北京市昌平区2015届高三上学期期末考试数学(文)试题 Word版含答案
昌平区2014－2015学年第一学期高三年级期末质量抽测 数学试卷(文科) 2015.1考生注意事项：1.本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分，考试时间 120分钟．2．答题前，考生务必将学校、班级、姓名、考试编号填写清楚．答题卡上第一部分(选择题)必须用2B 铅笔作答，第二部分(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时必须使用2B 铅笔．3．修改时，选择题用塑料橡皮擦干净，不得使用涂改液．请保持卡面整洁，不要折叠、折皱、破损．不得在答题卡上作任何标记．4．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，未在对应的答题区域作答或超出答题区域的作答均不得分．第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)1. 已知集合{1},{|0},M x N x x =<=>则M N 等于A.{}1x x < B. {}1x x >C. {}01x x <<D.∅2．下列函数中，在区间(0，π2)上是减函数的是 A ． cos y x = B ． sin y x = C ．2y x = D ． 21y x =+3. 在ABC ∆中，60,2,3,A AC BC ︒∠===，则B ∠等于 A. 120 B. 90 C. 60 D. 454．某四棱锥的三视图如图所示，其中正(主)视图是等腰直角三角形,侧(左)视图是等腰三角形,俯视图是正方形,则该四棱锥的体积是A ．8B ．83C ．4D ．43侧（左）视图正（主）视图111125. “αβ=”是“sin sin αβ=”的A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C ．充要条件 D.既不充分也不必要条件6. 已知直线m 和平面α，β，则下列四个命题中正确的是A. 若αβ⊥，m β⊂，则m α⊥B. 若//αβ，m α⊥，则m β⊥C. 若//αβ，//m α，则//m βD. 若//m α，//m β，则//αβ7. 某位股民购进某只股票，在接下来的交易时间内，他的这只股票先经历了n 次涨停(每次上涨10%)，又经历了n 次跌停(每次下跌10%)，则该股民这只股票的盈亏情况(不考虑其它费用)是A. 略有盈利B. 略有亏损C.没有盈利也没有亏损D.无法判断盈亏情况8. 已知数列}{n a 满足*134(1),n n a a n n ++=≥∈N ，且,91=a 其前n 项之和为n S ，则满足不等式1|6|40n S n --<成立的n 的最小值是 A.7 B.6 C.5 D.4第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）．9. 计算：(1i)(12i)+-= .（i 为虚数单位） 10. 执行如图所示的程序框图，如果输入2-，那么输出的结果 是 ，如果输入4，那么输出的结果是 ．结束输出y 开始 x y 2log 2=0>x是输入x13+=-x y否11. 设x ，y 满足约束条件1,,0,x y y x y +⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≥ 则z x y =+2的最大值是 .12. 平面向量a 与b 的夹角为60，(1,0)=a ，=2|b |，则|2|a b -= .13. 双曲线13:22=-y x C 的离心率是_________；若抛物线mx y 22=与双曲线C 有相同的焦点，则=m _____________.14. 在下列函数①13,x y +=②,log 3x y =③21,y x =+④,sin x y =⑤cos()6y x π=+中，满足“对任意的1x ，2x ∈(0,1)，则1212()()22x x f x f x f ++⎛⎫≤⎪⎝⎭恒成立”的函数是________.(填上所有正确的序号)三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)15.（本小题满分13分） 已知函数1()3sin cos cos 2 1.2f x x x x =++ (I) 求函数()f x 的最小正周期；(II)当[0,]2x π∈时，求函数()f x 的最大值及取得最大值时的x 值．16.（本小题满分13分）有20名学生参加某次考试，成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示：（错误！未找到引用源。
）求频率分布直方图中m 的值；(Ⅱ) 分别求出成绩落在[70,80),[80,90),[90,100]中的学生人数；4m 6m 5m 3m 10090807060频率 组距成绩（分）50O2m（错误！未找到引用源。
）从成绩在[80,100]的学生中任选2人，求所选学生的成绩都落在[80,90)中的概率．17.（本小题满分13分）在等比数列{}n a 中，252,16a a ==.（错误！未找到引用源。
）求等比数列{}n a 的通项公式；（错误！未找到引用源。
）若等差数列{}n b 中，1582,b a b a ==，求等差数列{}n b 的前n 项的和n S ，并求n S 的最大值.18. （本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，=90DAC ∠，O 为AC 的中点，PO ⊥底面ABCD . （错误！未找到引用源。
）求证：AD ⊥平面PAC ; （II ）在线段PB 上是否存在一点M ，使得//OM 平面PAD ？若存在，写出证明过程；若不存在，请说明理由.19. （本小题满分14分） 已知函数() 1.x x f x e xe =-- （I ）求函数()f x 的最大值； （Ⅱ）设()(),f x g x x= 其中1,0x x >-≠且，证明: ()g x ＜1.20. （本小题满分13分）DABCOP已知椭圆C ：22221(0)y x a b a b +=>>的离心率为22，其四个顶点组成的菱形的面积是42，O 为坐标原点，若点A 在直线2=x 上，点B 在椭圆C 上，且OA OB ⊥.（I ） 求椭圆C 的方程； （II ）求线段AB 长度的最小值； （III ）试判断直线AB 与圆222x y +=的位置关系，并证明你的结论.昌平区2014－2015学年第一学期高三年级期末质量抽测数学试卷(文科)参考答案及评分标准 2015.1一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案CADDABBC二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．)9. 3i - 10. 10 ； 4 11. 2 12. 2 13. 332; 4± 14. ① ③三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)15.（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）因为 31()sin 2cos 2122f x x x =++ ………… 4分 sin(2)16x π=++ ………… 6分所以22T π==π. ………… 7分 （Ⅱ）因为()sin(2)16f x x π=++， 02x π≤≤，所以2666x ππ7π≤+≤． …………9分所以当262x ππ+=即6x π=时，函数)(x f 的最大值是2. …………13分16.（本小题满分13分）解：（错误！未找到引用源。
）由题意10(23456)m m m m m ⨯++++=，0.005m =. ………3分（错误！未找到引用源。
）成绩落在[70,80)中的学生人数为20100.036⨯⨯=， 成绩落在[80,90)中的学生人数20100.024⨯⨯=成绩落在[90,100]中的学生人数20100.012⨯⨯=. ……………6分（错误！未找到引用源。
）设落在[80,90)中的学生为1234,,,a a a a ，落在[90,100]中的学生为12,b b ，则1121314111223242122343132414212{,,,,,,,,,,,,,,}a a a a a a a b a b a a a a a b a b a a a b a b a b a b bb Ω=，基本事件个数为15=n ，设A ＝“此2人的成绩都在[80,90)”，则事件A 包含的基本事件数6m =， 所以事件A 发生概率62()155m P A n ===. ……………13分17.（本小题满分13分）解：（错误！未找到引用源。
）在等比数列{}n a 中，设公比为q ，因为 252,16a a ==,所以 1412,16a q a q =⎧⎨=⎩得112a q =⎧⎨=⎩ 所以 数列{}n a 的通项公式是 12n n a -=. ……………5分 （错误！未找到引用源。
）在等差数列{}n b 中，设公差为d .因为 1582,b a b a ==,所以 1582=16,=2b a b a =⎧⎨=⎩1116,+7=2b b d =⎧⎨⎩ 1=16,=2b d ⎧⎨-⎩ ……………9分方法一21(1)172n n n S b n d n n -=+=-+， 当89n =或时，S n 最大值为72. ……………13分 方法二由182n b n =-,当1820n b n =-≥,解得9n ≤,即980, 2.a a ==所以当89n =或时，S n 最大值为72. ……………13分18. （本小题满分14分）证明：（错误！未找到引用源。
）在ADC ∆中，=90.DAC AD AC ∠⊥因为，所以又因为 PO ABCD ⊥面，AD ABCD ⊂平面 所以 PO AD ⊥. 又因为 =POAC O PC AC PAC ⊂平面，、,所以AD PAC ⊥平面. ……………6分 （错误！未找到引用源。
）存在.当M 为PB 中点时，OM//PAD 平面. ……………7分 证明：设PA AD 、的中点分别为E F 、，连结O F M EE F、、, ACD O AC ∆在中，为的中点，所以1//,=2OF CD OF CD .PAB M E PB PA ∆在中，、为、的中点， 所以 1//,=2ME AB ME AB ,//=ME OF ME OF ，,所以 四边形OMEF 是平行四边形, 所以 //OM EF .因为 OM PAD ⊄平面，EF PAD ⊂平面，所以 //OM PAD 平面. ……………14分19. （本小题满分14分）解：（Ⅰ）'(),xf x xe =- …………………2分 当(,0)x ∈-∞时，f '(x )＞0，f (x )单调递增； …………………4分 当(0,)x ∈+∞时，f '(x )＜0，f (x )单调递减． …………………6分DABC FEM OPx ( , 0)-∞0 (0 , )+∞)(' x f ＋ 0－ )(x f↗极大值↘ 所以f (x )的最大值为f (0)＝0．…………………7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当0x >时，()0,()0 1.f x g x <<< …………………9分 当10x -<<时，()1g x <等价于().f x x > 设()()h x f x x =-，则'()1x h x xe =--．当(1,0)x ∈-时，01,01,x x e <-<<<则01,x xe <-<从而当(1,0)x ∈-时，'()0h x <，()h x 在(1,0)-单调递减．…………………12分 当(1,0)x ∈-时，()(0)0,h x h >= 即()(0)0,()f x x h f x x ->=>所以， 故g (x )＜1． 综上，总有g (x )＜1．…………………14分20. （本小题满分13分）解：（I ）由题意22242c e a ab ⎧==⎪⎨⎪=⎩，解得224,2a b ==.故椭圆C 的标准方程为22142y x +=. ……………3分（II ）设点A ，B 的坐标分别为00(2,),(,)t x y ，其中00≠y ，因为OA OB ⊥，所以0OA OB ⋅=uu r uu u r，即0020+=x ty ， ……………4分解得002=-x t y ，又220024+=x y ， 所以22200||(2)()=-+-AB x y t=2200002(2)()-++x x y y=222000244+++x x y y =2220002042(4)42--+++y y y y =2200284(04)2++<≤y y y ，……………5分因为22002084(04)2+≥<≤y y y ，当且仅当204=y 时等号成立，所以2||8AB ≥，故线段AB 长度的最小值为22. ……………7分 （III ）直线AB 与圆222x y +=相切. ……………8分 证明如下：设点A,B 的坐标分别为00(,)x y ，(2,)t ，其中00y ≠.因为OA OB ⊥，所以0OA OB ⋅=，即0020x ty +=，解得02x t y =-. ……………9分 直线AB 的方程为00(2)2y ty t x x --=--， 即0000()(2)20y t x x y y tx ----+=， ……………10分圆心O 到直线AB 的距离0022002()(2)tx y d y t x -=-+-, (11)分由220024y x +=，02x t y =-， 故 2000222000202244x y y d x x y y +=+++200420020428162y y y y y +==++ ，所以 直线AB 与圆222x y +=相切. ……………13分。
2015届北京市昌平区高三上学期期末质量抽测理科数学试卷(带解析)
绝密★启用前2015届北京市昌平区高三上学期期末质量抽测理科数学试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：157分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、已知双曲线的离心率是2，则以该双曲线的右焦点为圆心且与其渐近线相切的圆的方程是 ．2、设复数，则．3、某珠宝店丢了一件珍贵珠宝，以下四人中只有一人说真话，只有一人偷了珠宝．甲：我没有偷；乙：丙是小偷；丙：丁是小偷；丁：我没有偷．根据以上条件，可以判断偷珠宝的人是A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁4、在 中，角对应的边分别为．若则“”是“”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5、在2014年APEC 会议期间，北京某旅行社为某旅行团包机去旅游，其中旅行社的包机费为12000元，旅行团中每人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅行团的人数在30人或30人以下，每张机票收费800元；若旅行团的人数多于30人，则给予优惠，每多1人，旅行团每张机票减少20元，但旅行团的人数最多不超过45人，当旅行社获得的机票利润最大时，旅行团的人数是A ．32人B ．35人C ．40人D ．45 人6、某四棱锥的三视图如图所示，其中正（主)视图是等腰直角三角形,侧（左)视图是等腰三角形,俯视图是正方形,则该四棱锥的体积是A ．B ．C ．D ．7、执行如图所示的程序框图，输出的值是A ．B ．C ．D ．8、已知，则下列不等式成立的是A ．B ．C ．D ．9、已知集合，，则等于A ．B ．C ．D ．10、已知直线m 和平面α，β，则下列四个命题中正确的是 A ．若，，则 B ．若，，则 C ．若，，则D ．若，，则第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）11、已知函数，有如下结论：①，有；②，有；③，有；④，有．其中正确结论的序号是 ．（写出所有正确结论的序号）12、平面向量与的夹角为，，，则= ．13、若，满足约束条件 则的最大值是 ．14、的展开式中，的系数是 ．（用数字作答)三、解答题（题型注释）15、（本小题满分13分）已知数列满足，，数列的前n 项和为,，其中．（1）求的值；（2）证明：数列为等比数列；（3）是否存在，使得 若存在，求出所有的n 的值；若不存在，请说明理由．16、（本小题满分14分）已知椭圆C : , 经过点P ，离心率是．（1）求椭圆C 的方程； （2）设直线与椭圆交于两点，且以为直径的圆过椭圆右顶点，求证：直线l 恒过定点．17、（本小题满分13分）已知函数f （x ）＝ln x －a 2x 2＋ax （a ∈)．（1）当a ＝1时，求函数f （x)的单调区间；（2）若函数f （x)在区间（1，＋∞)上是减函数，求实数a 的取值范围．18、（本小题满分14分）如图，垂直于梯形所在的平面，．为中点，， 四边形为矩形，线段交于点N ．（1）求证：// 平面； （2）求二面角的大小；（3）在线段上是否存在一点，使得与平面所成角的大小为？若存在，请求出的长;若不存在，请说明理由．19、（本小题满分13分）从甲、乙两班某项测试成绩中各随机抽取5名同学的成绩，得到如下茎叶图．已知甲班样本成绩的中位数为13, 乙班样本成绩的平均数为16．（1）求的值；（2）试估计甲、乙两班在该项测试中整体水平的高低（只需写出结论)； （3）从两组样本成绩中分别去掉一个最低分和一个最高分，再从两组剩余成绩中分别随机选取一个成绩，求这两个成绩的和的分布列及数学期望．（注：方差，其中为，， ,的平均数．）20、（本小题满分13分）已知函数．（1）求函数的最小正周期；（2）当时，求函数的最大值及取得最大值时的值．参考答案1、；2、3、A4、A5、B6、D7、B8、D9、C10、C11、②③④12、213、214、4015、（1）；（2）详见解析；（3）存在唯一的，使得成立．