2015-2016年北京朝阳初三上学期期末数学试题及答案(word版)
. . . . . . . . 2015-2016年初三上学期期末数学试题及答案
市区2015～2016学年度第一学期期末检测 九年级数学试卷（选用）
2016.1
一、选择题（本题共30分，每小题3分） 下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的.
1.下列交通标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A B C D 2.下列事件为必然事件的是 A. 任意掷一枚均匀的硬币，正面朝上 B. 篮球运动员投篮，投进篮筐 C. 一个星期有七天 D. 打开电视机，正在播放新闻
3.在平面直角坐标系中，点B的坐标为（3，1），则点B关于原点的对称点的坐标为 A. （3，－1） B. （－3，1） C. （－1，－3） D. （－3，－1）
4.如图，AC与BD相交于点E，AD∥BC．若AE=2，CE=3，AD=3，则BC的长度是 A. 2 B. 3 C. 4.5 D. 6
5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，则sinA的值是 A. 43 B. 34 C. 53 D. 5
4
第4题图 第5题图 第6题图 6.如图，反比例函数2yx的图象上有一点A，过点A作AB⊥x轴于B，则AOBS是 . . . . . . . . A. 12 B. 1 C. 2 D. 4 7.如图，在⊙O中，∠BOC=100°，则∠A等于 A. 100° B. 50° C. 40° D. 25°
第7题图 第8题图 8.如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A’OB’，若∠AOB=15°，则∠AOB’的度数是 A. 25° B. 30° C. 35° D. 40° 9.如图，点D，E分别在△ABC的AB，AC边上，增加下列条件中的一个：
①∠AED=∠B，②∠ADE=∠C，③BCDEABAE，④ABAEACAD，⑤AEADAC2， 使△ADE与△ACB一定相似的有 A. ①②④ B. ②④⑤ C. ①②③④ D. ①②③⑤
图① 图② 第9题图 第10题图
10.小阳在如图①所示的扇形舞台上沿O-M-N匀速行走，他从点O出发，沿箭头所示的方向经过点M再走到点N，共用时70秒．有一台摄像机选择了一个固定的位置记录了小阳的走路过程，设小阳走路的时间为t（单位：秒），他与摄像机的距离为y（单位：米），表示y与t的函数关系的图象大致如图②，则这个固定位置可能是图①中的 A. 点Q B. 点P C. 点M D. 点N
二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11.在一个不透明的袋子中，装有2个红球和3个白球，它们除颜色外其余均相同．现随机从袋中摸出一个球，颜色是白色的概率是 ．
12.如图，正六边形ABCDEF接于⊙O，⊙O的半径为1，则AB的长为 ． . . . . . . . . 13.已知y是x的反比例函数，且在每个象限，y随x的增大而减小．请写出一个满足以上条件的函数表达式 ．
FEA
BCD
BOA
第12题图 第14题图 第15题图 第16题图 14.如图，矩形ABCD中，点E是边AD的中点，BE交对角线AC于点F，则△AFE与△BCF的面积比等于 ．
15.如图，⊙O的半径为6，OA与弦AB的夹角是30°，则弦AB的长度是 ．
16.如图，已知反比例函数2yx的图象上有一组点B1，B2，…，Bn，它们的横坐标依次增加1，且点B1横坐标为1．“①，②，③…”分别表示如图所示的三角形的面积，记S1=①-②，S2=②-③，…，则S7的值为 ，S1+S2+…+Sn= （用含n的式子表示）．
三、解答题（本题共72分，第17-26小题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
17.计算：12cos45tan60sin302．
18.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是AC边上一点，DE⊥AB于点E．若DE=2，BC=3，AC=6，求AE的长．
19.如图，点A的坐标为（3，2），点B的坐标为（3，0）．作如下操作： ①以点A为旋转中心，将△ABO顺时针方向旋转90°，得到△AB1O1； ②以点O为位似中心，将△ABO放大，得到△A2B2O，使相似比为1∶2，且点A2在第三象限． （1）在图中画出△AB1O1和△A2B2O； （2）请直接写出点A2的坐标：__________． . . . . . . . . 文明 和谐 自由 平
等 A B C D
20.党的十八大提出，倡导富强、、文明、和谐，倡导自由、平等、公正、法治，倡导爱国、敬业、诚信、友善，积极培育和践行社会主义核心价值观，这24个字是社会主义核心价值观的基本容．其中： “富强、、文明、和谐”是国家．．层面的价值目标；
“自由、平等、公正、法治”是社会．．层面的价值取向； “爱国、敬业、诚信、友善”是公民个人．．．．层面的价值准则． 小光同学将其中的“文明”、“和谐”、“自由”、“平等”的文字分别贴在4硬纸板上，制成如右图所示的卡片．将这4卡片背面朝上洗匀后放在桌子上，从中随机抽取一卡片，不放回．．．，再随机抽取一卡片．
(1)小光第一次抽取的卡片上的文字是国家．．层面价值目标的概率是 ； (2)请你用列表法或画树状图法，帮助小光求出两次抽取卡片上的文字一次是国家．．层面
价值目标、一次是社会．．层面价值取向的概率（卡片名称可用字母表示）．
21.如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数2yx与反比例函数kyx的图象交于A，B两点，点A的横坐标为2，AC⊥x轴于点C，连接BC.
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若点P是反比例函数kyx图象上的一点，且满足△OPC的面积是△ABC面积的一半，请直接写出点P的坐标．
22.《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．《九章算术》中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间径几何？”（如图①） 阅读完这段文字后，小智画出了一个圆柱截面示意图（如图②），其中BO⊥CD于点A，求间径就是要求⊙O的直径．
再次阅读后，发现AB=______寸，CD=____寸（一尺等于十寸），通过运用有关知识即可解决这个问题．请你补全题目条件，并帮助小智求出⊙O的直径． . . . . . . . . 图① 图② 23. 如图，在一次户外研学活动中，老师带领学生去测一条东西流向的河流的宽度（把河两岸看做平行线，河宽即两岸之间的垂线段的长度）．某同学在岸A处观测到河对岸水边有一棵树P，测得P在A北偏东60°方向上，沿河岸向东前行20米到达B处，测得
P在B北偏东45°方向上．求河宽（结果保留一位小
数．1.4142，1.7323）．
24. 如图，已知△ABC是等边三角形，以AB为直径作⊙O，交BC边于点D，交AC边于点F，作DE⊥AC 于点E． （1）求证：DE 是⊙O的切线； （2）若△ABC的边长为4，求EF 的长度．
25.如图①，在Rt△ABC中，∠C=90°．将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A’B’C，旋转角为，且0°<<180°．在旋转过程中，点B’可以恰好落在AB的中点处，如图②． （1）求∠A的度数； （2）当点C到AA’的距离等于AC的一半时，求的度数．
图① 图② 备用图
FE
D
O
A
BC . . . .
. . . . 26. 有这样一个问题：探究函数262xxy的图象与性质． 小慧根据学习函数的经验，对函数262xxy的图象与性质进行了探究． 下面是小慧的探究过程，请补充完成： (1)函数262xxy的自变量x的取值围是___________； (2)列出y与x的几组对应值．请直接写出m的值，m=__________； x … -3 -2 0 1 1.5 2.5 m 4 6 7 …
y … 2.4 2.5 3 4 6 -2 0 1 1.5 1.6 …
(3)请在平面直角坐标系xOy中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象； (4)结合函数的图象，写出该函数的两条性质：
① ； ② ．
27. 我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆．．．称为该平面图形的最小覆盖圆．．．．．．例如线段AB的最小覆盖圆就是以线段AB为直径的圆． （1）请分别作出图①中两个三角形的最小覆盖圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
80°A
BC 100°ABC
图① （2）三角形的最小覆盖圆有何规律？请直接写出你所得到的结论（不要求证明）； （3）某城市有四个小区EFGH，，，（其位置如图②所示），现拟建一个手机信号基站，为了使这四个小区居民的手机都能有信号，且使基站所需发射功率最小（距离越小，所需功率越小），此基站应建在何处？请写出你的结论．．并说明研究思路．
xy–1–2–3–412345678–1
–2–3–4
12345678O
33.88°48°
48.12°44°54°51°50°31°F
EH
G
图②
2015-2016学年北京市朝阳区初三一模数学试题(含答案)
北京市朝阳区九年级综合练习（一）数学试卷 2016.5一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．清明节是中国传统节日，它不仅是人们远足踏青的日子，更是祭奠祖先、缅怀先人的节日．市民政局提供的数据显示，今年清明节当天全市213处祭扫点共接待群众264000人， 将264000用科学计数法表示应为A ．326410⨯ B ．42.6410⨯ C ．52.6410⨯ D ．60.26410⨯ 2．实数a ，b ，c ，d 在数轴上对应的位置如图所示，绝对值相等的两个实数是A ．a 与bB ．b 与cC ．c 与dD ．a 与d 3．有一种推理游戏叫做“天黑请闭眼”，9位同学参与游戏，通过抽牌决定所扮演的角色，事先做好9张卡牌（除所写文字不同，其余均相同），其中有法官牌1张，杀手牌2张，好人牌6张．小易参与游戏，如果只随机抽取一张，那么小易抽到杀手牌的概率是 A ．21B ．13C ．29D ．194．下列图形选自历届世博会会徽，其中是轴对称图形的是A B C D5．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，E 为DC 延长线上一点，∠A = 50º，则∠BCE 的度数为A ．40ºB ．50ºC ．60ºD ．130º图16．某地需要开辟一条隧道，隧道AB 的长度无法直接测量．如图所示， 在地面上取一点C ，使C 到A 、B 两点均可直接到达，测量找到AC 和BC 的中点D 、E ，测得DE 的长为1100m ，则隧道AB 的长度为A ．3300mB ．2200mC ．1100mD ．550m7．2022年将在北京—张家口举办冬季奥运会，很多学校开设了相关的课程．某校8名同学参加了冰壶选修课，他们被分成甲、乙两组进行训练，身高（单位：cm ）如下表所示：设两队队员身高的平均数依次为甲x ，乙x ，方差依次为2甲s ，2乙s ，下列关系中完全正确的是 A ．甲x =乙x ，2甲s ＜2乙sB ．甲x =乙x ，2甲s ＞2乙s C ．甲x ＜乙x ，2甲s ＜2乙sD ．甲x ＞乙x ，2甲s ＞2乙s8．如图，△ABC 内接于⊙O ，若⊙O 的半径为6，︒=∠60A ， 则BC 的长为A ．2πB ．4πC ．6πD ．12π9．我市为了促进全民健身，举办“健步走”活动，朝阳区活动场地位于奥林匹克公园（路线：森林公园—玲珑塔—国家体育场—水立方）．如图，体育局的工作人员在奥林匹克公园设计图上设定玲珑塔的坐标为（–1，0），森林公园的坐标为（–2，2），则终点水立方的坐标为 A ．（–2，–4） B ．（–1，–4） C ．（–2，4） D ．（–4，–1）10．如图1，在等边三角形ABC 中，AB =2，G 是BC 边上一个动点且不与点B 、C 重合，H 是AC 边上一点，且30=∠AGH °．设BG=x ，图中某条线段长为y ，y 与x 满足的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图中的A ． 线段CGB ． 线段AGC ． 线段AHD ． 线段CH1–112O图2三、填空题（本题共18分，每小题3分）11x 的取值范围是____________．12．分解因式：22369a b ab b -+=____________．13．关于x 的方程04222=-++k x x 有两个不相等实数根，写出一个满足条件的k 的值：k =____________．14．《孙子算经》是中国传统数学的重要著作之一，其中记载的“荡杯问题”很有趣． 《孙子算经》记载“今有妇人河上荡杯．津吏问曰：‘杯何以多？’妇人曰：‘家有客．’津吏曰：‘客几何？’妇人曰：‘二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五．’不知客几何？” 译文：“2人同吃一碗饭，3人同吃一碗羹，4人同吃一碗肉，共用65个碗，问有多少客人？”设共有客人x 人，可列方程为____________．15．在数学活动课上，小派运用统计方法估计瓶子中的豆子的数量．他先取出100粒豆子，给这些豆子做上记号，然后放回瓶子中，充分摇匀之后再取出100粒豆子，发现其中8粒有刚才做的记号，利用得到的数据可以估计瓶子中豆子的数量约为____________粒． 16．阅读下面材料：数学课上，老师提出如下问题：小艾的作法如下：老师表扬了小艾的作法是对的．请回答：小艾这样作图的依据是____________．尺规作图：经过已知直线上一点作这条直线的垂线． 已知：直线AB 和AB上一点C ．求作：AB 的垂线，使它经过点C ． 如图，（1）在直线AB 上取一点D ，使点D 与点C 不重合，以点C 为圆心，CD 长为半径作弧，交AB 于D ，E 两点； （2）分别以点D 和点E 为圆心，大于12DE 长为半径作弧，两弧相交于点F ； （3）作直线CF ．所以直线CF 就是所求作的垂线．三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．计算：1(2)1)4cos 45---++︒．18．已知11m m-=，求(21)(21)(5)m m m m +-+-的值．19．解不等式组3(1)6,1.2x x x x -<⎧⎪⎨+≤⎪⎩并写出它的所有整数解．20．如图，E 为AC 上一点，EF ∥AB 交AF 于点F ，且AE = EF ． 求证：BAC ∠= 2∠1．21．台湾是中国领土不可分割的一部分，两岸在政治、经济、文化等领域的交流越来越深入，1FEC BA2015年10月10日是北京故宫博物院成立90周年院庆日，两岸故宫同根同源，合作举办了多项纪念活动．据统计北京故宫博物院与台北故宫博物院现共有藏品约245万件，其中北京故宫博物院藏品数量比台北故宫博物院藏品数量的2倍还多50万件，求北京故宫博物院和台北故宫博物院各约有多少万件藏品．22．如图，四边形ABCD 是矩形，点E 在BC 边上，点F 在BC 延长线上，且∠CDF =∠BAE ． （1）求证：四边形AEFD 是平行四边形 ； （2）若DF =3，DE =4，AD =5，求CD 的长度．23．在平面直角坐标xOy 中，直线y x b =+与双曲线my x=的一个交点为A （2，4），与y 轴交于点B ．(1) 求m 的值和点B 的坐标； (2) 点P 在双曲线my x=上，△OBP 的面积为8，直接写出点P 的坐标．24．如图，点D 在⊙O 上，过点D 的切线交直径AB 延长线于点P ，DC ⊥AB 于点C ． (1) 求证：DB 平分∠PDC ；FEDCB A(2) 若DC=6，3tan4P∠=，求BC的长．25．阅读下列材料：人口老龄化已经成为当今世界主要问题之一．北京市在上世纪90年代初就进入了老龄化社会，全市60岁及以上户籍老年人口2013年底达到279.3万人，占户籍总人口的21.2%；2014年底比2013年底增加17.4万人，占户籍总人口的22.3%；2015年底比2014年底增加23.3万人，占户籍总人口的23%．“百善孝为先”，北京市政府越来越关注养老问题，提出养老服务新模式，计划90%的老年人在社会化服务协助下通过家庭照顾养老（即居家养老），6%的老年人在社区养老，4%的老年人入住养老服务机构．本市养老服务机构的床位总数2013年达到8.0516万张，2014年达到10.938万张，2015年达到12万张．根据以上材料回答下列问题：(1)到2014年底，本市60岁及以上户籍老年人口为__________万人；(2)选择统计表或．统计图，将2013年––2015年本市60岁及以上户籍老年人口数量和占户籍总人口的比例表示出来；(3)预测2016年本市养老服务机构的床位数约为_________万张，请你结合数据估计，能否满足4%的老年人入住养老服务机构，并说明理由．26．观察下列各等式：222=233-⨯，( 1.2)6( 1.2)6--=-⨯，11()(1)()(1)22---=-⨯-， ……根据上面这些等式反映的规律，解答下列问题：（1）上面等式反映的规律用文字语言可描述如下：存在两个实数，使得这两个实数的等于它们的 ； （2）请你写一个实数，使它具有上述等式的特征：－3＝ ⨯3；（3）请你再写两个实数，使它们具有上述等式的特征：－ ＝ ⨯ ；（4）符合上述特征的所有等式中，是否存在两个实数都是整数的情况？若存在，求出所有满足条件的等式；若不存在，说明理由．27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线c bx x y ++=2经过点（0，–3），（2，–3）． （1）求抛物线的表达式；（2）求抛物线的顶点坐标及与x 轴交点的坐标；（3）将c bx x y ++=2（y ≤0）的函数图象记为图象A ，图象A 关于x 轴对称的图象记为图象B ．已知一次函数y=mx +n ，设点H 是x 轴上一动点，其横坐标为a ，过点H 作x 轴的垂线，交图象A 于点P ，交图象B 于点Q ，交一次函数图象于点 N ．若只有当1<a<3时，点Q 在点N 上方，点N 在点P 上方，直接写出n 的值．28．在等腰三角形ABC 中， AC =BC ，点P 为BC 边上一点（不与B 、C 重合），连接P A ，以P 为旋转中心，将线段P A 顺时针旋转，旋转角与∠C 相等，得到线段PD ，连接DB ． （1）当∠C =90º时，请你在图1中补全图形，并直接写出∠DBA 的度数； （2）如图2，若∠C =α，求∠DBA 的度数（用含α的代数式表示）；（3）连接AD ，若∠C =30º，AC =2，∠APC =135º，请写出求AD 长的思路．（可以不写出计算结果）PC BA图2图1PC B A29．在平面直角坐标系xOy中，A（t，0），B（t+0），对于线段AB和x轴上方的点P给出如下定义：当∠APB=60°时，称点P为AB的“等角点”．（1）若t=-，在点32C⎛⎫⎪⎝⎭，,D⎫⎪⎪⎝⎭，32E⎛⎫⎪⎪⎝⎭中，线段AB的“等角点”是；（2）直线MN分别交x轴、y轴于点M、N，点M的坐标是（6，0），∠OMN=30°．①线段AB的“等角点”P在直线MN上，且∠ABP=90°，求点P的坐标；②在①的条件下，过点B作BQ⊥P A，交MN于点Q，求∠AQB的度数；③若线段AB的所有“等角点”都在△MON内部，则t的取值范围是．。
2015-2016年北京平谷初三上学期期末数学试题及答案
2016年北京平谷初三上学期期末数学试题及答案平谷区2015-2016 学年度第一学期质量监控试卷初三数学 2016.1一、选择题(本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的 1．在ABC ∆中，︒=∠90C，sin =B ,则B ∠的度数是 A ．︒30 B ．︒45C ．︒60D ．︒90 2．如果45(0)x y y =≠，那么下列比例式成立的是A ．45x y = B ．54x y= C ．45x y =D ．54x y =3．抛物线2(1)2y x =-+的顶点坐标是 A ．（1，2) B ．（1，—2）C ．（-1，2）D ．（-1,-2）4．如图，在△ABC 中，点D ，E 分别为边AB ，AC 上的点， 且DE ∥BC ，若5AD =,10BD =，3AE =，则CE 的长为A ．3B ．6C ．9D ．125．如图,把一个宽度为2cm 的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相切时，另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”（单位：cm ），那么光盘的直径是A ．5 cmB ．8 cmC ．10 cmD ．12 cm6．把抛物线2=+1y x 向左平移3个单位,再向下平移2个单位， 得到的抛物线表达式为（ ）A ．2(3)2y x =-+ B ．2(3)1y x =-- C ．2(3)1y x =+- D ．2(3)2y x =-- 7．如图，在4×4的正方形网格中，tanα的值等于 ( ）．E DCBAxy OABA ．2B ．12C ．55D ．2558．在同一时刻，身高1。
6米的小强在阳光下的影长为0。
8米，一棵大树的影长为4。
