2018届北京市海淀区高三5月期末(二模)数学(理)试题Word版含答案
2018届北京市海淀区高三5月期末（二模） 数学（理）试题 本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 1.若集合{2,0,1}A，{|1Bxx或0}x，则AB A. {2} B. {1}C. {2,1} D. {2,0,1} 2.二项式62)xx（的展开式的第二项是 A.46x B.46xC.412x D. 412x
3.已知实数,xy满足10,30,3,xyxyy则2xy的最小值为 A. 11B.5C.4 D. 2 4.圆2220xyy与曲线=1yx的公共点个数为 A．4 B．3C．2 D.0 5.已知{}na为无穷等比数列，且公比1q，记nS为{}na的前n项和，则下面结论正确的是
A. 32aa B. 12+0aaC.2{}na是递增数列 D. nS存在最小值 6.已知()fx是R上的奇函数，则“120xx”是“12()()0fxfx”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 7. 现有编号为①、②、③的三个三棱锥（底面水平放置），俯视图分别为图1、图2、图3，则至少存在．．．．一个侧面与此底面互相垂直的三棱锥的所有编号是
A. ①B.①② C.②③D.①②③ 1图 2图3图 8.已知两个半径不等的圆盘叠放在一起（有一轴穿过它们的圆心），两圆盘上分别有互相垂直的两条直径将其分为四个区域，小圆盘上所写的实数分别记为1234,,,xxxx，大圆
盘上所写的实数分别记为1234,,,yyyy,如图所示.将小圆盘逆时针旋转(1,2,3,4)ii次，每次转动90，记(1,2,3,4iTi为转动i次后各区域内两数乘积之和，例如112233441Txyxyxyxy. 若1234++0xxxx，1234+++0yyyy，则以下结论正确的是 A.1234,,,TTTT中至少有一个为正数B.1234,,,TTTT中至少有一个为负数 C.1234,,,TTTT中至多有一个为正数D.1234,,,TTTT中至多有一个为负数
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。 9.在极坐标系中，极点到直线cos1的距离为.
10.已知复数1iiz，则||z____.
11.在ABC中，2AB，23ab，则cosB_______. 12.已知函数1()2xfxx，则1()2f____(1)f（填“”或“”）；()fx在区间1(,)1nnnn上存在零点，则正整数n_____.
13.在四边形ABCD中，2AB. 若1()2DACACB，则ABDC=____. 14.已知椭圆G：22216xyb(06)b的两个焦点分别为1F和2F，短轴的两个端点分别为1B和2B，点P在椭圆G上，且满足1212PBPBPFPF. 当b变化时，给出下列三个命题： ①点P的轨迹关于y轴对称； ②存在b使得椭圆G上满足条件的点P仅有两个； ③||OP的最小值为2， 其中，所有正确命题的序号是_____________．
1x1y2
y
2x
3x4x3y4y三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 15.（本小题满分13分） 已知函数3π3π()sin2coscos2sin55fxxx.
（Ⅰ）求()fx的最小正周期和对称轴的方程； （Ⅱ）求()fx在区间π[0,]2上的最小值.
16.（本小题满分13分） 为了响应教育部颁布的《关于推进中小学生研学旅行的意见》,某校计划开设八门研学旅行课程，并对全校学生的选择意向进行调查(调查要求全员参与，每个学生必须从八门课程中选出唯一一门课程).本次调查结果整理成条形图如下.
上图中，已知课程,,,,ABCDE为人文类课程，课程,,FGH为自然科学类课程.为进一步研究学生选课意向，结合上面图表，采取分层抽样方法从全校抽取1%的学生作为研究样本组(以下简称“组M”). (Ⅰ)在“组M”中，选择人文类课程和自然科学类课程的人数各有多少？ (Ⅱ)为参加某地举办的自然科学营活动，从“组M”所有选择自然科学类课程的同学中随机抽取4名同学前往，其中选择课程F或课程H的同学参加本次活动，费用为每人1500元，选择课程G的同学参加，费用为每人2000元. (ⅰ)设随机变量X表示选出的4名同学中选择课程G的人数，求随机变量X的分布列； (ⅱ)设随机变量Y表示选出的4名同学参加科学营的费用总和，求随机变量Y的期望.
0课程H课程G课程F课程E课程D课程C课程B课程A课程
100
400300200
人数17.（本小题满分14分） 如图，三棱锥PABC，侧棱2PA，底面三角形ABC为正三角形，边长为2，顶点P在平面ABC上的射影为D，有ADDB，且1DB. （Ⅰ）求证：//AC平面PDB； （Ⅱ）求二面角PABC的余弦值； （Ⅲ）线段PC上是否存在点E使得PC⊥平面ABE，如果存在，
求CECP的值；如果不存在，请说明理由.
18.（本小题满分14分） 已知动点M到点(1,0)N和直线l：1x的距离相等. （Ⅰ）求动点M的轨迹E的方程； （Ⅱ）已知不与l垂直的直线'l与曲线E有唯一公共点A，且与直线l的交点为P，以AP为直径作圆C.判断点N和圆C的位置关系，并证明你的结论．
19.（本小题满分13分） 已知函数()eaxfxx. （Ⅰ）若曲线()yfx在(0,(0))f处的切线l与直线230xy垂直，求a的值； （Ⅱ）当1a时，求证：存在实数0x使0()1fx.
AC
DB
P20.（本小题满分13分） 对于无穷数列{}na，记{|,}jiTxxaaij，若数列{}na满足：“存在tT，使得只要mkaat
（*,mkN且mk），必有11mkaat”，则称数列{}na具有性质()Pt. （Ⅰ）若数列{}na满足2,2,25,3,nnnann判断数列{}na是否具有性质(2)P？是否具有性质(4)P？ （Ⅱ）求证：“T是有限集”是“数列{}na具有性质(0)P”的必要不充分条件； （Ⅲ）已知{}na是各项为正整数的数列，且{}na既具有性质(2)P，又具有性质(5)P，求证：存在整数N，使得12,,,,,NNNNkaaaa是等差数列.
2018届北京市海淀区高三5月期末（二模） 数学（理）试题答案 一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D B D C A B A 二、填空题（本大题共6小题,每小题5分,有两空的小题，第一空3分，第二空2分， 共30分） 9．1 10．2
11. 34
12. ,2 13．2 14．①③
三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15.（本小题满分13分） 解： （Ⅰ）3π3π3π()sin2coscos2sinsin(2)555fxxxx- 所以()fx的最小正周期2ππ2T， 因为sinyx的对称轴方程为ππ,2xkkZ， 令3ππ2π,52xkkZ， 得11π1π,202xkkZ. 所以()fx的对称轴方程为11π1π,202xkkZ. 或者：()fx的对称轴方程为3ππ22π52xk和3ππ22π,52xkkZ， 即11ππ20xk和ππ,20xkkZ. （Ⅱ）因为π[0,]2x， 所以2[0,π]x， 所以3π3π2π2[,]555x 所以，当3ππ252x即π20x时， ()fx在区间π[0,]2上的最小值为1. 16.（本小题满分13分） 解： (Ⅰ)选择人文类课程的人数为(100+200+400+200+300)1%=12(人)； 选择自然科学类课程的人数为(300+200+300)1%=8(人). (Ⅱ)(ⅰ)依题意，随机变量X可取0，1，2.
