x =-+--与x 轴的交点，∴ 令0y =，即 2(1)(2)10m x m x -+--=． 解得 11x =-，211x m =-．∵1m >，∴10 1.1m >>--∵ 点A 在点B 左侧， ∴ 点A 的坐标为(1,0)-，点B 的坐标为1(,0)1m -. …………………………3分∴ OA=1，OB =11m -．∵ OA : OB =1 : 3，∴ 131m =-.∴ 43m =．∴ 抛物线的解析式为212133y x x =--． ………………………………………4分（3）∵ 点C 是抛物线212133y x x =--与y 轴的交点，∴ 点C 的坐标为(0,1)-.依题意翻折后的图象如图所示． 令7y =，即 2121733x x --=．解得16x =, 24x =-．∴ 新图象经过点D (6,7).当直线13y x b =+经过D 点时，可得5b =. 当直线13y x b =+经过C 点时，可得1b =-．当直线1(1)3y x b b =+<-与函数2121(0)33y x x x =-->的图象仅有一个公共点P (x 0, y 0)时，得20001121333x b x x +=--. 整理得 203330.x x b ---= 由2(3)4(33)12210b b D =----=+=，得74b =-．① ②lDC B A-4-3-2-18-8-71234567-6-5-4-3-2-17654321yxO H F G AB C E 1E 2E 3P 1P 2M 1M 2N 1N 2…………………………………………1分结合图象可知，符合题意的b 的取值范围为15b -<≤或74b <-． ……………7分 说明：15b -<≤ （2分），每边不等式正确各1分；74b <-（1分） 24.解：（1）∵22222221212112()()4422y x x x mx m m x m m m m m m =-=-+-⋅=--，∴抛物线的顶点B 的坐标为11(,)22m m -. ……………………………1分（2）令2220x x m-=，解得10x =, 2x m =. ∵ 抛物线x x m y 222-=与x 轴负半轴交于点A ，∴ A (m , 0), 且m <0. …………………………………………………2分过点D 作DF ⊥x 轴于F . 由 D 为BO 中点，DF //BC , 可得CF =FO =1.2CO∴ DF =1.2BC 由抛物线的对称性得 AC = OC . ∴ AF : AO =3 : 4.∵ DF //EO ,∴ △AFD ∽△AOE . ∴ .FD AFOE AO = 由E (0, 2)，B 11(,)22m m -，得OE =2, DF =14m -.∴134.24m-= ∴ m = -6.∴ 抛物线的解析式为2123y x x =--. …………………………………3分（3）依题意，得A （-6,0）、B (-3, 3)、C (-3, 0).可得直线OB 的解析式为x y -=,直线BC 为3x =-. 作点C 关于直线BO 的对称点C '(0，3)，连接AC '交BO于M ，则M 即为所求. 由A （-6，0），C ' (0, 3)，可得 直线AC '的解析式为321+=x y . 由13,2y x y x⎧=+⎪⎨⎪=-⎩ 解得2,2.x y =-⎧⎨=⎩ ∴ 点M 的坐标为(-2, 2). ……………4分由点P 在抛物线2123y x x =--上，设P (t ，2123t t --).(ⅰ)当AM 为所求平行四边形的一边时. 如右图，过M 作MG ⊥ x 轴于G ,过P 1作P 1H ⊥ BC 于H ,则x G = x M =-2, x H = x B =-3.由四边形AM P 1Q 1为平行四边形， 可证△AMG ≌△P 1Q 1H . 可得P 1H = AG =4.∴ t -(-3)=4.∴ t =1. ∴17(1,)3P -. ……………………5分 如右图，同 方法可得 P 2H=AG =4.∴ -3- t =4.∴ t =-7. ∴27(7,)3P --. ……………………6分(ⅱ)当AM 为所求平行四边形的对角线时,如右图，过M 作MH ⊥BC 于H , 过P 3作P 3G ⊥ x 轴于G , 则x H = x B =-3，x G =3P x =t .由四边形AP 3MQ 3为平行四边形，可证△A P 3G ≌△MQ 3H .yx O C'MC B A F ED yxO C BA P 1Q 1G HyxO C'MC B AH AB C MC'O xyG Q 2P 2Q 3P 3GH C yxO C'MBA可得AG = MH =1.∴ t -(-6)=1.∴ t =-5. ∴35(5,)3P -. 7分 综上，点P 的坐标为17(1,)3P -、27(7,)3P --、35(5,)3P -. 25. 解：（1）BN 与NE 的位置关系是BN ⊥NE ；CE BM=22. 