8米，则树的高度为（ ）． A ．10米 B ．9.6米 C ．6。
4米 D ．4.8米9．如图，△AOB 是直角三角形，∠AOB =90°，OB =2OA ，点A 在反比 例函数1y x =的图象上．若点B 在反比例函数ky x=的图象上, 则k 的值为( ）A ．2B ．—2C ．4D ．—410．如图，AD ,BC 是⊙O 的两条互相垂直的直径，点P 从点O 出发，沿O →C →D →O 的路线匀速运动，设∠APB =y （单位：度），点P 运动的时间为x （单位：秒），那么表示y 与x 关系的图象是二、填空题（本题共18分,每小题3分）11．如图,在⊙O 中，∠BOC ＝100º，则∠A 的度数是 ．12．二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0)的图象如图所示,根据图象写出一条此函数的性质______________________________．13．若△ABC ∽△DEF ，且对应边BC 与EF 的比为2∶3,则△ABC 与△DEF 的面积比等于 ．100°O ABC11题图313题图14．数学课上，老师让学生用尺规作图画Rt ABC ∆，使其斜边AB c =，一条直角边BC a =。
2015-2016学年北京市朝阳区初三一模数学试题
北京市朝阳区九年级综合练习（一）数学试卷2016.5考生须知1 •本试卷共8页，共三道大题，29道小题，满分120分•考试时间120分钟•2 •在试卷和答题卡上认真填写学校名称、姓名和准考证号•3 •试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效•4•在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答•5 •考试结束，请将本试卷、答题卡一并交回•一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的.1 •清明节是中国传统节日，它不仅是人们远足踏青的日子，更是祭奠祖先、缅怀先人的节日.市民政局提供的数据显示，今年清明节当天全市213处祭扫点共接待群众264000人, 将264000用科学计数法表示应为2•实数a, b, c, d在数轴上对应的位置如图所示，绝对值相等的两个实数是a b c d——|——I~4------------- 1 ------- 4——I——I_t~i_I——I_-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 弋c. c与d3•有一种推理游戏叫做“天黑请闭眼”，9位同学参与游戏，通过抽牌决定所扮演的角色，事先做好9张卡牌（除所写文字不同，其余均相同），其中有法官牌1张，杀手牌2张，好人牌6张•小易参与游戏，如果只随机抽取一张，那么小易抽到杀手牌的概率是1 1 2A •B •C • ■2 3 94 •下列图形选自历届世博会会徽，其中是轴对称图形的是5 •如图，四边形ABCD内接于O O, E为DC延长线上一点, / A =50o，则/ BCE的度数A •40oB •50oC •60oD•130oBCO D3A • 264 104B • 2.64 105C. 2.64 106D • 0.264 106•某地需要开辟一条隧道，隧道AB的长度无法直接测量•如图所示，在地面上取一点C,使C到A、B两点均可直接到达，测量找到AC 和BC的中点D、E,测得DE的长为1100m,则隧道AB的长度为A. 3300mB. 2200mC. 1100mD.550m7. 2022年将在北京一张家口举办冬季奥运会，很多学校开设了相关的课程.某校8名同学参加了冰壶选修课，他们被分成甲、乙两组进行训练，身高(单位: cm)如下表所示:队员1队员2队员3队员4甲组176177175176乙组178175177174设两队队员身高的平均数依次为X甲，X乙，方差依次为s甲,s!，下列关系中完全正确的是2 2 2 2A . X甲=乂乙，S甲v s乙B. x甲=X乙，瞬> s乙22 __22C. X甲v X乙，S甲v 乞D. 乂甲> X乙，S甲> S乙&如图，△ ABC内接于O O,若。
2015-2016年北京市通州区初三上学期期末数学试卷含答案解析
2015-2016学年北京市通州区初三上学期期末数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）已知点（﹣2，2）在二次函数y=ax2上，那么a的值是（）A．1 B．2 C．D．﹣2．（3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，那么sinA的值为（）A．B．C．D．13．（3分）如图所示某几何体的三视图，则这个几何体是（）A．三棱锥B．圆柱C．球D．圆锥4．（3分）如图，⊙O的半径为5，AB为弦，OC⊥AB，垂足为C，若OC=3，则弦AB的长为（）A．8 B．6 C．4 D．105．（3分）如图是一个正方体的表面展开图，则原正方体中与“祝”字所在的面相对的面上标的字是（）A．考B．试C．顺D．利6．（3分）如果点M（﹣2，y1），N（﹣1，y2）在抛物线y=﹣x2+2x上，那么下列结论正确的是（）A．y1＜y2B．y1＞y2C．y1≤y2D．y1≥y27．（3分）如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为2m的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点距离相距6m，与树相距15m，则树的高度是（）A．7m B．6m C．5m D．4m8．（3分）如果弧长为6π的弧所对的圆心角为60°，那么这条弧所在的圆的半径是（）A．18 B．12 C．36 D．69．（3分）如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AO的延长线交⊙O于C点，连接BC，若∠A=30°，AB=2，则AC等于（）A．4 B．6 C．D．10．（3分）如图1，AD，BC是⊙O的两条互相垂直的直径，点P从点O出发沿图中某一个扇形顺时针匀速运动，设∠APB=y（单位：度），如果y与点P运动的时间x（单位：秒）的函数关系的图象大致如图2所示，那么点P的运动路线可能为（）A．O→B→A→O B．O→A→C→O C．O→C→D→O D．O→B→D→O二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）11．（3分）请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，﹣1）的抛物线的解析式．12．（3分）把二次函数的表达式y=x2﹣4x+6化为y=a（x﹣h）2+k的形式，那么h+k=．13．（3分）如图，边长为a的正方形发生形变后成为边长为a的菱形，如果这个菱形的一组对边之间的距离为h，记=k，我们把k叫做这个菱形的“形变度”．若变形后的菱形有一个角是60°，则形变度k=．14．（3分）学习相似三角形和解直角三角形的相关内容后，张老师请同学们交流这样的一个问题：“如图，在正方形网格上有△A1B1C1和△A2B2C2，这两个三角形是否相似？”．那么你认为△A1B1C1和△A2B2C2．（填相似或不相似）；理由是．15．（3分）小明四等分弧AB，他的作法如下：（1）连接AB（如图）；（2）作AB的垂直平分线CD交弧AB于点M，交AB于点T；（3）分别作AT，TB的垂直平分线EF，GH，交弧AB于N，P两点，则N，M，P 三点把弧AB四等分．你认为小明的作法是否正确：，理由是．16．（3分）如图，弦AB的长等于⊙O的半径，那么弦AB所对的圆周角的度数是．三、解答题（共13小题，满分72分）17．（5分）如图，已知∠1=∠2，∠AED=∠C，求证：△ABC∽△ADE．18．（5分）已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过（2，﹣1）和（4，3）两点，求二次函数y=x2+bx+c的表达式．19．（5分）已知：如图，A，B，C为⊙O上的三个点，⊙O的直径为4cm，∠ACB=45°，求AB的长．20．（5分）如果三角形有一个边上的中线长恰好等于这个边的长，那么称这个三角形是“有趣三角形”，这条中线为“有趣中线”．如图，在△ABC中，∠C=90°，较短的一条直角边BC=1，且△ABC是“有趣三角形”，求△ABC的“有趣中线”的长．21．（5分）如图所示，以平行四边形ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作圆，作AD，BC于E，F，延长BA交⊙A于G，判断弧EF和EG是否相等，并说明理由．22．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连结AE，BD，且AE，BD交于点F，S△DEF：S△ABF=4：25，求DE：EC的值．23．（5分）一种拉杆式旅行箱的示意图如图所示，箱体长AB=50cm，拉杆最大伸长距离BC=30cm，点A到地面的距离AD=8cm，旅行箱与水平面AE成60°角，求拉杆把手处C到地面的距离（精确到1cm）．（参考数据：）24．（5分）（1）抛物线m1：y1=a1x2+b1x+c1中，函数y1与自变量x之间的部分对应值如表：x…﹣2﹣11245…y1…﹣5043﹣5﹣12…设抛物线m1的顶点为P，与y轴的交点为C，则点P的坐标为，点C的坐标为．（2）将设抛物线m1沿x轴翻折，得到抛物线m2：y2=a2x2+b2x+c2，则当x=﹣3时，y2=．（3）在（1）的条件下，将抛物线m1沿水平方向平移，得到抛物线m3．设抛物线m1与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），抛物线m3与x轴交于M，N 两点（点M在点N的左侧）．过点C作平行于x轴的直线，交抛物线m3于点K．问：是否存在以A，C，K，M为顶点的四边形是菱形的情形？若存在，请求出点K 的坐标；若不存在，请说明理由．25．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙A与y轴相切于点，与x轴相交于M、N两点．如果点M的坐标为，求点N的坐标．26．（5分）根据下列要求，解答相关问题．（1）请补全以下求不等式﹣2x2﹣4x＞0的解集的过程．①构造函数，画出图象：根据不等式特征构造二次函数y=﹣2x2﹣4x；并在下面的坐标系中（图1）画出二次函数y=﹣2x2﹣4x的图象（只画出图象即可）．②求得界点，标示所需，当y=0时，求得方程﹣2x2﹣4x=0的解为；并用锯齿线标示出函数y=﹣2x2﹣4x图象中y＞0的部分．③借助图象，写出解集：由所标示图象，可得不等式﹣2x2﹣4x＞0的解集为﹣2＜x＜0．请你利用上面求一元一次不等式解集的过程，求不等式x2﹣2x+1≥4的解集．27．（7分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分线AD交BC于D．（1）动手操作：利用尺规作圆O，使圆O经过点A、D，且圆心O在AB上；并标出圆O与AB的另一个交点E，与AC的另一个交点F（保留作图痕迹，不写作法）（2）综合应用：在你所作的图中．①判断直线BC与圆O的位置关系，并说明理由；②如果∠BAC=60°，CD=，求线段BD、BE与劣弧DE所围成的图形面积（结果保留根号和π）．28．（7分）王华在学习相似三角形时，在北京市义务教育教科书九年级上册第31页遇到这样一道题，如图1，在△ABC中，P是边AB上的一点，连接CP，要使△ACP∽△ABC，还需要补充的一个条件是，或．请回答：（1）王华补充的条件是，或．（2）请你参考上面的图形和结论，探究，解答下面的问题：如图2，在△ABC中，∠A=30°，AC2=AB2+AB•BC．求∠C的度数．29．（8分）定义：P、Q分别是两条线段a和b上任意一点，线段PQ的长度的最小值叫做线段a与线段b的距离．已知O（0，0），A（4，0），B（m，n），C（m+4，n）是平面直角坐标系中四点．（1）根据上述定义，当m=2，n=2时，如图1，线段BC与线段OA的距离是；当m=5，n=2时，如图2，线段BC与线段OA的距离为；（2）如图3，若点B落在圆心为A，半径为2的圆上，线段BC与线段OA的距离记为d，求d关于m的函数解析式．（3）当m的值变化时，动线段BC与线段OA的距离始终为2，线段BC的中点为M，①求出点M随线段BC运动所围成的封闭图形的周长；②点D的坐标为（0，2），m≥0，n≥0，作MH⊥x轴，垂足为H，是否存在m 的值使以A、M、H为顶点的三角形与△AOD相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．2015-2016学年北京市通州区初三上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）已知点（﹣2，2）在二次函数y=ax2上，那么a的值是（）A．1 B．2 C．D．﹣【解答】解：∵点（﹣2，2）在二次函数y=ax2上，∴4a=2，解得a=．故选：C．2．（3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，那么sinA的值为（）A．B．C．D．1【解答】解：∵∠C=90°，AB=2BC，∴sinA==，故选：A．3．（3分）如图所示某几何体的三视图，则这个几何体是（）A．三棱锥B．圆柱C．球D．圆锥【解答】解：∵几何体的主视图和俯视图都是三角形，∴该几何体是一个锥体，∵俯视图是一个圆，∴该几何体是一个圆锥；故选：D．4．（3分）如图，⊙O的半径为5，AB为弦，OC⊥AB，垂足为C，若OC=3，则弦AB的长为（）A．8 B．6 C．4 D．10【解答】解：连接OA，∵OA=5，OC=3，OC⊥AB，∴AC===4，∵OC⊥AB，∴AB=2AC=2×4=8．故选：A．5．（3分）如图是一个正方体的表面展开图，则原正方体中与“祝”字所在的面相对的面上标的字是（）A．考B．试C．顺D．利【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，“祝”与“利”是相对面，“你”与“试”是相对面，“考”与“顺”是相对面．故选：D．6．（3分）如果点M（﹣2，y1），N（﹣1，y2）在抛物线y=﹣x2+2x上，那么下列结论正确的是（）A．y1＜y2B．y1＞y2C．y1≤y2D．y1≥y2【解答】解：抛物线y=﹣x2+2x的对称轴是x=﹣=1，∵a=﹣1＜0，抛物线开口向下，﹣2＜﹣1＜1，∴y1＜y2．故选：A．7．（3分）如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为2m的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点距离相距6m，与树相距15m，则树的高度是（）A．7m B．6m C．5m D．4m【解答】解：如图；AD=6m，AB=21m，DE=2m；由于DE∥BC，所以△ADE∽△ABC，得：，即，解得：BC=7m，故树的高度为7m．故选：A．8．（3分）如果弧长为6π的弧所对的圆心角为60°，那么这条弧所在的圆的半径是（）A．18 B．12 C．36 D．6【解答】解：∵l=，∴r===18，故选：A．9．（3分）如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AO的延长线交⊙O于C点，连接BC，若∠A=30°，AB=2，则AC等于（）A．4 B．6 C．D．【解答】解：连接OB．∵AB是⊙O的切线，B为切点，∴OB⊥AB，在直角△OAB中，OB=AB•tanA=2×=2，则OA=2OB=4，∴AC=4+2=6．故选：B．10．（3分）如图1，AD，BC是⊙O的两条互相垂直的直径，点P从点O出发沿图中某一个扇形顺时针匀速运动，设∠APB=y（单位：度），如果y与点P运动的时间x（单位：秒）的函数关系的图象大致如图2所示，那么点P的运动路线可能为（）A．O→B→A→O B．O→A→C→O C．O→C→D→O D．O→B→D→O【解答】解：当点P沿O→C运动时，当点P在点O的位置时，y=90°，当点P在点C的位置时，∵OA=OC，∴y=45°，∴y由90°逐渐减小到45°；当点P沿C→D运动时，根据圆周角定理，可得y≡90°÷2=45°；当点P沿D→O运动时，当点P在点D的位置时，y=45°，当点P在点0的位置时，y=90°，y由45°逐渐增加到90°．故点P的运动路线可能为O→C→D→O．故选：C．二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）11．（3分）请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，﹣1）的抛物线的解析式y=x2﹣1（答案不唯一）．【解答】解：抛物线的解析式为y=x2﹣1．故答案为：y=x2﹣1（答案不唯一）．12．（3分）把二次函数的表达式y=x2﹣4x+6化为y=a（x﹣h）2+k的形式，那么h+k=4．【解答】解：∵y=x2﹣4x+6=x2﹣4x+4﹣4+6=（x﹣2）2+2，∴h=2，k=2，∴h+k=2+2=4．故答案为4．13．（3分）如图，边长为a的正方形发生形变后成为边长为a的菱形，如果这个菱形的一组对边之间的距离为h，记=k，我们把k叫做这个菱形的“形变度”．若变形后的菱形有一个角是60°，则形变度k=．【解答】解：由题意得，∠B=60°，在Rt△ABC中，∠B=60°，∴h=AC=ABsin∠B=a，∴k==．故答案为：．14．（3分）学习相似三角形和解直角三角形的相关内容后，张老师请同学们交流这样的一个问题：“如图，在正方形网格上有△A1B1C1和△A2B2C2，这两个三角形是否相似？”．那么你认为△A1B1C1和△A2B2C2相似．（填相似或不相似）；理由是==．【解答】解：由题意得：A1C1=4，A2C2=2，由勾股定理得：A1B1==2，B1C1==2，A2B2==，B2C2==，∴==2，==2，==2，∴===2，∴△A1B1C1∽△A2B2C2．故答案为：相似，==．15．（3分）小明四等分弧AB，他的作法如下：（1）连接AB（如图）；（2）作AB的垂直平分线CD交弧AB于点M，交AB于点T；（3）分别作AT，TB的垂直平分线EF，GH，交弧AB于N，P两点，则N，M，P 三点把弧AB四等分．你认为小明的作法是否正确：不正确，理由是弦AN与MN不相等，则≠．【解答】解：小明的作法不正确．理由是：如图，连结AN并延长，交CD于J，连结MN，设EF与AB交于I．由作法可知，EF∥CD，AI=IT，∴AN=NJ，∵∠NMJ＞∠NJM，∴NJ＞MN，∴AN＞MN，∴弦AN与MN不相等，则≠．故答案为不正确；弦AN与MN不相等，则≠．16．（3分）如图，弦AB的长等于⊙O的半径，那么弦AB所对的圆周角的度数是30°或150°．【解答】解：在优弧上取点C，连接AC，BC，在劣弧AB上取点D，连接AD，BD，∵弦AB的长等于⊙O的半径，∴△OAB是等边三角形，∴∠AOB=60°，∴∠ACB=∠AOB=30°，∴∠ADB=180°﹣∠ACB=150°，∴弦AB所对的圆周角的度数是：30°或150°．故答案为：30°或150°．三、解答题（共13小题，满分72分）17．（5分）如图，已知∠1=∠2，∠AED=∠C，求证：△ABC∽△ADE．【解答】证明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠BAE=∠2+∠BAE，即∠DAE=∠BAC，∵∠AED=∠C，∴△ABC∽△ADE．18．（5分）已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过（2，﹣1）和（4，3）两点，求二次函数y=x2+bx+c的表达式．【解答】解：把（2，﹣1）和（4，3）代入y=x2+bx+c得，解得，所以二次函数解析式为y=x2﹣4x+3．19．（5分）已知：如图，A，B，C为⊙O上的三个点，⊙O的直径为4cm，∠ACB=45°，求AB的长．【解答】解：连接OA，OB，∵∠ACB=45°，∴∠AOB=2∠ACB=90°，∵⊙O的直径为4cm，∴OA=OB=2cm，∴AB==2（cm）．20．（5分）如果三角形有一个边上的中线长恰好等于这个边的长，那么称这个三角形是“有趣三角形”，这条中线为“有趣中线”．如图，在△ABC中，∠C=90°，较短的一条直角边BC=1，且△ABC是“有趣三角形”，求△ABC的“有趣中线”的长．【解答】解：“有趣中线”有三种情况：若“有趣中线”为斜边AB上的中线，直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半，不合题意；若“有趣中线”为BC边上的中线，根据垂线段最短，可知不成立；若“有趣中线”为另一直角边AC上的中线，如图所示，BC=1，设BD=2x，则CD=x，在Rt△CBD中，根据勾股定理得：BD2=BC2+CD2，即（2x）2=12+x2，解得：x=，则△ABC的“有趣中线”的长等于．21．（5分）如图所示，以平行四边形ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作圆，作AD，BC于E，F，延长BA交⊙A于G，判断弧EF和EG是否相等，并说明理由．【解答】解：相等．理由：连接AF．∵A为圆心，∴AB=AF，∴∠ABF=∠AFB，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∠AFB=∠DAF，∠GAD=∠ABF，∴∠DAF=∠GAD，∴=．22．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连结AE，BD，且AE，BD交于点F，S△DEF：S△ABF=4：25，求DE：EC的值．