2019年高考真题——理科数学(北京卷) Word版无答案
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2019年普通高等学校招生全国统一考试
数 学（理）（北京卷）
第一部分（选择题 共40分）
一、 选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项。
(1)
（A）3
（B）5
（C）3
（D）5
（2）执行如图所示的程序框图，输出的s值为
（A）1
（B）2
（C）3
（D）4
（3）已知直线l的参数方程为x=1+3ty=2+4tìíî （t为参数），则点（1，0）
到直线l的距离是
2
（A）15
（B）25
（C）45
（D）65
（4）已知椭圆2x2a+2y2b=1（a>b>0）的离心率为12，则
（A）a2=2b
2.
（B）3a2=4b
2.
（C）a=2b
（D）3a=4b
（5）若x,y满足的最大值为
（A）-7 （B）1
（C）5 （D）7
（6）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述。两颗星的星等与亮度满足
m
2-m1
=52lg
E
1
E
2
，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1,2）。已知太阳的星等为-26.7，
天狼星的星等为-1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为
（A）1010.1 （B）10.1
（C）lg10.1 （D）10-10.1
（7）设点A,B,C不共线，则“与的夹角是锐角”是“”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
（8）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C:x2+y2=1+xy就是其中之一（如
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图）。给出下列三个结论：
① 曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
② 曲线C上任意一点到原点的距离都不超过2;
③ 曲线C所围城的“心形”区域的面积小于3.
其中，所有正确结论的序号是
（A）① （B）②
（C）①② （D）①②③
第二部分(非选择题共10分)
二、填空题共6小题,每小题5分，共30分。
(9) 函数f(x)=sin22x的最小正周期是 ________。
(10) 设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2=-3，S5=-10,则a3= ________ . Sn 的最小值为
_______。
(11) 某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得,其三视图如图所示。如果网格纸上小正
方形的边长为1，那么该几何体的体积为________。
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(12) 已知l、m是平面a外的两条不同直线.给出下列三个论断:
①l⊥m； ② m∥a； ③l⊥a
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题: ______ 。
(13) 设函数f(x)=ex+ae-x (a为常数)，若f(x)为奇函数,则a=______； 若f(x)是R上的增
函数，则a的取值范围是 ________。
(14)李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃。价
格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒，为增加销量，李明对这四种水果进行促销：
一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元，每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得
到支付款的80%。
①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付 _______ 元：
②在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值
为________ 。
三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。。
（15）（本小题13分）
在中，a=3，b-c=2 ，1cos2B ．
（Ⅰ）求b,c的值；
（Ⅱ）求sin(B-C) 的值。
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（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求二面角F-AE-P的余弦值;
（Ⅲ）设点G在PB上，且PGPB=23.判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由.
（17）（本小题13分）
改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变。近年来，移动支付已成为主要支
付方式之一。为了解某校学生上个月A,B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中
随机抽取了100人，发现样本中A,B两种支付方式都不使用的有5人，样本仅使用A和
仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：
支付金额(元) 支付方式 (0,1000] (1000,2000] 大于2000
仅使用A 18人 9人 3人
仅使用B 10人 14人 1人
（Ⅰ）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A,B两个支付方式都使用的概率；
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（Ⅱ）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支
付金额大于1000元的人数，求X的分布列和数学期望；
（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化，现从样本仅使用A的学生中，随机
抽查3人，发现他们本月的支付金额大于2000元。根据抽查结果，能否认为样本仅使用A
的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由。
(18) （本小题14分）
已知抛物线C:x2=-2py经过点(2，-1)。
(I) 求抛物线C的方程及其准线方程；
(II) 设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直
线y=-1分别交直线OM，ON于点A和点B，求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两
上定点。
(19) （本小题13分）
已知函数f(x)=14x3-x2+x。
(I) 求曲线y=f(x)的斜率为1的切线方程；
(II)
(III) 设，记F(x)在区间[-2，4]上的最大值为
M(a)，当M(a)最小时，求a的值。
(20) （本小题13分） ，则称新数列为{an}的长度为m的递增子列。规定： (II) 已知数列{an}的长度为P的递增子列的末项的最小值为 ，长度为q的递增子列的末 项的最小值为ano，若p (III) 设无穷数列{an}的各项均为正整数，且任意两项均不相等，若{an}的长度为s的递增
已知数列{an}，从中选取第i1项、第i2项、…、第im项(i1
数列{an}的任意一项都是{an}的长度为1的递增子列。
(I) 写出数列1,8,3,7,5,6,9的一个长度为4的递增子列；
子列末项的最小值为2s-1，且长度为s末项为2s-1的递增子列恰有2s-1个（s=1,2,…），
求数列{an}的通项公式。
2019年高考真题理科数学(北京卷)含解析
2019 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）
理科数学
本试卷共 5 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上， 在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共 40 分） 一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选 出符合题目要求的一项。 1.已知复数 z=2+i，则 z z
点到坐标原点距离的最值和范围，利用图形的对称性和整点的坐标可确定图形面积的范围.
【
详
解
】
由
x2 y2 1 x y
得,
y2
x
y
1
x2
,
y
|
x | 2 2
1
3x2 4
,1
3x2 4
0, x2
4 3
,
所以 x 可为的整数有 0,-1,1,从而曲线 C : x2 y2 1 x y 恰好经过
(0,1),(0,-1),(1,0),(1,1), (-1,0),(-1,1)六个整点,结论①正确.
（2）根据 y＜120 、 y 120 分别探究.
【详解】（1）x=10，顾客一次购买草莓和西瓜各一盒， 需要支付（60+80）-10=130 元. （2）设顾客一次购买水得到的金额为 y×80%，符合要求.
y 120 元时，有（y-x）×80%≥y×70%成立，
a 的取值范围.
