动能定理
课 后 巩 固 提 升巩 固 基 础1．两个物体质量比为1:4，速度大小之比为4:1，则这两个物体的动能之比为( )A．1:1 B．1:4C．4:1 D．2:1解析 由动能的表达式Ek＝mv2可知C选项正确．答案 C2．质量为2kg的物体A以5m/s的速度向北运动，另一个质量为0.5kg的物体B以10m/s的速度向西运动，则下列说法正确的是( )A．EkA＝EkB B．EkA>EkB
C．EkAD．因运动方向不同，无法比较动能解析 动能是标量，没有方向，将各量代入Ek＝mv2的表达式，可知A选项正确．答案 A3．(2012·镇江中学)如图所示，D、E、F、G为地面上距离相等的四点，三个质量相同的小球A、B、C分别在E、F、G的正上方不同高度处，以相同的水平初速度向左抛出，最后均落到D点．若不计空气阻力，则可判断A、B、C三个小球( )A．在空中运动时间之比为1:3:5B．初始离地面的高度之比为1:3:5C．在空中运动过程中重力的平均功率之比为1:2:3D．从抛出到落地过程中，动能的变化量之比为1:2:3解析 设小球水平抛出的速度为v，抛出时的高度分别为hA，hB，hC，由题意可知：xC＝3l，xB＝2l，xA＝l，由于小球做平抛运动，水平位移x＝v·t，得tA:tB:tC＝1:2:3，根据h＝gt2，可得hA:hB:hC＝1:4:9，所以选项A、B错误；在小球落到D点的过程中，WA:WB:WC＝1:4:9，则PA:PB:PC＝1:2:3，选项C正确；由动能定理可知，小球从抛出到落地的动能变化之比等于重力做功之比，故ΔEkA:ΔEkB:ΔEkC＝1:4:9，选项D错误．答案 C4．有两个物体a和b，其质量分别为ma和mb，且ma>mb，它们的动能相同，若a和b分别受到不变的阻力Fa和Fb的作用，经过相同的时间停下来，它们的位移分别为sa和sb，则( )A．Fa>Fb且saFb且sa>sb
C．Fasb D．Fab
解析 由题意知：mav＝mbv，由于ma>mb，所以va相同时间内停下来，考虑到sa＝t，sb＝t，故得到saFa>Fb.答案 A5．一人用力踢质量为1kg的皮球，使球由静止以10m/s的速度飞出，假定人踢球的平均作用力是200 N，球在水平方向运动了20m停止，那么人对球所做的功为( )A．50 J B．500 JC．4 000 J D．无法确定解析 由动能定理得，人对球做的功W＝mv2－0＝50J，故A选项正确．答案 A6．一人用力把质量为1kg的物体由静止向上提高1m，使物体获得2m/s的速度，则( )A．人对物体做的功为12JB．合外力对物体做的功为2JC．合外力对物体做的功为12JD．物体克服重力做的功为10J解析 由动能定理得W人－mgh＝mv2－0，人对物体做的功为W
人＝mgh＋mv2＝1×10×1J＋×1×22 J＝12J，故A项对；合外力做的功W合＝mv2＝2J，故B项对，C项错；物体克服重力做功为mgh＝10J，D项对．答案 ABD7．质量为M的木块放在光滑的水平面上，质量为m的子弹以速度v0沿水平方向射中木块并最终留在木块中与木块一起以速度v运动．当子弹进入木块的深度为s时相对木块静止，这时木块前进的距离为L.若木块对子弹的阻力大小F视为恒定，下列关系正确的是( )A．FL＝Mv2/2B．Fs＝mv2/2C．Fs＝mv/2－(m＋M)v2/2D．F(L＋s)＝mv/2－mv2/2解析 由动能定理得：－F(L＋s)＝mv2－mv，FL＝Mv2，故Fs＝－v2，故A、C、D项正确．答案 ACD8．(2011·全国新课标)一质点开始时做匀速直线运动，从某时刻起受到一恒力作用，此后，该质点的动能( )A．一直增大B．先逐渐减小，再逐渐增大C．先逐渐增大至某一最大值，再逐渐减小D．先逐渐减小至某一非零的最小值，再逐渐增大解析 如果物体所受恒力与原速度相同或速度方向与恒力方向成锐角，力对物体始终做正功，则物体动能始终增加，故A选项正确；若恒力与速度方向相反或速度方向与力的方向的夹角大于90°，则恒力先做负功再做正功，动能先减小后增大，若速度与恒力的夹角为钝角，则物体的动能不能减小到零，然后动能逐渐增加，故B、D选项正确；物体的动能先增大再减小这种情况不存在，故C选项错误．答案 ABD提 升 能 力9．一个物体从斜面底端冲上足够长的斜面后又返回到斜面底端，已知物体的初动能为E，它返回到斜面底端的速度为v，克服摩擦力做功为E/2，若物体以2E的初动能冲上斜面，则有( )A．返回斜面底端时的速度大小为vB．返回斜面底端时的动能为EC．返回斜面底端时的动能为D．物体两次往返克服摩擦力做功相同解析 由题意可知，第二次初动能是第一次的2倍，两次上滑加速度相同，据推导公式可得s2＝2s1，则Wf2＝2Wf1＝E，回到底端时动能也为E，从而推知返回底端时的速度大小为v.答案 AB10．