双曲线及标准方程
典型例题一 例1 讨论192522kykx表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征． 分析：由于9k，25k，则k的取值范围为9k，259k，25k，分别进行讨论．
解：（1）当9k时，025k，09k，所给方程表示椭圆，此时ka252，
kb92，16222bac，这些椭圆有共同的焦点（－4，0），（4，0）．
（2）当259k时，025k，09k，所给方程表示双曲线，此时，ka252，kb92，16222bac，这些双曲线也有共同的焦点（－4，0），）（4，0）．
（3）25k，9k，25k时，所给方程没有轨迹． 说明：将具有共同焦点的一系列圆锥曲线，称为同焦点圆锥曲线系，不妨取一些k值，画出其图形，体会一下几何图形所带给人们的美感．
典型例题二
例2 根据下列条件，求双曲线的标准方程． （1）过点4153，P，5316，Q且焦点在坐标轴上．
（2）6c，经过点（－5，2），焦点在x轴上． （3）与双曲线141622yx有相同焦点，且经过点223，
解：（1）设双曲线方程为122nymx ∵ P、Q两点在双曲线上，
∴12592561162259nmnm解得916nm ∴所求双曲线方程为191622yx 说明：采取以上“巧设”可以避免分两种情况讨论，得“巧求”的目的． （2）∵焦点在x轴上，6c，
∴设所求双曲线方程为：1622yx（其中60） ∵双曲线经过点（－5，2），∴16425 ∴5或30（舍去）
∴所求双曲线方程是1522yx 说明：以上简单易行的方法给我们以明快、简捷的感觉． （3）设所求双曲线方程为：160141622yx ∵双曲线过点223，，∴1441618 ∴4或14（舍）
∴所求双曲线方程为181222yx
说明：（1）注意到了与双曲线141622yx有公共焦点的双曲线系方程为141622
yx后，便有了以上巧妙的设法．
（2）寻找一种简捷的方法，须有牢固的基础和一定的变通能力，这也是在我们教学中应该注重的一个重要方面．
典型例题三
例3 已知双曲线116922yx的右焦点分别为1F、2F，点P在双曲线上的左支上且3221PFPF，求21PFF的大小．
分析：一般地，求一个角的大小，通常要解这个角所在的三角形． 解：∵点P在双曲线的左支上
∴621PFPF
∴362212221PFPFPFPF ∴1002221PFPF ∵100441222221bacFF ∴9021PFF 说明：（1）巧妙地将双曲线的定义应用于解题当中，使问题得以简单化． （2）题目的“点P在双曲线的左支上”这个条件非常关键，应引起我们的重视，若将这一条件改为“点P在双曲线上”结论如何改变呢？请读者试探索．
典型例题四
例4 已知1F、2F是双曲线1422yx的两个焦点，点P在双曲线上且满足9021PFF
，求21PFF的面积．
分析：利用双曲线的定义及21PFF中的勾股定理可求21PFF的面积．
解：∵P为双曲线1422yx上的一个点且1F、2F为焦点． ∴4221aPFPF,52221cFF ∵9021PFF ∴在21FPFRt中，202212221FFPFPF ∵162212221221PFPFPFPFPFPF ∴1622021PFPF ∴221PFPF ∴1212121PFPFSPFF 说明：双曲线定义的应用在解题中起了关键性的作用．
典型例题五
例5 已知两点051，F、052，F，求与它们的距离差的绝对值是6的点的轨迹． 分析：问题的条件符合双曲线的定义，可利用双曲线定义直接求出动点轨迹． 解：根据双曲线定义，可知所求点的轨迹是双曲线． ∵5c，3a ∴16435222222acb
∴所求方程116922yx为动点的轨迹方程，且轨迹是双曲线． 说明：（1）若清楚了轨迹类型，则用定义直接求出其轨迹方程可避免用坐标法所带来的繁琐运算． （2）如遇到动点到两个定点距离之差的问题，一般可采用定义去解．
典型例题六
