2017年江苏省南京市秦淮区中考数学二模试卷及答案详解
第1页（共26页） 2017年江苏省南京市秦淮区中考数学二模试卷 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．（2分）计算的结果是（ ） A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4 2．（2分）下列计算正确的是（ ） A．（2a﹣1）2＝4a2﹣1 B．3a6÷3a3＝a2 C．（﹣ab2）4＝﹣a4b6 D．﹣2a+（2a﹣1）＝﹣1 3．（2分）下列命题错误的是（ ） A．平行四边形的对角线互相平分 B．矩形的对角线相等 C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 D．对角线相等的四边形是矩形 4．（2分）已知a＝，b＝，c＝，则下列大小关系正确的是（ ） A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．a＞c＞b 5．（2分）设m、n是一元二次方程x2+2x﹣7＝0的两个根，则m2+3m+n＝（ ） A．﹣5 B．9 C．5 D．7 6．（2分）如图，将△ABC绕点C（0，﹣1）旋转180°得到△A'B'C，设点A的坐标为（a，b），则点A′的坐标为（ ）
A．（﹣a，﹣b） B．（﹣a．﹣b﹣1） C．（﹣a，﹣b+1） D．（﹣a，﹣b﹣2） 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置上） 7．（2分）8的平方根是 ；8的立方根是 ． 8．（2分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ． 9．（2分）“五一”小长假首日，全国旅游接待总人数约为 52 500 000人次，将 52 500 000 第2页（共26页）
用科学记数法表示为 ． 10．（2分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个相等的实数根，则k值为 ． 11．（2分）若圆锥的底面半径为3，母线长为4，则这个圆锥的侧面积是 ． 12．（2分）正比例函数y＝mx和反比例函数的一个交点为（1，2），则另一个交点是 ． 13．（2分）如图，A、B为⊙O上两点，OB＝10，AB＝16，P为AB上一动点，则点P到圆心O的最短距离为 ．
14．（2分）如图，AD、CE是△ABC的中线，G是△ABC的重心，且AD⊥CE．若AD＝3，CE＝6，则AB＝ ．
15．（2分）已知二次函数y1＝a1x2+b1x+c1中，函数y1与自变量x之间的部分对应值如下表： x … ﹣2 ﹣1 1 2 4 5 … y1 … ﹣5 0 4 3 ﹣5 ﹣12 … 如果将该函数的图象沿x轴翻折，得到二次函数y2＝a2x2+b2x+c2的图象，则当x＝﹣3时，y2＝ ．
16．（2分）如图，在△ABC中，CA＝CB，AC＝3，AB＝4，与CA延长线、AB、CB延长线相切，切点分别为E、D、F，则该弧所在圆的半径为 ．
三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文 第3页（共26页）
字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6分）解不等式组，并写出它的整数解．
18．（6分）化简（）÷． 19．（8分）如图，四边形ABCD为平行四边形，∠DAB的平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E，连接BF． （1）求证：BE＝CD； （2）若BF⊥AE，∠BEA＝45°，AB＝4，则平行四边形ABCD的面积是 ．
20．（6分）为了了解某区九年级学生体育中考成绩，现从该区随机抽取部分学生的体育成绩进行分段，分数段如下：A：40分；B：39.5分；C：39分；D：38～38.5分；E：0～37.5分．（注：体育中考成绩由高到低依次为40分、39.5分、39分、38.5分、38分……）绘制成统计表如下：
分数段 人数 频率 A 160 0.4 B 168 a C b c D d 0.07 E e 0.06 根据上面提供的信息，回答下列问题： （1）在统计表中，a的值为 ，b的值为 ； （2）甲同学说：“我的体育成绩是此次抽样调查所得数据的中位数”，那么甲同学的体育成绩在分数段 内；（填相应分数段的字母） 第4页（共26页）
（3）若把成绩大于39分定为优秀，则今年该区3600名九年级学生体育中考成绩为优秀的学生人数约有多少名？ 21．（8分）王老师从3名男生和2名女生中随机抽取参加“我是朗读者”演讲比赛的同学． （1）若抽取1名，恰好是男生的概率为 ； （2）若抽取2名，求恰好是2名女生的概率． 22．（8分）如图，函数y＝ax2+bx+c的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C，对称轴为过点（2，0）且平行于y轴的直线，已知A（1，0），C（0，3）． （1）求该函数的表达式； （2）将该函数图象向上平移 个单位长度，得到的函数图象与x轴只有一个公共点．
23．（8分）某商场在“五一”小长假期间销售一批衬衫，平均每天可销售20件，每件可获利400元．经调查发现，在一定范围内，衬衫的单价每降10元，每天就可多售出2件衬衫．这种衬衫的单价应降价多少元，才能使商场通过销售这批衬衫平均每天盈利12000元？ 24．（8分）已知：C、D是∠AOB的边OB上两点，请通过直尺和圆规完成以下作图（保留作图的痕迹，不写作法）． （1）在射线OA上取一点P，使得PC＝PD； （2）在（1）中，连接PC、PD，再在射线OA上取一点Q，使得∠CQD＝∠CPD． 第5页（共26页）
25．（10分）王老师每天上班的行程是：首先要步行到距离家1km的某地铁起始站，然后乘坐15分钟地铁到达学校．某日，王老师早上7：00从家出发，当坐上地铁到达某站时，发现有一本书忘记带了，于是立刻乘坐反方向地铁回家取书，当他到达起始站后，立刻骑共享单车回家，骑车速度是步行速度的2倍．图中的折线表示王老师从出发到回到家的过程中，离家的距离y（km）与行程时间x（min）之间的函数关系．所有衔接时间全部忽略不计，根据图象进行以下探究： （1）王老师的步行速度是 km/min，地铁的速度是 km/min； （2）①求线段BC、CD的函数表达式； ②求王老师几点钟回到家？ （3）若王老师再通过骑共享单车及乘坐地铁到学校，请在图上继续画出这段行程的y与x之间的函数图象．（注：请标注出必要的数据）
26．（8分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，且OC⊥AB，过点D、A分别作⊙O的切线交于点G，延长BA、DG交于点F． （1）求证∠FED＝∠FDE； （2）若，⊙O的半径为3，求DG的长． 第6页（共26页）
27．（12分）我们知道，锐角三角函数可以揭示三角形的边与角之间的关系．为了解决有关锐角三角函数的问题，我们往往需要构造直角三角形．例如，已知tanα＝（0°＜α＜
90°），tanβ＝（0°＜β＜90°），求α+β的度数，我们就可以在图①的方格纸中构造Rt△ABC和Rt△AED来解决．
（1）利用图①可得α+β＝ °； （2）若tan2α＝（0°＜α＜45°），请在图②的方格纸中构造直角三角形，求tanα； （3）在矩形ABCD中，AC与BD交于点O，设∠CAB＝α（0°＜α＜45°），请利用图③探究sin2α、cosα和sinα的数量关系． 第7页（共26页）
2017年江苏省南京市秦淮区中考数学二模试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．（2分）计算的结果是（ ） A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4 【分析】直接利用二次根式的性质化简求出即可． 【解答】解：＝2． 故选：B． 【点评】此题主要考查了二次根式的化简，正确利用二次根式的性质得出是解题关键． 2．（2分）下列计算正确的是（ ） A．（2a﹣1）2＝4a2﹣1 B．3a6÷3a3＝a2 C．（﹣ab2）4＝﹣a4b6 D．﹣2a+（2a﹣1）＝﹣1 【分析】原式利用完全平方公式，单项式乘单项式，幂的乘方与积的乘方，以及去括号，合并同类项法则计算得到结果，即可作出判断． 【解答】解：A、原式＝4a2﹣4a+1，不符合题意； B、原式＝a3，不符合题意； C、原式＝a4b8，不符合题意； D、原式＝﹣2a+2a﹣1＝﹣1，符合题意， 故选：D． 【点评】此题考查了整式的混合运算，完全平方公式，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键． 3．（2分）下列命题错误的是（ ） A．平行四边形的对角线互相平分 B．矩形的对角线相等 C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 D．对角线相等的四边形是矩形 【分析】根据平行四边形的性质，矩形的性质，菱形的判定对各选项分析判断即可得解． 第8页（共26页）
【解答】解：A、平行四边形的对角线互相平分，命题正确，故本选项错误； B、矩形的对角线相等，命题正确，故本选项错误； C、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，命题正确，故本选项错误； D、对角线相等的四边形是矩形，命题错误，例如等腰梯形，故本选项正确． 故选：D． 【点评】本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 4．（2分）已知a＝，b＝，c＝，则下列大小关系正确的是（ ） A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．a＞c＞b 【分析】将a，b，c变形后，根据分母大的反而小比较大小即可． 【解答】解：∵a＝＝，b＝＝，c＝＝，且＜＜， ∴＞＞，即a＞b＞c， 故选：A． 【点评】此题考查了实数比较大小，将a，b，c进行适当的变形是解本题的关键． 5．（2分）设m、n是一元二次方程x2+2x﹣7＝0的两个根，则m2+3m+n＝（ ） A．﹣5 B．9 C．5 D．7 【分析】由韦达定理和方程的解的定义得出m+n＝﹣2，m2+2m﹣7＝0，即m2+2m＝7，代入原式＝m2+2m+m+n计算可得． 【解答】解：∵m、n是一元二次方程x2+2x﹣7＝0的两个根， ∴m+n＝﹣2，m2+2m﹣7＝0，即m2+2m＝7， 则原式＝m2+2m+m+n＝7﹣2＝5， 故选：C． 【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c均为常数且a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2＝﹣，x1•x2＝． 6．（2分）如图，将△ABC绕点C（0，﹣1）旋转180°得到△A'B'C，设点A的坐标为（a，b），则点A′的坐标为（ ）
2023年江苏省南京市秦淮区中考二模数学试卷
C.﹣2a6÷a2＝﹣2a3D.（a＋b）2＝a2＋b2
【答案】B
【解析】
【分析】利用整式的加法法则、积的乘方法则、同底数幂的除法法则、多项式的乘法法则分别计算，即可找出正确答案．
【详解】解：A选项，a2和a3不是同类项，不能合并，故此选项错误；
B选项， ，故此选项正确；
∴∠CAD＝90°，
∴∠ACD+∠D＝90°，
∵∠ACD＝40°，
∴∠ADC＝∠B＝50°．
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，注意掌握数形结合思想是解题的关键．
6.如图，矩形ABCD的顶点A、C分别在直线a、b上，且a∥b，∠1=60°，则∠2的度数为（）
A. 30°B. 45°C. 60°D.
A 0B.2C.－1D.
2.下列运算正确的是（ ）
A.a2＋a3＝a5B.（﹣a3）2＝a6
C.﹣2a6÷a2＝﹣2a3D.（a＋b）2＝a2＋b2
3.脱贫攻坚成果举世瞩目， 万农村贫困人口实现脱贫， 万这个数用科学记数法表示为（）
A. B. C. D.
4.二次函数 的最小值是（）
A. B. C. D.6
5.如图， 内接于 ，CD是 的直径， ，则 （）
A.70°B.60°C.50°D.40°
6.如图，矩形ABCD的顶点A、C分别在直线a、b上，且a∥b，∠1=60°，则∠2的度数为（）
A 30°B. 45°C. 60°D. 75°
7.如图，CD是 的中线，E，F分别是AC，DC的中点， ，则BD的长为（）
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：过点D作DE∥a，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠ADC=90°，∴∠3=90°﹣∠1=90°﹣60°=30°，∵a∥b，∴DE∥a∥b，∴∠4=∠3=30°，∠2=∠5，∴∠2=90°﹣30°=60°．故选C．
中考二模检测《数学卷》含答案解析
数学中考综合模拟检测试题学校________ 班级________ 姓名________ 成绩________一、选择题(每题3分,共24分)1. 全球可被人类利用的淡水总量约占地球上总水量的0.00003，因此珍惜水，保护水是每个公民的责任．其中数字0.00003用科学计数法表示为( ) A 3×10-5B. 3×10-4C. 0.3×10-5D. 0.3×10-42. 一元二次方程x 2-3x=0的解是( ) A. 0B. 3C. 0，3D. 0，-23. 一个正多边形的内角和为540°，则这个正多边形的每一个外角等于( ) A. 108°B. 90°C. 72°D. 60°4. 若不等式组0422x a x x +≥⎧⎨->-⎩有解，则实数的取值范围是( )．A. 2a ≥-B. 2a <-C. 2a ≤-D. 2a >-5. 已知函数y=kx的图像经过点(1，-1)，则函数y=kx-2的图像是( ) A. B. C. D.6. 下列调查方式中适合的是( )A. 要了解一批节能灯的使用寿命，采用普查方式B. 调查你所在班级同学身高，采用抽样调查方式C. 环保部门调查长江某段水域的水质情况，采用抽样调查方式D. 调查全市中学生每天的就寝时间，采用普查方式7. 如图，点E ，F 分别在菱形ABCD 的边AB ，AD 上，且AE = DF ，BF 交DE 于G ，延长BF 交CD 的延长线于H ，若2AF DF =，则HFBG的值为( )A.712B.23C.12D.5128. 如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C1的两边在坐标轴上，以它的对角线OB1为边作正方形OB1B2C2，再以正方形OB1B2C2的对角线OB2为边作正方形OB2B3C3，以此类推…、则正方形OB2016B2017C2017的顶点B2017的坐标是．A. (21008,0)B. (21008 ,21008)C. (0, 21008)D. (21007, 21007)二.填空题(每题3分，共24分)9. 分解因式：228ax a=_______．10. 在式子212xx++中自变量x 的取值范围是__________11. 若关于x的分式方程7311mxx x+=--无解，则实数m=_______．12. 若小张投掷两次一枚质地均匀的硬币，则两次出现正面朝上的概率是________．13. 一个射击运动员连续射靶5次所得环数分别为8，6，10，7，9，则这个运动员所得环数的方差为______．14 如图，直线a∥b，∠1=45°，∠2=30°，则∠P=_______°．15. 如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分，对称轴是直线x=1，①b2＞4ac;②4a﹣2b+c＜0;③不等式ax2+bx+c＞0的解集是x＞3;④若(﹣2，y1)，(5，y2)是抛物线上的两点，则y1＜y2．上述判断中，正确的是________．16. 如图，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点.点E在CD上，且DE=2CE，连接BE.过点C作CF⊥BE，垂足是F，连接OF，则OF的长为.三.解答题(共102分)17. -14+3tan30°-33+(2017+)0+(12)-218 先化简，再求值：(1-32a+)÷22214a aa-+-其中a=(-13)-119. 如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD，小李在山坡的坡脚A处测得广告牌底仰角为60°，沿坡度为1：3的坡面AB向上行走到B处，测得广告牌顶部C的仰角为45°，又知AB=10m，AE=15m，求广告牌CD 的高度(精确到0.1m，测角仪的高度忽略不计)20. 某商场举行开业酬宾活动，设立了两个可以自由转动的转盘(如图所示，两个转盘均被等分)，并规定：顾客购买满188元的商品，即可任选一个转盘转动一次，转盘停止后，指针所指区域内容即为优惠方式;若指针所指区域空白，则无优惠．已知小张在该商场消费300元(1)若他选择转动转盘1，则他能得到优惠的概率为多少?(2)选择转动转盘1和转盘2，哪种方式对于小张更合算，请通过计算加以说明．21. 2008京奥运会后，同学们参与体育锻炼的热情高涨．为了解他们平均每周的锻炼时间，小明同学在校内随机调查了50名同学，统计并制作了如下的频数分布表和扇形统计图．根据上述信息解答下列问题：(1)m=______，n=_________;(2)在扇形统计图中，D组所占圆心角的度数为_____________;(3)全校共有3000名学生，估计该校平均每周体育锻炼时间不少于6小时的学生约有多少名．22. 九(1)班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x(1≤x≤90)天的售价与销售量的相关信息如下表：时间x(天) 1≤x＜5050≤x≤90售价(元/件) x＋4090每天销量(件) 200－2x已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元[(1)求出y与x的函数关系式;(2)问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少?(3)该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元?请直接写出结果.23. 某市对城区部分路段的人行道地砖、绿化带、排水管等公用设施进行全面更新改造，根据市政建设的需要，需在35天内完成工程.现有甲、乙两个工程队有意承包这项工程，经调查知道，乙工程队单独完成此项工程的时间是甲工程队单独完成此项工程时间的2倍，若甲、乙两工程队合作，只需10天完成．(1)甲、乙两个工程队单独完成此项工程各需多少天?(2)若甲工程队每天的工程费用是4万元，乙工程队每天的工程费用是2.5万元，请你设计一种方案，既能按时完工，又能使工程费用最少．24. 如图在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ，过点D 作DE⊥AC 于E 交AB 的延长线于点F ，(1)求证：EF 是⊙O 的切线; (2)若AE=6，FB=4，求⊙O 的面积．25. 菱形ABCD 中，两条对角线AC ，BD 相交于点O ，∠MON+∠BCD=180°，∠MON 绕点O 旋转，射线OM 交边BC 于点E ，射线ON 交边DC 于点F ，连接EF ．(1)如图1，当∠ABC=90°时，△OEF 形状是 ; (2)如图2，当∠ABC=60°时，请判断△OEF 的形状，并说明理由;(3)在(1)的条件下，将∠MON 的顶点移到AO 的中点O′处，∠MO′N 绕点O′旋转，仍满足∠MO′N+∠BCD=180°，射线O′M 交直线BC 于点E ，射线O′N 交直线CD 于点F ，当BC=4，且ΔO'EF 98ABCDS S四边形时，直接写出线段CE 的长．26. 如图，直线y=x+4交于x 轴于点A ，交y 轴于点C ，过A 、C 两点的抛物线F 1交x 轴于另一点B(1，0)． (1)求抛物线F 1所表示的二次函数的表达式及顶点Q 的坐标;(2)在抛物线上是否存在点P ，使△BPC 的内心在y 轴上，若存在，求出点P 的坐标，若不存在写出理由; (3)直线y=kx-6与y 轴交于点N,与直线AC 的交点为M,当△MNC 与△AOC 相似时，求点M 坐标．答案与解析一、选择题(每题3分,共24分)1. 全球可被人类利用的淡水总量约占地球上总水量的0.00003，因此珍惜水，保护水是每个公民的责任．其中数字0.00003用科学计数法表示为( )A. 3×10-5B. 3×10-4C. 0.3×10-5D. 0.3×10-4【答案】A【解析】由科学计数法的定义得：0.00003=3×10−5，故选A.2. 一元二次方程x2-3x=0的解是( )A. 0B. 3C. 0，3D. 0，-2【答案】C【解析】原方程变形为：x(x-3)=0，x1=0，x2=3．故答案为x1=0，x2=3．点睛：本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．本题运用的是因式分解法．3. 一个正多边形的内角和为540°，则这个正多边形的每一个外角等于()A. 108°B. 90°C. 72°D. 60°【答案】C【解析】分析】首先设此多边形为n边形，根据题意得：180(n-2)=540，即可求得n=5，再由多边形的外角和等于360°，即可求得答案．【详解】解：设此多边形为n边形，根据题意得：180(n-2)=540，解得：n=5，∴这个正多边形的每一个外角等于：3605=72°．故选C．【点睛】此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．注意掌握多边形内角和定理：(n-2)•180°，外角和等于360°． 4. 若不等式组0422x a x x +≥⎧⎨->-⎩有解，则实数取值范围是( )．A. 2a ≥-B. 2a <-C. 2a ≤-D. 2a >-【答案】D 【解析】【详解】试题解析：0422x a x x +≥⎧⎨->-⎩①②由①得：x a ≥-．由②得：224x x -->--36x ->- 2x <．因不等式组有解：可画图表示为：由图可得使不等式组有解的的取值范围为：2a -<． ∴2a >-． 故选D ． 5. 已知函数y=kx的图像经过点(1，-1)，则函数y=kx-2的图像是( ) A. B. C. D.【答案】A 【解析】将(1，-1)，代人y=kx，得k=-1， 所以一次函数的解析式为y=-x-2.根据k=-1＜0，且过点(0，-2)，可判断图像经过二、三、四象限. 故选A.6. 下列调查方式中适合的是( )A. 要了解一批节能灯的使用寿命，采用普查方式B. 调查你所在班级同学的身高，采用抽样调查方式C. 环保部门调查长江某段水域的水质情况，采用抽样调查方式D. 调查全市中学生每天的就寝时间，采用普查方式 【答案】C 【解析】 【分析】利用抽样调查，全面普查适用范围直接判断即可【详解】A. 要了解一批节能灯的使用寿命，应采用抽样调查方式，故A 错 B. 调查你所在班级同学的身高，应采用全面普查方式，故B 错C. 环保部门调查沱江某段水域的水质情况，应采用抽样调查方式，故C 对D. 调查全市中学生每天的就寝时间，应采用抽样调查方式，故D 错 【点睛】本题主要全面普查和抽样调查应用范围，基础知识牢固是解题关键7. 如图，点E ，F 分别在菱形ABCD 的边AB ，AD 上，且AE = DF ，BF 交DE 于G ，延长BF 交CD 的延长线于H ，若2AF DF ，则HFBG的值为( )A.712B.23C.12D.512【答案】A 【解析】设DF=a ，则DF=AE=a ，AF=EB=2a ，由△HFD∽△BFA，得===，求出FH ，再由HD∥EB，得△DGH∽△EGB，得===，求出BG 即可解决问题．解：∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB=BC=CD=AD，∵AF=2DF，设DF=a ，则DF=AE=a ，AF=EB=2a ， ∵HD∥AB，∴△HFD∽△BFA，∴===，∴HD=1.5a，=，∴FH=BH，∵HD∥EB，∴△DGH∽△EGB，∴===，∴=，∴BG=HB，∴．故选A．“点睛”本题考查相似三角形的性质和判定、菱形的性质、比例的选择等知识，解题的关键是利用相似三角形的性质解决问题，学会设参数，属于中考常考题型．8. 如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C1的两边在坐标轴上，以它的对角线OB1为边作正方形OB1B2C2，再以正方形OB1B2C2的对角线OB2为边作正方形OB2B3C3，以此类推…、则正方形OB2016B2017C2017的顶点B2017的坐标是．A. (21008,0)B. (21008 ,21008)C. (0, 21008)D. (21007, 21007)【答案】B【解析】观察发现：B1(1,1),B2(0,2),B3(−2,2),B4(−4,0),B5(−4,−4),B6(0,−8),B7(8,−8),B8(16,0),B9(16,16)，…，∴B8n+1(24n,24n)(n为自然数).∵2017=8×252+1，∴点B2017的坐标为(21008,21008).故答案为(21008,21008).点睛：本题主要考查正方形的性质和坐标与图形的性质的知识点，解答本题的关键是由点的坐标规律发现每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同.2倍.二.填空题(每题3分，共24分)9. 分解因式：2ax a=_______．28【答案】2(2)(2)a x x +-【解析】【分析】首先提公因式2a ，再利用平方差公式分解即可．【详解】原式=2a (x 2﹣4)=2a (x +2)(x ﹣2)．故答案为2a (x +2)(x ﹣2)．【点睛】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．10. 在式子2x +中自变量x 的取值范围是__________ 【答案】2x ≠-【解析】根据分式的意义和二次根式的意义，列不等式组求解．根据题意得210{20x x +≥+≠，解得x≠-2． 故填：x≠-211. 若关于x 的分式方程7311mx x x +=--无解，则实数m =_______． 【答案】3或7．【解析】解：方程去分母得：7+3(x ﹣1)=mx ，整理得：(m ﹣3)x =4．①当整式方程无解时，m ﹣3=0，m =3; ②当整式方程的解为分式方程的增根时，x =1，∴m ﹣3=4，m =7．综上所述：∴m 的值为3或7．故答案为3或7．12. 若小张投掷两次一枚质地均匀的硬币，则两次出现正面朝上的概率是________． 【答案】14 【解析】随机掷一枚均匀的硬币两次，可能的结果有：正正，正反，反正，反反， ∴两次正面都朝上的概率是14.故填：14.13. 一个射击运动员连续射靶5次所得环数分别为8，6，10，7，9，则这个运动员所得环数的方差为______．