16、（1）；（2）详见解析；17、（1）函数的单调递增区间是，单调递减区间是;（2）实数a的取值范围是．18、（1）详见解析；（2）（3）在线段上存在一点，且19、（1），；（2）乙班的水平高；（3）详见解析．20、（1）; （2）当时，即时，所以有最大值．【解析】1、试题分析：由题设知：，所以，，双曲线的标准方程为：其右焦点坐标为，渐近线方程为：所以焦点到渐近线的距离为：以该双曲线的右焦点为圆心且与其渐近线相切的圆的方程是．所以答案应填：；．考点：1、双曲线的标准方程与简单几何性质；2、圆的标准方程．2、试题分析：因为，所以，所以答案应填：．考点：复数的概念．3、试题分析：若甲说的是真话，则乙、丙、丁都是说假话，所以丁偷了珠宝，所以，丁说的也是真话，与只有一个人说真话相矛盾，所以甲说的假话，偷珠宝的人是甲．考点：推理与证明．4、试题分析：由，所以，，所以为直角三角形，且，所以“”是“”的充分条件；另一方面：由，根据正弦定理得：所以，或，所以“”不是“”的必要条件．考点：1、解三角形；2、充要条件．5、试题分析：设旅行团的人数是，旅行社获得的机票利润为，根据题意：当时，的最大值为：当时，，所以当时，有最大值12500．综上，当旅行社获得的机票利润最大时，旅行团的人数是35．故选B．考点：函数应用题．6、试题分析：由三视图知：该几何体是一个底面边长为的正方形，高为2的四棱锥，所以几何体的体积为：．故选D．考点：1、三视图；2、空间几何体的体积．7、试题分析：运行第一次：不成立；运行第二次：不成立；运行第三次：成立，输出的值8．故选B．考点：循环结构．8、试题分析：由，得：，所以，选项A,B,C均不正确；因为函数为增函数，所以，故选D．考点：1、不等式的性质；2、指数函数．9、试题分析：因为，所以，，故选C．考点：集合的运算．10、试题分析：若，，则直线与平面相交，或直线在平面内，或直线与平面平行，所以选项A不正确；若，，则直线与平面相交，或直线在平面内，所以选项B不正确．若，，则或与相交，所以选项D不正确；故选C．考点：空间直线与平面的位置关系．11、试题分析：因为：，所以，所以①不正确，②正确；因为，所以函数在上为增函数，所以③正确；又因为，所以在是增函数且函数图象上升的越来越快，呈下凸状态，所以，有，所以④正确．所以答案应填：②③④．考点：1、函数的单调性与奇偶性；2、导数在研究函数性质中的应用．3、导数的几何意义与数形结合的思想．12、试题分析：因为，所以，所以所以，所以答案应填：2．考点：平面向量的数量积．13、试题分析：不等式组在直角坐标系中所表示的平面区域如下图中的阴影部分所示，由得，当变化时，它表示一组经过该区域的平行直线，直线的斜率为-2，在轴上的截距为，且直线在轴上的截距越大越大，由图可知，当直线经过点是，直线在轴上的截距最大，所以，所以答案应填：2．考点：简单的线性规划．14、试题分析：因为，所以，，所以答案应填：40．考点：二项式定理．15、试题分析：（1）由，根据递推公式可求得，所以有．（2）由题设知：，由此可证数列为等比数列；（3）由（2）知，所以．由于，则令由题设中的递推公式易得：由此求出求出的表达式，将原问题转化为函数方程问题．试题解析：解：（1）因为，所以．（或者根据已知，可得．）3分（2）证明：,，故数列是首项为1，公比为－2的等比数列． 7分（3）由（2）知，所以．设，又．则由，得，设，则，，所以在上单调递增，，即，所以在上单调递增又因为，所以仅存在唯一的，使得成立．13分考点：1、数列的递推公式；2、等差数列与等比数列；3、用函数方程的思想解决数列问题．16、试题分析：（1）由椭圆过点P得，由离心率是得,另外结合列方程组即可确定的值从而得到椭圆C的方程；（2）设，，直线的方程为，或，将直线方程与椭圆方程联立消去一个变量，得到关于或的一元二次方程，结合一元二次方程根的判别式与韦达定理以及平面向量的数量积确定的关系，从而找出定点坐标．注意不论直线的方程设为哪一种形式都要先考察它与坐标轴平行的特殊情况．试题解析：解：（1）由，解得，所以椭圆C的方程是．．5分（2）方法一（1）由题意可知，直线的斜率为0时，不合题意．（2)不妨设直线的方程为．由消去得． 7分设，，则有①, ② 8分因为以为直径的圆过点，所以．由，得．将代入上式，得．③ 12分将①②代入③，得，解得或（舍）．综上，直线经过定点 14分方法二证明：（1）当不存在时，易得此直线恒过点． 7分（2）当存在时．设直线，，，．由，可得．①．② 9分由题意可知,可得． 10分整理得③把①②代入③整理得由题意可知解得（1）当，直线过定点（2,0）不符合题意，舍掉．12分（2），即，直线过定点，经检验符合题意．综上所述，直线过定点 14分考点：1、椭圆的标准方程与简单几何性质；2、直线与圆锥曲线的位置关系综合问题．17、试题分析：（1）当时，，定义域是．首先求得：，再利用导数的符号判断函数的单调性并求单调区间；（2）首先求出函数的导数，因为函数f （x)在区间（1，＋∞)上是减函数，所以所以在上恒成立；转化为二次函数、二次方程与二次不等式问题．试题解析：解：（Ⅰ）当时，，定义域是．，由，解得；由，解得；所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是． 5分（2）（法一）因为函数在区间上是减函数，所以在上恒成立，则，即在上恒成立．7分当时，，所以不成立． 9分当时，，，对称轴．，即，解得所以实数a的取值范围是． 13分（法二），定义域是．①当时，在区间上是增函数，所以不成立．8分②时，令，即，则， 9分（1）当时，由，解得，所以函数的单调递减区间是．因为函数在区间上是减函数，+所以，解得． 11分（2）当时，由，解得，所以函数的单调递减区间是．因为函数在区间上是减函数，所以，解得．综上实数a的取值范围是． 13分考点：1、导数在研究函数性质中的应用；2、二次函数、二次方程与一元二次不等式综合问题；3、等价转化的思想与数形结合的思想．18、试题分析：（1）连接在中，由题设知分别为中点，所以由此可证// 平面；（2）如图以为原点，分别以所在直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系利用空间向量的数量积求出平面ABC和平面PBC的法向量的坐标，由法向量的夹角公式求出求二面角的大小；（3）首先假设存在点Q满足条件．由设，再利用向量的夹角公式确定的值．试题解析：解：（Ⅰ)连接在中，分别为中点，所以因为所以 4分（2）如图以为原点，分别以所在直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系5分则设平面的法向量为则即解得令，得所以7分因为平所以，由图可知二面角为锐二面角，所以二面角的大小为 9分（3）设存在点Q满足条件．由设，整理得，11分因为直线与平面所成角的大小为，所以， 13分则知，即点与E点重合．故在线段上存在一点，且 14分考点：1、空间直线与平面的位置关系；2、空间向量在解决立体几何问题中的应用．19、试题分析：（1）利用平均数的公式列方程分别求的值，利用中位数的概念求；（2）通过比较两组数据的平均值和方差来分析两组整体水平的高低；（3）根据（1）的结果，从甲、乙两班测试中分别去掉一个最低分和最高分，则甲班：12，13，20，乙班：15，18，18．剩余成绩中分别随机选取一个成绩，共有九个不同结果，每个结果发生的概率均为，但两个成绩的和有27，28，30，31，35，38六个可能的取值，利用古典概型求出取每个可能值的概率，从而得到的分布列及数学期望．试题解析：解：（1）经计算得：甲班数据依次为，所以中位数为，得；，得．4分（2）乙班整体水平高．或解：，，，．因为，所以乙班的水平高． 7分（3）从甲、乙两班测试中分别去掉一个最低分和最高分，则甲班：12，13，20，乙班：15，18，18．这两班测试成绩的和为，则，所以，，，，，．所以的分布列为所以的期望为13分考点：1、茎叶图；2、平均数和中位数的概念；3、离散型随机变量的分布列与数学期望．20、试题分析：（1）首先利用三角函数二倍角公式及两角和与差的三角函数公式将函数的解析式化成只含一个角的三角函数，然后利用正弦函数的性质求它的最小正周期;（2）由（1）得：，利用求出的范围，进而利用正弦函数的性质求出函数的最大值及取得最大值时的值．试题解析：解：（Ⅰ）因为5分所以，故的最小正周期为． 7分（2）因为，所以．9分当时，即时， 11分所以有最大值． 13分考点：1、三角函数的性质；2、三角函数的恒等变形．。
北京市昌平区2013-2014学年度高三数学(文)上学期期末考试试题word版带答案2013.1
昌平区2013－2014学年第一学期高三年级期末质量抽测数 学 试 卷（文 科）（满分150分，考试时间120分钟）2014.1第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）(1) 已知全集{0,1,2,3,4,5,6}=U ，集合{1,2},{0,2,5}==A B ,则集合()=I U A B ð (A){3,4,6} (B){3,5} (C ){0,5} (D){0,2,4}(2) 在复平面内表示复数i(12i)+的点位于(A)第一象限 (B )第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限(3) 若某程序框图如右图所示，则该程序运行后输出的B 等于 (A)63 (B )31 (C)127 (D)15(4) “1a =”是“直线1:210l ax y +-=与2:(1)40l x a y +++=平行”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件(5) 设,m n 是两条不同直线, ,αβ是两个不同的平面,下列命题正确的是 (A) //,//,m n αβ 且//αβ，则//m n (B ) ,,⊥⊥m n αβ且⊥αβ，则⊥m n (C) ,,⊥⊂m n αβ⊥m n ，则⊥αβ (D) ,,⊂⊂m n αα //,//m n ββ，则//αβ(6)将函数2cos y x =的图象向右平移2π个单位长度，再将所得图象上的所有点的横坐标缩短到原来的21（纵坐标不变），得到的函数解析式为 (A) 2cos 2y x = (B )2cos 2y x =- (C) 2sin 2y x =-(D ) 2sin 2y x =(7)已知函数2 2, 01,()21,30xa x f x x x x ⎧+<≤⎪=⎨--+-≤≤⎪⎩的值域为[2,2]-，则实数a 的取值范围是(A) 0a ≥ (B) 03a ≤≤ (C ) 30a -≤≤ (D) 30a -<<(8) 已知函数()s i n xf x Rπ=的图象上相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好都在圆222x y R +=上，则函数()f x 的图象的一条对称轴可以是(A)直线2x π= (B) 直线12x =(C)直线x π=- (D )直线1x =-第二卷（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.）(9) 已知向量(3,1),(,3)k ==a b ，若⊥a b ，则k =________ .(10) 若实数,x y 满足10,2,3x y x y +-≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩，则z y x =-的最大值是________ .(11) 抛物线2y ax =的准线方程是1x =-，则实数a 的值为________ .(12) 设23232(),,log 3===ma b m c m ，当1>m 时，,,a b c 从小到大．．．．的顺序是___ . (13) 若m 是2和8的等比中项，则m =________ ，圆锥曲线221+=y x m的离心率是___________ .(14) 函数()f x 的定义域为D ，若对于任意12,∈x x D ，当12<x x 时，都有12()()≥f x f x ，则称函数()f x 在D 上为非减函数.设函数()f x 在[0,1]上为非减函数，且满足以下三个条件：①(0)0=f ；②1()()32=x f f x ；③(1)1()-=-f x f x .则1()6f =_______ ；11()()47f f +=_________ .三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）(15)(本小题满分13分)已知∆ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，3A π=，cos C =，3a =. (Ⅰ)求sin B ； (Ⅱ)求∆ABC 的面积.(16)(本小题满分13分)为了参加某项环保活动，用分层抽样的方法从高中三个年级的学生中，抽取若干人组成环保志（Ⅰ）分别求出样本中高一、高二年级志愿者的人数x ，y ；（Ⅱ）用(1,2,)=L i A i 表示样本中高一年级的志愿者，(1,2,)=L i a i 表示样本中高二年级的志愿者，现从样本中高一、高二年级的所有志愿者中随机抽取2人.（1）按照以上志愿者的表示方法，用列举法列出上述所有可能情况； （2）求二人在同一年级的概率.C 1B 1A 1DCBA(17)(本小题满分14分)如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，1,2⊥===AC BC AC BC BB ,D 为AB 的中点. （Ⅰ）求证：1BC ∥平面CD A 1； (Ⅱ) 求证：⊥1BC 平面C AB 1； （Ⅲ）求三棱锥1D A AC -的体积.(18)(本小题满分13分)设函数2()ln ,,=-∈R f x a x bx a b .（Ⅰ）若曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为12=-y ,求实数,a b 的值； （II ）若1b =，求函数()f x 的最大值.(19)(本小题满分13分)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为弦长为1，过点(3,0)M 的直线l 与椭圆C 交于两点,A B .（Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设P 为椭圆上一点，且满足+=uu r uu u r uu u rOA OB tOP （O 为坐标原点），求实数t 的取值范围.(20)(本小题满分14分)已知无穷数列{}n a 中，123,,,,m a a a a L 是首项为10,公差为2-的等差数列，1232,,,,+++m m m m a a a a L 是首项为12,公比为12的等比数列(其中3,m m ≥∈N*),并对任意的n ∈N *，均有2n m n a a +=成立.(Ⅰ)当12m =时,求2014a ； (Ⅱ)若521128a =，试求m 的值； (Ⅲ)判断是否存在(3,)m m m ≥∈N*，使得12832014m S +≥成立?若存在,试求出m 的值；若不存在,请说明理由.昌平区2013－2014学年第一学期高三年级期末质量抽测数学试卷（文科）参考答案及评分标准 2014.1一、选择题共10小题，每小题5分，共50分。
2023-2024学年北京市昌平区高三(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年北京市昌平区高三（上）期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2＞1}，那么∁U A ＝（ ） A ．[﹣1，1] B ．[1，+∞）C ．（﹣∞，1]D ．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）2．在复平面内，复数z 1和z 2对应的点分别为A ，B ，则z 1•z 2＝（ ）A ．﹣1﹣3iB ．﹣3﹣iC ．1﹣3iD ．3+i3．若双曲线x 2a 2−y 2b 2=1的离心率为√3，则其渐近线方程为（ ）A ．y ＝±2xB ．y =±√2xC ．y =±12xD ．y =±√22x4．已知（1﹣3x ）5＝a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4+a 5x 5，则a 2+a 4＝（ ） A ．﹣32B ．32C ．495D ．5855．下列函数中，在区间（0，2）上为减函数的是（ ） A ．y ＝2x B ．y ＝sin xC ．y =x 1−xD ．y ＝log 0.5（﹣x 2+4x ）6．设函数f （x ）的定义域为R ，则“∀x ∈R ，f （x +1）＜f （x ）”是“f （x ）为减函数”的（ ） A ．充分必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分而不必要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知点P 在圆（x ﹣1）2+y 2＝1上，点A 的坐标为(−1，√3)，O 为原点，则AO →⋅AP →的取值范围是（ ） A ．[﹣3，3]B ．[3，5]C ．[1，9]D ．[3，7]8．“三斜求积术”是我国宋代的数学家秦九韶用实例的形式提出的，其实质是根据三角形的三边长a ，b ，c 求三角形面积S ，即S =√14[c 2a 2−(c 2+a 2−b 22)2]．现有面积为3√15的△ABC 满足sin A ：sin B ：sin C＝2：3：4，则△ABC 的周长是（ ） A ．9B ．12C ．18D ．369．已知函数f （x ）＝2sin x ﹣2cos x ，则（ ） A ．f(π4+x)=f(π4−x)B ．f （x ）不是周期函数C ．f （x ）在区间(0，π2)上存在极值D ．f （x ）在区间（0，π）内有且只有一个零点10．如图，在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 为线段AB 上的点，且AE EB=3，点P 在线段D 1E上，则点P 到直线AD 距离的最小值为（ ）A ．