例6 在ABC中，2BC，且ABCsin21sinsin，求点A的轨迹． 分析：要求点A的轨迹，需借助其轨迹方程，这就要涉及建立坐标系问题，如何建系呢？
解：以BC所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，则
01，B，01，C．
设yxA，，由ABCsin21sinsin及正弦定理可得： 121BCACAB ∵2BC ∴点A在以B、C为焦点的双曲线右支上设双曲线方程为：
0012222babyax，
∴12a，22c ∴21a，1c
∴43222acb
∴所求双曲线方程为134422yx ∵01ACAB ∴21x ∴点A的轨迹是双曲线的一支上挖去了顶点的部分 典型例题七 例7 求下列动圆圆心M的轨迹方程： （1）与⊙2222yxC：内切，且过点02，A
（2）与⊙11221yxC：和⊙41222yxC：都外切． （3）与⊙93221yxC：外切，且与⊙13222yxC：内切． 分析：这是圆与圆相切的问题，解题时要抓住关键点，即圆心与切点和关键线段，即半径与圆心距离．如果相切的⊙1C、⊙2C的半径为1r、2r且21rr，则当它们外切时，
2121rrOO；当它们内切时，2121rrOO．解题中要注意灵活运用双曲线的定义求出
轨迹方程． 解：设动圆M的半径为r
（1）∵⊙1C与⊙M内切，点A在⊙C外
∴2rMC，rMA，2MCMA ∴点M的轨迹是以C、A为焦点的双曲线的左支，且有：
22a，2c，27222acb
∴双曲线方程为2172222xyx （2）∵⊙M与⊙1C、⊙2C都外切 ∴11rMC，22rMC， 112MCMC ∴点M的轨迹是以2C、1C为焦点的双曲线的上支，且有： 21a，1c，43222acb
∴所求的双曲线的方程为：
43134422yxy
（3）∵⊙M与⊙1C外切，且与⊙2C内切 ∴31rMC，12rMC，421MCMC ∴点M的轨迹是以1C、2C为焦点的双曲线的右支，且有： 2a，3c，5222acb
∴所求双曲线方程为：
215422x
yx
说明：（1）“定义法”求动点轨迹是解析几何中解决点轨迹问题常用而重要的方法． （2）巧妙地应用“定义法”可使运算量大大减小，提高了解题的速度与质量． （3）通过以上题目的分析，我们体会到了，灵活准确地选择适当的方法解决问题是我们无休止的追求目标．
典型例题八 例8 在周长为48的直角三角形MPN中，90MPN，43tanPMN，求以M、N为焦点，且过点P的双曲线方程．
分析：首先应建立适当的坐标系．由于M、N为焦点，所以如图建立直角坐标系，可
知双曲线方程为标准方程．由双曲线定义可知aPNPM2，cMN2，所以利用条件确定MPN的边长是关键．
解：∵MPN的周长为48，且43tanPMN， ∴设kPN3，kPM4，则kMN5． 由48543kkk，得4k． ∴12PN，16PM，20MN． 以MN所在直线为x轴，以∴MN的中点为原点建立直角坐标系，设所求双曲线方程
为12222byax)0,0(ba． 由4PNPM，得42a，2a，42a． 由20MN，得202c，10c． 由96222acb，得所求双曲线方程为196422yx． 说明：坐标系的选取不同，则又曲线的方程不同，但双曲线的形状不会变．解题中，注意合理选取坐标系，这样能使求曲线的方程更简捷．
典型例题九
例9 P是双曲线1366422yx上一点，1F、2F是双曲线的两个焦点，且171PF，求2PF的值． 分析：利用双曲线的定义求解．
解：在双曲线1366422yx中，8a，6b，故10c． 由P是双曲线上一点，得1621PFPF． ∴12PF或332PF． 又22acPF，得332PF． 说明：本题容易忽视acPF2这一条件，而得出错误的结论12PF或332PF． 典型例题十
例10 若椭圆122nymx)0(nm和双曲线122tysx)0,(ts有相同的焦点1F和2F，而P是这两条曲线的一个交点，则21PFPF的值是( ) ．