【答案】2【解析】数据8，6，10，7，9，的平均数=15(8+6+10+7+9)=8，方差=15[(8−8)2+(6−8)2+(10−8)2+(7−8)2+(9−8)2]=2.故填2.14. 如图，直线a∥b，∠1=45°，∠2=30°，则∠P=_______°．【答案】75．【解析】【详解】解：过P作PM∥直线a，∵直线a∥b，∴直线a∥b∥PM，∵∠1=45°，∠2=30°，∴∠EPM=∠2=30°，∠FPM=∠1=45°，∴∠EPF=∠EPM+∠FPM=30°+45°=75°，故答案为75．【点睛】本题考查平行线的性质，正确添加辅助线是解题关键．15. 如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分，对称轴是直线x=1，①b2＞4ac;②4a﹣2b+c＜0;③不等式ax2+bx+c＞0的解集是x＞3;④若(﹣2，y1)，(5，y2)是抛物线上的两点，则y1＜y2．上述判断中，正确的是________．【答案】①④【解析】∵抛物线与x轴有2个交点，∴b2−4ac>0，即b2>4ac，所以①正确;∵抛物线的对称轴是直线x=1，但不能确定抛物线与x轴的交点坐标，∴4a−2b+c<0不确定;不等式ax2+bx+c>0的解集x>3错误，所以②③错误;∵点(−2，y1)比点(5，y2)到直线x=1的距离小，而抛物线开口向上，∴y1<y2，所以④正确．故答案为①④．点睛：根据抛物线与x轴的交点个数对①进行判断;由于不能确定抛物线与x轴的交点坐标，于是可对②③进行判断;当抛物线开口向上，抛物线上的点到对称轴的距离越远，对应的函数值越大，由此可对④进行判断．16. 如图，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点.点E在CD上，且DE=2CE，连接BE.过点C作CF⊥BE，垂足是F，连接OF，则OF的长为.65.【解析】【分析】在BE上截取BG=CF，连接OG，证明△OBG≌△OCF，则OG=OF，∠BOG=∠COF，得出等腰直角三角形GOF，在RT△BCE中，根据射影定理求得GF的长，即可求得OF的长．【详解】如图，在BE上截取BG=CF，连接OG，∵Rt△BCE中，CF⊥BE，∴∠EBC=∠ECF，∵∠OBC=∠OCD=45°，∴∠OBG=∠OCF，∵OB=OC，∴△OBG≌△OCF(SAS)，∴OG=OF，∠BOG=∠COF，∴OG⊥OF，在RT△BCE中，BC=DC=6，DE=2EC，∴EC=2，∴222262210+=+=BC CE∵BC2=BF•BE，则62=BF210，解得：BF=105，∴EF=BE﹣BF=105，∵CF2=BF•EF，∴310，∴GF=BF﹣BG=BF﹣CF=105，在等腰直角△OGF中OF2=GF2，∴OF=65．65.三.解答题(共102分)17. -14+3tan30°30+(12)-2【答案】4【解析】试题分析：原式利用乘方、特殊角的三角函数值、零指数幂、负整数指数幂计算即可得到结果.试题解析：原式=-1+33318. 先化简，再求值：(1-32a+)÷22214a aa-+-其中a=(-13)-1【答案】21aa--，54【解析】试题分析：先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a的值代入进行计算即可．试题解析：原式=-()()2a2a2a1a2(a1)+--⨯+-=a2a1--,当11a a33-⎛⎫=-=-⎪⎝⎭即时，原式=5419. 如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD，小李在山坡的坡脚A处测得广告牌底仰角为60°，沿坡度为1：3的坡面AB向上行走到B处，测得广告牌顶部C的仰角为45°，又知AB=10m，AE=15m，求广告牌CD 的高度(精确到0.1m，测角仪的高度忽略不计)【答案】广告牌CD的高度约为2.7米【解析】试题分析：过B作DE的垂线，设垂足为G．分别在Rt△ABH中，通过解直角三角形求出BH、AH，在△ADE 解直角三角形求出DE的长，进而可求出EH即BG的长，在Rt△CBG中，∠CBG=45°，则CG=BG，由此可求出CG的长，然后根据CD=CG+GE-DE即可求出宣传牌的高度．试题解析：过B作BG⊥DE于G,Rt△ABH中,i=tan∠BAH=33∴∠BAH=30°，∴BH=12AB=5;∵BH⊥HE，GE⊥HE，BG⊥DE，∴四边形BHEG 是矩形． ∵BH=5,AH=53， ∴BG=AH+AE=53+15，Rt△BGC 中,∠CBG=45°，∴CG =BG=53+15.Rt△ADE 中,∠DAE=60°，AE=15，∴DE=3AE=153.∴CD=CG+GE −DE=53+15+5−153=20−103≈2.7(m).答：宣传牌CD 高约2.7米．20. 某商场举行开业酬宾活动，设立了两个可以自由转动的转盘(如图所示，两个转盘均被等分)，并规定：顾客购买满188元的商品，即可任选一个转盘转动一次，转盘停止后，指针所指区域内容即为优惠方式;若指针所指区域空白，则无优惠．已知小张在该商场消费300元(1)若他选择转动转盘1，则他能得到优惠的概率为多少?(2)选择转动转盘1和转盘2，哪种方式对于小张更合算，请通过计算加以说明．【答案】(1)12;(2)转动转盘1更优惠． 【解析】试题分析：(1)根据转盘1，利用概率公式求得获得优惠的概率即可;(2)分别求得转动两个转盘所获得优惠，然后比较即可得到结论．试题解析：(1)∵整个圆被分成了12个扇形，其中有6个扇形能享受折扣，∴P(得到优惠)=612=12; (2)转盘1能获得的优惠为：0.33000.230020.1300312⨯+⨯⨯+⨯⨯=25元，转盘2能获得的优惠为：40×24=20元，所以选择转动转盘1更优惠．考点：列表法与树状图法．21. 2008京奥运会后，同学们参与体育锻炼的热情高涨．为了解他们平均每周的锻炼时间，小明同学在校内随机调查了50名同学，统计并制作了如下的频数分布表和扇形统计图．根据上述信息解答下列问题：(1)m=______，n=_________;(2)在扇形统计图中，D组所占圆心角的度数为_____________;(3)全校共有3000名学生，估计该校平均每周体育锻炼时间不少于6小时的学生约有多少名．【答案】(1)8，4;(2)1440;(3)2340人．【解析】【分析】(1)利用总数和C所占的百分比即可求出m，进而求出n;(2)求出D组所占的百分比，再求D组所占圆心角的度数即可;(3)利用样本估计总体，先求出该校平均每周体育锻炼时间不少于6小时的学生所占的百分比，即可求出答案．【详解】解：(1)由统计表和扇形图可知：m=50×16%=8人;n=50-8-15-20-1-2=4人;故答案为：8;4;(2)扇形统计图中，D组所占圆心角的度数=360×2050=144度;故答案为：144°;(3)该校平均每周体育锻炼时间不少于6小时的学生站的百分比=20+15+450=78%，则3000名学生，估计该校平均每周体育锻炼时间不少于6小时的学生约有3000×78%=2340人．【点睛】本题考查频数和扇形统计图，解决这类问题的关键是要弄清楚频数的意义，理解频数分布表与扇形统计图的对应关系，还要掌握用样本估计总体的统计思想．22. 九(1)班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x(1≤x≤90)天的售价与销售量的相关信息如下表：已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y 元[(1)求出y 与x 的函数关系式;(2)问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少?(3)该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元?请直接写出结果.【答案】(1)()()221802000150120120005090x x x y x x ⎧-++≤⎪=⎨-+≤≤⎪⎩＜;(2)第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元;(3)41.【解析】【分析】(1)根据单价乘以数量，可得利润，可得答案.(2)根据分段函数的性质，可分别得出最大值，根据有理数的比较，可得答案.(3)根据二次函数值大于或等于4800，一次函数值大于或等于4800，可得不等式，根据解不等式组，可得答案．【详解】(1)当1≤x ＜50时，()()2200240302180200y x x x x =-+-=-++， 当50≤x≤90时，()()2002903012012000y x x =--=-+，综上所述：()()221802000150120120005090x x x y x x ⎧-++≤⎪=⎨-+≤≤⎪⎩＜. (2)当1≤x ＜50时，二次函数开口下，二次函数对称轴为x=45，当x=45时，y 最大=-2×452+180×45+2000=6050， 当50≤x≤90时，y 随x 的增大而减小，当x=50时，y 最大=6000，综上所述，该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元.(3)解2218020004800x x -++≥，结合函数自变量取值范围解得2050x ≤<，解120120004800x -+≥，结合函数自变量取值范围解得5060x ≤≤所以当20≤x≤60时，即共41天，每天销售利润不低于4800元．【点睛】本题主要考查了1.二次函数和一次函数的应用(销售问题);2.由实际问题列函数关系式;3. 二次函数和一次函数的性质;4.分类思想的应用．23. 某市对城区部分路段的人行道地砖、绿化带、排水管等公用设施进行全面更新改造，根据市政建设的需要，需在35天内完成工程.现有甲、乙两个工程队有意承包这项工程，经调查知道，乙工程队单独完成此项工程的时间是甲工程队单独完成此项工程时间的2倍，若甲、乙两工程队合作，只需10天完成．(1)甲、乙两个工程队单独完成此项工程各需多少天?(2)若甲工程队每天的工程费用是4万元，乙工程队每天的工程费用是2.5万元，请你设计一种方案，既能按时完工，又能使工程费用最少．【答案】(1)甲工程队单独完成该工程需15天，则乙工程队单独完成该工程需30天;(2)应该选择甲工程队承包该项工程．【解析】【分析】(1)设甲工程队单独完成该工程需x 天，则乙工程队单独完成该工程需2x 天．再根据”甲、乙两队合作完成工程需要10天”，列出方程解决问题;(2)首先根据(1)中的结果，从而可知符合要求的施工方案有三种：方案一：由甲工程队单独完成;方案二：由乙工程队单独完成;方案三：由甲乙两队合作完成．针对每一种情况，分别计算出所需的工程费用．【详解】(1)设甲工程队单独完成该工程需天，则乙工程队单独完成该工程需2x 天. 根据题意得：101012x x+= 方程两边同乘以2x ，得230x =解得：15x =经检验，15x =是原方程的解.∴当15x =时，230x =.答：甲工程队单独完成该工程需15天，则乙工程队单独完成该工程需30天.(2)因为甲乙两工程队均能在规定的35天内单独完成，所以有如下三种方案：方案一：由甲工程队单独完成.所需费用为：41560⨯=(万元);方案二：由乙工程队单独完成.所需费用为：2.53075⨯=(万元);方案三：由甲乙两队合作完成.所需费用为：(4 2.5)1065+⨯=(万元).∵756560>>∴应该选择甲工程队承包该项工程.【点睛】本题考查分式方程在工程问题中的应用．分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．24. 如图在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ，过点D 作DE⊥AC 于E 交AB 的延长线于点F ，(1)求证：EF 是⊙O 的切线;(2)若AE=6，FB=4，求⊙O 的面积．【答案】(1)证明见解析(2)16π【解析】试题分析：(1)连结AD 、OD ，如图，根据圆周角定理由AB 为⊙O 的直径得到∠ADB=90°，即AD⊥BC，再根据等腰三角形的性质得BD=CD ，则OD 为△ABC 的中位线，所以OD∥AC，加上EF⊥AC，于是OD⊥EF，然后根据切线的判定定理得EF 是⊙O 的切线;(2)设⊙O 的半径为R ，利用OD∥AE 得到△FOD∽△FAE，根据相似比可得 6R =442R R++，解得R=4，然后利用圆的面积公式求解． 试题解析：(1)连结AD 、OD ，如图，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB=90°，即AD ⊥BC ，∵AB=AC ，∴BD=CD ，而OA=OB ，∴OD 为△ABC 的中位线，∴OD ∥AC ，∵EF ⊥AC ，∴OD ⊥EF ，∴EF 是⊙O 的切线;(2)设⊙O 的半径为R ，∵OD ∥AE ，∴△FOD ∽△FAE ， ∴OD AE =FO DA ，即6R =442R R++， 解得R=4，∴⊙O 的面积=π•42=16π．25.菱形ABCD 中，两条对角线AC ，BD 相交于点O ，∠MON+∠BCD=180°，∠MON 绕点O 旋转，射线OM 交边BC 于点E ，射线ON 交边DC 于点F ，连接EF ．(1)如图1，当∠ABC=90°时，△OEF 的形状是 ;(2)如图2，当∠ABC=60°时，请判断△OEF 的形状，并说明理由;(3)在(1)的条件下，将∠MON 的顶点移到AO 的中点O′处，∠MO′N 绕点O′旋转，仍满足∠MO′N+∠BCD=180°，射线O′M 交直线BC 于点E ，射线O′N 交直线CD 于点F ，当BC=4，且ΔO'EF 98ABCD S S =四边形时，直接写出线段CE 的长．【答案】(1)△OEF 是等腰直角三角形;(2)△OEF 是等边三角形;(3)333+333．【解析】试题分析：(1)先证四边形ABCD 是正方形，得出∠EBO=∠FCO=45°，OB=OC ，得出∠BOE=∠COF ，进一步得到△BOE ≌△COF ，从而得到结论;(2)过O 点作OG ⊥BC 于G ，作OH ⊥CD 于H ，根据菱形的性质可得CA 平分∠BCD ，∠ABC+BCD=180°，求得OG=OH ，∠BCD=120°，∠GOH=∠EOF=60°，进一步得出∠EOG=∠FOH ，得出△EOG ≌△FOH ，从而得到结论;(3)过O 点作OG ⊥BC 于G ，作OH ⊥CD 于H ，先求得四边形O′GCH 是正方形，从而求得GC=O′G=3，∠GO′H=90°，得到△EO′G ≌△FO′H 全等，得到△O′EF 是等腰直角三角形，根据已知求得等腰直角三角形的直角边O′E 的长，然后根据勾股定理求得EG ，即可求得CE 的长．试题解析：(1)△OEF 是等腰直角三角形;如图1，∵菱形ABCD 中，∠ABC=90°，∴四边形ABCD 是正方形，∴OB=OC ，∠BOC=90°，∠BCD=90°，∠EBO=∠FCO=45°，∴∠BOE+∠COE=90°，∵∠MON+∠BCD=180°，∴∠MON=90°，∴∠COF+∠COE=90°，∴∠BOE=∠COF ，在△BOE 与△COF 中，∵∠BOE=∠COF ，OB=OC ，∠EBO=∠FCO ，∴△BOE ≌△COF(ASA)，∴OE=OF ，∴△OEF 是等腰直角三角形;(2)△OEF 是等边三角形;如图2，过O 点作OG ⊥BC 于G ，作OH ⊥CD 于H ，∴∠OGE=∠OGC=∠OHC=90°，∵四边形ABCD 是菱形，∴CA 平分∠BCD ，∠ABC+BCD=180°，∴OG=OH ，∠BCD=180°﹣60°=120°，∵∠GOH+∠OGC+∠BCD+∠OHC=360°，∴∠GOH+∠BCD=180°，∴∠MON+∠BCD=180°，∴∠GOH=∠EOF=60°，∵∠GOH=∠GOF+∠FOH ，∠EOF=∠GOF+∠EOG ，∴∠EOG=∠FOH ，在△EOG与△FOH 中，∵∠EOG=∠FOH ，OG=OH ，∠EGO=∠FHO ，∴△EOG ≌△FOH(ASA)，∴OE=OF ，∴△OEF 是等边三角形;(3)如图3，∵菱形ABCD 中，∠ABC=90°，∴四边形ABCD 是正方形，∴'34O C AC =，过O 点作O′G ⊥BC 于G ，作O′H ⊥CD 于H ，∴∠O′GC=∠O′HC=∠BCD=90°，∴四边形O′GCH 是矩形，∴O′G ∥AB ，O′H ∥AD ，∴'''34O G O H O C AB AD AC ===，∵AB=BC=CD=AD=4，∴O′G=O′H=3，∴四边形O′GCH 是正方形，∴GC=O′G=3，∠GO′H=90°，∵∠MO′N+∠BCD=180°，∴∠EO′F=90°，∴∠EO′F=∠GO′H=90°，∵∠GO′H=∠GO′F+∠FO′H ，∠EO′F=∠GO′F+∠EO′G ，∴∠EO′G=∠FO′H ，在△EO′G 与△FO′H 中，∵∠EO′G=∠FO′H ，O′G= O′H ，∠EG O′=∠FH O′，∴△EO′G ≌△FO′H (ASA)，∴O′E=O′F ，∴△O′EF 是等腰直角三角形;∵S 正方形ABCD =4×4=16，ΔO'EF98ABCD S S =四边形，∴S △O′EF =18，∵S △O′EF =21'2O E ，∴O′E=6，在RT △O′EG 中，∴CE=CG+EG=3+∠M′ON′旋转到如图所示位置时，CE′=E′G ﹣CG=3．综上可得，线段CE的长为3+3．考点：1．四边形综合题;2．正方形的判定与性质;3．等边三角形的判定;4．等腰直角三角形;5．分类讨论;6．综合题;7．压轴题．26. 如图，直线y=x+4交于x 轴于点A ，交y 轴于点C ，过A 、C 两点的抛物线F 1交x 轴于另一点B(1，0)．(1)求抛物线F 1所表示的二次函数的表达式及顶点Q 的坐标;(2)在抛物线上是否存在点P ，使△BPC 的内心在y 轴上，若存在，求出点P 的坐标，若不存在写出理由;(3)直线y=kx-6与y 轴交于点N,与直线AC 的交点为M,当△MNC 与△AOC 相似时，求点M 坐标．【答案】(1)y=﹣x 2﹣x+4，Q 20(1,)3-(2)(﹣5，﹣16)(3)①2414(,)55M --②15(,6)2M -- 【解析】 试题分析：(1)利用一次函数的解析式求出点A 、C 的坐标，然后再利用B 点坐标即可求出二次函数的解析式;(2)由于M 在抛物线F 1上，所以可设M(a ，-248433a a a -+)，然后分别计算S 四边形MAOC 和S △BOC ，过点M 作MP⊥x 轴于点P ，则S 四边形MAOC 的值等于△APM 的面积与梯形POCM 的面积之和．(3)由于没有说明点P 的具体位置，所以需要将点P 的位置进行分类讨论，当点P 在A′的右边时，此情况是不存在;当点P 在A′的左边时，此时∠DA′P=∠CAB′，若以A′、D 、P 为顶点的三角形与△AB′C 相似，则分为以下两种情况进行讨论：①AC A B ''=DA PA '';②AB AC '=DA PA''.试题解析：(1)令y=0代入y=43x+4， ∴x=﹣3，A(﹣3，0)，令x=0，代入y=43x+4，∴y=4，∴C(0，4)， 设抛物线F 1的解析式为：y=a(x+3)(x ﹣1)， 把C(0，4)代入上式得，a=﹣43， ∴y=﹣43x 2﹣83x+4，Q 201,3⎛⎫- ⎪⎝⎭(2)∵点B 的坐标为(1，0)，取点B 关于y 轴的对称点B′(﹣1，0)，连接CB′，则∠BCO=∠B′CO ，∴△BPC 的内心在y 轴上，直线B′C 的解析式为y=4x+4，联立，2y 4x 448y x x 433{=+=--+∴点P 的坐标为(﹣5，﹣16);N(0,-6),直线AC 的表达式为4y x 43=+， 当△MNC ∽△AOC 时，①∠CMN 为直角设 4M x,x 43⎛⎫+ ⎪⎝⎭，根据勾股定理可得2414M ,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭ ②当∠CNM 直角时，MN ∥x 轴，∴15M ,62⎛⎫-- ⎪⎝⎭点睛：本题主要考查对待定系数法求一次函数的解析式，二次函数图象上的点的坐标的特征，函数和坐标轴的交点，二次函数的三种形式，相似三角形的判定，对称性质等知识的连接和掌握，熟练运用性质进行推理是解决此题的关键所在，要注意分类讨论思想的在此题中的运用.。
2024年中考数学二模试卷(南京卷)(全解全析)
2024年中考第二次模拟考试（南京卷）数学·全解全析注意事项：1．本试卷共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效．2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上．3．答选择题必须用2B 铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效．4．作图必须用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．第Ⅰ卷一、选择题（本大题共6个小题，每小题2分，共12分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1．下列数中，是无理数的是（）A ．227B 7C ．0D ．1-【答案】B 【解析】解：227，0，1-是有理数；7故选B ．2．光年是天文学上一种距离单位，一光年是指光在一年内走过的路程，约等于94600亿km ，用科学记数法表示94600亿是（）A ．119.4610⨯B ．1194.610⨯C ．1294.610⨯D ．129.4610⨯【答案】D【解析】解：94600亿48129.4610109.4610=⨯⨯=⨯，故选D3．不等式30x ->的解集在数轴上表示正确的是（）A ．B ．C ．D ．【解析】解：不等式30x ->的解为3x >．解集3x >在数轴上表现为不包括端点的射线，D 、B 、C 都不正确．故选：A ．4．如图，AB 是O 的直径，PA 与O 相切于点A ，40P ∠=︒，OC 的延长线交PA 于点P ，则ABC ∠的度数是（）A ．25︒B ．35︒C ．40︒D ．50︒【答案】A 【解析】解：∵PA 与O 相切于点A ，，∴OA AP ⊥，即90OAP ∠=︒，∵40P ∠=︒，∴90904050AOC P ∠=︒-∠=︒-︒=︒，又∵在O 中，AOC ∠是圆心角且所对的弧是AC ，ABC ∠是圆周角且所对的弧也是AC，∴11502522ABC AOC ==︒=︒∠∠，即ABC ∠的度数是25︒．故选：A ．5．如图所示的小孔成像实验中，若物距为10cm ，像距为15cm ，蜡烛火焰倒立的像的高度是9cm ，则蜡烛火焰的高度是（）A ．3cmB ．5cmC ．6cmD ．9cm【解析】解：设蜡烛火焰的高度是cm x ，由相似三角形的性质得到：10915x =，解得6x =，即蜡烛火焰的高度是6cm ．故选：C ．6．如图是一种轨道示意图，其中A 、B 、C 、D 分别是正方形的四个顶点，现有两个机器人（看成点）分别从A ，C 两点同时出发，沿着轨道以相同的速度匀速移动，其路线分别为A D C →→和C B A →→．若移动时间为t ，两个机器人之间距离为d ．则2d 与t 之间的函数关系用图像表示大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】解：设正方形的边长为1，两个机器人看作点E 和F ，两个机器人的速度均为1．当点E 在边AD 上，点F 在边BC 上时，==AE CF t ．作EG BC ⊥于点G ，可得矩形AEGB 和矩形CDEG ．BG AE t ∴==，90EGF ∠=︒．12GF t ∴=-，222EF EG FG =+．两个机器人之间距离为d ．()2222112442d t t t ∴=+-=-+．40> ，∴函数图象为开口向上的二次函数．故选项C 和D 不符合题意．当机器人未出发时，点E 在点A 处，点F 在点C 处，如图1．2222EF AB BC =+=；当机器人分别到达点D 和点B 时，如图2．2222EF AB AD =+=；此时函数的y 的值和未出发时y 的值相同，故选：B ．第Ⅱ卷二、填空题（本大题共10个小题，每小题2分，共20分）7．计算：11122-⎛⎫-+= ⎪⎝⎭．23/32-【解析】解：1112221232-⎛⎫-+=-= ⎪⎝⎭，23-．83x -有意义，则实数x 的取值范围是．【答案】3x >【解析】解：由题意得：30x ->，解得：3x >，故答案为：3x >．9．已知点(5)A m ，与点(5)B n -，均在反比例函数ky x =的图象上，则m n +的值是．【答案】0【解析】解： 点(5)A m ，与点(5)B n -，均在反比例函数ky x =的图象上，5,5k m k n ∴==-，即55m n =-，550m n +=，0m n ∴+=，故答案为：010．已知关于x 的一元二次方程250x x m -=+的一个根是2，则m 的值为．【答案】14【解析】解：由题意得22520m ⨯+-=，解得：14m =；故答案：14．11．小明在教室中的座位是第3排第2列，简记作()3,2，则()5,3表示．【答案】第5排第3列【解析】解：由题意可知座位的表示方法为排在前，列在后，得小华的座位()5,3表示第5排第3列．故答案为：第5排第3列．12．如图，从一张圆心角为45︒的扇形纸板剪出一个边长为1的正方形CDEF ，则图中阴影部分的面积为.【答案】5382π-【解析】解：如图，连接OF ，∵四边形CDEF 是边长为1的正方形，90BDC CDO ∴∠=∠=︒，1EF CD ED ===，45AOB ∠=︒ ，1OD CD ∴==，由勾股定理得：22215OF =+=，∴阴影的面积是=OCD CDEFS S S S -- 阴影正方形扇形2451111113602π⨯=-⨯⨯-⨯5382=π-；故答案为：5382π-．13．如图，在ABC 中，DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，AD 为BAC ∠的平分线，ABC 的面积是228cm ，20cm 8cm AB AC ==，，DF =cm ．【答案】2【解析】解：∵ABC 中，DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，AD 为BAC ∠的平分线，∴DE DF =，∵ABC 的面积是228cm ，∴112822AB ED AC DF ⋅+⋅=，∴()1282AC AB FD +⋅=，∴()1820282FD ⨯+=，∴()2cm FD =，故答案为：2．14．如图，在ABC 中，AB AC ＝，50BAC ∠︒＝，将ABC 绕点A 顺时针旋转得到ADE V ，若AD EC ∥时，则BAE ∠的度数．【答案】30︒【解析】解：∵将ABC 绕点A 顺时针旋转得到ADE V ，∴50AE AC DAEBAC ∠∠︒＝，＝＝，∵AD EC ∥，∴50DAE AEC ∠∠︒＝＝，∵AE AC ＝，∴50AEC ACE ∠∠︒＝＝，∴80EAC ∠︒＝，∴30BAE EAC BAC ∠∠∠︒＝-＝，故答案为：30︒．15．如图，在矩形ABCD 中，6AB =，8BC =，E 是BC 边上一点，点F 在BA 边的延长线上，且CE AF =，连接EF 交AD 边于点G ，HN 垂直平分EF ，分别交AD ，EF ，AB 于点H ，M ，N ．