√22B ．√32C ．35D ．1二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11．已知sinx =−35，x ∈(π，32π)，则tan x ＝ ．12．抛物线x 2＝4y 上一点P 到焦点的距离为8，则点P 到x 轴的距离为 ．13．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝2a n ﹣a 1，且a 1，a 2+1，a 3成等差数列，则a 1＝ ；a n＝ ．14．若函数f(x)={2x −m ，x ≤1，lnx ，x ＞1在定义域上不是单调函数，则实数m 的一个取值可以为 ．15．已知数列{a n }，a 1＝a （0＜a ＜1），a n +1=a a n ．给出下列四个结论： ①a 2∈（a ，1）； ②a 10＞a 9；③{a 2n }为递增数列；④∀n ∈N *，使得|a n +1﹣a n |＜1﹣a ． 其中所有正确结论的序号是 ．三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16．（13分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，AD ⊥DC ，AB ∥DC ，AB ＝AD ＝2，DC ＝PD ＝4，点N 是PD 的中点，直线PC 交平面ABN 于点M ． （1）求证：点M 是PC 的中点； （2）求二面角A ﹣MN ﹣P 的大小．17．（14分）在△ABC 中，b cos C +c cos B ＝2a cos A ． （1）求角A 的大小；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使得△ABC 存在且唯一确定，求△ABC 的面积． 条件①：a ＝7； 条件②：c ＝8； 条件③：cos C =17．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．18．（13分）某汽车生产企业对一款新上市的新能源汽车进行了市场调研，统计该款车车主对所购汽车性能的评分，将数据分成5组：[90，100），[100，110），[110，120），[120，130），[130，140]，并整理得到如下频率分布直方图： （1）求m 的值；（2）该汽车生产企业在购买这款车的车主中任选3人，对评分低于110分的车主送价值3000元的售后服务项目，对评分不低于110分的车主送价值2000元的售后服务项目．若为这3人提供的售后服务项目总价值为X 元，求X 的分布列和数学期望E （X ）；（3）用随机抽样的方法从购买这款车的车主中抽取10人，设这10人中评分不低于110分的人数为Y ，问k （k ＝0，1，2，…，10）为何值时，P （Y ＝k ）的值最大？（结论不要求证明）19．（15分）已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）经过点M （2，0），离心率为√22．（1）求椭圆E的方程；（2）设过点T（t，0）的直线l与椭圆E有两个不同的交点A，B（均不与点M重合），若以线段AB为直径的圆恒过点M，求t的值．20．（15分）已知函数f（x）＝x2e2﹣x﹣x+1．（1）求曲线y＝f（x）在（2，f（2））处的切线方程；（2）设函数g（x）＝f'（x），求g（x）的单调区间；（3）判断f（x）极值点的个数，并说明理由．21．（15分）已知Q：a1，a2，…，a k为有穷正整数数列，且a1≤a2≤…≤a k，集合X＝{﹣1，0，1}．若存在x i∈X，i＝1，2，…，k，使得x1a1+x2a2+…+x k a k＝t，则称t为k﹣可表数，称集合T＝{t|t＝x1a1+x2a2+…+x k a k，x i∈X，i＝1，2，…，k}为k﹣可表集．（1）若k＝10，a i＝2i﹣1，i＝1，2，…，k，判定31，1024是否为k﹣可表数，并说明理由；（2）若{1，2，…，n}⊆T，证明：n≤3k−1 2；（3）设a i＝3i﹣1，i＝1，2，…，k，若{1，2，…，2024}⊆T，求k的最小值．2023-2024学年北京市昌平区高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2＞1}，那么∁U A ＝（ ） A ．[﹣1，1] B ．[1，+∞）C ．（﹣∞，1]D ．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）解：全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2＞1}＝（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），∁U A ＝[﹣1，1]， 故选：A ．2．在复平面内，复数z 1和z 2对应的点分别为A ，B ，则z 1•z 2＝（ ）A ．﹣1﹣3iB ．﹣3﹣iC ．1﹣3iD ．3+i解：由图可知，z 1＝﹣2﹣i ，z 2＝1+i ，故z 1•z 2＝（﹣2﹣i ）•（1+i ）＝﹣2﹣2i ﹣i +1＝﹣1﹣3i ． 故选：A ．3．若双曲线x 2a 2−y 2b 2=1的离心率为√3，则其渐近线方程为（ ）A ．y ＝±2xB ．y =±√2xC ．y =±12xD ．y =±√22x解：由双曲线的离心率√3，可知c =√3a ，又a 2+b 2＝c 2，所以b =√2a ，所以双曲线的渐近线方程为：y =±bax =±√2x ．故选：B ．4．已知（1﹣3x ）5＝a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4+a 5x 5，则a 2+a 4＝（ ） A ．﹣32B ．32C ．495D ．585解：令x ＝0，解得a 0＝1；当x ＝1时，a 0+a 1+a 2+a 3+a 4+a 5＝﹣32；①，当x ＝﹣1时，a 0−a 1+a 2−a 3+a 4−a 5=45，②，故①+②得：2a 0+2a 2+2a 4＝1024﹣32＝992，解得a 0+a 2+a 4＝496， 故a 2+a 4＝495．故选：C ．5．下列函数中，在区间（0，2）上为减函数的是（ ） A ．y ＝2x B ．y ＝sin xC ．y =x 1−xD ．y ＝log 0.5（﹣x 2+4x ）解：根据题意，依次分析选项：对于A ，y ＝2x ，是指数函数，在（0，2）上为增函数，不符合题意； 对于B ，y ＝sin x ，是正弦函数，在（0，π2）上为增函数，不符合题意；对于C ，y =x 1−x =−1x−1−1，可以由函数y =−1x向右平移一个单位，向下平移一个单位得到， 故y =x1−x在区间（0，2）上不是单调函数，不符合题意； 对于D ，y ＝log 0.5（﹣x 2+4x ），设t ＝﹣x 2+4x ，y ＝log 0.5t ， t ＝﹣x 2+4x 在（0，2）上为增函数，且t ＞0恒成立， y ＝log 0.5t 在（0，+∞）上为减函数，故y ＝log 0.5（﹣x 2+4x ）在区间（0，2）上为减函数，符合题意． 故选：D ．6．设函数f （x ）的定义域为R ，则“∀x ∈R ，f （x +1）＜f （x ）”是“f （x ）为减函数”的（ ） A ．充分必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分而不必要条件D ．既不充分也不必要条件解：根据题意，函数f （x ）={ ⋯⋯x −4，2≤x ＜3x −2，1≤x ＜2x ，0≤x ＜1x +2，−1≤x ＜0⋯⋯，在R 上满足f （x +1）＜f （x ）， 当f （x ）不是增函数，反之，若f （x ）为减函数，必有f （x +1）＜f （x ），故“∀x ∈R ，f （x +1）＜f （x ）”是“f （x ）为减函数”的必要而不充分条件． 故选：B ．7．已知点P 在圆（x ﹣1）2+y 2＝1上，点A 的坐标为(−1，√3)，O 为原点，则AO →⋅AP →的取值范围是（ ） A ．[﹣3，3]B ．[3，5]C ．[1，9]D ．[3，7]解：设P （x ，y ），由图可知，AO →与AP →夹角为锐角，故AO →⋅AP →＞0，又AO →=(1，−√3)，AP →=(x +1，y −√3)，则AO →⋅AP →=x −√3y +4， 令t =|x−√3y+4|2，则t 为点P （x ，y ）到直线x −√3y +4=0的距离， 圆心C （1，0）到直线x −√3y +4=0的距离d =52，所以t ∈[32，72]，故AO →⋅AP →∈[3，7]．故选：D ．8．“三斜求积术”是我国宋代的数学家秦九韶用实例的形式提出的，其实质是根据三角形的三边长a ，b ，c 求三角形面积S ，即S =√14[c 2a 2−(c 2+a 2−b 22)2]．现有面积为3√15的△ABC 满足sin A ：sin B ：sin C＝2：3：4，则△ABC 的周长是（ ） A ．9B ．12C ．18D ．36解：由正弦定理可得，a ：b ：c ＝sin A ：sin B ：sin C ＝2：3：4，故可设a ＝2x ，b ＝3x ，c ＝4x ， S =√14[c 2a 2−(c 2+a 2−b 22)2]=12√(8x 2)2−(16x 2+4x 2−9x 22)2=3√15，解得，x ＝2，故△ABC 的周长为4+6+8＝18． 故选：C ．9．已知函数f （x ）＝2sin x ﹣2cos x ，则（ ） A ．f(π4+x)=f(π4−x)B ．f （x ）不是周期函数C ．f （x ）在区间(0，π2)上存在极值D ．f （x ）在区间（0，π）内有且只有一个零点解：对于A ：因为函数f （x ）＝2sin x ﹣2cos x ， 所以f （x +π2）+f （﹣x ）＝2sin(x+π2)−2cos(x+π2)+2sin（﹣x ）﹣2cos（﹣x ）＝2cos x ﹣2﹣sin x+2﹣sin x﹣2cos x ＝0，所以f （x ）关于点（π4，0）对称，所以f （π4+x ）＝﹣f （π4−x ），故A 错误；对于B ：因为f （x +2π）＝2sin（x +2π）﹣2cos（x +2π）＝2sin x ﹣2cos x ＝f （x ），所以2π为函数f （x ）的一个周期，故B 错误；对于C ：因为f （x ）＝2sin x ﹣2cos x ，所以f ′（x ）＝2sin x cos x •ln 2+2cos x sin x •ln 2， 当0＜x ＜π2时，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增，所以f （x ）在（0，π2）上单调递增，故C 错误；对于D ：令f （x ）＝2sin x ﹣2cos x ＝0，即2sin x ＝2cos x ，即sin x ＝cos x ，因为x ∈（0，π），则tan x ＝1，所以x =π4，所以方程在（0，π）上只有一个根，所以函数f （x ）在（0，π）内有且只有一个零点，故D 正确． 故选：D ．10．如图，在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 为线段AB 上的点，且AE EB=3，点P 在线段D 1E上，则点P 到直线AD 距离的最小值为（ ）A ．√22B ．√32C ．35D ．1解：以D 为原点，分别以DA ，DC ，DD 1为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则D （0，0，0），A （1，0，0），E （1，34，0），D 1（0，0，1），∴DA →=(1，0，0)，ED 1→=(−1，−34，1)，设n →=(x ，y ，z)，由{n →⋅DA →=x =0n →⋅ED 1→=−x −34y +z =0，取y ＝1，得n →=(0，1，34)． ∴点P 到直线AD 距离的最小值为d =|n →⋅AE →||n →|=34√1+916=35．故选：C ．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11．已知sinx =−35，x ∈(π，32π)，则tan x ＝ 34．解：因为sinx =−35，x ∈(π，32π)，所以cos x =−45，则tan x =sinx cosx =34．故答案为：3412．抛物线x 2＝4y 上一点P 到焦点的距离为8，则点P 到x 轴的距离为 7 ． 解：根据抛物线方程可求得焦点坐标为（0，1），准线方程为y ＝﹣1， 根据抛物线定义，∴y p +1＝8，解得y p ＝7，∴点P 到x 轴的距离为7， 故答案为：7．13．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝2a n ﹣a 1，且a 1，a 2+1，a 3成等差数列，则a 1＝ 2 ；a n ＝ 2n ． 解：由S n ＝2a n ﹣a 1，得S n +1＝2a n +1﹣a 1， 两式相减得a n +1＝2a n +1﹣2a n ，即a n+1a n=2，∴{a n }是以q ＝2为公比的等比数列，由a 1，a 2+1，a 3成等差数列，得2（a 2+1）＝a 1a 3， 即2（2a 1+1）＝a 1+4a 1，解得a 1＝2， ∴a n ＝2×2n ﹣1＝2n ．故答案为：2，2n ．14．若函数f(x)={2x −m ，x ≤1，lnx ，x ＞1在定义域上不是单调函数，则实数m 的一个取值可以为 0（答案不唯一） ．解：根据题意，假设函数f(x)={2x −m ，x ≤1，lnx ，x ＞1在定义域上是单调函数，则有21﹣m ≤ln 1，即2﹣m ≤0，解可得：m ≥2，反之，若函数f(x)={2x −m ，x ≤1，lnx ，x ＞1在定义域上不是单调函数，必有m ＜2，即m 的取值范围为（﹣∞，2），故m 的值可以为0． 故答案为：0（答案不唯一）．15．已知数列{a n }，a 1＝a （0＜a ＜1），a n +1=a a n ．给出下列四个结论： ①a 2∈（a ，1）； ②a 10＞a 9；③{a 2n }为递增数列；④∀n ∈N *，使得|a n +1﹣a n |＜1﹣a ． 其中所有正确结论的序号是 ①②④ ．解：根据题意可知a 2=a a 1=a a ，因为0＜a ＜1，所以a 1＜a a ＜a 0⇒a 2∈（a ，1）即①正确；由a 1＜a 2＜1，可得a a 1＞a a 2＞a 1，得1＞a 2＞a 3＞a 1＝a ，所以a a 2＜a a 3＜a a 1，即a 3＜a 4＜a 2，故③不正确；根据递推式有a ＜a 3＜a 4＜a 2＜1，a a 3＞a a 4＞a a 2，即a 4＞a 5＞a 3，同理可得a 4＞a 6＞a 5，a 5＜a 7＜a 6，a 6＞a 8＞a 7，a 7＜a 9＜a 8，从而可得a a 7＞a a 9＞a a 8，即a 8＞a 10＞a 9，故②正确；因为0＜a ＜1，所以a a ＝a 2∈（a ，1），则a a 2∈(a ，1)，依次可知a a n ∈(a ，1)，所以{a ＜a n+1＜1a ≤a n ＜1，故|a n +1﹣a n |＜1﹣a 成立，④正确． 故答案为：①②④．三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16．（13分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，AD ⊥DC ，AB ∥DC ，AB ＝AD ＝2，DC ＝PD ＝4，点N 是PD 的中点，直线PC 交平面ABN 于点M ． （1）求证：点M 是PC 的中点； （2）求二面角A ﹣MN ﹣P 的大小．（1）证明：因为AB ∥DC ，AB ⊄平面PDC ，DC ⊂平面PDC ， 所以AB ∥平面PDC ，又AB ⊂平面ABMN ， 平面ABMN ∩平面PDC ＝MN ， 所以AB ∥MN ，故MN ∥DC ，又N 为PD 中点，所以M 为PC 中点；（2）解法一：由PD ⊥平面ABCD ，可得PD ⊥AD ， 又AD ⊥DC ，DC ∩PD ＝D ，则AD ⊥平面PDC ，故∠AND 为二面角A ﹣MN ﹣P 的平面角的补角，又AD ＝2，PD ＝4，点N 是PD 的中点，则AD ＝DN ＝2，故∠AND ＝45°，故二面角A ﹣MN ﹣P 的大小为135°；解法二：由PD ⊥平面ABCD ，可得PD ⊥AD ，PD ⊥DC ，又AD ⊥DC ，则DA ，DC ，DP 两两垂直，故以D 为坐标原点，DA ，DC ，DP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，由AD ＝2，DC ＝PD ＝4，点M ，N 是分别是PD ，PC 的中点，则A （2，0，0），M （0，2，2），N （0，0，2），即AM →=(−2，2，2)，AN →=(−2，0，2)，设平面AMN 的一个法向量为n →=(x ，y ，z)，则由{n →⋅AM →=−2x +2y +2z =0n →⋅AN →=−2x +2z =0，令x ＝1，可得y ＝0，z ＝1， 则平面AMN 的一个法向量为n →=(1，0，1)，不妨取平面PMN 的一个法向量为m →=(1，0，0)，则cos ＜m →，n →＞=m →⋅n →|m →||n →|=1√2=√22， 由图可知二面角A ﹣MN ﹣P 的平面角为钝角，则二面角A ﹣MN ﹣P 的大小为135°．17．（14分）在△ABC 中，b cos C +c cos B ＝2a cos A ．（1）求角A 的大小；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使得△ABC 存在且唯一确定，求△ABC的面积．条件①：a＝7；条件②：c＝8；条件③：cos C=1 7．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．