证明：如图，过点E 作EG ⊥AF 于G , 则∠EGN =90°．∵ 矩形ABCD 中, AB =BC ，∴ 矩形ABCD 为正方形.∴ AB =AD =CD , ∠A =∠ADC =∠DCB =90°．∴ EG//CD , ∠EGN =∠A , ∠CDF =90°． ………………………………1分 ∵ E 为CF 的中点，EG//CD ,∴ GF =DG =11.22DF CD = ∴ 1.2GE CD = ∵ N 为MD (AD )的中点， ∴ AN =ND =11.22AD CD = ∴ GE =AN , NG=ND+DG=ND+AN=AD=AB . ……………………………2分∴ △NGE ≌△BAN ．∴ ∠1=∠2.∵ ∠2+∠3=90°，∴ ∠1+∠3=90°． ∴ ∠BNE =90°.∴ BN ⊥NE ． …………………………3分∵ ∠CDF =90°, CD =DF ,可得 ∠F =∠FCD =45°， 2.CF CD= . 于是122.2CF CE CE CE BM BA CD CD ==== ……………………………………4分 （2）在（1）中得到的两个结论均成立.证明：如图，延长BN 交CD 的延长线于点G ，连结BE 、GE ，过E 作EH ⊥CE ，交CD 于点H ．∵ 四边形ABCD 是矩形，∴ AB ∥CG ． ∴ ∠MBN =∠DGN ，∠BMN =∠GDN . ∵ N 为MD 的中点，∴ MN =DN ．∴ △BMN ≌△GDN ．∴ MB =DG ，BN =GN..∵ BN =NE ， ∴ BN =NE =GN .∴ ∠BEG =90°． ……5分∵ EH ⊥CE ， ∴ ∠CEH =90°．∴ ∠BEG =∠CEH ． ∴ ∠BEC =∠GEH ．由（1）得∠DCF =45°．∴ ∠CHE =∠HCE =45°．∴ EC=EH , ∠EHG =135°．∵∠ECB =∠DCB +∠HCE =135°，∴ ∠ECB =∠EHG ．∴ △ECB ≌△EHG ．∴ EB =EG ，CB =HG ．∵ BN =NG ，∴ BN ⊥NE. ……………………………………………6分 ∵ BM =DG= HG -HD= BC -HD =CD -HD =CH=2CE ，∴CE BM=22. ……………………………………………7分 （3）BN ⊥NE ；CE BM不一定等于22. ………………………………………………8分H G A BC D E M N F321G F E A (M )C D N B。
2012年北京市各区二模试题分类解析【数学文】(15)创新题
十五、创新题1.（2012年东城二模文8）已知函数22()()(),()(1)(1)f x x a x bx c g x ax cx bx =+++=+++，集合{}()0,S x f x x ==∈R ，{}()0,T x g x x ==∈R ，记c a r d ,c a r d S T 分别为集合,S T 中的元素个数，那么下列结论不可能的是（ D ）A ．card 1,card 0S T == B.card 1,card 1S T == C.card 2,card 2S T == D.card 2,card 3S T == 2.（2012年海淀二模文8）点(,)P x y 是曲线1:(0)C y x x=>上的一个动点，曲线C 在点P 处的切线与x 轴、y 轴分别交于,A B 两点，点O 是坐标原点. 给出三个命题：①PA PB =；②OAB ∆的面积为定值；③曲线C 上存在两点,M N ，使得OMN ∆为等腰直角三角形．其中真命题的个数是（ C ） A ．１ B.２ C.３ D.０3.（2012年海淀二模文14）已知定点(0,2),(2,0)M N -，直线:220l kx y k --+=（k 为常数）. 若点,M N 到直线l 的距离相等，则实数k 的值是 ；对于l 上任意一点P ，MPN Ð恒为锐角，则实数k 的取值范围是 .答案：1或13；1(,)(1,)7-?+?4.（2012年西城二模 文8）已知集合1220{,,,}A a a a =，其中0(1,2,,20)k a k >=，集合{(,)|,B a b a A =∈,}b A a b A ∈-∈，则集合B 中的元素至多有（ C ） A ．210个 B.200个 C.190个 D.180个5.（2012年丰台二模文8）已知平面上四个点1(0,0)A ，2A ，34,2)A ， 4(4,0)A ．设D 是四边形1234A A A A 及其内部的点构成的集合，点0P 是四边形对角线的交点， 若集合0{|||||,1,2,3,4}i S P D PP PA i =∈≤=，则集合S 所表示的平面区域的面积为（ C ） A.16 B.8 C.4 D.26.（2012年西城二模 文14）已知曲线C 的方程是22||||()()8x y x y x y-+-=，给出下列 三个结论：① 曲线C 与两坐标轴有公共点；② 曲线C 既是中心对称图形，又是轴对称图形；③ 若点P ，Q 在曲线C 上，则||PQ 的最大值是. 其中，所有正确结论的序号是_____．答案：② ③。