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD．∴△DEF∽△BAF．∴．∴．又∵AB=CD，∴DE：EC=2：3．23．（5分）一种拉杆式旅行箱的示意图如图所示，箱体长AB=50cm，拉杆最大伸长距离BC=30cm，点A到地面的距离AD=8cm，旅行箱与水平面AE成60°角，求拉杆把手处C到地面的距离（精确到1cm）．（参考数据：）【解答】解：作CG⊥AE于点G．在直角△ACG中，AC=AB+BC=50+30=80cm．sin∠CAG=，∴CG=AC•sin∠CAG=80×=40≈69.2（cm）．则拉杆把手处C到地面的距离是：69.2+8=77.2≈77cm．24．（5分）（1）抛物线m1：y1=a1x2+b1x+c1中，函数y1与自变量x之间的部分对应值如表：x…﹣2﹣11245…y1…﹣5043﹣5﹣12…设抛物线m1的顶点为P，与y轴的交点为C，则点P的坐标为（1，4），点C的坐标为（0，3）．（2）将设抛物线m1沿x轴翻折，得到抛物线m2：y2=a2x2+b2x+c2，则当x=﹣3时，y2=12．（3）在（1）的条件下，将抛物线m1沿水平方向平移，得到抛物线m3．设抛物线m1与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），抛物线m3与x轴交于M，N 两点（点M在点N的左侧）．过点C作平行于x轴的直线，交抛物线m3于点K．问：是否存在以A，C，K，M为顶点的四边形是菱形的情形？若存在，请求出点K 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）把（﹣1，0），（1，4），（2，3）分别代入y1=a1x2+b1x+c1得，解得．所以抛物线m1的解析式为y1=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，则P（1，4），当x=0时，y=3，则C（0，3）；（2）因为抛物线m1沿x轴翻折，得到抛物线m2，所以y2=（x﹣1）2﹣4，当x=﹣3时，y2=（x+1）2﹣4=（﹣3﹣1）2﹣4=12．故答案为（1，4），（0，3），12；（3）存在．当y1=0时，﹣x2+2x+3=0，解得x1=﹣1，x2=3，则A（﹣1，0），B（3，0），∵抛物线m1沿水平方向平移，得到抛物线m3，∴CK∥AM，CK=AM，∴四边形AMKC为平行四边形，当CA=CK时，四边形AMKC为菱形，而AC==，则CK=，当抛物线m1沿水平方向向右平移个单位，此时K（，3）；当抛物线m1沿水平方向向左平移个单位，此时K（﹣，3）．25．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙A与y轴相切于点，与x轴相交于M、N两点．如果点M的坐标为，求点N的坐标．【解答】解：连接AB、AM、过A作AC⊥MN于C，设⊙A的半径是R，∵⊙A与y轴相切于B，∴AB⊥y轴，∵点，与x轴相交于M、N两点，点M的坐标为，∴AB=AM=R，CM=R﹣，AC=，MN=2CM，由勾股定理得：R2=（R﹣）2+（）2，R=2.5，∴CM=CN=2.5﹣=2，∴ON=+2+2=4，即N的坐标是（4，0）．26．（5分）根据下列要求，解答相关问题．（1）请补全以下求不等式﹣2x2﹣4x＞0的解集的过程．①构造函数，画出图象：根据不等式特征构造二次函数y=﹣2x2﹣4x；并在下面的坐标系中（图1）画出二次函数y=﹣2x2﹣4x的图象（只画出图象即可）．②求得界点，标示所需，当y=0时，求得方程﹣2x2﹣4x=0的解为x1=0，x2=﹣2；并用锯齿线标示出函数y=﹣2x2﹣4x图象中y＞0的部分．③借助图象，写出解集：由所标示图象，可得不等式﹣2x2﹣4x＞0的解集为﹣2＜x＜0．请你利用上面求一元一次不等式解集的过程，求不等式x2﹣2x+1≥4的解集．【解答】解：①图所示：；②方程﹣2x2﹣4x=0即﹣2x（x+2）=0，解得：x1=0，x2=﹣2；则方程的解是x1=0，x2=﹣2，图象如图1；③函数y=x2﹣2x+1的图象是：当y=4时，x2﹣2x+1=4，解得：x1=3，x2=﹣1．则不等式的解集是：x≥3或x≤﹣1．27．（7分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分线AD交BC于D．（1）动手操作：利用尺规作圆O，使圆O经过点A、D，且圆心O在AB上；并标出圆O与AB的另一个交点E，与AC的另一个交点F（保留作图痕迹，不写作法）（2）综合应用：在你所作的图中．①判断直线BC与圆O的位置关系，并说明理由；②如果∠BAC=60°，CD=，求线段BD、BE与劣弧DE所围成的图形面积（结果保留根号和π）．【解答】解：（1）如图1；（2）①直线BC与⊙O的位置关系为相切．理由如下：如图1，连接OD，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ADO，∵∠BAC的角平分线AD交BC边于D，∴∠CAD=∠OAD，∴∠CAD=∠ADO，∴AC∥OD，∵∠C=90°，∴∠ODB=90°，∴OD⊥BC，即直线BC是⊙O的切线，∴直线BC与⊙O的位置关系为相切；②如图2，∵∠BAC 的角平分线AD 交BC 于D ，∠BAC=60°，∠C=90°， ∴∠CAD=∠DAB=30°，∠B=30°， ∴∠DAB=∠B=30°， ∴BD=AD ．∵在Rt △ADC 中，∠C=90°，∠CAD=30°，CD=，∴AD=2CD=2，AC=CD=3，∴BD=2，AB=2AC=6．设⊙O 的半径为r ，在Rt △OBD 中，OD 2+BD 2=OB 2， 即r 2+（2）2=（6﹣r ）2，解得r=2，OB=6﹣r=4， ∵∠ODB=90°，∠B=30°， ∴∠DOB=60°， ∴S 扇形ODE ==π，S △ODB =OD•BD=×2×2=2，∴线段BD 、BE 与劣弧DE 所围成的图形面积为：S △ODB ﹣S 扇形ODE =2﹣π．28．（7分）王华在学习相似三角形时，在北京市义务教育教科书九年级上册第31页遇到这样一道题，如图1，在△ABC中，P是边AB上的一点，连接CP，要使△ACP∽△ABC，还需要补充的一个条件是∠ACP=∠B（或∠APC=∠ACB），或AC2=AP•AB．请回答：（1）王华补充的条件是∠ACP=∠B（或∠APC=∠ACB），或AC2=AP•AB．（2）请你参考上面的图形和结论，探究，解答下面的问题：如图2，在△ABC中，∠A=30°，AC2=AB2+AB•BC．求∠C的度数．【解答】解：∵∠A=∠A，∴当∠ACP=∠B，或∠APC=∠ACB；或，即AC2=AP•AB时，△ACP∽△ABC；故答案为：∠ACP=∠B（或∠APC=∠ACB），或AC2=AP•AB；（1）王华补充的条件是：∠ACP=∠B（或∠APC=∠ACB）；或AC2=AP•AB；理由如下：∵∠A=∠A，∴当∠ACP=∠B，或∠APC=∠ACB；或，即AC2=AP•AB时，△ACP∽△ABC；故答案为：∠ACP=∠B（或∠APC=∠ACB），或AC2=AP•AB；（2）延长AB到点D，使BD=BC，连接CD，如图所示：∵AC2=AB2+AB•BC=AB（AB+BC）=AB（AB+BD）=AB•AD，∴，又∵∠A=∠A，∴△ACB∽△ADC，∴∠ACB=∠D，∵BC=BD，∴∠BCD=∠D，在△ACD中，∠ACB+∠BCD+∠D+∠A=180°，∴3∠ACB+30°=180°，∴∠ACB=50°．29．（8分）定义：P、Q分别是两条线段a和b上任意一点，线段PQ的长度的最小值叫做线段a与线段b的距离．已知O（0，0），A（4，0），B（m，n），C（m+4，n）是平面直角坐标系中四点．（1）根据上述定义，当m=2，n=2时，如图1，线段BC与线段OA的距离是2；当m=5，n=2时，如图2，线段BC与线段OA的距离为；（2）如图3，若点B落在圆心为A，半径为2的圆上，线段BC与线段OA的距离记为d，求d关于m的函数解析式．（3）当m的值变化时，动线段BC与线段OA的距离始终为2，线段BC的中点为M，①求出点M随线段BC运动所围成的封闭图形的周长；②点D的坐标为（0，2），m≥0，n≥0，作MH⊥x轴，垂足为H，是否存在m 的值使以A、M、H为顶点的三角形与△AOD相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）当m=2，n=2时，如题图1，线段BC与线段OA的距离（即线段BN的长）=2；当m=5，n=2时，B点坐标为（5，2），线段BC与线段OA的距离，即为线段AB的长，如答图1，过点B作BN⊥x轴于点N，则AN=1，BN=2，在Rt△ABN中，由勾股定理得：AB===．（2）如答图2所示，当点B落在⊙A上时，m的取值范围为2≤m≤6：当4≤m≤6，显然线段BC与线段OA的距离等于⊙A半径，即d=2；当2≤m＜4时，作BN⊥x轴于点N，线段BC与线段OA的距离等于BN长，ON=m，AN=OA﹣ON=4﹣m，在Rt△ABN中，由勾股定理得：∴d===．（3）①依题意画出图形，点M的运动轨迹如答图3中粗体实线所示：由图可见，封闭图形由上下两段长度为8的线段，以及左右两侧半径为2的半圆所组成，其周长为：2×8+2×π×2=16+4π，∴点M随线段BC运动所围成的封闭图形的周长为：16+4π．②结论：存在．∵m≥0，n≥0，∴点M位于第一象限．∵A（4，0），D（0，2），∴OA=2OD．如答图4所示，相似三角形有三种情形：（I）△AM1H1，此时点M纵坐标为2，点H在A点左侧．如图，OH1=m+2，M1H1=2，AH1=OA﹣OH1=2﹣m，由相似关系可知，M1H1=2AH1，即2=2（2﹣m），∴m=1；（II）△AM2H2，此时点M纵坐标为2，点H在A点右侧．如图，OH2=m+2，M2H2=2，AH2=OH2﹣OA=m﹣2，由相似关系可知，M2H2=2AH2，即2=2（m﹣2），∴m=3；（III）△AM3H3，此时点B落在⊙A上．如图，OH3=m+2，AH3=OH3﹣OA=m﹣2，过点B作BN⊥x轴于点N，则BN=M3H3=n，AN=m﹣4，由相似关系可知，AH 3=2M3H3，即m﹣2=2n （1）在Rt△ABN中，由勾股定理得：22=（m﹣4）2+n2（2）由（1）、（2）式解得：m1=，m2=2，当m=2时，点M与点A横坐标相同，点H与点A重合，故舍去，∴m=．综上所述，存在m的值使以A、M、H为顶点的三角形与△AOD相似，m的取值为：1、3或．附加：初中数学几何模型【模型一】“一线三等角”模型：图形特征： 60°60°60° 45°45°45°运用举例： 1.如图，若点B 在x 轴正半轴上，点A (4，4)、C (1，－1)，且AB ＝BC ，AB ⊥BC ，求点B 的坐标；x yB C AO2.如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ，则14S S += ．l s 4s 3s 2s 13213. 如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，点D 在BC 上运动（不与点B ，C 重合），过D作∠ADE =45°，DE 交AC 于E ．（1）求证：△ABD ∽△DCE ；（2）设BD =x ，AE =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．EB4.如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。
2015-2016年北京市通州区九年级(上)期末数学试卷和参考答案
2015-2016学年北京市通州区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）已知点（﹣2，2）在二次函数y=ax2上，那么a的值是（）A．1 B．2 C．D．﹣2．（3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，那么sinA的值为（）A．B．C．D．13．（3分）如图所示某几何体的三视图，则这个几何体是（）A．三棱锥B．圆柱C．球D．圆锥4．（3分）如图，⊙O的半径为5，AB为弦，OC⊥AB，垂足为C，若OC=3，则弦AB的长为（）A．8 B．6 C．4 D．105．（3分）如图是一个正方体的表面展开图，则原正方体中与“祝”字所在的面相对的面上标的字是（）A．考B．试C．顺D．利6．（3分）如果点M（﹣2，y1），N（﹣1，y2）在抛物线y=﹣x2+2x上，那么下列结论正确的是（）A．y1＜y2B．y1＞y2C．y1≤y2D．y1≥y27．（3分）如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为2m的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点距离相距6m，与树相距15m，则树的高度是（）A．7m B．6m C．5m D．4m8．（3分）如果弧长为6π的弧所对的圆心角为60°，那么这条弧所在的圆的半径是（）A．18 B．12 C．36 D．69．（3分）如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AO的延长线交⊙O于C点，连接BC，若∠A=30°，AB=2，则AC等于（）A．4 B．6 C．D．10．（3分）如图1，AD，BC是⊙O的两条互相垂直的直径，点P从点O出发沿图中某一个扇形顺时针匀速运动，设∠APB=y（单位：度），如果y与点P运动的时间x（单位：秒）的函数关系的图象大致如图2所示，那么点P的运动路线可能为（）A．O→B→A→O B．O→A→C→O C．O→C→D→O D．O→B→D→O二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）11．（3分）请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，﹣1）的抛物线的解析式．12．（3分）把二次函数的表达式y=x2﹣4x+6化为y=a（x﹣h）2+k的形式，那么h+k=．13．（3分）如图，边长为a的正方形发生形变后成为边长为a的菱形，如果这个菱形的一组对边之间的距离为h，记=k，我们把k叫做这个菱形的“形变度”．若变形后的菱形有一个角是60°，则形变度k=．14．（3分）学习相似三角形和解直角三角形的相关内容后，张老师请同学们交流这样的一个问题：“如图，在正方形网格上有△A1B1C1和△A2B2C2，这两个三角形是否相似？”．那么你认为△A1B1C1和△A2B2C2．（填相似或不相似）；理由是．15．（3分）小明四等分弧AB，他的作法如下：（1）连接AB（如图）；（2）作AB的垂直平分线CD交弧AB于点M，交AB于点T；（3）分别作AT，TB的垂直平分线EF，GH，交弧AB于N，P两点，则N，M，P 三点把弧AB四等分．你认为小明的作法是否正确：，理由是．16．（3分）如图，弦AB的长等于⊙O的半径，那么弦AB所对的圆周角的度数是．三、解答题（共13小题，满分72分）17．（5分）如图，已知∠1=∠2，∠AED=∠C，求证：△ABC∽△ADE．18．（5分）已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过（2，﹣1）和（4，3）两点，求二次函数y=x2+bx+c的表达式．19．（5分）已知：如图，A，B，C为⊙O上的三个点，⊙O的直径为4cm，∠ACB=45°，求AB的长．20．（5分）如果三角形有一个边上的中线长恰好等于这个边的长，那么称这个三角形是“有趣三角形”，这条中线为“有趣中线”．如图，在△ABC中，∠C=90°，较短的一条直角边BC=1，且△ABC是“有趣三角形”，求△ABC的“有趣中线”的长．21．（5分）如图所示，以平行四边形ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作圆，作AD，BC于E，F，延长BA交⊙A于G，判断弧EF和EG是否相等，并说明理由．22．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连结AE，BD，且AE，BD交于点F，S△DEF：S△ABF=4：25，求DE：EC的值．23．（5分）一种拉杆式旅行箱的示意图如图所示，箱体长AB=50cm，拉杆最大伸长距离BC=30cm，点A到地面的距离AD=8cm，旅行箱与水平面AE成60°角，求拉杆把手处C到地面的距离（精确到1cm）．（参考数据：）24．（5分）（1）抛物线m1：y1=a1x2+b1x+c1中，函数y1与自变量x之间的部分对应值如表：设抛物线m1的顶点为P，与y轴的交点为C，则点P的坐标为，点C的坐标为．（2）将设抛物线m1沿x轴翻折，得到抛物线m2：y2=a2x2+b2x+c2，则当x=﹣3时，y2=．（3）在（1）的条件下，将抛物线m1沿水平方向平移，得到抛物线m3．设抛物线m1与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），抛物线m3与x轴交于M，N 两点（点M在点N的左侧）．过点C作平行于x轴的直线，交抛物线m3于点K．问：是否存在以A，C，K，M为顶点的四边形是菱形的情形？若存在，请求出点K 的坐标；若不存在，请说明理由．25．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙A与y轴相切于点，与x轴相交于M、N两点．如果点M的坐标为，求点N的坐标．26．（5分）根据下列要求，解答相关问题．（1）请补全以下求不等式﹣2x2﹣4x＞0的解集的过程．①构造函数，画出图象：根据不等式特征构造二次函数y=﹣2x2﹣4x；并在下面的坐标系中（图1）画出二次函数y=﹣2x2﹣4x的图象（只画出图象即可）．②求得界点，标示所需，当y=0时，求得方程﹣2x2﹣4x=0的解为；并用锯齿线标示出函数y=﹣2x2﹣4x图象中y＞0的部分．③借助图象，写出解集：由所标示图象，可得不等式﹣2x2﹣4x＞0的解集为﹣2＜x＜0．请你利用上面求一元一次不等式解集的过程，求不等式x2﹣2x+1≥4的解集．27．（7分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分线AD交BC于D．（1）动手操作：利用尺规作圆O，使圆O经过点A、D，且圆心O在AB上；并标出圆O与AB的另一个交点E，与AC的另一个交点F（保留作图痕迹，不写作法）（2）综合应用：在你所作的图中．①判断直线BC与圆O的位置关系，并说明理由；②如果∠BAC=60°，CD=，求线段BD、BE与劣弧DE所围成的图形面积（结果保留根号和π）．28．（7分）王华在学习相似三角形时，在北京市义务教育教科书九年级上册第31页遇到这样一道题，如图1，在△ABC中，P是边AB上的一点，连接CP，要使△ACP∽△ABC，还需要补充的一个条件是，或．请回答：（1）王华补充的条件是，或．（2）请你参考上面的图形和结论，探究，解答下面的问题：如图2，在△ABC中，∠A=30°，AC2=AB2+AB•BC．求∠C的度数．29．（8分）定义：P、Q分别是两条线段a和b上任意一点，线段PQ的长度的最小值叫做线段a与线段b的距离．已知O（0，0），A（4，0），B（m，n），C（m+4，n）是平面直角坐标系中四点．（1）根据上述定义，当m=2，n=2时，如图1，线段BC与线段OA的距离是；当m=5，n=2时，如图2，线段BC与线段OA的距离为；（2）如图3，若点B落在圆心为A，半径为2的圆上，线段BC与线段OA的距离记为d，求d关于m的函数解析式．（3）当m的值变化时，动线段BC与线段OA的距离始终为2，线段BC的中点为M，①求出点M随线段BC运动所围成的封闭图形的周长；②点D的坐标为（0，2），m≥0，n≥0，作MH⊥x轴，垂足为H，是否存在m 的值使以A、M、H为顶点的三角形与△AOD相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．2015-2016学年北京市通州区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）已知点（﹣2，2）在二次函数y=ax2上，那么a的值是（）A．1 B．2 C．D．﹣【解答】解：∵点（﹣2，2）在二次函数y=ax2上，∴4a=2，解得a=．故选：C．2．（3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，那么sinA的值为（）A．B．C．D．1【解答】解：∵∠C=90°，AB=2BC，∴sinA==，故选：A．3．（3分）如图所示某几何体的三视图，则这个几何体是（）A．三棱锥B．圆柱C．球D．圆锥【解答】解：∵几何体的主视图和俯视图都是三角形，∴该几何体是一个锥体，∵俯视图是一个圆，∴该几何体是一个圆锥；故选：D．4．（3分）如图，⊙O的半径为5，AB为弦，OC⊥AB，垂足为C，若OC=3，则弦AB的长为（）A．8 B．6 C．4 D．10【解答】解：连接OA，∵OA=5，OC=3，OC⊥AB，∴AC===4，∵OC⊥AB，∴AB=2AC=2×4=8．故选：A．5．（3分）如图是一个正方体的表面展开图，则原正方体中与“祝”字所在的面相对的面上标的字是（）A．考B．试C．顺D．利【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，“祝”与“利”是相对面，“你”与“试”是相对面，“考”与“顺”是相对面．故选：D．6．（3分）如果点M（﹣2，y1），N（﹣1，y2）在抛物线y=﹣x2+2x上，那么下列结论正确的是（）A．y1＜y2B．y1＞y2C．y1≤y2D．y1≥y2【解答】解：抛物线y=﹣x2+2x的对称轴是x=﹣=1，∵a=﹣1＜0，抛物线开口向下，﹣2＜﹣1＜1，∴y1＜y2．