北师大版高中数学必修2同步测试题：第1章 第1节 简单几何体(含答案解析)
《简单几何体》同步测试题
1、 下列叙述正确的个数是（ ）
① 以直角梯形的一腰为轴旋转所得的几何体是圆台；
② 以直角三角形的一边旋转轴所得的旋转体是圆锥；
③ 圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；
④ 用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台.
A、0 B、1 C、2 D、3
2、下列命题中正确的是（ ）
① 在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；
② 圆锥顶点与底面圆上任取一点的连线是圆锥的母线；
③ 在圆台上下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；
④ 圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的.
A、①② B、②③ C、①③ D、②④
3、下列各组几何体中是多面体的一组是（ ）
A 三棱柱 四棱台 球 圆锥 B 三棱柱 四棱台 正方体 圆台
C 三棱柱 四棱台 正方体 六棱锥 D 圆锥 圆台 球 半球
4、下列说法正确的是（ ）
A 有一个面是多边形，其余各面是三角形的多面体是棱锥
B 有两个面互相平行，其余各面均为梯形的多面体是棱台
C 有两个面互相平行，其余各面均为平行四边形的多面体是棱柱
D 棱柱的两个底面互相平行，侧面均为平行四边形
5、下面多面体是五面体的是（ ）
A 三棱锥 B 三棱柱 C 四棱柱 D 五棱锥
6、下列说法错误的是（ ）
A 一个三棱锥可以由一个三棱锥和一个四棱锥拼合而成
B 一个圆台可以由两个圆台拼合而成
C 一个圆锥可以由两个圆锥拼合而成
D 一个四棱台可以由两个四棱台拼合而成
7、下面多面体中有12条棱的是（ ）
A 四棱柱 B 四棱锥 C 五棱锥 D 五棱柱
8、在三棱锥的四个面中，直角三角形最多可有几个（ ）
A 1 个 B 2 个 C 3个 D 4个
9、下列几何体中是棱柱的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
10、已知集合A={正方体}，B={长方体}，C={正四棱柱}，D={直四棱柱}，E={棱柱}，F={直
平行六面体}，则（ ）
A．EFDCBA B．ACBFDE
C．CABDFE D．它们之间不都存
在包含关系11、下列命题中，正确的是( )
A．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B．棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面
C．棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形
D．棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形
12、下列说法正确的有( )．
①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；
②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；
③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台．
A．0个 B．1个 C．2个
D．3个
13、设有三个命题：
甲：底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；
乙：底面是矩形的平行六面体是长方体；
丙：直四棱柱是直平行六面体．
以上命题中真命题的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
14、一个三棱锥，如果它的底面是直角三角形，那么它的三个侧面( )
A．至多只能有一个是直角三角形 B．至多只能有两个是直角三角形
C．可能都是直角三角形 D．必然都是非直角三角形
15、斜四棱柱侧面最多可有几个面是矩形( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
16、下列叙述正确的个数是( )．
①以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥；
②以直角梯形的一腰为轴旋转所得的几何体是圆台；
③用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．
A．0 B．1
C．2 D．3
二、填空题
1、下列描述中，是棱台的性质的是__________．(填序号)
①两底面平行；②侧面都是梯形；③侧棱都相等，且平行；④侧棱延长后都交于一点；
⑤底面不可能为三角形．
2、若长方体的长、宽、高分别为5cm、4cm、3cm.把这样的两个长方体全等的面重合在一
起组成大长方体，则大长方体的对角线最长为__________．
3、下列叙述中，正确的是________．
①以直角三角形的一直角边所在直线为旋转轴旋转所得的旋转体是圆锥；
②以直角梯形的一腰所在直线为旋转轴所得的旋转体是圆台；
③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；
④圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥底面圆的半径．
4、一个棱柱至少有 个面，面数最少的棱柱有 个顶点，有 个棱。
5、一个棱柱有10个顶点，所有侧棱长的和为60，则每条侧棱长为
6、把等腰三角形绕底边上的高旋转1800，所得的几何体是
7、水平放置的正方体分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示。图中是一个