数学_2012年北京市怀柔区高考数学二模试卷(理科)(含答案)
2012年北京市怀柔区高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1. 已知全集U ＝{−1, 0, 1, 2}，集合A ＝{−1, 2}，B ＝{0, 2}，则(∁U A)∩B ＝（ ） A {0} B {2} C {0, 1, 2} D 空集2. 已知i 为虚数单位，zi =2，则复数z =( )A 1−iB 1+iC 2iD −2i3. “a =2”是“直线ax +2y =0平行于直线x +y =1”的（ ）A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件4.一个四棱锥的三视图如图所示，其中主视图是腰长为1的等腰直角三角形，则这个几何体的体积是（ ） A 12B 1C 32D 25. y =(sinx +cosx)2−1是（ ）A 最小正周期为2π的偶函数B 最小正周期为2π的奇函数C 最小正周期为π的偶函数D 最小正周期为π的奇函数6. 过点A(4, −π2)引圆ρ=4sinθ的一条切线，则切线长为（ ） A 3√3 B 6√3 C 2√2 D 4√27. 将图中的正方体标上字母，使其成为正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1，不同的标字母方式共有（ ）A 24种B 48种C 72种D 144种8. 若函数y =f(x)(x ∈R)满足f(x +2)=f(x)且x ∈[−1, 1]时，f(x)=1−x 2，函数g(x)={lgx(x >0)−1x (x <0)，则函数ℎ(x)=f(x)−g(x)在区间[−5, 5]内的与x 轴交点的个数为（ ）A 5B 7C 8D 10二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．9. 二项式(x 2+1x )5的展开式中含x 4的项的系数是________（用数字作答）．10. 如图给出的是计算1+13+15+...+12011的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是________．11. （几何证明选讲选做题）如图，PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，且PA =√3PB ，则PBBC =________．12. 当x ∈(1, 2)时，不等式(x −1)2<log a x 恒成立，则实数a 的取值范围是________． 13. 已知不等式组{x +y ≤2x −y ≥−2y >1表示的平面区域为M 若直线y =kx −3k +1与平面区域M 有公共点，则k 的取值范围是________．14. 手表的表面在一平面上，整点1，2，…，12这12个数字等间隔地分布在半径为√22的圆周上，从整点i 到整点(i +1)的向量记作t i t i+1→，则t 1t 2→⋅t 2t 3→+t 2t 3→⋅t 3t 4→+⋯+t 12t 1→⋅t 1t 2→=________．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 15. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A 、B 、C 的对边，且满足b 2+c 2−a 2=bc ． （1）求角A 的值；（2）若a =√3，设角B 的大小为x ，△ABC 的周长为y ，求y =f(x)的最大值．16. 如图，在四棱锥S −ABCD 中，底面ABCD 是正方形，其他四个侧面都是等边三角形，AC 与BD 的交点为O ，E 为侧棱SC 上一点．（1）当E 为侧棱SC 的中点时，求证：SA // 平面BDE ； （2）求证：平面BDE ⊥平面SAC ； （3）（理科）当二面角E −BD −C 的大小为45∘时，试判断点E 在SC 上的位置，并说明理由．17. 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的重量（单位：克），重量的分组区间为(490, 495]，(495, 500]，…，(510, 515]，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示． （1）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量．