2020年新高考数学 模拟卷(二)(原卷版)
第8天 模拟卷（二） 第I卷（选择题) 一、单选题
1．（2020·四川省岳池县第一中学高二月考（文））已知集合*220AxNxx，则满足条件
ABA的集合B的个数为（ ）
A．3 B．4 C．7 D．8 2．（2019·北京高考模拟（文））已知i是虚数单位，aR，则“1a”是“2(i)a为纯虚数”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
3．（2019·天津高考模拟（理））已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为ɑ，b，c，若ɑ2＝b2＋c2－bc，bc
＝4，则△ABC的面积为( ) A． B．1 C． D．2
4．（2017·湖南省高考模拟（理））甲、乙、丙三位同学将独立参加英语听力测试，根据平时训练的经验，甲、
乙、丙三人能达标的概率分别为P、23、35，若三人中有人达标但没有全部达标的概率为23，则P等于（ ） A．23 B．34 C．45 D．56 5．（2019·湖南省高考模拟（理））若均不为1的实数a、b满足0ab，且1ab，则（ ）
A．log3log3ab B．336ab C．133abab D．baab 6．（2019·广西壮族自治区高考模拟（理））一个放射性物质不断衰变为其他物质，每经过一年就有34的质量
发生衰变,剩余质量为原来的14.若该物质余下质量不超过原有的1%，则至少需要的年数是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 7．（2019·河北省高考模拟（文））已知向量4,1,5,2ab且//abmab，则m
A．1 B．1 C．75 D．75
8．（2019·广东省高考模拟（理））已知函数fx是定义域在R上的偶函数，且11fxfx，当0,1x时，3fxx，则关于x的方程cosfxx在15,22上所有实数解之和为（ ）
A．1 B．3 C．6 D．
7
二、多选题 9．（2020·无锡市大桥实验学校高二期中）下列说法中，正确的命题是（ ）
A．已知随机变量服从正态分布22,N，40.84P，则240.16P
B．由独立性检验可知，有99%的把握认为物理成绩与数学成绩有关，某人数学成绩优秀，则他有99%的可
能物理优秀 C．以模型kxyce去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设lnzy，将其变换后得到线性方程
0.34zx，则c，k的值分别是4e和0.3
D．在回归分析模型中，残差平方和越大，说明模型的拟合效果越差
10．（2019·湖北省高考模拟（文））将函数sin23fxx的图象向右平移2个单位长度得到gx图
象，则下列判断正确的是（ ） A．函数gx在区间,122上单调递增
B．函数gx图象关于直线712x对称
C．函数gx在区间,63上单调递减
D．函数gx图象关于点,03对称
11．（2020·山东省章丘四中高二月考）如图，正方体1111ABCDABCD的棱长为1，则下列四个命题正确
的是（ ） A．直线BC与平面11ABCD所成的角等于4 B．点C到面11ABCD的距离为22
C．两条异面直线1DC和1BC所成的角为4 D．三棱柱1111AADBBC外接球表面积为3
12．（2020·白银市第一中学高三其他（文））古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发
现:“平面内到两个定点,AB的距离之比为定值1的点的轨迹是圆”.后来,人们将这个圆以他的名
字命名,称为阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆在平面直角坐标系xOy中,2,0,4,0,AB点12PAPPB满足.设点P的轨迹为C,下列结论正确的是（ ） A．C的方程为2249xy
B．在x轴上存在异于,AB的两定点,DE,使得12PDPE
C．当,,ABP三点不共线时,射线PO是APB的平分线
D．在C上存在点M,使得2||MOMA
第II卷（非选择题) 请点击修改第II卷的文字说明
三、填空题 13．（2019·广东省高考模拟（文））已知双曲线2221(0)2xyaa的离心率为3a，则该双曲线的渐近线为
_______． 14．（2019·新疆维吾尔自治区高考模拟（理））设nS是数列{}na的前n项和，若1(1)2nnnnSa，则
1211SSS_____.
15．（2019·四平市第一高级中学高考模拟（理））过点(1,0)M引曲线C：32yxaxa的两条切线，这两条切线与y轴分别交于,AB两点，若||||MAMB，则a__________． 四、双空题 16．（2020·浙江省高三二模）已知2()nfxxx的展开式中第三项的二项式系数为15，则
n
__________，该展开式中常数项为__________. 五、解答题 17．（2020·上海位育中学高一月考）已知等差数列{}na满足1210aa，
43
2aa.
（1）求{}na的通项公式； （2）设等比数列{}nb满足23ba，37ba，问：6b是否为数列{}na中的项？若是的话，求出项数，若不是的话，说明理由. 18．（2020·宁夏回族自治区银川二中高一期末）某同学用“五点法”画函数
f(x)=Asin(ωx+
)(A>0，ω>0，||<
2)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：
ωx+ 0 2 π 32 2π
x 3
5
6
Asin(ωx+)
0 5 -5 0
（1）请将上表数据补充完整，并求出函数f(x)的解析式； （2）将y=f(x)的图象向左平移6个单位，得到函数y=g(x)的图象.若关于x的方程g(x)-m=0在区间[0，2
]
上有两个不同的解，求实数m的取值范围. 19．（2020·东北育才学校高三其他（理））《山东省高考改革试点方案》规定：从2017年秋季高中入学的新
生开始，不分文理科；2020年开始，高考总成绩由语数外3门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成．将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A、B、B、C、C、D、D、E共8个等级．参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%．选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到[91,100]、[81,90]、[71,80]、[61,70]、[51,60]、[41,50]、[31,40]、[21,30]八个分数区间，得到考生
的等级成绩．某校高一年级共2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布(60,169)N． （1）求物理原始成绩在区间(47,86)的人数； （2）按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取3人，记X表示这3人中等级成绩在区间[61,80]的人数，求X的分布列和数学期望． （附：若随机变量2~,N，则()0.682P，(22)0.954P，(33)0.997P）
20．（2020·四川省泸县第二中学高二期中（文））如图，在四棱锥PABCD中底面ABCD是菱形，
60BAD，PAD△是边长为2的正三角形，10PC，E为线段AD的中点．
1求证：平面PBC平面PBE；
2是否存在满足0PFFC的点F，使得34BPAEDPFBVV？若存在，求出的值；若不存在，
请说明理由．
21．（2020·广西壮族自治区高三月考（理））已知椭圆
22:163xyC.
（1）直线l过点(1,1)D与椭圆C交于,PQ两点，若PDDQ，求直线l的方程； （2）在圆22:2Oxy上取一点M，过点M作圆O的切线l与椭圆C交于,AB两点，求|||MAMB的值. 22．（2020·浙江省高三二模）已知函数ln,1fxxgxaxaR
（1）讨论函数hxfxgx的单调性； （2）若函数fx与gx的图象有两个不同的交点112212),(,, AxyBxyxx
2023年全国统一高考数学试卷(新高考II)(解析版)
2023年全国统一高考数学试卷（新高考Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分。
每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。
请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。
1．（5分）在复平面内，（1+3i）（3﹣i）对应的点位于（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A【解答】解：（1+3i）（3﹣i）＝3﹣i+9i+3＝6+8i，则在复平面内，（1+3i）（3﹣i）对应的点的坐标为（6，8），位于第一象限．故选：A．2．（5分）设集合A＝{0，﹣a}，B＝{1，a﹣2，2a﹣2}，若A⊆B，则a＝（ ）A．2B．1C．D．﹣1【答案】B【解答】解：依题意，a﹣2＝0或2a﹣2＝0，当a﹣2＝0时，解得a＝2，此时A＝{0，﹣2}，B＝{1，0，2}，不符合题意；当2a﹣2＝0时，解得a＝1，此时A＝{0，﹣1}，B＝{1，﹣1，0}，符合题意．故选：B．3．（5分）某学校为了了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（ ）A．种B．种C．种D．种【答案】D【解答】解：∵初中部和高中部分别有400和200名学生，∴人数比例为400：200＝2：1，则需要从初中部抽取40人，高中部取20人即可，则有种．故选：D．4．（5分）若f（x）＝（x+a）为偶函数，则a＝（ ）A．﹣1B．0C．D．1【答案】B【解答】解：由＞0，得x＞或x＜﹣，由f（x）是偶函数，∴f（﹣x）＝f（x），得（﹣x+a）ln＝（x+a），即（﹣x+a）ln＝（﹣x+a）ln（）﹣1＝（x﹣a）ln＝（x+a），∴x﹣a＝x+a，得﹣a＝a，得a＝0．故选：B．5．（5分）已知椭圆C：的左焦点和右焦点分别为F1和F2，直线y＝x+m与C交于点A，B两点，若△F1AB面积是△F2AB面积的两倍，则m＝（ ）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：记直线y＝x+m与x轴交于M（﹣m，0），椭圆C：的左，右焦点分别为F1（﹣，0），F2（，0），由△F1AB面积是△F2AB的2倍，可得|F1M|＝2|F2M|，∴|﹣﹣x M|＝2|﹣x M|，解得x M＝或x M＝3，∴﹣m＝或﹣m＝3，∴m＝﹣或m＝﹣3，联立可得，4x2+6mx+3m2﹣3＝0，∵直线y＝x+m与C相交，所以Δ＞0，解得m2＜4，∴m＝﹣3不符合题意，故m＝．故选：C．6．（5分）已知函数f（x）＝ae x﹣lnx在区间（1，2）上单调递增，则a的最小值为（ ）A．e2B．e C．e﹣1D．e﹣2【答案】C【解答】解：对函数f（x）求导可得，，依题意，在（1，2）上恒成立，即在（1，2）上恒成立，设，则，易知当x∈（1，2）时，g′（x）＜0，则函数g（x）在（1，2）上单调递减，则．故选：C．7．（5分）已知α为锐角，cosα＝，则sin＝（ ）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：cosα＝，则cosα＝，故＝1﹣cosα＝，即＝＝，∵α为锐角，∴，∴sin＝．故选：D．8．（5分）记S n为等比数列{a n}的前n项和，若S4＝﹣5，S6＝21S2，则S8＝（ ）A．120B．85C．﹣85D．﹣120【答案】C【解答】解：等比数列{a n}中，S4＝﹣5，S6＝21S2，显然公比q≠1，设首项为a1，则＝﹣5①，＝②，化简②得q4+q2﹣20＝0，解得q2＝4或q2＝﹣5（不合题意，舍去），代入①得＝，所以S8＝＝（1﹣q4）（1+q4）＝×（﹣15）×（1+16）＝﹣85．故选：C．二、选择题：本大题共小4题，每小题5分，共计20分。
湖南省湘潭市2024年数学(高考)部编版第二次模拟(综合卷)模拟试卷
湖南省湘潭市2024年数学（高考）部编版第二次模拟(综合卷)模拟试卷一、单项选择题（本题包含8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题)第(1)题如图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.根据椭圆的光学性质解决下面的题目：已知曲线C的方程为，其左、右焦点分别是，，直线l与椭圆C切于点P，且，过点P且与直线l垂直的直线与椭圆长轴交于点M，则（）A．B．C．D．第(2)题18世纪数学家欧拉研究调和级数得到了以下的结果：当很大时，（常数）.利用以上公式，可以估计的值为（）A．B．C．D．第(3)题如图是下列四个函数中的某个函数的部分图象，则该函数是（ ）A．B．C．D．第(4)题已知函数的最大值与最小值的差为2，其图象与y轴的交点坐标为，且图象上相邻两条对称轴之间的距离为2，则（）．A．1B．2C．3D．第(5)题已知集合，，则（）A．（1，4）B．（1，2）C．D．第(6)题函数的定义域为R，则实数a的取值范围是（）．A．B．C．D．第(7)题设，则（）A．B．C．1D．2第(8)题已知函数的定义域为，且，若，则下列结论错误的是（）A．B．C ．函数是偶函数D．函数是减函数二、多项选择题（本题包含3小题，每小题6分，共18分。
在每小题给出的四个选项中，至少有两个选项正确。
全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分） (共3题)第(1)题已知正方体的各个顶点都在表面积为的球面上，点为该球面上的任意一点，则下列结论正确的是（）A．有无数个点，使得平面B．有无数个点，使得平面C．若点平面，则四棱锥的体积的最大值为D．若点平面，则的最大值为第(2)题一组数据满足，若去掉后组成一组新数据.则新数据与原数据相比（）A．极差变小B．平均数变大C．方差变小D．第25百分位数变小第(3)题已知向量，，则下列结论正确的是（）A．若，则B．若，则C ．若与的夹角为，则D．若与方向相反，则在上的投影向量的坐标是三、填空（本题包含3个小题，每小题5分，共15分。
2023年高考真题——数学(新高考II卷) Word版含解析
程，解出即可.
y xm
【详解】将直线
y
x
m
与椭圆联立
x2 3
y2
，消去
1
y
可得
4x2
6mx
3m2
3
0
，
因为直线与椭圆相交于 A, B 点，则 36m2 4 4 3m2 3 0 ，解得 2 m 2 ，
设 F1 到 AB 的距离 d1,F2 到 AB 距离 d2 ，易知 F1 2, 0 , F2 2, 0 ，
5.