4062483(0)14CCpXC；3162484(1)7CCpXC；226248
3(2).14CCpXC
故随机变量X的分布列为 X 0 1 2
p 314 47 314
(ⅱ)法1：依题意，随机变量Y=2000X+1500(4)X=6000+500X， 所以随机变量Y的数学期望为 E(Y)=6000+500E(X)
=6000+500(34301214714)
2018年5月最新优质市级模拟试卷快递：北京市海淀区2018届高三下学期期末第二次模拟文数试题(解析版)
1．B【解析】分析：由全集及，求出补集，找出集合的补集与集合的交集即可.详解：，集合，，又，故选B.点睛：研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性. 研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质是求满足属于集合或不属于集合的元素的集合.点睛：本题主要考查复数与复平面内点的对应关系，属于简单题.3．B【解析】分析：由题意可知直线通过圆的圆心，求出圆心坐标代入直线方程，即可得到的值.详解：圆的方程可化为，可得圆的圆心坐标为，半径为，因为直线是圆的一条对称轴，所以，圆心在直线上，可得，即的值为，故选B.点睛：本题主要考查圆的一般方程化为标准方程，以及由标准方程求圆心坐标，意在考查学生对圆的基本性质的掌握情况，属于简单题.4．D【解析】分析：取，利用排除法，逐一排除即可的结果.详解：因为时， , , ,所以可排除选项，故选D.点睛：特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性，这种方法主要适合下列题型:(1)求值问题（可将选项逐个验证）；（2）求范围问题（可在选项中取特殊值，逐一排除）；（3）图象问题（可以用函数性质及特殊点排除）；（4）解方程、求解析式、求通项、求前项和公式问题等等.5．C【解析】分析：根据几何概型的意义进行模拟试验，列出豆子落在阴影部分的概率与阴影面积及圆面积之间的方程求解即可.详解：设阴影区域的面积为，由几何概型概率公式可得：，故选C.点睛：本题主要考查几何概型概率公式以及模拟实验的基本应用，属于简单题，求不规则图形的面积的主要方法就是利用模拟实验，列出未知面积与已知面积之间的方程求解.点睛：本题通过圆锥曲线的方程主要考查充分条件与必要条件，属于中档题.判断充要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.7．C【解析】分析：读懂程序框图程序框图，得到分别表示的人数含义，从而可得结果.详解：阅读程序框图可知，第一个条件语句输出的是择历史的学生人数；第二个条件语句输出的是择地理的学生人数；为选择历史的学生人数与选择地理的学生人数之和（没有剔除重合部分），所以，“为至少选择历史、地理一门学科的学生人数”错误，故选C.学科@网点睛：本题主要考查循环结构以及条件结构，属于中档题 .算法是新课标高考的一大热点，其中算法的交汇性问题已成为高考的一大亮，这类问题，很好地考查考生的信息处理能力及综合运用知识解决问題的能力，解决算法的交汇性问题的方：（1）读懂程序框图、明确交汇知识，(2）根据给出问题与程序框图处理问题即可.8．D【解析】分析：根据函数有三个极大值点，两个极小值点，判断，在极值点左右两边的符合，可得函数五个极值点，三个极大值，两个极小值，从而可得结果.详解：点睛：本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的极值，属于难题.求函数极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数；(3) 解方程求出函数定义域内的所有根；(4)判断在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值. （5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值.9．【解析】分析：由抛物线的焦点为，可得，从而可得抛物线的标准方程. 详解：因为抛物线焦点在正半轴，标准方程为，由焦点为，可得，，故答案为.点睛：本题主要考查抛物线的标准方程以及抛物线的焦点，意在考查对基本性质与基本概念掌握的熟练程度.点睛：本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量的模（平方后需求）.学@科网11．【解析】分析：直接根据函数图象“伸缩变换”的性质求得函数解析式，从而可得结果.详解：的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，，，故答案为(1) ， (2) .点睛：本题考查了三角函数的图象变换，重点考查学生对三角函数图象变换规律的理解与掌握，能否正确处理先平移变换再伸缩变换情况下图象的问题，反映学生对所学知识理解的深度.12．【解析】分析：因为，可设，利用余弦定理求得的值，根据平方关系求得，再利用商的关系可得结果.详解：，可设，由余弦定理可得，，，，故答案为.点睛：本题主要考查余弦定理及特同角三角函数之间的关系，属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.点睛：本题主要考查利用线性规划的思想方法解决某些实际问题，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.14．①②③【解析】分析：根据几何体的主视图和俯视图，在正方体中分别找到符合题意的多面体，即可得结果.详解：点睛：本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.15．（Ⅰ）；（Ⅱ）.学.科.网【解析】分析：（Ⅰ）设等差数列的公差为，由，令可得，解得，从而可得结果；（Ⅱ）由数列是首项为1，公比为2的等比数列，可得，结合（1）可得，利用等差数列与等比数列的求和公式，根据分组求和法可得数列的前项和.详解：设等差数列的公差为，点睛：本题主要考查等差数列及等比数列的通项公式与求和公式和利用“分组求和法”求数列前项和，属于中档题. 利用“分组求和法”求数列前项和常见类型有两种：一是通项为两个公比不相等的等比数列的和或差，可以分别用等比数列求和后再相加减；二是通项为一个等差数列和一个等比数列的和或差，可以分别用等差数列求和、等比数列求和后再相加减.16．（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】分析：（Ⅰ）利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数化为，利用正弦函数的周期公式可得函数的周期，由相邻两条对称轴的距离为半个周期可得结果；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当时，，利用解不等式即可得结果.详解：（Ⅰ）点睛：对三角函数的图象与性质以及三角函数恒等变形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，既要掌握三角函数的基本性质，又要熟练掌握并灵活应用两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.17．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）和的中点，证明见解析.【解析】分析：（Ⅰ）由菱形的性质可得,又平面，所以平面；（Ⅱ）先证明四边形为平行四边形，可得. 又由（Ⅰ）得，平面, 从而得平面，由平面可得结论；（Ⅲ）别取和的中点，由三角形中位线定理以及平行四边形的性质可得及，由面面平行的判定定理可得结论.详解：Ⅰ）证明：折叠前，因为四边形为菱形，所以；学科@网所以折叠后，,又平面，所以平面连接.因为四边形为平行四边形，所以.所以四边形为平行四边形.所以.在中，分别为中点，所以.又平面,平面,所以平面平面.点睛：解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理；证明直线和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推论；（3）利用面面平行的性质；（4）利用面面垂直的性质，当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.18．（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ），.因此，从考核成绩大于等于90分的学生中任取2名同学，学@科网包含（1号，5号）、（1号，7号）、（1号，8号）、（1号，9号）、（1号、10号）、（5号，7号）、（5号，8号）、（5号，9号）、（5号，10号）、（7号，8号）、（7号，9号）、（7号，10号）、（8号，9号）、（8号，10号）、（9号，10号）共15个基本事件，而事件包含（1号，8号）、（1号、10号）、（8号，10号）共3个基本事件，所以.（Ⅲ），.点睛：本题主要考查古典概型概率公式的应用，属于难题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 (1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先，…. ，再，…..依次….… 这样才能避免多写、漏写现象的发生.19．（Ⅰ）当时，无零点；时，零点为；（Ⅱ）证明见解析.（Ⅱ）.令,则，其对称轴为，所以在上单调递增.所以.当时，恒成立，所以在上为增函数.可得，所以在区间上为增函数.点睛：本题主要考查函数的零点以及利用导数证明函数的单调性，函数单调性的证明思路为：一是利用单调性的定义，判断的符号证明；二是利用导数转化为证明不等式或成立. 20．（Ⅰ），；（Ⅱ）证明见解析.联立可得. 学科.网同理可得.下面去证明设，则.所以.同理所以.所以直线垂直于轴. 方法2：设直线方程为.所以，即点的横坐标与两点的坐标无关，只与直线的方程有关. 所以，直线垂直于轴.点睛：求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法,根据条件确定关于的方程组，解出，从而写出椭圆的标准方程．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．。