正方体的平面展开图，若图中的“似”表示正方体的前面，“锦”表示右面，“程”表示下面。
则“祝”“你”“前”分别表示正方体的
祝
你 前 程
似 锦
8、长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝2，BB1＝1，由A到C1在长方体表面上的
最短距离为
三、解答题
1、判断下列语句的对错，并说明理由：
(1)一个棱锥至少有四个面；
(2)如果四棱锥的底面是正方形，那么这个四棱锥的四条侧棱都相等；
(3)五棱锥只有五条棱；
(4)用与底面平行的平面去截三棱锥，得到的截面三角形和底面三角形相似．
2、在正方形ABCD中，E、F分别为AB、BC的中点，现在沿DE、DF及EF把△ADE、
△CDF和△BEF折起，使A、B、C三点重合，重合后的点记为P. 问：
①依据题意制作这个几何体；
②这个几何体有几个面构成，每个面的三角形是什么三角形；
③若正方形边长为2a，则每个面的三角形面积为多少．
A E D C B
F
高中数学 第一章 立体几何初步 1.1 简单几何体高效测评 北师大版必修2(2021年最新整理)
北师大版必修2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2016-2017学年高中数学第一章立体几何初步1.1 简单几何体高效测评北师大版必修2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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评北师大版必修2一、选择题（每小题5分，共20分）1．有下列命题，其中正确的是( )①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；③在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线;④圆柱的任意两条母线所在的直线都是互相平行的．A．①②B．②③C．①③D．②④解析：圆柱(或圆台)中上、下底面圆周上任意两点的连线，不一定是矩形(或直角梯形）中“不垂直于旋转轴的边”．故①③错误,②④正确．答案：D2．一个多边形沿垂直于它所在平面的方向平移一段距离可以形成的几何体是（)A．棱锥B．棱柱C．平面D．长方体解析：平移后形成的几何体是以此多边形（起点处和终点处)为两底面的棱柱，故选B.答案：B3．如图，E，F,G，H是三棱柱对应边上的中点，过此四点作截面EFGH，则截面以下的几何体是（）A．棱柱B．棱台C．棱锥D．五面体解析：选择左右两个平行平面为底面，则它符合棱柱的结构特征，故选A。
答案：A4．下列结论正确的是( ）A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线解析：A是错误的，例如由两个相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各个面都是三角形，但它不是棱锥；B是错误的，直角三角形绕着直角边旋转一周形成的面所围成的几何体才是圆锥；C是错误的，若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形，由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长,故选D.答案：D二、填空题(每小题5分，共10分）5．下列命题中错误的是________．①圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个；②圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个；③圆台的所有平行于底面的截面都是圆；④圆锥所有的轴截面都是全等的等腰三角形．解析：因为圆锥的母线长一定，根据三角形面积公式，当两条母线的夹角为90°时,过圆锥顶点的截面面积最大，当夹角为钝角时,轴截面的面积就不是最大的．答案：②6．图中阴影部分绕图示的直线旋转一周,形成的几何体是________．解析：三角形旋转后围成一个圆锥，圆面旋转后形成一个球，阴影部分形成的几何体为圆锥中挖去一个球后剩余的几何体．答案：圆锥挖去一个球的组合体三、解答题（每小题10分，共20分)7．画一个三棱台,再把它分成（1)一个三棱柱和另一个多面体;(2）三个三棱锥,并用字母表示．解析：(1）如图①,三棱柱是A′B′C′－AB″C″。
高中数学北师大版必修2第一章立体几何初步1.3.1简单组合体的三视图2
12345
3.将一个正方体沿其棱的中点截去两个三棱锥后所得几何体如图 所示,则其俯视图为( )
解析:将一个正方体沿其棱的中点截去两个三棱锥后所得几何体的 俯视图应满足:外轮廓是一个正方形,左上角能看到上底面被截所 成的棱,为实线,右下角看不到下底面被截所成的棱,为虚线,综上所 述,选C. 答案:C
解:组合体的三视图如图所示.
反思画组合体的三视图要分清组合的情势,注意图中的可见轮廓 线、不可见轮廓线该如何画.
题型一 题型二 题型三
【变式训练2】 下图中,图(b)是根据图(a)中实物画出的主视图和 俯视图,图(d)是根据图(c)中实物画出的主视图和俯视图,你认为正 确吗?如果不正确,请找出错误并改正,然后分别画出它们的左视图.
名师点拨1.三视图的排列规则是:先画主视图,俯视图放在主视图 的正下方,长度与主视图一样;左视图放在主视图的正右方,高度与 主视图一样.
2.主视图反应物体的主要形状特征,是三视图中最重要的视图;俯 视图与左视图共同反应物体的宽度.为便于记忆,可简记为“长对正, 高平齐,宽相等”,或“主左一样高,主俯一样长,俯左一样宽”.
题型一 题型二 题型三
【变式训练1】 如图所示,该几何体是截去一个角的长方体,试画 出它的三视图.
题型一 题型二 题型三
解:物体的三视图如下:
题型一 题型二 题型三
题型二 画简单组合体的三视图
【例2】 画出如图所示物体的三视图.
分析:先把组合体分解成几个简单的几何体,再画出组合体的三 视图.
