信号与系统课后习题与解答第三章
《信号与系统》课后习题参考答案
《信号与系统》课后习题参考答案第二章 连续信号与系统的时域分析2-9、（1）解：∵系统的微分方程为：)(2)(3)(t e t r t r '=+'，∴r(t)的阶数与e(t) 的阶数相等，则h(t)应包含一个)(t δ项。
又∵系统的特征方程为：03=+α，∴特征根3-=α∴)()(2)(3t u Ae t t h t -+=δ∴)]()(3[)(2)(33t e t u e A t t h t t δδ--+-+'=')()(3)(23t A t u Ae t t δδ+-'=-将)(t h 和)(t h '代入微分方程（此时e(t)= )(t δ），得：)()(3)(23t A t u Ae t t δδ+-'-+3)(2)]()(2[3t t u Ae t t δδ'=+-∴A=-6则系统的冲激响应)(6)(2)(3t u et t h t --=δ。
∴⎰⎰∞--∞--==t td ue d h t g τττδτττ)](6)(2[)()(3⎰∞-=t d ττδ)(2⎰∞---t d u e τττ)(63 )()(6)(203t u d e u t t ⎰-∞--=τττ )()3(6)(203t u e t u t --=-τ)()1(2)(23t u e t u t -+=- )(23t u e t -=则系统的阶跃响应)(2)(3t u et g t -=。
2-11、解：①求)(t r zi ： ∵系统的特征方程为：0)3)(2(652=++=++αααα，∴特征根：21-=α，32-=α ∴t t zi e C eC t r 3221)(--+= (t ≥0) ②求)(t r zs ：t t e A eA t h 3221)(--+= (t ≥0)，可求得：11=A ，12-=A （求解过程略） ∴)()()(32t u e e t h t t ---=∴)(*)()(*)()]()[(*)()(*)()(3232t u e t u e t u e t u e t u e e t u e t h t e t r t t t t t t t zs --------=-==)()2121()()(21)()(3232t u e e e t u e e t u e e t t t t t t t -------+-=---= ③求)(t r ：)(t r =)(t r zi +)(t r zs ++=--)(3221t te C e C )2121(32t t t e e e ---+- t tt e C e C e 3221)21()1(21---++-+= (t ≥0) ∵)()(t u Ce t r t -=，21=C 21=C ∴ 011=-C ， ∴ 11=C0212=+C 212-=C ∴=-)0(r 21211)0(21=-=+=+C C r zi ， ='-)0(r 2123232)0(21-=+-=--='+C C r zi 2-12、解：（1）依题意，得：)(2)(*)()(t u e t h t u t r tzi -=+)()()(t t h t r zi δ=+∴)(2)]()([*)()(t u e t r t t u t r t zi zi -=-+δ)(2)()()()1(t u e t r t u t r t zi zi --=-+∴)()12()()()1(t u e t r t r t zi zi -=---，两边求导得：)()12()(2)()(t e t u e t r t r t t zi ziδ-+-=-'-- )(2)()()(t u e t t r t r t zi zi--=-'δ ∴)(11)(112)()()1(t p p t p t t r p zi δδδ+-=+-=- ∴)()(11)(t u e t p t r t zi -=+=δ （2）∵系统的起始状态保持不变，∴)()(t u e t r t zi -=∵)()()(t t h t r zi δ=+，∴)()()(t u e t t h t--=δ∴)]()([*)()()(*)()()(33t u e t t u e t u e t h t e t r t r t t t zi ----+=+=δ )()()(t u te t u e t u e tt t ----+=)()2(t u e t t --= 2-16、证：∑∑∞-∞=--∞-∞=--=-=k k t k t k t u e k t t u e t r )3()3(*)()()3(δ∑∞-∞=--=k k t k t u e e )3(3 ∵当t-3k>0即3t k <时：u(t-3k)为非零值 又∵0≤t ≤3，∴k 取负整数，则：3003311)(---∞=∞=----===∑∑e e e e e et r t k k k t k t 则t Ae t r -=)(，且311--=e A 。