2018年高三最新 北京市海淀区2018年5月高三第二学期期
北京市海淀区2018年5月高三第二学期期末练习数学理科 2018.5本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1．直线x +013=+y 的倾斜角是（ ）A ．6π B ．3π C ．32π D ．65π 2．某中学有高一、高二、高三学生共1600名，其中高三学生400名。
如果用分层抽样方法从这1600人中抽取一个160人的样本，那么应当从高三学生中抽取的人数是（ ） A ．20 B ．40 C ．60 D ．80 3．函数y =()--1 12x x 的反函数是（ ）A ．()0 12x x y +-=B ．()0 12x x y +=C ．()1 12-+-=x x yD ．()1 12-+=x x y4．函数2()log f x x =与11()()2x g x -=在同一直角坐标系中的图象是( )5．设,,m n l 是三条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是 （ ）（A ）若,m n 与l 所成的角相等，则//m n （B ）若α//β， m ⊂α, 则//m β（C ）若,m n 与α所成的角相等，则//m n （D ）若γ与平面α，β所成的角相等，则α//β6．若a n =() 3,2,1212111=+++++n nn n ，则a n +1 –a n = ( ) A ．221+nB ．11221+-+n nC ．221121+-+n n D ．221121+++n n 7．已知元素为实数的集合A 满足条件；若a ∈A ，则A aa∈-+11，那么集合A 中所有元素的 乘积为（ ）A ．–1B ．1C ．0D ．±1＜ ＞ ＜8．双曲线x 2 – y 2 =2的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P n ( x n , y n ) ( n = 1 , 2 , 3 … )在其右支上，且满足| P n +1F 2| = | P n F 1 | , P 1F 2⊥F 1F 2，则x 2018的值是（ ）A ．40162B ．40152C ．4016D ．4015第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2018年高三最新 北京市海淀区2018年5月高三第二学期期
北京市海淀区2018年5月高三第二学期期末练习数学文科 2018.5本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.（1）sin()cos()παα--= （ ）（A ）1sin 22α （B ） 1sin 22α- （C ）sin 2α （D ）cos 2α （2）定义映射:f A B →，若集合A 中元素x 在对应法则f 作用下的象为3log x ，则A 中元素9的象是 （ ）(A) 2- (B) 2 (C) 3- (D) 3（3）若a 为实数，则圆 ()()2221x a y a -++=的圆心所在的直线方程为 ( )(Ａ) 02=+y x（B ）02=+y x （C ）02=-y x（D ）02=-y x（4）922221++++ 的值为 （ ）(Ａ) 512（B ）511 （C ） 1184（D ）1183（5）函数2()log f x x =与11()()2x g x -=在同一直角坐标系中的图象是( ）(A) (B) (C) (D)（6）设,,m n l 是三条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是 （ ）（A ）若,m n 与l 所成的角相等，则//m n （B ）若α//β， m ⊂α, 则//m β （C ）若,m n 与α所成的角相等，则//m n （D ）若γ与平面α，β所成的角相等，则α//β（7）设双曲线22:14x C y -=的右焦点为F ，直线l 过点F .若直线l 与双曲线C 的左、右两支都相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是 （ ）（A ）12k -≤或12k ≥ （B ）12k <-或12k >（C ）1122k -<< （D ）1122k -≤≤(8 ) 设函数()f x x x bx c =++，给出下列四个命题：①当0c =时，()y f x =是奇函数；②当0,0b c =>时，方程()0f x =只有一个实根； ③函数()y f x =的图象关于点(0,)c 对称; ④方程()0f x =至多有两个实根,其中正确命题的个数为 （ ）（A ）1 个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个第II 卷（非选择题 共110分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把答案填在题中横线上.（9）已知向量a = (1，–2)，b = ( 4, 2), 那么a 与b 夹角的大小是 . （10）已知点A 分有向线段所成的比为2-，且M （1, 3），)1,23(N ，那么A 点的坐标为 ．（11）已知椭圆2221(0)3x y a a +=>的一条准线方程是4x =，那么此椭圆的离心率是 __________.（12）设地球的半径为R ，则地球北纬60的纬线圈的周长等于___ ___. （13）若圆2220x y x +-=关于直线y x =对称的圆为C ,则圆C 的圆心坐标为 ;再把圆C 沿向量 a =(1,2)平移得到圆D,则圆D 的方程为 . （14）定义运算：bc ad dcb a -=，若数列{}n a 满足111221a =，且112nn nn a a ++=（*n ∈N ），则3a = ，数列{}n a 的通项公式为n a = .三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. （15）（本小题共12分）设函数=)(x f ⋅p q ,其中向量()sin ,cos sin x x x =+p , ()2cos ,cos sin x x x =-q ,x ∈R . （I ）求)3(πf 的值及函数)(x f 的最大值；（II ）求函数)(x f 的单调递增区间.（16）（本小题共14分）在三棱锥ABC S -中，90=∠=∠=∠ACB SAC SAB ，24,4,2===SB BC AC .（Ⅰ）证明：SC ⊥BC ；（Ⅱ）求二面角A BC S --的大小；（Ⅲ）求直线AB 与平面SBC 所成角的大小. （用反三角函数表示）（17）（本小题共13分）甲、乙、丙三人组成一组，参加一个闯关游戏团体赛.三人各自独立闯关，其中甲闯关成功的概率为13，甲、乙都闯关成功的概率为16，乙、丙都闯关成功的概率为15.每人闯关成功记2分，三人得分之和记为小组团体总分.（I ）求乙、丙各自闯关成功的概率； （II ）求团体总分为4分的概率；（III ）若团体总分不小于4分，则小组可参加复赛.求该小组参加复赛的概率.SABC（18）（本小题共13分）将数列{}n a 的各项排成如图所示的三角形形状.（Ⅰ）若数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，写出图中第5行第5个数； （Ⅱ）若函数23123(),n n f x a x a x a x a x =++++且 2(1),f n =求数列{}n a 的通项公式；(III) 设m T 为第m 行所有项的和，在（II ）的条件下，用含m 的代数式表示m T .（19）（本小题共14分）已知O 为坐标原点, 点F 的坐标为()0,1 ，点P 是直线:m 1x =-上一动点, 点M 为PF 的中点，点Q 满足PF QM ⊥，且QP m ⊥.（I ） 求点Q 的轨迹方程；（II ） 设过点()0,2的直线 l 与点Q 的轨迹交于A 、B 两点，且θ=∠AFB .试问角θ能否等于 32π？若能，求出相应的直线l 的方程；若不能，请说明理由．12345678910a a a a a a a a a a（20）（本小题共14分）已知函数32()4f x x ax =-+-（a ∈R ）.（I ）若函数)(x f y =的图象在点P （1，)1(f ）处的切线的倾斜角为4π，求a ； （II ）设()f x 的导函数是()f x '.在（I ）的条件下，若[],1,1m n ∈-，求()()f m f n'+的最小值；（Ⅲ）若存在),0(0+∞∈x ，使0)(0>x f ，求a 的取值范围.参考答案一. 选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）二. 填空题（本大题共6小题，每小题5分.有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分） (9)2π (10) (2,1)- (11) 12或2(12) R π (13) (0,1)，()()22131x y -+-=(14) 10, 42n -三.