公式法解一元二次方程与根的判别式
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课题 公式法解一元二次方程与根的判别式
教学目标：
1、熟记求根公式，掌握用公式法解一元二次方程.
2、通过求根公式的推导及应用，渗透化归和分类讨论的思想.
3、通过求根公式的发现过程增强学习兴趣，培养概括能力及严谨认真的学习态度.
4、能不解方程，而根据根的判别式判断一元二次方程的根的情况.
5、培养思维的严密性、逻辑性和灵活性以及推理论证能力.
教学重点：
1、求根公式的推导和用公式法解一元二次方程.
2、会用判别式判定一元二次方程根的情况.
教学难点：
1、正确理解“当240bac时，方程20(0)axbxca无实数根.
2、运用判别式求出符合题意的字母的取值范围.
一、学习新知，推导公式
我们以前学过的一元一次方程0bax（其中a、b是已知数，且a≠0）的根唯一存
在，它的根可以用已知数a、b表示为abx，那么对于一元二次方程02cbxax（其
中a、b、c是已知数，且a≠0），它的根情况怎样？能不能用已知数a、b、c来表示呢？我
们用配方法推导一元二次方程的求根公式.
用配方法解一元二次方程)0(02acbxax
解： cbxax2 移常数项
acxabx2 方程两边同除以二次项系数（由于a≠0，因此不需要分类讨论）
222)2()2(abacabxabx 两边配上一次项系数一半的平方
22244)2(aacbabx 转化为nmx2)(的形式
注：在我们以前学过的一元二次方程中，会碰到有的方程没有解。
因此对上面这个方程要进行讨论
因为2040aa所以
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（1）当240bac时，2404baca。
利用开平方法，得22424bbacxaa 则22424bbacxaa
所以242bbacxa，
（2）当240bac时，2404baca。在实数范围内，x取任何值都不能使方程
2
2
2
44)2(a
acbabx
左右两边的值相等，所以原方程没有实数根。
一元二次方程)0(02acbxax，当042acb时，它有两个实数根：
2
42bbacxa
（04,02acba）
这就是一元二次方程)0(02acbxax的求根公式.
问题：1、在求根公式中，如果042acb时，根的情况如何？
2、如何用求根公式求一元二次方程的根？
解答：
1、如果042acb，那么方程有两个相等的实数根，即abxx221.
2、运用求根公式解一元二次方程时先要把方程化成一般式，如果042acb，那么可代
入公式求出方程的根，如果042acb，那么方程无实数根，这种解一元而次方程的方法
叫做公式法.
二、利用公式引导判别式：
利用求根公式242bbacxa，可以解任何一个一元二次方程20(0)axbxca.
（1）当240bac时，方程的根是221244,22bbacbbacxxaa.
（2）当240bac时，方程的根是122bxxa.
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（3）当240bac时，方程没有实数根.
提问：究竟是什么决定了一元二次方程根的情况？
1、定义：我们把24bac叫做一元二次方程20(0)axbxca的根的判别式，通常用
符号“△”表示，记作△=24bac.
2、一元二次方程20(0)axbxca，
当△=240bac时，方程有两个不相等的实数根；
当△=240bac时，方程有两个相等的实数根；
当△=240bac时，方程没有实数根.
例题精讲：
例1：用公式法解下列方程：
（1）25610xx （2）22(1)(2)1xxx
解（1）原方程中5,6,1abc，
22
4645116bac
616642510x
即 15x或1x
所以，原方程的根是121,15xx
（2）把原方程化为一般式，得2(21)2210xx
其中21,2,21abc
22
424(21)(21)8bac
28222122(21)2(21)21x
即 1x或322x
注：用公式法解一元二次方程时，应根据方程的一般式确定a、b、c的值，并且注意a、b、
c的符号。
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例2、不解方程，判别下列方程的根的情况：
（1）24530xx； （2）22430xx； （3）22326xx.