信号与系统课后习题答案
习 题 一 第一章习题解答基本练习题1-1 解 (a) 基频 =0f GCD （15,6）=3 Hz 。
因此，公共周期3110==f T s 。
(b) )30cos 10(cos 5.0)20cos()10cos()(t t t t t f ππππ+==基频 =0f GCD （5, 15）=5 Hz 。
因此，公共周期5110==f T s 。
(c) 由于两个分量的频率1ω=10π rad/s 、1ω=20 rad/s 的比值是无理数，因此无法找出公共周期。
所以是非周期的。
(d) 两个分量是同频率的，基频 =0f 1/π Hz 。
因此，公共周期π==01f T s 。
1-2 解 (a) 波形如图1-2(a)所示。
显然是功率信号。
t d t f TP T TT ⎰-∞→=2)(21lim16163611lim 22110=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎰⎰⎰∞→t d t d t d T T T W(b) 波形如图1.2(b)所示。
显然是能量信号。
3716112=⨯+⨯=E J (c) 能量信号 1.0101)(lim101025=-===⎰⎰∞∞---∞→T t ttT e dt edt eE J(d) 功率信号，显然有 1=P W1-3 解 周期T=7 ，一个周期的能量为 5624316=⨯+⨯=E J 信号的功率为 8756===T E P W 1-5 解 (a) )(4)2()23(2t tt δδ=+； (b) )5.2(5.0)5.2(5.0)25(5.733-=-=----t e t e t et tδδδ(c) )2(23)2()3sin()2()32sin(πδπδπππδπ+-=++-=++t t t t 题解图1-2(a) 21题解图1-2(b) 21(d) )3()3()(1)2(-=----t e t t et δδε。
1-6 解 (a) 5)3()94()3()4(2-=+-=+-⎰⎰∞∞-∞∞-dt t dt t t δδ(b) 0)4()4(632=+-⎰-dt t t δ(c) 2)]2(2)4(10[)]42(2)4()[6(63632=+++-=+++-⎰⎰--dt t t dt t t t δδδδ(d)3)3(3)(3sin )(1010=⋅=⎰⎰∞-∞-dt t Sa t dt ttt δδ。
信号与系统 习题部分参考答案
（2）[1 + mf (t)]cos(w0t) = cos(w0t) + mf (t) cos(w0 (t)
↔
π [δ
(w
+
w0
)
+
δ
(w
−
w0
)]
+
m 2
{F[
j(w
+
w0
)
+
F[
j(w
−
w0
)]}
（3） f (6 − 3t) = f [−3(t − 2)] ↔ 1 F (− 1 jw)e− j2w
↔ 2π e−a⎜−ω⎜
（4）单边指数信号 ∵ e−atu(t) ↔ 1 a + jw
∴ 1 ↔ 2π e−a(−w)u(−w) a + jt
即 1 ↔ 2π eawu(−w) a + jt
3.20 求下列各傅里叶变换的原函数
（1） F (ω) = δ (ω − ω0 ) （2） F (ω) = u(ω + ω0 ) − u(ω − ω0 )；
sin 2π (t − 1) π (t − 1)
⎡ ⎢ ⎣
sin(π
πt
t
)⎤2
⎥ ⎦
；
2a a2 + t2
,
a
>
0；
（4） 1 ； a+ jt
解：
（1）∵
Gτ
(t
)
↔
tSa(
wτ 2
)
∴
w0
Sa(
w0t 2
)
↔
2π
Gw0
(− w)
令 w0 = 4π
有
4π
信号与系统第三章习题课3
（1） ℱ[ ]=
（2） ℱ[ ]-2ℱ[ ]
（3） ℱ[ ]-2ℱ[ ]
（4）
14．求图3-9所示梯形脉冲的傅里叶变换，并大致画出 情况下该脉冲的频谱图。
解：①利用线性性质
ℱ[ ]-ℱ[ ]
②利用时域卷积定理
令 ， ，其中
则
ℱ[ ]ℱ[ ]
③利用时域积分性质
令 则
另外，求得一阶导数后，也可直接利用积分性质求解：
（4）
（5）因为
8．试分别利用下列几种方法证明 。
（1）利用符号函数 ；
（2）利用矩形脉冲取极限 ；
（3）利用积分定理 ；
（4）利用单边指数函数取极限 。
证明：（1）略
（2）