若2CE =，则MH 的长为．【答案】103【解析】解：∵6AB =，8BC =，2CE AF ==，∴8BF =，6BE =，∴2210FE BF BE =+=，∵HN 垂直平分EF ，∴152FM ME FE ===，∵四边形ABCD 为矩形，点F 在BA 边的延长线上，∴90FAG B ∠=∠=︒，∵F F ∠=∠，∴AGF BEF ∽ ，∴AF FG BF FE=，则 2.5FG =，∴ 2.5MG =，在Rt FAG 中，22 1.5AG FG AF =-，∵F GHM ∠=∠，∴tan tan F GHM ∠=∠，∴AG GM AF MH =，解得103MH =．故答案为：103．16．如图，正方形ABCD 中，2AB E =，为边CD 的中点，连接AE BE P ，，为边AD 上一动点，将ABP 沿BP 所在直线翻折，若点A 的对应点A '恰好落在ABE 的边上，则线段AP 的长为．【答案】1或51-【解析】解：如图：以点B 为圆心，AB 为直径画圆，与AE BE 、分别相交于两点，且为12,A A ，然后过点B 分别作12,AA AA 的垂直平分线交AD 于21P P ，当A 的的对称点落在AE 上时，即点1A ；此时P 为AD 上的1P ，连接11A P ∵四边形ABCD 是正方形∴290AB AD DC D BAD ===∠=∠=︒，，则19090BAE DAE BAE ABP ∠+∠=︒∠+∠=︒，即1DAE ABP ∠=∠∴11tan tan AP DE DAE ABP AD AB ∠==∠=∵2AB E =，为边CD 的中点，∴112DE DC ==故1122AP =∴11AP =如图：当A 的的对称点落在BE 上时，即点2A ；此时P 为AD 上的2P 连接2BP 交AE 于一点G ，∵ABP 沿BP 所在直线翻折∴12ABG EBG ABE∠=∠=∠即直线BG 是ABE ∠的平分线，过点G 作MG AB GN BE ⊥⊥，，∴GM GN=∵四边形ABCD 是正方形∴90BAD AMG ∠=∠=︒∴MG AD DAE AGM ∠=∠ ，则1tan tan 2DE AMDAE AGM AD MG∠===∠=设2AM x BN BM x ===-，，2MG NG x ==则2245AG x x x =+∵2222415415AE AD DE BE BC CE =++=+=+=，，∴()555252GE NE BE BN x x ==-=--=-+，则Rt GNE 中，得222GE GN NE =+即))22255452x x x =+-+解得254x =-∵MG AD ，∴2AP B MGB∽则()()2222542254AP AB MG BM =⨯---，解得251AP =综上：线段AP 的长为151故答案为：151-三、解答题（本大题共11个小题，共88分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）（6分）17．解方程：3147123x x ---=．【解析】解：3147123x x ---=，去分母得:()()3316247x x --=-，去括号得:936814x x --=-，移项得:983614x x -=+-，合并同类项，得5x =-．（8分）18．先化简，再求值：()()()2222x y x y x y +---，其中2x =-，12y =-【解析】解：原式()2222444x y x xy y =---+242xy y =-将2x =-，12y =-代入原式()21142222⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯--⨯- ⎪ ⎝⎭⎝⎭142=-132=（8分）19．为弘扬向善、为善优秀品质，助力爱心公益事业，某校组织开展“人间自有真情在，爱心助力暖人心”慈善捐款活动，八年级全体同学参加了此次活动．随机抽查了部分同学捐款的情况，统计结果如图1和图2所示．(1)本次抽查的学生人数是_______，并补全条形统计图；(2)本次捐款金额的众数为______元，中位数为______元；(3)若该校八年级学生为600名，请你估算捐款总金额约有多少元？【解析】（1）解：816%50÷=（人），“捐款为15元”的学生有508146418----=（人），补全条形统计图如下：（2）解：学生捐款金额出现次数最多的是15元，共出现18次，因此捐款金额的众数是15元，将这50名学生捐款金额从小到大排列处在中间位置的两个数都是15元，因此中位数是15元，故答案为：15，15；（3）（3）样本平均数为581014151820625413.450⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元/人），所以全校八年级学生为600名，捐款总金额为1346008040.⨯=（元），答：全校八年级学生为600名，捐款总金额为8040元．（8分）20．春节、清明、端午、中秋是我国四大传统节日，每个传统节日都有丰富的文化内涵，体现了厚重的家国情怀．中秋节前，某校举行“传经典・庆佳节”系列活动，活动设计的项目及要求如下：A -歌谣传情意，B -创意做灯笼，C -花好月圆写中秋，D -亲子乐中秋，人人参加，每人任意从中选一项．为公平起见，学校制作了如图所示的可自由转动的转盘，将圆形转盘四等分、并标上字母A 、B 、C 、D ，每位学生转动转盘一次，转盘停止后，指针所指扇形部分的字母对应的活动项目即为他选到的项目（当指针指在分界线上时重转）．(1)任意转动转盘一次，选到“A -歌谣传情意”的概率是______；(2)甲、乙是该校的两位学生，请用列表或画树状图的方法，求甲和乙选到不同活动项目的概率．【解析】（1）解：∵将圆形转盘四等分、并标上字母A 、B 、C 、D ，∴任意转动转盘一次，选到“A -歌谣传情意”的概率为：14故答案为：14（2）解：画出树状图，如图：共有16种等可能结果，其中甲和乙选到不同活动项目的结果有12种故甲和乙选到不同活动项目的概率为：123164=（8分）21．如图，在ABC 中，90BAC ∠=︒，点D 是BC 中点，,AE BC CE AD ∥∥．(1)求证：四边形ADCE 是菱形；(2)若606B AB ∠=︒=，，求四边形ADCE 的面积．【解析】（1）证明：∵,AE BC CE AD ∥∥，∴四边形ADCE 是平行四边形，∵90BAC ∠=︒，点D 是BC 的中点，∴12AD BC CD ==，∴平行四边形ADCE 是菱形；（2）解：∵9060BAC B ∠=︒∠=︒，，∴30BCA ∠=︒，∴212BC AB ==，∴222212663AC BC AB =-=-=∵四边形ADCE 是菱形，点D 是BC 的中点，∴11266318322ACD ABC ADCE S S S AB AC ===⨯=⨯⨯= 菱形（7分）22．创建文明城市，构建美好家园．为提高垃圾分类意识，幸福社区决定采购A ，B 两种型号的新型垃圾桶．若购买2个A 型垃圾桶和3个B 型垃圾桶共需要420元，购买5个A 型垃圾桶和1个B 型垃圾桶共需要400元．(1)求每个A 型垃圾桶和每个B 型垃圾桶各为多少元；(2)若需购买A ，B 两种型号的垃圾桶共200个，总费用不超过15200元，至少需购买A 型垃圾桶多少个？【解析】（1）解：设A 型垃圾桶单价为x 元，B 型垃圾桶单价为y 元，由题意可得：234205400x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：60100x y =⎧⎨=⎩，答：A 型垃圾桶单价为60元，B 型垃圾桶单价为100元；（2）解：设A 型垃圾桶a 个，由题意可得：()6010020015200a a +-≤，解得120a ≥，答：至少需购买A 型垃圾桶120个．（8分）23．如图，在平面直角坐标系中，一次函数2y x =+的图象与反比例函数(0)ky x x=>的图象交于点()1,A m ，与x 轴交于点C ，过点A 的直线与反比例函数(0)ky x x=>的图象交于点B .(1)求此反比例函数的解析式；(2)若点B 的纵坐标为1，求直线AC 的解析式；(3)求ACB △的面积.【解析】（1）∵一次函数2y x =+的图象过点(1,)A m ，∴123m =+=，∴()1,3A ，∵点A 在反比例函数()0k y x x =>的图象上，∴133k =⨯=，∴反比例函数的解析式为3y x=；（2）∵点B 是反比例函数图象上一点且纵坐标是1，把1y =代入，则3x =，∴()3,1B ，把0y =代入2y x =+得2x =-，()2,0C ∴-；设直线AC 的解析式为y kx b =+，则有1302k b k b =+⎧⎨=-+⎩，解得1525k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故直线AC 的解析式为1255y x =+；（3）作BD x ∥轴，交直线AC 于点D ，则D 点的纵坐标为1，代入2y x =+得，12x =+，解得=1x -，∴(1,1)D -，∴314BD =+=，∴14362ABC S =⨯⨯=△．（8分）24．三月是草长莺飞的好时节，某高校组织学生春游，出发点位于点C 处，集合点位于点E 处，现有两条路线可以选择：①C E →，②C A D E →→→．已知B 位于C 的正西方，A 位于B 的北偏西30︒方向2003C 的北偏西53︒方向处．D 位于A 的正西方向1002米处，E 位于C 的西南方向，且正好位于D 的正南方向．2 1.414≈3 1.732≈，sin 370.60︒≈，cos370.80︒≈）(1)求A 与C 之间的距离（结果保留整数）；(2)已知路线①的步行速度为40米/分钟，路线②的步行速度为75米/分钟，请计算说明：走哪条线路用时更短？（结果保留一位小数）【解析】（1）解：如图，过点A 作AH CB ⊥，交CB 的延长线于点H ，则90AHB ∠=︒，由题意可知，2003AB =903060,905337ABH ACH ∠=︒-︒=︒∠=︒-︒=︒，∴3sin 20033002AH AB ABH =∠=⨯=（米），∴3003000.6500sin sin 37AH AC ACH ==≈÷=∠︒（米），即A 与C 之间的距离为500米；（2）设CH 与DE 的交点为M ，由题意可知，90ADM DMH AHM ∠=∠=∠=︒，∴四边形ADMH 是矩形，∴300DM AH ==米，cos 5000.8400CH AC ACH =∠=⨯=（米），2MH AD ==由题意可知，45,18090MCE CME DMH ∠=︒∠=︒-∠=︒，∴CME △是等腰直角三角形，∴(4001002CM ME CH MH ==+=+米，∴()24002200CE CM ==米，∴路线①的步行的时间为4002200102519.140=+≈（分钟）路线②的步行的时间为50023004001002821619.8753+++=+≈（分钟）∵19.119.8<，∴走线路①用时更短．（8分）25．图①、图②、图③均是66⨯的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A 、B 、C 、D 的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹．(1)在图①中的线段AB 上找一点E ，使BE AD =．(2)在图②中的线段AB 上找一点F ，使DF AB ⊥．(3)在图③中的线段AB 上找一点G ，使点G 到直线,CD BC 距离之和为4【解析】（1）解：如图，点E 即为所求；理由：根据题意得：,3,2AM BN AM BN ==∥，∴AEM BEN ∽ ，∴32AE AMBE BN ==，∵22435AB =+，∴2BE =；（2）解：如图，点F 即为所求；理由：根据题意得：3,2,3,42AH AD AK BK ====，∴3tan 4ADH ∠=，3tan 4ABK ∠=，∴ADH ABK ∠=∠，∵90BAK ABK ∠+∠=︒，∴90ADH BAK ∠+∠=︒，∴90AFD ∠=︒，即AB DF ⊥；（3）解：如图，点G 即为所求．过点G 作PT AD ⊥，分别交,AD BQ 于点P ，Q ，根据题意得：5,2AB AD ==，设点G 到CD 的距离为h ，∴245h ⨯=，∴85h =，由作法得：1,2,AP BQ AP BQ ==∥，4PT =∴ADG BQG ∽ ，APG BTG ∽ ，∴23AG AD BG BQ ==，∴23AG PG BG TG ==，∴812,55PG GT ==，即PG 等于点G 到CD 的距离，此时PT 的长等于点G 到直线,CD BC 距离之和．（9分）26．定义：对角线互相垂直的圆内接四边形叫做圆的“奇妙四边形”．(1)若ABCD Y 是圆的“奇妙四边形”，则ABCD Y 是_________（填序号）：①矩形；②菱形；③正方形(2)如图1，已知O 的半径为R ，四边形ABCD 是O 的“奇妙四边形”．求证：2224AB CD R +=；(3)如图2，四边形ABCD 是“奇妙四边形”，P 为圆内一点，90APD BPC ∠=∠=︒，ADP PBC ∠=∠，4BD =，且3AB ．当DC 的长度最小时，求AP DP的值．【解析】（1）解：若平行四边形ABCD 是“奇妙四边形”，则四边形ABCD 是正方形．理由∶∵四边形ABCD 是平行四边形，∴ABC ADC ∠=∠，∵四边形ABCD 是圆内接四边形，∴180ABC ADC ∠+∠=︒，∴90ABC ADC ∠=∠=︒，∴平行四边形ABCD 是矩形，∵四边形ABCD 是“奇妙四边形”，∴AC BD ⊥，∴矩形ABCD 是正方形，故答案为∶③；（2）证明∶过点B 作直径BE ，分别连接OA ，OD ，OC ，AE ，∵BE 是O 的直径，∴90EAB ∠=︒，∴90ABE E ∠+∠=︒，∵四边形ABCD 是“奇妙四边形”，∴AC BD ⊥，∴90BCD ACB ∠+∠=︒，又E ACB ∠=∠，∴ABE CBD ∠=∠，∵2AOE ABE ∠=∠，2DOC DCB ∠=∠，∴AOE DOC ∠=∠，∴AE DC =，∵90EAB ∠=︒，∴()22222AE AB BE R +==∴2224AB CD R +=；（3）解：连接AC 交BD 于E ，设DC 的长度为a ，CE x =，∵90AEB DEC ∠=∠=︒，BAC BDC ∠=∠，∴ABE DCE ∽，∴BEABAECE CD DE ==，∵3AB ∴33BE CE x ==，3AE DE =，∵4BD =，∴43DE x =，∵222CE DE CD +=∴()22243x x a +=，整理得22483160x a -+-=，∴(()22Δ8344160a =--⨯-≥∴4a ≥，又0a >，∴2a ≥，∴a 有最小值2，即DC 的长度最小值为2，∴()22434x x +=，解得∶123x x ==∴3CE =∴3BE =，∴1DE BD BE =-=，∴33AE =，∴23AC AE CE =+=，∵90APD BPC ∠=∠=︒，ADP PBC ∠=∠，∴ADP CBP ∽，90APC DPB DPC ∠=∠=︒+∠，∴AP PC DP PB=，∴APC DPB ∽△△，∴23342AP AC PD DB =．（10分）27.在平面直角坐标系中，抛物线()21:0L y ax x c a =++>与x 轴交于()()2,01,0A B -、两点，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线1L 对应的函数表达式；(2)如图1，点D 为直线AC 下方抛物线上的一动点，DM AC ⊥于点,M DN y ∥轴交AC 于点N ．求线段DM 的最大值和此时点D 的坐标；(3)如图2，将抛物线21:(0)L y ax x c a =++>沿着x 轴向左平移后得到抛物线2L ，若点P 是抛物线1L 与2L 在x 轴下方的交点且1tan 3ACP ∠=，求抛物线2L 对应的函数表达式．【解析】（1）解：把(2,0)A -、(1,0)B 代入2y ax x c =++得：42010a c a c -+=⎧⎨++=⎩，解得12a c =⎧⎨=-⎩，∴抛物线1L 对应的函数表达式为22y x x =+-；（2）解：在22y x x =+-中，令0x =得=2y -，(0,2)C ∴-，由(2,0)A -，(0,2)C -,设直线AC 解析式为11y k x b =+，111202k b b -+=⎧⎨=-⎩1112k b =-⎧⎨=-⎩则直线AC 解析式为2y x =--，设2(,2)D m m m +-，则(,2)N m m --，222(2)2DN m m m m m ∴=---+-=--，2OA OC == ，AOC ∴ 是等腰直角三角形，45ACO ∴∠=︒，∵DN OC ∥，45DNM ACO ∴∠=∠=︒，DNM ∴ 是等腰直角三角形，22DM ∴=，22222222)2(1)2222DM m m m m ∴=--=--=-++202-< ，∴当1m =-时，DM 取最大值22，此时D 的坐标为(1,2)--；∴线段DM 的最大值是22，此时点D 的坐标为(1,2)--；（3）解：过A 作AH CP ⊥于H ，过H 作KR y ∥轴交x 轴于K ，过C 作CR KR ⊥于R，如图：1tan 3ACP ∠= ，∴13AH CH =，90AHK CHR HCR ∠=︒-∠=∠ ，90AKH CRH ∠=∠=︒，AKH HRC ∴∽△△，∴13AKHKAH HR CR CH ===，3HR AK ∴=，3CR HK =，设AK p =，HK q =，则3HR p =，3CR q =，CR OK OA AK ==+ ，HK HR OC +=，∴3232q pq p =+⎧⎨+=⎩，解得2545p q ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，12455H ⎛⎫∴-- ⎪⎝⎭，，由12455H ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，(0,2)C -同上得：直线HC 解析式为122y x =--，联立21222y x y x x ⎧=--⎪⎨⎪=+-⎩，解得02x y =⎧⎨=-⎩或3254x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，3524P ⎛⎫∴-- ⎪⎝⎭，2219224y x x x ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭ ，将抛物线22y x x =+-沿着x 轴向左平移后得到抛物线2L ，∴设抛物线2L 解析式为29()4y x t =+-，将3524P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭代入29()4y x t =+-得：2539()424t -=-+-，解得52t =或12t =（舍去），∴抛物线2L 对应的函数表达式为25924y x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭即254y x x =++．。
2017年江苏省南京市高淳区中考数学二模试卷及答案详解
2017年江苏省南京市高淳区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（2分）的值等于（）A．2B．﹣2C．±2D．162．（2分）在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，则sin A的值是（）A．B．C．D．3．（2分）如图是小强用八块相同的小正方体搭建的一个积木，它的左视图是（）A．B．C．D．4．（2分）计算a2•（）3的结果是（）A．a B．a5C．D．5．（2分）已知反比例函数，下列结论中，不正确的是（）A．图象必经过点（1，2）B．y随x的增大而增大C．图象在第一、三象限内D．若x＞1，则0＜y＜26．（2分）如图，⊙O的半径为1，△ABC是⊙O的内接等边三角形，点D、E在圆上，四边形BCDE为矩形，这个矩形的面积是（）A．2B．C．D．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）7．（2分）PM 2.5造成的损失巨大，治理的花费更大．我国每年因为空气污染造成的经济损失高达约5659亿元．将5659亿元用科学记数法表示为亿元．8．（2分）函数y＝中，自变量x的取值范围是．9．（2分）分解因式：4x3﹣x＝．10．（2分）计算：﹣×＝．11．（2分）在平面直角坐标系中，点A的坐标是（﹣2，3），作点A关于x轴的对称点，得到点A′，再将点A'向右平移3个单位得到点A″，则点A''的坐标是．12．（2分）如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，AB的垂直平分线DE交AC于点D，连接BD，则∠ABD＝°．13．（2分）某班10名学生校服尺寸与对应人数如下表所示：尺寸（cm）160165170175180学生人数（人）13222则这10名学生校服尺寸的中位数为cm．14．（2分）二次函数y＝x2﹣2x+m的图象与x轴的一个交点的坐标是（﹣1，0），则图象与x轴的另一个交点的坐标是．15．（2分）如图，点A、B、C在⊙O上，∠ACB的度数是20°，的长为π，则⊙O的半径是．16．（2分）已知二次函数y＝m（x﹣1）（x﹣4）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），顶点为C，将该二次函数的图象关于x轴翻折，所得图象的顶点为D．若四边形ACBD为正方形，则m的值为．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（6分）解不等式组，并写出不等式组的整数解．18．（7分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中a＝2+．19．（7分）为增强学生环保意识，某中学组织全校2000名学生参加环保知识大赛，比赛成绩均为整数．从中抽取部分同学的成绩进行统计，并绘制成如图统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）所抽取的样本容量为．（2）若抽取的学生成绩用扇形图来描述，则表示“第三组（79.5～89.5 ）”的扇形的圆心角度数为多少？（3）如果成绩在80分以上（含80分）的同学可以获奖，请估计该校有多少名同学获奖．20．（8分）如图①、②、③是三个可以自由转动的转盘．（1）若同时转动①、②两个转盘，则两个转盘停下时指针所指的数字都是2的概率为；（2）甲、乙两人用三个转盘玩游戏，甲转动转盘，乙记录指针停下时所指的数字．游戏规定：当指针所指的三个数字中有数字相同时，就算甲赢，否则就算乙赢．请判断这个游戏是否公平，并说明你的理由．21．（8分）人民商场销售某种冰箱，每台进价为2500元，市场调研表明：当每台销售价定为2900元时，平均每天能售出8台；每台售价每降低50元，平均每天能多售出4台．设该种冰箱每台的销售价降低了x元．（1）填表：每天售出的冰箱台数（台）每台冰箱的利润（元）降价前8降价后（2）若商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，则每台冰箱的售价应定为多少元？22．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．（1）求证：CE＝AD；（2）当D在AB中点时．①求证：四边形BECD是菱形；②当∠A为多少度时，四边形BECD是正方形？说明理由．23．（7分）图①为平地上一幢建筑物与铁塔图，图②为其示意图．建筑物AB与铁塔CD 都垂直于地面，BD＝20m，在A点测得D点的俯角为45°，测得C点的仰角为58°．求铁塔CD的高度．（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）24．（8分）某市举行“迷你马拉松”长跑比赛，运动员从起点甲地出发，跑到乙地后，沿原路线再跑回点甲地．设该运动员离开起点甲地的路程s（km）与跑步时间t（min）之间的函数关系如图所示．已知该运动员从甲地跑到乙地时的平均速度是0.2km/min，根据图象提供的信息，解答下列问题：（1）a＝km；（2）组委会在距离起点甲地3km处设立一个拍摄点P，该运动员从第一次过P点到第二次过P点所用的时间为24min．①求AB所在直线的函数表达式；②该运动员跑完全程用时多少min？25．（8分）已知二次函数y＝﹣x2+2mx﹣2m2﹣3（m为常数）．（1）求证：不论m为何值，该二次函数图象与x轴没有公共点；（2）如果把该函数图象沿y轴向上平移4个单位后，得到的函数图象与x轴只有一个公共点，试求m的值．26．（9分）如图，△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与边AB、BC分别交于点D、E．过E的直线与⊙O相切，与AC的延长线交于点G，与AB交于点F．（1）求证：△BDE为等腰三角形；（2）求证：GF⊥AB；（3）若⊙O半径为3，DF＝1，求CG的长．27．（10分）如图，已知一个直角三角形纸片ACB，其中∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，E、F分别是AC、AB边上点，连接EF，将纸片ACB的一角沿EF折叠．（1）如图①，若折叠后点A落在AB边上的点D处，且使S四边形ECBF＝3S△AEF，则AE ＝；（2）如图②，若折叠后点A落在BC边上的点M处，且使MF∥CA．求AE的长；（3）如图③，若折叠后点A落在BC延长线上的点N处，且使NF⊥AB．求AE的长．2017年江苏省南京市高淳区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（2分）的值等于（）A．2B．﹣2C．±2D．16【分析】直接进行开平方计算，实质就是计算4的算术平方根．【解答】解：4的算术平方根为＝2．故选：A．【点评】本题考查了算术平方根的知识，属于基础题，注意一个正数的算术平方根为正数．2．（2分）在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，则sin A的值是（）A．B．C．D．【分析】根据题意画出图形，由勾股定理求出AB的长，再根据三角函数的定义解答即可．【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，∵AC＝4，BC＝3，∴AB＝＝5．∴sin A＝，故选：B．【点评】本题考查锐角三角函数的定义：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．3．（2分）如图是小强用八块相同的小正方体搭建的一个积木，它的左视图是（）A．B．C．D．【分析】左视图从左往右，2列正方形的个数依次为2，1，依此画出图形即可求出答案．【解答】解：左视图从左往右，2列正方形的个数依次为2，1；依此画出图形．故选：C．【点评】此题主要考查了画三视图的知识；用到的知识点为：主视图，左视图，俯视图分别是从物体的正面，左面，上面看得到的图形．4．（2分）计算a2•（）3的结果是（）A．a B．a5C．D．【分析】根据运算顺序，先把各个分式进行乘方运算，再进行分式的乘除运算即可．【解答】解：a2•（）3＝＝＝，故选：C．