故选：A．7．（3分）如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为2m的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点距离相距6m，与树相距15m，则树的高度是（）A．7m B．6m C．5m D．4m【解答】解：如图；AD=6m，AB=21m，DE=2m；由于DE∥BC，所以△ADE∽△ABC，得：，即，解得：BC=7m，故树的高度为7m．故选：A．8．（3分）如果弧长为6π的弧所对的圆心角为60°，那么这条弧所在的圆的半径是（）A．18 B．12 C．36 D．6【解答】解：∵l=，∴r===18，故选：A．9．（3分）如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AO的延长线交⊙O于C点，连接BC，若∠A=30°，AB=2，则AC等于（）A．4 B．6 C．D．【解答】解：连接OB．∵AB是⊙O的切线，B为切点，∴OB⊥AB，在直角△OAB中，OB=AB•tanA=2×=2，则OA=2OB=4，∴AC=4+2=6．故选：B．10．（3分）如图1，AD，BC是⊙O的两条互相垂直的直径，点P从点O出发沿图中某一个扇形顺时针匀速运动，设∠APB=y（单位：度），如果y与点P运动的时间x（单位：秒）的函数关系的图象大致如图2所示，那么点P的运动路线可能为（）A．O→B→A→O B．O→A→C→O C．O→C→D→O D．O→B→D→O【解答】解：当点P沿O→C运动时，当点P在点O的位置时，y=90°，当点P在点C的位置时，∵OA=OC，∴y=45°，∴y由90°逐渐减小到45°；当点P沿C→D运动时，根据圆周角定理，可得y≡90°÷2=45°；当点P沿D→O运动时，当点P在点D的位置时，y=45°，当点P在点0的位置时，y=90°，y由45°逐渐增加到90°．故点P的运动路线可能为O→C→D→O．故选：C．二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）11．（3分）请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，﹣1）的抛物线的解析式y=x2﹣1（答案不唯一）．【解答】解：抛物线的解析式为y=x2﹣1．故答案为：y=x2﹣1（答案不唯一）．12．（3分）把二次函数的表达式y=x2﹣4x+6化为y=a（x﹣h）2+k的形式，那么h+k=4．【解答】解：∵y=x2﹣4x+6=x2﹣4x+4﹣4+6=（x﹣2）2+2，∴h=2，k=2，∴h+k=2+2=4．故答案为4．13．（3分）如图，边长为a的正方形发生形变后成为边长为a的菱形，如果这个菱形的一组对边之间的距离为h，记=k，我们把k叫做这个菱形的“形变度”．若变形后的菱形有一个角是60°，则形变度k=．【解答】解：由题意得，∠B=60°，在Rt△ABC中，∠B=60°，∴h=AC=ABsin∠B=a，∴k==．故答案为：．14．（3分）学习相似三角形和解直角三角形的相关内容后，张老师请同学们交流这样的一个问题：“如图，在正方形网格上有△A1B1C1和△A2B2C2，这两个三角形是否相似？”．那么你认为△A1B1C1和△A2B2C2相似．（填相似或不相似）；理由是==．【解答】解：由题意得：A1C1=4，A2C2=2，由勾股定理得：A1B1==2，B1C1==2，A2B2==，B2C2==，∴==2，==2，==2，∴===2，∴△A1B1C1∽△A2B2C2．故答案为：相似，==．15．（3分）小明四等分弧AB，他的作法如下：（1）连接AB（如图）；（2）作AB的垂直平分线CD交弧AB于点M，交AB于点T；（3）分别作AT，TB的垂直平分线EF，GH，交弧AB于N，P两点，则N，M，P 三点把弧AB四等分．你认为小明的作法是否正确：不正确，理由是弦AN与MN不相等，则≠．【解答】解：小明的作法不正确．理由是：如图，连结AN并延长，交CD于J，连结MN，设EF与AB交于I．由作法可知，EF∥CD，AI=IT，∴AN=NJ，∵∠NMJ＞∠NJM，∴NJ＞MN，∴AN＞MN，∴弦AN与MN不相等，则≠．故答案为不正确；弦AN与MN不相等，则≠．16．（3分）如图，弦AB的长等于⊙O的半径，那么弦AB所对的圆周角的度数是30°或150°．【解答】解：在优弧上取点C，连接AC，BC，在劣弧AB上取点D，连接AD，BD，∵弦AB的长等于⊙O的半径，∴△OAB是等边三角形，∴∠AOB=60°，∴∠ACB=∠AOB=30°，∴∠ADB=180°﹣∠ACB=150°，∴弦AB所对的圆周角的度数是：30°或150°．故答案为：30°或150°．三、解答题（共13小题，满分72分）17．（5分）如图，已知∠1=∠2，∠AED=∠C，求证：△ABC∽△ADE．【解答】证明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠BAE=∠2+∠BAE，即∠DAE=∠BAC，∵∠AED=∠C，∴△ABC∽△ADE．18．（5分）已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过（2，﹣1）和（4，3）两点，求二次函数y=x2+bx+c的表达式．【解答】解：把（2，﹣1）和（4，3）代入y=x2+bx+c得，解得，所以二次函数解析式为y=x2﹣4x+3．19．（5分）已知：如图，A，B，C为⊙O上的三个点，⊙O的直径为4cm，∠ACB=45°，求AB的长．【解答】解：连接OA，OB，∵∠ACB=45°，∴∠AOB=2∠ACB=90°，∵⊙O的直径为4cm，∴OA=OB=2cm，∴AB==2（cm）．20．（5分）如果三角形有一个边上的中线长恰好等于这个边的长，那么称这个三角形是“有趣三角形”，这条中线为“有趣中线”．如图，在△ABC中，∠C=90°，较短的一条直角边BC=1，且△ABC是“有趣三角形”，求△ABC的“有趣中线”的长．【解答】解：“有趣中线”有三种情况：若“有趣中线”为斜边AB上的中线，直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半，不合题意；若“有趣中线”为BC边上的中线，根据垂线段最短，可知不成立；若“有趣中线”为另一直角边AC上的中线，如图所示，BC=1，设BD=2x，则CD=x，在Rt△CBD中，根据勾股定理得：BD2=BC2+CD2，即（2x）2=12+x2，解得：x=，则△ABC的“有趣中线”的长等于．21．（5分）如图所示，以平行四边形ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作圆，作AD，BC于E，F，延长BA交⊙A于G，判断弧EF和EG是否相等，并说明理由．【解答】解：相等．理由：连接AF．∵A为圆心，∴AB=AF，∴∠ABF=∠AFB，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∠AFB=∠DAF，∠GAD=∠ABF，∴∠DAF=∠GAD，∴=．22．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连结AE，BD，且AE，BD交于点F，S△DEF：S△ABF=4：25，求DE：EC的值．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD．∴△DEF∽△BAF．∴．∴．又∵AB=CD，∴DE：EC=2：3．23．（5分）一种拉杆式旅行箱的示意图如图所示，箱体长AB=50cm，拉杆最大伸长距离BC=30cm，点A到地面的距离AD=8cm，旅行箱与水平面AE成60°角，求拉杆把手处C到地面的距离（精确到1cm）．（参考数据：）【解答】解：作CG⊥AE于点G．在直角△ACG中，AC=AB+BC=50+30=80cm．sin∠CAG=，∴CG=AC•sin∠CAG=80×=40≈69.2（cm）．则拉杆把手处C到地面的距离是：69.2+8=77.2≈77cm．24．（5分）（1）抛物线m1：y1=a1x2+b1x+c1中，函数y1与自变量x之间的部分对应值如表：设抛物线m1的顶点为P，与y轴的交点为C，则点P的坐标为（1，4），点C的坐标为（0，3）．（2）将设抛物线m1沿x轴翻折，得到抛物线m2：y2=a2x2+b2x+c2，则当x=﹣3时，y2=12．（3）在（1）的条件下，将抛物线m1沿水平方向平移，得到抛物线m3．设抛物线m1与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），抛物线m3与x轴交于M，N 两点（点M在点N的左侧）．过点C作平行于x轴的直线，交抛物线m3于点K．问：是否存在以A，C，K，M为顶点的四边形是菱形的情形？若存在，请求出点K 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）把（﹣1，0），（1，4），（2，3）分别代入y1=a1x2+b1x+c1得，解得．所以抛物线m1的解析式为y1=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，则P（1，4），当x=0时，y=3，则C（0，3）；（2）因为抛物线m1沿x轴翻折，得到抛物线m2，所以y2=（x﹣1）2﹣4，当x=﹣3时，y2=（x+1）2﹣4=（﹣3﹣1）2﹣4=12．故答案为（1，4），（0，3），12；（3）存在．当y1=0时，﹣x2+2x+3=0，解得x1=﹣1，x2=3，则A（﹣1，0），B（3，0），∵抛物线m1沿水平方向平移，得到抛物线m3，∴CK∥AM，CK=AM，∴四边形AMKC为平行四边形，当CA=CK时，四边形AMKC为菱形，而AC==，则CK=，当抛物线m1沿水平方向向右平移个单位，此时K（，3）；当抛物线m1沿水平方向向左平移个单位，此时K（﹣，3）．25．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙A与y轴相切于点，与x轴相交于M、N两点．如果点M的坐标为，求点N的坐标．【解答】解：连接AB、AM、过A作AC⊥MN于C，设⊙A的半径是R，∵⊙A与y轴相切于B，∴AB⊥y轴，∵点，与x轴相交于M、N两点，点M的坐标为，∴AB=AM=R，CM=R﹣，AC=，MN=2CM，由勾股定理得：R2=（R﹣）2+（）2，R=2.5，∴CM=CN=2.5﹣=2，∴ON=+2+2=4，即N的坐标是（4，0）．26．（5分）根据下列要求，解答相关问题．（1）请补全以下求不等式﹣2x2﹣4x＞0的解集的过程．①构造函数，画出图象：根据不等式特征构造二次函数y=﹣2x2﹣4x；并在下面的坐标系中（图1）画出二次函数y=﹣2x2﹣4x的图象（只画出图象即可）．②求得界点，标示所需，当y=0时，求得方程﹣2x2﹣4x=0的解为x1=0，x2=﹣2；并用锯齿线标示出函数y=﹣2x2﹣4x图象中y＞0的部分．③借助图象，写出解集：由所标示图象，可得不等式﹣2x2﹣4x＞0的解集为﹣2＜x＜0．请你利用上面求一元一次不等式解集的过程，求不等式x2﹣2x+1≥4的解集．【解答】解：①图所示：；②方程﹣2x2﹣4x=0即﹣2x（x+2）=0，解得：x1=0，x2=﹣2；则方程的解是x1=0，x2=﹣2，图象如图1；③函数y=x2﹣2x+1的图象是：当y=4时，x2﹣2x+1=4，解得：x1=3，x2=﹣1．则不等式的解集是：x≥3或x≤﹣1．27．（7分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分线AD交BC于D．（1）动手操作：利用尺规作圆O，使圆O经过点A、D，且圆心O在AB上；并标出圆O与AB的另一个交点E，与AC的另一个交点F（保留作图痕迹，不写作法）（2）综合应用：在你所作的图中．①判断直线BC与圆O的位置关系，并说明理由；②如果∠BAC=60°，CD=，求线段BD、BE与劣弧DE所围成的图形面积（结果保留根号和π）．【解答】解：（1）如图1；（2）①直线BC与⊙O的位置关系为相切．理由如下：如图1，连接OD，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ADO，∵∠BAC的角平分线AD交BC边于D，∴∠CAD=∠OAD，∴∠CAD=∠ADO，∴AC∥OD，∵∠C=90°，∴∠ODB=90°，∴OD⊥BC，即直线BC是⊙O的切线，∴直线BC与⊙O的位置关系为相切；②如图2，∵∠BAC 的角平分线AD 交BC 于D ，∠BAC=60°，∠C=90°， ∴∠CAD=∠DAB=30°，∠B=30°， ∴∠DAB=∠B=30°， ∴BD=AD ．∵在Rt △ADC 中，∠C=90°，∠CAD=30°，CD=，∴AD=2CD=2，AC=CD=3，∴BD=2，AB=2AC=6．设⊙O 的半径为r ，在Rt △OBD 中，OD 2+BD 2=OB 2， 即r 2+（2）2=（6﹣r ）2，解得r=2，OB=6﹣r=4， ∵∠ODB=90°，∠B=30°， ∴∠DOB=60°， ∴S 扇形ODE ==π，S △ODB =OD•BD=×2×2=2，∴线段BD 、BE 与劣弧DE 所围成的图形面积为：S △ODB ﹣S 扇形ODE =2﹣π．28．（7分）王华在学习相似三角形时，在北京市义务教育教科书九年级上册第31页遇到这样一道题，如图1，在△ABC中，P是边AB上的一点，连接CP，要使△ACP∽△ABC，还需要补充的一个条件是∠ACP=∠B（或∠APC=∠ACB），或AC2=AP•AB．请回答：（1）王华补充的条件是∠ACP=∠B（或∠APC=∠ACB），或AC2=AP•AB．（2）请你参考上面的图形和结论，探究，解答下面的问题：如图2，在△ABC中，∠A=30°，AC2=AB2+A B•BC．求∠C的度数．【解答】解：∵∠A=∠A，∴当∠ACP=∠B，或∠APC=∠ACB；或，即AC2=AP•AB时，△ACP∽△ABC；故答案为：∠ACP=∠B（或∠APC=∠ACB），或AC2=AP•AB；（1）王华补充的条件是：∠ACP=∠B（或∠APC=∠ACB）；或AC2=AP•AB；理由如下：∵∠A=∠A，∴当∠ACP=∠B，或∠APC=∠ACB；或，即AC2=AP•AB时，△ACP∽△ABC；故答案为：∠ACP=∠B（或∠APC=∠ACB），或AC2=AP•AB；（2）延长AB到点D，使BD=BC，连接CD，如图所示：∵AC2=AB2+AB•BC=AB（AB+BC）=AB（AB+BD）=AB•AD，∴，又∵∠A=∠A，∴△ACB∽△ADC，∴∠ACB=∠D，∵BC=BD，∴∠BCD=∠D，在△ACD中，∠ACB+∠BCD+∠D+∠A=180°，∴3∠ACB+30°=180°，∴∠ACB=50°．29．（8分）定义：P、Q分别是两条线段a和b上任意一点，线段PQ的长度的最小值叫做线段a与线段b的距离．已知O（0，0），A（4，0），B（m，n），C（m+4，n）是平面直角坐标系中四点．（1）根据上述定义，当m=2，n=2时，如图1，线段BC与线段OA的距离是2；当m=5，n=2时，如图2，线段BC与线段OA的距离为；（2）如图3，若点B落在圆心为A，半径为2的圆上，线段BC与线段OA的距离记为d，求d关于m的函数解析式．（3）当m的值变化时，动线段BC与线段OA的距离始终为2，线段BC的中点为M，①求出点M随线段BC运动所围成的封闭图形的周长；②点D的坐标为（0，2），m≥0，n≥0，作MH⊥x轴，垂足为H，是否存在m 的值使以A、M、H为顶点的三角形与△AOD相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）当m=2，n=2时，如题图1，线段BC与线段OA的距离（即线段BN的长）=2；当m=5，n=2时，B点坐标为（5，2），线段BC与线段OA的距离，即为线段AB的长，如答图1，过点B作BN⊥x轴于点N，则AN=1，BN=2，在Rt△ABN中，由勾股定理得：AB===．（2）如答图2所示，当点B落在⊙A上时，m的取值范围为2≤m≤6：当4≤m≤6，显然线段BC与线段OA的距离等于⊙A半径，即d=2；当2≤m＜4时，作BN⊥x轴于点N，线段BC与线段OA的距离等于BN长，ON=m，AN=OA﹣ON=4﹣m，在Rt△ABN中，由勾股定理得：∴d===．（3）①依题意画出图形，点M的运动轨迹如答图3中粗体实线所示：由图可见，封闭图形由上下两段长度为8的线段，以及左右两侧半径为2的半圆所组成，其周长为：2×8+2×π×2=16+4π，∴点M随线段BC运动所围成的封闭图形的周长为：16+4π．②结论：存在．∵m≥0，n≥0，∴点M位于第一象限．∵A（4，0），D（0，2），∴OA=2OD．如答图4所示，相似三角形有三种情形：（I）△AM1H1，此时点M纵坐标为2，点H在A点左侧．如图，OH1=m+2，M1H1=2，AH1=OA﹣OH1=2﹣m，由相似关系可知，M1H1=2AH1，即2=2（2﹣m），∴m=1；（II）△AM2H2，此时点M纵坐标为2，点H在A点右侧．如图，OH2=m+2，M2H2=2，AH2=OH2﹣OA=m﹣2，由相似关系可知，M2H2=2AH2，即2=2（m﹣2），∴m=3；（III）△AM3H3，此时点B落在⊙A上．如图，OH3=m+2，AH3=OH3﹣OA=m﹣2，过点B作BN⊥x轴于点N，则BN=M3H3=n，AN=m﹣4，由相似关系可知，AH3=2M3H3，即m﹣2=2n （1）在Rt△ABN中，由勾股定理得：22=（m﹣4）2+n2（2）由（1）、（2）式解得：m1=，m2=2，当m=2时，点M与点A横坐标相同，点H与点A重合，故舍去，∴m=．综上所述，存在m的值使以A、M、H为顶点的三角形与△AOD相似，m的取值为：1、3或．第31页（共31页）。
2015-2016学年苏科版初三上期末数学试卷及答案
2015-2016学年第一学期初三数学期末试卷（分值：130分；时间：120分钟）2016年1月一、选择题（每小题3分，共24分）1．我市某中学举办了一次以“我的中国梦”为主题的演讲比赛，最后确定7名同学参加决赛，他们的决赛成绩各不相同，其中李华已经知道自己的成绩，但能否进前四名，他还必须清楚这七名同学成绩的（）A．众数B．平均数C．中位数D．方差2A．80，2 B．80，C．78，2 D．78，3．关于x的一元二次方程3x2﹣6x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A．m＜3 B．m≤3 C．m＞3 D．m≥34．为增加绿化面积，某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖，更换后，图中阴影部分为植草区域，设正八边形与其内部小正方形的边长都为a，则阴影部分的面积为（）A．2a2B．3a2C．4a2D．5a2（4题）（5题）（6题）5．二次函数y=ax2+bx的图象如图，若一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，则m的最大值为（）A．﹣3 B．3 C．﹣6 D．96．如图，⊙O的直径AB=12，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为P，且BP：AP=1：5，则CD的长为（）A．4 B．8C．2 D．47．如图，已知线段OA交⊙O于点B，且OB=AB，点P是⊙O上的一个动点，那么∠OAP 的最大值是（）A．30°B．45°C．60°D．90°8．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=6，以斜边AB上的一点O为圆心所作的半圆分别与AC、BC相切于点D、E，则AD为（）A．2.5 B．1.6 C．1.5 D．1（7题）（8题）二、填空题（每小题3分，共30分）9则该校篮球班21名同学身高的中位数是cm．10．某校从参加计算机测试的学生中抽取了60名学生的成绩（40～100分）进行分析，并将其分成了六段后绘制成如图所示的频数分布直方图（其中70～80段因故看不清），若60分以上（含60分）为及格，试根据图中信息来估计这次测试的及格率约为．（10题）（11题）11．已知如图所示的图形的面积为24，根据图中的条件，可列出方程：．12．已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2﹣2=0的两根为x1和x2，且（x1﹣2）（x1﹣x2）=0，则k的值是．13．我市为了增强学生体质，开展了乒乓球比赛活动．部分同学进入了半决赛，赛制为单循环形式（即每两个选手之间都赛一场），半决赛共进行了6场，则共有人进入半决赛．14．在﹣1、3、﹣2这三个数中，任选两个数的积作为k的值，使反比例函数的图象在第一、三象限的概率是．15．P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于点A，B，∠APB=50°，点C为⊙O上一点（不与A，B重合），则∠ACB的度数为．16．如图，某小岛受到了污染，污染范围可以大致看成是以点O为圆心，AD长为直径的圆形区域，为了测量受污染的圆形区域的直径，在对应⊙O的切线BD（点D为切点）上选择相距300米的B、C两点，分别测得∠ABD=30°，∠ACD=60°，则直径AD=米．（结果精确到1米）（参考数据：，）（16题）（18题）172则当y≤的取值范围为．18．如图，正六边形硬纸片ABCDEF在桌面上由图1的起始位置沿直线l不滑行地翻滚一周后到图2位置．若正六边形的边长为2cm，则正六边形的中心O运动的路程为cm．三、解答题（共76分）（19、20题5分）19．计算：﹣22﹣3×3﹣1+（﹣1）0+2sin30°．20．已知x是一元二次方程x2+3x﹣1=0的实数根，求代数式：的值．21．