（3）略
（4）
9．若 的傅里叶变换为
，如图3-7所示，求 并画图。
解：
10．已知信号 ， 的波形如图3-8(a)所示，若有信号 的波形如图3-8(b)所示。求 。
，
④当 时，
15．已知阶跃函数的傅里叶变换为 ；正弦、余弦函数的傅里叶变换为 ； 。求单边正弦 和单边余弦 的傅里叶变换。
解：同Biblioteka 可求：16．求 的傅里叶逆变换。
解： ，
另一种解法：
17．求信号 的傅氏变换。
解：信号周期为：
则 ，
18．信号 ，若对其进行冲激取样，求使频谱不发生混叠的最低取样频率 。
第三章习题
1．图3-1给出冲激序列 。求 的指数傅里叶级数和三角傅里叶级数。
解：
， ，因为偶函数
，上述
2．利用1题的结果求图3-2所示三角波 的三角傅里叶级数。
解：
①利用1题的结果求解：
令
则
，所以
信号与线性系统题解第三章
第三章习题答案da3.1 计算下列各对信号的卷积积分()()()y t x t h t =*：(a) ()()()()tt x t e u t h t e u t αβ==（对αβ≠和αβ=两种情况都做）。
(b) 2()()2(2)(5)()t x t u t u t u t h t e =--+-=(c) ()3()()()1tx t e u t h t u t -==-(d) 5,0()()()(1),0ttte t x t h t u t u t e e t -⎧<⎪==--⎨->⎪⎩(e) []()sin ()(2)()(2)x t t u t u t h t u t π=--=--(f) ()x t 和()h t 如图P3.1(a)所示。
(g) ()x t 和()h t 如图P3.1(b)所示。
图P3.1 解：(a) ()()0()()()(0)t ttty t x t h t eed eed t βτατβαβτττ------=*==>⎰⎰当αβ≠时，()1()()t te y t e u t αβββα----=- 当αβ=时，()()ty t teu t α-=(b) 由图PS3.1(a)知，当1t ≤时，252()2()22(2)2(5)021()22t t t t t y t e d e d e e e ττττ----⎡⎤=-=-+⎣⎦⎰⎰ 当13t ≤≤时，252()2()22(2)2(5)121()22t t t t t y t e d e d e e e ττττ-----⎡⎤=-=-+⎣⎦⎰⎰ 当36t ≤≤时，52()2(5)211()2t t t y t e d e e ττ---⎡⎤=-=-⎣⎦⎰ 当6t >时，()0y t =(c) 由图PS3.1(b)知，当1t ≤时，()0y t = 当1t >时，133(1)1()13t t y t e d e ττ----⎡⎤==-⎣⎦⎰3(1)1()1(1)3t y t e u t --⎡⎤∴=--⎣⎦ (d) 由图PS3.1(d)知： 当0t ≤时，11()tt t t y t e d e e ττ--==-⎰当01t <≤时，055(1)1014()(2)255ttt t t y t e d e e d e e e τττττ-----=+-=+--⎰⎰ 当1t >时，555(1)(1)111()(2)2255t t t t t t y t e e d e e e e τττ------=-=-+-⎰(e) 如下图所示：(f) 令()11()(2)3h t h t t δ⎡⎤=+--⎢⎥⎣⎦，则11()()()(2)3y t x t h t x t =*-- 由图PS3.1(h)知，11424()()()()(21)333tt y t x t h t a b d a t b ττ-=*=+=-+⎰2411()(21)(2)()3333a y tt b a t b at b x t ∴=-+---=+= (g)()x t 是周期信号，由此可推知()()()y t x t h t =*也是周期的，且周期也为2。
信号与系统课后习题参考答案
信号与系统课后习题参考答案1试分别指出以下波形就是属于哪种信号？题图1-11-2试写出题1-1图中信号得函数表达式。
1-3已知信号与波形如题图1-3中所⽰,试作出下列各信号得波形图,并加以标注。
题图1-3⑴⑵⑶⑷⑸⑹⑺⑻⑼1-4已知信号与波形如题图1-4中所⽰,试作出下列各信号得波形图,并加以标注。
题图1-4⑴⑵⑶⑷⑸⑹⑺⑻⑼1-5已知信号得波形如题图1-5所⽰,试作出信号得波形图,并加以标注。
题图1-51-6试画出下列信号得波形图:⑴⑵⑶⑷1-7试画出下列信号得波形图:⑴⑵⑶⑷⑸⑹1-8试求出以下复变函数得模与幅⾓,并画出模与幅⾓得波形图。