解答题 （本大题共6小题,共80分） (15) (共12分)解：（I ） ()sin ,cos sin x x x =+p ，()2cos ,cos sin x x x =-q ，∴=)(x f ⋅p q =()sin ,cos sin x x x + ·()2cos ,cos sin x x x -x x x x 22sin cos cos sin 2-+= ------------------2分 x x 2cos 2sin += ------------------4分∴)3(πf =213-. ------------------5分 又()f x sin 2cos 2x x =+)4x π=+ -----------------6分∴函数)(x f 的最大值为2. ------------------7分当且仅当8πx k π=+（∈k Z ）时，函数)(x f 取得最大值为2. （II ）由222 242πππk πx k π-++≤≤（∈k Z ）， ------------------9分得388ππk πx k π-+≤≤， ------------------11分 ∴函数)(x f 的单调递增区间为[8,83πk ππk π+-]（∈k Z ）.----------------12分(16) （共14分）解法一： 解：（Ⅰ）, ,SA AB SA AC ⊥⊥且,AB AC A SA =∴⊥平--------------------2分AC 为SC 在平面ABC 内的射影. --------------------3分又AC ⊥BC , ∴BC ⊥SC . --------------------4分 （Ⅱ） 由（Ⅰ）BC ⊥SC ，又BC ⊥AC ，∴SCA ∠为所求二面角的平面角. --------------------6分又∵SB =,24BC =4,∴SC =4 . ∵AC =2 , ∴SCA ∠=60°. --------------------9分即二面角A BC S --大小为60°.（Ⅲ）过A 作SC AD ⊥于D ，连结BD , 由（Ⅱ）得平面BC ⊥平面SAC ,又BC ⊂平面SBC , ∴平面SAC ⊥平面SBC ,且平面SAC 平面SBC SC =, ∴⊥AD 平面SBC .∴BD 为AB 在平面SBC 内的射影.所成角与平面为SBC AB ABD ∠∴. ---------11分 在ABC ∆Rt 中，52=AB ， 在SAC ∆Rt 中，3222=-=AC SC SA ，3AD =.∴ABD sin =1051523=. -------------------13分 所以直线B A 与平面SBC 所成角的大小为分 S ABCD解法二：解：（Ⅰ）由已知90=∠=∠=∠ACB SAC SAB ，以C 点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -. 则 (0,2,0),(4,0,0),(0,0,0)A B C,S . -------------------2分则(0,2,SC =--，(4,0,0)BC =-.0SC BC ∴⋅=.SC BC ∴⊥. --------4分（Ⅱ）90=∠=∠SAC SAB ，SA ∴⊥平面ABC .AS ∴=是平面ABC 的法向量. -----5分设侧面SBC 的法向量为n ),,(z y x =,(0,2,SC =--,(4,0,0)BC =-. 0,0SC BC ⋅=⋅=n n ,⎩⎨⎧=-=--,04,0322x z y 0=∴x .令1=z 则3-=y .则得平面SBC 的一个法向量n ()1,3,0-=. -------------------7分1cos ,2||||AS AS AS ⋅<>===n n n . -------------------8分即二面角A BC S --大小为60°. -------------------9分（Ⅲ）由（II ）可知n ()1,3,0-=是平面SBC 的一个法向量. -----------10分又(4,2,0)AB =-，∴cos ,10||||AB AB AB ⋅<>===n n n ------13分 所以直线AB 与平面SBC 所成角为arcsin 10. -------------------14分 （17）（共13分）解：（I ）设乙闯关成功的概率为1P ，丙闯关成功的概率为2P -------------------1分C因为乙丙独立闯关，根据独立事件同时发生的概率公式得：11211,361.5P P P ⎧=⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩-------------------3分 解得12,1225P P ==. -------------------5分 答：乙闯关成功的概率为12，丙闯关成功的概率为25.（II ）团体总分为4分，即甲、乙、丙三人中恰有2人过关，而另外一人没过关.设“团体总分为4分”为事件A ， -------------------6分 则1121121123()(1)(1)(1).32532532510P A =-⨯⨯+⨯-⨯+⨯⨯-=-------------------9分答：团体总分为4分的概率为310.（III ）团体总分不小于4分, 即团体总分为4分或6分，设“团体总分不小于4分”为事件B ， -------------------10分由（II ）知团体总分为4分的概率为310， 团体总分为6分, 即3人都闯关成功的概率为1121.32515⨯⨯=---------- 12分所以参加复赛的概率为)(B P =3111.101530+= --------------13分 答：该小组参加复赛的概率为1130. (18) （共13分）解：（Ⅰ）第5行第5个数是29. ……………2分 (II) 由2(1),f n =得2123n a a a a n ++++=. ……………3分设n S 是数列{}n a 的前n 项和， ∴2n S n =. 当1n =时，111,a S == ……………5分 当2n ≥时，221(1)2 1.n n n a S S n n n -=-=--=- ……………6分 又当1n =时，1211n a -==， ∴21(1,2,).n a n n =-= ……………8分即数列{}n a 的通项公式是2 1.n a n =-（III ）由 (II)知数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列. …………… 9分∵前1m -行共有项21(1)123(1)(1),22m m mm m +--++++-=⨯-=∴第m 行的第一项为222122(1)1 1.2m m m ma m m -+-=⨯+-=-+ ………… 11分 ∴第m 行构成首项为21m m -+,公差为2的等差数列，且有m 项. ∴23(1)(1)22m m m T m m m m -=-+⨯+⨯=. ……………13分（19）（共14分）解：（I ）设点(, )Q x y , 由已知得点Q 在FP 的中垂线上,--------------1分即||||QF QP =, ------------------2分 根据抛物线的定义知,动点Q 在以F 为焦点,以直线m 为准线的抛物线上，-----4分 ∴点Q 的轨迹方程为24(0).y x x =≠ -------------------6分 (注：没有写出0x ≠扣1分)（Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，点A 坐标为()22,2，点B 坐标为()22,2-，点F 坐标为()0,1，可以推出∠AFB π32≠. -------------------8分当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为 y = k(x – 2)，它与抛物线 y 2= 4x 的交点坐标分别为 A (x 1, y 1)、B (x 2, y 2).由 ⎩⎨⎧-==),2(,42x k y x y 得2222(44)40k x k x k -++= (0)k ≠ .得124x x =, 12 8y y =-．-------------------10分假定θ = 23 π，则有 cos θ = －12，如图，即 | AF | 2+ | BF | 2－| AB | 22 | AF |·| BF | = －12(*)由定义得 | AF | = x 1 + 1，| BF | = x 2 + 1． 从而有 | AF | 2 + | BF | 2－| AB | 2= (x 1 + 1) 2 + (x 2 + 1) 2－(x 1－x 2) 2－(y 1－y 2) 2= －2 (x 1 + x 2)－6 . ∴| AF |·| BF | = (x 1 + 1) (x 2 + 1) = x 1x 2 + x 1-------------------12分将上式代入 (*) 得 －2 (x 1 + x 2)－62 (x 1 + x 2) + 10 = －12，即 x 1 + x 2 + 1 = 0．这与 x 1 > 0 且 x 2 > 0 相矛盾. 综上，θ 角不能等于 32π. -------------------14分 (20)(共14分)解：（I ）.23)(2ax x x f +-=' ------------------ 1分据题意，.2,123,14tan)1(==+-∴=='a a f 即π------------------- 3分（II ）由（I ）知32()24f x x x =-+-,则2()34f x x x '=-+.-------------------5分∴对于[]1,1m ∈-，()f m 最小值为()04f =-. -------------------6分 ∵()234f x x x '=-+的对称轴为23x =，且抛物线开口向下， ∴[]1,1x ∈-时，)(x f '最小值为()1f '-与()1f '中较小的. ∵()()11,17f f ''=-=-，∴当[]1,1x ∈-时，()f x '的最小值是-7.∴当[]1,1n ∈-时，()f n '的最小值为-7. -------------------7分 ∴()()f m f n '+的最小值为-11. ------------------- 8分 （Ⅲ）).32(3)(a x x x f --=' ① 若[)∞+∴<'>≤，在时，当0)(,0)(0,0x f x f x a 上单调递减. 又(0)4,0,() 4.f x f x =-><-则当时000,0,()0.a x f x ∴>>当≤时不存在使 -------------------11分②若.0)(,32,0)(,320,0<'>>'<<>x f ax x f a x a 时当时则当从而)(x f 在（0，]32a 上单调递增，在[32a ，+)∞上单调递减. .4274494278)32()(,),0(333max -=-+-==+∞∈∴a a a a f x f x 时当 据题意，33440,27. 3.27a a a ->>∴>即 ------------------- 14分 综上，a 的取值范围是（3，+∞）.说明：其他正确解法按相应步骤给分.。