如图所示，质量为m的物体静止放在水平光滑的平台上，系在物体上的绳子跨过光滑的定滑轮由地面以速度v向右匀速走动的人拉着．设人从地面上平台的边缘开始向右行至绳和水平方向成30°角处，在此过程中人所做的功为( )A. B．mv2C. D.解析 人的速度为v，人在平台边缘时绳子上的速度为零，则物体速度为零，当人走到绳子与水平方向夹角为30°时，绳子的速度为v·cos30°.据动能定理，得W＝ΔEk＝m(vcos30°)2－0＝mv22＝mv2.答案 D11．质量为1 500kg的汽车在平直的公路上运动，vt图象如图所示．由此可求( )A．前25s内汽车的平均速度B．前10s内汽车的加速度C．前10s内汽车所受的阻力D．15～25s内合外力对汽车所做的功解析 在vt图象中图线与坐标轴围成的面积，表示位移．因此只要能求得位移大小，根据＝，即可求出平均速度，故A选项正确；前10 s汽车做匀加速直线运动，由a＝，可求得加速度，故B选项正确；由牛顿第二定律F－F阻＝ma，因不知牵引力F，故无法求得阻力F
阻，C选项错误；由动能定理，可求得15 s～25 s内合外力所做的功，故D选项正确．答案 ABD12．一艘由三个推力相等的发动机驱动的气垫船，在湖面上由静止开始加速前进l距离后关掉一个发动机，气垫船匀速运动，将到码头时，又关掉两个发动机，最后恰好停在码头上，设水给船的阻力大小不变，若船由静止加速前进l距离后三个发动机全部关闭，船通过的距离为多少？解析 设每个发动机提供的推力为F.由题意可知水的阻力f＝2F；加速前进时有(3F－f)l＝mv2
三个发动机都关闭时fl′＝mv2解得l′＝.答案 l/213．质量为m的物体以速度3v0竖直向上抛出，物体落回原处时速度大小为3v0/4，求：(1)物体运动中所受的平均空气阻力；(2)物体以初速2v0竖直向上抛出时的最大高度．(设空气阻力大小不变)解析 (1)设平均空气阻力为f.上升时mgh＋fh＝m(3v0)2
对全程－2fh＝m2－m(3v0)2由以上两式可解得f＝mg.(2)fH＋mgH＝m(2v0)2
解得所求最大高度H＝.答案 (1)mg(2)14．如图所示，物块m从高为h的斜面上滑下，又在同样材料的水平面上滑行s后静止．已知斜面倾角为θ，物块由斜面到水平面时圆滑过渡，求物块与接触面间的动摩擦因数．解析 物体在斜面上下滑时摩擦力做负功，重力做正功，动能增加，在水平面上滑行时只有摩擦力做负功，最后减速到零，全过程动能变化量为零，可在全过程中应用动能定理求解．在全过程中应用动能定理，有mgh－＝0.解得 μ＝.答案 15.如图所示，AB与CD为两个对称斜面，其上部足够长，下部分别与一个光滑的圆弧面的两端相切，圆弧圆心角为120°，半径R为2.0m，一个物体在离弧底E高度为h＝3.0m处，以初速4.0m/s沿斜面运动．若物体与两斜面间的动摩擦因数为0.02，则物体在两斜面上(不包括圆弧部分)一共能走多长路程？(取g＝10m/s2)解析 斜面的倾角为θ＝60°，由于物体在斜面上所受到的滑动摩擦力小于重力沿斜面的分力(μmgcos60°在斜面上，物体在斜面上滑动时，由于摩擦力做功，使物体的机械能逐渐减小，物体滑到斜面上的高度逐渐降低，直到物体再也滑不到斜面上为止，最终物体将在B、C间往复运动．设物体在斜面上运动的总路程为s，则摩擦力所做的总功为－μmgscos60°，末状态选为B(或C)，此时物体速度为零，对全过程由动能定理得mg[h－R(1－cos60°)]－μsmgcos60°＝0－mv.物体在斜面上通过的总路程为s＝＝m＝280m.答案 280m16．过山车是游乐场中常见的设施．如图所示是一种过山车的简易模型，它由水平轨道和在竖直平面内的三个圆形轨道组成，B、C、D分别是三个圆形轨道的最低点，B、C间距与C、D间距相等，半径R1＝2.0m，R2＝1.4m．一个质量为m＝1.0kg的小球(视为质点)，从轨道的左侧A点以v0＝12.0m/s的初速度沿轨道向右运动，A、B间距离L1＝6.0m．小球与水平轨道间的动摩擦因数μ＝0.2，圆形轨道是光滑的．假设水平轨道足够长，圆形轨道间不相互重叠．重力加速度取g＝10m/s2，计算结果保留小数点后一位数字．试求：(1)小球在经过第一个圆形轨道的最高点时，轨道对小球作用力的大小；(2)如果小球恰能通过第二个圆形轨道，B、C间距L应是多少；(3)在满足(2)的条件下，如果要使小球不脱离轨道，在第三个圆形轨道的设计中，半径R3应满足的条件；小球最终停留点与起点A的距离．
解析 (1)设小球经过第一个圆轨道的最高点时的速度为v1，根据动能定理－μmgL1－2mgR1＝mv－mv
动能定理
二､动能定理的应用技巧
技法讲解
应用动能定理时要灵活选取过程，过程的选取对解
题难易程度有很大影响．对复杂运动过程问题，既