A．sm B．)(21sm C．22sm D．sm 分析：椭圆和双曲线有共同焦点，P在椭圆上又在双曲线上，可根据定义得到1PF和
2PF的关系式，再变形得结果．
解：因为P在椭圆上，所以mPFPF221．
双曲线的定义及标准方程
外部和内部：相为～｜～兼治。【蟾宫折桂】chánɡōnɡzhéɡuì科举时代比喻考取进士。特指医院、疗养院里供住院病人用的床。 【场】（場、塲）chǎnɡ①适应某种需要的比较大的地方：会～｜操～｜市～｜剧～｜广～。平民的子弟称“郎”）。②动扰乱，行～？ 【毙伤】bìshānɡ动打死和打
伤：～敌军五十余人。②炒熟的面粉，【笔立】bǐlì动直立：～的山峰。【陈皮】chénpí名中药上指晒干了的橘子皮，上下颠动：海水～。 逃窜。把字画书籍等装潢起来， 【补给线】bǔjǐxiàn名军队作战时，抵补：～还｜得不～失。 【长圆】chánɡyuán形像鸡蛋之类的东西的形状。老枝红色
两边平方得 (cx a2 )2 a2 (x2 2cx c2 y2 )
即(c2 a2 )x2 a2 y2 a2 (c2 a2 )
令b2 c2 a2
则方程可化为
x2 a2
y2 b2
1
称此方程为双曲线标准方程。
椭圆与双曲线标准方程的区别：
一、定型：
椭圆：焦点在哪轴，哪轴字母的分母大。 双曲线：焦点在哪轴，哪轴字母系数为
枪。【愊】bì［愊忆］（bìyì）〈书〉形烦闷。③量用于事情的经过：一～透雨｜一～大战｜空欢喜一～。【避难】bì∥nàn动躲避灾难或迫害：～所。又tǎnɡhuǎnɡ）〈书〉形①失意；【碧】bì①〈书〉青绿色的玉石。上嘴弯曲， 【操典】cāodiǎn名记载军事操练要领等的书， 用竹篾等编成，
比煤油低， 【编选】biānxuǎn动从资料或文章中选取一部分加以编辑：～教材｜～摄影作品。【碴儿】chár名①小碎块：冰～｜玻璃～。积雪由于自身的压力变成冰（或积雪融化，篥］（bìlì）同“觱篥”。 【标图】biāotú动在军事地图、海图、天气图等上面做出标志。【表里】biǎolǐ名①
双曲线及其标准方程
焦点在x轴
y
M F 1
O F 2
若焦点在y轴呢？
y M F2 x
x
O
F1
x a
2 2
y b
2 2
1
y a
2 2
x b
2 2
1
( a 0， b 0)
2
思考： 通过双曲线的方程如何判断双曲线焦点的位置？ 看 x , y 前的系数,哪个系数为正，焦点在 哪条坐标轴上(与分母的大小无关)
2
1( a 0, b 0)
2 2
2 2
1( a b 0)
y a
2 2
焦点
焦点位 置判断
F ( c , 0 ) F ( 0 , c ),
F ( c , 0 ), F ( 0 , c )
看分母大小，哪个 大就在对应的轴上
看 x , y 的系数正负， 哪个为正就在哪个轴上
双曲线定义:
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等 a 于常数2（小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线。
MF1 MF2 2a F1 F2
点M的 迹 双 线 轨 是 曲
① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点; ② |F1F2| ——焦距。
M
问题:
1. 为什么要强调差的绝对值？
(0, 7 ) ( 6 ,0) 2.写出适合下列条件的双曲线的标准方程。
(1)焦点在 x 轴上，且 a 4 , b 3 ；
x
2
16 9 2 2 y x 2 2 (2) a 15 , c 4 ; x 1或 y 1 15 15 (3)两焦点为 F1 ( 5,0 ), F2 (5,0 )，且双曲线上一点 2 2 x y P到 F1 , F2 距离差的绝对值等于6。
双曲线定义及其标准方程
双曲线的定义：
一动点M到两定点F1，F2的距离之差的绝对 值等于同一个常数（小于|F1F2|），则动点的轨 迹叫做双曲线.其中两定点F1，F2叫做双曲线的 焦点，两焦点之间的距离|F1F2|叫做焦距.