【详解】若函数 f x ex aex 为奇函数,则 f x f x , ex aex ex aex ， a 1 ex ex 0 对任意的 x 恒成立.
若函数 f x ex aex 是 R 上的增函数,则 f ' x ex aex 0 恒成
2019年北京卷数学(理)高考真题(选择题和填空题)详解版
绝密★本科目考试启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知复数z=2+i，则z z⋅=（A（B（C）3 （D）5考点：复数的基本概念及其四则运算概念：①；②两个实部相等,虚部互为相反数的复数互为共轭复数解析：因为所以所以z ⋅⎺z = (2+i) (2-i)=22-i2=4-(-1)=5，答案：D（2）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（A）1 （B）2 （C）3 （D）4考点：考查程序框图的应用，考查学生逻辑推理能力、运算求解能力解析：解决此类问题最常用的方法就是代入求值法。
当k=1，s=1时，，不满足k≥3，进入循环；当k =2，s =2时，，不满足k ≥3，进入循环； 当k =3，s =2时，， 满足k ≥3，退出循环；输出s =2； 答案：B（3）已知直线l 的参数方程为13,24x t y t =+=+⎧⎨⎩（t 为参数），则点（1，0）到直线l 的距离是（A ）15（B ）25（C ）45（D ）65考点：考查点到线的距离【直线与方程】和参数方程与一般方程的转化 概念：平面中点(m,n )到直线ax+by+c =0的距离为d解析：首先，将直线l 由参数方程转变为一般方程。
由x=1+3t 可得,将t 代入至y=2+4t 中可得转化成一般方程为4x-3y+2 =0其次，根据点到直线的距离公式，代入公式算出数值即可答案：D（4）已知椭圆2222 1x y a b+=（a ＞b ＞0）的离心率为12，则（A ）a 2=2b 2（B ）3a 2=4b2（C ）a =2b （D ）3a =4b考点：椭圆的性质概念：①椭圆（a ＞b ＞0）的离心率解析：根据椭圆方程的公式可知：推出推出3a 2=4b 2 答案：B（5）若x ，y 满足|1|x y ≤-，且y ≥−1，则3x+y 的最大值为 （A ）−7（B ）1（C ）5（D ）7考点：不等式的计算及应用解析：解题思路：作图法。
2019年北京卷理科数学高考真题(原卷 答案)
绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)理科数学本试卷共20题，共150分。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知复数z =2+i ，则z z ⋅= （A ）3（B ）5（C ）3 （D ）5（2）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（A ）1 （B ）2 （C ）3（D ）4（3）已知直线l 的参数方程为13,24x t y t =+=+⎧⎨⎩（t 为参数），则点（1，0）到直线l 的距离是（A ）15（B ）25（C ）45（D ）65（4）已知椭圆2222 1x y a b+=（a ＞b ＞0）的离心率为12，则（A ）a 2=2b 2 （B ）3a 2=4b 2 （C ）a =2b（D ）3a =4b （5）若x ，y 满足|1|x y ≤−，且y ≥−1，则3x+y 的最大值为 （A ）−7 （B ）1 （C ）5（D ）7（6）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m 2−m 1=52lg 21E E ，其中星等为m k 的星的亮度为E k （k =1，2）．已知太阳的星等是−26.7，天狼星的星等是−1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为 （A ）1010.1 （B ）10.1 （C ）lg10.1 （D ）10−10.1 （7）设点A ，B ，C 不共线，则“AB 与AC 的夹角为锐角”是“||||AB AC BC +>”的 （A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（8）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ：221||x y x y +=+就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ②曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过2；③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3． 其中，所有正确结论的序号是 （A ）① （B ）② （C ）①②（D ）①②③第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2019年高考真题北京卷理科数学试卷(详解版)(加密版)
2019 年高考真题北京卷理科数学试卷一、选择题（本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分）1.已知复数z = 2 + i，则z⋅ z =（）．A.√3B.√5C.3D.5【答案】D【解析】复数z = 2 + i，∴z= 2 − i，∴z⋅ z = (2 + i)(2 − i)= 4 − i2 = 5．故选D ．2.执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）．A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】模拟程序的运行，可得k = 1，s = 1；s = 2，不满足条件k⩾ 3，执行循环体，k = 2，s = 2，不满足条件k⩾ 3，执行循环体，k = 3，s = 2，此时，满足条件k⩾ 3，退出循环，输出s的值为2．故选：B．3.己知直线l 的参数方程为{x = 1 + 3t（t 为参数），则点(1,0)到直线l 的距离是（ ）．y = 2 + 4tA.1 B.2 C.4 D.6 5 5 5 5【答案】 D【解析】 l 的参数方程{x = 1 + 3t ，y = 2 + 4t∴l 的一般方程：4x − 3y + 2 = 0，∴点(1,0)到l 的距离，d =|4+2| √42+32故选D ．= 6． 54.已知椭圆x 2+ y 2= 1（a > b > 0）的离心率为1，则（ ）．a 2b 22A.a 2 = 2b 2B.3a 2 = 4b 2C.a = 2bD.3a = 4b【答案】 B【解析】 由题意，c = 1，得c 2 = 1，则a 2−b 2 = 1，a2a 24a 24∴ 4a 2 − 4b 2 = a 2，即3a 2 = 4b 2． 故选：B ．5.若x ，y 满足|x | ⩽ 1 − y ，且y ⩾ −1，则3x + y 的最大值为（ ）．A.−7B.1C.5D.7【答案】 C【解析】 由{|x | ⩽ 1 − yy ⩾ −1作出可行域如图，联立{y = −1x + y − 1 = 0，解得A (2, −1)，令z = 3x + y ，化为y = −3x + z ，由图可知，当直线y = −3x + z 过点A 时，z 有最大值为3 × 2 − 1 = 5．