⑴⑵⑶⑷1-9已知信号,求出下列信号,并画出它们得波形图。
1-10试作出下列波形得奇分量、偶分量与⾮零区间上得平均分量与交流分量。
题图1-101-11试求下列积分:⑴⑵⑶⑷⑸⑹1-12试求下列积分:⑴⑵⑴(均为常数)⑵⑶⑷⑸⑹⑺⑻1-14如题图1-14中已知⼀线性时不变系统当输⼊为时,响应为。
试做出当输⼊为时,响应得波形图。
题图1-14 1-15已知系统得信号流图如下,试写出各⾃系统得输⼊输出⽅程。
题图1-151-16已知系统⽅程如下,试分别画出她们得系统模拟框图。
⑴⑵⑶1-17已知⼀线性时不变系统⽆起始储能,当输⼊信号时,响应,试求出输⼊分别为与时得系统响应。
第⼆章习题2-1试计算下列各对信号得卷积积分:。
⑴(对与两种情况)⑵⑶⑷⑸⑹2-2试计算下列各对信号得卷积与:。
⑴(对与两种情况)⑵⑶⑷⑸⑹2-3试计算下图中各对信号得卷积积分:,并作出结果得图形。
题图2-32-4试计算下图中各对信号得卷积与:,并作出结果得图形。
题图2-42-5已知,试求:⑴⑵⑶2-7系统如题图2-7所⽰,试求系统得单位冲激响应。
已知其中各⼦系统得单位冲激响应分别为:题图2-72-8设已知LTI 系统得单位冲激响应,试求在激励作⽤下得零状态响应。
2-9⼀LTI 系统如题图2-9所⽰,由三个因果LTI ⼦系统级联⽽成,且已知系统得单位样值响应如图中。
信号系统(第3版)习题解答
《信号与系统》（第3版）习题解析高等教育目录第1章习题解析 (2)第2章习题解析 (6)第3章习题解析 (16)第4章习题解析 (23)第5章习题解析 (31)第6章习题解析 (41)第7章习题解析 (49)第8章习题解析 (55)第1章习题解析1-1 题1-1图示信号中，哪些是连续信号？哪些是离散信号？哪些是周期信号？哪些是非周期信号？哪些是有始信号？(c) (d)题1-1图解 (a)、(c)、(d)为连续信号；(b)为离散信号；(d)为周期信号；其余为非周期信号；(a)、(b)、(c)为有始（因果）信号。
1-2 给定题1-2图示信号f ( t )，试画出下列信号的波形。
[提示：f ( 2t )表示将f ( t )波形压缩，f (2t)表示将f ( t )波形展宽。
](a) 2 f ( t - 2 ) (b) f ( 2t )(c) f ( 2t)(d) f ( -t +1 )题1-2图解 以上各函数的波形如图p1-2所示。
图p1-21-3 如图1-3图示，R 、L 、C 元件可以看成以电流为输入，电压为响应的简单线性系统S R 、S L 、S C ，试写出各系统响应电压与激励电流函数关系的表达式。
题1-3图解 各系统响应与输入的关系可分别表示为)()(t i R t u R R ⋅= tt i Lt u L L d )(d )(= ⎰∞-=tC C i Ct u ττd )(1)(1-4 如题1-4图示系统由加法器、积分器和放大量为-a 的放大器三个子系统组成，系统属于何种联接形式？试写出该系统的微分方程。
S RS LS C题1-4图解 系统为反馈联接形式。
设加法器的输出为x ( t )，由于)()()()(t y a t f t x -+=且)()(,d )()(t y t x t t x t y '==⎰故有)()()(t ay t f t y -='即)()()(t f t ay t y =+'1-5 已知某系统的输入f ( t )与输出y ( t )的关系为y ( t ) = | f ( t )|，试判定该系统是否为线性时不变系统？解 设T 为系统的运算子，则可以表示为)()]([)(t f t f T t y ==不失一般性，设f ( t ) = f 1( t ) + f 2( t )，则)()()]([111t y t f t f T == )()()]([222t y t f t f T ==故有)()()()]([21t y t f t f t f T =+=显然)()()()(2121t f t f t f t f +≠+即不满足可加性，故为非线性时不变系统。
《信号与系统》第三章 北京理工大学
差分方程： y[n] aTy[n] Tx[n]
y[n] 1 y[n 1] T x[n]
1 aT
1 aT
N阶差分方程一般型式：
差分方程的阶数等于其中响应序列y[n]最高序号和 最低序号之差。
N
M
ak y[n k] br x[n r]
k 0
r 0
N
y[n]
ak
y[n k]
N
M
或 ak y[n k] br x[n r]
k 0
r 0
当y[N 1], y[N 2], y[0] 已知，则有唯一解
因果系统： y[N 1] y[N 2] y[0] 0
3 差分方程的解法