已知椭圆 C :
x2 3
y2
1 的左、右焦点分别为 F1 ，F2 ，直线
y
x m 与 C 交于 A，B 两点，若 △F1AB
面积是 △F2 AB 面积的 2 倍，则 m （ ）．
2 A. 3
B. 2 3
C. 2 3
D. 2 3
【答案】C
【解析】
【分析】首先联立直线方程与椭圆方程，利用 0 ，求出 m 范围，再根据三角形面积比得到关于 m 的方
综上所述： a 1 .
故选：B.
3. 某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高 中部两层共抽取 60 名学生，已知该校初中部和高中部分别有 400 名和 200 名学生，则不同的抽样结果共有 （ ）．
A.
C45 400
C15 200
种
.C
C30 400
C40 400
C20 200
种.
故选：D.
4.
若
f
x
x
a
ln
2x 2x
1 1
为偶函数，则
a
（
）．
A. 1
2020年贵州省毕节市高考(文科)数学第二次模拟测试试卷 解析版
2020年高考数学第二次模拟试卷（文科）一、选择题1．已知集合M＝{x|≤0}，N＝{x|x2﹣6x+5＜0}，则M∪N＝（）A．{x|1＜x＜7}B．{x|1＜x≤7}C．{x|3＜x＜5}D．{x|3≤x＜5} 2．已知i为虚数单位，若复数z满足zi＝（1﹣i）（2+i），则z＝（）A．﹣1﹣3i B．3+i C．1+3i D．﹣3+i3．从某校高三年级学生中按分层抽样的方法从男、女同学中共抽取90人进行考前心理辅导，若在女同学层次中每个个体被抽到的概率为，则高三年级总人数为（）A．560B．300C．270D．274．函数y＝A sin（ωx+φ）+b在一个周期内的图象如图（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜），则函数的解析式为（）A．y＝2sin（x+）+1B．y＝2sin（2x+）+1C．y＝2sin（x﹣）+1D．y＝2sin（2x﹣）+15．如图，在△ABC中，＝2，P是BN上一点，若＝t+，则实数t的值为（）A．B．C．D．6．若＝3，则sinθcosθ+cos2θ的值是（）A．1B．﹣C．D．﹣17．函数f（x）满足3f（x）f（y）＝f（x+y）+f（x﹣y）（x，y∈R），且f（1）＝，则f （2020）＝（）A．B．﹣C．﹣D．8．过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，且倾斜角为的直线与物线交于A，B两点，若|AB|＝16，则抛物线的方程为（）A．y2＝2x B．y2＝3x C．y2＝4x D．y2＝8x9．在三棱锥P﹣ABC中，AP⊥平面PBC，PA＝2PB＝2PC＝2，BC＝，则三棱锥P﹣ABC的外接球体积为（）A．3πB．C．8πD．π10．设α，β为两个平面，命题p：α∥β的充要条件是α内有无数条直线与β平行；命题q：α∥β的充要条件是α内任意一条直线与β平行，则下列说法正确的是（）A．“￢p∧￢q”为真命题B．“p∧q”为真命题C．“￢p∧q”为真命题D．“p∨￢q”为真命题11．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且b＝a（cos C+sin C），若a＝1，c ＝，则角C的大小为（）A．B．或C．D．或12．已知函数f（x）＝（e x﹣1）2﹣|e x﹣1|+k恰有1个零点，则k的取值集合是（）A．{k|k＜0}B．{k|0}C．{}D．{0}二、填空题13．2019年7月1日，《上海市生活垃圾管理条例》正式实施，生活垃圾要按照“可回收物”、“有害垃圾”、“湿垃圾”、“干垃圾”的分类标准进行分类，没有对垃圾分类或未投放到指定垃圾桶内都会被处罚．若某上海居民提着厨房里产生的“湿垃圾”随意地投收到楼下的“可回收物”、“有害垃圾、“湿垃圾”，“干垃圾”四个垃圾桶内，则该居民会被处罚的概率为．14．计算：log10+log50.25﹣（）＝．15．已知函数f（x）＝x﹣2f'（1）ln（x+1）﹣f（0）e x，则f（x）的单调递减区间为．16．过双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点F作渐近线的垂线l，垂足为M，l与y 轴交于点P，若＝λ，且双曲线的离心率为，则λ的值为．三、解答题：共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，公差d≠0，S4+S6＝31且a1，a3，a9成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n﹣3a n}是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{b n}的前n项和T n．18．某手机生产企业为了对研发的一批最新款手机进行合理定价，将该款手机按事先拟定的价格进行试销，得到单价x（单位：千元）与销量y（单位：百件）的关系如表所示：单价x（千元）1 1.52 2.53销量y（百件）10876t已知＝，y i＝7．（Ⅰ）若变量x，y具有线性相关关系，求产品销量y（百件）关于试销单价x（千元）的线性回归方程＝x+；（Ⅱ）用（Ⅰ）中所求的线性回归方程得到与x i对应的产品销量的估计值，当销售数据（x i，y i）对应的残差满足|i﹣y i|＜0.3时，则称（x i，y i）为一个“好数据”，现从5个销售数据中任取3个，求其中“好数据”的个数至少为2个的概率．参考公式：＝＝，＝﹣．19．如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝2BC＝4，∠ABC＝120°，E为AD的中点．现分别沿BE，EC将△ABE和△ECD折起，点A折至点A1，点D折至点D1，使得平面A1BE⊥平面BCE，平面ECD1⊥平面BCE，连接A1D1，如图2．（Ⅰ）若M、N分别为EC、BC的中点，求证：平面D1MN∥平面A1BE；（Ⅱ）求多面体A1BCD1E的体积．20．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，过其右焦点F与长轴垂直的直线与椭圆在第一象限交于点M，且|MF|＝．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设椭圆C的左、右顶点分别为A，B，点P是椭圆上的动点，且点P与点A，B 不重合，直线PA，PB与直线x＝﹣4分别交于点S，T，求证：以线段ST为直径的圆过定点Q（﹣1，0），G（﹣7，0）．21．已知函数f（x）＝e x﹣2ax﹣2a，a∈R．（Ⅰ）若函数f（x）在x＝0处的切线垂直于y轴，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）若函数f（x）有两个零点x1，x2，求实数a的取值范围，并证明：（x1+1）（x2+1）＜1．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程是（φ为参数，0≤φ≤π），在以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程是ρ＝4，等边△ABC的顶点都在C2上，且点A，B，C按照逆时针方向排列，点A的极坐标为（4，）．（Ⅰ）求点A，B，C的直角坐标；（Ⅱ）设P为C1上任意一点，求点P到直线BC的距离的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝﹣x2+3﹣|x+1|﹣|x﹣1|．（Ⅰ）求不等式f（x）≥0的解集M；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若m，n∈M，求证：|m+n|≤|mn+1|．参考答案一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M＝{x|≤0}，N＝{x|x2﹣6x+5＜0}，则M∪N＝（）A．{x|1＜x＜7}B．{x|1＜x≤7}C．{x|3＜x＜5}D．{x|3≤x＜5}【分析】求出集合M，N，由此能求出M∪N．解：∵集合M＝{x|≤0}＝{x|3≤x＜7}，N＝{x|x2﹣6x+5＜0}＝{x|1＜x＜5}，∴M∪N＝{x|1＜x＜7}．故选：A．2．已知i为虚数单位，若复数z满足zi＝（1﹣i）（2+i），则z＝（）A．﹣1﹣3i B．3+i C．1+3i D．﹣3+i【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：∵zi＝（1﹣i）（2+i）＝3﹣i，∴z＝．故选：A．3．从某校高三年级学生中按分层抽样的方法从男、女同学中共抽取90人进行考前心理辅导，若在女同学层次中每个个体被抽到的概率为，则高三年级总人数为（）A．560B．300C．270D．27【分析】由题意利用分层抽样的定义，求得结果．解：设高三年级总人数为x，则由题意可得＝，∴x＝300（人），故选：B．4．函数y＝A sin（ωx+φ）+b在一个周期内的图象如图（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜），则函数的解析式为（）A．y＝2sin（x+）+1B．y＝2sin（2x+）+1C．y＝2sin（x﹣）+1D．y＝2sin（2x﹣）+1【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A和b，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．解：结合函数y＝A sin（ωx+φ）+b在一个周期内的图象，可得A＝＝2，b＝1，•＝﹣，∴ω＝2．再根据五点法作图可得2×+φ＝0，求得φ＝﹣，故函数的解析式为y＝2sin（2x ﹣）+1，故选：D．5．如图，在△ABC中，＝2，P是BN上一点，若＝t+，则实数t的值为（）A．B．C．D．【分析】根据即可得出，进而可得出，然后根据B，P，N三点共线即可得出t的值．解：∵，∴，∴，且B，P，N三点共线，∴，解得．故选：C．6．若＝3，则sinθcosθ+cos2θ的值是（）A．1B．﹣C．D．﹣1【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求tanθ的值，进而利用二倍角公式，同角三角函数基本关系式化简所求即可求值得解．解：∵＝＝3，∴tanθ＝﹣2，∴sinθcosθ+cos2θ＝＝＝＝﹣1．故选：D．7．函数f（x）满足3f（x）f（y）＝f（x+y）+f（x﹣y）（x，y∈R），且f（1）＝，则f （2020）＝（）A．B．﹣C．﹣D．【分析】先计算f（0），再根据恒等式寻找f（x）的周期或规律得出答案．解：取x＝1，y＝0，得3f（0）f（1）＝f（1）+f（1）＝，∴f（0）＝，取x＝n，y＝1，有3f（n）f（1）＝f（n+1）+f（n﹣1），即f（n）＝f（n+1）+f（n﹣1），同理：f（n+1）＝f（n+2）+f（n），∴f（n+2）＝﹣f（n﹣1），∴f（n）＝﹣f（n﹣3）＝f（n﹣6）所以函数是周期函数，周期T＝6，故f（2020）＝f（3×336+4）＝f（4）．∵3f（x）f（y）＝f（x+y）+f（x﹣y）令x＝y＝1，得3f2（1）＝f（2）+f（0），可得f（2）＝﹣，令x＝2，y＝1，得3f（2）f（1）＝f（3）+f（1），解得f（3）＝﹣，令x＝3，y＝1，得3f（3）f（1）＝f（4）+f（2），解得f（4）＝﹣．∴f（2020）＝﹣；故选：C．8．过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，且倾斜角为的直线与物线交于A，B两点，若|AB|＝16，则抛物线的方程为（）A．y2＝2x B．y2＝3x C．y2＝4x D．y2＝8x【分析】由题意可得直线AB的方程为：y＝（x﹣），与抛物线方程联立，利用韦达定理得到x A+x B＝7p，由抛物线的定义可知：|AB|＝x A+x B+p＝8p＝16，即可求出p的值，从而求出抛物线的方程．解：∵抛物线C：y2＝2px，∴P（，0），∴直线AB的方程为：y＝（x﹣），联立方程，消去y得：，∴x A+x B＝7p，由|AB|＝16，及抛物线的定义可知：|AB|＝x A+x B+p＝8p＝16，∴p＝2，∴抛物线的方程为：y2＝4x，故选：C．9．在三棱锥P﹣ABC中，AP⊥平面PBC，PA＝2PB＝2PC＝2，BC＝，则三棱锥P﹣ABC的外接球体积为（）A．3πB．C．8πD．π【分析】设三棱锥P﹣ABC的外接球的半径为R．由PB＝PC＝1，BC＝，根据勾股定理的逆定理可得：PB⊥PC．根据AP⊥平面PBC，可得：AP⊥PB，AP⊥PC．可得三棱锥P﹣ABC的外接球的半径与三条棱长的关系，进而得出：三棱锥P﹣ABC的外接球体积．解：设三棱锥P﹣ABC的外接球的半径为R．∵PB＝PC＝1，BC＝，∴PB2+PC2＝BC2，∴PB⊥PC．又AP⊥平面PBC，∴AP⊥PB，AP⊥PC．∴（2R）2＝12+12+22＝6，解得：R＝．则三棱锥P﹣ABC的外接球体积＝π×＝π．故选：D．10．设α，β为两个平面，命题p：α∥β的充要条件是α内有无数条直线与β平行；命题q：α∥β的充要条件是α内任意一条直线与β平行，则下列说法正确的是（）A．“￢p∧￢q”为真命题B．“p∧q”为真命题C．“￢p∧q”为真命题D．“p∨￢q”为真命题【分析】根据面面平行的判定方法及线面平行几何特征，可以判断P的真假；根据面面平行的定义及判定定理可得q的真假．解：如果平面内有无数条相互平行的直线都与平面平行，则两个平面不一定平行，故P 为假命题；如果平面内任意一条直线都与平面平行，由面面平行的判定定理，可得两个平面平行，故q为真命题．