【点评】本题主要考查了分式的乘除法，解题时注意：分式乘除法的运算，归根到底是乘法的运算，当分子和分母是多项式时，一般应先进行因式分解，再约分．5．（2分）已知反比例函数，下列结论中，不正确的是（）A．图象必经过点（1，2）B．y随x的增大而增大C．图象在第一、三象限内D．若x＞1，则0＜y＜2【分析】根据反比例函数的性质用排除法解答．【解答】解：A、把点（1，2）代入反比例函数y＝，得2＝2，正确．B、∵k＝2＞0，∴在每一象限内y随x的增大而减小，不正确．C、∵k＝2＞0，∴图象在第一、三象限内，正确．D、若x＞1，则y＜2，正确．故选：B．【点评】本题考查了反比例函数y＝（k≠0）性质：①当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限．②当k＞0时，在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在同一个象限，y随x的增大而增大．6．（2分）如图，⊙O的半径为1，△ABC是⊙O的内接等边三角形，点D、E在圆上，四边形BCDE为矩形，这个矩形的面积是（）A．2B．C．D．【分析】连接BD、OC，根据矩形的性质得∠BCD＝90°，再根据圆周角定理得BD为⊙O的直径，利用圆周角定理得到∠BOC＝2∠A＝120°，根据含30°的直角三角形三边的关系得到CD＝BD＝1，BC＝CD＝，然后根据矩形的面积公式求解．【解答】解：连结BD、OC，如图，∵四边形BCDE为矩形，∴∠BCD＝90°，∴BD为⊙O的直径，∴BD＝2，∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝60°，∴∠BOC＝2∠A＝120°，而OB＝OC，∴∠CBD＝30°，在Rt△BCD中，CD＝BD＝1，BC＝CD＝，∴矩形BCDE的面积＝BC•CD＝．故选：C．【点评】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理、等边三角形的性质和矩形的性质．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）7．（2分）PM 2.5造成的损失巨大，治理的花费更大．我国每年因为空气污染造成的经济损失高达约5659亿元．将5659亿元用科学记数法表示为 5.659×103亿元．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：5659亿＝5.659×103亿，故答案为：5.659×103．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．8．（2分）函数y＝中，自变量x的取值范围是x≥﹣2．【分析】函数关系中主要有二次根式．根据二次根式的意义，被开方数是非负数即可求解．【解答】解：根据题意得：x+2≥0，解得x≥﹣2．故答案为：x≥﹣2．【点评】本题主要考查自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．9．（2分）分解因式：4x3﹣x＝x（2x+1）（2x﹣1）．【分析】先提公因式x，再利用平方差公式继续分解因式．平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．【解答】解：4x3﹣x，＝x（4x2﹣1），＝x（2x+1）（2x﹣1）．【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，关键在于提取公因式后需要进行二次分解因式．10．（2分）计算：﹣×＝．【分析】先把化为最简二次根式，再根据二次根式的乘法法则运算，然后合并即可．【解答】解：原式＝2﹣＝2﹣＝．故答案为．【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．11．（2分）在平面直角坐标系中，点A的坐标是（﹣2，3），作点A关于x轴的对称点，得到点A′，再将点A'向右平移3个单位得到点A″，则点A''的坐标是（1，﹣3）．【分析】直接利用关于x轴对称点的性质得出A′点坐标，再利用平移的性质得出点A''的坐标．【解答】解：∵点A的坐标是（﹣2，3），作点A关于x轴的对称点，得到点A′，∴A′点坐标为：（﹣2，﹣3），∵将点A'向右平移3个单位得到点A″，∴点A''的坐标是：（1，﹣3）．故答案为：（1，﹣3）．【点评】此题主要考查了平移变换以及关于x轴对称点的性质，正确掌握平移规律是解题关键．12．（2分）如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，AB的垂直平分线DE交AC于点D，连接BD，则∠ABD＝30°．【分析】根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠C＝30°，根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，根据等腰三角形的性质解答．【解答】解：∵AB＝BC，∠ABC＝120°，∴∠A＝∠C＝30°，∵DE是AB的垂直平分线，∴DA＝DB，∴∠ABD＝∠A＝30°，故答案为：30【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．13．（2分）某班10名学生校服尺寸与对应人数如下表所示：尺寸（cm）160165170175180学生人数（人）13222则这10名学生校服尺寸的中位数为170cm．【分析】根据中位数的概念求解．【解答】解：10名学生校服尺寸的数据从小到大排列为160，165，165，165，170，170，175，175，180，180；处于中间的两个数据是170，170，则这组数据的中位数是170，故答案为170．【点评】本题考查了中位数的概念：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．14．（2分）二次函数y＝x2﹣2x+m的图象与x轴的一个交点的坐标是（﹣1，0），则图象与x轴的另一个交点的坐标是（3，0）．【分析】由二次函数的解析式得出图象的对称轴，由图象的对称性即可得出答案．【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣2x+m的图象的对称轴为x＝﹣＝1，与x轴的一个交点的坐标是（﹣1，0），∴由二次函数图象的对称性得：二次函数的图象与x轴的另一个交点的坐标是（3，0）；故答案为：（3，0）．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的对称性、对称轴的求法；求出二次函数图象的对称轴是解决问题的关键．15．（2分）如图，点A、B、C在⊙O上，∠ACB的度数是20°，的长为π，则⊙O的半径是．【分析】根据圆周角定理可得出∠AOB＝40°，再根据弧长公式的计算即可．【解答】解：如图，连接OA、OB．∵∠ACB＝20°，∴∠AOB＝40°，∵的长为π，∴＝π，∴r＝．故答案为．【点评】本题考查了弧长的计算以及圆周角定理，解题关键是掌握弧长公式l＝．16．（2分）已知二次函数y＝m（x﹣1）（x﹣4）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），顶点为C，将该二次函数的图象关于x轴翻折，所得图象的顶点为D．若四边形ACBD为正方形，则m的值为±．【分析】根据已知条件得到A（1，0），B（4，0），得到抛物线的对称轴为直线x＝＝，设顶点C的坐标为（，a），根据已知条件列方程即可得到结论．【解答】解：∵二次函数y＝m（x﹣1）（x﹣4）的图象与x轴交于A、B两点，∴A（1，0），B（4，0），∴抛物线的对称轴为直线x＝＝，设顶点C的坐标为（，a），∵四边形ACBD为正方形，∴|a|＝，∴C（，）或C（，﹣），把C点的坐标代入得，＝m（﹣1）（﹣4）或﹣＝m（﹣1）（﹣4），解得：m＝，故答案为：±．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，二次函数的图象与几何变换，正方形的性质，正确的理解题意是解题的关键．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（6分）解不等式组，并写出不等式组的整数解．【分析】先分别解每个不等式，然后确定不等式组的解集，最后在解集内找整数解．【解答】解：解不等式①得x≥﹣1；解不等式②得x＜3．∴不等式组的解集为﹣1≤x＜3．∴不等式组的整数解是﹣1，0，1，2．【点评】此题考查不等式组的解法和确定其特殊解，属常规题．18．（7分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中a＝2+．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式＝[﹣]•＝•＝﹣，当a＝2+时，原式＝﹣．【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．19．（7分）为增强学生环保意识，某中学组织全校2000名学生参加环保知识大赛，比赛成绩均为整数．从中抽取部分同学的成绩进行统计，并绘制成如图统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）所抽取的样本容量为50．（2）若抽取的学生成绩用扇形图来描述，则表示“第三组（79.5～89.5 ）”的扇形的圆心角度数为多少？（3）如果成绩在80分以上（含80分）的同学可以获奖，请估计该校有多少名同学获奖．【分析】（1）把四个小组的人数加起来即可得出答案；（2）由第三组（79.5～89.5）的人数即可求出其扇形的圆心角；（3）首先求出50人中成绩在80分以上（含80分）的同学可以获奖的百分比，进而可估计该校约有多少名同学获奖．【解答】解：（1）4+10+20+16＝50，故答案为50；（2）×360°＝144°；（3）×2000＝1440（人）．答：估计该校有1440名同学获奖．【点评】本题考查了条形统计图：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来；从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．20．（8分）如图①、②、③是三个可以自由转动的转盘．（1）若同时转动①、②两个转盘，则两个转盘停下时指针所指的数字都是2的概率为；（2）甲、乙两人用三个转盘玩游戏，甲转动转盘，乙记录指针停下时所指的数字．游戏规定：当指针所指的三个数字中有数字相同时，就算甲赢，否则就算乙赢．请判断这个游戏是否公平，并说明你的理由．【分析】（1）画出树状图，根据概率公式计算即可；（2）画出树状图，计算出各种情况的概率，然后比较即可．相等则公平，否则不公平【解答】解：（1）画树状图，共有4个可能的结果，两个转盘停下时指针所指的数字都是2的结果有1个，∴P（两个转盘停下时指针所指的数字都是2）＝；故答案为；（2）不公平，理由如下：画树状图如下：由图可知：共有8种结果，且是等可能的，其中含有相同数字的结果有6种．因此甲获胜的概率＝＝，乙获胜的概率＝＝，所以这个游戏不公平．【点评】本题考查的是游戏公平性的判断、列表法与树状图法．判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．21．（8分）人民商场销售某种冰箱，每台进价为2500元，市场调研表明：当每台销售价定为2900元时，平均每天能售出8台；每台售价每降低50元，平均每天能多售出4台．设该种冰箱每台的销售价降低了x元．（1）填表：每天售出的冰箱台数（台）每台冰箱的利润（元）降价前8400降价后8+×4400﹣x （2）若商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，则每台冰箱的售价应定为多少元？【分析】（1）销售利润＝一台冰箱的利润×销售冰箱数量，一台冰箱的利润＝售价﹣进价，降低售价的同时，销售量就会提高，“一减一加”；（2）根据每台的盈利×销售的件数＝5000元，即可列方程求解．【解答】解：（1）销售1台的利润：2900﹣2500＝400；降价后销售的数量：8+×4，降价后销售的利润：400﹣x；故答案是：400；8+×4，400﹣x．（2）设销售价降低了x元，根据题意可得：（400﹣x）•（8+×4）＝5000，整理得：x2﹣300x+22500＝0，（x﹣150）2＝0，解得：x1＝x2＝150，2900﹣150＝2750（元），答：每台冰箱的售价应定为2750元．【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，本题关键是会表示一台冰箱的利润，销售量增加的部分．找到关键描述语，找到等量关系：每台的盈利×销售的件数＝5000元是解决问题的关键．22．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．（1）求证：CE＝AD；（2）当D在AB中点时．①求证：四边形BECD是菱形；②当∠A为多少度时，四边形BECD是正方形？说明理由．【分析】（1）证出AC∥DE，得出四边形ADEC是平行四边形，即可得出结论；（2）①先证出BD＝CE，得出四边形BECD是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线性质得出CD＝AB＝BD，即可得出四边形BECD是菱形；②当∠A＝45°时，△ABC是等腰直角三角形，由等腰三角形的性质得出CD⊥AB，即可得出四边形BECD是正方形．【解答】（1）证明：∵DE⊥BC，∴∠DFB＝90°．∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠DFB，∴AC∥DE．∵MN∥AB，即CE∥AD，∴四边形ADEC是平行四边形，∴CE＝AD；（2）①证明：∵D为AB中点，∴AD＝BD．∵CE＝AD，∴BD＝CE．∵BD∥CE，∴四边形BECD是平行四边形．∵∠ACB＝90°，D为AB中点，∴CD＝BD，∴四边形BECD是菱形；②当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形．理由如下：∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，∴∠ABC＝∠A＝45°，∴AC＝BC．∵D为BA中点，∴CD⊥AB，∴∠CDB＝90°．∵四边形BECD是菱形，∠CDB＝90°，∴四边形BECD是正方形．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、正方形的判定、菱形的判定、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．23．（7分）图①为平地上一幢建筑物与铁塔图，图②为其示意图．建筑物AB与铁塔CD 都垂直于地面，BD＝20m，在A点测得D点的俯角为45°，测得C点的仰角为58°．求铁塔CD的高度．（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）【分析】先过点A作AE⊥CD，垂足为E，则四边形ABDE矩形，根据∠ADB＝∠EAD ＝45°，可得AB＝ED＝BD＝20m，在Rt△AEC中，根据tan∠CAE＝，求得CE的长，进而得到铁塔CD的高度．【解答】解：如图，过点A作AE⊥CD，垂足为E，则四边形ABDE矩形，∵BD＝20m，在A点测得D点的俯角为45°，在测得C点的仰角为58°，∴∠ADB＝∠EAD＝45°，∴AB＝ED＝BD＝20m，在Rt△AEC中，tan∠CAE＝，∴tan58°＝＝，∴CE＝20 tan58°＝20×1.60＝32，∴CD＝CE+ED＝32+20＝52米．答：铁塔CD的高度为52米．【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．24．（8分）某市举行“迷你马拉松”长跑比赛，运动员从起点甲地出发，跑到乙地后，沿原路线再跑回点甲地．设该运动员离开起点甲地的路程s（km）与跑步时间t（min）之间的函数关系如图所示．已知该运动员从甲地跑到乙地时的平均速度是0.2km/min，根据图象提供的信息，解答下列问题：（1）a＝5km；（2）组委会在距离起点甲地3km处设立一个拍摄点P，该运动员从第一次过P点到第二次过P点所用的时间为24min．①求AB所在直线的函数表达式；②该运动员跑完全程用时多少min？【分析】（1）根据路程＝速度×时间，即可求出a值；（2）①根据点O、A的坐标，利用待定系数法即可求出线段OA的函数表达式，根据一次函数图象上点的坐标特征可求出第一次经过点P的时间，进而可得出第二次经过点P 的时间，再根据点A的坐标及（39，3），利用待定系数法即可求出AB所在直线的函数表达式；②根据一次函数图象上点的坐标特征，求出AB所在直线的函数表达式中当s＝0时t的值，此题得解．【解答】解：（1）∵从甲地跑到乙地时的平均速度是0.2 km/min用时25分钟，∴a＝0.2×25＝5（千米）．故答案为：5．（2）①设线段OA的函数表达式为s＝mt+n，将O（0，0）、A（25，5）代入s＝mt+n中，得：，解得：，∴线段OA的函数表达式为s＝t（0≤t≤25）．∴当s＝t＝3时，t＝15．∵该运动员从第一次过P点到第二次过P点所用的时间为24min，∴该运动员从起点到第二次经过P点所用的时间是15+24＝39（min），∴直线AB经过点（25，5），（39，3）．设AB所在直线的函数表达式为s＝kt+b，将（25，5）、（39，3）代入s＝kt+b中，得：，解得：，∴AB所在直线的函数表达式为s＝﹣t+．②该运动员跑完赛程用的时间即为直线AB与x轴交点的横坐标，∴当s＝0时，﹣t+＝0，解得：t＝60．∴该运动员跑完赛程用时60分钟．【点评】本题考查了一次函数的应用、待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）根据数量关系，列式计算；（2）①根据点的坐标，利用待定系数法求出AB所在直线的函数表达式；③根据一次函数图象上点的坐标特征，求出该运动员跑完全程所用时间．25．（8分）已知二次函数y＝﹣x2+2mx﹣2m2﹣3（m为常数）．（1）求证：不论m为何值，该二次函数图象与x轴没有公共点；（2）如果把该函数图象沿y轴向上平移4个单位后，得到的函数图象与x轴只有一个公共点，试求m的值．【分析】（1）求出根的判别式，即可得出答案；（2）先化成顶点式，根据顶点坐标和平移的性质得出即可．【解答】解：（1）令y＝0，﹣x2+2mx﹣2m2﹣3＝0，则a＝﹣1，b＝2m，c＝﹣2m2﹣3．∴b2﹣4ac＝（2m）2﹣4（﹣1）（﹣2m2﹣3）＝﹣4m2﹣12，∵﹣4m2≤0，∴﹣4m2﹣12＜0，即b2﹣4ac＜0，∴一元二次方程﹣x2+2mx﹣2m2﹣3＝0没有实数根，∴不论m为何值，该二次函数图象与x轴没有公共点；（2）将二次函数y＝﹣x2+2mx﹣2m2﹣3配方得：y＝﹣（x﹣m）2﹣m2﹣3∴该二次函数图象的顶点坐标为（m，﹣m2﹣3），∵将函数图象沿y轴向上平移4个单位后，得到的函数图象与x轴只有一个公共点，∴﹣m2﹣3+4＝0，解得m＝±1．【点评】本题考查了二次函数和x轴的交点问题，根的判别式，平移的性质，二次函数的图象与几何变换的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力，题目比较好，有一定的难度．26．（9分）如图，△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与边AB、BC分别交于点D、E．过E的直线与⊙O相切，与AC的延长线交于点G，与AB交于点F．（1）求证：△BDE为等腰三角形；（2）求证：GF⊥AB；（3）若⊙O半径为3，DF＝1，求CG的长．【分析】（1）由四边形ACED是⊙O的内接四边形，得到∠ACB+∠ADE＝180°，由于∠BDE+∠ADE＝180°，得到∠BDE＝∠ACB，即可得到结论；（2）连结OE，根据切线的性质得到∠OEG＝90°，根据等腰三角形的性质得到∠OEC ＝∠ACB，根据平行线的性质即可得到结论（3）设CG＝x．根据等腰三角形的性质得到BF＝DF＝1，AF＝AB﹣BF＝AC﹣BF＝5，由相似三角形的判定和性质即可得到结论．【解答】解：（1）∵四边形ACED是⊙O的内接四边形，∴∠ACB+∠ADE＝180°，∵∠BDE+∠ADE＝180°，∴∠BDE＝∠ACB，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB．∴∠B＝∠BDE，∴△BDE为等腰三角形；（2）连结OE，∵直线FG与⊙O相切，∴∠OEG＝90°，∵OC＝OE，∴∠OEC＝∠ACB，∵∠B＝∠ACB，∴∠B＝∠OEC，∴OE∥AB，∴∠AFG＝∠OEG＝90°，即GF⊥AB；（3）设CG＝x．∵△BDE为等腰三角形，GF⊥AB，∴BF＝DF＝1，AF＝AB﹣BF＝AC﹣BF＝5，∵OE∥AB，∴△GOE∽△GAF，∴＝，∴＝，解得x＝，即CG＝．【点评】本题考查了圆内接四边形的性质，切线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．27．（10分）如图，已知一个直角三角形纸片ACB，其中∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，E、F分别是AC、AB边上点，连接EF，将纸片ACB的一角沿EF折叠．（1）如图①，若折叠后点A落在AB边上的点D处，且使S四边形ECBF＝3S△AEF，则AE ＝；（2）如图②，若折叠后点A落在BC边上的点M处，且使MF∥CA．求AE的长；（3）如图③，若折叠后点A落在BC延长线上的点N处，且使NF⊥AB．求AE的长．【分析】（1）由折叠的性质得出EF⊥AB，△AEF≌△DEF，得出S△AEF≌S△DEF，由已知得出S△ABC＝4S△AEF，证明△AEF∽△ABC，得出＝（）2，即可求出AE的长；（2）设AE＝x，则CE＝4﹣x．由折叠可知：AE＝EM＝x，AF＝MF，∠AFE＝∠MFE，证明四边形AEMF为菱形．得出EM∥AB．由平行线证明△CME∽△CBA．得出对应边成比例，即可得出AE的长；。
江苏省南京市2017年中考数学真题试题(含答案)
南京市2017年初中毕业生学业考试第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.计算()()()1218632÷−÷−−−⨯的结果是（ ） A ． 7 B ． 8 C ． 21 D ．362.计算()3624101010⨯÷的结果是（ ）A ． 310 B ． 710 C ． 410 D ．9103.不透明袋子中装有一个几何体模型，两位同学摸该模型并描述它的特征.甲同学：它有4个面是三角形；乙间学：它有8条棱.该模型的形状对应的立体图形可能是 （ ） A ．三棱柱 B ．四棱柱 C ． 三棱锥 D ．四棱锥4.a << （ ）A ．13a <<B ．14a << C. 23a << D ．24a << 5.若方程()2519x −=的两根为a 和b ，且a b >，则下列结论中正确的是 （ ）A ．a 是19的算术平方根B ．b 是19的平方根 C.5a −是19的算术平方根 D ．5b +是19的平方根 6.过三点A （2，2），B （6，2），C （4，5）的圆的圆心坐标为（ ） A ．（4，176） B ．（4，3） C.（5，176） D ．（5，3） 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）7.计算：3−= ；= ．8.2016年南京实现GDP 约10500亿元，成为全国第11个经济总量超过万亿的城市，用科学记数法表示10500是 ． 9.若式子21x −在实数范围内有意义，则x 的取值范围是 ．10.计算1286+⨯的结果是 ． 11.方程2102x x−=+的解是 ． 12.已知关于x 的方程20x px q ++=的两根为-3和-1，则p = ；q = ．13.下面是某市2013~2016年私人汽车拥有量和年增长率的统计图，该市私人汽车拥有量年净增量最多的是 年，私人汽车拥有量年增长率最大的是 年．14.如图，1∠是五边形ABCDE 的一个外角，若165∠=︒，则A B C D ∠+∠+∠+∠= ．15.如图，四边形ABCD 是菱形，⊙O 经过点,,A C D ，与BC 相交于点E ，连接,AC AE ，若78D ∠=︒，则EAC ∠= ．16.函数1y x =与24y x=的图像如图所示，下列关于函数12y y y =+的结论：①函数的图像关于原点中心对称；②当2x <时，随的增大而减小；③当0x >时，函数的图像最低点的坐标是（2，4），其中所有正确结论的序号是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17. 计算112a a a a ⎛⎫⎛⎫++÷− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 18. 解不等式组()26,2,31 1.x x x x −≤>−−<+⎧⎪⎨⎪⎩①②③请结合题意，完成本题的解答. （1）解不等式①，得 . （2）解不等式③，得 .（3）把不等式①，②和③的解集在数轴上表示出来.（4）从图中可以找出三个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集 .19. 如图，在ABCD 中，点,E F 分别在,AD BC 上，且,,AE CF EF BD =相交于点O .求证OE OF =.20. 某公司共25名员工，下标是他们月收入的资料.月收入/元 45000 18000 10000 5500 4800 3400 5000 2200 人数111361111（1）该公司员工月收入的中位数是 元，众数是 元.（2）根据上表，可以算得该公司员工月收入的平均数为6276元.你认为用平均数，中位数和众数中的哪一个反映该公司全体员工月收入水平较为合适？说明理由.21. 全面两孩政策实施后，甲，乙两个家庭有了各自的规划.假定生男生女的概率相同，回答下列问题： （1）甲家庭已有一个男孩，准备再生一个孩子，则第二个孩子是女孩的概率是 ； （2）乙家庭没有孩子，准备生两个孩子，求至少有一个孩子是女孩的概率. 22.“直角”在初中几何学习中无处不在.如图，已知AOB ∠，请仿照小丽的方式，再用两种不同的方法判断AOB ∠是否为直角（仅限用直尺和圆规）.小丽的方法如图，在,OA OB 上分别取点,C D ，以C 为圆心，CD 长为半径画弧，交OB 的反向延长线于点E ，若OE OD =，则90AOB ∠=︒.23.张老师计划到超市购买甲种文具100个，他到超市后发现还有乙种文具可供选择.如果调整文具的购买品种，每减少购买1个甲种文具，需增加购买2个乙种文具.设购买x 个甲种文具时，需购买y 个乙种文具. （1）①当减少购买一个甲种文具时，x =▲，y =▲；②求y 与x 之间的函数表达式.（2）已知甲种文具每个5元，乙种文具每个3元，张老师购买这两种文具共用去540元.甲，乙两种文具各购买了多少个？24.如图，,PA PB 是⊙O 的切线，,A B 为切点.连接AO 并延长，交PB 的延长线于点C ，连接PO ，交⊙O 于点D .