解：（1）由b cos C+c cos B＝2a cos A及正弦定理，可得sin B cos C+sin C cos B＝2sin A cos B，即sin（B+C）＝2sin A cos A，即sin A＝2sin A cos A，又A∈（0，π），sin A≠0，所以cosA=12，即A=π3；（2）若选①②：即a=7，c=8，A=π3，由正弦定理，可得sinC=sinAa⋅c=√327×8=4√37，因为a＜c，所以A＜C，即C可能为锐角或钝角，故△ABC不唯一，不合题意；若选①③：即a=7，cosC=17，A=π3，由cosC=17，可得sinC=4√37，由正弦定理可c=asinA⋅sinC=7√32×4√37=8，由余弦定理可得c2＝a2+b2﹣2ab•cos C，即64=49+b2−2×7×b×17，整理得b2﹣2b﹣15＝0，，解得b＝5，故S△ABC=12absinC=12×7×5×4√37=10√3；若选②③：即c=8，cosC=17，A=π3，由cosC=17，可得sinC=4√37，由正弦定理可得：a=csinC⋅sinA=84√37√32=7，由余弦定理可得c2＝a2+b2﹣2ab•cos C，即64=49+b2−2×7×b×17，整理得b2﹣2b﹣15＝0，，解得b＝5，故S△ABC=12absinC=12×7×5×4√37=10√3．18．（13分）某汽车生产企业对一款新上市的新能源汽车进行了市场调研，统计该款车车主对所购汽车性能的评分，将数据分成5组：[90，100），[100，110），[110，120），[120，130），[130，140]，并整理得到如下频率分布直方图：（1）求m的值；（2）该汽车生产企业在购买这款车的车主中任选3人，对评分低于110分的车主送价值3000元的售后服务项目，对评分不低于110分的车主送价值2000元的售后服务项目．若为这3人提供的售后服务项目总价值为X元，求X的分布列和数学期望E（X）；（3）用随机抽样的方法从购买这款车的车主中抽取10人，设这10人中评分不低于110分的人数为Y，问k（k＝0，1，2，…，10）为何值时，P（Y＝k）的值最大？（结论不要求证明）解：（1）依题意，（0.005+0.025+0.035+m+0.007）×10＝1，所以m＝0.028；（2）由题意可知，X的可能取值为：6000，7000，8000，9000，任选1人，估计认为该款车性能的评分不低于110分的概率为0.7，则P(X=6000)=C33×0.73×0.30=0.343；P(X=7000)=C32×0.72×0.3=0.441，P(X=8000)= C31×0.7×0.32=0.189，P(X=9000)=C30×0.70×0.33=0.027，所以X的分布列为：所以E（X）＝6000×0.343+7000×0.441+8000×0.189+9000×0.027＝6900元；（3）k＝7时，P（Y＝k）的值最大，理由如下：由题意可知Y～B（10，0.7），则{C10k×0．7k×0．310−k≥C10k+1×0．7k+1×0．39−kC10k×0．7k×0．310−k≥C10k−1×0．7k−1×0．311−k，解得6.7≤k≤7.7，又因为k＝0，1，2，…，10，所以k＝7，即k ＝7时，P （Y ＝k ） 的值最大．19．（15分）已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）经过点M （2，0），离心率为√22． （1）求椭圆E 的方程；（2）设过点T （t ，0）的直线l 与椭圆E 有两个不同的交点A ，B （均不与点M 重合），若以线段AB 为直径的圆恒过点M ，求t 的值．解：（1）因为椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）经过点M （2，0），离心率为√22， 所以a ＝2，c ＝b =√2，所以椭圆E 的方程x 24+y 22=1．（2）设直线l 的方程为：x ＝my +t ，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由{x =my +t x 2+2y 2−4=0，得（m 2+2）y 2+2mty +t 2﹣4＝0， Δ＝（2mt ）2﹣4（m 2+2）（t 2﹣4）＞0，y 1+y 2=−2mt m 2+2，y 1y 2=t 2−4m 2+2， x 1+x 2＝m （y 1+y 2）+2t =4t 2+m 2，x 1x 2＝（my 1+t ）（my 2+t ） ＝m 2y 1y 2+mt （y 1+y 2）+t 2=m 2(t 2−4)2+m 2−2m 2t 22+m 2+t 2=2t 2−4m 22+m 2， 因为以线段AB 为直径的圆恒过点M ，所以MA →⋅MB →=0，即（x 1﹣2）（x 2﹣2）+y 1y 2＝0，所以x 1x 2﹣2（x 1+x 2）+4+y 1y 2＝0，即2t 2−4m 22+m 2−2×4t 2+m 2+4+t 2−4m 2+2=0， 即3t 2﹣8t +4＝0，解得t =23或t ＝2（舍）， 所以t =23． 20．（15分）已知函数f （x ）＝x 2e 2﹣x ﹣x +1． （1）求曲线y ＝f （x ）在（2，f （2））处的切线方程；（2）设函数g （x ）＝f '（x ），求g （x ）的单调区间；（3）判断f （x ）极值点的个数，并说明理由．解：（1）∵f （x ）＝x 2e 2﹣x ﹣x +1， ∴f ′（x ）＝e 2﹣x （2x ﹣x 2）﹣1， ∴f ′（2）＝﹣1，f （2）＝3，∴y ＝f （x ）在（2，f （2））处的切线方程为y ﹣3＝﹣（x ﹣2），即x +y ﹣5＝0；（2）∵g（x）＝f'（x）＝e2﹣x（2x﹣x2）﹣1，x∈R，∴g′（x）＝e2﹣x（x2﹣4x+2）=e2−x(x−2+√2)(x−2−√2)，∴当x∈（﹣∞，2−√2）∪（2+√2，+∞）时，g′（x）＞0；当x∈（2−√2，2+√2）时，g′（x）＜0，∴g（x）的单调增区间为（﹣∞，2−√2），（2+√2，+∞），单调减区间为（2−√2，2+√2）；（3）2个极值点，理由如下：又（2）知：当x＜2−√2时，g（x）在（﹣∞，2−√2）上单调递增，且g（2−√2）=(2−√2)e√2−1＞12e−1＞0，g（0）＝﹣1＜0，∴存在唯一x1∈（0，2−√2），使得g（x1）＝0；当2−√2＜x＜2+√2时，g（x）在（2−√2，2+√2）上单调递减，g（2−√2）＞0，g（2+√2）＜g（2）＝﹣1＜0，∴存在唯一x2∈（2−√2，2+√2），使得g（x1）＝0；当x＞2+√2时，﹣x2+2x＜0，e2﹣x＞0，∴g（x）＝e2﹣x（2x﹣x2）﹣1＜0，∴g（x）在（2+√2，+∞）上无零点，综合可得：当x∈（﹣∞，x1），g（x）＝f'（x）＜0，当x∈（x1，x2），g（x）＝f'（x）＞0，当x∈（x2，+∞），g（x）＝f'（x）＜0，∴当x＝x1时，f（x）取得极小值；当x＝x2时，f（x）取得极大值，故f（x）有2个极值点．21．（15分）已知Q：a1，a2，…，a k为有穷正整数数列，且a1≤a2≤…≤a k，集合X＝{﹣1，0，1}．若存在x i∈X，i＝1，2，…，k，使得x1a1+x2a2+…+x k a k＝t，则称t为k﹣可表数，称集合T＝{t|t＝x1a1+x2a2+…+x k a k，x i∈X，i＝1，2，…，k}为k﹣可表集．（1）若k＝10，a i＝2i﹣1，i＝1，2，…，k，判定31，1024是否为k﹣可表数，并说明理由；（2）若{1，2，…，n}⊆T，证明：n≤3k−1 2；（3）设a i＝3i﹣1，i＝1，2，…，k，若{1，2，…，2024}⊆T，求k的最小值．解：（1）31是，1024不是，理由如下：由题意可知x1a1+x2a2+⋯+x k a k＝t，当a i=2i−1，k＝10时，有x1+2x2+⋯+29x10=t，x i∈{﹣1，0，1}，显然若x1＝﹣1，x6＝1，x i＝0（i∈{2，3，4，5，7，8，9，10}）时，t＝31，而t ≤20×1+21×1+22×1+⋯+29×1＝210﹣1＝1023＜1024，故31是k ﹣可表数，1024不是k ﹣可表数；（2）由题意可知若x i ＝0⇒t ＝0，即0∈T ，设s ∈T ，即∃x i ∈{﹣1，0，1}使得x 1a 1+x 2a 2+⋯+x k a k ＝S ，所以（﹣x 1a 1）+（﹣x 2a 2）+⋯+（﹣x k a k ）＝﹣s ，且﹣x i ∈{﹣1，0，1}成立，故﹣s ∈T ，所以若{1，2，…，n }⊆T ，则{±1，±2，…，±n ，0}⊆T ，即{±1，±2，…±n ，0}中的元素个数不能超过T 中的元素，对于确定的Q ，T 中最多有3k 个元素，所以2n +1≤3k ⇒n ≤3k−12； （3）由题意可设∀n ∈N *，∃m ∈N *使3m−1−12＜n ≤3m −12， 又x 1×1+x 2×3+x 3×32+⋯+x m−1×3m−2≤1×1+1×3+1×32+…+1×3m ﹣2=3m−1−12， 所以k ＞m ﹣1，即k ≥m ，而1×1+1×3+1×32+⋯+1×3m−1=3m −12，即当n =3m−12时，取a 1＝1，a 2＝3，…，a m =3m−1 时，n 为m ﹣可表数， 因为2×(1×1+1×3+1×32+⋯+1×3m−1)=2×3m−12=3m −1， 由三进制的基本事实可知，对任意的0≤p ≤3m ﹣1，存在r ∈{0，1，2}（i ＝1，2，…，m ，），使p =r 1×30+r 2×31+⋯r m ×3m−1，所以p −3m−12=(r 1×30+r 2×31+⋯r m ×3m−1)−(30+31+⋯+3m−1)=(r 1−1)×30+(r 2−1)×31+⋯+(r m −1)×3m−1，令x i ＝r i ﹣1 则有x i ∈{﹣1，0，1}，i ＝1，2，…，m ，设t =p −3m −12⇒−3m −12≤t ≤3m−12， 由p 的任意性，对任意的−3m −12≤t ≤3m −12，t ∈Z ， 都有t =x 1×30+x 2×31+⋯+x m ×3m−1，x i ∈{﹣1，0，1}，i ＝1，2，…，m ，又因为n ≤3m−12， 所以对于任意的﹣n ≤t ≤n ，t ∈Z ，t 为m ﹣可表数，综上，可知k 的最小值为m ，其中m 满足3m−1−12＜n ≤3m −12， 又当n ＝2024时，37−12＜n ≤38−12， 所以k 的最小值为8．。
北京市昌平区2013届高三上学期期末考试数学文试题-Word版含答案
DCBA 北京市昌平区2012－2013学年第一学期高三年级期末质量抽测数 学 试 卷（文科） （满分150分，考试时间 120分钟）2013.1第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）复数21ii-的虚部是A. 1-B. 1C. i -D. i（2） “2a =”是“直线214ay ax y x =-+=-与垂直”的 A. 充分不必要条件 B 必要不充分条件C. 充要条件D.既不充分也不必要条件 （3）在数列{}n a 中 ，111,,)2n n a a a y x +==点（在直线上，则4a 的值为 A ．7B ．8C ．9D ．16（4）如图，在,2.=ABC BD DC AB ,AC ,AD ∆==中若则a =bA.2133+a b B. 2133-a b C. 1233+a b D. 1233-a b （5）已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积为A. 4 B ．8 C. 12 D. 24 （6）函数22()log (1)f x x x =+-的零点个数为A. 0B. 1C. 2D. 3（7）设不等式组22,4,2x y x y -+≥≥-⎧⎪⎨⎪⎩0≤ 表示的平面区域为D ．在区域D 内随机取一个点，则此点到直线+2=0y 的距离大于2的概率是A.413 B. 513 C. 825D.925（8）设定义域为R 的函数)(x f 满足以下条件；①对任意0)()(,=-+∈x f x f R x ； ②对任意当],,1[,21a x x ∈有时,12x x >21()()f x f x >.则以下不等式一定成立．．．．的是 ①()(0)f a f >②)()21(a f af >+③)3()131(->+-f aaf ④)()131(a f aa f ->+-A. ①③B. ②④C. ①④D. ②③第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）（9）在ABC △中，若3b =,1c =，1cos 3A =，则a =（10）已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，其中2856-3,15,=_______;_______.a a a S ===则（11）已知某算法的流程图如图所示，则程序运行结束时输出的结果为 ．（12）以双曲线221916x y -=的右焦点为圆心，并与其 渐近线相切的圆的标准方程是 _______.(13) 已知函数1()(0),()213(0),xx f x x x ⎧≤⎪=⎨⎪->⎩ 则((1))f f -=________;若2(23)(5)f a f a ->，则实数a 的取值范围是_______________.（14）过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点M 作直线,MA MB 交椭圆于,A B 两点，设,MA MB 的斜率分别为12,k k ，若点,A B 关于原点对称，且121,3k k ⋅=-则此椭圆的离心率为___________.三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) （15）（本小题满分13分）已知函数()(232cos )cos 1f x x x x =-⋅+.（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；OFEDCBA（Ⅱ）求()f x 在区间[,]42ππ上的最值.(16) （本小题满分14分）在四棱锥EABCD 中，底面ABCD 是正方形，,AC BD O 与交于ECABCD F 底面，为BE 的中点.（Ⅰ）求证：DE ∥平面ACF ； （Ⅱ）求证：BD AE ；（Ⅲ）若2,ABCE 在线段EO 上是否存在点G ，使CGBDE 平面？若存在，求出EGEO的值，若不存在，请说明理由．(17) （本小题满分13分）以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学在某次数学测验中的成绩，甲组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X 表示. 甲组 乙组 6 X 8 7 4 1 9 0 0 3 （Ⅰ）如果甲组同学与乙组同学的平均成绩一样，求X 及甲组同学数学成绩的方差；（Ⅱ）如果X=7，分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名，求这两名同学的数学成绩之和大于180的概率.（注：方差2222121=[()()...()],n s x x x x x x n-+-++-其中12,,...,.n x x x x 为的平均数）（18）（本小题满分13分）已知函数3211()()32f x x a x a a =-+∈R . （Ⅰ）若1,a =求函数()[0,2]f x 在上的最大值；（Ⅱ）若对任意(0,+)x ∈∞，有()0f x >恒成立，求a 的取值范围.19. （本小题满分13分）已知椭圆:M 22221(0)x y a b a b+=>>，其短轴的一个端点到右焦点的距离为2，且点A 在椭圆M 上. 直线l 的斜率为2,且与椭圆M 交于B 、C 两点． （Ⅰ）求椭圆M 的方程； （Ⅱ）求ABC ∆面积的最大值.20. （本小题满分14分）已知每项均是正整数的数列123100,,,,a a a a ，其中等于i 的项有i k 个(1,2,3)i =，设j j k k k b +++= 21(1,2,3)j =，12()100m g m b b b m =+++-(1,2,3).m =（Ⅰ）设数列1240,30,k k ==34510020,10,...0k k k k =====， ①求(1),(2),(3),(4)g g g g ；②求123100a a a a ++++的值；（Ⅱ）若123100,,,,a a a a 中最大的项为50， 比较(),(1)g m g m +的大小.昌平区2012－2013学年第一学期高三年级期末质量抽测数 学 试卷 参考答案（文科）一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）（9） （10）6；9（11） 3 （12）22(5)16x y -+=（13） -5; 1(,3)2- （14三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)（15）(本小题满分13分)解：（Ⅰ）因为()2cos )cos 1f x x x x =-⋅+2cos 2x x =-π2sin(2)6x =-.………………………………5分所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==．…………………7分 （II ）由 5[,],2[,],2[,],422636x x x πππππππ…………..9分 当52,,()1662x x f x πππ-==即时取得最小值，…………….11分 当2,,()2623x x f x πππ-==即时取得最大值.……………….13分GABC DEFO（16）(本小题满分14分) 解：（I ）连接OF .由ABCD 是正方形可知,点O 为BD 中点. 