∴￢p∧￢q为假命题；“p∧q”为假命题；“￢p∧q”为真命题；“p∨￢q”为假命题．故选：C．11．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且b＝a（cos C+sin C），若a＝1，c ＝，则角C的大小为（）A．B．或C．D．或【分析】由已知结合正弦定理及和角公式进行化简可求A，然后结合正弦定理可求sin C，进而可求C．解：因为b＝a（cos C+sin C），由正弦定理可得，sin B＝sin A cos C+sin A sin C，所以sin A cos C+sin C cos A＝sin A cos C+sin A sin C，所以sin A＝cos A，即A＝，因为a＝1，c＝，由正弦定理可得，，所以sin C＝，因为c＞a，所以C＞A，故C＝．故选：B．12．已知函数f（x）＝（e x﹣1）2﹣|e x﹣1|+k恰有1个零点，则k的取值集合是（）A．{k|k＜0}B．{k|0}C．{}D．{0}【分析】函数f（x）＝（e x﹣1）2﹣|e x﹣1|+k恰有1个零点，即方程|e x﹣1|2﹣|e x﹣1|+k ＝0有一个根，令t＝|e x﹣1|，则方程化为t2﹣t+k＝0，作出函数t＝|e x﹣1|的图象，可得方程t2﹣t+k＝0有根的情况，然后分类利用根的分布分析，列关于k的不等式组求解．解：函数f（x）＝（e x﹣1）2﹣|e x﹣1|+k恰有1个零点，即f（x）＝|e x﹣1|2﹣|e x﹣1|+k恰有1个零点，也就是方程|e x﹣1|2﹣|e x﹣1|+k＝0有一个根，令t＝|e x﹣1|，则方程化为t2﹣t+k＝0．作出函数t＝|e x﹣1|的图象，要使方程|e x﹣1|2﹣|e x﹣1|+k＝0有一个根，则方程t2﹣t+k＝0有根的情况为：①两相等0根，该种情况不存在；②两相等大于等于1的根，该种情况也不存在；③一根大于等于1，而另一个小于0，此时，解得k＜0．∴k的取值集合是{k|k＜0}．故选：A．二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.13．2019年7月1日，《上海市生活垃圾管理条例》正式实施，生活垃圾要按照“可回收物”、“有害垃圾”、“湿垃圾”、“干垃圾”的分类标准进行分类，没有对垃圾分类或未投放到指定垃圾桶内都会被处罚．若某上海居民提着厨房里产生的“湿垃圾”随意地投收到楼下的“可回收物”、“有害垃圾、“湿垃圾”，“干垃圾”四个垃圾桶内，则该居民会被处罚的概率为．【分析】基本事件总数n＝4，该居民会被处罚包含的基本事件个数m＝3，由此能求出该居民会被处罚的概率．解：2019年7月1日，《上海市生活垃圾管理条例》正式实施，生活垃圾要按照“可回收物”、“有害垃圾”、“湿垃圾”、“干垃圾”的分类标准进行分类，没有对垃圾分类或未投放到指定垃圾桶内都会被处罚．某上海居民提着厨房里产生的“湿垃圾”随意地投收到楼下的“可回收物”、“有害垃圾、“湿垃圾”，“干垃圾”四个垃圾桶内，基本事件总数n＝4，该居民会被处罚包含的基本事件个数m＝3，则该居民会被处罚的概率为p＝．故答案为：．14．计算：log10+log50.25﹣（）＝．【分析】由已知结合对数的运算性质及对数恒等式即可求解．解：log10+log50.25﹣（）＝2log510+log50.25﹣（）＝log5100×0.25﹣＝2﹣．故答案为：15．已知函数f（x）＝x﹣2f'（1）ln（x+1）﹣f（0）e x，则f（x）的单调递减区间为（﹣1，0]．【分析】先求导，再令x＝1，求出函数的解析式，再根据导数和函数的单调性的关系即可求出．解：∵f（x）＝x﹣2f'（1）ln（x+1）﹣f（0）e x，∴f′（x）＝1﹣2f'（1）•﹣f（0）e x，令x＝1可得f′（1）＝1﹣2f'（1）•﹣f（0）e，由f（0）＝﹣f（0），∴f（0）＝0，∴f′（1）＝1﹣f'（1），∴f′（1）＝，∴f（x）＝x﹣ln（x+1），x＞﹣1，∴f′（x）＝1﹣≤0，解得﹣1＜x≤0，故答案为：（﹣1，0]．16．过双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点F作渐近线的垂线l，垂足为M，l与y 轴交于点P，若＝λ，且双曲线的离心率为，则λ的值为2．【分析】先利用FM与渐近线垂直，写出直线FM的方程，从而求得点P的坐标，利用|FM|＝λ|PM，求得点M的坐标，最后由点M在渐近线上，代入得a、b、c间的等式，进而变换求出离心率．解：设F（c，0），则c2＝a2+b2∵双曲线C：﹣＝1的渐近线方程为y＝±x，∴垂线FM的斜率为﹣，∴直线FM的方程为y＝﹣（x﹣c），令x＝0，得P的坐标（0，），设M（x，y），∵|FM|＝λ|PM|，∴（x﹣c，y）＝λ（﹣x，﹣y），∴x﹣c＝﹣λx且y＝﹣4y，即x＝，y＝，代入y＝x，得，即λa2＝b2，∴λa2＝c2﹣a2，∴（λ+1）a2＝c2，∴a＝c，∵e＝，∴λ＝2，故答案为：2．三、解答题：共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，公差d≠0，S4+S6＝31且a1，a3，a9成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n﹣3a n}是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（Ⅰ）由等差数列的通项公式、求和公式，以及等比数列的中项性质，解方程可得首项和公差，进而得到所求通项公式；（Ⅱ）由等比数列的通项公式可得b n﹣3a n，进而得到b n，再由数列的分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，计算可得所求和．解：（Ⅰ）根据题意得：S4+S6＝4a1+6d+6a1+15d＝10a1+21d＝31，由a1，a3，a9成等比数列可得，∴，∴，∵d≠0，∴a1＝d＝1，∴a n＝1+（n﹣1）＝n，n∈N*；（Ⅱ）由题意可得，即b n＝3n﹣1+3a n，∴，∴T n＝b1+b2+…+b n＝（30+31+…+3n﹣1）+3（1+2+…n）＝．18．某手机生产企业为了对研发的一批最新款手机进行合理定价，将该款手机按事先拟定的价格进行试销，得到单价x（单位：千元）与销量y（单位：百件）的关系如表所示：单价x（千元）1 1.52 2.53销量y（百件）10876t已知＝，y i＝7．（Ⅰ）若变量x，y具有线性相关关系，求产品销量y（百件）关于试销单价x（千元）的线性回归方程＝x+；（Ⅱ）用（Ⅰ）中所求的线性回归方程得到与x i对应的产品销量的估计值，当销售数据（x i，y i）对应的残差满足|i﹣y i|＜0.3时，则称（x i，y i）为一个“好数据”，现从5个销售数据中任取3个，求其中“好数据”的个数至少为2个的概率．参考公式：＝＝，＝﹣．【分析】（Ⅰ）根据已知数据和参考公式计算出这两个系数即可得到回归直线方程；（Ⅱ）先算出每组数据的残差，并判断出是否为”好数据“，然后结合古典概型，分别找出基本事件和总事件的个数，即可求出概率．解：（Ⅰ）由，可得t＝4，，，，代入得，，∴回归直线方程为．（Ⅱ），，，，，共有3个“好数据”．设3个“好数据”为A，B，C，2个非“好数据”为D，E，从5个数据中选择3个的取法为ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE，共10种；其中“好数据”的个数至少为2个的取法有7种，∴概率为．19．如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝2BC＝4，∠ABC＝120°，E为AD的中点．现分别沿BE，EC将△ABE和△ECD折起，点A折至点A1，点D折至点D1，使得平面A1BE⊥平面BCE，平面ECD1⊥平面BCE，连接A1D1，如图2．（Ⅰ）若M、N分别为EC、BC的中点，求证：平面D1MN∥平面A1BE；（Ⅱ）求多面体A1BCD1E的体积．【分析】（Ⅰ）由N、M是BC和CE的中点，得MN∥BE，可得MN∥平面BEA1，再由已知结合平面与平面垂直的性质可得MD1⊥平面BCE，进一步得到MD1∥平面BEA1，然后利用平面与平面平行的判定可得平面MND1∥平面BEA1．（Ⅱ）连接BD1，作CH⊥BE于H，由（Ⅰ）得，MD1∥平面BEA1，则点D1到平面BEA1的距离d等于点M到平面BEA1的距离，等于点C到平面BEA1的距离的，再由求解．【解答】（Ⅰ）证明：∵N、M是BC和CE的中点，∴MN∥BE，又∵MN⊄平面BEA1，BE⊂平面BEA1，∴MN∥平面BEA1，∵△A1BE，△BCE，△ECD1为正三角形，∴MD1⊥CE．又∵平面ECD1⊥平面BCE，平面ECD1∩平面BCE＝CE，MD1⊂平面ECD1，∴MD1⊥平面BCE，又∵平面A1BE⊥平面BCE，MD1⊄平面BEA1，∴MD1∥平面BEA1，∵MD1∩NM＝M，NM⊂平面MND1，MD1⊂平面MND1，∴平面MND1∥平面BEA1．（Ⅱ）解：连接BD1，作CH⊥BE于H，由（Ⅰ）得，MD1∥平面BEA1，∴点D1到平面BEA1的距离d等于点M到平面BEA1的距离，等于点C到平面BEA1的距离的，∴，则．20．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，过其右焦点F与长轴垂直的直线与椭圆在第一象限交于点M，且|MF|＝．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设椭圆C的左、右顶点分别为A，B，点P是椭圆上的动点，且点P与点A，B 不重合，直线PA，PB与直线x＝﹣4分别交于点S，T，求证：以线段ST为直径的圆过定点Q（﹣1，0），G（﹣7，0）．【分析】（Ⅰ）由题意离心率，及|MF|的值求出a，b，c的值，进而求出椭圆的方程；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得A，B的坐标，设P的坐标，求出直线PA与x＝﹣4联立求出S的坐标，同理可得T的坐标，进而求出数量积，为0，可证得以线段ST为直径的圆过定点Q（﹣1，0），G（﹣7，0）．解：（Ⅰ）由题意和，得，又因为且a2＝b2+c2，得a＝2，c＝1，，所以椭圆C的方程为．（Ⅱ）证明：设点P（m，n），则得，又设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，则，，所以，∴直线PA：y＝k1（x+2），直线PB：，所以点S（﹣4，﹣2k1），，由，所以以线段ST为直径的圆过定点Q，同理，以线段ST为直径的圆过定点G．可证以线段ST为直径的圆过定点Q（﹣1，0），G（﹣7，0）．21．已知函数f（x）＝e x﹣2ax﹣2a，a∈R．（Ⅰ）若函数f（x）在x＝0处的切线垂直于y轴，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）若函数f（x）有两个零点x1，x2，求实数a的取值范围，并证明：（x1+1）（x2+1）＜1．【分析】（Ⅰ）求出f'（x）＝e x﹣2a，通过切线的斜率，求解a，利用导函数为0．求解极值点即可．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）有两个零点x1，x2，必须有a＞0且最小值f（ln2a）＝e ln2a ﹣2aln2a﹣2a＝﹣2aln2a＜0，得到a的范围，判断函数的单调性，题目转化证明，利用分析法说明即证：h（x2）＞h（2ln2a﹣x2），令g（x）＝e x﹣e2ln2a﹣x﹣4ax﹣4aln2a（x＞ln2a），求出导函数，判断函数的单调性求解证明即可．解：（Ⅰ）f'（x）＝e x﹣2a，f'（0）＝1﹣2a＝0，∴，∴f'（x）＝e x﹣1，令f'（x）＝0⇒x＝0，f'（x）＞0⇒x＞0，f'（x）＜0⇒x＜0，∴f（x）的极小值为f（0）＝0．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）有两个零点x1，x2，必须有a＞0且最小值f（ln2a）＝e ln2a﹣2aln2a﹣2a＝﹣2aln2a＜0，∴ln2a＞0，∴2a＞1，∴，又∵当x→+∞时，h（x）→+∞；当x→﹣∞时，h（x）→+∞，∴，此时，，∴，，∴，要证：（x1+1）（x2+1）＜1，即证：，即证：，即证：x1+x2＜2ln2a，即证：x1＜2ln2a﹣x2，不妨设x1＜x2，∴x1＜ln2a＜x2，∴x1＜2ln2a﹣x2＜ln2a，即证：h（x1）＞h（2ln2a﹣x2），即证：h（x2）＞h（2ln2a﹣x2），令g（x）＝（e x﹣2ax﹣2a）﹣[e2ln2a﹣x﹣2a（2ln2a﹣x）﹣2a]＝e x﹣e2ln2a﹣x﹣4ax﹣4aln2a（x＞ln2a），，当且仅当x＝ln2a时取“＝”，∴g（x）在（ln2a，+∞）上为增函数，∴g（x）＞g（ln2a）＝0，∴h（x2）＞h（2ln2a﹣x2）成立，∴（x1+1）（x2+1）＜1成立．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程是（φ为参数，0≤φ≤π），在以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程是ρ＝4，等边△ABC的顶点都在C2上，且点A，B，C按照逆时针方向排列，点A的极坐标为（4，）．（Ⅰ）求点A，B，C的直角坐标；（Ⅱ）设P为C1上任意一点，求点P到直线BC的距离的取值范围．【分析】（Ⅰ）由极坐标与直角坐标的互化公式可得A的直角坐标，画出图形，数形结合可得B与C的直角坐标；（Ⅱ）写出过BC的直线方程，点，由点到直线的距离公式写出点P到直线BC的距离，再由三角函数求最值可得点P到直线BC的距离的取值范围．解：（Ⅰ）由，且点A的极坐标为（4，），可得A点的直角坐标为，∵等边△ABC的顶点都在C2上，且点A，B，C按照逆时针方向排列，∴B点的直角坐标为（﹣4，0），C点的直角坐标为；（Ⅱ）由B（﹣4，0），C，可得BC的直线方程为，设点，则点P到直线BC的距离为，∵0≤φ≤π，∴，∴，即点P到直线BC的距离的取值范围．一、选择题23．已知函数f（x）＝﹣x2+3﹣|x+1|﹣|x﹣1|．（Ⅰ）求不等式f（x）≥0的解集M；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若m，n∈M，求证：|m+n|≤|mn+1|．【分析】（Ⅰ）通过讨论x的范围，得到关于x的不等式组，解出即可；（Ⅱ）根据分析法即可证明．解：（Ⅰ）①当x＜﹣1时，不等式f（x）≥0可化为﹣x2+2x+3≥0，解得：﹣1≤x≤3，故此时x无解；②当﹣1≤x≤1时，不等式f（x）≥0可化为﹣x2+1≥0，解得：﹣1≤x≤1，故有﹣1≤x≤1；③当x＞1时，不等式f（x）≥0可化为﹣x2+2x﹣3≥0，解得：﹣3≤x≤1，故此时x无解；综上，不等式f（x）≥0的解集M＝{x|﹣1≤x≤1}．（Ⅱ）要证|m+n|≤|mn+1|，即证|m+n|2≤|mn+1|2，即证m2+2mn+n2≤m2n2+2mn+1，即证m2+n2≤m2n2+1，即证m2n2﹣m2﹣n2+1≥0，即证（m2﹣1）（n2﹣1）≥0，∵m，n∈M，∴m2﹣1≤0，n2﹣1≤0，∴（m2﹣1）（n2﹣1）≥0成立．∴|m+n|≤|mn+1|成立．。