（1）求证：PO 平分APC ∠.（2）连结DB ，若30C ∠=︒，求证//DB AC .25.如图，港口B 位于港口A 的南偏东37︒方向，灯塔C 恰好在AB 的中点处，一艘海轮位于港口A 的正南方向，港口B 的正西方向的D 处，它沿正北方向航行5km ，到达E 处，测得灯塔C 在北偏东45︒方向上.这时，E 处距离港口A 有多远？（参考数据：sin 370.60,cos370.80,tan 370.75︒≈︒≈︒≈）26.已知函数()21y x m x m =−+−+（m 为常数）（1）该函数的图像与x 轴公共点的个数是（ ） A.0 B.1 C.2 D.1或2（2）求证：不论m 为何值，该函数的图像的顶点都在函数()21y x =+的图像上. （3）当23m −≤≤时，求该函数的图像的顶点纵坐标的取值范围. 27. 折纸的思考. 【操作体验】用一张矩形纸片折等边三角形.第一步，对折矩形纸片()ABCD AB BC >（图①），使AB 与DC 重合，得到折痕EF ，把纸片展平（图②）.第二步，如图③，再一次折叠纸片，使点C 落在EF 上的P 处，并使折痕经过点B ，得到折痕BG ，折出,PB PC ，得到PBC ∆.（1）说明PBC ∆是等边三角形.【数学思考】（2）如图④.小明画出了图③的矩形ABCD 和等边三角形PBC .他发现，在矩形ABCD 中把PBC ∆经过图形变化，可以得到图⑤中的更大的等边三角形.请描述图形变化的过程.（3）已知矩形一边长为3cm ，另一边长为acm .对于每一个确定的a 的值，在矩形中都能画出最大的等边三角形.请画出不同情形的示意图，并写出对应的a 的取值范围.【问题解决】（4）用一张正方形铁片剪一个直角边长分别为4cm和1cm的直角三角形铁片，所需正方形铁片的边长的最小值为cm.试卷答案一、选择题1-5:CCDBC 6:A 二、填空题7.3，3. 8.41.0510⨯. 9.1x ≠. 10.6. 11.2x =. 12.4，3 13.2016，2015. 14.425. 15.27. 16.①③. 三、解答题 17.解：112a a a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝++÷⎭− 22211a a a a a ++−=÷22211a a aa a ++=⋅− ()()()2111a aaa a +=⋅+−11a a +=−. 18.（1）3x ≥−.不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变. （2）2x <. （3）（4）22x −<<.19.证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴//,AD BC AD BC =.∴,EDO FBO DEO BFO ∠=∠∠=∠. ∵AE CF =，∴AD AE CB CF −=−，即DE BF =. ∴DOE BOF ∆∆≌. ∴OE OF =.20.解（1）3400，3000.（2）本题答案不惟一，下列解法供参考，例如，用中位数反映该公司全体员工月收入水平较为合适，在这组数据中有差异较大的数据，这会导致平均数较大.该公司员工月收入的中位数是3400元，这说明除去收入为3400元的员工，一半员工收入高于3400元，另一半员工收入低于3400元.因此，利用中位数可以更好地反映这组数据的集中趋势. 21.解：（1）12. （2）乙家庭没有孩子，准备生两个孩子，所有可能出现的结果有：（男，男）、（男，女）、（女，男）、（女，女），共有4种，它们出现的可能性相同.所有的结果中，满足“至少有一个是女孩”（记为事件A ）的结果有三种，所以()34P A =. 22.本题答案不惟一，下列解法供参考，例如，方法1：如图①，在,OA OB 上分别截取4,3OC OD ==.若5CD =，则90AOB ∠=︒.方法2：如图②，在,OA OB 上分别取点,C D ，以CD 为直径画圆.若点O 在圆上，则90AOB ∠=︒. 23.解：（1）①99，2.②根据题意，得()21002200y x x =−=−+. 所以y 与x 之间的函数表达式为2200y x =−+.（2）根据题意，得2200,53540.y x x y =−+⎧⎨+=⎩解得60,80.x y =⎧⎨=⎩答：甲、乙两种文具各购买了60个和80个. 24.证明：（1）如图，连接OB .∵,PA PB 是⊙O 的切线， ∴,OA AP OB BP ⊥⊥， 又OA OB =， ∴PO 平分APC ∠.（2）∵,AO AP OB BP ⊥⊥，∴90CAP OBP ∠=∠=︒.∵30C ∠=︒，∴90903060APC C ∠=︒−∠=︒−︒=︒.∵PO 平分APC ∠， ∴11603022OPC APC ∠=∠=⨯︒=︒， ∴90903060POB OPC ∠=︒−∠=︒−︒=︒.又OD OB =，∴ODB ∆是等边三角形.∴60OBD ∠=︒.∴906030DBP OPB OBD ∠=∠−∠=︒−︒=︒.∴DBP C ∠=∠.∴//DB AC .25.解：如图，过点C 作CH AD ⊥，垂足为H .设CH xkm =.在Rt ACH ∆中，37A ∠=︒ ， ∵tan 37CH AH︒=， ∴tan 37tan 37CH x AH ==︒︒. 在Rt CEH ∆中，45CEH ∠=︒ ， ∵tan 45CH EH︒=， ∴tan 45CH EH x ==︒. ∵,CH AD BD AD ⊥⊥，∴90AHC ADB ∠=∠=︒.∴//HC DB . ∴BAH HD AC C =. 又C 为AB 的中点，∴AC CB =.∴AH HD =. ∴tan 375x x ︒=+. ∴5tan 3750.75151tan 3710.75x ⨯︒⨯=≈=−︒−. ∴()151535tan 37AE AH HE km =+=+≈︒. 因此，E 处距离港口A 大约为35km .26.解：（1）D .（2）()()22211124m m y x m x m x ⎛⎫ ⎪⎝+−=−+−+=−−+⎭， 所以该函数的图像的顶点坐标为()211,24m m ⎛⎫ ⎝+ −⎪⎪⎭. 把x =12m −代入()21y x =+，得()2211124m m y ⎛⎫ ⎪⎭=⎝+−=+. 因此，不论m 为何值，该函数的图像的顶点都在函数()21y x =+的图像上. （3）设函数z =()214m +.当1m =−时，z 有最小值0.当1m <−时，z 随m 的增大而减小；当1m >−时，z 随m 的增大而增大.又当2m =−时，()221144z −+==；当3m =时，()23144z +==. 因此，当23m −≤≤时，该函数的的图像的顶点纵坐标的取值范围是04z ≤≤.27.解：（1）由折叠，,PB PC BP BC == ，因此，PBC ∆是等边三角形.（2）本题答案不惟一，下列解法供参考.例如，如图，以点B 为中心，在矩形ABCD 中把PBC ∆逆时针方向旋转适当的角度，得到11PBC ∆；再以点B 为位似中心，将11PBC ∆放大，使点1C 的对应点2C 落在CD 上，得到22PBC ∆. （3）本题答案不惟一，下列解法供参考，例如，3302a <≤ 33223a <<23a ≥（4）165.。
江苏省南京市秦淮中学2017-2018学年高二下学期期中考试数学试题(解析版)
2017--2018学年度第二学期高二期中考试数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．）将正确的答案填在题中的横线上．1. 已知集合，则______．【答案】【解析】试题分析：考点：集合的表示方法和交集的运算.2. 已知复数z满足，则复数的模为______．【答案】【解析】分析：由，得，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，再由复数求模公式计算得答案．详解：由（1﹣i）z=i，得=，则z的模为：．故答案为：．点睛：本题考查复数代数形式的乘除运算，复数模的求法，属于基础题.3. 某校共有400名学生参加了一次数学竞赛，竞赛成绩都在[50，100]内，且频率分布直方图如图所示(成绩分组为[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，则在本次竞赛中，得分不低于80分的人数为______．【答案】120【解析】分析：由频率分布直方图求出得分不低于80分的频率，由此能求出得分不低于80分的人数．详解：由频率分布直方图得：得分不低于80分的频率为：1﹣（0.015+0.025+0.030）×10=0.3，∴得分不低于80分的人数为：400×0.3=120人．故答案为：120．点睛：利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数时，易出错，应注意区分这三者．在频率分布直方图中：(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．4. 如图是一个算法流程图，则输出的的值是______．【答案】127【解析】分析：执行程序框图，依次写出每次循环得到的a的值，当a=127时，满足条件a＞64，退出循环，输出a的值为127．详解：执行程序框图，可得a=1a=3不满足条件a＞64，a=7不满足条件a＞64，a=15不满足条件a＞64，a=31不满足条件a＞64，a=63不满足条件a＞64，a=127满足条件a＞64，退出循环，输出a的值为127．故答案为：127．点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括顺序结构、条件结构、循环结构，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.5. 某单位要在4名员工(含甲、乙两人)中随机选2名到某地出差，则甲、乙两人中，至少有一人被选中的概率是______．【答案】【解析】试题分析：在四名员工（含甲乙两人）中随机选两名，共有6种方法，其中甲乙两人都未被选中，有1种方法，所以甲乙两人中至少有一人被选中有5种方法，故所求概率为考点：古典概型概率【方法点睛】古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.6. 函数的定义域为______．【答案】【解析】分析：利用真数大于零与被开方式大于等于零布列不等式组，解出范围即可.详解：函数的定义域为：,解得0＜x≤e．故答案为：．点睛：常见基本初等函数定义域的基本要求(1)分式函数中分母不等于零．(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.(4)y＝x0的定义域是{x|x≠0}．(5)y＝a x(a>0且a≠1)，y＝sin x，y＝cos x的定义域均为R.(6)y＝log a x(a>0且a≠1)的定义域为(0，＋∞)．7. 设实数x，y满足，则的最大值为______．【答案】2【解析】分析：作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合即可得到结论．详解：作出不等式组对于的平面区域如图：设z=2x+y，则y=，平移直线y=，由图象可知当直线y=，经过点C时，直线y=的截距最大，此时z最大，由，解得，即C（1，0），此时z max=2×1+0=2，故答案为：2点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.8. 若曲线与曲线在处的两条切线互相垂直，则实数的值为______．【答案】【解析】分析：分别求出两个函数的导函数，求得两函数在x=1处的导数值，由题意知两导数值的乘积等于﹣1，由此求得a 的值．详解：：由y=ax3﹣x2+2x，得y′=3ax2﹣2x+2，∴y′|x=1=3a，由y=e x，得y′=e x，∴y′|x=1=e．∵曲线C1：y=ax3﹣x2+2x与曲线C2：y=e x在x=1处的切线互相垂直，∴3a•e=﹣1，解得：a=﹣．故答案为：﹣．点睛：求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：．若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．9. 若圆锥的侧面展开图是半径为且圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为______．【答案】【解析】∵圆锥侧面展开图的半径为5，∴圆锥的母线长为5．设圆锥的底面半径为r，则，解得r=3，∴圆锥的高为4．∴圆锥的体积 .点睛：旋转体要抓住“旋转”特点，弄清底面、侧面及展开图形状．10. 若抛物线的焦点到双曲线C：的渐近线距离等于，则双曲线C的离心率为______．【答案】【解析】分析：求出抛物线的焦点坐标，双曲线的渐近线方程，由点到直线的距离公式，可得a，b的关系，再由离心率公式，计算即可得到．详解：抛物线的焦点为（0，1），双曲线C2：=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为bx+ay=0，则焦点到渐近线的距离d=，即有b2=4a2，则c2=5a2，即有双曲线的离心率为：．故答案为：．点睛：本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中根据条件转化为圆锥曲线的离心率的方程，得到a,c的关系式是解得的关键，对于双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a,c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a,b,c的齐次式，转化为a,c的齐次式，然后转化为关于ee的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得e (e的取值范围)．11. 已知直线（其中a，b为非零实数）与圆相交于A,B两点，O为坐标原点，且，则的最小值为______．【答案】8【解析】【分析】由直线ax+by=1（其中a，b为非零实数）与圆x2+y2=4相交于A，B两点，且，可得圆心O（0，0）到直线ax+by=1的距离d=，可得2a2+b2=1．再利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出．【详解】∵直线ax+by=1（其中a，b为非零实数）与圆x2+y2=1相交于A，B两点，且，∴圆心O（0，0）到直线ax+by=1的距离d==1，化为2a2+b2=1．∴+=（+）（2a2+b2）=2+2++≥4+2=8，当且仅当b2=2a2=取等号．∴+的最小值为8．故答案为：8．【点睛】在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.12. 在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点（点为靠近点的三等分点），则的值是______．【答案】【解析】因为，，因此，【考点】向量数量积【名师点睛】研究向量的数量积，一般有两个思路，一是建立平面直角坐标系，利用坐标研究向量的数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种思路实质相同，但坐标法更易理解和化简. 对于涉及中线的向量问题，一般利用向量加、减法的平行四边形法则进行求解．视频13. 已知数列是递增的等比数列且，设是数列的前项和，数列前n项和为，若不等式对任意的恒成立，则实数的最大值是_______．【答案】【解析】【分析】由已知求出等比数列的公比，得到等比数列的通项公式和前n项和公式，代入b n=，整理后利用裂项相消法求得数列{b n}的前n项和T n，然后求出T n的最小值即可.【详解】设等比数列{a n}的公比为q，由a1+a4=9，a2a3=8．得a1+a4=9，a1a4=8．即a1，a4是方程x2﹣9x+8=0的两根．解得或．∵数列{a n}是递增的等比数列，∴a1=1，a4=8．则，∴q=2．则，．∴b n===．∴T n ==1﹣．∵T n =1﹣是关于n的单调增函数，∴1﹣不等式对任意的恒成立即∴，实数的最大值是故答案为：【点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2）；（3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.14. 设函数，其中，若仅存在两个的整数使得，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】分析：设g（x）=e x（2x﹣1），y=ax﹣a，则存在两个整数x1，x2，使得g（x）在直线y=ax﹣a的下方，由此利用导数性质能求出a的取值范围．详解：函数f（x）=e x（2x﹣1）﹣ax+a，其中a＜1，设g（x）=e x（2x﹣1），y=ax﹣a，∵存在两个整数x1，x2，使得f（x1），f（x2）都小于0，∴存在两个整数x1，x2，使得g（x）在直线y=ax﹣a的下方，∵g′（x）=e x（2x+1），∴当x＜﹣时，g′（x）＜0，∴当x=﹣时，[g（x）]min=g（﹣）=﹣2．当x=0时，g（0）=﹣1，g（1）=e＞0，直线y=ax﹣a恒过（1，0），斜率为a，故﹣a＞g（0）=﹣1，且g（﹣1）=﹣3e﹣1＜﹣a﹣a，解得a＜．g（﹣2）≥﹣2a﹣a，解得a≥，∴a的取值范围是[，）．故答案为：点睛：：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．二、解答题（本大题共6个小题，共90分,需写出必要的解题过程）15. 在△ABC中，已知角所对的边分别为，且.(1) 求角的大小；(2) 若，求边的长．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）由三角形内角关系及诱导公式、两角和正切公式得，再由三角形内角范围得（2）已知两角一边，求另一边，应用正弦定理得，所以先根据同角三角函数关系求对应角正弦值：，，再代入可得试题解析：（1）因为，，，所以…………………………………2分，………………………………4分又，所以．……………………………………………………6分（2）因为，且，又，所以，……………………………………………8分同理可得，．…………………………………………………10分由正弦定理，得．……………………………14分考点：正弦定理，两角和正切公式，同角三角函数关系【方法点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.16. 如图，在四棱锥中，平面⊥平面，四边形为矩形，⊥，分别为的中点．求证：(1) 直线∥平面；(2) 直线⊥平面 .【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】分析：（1）取BE中点F，连结CF，MF，证明四边形MNCF是平行四边形，所以MN∥CF，即可证明直线MN∥平面EBC；（2）证明BC⊥平面EAB，得到BC⊥EA，又EA⊥EB，BC∩EB=B，EB，BC⊂平面EBC，即可证明直线EA⊥平面EBC．详解：证明：(1)取BE中点F，连结CF，MF，又M是AE的中点，所以MF∥AB，且MF=AB因为N是矩形ABCD的边CD的中点，所以NC∥AB，且NC=AB.所以MF∥NC且MF=NC，所以四边形MNCF是平行四边形．所以MN∥CF.又MN⊄平面EBC，CF⊂平面EBC，所以直线MN∥平面EBC.(2) 在矩形ABCD中，BC⊥AB.又平面EAB⊥平面ABCD，平面ABCD∩平面EAB＝AB，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面EAB.又EA⊂平面EAB，所以BC⊥EA.又EA⊥EB，BC∩EB＝B，EB，BC⊂平面EBC，所以直线EA⊥平面EBC.点睛：垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.17. 某景点拟建一个扇环形状的花坛（如图所示），按设计要求扇环的周长为36米，其中大圆弧所在圆的半径为14米，设小圆弧所在圆的半径为x米，圆心角为（弧度）．求关于x的函数关系式；已知对花坛的边缘（实线部分）进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为16元/米，设花坛的面积与装饰总费用之比为y，求y关于x的函数关系式，并求出y的最大值．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）根据扇形的周长公式进行求解即可．（2）结合花坛的面积公式，结合费用之间的关系进行求解即可．试题解析：⑴由题可知，所以.⑵花坛的面积为，装饰总费用为，所以花坛的面积与装饰总费用之比为，令，，则，当且仅当取等号，此时，，故花坛的面积与装饰总费用之比为，且的最大值为【点睛】本题主要考查函数的应用问题，结合扇形的周长和面积公式以及函数的性质是解决问题的关键18. 已知椭圆右焦点，离心率为，过作两条互相垂直的弦，设中点分别为. 求椭圆的方程；(2) 证明：直线必过定点，并求出此定点坐标；(3) 若弦的斜率均存在，求面积的最大值．【答案】（1）＋y2＝1.（2）见解析（3）S△FMN取得最大值，此时k＝±1.【解析】分析：（1）根据题意确定出c与e的值，利用离心率公式求出a的值，进而求出b的值，确定出椭圆方程即可；（2）由直线AB与CD斜率均存在，设为k，表示出AB方程，设出A与B坐标，联立直线AB与椭圆方程，消去y得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系表示出M，同理表示出N，根据M与N横坐标相同求出k的值，得到此时MN斜率不存在，直线MN恒过定点；若直线MN斜率存在，表示出直线MN斜率，进而表示出直线MN，令y=0，求出x的值，得到直线MN恒过定点，综上，得到直线MN恒过定点，求出定点坐标即可；（3）根据P坐标，得到OP的长，由OF﹣OP表示出PF长，S△FMN＝S△FPM＋S△FPN，利用基本不等式求出面积的最大值即可．详解：(1) （1）由题意：c=1，=，∴a=，b=c=1，则椭圆的方程为+y2=1；(2) ∵AB，CD斜率均存在，∴设直线AB方程为：y=k（x﹣1），再设A（x1，y1），B（x2，y2），则有M（，k（﹣1）），联立得：，消去y得：（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，∴，即M（，），将上式中的k换成﹣，同理可得：N（，），若=，解得：k=±1，直线MN斜率不存在，此时直线MN过点（，0）；下证动直线MN过定点P（，0），若直线MN斜率存在，则k MN===×，直线MN为y﹣=×（x﹣），令y=0，得x=+×=×=，综上，直线MN过定点（，0）；(3) 由第（2）问可知直线MN过定点P（，0），=S△FPM+S△FPN=×||+×|=×，故S△FMN=f（t）=×=×，令t=|k|+∈[2，+∞），S△FMN∴f（t）在t∈[2，+∞）单调递减，最大值，此时k=±1．当t=2时，f（t）取得最大值，即S△FMN点睛：圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．19. 设数列的前n项和为，已知，，数列是公差为d的等差数列，n∈N*.求d的值；求数列的通项公式；求证：.【答案】（1）4（2）见解析【解析】试题分析：(1)由,求出,从而得到d的值;(2)根据(1)的结果先求出,得到关于和的关系式,再利用求出数列;(3)由(2)得:所以,显然可利用不等式的性质得到要证的不等式成立.试题解析：解：（1）3分（2）因为数列是等差数列，即①当时，②①-②，得:，即则以上各式相乘得：因为，8分（3）则③因为当时，，所以上式等号不成立.则12分考点：1、数列的概念，等差数列；2、不等式的性质.20. 已知函数.若，求函数f(x)的单调减区间；若关于x的不等式恒成立，求整数a的最小值；若，正实数满足，证明：.【答案】（1）(1，＋∞)．（2）2（3）见解析【解析】试题分析：（1）由求出的值，再利用导数求出函数的单调递减区间；（2）分离出变量，令，只要，利用导数求出令的最大值即可；（3）由，即，令，则由，利用导数法求得，从而可得所以，解得即可．试题解析：（1）因为，所以，此时，，，由，得，又，所以，所以的单调减区间为．（2）由恒成立，得在上恒成立，问题等价于在上恒成立，令，只要，因为，令，得．设，因为，所以在上单调递减，不妨设的根为，当时，；当时，，所以在上是增函数，在上是减函数，所以，因为，，所以，此时，即，所以，即整数的最小值为2．（3）当时，，由，即，从而，令，则由，得，可知，在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，所以，因此成立．考点：1、函数基本性质；2、恒成立问题；3、利用导数求函数的最值．【方法点睛】利用导数求函数单调区间的基本步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导函数；(3)由(或)，解出相应的的取值范围．当时，在相应的区间上是增函数；当时，在相应区间上是减函数．(4)结合定义域写出的单调区间．利用导数求函数的单调区间需注意的问题是首先要确定函数的定义域，解决问题的过程只能在定义域内进行，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间．本题主要考查利用导数与函数单调之间的关系以及利用导数求最值，属于中档题．。
2017年南京市玄武区中考数学二模试卷(有答案)