解：（1）∵2(5)44(3)730
∴ 原方程有两个不相等的实数根.
（2）∵2442380
∴ 原方程没有实数根.
（3）原方程可化为222630xx
∵2(26)4230
∴原方程有两个相等的实数根.
例3、关于x的方程2(1)0xmxm（其中m是实数）一定有实数根吗?为什么？
解：2(1)41()mm
221mm
2(1)m
因为m是实数，所以2(1)0m，即0.
所以，此方程一定有实数根.
基础训练
一、求下列方程中24bac的值：
1、2650xx 2、28160xx
3、2232xx 4、222xx
5、211042xx 6、21xx
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7、2xqpx 8、2(23)60xx
二、不解方程，判断下列方程根的情况：
1、22520xx 2、21302xx
3、22230xx 4、241290xx
5、211022xx 6、23330xx
7、250x 8、22104xx
三、用公式法解下列方程：
1、22220xx 2、222xx
3、22220xx 4、291220xx
5、24421xx 6、296610xx
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四、解答题：
1、当0q时，请你判断关于x的方程20xpxq的根的情况。
2、关于x的方程2(2)20xmxm一定有实根吗？为什么?
3、如果关于x的一元二次方程2690kxx有两个不相等的实数根，求k的取值范围。
能力提高
一、用公式法解下列一元二次方程：
1、2418xx 2、3(34)1xx
3、9(1)31xxx 4、4(23)10xx
二、解答题：
1、关于x的方程2(3)30mxmx一定有实数根吗？为什么？
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2、关于x的一元二次方程2(4)210kxx
（1）若方程有两个实数根，求k的取值范围；
（2）当k是怎样的正整数时，方程没有实数根。
思维拓展
1、已知a、b、c是△ABC的三边，判断方程22()0cxabxc的根的情况。
课后作业
一、用求根公式法解下列方程：
1、2525xx 2、2210xx
3、2320xx 4、21122xx
5、281(31)(23)xxx 6、2235xx
二、求证：不论k为任意实数，方程221(21)3202xkxk没有实数根。
一元二次方程的根与判别式
一元二次方程的根与判别式一元二次方程是数学中的经典问题，它的解析式可表示为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为实数且a ≠ 0。
而求解一元二次方程的根则需要使用判别式，下面将详细介绍一元二次方程的根和判别式。
1. 一元二次方程根的定义一元二次方程的根是指满足方程成立的未知数值。
对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0而言，若存在实数x1和x2使得将x1和x2代入方程后方程成立，则称x1和x2是一元二次方程的根。
2. 一元二次方程的解法(1) 因式分解法当一元二次方程的系数a、b、c满足一定条件时，可以使用因式分解法来求解方程的根。
例如，对于方程x^2 + 5x + 6 = 0，我们可以将其进行因式分解为(x + 2)(x + 3) = 0，从而得到方程的两个根为x = -2和x = -3。
(2) 完全平方法当一元二次方程的系数a、b、c满足一定条件时，可以使用完全平方法来求解方程的根。
例如，对于方程x^2 - 4x + 4 = 0，我们可以将其改写为(x - 2)^2 = 0，从而得到方程的根为x = 2。
(3) 公式法对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，我们可以使用求根公式来求解方程的根。
公式如下：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)其中，±表示两个根，分别称为x1和x2。
3. 一元二次方程的判别式判别式是指用来判断一元二次方程的根的性质的一项数学公式。
对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0而言，其判别式的计算公式为Δ =b^2 - 4ac，即Δ等于系数b的平方减去4ac。
判别式Δ的值有以下三种情况：(1) 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数根。
此时，方程的根可以通过求根公式求解。
(2) 当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根。