（2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y 为重量超过505克的产品数量，求Y 的分布列． （3）从流水线上任取5件产品，求恰有2件产品合格的重量超过505克的概率． 18. 已知f(x)=ax −lnx ，x ∈(0, e],g(x)=lnx x，其中e 是自然常数，a ∈R ．（I ）当a =1时，研究f(x)的单调性与极值； （II ）在(I)的条件下，求证：f(x)>g(x)+12；（III ）是否存在实数a ，使f(x)的最小值是3？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由． 19. 已知：椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，过点A(−a, 0)，B(0, b)的直线倾斜角为π6，原点到该直线的距离为√32． （1）求椭圆的方程；（2）斜率大于零的直线过D(−1, 0)与椭圆交于E ，F 两点，若ED →=2DF →，求直线EF 的方程；（3）是否存在实数k ，直线y =kx +2交椭圆于P ，Q 两点，以PQ 为直径的圆过点D(−1, 0)？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由． 20. 定义：对于任意n ∈N ∗，满足条件a n +a n+22≤a n+1且a n ≤M （M 是与n 无关的常数）的无穷数列a n 称为T 数列．（1）若a n ＝−n 2+9n(n ∈N ∗)，证明：数列a n 是T 数列；（2）设数列b n 的通项为b n =50n −(32)n ，且数列b n 是T 数列，求常数M 的取值范围； （3）设数列c n =|pn −1|(n ∈N ∗, p >1)，问数列b n 是否是T 数列？请说明理由．2012年北京市怀柔区高考数学二模试卷（理科）答案1. A2. C3. C4. A5. D6. D7. B8. C9. 1010. i≤201111. 1212. (1, 2]13. [−13, 0)14. 6√3−915. 解：（1）在△ABC中，由b2+c2−a2=bc及余弦定理，得cosA=b 2+c2−a22bc=12，而0<A<π，则A=π3；（2）由a=√3，A=π3及正弦定理，得bsinB =csinC=asinA=√3√32=2，而C=2π3−B，则b=2sinB，c=2sin(2π3−B)(0<B<2π3)．于是y=a+b+c=√3+2sinB+2sin(2π3−B)=2√3sin(B+π6)+√3，由0<B<2π3，得π6<B+π6<5π6，当B+π6=π2即B=π3时，y max=3√3．16. 解：（1）证明：连接OE，由条件可得SA // OE．因为SA⊈平面BDE，OE⊂平面BDE，所以SA // 平面BDE．（2）证明：由（1）知SO ⊥面ABCD ，AC ⊥BD ．建立如图所示的空间直角坐标系．设四棱锥S −ABCD 的底面边长为2，则O(0, 0, 0)，S(0, 0, √2)，A(√2, 0, 0)， B(0, √,2, 0)，C(−√2, 0, 0)，D(0, −√2, 0)． 所以AC →=(−2√20, 0)，BD →=(0, −2√2, 0)． 设CE =a(0<a <2)，由已知可求得∠ECO =45∘． 所以E(−√2+√22a, 0, √22a)，BE →=(−√2+√22a, −√2, √22a)． 设平面BDE 法向量为n =(x, y, z)，则{n ⋅BD →=0n ⋅BE →=0即{y =0(−√2+√22a)x −√2y +√22az =0 令z =1，得n =(a2−a , 0, 1)．易知BD →=(0, 2√2, 0)是平面SAC 的法向量． 因为n ⋅BD →=(a 2−a, 0, 1)•(0, −2√2, 0)=0，所以n ⊥BD →，所以平面BDE ⊥平面SAC ．（3）设CE =a(0<a <2)，由（2）可知，平面BDE 法向量为n =(a 2−a, 0, 1)．因为SO ⊥底面ABCD ，所以OS →=(0, 0, √2)是平面BDC 的一个法向量．由已知二面角E −BD −C 的大小为45∘． 所以|cos(OS →, n)|=cos45∘=√22，所以√2√(a 2−a )2+1−√2=√22，解得a =1．所以点E 是SC 的中点． 17. 解：（1）重量超过505克的产品数量是40×(0.05×5+0.01×5)=12件； （2）Y 的所有可能取值为0，1，2； P(Y =0)=C 282C 402=63130，P(Y =1)=C 121C 281C 402=56130，P(Y =2)=C 122C 402=11130，（3）从流水线上任取5件产品，重量超过505克的概率为1240=310， 重量不超过505克的概为1−310=710；恰有2件产品合格的重量超过505克的概率为C 52(310)2⋅(710)3．