题型一 题型二 题型三
(1)
图(a)
图(b)
题型一ห้องสมุดไป่ตู้题型二 题型三
(最新整理)北师大版高中数学必修2第一章立体几何初步单元测试(带答案)
北师大版高中数学必修2第一章立体几何初步单元测试(带答案)
编辑整理：
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一个封闭的立方体，它的六个这六个字母一，现放置成如图的三种不同的位置C
B A
A
D C
E
B C
17、【解析】。
最新北师大版高中数学必修二第一章《立体几何初步》测试卷(含答案解析)(2)
一、选择题1．已知m ，n 是两条直线，α，β是两个平面，则下列命题中错误的是（ ）A ．若m n ⊥，m α⊥，n β⊥，则αβ⊥B ．若m α⊂，//αβ，则//m βC ．若m n ⊥，m α⊥，βn//，则αβ⊥D ．若l αβ=，//m α，//m β，则//m l2．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 为棱1AA 的中点，截面1CD E 交棱AB 于点F ，则四面体1CDFD 的外接球表面积为（ ） A ．394πB ．414πC ．12πD ．434π3．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 是1CC 的中点，则点1C 到平面EBD 的距离为（ ） A ．3 B ．6 C ．5 D ．224．已知正三棱柱111ABC A B C -中，1AB AA =，M 是1CC 的中点，则异面直线AM 与1A B 所成角的大小为（ ）A ．π6B ．π4C ．π3D ．π25．已知正三棱柱111ABC A B C -，的体积为163，底面积为43，则三棱柱111ABC A B C -的外接球表面积为（ ）A ．1123π B ．563π C ．2243π D ．28π6．下图中小正方形的边长为1，粗线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的体积为（ ）A ．64B ．48C ．32D ．167．已知正四棱锥的高为2，底面正方形边长为4，其正视图为如图所示的等腰三角形，正四棱锥表面点M 在正视图上的对应点为腰的中点A ，正四棱锥表面点N 在正视图上对应点为B ，则||MN 的取值范围为（ ）．A ．[10,19]B ．[11,19]C ．[10,25]D ．[11,25]8．已知球O 的半径为5，球面上有,,A B C 三点，满足214,27AB AC BC ===，则三棱锥O ABC -的体积为（ ） A ．77B ．142C ．714D ．1479．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E ，F 分别是AB ，B C 的中点，将ADE ，EBF △，FCD 分别沿DE ，EF ，FD 折起，使得A ，B ，C 三点重合于点A '，若点G 及四面体A DEF '的四个顶点都在同一个球面上，则以FDE 为底面的三棱锥G -DEF 的高h 的最大值为（ ）A 263B 463C ．4263D ．226310．我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径意思是：球的体积V 乘16，除以9，再开立方，即为球的直径d ，由此我们可以推测当时球的表面积S 计算公式为（ ） A ．2278S d = B ．2272S d =C ．292S d =D ．21114S d =11．αβ是两个不重合的平面，在下列条件中，可判定平面α与β平行的是（ ）A ．m 、n 是α内的两条直线，且//m β，βn//B ．α、β都垂直于平面γC ．α内不共线三点到β的距离相D ．m 、n 是两条异面直线，m α⊂，n β⊂，且//m β，//n α12．在正方体1111ABCD A B C D -中，M 和N 分别为11A B ，和1BB 的中点．，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是（ ）A ．25B ．10 C ．35D ．3 二、填空题13．已知直三棱柱111ABC A B C -，14AB BC AA ===，42AC =，若点P 是上底面111 A B C 所在平面内一动点，若三棱锥P ABC -的外接球表面积恰为41π，则此时点P 构成的图形面积为________．14．如图，在矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，点E 为CD 的中点，F 为线段CE （端点除外）上一动点．现将DAF △沿AF 折起，使得平面ABD ⊥平面ABC ．设直线FD 与平面ABCF 所成角为θ，θ的取值范围为__________．15．如图在菱形ABCD 中，2AB =，60A ∠=，E 为AB 中点，将AED 沿DE 折起使二面角A ED C '--的大小为90，则空间A '、C 两点的距离为________；16．已知一个圆锥内接于球O （圆锥的底面圆周及顶点均在同一球面上），圆锥的高是底面半径的3倍，圆锥的侧面积为910π，则球O 的表面积为________．17．如图，在一个底面面积为4，侧棱长为10的正四棱锥P ABCD -中，大球1O 内切于该四棱锥，小球2O 与大球1O 及四棱锥的四个侧面相切，则小球2O 的体积为___________.18．在三棱柱111ABC A B C -中侧棱垂直底面且底面是ABC 为等边三角形且12A A AB =，E 在棱1AA 上，112AE A A =，则异面直线1AC 与BE 所成角的余弦值___________.19．