(新课标)高考数学模拟系列(二)试题 理 新人教A版
12023年高考模拟系列试卷（二） 数学试题【新课标版】（理科）1．本试卷分第一卷（阅读题）和第二卷（表达题）两局部。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试完毕后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一卷（选择题，共60分）一、此题共12小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的1、设集合{}21,M x x x =-≤∈R ，{}21,02N y y x x ==-+≤≤，那么()RM N ⋂等于（ ）A ．RB ．{}|1x x R x ∈≠且C ．{}1D ．∅2、在复平面内，复数2013ii 1iz =+-表示的点所在的象限是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3、假设sin601233,log cos60,log tan 30a b c ===，那么（ ）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．b a c >>4、设数列{}n a 是公差不为零的等差数列，它的前n 项和为n S ，且1S 、2S 、4S 成等比数列，那么41a a 等于（ ） A ．6B ．7C ．4D ．35、已知点()1,0A -和圆222x y +=上一动点P ，动点M 满足2MA AP =，那么点M 的轨迹方程是（ ）A ．()2231x y -+=B ．223()12x y -+=C ．2231()22x y -+= D ．223122x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭6、命题“存在,αβ∈R ，使22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-≥-”的否认为（ ）A ．任意,αβ∈R ，使22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-≥- B ．任意,αβ∈R ，使22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-<- C ．存在,αβ∈R ，使22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-<- D ．存在,αβ∈R ，使22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-≤- 7、设a b <，函数()()2y x a x b =--的图象可能是（ ）28、程序框图如下：如果上述程序运行的结果S 的值比2023小，假设使输出的S 最大，那么判断框中应填入（ ） A ．10k ≤ B ．10k ≥ C ．9k ≤ D ．9k ≥9、图为一个空间几何体的三视图，其中俯视图是下边一个等边三角形，其内切圆的半径是1，正视图和侧视图是上边两个图形，数据如图，那么此几何体的体积是（ ）A ．1533π+B ．21533π+C ．3033π+D ．43033π+ 10、在9212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为（ ）A ．5376-B ．5376C ．84-D ．8411、如果点P 在平面区域220140x y x x y -+≤⎧⎪≥-⎨⎪+-≤⎩上，点Q 在曲线（x －1）2＋(y －1)2＝1上，那么|PQ |的最小值为（ ）A ．5－1B ．355 C ．3515- D ．523－1 12、已知椭圆C ：22221(0)x ya b a b+=>>的左右焦点为12,F F ，过2F 的直线与圆222()()x a y b b -+-=相切于点A ，并与椭圆C 交与不同的两点P ，Q ，如图，假设A 为线段PQ 的靠近P 的三等分点，那么椭圆的离心率为 （ ）3A ．23B ．33C ．53D ．73第二卷(非选择题，共90分)二、填空题：本大题共4小题，每题4分，共16分，把答案填在题中横线上 13、由曲线23y x =-和直线2y x =所围成的面积为 。
2020高考数学(理科)全国二卷高考模拟试卷(10)
2020高考数学（理科）全国二卷高考模拟试卷（10）一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）已知集合A＝{x∈N|x＞1}，B＝{x|x＜5}，则A∩B＝（）A．{x|1＜x＜5}B．{x|x＞1}1−tiC．{2，3，4}D．{1，2，3，4，5} 2．（5分）已知i为虚数单位，若复数z=1+i在复平面内对应的点在第四象限，则t的取值范围为（）A．[﹣1，1]B．（﹣1，1）C．（﹣∞，﹣1）D．（1，+∞）3．（5分）下列函数中，既是偶函数，又在（﹣∞，0）内单调递增的为（）A．y＝x4+2xC．y＝2x﹣2x﹣B．y＝2|x|D．y=log1|x|−124．（5分）如图，已知F1，F2分别为双曲线C：x2a2−y2b2=1的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线与双曲线C相交于A，B两点，若△F1AB为等边三角形，则该双曲线的离心率是（）A．√3B．√33C．√2D．√55．（5分）已知a＞0且a≠1，b＞0，则log a b＞0是ab＞1的（）A．充分而不必要条件C．充要条件B．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）程大位是明代著名数学家，他的《新编直指算法统宗》是中国历史上一部影响巨大的著作．它问世后不久便风行宇内，成为明清之际研习数学者必读的教材，而且传到朝鲜、日本及东南亚地区，对推动汉字文化圈的数学发展起了重要的作用．卷八中第33问是：“今有三角果一垛，底阔每面七个．问该若干？”如图是解决该问题的程序框图．执行该程序框图，求得该垛果子的总数S为（）A ．28B ．56C ．84D ．1207．（5分）某几何体的三视图如图所示（单位相同），记该几何体的体积为V ，则V ＝（）A ．2432B ．243C ．7292D ．7298．（5分）已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则函数g （x ）＝A cos （φx +ω）图象的一个对称中心可能为（）A ．(−，0)52B ．(，0)16C ．(−，0)12D ．(−11，0)69．（5分）下列函数中，最小值为4的是（）A ．f （x ）＝3x +4×3x ﹣B ．f （x ）＝lgx +log x 10D ．f(x)=cosx +4cosxC ．f(x)=x +4x10．（5分）楼道里有9盏灯，为了节约用电，需关掉3盏互不相邻的灯，为了行走安全，第一盏和最后一盏不关，则关灯方案的种数为（）A ．10B ．15C ．20D ．2411．（5分）焦点为F 的抛物线C ：y 2＝8x 的准线与x 轴交于点A ，点M 在抛物线C 上，则当|MA||MF|取得最大值时，直线MA 的方程为（）B ．y ＝x +2D ．y ＝﹣2x +2A ．y ＝x +2或y ＝﹣x ﹣2C ．y ＝2x +2或y ＝﹣2x +212．（5分）定义在R 内的函数f （x ）满足f （x +2）＝2f （x ），且当x ∈[2，4）时，f （x ）=−x 2+4x ，2≤x ≤3{x 2+2g （x ）＝ax +1，对∀x 1∈[﹣2，0），∃x 2∈[﹣2，1]，使得g （x 2）＝f，3＜x ＜4x （x 1），则实数a 的取值范围为（）11A ．（﹣∞，−8]∪[，+∞）811B ．[−4，0）∪（0，]8C ．（0，8]D ．（﹣∞，−4]∪[，+∞）811二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）已知a =(1，λ)，b =(2，1)，若向量2a +b 与c =(8，6)共线，则a 在b 方向上的投影为．4x −y −5≤014．（5分）已知实数x ，y 满足{2x +y −4≥0，则目标函数2x +y 的最大值为，目2x −2y +5≥0标函数4x 2+y 2的最小值为．15．（5分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，b tan B +b tan A ＝﹣2c tan B ，且a ＝8，△ABC 的面积为4√3，则b +c 的值为．16．（5分）已知球O 是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）A ﹣BCD 的外接球，BC ＝3，AB ＝2√3，点E 在线段BD 上，且BD ＝3BE ，过点E 作球O 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是．→→→→→→→三．解答题（共5小题）17．已知（1+x）+（1+x）2+（1+x）3+…+（1+x）n的展开式中x的系数恰好是数列{a n}的前n项和Sn．（1）求数列{an}的通项公式；2n（2）数列{bn}满足bn=a n，记数列{bn}的前n项和为T n，求证：T n＜1．a(2−1)(2n+1−1)a18．如图，在三棱锥P﹣ABC中，△P AC为正三角形，M为棱P A的中点，AB⊥AC，AC=2BC，平面P AB⊥平面P AC（1）求证：平面ABC⊥平面P AC；（2）若Q是棱AB上一点，PQ与平面ABC所成角的正弦值为﹣A的正弦值．√21，求二面角Q﹣MC7119．2017年存节期间，某服装超市举办了一次有奖促销活动，消费每超过600元（含600元），均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种．方案一：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，一次性摸出3个球，其中奖规则为：若摸到3个红球，享受免单优惠；若摸到2个红球，则打6折；若摸到1个红球，则打7折；若没摸到红球，则不打折．方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元．（1）若两个顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率；（2）若某顾客消费恰好满1000元，试从概率的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算．x2y240 20．已知椭圆C：2+2=1(a＞b＞0)的长轴长为6，且椭圆C与圆M：(x−2)2+y2=9a b的公共弦长为4√10．3（1）求椭圆C 的方程；（2）过点P （0，2）作斜率为k （k ＞0）的直线l 与椭圆C 交于两点A ，B ，试判断在x 轴上是否存在点D ，使得△ADB 为以AB 为底边的等腰三角形，若存在，求出点D 的横坐标的取值范围；若不存在，请说明理由．21．已知函数f （x ）＝2lnx ﹣2mx +x 2（m ＞0）．（1）讨论函数f （x ）的单调性；（2）当m ≥3√2时，若函数f （x ）的导函数f ′（x ）的图象与x 轴交于A ，B 两点，其横2坐标分别为x 1，x 2（x 1＜x 2），线段AB 的中点的横坐标为x 0，且x 1，x 2恰为函数h （x ）＝lnx ﹣cx 2﹣bx的零点．求证（x 1﹣x 2）h '（x 0）≥−3+ln 2．四．解答题（共1小题）x =4+2t22．已知直线l 的参数方程为{（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的非负半√2y =2t轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ，直线l 与圆C 交于A ，B 两点．（1）求圆C 的直角坐标方程及弦AB 的长；（2）动点P 在圆C 上（不与A ，B 重合），试求△ABP 的面积的最大值．五．解答题（共1小题）23．