又F 为BE 的中点，所以OF ∥DE ………………….2分 又,,OFACF DE ACF 平面平面所以DE ∥平面ACF ………….4分 (II) 证明：由ECABCD BD ABCD 底面，底面，所以,EC BD由ABCD 是正方形可知, ,ACBD又=,,ACEC C AC EC ACE 平面，所以,BD ACE 平面………………………………..8分又AEACE 平面，所以BD AE …………………………………………..9分(III) 在线段EO 上存在点G ，使CG BDE 平面. 理由如下：如图，取EO 中点G ，连接CG . 在四棱锥E ABCD 中，22,2ABCE COAB CE ，所以CGEO .…………………………………………………………………..11分由（II ）可知，,BD ACE 平面而,BDBDE 平面所以，,ACE BDE ACE BDE EO 平面平面且平面平面，因为,CG EO CGACE 平面，所以CGBDE 平面…………………………………………………………. 13分故在线段EO 上存在点G ，使CGBDE 平面.由G 为EO 中点，得1.2EGEO …………………………………………… 14分 （17）(本小题满分13分)解：（I ）乙组同学的平均成绩为87909093904+++=，甲组同学的平均成绩为90，所以8086919490,9.4X X ++++==…………………………………2分甲组同学数学成绩的方差为222228690)(8990)(9190)(9490)17=42s -+-+-+-=甲（…………… 6分(II)设甲组成绩为86,87,91,94的同学分别为1234,,,,a a a a 乙组成绩为87,90,90,93的同学分别为1234,,,,b b b b 则所有的事件构成的基本事件空间为：11121314212223243132{(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b333441424344(,),(,),(,),(,),(,),(,)}.a b a b a b a b a b a b 共16个基本事件.设事件A =“这两名同学的数学成绩之和大于180”，则事件A 包含的基本事件的空间为{32333441424344(,),(,)(,),(,),(,),(,),(,)}.a b a b a b a b a b a b a b 共7个基本事件，7()16P A =………………………………………………………………………….13分 （18）(本小题满分13分) 解：（I ）当1a =时，311()32f x x x =-+，2'()1f x x =- .............1分令12'()01, 1.f x x x ==-=，得..................................2分列表：∴当[0,2]x ∈时，()f x 最大值为()26f =. ………………………7分（Ⅱ）22'()()(),f x x a x a x a =-=-+令12'()0,,.f x x a x a ==-=得① 若0,)()0,()a a f x f x '<<∴在（0，-上，单调递减.)()0,()a f x f x '∞>∴在（-，+上，单调递增.所以，()f x 在x a =-时取得最小值()332121()3232a f a a a a a -=-++=+， 因为()2221210,0,()03232a a f a a a <+>-=+<所以.0,0,+()0.a x f x <∈∞>所以当时对任意（）,不成立…………………..9分② 若20,()0,()0+a f x x f x '==≥∞所以在（，）上是增函数， 所以当=0()(0)0.a f x f >=时，有……………………………………..10分 ③若0,)()0,()a a f x f x '><在（0，上，所以单调递减.)()0,()a f x f x '∞>在（，+上，所以单调递增.所以，()f x 在x a =取得最小值()332121()3232a f a a a a a =-+=--， 令()222121()0,0,0,032322f a a a a a a =-->>-<<<由得,0,()0.a x f x <<>>所以当0对任意都成立 综上，a的取值范围是[0.………………………………13分 （19）(本小题满分13分)解: (Ⅰ)由题意知222112a b a ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，所以b =故所求椭圆方程为22142x y +=………………………………….5分 (Ⅱ) 设直线l的的方程为2y x m =+,则0m ≠.设1122(,),(,),B x y C x y代入椭圆方程并化简得2220x m ++-=, …………6分 由22224(2)2(4)0m m m ∆=--=->,可得204m << . (*)由(*)，得1,2x =故12BC x =-==…..9分又点A 到BC 的距离为d =, …………………10分故12ABC S BC d ∆=⋅= 22(4)2m m +-=≤=,当且仅当224m m =-,即m =时取等号满足(*)式. 所以ABC ∆面积的最大值为2. ……………………13分（20）(本小题满分13分)解: (I)① 因为数列1240,30,k k ==320,k =410k =， 所以123440,70,90,100b b b b ====，所以(1)60,(2)90,(3)100,(4)100g g g g =-=-=-=- . ………8分 ②123100401302203104200a a a a ++++=⨯+⨯+⨯+⨯=……….10分(II) 一方面，1(1)()100m g m g m b ++-=-，根据j b 的含义知1100m b +≤，故0)()1(≤-+m g m g ，即 )1()(+≥m g m g ， 当且仅当1100m b +=时取等号. 因为123100,,,,a a a a 中最大的项为50，所以当50m ≥时必有100m b =，所以(1)(2)(49)(50)(51)g g g g g >>>===即当149m ≤<时，有()(1)g m g m >+； 当49m ≥时，有()(1)g m g m =+. 14分。
2015北京昌(含解析)
北京市昌平区高三年级第二次综合练习数学学科测试（理工类)2015．5第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{}2340A x x x =--=，{}0,1,4,5B =，则A B I 中元素的个数为（ ）．A ． 0个B ． 1 个C ． 2个D ． 3个 2 ．130(21)x dx -⎰等于（ ）．A ．12-B ． 23C ． 1D ． 63．已知等差数列{}n a 的公差是2，若134,,a a a 成等比数列，则1a 等于（ ）．A ． 4-B ． 6-C ． 8-D ． 10- 4．“||2b <”是“直线3y x b =+与圆2240x y y +-=相交”的（ ）．A ．充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ．充要条件D ． 既不充分也不必要条件 5．在篮球比赛中，某篮球队队员投进三分球的个数如表所示：队员i1 2 3 4 56三分球个数i a1a2a3a4a5a 6a下图是统计上述6名队员在比赛中投进的三分球总数s 的程序框图，则图中的判断框内应填入的条件是（ ）．A ． 6i <B ． 7i <C ． 8i <D ． 9i <MBODP CNAB C DE A 6．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）．A ． 43336π+B ．83333π+C ． 434333π+D ． 433+π7．已知函数()y f x =（x ∈R ）是奇函数，其部分图象如图所示，则在()2,0-上与 函数()f x 的单调性相同的是（ ）．A ． 21y x =+B ． 2log y x =C ． ()()e 0e 0xx x y x -⎧⎪=⎨<⎪⎩≥ D ． cos y x =8．已知四面体A BCD -满足下列条件：（1）有一个面是边长为1的等边三角形； （2）有两个面是等腰直角三角形． 那么四面体A BCD -的体积的取值集合是（ ）．A ．12,212⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭B ．13,612⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭C ．232,,121224⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭D ．122,,61224⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭第二部分（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．已知直线l 的极坐标方程为sin 2cos 30ρθρθ-+=，则直线l 的斜率是__________．10．如图，⊙O 中的弦AB 与直径CD 相交于点P ，M 为DC 延长线上一点， MN 与⊙O 相切于点N ，若8AP =，6PB =，4PD =，2MC =，则CP =__________，MN =__________．11．在ABC △中，若3a =，7b =，56B π∠=，则边c =__________．12．如图，在菱形ABCD 中，1AB =，60DAB ∠=o ， E 为CD 的中点，则 AB AE ⋅uu u r uu u r的值是__________．13．某班举行联欢会由5个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须和节目乙相邻，且节目甲不能排在第一个和最后一个，则该班联欢会节目演出顺序的编排方案共有__________种．（用数字作答）xyO1214．如图，已知抛物线28x y =被直线4y =分成两个区域12,W W （包括边界），圆222:()(0).C x y m r m +-=>（1）若3m =，则圆心C 到抛物线上任意一点距离的最 小值是__________；（2）若圆C 位于2W 内（包括边界）且与三侧边界均有 公共点，则圆C 的半径是__________．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）已知函数()()sin 0,0,||,2f x A x A x ωϕωϕπ⎛⎫=+>><∈ ⎪⎝⎭R 的部分图象如图所示．（Ⅰ）求函数()f x 的解析式； （Ⅱ）求函数()123g x f x f x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的单调递增区间．13π12-22Oy xπ316．（本题满分13分）某大学志愿者协会有10名同学，成员构成如下表，其中表中部分数据不清楚，只知道从这10名同学中 随机抽取一位，抽到该名同学为“数学专业．．．．”的概率为25． 专业 性别中文 英语 数学 体育 男 n1 m1 女1 111现从这10名同学中随机选取3名同学参加社会公益活动（每位同学被选到的可能性相同）． （Ⅰ）求,m n 的值；（Ⅱ）求选出的3名同学恰为专业互不相同的男生．．的概率； （Ⅲ）设ξ为选出的3名同学中“女生或数学专业．．．．．．．”的学生的人数，求随机变量ξ的分布列及其数学期望E ξ．17．（本小题满分14分）如图，已知等腰梯形ABCD 中，1,22AD BC AB AD BC ===∥，E 是BC 的中点，AE I BD M =，将BAE △沿着AE 翻折成1B AE △，使平面1B AE ⊥平面AECD ．（Ⅰ）求证：CD ⊥平面1B DM ； （Ⅱ）求二面角1D AB E --的余弦值；（Ⅲ）在线段1B C 上是否存在点P ，使得MP ∥平面1B AD ，若存在，求出11B PB C的值；若不存在，说明理由．18．（本小题满分13分）已知函数2()ln ,f x x ax x a =-+∈R（Ⅰ）若函数()f x 在()()1,1f 处的切线垂直于y 轴，求实数a 的值； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数()f x 的单调区间； （Ⅲ）若1x >时，()0f x >恒成立，求实数a 的取值范围．19．（本小题满分14分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，右焦点()2,0F ，点()2,1D 在椭圆上．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）已知直线:l y kx =与椭圆C 交于,A B 两点，P 为椭圆C 上异于,A B 的动点．（i ）若直线,PA PB 的斜率都存在，证明：12PA PB k k ⋅=-；（ii ）若0k =，直线,PA PB 分别与直线3x =相交于点,M N ，直线BM 与椭圆C 相交于点Q （异于点B ）， 求证：A ，Q ，N 三点共线．20．（本小题满分13分）如图，在一个可以向下和向右方无限延伸的表格中，将正偶数按已填好的各个方格中的数字显现的规 律填入各方格中．其中第i 行，第j 列的数记作ij a ，*,i j ∈N ，如11232,16a a ==． （Ⅰ）写出155366,,a a a 的值；（Ⅱ）若502,ij a =求,i j 的值；（只需写出结论） （Ⅲ）设n nn b a =，11422n n n c b +=-- ()*n ∈N ， 记数列{}n c 的前n 项和为 n S ，求n S ；并求正整数P ，使得对任意*n ∈N ，均有k n S S ≥．北京市昌平区高三年级第二次综合练习数学学科测试（理工类）2015．5一、选择题（满分40分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案BACABADC二、填空题（满分30分）9．2 10．12，6 11．112．1 13．36 14．3，442+三、解答题（满分80分） 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题意可知，2A =，39412T π=，得T =π，2T ωπ==π，解得2ω=． 2sin 2233f ϕππ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2232k k ππ+=+π,∈Z ϕ，||2ϕπ<， 所以 6ϕπ=-，故()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭． ……………7分（Ⅱ）()2sin 22sin 212636g x x x ⎛ππ⎫⎛ππ⎫⎛⎫⎛⎫=+--+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2sin 22sin 22x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭2sin 22cos 2x x =-22sin 24x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭由222,,242k x k k πππ-+π-+π∈Z ≤≤,88k x k k π3π-+π+π∈Z.≤≤ 故()g x 的单调递增区间是,,88k k k π3π⎡⎤-+π+π∈⎢⎥⎣⎦Z ． ……………13分16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设事件A ：从10位学生中随机抽取一位，抽到该名同学为“数学专业”．由题意可知，“数学专业”的学生共有(1)m +人．则12()105m P A +==． 解得 3m =．所以1n =． …………… 4分（Ⅱ）设事件B ：从这10名同学中随机选取3名同学为专业互不相同的男生．则1233310C C 11()C 12P B +==． ……………7分 （Ⅲ）由题意，ξ的可能取值为0，1，2，3．由题意可知，“女生或数学专业”的学生共有7人． 所以33310C 1(0)C 120P ξ===，1273310C C 217(1)C 12040P ξ====，2173310C C 6321(2)C 12040P ξ====，37310C 357(3)C 12024P ξ====．所以ξ的分布列为：ξ0 123P1120 7402140724所以1721721012312040402410E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． ……………13分17．（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）由题意可知四边形ABED 是平行四边形，所以AM M E =，故1B M AE ⊥．又因为AB BE =，M 为AE 的中点，所以BM AE ⊥，即.DM AE ⊥又因为AD BC ∥， 2.AD CE == 所以四边形ADCE 是平行四边形． 所以.AE CD ∥故CD DM ⊥．因为平面1B AE ⊥平面AECD ， 平面1B AE I 平面AECD AE =， 1B M ⊂平面AECD所以1B M ⊥平面AECD ．1.B M AE ⊥ 因为CD ⊂平面AECD ， 所以1B M ⊥CD ． 因为1MD B M M =I ， MD 、1B M ⊂平面1B MD ， 所以CD ⊥平面1B MD ． ……………5分 （Ⅱ）以ME 为x 轴， MD 为y 轴， 1MB 为z 轴建立空间直角坐标系，如图：E P DCBAFB 1z则(2,3,0)C ， 1(0,0,3)B ， (1,0,0)A -， (0,3,0)D ．平面1AB E 的法向量为(0,3,0)MD =u u u r．