在三棱锥-P ABC 中，侧面PBC 和底面ABC 都是边长为2的正三角形，若3PA =，则侧棱PA 与底面ABC 所成的角的大小是___________．20．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是__________．三、解答题21．一副标准的三角板（如图1），ABC ∠为直角，60A ∠=︒，DEF ∠为直角，DE EF =，BC DF =，把BC 与DF 重合，拼成一个三棱锥（如图2），设M 是线段AC 的中点，N 是线段BC 的中点.（1）求证：平面ABC ⊥平面EMN ； （2）设平面ABE平面MNE l =，求证：//l AB .22．如图（1）在ABC 中，AC BC =，D ､E ､F 分别是AB ､AC ､BC 边的中点，现将ACD △沿CD 翻折，使得平面ACD ⊥平面BCD .如图（2）（1）求证：//AB 平面DEF ； （2）求证：BD AC ⊥.23．如图，正四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 的边长为4，4PD =，E 为PA 的中点.（1）求证：//PC 平面EBD . （2）求三棱锥E ABD -的体积.24．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，底面是等腰直角三角形，90ACB ∠=︒且AC a =，侧棱12AA =，D ，E 分别是1CC ，11A B 的中点．（1）求直三棱柱111ABC A B C -的体积（用字母a 表示）； （2）若点E 在平面ABD 上的射影是三角形ABD 的重心G ， ①求直线EB 与平面ABD 所成角的余弦值； ②求点1A 到平面ABD 的距离25．如图，长方体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是正方形，E 是棱1AA 的中点，122AA AB ==.（1）证明：平面EBC ⊥平面1EB C . （2）求点B 到平面1EB C 的距离.26．在三棱锥P ABC -中，G 是底面ABC 的重心，D 是线段PC 上的点，且2PD DC =.（1）求证：DG//平面PAB ；（2）若PAB △是以PB 为斜边的等腰直角三角形，求异面直线DG 与PB 所成角的余弦值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】利用直二面角可判断A 的正误，利用面面平行或线面平行性质定理即判断定理可判断BD 的正误，从而可得正确的选项，利用反例可判断C 是错误的. 【详解】 对于A ，如图，设l αβ=，空间中取一点O （O 不在平面,αβ内，也不在直线,m n上），过O 作直线,a b ，使得,////a m b n ，且,a A b B αβ⋂=⋂=，故a b ⊥. 因为m α⊥，故a α⊥，而l α⊂，故a l ⊥，同理b l ⊥, 因为a b O ⋂=，故l ⊥平面OAB . 设平面OAB 交l 与C ，连接,AC BC ，因为,AC BC ⊂平面OAB ，故,,l AC l BC ⊥⊥所以ACB ∠为l αβ--的平面角. 因为a α⊥，AC α⊂，故OA AC ⊥，同理OB BC ⊥，而OA OB ⊥， 故在四边形OACB 中，90ACB ∠=︒即αβ⊥，故A 正确.对于B ，由面面平行的性质可得若m α⊂，//αβ，则//m β，故B 正确. 对于D ，如图，过m 作平面γ，使得a γα=，过m 作平面η，使得b ηβ⋂=，因为//m α，m γ⊂，故//a m ，同理//b m ，故//a b ， 而a β⊄，b β⊂，故//a β，而a α⊂，l αβ=，故//a l ，所以//m l ，故D 正确.对于C ，在如图所示的正方体中，//AD 平面11A D CB ，1AA ⊥平面ABCD ，1AD AA ⊥，但是平面11A D CB 与平面ABCD 不垂直，故C 错误.故选：C. 【点睛】思路点睛：对于立体几何中与位置有关的命题的真假判断，一般根据性质定理和判定定理来处理，反例一般可得正方体中寻找.2．B解析：B 【分析】可证F 为AB 的中点，设1DD 的中点为G ，DFC △的外接圆的球心为1O ，四面体1CDFD 的外接球的球心为O ，连接11,,,OG OF OO A B ，利用解三角形的方法可求DFC △的外接圆的半径，从而可求四面体1CDFD 的外接球的半径.【详解】设1DD 的中点为G ，DFC △的外接圆的圆心为1O ，四面体1CDFD 的外接球的球心为O ，连接11,,,OG OF OO A B ，因为平面11//A ABB 平面11D DCC ，平面1CD E ⋂平面11A ABB EF =， 平面1CD E ⋂平面111D DCC D C =，故1//EF D C ， 而11//A B D C ，故1//EF A B ，故F 为AB 的中点， 所以145DF CF ==+=，故3cos 5255DFC ∠==⨯⨯，因为DFC ∠为三角形的内角，故4sin 5DFC ∠=，故DFC △的外接圆的半径为1254245⨯=，1OO ⊥平面ABCD ，1DD ⊥平面ABCD ，故11//OO DD ，在平面1GDO O 中，111,OG DD O D DD ⊥⊥，故1//OG O D ， 故四边形1GDO O 为平行四边形，故1//OO GD ，1OO GD =， 所以四面体1CDFD 的外接球的半径为25411164+=， 故四面体1CDFD 的外接球表面积为41414164ππ⨯=， 故选：B. 【点睛】方法点睛：三棱锥的外接球的球的半径，关键是球心位置的确定，通常利用“球心在过底面外接圆的圆心且垂直于底面的直线上”来确定.3．