故选：C．6.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2 −m1 =5 lg E1，其中星等为m的星的亮度为E (k = 1,2)．已知太阳的星等是−26.7，天狼星的星等是2 E2k k−1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（）．A.1010.1B.10.1C.lg 10.1D.10−10.1【答案】A【解析】设太阳的亮度为E1，天狼星的亮度为E2，由题得，−1.45 − (−26.7) =5 lg2E1，E2∴lg E1E2= 25.25 × 25= 10.1，∴E1 = 1010.1 ．E2故选A．→→→→→7.设点A，B，C不共线，则“AB与AC的夹角为锐角”是“|AB + AC| > |BC|”的（）．A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】A，B，C不共线，→→→BC = AC− AB，→→→若|AB + AC| > |BC|，→→→→即|AB + AC| > |AC− AB|，→→→→∴(AB + AC)2 > (AC− AB)2，→→→→→→→→即AB2 + AC2 + 2AB⋅ AC > AB2 + AC2− 2AB⋅ AC，→→4AB⋅ AC > 0，→→|AB| ⋅ |AC| ⋅ cos A > 0，∴cos A > 0，→→即AB与AC为锐角或同向共线，∴A，B，C不共线，→→∴AB与AC夹角为锐角，→→→→→∴“AB与AC的夹角是锐角”是“|AB + AC| > |BC|”的充要条件．故选C．8.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C: x2 + y2 = 1 + |x|y就是其中之一（如图），给出下列三个结论：①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过√2；③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3．其中，所有正确结论的序号是（）．A.①B.②C.①②D.①②③【答案】C【解析】将x换成−x方程不变，所以图形关于y轴对称，当x = 0时，代入得y2 = 1，∴ y = ±1，即曲线经过(0,1)，(0, −1)；当x > 0时，方程变为y2− xy + x2− 1 = 0，所以Δ = x2− 4(x2− 1) ⩾ 0，解得x∈ (0，2√3]，3所以x只能取整数1，当x = 1时，y2− y = 0，解得y = 0或y = 1，即曲线经过(1,0)，(1,1)，根据对称性可得曲线还经过(−1,0)，(−1,1)，故曲线一共经过6个整点，故①正确．当x > 0时，由x2 + y2 = 1 + xy得x2 + y2− 1 = xy⩽x 2+y2，（当x = y时取等），2∴ x2 + y2⩽ 2，∴ √x2 + y2 ⩽√2，即曲线C上y轴右边的点到原点的距离不超过√2，根据对称性可得：曲线C上任意一点到原点的距离都不超过√2；故②正确．在x 轴上图形面积大于矩形面积= 1 × 2 = 2，x 轴下方的面积大于等腰直角三角形的面积= 12× 2 × 1 = 1，因此曲线C 所围成的“心形”区域的面积大于2 + 1 = 3，故③错误．故选C ．二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）9.函数f (x ) = sin 22x 的最小正周期是 ．【答案】π 2【解析】 f (x ) = sin 22x=1−cos 4x2 = − 12cos 4x + 1，2∴最小正周期T = 2π = π．42故答案为：π．210.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2 = −3，S 5 = −10，则a 5 = ，S n 的最小值为．【答案】 0 −10【解析】 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2 = −3，S 5 = −10，a 1 + d = −3∴ {5a+ 5×4 d = −10 ，2解得a 1 = −4，d = 1，∴ a 5 = a 1 + 4d = −4 + 4 × 1 = 0，S = n a+n (n−1) d = −4n +n (n−1)19 281，n12= (n − ) −22 2 8∴ n = 4或n = 5时，S n 取最小值为S 4 = S 5 = −10． 故答案为：0，−10．11. 某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为 ．1。
2019年高考理科数学北京卷理数(附参考答案和详解)
绝密★启用前 6月7日15:00-17:002019年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（理工农医类）总分：150分考试时间：120分钟★祝考试顺利★注意事项：1、本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
2、选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸、答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸、答题卡上的非答题区域均无效。
4、考试结束后，将本试卷和答题卡一并上交。
第I卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.（2019北京卷·理）已知复数2iz=+，则z z⋅=（）A.3B.5C.3D.5【解析】因为2iz z⋅=+⋅-=.故选D.z=+，所以2iz=-，所以(2i)(2i)5【答案】D2.（2019北京卷·理）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）A.1B.2C.3D.4【解析】1,1k s ==；第一次循环：2s =，判断3,2k k <=；第二次循环：2s =，判断3,3k k <=；第三次循环：2s =，判断3k =.故输出2，故选B. 【答案】B3.（2019北京卷·理）已知直线l 的参数方程为13,24x t y t=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），则点(1,0)到直线l 的距离是（ ）A.15B.25C.45D.65【解析】由题意可知直线l 的普通方程为4320x y -+=，由点到直线的距离公式可得点(1,0)到直线l的距离65d ==.故选D. 【答案】D4.（2019北京卷·理）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为12，则（ ）A.222a b =B.2234a b =C.2a b =D.34a b =【解析】因为椭圆的离心率为12c e a ==，所以224a c =.又222a b c =+，所以2234a b =.故选B. 【答案】B5.