设平面1DB A 的法向量为(,,)m x y z =u r， 因为1(1,0,3)AB =u u u r ，(1,3,0)AD =u u u r ， 3030x z x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩， 令1z =得， (3,1,1)m =-u r ． 所以5cos ,5m MD <>=u r uuu r ， 因为二面角1D AB E --为锐角，所以二面角1D AB E --的余弦值为55． ……………10分 （Ⅲ）存在点P ，使得MP ∥平面1B AD ． ……………11分 法一：取线段1B C 中点P ，1B D 中点Q ，连结,,MP PQ AQ ．则PQ CD ∥，且12PQ CD =．又因为四边形AECD 是平行四边形，所以//AE CD ． 因为M 为AE 的中点，则//AM PQ ．所以四边形AMPQ 是平行四边形，则//MP AQ ． 又因为AQ ⊂平面1AB D ，所以MP ∥平面1AB D ． 所以在线段1B C 上存在点P ，使得MP ∥平面1B AD ，1112B P BC =． ……………14分 法二：设在线段1B C 上存在点P ，使得MP ∥平面1B AD ，设11B P B C λ=uuu r uuu r，()01λ≤≤，(2,3,0)C ，因为11MP MB B P =+u u u r u u u u r u u u r ．所以(2,3,33)MP λλλ=-u u u r．因为MP ∥平面1B AD ， 所以0MP m ⋅=uuu r u r，所以233330λλλ-++-=， 解得12λ=， 又因为MP ⊄平面1B AD ， 所以在线段1B C 上存在点P ，使得MP ∥平面1B AD ，1112B P BC =．……………14分 18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）2()ln ,f x x ax x a =-+∈R 定义域为()0,+∞1()2,f x x a a x'=-+∈R依题意，()10f '=．所以()130f a '=-=，解得3a = ……………4分（Ⅱ）3a =时，()2ln 3f x x x x =+-，定义域为()0,+∞，()2112323x xf x x x x +-'=+-=当102x <<或1x >时， ()0f x '>，当112x <<时，()0f x '<， 故()f x 的单调递增区间为()10,,1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,12⎛⎫⎪⎝⎭．----8分（Ⅲ）解法一：由()0f x >，得2ln x x a x+<在1x >时恒成立，令()2ln x x g x x +=，则 ()221ln x xg x x +-'= 令()21ln h x x x =+-，则()2212120x h x x x x-'=-=> 所以()h x 在()1,+∞为增函数，()()120h x h >=> ．故()0g x '>，故()g x 在()1,+∞为增函数．()(1)1g x g >=，所以 1a ≤，即实数a 的取值范围为(],1-∞． ……………13分解法二：()21122x axf x x a x x+-'=+-=令2()21g x x ax =-+，则28a ∆=-，（i ）当0∆<，即2222a -<<时，()0f x '>恒成立， 因为1x >，所以()f x 在()1,+∞上单调递增，()()110f x f a >=-≥，即1a ≤，所以(22,1⎤-⎦； （ii ）当0∆=，即22a =±时，()0f x '≥恒成立， 因为1x >，所以()f x 在()1,+∞上单调递增，()()110f x f a >=-≥，即1a ≤，所以22a =-； （iii ）当0∆>，即22a <-或22a >时， 方程()0g x =有两个实数根221288,44a a a a x x --+-==若22a <-，两个根120x x <<，当1x >时，()0f x '>，所以()f x 在()1,+∞上单调递增， 则()()110f x f a >=-≥，即1a ≤，所以22a <-； 若22a >，()0g x =的两个根120x x <<，因为()10f x a =-<，且()f x 在()1,+∞是连续不断的函数 所以总存在01x >，使得()00f x <，不满足题意．综上，实数a 的取值范围为(],1-∞． ……………13分19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）依题意，椭圆的焦点为12(2,0),(2,0)F F -，则12||||2DF DF a +=，解得22a c =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以2222b ac =-=．故椭圆C 的标准方程为22142x y +=． ……………5分（Ⅱ）（i ）证明：设001111(,),(,),(,)P x y A x y B x y --，则22001,42x y +=2211 1.42x y += 两式作差得22220101042x x y y --+=． 因为直线,PA PB 的斜率都存在，所以22010x x -≠． 所以 2201220112y y x x -=--，即010*******y y y y x x x x +-⨯=-+-． 所以，当,PA PB 的斜率都存在时，12PA PB k k ⋅=- ． ……………9分（ii ）证明：0k =时， 00(,),(2,0),(2,0)P x y A B -． 设PA 的斜率为n ，则PB 的斜率为12n-， 直线:(2)PA y n x =+，(3,5)M n ， 直线1:(2)2PB y x n =--， 1(3,)2N n-， 所以直线:5(2)BM y n x =-，直线1:(2)10AN y x n=-+， 联立，可得交点2222(501)20,501501n n Q n n ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭． 因为222222(501)2024501501n n n n ⎡⎤--⎛⎫+=⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎣⎦， 所以点2222(501)20,501501n n Q n n ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭在椭圆22142x y +=上． 即直线MB 与直线NA 的交点Q 在椭圆上，即A ，Q ，N 三点共线． ……………14分20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）1522a =，536652,122a a == ． ……………4分（Ⅱ）20,3i j ==． …………8分（Ⅲ）位于从左上角到右下角的对角线上的方格内的数字组成的数列是 2,10,26,50， n b 是依（Ⅱ）中排法的第21n -组的中间一个数，即第n 个数，所以 ()()()221221442412,1,2,3,n b n n n n n n n n =---=+=-+=⋅-⋯；因为11422n n n c b +=--，所以()*112(1)n n c n n n =-∈+N ， 故 ()*1112n n S n n =-∈+N ． …………10分 因为 12340,0,0,0c c c c =>>>；当5n ≥时，()()11112n n n n c n n +⎡⎤=-⎢⎥+⎣⎦，而()()()11121122n n n n n n ++++⎡⎤⎡⎤---=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()()()()11112120222n n n n n n n n n ++++++--=> 得()()51551122nn n ++<≤，所以当5n ≥时，0n c <，综上对任意*n ∈N ，恒有4n S S ≥，故4k =．…………13分北京市昌平期末区高三年级二模数学（理科）选填解析一、 选择题 1．【答案】B【解析】{}{}23401,4A x x x =--==-Q ，{}4A B ∴=I ．故选B ． 2．【答案】A【解析】41310011(21)1222x x dx x ⎛⎫-=-=-=- ⎪⎝⎭⎰．故选A ．3．【答案】C【解析】由题可知2314a a a =⋅，故()()21111468a a a a +=⋅+⇒=-． 故选C ．4．【答案】A【解析】||222b b <⇔-<<，直线3y x b =+与圆2240x y y +-=相交等价于圆心()0,2到直线3y x b =+的距离小于半径2r =，即222613b b -<⇔-<<+．故选A 5．【答案】B 【解析】列表：S1a 12a a +L126a a a +++L循环结束i1 23L7故7i <． 故选B ． 6．【答案】A【解析】由三视图可知该几何体左边为底面半径1的半圆，高3的半圆锥，右边为底面边长2的正方形，高3的四棱锥，所以体积1143334332336V ππ=⨯⨯+⨯⨯=+．故答案为A ．7．【答案】D【解析】由奇函数在对称区间上的单调性一致，所以函数()f x 在()2,0-上单调递增，选项D 在(),0-π上单调递增，满足题意． 故答案选D ．8．【答案】C【解析】满足条件的四面体A BCD -如下图所示：图一：ABC △为边长1的等边三角形，,,ADC BDC ADB △△△都是直角边为22的等腰直角三角形，所以1122223222224V =⨯⨯⨯⨯=；图二：ABC △为边长1的等边三角形，,DAB DAC △△都是直角边为1的等腰直角三角形，所以11331132212V =⨯⨯⨯⨯=；图三：ABC △为边长1的等边三角形，,ACD ABD △△都是直角边为1的等腰直角三角形，过点D 作DE ⊥平面ABC ，连结,,EA EB EC ，可知2222222223122AE DE AD DE BD BE BE AE ⎧⎪+=⎪⎪=-⎨⎪⎛⎫⎪⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩，即2222222213122AE DE DE BE BE AE ⎧⎪+=⎪⎪=-⎨⎪⎛⎫⎪⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩，解得63233DE AE ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以113621322312V =⨯⨯⨯⨯=．故答案选C ．二、 填空题9．【答案】2【解析】sin 2cos 30230y x -+=⇔-+=ρθρθ．故答案为2． 10．【答案】12，6【解析】由相交弦定理可知68124CP PD AP BP CP ⨯⋅=⋅⇒==； 由切割线定理可知()222124366MN MC MD MN =⋅=⨯++=⇒=．故答案为12，611．【答案】1【解析】由余弦定理可知2222cos b a c ac B =+-，即()()2733410c c c c =++⇒+-=，所以1c =或4c =-（舍去）． 故答案为112．【答案】1【解析】联结BE ，易知90ABE ∠=o ，所以2237122AE ⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭，127cos 772EAB ∠==，727cos 1127AB AE AB AE EAB ⋅=⋅⋅∠=⨯⨯=uu u r uu u r uu u r uu u r ．故答案为113．【答案】36【解析】甲乙相邻的个数为2424A A 48⋅=，其中甲在两端的个数为332A 12=，故满足题意的有481236-=种． 故答案为3614．【答案】3，442+【解析】对于（1），设抛物线上的动点为200,8x P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，圆心()0,3C ，所以()22222000188864x CP x x ⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭，当00x =时min 3CP =； 对于（2）由题意知()44r m m =->，联立方程()()222248x y m m x y⎧+-=-⎪⎨=⎪⎩，得()2828160y m y m +-+-=，由于图形的对称性，可知圆与抛物线的两个公共点的纵坐标y 唯一，所以()()28248160842m m m ∆=---=⇒=±，由于4m >，所以8424442r =+-=+． 故答案为3，442+。
2015-2016年北京市昌平区高三(上)期末数学试卷和答案(文科)
2015-2016学年北京市昌平区高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）1．（5分）若集合A={x|﹣3＜x＜3}，B={x|（x+4）（x﹣2）＞0}，则A∩B=（）A．{x|﹣3＜x＜2}B．{x|2＜x＜3}C．{x|﹣3＜x＜﹣2}D．{x|x＜﹣4或x ＞﹣3}2．（5分）下列函数中，为偶函数的是（）A．B．y=2x C．y=sinx D．y=cosx3．（5分）已知向量=（1，2），=（﹣1，m），若⊥，则m的值为（）A．﹣2 B．2 C．D．4．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）A．36 B．18 C．12 D．65．（5分）设a=20.5，b=0.52，c=log20.5，则a，b，c的大小关系为（）A．c＞a＞b B．c＞b＞a C．a＞b＞c D．b＞a＞c6．（5分）在等比数列{a n}中，a1=1，则“a2=4”是“a3=16”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）若x，y满足且z=2x+y的最大值为6，则k的值为（）A．﹣1 B．1 C．﹣7 D．78．（5分）2015年12月7日，北京首次启动空气重污染红色预警．其应急措施包括：全市范围内将实施机动车单双号限行（即单日只有单号车可以上路行驶，双日只有双号车可以上路行驶），其中北京的公务用车在单双号行驶的基础上，再停驶车量总数的30%．现某单位的公务车，职工的私家车数量如下表：根据应急措施，12月8日，这个单位需要停驶的公务车和私家车一共有（）A．154 辆B．149辆C．145辆D．140辆二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）已知复数z=i（2+i），则|z|=．10．（5分）若直线y=2x+m与圆（x﹣2）2+（y+3）2=5相切，则m的值是．11．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为．12．（5分）若双曲线=1的左支上一点P到右焦点的距离是6，则点P到左焦点的距离为．13．（5分）在△ABC中，a=3，c=2，cosB=，则b=；sinC=．14．（5分）某大学进行自主招生时，要进行逻辑思维和阅读表达两项能力的测试．学校对参加测试的200名学生的逻辑思维成绩、阅读表达成绩以及这两项的总成绩进行了排名．其中甲、乙、丙三位同学的排名情况如图所示：从这次测试看，甲、乙两位同学，总成绩排名更靠前的是；甲、丙两位同学，逻辑思维成绩排名更靠前的是．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（13分）已知函数f（x）=2sinxcosx+cos2x﹣sin2x．（I）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间．16．（13分）在等差数列{a n}中，a2=1，a4=5．（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列c n=a n+b n，且数列{c n}是等比数列．若b1=b2=3，求数列{b n}的前n 项和S n．17．（13分）小王为了锻炼身体，每天坚持“健步走”，并用计步器进行统计．小王最近8天“健步走”步数的频数分布直方图（图1）及相应的消耗能量数据表（表1）如下：（Ⅰ）求小王这8天“健步走”步数的平均数；（Ⅱ）从步数为17千步，18千步，19千步的几天中任选2天，求小王这2天通过“健步走”消耗的能量和不小于1000卡路里的概率．18．（14分）如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB=AC=AA 1，AB ⊥AC ，D 为BC 中点．AB 1与A 1B 交于点O ．（Ⅰ）求证：A 1C ∥平面AB 1D ；（Ⅱ）求证：A 1B ⊥平面AB 1C ；（Ⅲ）在线段B 1C 上是否存在点E ，使得BC ⊥AE ？请说明理由．19．（13分）已知椭圆C ：=1（a ＞b ＞0）的离心率为，点在椭圆C 上．（I ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）若直线l ：y=kx +m （k ≠0，m ≠0）与椭圆C 交于A ，B 两点，线段AB 中点为M ，点O 为坐标原点．证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．20．（14分）已知函数f （x ）=lnx（Ⅰ）求函数f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程；（Ⅱ）证明：当x ＞1时，f （x ）＜x ﹣1（Ⅲ）设h（x）=f（x）﹣k（x﹣1），若h（x）存在最大值，且当最大值大于2k ﹣2时，确定实数k的取值范围．2015-2016学年北京市昌平区高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）1．（5分）若集合A={x|﹣3＜x＜3}，B={x|（x+4）（x﹣2）＞0}，则A∩B=（）A．{x|﹣3＜x＜2}B．