B解析：B 【分析】利用等体积法11C EBD D C EB V V --=，设点1C 到平面EBD 的距离为d ，利用三棱锥的体积公式代入面积即求得d . 【详解】如图，利用等体积法，11C EBD D C EB V V --=，设点1C 到平面EBD 的距离为d ，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，故22,5BD BE ED ===，如图，2215232h ED BD ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭11223622EBDSBD h =⨯⨯=⨯= 又点D 到平面1C EB 的距离，即D 到平面11C CBB 的距离，为CD =2，111212EBC S=⨯⨯=，由11C EBD D C EB V V --=得，111233d =⨯⨯，故d ==. 故选：B. 【点睛】 方法点睛：空间中求点到平面的距离的常见方法： （1）定义法：直接作垂线，求垂线段长；（2）等体积法：利用三棱锥换底求体积，结合两个面积和另一个高求未知高，即得距离； （3）向量法：过点的一个斜线段对应的向量a ，平面法向量n ，则a n d n⋅=.4．D解析：D 【分析】取AC 中点E ，连接1,A E BE ，先通过BE ⊥平面11ACC A 可得BE AM ⊥，再由1ACM A AE ≅可得1AM A E ⊥，即可得出AM ⊥平面1A BE ，即1AM A B ⊥.【详解】取AC 中点E ，连接1,A E BE ，ABC 为正三角形，BE AC ∴⊥，正三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，BE ⊂平面ABC ，1CC BE ∴⊥，1ACCC C =，BE ∴⊥平面11ACC A ，AM ⊂平面11ACC A ，BE AM ∴⊥，在直角三角形ACM 和直角三角形1A AE 中，1,AC A A CM AE ==,1ACM A AE ∴≅， 1CAM AA E ∴∠=∠，12CAM A EA π∴∴∠+∠=，则1AM A E ⊥，1BE A E E ⋂=，AM ∴⊥平面1A BE ，1A B ⊂平面1A BE ，1AM A B ∴⊥，故异面直线AM 与1A B 所成角的大小为2π.【点睛】本题考查异面直线所成角的求解，解题的关键是通过证明AM ⊥平面1A BE 判断出1AM A B ⊥.5．A解析：A 【分析】由面积和体积可得三棱柱的底面边长和高，根据特征可知外接球的球心为上下底面中心连线的中点，再由勾股定理可得半径及球的表面积. 【详解】 依题意，1163443AA ==，而213sin 432ABCS AB AC A AB =⨯⨯== 解得4AB =，记ABC 的中心为О，111A B C △的中心为О1，则114O A O A ==， 取1OO 的中点D ，因为AO CO =，90AOD COD ∠=∠=，由勾股定理得AD CD =，同理可得111AD BD A D B D C D ====，所以正三棱柱的外接球的球心为即D ，AD 为外接球的半径， 由正弦定理得432sin 60AB AO ==， 故2221628433A O D D O A =+=+=， 故三棱柱111ABC A B C -的外接球表面积2281124433S R πππ==⨯=， 故选：A ．【点睛】本题考查了正三棱柱外接球的表面积的求法，关键点是确定球心的位置和球的半径的长度，考查了学生的空间想象力和计算能力.6．C解析：C【分析】在长方体中还原三视图后，利用体积公式求体积.【详解】根据三视图还原后可知，该四棱锥为镶嵌在长方体中的四棱锥P-ABCD（补形法）且该长方体的长、宽、高分别为6、4、4，故该四棱锥的体积为1(64)4323V=⨯⨯⨯=.故选C．【点睛】(1)根据三视图画直观图，可以按下面步骤进行：①、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；②、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；③、画出整体，让后再根据三视图进行调整；(2)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解．7．A解析：A由题意画出如图正四棱锥，可得M 点在GK 上运动，N 点在CD 上运动，且四边形KCDG 是等腰梯形，则||MN 的取值范围的最小值就是等腰梯形的高，最大值就是梯形的对角线长，作KH ED ⊥，在直角三角形中求KJ KD 、的长可得答案. 【详解】如图正四棱锥P ECDF -，PO ⊥平面ECDF ，O 是底面中心，G K 、分别是PF PE 、的中点，由题意知，M 点在GK 上运动，N 点在CD 上运动，所以////GK FE DC ，且11222GK FE DC ===， 所以四边形KCDG 是梯形，在ECK 与FDG △中，,,EC FD EK FG KEC GFD ==∠=∠，所以ECK ≅FDG △，所以KC GD =，所以四边形KCDG 是等腰梯形，则||MN 的取值范围的最小值就是等腰梯形的高， 最大值就是梯形的对角线长，且22PO EC CD ===，，1222EO ED == 作KH ED ⊥于H ，所以//KH PO ，KH ⊥平面ECDF ，112KH PO ==，且H 是EO 的中点，122EH EO ==，32DH =，45EDC ∠=，作KJ CD ⊥于J ，连接HJ ，12CD KGCJ -==， 所以3DJ =， 由余弦定理得2222cos 9HJ DH DJ DH DJ EDC =+-⋅∠=， 所以2221910KJ KH HJ =+=+=，10KJ =22211819DK EH HD =+=+=，19DK =故选：A. 