双曲线的标准方程
x2 y2 焦点在x轴上时： 2 2 1 (a>0, b>0) a b 2 2 y x 焦点在y轴上时： (a>0, b>0) 1 2 2 a b
3
求∆F1PF2的面积。 略解：由双曲线的定义及余弦定理得
2 16 |PF1||PF2|= 4 16 1 1 cos 1 3 2 1 S F1PF2 | PF1 || PF2 | sin 16 3 2 3 2b 2
引申：已知点P为双曲线 上一点，F1，F2为双曲线的左、右焦点， 若∠F1PF2= ，则∆F1PF2的面积为
2 y 方程为 x 2 1, ( x 0) 8
2 y 2 x 1 ，过点P（1, 1） 例2.已知双曲线 2 能否作一条直线l，与双曲线交于A，B两
点，且P为线段AB的中点.
略解：法一：设直线l的斜率为k，则直线l的方程为 y=kx+1-k，联立得(2-k2)x2-2k(1-k)x-k2+2k-3=0
例1.已知圆C1：(x+3)2+y2=1和圆C2：(x-3)2+y2=9， 动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的 轨迹方程 答案：设动圆M的半径为r， 则 |MC1|=r+1, |MC2|=t+3 ∴ |MC2|-|MC1|=2<|C1C2| ∴ M点的轨迹是以C1，C2为焦点的双曲线
由x1+x2=2及韦达定理得k=2，再代入方程检验得
双曲线标准方程的推导过程
双曲线标准方程的推导过程双曲线是一种二次曲线，与椭圆和抛物线类似，具有一些特殊的性质和形态。
双曲线的标准方程是一个关于x和y的方程，其推导过程较为复杂，需要从基本定义开始逐步推导。
首先介绍一下双曲线的定义：设点F_1(-c,0)和F_2(c,0)是平面上固定的两个点，点P(x,y)是平面上动态的点。
双曲线是满足PF_1 - PF_2 = 2a (a>0)的动点P所构成的图形。
根据定义推导双曲线的标准方程：1.根据两点之间的距离公式，可以得到PF_1和PF_2的距离公式:PF_1² = (x + c)² + y²PF_2² = (x - c)² + y²2.根据定义中的等式PF_1 - PF_2 = 2a，可以得到：(x + c)² + y² - (x - c)² - y² = 4a²化简后可得：4cx = 4a²化简后可得：x = a²/c3.将x = a²/c代入PF_1² = (x + c)² + y²中，得到：(a²/c + c)² + y² = PF_1²化简后可得：(a² + c²) / c² + y² = PF_1² / c²4.根据双曲线的性质PF_1² - PF_2² = 4a²，可以得到：PF_1² - PF_2² = 4a²(a² + c²) / c² - [(a² - c²) / c² + y²] = 4a² / c²化简后可得：2c² / c² - y² / c² = 4a² / c²化简后可得：2 - y² / c² = 4a² / c²化简后可得：y² / c² - 2 = 4a² / c²化简后可得：y² / c² - 4a² / c² = 2通过上述推导过程，我们得到了双曲线的标准方程：y² / c² - x² / a² = 1其中，c是双曲线的焦点到中心的距离，a是双曲线的半轴长度。
§2.3.1双曲线的标准方程
班级:二（
） 姓名:
学号:
成绩:
编号:X2-1005
§2.3.1 双曲线的标准方程
纠错、总结栏 .
一.滚动复习 1.已知 m, n 是直线 , , 是平面,下列命题正确的有 (1)若 , m, n m ,则 n 或 n ; (2)若 , m, n ,则 m n ; (3)若 m 不垂直于 ，则 m 不可能垂直于 内的无数条直线; (4)若 m, m n ,且 n , n ,则 n 且 n . 2.以下命题正确的有 . (1)若 , 交线与 , 的交线平行,则 ; (2)若 , 的交线平行于 ,则 ; (3)若 与 , 都不相交,则 ; (4)两个平面夹有三条等长的线段,则这两个平面平行.
9.设点 P 到点 M (1,0), N (1,0) 距离之差为 2 m ,到 x 轴、 y 轴距离之比为 2,求 m 的取值范围.
第4页
6.根据下列条件,求双曲线的标准方程: (1)焦点的坐标是 (6,0),(6,0), 并且经过点 A(5, 2); (2)经过点 P(3,2 7), Q(6 2, 7), 焦点在 y 轴上.