可以分段利用动能定理列方程求解，也可以对全过
程利用动能定理列方程求解，解题时可根据具体情
况选择使用，一般利用全过程进行求解比较简 单．但在利用全过程列方程求解时，必须明确整个 过程中外力的功，即哪个力在哪个过程做功，做什 么功，或哪个过程有哪些力做了功，做什么功．
从倾角为30°的斜坡底端沿斜坡向上运动．当物体
向上滑到某一位置时，其动能减少了ΔEk＝18 J，机
械能减少了ΔE＝3 J，不计空气阻力，重力加速度g
＝10 m/s2，求物体返回斜坡底端时的动能．
解题技法
一､利用功能定理求变力的功
技法讲解
利用动能定理来求解变力所做的功通常有以下
两种情况：
①如果物体只受到一个变力的作用，那么：
W = Ek2 - Ek1
只要求出做功过程中物体的动能变化量ΔEk，也
就等于知道了这个过程中变力所做的功．
②如果物体同时受到几个力作用，但是其中只有一个力F1
是变力，其他的力都是恒力，则可以先用恒力做功的公式 求出这几个恒力所做的功，然后再运用动能定理来间接求 变力做的功：W1 + W其他 = ΔEk 可见变力所做的功包括在上述动能定理的方程中．
如图所示，物体在离斜面底端4 m处由静止滑下，
若动摩擦因数均为0.5，斜面倾角为37°，斜面与平
面间由一段圆弧连接，求物体能在水平面上滑行多 远？
三、应用动能定理的解题步骤
如图所示，跨过定滑轮的轻绳两端的物体A和B
的质量分别为M和m，物体A在水平面上．B由静止
释放，当B沿竖直方向下落h时，测得A沿水平面运
动能定理
小结： 小结：
动能定理及应用
一、动能定理的内容 二、如何理解动能定理 三、应用动能定理解题步骤 四、动能定理的应用实例
3、动能定理的适用条件 (1)动能定理既适用于直线运动，也适用于 动能定理既适用于直线运动， 动能定理既适用于直线运动 曲线运动 (2)既适用于恒力做功，也适用于 既适用于恒力做功， 既适用于恒力做功 ； ；
变力做功 (3)力可以是各种性质的力，既可以同时作用，也可 力可以是各种性质的力，既可以同时作用， 力可以是各种性质的力 以 ． 不同时作用
动能定理的应用 ——运用技巧 运用技巧
【例4】物体从高出地面H处，由静止自由下落， 物体从高出地面 处 由静止自由下落， 如图所示，不考虑空气阻力， 如图所示，不考虑空气阻力，落至地面进入沙坑深 h处停止，求物体在沙坑中受到的平均阻力是其重 处停止， 处停止 力的多少倍？ 力的多少倍？ 点评： 点评： a、选择适当的过程可以把运算简 单化 总功可按不同过程的功求和， b、总功可按不同过程的功求和， 也可按各力的功求和来进行求解。 也可按各力的功求和来进行求解。
点评： 点评： 求变力做功不能直接用功的公式， 求变力做功不能直接用功的公式，可将变力所做 的功通过功能关系来求解。 的功通过功能关系来求解。
动能定理的应用 ——求功 求功
一根劲度系数为k的弹簧 【归类】7．如图 一根劲度系数为 的弹簧 上端系 归类】 ．如图,一根劲度系数为 的弹簧,上端系 在天花板上,下端系一质量为 的物体A,A通过一段 下端系一质量为m 在天花板上 下端系一质量为 A的物体 通过一段 细线吊一质量为m 的物体B,整个装置静止 试求: 整个装置静止.试求 细线吊一质量为 B的物体 整个装置静止 试求 (1)系统静止时弹簧的伸长量 系统静止时弹簧的伸长量. 系统静止时弹簧的伸长量 (3)设剪断细线后 物体上升至弹簧原长时的速度为 设剪断细线后,A物体上升至弹簧原长时的速度为 设剪断细线后 物体上升至弹簧原长时的速度为v, 则此过程中弹力对物体A做的功 做的功. 则此过程中弹力对物体 做的功
动能 动能定理
N
f
mg
F
汽车的最大速度
F f 0 P Fv2
5 解得： P 6 10 w
测评P94.例题1 物体 在F作用下加速运动 解：
1 2 Fl1 mgl1 mv1 2
N
N
f
mg
F
f
mg
物体 撤去F作用下运动
1 2 1 2 mgl2 mv2 mv1 2 2
物体 做平抛运动
力是改变运动状态（速度）唯一的原因
F a v
速度改变，动能不一定改变。 BD
测评P90.例题2
解： 物体 向上运动
W人 mgh 1 2 mv 0 2
T
B
解得： W人 =12 J
1 2 W合 = mv 0 2 J 2
mg
A
︳WG ︳ mgh 10 J
测评P90.训练2
解： 小车 在斜坡上运动
N
N
Fx F mg sin f
F F
x
h
f
mg
f
Gx
l
解得： Fx 1600N 小车 在水平面上运动
Fx fx 1 2 mv1 0 2
Gy
合力沿斜面向下，直接推是推不上去的。
mg
y
小车 在斜坡上运动
1 2 Fl fl mgh 0 mv1 2
合 kt k0
W合 =Ek
1.动能定理既适用于恒力作用的过程，也适用于变 力作用的过程