（6分）如图，小丽假期在娱乐场游玩时，想要利用所学的数学知识测量某个娱乐场地所在山坡AE的长度．她先在山脚下点E处测得山顶A的仰角是30°，然后，她沿着坡度是i=1：1（即tan∠CED=1）的斜坡步行15分钟抵达C处，此时，测得A点的俯角是15°．已知小丽的步行速度是18米/分，图中点A、B、E、D、C在同一平面内，且点D、E、B在同一水平直线上．求出娱乐场地所在山坡AE的长度．（参考数据：≈1.41，结果精确到0.1米）22．（6分）小英与她的父亲、母亲计划外出旅游，初步选择了延安、西安、汉中、安康四个城市，由于时间仓促，他们只能去其中一个城市，到底去哪一个城市三个人意见不统一，在这种情况下，小英父亲建议，用小英学过的摸球游戏来决定，规则如下：①在一个不透明的袋子中装一个红球（延安）、一个白球（西安）、一个黄球（汉中）和一个黑球（安康），这四个球除颜色不同外，其余完全相同；②小英父亲先将袋中球摇匀，让小英从袋中随机摸出一球，父亲记录下其颜色，并将这个球放回袋中摇匀，然后让小英母亲从袋中随机摸出一球，父亲记录下它的颜色；③若两人所摸出球的颜色相同，则去该球所表示的城市旅游，否则，前面的记录作废，按规则②重新摸球，直到两人所摸出求的颜色相同为止．按照上面的规则，请你解答下列问题：（1）已知小英的理想旅游城市是西安，小英和母亲随机各摸球一次，均摸出白球的概率是多少？（2）已知小英母亲的理想旅游城市是汉中，小英和母亲随机各摸球一次，至少有一人摸出黄球的概率是多少？23．（9分）2014年5月31日是世界卫生组织发起的第27个“世界无烟日”．为了更好地宣传吸烟的危害，某中学九年级（1）班数学兴趣小组设计了如下调查问卷，在东方广场随机调查了部分吸烟人群，并将调查结果绘制成如图所示的统计图．根据以上信息，解答下列问题：（1）本次接受调查的总人数是，并把条形统计图补充完整；（2）在扇形统计图中，C选项的人数所占百分比是，E选项所在扇形的圆心角的度数是．（3）若某区约有烟民38万人，试估计对吸烟有害持“无所谓”态度的人数，你对这部分人群有何建议？24．（8分）如图，AB是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线并在其上取一点C，连接OC 交⊙O于点D，BD的延长线交AC于E，连接AD．（1）求证：△CDE∽△CAD；（2）若AB=2，AC=2，求AE的长．25．（6分）一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买了一批树苗，园林公司规定：如果购买树苗不超过60棵，每棵售价120元；如果购买树苗超过60棵，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元，但每棵树苗最低售价不得少于100元，该校最终向园林公司支付树苗款8800元，请问该校共购买了多少棵树苗？26．（9分）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，平行四边形ABCD的边BC在x轴上，D点在y轴上，C点坐标为（2，0），BC=6，∠BCD=60°，点E是AB上一点，AE=3EB，⊙P 过D，O，C三点，抛物线y=ax2+bx+c过点D，B，C三点．（1）求抛物线的解析式；（2）求证：ED是⊙P的切线；27．（10分）如图1，正方形ABCD的边长为2，点M是BC的中点，P是线段MC上的一个动点（不与M、C重合），以AB为直径作⊙O，过点P作⊙O的切线，交AD于点F，切点为E．（1）求证：OF∥BE；（2）设BP=x，AF=y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（3）延长DC、FP交于点G，连接OE并延长交直线DC于H（图2），问是否存在点P，使△EFO∽△EHG（E、F、O与E、H、G为对应点）？如果存在，求（2）中x和y的值；如果不存在，请说明理由．28．（12分）如图，二次函数y=a（x2﹣2mx﹣3m2）（其中a，m是常数，且a＞0，m＞0）的图象与x轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于C（0，﹣3），点D 在二次函数的图象上，CD∥AB，连接AD，过点A作射线AE交二次函数的图象于点E，AB平分∠DAE．（1）用含m的代数式表示a；（2）求证：为定值；（3）设该二次函数图象的顶点为F，探索：在x轴的负半轴上是否存在点G，连接GF，以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G即可，并用含m的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共24分）1．解：由于总共有7个人，且他们的分数互不相同，第4的成绩是中位数，要判断是否进入前4名，故应知道中位数的多少．故选：C．2．解：根据题意得：80×5﹣（81+79+80+82）=78，方差=[（81﹣80）2+（79﹣80）2+（78﹣80）2+（80﹣80）2+（82﹣80）2]=2．故选C．3．解：根据题意得△=（﹣6）2﹣4×3×m＞0，解得m＜3．故选A．4．解：∵某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖，设正八边形与其内部小正方形的边长都为a，∴AB=a，且∠CAB=∠CBA=45°，∴sin45°===，∴AC=BC=a，∴S△ABC=×a×a=，∴正八边形周围是四个全等三角形，面积和为：×4=a2．正八边形中间是边长为a的正方形，∴阴影部分的面积为：a2+a2=2a2，故选：A．5．解：（法1）∵抛物线的开口向上，顶点纵坐标为﹣3，∴a＞0，=﹣3，即b2=12a，∵一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，∴△=b2﹣4am≥0，即12a﹣4am≥0，即12﹣4m≥0，解得m≤3，∴m的最大值为3．（法2）一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，可以理解为y=ax2+bx和y=﹣m有交点，可见﹣m≥﹣3，∴m≤3，∴m的最大值为3．故选B．（5题）（6题）6．解：∵⊙O的直径AB=12，∴OB=AB=6，∵BP：AP=1：5，∴BP=AB=×12=2，∴OP=OB﹣BP=6﹣2=4，∵CD⊥AB，∴CD=2PC．如图，连接OC，在Rt△OPC中，∵OC=6，OP=4，∴PC===2，∴CD=2PC=2×2=4．故选D．7．解：根据题意知，当∠OAP取最大值时，OP⊥AP；在Rt△AOP中，∵OP=OB，OB=AB，∴OA=2OP，∴∠OAP=30°．故选A．（7题）（8题）8．解：连接OD、OE，设AD=x，∵半圆分别与AC、BC相切，∴∠CDO=∠CEO=90°，∵∠C=90°，∴四边形ODCE是矩形，∴OD=CE，OE=CD，又∵OD=OE，∴CD=CE=4﹣x，BE=6﹣（4﹣x）=x+2，∵∠AOD+∠A=90°，∠AOD+∠BOE=90°，∴∠A=∠BOE，∴△AOD∽OBE，∴=，∴=，解得x=1.6，故选：B．二、填空题（每小题3分，共30分）9．187．10．解：∵频数=×组距，∴当40≤x＜50时，频数=0.6×10=6，同理可得：50≤x＜60，频数=9，60≤x＜70，频数=9，80≤x＜90，频数=15，90≤x＜100，频数=3，∴70≤x＜80，频数=60﹣6﹣9﹣9﹣15﹣3=18，∴这次测试的及格率=×100%=75%．11．解：根据题意得：（x+1）2﹣1=24，即：（x+1）2=25．故答案为：（x+1）2=25．12．解：∵（x1﹣2）（x1﹣x2）=0，∴x1﹣2=0或x1﹣x2=0．①如果x1﹣2=0，那么x1=2，将x=2代入x2+（2k+1）x+k2﹣2=0，得4+2（2k+1）+k2﹣2=0，整理，得k2+4k+4=0，解得k=﹣2；②如果x1﹣x2=0，那么（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1x2=[﹣（2k+1）]2﹣4（k2﹣2）=4k+9=0，解得k=﹣．又∵△=（2k+1）2﹣4（k2﹣2）≥0．解得：k≥﹣．所以k的值为﹣2或﹣．13．解：假设共有x人进入半决赛．∴x（x﹣1）=6，解得：x 1=4，x 2=﹣3（舍去），答：共有4人进入半决赛．故答案为：4．14．解：画树状图得：∵共有6种等可能的结果，任选两个数的积作为k的值，使反比例函数的图象在第一、三象限的有2种情况，∴任选两个数的积作为k的值，使反比例函数的图象在第一、三象限的概率是：=．故答案为：．15．解：连接OA、OB．∵PA，PB分别切⊙O于点A，B，∴OA⊥PA，OB⊥PB；∴∠PAO=∠PBO=90°；又∵∠APB=50°，∴在四边形AOBP中，∠AOB=360°﹣90°﹣90°﹣50°=130°，∴∠ADB=×∠AOB=×130°=65°，即当C在D处时，∠ACB=65°．在四边形ADBC中，∠ACB=180°﹣∠ADB=180°﹣65°=115°．于是∠ACB的度数为65°或115°．（15题）16．解：∵∠ABD=30°，∠ACD=60°，∴假设CD=x，AC=2x，∴AD=x，tanB==，∴=，解得：x=150，∴AD=x=×150≈260米．故答案为：260米．17．解：由表中数据可知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点为（﹣2，0）、（3，0），根据表格确定y≤0的是x的取值范围﹣2≤x≤3，故答案为：﹣2≤x≤3．18．解：根据题意得：每次滚动正六边形的中心就以正六边形的半径为半径旋转60°，正六边形的中心O运动的路程∵正六边形的边长为2cm，∴运动的路径为：=；∵从图1运动到图2共重复进行了六次上述的移动，∴正六边形的中心O运动的路程6×=4πcm三、解答题（共76分）19．（5分）解：原式=﹣4﹣1+1+1=﹣3．20．（5分）解：∵x2+3x﹣1=0．∴x2+3x=1．x（x+3）=1∴原式=÷==．21．（6分）解：作EF⊥AC，根据题意，CE=18×15=270米，∵tan∠CED=1，∴∠CED=∠DCE=45°，∵∠ECF=90°﹣45°﹣15°=30°，∴EF=CE=135米，∵∠CEF=60°，∠AEB=30°，∴∠AEF=180°﹣45°﹣60°﹣30°=45°，∴AE=135≈190.4米22．（6分）解：（1）画树状图得：∵共有16种等可能的结果，小英和母亲随机各摸球一次，均摸出白球的只有1种情况，∴小英和母亲随机各摸球一次，均摸出白球的概率是：；（2）由（1）得：共有16种等可能的结果，小英和母亲随机各摸球一次，至少有一人摸出黄球的有7种情况，∴小英和母亲随机各摸球一次，至少有一人摸出黄球的概率是：．23．（9分）（1）调查的总人数=126÷42%=300，决定戒烟，远离烟草危害的人数为300﹣12﹣126﹣78﹣30=54人，如图，故答案为：300人；（23答图）（26答图）（2）在扇形统计图中，C选项的人数所占百分比是78÷300=26%，×360°=36°，故答案为：26%，36°．（3）估计对吸烟有害持“无所谓”态度的人数为38×=1.52（万人）建议：吸烟有害身体健康．24．（8分）（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠B+∠BAD=90°，∵AC为⊙O的切线，∴BA⊥AC，∴∠BAC=90°，即∠BAD+∠CAD=90°，∴∠B=∠CAD，∵OB=OD，∴∠B=∠ODB，而∠ODB=∠CDE，∴∠B=∠CDE，∴∠CAD=∠CDE，而∠ECD=∠DCA，∴△CDE∽△CAD；（2）解：∵AB=2，∴OA=1，在Rt△AOC中，AC=2，∴OC==3，∴CD=OC ﹣OD=3﹣1=2，∵△CDE∽△CAD，∴=，即=，∴CE=．∴AE=AC﹣CE=2﹣=．25．（6分）解：因为60棵树苗售价为120元×60=7200元＜8800元，所以该校购买树苗超过60棵，设该校共购买了x棵树苗，由题意得：x[120﹣0.5（x﹣60）]=8800，解得：x1=220，x2=80．当x=220时，120﹣0.5×（220﹣60）=40＜100，∴x=220（不合题意，舍去）；当x=80时，120﹣0.5×（80﹣60）=110＞100，∴x=80．答：该校共购买了80棵树苗．26．（9分）解：（1）∵C（2，0），BC=6，∴B（﹣4，0），在Rt△OCD中，∵tan∠OCD=，∴OD=2tan60°=2，∴D（0，2），设抛物线的解析式为y=a（x+4）（x﹣2），把D（0，2）代入得a•4•（﹣2）=2，解得a=﹣，∴抛物线的解析式为y=﹣（x+4）（x﹣2）=﹣x2﹣x+2；（2）在Rt△OCD中，CD=2OC=4，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB=CD=4，AB∥CD，∠A=∠BCD=60°，AD=BC=6，∵AE=3BE，∴AE=3，∴=，==，∴=，而∠DAE=∠DCB，∴△AED∽△COD，∴∠ADE=∠CDO，而∠ADE+∠ODE=90°∴∠CDO+∠ODE=90°，∴CD⊥DE，∵∠DOC=90°，∴CD为⊙P的直径，∴ED是⊙P的切线；27．（10分）（1）证明：连接OE。
2015-2016年北京市顺义区初三上学期期末数学试卷含答案解析
2015-2016学年北京市顺义区初三上学期期末数学试卷一、选择题（共10道小题，每小题3分，共30分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．（3分）﹣的倒数是（）A．3 B．C．﹣ D．﹣32．（3分）计算的结果是（）A．B．C．D．33．（3分）不等式3x+2＞﹣1的解集是（）A．x＞﹣B．x＜﹣C．x＞﹣1 D．x＜﹣14．（3分）下列银行标志中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．5．（3分）若3x=4y（xy≠0），则下列比例式成立的是（）A．B．C．D．6．（3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5，则cosA的值为（）A．B．C．D．7．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD上，连接CE并延长与BA 的延长线交于点F，若AE=2ED，则的值是（）A．B．C．D．8．（3分）如图，⊙O的直径AB=2，弦AC=1，点D在⊙O上，则∠D的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．75°9．（3分）若正方形的边长为6，则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为（）A．6， B．，3 C．6，3 D．，10．（3分）如图所示，扇形AOB的圆心角为120°，半径为2，则图中阴影部分的面积为（）A．B．C．D．二、填空题（共6道小题，每小题3分，共18分）11．（3分）分解因式：mn2+6mn+9m=．12．（3分）一名射击爱好者5次射击的中靶环数如下：6，7，9，8，9，这5个数据的中位数是．13．（3分）如图，身高是1.6m的某同学直立于旗杆影子的顶端处，测得同一时刻该同学和旗杆的影子长分别为1.2m和9m，则旗杆的高度为m．14．（3分）若反比例函数的图象在每一个象限中，y随着x的增大而减小，则m的取值范围是．15．（3分）将抛物线y=2x2向下平移3个单位，再向左平移1个单位，所得抛物线的解析式为．16．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC外接圆的圆心坐标是，半径是．三、解答题（共13道小题，第17-26小题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分，共72分）17．（5分）计算：cos60°+tan30°•sin60°﹣（cos45°﹣）0．18．（5分）已知，求代数式的值．19．（5分）求二次函数y=x2﹣4x+3的顶点坐标及对称轴，并在所给坐标系中画出该二次函数的图象．20．（5分）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，点A（2，5）在反比例函数y=的图象上，过点A的直线y=x+b交x轴于点B．（1）求k和b的值；（2）求△OAB的面积．21．（5分）李大叔想用篱笆围成一个周长为80米的矩形场地，矩形面积S（单位：平方米）随矩形一边长x（单位：米）的变化而变化．（1）求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）当x是多少时，矩形场地面积S最大？最大面积是多少？22．（5分）已知：如图，AB是⊙O的直径，弦，∠B=60°，OD⊥AC，垂足为D．（1）求OD的长；（2）求劣弧AC的长．23．（5分）在四边形ABCD中，AB=AD=8，∠A=60°，∠D=150°，四边形周长为32，求BC和CD的长度．24．（5分）一次数学活动课上，老师带领学生去测一条南北流向的河宽，如图所示，某学生在河东岸点A处观测到河对岸水边有一点C，测得C在A北偏西31°的方向上，沿河岸向北前行40米到达B处，测得C在B北偏西45°的方向上，请你根据以上数据，求这条河的宽度．（参考数值：tan31°≈）25．（5分）已知抛物线y=（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣1与x轴相交于A、B两点，且AB=2，求m的值．26．（5分）在△ABC中，AB=6cm，AC=12cm，动点D以1cm/s 的速度从点A出发到点B止，动点E以2cm/s 的速度从点C出发到点A止，且两点同时运动，当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，求运动的时间t．27．（7分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D，过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E，连接BC交AD于点F．（1）猜想ED与⊙O的位置关系，并证明你的猜想；（2）若AB=6，AD=5，求AF的长．28．（7分）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．（1）求证：△ADF∽△DEC；（2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE的长．29．（8分）已知：如图，直线y=3x+3与x轴交于C点，与y轴交于A点，B点在x轴上，△OAB是等腰直角三角形．（1）求过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）若直线CD∥AB交抛物线于D点，求D点的坐标；（3）若P点是抛物线上的动点，且在第一象限，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标和△PAB的最大面积；若没有，请说明理由．2015-2016学年北京市顺义区初三上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10道小题，每小题3分，共30分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．（3分）﹣的倒数是（）A．3 B．C．﹣ D．﹣3【解答】解：﹣的倒数是﹣3；故选：D．2．（3分）计算的结果是（）A．B．C．D．3【解答】解：•=，故选：B．3．（3分）不等式3x+2＞﹣1的解集是（）A．x＞﹣B．x＜﹣C．x＞﹣1 D．x＜﹣1【解答】解：移项得，3x＞﹣1﹣2，合并同类项得，3x＞﹣3，把x的系数化为1得，x＞﹣1．故选：C．4．（3分）下列银行标志中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故A选项不合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不合题意；C、是轴对称图形，也是中心对称图形．故C选项不合题意；D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D选项符合题意；故选：D．5．（3分）若3x=4y（xy≠0），则下列比例式成立的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、由比例的性质，得3x=4y，故A正确；B、由比例的性质，得xy=12，故B错误；C、由比例的性质，得4x=3y，故C错误；D、由比例的性质，得4x=3y，故D错误；故选：A．6．（3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5，则cosA的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵∠C=90°，BC=3，AB=5，∴AC==4，∴cosA==，故选：B．7．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD上，连接CE并延长与BA 的延长线交于点F，若AE=2ED，则的值是（）A．B．C．D．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB=CD，∴△AFE∽△CDE，∴AF：CD=AE：ED，∵AE=2ED，∴AF：CD=AE：ED=2：1，∴=．故选：D．8．