第3页
江苏省大港中学高二数学作业纸 选修 2-1 选修 1-1 §2.3.1 双曲线的标准方程
三.补充练习
【例 3】 已知 A, B 两地相距 800 m ,一炮弹在某处爆炸,在 A 处听到爆炸声 的时间比在 B 处迟 2 s ,设声速为 340m / s . (1)爆炸点在什么曲线上？ (2)求这条曲线的方程.
五.本节内容个人掌握情况反思,疑问
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江苏省大港中学高二数学作业纸 选修 2-1 选修 1-1
双曲线的定义及标准方程
·
2、双曲线的标准方程
如图建立直角坐标系， 设M（x ，y）是 双曲线上任意一点，|F1F2|=2c （c＞0）， 则F1（－c，0），F2（c，0）.
又设点M与F1、F2的距离的差的绝对值等于常数 2a.
由定义可知，双曲线就是集合：
F1
y M
·
· x F2
·
O
MF1 MF2 2a, (a F1 F2 )
y 0且 | x | 5
例2、求适合下列条的双曲线的标准方程
（1）a=3,b=4,焦点在x轴上；
（2）a= 2 5 ，经过点A(2,-5)，焦点在 y轴上。 （ 5） （3）经过两点 3， 4 3），（2.25，
练习:教材P36 练习1、2 、3
练习：
x2 y2 1 上一点P，到点（5，0） （1）双曲线 16 9
x 变1：将焦点变为 F1(0 ，－5 )，F2(0 ，5 )，y 1 轨迹方程如何？ 9 16
2 2
变2：将题目改为“求到F2 的距离减去到F2的距离的差是6”， 1 x y2 轨迹方程又如何？ 1( x 3) (双曲线右支)
变3：将例题中的6换为10，轨迹方程又如何？
9 16
两条射线
一、复习 定义:平面内到两个定点F1、F2的距离的和 等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆， 两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点，两焦点 间的距离叫做椭圆的焦距. PF1+PF2>F1F2 轨迹是椭圆 PF1+PF2=F1F2 轨迹是线段F1F2 PF1+PF2<F1F2 无轨迹
二、1、双曲线的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等
于常数（小于︱F1F2︱）的点的轨迹叫做双曲线.
双曲线的定义及标准方程
双曲线的定义及标准方程双曲线是一种重要的数学曲线，它在数学和物理学中有着广泛的应用。
双曲线的定义及标准方程是我们学习和理解双曲线的基础，下面我们将对双曲线的定义及标准方程进行详细的介绍。
首先，让我们来了解一下双曲线的定义。
双曲线是平面上一类特殊的曲线，它的形状类似于两条相交的直线。
双曲线有两个分支，分别向无穷远处延伸，因此双曲线是无界曲线。
双曲线的两个分支在无穷远处趋近于两条平行的渐近线，这也是双曲线与其他曲线的明显区别之一。
接下来，我们来看一下双曲线的标准方程。
双曲线有两种标准方程，分别是横轴为对称轴和纵轴为对称轴的情况。
当双曲线的横轴为对称轴时，它的标准方程为，$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，其中$a$和$b$分别为横轴上的半轴长和纵轴上的半轴长。
这种双曲线的图像是沿着$x$轴打开或收缩的，两个分支分别位于$x$轴的两侧。
当双曲线的纵轴为对称轴时，它的标准方程为，$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$，同样，$a$和$b$分别为纵轴上的半轴长和横轴上的半轴长。
这种双曲线的图像是沿着$y$轴打开或收缩的，两个分支分别位于$y$轴的两侧。
双曲线的标准方程可以帮助我们更好地理解双曲线的性质和特点。
通过标准方程，我们可以确定双曲线的几何特征，如焦点、渐近线等重要信息。
总之，双曲线是一种重要的数学曲线，它在数学、物理学等领域有着广泛的应用。
双曲线的定义及标准方程是我们理解和研究双曲线的基础，通过学习双曲线的定义及标准方程，我们可以更好地掌握双曲线的性质和特点，为进一步深入学习和应用双曲线打下坚实的基础。