（2019北京卷·理）若x ，y 满足||1x y ≤-，且1y ≥-，则3x y +的最大值为（ ）A.7-B.1C.5D.7【解析】由||1x y ≤-，且1y ≥-，得10,10,1.x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩作出可行域如图阴影部分所示.设3z x y =+，则3y x z =-+，作直线0:3l y x =-，并进行平移.显然当0l 经过点(2,1)A -时，z 取得最大值，max 3215z =⨯-=.故选C. 【答案】C6.（2019北京卷·理）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足12125lg2E m m E -=，其中星等为k m 的星的亮度为(1,2)k E k =．已知太阳的星等是26.7-，天狼星的星等是 1.45-，则太阳与天狼星的亮度的比值为（ ）A.10.110B.10.1C.lg10.1D.10.110-【解析】由题意知，126.7m =-，2 1.45m =-，代入所给公式得1251.45(26.7)lg 2EE ---=，所以12lg10.1E E =，所以10.11210EE =.故选A. 【答案】A7.（2019北京卷·理）设点A ，B ，C 不共线，则“AB 与AC 的夹角为锐角”是“AB AC BC +>”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】因为设点A ，B ，C 不共线，由向量加法的三角形法则，可知BC AC AB =-，所以||||AB AC BC +>等价于||||AB AC AC AB +>-，因模为正，故不等号两边平方得22222||||cos 2||||cos AB AC AB AC AC AB AC AB θθ++⋅⋅>+-⋅⋅（θ为AB 与AC 的夹角），整理得4||||cos 0AB AC θ⋅⋅>，故cos 0θ>，即θ为锐角.又以上推理过程可逆，所以“AB 与AC 的夹角为锐角”是“AB AC BC +>”的充分必要条件.故选C. 【答案】C8.（2019北京卷·理）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线22:1||C x y x y +=+就是其中之一（如图）．给出下列三个结论： ①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ②曲线C③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3．其中，所有正确结论的序号是（ ）A.①B.②C.①②D.①②③【解析】由221||x y x y +=+，当0x =时，1y =±；当0y =时，1x =±；当1y =时，01x =±，.故曲线C 恰好经过6个整点：(0,1)A ，(0,1)B -，(1,0)C ，(1,1)D ，(1,0)E -，(1,1)F -，所以①正确.由基本不等式，当0y >时，22221||1||12x y x y x y xy ++=+=+≤+，所以222x y +≤222x y +≤②正确.如图，由①知矩形CDFE 的面积为2，△BCE 的面积为1，所以曲线C 所围成的“心形”区域的面积大于3，故③错误.故选C. 【答案】C第Ⅱ卷二、填空题：本题共6小题，每小题5分。
2019年北京高考理科数学试题答案解析
2019年高考北京卷理科数学试题解析1.已知复数z =2+i，则z z ⋅=A.B.C.3D.5【答案】D【解析】∵z 2i,z z (2i)(2i)5=+⋅=+-=故选D.2.执行如图所示的程序框图，输出的s 值为A.1B.2C.3D.4【答案】B根据程序框图中的条件逐次运算即可.【解析】运行第一次，=1k ，2212312s ⨯==⨯-，运行第二次，2k =，2222322s ⨯==⨯-，运行第三次，3k =，2222322s ⨯==⨯-，结束循环，输出=2s ，故选B .3.已知直线l 的参数方程为13,24x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），则点（1,0）到直线l 的距离是A.15B.25C.45D.65【答案】D首先将参数方程化为直角坐标方程，然后利用点到直线距离公式求解距离即可.【解析】直线l 的普通方程为()()41320x y ---=,即4320x y -+=,点()1,0到直线l 的距离65d ==,故选D.4.已知椭圆2222 1x y a b+=（a ＞b ＞0）的离心率为12，则A.a 2=2b 2B.3a 2=4b 2C.a =2bD.3a =4b【答案】B由题意利用离心率的定义和,,a b c 的关系可得满足题意的等式.【解析】椭圆的离心率2221,2c e c a b a ===-,化简得2234a b =,故选B.5.若x ，y 满足|1|x y ≤-，且y ≥−1，则3x+y 的最大值为A.−7 B.1C.5D.7【答案】C首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义确定其最值即可.【解析】由题意1,11yy x y -≤⎧⎨-≤≤-⎩作出可行域如图阴影部分所示.设3,3z x y y z x =+=-,当直线0:3l y z x =-经过点()2,1-时,z 取最大值5.故选C.6.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足212152–lg E m m E =，其中星等为m k 的星的亮度为E k （k =1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为A.1010.1 B.10.1C.lg10.1D.10–10.1【答案】D 先求出12lgE E ，然后将对数式换为指数式求12E E ，再求12E E .【解析】两颗星的星等与亮度满足12125lg 2E m m E -=,令2 1.45m =-，126.7m =-，()1212221g(1.4526.7)10.155E m m E =-=-+=，10.110.112211010E EE E -=⋅=，故选D.7.设点A ，B ，C 不共线，则“AB 与AC的夹角为锐角”是“||||AB AC BC +> ”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C由题意结合向量的减法公式和向量的运算法则考查充分性和必要性是否成立即可.【解析】∵A､B､C 三点不共线,∴|AB +AC |>|BC |⇔|AB +AC |>|AB -AC|⇔|AB +AC |2>|AB -AC |2AB ⇔•AC >0AB ⇔与AC的夹角为锐角.故“AB与AC 的夹角为锐角”是“|AB+AC|>|BC|”的充分必要条件,故选C.8.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ：221||x y x y +=+就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C ；③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3.其中，所有正确结论的序号是A.①B.②C.①②D.①②③【答案】C将所给方程进行等价变形确定x 的范围可得整点坐标和个数，结合均值不等式可得曲线上的点到坐标原点距离的最值和范围，利用图形的对称性和整点的坐标可确定图形面积的范围.