（3分）如图，⊙O的直径AB=2，弦AC=1，点D在⊙O上，则∠D的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．75°【解答】解：∵⊙O的直径是AB，∴∠ACB=90°，又∵AB=2，弦AC=1，∴sin∠CBA=，∴∠CBA=30°，∴∠A=∠D=60°，故选：C．9．（3分）若正方形的边长为6，则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为（）A．6， B．，3 C．6，3 D．，【解答】解：∵正方形的边长为6，∴AB=3，又∵∠AOB=45°，∴OB=3∴AO==3，即外接圆半径为3，内切圆半径为3． 故选：B ．10．（3分）如图所示，扇形AOB 的圆心角为120°，半径为2，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：过点O 作OD ⊥AB ，∵∠AOB=120°，OA=2，∴∠OAD===30°，∴OD=OA=×2=1，AD===， ∴AB=2AD=2，∴S 阴影=S 扇形OAB ﹣S △AOB =﹣×2×1=．故选：A ．二、填空题（共6道小题，每小题3分，共18分）11．（3分）分解因式：mn2+6mn+9m=m（n+3）2．【解答】解：mn2+6mn+9m=m（n2+6n+9）=m（n+3）2．故答案为：m（n+3）2．12．（3分）一名射击爱好者5次射击的中靶环数如下：6，7，9，8，9，这5个数据的中位数是8．【解答】解：这组数据按从小到大的顺序排列为：6，7，8，9，9，则中位数为：8．故答案为：8．13．（3分）如图，身高是1.6m的某同学直立于旗杆影子的顶端处，测得同一时刻该同学和旗杆的影子长分别为1.2m和9m，则旗杆的高度为12m．【解答】解：∵同一时刻物高与影长成正比例．设旗杆的高是xm．∴1.6：1.2=x：9∴x=12．即旗杆的高是12米．故答案为12．14．（3分）若反比例函数的图象在每一个象限中，y随着x的增大而减小，则m的取值范围是m＞1．【解答】解：∵图象在每一个象限中y随着x的增大而减小，∴m﹣1＞0，解得：m＞1，故答案为：m＞1．15．（3分）将抛物线y=2x2向下平移3个单位，再向左平移1个单位，所得抛物线的解析式为y=2（x+1）2﹣3．【解答】解：将抛物线y=2x2向下平移3个单位得y=2x2﹣3，再向左平移1个单位，得y=2（x+1）2﹣3；故所得抛物线的解析式为y=2（x+1）2﹣3．故答案为：y=2（x+1）2﹣3．16．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC外接圆的圆心坐标是（5，2），半径是2．【解答】解：∵△ABC外接圆的圆心到三角形三个顶点的距离相等，又∵到B，C两点距离相等的点在BC的垂直平分线上，∴三角形的外心位置基本确定，只有（5，2）点到三角形三个顶点距离相等，∴（5，2）点是三角形的外接圆圆心．利用勾股定理可得半径为：2．故答案为：（5，2），2．三、解答题（共13道小题，第17-26小题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分，共72分）17．（5分）计算：cos60°+tan30°•sin60°﹣（cos45°﹣）0．【解答】解：原式=+•﹣1=+﹣1=0．故答案为：0．18．（5分）已知，求代数式的值．【解答】解：•（a﹣2b）=•（a﹣2b）=，∵=≠0，∴a=b，∴原式====．19．（5分）求二次函数y=x2﹣4x+3的顶点坐标及对称轴，并在所给坐标系中画出该二次函数的图象．【解答】解：y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，则抛物线的顶点坐标为：（2，﹣1），对称轴为直线：x=2，当y=0，则0=（x﹣2）2﹣1，解得：x1=1，x2=3，故抛物线与x轴交点为：（1，0），（3，0）．如图所示：20．（5分）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，点A（2，5）在反比例函数y=的图象上，过点A的直线y=x+b交x轴于点B．（1）求k和b的值；（2）求△OAB的面积．【解答】解：（1）把A（2，5）分别代入y=和y=x+b，得，解得k=10，b=3；（2）作AC⊥x轴于点C，由（1）得直线AB的解析式为y=x+3，∴点B的坐标为（﹣3，0），∴OB=3，∵点A的坐标是（2，5），∴AC=5，∴=5=．21．（5分）李大叔想用篱笆围成一个周长为80米的矩形场地，矩形面积S（单位：平方米）随矩形一边长x（单位：米）的变化而变化．（1）求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）当x是多少时，矩形场地面积S最大？最大面积是多少？【解答】解：（1）有分析可得：S=x×（40﹣x）=﹣x2+40x，且有0＜x＜40，所以S与x之间的函数关系式为：S=x×（40﹣x）=﹣x2+40x，并写出自变量x的取值范围为：0＜x＜40；（2）求S=﹣x2+40x的最大值，S=﹣x2+40x=﹣（x﹣20）2+400，所以当x=20时，有S的最大值S=400，答：当x是20时，矩形场地面积S最大，最大面积是400．22．（5分）已知：如图，AB是⊙O的直径，弦，∠B=60°，OD⊥AC，垂足为D．（1）求OD的长；（2）求劣弧AC的长．【解答】解：（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠C=90°，又∵OD⊥AC，∴AD=CD=，∠ADO=90°，∵∠B=60°∴∠A=30°，在Rt△AOD中，OA=2，OD=1；（2）连接OC，则∠AOC=120°，∴的长l===．23．（5分）在四边形ABCD中，AB=AD=8，∠A=60°，∠D=150°，四边形周长为32，求BC和CD的长度．【解答】解：如图，连接BD，由AB=AD，∠A=60°．则△ABD是等边三角形．即BD=8，∠1=60°．又∠1+∠2=150°，则∠2=90°．设BC=x，CD=16﹣x，由勾股定理得：x2=82+（16﹣x）2，解得x=10，16﹣x=6所以BC=10，CD=6．24．（5分）一次数学活动课上，老师带领学生去测一条南北流向的河宽，如图所示，某学生在河东岸点A处观测到河对岸水边有一点C，测得C在A北偏西31°的方向上，沿河岸向北前行40米到达B处，测得C在B北偏西45°的方向上，请你根据以上数据，求这条河的宽度．（参考数值：tan31°≈）【解答】解：过点C作CD⊥AB于D，由题意∠DAC=31°，∠DBC=45°，设CD=BD=x米，则AD=AB+BD=（40+x）米，在Rt△ACD中，tan∠DAC=，则，解得x=60（米），经检验得：x=60是原方程的根，∴这条河的宽度为60米．25．（5分）已知抛物线y=（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣1与x轴相交于A、B两点，且AB=2，求m的值．【解答】解：设一元二次方程（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣1=0的两根为α、β，∴α+β=﹣，αβ=﹣，∴|α﹣β|==2，∴（α+β）2﹣4αβ=4，即（﹣）2+=4，解得m=2或m=．26．（5分）在△ABC中，AB=6cm，AC=12cm，动点D以1cm/s 的速度从点A出发到点B止，动点E以2cm/s 的速度从点C出发到点A止，且两点同时运动，当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，求运动的时间t．【解答】解：当动点D、E同时运动时间为t时，则有AD=t，CE=2t，AE=12﹣2t．∵∠A是公共角，∴（1）当∠ADE=∠B时，△ADE∽△ABC，有，即，∴t=3；（2）当∠ADE=∠C时，△ADE∽△ACB，有，即解得t=4.8．综上可得：当点D、E同时运动3s和4.8s时，以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似．27．（7分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D，过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E，连接BC交AD于点F．（1）猜想ED与⊙O的位置关系，并证明你的猜想；（2）若AB=6，AD=5，求AF的长．【解答】解：（1）ED与⊙O的位置关系是相切．理由如下：连接OD，∵∠CAB的平分线交⊙O于点D，∴=，∴OD⊥BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，即BC⊥AC，∵DE⊥AC，∴DE∥BC，∴OD⊥DE，∴ED与⊙O的位置关系是相切；（2）连接BD．∵AB是直径，∴∠ADB=90°，在直角△ABD中，BD===，∵AB为直径，∴∠ACB=∠ADB=90°，又∵∠AFC=∠BFD，∴∠FBD=∠CAD=∠BAD∴△FBD∽△BAD，∴=∴FD=∴AF=AD﹣FD=5﹣=．28．（7分）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．（1）求证：△ADF∽△DEC；（2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠C+∠B=180°，∠ADF=∠DEC．∵∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE=∠B，∴∠AFD=∠C．在△ADF与△DEC中，∴△ADF∽△DEC．（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB=8．由（1）知△ADF∽△DEC，∴，∴DE===12．在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE===6．29．（8分）已知：如图，直线y=3x+3与x轴交于C点，与y轴交于A点，B点在x轴上，△OAB是等腰直角三角形．（1）求过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）若直线CD∥AB交抛物线于D点，求D点的坐标；（3）若P点是抛物线上的动点，且在第一象限，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标和△PAB的最大面积；若没有，请说明理由．【解答】解：（1）令y=3x+3=0得：x=﹣1，故点C的坐标为（﹣1，0）；令x=0得：y=3x+3=3×0+3=3故点A的坐标为（0，3）；∵△OAB是等腰直角三角形．∴OB=OA=3，∴点B的坐标为（3，0），设过A、B、C三点的抛物线的解析式y=ax2+bx+c，解得：∴解析式为：y=﹣x2+2x+3；（2）设直线AB的解析式为y=kx+b，∴解得：∴直线AB的解析式为：y=﹣x+3∵线CD∥AB∴设直线CD的解析式为y=﹣x+b∵经过点C（﹣1，0），∴﹣（﹣1）+b=0解得：b=﹣1，∴直线CD的解析式为：y=﹣x﹣1，令﹣x﹣1=﹣x2+2x+3，解得：x=﹣1，或x=4，将x=4代入y=﹣x2+2x+3=﹣16+2×4+3=﹣5，∴点D的坐标为：（4，﹣5）；（3）存在．如图1所示，设P（x，y）是第一象限的抛物线上一点，过点P作PN⊥x轴于点N，则ON=x，PN=y，BN=OB﹣ON=3﹣x．S△ABP=S梯形PNOA+S△PNB﹣S△AOB=（OA+PN）•ON+PN•BN﹣OA•OB=（3+y）•x+y•（3﹣x）﹣×3×3=（x+y）﹣，∵P（x，y）在抛物线上，∴y=﹣x2+2x+3，代入上式得：S △PAB =（x +y ）﹣=﹣（x 2﹣3x ）=﹣（x ﹣）2+，∴当x=时，S △PAB 取得最大值．当x=时，y=﹣x 2+2x +3=， ∴P （，）． 所以，在第一象限的抛物线上，存在一点P ，使得△ABP 的面积最大；P 点的坐标为（，），最大值为：．附加：初中数学几何模型【模型一】“一线三等角”模型：图形特征： 60°60°60° 45°45°45°运用举例： 1.如图，若点B 在x 轴正半轴上，点A (4，4)、C (1，－1)，且AB ＝BC ，AB ⊥BC ，求点B 的坐标；x yB C AO2.如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ，则14S S += ．l s 4s 3s 2s 13213. 如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，点D 在BC 上运动（不与点B ，C 重合），过D作∠ADE =45°，DE 交AC 于E ．（1）求证：△ABD ∽△DCE ；（2）设BD =x ，AE =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．EB4.如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。
2015-2016年北京市海淀区初三上学期期末数学试卷及答案
2015-2016学年北京市海淀区初三上学期期末数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）1．（3分）在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5，则sinA的值是（）A．B．C．D．2．（3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠AOB=100°，则∠ACB的度数是（）A．40°B．50°C．60°D．80°3．（3分）抛物线y=（x﹣2）2+1的顶点坐标是（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣2，1）C．（2，﹣1）D．（2，1）4．（3分）若点A（a，b）在双曲线上，则代数式ab﹣4的值为（）A．﹣12 B．﹣7 C．﹣1 D．15．（3分）如图，在▱ABCD中，E是AB的中点，EC交BD于点F，则△BEF与△DCF的面积比为（）A．B．C．D．6．（3分）抛物线y=2x2向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后的抛物线的解析式为（）A．y=2（x+1）2+3 B．y=2（x+1）2﹣3 C．y=2（x﹣1）2﹣3 D．y=2（x﹣1）2+37．（3分）已知点（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3）在双曲线上，当x1＜0＜x2＜x3时，y1、y2、y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y3＜y1＜y2D．y2＜y3＜y18．（3分）如图，AB是⊙O的直径，C、D是圆上的两点．若BC=8，，则AB的长为（）A．B．C．D．129．（3分）在平面直角坐标系xOy中，A为双曲线上一点，点B的坐标为（4，0）．若△AOB的面积为6，则点A的坐标为（）A．（﹣4，）B．（4，）C．（﹣2，3）或（2，﹣3） D．（﹣3，2）或（3，﹣2）10．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点M，与平行于x轴的直线l交于A、B两点，若AB=3，则点M到直线l的距离为（）A．B．C．2 D．二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．（3分）请写一个图象在第二、四象限的反比例函数解析式：．12．（3分）已知关于x的方程x2﹣6x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是．13．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC与△A′B′C′顶点的横、纵坐标都是整数．若△ABC与△A′B′C′是位似图形，则位似中心的坐标是．14．（3分）如图，正比例函数y=mx（m≠0）与反比例函数y=的图象交于A、B两点，若点A的坐标为（1，2），则点B的坐标是．15．（3分）古算趣题：“笨人执竿要进屋，无奈门框拦住竹，横多四尺竖多二，没法急得放声哭．有个邻居聪明者，教他斜竿对两角，笨伯依言试一试，不多不少刚抵足．借问竿长多少数，谁人算出我佩服．”若设竿长为x尺，则可列方程为．16．（3分）正方形CEDF的顶点D、E、F分别在△ABC的边AB、BC、AC上．（1）如图，若tanB=2，则的值为；（2）将△ABC绕点D旋转得到△A′B′C′，连接BB′、CC′．若，则tanB 的值为．三、解答题（本题共72分，第17～26题，每小题5分，第27题6分，第28题8分，第29题8分）17．（5分）计算：sin30°+3tan60°﹣cos245°．18．（5分）解方程：x2+2x﹣5=0．19．（5分）如图，D是AC上一点，DE∥AB，∠B=∠DAE．求证：△ABC∽△DAE．20．（5分）已知m是方程x2+x﹣1=0的一个根，求代数式（m+1）2+（m+1）（m ﹣1）的值．21．（5分）已知二次函数y=x2+bx+8的图象与x轴交于A、B两点，点A的坐标为（﹣2，0），求点B的坐标．22．（5分）如图，矩形ABCD为某中学课外活动小组围建的一个生物苗圃园，其中两边靠墙（墙足够长），另外两边用长度为16米的篱笆（虚线部分）围成．设AB边的长度为x米，矩形ABCD的面积为y平方米．（1）y与x之间的函数关系式为（不要求写自变量的取值范围）；（2）求矩形ABCD的最大面积．23．（5分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D为AC上一点，DE⊥AB于点E，AC=12，BC=5．（1）求cos∠ADE的值；（2）当DE=DC时，求AD的长．24．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线y=与直线y=kx﹣2交于点A（3，1）．（1）求直线和双曲线的解析式；（2）直线y=kx﹣2与x轴交于点B，点P是双曲线y=上一点，过点P作直线PC∥x轴，交y轴于点C，交直线y=kx﹣2于点D．若DC=2OB，直接写出点P的坐标为．25．（5分）如图，小嘉利用测角仪测量塔高，他分别站在A、B两点测得塔顶的仰角α=45°，β=50°．AB为10米．已知小嘉的眼睛距地面的高度AC为1.5米，计算塔的高度．（参考数据：sin50°取0.8，cos50°取0.6，tan50°取1.2）26．（5分）如图，△ABC内接于⊙O，过点B作⊙O的切线DE，F为射线BD上一点，连接CF．（1）求证：∠CBE=∠A；（2）若⊙O的直径为5，BF=2，tanA=2，求CF的长．27．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，定义直线x=m与双曲线y n=的交（m、n为正整数）为“双曲格点”，双曲线y n=在第一象限内的部分沿着点A m，n竖直方向平移或以平行于x轴的直线为对称轴进行翻折之后得到的函数图象为其“派生曲线”．（1）①“双曲格点”A 2，1的坐标为 ；②若线段A 4，3A 4，n 的长为1个单位长度，则n= ；（2）图中的曲线f 是双曲线y 1=的一条“派生曲线”，且经过点A 2，3，则f 的解析式为y= ；（3）画出双曲线y 3=的“派生曲线”g （g 与双曲线y 3=不重合），使其经过“双曲格点”A 2，a 、A 3，3、A 4，b ．28．（8分）（1）如图1，△ABC 中，∠C=90°，AB 的垂直平分线交AC 于点D ，连接BD ．若AC=2，BC=1，则△BCD 的周长为 ；（2）O 为正方形ABCD 的中心，E 为CD 边上一点，F 为AD 边上一点，且△EDF 的周长等于AD 的长．①在图2中求作△EDF （要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； ②在图3中补全图形，求∠EOF 的度数； ③若，则的值为 ．29．（8分）在平面直角坐标系xOy 中，定义直线y=ax +b 为抛物线y=ax 2+bx 的特征直线，C （a ，b ）为其特征点．设抛物线y=ax 2+bx 与其特征直线交于A 、B 两点（点A在点B的左侧）．（1）当点A的坐标为（0，0），点B的坐标为（1，3）时，特征点C的坐标为；（2）若抛物线y=ax2+bx如图所示，请在所给图中标出点A、点B的位置；（3）设抛物线y=ax2+bx的对称轴与x轴交于点D，其特征直线交y轴于点E，点F的坐标为（1，0），DE∥CF．①若特征点C为直线y=﹣4x上一点，求点D及点C的坐标；②若＜tan∠ODE＜2，则b的取值范围是．2015-2016学年北京市海淀区初三上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共30分，每小题3分）1．（3分）在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5，则sinA的值是（）A．B．C．D．【解答】解：∵∠C=90°，BC=3，AB=5，∴sinA==，故选：A．2．（3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠AOB=100°，则∠ACB的度数是（）A．40°B．50°C．60°D．80°【解答】解：∵⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB=100°，∴∠ACB=∠AOB=×100°=50°．故选：B．