已知函数f （x ）＝|2x ﹣1|+|x +1|．（1）求函数f （x ）的值域M ；（2）若a ∈M ，试比较|a ﹣1|+|a +1|，32a√22，−2a 的大小．272020高考数学（理科）全国二卷高考模拟试卷（10）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）已知集合A ＝{x ∈N |x ＞1}，B ＝{x |x ＜5}，则A ∩B ＝（）A ．{x |1＜x ＜5}B ．{x |x ＞1}C ．{2，3，4}D ．{1，2，3，4，5}【解答】解：∵集合A ＝{x ∈N |x ＞1}，B ＝{x |x ＜5}，∴A ∩B ＝{x ∈N |1＜x ＜5}＝{2，3，4}．故选：C ．2．（5分）已知i 为虚数单位，若复数z =1+i 在复平面内对应的点在第四象限，则t 的取值范围为（）A ．[﹣1，1]【解答】解：复数z =B ．（﹣1，1）C ．（﹣∞，﹣1）D ．（1，+∞）1−ti 1−ti(1−ti)(1−i)1−tt+1==−i ．1+i (1+i)(1−i)221−t＞02z 在复平面内对应的点在第四象限，∴{t+1，解得﹣1＜t ＜1．−＜02则实数t 的取值范围为（﹣1，1）．故选：B ．3．（5分）下列函数中，既是偶函数，又在（﹣∞，0）内单调递增的为（）A ．y ＝x 4+2xC ．y ＝2x ﹣2x ﹣B ．y ＝2|x |D ．y =log 1|x|−12【解答】解：对于A ，不是偶函数，不合题意；对于B ，x ＜0时，函数递减，不合题意；对于C ，函数是奇函数，在（﹣∞，0）内单调递减，不合题意，对于D ，函数是偶函数，x ＜0时，y ＝﹣log 2（﹣x ）﹣1，是增函数，符合题意，故选：D ．4．（5分）如图，已知F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1的左、右焦点，过F 2作垂直于x 轴的直线与双曲线C 相交于A ，B 两点，若△F 1AB 为等边三角形，则该双曲线的离心率是（）A ．√3B ．√33x 2a 2C ．√2−y 2b 2D ．√5【解答】解：由于F 1，F 2分别为双曲线=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，过F 2作垂直于x 轴的直线交双曲线右支于A ，B 两点，且△F 1AB 为等边三角形，b 2a则由对称可得，∠BF 1A ＝60°，可得：又c ＝a +b ，解得e =√3．故选：A ．2222c =√3，3e 2−12e =√335．（5分）已知a ＞0且a ≠1，b ＞0，则log a b ＞0是ab ＞1的（）A ．充分而不必要条件C ．充要条件B ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：a ＞0且a ≠1，b ＞0，则log a b ＞0，若0＜a ＜1，则log a b ＞log a 1，即0＜b ＜1，即0＜ab ＜1，若a ＞1，则log a b ＞log a 1，即b ＞1，即ab ＞1，若ab ＞1，则a ＞1，b ＞1，或0＜a ＜1，b ＞1，或a ＞1或0＜a ＜1，都能满足ab ＞1，已知a ＞0且a ≠1，b ＞0，则log a b ＞0是ab ＞1的既不充分也不必要条件，故选：D ．6．（5分）程大位是明代著名数学家，他的《新编直指算法统宗》是中国历史上一部影响巨大的著作．它问世后不久便风行宇内，成为明清之际研习数学者必读的教材，而且传到朝鲜、日本及东南亚地区，对推动汉字文化圈的数学发展起了重要的作用．卷八中第33问是：“今有三角果一垛，底阔每面七个．问该若干？”如图是解决该问题的程序框图．执行该程序框图，求得该垛果子的总数S 为（）A．28B．56C．84D．120【解答】解：模拟程序的运行，可得i＝0，n＝0，S＝0执行循环体，i＝1，n＝1，S＝1不满足条件i≥7，执行循环体，i＝2，n＝3，S＝4不满足条件i≥7，执行循环体，i＝3，n＝6，S＝10不满足条件i≥7，执行循环体，i＝4，n＝10，S＝20不满足条件i≥7，执行循环体，i＝5，n＝15，S＝35不满足条件i≥7，执行循环体，i＝6，n＝21，S＝56不满足条件i≥7，执行循环体，i＝7，n＝28，S＝84满足条件i≥7，退出循环，输出S的值为84．故选：C．7．（5分）某几何体的三视图如图所示（单位相同），记该几何体的体积为V，则V＝（）A．2432B．243C．7292D．729【解答】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为四棱锥P﹣ABCD，图中正方体的棱长为9，则V PABCD=3×9×9×9=243．故选：B．8．（5分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则函数g（x）＝A cos（φx+ω）图象的一个对称中心可能为（）1A．(2，0)5B．(6，0)1C．(2，0)1D．(6，0)11【解答】解：根据函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象，可得A ＝2√3，2πω=2（6+2），∴ω=．π83π，∴（f x ）＝2√3sin4π8再根据函数的图象经过点（6，0），结合图象可得•6+φ＝0，∴φ=−（x −4）．8π3π则函数g （x ）＝A cos （φx +ω）＝2√3cos （−4x +8）＝2√3cos （x −8）4图象的一个对称中心可能（−2，0），故选：C ．9．（5分）下列函数中，最小值为4的是（）A ．f （x ）＝3x +4×3x﹣3ππ3ππ1B ．f （x ）＝lgx +log x 10D ．f(x)=cosx +cosx4C ．f(x)=x +x4【解答】解：运用基本不等式对各选项考察如下：对于A 选项：f （x ）＝3x +4×3x ≥2√3x ⋅4×3−x =4，﹣当且仅当x ＝log32时，取得最小值4，故符合题意；对于B 选项：f （x ）＝lgx +log x 10，只有当x ∈（1，+∞）时，lgx ，log x 10才为正数，才能运用基本不等式得，lgx +log x 10≥2，故不合题意；对于C 选项：f （x ）＝x +x ，理由同上，只有x ＞0时，f （x ）min ＝4，故不合题意；对于D 选项：f(x)=cosx +cosx 不合题意，有两点不符，其一，“正数”这一条件缺失，其二：即使“正数”条件具备，也无法取“＝”，故不合题意；故选：A ．10．（5分）楼道里有9盏灯，为了节约用电，需关掉3盏互不相邻的灯，为了行走安全，第一盏和最后一盏不关，则关灯方案的种数为（）A ．10B ．15C ．20D ．24443【解答】解：把需要关的灯插入到亮的6盏灯排成一列中除了两端的空中，故有C 5=10种，故选：A ．11．（5分）焦点为F 的抛物线C ：y 2＝8x 的准线与x 轴交于点A ，点M 在抛物线C 上，则当|MA||MF|取得最大值时，直线MA的方程为（）B．y＝x+2D．y＝﹣2x+2|MA||MF|A．y＝x+2或y＝﹣x﹣2C．y＝2x+2或y＝﹣2x+2【解答】解：过M做MP与准线垂足，垂足为P，则1cos∠MAF=丨MA丨丨MP丨=1cos∠AMP=，则当|MA||MF|取得最大值，则∠MAF必须取得最大值，此时AM与抛物线相切，y=k(x+2)设切线方程为y＝k（x+2），则{2，ky2﹣8y+16k＝0，y=8x△＝64﹣64k2＝0，k2＝1，则k±1，则直线方程y＝x+2或y＝﹣x﹣2，故选：A．12．（5分）定义在R内的函数f（x）满足f（x+2）＝2f（x），且当x∈[2，4）时，f（x）=−x2+4x，2≤x≤3{x2+2g（x）＝ax+1，对∀x1∈[﹣2，0），∃x2∈[﹣2，1]，使得g（x2）＝f ，3＜x＜4x（x1），则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，−8]∪[，+∞）811B．[−4，0）∪（0，]811C．（0，8]D．（﹣∞，−4]∪[，+∞）811−x 2+4x ，2≤x ≤3【解答】解：当x ∈[2，4）时，f （x ）={x 2+2，，3＜x ＜4x 可得f （x ）在[2，3]上单调递减，在（3，4）上单调递增，∴f （x ）在[2，3]上的值域为[3，4]，在（3，4）上的值域为（113，），299∴f （x ）在[2，4）上的值域为[3，），2∵f （x +2）＝2f （x ），∴f （x ）=2f （x +2）=4f （x +4），∴f （x ）在[﹣2，0）上的值域为[，），483911当a ＞0时，g （x ）为增函数，g （x ）＝ax +1在[﹣2，1]上的值域为[﹣2a +1，a +1]，3≥−2a +114∴{9，解得a ≥8；≤a +18当a ＜0时，g （x ）为减函数，g （x ）在[﹣2，1]上的值域为[﹣a +1，2a +1]，3≥a +114∴{，解得a ≤−；94≤−2a +18当a ＝0时，g （x ）为常数函数，值域为{1}，不符合题意；综上，a 的范围是a ≥8或a ≤−4．故选：D ．二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）已知a =(1，λ)，b =(2，1)，若向量2a +b 与c =(8，6)共线，则a 在b 方向上的投影为3√5．5→→→→→→→→→11【解答】解：2a +b =（4，2λ+1），∵2a +b 与c =(8，6)共线，∴2λ+1＝3，即λ＝1．→→→∴a ⋅b =2+λ＝3，∴a 在b 方向上的投影为|a |•cos ＜a ，b ＞=3√5．5→→→→→→→→→a⋅b |b |→=33√5=5．√5故答案为：4x −y −5≤014．（5分）已知实数x ，y 满足{2x +y −4≥0，则目标函数2x +y 的最大值为10，目2x −2y +5≥0标函数4x 2+y 2的最小值为8．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．设z ＝2x +y 得y ＝﹣2x +z ，平移直线y ＝﹣2x +z ，由图象可知当直线y ＝﹣2x +z 经过点A 时，直线y ＝﹣2x +z 的截距最大，此时z 最大．5由{4x −y −5=052x −2y +5=0，解得{x =y =25，即A （2，5），代入目标函数z ＝2x +y 得z ＝2×52+5＝5+5＝10．即目标函数z ＝2x +y 的最大值为10．设4x 2+y 2＝m ，则m ＞0，即y 2m+x 2m =1，表示焦点在y 轴的椭圆，4要使m 最小，则只需要椭圆和直线BC ：2x +y ﹣4＝0，相切即可，由2x +y ﹣4＝0得y ＝﹣2x +4代入4x 2+y 2＝m ，得4x 2+（﹣2x +4）2＝m ，即8x 2﹣16x +16﹣m ＝0，则判别式△＝162﹣4×8（16﹣m ）＝0，得8＝16﹣m ，则m ＝8，即目标函数4x 2+y 2的最小值为8，故答案为：10，8．15．（5分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，b tan B +b tan A ＝﹣2c tan B ，且a ＝8，△ABC 的面积为4√3，则b +c 的值为4√5．【解答】解：∵在△ABC 中b tan B +b tan A ＝﹣2c tan B ，∴由正弦定理可得sin B （tan A +tan B ）＝﹣2sin C tan B ，∴sin B （tan A +tan B ）＝﹣2sin C •sinB cosB，∴cos B （tan A +tan B ）＝﹣2sin C ，∴cos B （∴cos B •∴cos B •sinA cosA+sinB cosB）＝﹣2sin C ，=−2sin C ，sinAcosB+cosAsinBcosAcosB sin(A+B)1sinC cosA2πcosAcosB==−2sin C ，解得cos A =−2，A =3；∵a ＝8，由余弦定理可得：64＝b 2+c 2+bc ＝（b +c ）2﹣bc ，①∵△ABC 的面积为4√3=bc sin A =∴联立①②可得：b +c ＝4√5．故答案为：4√5．16．（5分）已知球O 是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）A ﹣BCD 的外接球，BC ＝3，AB ＝2√3，点E 在线段BD 上，且BD ＝3BE ，过点E 作球O 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是[2π，4π]．【解答】解：如图，设△BDC 的中心为O 1，球O 的半径为R ，连接oO 1D ，OD ，O 1E ，OE ，121√3×bc ，可得：bc ＝16，②22则O1D=3sin600×2=3，AO1=√AD2−DO12=3，3√在Rt△OO1D中，R2＝3+（3﹣R）2，解得R＝2，∵BD＝3BE，∴DE＝2在△DEO1中，O1E=√3+4−2×√3×2×cos300=1∴OE=√O1E2+OO12=√2过点E作圆O的截面，当截面与OE垂直时，截面的面积最小，此时截面圆的半径为√22−(√2)2=√2，最小面积为2π．当截面过球心时，截面面积最大，最大面积为4π．故答案为[2π，4π]三．解答题（共5小题）17．已知（1+x）+（1+x）2+（1+x）3+…+（1+x）n的展开式中x的系数恰好是数列{a n}的前n项和Sn．（1）求数列{an}的通项公式；2n（2）数列{bn}满足bn=a n，记数列{bn}的前n项和为T n，求证：T n＜1．