（3）理解：2.任何力的做功均可转化动能
3.动能定理的计算式是标量式，v为相对同一参考系 的速度
用动能定理解决问题的一般步骤
（1）画情景图
动能定理
二、动能定理1.动能定理的表述合外力做的功等于物体动能的变化。
表达式为W =ΔE K动能定理也可以表述为：外力对物体做的总功等于物体动能的变化。
可求合外力做的功，也可以求物体动能的变化。
2.应用动能定理解题的步骤⑴确定研究对象和研究过程。
⑵对研究对象进行受力分析。
（研究对象以外的物体施于研究对象的力都要分析，含重力）。
⑶写出该过程中合外力做的功，或分别写出各个力做的功（注意功的正负）。
如果研究过程中物体受力情况有变化，要分别写出该力在各个阶段做的功。
⑷写出物体的初、末动能。
⑸按照动能定理列式求解。
例 如图所示，质量为m 的小球用长L 的细线悬挂而静止在竖直位置。
在下列三种情况下，分别用水平拉力F 将小球拉到细线与竖直方向成θ角的位置。
在此过程中，拉力F 做的功各是多少？⑴用F 缓慢地拉；⑵F 为恒力；可供选择的答案有A.θcos FLB.θsin FLC.()θcos 1-FLD.()θcos 1-mgL例1.． （如图所示）用拉力F 使一个质量为m 的木箱由静止开始在水平冰道上移动了s ，拉力F 跟木箱例2．质量m =0.02kg 的物体置于水平桌面上，在F =2N 的水平拉力作用下前进了1l =0.6 m ，如图所示，此时F 停止作用，物体与桌面间的动摩擦因数μ=0.2，求：(1)物体滑到2l =1.0 m 处时的速度； (2)物体能滑多远?(g 取9.8 m ／s 2)例3.．质量为m 的物体以速度v 0竖直向上抛出，物体落回地面时，速度大小为034v ，设物体在运动中所受空气阻力大小不变，求：(1)物体运动过程中所受空气阻力的大小；(2)若物体落地碰撞过程中无能量损失，求物体运动的总路程．变式提高题： 将小球以初速度v 0竖直上抛，在不计空气阻力的理想状况下，小球将上升到某一最大高度。
由于有空气阻力，小球实际上升的最大高度只有该理想高度的80%。
设空气阻力大小恒定，求小球落回抛出点时的速度大小v 。
3.动能 动能定理
1.物体由于运动而具有的能叫动能． 2.动能的大小： E 1 mv 2 K 2 3.动能是标量． 4.动能是状态量，也是相对量．因为Ｖ为瞬时速度， 且与参考系的选择有关,公式中的速度一般指相对于地 面的速度 ． 5.动能的单位与功的单位相同-----焦耳.
二、动能定理
1.合外力所做的功等于物体动能的变化,这个结论叫做 动能定理.
Pt-fs=1/2mv2m-1/2mv2……② 又因达到最大速度时F=f故vm=P/f……③ 联立解得：P=600kW.
练习4、一列火车在机车牵引下沿水平轨道行驶,经过 时间t,其速度由0增大到v.已知列车总质量为M,机车 功率P保持不变,列车所受阻力f为恒力.求：这段时间 内列车通过的路程. 解：根据动能定理：
mg
f
练习1、放在光滑水平面上的某物体，在水平恒力F 的作用下，由静止开始运动，在其速度由0增加到v 和由v增加到2v的两个阶段中，F对物体所做的功之 比为 ( C )
A.1∶1 B.1∶2 C.1∶3 D.1∶4
例2．如图示，光滑水平桌面上开一个小孔，穿一 根细绳，绳一端系一个小球，另一端用力F 向下拉， 维持小球在水平面上做半径为r 的匀速圆周运动．现 缓缓地增大拉力，使圆周半径逐渐减小．当拉力变为 8F 时，小球运动半径变为r/2，则在此过程中拉力对 小球所做的功是： D A．0 B．7Fr/2 C．4Fr D．3Fr/2
2.动能定理的理解及应用要点:
1 1 2 2 W mv 2 mv1 EK 合 2 2
(1)等式的左边为各个力做功的代数和，正值代表正功， 负值代表负功。等式右边动能的变化，指末动能 EK2=1/2mv22与初能EK1=1/2mv12之差. (2)“增量”是末动能减初动能．ΔEK＞0表示动能增加， ΔEK＜0表示动能减小．
动能定理
4 g [μ A (l 1 l 2 ) μ B l 2 ]
l2
l1 B A
5.物体往复运动的问题
例:如图所示,斜面倾角为θ,质量为m的滑块在距 板P为s0处以初速度v0沿斜面上滑,滑块与斜面间 的动摩擦因数为,滑块所受摩擦力小于使滑块沿 斜面下滑的力,若滑块每次与挡板相碰均无机械 能损失,求滑块经过的路程有多大?
mv
2
解得
W
f
mg ( H R )
1 2
mv
2
2J
由对称性知小球从槽底到槽左端口摩擦力的功也 为2J，则小球第一次离槽上升的高度h，由
1
f
mg ( H R ) W
1 2
mv
2
得:
mv
2
W mg
h
2
f
mgR
＝4.2m
(2)设小球飞出槽外n次,则由动能定理得
动能、动能定理
一、动能
1.定义 物体由于运动而具有的能量,叫动能.