{x|2＜x＜3}C．{x|﹣3＜x＜﹣2}D．{x|x＜﹣4或x ＞﹣3}【解答】解：由B中不等式解得：x＜﹣4或x＞2，即B={x|x＜﹣4或x＞2}，∵A={x|﹣3＜x＜3}，∴A∩B={x|2＜x＜3}，故选：B．2．（5分）下列函数中，为偶函数的是（）A．B．y=2x C．y=sinx D．y=cosx【解答】解：A．函数的定义域为[0，+∞），定义域关于原点不对称，则函数为非奇非偶函数．B．f（x）=2x为增函数，函数为非奇非偶函数，C．y=sinx是奇函数，不满足条件．D．y=cosx是偶函数，满足条件．故选：D．3．（5分）已知向量=（1，2），=（﹣1，m），若⊥，则m的值为（）A．﹣2 B．2 C．D．【解答】解：∵向量=（1，2），=（﹣1，m），⊥，∴=﹣1+2m=0，解得m=．故选：C．4．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）A．36 B．18 C．12 D．6【解答】解：由三视图可知棱锥的底面积S==，棱锥的高h=4，∴棱锥的体积V===6．故选：D．5．（5分）设a=20.5，b=0.52，c=log20.5，则a，b，c的大小关系为（）A．c＞a＞b B．c＞b＞a C．a＞b＞c D．b＞a＞c【解答】解：∵0＜0.52＜1，20.5＞1，log20.5＜0，∴a＞b＞c，故选：C．6．（5分）在等比数列{a n}中，a1=1，则“a2=4”是“a3=16”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：在等比数列{a n}中，a1=1，若a2=4，则公比q=，则a3=a2q=4×4=16．若a3=16，则a3=1×q2=16，即q=±4，当q=﹣4时，a2=a1q=﹣4，此时a2=4不成立，即“a2=4”是“a3=16”的充分不必要条件，故选：A．7．（5分）若x，y满足且z=2x+y的最大值为6，则k的值为（）A．﹣1 B．1 C．﹣7 D．7【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由，解得：A（k，k+3），由z=2x+y得：y=﹣2x+z，显然直线y=﹣2x+z过A（k，k+3）时，z最大，故2k+k+3=6，解得：k=1，故选：B．8．（5分）2015年12月7日，北京首次启动空气重污染红色预警．其应急措施包括：全市范围内将实施机动车单双号限行（即单日只有单号车可以上路行驶，双日只有双号车可以上路行驶），其中北京的公务用车在单双号行驶的基础上，再停驶车量总数的30%．现某单位的公务车，职工的私家车数量如下表：根据应急措施，12月8日，这个单位需要停驶的公务车和私家车一共有（）A．154 辆B．149辆C．145辆D．140辆【解答】解：由题意，单号车，共10+135=145辆，公务车30辆，停驶车量总数的30%为9辆，∴根据应急措施，12月8日，这个单位需要停驶的公务车和私家车一共有154辆．故选：A．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）已知复数z=i（2+i），则|z|=．【解答】解：z=i（2+i）=﹣1+2i，故|z|==，故答案为：．10．（5分）若直线y=2x+m与圆（x﹣2）2+（y+3）2=5相切，则m的值是﹣12或﹣2．【解答】解：∵直线y=2x+m与圆（x﹣2）2+（y+3）2=5相切，∴圆心到直线2x﹣y+m=0的距离等于半径，即=，解得m=﹣12或﹣2．故答案为：﹣12或﹣2．11．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为10．【解答】解：由已知可得该程序的功能是计算并输出S=﹣12+22﹣32+42的值∵S=﹣12+22﹣32+42=10故答案为：1012．（5分）若双曲线=1的左支上一点P到右焦点的距离是6，则点P到左焦点的距离为2．【解答】解：双曲线=1的a=2，b=3，c==，设左右焦点分别为F1，F2，由题意可得|PF2|=6，由双曲线的定义可得|PF2|﹣|PF1|=2a=4，可得|PF1|=|PF2|﹣4=2．故答案为：2．13．（5分）在△ABC中，a=3，c=2，cosB=，则b=3；sinC=．【解答】解：∵在△ABC中，a=3，c=2，cosB=，可求sinB==，∴由余弦定理可得：b===3，∴由正弦定理可得：sinC===．故答案为：3；．14．（5分）某大学进行自主招生时，要进行逻辑思维和阅读表达两项能力的测试．学校对参加测试的200名学生的逻辑思维成绩、阅读表达成绩以及这两项的总成绩进行了排名．其中甲、乙、丙三位同学的排名情况如图所示：从这次测试看，甲、乙两位同学，总成绩排名更靠前的是乙；甲、丙两位同学，逻辑思维成绩排名更靠前的是甲．【解答】解：由图知：甲同学的逻辑思维成绩排名很靠前但总排名靠后，说明阅读表达成绩排名靠后；乙同学的逻辑思维成绩排名适中但总排名靠前，说明阅读表达成绩排名靠前；故答案为：乙；甲．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（13分）已知函数f（x）=2sinxcosx+cos2x﹣sin2x．（I）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间．【解答】解：（1）由三角函数公式化简可得：f（x）=2sinxcosx+cos2x﹣sin2x=sin2x+cos2x=，∴f（x）的最小正周期；（2）由得，∴函数f（x）的单调递增区间是16．（13分）在等差数列{a n}中，a2=1，a4=5．（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列c n=a n+b n，且数列{c n}是等比数列．若b1=b2=3，求数列{b n}的前n 项和S n．【解答】解：（I）设等差数列{a n}的公差为d，由a2=1，a4=5，∴，解得a1=﹣1，d=2．∴．（II）由a1=﹣1，b1=3，得c1=2．a2=，b2=3，得c2=4．∵{c n}是等比数列，，∴．∴．∴=2n+1﹣n2+2n﹣2，n∈N*．17．（13分）小王为了锻炼身体，每天坚持“健步走”，并用计步器进行统计．小王最近8天“健步走”步数的频数分布直方图（图1）及相应的消耗能量数据表（表1）如下：（Ⅰ）求小王这8天“健步走”步数的平均数；（Ⅱ）从步数为17千步，18千步，19千步的几天中任选2天，求小王这2天通过“健步走”消耗的能量和不小于1000卡路里的概率．【解答】解：（I ） 小王这8天 每天“健步走”步数的平均数为（千步）．…（6分）（II ）设小王这2天通过“健步走”消耗的能量和不小于1000卡路里为事件A ． “健步走”17千步的天数为2天，记为a 1，a 2，“健步走”18千步的天数为1天，记为b 1，“健步走”19千步的天数为2天，记为c 1，c 2．5天中任选2天包含基本事件有：a 1a 2，a 1b 1，a 1c 1，a 1c 2，a 2b 1，a 2c 1，a 2c 2，b 1c 1，b 1c 2，c 1c 2，共10个．事件A 包含基本事件有：b 1c 1，b 1c 2，c 1c 2共3个． 所以．…（13分）18．（14分）如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB=AC=AA 1，AB ⊥AC ，D 为BC 中点．AB 1与A 1B 交于点O ． （Ⅰ）求证：A 1C ∥平面AB 1D ； （Ⅱ）求证：A 1B ⊥平面AB 1C ；（Ⅲ）在线段B 1C 上是否存在点E ，使得BC ⊥AE ？请说明理由．【解答】（本小题满分14分）解：（Ⅰ）证明：连结OD．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，因为AB=AA1，所以四边形AA1B1B为正方形，所以O为A1B中点．因为D为BC中点，所以OD为△A1BC的中位线，所以OD∥A1C．因为A1C⊄平面AB1D，OD⊂平面AB1D，所以A1C∥平面AB1D．…（4分）（Ⅱ）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥AB，AC⊥AA1，AA1∩AB=A，所以AC⊥平面AA1B1B，所以AC⊥A1B．在正方形AA1B1B中，A1B⊥AB1，AC∩AB1=A所以A1B⊥平面AB1C．…（9分）（Ⅲ）存在取B1C中点E，连结DE，AE．所以DE∥BB1．所以DE⊥BC．因为AB=AC，D为BC中点，所以AD⊥BC．因为AD∩DE=D，所以BC⊥平面ADE．所以BC⊥AE．所以当E为B1C中点时，BC⊥AE．…（14分）19．（13分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，点在椭圆C上．（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l：y=kx+m（k≠0，m≠0）与椭圆C交于A，B两点，线段AB中点为M，点O为坐标原点．证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．【解答】（本小题满分13分）解：（I）由题意得，解得a2=4，b2=1．所以椭圆C的方程为．…（5分）（Ⅱ）法一：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x M，y M）．将y=kx+m代入．得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0，，故，．于是直线OM的斜率，即．所以直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．…（13分）法二：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x M，y M）．则x M≠0，x1﹣x2≠0，由，得，则，即．所以直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．…（13分）20．（14分）已知函数f（x）=lnx（Ⅰ）求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）证明：当x＞1时，f（x）＜x﹣1（Ⅲ）设h（x）=f（x）﹣k（x﹣1），若h（x）存在最大值，且当最大值大于2k ﹣2时，确定实数k的取值范围．【解答】（Ⅰ）解：函数的定义域为（0，+∞），，由题意，f′（1）=1，f（1）=0，∴函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=x﹣1．…（4分）（Ⅱ）证明：当x＞1时，f（x）＜x﹣1，可转化为：当x＞1时，f（x）﹣x+1＜0恒成立，设g（x）=f（x）﹣x+1，所以，当x＞1时，g′（x）＜0，∴g（x）在（1，+∞）上为减函数，∴g（x）＜g（1）=0，∴当x＞1时，f（x）＜x﹣1成立．…（8分）（Ⅲ）设h（x）=f（x）﹣k（x﹣1），定义域为（0，+∞），所以．（1）当k≤0时，对于任意的x＞0，h′（x）＞0，所以h（x）在（0，+∞）上为增函数，所以h（x）无最大值，即k≤0不符合题意；（2）当k＞0时，令h′（x）=0，即1﹣kx=0，则．所以h（x），h′（x）变化如下：∵，∴成立，即lnk＜﹣k+1，令p（k）=lnk+k﹣1，k＞0，∴，即p（k）在（0，+∞）上为增函数，又∵p（1）=0，所以当0＜k＜1时，p（k）＜p（1）=0，∴0＜k＜1时，命题成立．综上，k的取值范围为（0，1）．…（14分）。
北京市昌平区-第一学期高三期末考试数学(文科)答案
昌平区2008－2009学年第一学期高三期末考试数学参考答案（文科） 2009.1二、（9）（0，3±） (10) 600,32 (11) 4,10(12) 3 (13) ①和④ (14) [3,)+∞三、解答题(本大题共6小题，共80分)（1５）(本小题满分13分)解：(I),ABC ∆在中由正弦定理得：2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===代入 (2)cos cos a c B b C -=整理得：2sin cos sin cos sin cos A B B C C B =+..…3分 即：2sin cos sin()sin A B B C A =+=，在三角形中，sin 0A >，2cos 1B =，∵∠Ｂ是三角形的内角，∴B=60°. ……………………………………………… 6分 (II),ABC ∆在中由余弦定理得：2222cos b a c ac B =+-⋅2()22cos a c ac ac B =+--⋅4b a c =+=将代入整理得3ac = …………………………………………10分故13sin sin 60224ABC S ac B ∆==︒=． …………………………………………… 13分 （16）(本小题满分14分)解：(I)设数列{}n a 的公差为d ，则3410a a d d =-=-，642102a a d d =+=+， 1046106a a d d =+=+ ……2分由3610a a a ，，成等比数列得23106a a a =，……………………………………………… 4分即2(10)(106)(102)d d d -+=+，整理得210100d d -=， 解得0d =或1d =． ∵0d ≠,∴1d = ……………………………………………… 6分 141310317,(1)6n a a d a a n d n =-=-⨯==+-=+，于是2012019202S a d ⨯=+207190330=⨯+=．…………………………………… 9分(II)11111(6)(7)(6)(7)n n a a n n n n +==-++++ ……………………………………11分 111111()()...()788967n T n n =-+-++-++=1177n -+ ……………………14分 （17）(本小题满分14分) 解:(I)证明：由已知D 在平面ABC 上的射影O 恰好在AB 上, ∴DO ⊥平面ABC ，∴AO 是AD 在平面ABC 上的射影． …………………………………… 2分 又∵BC ⊥AB ，∴BC ⊥AD ． …………………………………… 4分 (II)解：由(1)得AD ⊥BC ，又AD ⊥DC又BC ∩DC=C ，∴AD ⊥平面BDC又∵BD ⊂平面ADB ，∴AD ⊥BD ， ……………………………………6分 在R T ⊿ABD 中，由已知AC = 2，得2=AB ，AD = 1，∴BD = 1, ∴BD = AD, ∴O 是AB 的中点. ……………………………………8分 (III)解：过D 作DE ⊥AC 于E ，连结OE ，∵DO ⊥平面ABC ，∴O E 是DE 在平面ABC 上的射影．∴OE ⊥AC∴∠DEO 是二面角D －AC －B 的平面角， …………………………………11分 22=DO且3sin AD DC DO DE DEO AC DE ==∴∠==即二面角D －AC －B ……………………………………14分 （18）(本小题满分13分)解：(I)2'()663f x x ax b =++ ……………………………………2分 ()12f x x x ==由函数在及时取得极值,得'(1)0,'(2)0,f f ==即6630,3, 4.241230,a b a b a b ++=⎧=-=⎨++=⎩解得 ……………………………………5分 (II)由(1)知322()29128,'()618126(1)(2).f x x x x c f x x x x x =-++=-+=-- (0,1)'()0;(1,2)'()0;(2,3)'()0.x f x x f x x f x ∈>∈<∈>当时,当时,当时, …………8分 1()(1)58.(0)8,(3)98,[0,3]()(3)98.x f x f c f c f c x f x f c ==+==+∈=+当时,取得极大值又则当时,的最大值为11分22[0,3],(),19,(,1)(9,).x f x c c c c c c ∈<<<->-∞-⋃+∞因为对任意的有恒成立所以9+8,解得或即的取值范围是13分（19）(本小题满分13分)解（I ）设“设抛掷一颗骰子掷出的点数为3的倍数”为事件Ａ。
昌平区2013-2014学年第一学期高三年级期末数学试卷(文
R
f (x) 的图象的一条对称轴可以是
(A) 直线 x
(B)
2
直线 x 1 (C) 直线 x 2
(D) 直线 x 1
第二卷 （非选择题 共 110 分）
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. ） (9) 已知向量 a (3,1), b ( k,3) ，若 a b，则 k ________ .
(17)( 本小题满分 14 分 )
A
如图， 在直三棱柱 ABC A1B1C1 中， AC BC , AC BC BB1 2 , D 为 AB 的
D
中点 .
（Ⅰ）求证： BC1 ∥平面 A1CD ； ( Ⅱ ) 求证： BC1 平面 AB1C ；
（Ⅲ）求三棱锥 D A1AC 的体积 .
A1
C B
C1
第Ⅰ卷 （选择题 共 40 分）
一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一 项. ） (1) 已知全集 U {0,1,2,3,4,5,6} ，集合 A {1,2}, B {0,2,5} , 则集合 (eU A) I B
(A) {3,4,6} (B) {3,5} (C) {0,5} (D) {0,2,4}
为非减函数 . 设函数 f (x) 在 [0,1] 上为非减函数，且满足以下三个条件：①
f (0) 0 ；② f ( x ) 1 f (x) ； 32
③ f (1 x) 1 f ( x) .
1
1
1
则 f ( ) _______ ； f ( ) f ( ) _________ .