北京市海淀区2018届高三期末练习(二模)数学(文)试题图片版含答案
海淀区高三年级第二学期期末练习参考答案及评分标准数 学（文科）2018.5一． 选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．24x y = 10．1, 11．1,23π 12． 13．35 14. ①②③ 注：① 10题、11题第一个空答对给3分，第2个空答对给2分；② 14题只写出1个序号给2分，只写出2个序号给3分。
三．解答题：本大题共6小题，共80分。
解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题13分）解：（Ⅰ）方法1：因为数列{}n a 是等差数列，所以212n n n a a a +++=.因为3221+=-+n a a n n ，所以223n a n +=+.所以，当3n ≥时，2(2)321n a n n =-+=-.所以21(1,2,3,).n a n n =-= ………………6分方法2：设等差数列{}n a 的公差为d ，因为3221+=-+n a a n n ， 所以21322527.a a a a -=⎧⎨-=⎩所以11+2537.a d a d =⎧⎨+=⎩ 所以112.a d =⎧⎨=⎩所以1(1)21(1,2,3,)n a a n d n n =+-=-= ………………6分 （Ⅱ）因为数列{}n n a b +是首项为1，公比为2的等比数列， 所以12n n n a b -+=因为21n a n =-，所以12(21)n n b n -=--.设数列{}n b 的前n 项和为n S ，则1(1242)[135(21)]n n S n -=++++-++++-12(121)122nn n -+-=--221n n =--所以数列{}n b 的前n 项和为221.n n --.………………13分 16．（本小题13分）解：（Ⅰ）1()2cos (sin )2f x x x x =2sin cos x x x =+11cos 2sin 222x x +=+sin(2)3x π=-所以函数()f x 的最小正周期22T ππ==.所以曲线()y f x =的相邻两条对称轴的距离为2T ，即2π. ………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知 ()sin(2)3f x x π=-当[0,]x α∈时，2[,2]333x πππα-∈--. 因为sin y x =在[,]22ππ-上单调递增，且()f x 在[0,]α上单调递增， 所以[,2][,]3322ππππα--⊆-， 即0232αππα>⎧⎪⎨-≤⎪⎩解得5012απ<≤. 故α的最大值为512π. …………………13分17．（本小题14分）（Ⅰ）证明：折叠前，因为四边形AECD 为菱形，所以AC DE ⊥；所以折叠后，,DE PF DE CF ⊥⊥,又,,PF CF F PF CF =⊂平面PCF ，所以DE ⊥平面PCF …………………4分 （Ⅱ）因为四边形AECD 为菱形，所以//,DC AE DC AE =.又点E 为AB 的中点，所以//,DC EB DC EB =.所以四边形DEBC 为平行四边形.所以//CB DE .又由（Ⅰ）得，DE ⊥平面PCF ,所以CB ⊥平面PCF .因为CB ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PCF . …………………9分 （Ⅲ）存在满足条件的点,M N ,且,M N 分别是PD 和BC 的中点.如图，分别取PD 和BC 的中点,M N .连接,,,EN PN MF CM .因为四边形DEBC 为平行四边形， 所以1//,2EF CN EF BC CN ==. 所以四边形ENCF 为平行四边形.所以//FC EN .在PDE ∆中，,M F 分别为,PD DE 中点，所以//MF PE .又,EN PE ⊂平面,PEN PE EN E =,,MF CF ⊂平面CFM ,所以平面//CFM 平面PEN . …………………14分18. （本小题13分）解：（Ⅰ）这10名学生的考核成绩（单位：分）分别为：93，89.5，89，88，90，88.5，91.5，91，90.5，91．其中大于等于90分的有1号、5号、7号、8号、9号、10号，共6人.所以样本中学生考核成绩大于等于90分的频率是63105=. 从该校高二年级随机选取一名学生，估计这名学生考核成绩大于等于90分的概率为0.6.…………………4分（Ⅱ）设事件A 为“从考核成绩大于等于90分的学生中任取2名同学，这2名同学两轮测试成绩均大于等于90分”，由（Ⅰ）知，考核成绩大于等于90分的学生共6人，其中两轮测试成绩均大于等于90分的学生有1号，8号，10号，共3人. 因此，从考核成绩大于等于90分的学生中任取2名同学，包含（1号，5号）、（1号，7号）、（1号，8号）、（1号，9号）、（1号、10号）、（5号，7号）、（5号，8号）、（5号，9号）、（5号，10号）、（7号，8号）、（7号，9号）、（7号，10号）、（8号，9号）、（8号，10号）、（9号，10号）共15个基本事件， 而事件A 包含（1号，8号）、（1号、10号）、（8号，10号）共3个基本事件，所以31()155P A ==. ………………9分 （Ⅲ）12=x x2212s s > ………………13分19．（本小题13分）解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞， 令()0f x =，得220,.x a x a +==-当0a ≥时，方程无解，()f x 没有零点；当0a <时，得x =…………………4分综上，当0a ≥时()f x 无零点；当0a <时，()f x 零点为（Ⅱ）2'()(1)()x x a a f x e x e x x=-++ 322()xx x ax a e x ++-=. 令32()g x x x ax a =++-(1)x >,则2'()32g x x x a =++， 其对称轴为13x =-，所以'()g x 在(1,)+∞上单调递增.所以2'()31215g x a a >⨯+⨯+=+.当5a ≥-时，'()0g x >恒成立，所以()g x 在(1,)+∞上为增函数. …………………13分20．（本小题14分） 解：（Ⅰ）椭圆C 的方程可化为2212x y +=,所以1,1a b c ===.所以长轴长为2a =，离心率c e a == …………………4分 （Ⅱ）方法1：证明：显然直线P A 1、Q A 2、Q A 1、P A 2都存在斜率，且互不相等，分别设为1234,,,.k k k k 设直线P A 1的方程为1(y k x =，Q A 2的方程为2(y k x =，联立可得M x =同理可得N x =. 下面去证明141.2k k =-设00(,)P x y ，则220022x y +=.所以22001422001222y y k k x y ====---. 同理231.2k k =-所以121211222()1122N M k k x x k k --+===---. 所以直线MN 垂直于x 轴. …………………14分方法2：设直线l 方程为1122,(,),(,)y kx m P x y Q x y =+.由2222y kx m x y =+⎧⎨+=⎩ 得222(12)4220k x kmx m +++-=. 当0∆>时，2121222422,1212km m x x x x k k --+==++. 直线1A P方程为y x =+，直线2A Q方程为y x =-，x x +=，得x=21121221[((((y x y x x y x y x+--=+其中，21122112((()(()(y x y x kx m x kx m x-=++-+1212()()x x m x x=++-+12212124()12())kmm x xkm x xm x x-=+-++=+-=-12211221(()(()(y x y x kx m x kx m x-+++-+++1212212()()kx x m x x x x=+++-22122212122242()12124()12)m kmk m x xk kkx xkx x--=++-++-=+-+=-所以2Mkxm-=，即点M的横坐标与,P Q两点的坐标无关，只与直线l的方程有关. 所以2N Mkx xm-==，直线MN垂直于x轴. …………………14分。