【解析】由221x y x y +=+得,221y x y x -=-,2222||3341,10,2443x x x y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭,所以x 可为的整数有0,-1,1,从而曲线22:1C x y x y +=+恰好经过(0,1),(0,-1),(1,0),(1,1),(-1,0),(-1,1)六个整点,结论①正确.由221x y x y +=+得,222212x y x y+++,解得222x y +≤,所以曲线C 上任意一点到原.结论②正确.如图所示,易知()()()()0,1,1,0,1,1,,0,1A B C D -,四边形ABCD 的面积13111122ABCD S =⨯⨯+⨯=,很明显“心形”区域的面积大于2ABCD S ,即“心形”区域的面积大于3,说法③错误.故选C.9.函数f (x )=sin 22x 的最小正周期是__________．【答案】2π.将所给的函数利用降幂公式进行恒等变形，然后求解其最小正周期即可.【解析】函数()2sin 2f x x ==142cos x -,周期为2π10.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2=−3，S 5=−10，则a 5=__________，S n 的最小值为__________．【答案】(1).0.(2).-10.首先确定公差,然后由通项公式可得5a 的值，进一步研究数列中正项､负项的变化规律,得到和的最小值.【解析】等差数列{}n a 中,53510S a ==-,得322,3a a =-=-,公差321d a a =-=,5320a a d =+=,由等差数列{}n a 的性质得5n ≤时,0n a ≤,6n ≥时,n a 大于0,所以n S 的最小值为4S 或5S ,即为10-.【迁移】本题考查等差数列的通项公式､求和公式､等差数列的性质,难度不大,注重重要知识､基础知识､基本运算能力的考查.11.某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为__________．【答案】40.画出三视图对应的几何体，应用割补法求几何体的体积.【解析】在正方体中还原该几何体，如图所示几何体的体积V=43-12（2+4）×2×4=40【迁移】易错点有二，一是不能正确还原几何体；二是计算体积有误.为避免出错，应注重多观察、细心算.12.已知l，m是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l⊥m；②m∥α；③l⊥α．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．【答案】如果l ⊥α，m ∥α，则l ⊥m .将所给论断，分别作为条件、结论加以分析.【解析】将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题：（1）如果l ⊥α，m ∥α，则l ⊥m .正确；（2）如果l ⊥α，l ⊥m ，则m ∥α.不正确，有可能m 在平面α内；（3）如果l ⊥m ，m ∥α，则l ⊥α.不正确，有可能l 与α斜交、l ∥α.【迁移】本题主要考查空间线面的位置关系、命题、逻辑推理能力及空间想象能力.13.设函数f （x ）=e x +a e −x （a 为常数）．若f （x ）为奇函数，则a =________；若f （x ）是R 上的增函数，则a 的取值范围是___________．【答案】(1).-1;(2).(],0-∞.首先由奇函数的定义得到关于a 的恒等式，据此可得a 的值，然后利用导函数的解析式可得a 的取值范围.【解析】若函数()xxf x e ae -=+为奇函数,则()()(),xx x x f x f x eae e ae ---=-+=-+，()()1 0x x a e e -++=对任意的x 恒成立.若函数()xxf x e ae -=+是R 上的增函数,则()' 0xxf x e ae-=-≥恒成立,2,0x a e a ≤≤.即实数a 的取值范围是(],0-∞【迁移】本题考查函数的奇偶性､单调性､利用单调性确定参数的范围.解答过程中,需利用转化与化归思想,转化成恒成立问题.注重重点知识､基础知识､基本运算能力的考查.14.李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x =10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为__________．【答案】(1).130.(2).15.（1）将购买的草莓和西瓜加钱与120进行比较，再根据促销规则可的结果；（2）根据120y ＜、120y ≥分别探究.【解析】（1）x =10，顾客一次购买草莓和西瓜各一盒，需要支付（60+80）-10=130元.（2）设顾客一次购买水果的促销前总价为y 元，120y ＜元时，李明得到的金额为y ×80%，符合要求.120y ≥元时，有（y -x ）×80%≥y ×70%成立，即8（y -x ）≥7y ，x ≤8y ，即x ≤（8y）min =15元.所以x 的最大值为15.【迁移】本题主要考查不等式的概念与性质、数学的应用意识、数学式子变形与运算求解能力，有一定难度.三、解答题共6小题，共80分。
2019高考数学(理)试题精校精析(北京卷)(纯word书稿)
2019高考数学（理）试题精校精析（北京卷）（纯word 书稿）1、[2018·北京卷]集合A ＝{x ∈|3x ＋2>0}，B ＝{x ∈|(x ＋1)(x －3)>0}，那么A ∩B ＝()A 、(－∞，－1)B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1，－23 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，3D 、(3，＋∞)1、D[解析]此题考查集合的表示、集合交集运算和一元一次、二次不等式求解，考查学生基础知识的掌握情况，属于基础题、因为A ＝{x |3x ＋2>0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x >－23 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，＋∞，B ＝{x |x <－1或x >3}＝(－∞，－1)∪(3，＋∞)，所以A ∩B ＝(3，＋∞)，答案为D.2、[2018·北京卷]设不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，那么此点到坐标原点的距离大于2的概率是()A.π4B.π－22C.π6D.4－π42、D[解析]此题考查了线性规划、圆的概念、圆的面积公式以及几何概型公式等基础知识，考查学生的实际应用能力，灵活反应能力、设事件A ：点到坐标原点的距离大于2.如图1－1，P (A )＝S 2S ＝S －S 1S ＝4－π4.3、[2018·北京卷]设a ，b ∈，“a ＝0”是“复数a ＋b i 是纯虚数”的() A 、充分而不必要条件B 、必要而不充分条件 C 、充分必要条件D 、既不充分也不必要条件3、B[解析]此题考查了简易逻辑、纯虚数的定义以及复数运算等基础知识，考查学生基础知识的掌握情况、∵假设a ＝0，那么复数a ＋b i 是实数(b ＝0)或纯虚数(b ≠0)、 假设复数a ＋b i 是纯虚数那么a ＝0.