动能的表达式:
EK
1 2
mv
2
2.对动能概念的理解和掌握
(1)动能是标量.
(2)动能是状态量.
(3)动能是相对的. 3.动能的变化.
二、动能定理
1.内容 合外力所做的功等于物体动能的变化.
其表达式:
2.动能定理的意义
动能定理的意义就在于给定了改变物体动能 的原因是合外力做功.
3.需要注意的几点 (1)动能定理一般用于处理力和运动的综合问题
(2)合外力做功的求解方法: 一种是先求出合外力，然后求总功，表达式为
动能定理
7动能和动能定理一、动能和动能定理1.基本知识(1)动能 ①定义： 物体由于 而具有的能．②表达式： E k ＝12mv 2，式中v 是瞬时速度．③单位 动能的单位与功的单位相同，国际单位都是 ，符号为J. 1 J ＝1 kg·m 2/s 2＝1 N·m. ④对动能概念的理解a ．动能是标量，只有 ，没有 ，且动能为非负数．b ．动能是状态量，在某一时刻，物体具有一定的速度，也就具有一定的动能． ⑤动能的变化量 即末状态的动能与初状态的ΔE k ＝12mv 22－12mv 21.ΔE k ＞0，表示物体的 ．ΔE k ＜0表示物体的 ．(2)动能定理的推导①建立情景 如图所示，质量为m 的物体，在恒力F 作用下，经位移l 后，速度由v 1增加到v 2.②推导依据外力做的总功：W ＝ 由牛顿第二定律：F ＝由运动学公式：l ＝v 22－v 212a.③结论：W ＝12mv 22－12mv 21 即W ＝E k2－E k1＝ΔE k .(3)动能定理的内容力在一个过程中对物体所做的功，等于物体在这个过程中 。
(4)动能定理的表达式 ①W ＝12mv 22－12mv 21. ②W ＝E k2－E k1. 说明：式中W 为 ，它等于各力做功的 。
(5)动能定理的适用范围不仅适用于 做功和 运动，也适用于 做功和 运动情况．二、对动能、动能定理的理解1．动能的特征(1)是状态量：与物体的运动状态(或某一时刻的速度)相对应．(2)具有相对性：选取不同的参考系，物体的速度不同，动能也不同，一般以地面为参考系．(3)是标量：只有大小，没有方向；只有正值，没有负值．2．对动能定理的理解(1)内容：外力对物体做的总功等于其动能的增加量，即W ＝ΔE k . (2)表达式W ＝ΔE k 中的W 为外力对物体做的总功．(3)ΔE k ＝12mv 22－12mv 21为物体动能的变化量，也称作物体动能的增量，表示物体动能变化的大小．(4)动能定理描述了做功和动能变化的两种关系．①等值关系：某物体的动能变化量总等于合力对它做的功．②因果关系：合力对物体做功是引起物体动能变化的原因，合力做功的过程实质上是其他形式的能与动能相互转化的过程，转化了多少由合力做了多少功来度量．例1． 关于运动物体所受的合力、合力做的功及动能变化的关系，下列说法正确的是( )A ．合力为零，则合力做功一定为零B ．合力做功为零，则合力一定为零C ．合力做功越多，则动能一定越大D ．动能不变化，则物体所受合力一定为零规律总结： 动能与速度的关系1．瞬时关系：动能和速度均为状态量，二者具有瞬时对应关系．2．变化关系：动能是标量，速度是矢量，当动能发生变化时，物体的速度(大小)一定发生了变化，当速度发生变化时，可能仅是速度方向的变化，物体的动能可能不变．训练1．(2014·苏州高一检测)一物体做变速运动时，下列说法正确的有( ) A ．合力一定对物体做功，使物体动能改变 B ．物体所受合力一定不为零 C ．合力一定对物体做功，但物体动能可能不变 D ．物体加速度一定不为零 动能定理的应用及优越性1．应用动能定理解题的基本步骤2．优越性(1)对于变力作用或曲线运动，动能定理提供了一种计算变力做功的简便方法．功的计算公式W＝Fl cos α只能求恒力做的功，不能求变力的功，而由于动能定理提供了一个物体的动能变化ΔE k与合力对物体所做功具有等量代换关系，因此已知(或求出)物体的动能变化ΔE k＝E k2－E k1，就可以间接求得变力做功．算，运算简单不易出错．注意：动能定理虽然是在物体受恒力作用，沿直线做匀加速直线运动的情况下推导出来的，但是对于外力是变力或物体做曲线运动，动能定理同样成立．例2．一架喷气式飞机质量m＝5×103 kg，起飞过程中从静止开始滑行的路程s＝5.3×102 m时(做匀加速直线运动)，达到起飞速度v＝60 m/s.在此过程中飞机受到的平均阻力是飞机重力的k倍(k＝0.02)．求飞机受到的牵引力．规律总结：动能定理与牛顿运动定律在解题时的选择方法1．动能定理与牛顿运动定律是解决力学问题的两种重要方法，一般来讲凡是牛顿运动定律能解决的问题，用动能定理都能解决，但动能定理能解决的问题，牛顿运动定律不一定都能解决，且同一个问题，用动能定理要比用牛顿运动定律解决起来更简便．