【数学】北京市海淀区2018届高三下学期期末练习(二模)试题(文)(扫描版)
北京市海淀区2018届高三下学期期末练习（二模）数学试题（文）【参考答案】一.选择题二．填空题9．24x y = 10．1 11．1π,2312．313．35 14. ①②③ 注：① 10题、11题第一个空答对给3分，第2个空答对给2分；② 14题只写出1个序号给2分，只写出2个序号给3分。
三．解答题15．解：（Ⅰ）方法1： 因为数列{}n a 是等差数列，所以212n n n a a a +++=. 因为3221+=-+n a a n n ，所以223n a n +=+. 所以，当3n ≥时，2(2)321n a n n =-+=-. 所以21(1,2,3,).n a n n =-=方法2：设等差数列{}n a 的公差为d ， 因为3221+=-+n a a n n ， 所以21322527.a a a a -=⎧⎨-=⎩所以11+2537.a d a d =⎧⎨+=⎩ 所以112.a d =⎧⎨=⎩所以1(1)21(1,2,3,)n a a n d n n =+-=-=（Ⅱ）因为数列{}n n a b +是首项为1，公比为2的等比数列， 所以12n n n a b -+=因为21n a n =-，所以12(21)n n b n -=--. 设数列{}n b 的前n 项和为n S ， 则1(1242)[135(21)]n n S n -=++++-++++-12(121)122n n n -+-=-- 221n n =--所以数列{}n b 的前n 项和为221.n n --. 16．解：（Ⅰ）1()2cos (sin )2f x x x x =2sin cos 2x x x =+11cos 2sin 2222x x +=+ πsin(2)3x =-所以函数()f x 的最小正周期2π=π2T =. 所以曲线()y f x =的相邻两条对称轴的距离为2T ，即π2.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知 π()sin(2)3f x x =- 当[0,]x α∈时，πππ2[,2]333x α-∈--.因为sin y x =在[,]22ππ-上单调递增，且()f x 在[0,]α上单调递增， 所以[,2][,]3322ππππα--⊆-， 即0ππ232αα>⎧⎪⎨-≤⎪⎩解得50π12α<≤. 故α的最大值为5π12. 17．（Ⅰ）证明：折叠前，因为四边形AECD 为菱形，所以AC DE ⊥；所以折叠后，,DE PF DE CF ⊥⊥, 又,,PFCF F PF CF =⊂平面PCF ，所以DE ⊥平面PCF （Ⅱ）证明：因为四边形AECD 为菱形， 所以//,DC AE DC AE =. 又点E 为AB 的中点， 所以//,DC EB DC EB =. 所以四边形DEBC 为平行四边形.所以//CB DE . 又由（Ⅰ）得，DE ⊥平面PCF ,所以CB ⊥平面PCF . 因为CB ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PCF .（Ⅲ）解：存在满足条件的点,M N ,且,M N 分别是PD 和BC 的中点. 如图，分别取PD 和BC 的中点,M N .连接,,,EN PN MF CM .因为四边形DEBC 为平行四边形， 所以1//,2EF CN EF BC CN ==. 所以四边形ENCF 为平行四边形.所以//FC EN . 在PDE ∆中，,M F 分别为,PD DE 中点，所以//MF PE . 又,EN PE ⊂平面,PEN PEEN E =,,MF CF ⊂平面CFM ,所以平面//CFM 平面PEN . 18. 解：（Ⅰ）这10名学生的考核成绩（单位：分）分别为： 93，89.5，89，88，90，88.5，91.5，91，90.5，91．其中大于等于90分的有1号、5号、7号、8号、9号、10号，共6人. 所以样本中学生考核成绩大于等于90分的频率是63105=. 从该校高二年级随机选取一名学生，估计这名学生考核成绩大于等于90分的概率为0.6. （Ⅱ）设事件A 为“从考核成绩大于等于90分的学生中任取2名同学，这2名同学两轮测试成绩均大于等于90分”，由（Ⅰ）知，考核成绩大于等于90分的学生共6人，其中两轮测试成绩均大于等于90分的学生有1号，8号，10号，共3人. 因此，从考核成绩大于等于90分的学生中任取2名同学，包含（1号，5号）、（1号，7号）、（1号，8号）、（1号，9号）、（1号、10号）、（5号，7号）、（5号，8号）、（5号，9号）、（5号，10号）、（7号，8号）、（7号，9号）、（7号，10号）、（8号，9号）、（8号，10号）、（9号，10号）共15个基本事件，而事件A 包含（1号，8号）、（1号、10号）、（8号，10号）共3个基本事件， 所以31()155P A ==.（Ⅲ）12=x x , 2212s s > . 19．解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，令()0f x =，得220,.x a x a +==- 当0a ≥时，方程无解，()f x 没有零点； 当0a <时，得x = 综上，当0a ≥时()f x 无零点；当0a <时，()f x零点为 （Ⅱ）2'()(1)e ()e x xa a f x x x x=-++ 322()e xx x ax a x ++-=.令32()g x x x ax a =++-(1)x >, 则2'()32g x x x a =++， 其对称轴为13x =-，所以'()g x 在(1,)+∞上单调递增. 所以2'()31215g x a a >⨯+⨯+=+.当5a ≥-时，'()0g x >恒成立， 所以()g x 在(1,)+∞上为增函数.20． 解：（Ⅰ）椭圆C 的方程可化为2212x y +=,所以1,1a b c ==.所以长轴长为2a =，离心率2c e a == （Ⅱ）方法1：证明：显然直线P A 1、Q A 2、Q A 1、P A 2都存在斜率，且互不相等，分别设为1234,,,.k k k k设直线P A 1的方程为1(y k x =，Q A 2的方程为2(y k x =，联立可得2121)M k k x k k +=-.同理可得4343)N k k x k k +=-.下面去证明141.2k k =-设00(,)P x y ，则220022x y +=.所以22001422001222y y k k x y ====---. 同理231.2k k =-所以12211211222()1122N M k k x x k k --+===---. 所以直线MN 垂直于x 轴. 方法2：设直线l 方程为1122,(,),(,)y kx m P x y Q x y =+. 由2222y kx mx y =+⎧⎨+=⎩ 得222(12)4220k x kmx m +++-=.当0∆>时，2121222422,1212km m x x x x k k--+==++. 直线1A P方程为y x =，直线2A Q方程为y x =，x x =，得x =21121221[((((y x y x x y x y x -=+其中，21122112((()(()(y x y x kx m x kx m x -=+-+1212()()x x m x x =++-+1221221224()12()12()12km m x x k m x x km x x k-=+-++=+-+=+-+12211221(()(()(y x y x kx m x kx m x ++++1212212()()kx x m x x x x =++-22122212122242()12124()12)m km k m x x k kk x x k x x --=+-++-=-+=+- 所以2M k x m-=，即点M 的横坐标与,P Q 两点的坐标无关，只与直线l 的方程有关. 所以2N M k x x m -==，直线MN 垂直于x 轴.。
北京市海淀区2018届高三第一学期期末理科数学试题(Word版含答案)
海淀区高三年级第一学期期末练习数学(理科) 2018.1第一部分（选择题 共40分)一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.(1）复数12ii+= A 。
2i - B 。
2i + C 。
2i -- D. 2i -+（2）在极坐标系中Ox ，方程2sin ρθ=表示的圆为A. B 。
C. D 。
（3)执行如图所示的程序框图，输出的k 值为A 。
4B 。
5C 。
6D.7（4）设m 是不为零的实数,则“0m”是“方程221x y m m-=表示 的曲线为双曲线”的A 。
充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D 。
既不充分也不必要条件(5）已知直线0x y m -+=与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点，且AOB ∆为正三角形，则实数m 的值为A 。
B. C. - D.（6）从编号分别为1，2,3，4，5，6的六个大小完全相同的小球中，随机取出三个小球，则恰有两个小球编号相邻的概率为A. 15B. 25 C 。
35 D 。
45(7)某三棱锥的三视图如图所示，则下列说法中：①三棱锥的体积为16②三棱锥的四个面全是直角三角形所有正确的说法是A 。
①B 。
①②C. ②③D 。
①③(8）已知点F 为抛物线2:2(0)C y px p=的焦点，点K 为点F 关于原点的对称点，点M 在抛物线C 上，则下列说法错误．．的是 A.使得MFK ∆为等腰三角形的点M 有且仅有4个B 。