此时，方程的根可以通过求根公式求解，并且两个根是相等的。
(3) 当Δ < 0时，方程没有实数根，而是有两个共轭复数根。
九年级第二次课讲义一元二次方程的公式法,因式分解法,判别式
一元二次方程的公式法，因式分解法，判别式一、用公式法解一元二次方程1、概念：当240b ac -≥时，一元二次方程()200ax bx c a +=≠+的实数根可写为2b x a-=的形式，这个式子叫做一元二次方程20ax bx c +=+的求根公式．利用求根公式解一元二次方程的方法，叫做公式法．已知一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，其求根公式推导过程如下： （1）移项得2ax bx c +=-；（2）二次项系数化为1得2b c x x a a +=-； （3）配方得22222b b c b x x a a a a ⎛⎫⎛⎫++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （4）整理得222424b b ac x a a -⎛⎫+= ⎪⎝⎭；（5）直接开平方得2b x a +=；——注意是否可以开方呢？故当0∆≥时，一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的实数根可写为x = 2、用公式法解一元二次方程的一般步骤：(1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式20ax bx c +=+；(2)正确确定出a ，b ，c 的值；(3)求出24b ac -的值；(4)若240b ac -≥，则方程有实数根，代入公式2b x a -=求解；若240b ac -<，则方程无实数根．例1.用公式法解下列方程：(1)22410x x -=- (2)()()2351x x -=-练习1.用公式法解下列方程：(1)22810x x -=+ (2)2523x x += (3)24310x x +=-二、用因式分解法解一元二次方程1．因式分解法解一元二次方程的理论依据如果两个因式的积等于零，那么这两个因式至少有一个等于零．即如果0a b ⋅=，那么0a =或0b =．2．因式分解法的概念先通过因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法．3．因式分解法解一元二次方程的一般步骤(1)将方程的右边化为0；(2)将方程的左边化为两个一次因式的积；(3)令每个因式都等于0；(4)解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解．因式分解法是解一元二次方程的常用方法，在用因式分解法解一元二次方程时不要盲目的用约分的方法约掉含字母的代数式，这样容易丢掉方程的某个解.例2.用因式分解法解下列方程：(1)()()21321t t t =-- (2)()()2111x x -=-(3)269x x -=- (4)2760y y +=+练习2.用因式分解法解下列方程：（1）230x x -= （2）()()53210x x --=（3）()()2311x x x -+=+ （4）x 2﹣5x ﹣6＝0（5）26120x x -=- （6）6x 2+19x ﹣36＝0三、一元二次方程的根的个数的判别已知一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，其判别式为24b ac ∆=-，其根的个数的情况如下：(1)当042>-=∆ac b 时，方程有两个实数根,且这两个实数根不相等；(2)当042=-=∆ac b 时，方程有两个实数根,且这两个实数根相等，写为ab x x 221-==； (3)当042<-=∆ac b 时，方程无实数根.方程20ax bx c ++=有实根的处理 1、一元二次方程有实根⇔00a ≠⎧⎨∆≥⎩， 2、方程有实根——需要分类讨论（1）0a =，是一元一次方程；（2）0a ≠，0∆≥.3、方程有两个实根⇔00a ≠⎧⎨∆≥⎩.要想判断一元二次方程的根的个数，只需求出其判别式，根据判别式的正负性来判断即可，需要注意的问题是在求判别式之前，一定要将已知的一元二次方程化为标准的一般式，这样才能准确找到a ，b ，c 的值，防止出错.例3. 一元二次方程214204x x +=-的根的情况是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．没有实数根 D ．无法判断 练习3. 一元二次方程22520x x -=-的根的情况是（ ）A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根下列题型考查一元二次方程的判别式．