6
4
7
三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . ）
2014-2015年北京市昌平区高二(上)期末数学试卷(文科)及答案
2014-2015学年北京市昌平区高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）1．（5分）若命题p是真命题，命题q是假命题，则下列命题一定是真命题的是（）A．p∧q B．p∨q C．（￢p）∧q D．（￢p）∨q 2．（5分）函数y=xe x的导函数y′=（）A．xe x B．e x C．（x+1）e x D．1+e x3．（5分）已知△ABC的三个顶点为A（3，3，2），B（4，﹣3，7），C（0，5，1），则BC边上的中线长为（）A．2B．3C．4D．54．（5分）“m=﹣1”是“直线mx+（2m﹣1）y+1=0和直线3x+my+2=0垂直”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）如图，函数y=f（x）在M，N两点间的平均变化率是（）A．﹣3B．3C．﹣D．6．（5分）如图所示，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为（）A．B．C．D．17．（5分）已知两条直线m，n和平面α，那么下列命题中的真命题为（）A．若m∥n，n⊂α，则m∥αB．若m⊥n，n⊂α，则m⊥αC．若m∥n，n⊂α，m⊄α，则m∥αD．若m⊥n，n⊂α，m⊄α，则m⊥α8．（5分）已知抛物线y2=4x上一点M到其焦点的距离为2，则点M的坐标为（）A．B．C．D．9．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段A1C1上有两个动点E，F，且EF=，则下列结论中错误的是（）A．BD⊥AEB．EF∥平面ABCDC．三棱锥A﹣BEF的体积为定值D．△AEF的面积与△BEF的面积相等10．（5分）定义在R上的函数f（x）满足：f′（x）＞f（x）恒成立，则e2f（3）与e3f（2）的大小关系为（）A．e2f（3）＜e3f（2）B．e2f（3）＞e3f（2）C．e2f（3）=e3f（2）D．e2f（3）与e3f（2）的大小关系不确定一、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）11．（5分）已知命题p：∀x∈R，x2﹣3x+1＞0，请你写出￢p：．12．（5分）已知直线x+ky+3=0与圆x2+y2+2x﹣1=0相切，则k的值为．13．（5分）已知函数f（x）=ax+lnx在点x=1处取得极值，则a的值为．14．（5分）已知双曲线C：﹣y2=1（a＞0）的焦距为2，则a=；双曲线C的渐近线方程为．15．（5分）如图把椭圆+=1的长轴AB分成8分，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1，P2，…P7七个点，F是椭圆的一个焦点，则|P1F|+|P2F|+…+|P7F|=．16．（5分）在平面直角坐标系中，动点P到x轴的距离的平方恰比点P的横纵坐标的乘积小1．记动点P的轨迹为C，下列对于曲线C的描述正确的是①曲线C关于原点对称；②曲线C关于直线y=x对称；③当变量|y|逐渐增大时，曲线C无限接近直线y=x；④当变量|y|逐渐减小时，曲线C与x轴无限接近．二、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（14分）已知圆C的圆心为直线3x﹣y﹣5=0与直线x=1的交点，且点A（4，0）在圆C上．（I）求圆C的方程；（II）过点P（3，2）的直线l与圆C交于M，N两点，且|MN|=2，求直线l 的方程．18．（14分）已知函数f（x）=x3﹣ax2+b，曲线y=f（x）在点（2，4）处的切线方程为4x﹣y﹣4=0，（I）求a，b 的值；（II）求函数f（x）在[﹣1，3]上的最大值．19．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAB⊥平面ABCD，PA⊥PB，BP=BC，E为PB的中点．（1）求证：PD∥平面ACE；（2）求证：PA⊥CE；（3）在线段PC上是否存在一点F，使得BF⊥平面PAC？请说明理由．20．（14分）已知椭圆的离心率是，其中一个焦点坐标为．（1）求椭圆M的标准方程；（2）若直线y=x+m与椭圆M交于A，B两点，且△OAB（O为坐标原点）面积为，求m的值．21．（14分）平面内一个点与一条曲线上的任意点的距离的最小值，称为这个点到这条曲线的距离．例如椭圆的右焦点（4，0）到椭圆的距离为1．（I）写出点A（3，5），点B（1，2）到圆x2+y2+2x﹣4y﹣4=0的距离；（II）如图，已知直线l与圆C相离，圆C的半径是2，圆心C到直线l的距离为4．请你建立适当的平面直角坐标系，求与直线l和圆C的距离相等的动点P 的轨迹方程．2014-2015学年北京市昌平区高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）1．（5分）若命题p是真命题，命题q是假命题，则下列命题一定是真命题的是（）A．p∧q B．p∨q C．（￢p）∧q D．（￢p）∨q【解答】解：∵命题q是假命题，命题p是真命题，∴“p∧q”是假命题，即A错误；“p∨q”是真命题，即B正确；“￢p∧q”是假命题，即C错误；“￢p∨q”是假命题，故D错误；故选：B．2．（5分）函数y=xe x的导函数y′=（）A．xe x B．e x C．（x+1）e x D．1+e x【解答】解：y'=（xe x）'=e x+xe x=（1+x）e x；故选：C．3．（5分）已知△ABC的三个顶点为A（3，3，2），B（4，﹣3，7），C（0，5，1），则BC边上的中线长为（）A．2B．3C．4D．5【解答】解：∵B（4，﹣3，7），C（0，5，1），则BC的中点D的坐标为（2，1，4）则AD即为△ABC中BC边上的中线∵|AD|==3故选：B．4．（5分）“m=﹣1”是“直线mx+（2m﹣1）y+1=0和直线3x+my+2=0垂直”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：当m=﹣1时，直线mx+（2m﹣1）y+1=0和直线3x+my+2=0，即x+3y ﹣1=0 和3x﹣y+2=0，显然这两条直线的斜率互为负倒数，故这两条直线垂直，故充分性成立．由直线mx+（2m﹣1）y+1=0和直线3x+my+2=0垂直，可得3m+m（2m﹣1）=0，求得m=0，或m=﹣1，不能推出m=﹣1，故必要性不成立．综上可得，m=﹣1是直线mx+（2m﹣1）y+1=0和直线3x+my+2=0垂直的充分不必要条件，故选：A．5．（5分）如图，函数y=f（x）在M，N两点间的平均变化率是（）A．﹣3B．3C．﹣D．【解答】解：有图可知f（1）=1，f（2）=2，∴f（4）﹣f（1）=2﹣1=1，∴函数y=f（x）在M，N两点间的平均变化率是=，故选：D．6．（5分）如图所示，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为（）A．B．C．D．1【解答】解：根据三视图，可知该几何体是三棱锥，右图为该三棱锥的直观图，并且侧棱PA⊥AB，PA⊥AC，AB⊥AC．则该三棱锥的高是PA，底面三角形是直角三角形，所以这个几何体的体积，故选：A．7．（5分）已知两条直线m，n和平面α，那么下列命题中的真命题为（）A．若m∥n，n⊂α，则m∥αB．若m⊥n，n⊂α，则m⊥αC．若m∥n，n⊂α，m⊄α，则m∥αD．若m⊥n，n⊂α，m⊄α，则m⊥α【解答】解：线面平行的判定定理中要求直线m⊄α，所以A错误；线面垂直的判定定理中要求直线m垂直于平面中的两条相交直线，所以B错误；由线面平行的判定定理，可得C正确；由线面垂直的判定定理，可得D不正确．故选：C．8．（5分）已知抛物线y2=4x上一点M到其焦点的距离为2，则点M的坐标为（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，抛物线的方程为y2=4x，（x＞0）其焦点的坐标为（1，0），准线方程为x=﹣1，若抛物线上一点M到其焦点的距离为2，则点M到准线的距离为2，即|x+1|=2，解可得：x=1，又由y2=4x，则y=±2；则点M的坐标为（1，±2）；故选：C．9．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段A1C1上有两个动点E，F，且EF=，则下列结论中错误的是（）A．BD⊥AEB．EF∥平面ABCDC．三棱锥A﹣BEF的体积为定值D．△AEF的面积与△BEF的面积相等【解答】解：对于A，连接AC，则BD⊥AC，BD⊥AA1，∴BD⊥平面AA1C1C，又AE⊂平面AA1C1C，∴BD⊥AE．故A正确；对于B，∵AC∥A1C1，即EF∥AC，又EF⊄平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴EF∥平面ABCD，故B正确；对于C，S===，△AEF点B到平面AEF的距离为B到平面AA1C1C的距离d==，∴V A=V B﹣AEF==，故C正确；﹣BEF对于D，连接A1B，C1B，则△A1BC1是边长为的等边三角形，∴B到EF的距离为=，而A到EF的距离为AA1=1，∴△AEF的面积与△BEF的面积不相等．故D错误．故选：D．10．（5分）定义在R上的函数f（x）满足：f′（x）＞f（x）恒成立，则e2f（3）与e3f（2）的大小关系为（）A．e2f（3）＜e3f（2）B．e2f（3）＞e3f（2）C．e2f（3）=e3f（2）D．e2f（3）与e3f（2）的大小关系不确定【解答】解：构造函数g（x）=，则g′（x）=（f′（x）﹣f（x））＞0，∴函数g（x）单调递增，∴g（2）＜g（3），即＜，∴e2f（3）＞e3f（2）故选：B．一、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）11．（5分）已知命题p：∀x∈R，x2﹣3x+1＞0，请你写出￢p：∃x∈R，x2﹣3x+1≤0．．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题pp：∀x∈R，x2﹣3x+1＞0，则¬p为∃x∈R，x2﹣3x+1≤0．故答案为：∃x∈R，x2﹣3x+1≤0．12．（5分）已知直线x+ky+3=0与圆x2+y2+2x﹣1=0相切，则k的值为±1．【解答】解：由，得（k2+1）x2+4kx+2=0，若直线和圆相切，则△=16k2﹣8（k2+1）=0，解得：k=±1，故答案为：±1．13．（5分）已知函数f（x）=ax+lnx在点x=1处取得极值，则a的值为﹣1．【解答】解：f′（x）=a+，由题意可得：f′（1）=a+1=0，解得a=﹣1．∴f′（x）=，可知：函数f（x）在x=1出取得极大值，因此a=﹣1满足条件．故答案为：﹣1．14．（5分）已知双曲线C：﹣y2=1（a＞0）的焦距为2，则a=2；双曲线C的渐近线方程为．【解答】解：根据题意，双曲线C的方程：﹣y2=1，其中b=1，焦点在x轴上，若其焦距为2，即2c=2，则c=，则a==2，又由其焦点在x轴上，双曲线C的渐近线方程y=±x；故答案为：2，y=±x．15．（5分）如图把椭圆+=1的长轴AB分成8分，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1，P2，…P7七个点，F是椭圆的一个焦点，则|P1F|+|P2F|+…+|P7F|=28．【解答】解：F是椭圆的一个焦点，不妨令F为左焦点F1，则右焦点为F2，分别连结点F2与P1，P2，…P7七个点，易知当i+j=8时有：|P i F1|=|P j F2|，其中i、j∈{1，2，3，…，7}，由椭圆定义可知：|P i F1|+|P i F2|=2a=2×4=8，i∈{1，2，3，…，7}，∴2（|P1F|+|P2F|+…+|P7F|）=7×8=56，即|P1F|+|P2F|+…+|P7F|=28，故答案为：28．16．（5分）在平面直角坐标系中，动点P到x轴的距离的平方恰比点P的横纵坐标的乘积小1．记动点P的轨迹为C，下列对于曲线C的描述正确的是①③④①曲线C关于原点对称；②曲线C关于直线y=x对称；③当变量|y|逐渐增大时，曲线C无限接近直线y=x；④当变量|y|逐渐减小时，曲线C与x轴无限接近．【解答】解：设P（x，y），由题意可得：y2=xy﹣1，可得曲线C．①把（﹣x，﹣y）代入曲线C得到y2=xy﹣1，曲线方程不变，因此曲线C关于原点对称，正确；②把点（y，x）代入曲线C：得到曲线x2=xy﹣1，可得曲线C关于直线y=x不对称，不正确；③把曲线C的方程变为：，当变量|y|逐渐增大时，→0，→1，因此曲线C无限接近直线y=x，正确；④曲线C的方程变为x=y+，当变量|y|逐渐减小时，x→∞，因此曲线C与x轴无限接近，正确．综上可得：对于曲线C的描述正确的是①③④．故答案为：①③④．二、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（14分）已知圆C的圆心为直线3x﹣y﹣5=0与直线x=1的交点，且点A（4，0）在圆C上．（I）求圆C的方程；（II）过点P（3，2）的直线l与圆C交于M，N两点，且|MN|=2，求直线l 的方程．【解答】解：（I）由得即圆心C的坐标为（1，﹣2），因为点A（4，0）在圆C上．所以半径，所以圆C的方程为（x﹣1）2+（y+2）2=13．（II）若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x=3，|MN|=6，不合题意．若直线l的斜率存在，设过点P（3，2）的直线l的方程为：y﹣2=k（x﹣3），即kx﹣y﹣3k+2=0，如图所示：因为，所以．，解得，．所以直线l的方程为3x+y﹣11=0或x﹣3y+3=0．18．（14分）已知函数f（x）=x3﹣ax2+b，曲线y=f（x）在点（2，4）处的切线方程为4x﹣y﹣4=0，（I）求a，b 的值；（II）求函数f（x）在[﹣1，3]上的最大值．【解答】解：（I）f′（x）=3x2﹣2ax．由已知有，即，解得：．（II）f（x）=x3﹣2x2+4，f′（x）=3x2﹣4x．令f′（x）=0．解得x=0或．由表可知，当x∈[﹣1，3]时，f（x）最大值为f（3）=13．19．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAB⊥平面ABCD，PA⊥PB，BP=BC，E为PB的中点．（1）求证：PD∥平面ACE；（2）求证：PA⊥CE；（3）在线段PC上是否存在一点F，使得BF⊥平面PAC？请说明理由．【解答】解：（1）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，连接AC，BD交于点O，∴O为BD的中点，又∵E为PB的中点．∴OE∥PD，∵OE⊂平面ACE，PD⊄平面ACE∴PD∥平面ACE；∵平面PAB⊥平面ABCD，BC⊥AB，∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PA．PA⊥PB，∴PA⊥平面PBC，CE⊂平面PBC，∴PA⊥CE．（3）取PC的中点F，连接BF，由于BP=BC，∴PBC为等腰三角形．∴BF⊥PC．由（2）得：PA⊥平面PBC，∴PA⊥BF，∴BF⊥平面PAC．在线段PC上存在一点F，使得BF⊥平面PAC20．（14分）已知椭圆的离心率是，其中一个焦点坐标为．（1）求椭圆M的标准方程；（2）若直线y=x+m与椭圆M交于A，B两点，且△OAB（O为坐标原点）面积为，求m的值．【解答】解：（1）由题意，，解得，∴b2=a2﹣c2=2，故所求椭圆方程为…（4分）（2）由题意m≠0，由，整理得3x2+4mx+2m2﹣4=0，…（6分）由△=（4m）2﹣4•3（2m2﹣4）=8（6﹣m2）＞0，可得0＜m2＜6（*）…（7分）设A（x1，y1），B（x2，y2），则，…（9分）故===．又点O到AB的距离为，…（12分）故，解得：，且满足（*）．所以m的值为…（14分）21．（14分）平面内一个点与一条曲线上的任意点的距离的最小值，称为这个点到这条曲线的距离．例如椭圆的右焦点（4，0）到椭圆的距离为1．（I）写出点A（3，5），点B（1，2）到圆x2+y2+2x﹣4y﹣4=0的距离；（II）如图，已知直线l与圆C相离，圆C的半径是2，圆心C到直线l的距离为4．请你建立适当的平面直角坐标系，求与直线l和圆C的距离相等的动点P 的轨迹方程．【解答】解：（Ⅰ）圆x2+y2+2x﹣4y﹣4=0可化为（x+1）2+（y﹣2）2=9，圆心F（﹣1，2），半径r=3，点A（3，5）在圆外，点A到圆的距离为：|AF|﹣r=﹣3=2，点B（1，2）在圆内，点B到圆的距离为：r﹣|BF|=3﹣=1；（Ⅱ）如图所示：以与直线l平行并与l距离为2的直线为y轴，且与y轴垂直的直线为x轴，建立平面直角坐标系，，圆心C（﹣2，0），直线l的方程为x=2，∵圆C内的点到圆的距离小于2，到直线l的距离大于2，所以动点P一定不在圆C内，设动点P（x，y），过点P做PD⊥l于点D，连接PC交圆C于点E，则点P到圆C的距离为|PC|﹣|CE|，由题意得|PD|=|PC|﹣|CE|，即|PC|﹣|PD|=2，代入坐标得﹣|x﹣2|=2，化简，当x＜2时，y2=﹣12x+12，当x≥2时，y2=﹣4x﹣4，无解，这样的点不存在，故点P的轨迹方程是y2=﹣12x+12，（x≤1）．。
北京市昌平区2015-2016学年高二上学期期末考试数学文试卷 含答案
昌平区2015－2016学年第一学期高二年级期末质量抽测数学试卷（文科）（满分150分,考试时间120分钟）2016。
1考生须知:1．本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分。
2．答题前考生务必将答题卡上的学校、班级、姓名、考试编号用黑色字迹的签字笔填写。
3．答题卡上第I卷（选择题）必须用2B铅笔作答，第II卷（非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答,作图时可以使用2B铅笔。
请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分。
4．修改时,选择题部分用塑料橡皮擦涂干净，不得使用涂改液.保持答题卡整洁,不要折叠、折皱、破损。
不得在答题卡上做任何标记。
5．考试结束后，考生务必将答题卡交监考老师收回,试卷自己妥善保存。
第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题(本大题共10小题,每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项．)(1）如果一个命题的逆命题是真命题，那么以下结论正确的是(A）该命题的否命题必是真命题(B）该命题的否命题必是假命题（C)该命题的原命题必是假命题(D）该命题的逆否命题必是真命题俯视图侧（左）视图正（主）视图(2) 经过点(2,3)A 和点(4,7)B 的直线方程是（A ）270x y +-= （B ）210x y -+= (C ）210x y --=(D ）240x y -+=（3) 设点(,)P x y ,则“31x y =-=且”是“点P 在直线:40l x y -+=上"的(A ）充分而不必要条件 （B)必要而不充分条件（C)充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 (4） 若函数()sin cos f x x x =+，则'()2f π的值为（A ）2 (B ）1 （C)0 （D)1-（5）已知直线,,a b c 和平面α，给出下列两个命题： 命题p ：若//,//a b αα，则//a b ； 命题q : 若//,//a b b c ，则//a c .那么下列判断正确的是(A ）p 为真命题 （B ）q 为假命题 （C ）()p q ⌝∧为真命题 （D ）()p q ⌝∨为假命题 (6）过抛物线28yx =的焦点且倾斜角为45︒直线l ,交抛物线于A ，B 两点,则弦AB 的长为（A ）8 （ B ）16 ( C) 24 ( D) 32（7）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（A ）2+ （B ）2(C)4+(D ）4（8）从点(2,1)P -向圆222220xy x my m +--+=作切线，当切线长最短时,m 的值为（A ）1- (B ）0 （C ）1 (D ）2(9)已知点12,F F 是椭圆22:14x C y +=的焦点，点M在椭圆C 上且满足1223MF MF +=则12MF F ∆的面积为（A ）3(B)2（C) 1 （D ）2（10) 函数)(x f 的图象如图所示，则下列结论正确的是 (A ） 0'()'(1)(1)()f a f a f a f a <<+<+- (B ） 0'(1)(1)()'()f a f a f a f a <+<+-< （C ） 0'(1)'()(1)(f a f a f a f a <+<<+- （D ）0(1)()'()'(1)f a f a f a f a <+-<<+第Ⅱ卷（非选择题 共100分)二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．） (11）若命题21:,04p x xx ∀∈-+≤R ,则:p ⌝ ．（12）若直线()110a x y +++=与直线220x ay ++=平行,则a 的值为____ . （13） 已知一个圆柱的底面半径为2，体积为16π，则该圆柱的母线长为______ ,表面积为______ 。