综上，a ，b ∈，“a ＝0”是“复数a ＋b i 是纯虚数”的必要而不充分条件、4、[2018·北京卷]执行如图1－2所示的程序框图，输出的S 值为()A、2B、4C、8D、164、C[解析]此题考查了循环结构的流程图，简单的指数幂计算等基础知识，考查了学生的读图能力以及数学语言转译水平、根据循环，k＝0，S＝1；k＝1，S＝2；k＝2；S＝8，当k＝3，时，输出S ＝8.图1－35、[2018·北京卷]如图1－3，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E，那么()A、CE·CB＝AD·DBB、CE·CB＝AD·ABC、AD·AB＝CD2D、CE·EB＝CD25、A[解析]此题考查了平面几何圆与三角形，特别是重点考查了射影定理等知识，考查学生数形转换的能力、对于A，CE·CB＝CD2＝AD·DB；对于B，CE·CB＝CD2≠AC2＝AD·AB；对于C，CD2＝AD·DB≠AD·AB；对于D，ED2＝CE·EB≠CD2.6、[2018·北京卷]从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为()A、24B、18C、12D、66、B[解析]此题考查排列组合计数的基础知识，考查分析问题和解决问题的能力，锻炼学生灵活处理问题的能力、法一：(直接法)此题可以理解为选出三个数，放在三个位置，要求末尾必须放奇数，如果选到了0这个数，这个数不能放在首位，所以n＝C23C12A22＋C23C12＝12＋6＝18；法二：(间接法)奇数的个数为n＝C13C12C12A22－C13C12＝18.7、[2018·北京卷]某三棱锥的三视图如图1－4所示，该三棱锥的表面积是()－4A 、28＋65B 、30＋6 5C 、56＋125D 、60＋12 57、B[解析]此题考查的三棱锥的三视图与表面积公式，考查学生对数据的运算处理能力和空间想象能力、由三视图可知，几何体为一个侧面和底面垂直的三棱锥，如下图，可知S 底面＝12×5×4＝10，S 后＝12×5×4＝10，S 左＝12×6×25＝65，S 右＝12×4×5＝10，所以S 表＝10×3＋65＝30＋8、[2018·北京卷]某棵果树前n 年的总产量S n 与n 之间的关系如图1－6所示、从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高，m 值为()A 、5B 、7C 、9D 、118、C[解析]此题考查利用函数图像识别函数值的变化趋势，也就是函数增减速度的快慢，检查学生从现象中提炼本质的数学能力、法一：因为随着n 的增大，S n 在增大，要使S nn 取得最大值，只要让随着n 的增大S n ＋1－S n 的值超过S n ＋1－S 1n (平均变化)的加入即可，S n ＋1－S n 的值不超过S n ＋1－S 1n (平均变化)的舍去，由图像可知，6,7,8,9这几年的改变量较大，所以应该加入，到第10,11年的时候，改变量明显变小，所以不应该加入，故答案为C.法二：假设S m m 是S n n 取的最大值，所以只要S m m >S m ＋1m ＋1即可，也就是S m －0m －0>S m ＋1－0m ＋1－0，即可以看作点Q m (m ，S m )与O (0,0)连线的斜率大于点Q m ＋1(m ＋1，S m ＋1)与O (0,0)连线的斜率，所以观察可知到第Q 9(9，S 9)与O (0,0)连线的斜率开始大于点Q 10(10，S 10)与O (0,0)连线的斜率、答案为C.9、[2018·北京卷]直线⎩⎨⎧ x ＝2＋t ，y ＝－1－t (t 为参数)与曲线⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α(α为参数)的交点个数为________、9、2[解析]此题主要考查直线和圆的位置关系，考查参数方程和普通方程之间的转化等基础知识，考查数形结合思想的运用、方程转化为普通方程，直线为x ＋y ＝1，圆为x 2＋y 2＝9，法一：圆心到直线的距离为d ＝|1|2＝12<3，所以直线与圆相交，答案为2.法二：联立方程组⎩⎨⎧x 2＋y 2＝9，x ＋y ＝1，消去y 可得x 2－x －4＝0，Δ>0，所以直线和圆相交，答案为2.10、[2018·北京卷]{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，假设a 1＝12，S 2＝a 3，那么a 2＝________.10、1[解析]此题考查等差数列基本公式和基础运算，设等差数列{a n }的公差为d ，由S 2＝a 3可得，a 1＝a 3－a 2＝d ＝12，所以a 2＝2d ＝2×12＝1.11、[2018·北京卷]在△ABC 中，假设a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝－14，那么b ＝________.11、4[解析]此题考查正、余弦定理和解三角形等基础知识，考查对数据的运算能力、cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－14，可得cos B ＝4＋c －b c ＋b 4c ＝－14，4＋7c －b c＝－1,8c －7b ＋4＝0，结合b ＋c ＝7，可得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝4，c ＝3，答案为4.12、[2018·北京卷]在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与该抛物线相交于A ，B 两点，其中点A 在x 轴上方，假设直线l 的倾斜角为60°，那么△OAF 的面积为________、12.3[解析]此题考查抛物线方程、抛物线简单几何性质以及直线和抛物线的位置关系以及三角形面积公式，考查数形结合及转化化归思想、抛物线y 2＝4x 的焦点F (1,0)，直线l 的斜率为tan600＝3，所以直线l 的方程为y ＝3x －3，将直线l 的方程和抛物线方程联立⎩⎨⎧y ＝3x －3，y 2＝4x ，可得3x 2－10x ＋3＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由点A 在x 轴上方，所以A 点在第一象限，那么x 1＝3，y 1＝2 3.法一：|AF |＝x 1＋1＝4，O 点到直线AB 的距离为d ＝32，所以S ΔFOA ＝12×4×32＝ 3.法二：A (3,23)，所以S ΔFOA ＝12×1×23＝ 3.13、[2018·北京卷]正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，那么DE →·CB →的值为________.DE →·DC →的最大值为________、 13、11[解析]此题考查平面向量的数量积，平面向量的投影等基础知识，考查学生对平面数量积的理解，属于基础题、法一：投影法：设向量DE →，DA →的夹角为θ，那么DE →·CB →＝DE →·DA →＝|DE →|·|DA →|cos θ，由图可知，|DE →|cos θ＝|DA →|，所以原式等于|DA →|2＝1，要使DE →·DC →最大只要使向量DE →在向量DC →上的投影达到最大即可，因为DE →在向量DC →上的投影达到最大为|DC →|＝1，所以(DE →·DC →)max＝|DC →|2＝1；法二：因为DE →＝DA →＋AE →且DA →⊥AE →，所以DE →·CB →＝(DA →＋AE →)·DA →＝|DA →|2＝1，DE →·DC →＝(DA →＋AE →)·AB →＝AB →·AE →＝|AB →||AE →|＝|AE →|，所以要使DE →·DC →最大，只要|AE →|最大即可，明显随着E 点在AB 边上移动|AE →|max ＝1，故(DE →·DC →)max ＝1.