2017年江苏省南京市玄武区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．2的相反数是（）A．2 B．C．﹣2 D．﹣2．氢原子的半径大约是0.000 0077m，将数据0.000 0077用科学记数法表示为（）A．0.77×10﹣5B．0.77×10﹣6C．7.7×10﹣5D．7.7×10﹣63．﹣介于（）A．﹣4与﹣3之间B．﹣3与﹣2之间C．﹣2与﹣1之间D．﹣1与0之间4．下列平面图形，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）A．等腰三角形B．正五边形 C．平行四边形D．矩形5．如图是一个几何体的三视图，这个几何体是（）A．四棱柱B．三棱柱C．三棱锥D．圆锥6．如图，正六边形ABCDEF的边长为6cm，P是对角线BE上一动点，过点P作直线l与BE垂直，动点P从B点出发且以1cm/s的速度匀速平移至E点．设直线l扫过正六边形ABCDEF区域的面积为S（cm2），点P的运动时间为t （s），下列能反映S与t之间函数关系的大致图象是（）A． B． C． D．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）7．8的算术平方根是；8的立方根是．8．要使式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是．9．计算= ．10．已知反比例函数y=的图象经过点A（﹣2，3），则当x=﹣1时，y= ．11．某班的中考英语口语考试成绩如表：考试成绩/分30 29 28 27 26则该班中考英语口语考试成绩的众数比中位数多分．12．若方程x2﹣12x+5=0的两根分别为a，b，则a2b+ab2的值为．13．若圆锥的高是8cm，母线长是10cm，则这个圆锥的侧面积是cm2（结果保留π）．14．若一个正多边形的每一个外角都是30°，则这个正多边形的边数为．15．如图，在⊙O的内接六边形ABCDEF中，∠A+∠C=220°，则∠E= °．16．如图，在△ABC中，∠A=45°，∠B=60°，AB=4，P是BC边上的动点（不与B，C重合），点P关于直线AB，AC的对称点分别为M，N，则线段MN长的取值范围是．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（1）解不等式组并把它的解集在数轴上表示出来．（2）解方程=1﹣．18．先化简代数式1﹣÷，并从﹣1，0，1，3中选取一个合适的数代入求值．19．某学校为了了解本校学生采用何种方式上网查找所需要的学习资源，随机抽取部分学生了解情况，并将统计结果绘制成频数分布表及频数分布直方图．上网查找学习资源方式频数分布表a= ；b= ；（2）补全频数分布直方图；（3）若全校有1000名学生，估计该校利用搜索引擎上网查找学习资源的学生有多少名？20．从2名男生和3名女生中随机抽取运动会志愿者．求下列事件的概率：（1）抽取1名，恰好是女生的概率为；（2）抽取2名，恰好是1名男生和1名女生．21．如图，在四边形ABCD中，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为E，F，BE=DF，AE=CF．（1）求证：△AFD≌△CEB；（2）若∠CBE=∠BAC，四边形ABCD是怎样的四边形？证明你的结论．22．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件．如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1250元，那么衬衫的单价降了多少元？23．如图，小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC，并测得B，C两点的俯角分别为60°和35°，已知大桥BC的长度为100m，且与地面在同一水平面上．求热气球离地面的高度．（结果保留整数，参考数据：sin35°≈，cos35°≈，tan35°≈，≈1.7）24．已知二次函数y=x2﹣（a﹣1）x+a﹣2，其中a是常数．（1）求证：不论a为何值，该二次函数的图象与x轴一定有公共点；（2）当a=4时，该二次函数的图象顶点为A，与x轴交于B，D两点，与y轴交于C点，求四边形ABCD的面积．25．如图①，在一条笔直的公路上有M、P、N三个地点，M、P两地相距20km，甲开汽车，乙骑自行车分别从M、P 两地同时出发，匀速前往N地，到达N地后停止运动．已知乙骑自行车的速度为20km/h，甲，乙两人之间的距离y （km）与乙行驶的时间t（h）之间的关系如图②所示．（1）M、N两地之间的距离为km；（2）求线段BC所表示的y与t之间的函数表达式；（3）若乙到达N地后，甲，乙立即以各自原速度返回M地，请在图②所给的直角坐标系中补全函数图象．26．如图，点A在⊙O上，点P是⊙O外一点，PA切⊙O于点A，连接OP交⊙O于点D，作AB⊥OP于点C，交⊙O 于点B，连接PB．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）若PC=9，AB=6，①求图中阴影部分的面积；②若点E是⊙O上一点，连接AE，BE，当AE=6时，BE= ．27．（1）问题背景如图①，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，AB=AC，P为BmC上一动点（不与B，C重合），求证： PA=PB+PC．小明同学观察到图中自点A出发有三条线段AB，AP，AC，且AB=AC，这就为旋转作了铺垫．于是，小明同学有如下思考过程：第一步：将△PAC绕着点A顺时针旋转90°至△QAB（如图①）；第二步：证明Q，B，P三点共线，进而原题得证．请你根据小明同学的思考过程完成证明过程．（2）类比迁移如图②，⊙O的半径为3，点A，B在⊙O上，C为⊙O内一点，AB=AC，AB⊥AC，垂足为A，求OC的最小值．（3）拓展延伸如图③，⊙O的半径为3，点A，B在⊙O上，C为⊙O内一点，AB=AC，AB⊥AC，垂足为A，则OC的最小值为．2017年江苏省南京市玄武区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．2的相反数是（）A．2 B．C．﹣2 D．﹣【考点】14：相反数．【分析】根据相反数的含义，可得求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，据此解答即可．【解答】解：根据相反数的含义，可得2的相反数是：﹣2．故选：C．2．氢原子的半径大约是0.000 0077m，将数据0.000 0077用科学记数法表示为（）A．0.77×10﹣5B．0.77×10﹣6C．7.7×10﹣5D．7.7×10﹣6【考点】1J：科学记数法—表示较小的数．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.000 0077用科学记数法表示为7.7×10﹣6，故选D．3．﹣介于（）A．﹣4与﹣3之间B．﹣3与﹣2之间C．﹣2与﹣1之间D．﹣1与0之间【考点】2B：估算无理数的大小．【分析】首先由4＜7＜9，可估算出的取值范围，易得结果．【解答】解：∵4＜7＜9，∴2，∴﹣3＜＜﹣2，故选B．4．下列平面图形，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）A．等腰三角形B．正五边形 C．平行四边形D．矩形【考点】R5：中心对称图形；P3：轴对称图形．【分析】根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出．【解答】解：A、∵等腰三角形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，但它是轴对称图形，故此选项错误；B、∵正五边形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；C、平行四边形旋转180°后能与原图形重合，此图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，故此选项错误；D、∵矩形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项正确．故选D．5．如图是一个几何体的三视图，这个几何体是（）A．四棱柱B．三棱柱C．三棱锥D．圆锥【考点】U3：由三视图判断几何体．【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．【解答】解：由于主视图和俯视图为长方形可得此几何体为柱体，由左视图为三角形可得为三棱柱．故选：B．6．如图，正六边形ABCDEF的边长为6cm，P是对角线BE上一动点，过点P作直线l与BE垂直，动点P从B点出发且以1cm/s的速度匀速平移至E点．设直线l扫过正六边形ABCDEF区域的面积为S（cm2），点P的运动时间为t （s），下列能反映S与t之间函数关系的大致图象是（）A． B． C． D．【考点】E7：动点问题的函数图象．【分析】从给出的图象中看，中间位置的图象一致，只要计算两边取值中的图象即可作出判断；先计算点P从B到G时扫过的面积S，发现是二次函数，且开口向下，可以否定A和B，再计算点P从9≤t≤12时扫过的面积为正六边形的面积﹣△EMN的面积，计算得到一个开口向下的二次函数，由此作判断．【解答】解：由题意得：BP=t，如图1，连接AC，交BE于G，Rt△ABG中，AB=6，∠ABG=60°，∴∠BAG=30°，∴BG=AB=3，由勾股定理得：AG==3，∴AC=2AG=6，当0≤t≤3时，PM=t，∴MN=2t，S=S△BMN=MN•PB==，所以选项A和B不正确；如图2，当9≤t≤12时，PE=12﹣t，∵∠MEP=60°，∴tan∠MEP=，∴PM=（12﹣t），∴MN=2PM=2（12﹣t），∴S=S正六边形﹣S△EMN，=2×（AF+BE）×AG﹣MN•PE，=（6+12）×3﹣×（12﹣t）（12﹣t），=54﹣，=﹣+24t﹣90，此二次函数的开口向下，所以选项C正确，选项D不正确；故选C．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）7．8的算术平方根是2；8的立方根是 2 ．【考点】24：立方根；22：算术平方根．【分析】依据算术平方根的性质和立方根的性质解答即可．【解答】解：8的算术平方根是2；8的立方根是2．故答案为：2；2．8．要使式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是x≥2 ．【考点】72：二次根式有意义的条件．【分析】根据被开方数是非负数，可得答案．【解答】解：由题意，得x﹣2≥0，解得x≥2，故答案为：x≥2．9．计算= 2 ．【考点】75：二次根式的乘除法．【分析】直接利用二次根式乘运算法则计算得出答案．【解答】解：原式====2．故答案为：2．10．已知反比例函数y=的图象经过点A（﹣2，3），则当x=﹣1时，y= 6 ．【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】直接把A（2，3）代入反比例函数y=求出k的值，进而可得出反比例函数的解析式，再把x=1代入求出y的值即可．【解答】解：∵反比例函数y=的图象经过点A（﹣2，3），∴3=，解得k=﹣6，∴反比例函数的解析式为y=﹣，∴当x=﹣1时，y=﹣=6．故答案为：6．11．某班的中考英语口语考试成绩如表：则该班中考英语口语考试成绩的众数比中位数多 1 分．【考点】W5：众数；W4：中位数．【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不只一个；找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数．【解答】解：这组数出现次数最多的是29；∴这组数的众数是29．∵共42人，∴中位数应是第21和第22人的平均数，位于最中间的数是28，28，∴这组数的中位数是28．∴该班中考英语口语考试成绩的众数比中位数多29﹣28=1分，故答案为：1．12．若方程x2﹣12x+5=0的两根分别为a，b，则a2b+ab2的值为60 ．【考点】AB：根与系数的关系．【分析】先根据根与系数的关系得到a+b=12，ab=5，再把a2b+ab2变形为ab（a+b），然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：根据题意得a+b=12，ab=5，所以a2b+ab2=ab（a+b）=5×12=60．故答案为60．13．若圆锥的高是8cm，母线长是10cm，则这个圆锥的侧面积是60πcm2（结果保留π）．【考点】MP：圆锥的计算．【分析】先利用勾股定理计算出圆锥的底面圆的半径，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算这个圆锥的侧面积．【解答】解：圆锥的底面圆的半径==6，所以这个圆锥的侧面积=×2π•6•10=60π（cm2）．故答案为60π．14．若一个正多边形的每一个外角都是30°，则这个正多边形的边数为12 ．【考点】L3：多边形内角与外角．【分析】根据正多边形的每一个外角都相等，多边形的边数=360°÷30°，计算即可求解．【解答】解：这个正多边形的边数：360°÷30°=12，故答案为：12．15．如图，在⊙O的内接六边形ABCDEF中，∠A+∠C=220°，则∠E= 140 °．【考点】M5：圆周角定理；L3：多边形内角与外角．【分析】连接BF，BD，根据已知条件得到的度数+的度数=440°，得到的度数=440°﹣360°=80°，根据圆内接四边形的性质即可得到结论．【解答】解：连接BF，BD，∵∠A+∠C=220°，∴的度数+的度数=440°，∴的度数=440°﹣360°=80°，∴∠DBF=40°，∴∠E=180°﹣∠DBF=140°，故答案为：140．16．如图，在△ABC中，∠A=45°，∠B=60°，AB=4，P是BC边上的动点（不与B，C重合），点P关于直线AB，AC的对称点分别为M，N，则线段MN长的取值范围是2≤MN＜4．【考点】P2：轴对称的性质．【分析】连接AM、AN、AP，过点A作AD⊥MN于点D，由对称性可知AM=AP=AN、△MAN等腰直角三角形，进而即可得出MN=AP，再根据AP的取值范围即可得出线段MN长的取值范围．【解答】解：连接AM、AN、AP，过点A作AD⊥MN于点D，如图所示．∵点P关于直线AB，AC的对称点分别为M，N，∴AM=AP=AN，∠MAB=∠PAB，∠NAC=∠PAC，∴△MAN等腰直角三角形，∴∠AMD=45°，∴AD=MD=AM，MN=AM．∵AB=4，∠B=60°，∴2≤AP≤4，∵AM=AP，∴2≤MN≤4．故答案为：2≤MN＜4．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（1）解不等式组并把它的解集在数轴上表示出来．（2）解方程=1﹣．【考点】B3：解分式方程；C4：在数轴上表示不等式的解集；CB：解一元一次不等式组．【分析】（1）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：（1），解不等式① ，得x≤1，解不等式 ②，得x＞﹣1，则不等式组的解集是﹣1＜x≤1；（2）方程两边同乘x﹣3得：3x=（x﹣3）+1，解得：x=﹣1，检验：当x=﹣1时，x﹣3≠0，所以x=﹣1是原方程的解．18．先化简代数式1﹣÷，并从﹣1，0，1，3中选取一个合适的数代入求值．【考点】6D：分式的化简求值．【分析】根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子，然后在﹣1，0，1，3中选取一个使得原分式有意义的x 的值代入即可解答本题．【解答】解：1﹣÷==1﹣==，当x=3时，原式=﹣．19．某学校为了了解本校学生采用何种方式上网查找所需要的学习资源，随机抽取部分学生了解情况，并将统计结果绘制成频数分布表及频数分布直方图．上网查找学习资源方式频数分布表a= 30% ；b= 5 ；（2）补全频数分布直方图；（3）若全校有1000名学生，估计该校利用搜索引擎上网查找学习资源的学生有多少名？【考点】V8：频数（率）分布直方图；V5：用样本估计总体；V7：频数（率）分布表．【分析】（1）由统计图和统计表可以分别求得a、b的值；（2）根据b的值即可画出直方图；（3）用样本估计总体的思想，即可解决问题；【解答】解：（1）16÷32%=50，a=×100%=30%，b=50×10%=5，故答案为30%；5；（2）频数分布直方图，如图所示，（3）1000×32%=320（名）答：该校利用搜索引擎查找学习资源的学生有320名．20．从2名男生和3名女生中随机抽取运动会志愿者．求下列事件的概率：（1）抽取1名，恰好是女生的概率为；（2）抽取2名，恰好是1名男生和1名女生．【考点】X6：列表法与树状图法；X4：概率公式．【分析】（1）根据概率的意义写出即可；（2）画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解．【解答】解：（1）P（女）=；故答案为：；（2）画出树状图如下：共有20种情况，其中“恰好是1名男生和1名女生”的情况有12种，所以，P（恰好是1名男生和1名女生B）==．21．如图，在四边形ABCD中，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为E，F，BE=DF，AE=CF．（1）求证：△AFD≌△CEB；（2）若∠CBE=∠BAC，四边形ABCD是怎样的四边形？证明你的结论．【考点】KD：全等三角形的判定与性质．【分析】（1）求出AF=CE，再利用“边角边”证明即可；（2）根据全等三角形对应边相等可得AD=BC，全等三角形对应角相等可得∠BCE=∠DAF，再根据内错角相等，两直线平行证明AD∥BC，然后判断出四边形ABCD是平行四边形，求出∠ABC=90°，最后根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明．【解答】证明：（1）∵BE⊥AC，DF⊥AC，∴∠AFD=∠CEB=90°．∵AE=FC，∴AE+EF=FC+EF，∴AF=CE，又∵BE=DF，∴△AFD≌△CEB；（2）四边形ABCD为矩形．∵△AFD≌△CEB，∴AD=BC，∠BCE=∠DAF．∴AD∥BC，∴四边形ABCD为平行四边形，∵∠CBE=∠BAC，又∵∠CBE+∠ACB=90°，∴∠BAC+∠ACB=90°，∴∠ABC=90°，∴四边形ABCD为矩形．22．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件．如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1250元，那么衬衫的单价降了多少元？【考点】AD：一元二次方程的应用．【分析】设衬衫的单价降了x元．根据题意等量关系：降价后的销量×每件的利润=1250，根据等量关系列出方程即可．【解答】解：设衬衫的单价降了x元．根据题意，得（20+2x）（40﹣x）=1250，解得：x1=x2=15，答：衬衫的单价降了15元．23．如图，小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC，并测得B，C两点的俯角分别为60°和35°，已知大桥BC的长度为100m，且与地面在同一水平面上．求热气球离地面的高度．（结果保留整数，参考数据：sin35°≈，cos35°≈，tan35°≈，≈1.7）【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【分析】作AD⊥CB交CB所在直线于点D，利用锐角三角函数的定义求出CD及BD的长，利用BC=CD﹣BD即可得出结论．【解答】解：作AD⊥CB交CB所在直线于点D，由题知，∠ACD=35°，∠ABD=60°，∵在Rt△ACD中，∠ACD=35°，tan35°=≈，∴CD=AD．∵在Rt△ABD中，∠ABD=60°，tan60°==≈1.7，∴BD=AD，∴BC=CD﹣BD=AD﹣AD，∴AD﹣AD=100，解得AD=119m．答：热气球离地面的高119m．24．已知二次函数y=x2﹣（a﹣1）x+a﹣2，其中a是常数．（1）求证：不论a为何值，该二次函数的图象与x轴一定有公共点；（2）当a=4时，该二次函数的图象顶点为A，与x轴交于B，D两点，与y轴交于C点，求四边形ABCD的面积．【考点】HA：抛物线与x轴的交点．【分析】（1）利用根的判别式符号进行证明；（2）由抛物线解析式求得点B、C、D的坐标，然后利用分割法来求四边形ABCD的面积．【解答】（1）证明：y=x2﹣（a﹣1）x+a﹣2．因为[﹣（a﹣1）]2﹣4（a﹣2）=（a﹣3）2≥0．所以，方程x2﹣（a﹣1）x+a﹣2=0有实数根．所以，不论a为何值，该函数的图象与x轴总有公共点；（2）由题可知：当a=4时，y=x2﹣3x+2，因为y=x2﹣3x+2=（x﹣）2﹣，所以A（，﹣），当y=0时，x2﹣3x+2=0，解得x1=1，x2=2，所以B（1，0），D（2，0），当x=0时，y=2，所以C（0，2），所以S四边形ABCD=S△ABD+S△BDC=+1=．25．如图①，在一条笔直的公路上有M、P、N三个地点，M、P两地相距20km，甲开汽车，乙骑自行车分别从M、P 两地同时出发，匀速前往N地，到达N地后停止运动．已知乙骑自行车的速度为20km/h，甲，乙两人之间的距离y （km）与乙行驶的时间t（h）之间的关系如图②所示．（1）M、N两地之间的距离为80 km；（2）求线段BC所表示的y与t之间的函数表达式；（3）若乙到达N地后，甲，乙立即以各自原速度返回M地，请在图②所给的直角坐标系中补全函数图象．【考点】FH：一次函数的应用．【分析】（1）根据路程=速度×时间，可求PM，再计算20即可求解；（2）由题意可知B（，0），C（1，40），根据待定系数法可求线段BC所表示的y与t之间的函数表达式；（3）当甲开汽车返回M地时，甲，乙两人之间的距离y（km）最大为60；依此补全函数图象．【解答】解：（1）20×3+20=60+20=80（km）．答：M、N两地之间的距离为80km；（2）由题意可知B（，0），C（1，40），设y与x之间的函数表达式为y=kx+b．根据题意得，当x=时，y=0；当x=1时，y=40．所以，解得．所以，y与x之间的函数表达式为y=60x﹣20；（3）如图所示：故答案为：80．26．如图，点A在⊙O上，点P是⊙O外一点，PA切⊙O于点A，连接OP交⊙O于点D，作AB⊥OP于点C，交⊙O 于点B，连接PB．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）若PC=9，AB=6，①求图中阴影部分的面积；②若点E是⊙O上一点，连接AE，BE，当AE=6时，BE= 3﹣3或3+3．【考点】ME：切线的判定与性质；M2：垂径定理；MO：扇形面积的计算．【分析】（1）由PA切⊙O于点A得：∠PAO=90°，再证明△APO≌△BPO，所以∠PBO=∠PAO=90°，可得结论；（2）①先根据垂径定理得：BC=3，根据勾股定理求圆的半径OB的长，利用三角函数得：∠COB=60°，利用三角形的面积公式和扇形的面积公式分别求S△OPB和S扇形DOB的值，最后利用面积差得结论；②②分两种情况：i）当点E在上时，如图2，作辅助线，构建直角三角形和等腰直角三角形，利用同弧所对的圆周角与半径及勾股定理分别计算EH和BH的长，相加即可得BE的长；ii）当点E在劣弧上时，如图3，作辅助线，同理计算EH和BH的长，最后利用勾股定理求BE的长．【解答】（1）证明：如图1，连接OB，∵OP⊥AB，OP经过圆心O，∴AC=BC，∴OP垂直平分AB，∴AP=BP，∵OA=OB，OP=OP，∴△APO≌△BPO（SSS），∴∠PAO=∠PBO，∵PA切⊙O于点A，∴AP⊥OA，∴∠PAO=90°，∴∠PBO=∠PAO=90°，∴OB⊥BP，又∵点B在⊙O上，∴PB与⊙O相切于点B；（2）①解：如图1，∵OP⊥AB，OP经过圆心O，∴BC=AB=3，∵∠PBO=∠BCO=90°，∴∠PBC+∠OBC=∠OBC+∠BOC=90°，∴∠PBC=∠BOC，∴△PBC∽△BOC，∴∴OC===3，∴在Rt△OCB中，OB===6，tan∠COB==，∴∠COB=60°，∴S△OPB=×OP×BC=×=18，S扇DOB==6π，∴S阴影=S△OPB﹣S扇DOB=18﹣6π；②分两种情况：i）当点E在上时，如图2，作直径AF，交⊙O于F，连接EF、EB，过O作OG⊥AE于G，过F作FH⊥EB于H，∴EG=AG=AE=×=3，∵∠AOB=120°，OA=OB，∴∠OAB=30°，∴∠BEF=∠OAB=30°，Rt△OGE中，由①知：OA=6，∴OG===3，∴AG=OG，∴△OGA是等腰直角三角形，∴∠OAE=45°，∴∠EBF=∠OAE=45°，∵AF是⊙O的直径，∴∠AEF=90°，∴△AEF是等腰直角三角形，∴EF=AE=6，Rt△EHF中，∠BEF=30°，∴FH=EF=3，∴EH===3，Rt△BHF中，∵∠EBF=45°，∴△BHF是等腰直角三角形，∴BH=FH=3，∴BE=3+3，ii）当点E在劣弧上时，如图3，作直径AF，并⊙O于F，连接OB、OE、BF，过B作BH⊥OE于H，∵AF为⊙O的直径，∴∠ABF=90°，∵∠BAF=30°，∴∠F=∠BOF=60°，∵OA=OE=6，AE=6，∴OA2+OE2=AE2，∴∠AOE=90°，∴∠EOF=90°，∴∠EOB=30°，Rt△OHB中，BH=OB=3，∴OH==3，∴EH=6﹣3，∴BE====3﹣3；综上所述，BE的长为3+3或3﹣3；故答案为：3﹣3或3+3．27．（1）问题背景如图①，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，AB=AC，P为BmC上一动点（不与B，C重合），求证： PA=PB+PC．小明同学观察到图中自点A出发有三条线段AB，AP，AC，且AB=AC，这就为旋转作了铺垫．于是，小明同学有如下思考过程：第一步：将△PAC绕着点A顺时针旋转90°至△QAB（如图①）；第二步：证明Q，B，P三点共线，进而原题得证．请你根据小明同学的思考过程完成证明过程．（2）类比迁移如图②，⊙O的半径为3，点A，B在⊙O上，C为⊙O内一点，AB=AC，AB⊥AC，垂足为A，求OC的最小值．（3）拓展延伸如图③，⊙O的半径为3，点A，B在⊙O上，C为⊙O内一点，AB=AC，AB⊥AC，垂足为A，则OC的最小值为．【考点】MR：圆的综合题．【分析】（1）将△PAC绕着点A顺时针旋转90°至△QAB（如图①），只要证明△APQ是等腰直角三角形即可解决问题；（2）如图②中，连接OA，将△OAC绕点O顺时针旋转90°至△QAB，连接OB，OQ，在△BOQ中，利用三边关系定理即可解决问题；（3）如图③构造相似三角形即可解决问题．作AQ⊥OA，使得AQ=OA，连接OQ，BQ，OB．由△QAB∽OAC，推出BQ= OC，当BQ最小时，OC最小；【解答】（1）证明：将△PAC绕着点A顺时针旋转90°至△QAB（如图①）；∵BC是直径，∴∠BAC=90°，∵AB=AC，∴∠ACB=∠ABC=45°，由旋转可得∠QBA=∠PCA，∠ACB=∠APB=45°，PC=QB，∵∠PCA+∠PBA=180°，∴∠QBA+∠PBA=180°，∴Q，B，P三点共线，∴∠QAB+∠BAP=∠BAP+∠PAC=90°，∴QP2=AP2+AQ2=2AP2，∴QP=AP=QB+BP=PC+PB，∴AP=PC+PB．（2）解：如图②中，连接OA，将△OAC绕点A顺时针旋转90°至△QAB，连接OB，OQ，∵AB⊥AC∴∠BAC=90°由旋转可得QB=OC，AQ=OA，∠QAB=∠OAC∴∠QAB+∠BAO=∠BAO+∠OAC=90°∴在Rt△OAQ中，OQ=3，AO=3∴在△OQB中，BQ≥OQ﹣OB=3﹣3即OC最小值是3﹣3（3）如图③中，作AQ⊥OA，使得AQ=OA，连接OQ，BQ，OB．∵∠QAO=∠BAC=90°，∠QAB=∠OAC，∵==，∴△QAB∽OAC，∴BQ=OC，当BQ最小时，OC最小，易知OA=3，AQ=4，OQ=5，BQ≥OQ﹣OB，∴OQ≥2，∴BQ的最小值为2，∴OC的最小值为×2=，故答案为．。
2017年南京市玄武区中考数学二模试卷(有答案)