a(2−1)(2n+1−1)23n11【解答】（1）解：（1+x）+（1+x）+（1+x）+…+（1+x）的展开式中x的系数为C1+C2+ 1211211C3+⋯+Cn=C2+C2+C3+⋯+Cn=Cn+1=2n2+2n，a11即Sn=2n2+2n，所以当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝n．当n＝1时，a1＝1也适合上式．11所以数列{an}的通项公式为a n＝n．211（2）证明：bn=n=−，nn+1n+1(2−1)(2−1)2−12−1n所以Tn=1−+−+⋯+所以Tn＜1．131317111−n+1=1−n+1，2−12−12−1n18．如图，在三棱锥P﹣ABC中，△P AC为正三角形，M为棱P A的中点，AB⊥AC，AC=2BC，平面P AB⊥平面P AC（1）求证：平面ABC⊥平面P AC；（2）若Q是棱AB上一点，PQ与平面ABC所成角的正弦值为﹣A的正弦值．√21，求二面角Q﹣MC71【解答】（1）证明：因为△P AC为正三角形，M为棱P A的中点，所以CM⊥P A，又平面P AB⊥平面P AC，且平面P AB∩平面P AC＝P A，所以CM⊥平面P AB，所以CM⊥AB，又AB⊥AC，且AC∩CM＝C，所以AB⊥平面P AC，又AB⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面P AC．（2）作AC中点O，连OP，由（1）及OP⊥AC可知OP⊥平面ABC以O为坐标原点，OA，OP分别为x，z轴，过O且平行于AB的方向为y轴，如图，建立空间直角坐标系．设AC ＝2则√3O(0，0，0)，P(0，0，√3)，A(1，0，0)，C(−1，0，0))，B(1，2√3，0)，→→→，M(2，0，12设AQ ⊥λAB ，则Q(1，2√3λ，0)，PQ =(1，2√3λ，−√3)，设平面ABC 的法向量为n 1=（0，0，1），因为PQ 与平面ABC 所成角的正弦值为|n 1⋅PQ|→→→→→√217所以|n 1||PQ|=√21√21√31，即=，解得λ=277√12λ24即Q 为AB 的中点，则Q(1，√3，0)，→设平面QMC 的法向量为n 2→(x ，y ，z)⋅(2，√3，0)=0n 2⋅CQ =0=（x ，y ，z ），则{→→，即{，√33(x ，y ，z)⋅(2，0，2)=0n 2⋅CM =0→2x√3y =0{，3x √3z =0取n 2=(√3，−2，−3)，设平面AMC 的法向量为n 3，则n 3=（0，1，0）则二面角Q ﹣MC ﹣A 的余弦值为cos θ=−故sin θ=2．19．2017年存节期间，某服装超市举办了一次有奖促销活动，消费每超过600元（含600元），均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种．方案一：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，一次性摸出3个球，其中奖规则为：若摸到3个红球，享受免单优惠；若摸到2个√3→→→→→|n 2||n 3|n 2⋅n 3→→=，12红球，则打6折；若摸到1个红球，则打7折；若没摸到红球，则不打折．方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元．（1）若两个顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率；（2）若某顾客消费恰好满1000元，试从概率的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算．【解答】解：（1）选择方案一，若享受到免单优惠，则需要摸出3个红球，设顾客享受到免单优惠为事件A ，则P(A)=C 3C 1033=120，1所以两位顾客均享受到免单的概率为P =P(A)⋅P(A)=1；14400（2）若选择方案一，设付款金额为X 元，则X 可能的取值为0，600，700，1000；C C 17计算P(X =0)=3=120，P(X =600)=337=40，C 10C 10C 3321P(X =700)=C 3C 7C 10312C 7217=，P(X =1000)=3=，4024C 103故X 的分布列为：X P1011206007721700214071000740124所以E(X)=0×120+600×40+700×40+1000×24=7646（元）；若选择方案二，设摸到红球的个数为Y ，付款金额为Z 元，则Z ＝1000﹣200Y ，由已知可得Y ～B(3，339)，故E(Y)=3×=，101010所以E （Z ）＝E （1000﹣200Y ）＝1000﹣200E （Y ）＝820（元），因为E （X ）＜E （Z ），所以该顾客选择第一种抽奖方案更合算．20．已知椭圆C ：的公共弦长为x 2y 240+2=1(a ＞b ＞0)的长轴长为6，且椭圆C 与圆M ：(x −2)2+y 2=92a b 4√10．3（1）求椭圆C 的方程；（2）过点P （0，2）作斜率为k （k ＞0）的直线l 与椭圆C 交于两点A ，B ，试判断在x 轴上是否存在点D ，使得△ADB 为以AB 为底边的等腰三角形，若存在，求出点D 的横坐标的取值范围；若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得2a ＝6，所以a ＝3，4√1040由椭圆C 与圆M ：(x −2)+y =9的公共弦长为，恰为圆M 的直径，322可得椭圆C 经过点（2，±解得b ＝2√2，所以椭圆C 的方程为x 292√10440），所以+2=1，399b +y 28=1；（Ⅱ）直线l 的解析式设为y ＝kx +2，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），AB 的中点为E （x 0，y 0）．假设存在点D （m ，0），使得△ADB 为以AB 为底边的等腰三角形，则DE ⊥AB ．联立y ＝kx +2和8x 2+9y 2＝72，得（8+9k 2）x 2+36kx ﹣36＝0，故x 1+x 2=−所以x 0=−36k 8+9k 18k8+9k2，2，y 0＝kx 0+2=168+9k 2，因为DE ⊥AB ，所以k DE =−k ，即16−18k−m(8+9k 2)−2k8+9k21=−，k1所以m ==8−2，9k+8k8当k ＞0时，9k +k ≥2√9k ⋅k =12√2，所以−12≤m ＜0．综上所述，在x 轴上存在满足题目条件的点E ，且点D 的横坐标的取值范围为−12≤m ＜0．21．已知函数f （x ）＝2lnx ﹣2mx +x 2（m ＞0）．（1）讨论函数f （x ）的单调性；（2）当m ≥2时，若函数f （x ）的导函数f ′（x ）的图象与x 轴交于A ，B 两点，其横√2√23√2坐标分别为x 1，x 2（x 1＜x 2），线段AB 的中点的横坐标为x 0，且x 1，x 2恰为函数h （x ）＝lnx ﹣cx 2﹣bx 的零点．求证（x 1﹣x 2）h '（x 0）≥−3+ln 2．2(x 2−mx+1)【解答】解：（1）由于（f x ）＝2lnx ﹣2mx +x 的定义域为（0，+∞），f ′(x)=．x22对于方程x 2﹣mx +1＝0，其判别式△＝m 2﹣4．当m 2﹣4≤0，即0＜m ≤2时，f '（x ）≥0恒成立，故f （x ）在（0，+∞）内单调递增．m±√m 2−4当m ﹣4＞0，即m ＞2，方程x ﹣mx +1＝0恰有两个不相等是实根x =，222m−√m 2−4m+√m 2−4令f '（x ）＞0，得0＜x ＜或x ＞，此时f （x ）单调递增；22令f '（x ）＜0，得m−√m 2−42＜x ＜m+√m 2−42，此时f （x ）单调递减．综上所述，当0＜m ≤2时，f （x ）在（0，+∞）内单调递增；m−√m 2−4m+√m 2−4当m ＞2时，f （x ）在(，)内单调递减，22m−√m 2−4m+√m 2−4在(0，)，(，+∞)内单调递增．22（2）证明：由（1）知，f ′(x)=2(x 2−mx+1)，x所以f '（x ）的两根x 1，x 2即为方程x 2﹣mx +1＝0的两根．因为m ≥3√2，所以△＝m 2﹣4＞0，x 1+x 2＝m ，x 1x 2＝1．2又因为x 1，x 2为h （x ）＝lnx ﹣cx 2﹣bx 的零点，22所以lnx 1−cx 1−bx 1=0，lnx 2−c 2−bx 2=0，两式相减得ln x 1−c(x 1−x 2)(x 1+x 2x 2)−b(x 1−x 2)=0，得b =ln x 1x 1−x 22x =c(x 1+x 2)．而′(x)=11−2cx −b ，x 所以（x 1﹣x 2）h '（x 0）=(x 1−x 2)(x −2cx 0−b)=(x 1−x 2)[ln x 1．22(x 1−x 2)x 22−c(x 1+x 2)−+c(x 1+x 2)]=−ln 1=2⋅x 1+x 2x 1−x 2x 1+x 2x 2ln x 1x x 1x 2−1−x 1+1x 2x 令x 1x 222=t(0＜t ＜1)，由(x 1+x 2)2=m 2得x 1+x 2+2x 1x 2=m 2，因为x 1x 2＝1，两边同时除以x 1x 2，得t +t +2=m 2，1因为m ≥3√21511，故t +≥，解得0＜t ≤或t ≥2，所以0＜t ≤．2t 2222t−1−(t−1)设G(t)=2⋅t+1−lnt ，所以G ′(t)=2＜0，t(t+1)则y ＝G （t ）在(0，2]上是减函数，所以G(t)min =G()=−+ln2，即y ＝（x 1﹣x 2）h '（x 0）的最小值为−3+ln2．所以(x 1−x 2)ℎ′(x 0)≥−+ln2．四．解答题（共1小题）x =4+2t 22．已知直线l 的参数方程为{（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的非负半√2y =t 2√211223223轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ，直线l 与圆C 交于A ，B 两点．（1）求圆C 的直角坐标方程及弦AB 的长；（2）动点P 在圆C 上（不与A ，B 重合），试求△ABP 的面积的最大值．【解答】解：（1）由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ，所以x 2+y 2﹣4x ＝0，所以圆C 的直角坐标方程为（x ﹣2）2+y 2＝4．将直线l 的参数方程代入圆C ：（x ﹣2）2+y 2＝4，并整理得t 2+2√2t =0，解得t 1＝0，t 2=−2√2．所以直线l 被圆C 截得的弦长为|t 1−t 2|=2√2．（2）直线l 的普通方程为x ﹣y ﹣4＝0．x =2+2cosθ圆C 的参数方程为{（θ为参数），y =2sinθ可设曲线C 上的动点P （2+2cos θ，2sin θ），则点P 到直线l 的距离d =π4|2+2cosθ−2sinθ−4|π=|2cos(θ+4)−√2|，√2当cos(θ+)=−1时，d 取最大值，且d 的最大值为2+√2．所以S △ABP ≤2×2√2×(2+√2)=2+2√2，即△ABP 的面积的最大值为2+2√2．五．解答题（共1小题）23．已知函数f （x ）＝|2x ﹣1|+|x +1|．1（1）求函数f （x ）的值域M ；（2）若a ∈M ，试比较|a ﹣1|+|a +1|，32a ，−2a 的大小．27−3x ，x ＜−11【解答】解：（1）f(x)=2−x ，−1≤x ≤2，3x ，x ＞1{2根据函数f （x ）的单调性可知，当x =2时，f(x)min =f(2)=2．所以函数f （x ）的值域M =[，+∞)．（2）因为a ∈M ，所以a ≥，所以0＜因为|a ﹣1|+|a +1|＝a ﹣1+a +1＝2a ≥3，所以|a −1|+|a +1|＞因为33，2a 2a 323≤1．2a 321132a −(−2a)=23274a 2−7a+3=(a−1)(4a−3)2a ，又由a ≥，知a ﹣1＞0，4a ﹣3＞0，所以所以(a−1)(4a−3)2a 372＞0，2a ＞−2a ，37所以|a ﹣1|+|a +1|＞2a ＞2−2a ．。
山东省2020年高考模拟考试数学试题 Word版含答案