要记住：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）0∆>△方程有两个不相等的实数根；（2）0∆=△方程有两个相等的实数根；（3）0∆<△方程没有实数根．上述关系是一种等价关系，可以互相推导.例4.若关于x 的方程210x mx ++=有两个不相等的实数根，则m 的值可以是（ ）A ．0B ．﹣1C ．2D ．﹣3练习4. 若关于x 的一元二次方程()2450x x m +-=-有实数根，则m 的取值范围是（ ）A ．1m >B ．1m ≥C ．1m <D ．1m ≤与上一类求字母的取值范围型的问题相比，区别在于本类题型中二次项系数中含有字母，所以对于一个一元二次方程，必须保证二次项系数不为零！所以在求字母的取值范围时，又多了一个二次项系数不为零这一不等式.例5. 关于x 的一元二次方程()21320a x x -+-=有实数根，则a 的取值范围是（ ） A ．18a >- B ．18a ≥- C ．18a >-且1a ≠ D ．18a ≥-且1a ≠ 练习5.1 若关于x 的一元二次方程2210kx x -=-有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（ ）A ．1k >-B ．1k >-且0k ≠C ．1k <-D ．1k <-或0k ≠练习5.2已知关于x 的一元二次方程2210mx x +-=有两个实数根，则m 的取值范围是（）A ．1m >B ．1m ≥-C ．1m >-且0m ≠D ．1m ≥-且0m ≠与前两类求字母的取值范围型的问题相比，区别在于本类题型中二次项系数的位置中含有字母，并且通过已知条件无法确认已知的方程是否是一个一元二次方程，故需要进行分类讨论，主要分成两类：第一类，二次项系数为零，则方程为一个一元一次方程；第二类，二次项系数不为零，则方程为一个一元二次方程.两种情形下分别探究是否符合要求，再将两个答案进行合并即可.例题6.已知方程()2210mx m x m -+=-有实数根，求m 的取值范围。
一元二次方程根的判别式
一元二次方程根的判别式一、重难点解析配方法解一元二次方程的一般形式导出公式法，分析判别式02=++c bx ax （0≠a ）1．根的判别式(1) 当Δ＝ac b 42->0时，原方程有两个不相等的实数根；(2) 当Δ＝ac b 42-=0时，原方程有两个相等的实数根；(3) 当Δ＝ac b 42-<0时，原方程没有实数根。
例：方程2210x x +-=的判别式等于8，故该方程有两个不相等的实数根；方程2230x x ++=的判别式等于－8，故该方程没有实数根。
二、典型题1．若关于x 的不等式12a x -<的解集为x ＜1，则关于x 的一元二次方程210x ax ++=根的情况是（ ） A ．有两个相等的实数根 B ．有两个不相等的实数根C ．无实数根D ．无法确定 2．若关于x 的方程2230x x +-=与213x x a =+-有一个解相同，则a 的值为（ ） A ．1 B ．1或﹣3C ．﹣1D ．﹣1或3 3．关于x 的一元二次方程()21320a x x -+-=有实数根，则a 的取值范围是（ ）A ．18a >- B ．18a ≥-C ．18a >-且1a ≠D ．18a ≥-且1a ≠ 4．关于x 的一元二次方程2(1)210m x x ---=有两个实数根，则实数m 的取值范围是（ ）A ．m ≥0B ．m ＞0C ．m ≥0且m ≠1D ．m ＞0且m ≠1 5．一元二次方程22(1)2(1)7x x +--=的根的情况是（ ）A ．无实数根B ．有一正根一负根C ．有两个正根D ．有两个负根6．关于x 的一元二次方程22(21)(1)0x k x k +-+-=无实数根，则k 的取值范围为 ．7．关于x 的一元二次方程()23220x k x k -+++=．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一根小于1，求k 的取值范围．8．已知关于x 的一元二次方程0)(2)(2=-+++c a bx x c a ，其中c b a ,,分别为△ABC 三边的长。
根的判别式及求根公式.2.2 公式法
b b2 4ac 2 16
x
2a
21
x1 3, x2 1
公
用求根公式
式
解一元二次
法
方程的方法
课堂小结
求根公式
x b b2 4ac 2a
(b2－4ac≥0)
一元二次方程根的 判别式Δ= b2－4ac
当b2－4ac>0时，方程有两个不等的实数根； 当b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根； 当b2－4ac<0时，方程无实数根.