法三：以D 为坐标原点，DC →与DA →所在直线分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系，如下图，可知E (x,1)，0≤x ≤1， 所以DE →＝(x,1)，CB →＝(0,1)，可得DE →·CB →＝x ×0＋1×1＝1.因为DC →＝(1,0)，所以DE →·DC →＝x ，因为1≥x ≥0，所以(DE →·DC →)max ＝1.14、[2018·北京卷]f (x )＝m (3)，g (x )＝2x －2，假设同时满足条件：①∀x ∈，f (x )<0或g (x )<0；②∃x ∈(－∞，－4)，f (x )g (x )<0. 那么m 的取值范围是________、14、(－4，－2)[解析]此题考查函数图像与性质、不等式求解、逻辑、二次函数与指数函数等基础知识和基本技能，考查分类讨论的数学思想、分析问题和解决问题以及综合运用知识的能力、满足条件①时，由g (x )＝2x －2<0，可得x <1，要使∀x ∈，f (x )<0或g (x )<0，必须使x ≥1时，f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)<0恒成立，当m ＝0时，f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)＝0不满足条件，所以二次函数f (x )必须开口向下，也就是m <0，要满足条件，必须使方程f (x )＝0的两根2m ，－m－3都小于1，即⎩⎨⎧2m <1，－m －3<1，可得m ∈(－4,0)、满足条件②时，因为x ∈(－∞，－4)时，g (x )<0，所以要使∃x ∈(－∞，－4)时，f (x )g (x )<0，只要∃x 0∈(－∞，－4)时，使f (x 0)>0即可，只要使－4比2m ，－m －3中较小的一个大即可，当m ∈(－1,0)时，2m >－m －3，只要－4>－m －3，解得m >1与m ∈(－1,0)的交集为空集；当m ＝－1时，两根为－2,4；－2>－4，不符合；当m ∈(－4，－1)时，2m <－m －3，所以只要－4>2m ，所以m ∈(－4，－2)。
2019年北京卷 理科数学真题(解析版)
2019年北京卷 理科数学真题（解析版）一、选择题：每小题5分，共40分。
1.已知复数z =2+i ，则z z ⋅=（ ） A.3B.5C. 3D. 5【答案】D 【详解】∵z 2i,z z (2i)(2i)5=+⋅=+-= 故选D.2.执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【详解】运行第一次， =1k ，2212312s ⨯==⨯- ，运行第二次，2k = ，2222322s ⨯==⨯- ，运行第三次，3k = ，2222322s ⨯==⨯- ，结束循环，输出=2s ，故选B .3.已知直线l 的参数方程为13,24x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），则点（1,0）到直线l 的距离是（ ）A.15B.25C.45D.65【答案】D【详解】直线l 的普通方程为()()41320x y ---=,即4320x y -+=,点()1,0到直线l 的距离226543d ==+,故选D.4.已知椭圆2222 1x y a b+=（a ＞b ＞0）的离心率为12，则（ ）A. a 2=2b 2B. 3a 2=4b 2C. a =2bD. 3a =4b【答案】B 【详解】椭圆的离心率2221,2c e c a b a ===-,化简得2234a b =,故选B.5.若x ，y 满足|1|x y ≤-，且y ≥−1，则3x+y 的最大值为（ ） A. −7 B. 1C. 5D. 7【答案】C 【详解】由题意1,11yy x y-≤⎧⎨-≤≤-⎩作出可行域如图阴影部分所示.设3,3z x y y z x =+=-,当直线0:3l y z x =-经过点()2,1-时,z 取最大值5.故选C.6.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足212152–lg E m m E =，其中星等为m k 的星的亮度为E k （k =1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（ ） A. 1010.1 B. 10.1C. lg10.1D. 10–10.1【答案】D【详解】两颗星的星等与亮度满足12125lg 2E m m E -= , 令2 1.45m =- ，126.7m =- ，()1212221g( 1.4526.7)10.155E m m E =-=-+=，10.110.112211010E EE E -=⋅= ， 故选D.7.设点A ，B ，C 不共线，则“AB 与AC 的夹角为锐角”是“||||AB AC BC +>”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C【详解】∵A ､B ､C 三点不共线,∴|AB +AC |>|BC |⇔|AB +AC |>|AB -AC |⇔|AB +AC |2>|AB -AC |2AB ⇔•AC >0AB ⇔与AC的夹角为锐角.故“AB 与AC 的夹角为锐角”是“|AB +AC |>|BC |”的充分必要条件,故选C.8.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ：221||x y x y +=+就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ②曲线C 2； ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3. 其中，所有正确结论的序号是（ ） A. ① B. ②C. ①②D. ①②③【答案】C详解】由221x y x y +=+得,221y x y x -=-,2222||3341,10,2443x x x y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭, 所以x 可为的整数有0,-1,1,从而曲线22:1C x y x y +=+恰好经过(0,1),(0,-1),(1,0),(1,1), (-1,0),(-1,1)六个整点,结论①正确.由221x y x y +=+得,222212x y x y +++,解得222x y +≤,所以曲线C 上任意一点到原点的距离都不2结论②正确.如图所示,易知()()()()0,1,1,0,1,1,,0,1A B C D -,四边形ABCD 的面积13111122ABCD S =⨯⨯+⨯=,很明显“心形”区域的面积大于2ABCD S ,即“心形”区域的面积大于3,说法③错误.故选C.二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2019年高考理科数学北京卷(附参考答案和详解)