18. （I ）解：f(x)=x −lnx ，f′(x)=x−1x…∴ 当0<x <1时，f′(x)<0，此时f(x)单调递减 当1<x <e 时，f′(x)>0，此时f(x)单调递增 … ∴ f(x)的极小值为f(1)=1 …（II ）证明：∵ f(x)的极小值为1，即f(x)在(0, e]上的最小值为1， ∴ f(x)>0，f(x)min =1… 令ℎ(x)=g(x)）+12=lnx x+12，ℎ′(x)=1−lnx x 2，…当0<x <e 时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)在(0, e]上单调递增 … ∴ ℎ(x)max =ℎ(e)=1e +12<12+12=1=|f(x)|min …∴ 在（1）的条件下，f(x)>g(x)+12；…（III ）解：假设存在实数a ，使f(x)的最小值是3，f′(x)=ax−1x①当a ≤0时，x ∈(0, e]，所以f′(x)<0，所以f(x)在(0, e]上单调递减，f(x)min =f(e)=ae −1=3，∴ a =4e （舍去），所以，此时f(x)无最小值．…②当0<1a <e 时，f(x)在(0, 1a )上单调递减，在(1a , e]上单调递增，f(x)min =f(1a )=1+lna =3，∴ a =e 2，满足条件．… ③当1a ≥e 时，x ∈(0, e]，所以f′(x)<0，所以f(x)在(0, e]上单调递减，f(x)min =f(e)=ae −1=3，∴ a =4e （舍去）， 所以，此时f(x)无最小值．…综上，存在实数a =e 2，使f(x)的最小值是3．… 19. 解：（1）由ba =√33，12a ⋅b =12⋅√32⋅√a 2+b 2，得a =√3，b =1，所以椭圆方程是：x 23+y 2=1 （2）设EF:x =my −1(m >0) 代入x 23+y 2=1，得(m 2+3)y 2−2my −2=0，设E(x 1, y 1)，F(x 2, y 2)， 由ED →=2DF →， 得y 1=−2y 2．由y 1+y 2=−y 2=2mm 2+3，y 1y 2=−2y 22=−2m 2+3得(−2mm 2+3)2=1m 2+3，∴ m =1，m =−1（舍去），直线EF 的方程为：x =y −1即x −y +1=0 （3）将y =kx +2代入x 23+y 2=1，得(3k 2+1)x 2+12kx +9=0(∗) 记P(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)，∵ PQ 为直径的圆过D(−1, 0)， 则PD ⊥QD ，即(x 1+1, y 1)•(x 2+1, y 2)=(x 1+1)(x 2+1)+y 1y 2=0， 又y 1=kx 1+2，y 2=kx 2+2， 得(k 2+1)x 1x 2+(2k +1)(x 1+x 2)+5=−12k+143k 2+1=0．解得k =76，此时(∗)方程△>0，∴ 存在k =76，满足题设条件．20. 由a n ＝−n 2+9n ，得a n +a n+2−2a n+1＝−n 2+9n −(n +2)2+9(n +2)+2(n +1)2−18(n +1)＝−2 所以数列a n 满足a n +a n+22≤a n+1．又a n =−(n −92)2+814，当n ＝4或5时，a n 取得最大值20，即a n ≤20．综上，数列a n 是T 数列．因为b n+1−b n =50(n +1)−(32)n+1−50n +(32)n =50−12(32)n ，所以当50−12(32)n ≥0即n ≤11时，b n+1−b n >0，此时数列b n 单调递增当n ≥12时，b n+1−b n <0，此时数列b n 单调递减；故数列b n 的最大项是b 12， 所以，M 的取值范围是M ≥600−(32)12①当1<p ≤2时，当n ＝1时c 1=p −1,c 2=1−p 2,c 3=1−p3， 由c 1+c 3−2c 2=5p 3−2≤0得p ≤65，即当1<p ≤65时符合c n +c n+22≤c n+1条件．若n ≥2，则pn ≤1，此时c n =1−pn于是c n +c n+2−2c n+1=(1−pn )+(1−pn+2)−2(1−pn+1)=−2pn(n+1)(n+2)<0 又对于n ∈N ∗有c n =|pn −1|<1，所以当1<p ≤65时数列c n 是T 数列；②当2<p ≤3时，取n ＝1则：c 1=p −1,c 2=p2−1,c 3=1−p3，由c 1+c 3−2c 2=2−p3>0，所以2<p ≤3时数列c n 不是T 数列． ③当p >3时，取n ＝1则c 1=p −1,c 2=p2−1,c 3=p3−1， 由c 1+c 3−2c 2=5p 6>0，所以p >3时数列c n 不是T 数列．综上：当1<p ≤65时数列c n 是T 数列；当p >65时数列c n 不是T 数列．。