课后作业
1.完成练习册本课时的习题。 2.预习新课；
新课导入
（1）用配方法解一元二次方程的步骤是什么？ （2）你能用配方法解一般形式的一元二次方程
ax2+bx+c=0(a≠0)吗？ 我们继续学习另一种解一元二次方程的方法 ——公式法.
（1）知道一元二次方程根的判别式，能运用根的判别式 直接判断一元二次方程的根的情况.
（2）会用公式法解一元二次方程.
方程无实数根
x(x+4)=8x+12. 方程化为x2-4x-12=0
Δ=b2-4ac =(-4)2-4×(-12) =64>0
方程有两个不等的实数根
知识点2 用公式法解一元二次方程
当Δ≥0时，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根可
写为
x b b2 4的a形c 式，这个式子叫做一元
易错点：计算Δ时，注意a,b,c符号的问题.
随堂演练
1. 一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的
实数根，则b2-4ac满足的条件是（ B ）
A.b2-4ac=0
B.b2-4ac＞0
公式法与根的判别式
公式法与根的判别式公式法和根的判别式是解二次方程的两种方法。
解二次方程是高中数学中的一个重要内容，掌握好这两种方法可以帮助我们更好地理解和求解二次方程。
一、公式法公式法是通过二次方程的求根公式来求解的。
对于一般形式的二次方程ax²+bx+c=0，其求根公式为：x=[-b±√(b²-4ac)]/2a1.根的个数与判别式根的个数与判别式有关，判别式的值决定了二次方程的根的情况。
判别式（D）= b²-4ac当判别式D>0时，二次方程有两个不相等的实根；当判别式D=0时，二次方程有两个相等的实根；当判别式D<0时，二次方程没有实根，但有两个虚根。
2.求解步骤(1) 求出判别式D=b²-4ac的值；(2)根据判别式D的值来判断二次方程的根的情况；(3)如果二次方程有根，根据求根公式计算根的值。
根的判别式又称判别式法。
它通过判别式的符号来确定二次方程的根的情况。
对于一般形式的二次方程ax²+bx+c=0，根的判别式如下：判别式（D）= b²-4ac1.根的个数与判别式判别式的符号决定了二次方程的根的情况。
当D>0时，二次方程有两个不相等的实根；当D=0时，二次方程有两个相等的实根；当D<0时，二次方程没有实根。
2.求解步骤(1) 求出判别式D=b²-4ac的值；(2)根据判别式D的符号来判断二次方程的根的情况。
公式法通过使用求根公式来解二次方程，公式中的判别式决定了二次方程的根的情况。
在使用公式法时，我们需要先计算判别式的值，然后根据判别式的值来判断二次方程的根的情况，最后再根据求根公式计算出根的值。
根的判别式法则是通过判别式的符号来判定二次方程的根的情况。
判别式的值决定了二次方程的根的性质，因此根的判别式也可以用来计算判别式的值，进而判断二次方程的根的情况。
由此可见，根的判别式是公式法的基础，根的判别式提供了公式法所需要的判别二次方程根的信息。
一元二次方程 公式法、根与系数关系
3、一个等腰三角形的两条边长分别是方程 x2﹣7x+10=0 的两根，则该等腰三角形的周长是（ ）
A．12 B．9 C．13 D．12 或 9
4、方程 3x（x﹣1）=2（x﹣1）的根为
．
5、方程 x2=3x 的根是（ ） A．3 B．﹣3 或 0 C．3 或 0 D．0
6、方程（x﹣2）（x+3）=0 的解是（ A．x=2 B．x=﹣3 C．x1=﹣2，x2=3
） D．x1=2，x2=﹣3
7、一元二次方程 x2﹣2x=0 的根是________
8、用因式分解法解方程： （1）4a2=16
（2） 9x2 24x 16 11
（3）t(2t－1)＝3(2t－1)