A 递推法 例3－1
B经典法 全解＝齐次解＋特解
C零输入与零状态响应法 零输入响应：用齐次解的方法求 零状态响应：卷积和的方法
复数，即
ci | c | e j ci1 | c | e j
c是i一1 对共轭
ciin
ci1
n i1
|
c
||
|n
e j(n )
|
c
||
|n
e j(n )
2 | c || |n cos(n )
P80 例3－2
已知系统的差分方程 y[n] 5y[n 1] 6 y[n 2] x[n] 初始条件 y0[1] 7 / 6, y0[2] 23/ 36 求该系统的零输入响应
M
br x[n r]
k 1 a0
r0 a0
递归方程 递归系统 （反馈系统）
N=0
y[n] M br x[n r] r0 a0
非递归方程 非递归系统 （无反馈系统）
2 差分方程的形式
信号与系统课程习题与解答
《信号与系统》课程习题与解答第三章习题(教材上册第三章p160-p172)3-1～3-3,3-5,3-9,3-12,3-13,3-15～3-17,3-19,3-22,3-24,3-25,3-29,3-32第三章习题解答3-2 周期矩形信号如题图3-2所示。
若：求直流分量大小以及基波、二次和三次谐波的有效值。
解：直流分量⎰⎰--=⨯==2222301105)(1ττv Edt dt t f T a TTf(t)为偶函数，∴0=n b)(2cos )(222T n Sa T E tdt n t f T a n πττωττ⎰-==)(21T n Sa T E a F n n πςτ== 基波 =1a )1.0s i n (20)(2πππττ=T Sa T E有效值 39.11.0sin 22021≈=ππa二次谐波有效值 32.122≈a三次谐波有效值 21.123≈a3-3 若周期矩形信号)(1t f 和 )(2t f 波形如题图3-2所示，)(1t f 的参数为s μτ5.0=，s T μ1=，E=1V ；)(2t f 的参数为s μτ5.1=，s T μ3=，E=3V ，分别求：（1）)(1t f 的谱线间隔和带宽（第一零点位置），频率单位以kHz 表示； （2）)(2t f 的谱线间隔和带宽； （3） )(1t f 和 )(2t f 的基波幅度之比； （4） )(1t f 基波与)(2t f 三次谐波幅度之比。
解：（1）)(1t f s μτ5.0= s T μ1= E=1V 谱线间隔：khZ T 10001==∆带宽：KHzB f 20001==τ(2) )(2t f s μτ5.1= s T μ3= E=3V间隔：khZ T 310001==∆谱线带宽：KHzB f 320001==τ(3) )(1t f 基波幅度：ππτ2)2cos(4201==⎰dt t T E T a )(2t f 基波幅度：ππτ6)2cos(4201==⎰dt t T E T a幅度比：1：3（4） )(2t f 三次谐波幅度：ππτ2)23cos(4203-=⨯=⎰dt t T E T a 幅度比：1：13-5 求题图3-5所示半波余弦信号的傅立叶级数。
信号系统习题解答3版
第3章习题答案3-1 已知周期矩形脉冲信号的重复频率 5 kHzf=，脉宽20 sτ=μ，幅度10VE=，如图题3-1所示。
用可变中心频率的选频回路能否从该周期矩形脉冲信号中选取出5，12，20，50，80及100 kHz频率分量来？要求画出图题3-1所示信号的频谱图。
图题3-1解：5kHzf=，20μsτ=，10VE=，11200T sfμ==，41210fππΩ==频谱图为从频谱图看出，可选出5、20、80kHz的频率分量。
3-3 求图题3-3 所示周期锯齿信号指数形式的傅里叶级数，并大致画出频谱图。
图题3-3解：()f t在一个周期（0，T1）内的表达式为：11()()Ef t t TT=--111110011111()()(1,2,3)2T Tjn t jn tnE jEF f t e dt t T e dt nT T T nπ-Ω-Ω==--=-=±±±⎰⎰L11010011111()()2T T E EF f t dt t T dtT T T==--=⎰⎰傅氏级数为：111122()22244j t j t j t j tE jE jE jE jEf t e e e eππππΩ-ΩΩ-Ω=-+-+-Lnc12(kHz)f5205010015080(1,2,3)2nEF nnπ==±±±L(0)2(0)2nnnπϕπ⎧->⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩频谱图为：3-4 求图题3-4 所示半波余弦信号的傅里叶级数，若10 VE=, 10 kHzf=，大致画出幅度谱。