3．（3分）抛物线y=（x﹣2）2+1的顶点坐标是（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣2，1）C．（2，﹣1）D．（2，1）【解答】解：∵y=（x﹣2）2+1是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，对称轴为直线x=2，故选：D．4．（3分）若点A（a，b）在双曲线上，则代数式ab﹣4的值为（）A．﹣12 B．﹣7 C．﹣1 D．1【解答】解：∵点A（a，b）在双曲线上，∴3=ab，∴ab﹣4=3﹣4=﹣1．故选：C．5．（3分）如图，在▱ABCD中，E是AB的中点，EC交BD于点F，则△BEF与△DCF的面积比为（）A．B．C．D．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∵E是AB的中点，∴BE=AB=CD；∵BE∥CD，∴△BEF∽△DCF，∴=（）2=．故选：C．6．（3分）抛物线y=2x2向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后的抛物线的解析式为（）A．y=2（x+1）2+3 B．y=2（x+1）2﹣3 C．y=2（x﹣1）2﹣3 D．y=2（x﹣1）2+3【解答】解：由“左加右减、上加下减”的原则可知，把抛物线y=2x2的图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后的抛物线的表达式为y=2（x+1）2﹣3．故选：B．7．（3分）已知点（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3）在双曲线上，当x1＜0＜x2＜x3时，y1、y2、y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y3＜y1＜y2D．y2＜y3＜y1【解答】解：∵函数中，k=1＞0，∴此函数的图象的两个分支位于一三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小．∵x1＜0＜x2＜x3，∴点A（x1，y1）在第三象限，B（x2，y2）、C（x3，y3）在第一象限，∴y1＜0，0＜y3＜y2，∴y1＜y3＜y2．故选：B．8．（3分）如图，AB是⊙O的直径，C、D是圆上的两点．若BC=8，，则AB的长为（）A．B．C．D．12【解答】解：连接AC，由圆周角定理得，∠B=∠D，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴cosB==，又BC=8，∴AB=12，故选：D．9．（3分）在平面直角坐标系xOy中，A为双曲线上一点，点B的坐标为（4，0）．若△AOB的面积为6，则点A的坐标为（）A．（﹣4，）B．（4，）C．（﹣2，3）或（2，﹣3） D．（﹣3，2）或（3，﹣2）【解答】解：设点A的坐标为（﹣，a），∵点B的坐标为（4，0）．若△AOB的面积为6，=4×|a|=6，∴S△AOB解得：a=±3，∴点A的坐标为（﹣2，3）（2．﹣3）．故选：C．10．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点M，与平行于x轴的直线l交于A、B两点，若AB=3，则点M到直线l的距离为（）A．B．C．2 D．【解答】解：抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点，∴△=b2﹣4ac=0，∴b2﹣4c=0，设M到直线l的距离为m，则有x2+bx+c=m两根的差为3，可得：b2﹣4（c﹣m）=9，解得：m=．故选：B．二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．（3分）请写一个图象在第二、四象限的反比例函数解析式：y=﹣．【解答】解：∵图象在第二、四象限，∴y=﹣，故答案为：y=﹣．12．（3分）已知关于x的方程x2﹣6x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是m＜9．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣6x+m=0有两个不相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=（﹣6）2﹣4m=36﹣4m＞0，解得：m＜9．故答案为m＜9．13．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC与△A′B′C′顶点的横、纵坐标都是整数．若△ABC与△A′B′C′是位似图形，则位似中心的坐标是（8，0）．【解答】解：直线AA′与直线BB′的交点坐标为（8，0），所以位似中心的坐标为（8，0）．故答案为：（8，0）14．（3分）如图，正比例函数y=mx（m≠0）与反比例函数y=的图象交于A、B两点，若点A的坐标为（1，2），则点B的坐标是（﹣1，﹣2）．【解答】解：把点A的坐标为（1，2）代入y=mx与y=，得m=2，n=2．即y=2x①，y=②，解之得：x=±1，将x=﹣1代入①得y=﹣2，∴点B的坐标是（﹣1，﹣2）．方法二：∵A、B关于原点对称，A（1，2），∴B（﹣1，﹣2）．故答案为：（﹣1，﹣2）．15．（3分）古算趣题：“笨人执竿要进屋，无奈门框拦住竹，横多四尺竖多二，没法急得放声哭．有个邻居聪明者，教他斜竿对两角，笨伯依言试一试，不多不少刚抵足．借问竿长多少数，谁人算出我佩服．”若设竿长为x尺，则可列方程为（x﹣2）2+（x﹣4）2=x2．【解答】解：设竿长为x尺，由题意得，（x﹣2）2+（x﹣4）2=x2．故答案为：（x﹣2）2+（x﹣4）2=x2．16．（3分）正方形CEDF的顶点D、E、F分别在△ABC的边AB、BC、AC上．（1）如图，若tanB=2，则的值为；（2）将△ABC绕点D旋转得到△A′B′C′，连接BB′、CC′．若，则tanB的值为．【解答】解：（1）∵四边形CEDF为正方形，∴ED=EC，∠CED=90°，在Rt△BDE中，∵tanB==2，∴DE=2BE，∴==；（2）连结DC、DC′，如图，∵△ABC绕点D旋转得到△A′B′C′，∴DB=DB′，DC=DC′，∠BDB′=∠CDC′，即=，∴△DBB′∽△DCC′，∴==，设DC=3x，BD=5x，∵四边形CEDF为正方形，∴DE=3x，在Rt△BDE中，BE===4x，∴tanB===．故答案为，．三、解答题（本题共72分，第17～26题，每小题5分，第27题6分，第28题8分，第29题8分）17．（5分）计算：sin30°+3tan60°﹣cos245°．【解答】解：原式=+3﹣=．18．（5分）解方程：x2+2x﹣5=0．【解答】解：x2+2x﹣5=0x2+2x=5，x2+2x+1=6，（x+1）2=6，x+1=±，x1=﹣1+，x2=﹣1﹣．19．（5分）如图，D是AC上一点，DE∥AB，∠B=∠DAE．求证：△ABC∽△DAE．【解答】证明：∵DE∥AB，∴∠CAB=∠EDA．∵∠B=∠DAE，∴△ABC∽△DAE．20．（5分）已知m是方程x2+x﹣1=0的一个根，求代数式（m+1）2+（m+1）（m ﹣1）的值．【解答】解：把x=m代入方程得：m2+m﹣1=0，即m2+m=1，则原式=m2+2m+1+m2﹣1=2（m2+m）=2．21．（5分）已知二次函数y=x2+bx+8的图象与x轴交于A、B两点，点A的坐标为（﹣2，0），求点B的坐标．【解答】解：∵二次函数y=x2+bx+8的图象与x轴交于点A （﹣2，0），∴0=4﹣2b+8，∴b=6，∴二次函数解析式为y=x2+6x+8，当y=0时，x2+6x+8=0，解得x1=﹣2，x2=﹣4，∴抛物线与x轴的交点B的坐标为（﹣4，0）．22．（5分）如图，矩形ABCD为某中学课外活动小组围建的一个生物苗圃园，其中两边靠墙（墙足够长），另外两边用长度为16米的篱笆（虚线部分）围成．设AB边的长度为x米，矩形ABCD的面积为y平方米．（1）y与x之间的函数关系式为y=﹣x2+16x（不要求写自变量的取值范围）；（2）求矩形ABCD的最大面积．【解答】解：（1）y=（16﹣x）x=﹣x2+16x；（2）∵y=﹣x2+16x，∴y=﹣（x﹣8）2+64．∵0＜x＜16，∴当x=8时，y的最大值为64．答：矩形ABCD的最大面积为64平方米．23．（5分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D为AC上一点，DE⊥AB于点E，AC=12，BC=5．（1）求cos∠ADE的值；（2）当DE=DC时，求AD的长．【解答】解：（1）∵DE⊥AB，∴∠DEA=90°，∴∠A+∠ADE=90°，∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∴∠ADE=∠B，在Rt△ABC中，∵AC=12，BC=5，∴AB=13，∴，∴；（2）由（1）得，设AD为x，则，∵AC=AD+CD=12，∴，解得，∴．24．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线y=与直线y=kx﹣2交于点A（3，1）．（1）求直线和双曲线的解析式；（2）直线y=kx﹣2与x轴交于点B，点P是双曲线y=上一点，过点P作直线PC∥x轴，交y轴于点C，交直线y=kx﹣2于点D．若DC=2OB，直接写出点P的坐标为P（，2）或（﹣，﹣6）．【解答】解：（1）∵直线y=kx﹣2过点A（3，1），∴1=3k﹣2．∴k=1．∴直线的解析式为y=x﹣2．∵双曲线y=过点A（3，1），∴m=3．∴双曲线的解析式为．（2）∵PC∥x轴，DC=2OB，∴==，∴CF=2OF，由直线y=x﹣2可知F（0，﹣2），∴OF=2，∴CF=4，∴C的坐标为（0，2）或（0，﹣6），∴P的纵坐标为2或﹣6，代入y=得，2=，解得x=，﹣6=，解得x=﹣，∴P（，2）或（﹣，﹣6）．故答案为P（，2）或（﹣，﹣6）．25．（5分）如图，小嘉利用测角仪测量塔高，他分别站在A、B两点测得塔顶的仰角α=45°，β=50°．AB为10米．已知小嘉的眼睛距地面的高度AC为1.5米，计算塔的高度．（参考数据：sin50°取0.8，cos50°取0.6，tan50°取1.2）【解答】解：如图，依题意，可得CD=AB=10，FG=AC=1.5，∠EFC=90°，在Rt△EFD中，∵β=50°，，∴EF=1.2FD，在Rt△EFC中，∵α=45°，∴CF=EF=1.2FD，∵CD=CF﹣FD=10，∴FD=50，∴EF=1.2FD=60，∴EG=EF+FG=60+1.5=61.5答：塔的高度为61.5米．26．（5分）如图，△ABC内接于⊙O，过点B作⊙O的切线DE，F为射线BD上一点，连接CF．（1）求证：∠CBE=∠A；（2）若⊙O的直径为5，BF=2，tanA=2，求CF的长．【解答】（1）证明：如图，连接BO并延长交⊙O于点M，连接MC，∴∠A=∠M，∠MCB=90°，∴∠M+∠MBC=90°，∵DE是⊙O的切线，∴∠CBE+∠MBC=90°，∴∠CBE=∠M，∴∠CBE=∠A；（2）解：过点C作CN⊥DE于点N，∴∠CNF=90°，由（1）得，∠M=∠CBE=∠A，∴tanM=tan∠CBE=tanA=2，在Rt△BCM中，∵BM=5，tanM=2，∴，在Rt△CNB中，∵，∴CN=4，BN=2，∵BF=2，∴FN=BF+BN=4，在Rt△FNC中，∵FN=4，CN=4， ∴．27．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，定义直线x=m 与双曲线y n =的交点A m ，n （m 、n 为正整数）为“双曲格点”，双曲线y n =在第一象限内的部分沿着竖直方向平移或以平行于x 轴的直线为对称轴进行翻折之后得到的函数图象为其“派生曲线”．（1）①“双曲格点”A 2，1的坐标为 （2，） ；②若线段A 4，3A 4，n 的长为1个单位长度，则n= 7 ；（2）图中的曲线f 是双曲线y 1=的一条“派生曲线”，且经过点A 2，3，则f 的解析式为y= +1 ；（3）画出双曲线y 3=的“派生曲线”g （g 与双曲线y 3=不重合），使其经过“双曲格点”A 2，a 、A 3，3、A 4，b ．【解答】解：（1）①把x=2代入y=得：y=，则A 的坐标是（2，）；②把x=4代入y=得y=．根据题意得：（4﹣2）2+（﹣）2=1，解得：n=7．故答案是：（2，），7；的坐标是（2，）．（2）把x=2代入y=得y=，则点A2，3设f的解析式为y=+k，把（2，）代入，得=+k，解得：k=1．则f的解析式是：；的坐标是（2，）；（3）把x=2代入y=得y=，则A2，a的坐标是（3，1）；把x=3代入y=得y=1，则A3，3的坐标是（4，）．把x=4代入y=得y=，则A4，b如图．28．（8分）（1）如图1，△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交AC于点D，连接BD．若AC=2，BC=1，则△BCD的周长为3；（2）O为正方形ABCD的中心，E为CD边上一点，F为AD边上一点，且△EDF 的周长等于AD的长．①在图2中求作△EDF（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；②在图3中补全图形，求∠EOF的度数；③若，则的值为．【解答】解：（1）∵AB的垂直平分线交AC于点D，∴BD=AD，∴△BCD的周长=BC+CD+BD=BC+AC=1+2=3，故答案为：3；（2）①如图1所示：△EDF即为所求；②如图2所示：AH=DE，连接OA、OD、OH，∵点O为正方形ABCD的中心，∴OA=OD，∠AOD=90°，∠1=∠2=45°，在△ODE和△OAH中，，∴△ODE≌△OAH（SAS），∴∠DOE=∠AOH，OE=OH，∴∠EOH=90°，∵△EDF的周长等于AD的长，∴EF=HF，在△EOF和△HOF中，，∴△EOF≌△HOF（SSS），∴∠EOF=∠HOF=45°；③作OG⊥CD于G，OK⊥AD于K，如图3所示：设AF=8t，则CE=9t，设OG=m，∵O为正方形ABCD的中心，∴四边形OGDK为正方形，CG=DG=DK=KA=AB=OG，∴GE=CE﹣CG=9t﹣m，DE=2CG﹣CE=2m﹣9t，FK=AF﹣KA=8t﹣m，DF=2DK﹣AF=2m ﹣8t，由（2）②知△EOF≌△HOF，∴OE=OH，EF=FH，在Rt△EOG和Rt△HOK中，，∴Rt△EOG≌Rt△HOK（HL），∴GE=KH，∴EF=GE+FK=9t﹣m+8t﹣m=17t﹣2m，由勾股定理得：DE2+DF2=EF2，∴（2m﹣9t）2+（2m﹣8t）2=（17t﹣2m）2，整理得：（m+6t）（m﹣6t）=0，∴m=6t，∴OG=OK=6t，GE=9t﹣m=9t﹣6t=3t，FK=8t﹣m=2t，∴====．故答案为．29．（8分）在平面直角坐标系xOy中，定义直线y=ax+b为抛物线y=ax2+bx的特征直线，C（a，b）为其特征点．设抛物线y=ax2+bx与其特征直线交于A、B两点（点A在点B的左侧）．（1）当点A的坐标为（0，0），点B的坐标为（1，3）时，特征点C的坐标为（3，0）；（2）若抛物线y=ax2+bx如图所示，请在所给图中标出点A、点B的位置；（3）设抛物线y=ax2+bx的对称轴与x轴交于点D，其特征直线交y轴于点E，点F的坐标为（1，0），DE∥CF．①若特征点C为直线y=﹣4x上一点，求点D及点C的坐标；②若＜tan∠ODE＜2，则b的取值范围是或．【解答】解：（1）∵A（0，0），B（1.3），代入：直线y=ax+b，解得：a=3，b=0，∴直线y=3x，抛物线解析式：y=3x2，∴C（3，0）．故答案为：（3，0）；（2）联立直线y=ax+b与抛物线y=ax2+bx，得：ax2+（b﹣a）x﹣b=0，∴（ax+b）（x﹣1）=0，解得：x=﹣，x=1，∴A（1，a+b），B（﹣，0）．点A、点B的位置如图所示；（3）①如图，∵特征点C为直线y=﹣4x上一点，∴b=﹣4a．∵抛物线y=ax2+bx的对称轴与x轴交于点D，∴对称轴．∴点D的坐标为（2，0）．∵点F的坐标为（1，0），∴DF=1．∵特征直线y=ax+b交y轴于点E，∴点E的坐标为（0，b）．∵点C的坐标为（a，b），∴CE∥DF．∵DE∥CF，∴四边形DECF为平行四边形．∴CE=DF=1．∴a=﹣1．∴特征点C的坐标为（﹣1，4）．②由已知和已证得：C（a，b），E（0，b），F（1，0），D（﹣，0），∵＜tan∠ODE＜2，∴＜＜2，∴＜||＜2，解得：＜|2a|＜2，∴﹣1＜a＜﹣或＜a＜1，∵DE∥CF，CE∥DF，∴CE=DF，由题意可得：1+=a，（可以画出三种图象，由此得出这个结论）整理得：b=2a2﹣2a即：b=2（a﹣）2﹣当b=2（a﹣）2﹣时，当﹣1＜a＜﹣，可得．当＜a＜1时，可得﹣≤b＜0综上所述：或﹣≤b＜0．。
2015-2016年北京市房山区九年级(上)期末数学试卷和解析答案
2015-2016学年北京市房山区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意地．1．（3分）﹣3地倒数是（）A．﹣3 B．3 C．﹣ D．2．（3分）已知⊙O地半径是4，OP=3，则点P与⊙O地位置关系是（）A．点P在圆上B．点P在圆内C．点P在圆外D．不能确定3．（3分）抛物线y=2（x﹣1）2+3地顶点坐标为（）A．（2，1） B．（2，﹣1）C．（﹣1，3）D．（1，3）4．（3分）若3a=2b，则地值为（）A．B．C．D．5．（3分），则（﹣xy）2地值为（）A．﹣6 B．9 C．6 D．﹣96．（3分）将抛物线y=5x2先向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到新地抛物线，则新抛物线地表达式是（）A．y=5（x+2）2+3 B．y=5（x﹣2）2+3 C．y=5（x﹣2）2﹣3 D．y=5（x+2）2﹣37．（3分）如图所示，已知AB∥CD，EF平分∠CEG，∠1=80°，则∠2地度数为（）A．20°B．40°C．50°D．60°8．（3分）如图，AB是⊙O地直径，C、D是⊙O上两点，CD⊥AB，若∠DAB=65°，则∠AOC等于（）A．25°B．30°C．50°D．65°9．（3分）如图，在边长为1地小正方形组成地网格中，△ABC地三个顶点均在格点上，则tan∠ABC地值为（）A．1 B．C．D．10．（3分）如图，点C是以点O为圆心，AB为直径地半圆上地动点（点C不与点A，B重合），AB=4．设弦AC地长为x，△ABC地面积为y，则下列图象中，能表示y与x地函数关系地图象大致是（）A． B． C． D．二、填空题（本题共16分，每小题3分）11．（3分）如果代数式有意义，那么实数x地取值范围为．12．（3分）反比例函数地图象经过点P（﹣1，2），则此反比例函数地解析式为．13．（3分）分解因式：ax2﹣4a=．14．（3分）活动楼梯如图所示，∠B=90°，斜坡AC地坡度为1：1，斜坡AC地坡面长度为8m，则走这个活动楼梯从A点到C点上升地高度BC为．15．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F 分别是边AD，AB地中点，EF交AC于点H，则地值为．16．（3分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）地图象经过A（0，3），B（2，3）两点．请你写出一组满足条件地a，b地对应值．a=，b=．三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．（5分）计算：+2sin60°﹣|﹣|﹣（﹣2015）0．18．（5分）求不等式组地整数解．19．（5分）如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC=∠A．（1）求证：△BCD∽△ACB；（2）如果BC=，AC=3，求CD地长．20．（5分）在一个不透明地箱子里，装有黄、白、黑各一个球，它们除了颜色之外没有其他区别．（1）随机从箱子里取出1个球，则取出黄球地概率是多少？（2）随机从箱子里取出1个球，放回搅匀再取第二个球，请你用画树状图或列表地方法表示出所有可能出现地结果，并求两次取出地都是白色球地概率．21．（5分）下表给出了代数式﹣x2+bx+c与x地一些对应值：（1）根据表格中地数据，确定b，c，n地值；（2）设y=﹣x2+bx+c，直接写出0≤x≤2时y地最大值．22．（5分）如图，△ABC中，∠B=60°，∠C=75°，AC=，求AB地长．23．（5分）如图，在边长为1个单位长度地小正方形组成地网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线地交点）．（1）将△ABC绕点B顺时针旋转90°得到△A′BC′，请画出△A′BC′，并求BA边旋转到BA′位置时所扫过图形地面积；（2）请在网格中画出一个格点△A″B″C″，使△A″B″C″∽△ABC，且相似比不为1．24．（5分）如果关于x地函数y=ax2+（a+2）x+a+1地图象与x轴只有一个公共点，求实数a地值．25．（5分）如图，已知A（n，﹣2），B（1，4）是一次函数y=kx+b地图象和反比例函数y=地图象地两个交点，直线AB与y轴交于点C．（1）求反比例函数和一次函数地关系式；（2）求△AOC地面积；（3）求不等式kx+b﹣＜0地解集．（直接写出答案）26．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙P与y轴相切于点C，⊙P地半径是4，直线y=x被⊙P截得地弦AB地长为，求点P地坐标．27．