知识点三：一元二次方程根与系数的关系
如果方程 ax2
bx c
0(a
0) 的两个实数根是 x1，x2 ，那么 x1
例 2、已知 x1，x2 是一元二次方程 x2﹣2x﹣1=0 的两根，则 + = ． 方针对练习 1、程 2x2+3x﹣1=0 的两个根为 x1、x2，则 + 的值等于 ． 2、若 x1，x2 是方程 x2+2x﹣3=0 的两根，则 x1+x2= ．
针对练习 1、关于 x 的一元二次方程 x2+8x+q=0 有两个不相等的实数根，则 q 的取值范围是（ ） A．q＜16 B．q＞16 C．q≤4 D．q≥4 2、若关于 x 的一元二次方程（k﹣1）x2﹣（2k+1）x+k=0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是 （）
例 2、方程：x2﹣3x+2=0． 例 3、解方程：2x2﹣7x+3=0．
一元二次方程的解法(5)---根的判别式
方程化成一般形式后方可使用！
例题评讲：
例1：不解方程判别下列方程根的情况
（1）x2+3x+1=0 （2）x2 -6x+9=0 （3）2x2 -x+1=0
例2：关于x的方程2x2 +mx-2=2x-m，当m为何值 时方程有两个相等的根？并求出它的根.
练习：
(注意：△≠
b
2
2-4ac) ， 应△ = b 4ac
定理揭示：
（1）关于一元二次方程ax2+bx+c=0(b≠0)根的判别式定理： 在一元二次方程aX2+bx+c=0(a≠0)中，△=b2-4ac 若△＞0 则方程有两个不相等的实数根 若△=0 则方程有两个相等的实数根 若△≥0时， 则方程有（两个）实数根
1、当K为何值时方程（k-2）x2 +2kx-1=0有两个相等的
实数根.
2、当K为何值时，方程kx2 +（2k+1）x+k=0（k≠0） （1）有两个不相等的实数根（2）有两个相等的实数根
（3）没有实数根
例3：求证：
1 2 关于x的方程X -(m-2)x4
m2=0，无论m为何值，方程总
有两个不相等的实数根.
例 4. 已 知 a 、 b 、 c 是 Δ ABC 的 三 条 边 ， 那 么 方 程
cx2+2(a+b)x+c=0,的根的情况是（
）
A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、没有实数根 D、无法判断
思考
（1）k为何值时，关于x的一元二次方程kx2-2x+1=0有实数 根？
一元二次方程根的判别式(PPT课件)
在一元二次方程 ax bx c 0(a 0)中
2
若a与c异号, 则方程 (
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
)
C.没有实数根
D.根的情况无法确定
例2．若关于x一元二次方程 kx2-(2k+1)x+k=0， （1）有两个不相等的实数根 （2）有两个相等的实数根
（2）∵方程有两个相等的实数根。 ∴△=0，即4k+1=0
思考:一元二次方程根的情况与一元二次方程中二 次项系数、一次项系数及常数项有关吗?
用公式法解下列方程: 例题 (1)x2+x-1=0; (2)x2 -2 3x+3=0;
(3)2x2-2x+1=0.
一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的情况 可由b2-4ac来判定: （1）当b2-4ac ＞0时, 方程有两个不等的实数根 （2）当b2-4ac = 0时, 方程有两个相等的实数根 （3）当b2-4ac ＜0时, 方程没有实数根
初中数学八年级下册 （苏科版）
4.2一元二次方程的解法 根的判别式
城南实验初级中学
用公式法解下列方程: 例题 (1)x2+x-1=0; (2)x2 -2 3x+3=0;
(3)2x2-2x+1=0.