图题3-4解：由于()f t是偶函数，所以展开式中只有余弦分量，故傅氏级数中0nb=，另由图可知()f t有直流分量，()f t在一个周期（2T-，2T）内的表达式为：111cos4()4TE t tf tTt⎧Ω<⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩其中：112TπΩ=11112401112411()cosT TT TEa f t dt E tdtT Tπ--==Ω=⎰⎰111111241112422()cosT Tjn t jn tT Tn na c f t e dt E t e dtT T-Ω-Ω--===Ω⋅⎰⎰nF2Eπ6Eπ10Eπ1Ω13Ω15Ω1-Ω13-Ω15-ΩLL4Eπ12Ω14Ω8Eπ2E12-Ω14-Ω2π-2πnϕ15-Ω13-Ω1-Ω1Ω13Ω15ΩLL12Ω12-Ω14-Ω14Ω211sin sin 2122cos 3,5,71112n n E E n n n n n πππππ+-⎡⎤⎢⎥=+=-=⎢⎥+--⎢⎥⎣⎦L111211122()2Tj t T E a c f t e dt T -Ω-===⎰所以，()f t 的三角形式的傅里叶级数为：11122()cos cos 2cos 42315EE E E f t t t t πππ=+Ω+Ω-Ω+L3-6 利用信号()f t %的对称性，定性判断图题3-6中各周期信号的傅里叶级数中所含有的频率分量。
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3-1 求图3-1所示对称周期矩形信号的傅利叶级数（三角形式和指数形式）。
图3-1解 由图3-1可知，)(t f 为奇函数，因而00==a a n2112011201)cos(2)sin(242,)sin()(4T T T n t n T n Edt t n E T T dt t n t f T b ωωωπωω-====⎰⎰所以，三角形式的傅利叶级数（FS ）为T t t t E t f πωωωωπ2,)5sin(51)3sin(31)sin(2)(1111=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=指数形式的傅利叶级数（FS ）的系数为⎪⎩⎪⎨⎧±±=-±±==-= ,3,1,0,,4,2,0,021n n jE n jb F n n π所以，指数形式的傅利叶级数为T e jE e jE e jE e jE t f t j t j t j t j πωππππωωωω2,33)(11111=++-+-=--3-2 周期矩形信号如图3-2所示。
若：图3-22τT-2τ-重复频率kHz f 5= 脉宽 s μτ20=幅度 V E 10=求直流分量大小以及基波、二次和三次谐波的有效值。
解 对于图3-2所示的周期矩形信号，其指数形式的傅利叶级数（FS ）的系数⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛====⎰⎰--22sin 12,)(1112212211τωττωππωττωωn Sa T E n n E dt Ee T T dt e t f T F tjn TT t jn n则的指数形式的傅利叶级数（FS ）为∑∑∞-∞=∞-∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛==n tjn n tjn n e n Sa TE eF t f 112)(1ωωτωτ其直流分量为TE n Sa T EF n ττωτ=⎪⎭⎫ ⎝⎛=→2lim100 基波分量的幅度为⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=+-2sin 2111τωπEF F 二次谐波分量的幅度为⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=+-22sin 122τωπEF F 三次谐波分量的幅度为⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=+-23sin 32133τωπE F F 由所给参数kHz f 5=可得s T s rad 441102,/10-⨯==πω将各参数的值代入，可得直流分量大小为V 110210201046=⨯⨯⨯--基波的有效值为())(39.118sin 210101010sin 210264V ≈=⨯⨯⨯- πππ二次谐波分量的有效值为())(32.136sin 251010102sin 21064V ≈=⨯⨯⨯- πππ三次谐波分量的有效值为())(21.1524sin 32101010103sin 2310264V ≈=⨯⨯⨯⨯- πππ3-3 若周期矩形信号)(1t f 和)(2t f 的波形如图3-2所示，)(1t f 的参数为s μτ5.0=，s T μ1= ，V E 1=； )(2t f 的参数为s μτ5.1=，s T μ3= ，V E 3=，分别求：（1）)(1t f 的谱线间隔和带宽（第一零点位置），频率单位以kHz 表示； （2）)(2t f 的谱线间隔和带宽； （3）)(1t f 与)(2t f 的基波幅度之比； （4）)(1t f 基波与)(2t f 三次谐波幅度之比。
解 由题3-2可知，图3-2所示周期矩形波形的傅利叶级数为T e n Sa TE t f tjn πωτωτω2,2)(111=⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∞∞- 且基波幅度为⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅T t E Eππτωπsin 22sin 21 三次谐波幅度为⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅T t E E ππτωπ3sin 3223sin 321 另外，周期信号的频谱是离散的，每两根相邻谱线间的间隔就是基频1ω。
周期矩形信号频谱的包络线是抽样函数，其第一个零点的位置为⎪⎭⎫ ⎝⎛=⇒==τπωπτωτπω2n 2n 211令。
注意，频谱还可以表示为频率f 的函数。
由f πω2=可知，若以f 为频谱图的横轴，则谱线间隔就为，第一个零点的位置就为τ1=f 。
依据以上结论，可得到题中个问题的答案如下： （1）)(1t f 的谱线间隔kHz s T 1000111===μ 带宽（第一零点位置）kHz s20005.011===μτ（2）)(2t f 的谱线间隔kHz s T 31031311⨯===μ 带宽kHz s 310325.111⨯===μτ（3）)(1t f 的基波幅度πμμππ215.0sin 12=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯=s s )(2t f 的基波幅度πμμππ635.1sin 32=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯=s s 因此)(1t f 的基波幅度：)(2t f 基波幅度3:16:2=ππ（4）)(2t f 的三次谐波幅度πμμππ235.13sin 332=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯=s s 因此)(1t f 基波幅度：)(2t f 三次谐波幅度1:12:2=ππ3-4 求图3-3所示周期三角信号的傅利叶级数并画出幅度谱。
图3-32T解 由图3-3可知，该周期三角信号是偶函数，因而0=n b 即)(t f 不包含正弦谐波分量。
2)(2220E dt t f T a TT ==⎰-⎪⎩⎪⎨⎧=-==⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅=====⎰⎰⎰- ,3,1,)(4,4,2,012cos )(8)sin()sin(18)cos(242,2)cos()(22121201201122011221n n En T n T n E dt t n t n t n T E dt t n t TE T TE dt t n t f T a T T TTT n πωωωωωωπωω 从而T t t t E E t f πωωωωπ2,)5cos(51)3cos(31)cos(42)(1121212=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-=幅度谱如图3-4所示。
图3-41113-5求图3-5所示半波余弦信号的傅利叶级数。
若V E 10=，kHz f 10=,大致画出幅度谱。