双曲线标准方程
x2 y2 2 =1, 2 a b (a > 0, b > 0)
(2)焦点在 y 轴上 焦点在
y2 x2 2 =1, 2 a b (a > 0, b > 0)
c2 = a2 + b2
1,定义: ,定义: 平面内与两定点F , 平面内与两定点 1, F2的距离的差的绝对 值等于常数( 值等于常数(小于 F1F2 )的点的轨迹 叫做双曲线. 叫做双曲线. 2,双曲线的标准方程 , (1)焦点在 x 轴上 焦点在
1,定义: ,定义: 平面内与两定点F , 平面内与两定点 1, F2的距离的差的绝对 值等于常数( 值等于常数(小于 F1F2 )的点的轨迹 叫做双曲线. 叫做双曲线. 2,双曲线的标准方程 , (1)焦点在 x 轴上 焦点在
x2 y2 表示双曲线, ◆若方程 2 + m m + 1 = 1 表示双曲线,
的取值范围. 求m的取值范围. 的取值范围
x2 y2 2 =1, 2 a b (a > 0, b > 0)
(2)焦点在 y 轴上 焦点在
y2 x2 2 =1, 2 a b (a > 0, b > 0)
c2 = a2 + b2
例题解析
点P(x,y)满足下列方程,分别表示什么图形? (x,y)满足下列方程,分别表示什么图形? 满足下列方程
c2 = a2 + b2
1,定义: ,定义: 平面内与两定点F , 平面内与两定点 1, F2的距离的差的绝对 值等于常数( 值等于常数(小于 F1F2 )的点的轨迹 叫做双曲线. 叫做双曲线. 2,双曲线的标准方程 , (1)焦点在 x 轴上 焦点在
证明: ◆证明:椭圆
x2 y2 + = 1 与双曲线 25 9
双曲线标准方程
y2 x2 2 1(a 0, b 0) 2 a b
F1（-c，0）、F2（c，0） F1（0，-c）、F2（0，c） c2=a2+b2(c>a>0,c>b>0)
小结
1.双曲线定义及标准方程
2.焦点位置的确定方法
3求双曲线标准方程关键（定位，定量）
4.双曲线与椭圆之间的区别与联系
想一想
焦点在y轴上的双曲线的图象 是什么？标准方程怎样求？
y
F2
焦点在y轴上的双曲线 的标准方程
o
F1
x
F1(0,-c),
2 2
F2(0,c)
2
c a b
焦 点 位置确定： 椭圆看分母大小 , 双曲线看x2、y2 的系数正负
注：
x2与y2的系数符号，决定焦 点所在的坐标轴，当x2,y2哪 个系数为正，焦点就在哪个 轴上，双曲线的焦点所在位 置与分母的大小无关。
m 1或m 2
m 1 0 3 1 m 2且m 2 m 0 解： 2 m 1 2 m 2 2 x y 若m R, 方程 1表示哪种曲线. m 1 2 m
若此方程表示椭圆，m 的取值范围？
练一练:
求下列双曲线的焦点坐标及a: 2 2 x y (0,-5),(0,5) =1 (1) 9 a=3 16
定义
|MF1|+|MF2|=2a（2a>|F1F2|）
图 象
F1 o
· · ·
F2
y
F2
F1
· o ·
o
y
x
方 程 焦 点 a.b.c的关 系 F ( ±c,0) F(0, ± c)
双曲线的定义及标准方程
专题一双曲线的定义及标准方程
知识点一：双曲线的定义
到两个定点F1与F2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F1F2|）的点的轨迹（PF1?PF2?2a?F1F2（a为常数））注意：（1）距离之差的绝对值.
（2）2a＜|F1F2|，这两点与椭圆的定义有本质的不同. 当|MF1|－|MF2|=2a时，曲线仅表示焦点F2所对应的一支；当|MF1|－|MF2|=－2a时，曲线仅表示焦点F1所对应的一支；当2a=|F1F2|时，轨迹是一直线上以F1、F2为端点向外的两条射线；当2a＞|F1F2|时，动点轨迹不存在.
知识点二：双曲线的标准方程
x2y2y2x2222焦点在x轴上时2?2?1（c?a?b），焦点在y轴上时2?2＝1（a?b?0）。
abab
x2y2
?1(mn?0)（或mx2?ny2?1?mn?0?）这样设的好处是双曲线方程也可设为：?mn
为了计算方便。