（7分）已知关于x地一元二次方程x2+2x+=0有实数根，k为正整数．（1）求k地值；（2）当此方程有两个非零地整数根时，将关于x地二次函数y=x2+2x+地图象向下平移9个单位，求平移后地图象地表达式；（3）在（2）地条件下，平移后地二次函数地图象与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），直线y=kx+b（k＞0）过点B，且与抛物线地另一个交点为C，直线BC上方地抛物线与线段BC组成新地图象，当此新图象地最小值大于﹣5时，求k地取值范围．28．（7分）在矩形ABCD中，边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得点B落在CD边上地点P处（如图1）．（1）如图2，设折痕与边BC交于点O，连接，OP、OA．已知△OCP与△PDA 地面积比为1：4，求边AB地长；（2）动点M在线段AP上（不与点P、A重合），动点N在线段AB地延长线上，且BN=PM，连接MN、CA，交于点F，过点M作ME⊥BP于点E．①在图1中画出图形；②在△OCP与△PDA地面积比为1：4不变地情况下，试问动点M、N在移动地过程中，线段EF地长度是否发生变化？请你说明理由．29．（8分）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．直线y=kx+b与抛物线y=mx2﹣x+n同时经过A（0，3）、B（4，0）．（1）求m，n地值．（2）点M是二次函数图象上一点，（点M在AB下方），过M作MN⊥x轴，与AB交于点N，与x轴交于点Q．求MN地最大值．（3）在（2）地条件下，是否存在点N，使△AOB和△NOQ相似？若存在，求出N点坐标，不存在，说明理由．2015-2016学年北京市房山区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意地．1．（3分）﹣3地倒数是（）A．﹣3 B．3 C．﹣ D．【解答】解：﹣3地倒数是﹣．故选：C．2．（3分）已知⊙O地半径是4，OP=3，则点P与⊙O地位置关系是（）A．点P在圆上B．点P在圆内C．点P在圆外D．不能确定【解答】解：∵OP=3＜4，故点P与⊙O地位置关系是点在圆内．故选B．3．（3分）抛物线y=2（x﹣1）2+3地顶点坐标为（）A．（2，1） B．（2，﹣1）C．（﹣1，3）D．（1，3）【解答】解：y=2（x﹣1）2+3地顶点坐标为（1，3）．故选D．4．（3分）若3a=2b，则地值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵3a=2b，∴=，设a=2k，则b=3k，则==﹣．故选A．5．（3分），则（﹣xy）2地值为（）A．﹣6 B．9 C．6 D．﹣9【解答】解：∵+|y+3|2=0，∴x=1，y=﹣3，∴（﹣xy）2=[﹣1×（﹣3）]2=9．故选：B．6．（3分）将抛物线y=5x2先向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到新地抛物线，则新抛物线地表达式是（）A．y=5（x+2）2+3 B．y=5（x﹣2）2+3 C．y=5（x﹣2）2﹣3 D．y=5（x+2）2﹣3【解答】解：抛物线y=5x2地顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到对应点地坐标为（﹣2，3），所以新抛物线地表达式是y=5（x+2）2+3．故选A．7．（3分）如图所示，已知AB∥CD，EF平分∠CEG，∠1=80°，则∠2地度数为（）A．20°B．40°C．50°D．60°【解答】解：∵EF平分∠CEG，∴∠CEG=2∠CEF又∵AB∥CD，∴∠2=∠CEF=（180°﹣∠1）÷2=50°，故选C．8．（3分）如图，AB是⊙O地直径，C、D是⊙O上两点，CD⊥AB，若∠DAB=65°，则∠AOC等于（）A．25°B．30°C．50°D．65°【解答】解：∵CD⊥AB，∠DAB=65°，∴∠D=90°﹣∠DAB=25°，∴∠AOC=2∠D=50°．故选C．9．（3分）如图，在边长为1地小正方形组成地网格中，△ABC地三个顶点均在格点上，则tan∠ABC地值为（）A．1 B．C．D．【解答】解：在Rt△ABD中，BD=4，AD=3，∴tan∠ABC==，故选：D．10．（3分）如图，点C是以点O为圆心，AB为直径地半圆上地动点（点C不与点A，B重合），AB=4．设弦AC地长为x，△ABC地面积为y，则下列图象中，能表示y与x地函数关系地图象大致是（）A． B． C． D．【解答】解：∵AB=4，AC=x，∴BC==，=BC•AC=x，∴S△ABC∵此函数不是二次函数，也不是一次函数，∴排除A、C，∵AB为定值，当OC⊥AB时，△ABC面积最大，此时AC=2，即x=2时，y最大，故排除D，选B．故答案为：B．二、填空题（本题共16分，每小题3分）11．（3分）如果代数式有意义，那么实数x地取值范围为x≥3．【解答】解：由题意得，x﹣3≥0，解得，x≥3，故答案为：x≥3．12．（3分）反比例函数地图象经过点P（﹣1，2），则此反比例函数地解析式为y=﹣．【解答】解：设y=，∵图象经过点P（﹣1，2），∴2=，解得：k=﹣2，∴y关于x地解析式为y=﹣，故答案为：y=﹣．13．（3分）分解因式：ax2﹣4a=a（x+2）（x﹣2）．【解答】解：ax2﹣4a，=a（x2﹣4），=a（x+2）（x﹣2）．14．（3分）活动楼梯如图所示，∠B=90°，斜坡AC地坡度为1：1，斜坡AC地坡面长度为8m，则走这个活动楼梯从A点到C点上升地高度BC为m．【解答】解：如图．AC=8米，BC：AB=1：1．设BC=x米，则AB=x米．在Rt△ABC中，AC2=BC2+AB2，即x2+x2=82，解得x=4，即BC=4米．故上升高度是4米．故答案为：4．15．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是边AD，AB地中点，EF交AC于点H，则地值为．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，∵点E，F分别是边AD，AB地中点，∴EF∥BD，∴△AFH∽△ABO，∴AH：AO=AF：AB，∴AH=AO，∴AH=AC，∴=．故答案为：．16．（3分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）地图象经过A（0，3），B（2，3）两点．请你写出一组满足条件地a，b地对应值．a=1，b=﹣2．【解答】解：把A（0，3），B（2，3）两点代入y=ax2+bx+c中，得c=3，4a+2b+c=3，所以b=﹣2a，由此可设a=1，b=﹣2，故答案为1，﹣2．三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．（5分）计算：+2sin60°﹣|﹣|﹣（﹣2015）0．【解答】解：原式=﹣2+2×﹣﹣1=﹣3．18．（5分）求不等式组地整数解．【解答】解：由①得；（2分）由②得x＜2．（3分）∴此不等式组地解集为．（4分）∴此不等式组地整数解为0，1．（5分）19．（5分）如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC=∠A．（1）求证：△BCD∽△ACB；（2）如果BC=，AC=3，求CD地长．【解答】（1）证明：∵∠DBC=∠A，∠C=∠C，∴△BCD∽△ACB；（2）解：∵△BCD∽△ACB，∴=，∴=，∴CD=2．20．（5分）在一个不透明地箱子里，装有黄、白、黑各一个球，它们除了颜色之外没有其他区别．（1）随机从箱子里取出1个球，则取出黄球地概率是多少？（2）随机从箱子里取出1个球，放回搅匀再取第二个球，请你用画树状图或列表地方法表示出所有可能出现地结果，并求两次取出地都是白色球地概率．【解答】解：（1）∵在一个不透明地箱子里，装有黄、白、黑各一个球，它们除了颜色之外没有其他区别，∴随机地从箱子里取出1个球，则取出黄球地概率是：；（2）画树状图得：由树形图可知所有可能地情况有9种，其中两次取出地都是白色球有1种，所以两次取出地都是白色球地概率=．21．（5分）下表给出了代数式﹣x2+bx+c与x地一些对应值：（1）根据表格中地数据，确定b，c，n地值；（2）设y=﹣x2+bx+c，直接写出0≤x≤2时y地最大值．【解答】解：（1）根据表格数据可得，解得，∴﹣x2+bx+c=﹣x2﹣2x+5，当x=﹣1时，﹣x2﹣2x+5=6，即n=6；（2）根据表中数据得当0≤x≤2时，y地最大值是5．22．（5分）如图，△ABC中，∠B=60°，∠C=75°，AC=，求AB地长．【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，∵∠B=60°，∠C=75°，∴∠A=45°，在△ADC中，AC=，∵sinA=，∴AD=sin45°×3=3=CD，在△BDC中，∠DCB=30°，∵ctgB=∴BD=cot60°×3=，∴AB=，23．（5分）如图，在边长为1个单位长度地小正方形组成地网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线地交点）．（1）将△ABC绕点B顺时针旋转90°得到△A′BC′，请画出△A′BC′，并求BA边旋转到BA′位置时所扫过图形地面积；（2）请在网格中画出一个格点△A″B″C″，使△A″B″C″∽△ABC，且相似比不为1．【解答】解；（1）如图所示：△A′BC′即为所求，∵AB==，∴BA边旋转到BA″位置时所扫过图形地面积为：=；（2）如图所示：△A″B″C″∽△ABC，且相似比为2．24．（5分）如果关于x地函数y=ax2+（a+2）x+a+1地图象与x轴只有一个公共点，求实数a地值．【解答】解：当a=0时，函数解析式化为y=2x+1，此一次函数与x轴只有一个公共点；当a≠0时，函数y=ax2+（a+2）x+a+1为二次函数，当△=（a+2）2﹣4a（a+1）=0时，它地图象与x轴只有一个公共点，整理得3a2﹣4=0，解得a=±，综上所述，实数a地值为0或±．25．（5分）如图，已知A（n，﹣2），B（1，4）是一次函数y=kx+b地图象和反比例函数y=地图象地两个交点，直线AB与y轴交于点C．（1）求反比例函数和一次函数地关系式；（2）求△AOC地面积；（3）求不等式kx+b﹣＜0地解集．（直接写出答案）【解答】解：（1）∵B（1，4）在反比例函数y=上，∴m=4，又∵A（n，﹣2）在反比例函数y=地图象上，∴n=﹣2，又∵A（﹣2，﹣2），B（1，4）是一次函数y=kx+b地上地点，联立方程组解得，k=2，b=2，∴，y=2x+2；（2）过点A作AD⊥CD，∵一次函数y=kx+b地图象和反比例函数y=地图象地两个交点为A，B，联立方程组解得，A（﹣2，﹣2），B（1，4），C（0，2），∴AD=2，CO=2，∴△AOC地面积为：S=AD•CO=×2×2=2；（3）由图象知：当0＜x＜1和﹣2＜x＜0时函数y=地图象在一次函数y=kx+b 图象地上方，∴不等式kx+b﹣＜0地解集为：0＜x＜1或x＜﹣2．26．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙P与y轴相切于点C，⊙P地半径是4，直线y=x被⊙P截得地弦AB地长为，求点P地坐标．【解答】解：过点P作PH⊥AB于H，PD⊥x轴于D，交直线y=x于E，连结PA，∵⊙P与y轴相切于点C，∴PC⊥y轴，∴P点地横坐标为4，∴E点坐标为（4，4），∴△EOD和△PEH都是等腰直角三角形，∵PH⊥AB，∴AH=AB=2，在△PAH中，PH===2，∴PE=PH=2，∴PD=4+2，∴P点坐标为（4，4+2）．27．（7分）已知关于x地一元二次方程x2+2x+=0有实数根，k为正整数．（1）求k地值；（2）当此方程有两个非零地整数根时，将关于x地二次函数y=x2+2x+地图象向下平移9个单位，求平移后地图象地表达式；（3）在（2）地条件下，平移后地二次函数地图象与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），直线y=kx+b（k＞0）过点B，且与抛物线地另一个交点为C，直线BC上方地抛物线与线段BC组成新地图象，当此新图象地最小值大于﹣5时，求k地取值范围．【解答】解：（1）∵关于x地一元二次方程x2+2x+=0有实数根，∴△=b2﹣4ac=4﹣4×≥0，∴k﹣1≤2，∴k≤3，∵k为正整数，∴k地值是1，2，3；（2）∵方程有两个非零地整数根，当k=1时，x2+2x=0，不合题意，舍去，当k=2时，x2+2x+=0，方程地根不是整数，不合题意，舍去，当k=3时，x2+2x+1=0，解得：x1=x2=﹣1，符合题意，∴k=3，∴y=x2+2x+1，∴平移后地图象地表达式y=x2+2x+1﹣9=x2+2x﹣8；（3）令y=0，x2+2x﹣8=0，∴x1=﹣4，x2=2，∵与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），∴A（﹣4，0），B（2，0），∵直线l：y=kx+b（k＞0）经过点B，∴函数新图象如图所示，当点C在抛物线对称轴左侧时，新函数地最小值有可能大于﹣5，令y=﹣5，即x2+2x﹣8=﹣5，解得：x1=﹣3，x2=1，（不合题意，舍去），∴抛物线经过点（﹣3，﹣5），当直线y=kx+b（k＞0）经过点（﹣3，﹣5），（2，0）时，可求得k=1，由图象可知，当0＜k＜1时新函数地最小值大于﹣5．28．（7分）在矩形ABCD中，边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得点B落在CD边上地点P处（如图1）．（1）如图2，设折痕与边BC交于点O，连接，OP、OA．已知△OCP与△PDA 地面积比为1：4，求边AB地长；（2）动点M在线段AP上（不与点P、A重合），动点N在线段AB地延长线上，且BN=PM，连接MN、CA，交于点F，过点M作ME⊥BP于点E．①在图1中画出图形；②在△OCP与△PDA地面积比为1：4不变地情况下，试问动点M、N在移动地过程中，线段EF地长度是否发生变化？请你说明理由．【解答】解：（1）如图2，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C=∠D=90°，∴∠1+∠3=90°，∵由折叠可得∠APO=∠B=90°，∴∠1+∠2=90°，∴∠2=∠3，又∵∠D=∠C，∴△OCP∽△PDA，∵△OCP与△PDA地面积比为1：4，∴===，∴CP=AD=4，设OP=x，则CO=8﹣x，在Rt△PCO中，∠C=90°，由勾股定理得x2=（8﹣x）2+42，解得：x=5，∴AB=AP=2OP=10，∴边AB地长为10；（2）①作图如下：；②作MQ∥AN，交PB于点Q，如图1．∵AP=AB，MQ∥AN，∴∠APB=∠ABP，∠ABP=∠MQP．∴∠APB=∠MQP．∴MP=MQ．∵MP=MQ，ME⊥PQ，∴PE=EQ=PQ．∵BN=PM，MP=MQ，∴BN=QM．∵MQ∥AN，∴∠QMF=∠BNF．在△MFQ和△NFB中，，∴△MFQ≌△NFB．∴QF=BF．∴QF=QB．∴EF=EQ+QF=PQ+QB=PB．由（1）中地结论可得：PC=4，BC=8，∠C=90°．∴PB==4．∴EF=PB=2．∴当点M、N在移动过程中，线段EF地长度不变，长度为2．29．（8分）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．直线y=kx+b与抛物线y=mx2﹣x+n同时经过A（0，3）、B（4，0）．（1）求m，n地值．（2）点M是二次函数图象上一点，（点M在AB下方），过M作MN⊥x轴，与AB交于点N，与x轴交于点Q．求MN地最大值．（3）在（2）地条件下，是否存在点N，使△AOB和△NOQ相似？若存在，求出N点坐标，不存在，说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线y=mx2﹣x+n经过A（0，3）、B（4，0），∴，解得．∴二次函数地表达式为y=x2﹣x+3．（2）∵直线y=kx+b经过A（0，3）、B（4，0），则，解得．∴经过AB两点地一次函数地解析式为y=﹣x+3．MN=﹣x+3﹣（x2﹣x+3）=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，∵0≤x≤4，∴当x=2时，MN取得最大值为4．（3）存在．①当ON⊥AB时，（如图1）可证：∠NOQ=∠OAB，∠OQN=∠AOB=90°，∴△AOB∽△OQN．∴==，∴OA=3，OB=4，∴AB=5，∵ON•AB=OA•OB，∴ON=，∴NQ=，OQ=．②当N为AB中点时，（如图2）∠NOQ=∠B，∠AOB=∠NQO=90°，∴△AOB∽∽△NQO．此时N（2，）．∴满足条件地N（，）或N（2，）．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】 几何最值模型： 图形特征：P ABl运用举例：1. △ABC 中，AB =6，AC =8，BC =10，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为AP 的中点，则MF 的最小值为2.如图，在边长为6的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，E 为AB 的中点，F 为AC 上一动点，则EF +BF 的最小值为_________。
2014-2015学年北京市朝阳区初三上学期期末数学试题(含答案)
北京市朝阳区2014～2015学年度第一学期期末检测九年级数学试卷一、选择题（本题共32分，每小题4分）1.一元二次方程x2-2x=0的解为A．x = 2 B．x1 = 0，x2 = 2 C．x1 = 0，x2 = -2 D．x1 = 1，x2 = 2 2. 抛物线2(1)2y x=-+的顶点坐标是A．（1，2）B．（1，-2）C．（-1， 2）D．（-1，-2）3.下列图形是中心对称图形的是A B C D4. 如图，A，B，C是⊙O上的三个点，若∠C＝35°，则∠AOB的度数为A．35°B．55°C．65°D．70°5. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tan∠ABC的值为A．35B．34C．105D．16.下列事件是随机事件的是A．明天太阳从东方升起B．任意画一个三角形，其内角和是360°C．通常温度降到0℃以下，纯净的水结冰D．射击运动员射击一次，命中靶心7.一个矩形的长比宽相多3cm，面积是25cm2，求这个矩形的长和宽．设矩形的宽为x cm，则所列方程正确的是A．x2-3x+25=0 B．x2-3x-25=0 C．x2+3x-25=0 D．x2+3x-50=08.如图，点C是以点O为圆心，AB为直径的半圆上的动点（点C不与点A，B重合），AB=4．设弦AC的长为x，△ABC的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是A B C DACBBOACA BC二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9.如图，A 是反比例函数(0)ky x x=＞图象上的一点，AB 垂直于x 轴，垂足为B ，AC 垂直于y 轴，垂足为C ，若矩形ABOC 的面积为5，则k 的值为 ． 10.一枚质地均匀的骰子，六个面分别刻有1到6的点数，掷这个骰子一次，则向上一面的点数大3的概率是 ．11. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，点O 是边长为2的正方形ABCD 的中心．写出一个函数2y x c =+，使它的图象与正方形ABCD 有公共点，这个函数的表达式为 ．12.如图，在扇形OAB 中，∠AOB ＝90°，OA ＝3，将扇形OAB 绕点A 逆时针旋转n °（0＜n ＜180）后得到扇形O ′AB′ ，当点O 在弧AB'上时，n 为 ，图中阴影部分的面积为 ． 三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13.计算：cos30sin602sin 45tan 45︒︒+︒∙︒－ .14. 用配方法解方程： x 2-4x -1=0．15. 如图，△ABC 中，点D 在AB 上，∠ACD =∠ABC ，若AD =2，AB =6，求AC 的长．16. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，以点A （2，3）为圆心的⊙A 交 x 轴于点B ，C ，BC =8， 求⊙A 的半径．17. 如图，正方形ABCD 的边长为2，E 是BC 的中点，以点A 为中心，把△ABE 逆时针旋转90°，设点E 的对应点为F ．（1）画出旋转后的三角形． （2）在（1）的条件下，①求EF 的长；②求点E 经过的路径弧EF 的长．EDACB yx1CO B A y x O BDCA（第11题图）（第12题图）AC18．如图，甲船在港口P 的南偏东60°方向，距港口30海里的A 处，沿AP 方向以每小时5海里的速度驶向港口P ；乙船从港口P 出发，沿南偏西45°方向驶离港口P ．现两船 同时出发，2小时后甲船到达B 处，乙船到达C 处，此时乙船恰好在甲船的正西方向， 求乙船的航行距离(2 1.41≈，3 1.73≈，结果保留整数)．四、解答题（本题共20分，每小题5分）19.已知关于x 的一元二次方程mx 2-(m +1)x +1=0．（1）求证：此方程总有两个实数根；（2）若m 为整数，当此方程的两个实数根都是整数时，求m 的值.20. 如图，直线2y x =-+错误!未找到引用源。