使得MFK ∆为直角三角形的点M 有且仅有4个C 。
使得4MKF π∠=的点M 有且仅有4个D 。
使得6MKF π∠=的点M 有且仅有4个第二部分（非选择题 共110分)二、填空题共6小题,每小题5分,共30分.（9）点(2,0)到双曲线2214x y -=的渐近线的距离是 。
（10）已知公差为1的等差数列{}n a 中,1a ，2a ，4a 成等比数列，则{}n a 的前100项和为 . (11)设抛物线2:4C y x =的顶点为O ，经过抛物线C 的焦点且垂直于x 轴的直线和抛物线C 交于,A B 两点,则OA OB += 。
【高三数学试题精选】2018届高三数学文5月期末(二模)试题(北京市海淀区带答案)
2018届高三数学文5月期末(二模)试题（北京市海淀区带
答案）
c 海淀区高三年级第二学期期末练习
数学（科）20185
本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上
作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1若集合，或，则
A B c D
2 在复平面内，复数对应的点的坐标为
A B c D
3 已知向量，若，则
A B c D
4 执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的为
A B
c D
5已知数列是等比数列，则“ ”是“数列为递增数列”的
A 充分而不必要条
B 必要而不充分条
c 充分必要条D 既不充分也不必要条
6北京市2018年12个月的P25平均浓度指数如右图所示由图判断，四个季度中P25的平均浓度指数方差最小的是
A第一季度B第二季度
c第三季度D第四季度
7函数的图象如图所示，则的解析式可以为
A B
c D
8一位手机用户前四次输入四位数字手机密码均不正确，第五次。
北京市海淀区高三5月期末练习(二模)数学(理)试题.pdf
海淀区高三年级第学期期练习 数 学 科 2013.5 本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。
一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. ，，则 A． B． C． D． 2.已知数列是公比为的等比数列，且，，则的值为 A． B． C．或 D．或 3. 如图，在边长为的正方形内有不规则图形. 向正方形内随机撒豆子，若 撒在图形内和正方形内的豆子数分别为，则图形面积的估计值为 A. B. C. D. 4.某空间几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为 A. B. C. D. 5.在四边形中，“，使得”是“四边形为平行四边形”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 6.用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，且5不排在百位，2，4都不排在个位和万位，则这样的五位数个数为 A. B. C. D. 7.双曲线的左右焦点分别为，且恰为抛物线的焦点，设双曲线与该抛物线的一个交点为，若是以为底边的等腰三角形，则双曲线的离心率为 A. B. C. D. 8. 若数列满足：存在正整数，对于任意正整数都有成立，则称数列为周期数列，周期为. 已知数列满足， 则下列结论中错误的是 A. 若，则可以取3个不同的值 B. 若，则数列是周期为的数列 C.且，存在，是周期为的数列 D.且，数列是周期数列 二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. 的距离为_______. 10.已知，则按照从大到小排列为______. 11.直线过点且倾斜角为，直线过点且与直线垂直，则直线与直线 的交点坐标为____. 12.在中，，则 13.正方体的棱长为，若动点在线段上运动，则的取值范围是______________. 14.在平面直角坐标系中，动点到两条坐标轴的距离之和等于它到点的距离，记点的轨迹为曲线. (I) 给出下列三个结论： ①曲线关于原点对称； ②曲线关于直线对称； ③曲线与轴非负半轴，轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于； 其中，所有正确结论的序号是_____; (Ⅱ)曲线上的点到原点距离的最小值为______. 三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程. 满分 已知函数. （Ⅰ）求函数的定义域； (Ⅱ) 求函数的单调递增区间. 16.（本小题满分 福彩中心发行彩票的目的是为了获取资金资助福利事业,现在福彩中心准备发行一种面值为5元的福利彩票刮刮卡，设计方案如下：（1）该福利彩票中奖率为50%；（2）每张中奖彩票的中奖奖金有5元，50元和150元三种；（3）顾客购买一张彩票获得150元奖金的概率为，获得50元奖金的概率为. (I)假设某顾客一次性花10元购买两张彩票，求其至少有一张彩票中奖的概率； （II）为了能够筹得资金资助福利事业, 求的取值范围. 17. （本小题满分 如图1，在直角梯形中，，，， . 把沿对角线折起到的位置,如图2所示,使得点在平面上的正投影恰好落在线段上，连接,点分别为线段的中点． (I) 求证：平面平面； (II)求直线与平面所成角的正弦值； (III)在棱上是否存在一点,使得到点四点的距离相等？请说明理由. 18.（本小题满分 已知函数,点为一定点,直线分别与函数的图象和轴交于点,,记的面积为. （I）当时,求函数的单调区间； （II）当时, 若,使得, 求实数的取值范围. 19. （本小题满分 已知椭圆的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为的菱形的四个顶点. （I）求椭圆的方程； （II）与椭圆交于，两点，且线段的垂直平分线经过点，求 （为原点）面积的最大值. 20.（本小题满分 123101设是由个实数组成的行列的数表，如果某一行（或某一列）各数之和为负数，则改变该行（或该列）中所有数的符号，称为一次“操作”. (Ⅰ) 数表如表1所示，若经过两次“操作”，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数，请写出每次“操作”后所得的数表（写出一种方法即可）；表1 (Ⅱ) 数表如表2所示，若必须经过两次“操作”，才可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，求整数的所有可能值； (Ⅲ)对由个实数组成的行列的任意一个数表， 能否经过有限次“操作”以后，使得到的数表每行的各数之 表2 和与每列的各数之和均为非负整数？请说明理由. 海淀区高三年级第学期练习 数 学 （理） 参考答案及评分标准 201． 说明： 合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数 一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分） 题号12345678答案DCBCABD 9． 10． 11 12． 13． 14．二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分， 共30分） 三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15．（本小题满分13分） 所以 ……………………2分 所以函数的定义域为 ……………………4分 （II）因为 ……………………6分 ……………………8分 又的单调递增区间为 ， 令 解得 ……………………11分 又注意到 所以的单调递增区间为， …………………13分 16. 解：（I）设至少一张中奖为事件 则 …………………4分 (II) 设福彩中心卖出一张彩票可能获得的资金为 则可以取 …………………6分 的分布列为 …………………8分 所以的期望为 …………………11分 所以当 时，即 …………………12分 所以当时，福彩中心可以获取资金资助福利事业…………………13分17.解：（I）因为点在平面上的正投影恰好落在线段上 所以平面，所以 …………………1分 因为在直角梯形中，，， ， 所以，，所以是等边三角形， 所以是中点， …………………2分 所以 …………………3分 同理可证 又 所以平面 …………………5分 （II）在平面内过作的垂线 如图建立空间直角坐标系， 则，， …………………6分 因为， 设平面的法向量为 因为， 所以有，即， 令则 所以 …………………8分 …………………10分 所以直线与平面所成角的正弦值为 …………………11分 (III)存在，事实上记点为即可 …………………12分 因为在直角三角形中，， …………………13分 在直角三角形中，点 所以点到四个点的距离相等 …………………14分 18.解: (I) 因为，其中 …………………2分 当，，其中 当时，，， 所以，所以在上递增， …………………4分 当时，，， 令， 解得，所以在上递增 令， 解得，所以在上递减 ……………7分 综上，的单调递增区间为， 的单调递增区间为 （II），其中 当，时， 因为，使得，所以在上的最大值一定大于等于 ，令，得 …………………8分 当时，即时 对成立，单调递增 所以当时，取得最大值 令 ，解得 ， 所以…………………10分 当时，即时 对成立，单调递增 对成立，单调递减 所以当时，取得最大值 令 ，解得 所以…………………12分 综上所述，…………………13分 19.解:(I)因为椭圆的四个顶点恰好是一边长为2， 一内角为 的菱形的四个顶点, 所以,椭圆的方程为 …………………4分 (II)设因为的垂直平分线通过点， 显然直线有斜率， 当直线的斜率为时,则的垂直平分线为轴,则 所以 因为， 所以，当且仅当时，取得最大值为 ………………7分 当直线的斜率不为时,则设的方程为 所以，代入得到 当, 即 方程有两个不同的解 又， …………………8分 所以， 又，化简得到 代入，得到…………………10分 又原点到直线的距离为 所以 化简得到 …………………12分 因为，所以当时，即时，取得最大值 综上，面积的最大值为 …………………14分 20.（I）解：法1： 法2： 法3： …………………3分 (II) 每一列所有数之和分别为2，0，，0，每一行所有数之和分别为，1; ①如果首先操作第三列，则 则第一行之和为，第二行之和为， 这两个数中，必须有一个为负数，另外一个为非负数， 所以 或 当时，则接下来只能操作第一行， 此时每列之和分别为 必有，解得 当时，则接下来操作第二行 此时第4列和为负，不符合题意.…………………6分 ② 如果首先操作第一行 则每一列之和分别为，，， 当时，每列各数之和已经非负，不需要进行第二次操作，舍掉 当时，，至少有一个为负数， 所以此时必须有，即，所以或 经检验，或符合要求 综上：…………………9分 （III）能经过有限次操作以后，使得得到的数表所有的行和与所有的列和均为非负实数。