不解方程,你能判断下列方程根的情况吗? (1)x2+2x-8=0; (2)x2=4x-4; (3)x2-3x=-3
拓展延伸 2.关于x的方程 kx2+3x-1=0有实数根,则k 的取值范围是 ( C )
9 A.k 4 9 C.k 4 9 B.k 且k 0 4 9 D.k 且k 0 4
拓展延伸 1 2 3.已知关于x的方程 x (2k 1) x 4(k ) 0
21.4一元二次方程--根的判别式(6)
21.4一元二次方程-- 根的判别式(6)班级： 姓名：学习目标：掌握一元二次方程根的判别式，并能正确应用。
1、用公式法解一元二次方程（1）y 2＋2y －4＝0 （2）y 2＋2y +4＝0；解：（1）∵a = ，b = ，c =∴24b ac -=（ ）2 －4×（ ）×（ ）= + = ＞0∴2b x a -±==( )2( )-⨯=( )( )( )± ∴1x = ；2x = ；（2）∵a = ，b = ，c =∴24b ac -=（ ）2 －4×（ ）×（ ）=2、概括：并不是所有一元二次方程都有实数解，满足什么样的条件才会有实数解呢？我们在一元二次方程的配方过程中得到（x ＋a b 2）2＝2244a ac b -. （1） 发现只有当 ≥0时，才能直接开平方，得22442a ac b a b x -±=+. 也就是说，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）只有当系数a 、b 、c 满足条件 时才有实数根.观察（1）式我们不难发现一元二次方程的根有三种情况：① 当b 2－4ac 0时，方程有两个不相等的实数根；② 当b 2－4ac 0时，方程有两个相等的实数要x 1＝x 2＝ab 2-； ③ 当b 2－4ac 0时，方程没有实数根.这里的 叫做一元二次方程的根的判别式，通常记作：Δ=3、用它可以直接判断一个一元二次方程是否有实数根。
例1：判断一元二次方程x 2－x ＋1＝0是否有实数根由b 2－4ac＝ ___________0（填< 、>、 = ）所以它 （有、没有）实数根。
4、可以应用判别式来确实方程中的待定系数，例如：例2：m 取什么值时，关于x 的方程2x 2-(m ＋2)x ＋2m －2＝0有两个相等的实数根？求出这时方程的根.（分析：方程有两个相等的实数根，即24b ac - 0）解：∵a = ，b = ，c =∴24b ac -=（ ）2 －4×（ ）×（ ）==∵方程有两个相等的实数根；∴△=24b ac -___0∴∴m=当m=____时，此时方程变为__________________解这个方程得：1x = ；2x = ；练习 A 组1、不解方程，用判别式直接判断一元二次方程是否有实数根。
21.2.2《公式法解一元二次方程》教案
在今天的教学中，我发现学生们对一元二次方程的公式法解法有着不同的接受程度。在导入新课环节，通过日常生活中的问题引导，大部分学生能够很快地进入学习状态，表现出对数学应用的兴趣。但在新课讲授过程中，我发现有些学生在求根公式的推导上存在理解上的困难，这让我意识到在讲解过程中需要更加细致和具体。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了公式法解一元二次方程的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对一元二次方程的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调一元二次方程的一般形式和求根公式这两个重点。对于难点部分，如求根公式的推导和判别式的理解，我会通过举例和逐步推导来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与一元二次方程相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如通过图形展示方程的根与判别式的关系。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解一元二次方程的一般形式及其求根公式；
-掌握求根公式的推导过程；
-熟练运用公式法解决一元二次方程问题；
-明确判别式Δ的含义及其与方程根的关系。
举例解释：
-通过具体方程实例，让学生理解一元二次方程的一般形式，强调a≠0的条件；
-通过几何图形或代数推导，让学生直观感受求根公式的来源；
最后，我意识到教学反思是提高教学质量的重要途径。在今后的工作中，我要不断总结经验，针对学生的实际情况，调整教学策略，以期达到更好的教学效果。同时，我也将更加关注学生的个体差异，给予每个学生足够的关注和指导，帮助他们克服学习中的困难，提高数学素养。