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三 解 答 题解答应写出文字说明证明过程或演算步骤
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第二部分
二 填 空 题本大题共&小题每 小 题 " 分共 +# 分!把 答 案
填在题中横线上
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2019年普通高等学校招生全国统一考试北京卷理科数学
2019年普通高等学校招生全国统一考试北京卷理科数学本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分(选择题 共40分)一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.已知复数z ＝2＋i ，则z ·z ＝( )A ．√3B ．√5C ．3D ．5解析∵z ＝2＋i ，∴z ＝2﹣i .∴z ·z ＝(2＋i)(2﹣i)＝5.故选D ． 答案D2.执行如图所示的程序框图，输出的s 值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析运行第一次，k ＝1，s ＝2×123×1﹣2＝2，运行第二次，k ＝2，s ＝2×223×2﹣2＝2， 运行第三次，k ＝3，s ＝2×223×2﹣2＝2，结束循环，输出s ＝2，故选B ． 答案B3.已知直线l 的参数方程为{x ＝1＋3t ，y ＝2＋4t (t 为参数)，则点(1，0)到直线l 的距离是( )A ．15B ．25C ．45D ．65解析直线l 的普通方程为4(x ﹣1)﹣3(y ﹣2)＝0，即4x ﹣3y ＋2＝0，点(1，0)到直线l 的距离d ＝√4＋365，故选D ．答案D 4.已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a>b>0)的离心率为12，则()A ．a 2＝2b 2B ．3a 2＝4b 2C ．a ＝2bD ．3a ＝4b解析椭圆的离心率e ＝c ＝1，c 2＝a 2﹣b 2，化简得3a 2＝4b 2，故选B ． 答案B5.若x ，y 满足|x|≤1﹣y ，且y ≥﹣1，则3x ＋y 的最大值为( ) A ．﹣7 B ．1 C ．5 D ．7 解析由题意得{﹣1≤y ≤1，y ﹣1≤x ≤1﹣y ，作出可行域如图阴影部分所示.设z ＝3x ＋y ，y ＝z ﹣3x ，当直线l 0：y ＝z﹣3x 经过点(2，﹣1)时，z 取最大值5.故选C ．答案C6.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m 2﹣m 1＝5lg E12，其中星等为m k 的星的亮度为E k (k ＝1，2).已知太阳的星等是﹣26.7，天狼星的星等是﹣1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( )A ．1010.1B ．10.1C ．lg10.1D ．10﹣10.1 解析两颗星的星等与亮度满足m 2﹣m 1＝5lg E12，令m 2＝﹣1.45，m 1＝﹣26.7， 则lg E 1E 2＝25(m 2﹣m 1)＝25(﹣1.45＋26.7)＝10.1，E 1E 2＝1010.1，故选A ．答案A7.设点A ，B ，C 不共线，则“AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为锐角”是“|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |>|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件解析∵A ，B ，C 三点不共线，∴|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |>|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |⇔|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |>|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |⇔|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋AC⃗⃗⃗⃗⃗ |2>|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2⇔AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC⃗⃗⃗⃗⃗ >0⇔AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为锐角.故“AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为锐角”是“|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |>|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |”的充分必要条件，故选C ． 答案C8.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ：x 2＋y 2＝1＋|x|y 就是其中之一(如图).给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点)；②曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过√2； ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3.其中，所有正确结论的序号是()A．①B．②C．①②D．①②③解析由x2＋y2＝1＋|x|y得y2﹣|x|y＝1﹣x2，即(y﹣|x|2)2＝1﹣3x24，即1﹣3x24≥0，则x2≤43，所以x可取的整数有0，﹣1，1，从而曲线C：x2＋y2＝1＋|x|y恰好经过(0，1)，(0，﹣1)，(1，0)，(1，1)，(﹣1，0)，(﹣1，1)，共6个整点，结论①正确.由x2＋y2＝1＋|x|y得x2＋y2≤1＋x 2＋y22，x2＋y2≤2，所以曲线C上任意一点到原点的距离都不超过√2.结论②正确.曲线C：x2＋y2＝1＋|x|y关于y轴对称，从而曲线C所围成的“心形”区域的面积等于曲线C0：x2＋y2＝1＋xy围成的椭圆区域的面积，曲线C0：x2＋y2＝1＋xy表示长半轴长为√2，短半轴长为√63的椭圆，面积为πab＝π×√2×√63＝2√33π>3，故结论③错误.故选C．答案C第二部分(非选择题共110分)二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。