山东省2020年普通高等院校统一招生模拟考试高三教学质量检测数学试题2020．02本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，将第I 卷选择题的正确答案选项填涂在答题卡相应位置上，考试结束，将答题卡交回．考试时间120分钟，满分150分． 注意事项：1．答卷前，考生务必将姓名、座号、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答案不能答在试题卷上．3．第Ⅱ卷答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．第I 卷(选择题 共60分)一、选择题：(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知复数2,i z z 在复平面内对应的点分别为()()11221,1,0,1z Z Z z =，则 A ．1i +B ．1i -+C ．1i --D ．1i -2．设a R ∈，则“sin cos αα=”是“sin 21α=”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．向量a b r r ，满足()()1,2a b a b a b ==+⊥-u u r u u r r r r r，则向量a b r r 与的夹角为 A ．45oB ．60oC ．90oD ．120o4．已知数列{}n a 中，372,1a a ==．若1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，则5a = A ．23B ．32C ．43D ．345．已知点()2,4M 在抛物线()2:20C y px p =>上，点M 到抛物线C 的焦点的距离是A ．4B ．3C ．2D ．16．在ABC ∆中，2,20AB AC AD AE DE EB x AB y AC +=+==+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，若，则 A ．2y x =B ．2y x =-C ．2x y =D ．2x y =-7．已知双曲线()2222:1,0,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F O ，为坐标原点，P是双曲线在第一象限上的点，()21212=2=2,0,PF PF m m PF PF m >⋅=u u u u r u u u u r u u u r u u u u r ，则双曲线C 的渐近线方程为 A ．12y x =±B ．22y x =±C ．y x =±D ．2y x =±8．已知奇函数()f x 是R 上增函数，()()g x xf x =则A. 233231log 224g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．233231log 224g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C. 23323122log 4g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D. 23323122log 4g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
九师联盟2023届新高考高三核心模拟卷(中)+数学(二)+Word版含答案
2023届新高考高三核心模拟卷（中）数学（二）注意事项：1.本卷满分150分，考试时间120分钟.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.一､选择题：本题共8小题，每小题5分､共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若12i i 1i a b ，其中,a b R ，则1i a b （ ）A. 2B.C.D.2. 设集合{2A x x ∣或 4},1x B xa x a ∣，若A B R ð，则a 的取值范围是（ ） A. 1a 或4aB. 1a 或4aC. 1aD. 4a 3. 已知函数 log 322(0a y x a 且1)a 的图象过定点A ，若抛物线22y px 也过点A ，则抛物线的准线方程为（ ）A. 2xB. =1x C 92x D. 94x 4. 若两个向量a 、b 的夹角是2π3，a 是单位向量，2b ，2c a b ，则向量c 与b 的夹角为（ ） A. π6 B. π3 C. 2π3 D. 5π65. 一种高产新品种水稻单株穗粒数y 和土壤锌含量x 有关，现整理并收集了6组试验数据，y （单位：粒）与土壤锌含量x （单位：3mg /m ）得到样本数据 ,1,2,3,4,5,6i i x y i ，令ln i i z y ，并将 ,i i x z 绘制成如图所示的散点图.若用方程e bx y a 对y 与x 的关系进行拟合，则（ ）.A. 1,0a bB. 1,0a bC. 01,0a bD. 01,0a b6. 61x展开式中常数项为（ ） A. 479 B. 239 C. 1 D. 481 7. 已知 f x 是定义域为R 奇函数，当0x 时， 2ln 1f x xx ，则不等式 211ln2f x 的解集为（ ） A. {1}∣ x x B. {0}x x ∣ C. {1}x x ∣D. {0}x x ∣ 8. 在三棱锥A BCD 中，ABC 和BCD △都是边长为A BCD 的表面积最大时，其内切球的半径是（ ）A. 4B.C. 2D. 3二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 设1,1a b ，且 1ab a b ，那么（ ）A. a b有最小值2B. 2a b 有最小值7C. ab有最小值3 D. 11a b有最小值3 10. 已知函数 22sin 3sin 1f x x x ，则（ ）A. f x 是偶函数的B. f x 在区间,04上单调递增 C. f x 在 , 上有4个零点D. f x 的值域是 0,611. 已知曲线C 方程为222410 x y x y ，曲线C 关于点1,2m的对称曲线为'C ，若以曲线'C与两坐标轴的交点为顶点的四边形面积为m 的值可能为（ ）A. 1B. 1C. 2D. 012. 如图所示，在长方体1111ABCD A B C D 中，1112,1,AA A B AD O 是11B D 的中点，直线1AC 交平面11AB D 于点M ，则（ ）A. ,,A M O 三点共线B. 1A M 的长度为1C. 直线AO 与平面11BCC BD. 1A MO △的面积为6三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知双曲线2222:1(01)1y x C a a a 的一个焦点到直线y ax 的距离为45，则C 的离心率为__________.14. 已知 为锐角，且1cos 63，则cos _______．的15. 已知等比数列 n a 的公比为(0)q q ，前n 项和为n S ，且满足1514,a q a a S .若对一切正整数n ，不等式1322n n n m ma mS 恒成立，则实数m 的取值范围为__________.16. 在锐角ABC 中，4,sin sin 2sin BC B C A ，则中线AD 的取值范围是__________.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17. 已知数列 n a 的前n 项和为n S ，且1n n a S .（1）求数列 n a 的通项公式；（2）若数列 n b 满足212log n n b a ，设12n n T b b b ，求n T .18. 如图，在四边形ABCD 中，已知4,6AB AD BC .（1）若2,33A C ，求cos BDC 的值； （2）若2CD ，四边形ABCD 的面积为4，求cos()A C 的值.19. 如图所示，正方形11AA D D 与矩形ABCD 所在平面互相垂直，22,AB AD E 为线段AB 上一点.（1）求证：11D E A D ；（2）在线段AB 上是否存在点E ，使二面角1D EC D 的大小为π6？若存在，求出AE 的长；若不存在，说明理由.20. 现有甲、乙两名运动员争夺某项比赛的奖金，规定两名运动员谁先赢1,N k k k 局，谁便赢得全部奖金a 元.假设每局甲赢的概率为 01p p ，乙赢的概率为1p ，且每场比赛相互独立.在甲赢了()m m k 局，乙赢了()n n k 局时，比赛意外终止，奖金如何分配才合理？评委给出的方案是：甲、乙按照比赛再继续进行下去各自赢得全部奖金的概率之比:P P甲乙分配奖金. （1）若33,2,1,4k m n p ，求:P P 甲乙； （2）记事件A 为“比赛继续进行下去乙赢得全部奖金”，试求当4,2,2k m n 时，比赛继续进行下去甲赢得全部奖金的概率()f p ，并判断当617p 时，事件A 是否为小概率事件，并说明理由.规定：若随机事件发生的概率小于0.06，则称该随机事件为小概率事件.21. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b过点1,2，直线:l y x t 与C 交于,M N 两点，且线段MN 的中点为,H O 为坐标原点，直线OH 的斜率为12. （1）求C 的标准方程；（2）已知直线2y kx 与C 有两个不同交点,,A B P 为x 轴上一点.是否存在实数k ，使得PAB 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出k 的值及点P 的坐标；若不存在，请说明理由. 22. 已知函数 22ln f x ax a x x a R . （1）讨论 f x 的单调性；（2）若 f x 有两个零点12,x x ，证明：122x x a.的2023届新高考高三核心模拟卷（中）数学（二）注意事项：1.本卷满分150分，考试时间120分钟.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.一､选择题：本题共8小题，每小题5分､共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】C【2题答案】【答案】B【3题答案】【答案】B【4题答案】【答案】D【5题答案】【答案】A【6题答案】【答案】C【7题答案】【答案】D【8题答案】【答案】A二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.【9题答案】【答案】ABC【10题答案】【答案】AB【11题答案】【答案】CD【12题答案】【答案】ABD三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.【13题答案】【答案】7【14题答案】【答案】6【15题答案】 【答案】3256m【16题答案】【答案】 四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.【17题答案】【答案】（1）12nn a （2）2223,12,223264,13.2n n n n T n n n【18题答案】【答案】（1）4（2）56【19题答案】【答案】（1）证明见解析（2）存在，23AE【20题答案】【答案】（1）15:1；（2）2(12)11)()(f p p p （617p ），事件A 是小概率事件，理由见解析. 【21题答案】 【答案】（1）22142x y （2）存在，1k 时，P 点坐标2,03；当1k 时，P 点坐标为2,03 【22题答案】【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【公众号：一枚试卷君】为。
2020-2021学年度山东省济宁市高考第二次模拟文科数学试题及答案
济宁市高三模拟考试文科数学试题本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回．注意事项：1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写到答题卡和试卷规定的位置上．2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带不按以上要求作答的答案无效．第I 卷(选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中。
只有一项是符合题目要求的．1.设复数z 满足1z i z=+(i 为虚数单位)，则z = A ．1122i + B ．1122i -+ C ．1122i -- D ．1122i - 2．设集合(){}11ln 2,,22x A x y x B x A B ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==-=>⋂=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭则 A ．{}1x x <- B ．{}2x x < C ．{}12x x -<< D ．{}2x x -1<≤ 3．在某次测量中得到的甲样本数据如下：22，23，26，32，22，30，若乙样本数据恰好是甲样本数据都减3后所得数据，则甲，乙两个样本的下列数字特征对应相同的是A ．平均数B ．标准差C ．众数D ．中位数4．各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为23356,6,64=n S a a a a S +=⋅=则A ．31B ．32C ．63D ．645．已知12F F 、分别为双曲线()222210x y a b a b-=>0,>的左、右焦点，过点1F 且与双曲线实轴垂直的直线与双曲线的两条渐近线相交于A 、B 两点，当2F AB ∆为等腰直角三角形时，此双曲线的离心率为A 2B 3C ．2D 56．已知函数()()()()2sin 00x f x e x f x f =+，则在点，处的切线方程为 A ．10x y +-= B ．10x y ++= C ．310x y -+= D ．310x y --=7.函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，若将()f x 图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数()g x 的图象，则()g x 的解析式为A ．()2sin 6g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭ B ．()2sin 12g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ C ．()2sin 46g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭ D ．()2sin 43g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭8．