2．通常情况下，其问题若涉及时间或过程的细节，要用牛顿运动定律去解决；其问题若不考虑具体细节、状态或时间，如物体做曲线运动、受力为变力等情况，一般要用动能定理去解决．训练2．一辆汽车以v1＝6 m/s的速度沿水平路面行驶时，急刹车后能滑行s1＝3.6 m，如果以v2＝8 m/s的速度行驶，在同样的路面上急刹车后滑行的距离s2应为( ) A．6.4 m B．5.6 m C．7.2 m D．10.8 m三、用动能定理求变力的功例3．如图所示，AB 为14圆弧轨道，BC 为水平直轨道，圆弧的半径为R ，BC 的长度也是R .一质量为m 的物体，与两个轨道的动摩擦因数都为μ，当它由轨道顶端A 从静止下滑时，恰好运动到C 处停止，那么物体在AB 段克服摩擦力做功为( )A.12μmgRB.12mgR C ．mgR D ．(1－μ)mgR规律总结：1．本题中摩擦力的大小、方向都在变化，应用功的定义式无法直接求它做的功，在这种情况下，就要考虑利用动能定理．2．物体的运动过程分为多个阶段时，我们尽量对全过程应用动能定理，如果这样不能解决问题，我们再分段处理．如本题中我们直接对由A →B →C 的全过程应用动能定理，就比分为两个阶段由A →B 和由B →C 分别来处理简单一些．动能定理在多过程中的应用1．分段应用动能定理时，将复杂的过程分割成一个个子过程，对每个子过程的做功情况和初、末动能进行分析，然后针对每个子过程应用动能定理列式，然后联立求解．2．全程应用动能定理时，分析整个过程中出现过的各力的做功情况，分析每个力的做功，确定整个过程中合外力做的总功，然后确定整个过程的初、末动能，针对整个过程利用动能定理列式求解．当题目不涉及中间量时，选择全程应用动能定理更简单、更方便． 例4．如图所示，ABCD 为一竖直平面的轨道，其中BC 水平，A 点比BC 高出10 m ，BC 长1 m ，AB 和CD 轨道光滑．一质量为1 kg 的物体，从A 点以4 m/s 的速度开始运动，经过BC 后滑到高出C 点10.3 m 的D 点速度为零．求：(g 取10 m/s 2)(1)物体与BC 轨道间的动摩擦因数． (2)物体第5次经过B 点时的速度．(3)物体最后停止的位置(距B 点多少米)．当堂双基达标1．对于动能的理解，下列说法错误的是( )A ．动能是机械能的一种表现形式，凡是运动的物体都具有动能B ．动能总为正值C ．一定质量的物体，动能变化时，速度一定变化；但速度变化时，动能不一定变化D ．动能不变的物体，一定处于平衡状态2．(多选)关于动能，下列说法正确的是( )A ．公式E k ＝12mv 2中的速度v 是物体相对于地面的速度B ．动能的大小由物体的质量和速率决定，与物体运动的方向无关C ．物体以相同的速率向东和向西运动，动能的大小相等但方向不同D ．物体以相同的速率做匀速直线运动和曲线运动，其动能不同3．(多选)一质量为0.1 kg 的小球，以5 m/s 的速度在光滑水平面上匀速运动，与竖直墙壁碰撞后以原速率反弹，若以弹回的速度方向为正方向，则小球碰墙过程中的速度变化和动能变化分别是( )A ．Δv ＝10 m/sB ．Δv ＝0C ．ΔE k ＝1 JD ．ΔE k ＝0 4．关于动能定理，下列说法中正确的是( ) A ．某过程中外力的总功等于各力做功的绝对值之和 B ．只要合外力对物体做功，物体的动能就一定改变 C ．在物体动能不改变的过程中，动能定理不适用 D ．动能定理只适用于受恒力作用而加速运动的过程5．下列关于运动物体所受的合力、合力做功和动能变化的关系，正确的是( ) A ．如果物体所受的合力为零，那么合力对物体做的功一定为零 B ．如果合力对物体做的功为零，则合力一定为零C ．物体在合力作用下做匀变速直线运动，则动能在一段过程中变化量一定不为零D ．如果物体的动能不发生变化，则物体所受合力一定是零6．一质量为m 的小球，用长为l 的轻绳悬挂于O 点．第一次小球在水平拉力F 1作用下，从平衡位置P 点缓慢地移到Q 点，此时绳与竖直方向夹角为θ(如图774所示)，在这个过程中水平拉力做功为W 1.第二次小球在水平恒力F 2作用下，从P 点移到Q 点，水平恒力做功为W 2，重力加速度为g ，且θ＜90°，则( )A ．W1＝F 1l sin θ，W 2＝F 2l sin θ B ．W 1＝W 2＝mgl (1－cos θ)C ．W 1＝mgl (1－cos θ)，W 2＝F 2l sin θD ．W 1＝F 1l sin θ，W 2＝mgl (1－cos θ)7．一质量为m 的滑块，以速度v 在光滑水平面上向左滑行，从某一时刻起，在滑块上作用一向右的水平力，经过一段时间后，滑块的速度变为－2v (方向与原来相反)，在这段时间内，水平力所做的功为( )A.32mv 2 B ．