T图3-54T T -4T -解 由图可知，)(t f 为偶函数，因而0=n bππE dt t T E T dt t f T a TT T T =⎪⎭⎫⎝⎛==⎰⎰--442202cos 1)(1⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-===⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+==⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎰⎰⎰- ,6,4,2,2cos )1(2,7,5,3,01,2121sin 121sin 2)1(cos 2)1(cos 22,)2cos(2cos 4)cos()(2240140221n n n E n n En n n n E dt t T n t T n T E T dt t T n t T E T dt t n t f T a TTTT n ππππππππωππω从而T t t t t t E E t E t E t E t E t E Et f πωωπωπωπωπωπωπωπωπωπωπ2,)8cos(634)6cos(354)4cos(154)2cos(34)cos(2)8cos(632)6cos(352)4cos(152)2cos(32)cos(2)(11111111111=⎥⎦⎤+-+-⎢⎣⎡++=+-+-++=若kHz f V E 10,10==，则幅度谱如图3-6所示。
kHz3-6求图3-7所示周期锯齿信号的指数形式的傅利叶级数，并大致画出频谱图。
图3-7解 图3-7所示周期锯齿信号指数形式的傅利叶级数（FS ）的系数,2,1,22112,)(1012010111±±=-==⋅=⎪⎭⎫⎝⎛+-===---⎰⎰n n jE n j E te jn T E dt e E t T E T Tdt e t f T F T t jn T t jn T t jn n ππωπωωωω从而⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=-+-+-=-- 22cos 212cos 2)2sin(21)sin(244222)(1111221111πωπωπωωπππππωωωωt t E E t t E E e jE e jE e jE e jE E t f tj t j t j t j幅度谱和相位谱分别如图3-8（a ）、（b ）所示。
图3-8(a)(b)3-7利用信号的对称性，定性判断图3-9中各周期信号的傅利叶级数中所含有的频率分量。
(a)图3-9(b)(c)(d)(e)(f)解（a）如图3-9（a）所示。
因为)(tf是偶函数，所以不含正弦波；又因为)(tf是奇谐函数，所以不含直流项和偶次余弦项。
综上，)(tf只含奇次余弦分量。
（b）如图3-9（b）所示。
因为)(tf是奇函数，所以不含正弦波；又因为)(tf是奇谐函数，所以不含偶次余弦项。
综上，)(tf只含奇次余弦分量。
（c）如图3-9（c）所示。
因为)(tf是奇谱函数，所以只包含奇次谐波分量。
（d ）如图3-9（d ）所示。
因为)(t f 是奇函数，所以只包含正弦分量。
（e ）如图3-9（e ）所示。
因为)(t f 是偶函数，所以不含正弦项；又因为)(t f 是偶谐函数)(2t f T t f =⎪⎭⎫⎝⎛+即，所以不含奇次谐波分量。
综上，)(t f 只含有直流和偶次余弦分量。
(f)如图3-9（f ）所示。
因为)(t f 是偶谐波函数，所以不包含奇次谐波分含量；又因为21)(-t f 是奇函数，所以21)(-t f 只包含正弦分量。
综上，)(t f 只包含直流和偶次谐波的正弦分量。
3-8 求图3-10中两种周期信号的傅利叶级数。
(a)图3-10(b)解 （a ）如图3-10（a ）所示。
此题中的)(t f 与题3-4中的信号（记为)(1t f ）在图形上相同，只是平移了4T ，即⎪⎭⎫ ⎝⎛+=4)(1T t f t f由题3-4知，T t t t E E t f πωωωωπ2,)5cos(51)3cos(31)cos(42)(11212121=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-=则T t t t t E E t t t t E E t t t E E T t T t T t E E t f πωωωωωπωωωωππωπωπωπωωωπ2,)7sin(71)5sin(51)3sin(31)sin(42)7sin(71)5sin(51)3sin(31)sin(4225cos 51233cos 312cos 4245cos 5143cos 314cos 42)(11212121212121212121212121212=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=（b ）如图3-10（b ）所示。