【点睛】本题考查了正四棱锥的性质及线段的取值范围问题，关键点是画出正四棱锥分析出问题的实质，考查了学生的空间想象力.8．A【分析】利用正弦定理求出ABC 的外接圆半径，则可求出三棱锥的高，进而求出三棱锥体积. 【详解】设ABC 的外接圆的圆心为D ，半径为r ， 在ABC 中，72cos 4214ABC ∠==，14sin ABC ∴∠=， 由正弦定理可得28sin ACr ABC==∠，即4r =，则22543OD =-=，11114214273773324O ABC ABCV SOD -∴=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=. 故选：A.【点睛】本题考查球内三棱锥的相关计算，解题的关键是利用正弦定理求出ABC 的外接圆半径，利用勾股关系求出高.9．A解析：A 【分析】先求出'A FDE -外接球的半径和外接圆的半径，再利用勾股定理求出外接球的球心到外接圆的圆心的距离，可得高h 的最大值. 【详解】因为A ，B ，C 三点重合于点A '，原来A B C ∠∠∠、、都是直角，所以折起后三条棱'''A F A D A E 、、互相垂直，所以三棱锥'A FDE -可以看作一个长方体的一个角，它们有相同的外接球，外接球的直径就是长方体的体对角线，即为2R ==R =DE DF ===EF == 在DFE △中，222cos 2DE EF DF DEF DE EF +-∠===⨯， 所以DEF ∠为锐角，所以sin 10DEF ∠==， DEF的外接圆的半径为2sin DF r DEF ===∠，则球心到DEF23=，以FDE 为底面的三棱锥G -DEF 的高h 的最大值为1R OO +23. 故选：A. 【点睛】本题考查了翻折问题和外接球的问题，关键点翻折前后量的变化及理解外接球和三棱锥的关系，考查了学生的空间想象力和计算能力.10．A解析：A 【分析】根据已知条件结合球的体积公式3432d π⎛⎫⎪⎝⎭求解出π的值，然后根据球的表面积公式242d π⎛⎫⎪⎝⎭求解出S 的表示，即可得到结果. 【详解】d =，所以33941632d d V π⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以278π=， 所以2222727442848d d S d π⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭，故选：A. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是根据球的体积公式得到π的表示，再将π带入到球的表面积公式即可完成求解.11．D解析：D 【分析】取a αβ⋂=，且//m a ，//n a ，利用线面平行的判定定理可判断A 选项；根据αγ⊥，βγ⊥判断平面α与β的位置关系，可判断B 选项；设AB 、AC 的中点D 、E 在平面β内，记平面ABC 为平面α，判断出A 、B 、C 三点到平面β的距离相等，可判断C选项；过直线n 作平面γ，使得a αγ⋂=，利用线面平行、面面平行的判定定理可判断D 选项. 【详解】对于A 选项，若a αβ⋂=，且//m a ，//n a ，m β⊄,n β⊄,则//m β，βn//，但α与β相交；对于B 选项，若αγ⊥，βγ⊥，则α与β平行或相交；对于C 选项，设AB 、AC 的中点D 、E 在平面β内，记平面ABC 为平面α，如下图所示：D 、E 分别为AB 、AC 的中点，则//DE BC ，DE β⊂，BC β⊄，//BC β∴，所以，点B 、C 到平面β的距离相等，由于D 为AB 的中点，则点A 、B 到平面β的距离相等，所以，点A 、B 、C 三点到平面β的距离相等，但平面α与平面β相交； 对于D 选项，如下图所示：由于//n α，过直线n 作平面γ，使得a αγ⋂=，则//a n ，//n a ，a β⊄，n β⊂，//a β∴，//m β，m a A =，m α⊂，a α⊂，//αβ∴.故选：D. 【点睛】方法点睛：证明或判断两个平面平行的方法有： ①用定义，此类题目常用反证法来完成证明；②用判定定理或推论（即“线线平行”⇒“面面平行”），通过线面平行来完成证明； ③根据“垂直于同一条直线的两个平面平行”这一性质进行证明； ④借助“传递性”来完成．12．A解析：A 【分析】作出异面直线AM 和CN 所成的角，然后解三角形求出两条异面直线所成角的余弦值. 【详解】设,E F 分别是1,AB CC 的中点，由于,M N 分别是111,A B BB 的中点，结合正方体的性质可知11//,//B E AM B F CN ，所以1EB F ∠是异面直线AM 和CN 所成的角或其补角， 设异面直线AM 和CN 所成的角为θ，设正方体的边长为2，2211125B E B F ==+=，2221216EF =++=则1cos cos EB F θ=∠=55625255+-=⨯⨯.故选：A.【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形； （4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．二、填空题13．【分析】确定是等腰直角三角形的中点分别是和的外心由直棱柱性质得的外接球的球心在上外接球面与平面的交线是圆是以为圆心为半径的圆求出可得面积【详解】则设分别是的中点则分别是和的外心由直三棱柱的性质得平面 解析：4π【分析】确定ABC 是等腰直角三角形，11,AC A C 的中点1,D D 分别是ABC 和111A B C △的外心，由直棱柱性质得P ABC -的外接球的球心O 在1DD 上，外接球面与平面111A B C 的交线是圆，是以1D 为圆心，1D P 为半径的圆，求出1PD 可得面积． 