函数()2ln 22e xf x x -=-的图象可能是9．下列程序框图最终输出的结果S 为A ．910B ．1011 C ．9D ．1010．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A ．1823+B ．1842+C ．142342++D ．182342++11．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数且满足()()201f x f x x -=<≤，当时，()1x f x e x =-，则函数()(]23y f x =-在，上的零点个数是 A ．7 B ．8 C ．9D ．10 12．斜率为k 的直线l 过抛物线()220C y px p =>：的焦点F 且与抛物线C 相交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点E ，若8,=AB EF =则A ．2B ．4 C.8 D. 16第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量()()2,1,4,,//a b m a b =-=若，则实数m= ▲ ． 14．已知实数,x y 满足约束条件2020,220x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪--≥⎩则11y z x +=+的最小值为 ▲ ． 15．已知直线3410x y -+=与圆C ：2284170x y x y +--+=相交于A 、B 两点，则AB AC ⋅u u u r u u u r = ▲ 16．已知数列{}{},n n a b 均为公差为1的等差数列，其首项11111,4,a b a b a +=满足且1b N *∈设()n n a c b n N *=∈，则数列{}n c 的前10项和为 ▲ ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．(本小题满分12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ，且()sin sin sin b B a A b c C -=-．(I)求角A 的大小；(Ⅱ)若6,33a b c ABC =+=∆，求的面积．18．(本小题满分12分)如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1BB ⊥底面ABC ，D ，E 分别为BC ，CC 1的中点，12,3AA AC AB BC ====．(I)证明：1//A B 平面1ADC ；(Ⅱ)求三棱锥1E A BC -的体积．19．(本小题满分12分)某企业为提高生产效率，决定从全体职工中抽取60名男性职工，40名女性职工进行技术培训，培训结束后，将他们的考核分数分成4组：[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图：(I)若从考核分数[]90,100内随机抽取2人代表本企业外出比赛，求至少抽到一名女性职工的概率；(Ⅱ)若考核分数不低于80分的定为“技术能手”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有95％的把握认为“技术能手与职工性别有关”?附()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++20．(本小题满分12分)已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的左、右焦点分别为())123,03,0F F -和，椭圆E 与抛物线26C x y =：的一个交点坐标为13,2⎫⎪⎭． (I)求椭圆E 的标准方程；(Ⅱ)过抛物线C 的焦点的直线l 交椭圆E 于A ，B 两点，求△OAB 面积的最大值(其中O 为坐标原点)．21．(本小题满分12分)已知函数()()()2ln ,xe f x x a x a R g x x=-∈=． (I)讨论函数()f x 的单调性；(Ⅱ)当2a =时，证明：()()g x f x >．(二)选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4—4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角坐标系xoy 中，曲线121cos :4sin x C x y C y αα=+⎧+=⎨=⎩，曲线：（α为参数），过坐标原点O 的直线l 交曲线1C 于点A ，交曲线2C 于点B(点B 不是原点)．(I)以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，写出曲线1C 和2C 的极坐标方程； (Ⅱ)求OB OA 的最大值．23．[选修4—5：不等式选讲](本小题满分10分)设函数()21f x x =-．(I)设()()15f x f x ++<的解集为A ，求集合A ；(Ⅱ)已知m 为(I)中集合A 中的最大整数，且a b c m ++=(其中,,a b c 为正实数)， 求证：1118a b c a b c---⋅⋅≥．。
2020年高考全国II卷理科数学试题(含解析)
2020年全国统一高考数学试卷（理科）（全国新课标Ⅱ）一、选择题1.已知集合{2,1,0,1,2,3}U =--，{1,0,1}A =-，{1,2}B =，则()U C A B ⋃=（ ） A.{2,3}- B.{2,2,3}-C.{2,1,0,3}--D.{2,1,0,2,3}--【答案】A 【解析】∵{1,0,1,2}AB =-，∴ (){2,3}UC A B ⋃=-.2.若α为第四象限角，则（ ） A.cos20α> B.cos20α<C.sin 20α>D.sin 20α<【答案】D 【解析】∵22()2k k k Z ππαπ-+<<∈，∴424()k k k Z ππαπ-+<<∈，∴2α是第三象限角或第四象限角，∴sin 20α<.3.在新冠肺炎疫情期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压，为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作。
已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天新订单超过1600份的概率为0.05.志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（ ） A.10名 B.18名 C.24名 D.32名 【答案】B【解析】因为公司可以完成配货1200份订单，则至少需要志愿者为160050012001850+-=名.4.北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，己知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇形面形石板（不含天心石）（ ） A.3699块B.3474块C.3402块D.3339块【答案】C【解析】设每一层有n 环，由题可知从内到外每环之间构成等差数列，公差9d =，19a =，由等差数列性质知n S ，2n n S S -，32n n S S -成等差数列，且2322()()n n n n S S S S n d ---=，则29729n =，得9n =，则三层共有扇形面石板为3271272627934022n S S a ⨯==+⨯=块. 5.若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为（ ）A.【答案】B【解析】设圆心为(,)a a ，则半径为a ，圆过点(2,1)，则222(2)(1)a a a -+-=，解得1a =或5a =，所以圆心坐标为(1,1)或(5,5)，圆心到直线的距离都是5d =. 6.数列{}n a 中，12a =，m n m n a a a +=,若155121022k k k a a a ++++++=-,则k =（ ）A.2B.3C.4D.5【答案】C【解析】取1m =，则11n n a a a +=，又12a =，所以12n na a +=，所以{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，则2nn a =，所以11011115512102(12)222212k k k k k k a a a ++++++-+++==-=--，得4k =.7.右图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M ，在俯视图中对应的点为N ，则该端点在侧视图中对应的点为（ ）A.EB.FC.GD.H【答案】A【解析】该几何体是两个长方体拼接而成，如图所示，显然选A.8.设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1x yC a b-=(0,0)a b >>的两条渐近线分别交于D ，E 两点，若ODE ∆的面积为8，则C 的焦距的最小值为（ ） A.4 B.8 C.16 D.32 【答案】B【解析】双曲线2222:1x y C a b -=(0,0)a b >>的两条渐近线分别为b y x a =±，则容易得到||2DE b =，则8ODE S ab ∆==，222216c a b ab =+≥=，当且仅当a b ==号成立，所以min 4c =，焦距min (2)8c =.9.设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则()f x （ ）A. 是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增B.是奇函数，且在11(,)22-单调递减C. 是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增D.是奇函数，且在1(,)2-∞-单调递减【答案】D【解析】函数()ln |21|ln |21|ln |21|ln |21|()f x x x x x f x -=-+---=--+=-，则()f x 为奇函数，故排除A 、C ；当11(,)22x ∈-时，()ln(21)ln(12)f x x x =+--，根据函数单调性的性质可判断()f x 在11(,)22-上单调递增，故排除B ；当1(,)2x ∈-∞-时，212()ln(21)ln(12)lnln(1)2121x f x x x x x +=----==+--，根据复合函数单调性可判断()f x 在1(,)2-∞-上单调递减，故D 正确.10.已知ABC ∆的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上，若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为（ ）B.32C.1【答案】C【解析】设ABC ∆的外接圆圆心为1O ，记1OO d =，圆1O 的半径为r ，球O 半径为R ，等边三角形ABC ∆的边长为a ，则2ABC S ∆==，可得3a =，于是r ==，由题知球O 的表面积为16π，则2R =，由222R r d =+易得1d =，即O 到平面ABC 的距离为1.11.若2233x y x y ---<-，则（ ） A.ln(1)0y x -+> B.ln(1)0y x -+< C.ln ||0x y -> D.ln ||0x y -<【答案】A【解析】2323x x y y---<-，设()23x x f x -=-，则()2ln 23ln30x xf x -'=+>，所以函数()f x 在R 上单调递增，因为()()f x f y <，所以x y <，则11y x -+>，ln(1)0y x -+>，选A.12.01-周期序列在通信技术中有着重要应用，若序列12......n a a a 满足{}10,1(1,2,...)a i ∈=，且存在正整数m ,使得(1,2,...)i m i a a i +==成立，则称其为01-周期序列，并称满足(1,2,...)i m i a a i +== 的最小正整数m 为这个序列的周期，对于周期为m的01-序列12......n a a a ，11()(1,2,...,1)mi i k i C k a a k m m +===-∑是描述其性质的重要指标，下列周期为5的01-序列中，满足1()(1,2,3,4)5C k k ≤=的序列是（ ） A. 11010... B.11011... C. 10001... D.11001... 【答案】C【解析】对于A 选项：511111(1)(10000)555i i i C a a +===++++=∑，5211121(2)(01010)5555i i i C a a +===++++=>∑，不满足，排除；对于B 选项，5111131(1)(10011)5555i i i C a a +===++++=>∑，不满足，排除；对于C 选项，511111(1)(00001)555i i i C a a +===++++=∑，52111(2)(00000)055i i i C a a +===++++=∑，53111(3)(00000)055i i i C a a +===++++=∑，541111(4)(10000)555i i i C a a +===++++=∑，满足；对于D 选项，5111121(1)(10001)5555i i i C a a +===++++=>∑，不满足，排除；故选C 。