2017年江苏省南京市玄武区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．2的相反数是（）A．2 B．C．﹣2 D．﹣2．氢原子的半径大约是0.000 0077m，将数据0.000 0077用科学记数法表示为（）A．0.77×10﹣5B．0.77×10﹣6C．7.7×10﹣5D．7.7×10﹣63．﹣介于（）A．﹣4与﹣3之间B．﹣3与﹣2之间C．﹣2与﹣1之间D．﹣1与0之间4．下列平面图形，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）A．等腰三角形B．正五边形 C．平行四边形D．矩形5．如图是一个几何体的三视图，这个几何体是（）A．四棱柱B．三棱柱C．三棱锥D．圆锥6．如图，正六边形ABCDEF的边长为6cm，P是对角线BE上一动点，过点P作直线l与BE垂直，动点P从B点出发且以1cm/s的速度匀速平移至E点．设直线l扫过正六边形ABCDEF区域的面积为S（cm2），点P的运动时间为t（s），下列能反映S与t之间函数关系的大致图象是（）A． B． C． D．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）7．8的算术平方根是；8的立方根是．8．要使式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是．9．计算= ．10．已知反比例函数y=的图象经过点A（﹣2，3），则当x=﹣1时，y= ．11．某班的中考英语口语考试成绩如表：考试成绩/分30 29 28 27 26学生数/人 3 15 13 6 3则该班中考英语口语考试成绩的众数比中位数多分．12．若方程x2﹣12x+5=0的两根分别为a，b，则a2b+ab2的值为．13．若圆锥的高是8cm，母线长是10cm，则这个圆锥的侧面积是cm2（结果保留π）．14．若一个正多边形的每一个外角都是30°，则这个正多边形的边数为．15．如图，在⊙O的内接六边形ABCDEF中，∠A+∠C=220°，则∠E= °．16．如图，在△ABC中，∠A=45°，∠B=60°，AB=4，P是BC边上的动点（不与B，C重合），点P关于直线AB，AC的对称点分别为M，N，则线段MN长的取值范围是．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（1）解不等式组并把它的解集在数轴上表示出来．（2）解方程=1﹣．18．先化简代数式1﹣÷，并从﹣1，0，1，3中选取一个合适的数代入求值．19．某学校为了了解本校学生采用何种方式上网查找所需要的学习资源，随机抽取部分学生了解情况，并将统计结果绘制成频数分布表及频数分布直方图．上网查找学习资源方式频数分布表查找方式频数频率搜索引擎16 32%专题网站15 a在线网校 4 8%试题题库10 20%其他 b 10%（1）频数分布表中a，b的值：a= ；b= ；（2）补全频数分布直方图；（3）若全校有1000名学生，估计该校利用搜索引擎上网查找学习资源的学生有多少名？20．从2名男生和3名女生中随机抽取运动会志愿者．求下列事件的概率：（1）抽取1名，恰好是女生的概率为；（2）抽取2名，恰好是1名男生和1名女生．21．如图，在四边形ABCD中，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为E，F，BE=DF，AE=CF．（1）求证：△AFD≌△CEB；（2）若∠CBE=∠BAC，四边形ABCD是怎样的四边形？证明你的结论．22．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件．如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1250元，那么衬衫的单价降了多少元？23．如图，小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC，并测得B，C两点的俯角分别为60°和35°，已知大桥BC的长度为100m，且与地面在同一水平面上．求热气球离地面的高度．（结果保留整数，参考数据：sin35°≈，cos35°≈，tan35°≈，≈1.7）24．已知二次函数y=x2﹣（a﹣1）x+a﹣2，其中a是常数．（1）求证：不论a为何值，该二次函数的图象与x轴一定有公共点；（2）当a=4时，该二次函数的图象顶点为A，与x轴交于B，D两点，与y轴交于C点，求四边形ABCD的面积．25．如图①，在一条笔直的公路上有M、P、N三个地点，M、P两地相距20km，甲开汽车，乙骑自行车分别从M、P两地同时出发，匀速前往N地，到达N地后停止运动．已知乙骑自行车的速度为20km/h，甲，乙两人之间的距离y（km）与乙行驶的时间t（h）之间的关系如图②所示．（1）M、N两地之间的距离为km；（2）求线段BC所表示的y与t之间的函数表达式；（3）若乙到达N地后，甲，乙立即以各自原速度返回M地，请在图②所给的直角坐标系中补全函数图象．26．如图，点A在⊙O上，点P是⊙O外一点，PA切⊙O于点A，连接OP交⊙O于点D，作AB⊥OP于点C，交⊙O于点B，连接PB．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）若PC=9，AB=6，①求图中阴影部分的面积；②若点E是⊙O上一点，连接AE，BE，当AE=6时，BE= ．27．（1）问题背景如图①，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，AB=AC，P为BmC上一动点（不与B，C重合），求证： PA=PB+PC．小明同学观察到图中自点A出发有三条线段AB，AP，AC，且AB=AC，这就为旋转作了铺垫．于是，小明同学有如下思考过程：第一步：将△PAC绕着点A顺时针旋转90°至△QAB（如图①）；第二步：证明Q，B，P三点共线，进而原题得证．请你根据小明同学的思考过程完成证明过程．（2）类比迁移如图②，⊙O的半径为3，点A，B在⊙O上，C为⊙O内一点，AB=AC，AB⊥AC，垂足为A，求OC的最小值．（3）拓展延伸如图③，⊙O的半径为3，点A，B在⊙O上，C为⊙O内一点，AB=AC，AB⊥AC，垂足为A，则OC的最小值为．2017年江苏省南京市玄武区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．2的相反数是（）A．2 B．C．﹣2 D．﹣【考点】14：相反数．【分析】根据相反数的含义，可得求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，据此解答即可．【解答】解：根据相反数的含义，可得2的相反数是：﹣2．故选：C．2．氢原子的半径大约是0.000 0077m，将数据0.000 0077用科学记数法表示为（）A．0.77×10﹣5B．0.77×10﹣6C．7.7×10﹣5D．7.7×10﹣6【考点】1J：科学记数法—表示较小的数．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.000 0077用科学记数法表示为7.7×10﹣6，故选D．3．﹣介于（）A．﹣4与﹣3之间B．﹣3与﹣2之间C．﹣2与﹣1之间D．﹣1与0之间【考点】2B：估算无理数的大小．【分析】首先由4＜7＜9，可估算出的取值范围，易得结果．【解答】解：∵4＜7＜9，∴2，∴﹣3＜＜﹣2，故选B．4．下列平面图形，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）A．等腰三角形B．正五边形 C．平行四边形D．矩形【考点】R5：中心对称图形；P3：轴对称图形．【分析】根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出．【解答】解：A、∵等腰三角形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，但它是轴对称图形，故此选项错误；B、∵正五边形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；C、平行四边形旋转180°后能与原图形重合，此图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，故此选项错误；D、∵矩形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项正确．故选D．5．如图是一个几何体的三视图，这个几何体是（）A．四棱柱B．三棱柱C．三棱锥D．圆锥【考点】U3：由三视图判断几何体．【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．【解答】解：由于主视图和俯视图为长方形可得此几何体为柱体，由左视图为三角形可得为三棱柱．故选：B．6．如图，正六边形ABCDEF的边长为6cm，P是对角线BE上一动点，过点P作直线l与BE垂直，动点P从B点出发且以1cm/s的速度匀速平移至E点．设直线l扫过正六边形ABCDEF区域的面积为S（cm2），点P的运动时间为t（s），下列能反映S与t之间函数关系的大致图象是（）A． B． C． D．【考点】E7：动点问题的函数图象．【分析】从给出的图象中看，中间位置的图象一致，只要计算两边取值中的图象即可作出判断；先计算点P从B到G时扫过的面积S，发现是二次函数，且开口向下，可以否定A和B，再计算点P从9≤t ≤12时扫过的面积为正六边形的面积﹣△EMN的面积，计算得到一个开口向下的二次函数，由此作判断．【解答】解：由题意得：BP=t，如图1，连接AC，交BE于G，Rt△ABG中，AB=6，∠ABG=60°，∴∠BAG=30°，∴BG=AB=3，由勾股定理得：AG==3，∴AC=2AG=6，当0≤t≤3时，PM=t，∴MN=2t，S=S△BMN=MN•PB==，所以选项A和B不正确；如图2，当9≤t≤12时，PE=12﹣t，∵∠MEP=60°，∴tan∠MEP=，∴PM=（12﹣t），∴MN=2PM=2（12﹣t），∴S=S正六边形﹣S△EMN，=2×（AF+BE）×AG﹣MN•PE，=（6+12）×3﹣×（12﹣t）（12﹣t），=54﹣，=﹣+24t﹣90，此二次函数的开口向下，所以选项C正确，选项D不正确；故选C．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）7．8的算术平方根是2；8的立方根是 2 ．【考点】24：立方根；22：算术平方根．【分析】依据算术平方根的性质和立方根的性质解答即可．【解答】解：8的算术平方根是2；8的立方根是2．故答案为：2；2．8．要使式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是x≥2 ．【考点】72：二次根式有意义的条件．【分析】根据被开方数是非负数，可得答案．【解答】解：由题意，得x﹣2≥0，解得x≥2，故答案为：x≥2．9．计算= 2 ．【考点】75：二次根式的乘除法．【分析】直接利用二次根式乘运算法则计算得出答案．【解答】解：原式====2．故答案为：2．10．已知反比例函数y=的图象经过点A（﹣2，3），则当x=﹣1时，y= 6 ．【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】直接把A（2，3）代入反比例函数y=求出k的值，进而可得出反比例函数的解析式，再把x=1代入求出y的值即可．【解答】解：∵反比例函数y=的图象经过点A（﹣2，3），∴3=，解得k=﹣6，∴反比例函数的解析式为y=﹣，∴当x=﹣1时，y=﹣=6．故答案为：6．11．某班的中考英语口语考试成绩如表：考试成绩/分30 29 28 27 26学生数/人 3 15 13 6 3则该班中考英语口语考试成绩的众数比中位数多 1 分．【考点】W5：众数；W4：中位数．【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不只一个；找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数．【解答】解：这组数出现次数最多的是29；∴这组数的众数是29．∵共42人，∴中位数应是第21和第22人的平均数，位于最中间的数是28，28，∴这组数的中位数是28．∴该班中考英语口语考试成绩的众数比中位数多29﹣28=1分，故答案为：1．12．若方程x2﹣12x+5=0的两根分别为a，b，则a2b+ab2的值为60 ．【考点】AB：根与系数的关系．【分析】先根据根与系数的关系得到a+b=12，ab=5，再把a2b+ab2变形为ab（a+b），然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：根据题意得a+b=12，ab=5，所以a2b+ab2=ab（a+b）=5×12=60．故答案为60．13．若圆锥的高是8cm，母线长是10cm，则这个圆锥的侧面积是60πcm2（结果保留π）．【考点】MP：圆锥的计算．【分析】先利用勾股定理计算出圆锥的底面圆的半径，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算这个圆锥的侧面积．【解答】解：圆锥的底面圆的半径==6，所以这个圆锥的侧面积=×2π•6•10=60π（cm2）．故答案为60π．14．若一个正多边形的每一个外角都是30°，则这个正多边形的边数为12 ．【考点】L3：多边形内角与外角．【分析】根据正多边形的每一个外角都相等，多边形的边数=360°÷30°，计算即可求解．【解答】解：这个正多边形的边数：360°÷30°=12，故答案为：12．15．如图，在⊙O的内接六边形ABCDEF中，∠A+∠C=220°，则∠E= 140 °．【考点】M5：圆周角定理；L3：多边形内角与外角．【分析】连接BF，BD，根据已知条件得到的度数+的度数=440°，得到的度数=440°﹣360°=80°，根据圆内接四边形的性质即可得到结论．【解答】解：连接BF，BD，∵∠A+∠C=220°，∴的度数+的度数=440°，∴的度数=440°﹣360°=80°，∴∠DBF=40°，∴∠E=180°﹣∠DBF=140°，故答案为：140．16．如图，在△ABC中，∠A=45°，∠B=60°，AB=4，P是BC边上的动点（不与B，C重合），点P关于直线AB，AC的对称点分别为M，N，则线段MN长的取值范围是2≤MN＜4．【考点】P2：轴对称的性质．【分析】连接AM、AN、AP，过点A作AD⊥MN于点D，由对称性可知AM=AP=AN、△MAN等腰直角三角形，进而即可得出MN=AP，再根据AP的取值范围即可得出线段MN长的取值范围．【解答】解：连接AM、AN、AP，过点A作AD⊥MN于点D，如图所示．∵点P关于直线AB，AC的对称点分别为M，N，∴AM=AP=AN，∠MAB=∠PAB，∠NAC=∠PAC，∴△MAN等腰直角三角形，∴∠AMD=45°，∴AD=MD=AM，MN=AM．∵AB=4，∠B=60°，∴2≤AP≤4，∵AM=AP，∴2≤MN≤4．故答案为：2≤MN＜4．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（1）解不等式组并把它的解集在数轴上表示出来．（2）解方程=1﹣．【考点】B3：解分式方程；C4：在数轴上表示不等式的解集；CB：解一元一次不等式组．【分析】（1）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：（1），解不等式① ，得x≤1，解不等式 ②，得x＞﹣1，则不等式组的解集是﹣1＜x≤1；（2）方程两边同乘x﹣3得：3x=（x﹣3）+1，解得：x=﹣1，检验：当x=﹣1时，x﹣3≠0，所以x=﹣1是原方程的解．18．先化简代数式1﹣÷，并从﹣1，0，1，3中选取一个合适的数代入求值．【考点】6D：分式的化简求值．【分析】根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子，然后在﹣1，0，1，3中选取一个使得原分式有意义的x的值代入即可解答本题．【解答】解：1﹣÷==1﹣==，当x=3时，原式=﹣．19．某学校为了了解本校学生采用何种方式上网查找所需要的学习资源，随机抽取部分学生了解情况，并将统计结果绘制成频数分布表及频数分布直方图．上网查找学习资源方式频数分布表查找方式频数频率搜索引擎16 32%专题网站15 a在线网校 4 8%试题题库10 20%其他 b 10%（1）频数分布表中a，b的值：a= 30% ；b= 5 ；（2）补全频数分布直方图；（3）若全校有1000名学生，估计该校利用搜索引擎上网查找学习资源的学生有多少名？【考点】V8：频数（率）分布直方图；V5：用样本估计总体；V7：频数（率）分布表．【分析】（1）由统计图和统计表可以分别求得a、b的值；（2）根据b的值即可画出直方图；（3）用样本估计总体的思想，即可解决问题；【解答】解：（1）16÷32%=50，a=×100%=30%，b=50×10%=5，故答案为30%；5；（2）频数分布直方图，如图所示，（3）1000×32%=320（名）答：该校利用搜索引擎查找学习资源的学生有320名．20．从2名男生和3名女生中随机抽取运动会志愿者．求下列事件的概率：（1）抽取1名，恰好是女生的概率为；（2）抽取2名，恰好是1名男生和1名女生．【考点】X6：列表法与树状图法；X4：概率公式．【分析】（1）根据概率的意义写出即可；（2）画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解．【解答】解：（1）P（女）=；故答案为：；（2）画出树状图如下：共有20种情况，其中“恰好是1名男生和1名女生”的情况有12种，所以，P（恰好是1名男生和1名女生B）==．21．如图，在四边形ABCD中，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为E，F，BE=DF，AE=CF．（1）求证：△AFD≌△CEB；（2）若∠CBE=∠BAC，四边形ABCD是怎样的四边形？证明你的结论．【考点】KD：全等三角形的判定与性质．【分析】（1）求出AF=CE，再利用“边角边”证明即可；（2）根据全等三角形对应边相等可得AD=BC，全等三角形对应角相等可得∠BCE=∠DAF，再根据内错角相等，两直线平行证明AD∥BC，然后判断出四边形ABCD是平行四边形，求出∠ABC=90°，最后根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明．【解答】证明：（1）∵BE⊥AC，DF⊥AC，∴∠AFD=∠CEB=90°．∵AE=FC，∴AE+EF=FC+EF，∴AF=CE，又∵BE=DF，∴△AFD≌△CEB；（2）四边形ABCD为矩形．∵△AFD≌△CEB，∴AD=BC，∠BCE=∠DAF．∴AD∥BC，∴四边形ABCD为平行四边形，∵∠CBE=∠BAC，又∵∠CBE+∠ACB=90°，∴∠BAC+∠ACB=90°，∴∠ABC=90°，∴四边形ABCD为矩形．22．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件．如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1250元，那么衬衫的单价降了多少元？【考点】AD：一元二次方程的应用．【分析】设衬衫的单价降了x元．根据题意等量关系：降价后的销量×每件的利润=1250，根据等量关系列出方程即可．【解答】解：设衬衫的单价降了x元．根据题意，得（20+2x）（40﹣x）=1250，解得：x1=x2=15，答：衬衫的单价降了15元．23．如图，小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC，并测得B，C两点的俯角分别为60°和35°，已知大桥BC的长度为100m，且与地面在同一水平面上．求热气球离地面的高度．（结果保留整数，参考数据：sin35°≈，cos35°≈，tan35°≈，≈1.7）【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【分析】作AD⊥CB交CB所在直线于点D，利用锐角三角函数的定义求出CD及BD的长，利用BC=CD﹣BD即可得出结论．【解答】解：作AD⊥CB交CB所在直线于点D，由题知，∠ACD=35°，∠ABD=60°，∵在Rt△ACD中，∠ACD=35°，tan35°=≈，∴CD=AD．∵在Rt△ABD中，∠ABD=60°，tan60°==≈1.7，∴BD=AD，∴BC=CD﹣BD=AD﹣AD，∴AD﹣AD=100，解得AD=119m．答：热气球离地面的高119m．24．已知二次函数y=x2﹣（a﹣1）x+a﹣2，其中a是常数．（1）求证：不论a为何值，该二次函数的图象与x轴一定有公共点；（2）当a=4时，该二次函数的图象顶点为A，与x轴交于B，D两点，与y轴交于C点，求四边形ABCD的面积．【考点】HA：抛物线与x轴的交点．【分析】（1）利用根的判别式符号进行证明；（2）由抛物线解析式求得点B、C、D的坐标，然后利用分割法来求四边形ABCD的面积．【解答】（1）证明：y=x2﹣（a﹣1）x+a﹣2．因为[﹣（a﹣1）]2﹣4（a﹣2）=（a﹣3）2≥0．所以，方程x2﹣（a﹣1）x+a﹣2=0有实数根．所以，不论a为何值，该函数的图象与x轴总有公共点；（2）由题可知：当a=4时，y=x2﹣3x+2，因为y=x2﹣3x+2=（x﹣）2﹣，所以A（，﹣），当y=0时，x2﹣3x+2=0，解得x1=1，x2=2，所以B（1，0），D（2，0），当x=0时，y=2，所以C（0，2），所以S四边形ABCD=S△ABD+S△BDC=+1=．25．如图①，在一条笔直的公路上有M、P、N三个地点，M、P两地相距20km，甲开汽车，乙骑自行车分别从M、P两地同时出发，匀速前往N地，到达N地后停止运动．已知乙骑自行车的速度为20km/h，甲，乙两人之间的距离y（km）与乙行驶的时间t（h）之间的关系如图②所示．（1）M、N两地之间的距离为80 km；（2）求线段BC所表示的y与t之间的函数表达式；（3）若乙到达N地后，甲，乙立即以各自原速度返回M地，请在图②所给的直角坐标系中补全函数图象．【考点】FH：一次函数的应用．【分析】（1）根据路程=速度×时间，可求PM，再计算20即可求解；（2）由题意可知B（，0），C（1，40），根据待定系数法可求线段BC所表示的y与t之间的函数表达式；（3）当甲开汽车返回M地时，甲，乙两人之间的距离y（km）最大为60；依此补全函数图象．【解答】解：（1）20×3+20=60+20=80（km）．答：M、N两地之间的距离为80km；（2）由题意可知B（，0），C（1，40），设y与x之间的函数表达式为y=kx+b．根据题意得，当x=时，y=0；当x=1时，y=40．所以，解得．所以，y与x之间的函数表达式为y=60x﹣20；（3）如图所示：故答案为：80．26．如图，点A在⊙O上，点P是⊙O外一点，PA切⊙O于点A，连接OP交⊙O于点D，作AB⊥OP于点C，交⊙O于点B，连接PB．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）若PC=9，AB=6，①求图中阴影部分的面积；②若点E是⊙O上一点，连接AE，BE，当AE=6时，BE= 3﹣3或3+3．【考点】ME：切线的判定与性质；M2：垂径定理；MO：扇形面积的计算．【分析】（1）由PA切⊙O于点A得：∠PAO=90°，再证明△APO≌△BPO，所以∠PBO=∠PAO=90°，可得结论；（2）①先根据垂径定理得：BC=3，根据勾股定理求圆的半径OB的长，利用三角函数得：∠COB=60°，利用三角形的面积公式和扇形的面积公式分别求S△OPB和S扇形DOB的值，最后利用面积差得结论；②②分两种情况：i）当点E在上时，如图2，作辅助线，构建直角三角形和等腰直角三角形，利用同弧所对的圆周角与半径及勾股定理分别计算EH和BH的长，相加即可得BE的长；ii）当点E在劣弧上时，如图3，作辅助线，同理计算EH和BH的长，最后利用勾股定理求BE的长．【解答】（1）证明：如图1，连接OB，∵OP⊥AB，OP经过圆心O，∴AC=BC，∴OP垂直平分AB，∴AP=BP，∵OA=OB，OP=OP，∴△APO≌△BPO（SSS），∴∠PAO=∠PBO，∵PA切⊙O于点A，∴AP⊥OA，∴∠PAO=90°，∴∠PBO=∠PAO=90°，∴OB⊥BP，又∵点B在⊙O上，∴PB与⊙O相切于点B；（2）①解：如图1，∵OP⊥AB，OP经过圆心O，∴BC=AB=3，∵∠PBO=∠BCO=90°，∴∠PBC+∠OBC=∠OBC+∠BOC=90°，∴∠PBC=∠BOC，∴△PBC∽△BOC，∴∴OC===3，∴在Rt△OCB中，OB===6，tan∠COB==，∴∠COB=60°，∴S△OPB=×OP×BC=×=18，S扇DOB==6π，∴S阴影=S△OPB﹣S扇DOB=18﹣6π；②分两种情况：i）当点E在上时，如图2，作直径AF，交⊙O于F，连接EF、EB，过O作OG⊥AE于G，过F作FH⊥EB 于H，∴EG=AG=AE=×=3，∵∠AOB=120°，OA=OB，∴∠OAB=30°，∴∠BEF=∠OAB=30°，Rt△OGE中，由①知：OA=6，∴OG===3，∴AG=OG，∴△OGA是等腰直角三角形，∴∠OAE=45°，∴∠EBF=∠OAE=45°，∵AF是⊙O的直径，∴∠AEF=90°，∴△AEF是等腰直角三角形，∴EF=AE=6，Rt△EHF中，∠BEF=30°，∴FH=EF=3，∴EH===3，Rt△BHF中，∵∠EBF=45°，∴△BHF是等腰直角三角形，∴BH=FH=3，∴BE=3+3，ii）当点E在劣弧上时，如图3，作直径AF，并⊙O于F，连接OB、OE、BF，过B作BH⊥OE于H，∵AF为⊙O的直径，∴∠ABF=90°，∵∠BAF=30°，∴∠F=∠BOF=60°，∵OA=OE=6，AE=6，∴OA2+OE2=AE2，∴∠AOE=90°，∴∠EOF=90°，∴∠EOB=30°，Rt△OHB中，BH=OB=3，∴OH==3，∴EH=6﹣3，∴BE====3﹣3；综上所述，BE的长为3+3或3﹣3；故答案为：3﹣3或3+3．27．（1）问题背景如图①，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，AB=AC，P为BmC上一动点（不与B，C重合），求证： PA=PB+PC．小明同学观察到图中自点A出发有三条线段AB，AP，AC，且AB=AC，这就为旋转作了铺垫．于是，小明同学有如下思考过程：第一步：将△PAC绕着点A顺时针旋转90°至△QAB（如图①）；第二步：证明Q，B，P三点共线，进而原题得证．请你根据小明同学的思考过程完成证明过程．（2）类比迁移如图②，⊙O的半径为3，点A，B在⊙O上，C为⊙O内一点，AB=AC，AB⊥AC，垂足为A，求OC的最小值．（3）拓展延伸如图③，⊙O的半径为3，点A，B在⊙O上，C为⊙O内一点，AB=AC，AB⊥AC，垂足为A，则OC的最小值为．【考点】MR：圆的综合题．【分析】（1）将△PAC绕着点A顺时针旋转90°至△QAB（如图①），只要证明△APQ是等腰直角三角形即可解决问题；（2）如图②中，连接OA，将△OAC绕点O顺时针旋转90°至△QAB，连接OB，OQ，在△BOQ中，利用三边关系定理即可解决问题；（3）如图③构造相似三角形即可解决问题．作AQ⊥OA，使得AQ=OA，连接OQ，BQ，OB．由△QAB∽OAC，推出BQ=OC，当BQ最小时，OC最小；【解答】（1）证明：将△PAC绕着点A顺时针旋转90°至△QAB（如图①）；∵BC是直径，∴∠BAC=90°，∵AB=AC，∴∠ACB=∠ABC=45°，由旋转可得∠QBA=∠PCA，∠ACB=∠APB=45°，PC=QB，∵∠PCA+∠PBA=180°，∴∠QBA+∠PBA=180°，∴Q，B，P三点共线，∴∠QAB+∠BAP=∠BAP+∠PAC=90°，∴QP2=AP2+AQ2=2AP2，∴QP=AP=QB+BP=PC+PB，∴AP=PC+PB．（2）解：如图②中，连接OA，将△OAC绕点A顺时针旋转90°至△QAB，连接OB，OQ，∵AB⊥AC∴∠BAC=90°由旋转可得QB=OC，AQ=OA，∠QAB=∠OAC∴∠QAB+∠BAO=∠BAO+∠OAC=90°∴在Rt△OAQ中，OQ=3，AO=3∴在△OQB中，BQ≥OQ﹣OB=3﹣3即OC最小值是3﹣3（3）如图③中，作AQ⊥OA，使得AQ=OA，连接OQ，BQ，OB．∵∠QAO=∠BAC=90°，∠QAB=∠OAC，∵==，∴△QAB∽OAC，∴BQ=OC，当BQ最小时，OC最小，易知OA=3，AQ=4，OQ=5，BQ≥OQ﹣OB，∴OQ≥2，∴BQ的最小值为2，∴OC的最小值为×2=，故答案为．。