北京市海淀区2018届高三上学期期末考试数学(理)试题含答案
海淀区高三年级第一学期期末练习数学（理科） 2018.1第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）复数A. B.C.D.（2）在极坐标系中，方程表示的圆为A. B. C. D.（3）执行如图所示的程序框图，输出的值为A.4B.5C.6D.7（4）设是不为零的实数，则“”是“方程表示的曲线为双曲线”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件（5）已知直线与圆相交于两点，且为正三角形，则实数的值为A. B.C.或 D.或（6）从编号分别为1,2,3,4,5，6的六个大小完全相同的小球中，随机取出三个小球，则恰有两个小球编号相邻的概率为A. B.C.D.（7）某三棱锥的三视图如图所示，则下列说法中：①三棱锥的体积为②三棱锥的四个面全是直角三角形③三棱锥的四个面的面积最大的是所有正确的说法是A. ①B. ①②C. ②③D. ①③（8）已知点为抛物线的焦点，点为点关于原点的对称点，点在抛物线上，则下列说法错误．．的是A.使得为等腰三角形的点有且仅有4个B.使得为直角三角形的点有且仅有4个C. 使得的点有且仅有4个D. 使得的点有且仅有4个第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）点到双曲线的渐近线的距离是 .（10）已知公差为1的等差数列中，，，成等比数列，则的前100项和为 .（11）设抛物线的顶点为，经过抛物线的焦点且垂直于轴的直线和抛物线交于两点，则 .（12）已知的展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64:1，则 .（13）已知正方体的棱长为，点是棱的中点，点在底面内，点在线段上，若，则长度的最小值为 .（14）对任意实数，定义集合.①若集合表示的平面区域是一个三角形，则实数的取值范围是；②当时，若对任意的，有恒成立，且存在，使得成立，则实数的取值范围为 .三、解答题共6小题，共80分。
2018届北京市海淀区高三上学期期末考试数学(理)试题 Word版含解析
北京市海淀区2018届高三第一学期期末数学试题（理科）1. 复数A. B. C. D.【答案】A【解析】由，故选A.2. 在极坐标系中，方程表示的圆为A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意得，方程表示以，半径为的圆，故选D.3. 执行如图所示的程序框图，输出的值为（）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】B【解析】执行程序框图，可知：第一次循环：；第二次循环：；第三次循环：；第四次循环：，此时满足判断条件，终止循环，输出，故选B.4. 设是不为零的实数，则“”是“方程表示的曲线为双曲线”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由题意得，方程表示双曲线，则或，所以“”是方程“表示双曲线”的充分不必要条件，故选A.5. 已知直线与圆相交于两点，且为正三角形，则实数的值为（）A. B. C. 或 D. 或【答案】D【解析】由题意得，圆的圆心坐标为，半径.因为为正三角形，则圆心到直线的距离为，即，解得或，故选D.6. 从编号分别为1,2,3,4,5，6的六个大小完全相同的小球中，随机取出三个小球，则恰有两个小球编号相邻的概率为A. B. C. D.【答案】C【解析】从编号为的六个大小完全相同的小球中，随机取出三个小球，共有种不同的取法，恰好有两个小球编号相邻的有：，共有种，所以概率为，故选C.7. 某三棱锥的三视图如图所示，则下列说法中：①三棱锥的体积为②三棱锥的四个面全是直角三角形③三棱锥的四个面的面积最大的是所有正确的说法是A. ①B. ①②C. ②③D. ①③【答案】D【解析】由题意得，根据给定的三视图可知，该几何体表示底面是腰长为的等腰直角三角形，高为的三棱锥，即平面，则三棱锥的体积为，故①是正确的；其中为边长为的等边三角形，所以②不正确；其中为面积最大的面，其面积为，所以③是正确的，故选D.8. 已知点为抛物线的焦点，点为点关于原点的对称点，点在抛物线上，则下列说法错误的是（）A. 使得为等腰三角形的点有且仅有4个B. 使得为直角三角形的点有且仅有4个C. 使得的点有且仅有4个D. 使得的点有且仅有4个【答案】C【解析】由为等腰三角形，若，则有两个点，若，则不存在，若，则有两个点，使得为等腰三角形，的点有四个点；由中，为直角的点有两个点，为直角的点不存在；为直角的点有两个，则使得为等腰三角形，的点有且仅有四个点；若的在第一象限，可得直线，代入抛物线的方程可得，解得，由对称性可得在第四象限只有一个，则满足的只有两个；使得的点在第一象限，可得直线，代入抛物线的方程，可得，可得点有两个，若点在第四象限，由对称性可得也有两个，则使得的点有且仅有四个，故选选C.点睛：本题主要考查了抛物线的标准方程及其简单的几何性质，以及直线与抛物线的位置关系的应用问题，此类问题的解答通常是把直线的方程代入曲线的方程，转化为一元二次方程，利用根于系数的关系和韦达定理求解是解答的关键，同时考查了分类讨论思想和数形结合思想的应用.9. 点到双曲线的渐近线的距离是___________.【答案】【解析】由双曲线的方程，可得双曲线的一条渐近线的方程为，级，所以点到渐近线的距离为.10. 已知公差为1的等差数列中，，，成等比数列，则的前100项和为__________.【答案】5050【解析】由题意得，构成等比数列，所以，即，解得，所以数列的前项的和为.11. 设抛物线的顶点为，经过抛物线的焦点且垂直于轴的直线和抛物线交于两点，则________.【答案】2【解析】由抛物线的焦点为，经过抛物线的焦点且垂直与的直线和抛物线交于两点，则,所以.12. 已知的展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64:1，则_____.【答案】6【解析】由题意得，令，可得展开式中各项的系数和为，由展开式中各项的二项式系数的和为，则.13. 已知正方体的棱长为，点是棱的中点，点在底面内，点在线段上，若，则长度的最小值为_____.【答案】【解析】由题意得，过点作平面，垂足为，在点在线段上，分别连接,在直角中，，在平面内过点作，则，即到直线的最短距离为，又，当时，此时,所以的最小值为.14. 对任意实数，定义集合.①若集合表示的平面区域是一个三角形，则实数的取值范围是______；②当时，若对任意的，有恒成立，且存在，使得成立，则实数的取值范围为_______.【答案】(1). (2).【解析】作出不等式组所表示的平面区域，如图所示，若不等式组表示的平面区域是一个三角形，观察图形可得只要满足时，满足题设条件，对于任意，有恒成立，则恒成立，因为表示与定点的斜率，当过点时，此时有最小值，最小值为，即，存在，使得成立，则，平移目标函数，当直线和重合时，此时最小，最小值为，则，综上所述的取值范围是.点睛：本题主要考查了简单的线性规划的应用，利用图象分析目标函数的取值范围是解得关键，其中线性规划问题有三类:（1）简单线性规划，包括画出可行域和考查截距型目标函数的最值，有时考查斜率型或距离型目标函数；（2）线性规划逆向思维问题，给出最值或最优解个数求参数取值范围；（3）线性规划的实际应用.15. 如图，在中，点在边上，且.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值.【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意得，设，则，，在在中，由余弦定理列出方程，即可求解的长；（Ⅱ）在中，由正弦定理，求得进而的值，进而得到，即可求解的值；或在中，由余弦定理，求解的值，得，求出，从而得到结论.试题解析：（Ⅰ）如图所示，，故，设，则，.在中，由余弦定理即，解得，即.（Ⅱ）方法一.在中，由，得，故在中，由正弦定理得：即，故，由，得，方法二. 在中，由余弦定理由，故，故16. 据中国日报网报道：2017年11月13日，TOP500发布的最新一期全球超级计算机500强榜单显示，中国超算在前五名中占据两席，其中超算全球第一“神威太湖之光”完全使用了国产品牌处理器。