－32mv 2 C.52mv 2 D ．－52mv 2 8．(多选)甲、乙两个质量相同的物体，用大小相等的力F 分别拉它们在水平面上从静止开始运动相同的距离s ，如图776所示，甲在光滑面上，乙在粗糙面上，则下列关于力F 对甲、乙两物体做的功和甲、乙两物体获得的动能的说法中正确的是( )A ．力F 对甲物体做功多B ．力F 对甲、乙两个物体做的功一样多C ．甲物体获得的动能比乙大D ．甲、乙两个物体获得的动能相同9.有一质量为m 的木块，从半径为r 的圆弧曲面上的a 点滑向b 点，如图所示，如果由于摩擦使木块的运动速率保持不变，则以下叙述正确的是( )A ．木块所受的合力为零B ．因木块所受的力都不对其做功，所以合力做的功为零C ．重力和摩擦力做的功代数和为零D ．重力和摩擦力的合力为零10．物体在合外力作用下做直线运动的v t 图象如图所示．下列表述正确的是( )A ．在0～1 s 内，合力做正功B ．在0～2 s 内，合力总是做负功C ．在1～ 2 s 内，合力不做功D ．在0～3 s 内，合力总是做正功11．(多选)如图所示，一个小环沿竖直放置的光滑圆环形轨道做圆周运动．小环从最高点A 滑到最低点B 的过程中，小环线速度大小的平方v 2随下落高度h 的变化图象可能是图中的( )12．如图所示，一物体由A 点以初速度v 0下滑到底端B ，它与挡板B 做无动能损失的碰撞后又滑回到A 点，其速度正好为零．设A 、B 两点高度差为h ，则它与挡板碰前的速度大小为( )A. 2gh ＋v 204B.2ghC.2gh ＋v 202D.2gh ＋v 2013．质量为m的小球用长度为L的轻绳系住，在竖直平面内做圆周运动，运动过程中小球受空气阻力作用．已知小球经过最低点时轻绳受的拉力为7mg，经过半周小球恰好能通过最高点，则此过程中小球克服空气阻力做的功为( )A.mgL4B.mgL3C.mgL2D．mgL14.物体在合外力的作用下做直线运动的v-t图像如图所示，下列表述中正确的是（）A.在0~1s内，合外力做正功B.在0~2s内，合外力总是做正功C.在1s~2s内，合外力不做正功D.在0~3s内，合外力总是做正功15．(多选)物体沿直线运动的vt图象如图所示，已知在第1秒内合力对物体做功为W，则( )A．从第1秒末到第3秒末合力做功为4WB．从第3秒末到第5秒末合力做功为－2WC．从第5秒末到第7秒末合力做功为WD．从第3秒末到第4秒末合力做功为－0.75W16．如图所示，在距沙坑表面高h＝8 m处，以v0＝22 m/s的初速度竖直向上抛出一质量m＝0.5 kg的物体，物体落到沙坑并陷入沙坑d＝0.3 m深处停下．若物体在空中运动时的平均阻力是重力的0.1倍(g＝10 m/s2)．求：(1)物体上升到最高点时离开沙坑表面的高度H；(2)物体在沙坑中受到的平均阻力F是多少？17．如图所示，滑雪者从高为H的山坡上A点由静止下滑，到B点后又在水平雪面上滑行，最后停止在C点．A、C两点的水平距离为s，求滑雪板与雪面间的动摩擦因数μ.18．如图所示，AB为固定在竖直平面内的14光滑圆弧轨道，轨道的B点与水平地面相切，其半径为R.质量为m的小球由A点静止释放，求：(1)小球滑到最低点B时，小球速度v的大小；(2)小球刚到达最低点B时，轨道对小球支持力F N的大小；(3)小球通过光滑的水平面BC滑上固定曲面，恰达最高点D，D到地面的高度为h(已知h<R)，则小球在曲面上克服摩擦力所做的功Wf.。
动能定理
动能定理——高顺德一、要点大揭秘1．正确理解动能概念定义：物体由于运动而具有的能叫动能．（1）动能公式；E k=mv2/2,单位：焦耳，符号为J（2）可从以下四个方面全面理解这个概念．①动能是标量．动能的取值为正值或零，不会为负值．②动能是状态量．描述的是物体的某一时刻的运动状态．一定质量的物体在运动状态（瞬时速度）确定时，E k有惟一确定的值．③动能具有相对性．由于瞬时速度与参考系有关．所以E k也与参考系有关．在一般情况下，无特殊说明，则认为取大地为参考系．④物体的动能不会发生突变，它的改变需要一个过程，这个过程就是外力对物体做功的过程或物体对外做功的过程．2.如何正确理解动能具有相对性由动能的计算公式E K＝mv2/2可知，速度v是一个与参照物有关的物理量，因此动能也是一个与选取的参考系有关的物理量，同一个运动物体，对于不同的参照物，它的动能一般是不相等的，在通常情况下，不做特别注明时，都是以地面为参照物来计算动能的。
如某人在以v。
=16m/s匀速运动的车厢里，相对于车厢以v=2m/s的速度向车厢前头投出一质量为1kg的物体。