【详解】4,2AB BC AC ===90ABC ∠=︒，设1,D D 分别是11,AC A C 的中点，则1,D D 分别是ABC 和111A B C △的外心，由直三棱柱的性质得1DD ⊥平面ABC ， 所以P ABC -的外接球的球心O 在1DD 上，如图，24()41OA ππ=，则412OP OA ==，2222413(22)22OD OA AD ⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭，所以11135422OD DD OD AA OD =-=-=-=， 222211415222PD OP OD ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， P ABC -的外接球面与平面111A B C 的交线是圆，是以1D 为圆心，1D P 为半径的圆，其面积为224S ππ=⨯=． 故答案为：4π．【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何中动点轨迹问题的求解，重点考查了几何体的外接球的有关问题的求解，关键是根据外接球的性质确定球心位置，结合勾股定理得出动点所满足的具体条件，结论：三棱锥的外接球的球心在过各面外心且与此面垂直的直线上．14．【分析】在矩形中作交于交于在翻折后的几何体中证得平面平面从而平面得是直线与平面所成的角设C 求得的范围后可得范围【详解】在矩形中作交于交于设由图易知∴即∴则在翻折后的几何体中又平面∴平面又平面∴平面平解析：(0,]6π【分析】在矩形ABCD 中作DO AF ⊥，交AF 于O ，交AB 于M ，在翻折后的几何体中，证得平面ODM ⊥平面ABCF ，从而DM ⊥平面ABCF ，得DFM ∠是直线FD 与平面ABCF 所成的角．设(01)CF x x =<<C ，求得sin θ的范围后可得θ范围．【详解】在矩形ABCD 中作DO AF ⊥，交AF 于O ，交AB 于M ， 设(01)CF x x =<<，AM t =，由图易知DAM FDA △△，∴AM AD DA DF =，即112t x =-，∴12t x=-，01x <<，则112t <<． 在翻折后的几何体中，AF OD ⊥，AF OM ⊥，又OD OM O =，,OD OM ⊂平面ODM ，∴AF ⊥平面ODM ，又AF ⊂平面ABCF ，∴平面ODM ⊥平面ABCF ，又平面ABD ⊥平面ABC AB =．平面ODM平面ABD DM =，∴DM ⊥平面ABCF ，连接MF ，则DFM ∠是直线FD 与平面ABCF 所成的角．DFM θ∠=，而21DM t =-，12DF x t=-=， ∴2422211sin 1()24DM t t t t t DF θ==-=-+=--+， ∵112t <<，∴2114t <<，∴10sin 2θ<≤，即06πθ<≤．故答案为：(0,]6π．【点睛】方法点睛：本题考查求直线与平面所成的角，求线面角常用方法：（1）定义法：作出直线与平面所成的角并证明，然后在直角三角形中计算可得； （2）向量法：建立空间直角坐标系，由直线的方向向量与平面的法向量夹角的余弦的绝对值等于直线与平面所成角的正弦值计算．15．【分析】由二面角的大小为可得平面平面得到平面由勾股定理可得答案【详解】连接所以是等边三角形所以因为为中点所以所以即所以因为平面平面平面平面所以平面平面所以所以故答案为：【点睛】对于翻折问题解题时要认解析：22 【分析】由二面角A ED C '--的大小为90，可得平面A ED '⊥平面EDCB ，得到A E '⊥平面EDCB ，由勾股定理可得答案.【详解】连接DB CE 、，2AB AD ==，60A ∠=，所以ABD △、CBD 是等边三角形， 所以2AD BD CD ===，因为E 为AB 中点，1AE A E '==， 所以DE AB ⊥，DE A E ⊥'，3DE =30EDB ∠=，所以90EDC ∠=，即DE CD ⊥，所以222347EC ED CD =+=+=，因为平面A ED '⊥平面EDCB ，DE A E ⊥'，平面A ED'平面EDCB DE =，所以A E '⊥平面EDCB ，EC ⊂平面EDCB ，所以A E EC '⊥， 所以221722A C A E EC ''=+=+=.故答案为：22.【点睛】对于翻折问题，解题时要认真分析图形，确定有关元素间的关系及翻折前后哪些量变了，哪些量没有变，根据线线、线面、面面关系正确作出判断，考查了学生的空间想象力..16．【分析】设圆锥的底面半径为球的半径为根据勾股定理可得根据圆锥的侧面积公式可得再根据球的表面积公式可得结果【详解】设圆锥的底面半径为球的半径为则圆锥的高为则球心到圆锥的底面的距离为根据勾股定理可得化简 解析：100π【分析】设圆锥的底面半径为r ，球O 的半径为R ，根据勾股定理可得53R r =，根据圆锥的侧面积公式可得3,5r R ==，再根据球的表面积公式可得结果. 【详解】设圆锥的底面半径为r ，球O 的半径为R ，则圆锥的高为3r ， 则球心O 到圆锥的底面的距离为3r R -， 根据勾股定理可得()2223R r r R =+-，化简得53R r =， 因为圆锥的高为3r ()22310r r r +=， 所以圆锥的侧面积为21010r r r ππ=， 210910r ππ=，解得r =3，所以5353R =⨯=， 所以球O 的表面积为24425100R πππ=⨯=. 故答案为：100π 【点睛】关键点点睛：利用圆锥的侧面积公式和球的表面积公式求解是解题关键.17．