2017年江苏省南京市高淳区中考数学二模试卷带答案解析
2017年江苏省南京市高淳区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（2分）的值等于（）A．2 B．﹣2 C．±2 D．162．（2分）在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，则sinA的值是（）A．B．C．D．3．（2分）如图是小强用八块相同的小正方体搭建的一个积木，它的左视图是（）A．B．C．D．4．（2分）计算a2•（）3的结果是（）A．a B．a5C．D．5．（2分）已知反比例函数，下列结论中，不正确的是（）A．图象必经过点（1，2）B．y随x的增大而增大C．图象在第一、三象限内D．若x＞1，则0＜y＜26．（2分）如图，⊙O的半径为1，△ABC是⊙O的内接等边三角形，点D、E在圆上，四边形BCDE为矩形，这个矩形的面积是（）A．2 B．C．D．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）7．（2分）PM 2.5造成的损失巨大，治理的花费更大．我国每年因为空气污染造成的经济损失高达约5659亿元．将5659亿元用科学记数法表示为亿元．8．（2分）函数y=中，自变量x的取值范围是．9．（2分）分解因式：4x3﹣x=．10．（2分）计算：﹣×=．11．（2分）在平面直角坐标系中，点A的坐标是（﹣2，3），作点A关于x轴的对称点，得到点A′，再将点A'向右平移3个单位得到点A″，则点A''的坐标是．12．（2分）如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=120°，AB的垂直平分线DE交AC于点D，连接BD，则∠ABD=°．13．（2分）某班10名学生校服尺寸与对应人数如下表所示：则这10名学生校服尺寸的中位数为cm．14．（2分）二次函数y=x2﹣2x+m的图象与x轴的一个交点的坐标是（﹣1，0），则图象与x轴的另一个交点的坐标是．15．（2分）如图，点A、B、C在⊙O上，∠ACB的度数是20°，的长为π，则⊙O的半径是．16．（2分）已知二次函数y=m （x﹣1）（x﹣4）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），顶点为C，将该二次函数的图象关于x轴翻折，所得图象的顶点为D．若四边形ACBD为正方形，则m的值为．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（6分）解不等式组，并写出不等式组的整数解．18．（7分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中a=2+．19．（7分）为增强学生环保意识，某中学组织全校2000名学生参加环保知识大赛，比赛成绩均为整数．从中抽取部分同学的成绩进行统计，并绘制成如图统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）所抽取的样本容量为．（2）若抽取的学生成绩用扇形图来描述，则表示“第三组（79.5～89.5 ）”的扇形的圆心角度数为多少？（3）如果成绩在80分以上（含80分）的同学可以获奖，请估计该校有多少名同学获奖．20．（8分）如图①、②、③是三个可以自由转动的转盘．（1）若同时转动①、②两个转盘，则两个转盘停下时指针所指的数字都是2的概率为；（2）甲、乙两人用三个转盘玩游戏，甲转动转盘，乙记录指针停下时所指的数字．游戏规定：当指针所指的三个数字中有数字相同时，就算甲赢，否则就算乙赢．请判断这个游戏是否公平，并说明你的理由．21．（8分）人民商场销售某种冰箱，每台进价为2500元，市场调研表明：当每台销售价定为2900元时，平均每天能售出8台；每台售价每降低50元，平均每天能多售出4台．设该种冰箱每台的销售价降低了x元．（1）填表：（2）若商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，则每台冰箱的售价应定为多少元？22．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．（1）求证：CE=AD；（2）当D在AB中点时．①求证：四边形BECD是菱形；②当∠A为多少度时，四边形BECD是正方形？说明理由．23．（7分）图①为平地上一幢建筑物与铁塔图，图②为其示意图．建筑物AB与铁塔CD都垂直于地面，BD=20m，在A点测得D点的俯角为45°，测得C点的仰角为58°．求铁塔CD的高度．（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）24．（8分）某市举行“迷你马拉松”长跑比赛，运动员从起点甲地出发，跑到乙地后，沿原路线再跑回点甲地．设该运动员离开起点甲地的路程s（km）与跑步时间t（min）之间的函数关系如图所示．已知该运动员从甲地跑到乙地时的平均速度是0.2km/min，根据图象提供的信息，解答下列问题：（1）a=km；（2）组委会在距离起点甲地3km处设立一个拍摄点P，该运动员从第一次过P 点到第二次过P点所用的时间为24min．①求AB所在直线的函数表达式；②该运动员跑完全程用时多少min？25．（8分）已知二次函数y=﹣x2+2mx﹣2m2﹣3（m为常数）．（1）求证：不论m为何值，该二次函数图象与x轴没有公共点；（2）如果把该函数图象沿y轴向上平移4个单位后，得到的函数图象与x轴只有一个公共点，试求m的值．26．（9分）如图，△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O与边AB、BC分别交于点D、E．过E的直线与⊙O相切，与AC的延长线交于点G，与AB交于点F．（1）求证：△BDE为等腰三角形；（2）求证：GF⊥AB；（3）若⊙O半径为3，DF=1，求CG的长．27．（10分）如图，已知一个直角三角形纸片ACB，其中∠ACB=90°，AC=4，BC=3，E、F分别是AC、AB边上点，连接EF，将纸片ACB的一角沿EF折叠．=3S△AEF，则（1）如图①，若折叠后点A落在AB边上的点D处，且使S四边形ECBFAE=；（2）如图②，若折叠后点A落在BC边上的点M处，且使MF∥CA．求AE的长；（3）如图③，若折叠后点A落在BC延长线上的点N处，且使NF⊥AB．求AE 的长．2017年江苏省南京市高淳区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（2分）的值等于（）A．2 B．﹣2 C．±2 D．16【解答】解：4的算术平方根为=2．故选A．2．（2分）在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，则sinA的值是（）A．B．C．D．【解答】解：在△ABC中，∠C=90°，∵AC=4，BC=3，∴AB==5．∴sinA=，故选：B．3．（2分）如图是小强用八块相同的小正方体搭建的一个积木，它的左视图是（）A．B．C．D．【解答】解：左视图从左往右，2列正方形的个数依次为2，1；依此画出图形．故选C．4．（2分）计算a2•（）3的结果是（）A．a B．a5C．D．【解答】解：a2•（）3===，故选：C．5．（2分）已知反比例函数，下列结论中，不正确的是（）A．图象必经过点（1，2）B．y随x的增大而增大C．图象在第一、三象限内D．若x＞1，则0＜y＜2【解答】解：A、把点（1，2）代入反比例函数y=，得2=2，正确．B、∵k=2＞0，∴在每一象限内y随x的增大而减小，不正确．C、∵k=2＞0，∴图象在第一、三象限内，正确．D、若x＞1，则y＜2，正确．故选B．6．（2分）如图，⊙O的半径为1，△ABC是⊙O的内接等边三角形，点D、E在圆上，四边形BCDE为矩形，这个矩形的面积是（）A．2 B．C．D．【解答】解：连结BD、OC，如图，∵四边形BCDE为矩形，∴∠BCD=90°，∴BD为⊙O的直径，∴BD=2，∵△ABC为等边三角形，∴∠A=60°，∴∠BOC=2∠A=120°，而OB=OC，∴∠CBD=30°，在Rt△BCD中，CD=BD=1，BC=CD=，∴矩形BCDE的面积=BC•CD=．故选：C．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）7．（2分）PM 2.5造成的损失巨大，治理的花费更大．我国每年因为空气污染造成的经济损失高达约5659亿元．将5659亿元用科学记数法表示为 5.659×103亿元．【解答】解：5659亿=5.659×103亿，故答案为：5.659×103．8．（2分）函数y=中，自变量x的取值范围是x≥﹣2．【解答】解：根据题意得：x+2≥0，解得x≥﹣2．故答案为：x≥﹣2．9．（2分）分解因式：4x3﹣x=x（2x+1）（2x﹣1）．【解答】解：4x3﹣x，=x（4x2﹣1），=x（2x+1）（2x﹣1）．10．（2分）计算：﹣×=．【解答】解：原式=2﹣=2﹣=．故答案为．11．（2分）在平面直角坐标系中，点A的坐标是（﹣2，3），作点A关于x轴的对称点，得到点A′，再将点A'向右平移3个单位得到点A″，则点A''的坐标是（1，﹣3）．【解答】解：∵点A的坐标是（﹣2，3），作点A关于x轴的对称点，得到点A′，∴A′点坐标为：（﹣2，﹣3），∵将点A'向右平移3个单位得到点A″，∴点A''的坐标是：（1，﹣3）．故答案为：（1，﹣3）．12．（2分）如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=120°，AB的垂直平分线DE交AC于点D，连接BD，则∠ABD=30°．【解答】解：∵AB=BC，∠ABC=120°，∴∠A=∠C=30°，∵DE是AB的垂直平分线，∴DA=DB，∴∠ABD=∠A=30°，故答案为：3013．（2分）某班10名学生校服尺寸与对应人数如下表所示：则这10名学生校服尺寸的中位数为170cm．【解答】解：10名学生校服尺寸的数据从小到大排列为160，165，165，165，170，170，175，175，180，180；处于中间的两个数据是170，170，则这组数据的中位数是170，故答案为170．14．（2分）二次函数y=x2﹣2x+m的图象与x轴的一个交点的坐标是（﹣1，0），则图象与x轴的另一个交点的坐标是（3，0）．【解答】解：∵二次函数y=x2﹣2x+m的图象的对称轴为x=﹣=1，与x轴的一个交点的坐标是（﹣1，0），∴由二次函数图象的对称性得：二次函数的图象与x轴的另一个交点的坐标是（3，0）；故答案为：（3，0）．15．（2分）如图，点A、B、C在⊙O上，∠ACB的度数是20°，的长为π，则⊙O的半径是．【解答】解：如图，连接OA、OB．∵∠ACB=20°，∴∠AOB=40°，∵的长为π，∴=π，∴r=．故答案为．16．（2分）已知二次函数y=m （x﹣1）（x﹣4）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），顶点为C，将该二次函数的图象关于x轴翻折，所得图象的顶点为D．若四边形ACBD为正方形，则m的值为±．【解答】解：∵二次函数y=m （x﹣1）（x﹣4）的图象与x轴交于A、B两点，∴A（1，0），B（4，0），∴抛物线的对称轴为直线x==，设顶点C的坐标为（，a），∵四边形ACBD为正方形，∴|a|=，∴C（，）或C（，﹣），把C点的坐标代入得，=m（﹣1）（﹣4）或﹣=m（﹣1）（﹣4），解得：m=，故答案为：±．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（6分）解不等式组，并写出不等式组的整数解．【解答】解：解不等式①得x≥﹣1；解不等式②得x＜3．∴不等式组的解集为﹣1≤x＜3．∴不等式组的整数解是﹣1，0，1，2．18．（7分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中a=2+．【解答】解：原式=[﹣]•=•=﹣，当a=2+时，原式=﹣．19．（7分）为增强学生环保意识，某中学组织全校2000名学生参加环保知识大赛，比赛成绩均为整数．从中抽取部分同学的成绩进行统计，并绘制成如图统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）所抽取的样本容量为50．（2）若抽取的学生成绩用扇形图来描述，则表示“第三组（79.5～89.5 ）”的扇形的圆心角度数为多少？（3）如果成绩在80分以上（含80分）的同学可以获奖，请估计该校有多少名同学获奖．【解答】解：（1）4+10+20+16=50，故答案为50；（2）×360°=144°；（3）×2000=1440（人）．答：估计该校有1440名同学获奖．20．（8分）如图①、②、③是三个可以自由转动的转盘．（1）若同时转动①、②两个转盘，则两个转盘停下时指针所指的数字都是2的概率为；（2）甲、乙两人用三个转盘玩游戏，甲转动转盘，乙记录指针停下时所指的数字．游戏规定：当指针所指的三个数字中有数字相同时，就算甲赢，否则就算乙赢．请判断这个游戏是否公平，并说明你的理由．【解答】解：（1）画树状图，共有4个可能的结果，两个转盘停下时指针所指的数字都是2的结果有1个，∴P（两个转盘停下时指针所指的数字都是2）=；故答案为；（2）不公平，理由如下：画树状图如下：由图可知：共有8种结果，且是等可能的，其中含有相同数字的结果有6种．因此甲获胜的概率==，乙获胜的概率==，所以这个游戏不公平．21．（8分）人民商场销售某种冰箱，每台进价为2500元，市场调研表明：当每台销售价定为2900元时，平均每天能售出8台；每台售价每降低50元，平均每天能多售出4台．设该种冰箱每台的销售价降低了x元．（1）填表：+（2）若商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，则每台冰箱的售价应定为多少元？【解答】解：（1）销售1台的利润：2900﹣2500=400；降价后销售的数量：8+×4，降价后销售的利润：400﹣x；故答案是：400；8+×4，400﹣x．（2）设销售价降低了x元，根据题意可得：（400﹣x）•（8+×4）=5000，整理得：x2﹣300x+22500=0，（x﹣150）2=0，解得：x1=x2=150，2900﹣150=2750（元），答：每台冰箱的售价应定为2750元．22．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．（1）求证：CE=AD；（2）当D在AB中点时．①求证：四边形BECD是菱形；②当∠A为多少度时，四边形BECD是正方形？说明理由．【解答】（1）证明：∵DE⊥BC，∴∠DFB=90°．∵∠ACB=90°，∴∠ACB=∠DFB，∴AC∥DE．∵MN∥AB，即CE∥AD，∴四边形ADEC是平行四边形，∴CE=AD；（2）①证明：∵D为AB中点，∴AD=BD．∵CE=AD，∴BD=CE．∵BD∥CE，∴四边形BECD是平行四边形．∵∠ACB=90°，D为AB中点，∴CD=BD，∴四边形BECD是菱形；②当∠A=45°时，四边形BECD是正方形．理由如下：∵∠ACB=90°，∠A=45°，∴∠ABC=∠A=45°，∴AC=BC．∵D为BA中点，∴CD⊥AB，∴∠CDB=90°．∵四边形BECD是菱形，∠CDB=90°，∴四边形BECD是正方形．23．（7分）图①为平地上一幢建筑物与铁塔图，图②为其示意图．建筑物AB与铁塔CD都垂直于地面，BD=20m，在A点测得D点的俯角为45°，测得C点的仰角为58°．求铁塔CD的高度．（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）【解答】解：如图，过点A作AE⊥CD，垂足为E，则四边形ABDE矩形，∵BD=20m，在A点测得D点的俯角为45°，在测得C点的仰角为58°，∴∠ADB=∠EAD=45°，∴AB=ED=BD=20m，在Rt△AEC中，tan∠CAE=，∴tan58°==，∴CE=20 tan58°=20×1.60=32，∴CD=CE+ED=32+20=52米．答：铁塔CD的高度为52米．24．（8分）某市举行“迷你马拉松”长跑比赛，运动员从起点甲地出发，跑到乙地后，沿原路线再跑回点甲地．设该运动员离开起点甲地的路程s（km）与跑步时间t（min）之间的函数关系如图所示．已知该运动员从甲地跑到乙地时的平均速度是0.2km/min，根据图象提供的信息，解答下列问题：（1）a=5km；（2）组委会在距离起点甲地3km处设立一个拍摄点P，该运动员从第一次过P点到第二次过P点所用的时间为24min．①求AB所在直线的函数表达式；②该运动员跑完全程用时多少min？【解答】解：（1）∵从甲地跑到乙地时的平均速度是0.2 km/min用时25分钟，∴a=0.2×25=5（千米）．故答案为：5．（2）①设线段OA的函数表达式为s=mt+n，将O（0，0）、A（25，5）代入s=mt+n中，得：，解得：，∴线段OA的函数表达式为s=t（0≤t≤25）．∴当s=t=3时，t=15．∵该运动员从第一次过P点到第二次过P点所用的时间为24min，∴该运动员从起点到第二次经过P点所用的时间是15+24=39（min），∴直线AB经过点（25，5），（39，3）．设AB所在直线的函数表达式为s=kt+b，将（25，5）、（39，3）代入s=kt+b中，得：，解得：，∴AB所在直线的函数表达式为s=﹣t+．②该运动员跑完赛程用的时间即为直线AB与x轴交点的横坐标，∴当s=0时，﹣t+=0，解得：t=60．∴该运动员跑完赛程用时60分钟．25．（8分）已知二次函数y=﹣x2+2mx﹣2m2﹣3（m为常数）．（1）求证：不论m为何值，该二次函数图象与x轴没有公共点；（2）如果把该函数图象沿y轴向上平移4个单位后，得到的函数图象与x轴只有一个公共点，试求m的值．【解答】解：（1）令y=0，﹣x2+2mx﹣2m2﹣3=0，则a=﹣1，b=2m，c=﹣2m2﹣3．∴b2﹣4ac=（2m）2﹣4（﹣1）（﹣2m2﹣3）=﹣4m2﹣12，∵﹣4m2≤0，∴﹣4m2﹣12＜0，即b2﹣4ac＜0，∴一元二次方程﹣x2+2mx﹣2m2﹣3=0没有实数根，∴不论m为何值，该二次函数图象与x轴没有公共点；（2）将二次函数y=﹣x2+2mx﹣2m2﹣3配方得：y=﹣（x﹣m）2﹣m2﹣3∴该二次函数图象的顶点坐标为（m，﹣m2﹣3），∵将函数图象沿y轴向上平移4个单位后，得到的函数图象与x轴只有一个公共点，∴﹣m2﹣3+4=0，解得m=±1．26．（9分）如图，△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O与边AB、BC分别交于点D、E．过E的直线与⊙O相切，与AC的延长线交于点G，与AB交于点F．（1）求证：△BDE为等腰三角形；（2）求证：GF⊥AB；（3）若⊙O半径为3，DF=1，求CG的长．【解答】解：（1）∵四边形ACED是⊙O的内接四边形，∴∠ACB+∠ADE=180°，∵∠BDE+∠ADE=180°，∴∠BDE=∠ACB，∵AB=AC，∴∠B=∠ACB．∴∠B=∠BDE，∴△BDE为等腰三角形；（2）连结OE，∵直线FG与⊙O相切，∴∠OEG=90°，∵OC=OE，∴∠OEC=∠ACB，∵∠B=∠ACB，∴∠B=∠OEC，∴OE∥AB，∴∠AFG=∠OEG=90°，即GF⊥AB；（3）设CG=x．∵△BDE为等腰三角形，GF⊥AB，∴BF=DF=1，AF=AB﹣BF=AC﹣BF=5，∵OE∥AB，∴△GOE∽△GAF，∴=，∴=，解得x=，即CG=．27．（10分）如图，已知一个直角三角形纸片ACB，其中∠ACB=90°，AC=4，BC=3，E、F分别是AC、AB边上点，连接EF，将纸片ACB的一角沿EF折叠．（1）如图①，若折叠后点A落在AB边上的点D处，且使S四边形ECBF=3S△AEF，则AE=；（2）如图②，若折叠后点A落在BC边上的点M处，且使MF∥CA．求AE的长；（3）如图③，若折叠后点A落在BC延长线上的点N处，且使NF⊥AB．求AE 的长．【解答】解：（1）∵△ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D 处，∴EF⊥AB，△AEF≌△DEF，∴S△AEF ≌S△DEF，∵S四边形ECBF=3S△EDF，∴S△ABC=4S△AEF，在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=4，BC=3，∴AB==5，∵∠EAF=∠BAC，∴△AEF∽△ABC，∴=（）2，即（）2=，∴AE=；故答案为：；（2）设AE=x，则CE=4﹣x．由折叠可知：AE=EM=x，AF=MF，∠AFE=∠MFE，∵MF∥AC，∴∠AEF=∠MFE．∴∠AEF=∠AFE．∴AE=AF．∴AE=EM=MF=AF，∴四边形AEMF为菱形．∴EM∥AB．∴△CME∽△CBA．∴=，即=，解得x=，即AE=；（3）设AE=y，则CE=4﹣y．由折叠可知：AE=EN=y，AF=NF，∵NF⊥AB，∴∠NFB=90°．∵∠ACB=90°，∴∠NFB=∠ACB．且∠NBF=∠ABC，∴△NBF∽ABC．∴==．即BF=NF=AF．由BF+AF=AB=5，解得：BF=，NF=，∴BN==，∴CN=BN﹣BC=﹣3=．在Rt△CEN中，由勾股定理得：CN2+CE2=EN2，∴（）2+（4﹣y）2=y2，解得：y=，即AE=．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】 几何最值模型： 图形特征：l运用举例：1. △ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为AP的中点，则MF的最小值为EM FB2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。
江苏省南京市秦淮中学2017-2018高一下学期期末考试模拟数学试题(解析版)
江苏省南京市秦淮中学2017-2018高一下学期期末考试模拟数学试题全解全析1．【解析】分析：根据三点A、B、C共线，即可求出.详解：三点，，在同一直线上，，即，解得.故答案为：.点睛：熟练掌握三点A、B、C共线是解题的关键.点睛：(1)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，a n，d，n，S n，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题．(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．3．【解析】分析：由题意得，直线过点，且与直线垂直，利用点斜式求得直线的方程.详解：由题意得，直线过点，且与直线垂直，故直线的斜率为，利用点斜式求得直线的方程，即.故答案为：.点睛：本题考查两直线垂直的性质，用点斜式直线方程.4．【解析】分析：，由正弦定理可得，可得，即，，即可得出.详解：在中，，由正弦定理可得，可得，即，.故答案为：.点睛：在三角变换过程中，一般不要两边约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解；在利用三角函数关系推证角的关系时，要注意利用诱导公式，不要漏掉角之间关系的某种情况.5．【解析】试题分析：，考点：等比数列性质及求和公式点睛：简单的分式不等式可以等价转化，利用一元二次不等式解法进行求解．7．【解析】分析：利用诱导公式化简求出，然后利用二倍角公式求解即可.详解：，可得，.故答案为：.点睛：本题考查二倍角公式以及诱导公式的应用，考查计算能力.8．【解析】分析：根据题意，由对数的运算性质可得，结合基本不等式的性质可得，进而结合对数的运算性质分析可得答案.详解：根据题意，，又，，且，则，则有，即得最大值为.故答案为：.点睛：基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点．点睛：正六棱柱及球的相关知识，易错点：空间想象能力不强，找不出球的直径，空间想象能力是立体几何中的一个重要能力之一，平时要加强培养.10．①③【解析】分析：根据空间直线和平面平行和垂直的判定定理和性质定理分别进行判断即可.详解：①若 ，，，则，正确；②若，，，则不成立，也可能，故②错误；③根据面面垂直的性质定理得若 ，，，，则，正确；④若，， 与 相交且不垂直，则 与 一定不垂直错误，当n 平行交线l ，时， 与 垂直，故④错误. 故答案为：①③.点睛：解决空间位置关系问题的方法(1)解决空间中点、线、面位置关系的问题，首先要明确空间位置关系的定义，然后通过转化的方法，把空间中位置关系的问题转化为平面问题解决．(2)解决位置关系问题时，要注意几何模型的选取，如利用正(长)方体模型来解决问题．11．2113【解析】由题意可知， 3sin 5A =， 12sin 13C = ()3541263sin sin sin cos cos sin 51351365B A B AC A C =+=+=⨯+⨯=由正弦定理得： sin sin a bA B=故631sin 21653sin 135a Bb A⨯=== 12．3【解析】由题意可知： 333a b +=，故：()()()()14221142232242125322421253221933.a b a ba b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b +++⎛⎫⎡⎤=⨯++++ ⎪⎣⎦++⎝⎭⎡⎤++=++⎢⎥++⎣⎦⎛++ ≥⨯+⨯++⎝=⨯=当且仅当1,0a b ==时等号成立.13．[]2,3【解析】由题设可得11221244133212nn n S n n ⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎝⎭=+=+-- ⎪⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎝⎭，则2214332nn S n ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，不等式()143n x S n ≤-≤可化为22113332n x ⎡⎤⎛⎫≤--≤⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，即319122111122n nx ≤≤⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则问题转化为求12n⎛⎫- ⎪⎝⎭的最大值和最小值。