如以车厢为参照物：物体的速度v=2m/s，动能E K= mv2/2=1/2×1×22=2J；如以地面为参照物则物体的速度为v+v0,动能E K= m(v+v0)2/2=1/2×1×182=162J,有人问静止的物体是否一定没有动能？有了动能具有相对性的结论，这个问题就好回答了，如果选取地球为参照物，物体的速度v0=0，当然没有动能，如果选取太阳为参照物，物体的质量）。
3．全面理解动能定理（1）动能定理表达式W＝E k2－E k1（2)物理意义动能定理说明了做功是改变物体动能的一种途径，外力对物体做正功，物体的动能就增加，意味着其他物体通过做功的方式向所研究的对象输送了一部分能量；外力对物体做负功，物体的动能就减少，意味着研究对象向外输送了一部分能量。
动能定理
例3 总质量为M的列车，沿水平直线轨道匀速前进，其末节 车厢质量为m，中途脱节，司机发觉时，机车已行驶L的距离， 于是立即关闭油门，除去牵引力；设运动的阻力与质量成正比， 机车牵引力是恒定的．求当列车的两部分都停止时，它们间的 距离为多少？ 解 依题意，画草图5-22，标明各部分运动的位移
对车头（M-m）脱钩后的全过程，依动能定理列方程． 设阻力 f=k（M-m）g
L h
s
图5-3-3
【错解】木块离开台面后的平抛阶段， 由s v
2
2h g
解得:v2=8m/s
Байду номын сангаас
对子弹和木块组成的整体在整个过程中用动能定理有:
MgL 1 1 Mv 2 1 mv 2 mv 2 2 0 2 2 2
代入数据可得: μ=69.6
【错因】本题的物体有两个:子弹和木块, 物理过 程可以分为三个阶段:子弹射木块;木块在台面上 滑行;木块飞出台面平抛. 在其中两个阶段中有机 械能损失：子弹射穿木块阶段和木块在台面上滑 行阶段.故不能对子弹和木块组成的整体在整个过 程中用动能定理.
例1.如图5-3-2所示，AB为1/4圆弧轨道，半 径为R=0.8m，BC是水平轨道，长S=3m， BC处的摩擦系数为μ=1/15，今有质量 m=1kg的物体，自A点从静止起下滑到C点 刚好停止.求物体在轨道AB段所受的阻力对 物体做的功.
图5-3-2
【解析】物体在从 A 滑到 C 的过程中，有重力、AB 段的阻 力、BC 段的摩擦力共三个力做功，WG=mgR，fBC=umg，由 于物体在 AB 段受的阻力是变力，做的功不能直接求.根据动 能定理可知：W 外=0， 所以 即 WAB=mgR-umgS =1× 0.8-1× 3/15 J 10× 10× =6J mgR-umgS-WAB=0
动能定理公式是什么样的
动能定理(work-energy theorem)。
所谓动能，简单的说就是指物体因运动⽽具有的能量。
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ΔW是动能的变化，⼜称动能的增量，也表⽰合外⼒对物体做的总功。
1.动能定理研究的对象是单⼀的物体，或者是可以堪称单⼀物体的物体系。
2.动能定理的计算式是等式，⼀般以地⾯为参考系。
3.动能定理适⽤于物体的直线运动，也适应于曲线运动;适⽤于恒⼒做功，也适⽤于变⼒做功;⼒可以是分段作⽤，也可以是同时作⽤，只要可以求出各个⼒的正负代数和即可，这就是动能定理的优越性。
动能定理概念 动能具有瞬时性，是指⼒在⼀个过程中对物体所做的功等于在这个过程中动能的变化。
动能是状态量，⽆负值。
合外⼒(物体所受的外⼒的总和，根据⽅向以及受⼒⼤⼩通过正交法[1]能计算出物体最终的合⼒⽅向及⼤⼩) 对物体所做的功等于物体动能的变化。
即末动能减初动能。
动能定理⼀般只涉及物体运动的始末状态，通过运动过程中做功时能的转化求出始末状态的`改变量。
但是总的能是遵循能量守恒定律的，能的转化包括动能、势能、热能、光能(⾼中不涉及)等能的变化。
动能定理公式 推导过程 分析 (1)确定研究对象，研究对象可以是⼀个质点(单体)也可以是⼀个系统。
(2)分析研究对象的受⼒情况和运动情况，是否是求解“⼒、位移与速度关系”的问题。
(3)若是，根据动能定理ΔW=ΔEk列式求解。
处理多过程问题 应⽤动能定理处理多过程运动问题关键在于分清整个过程有⼏个⼒做功，及初末状态的动能，采⽤动能定理处理问题⽆需考虑其具体的运动过程，只需注意初末状态即可，求往复运动的总路程及次数问题，若⽤⽜顿定律和运动学公式求解，必须⽤数列求和的⽅法，但对于其中的某些问题求解，如⽤动能定理求解，可省去不少复杂的数学推演，使解题过程简化。
推导 对于匀加速直线运动有： 由⽜顿第⼆运动定律得， ① 匀加速直线运动规律有， ② ①×②得， 外⼒做功，记， 即 对于⾮匀加速直线运动, 进⾏⽆限细分成n段，于是每段都可看成是匀加速直线运动(微元法思想) 对于每段运动有, W1=Ek1-Ek0 W2=Ek2-Ek1 …… Wn=Ekn-Ek(n-1)将上式全部相加得 推导完毕【动能定理公式是什么样的】。