【分析】设为正方形的中心的中点为连接求出如图分别可求得大球与小球半径分别为和进而可得小球的体积【详解】解：由题中条件知底面四边形是边长为2的正方形设O 为正方形的中心的中点为M 连接则如图在截面中设N 为 解析：2π 【分析】设O 为正方形ABCD 的中心，AB 的中点为M ，连接PM ，OM ，PO ，求出OM ，PM ，PO ，如图，分别可求得大球1O 与小球2O 半径分别为22和24，进而可得小球的体积． 【详解】解：由题中条件知底面四边形ABCD 是边长为2的正方形.设O 为正方形ABCD 的中心，AB 的中点为M ，连接PM ，OM ，PO ，则1OM =，221013PM PA AM =-=-=，9122PO =-=，如图，在截面PMO 中，设N为球1O 与平面PAB 的切点，则N 在PM 上，且1O N PM ⊥，设球1O 的半径为R ，则1O N R =，∵1sin 3OM MPO PM ∠==，∴1113NO PO =，则13PO R =，11422PO PO OO R =+==，∴22R =，设球1O 与球2O 相切于点Q ，则22PQ PO R R =-=，设球2O 的半径为r ，同理可得4PQ r =，∴224R r ==，故小球2O 的体积3423V r ππ==.故答案为：224π．【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.18．【分析】取的中点连接可得所以或其补角即为异面直线与所成角在中求即可求解【详解】取的中点连接因为所以且所以或其补角即为异面直线与所成角设则所以因为是等边三角形所以因为平面平面所以所以在中因为异面直线所解析：310【分析】取11A C的中点1O，连接1EO，1AC，可得11//EO AC，所以1BEO∠或其补角即为异面直线1AC与BE所成角，在1BEO中，求1cos BEO∠即可求解.【详解】取11A C的中点1O，连接1EO，11B O，EB，EC，1BO，1AC，因为112AE A A=，所以11//EO AC且111=2EO AC，所以1BEO∠或其补角即为异面直线1AC与BE所成角，设1AB=，则12AA=，所以2211115=12222EO AC=+=，112BE=+=因为111A B C△是等边三角形，112AE A A=，所以2111312B O⎛⎫=-=⎪⎝⎭因为1BB⊥平面111A B C，11B O⊂平面111A B C，所以1BB⊥11B O，所以2221111319422BO BB B O⎛⎫=+=+=⎪⎪⎝⎭，在1BEO中，2221111519231044cos25222BE EO BOBEOBE EO+-+-∠===⨯⨯⨯，因为异面直线所成的角为锐角或直角， 所以异面直线1AC 与BE 所成角的余弦值为310， 故答案为：31020【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形； （4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．19．【分析】先画出直观图证明平面平面然后侧棱与底面ABC 所成的角即为根据题目中的数据算出即可【详解】如图作的中点连结因为侧面PBC 和底面ABC 都是边长为2的正三角形而为的中点所以又所以平面同时平面所以平解析：o 60. 【分析】先画出直观图，证明平面PAD ⊥平面ABC ，然后侧棱PA 与底面ABC 所成的角即为PAD ∠，根据题目中的数据算出即可.【详解】如图，作BC 的中点D ，连结AD 、PD 因为侧面PBC 和底面ABC 都是边长为2的正三角形 而D 为BC 的中点，所以BC PD ⊥，BC AD ⊥，又PD AD D ⋂=，所以BC ⊥平面PAD ，同时BC ⊂平面ABC 所以平面PAD ⊥平面ABC ，所以PAD ∠即为侧棱PA 与底面ABC 所成的角 由侧面PBC 和底面ABC 都是边长为2的正三角形得3AD PD ==3PA =所以PAD ∆为等边三角形，则=PAD ∠o 60 即侧棱PA 与底面ABC 所成的角为o 60 故答案为：o 60 【点睛】本题主要考查空间直线与平面所成角的计算，较简单.20．【分析】先根据三视图得到几何体是底面是直角三角形的一个三棱锥再根据锥体的体积计算公式求解即可【详解】利用正方体法还原三视图如图所示根据三视图可知该几何体是底面直角边为2的等腰直角三角形高为2的三棱锥解析：43. 【分析】先根据三视图得到几何体是底面是直角三角形的一个三棱锥，再根据锥体的体积计算公式求解即可. 【详解】利用正方体法还原三视图，如图所示，根据三视图，可知该几何体是底面直角边为2的等腰直角三角形，高为2的三棱锥S-ABC ，故其体积114222323V =⨯⨯⨯⨯=. 故答案为：43. 【点睛】本题主要考查三视图还原几何体，锥体的体积公式，考查考生的观察分析能力与空间想象能力及运算能力，属于中档题.三、解答题21．（1）证明见解析（2）证明见解析 【分析】（1）只要证明MN BC ⊥，EN BC ⊥，即得；（2）由（1）知MN ∥AB ，可得//AB 平面MNE ，又平面ABE ∩平面MNE ＝l ，利用线面平行推导出线线平行即可. 【详解】证明：（1）设BC 的中点为N ，连结MN ，EN ，如图，因为M 是AC 的中点，N 是BC 的中点， 所以MN ∥AB ， 因为AB ⊥BC ， 所以MN ⊥BC ，因为BE ⊥EC ，BE ＝EC ，N 是BC 的中点， 所以EN ⊥BC ，又MN ⊥BC ，MN ∩EN ＝N ，MN ⊂平面EMN ，EN ⊂平面EMN ， 所以BC ⊥平面EMN ， 又因为BC ⊂平面ABC ， 所以平面ABC ⊥平面EMN证明：（2）由（1）知MN ∥AB ，AB ⊄平面EMN , MN ⊂平面EMN , 所以//AB 平面MNE ， 又AB平面ABE ，且平面ABE ∩平面MNE ＝l ，所以l ∥AB. 【点睛】关键点点睛：利用线线平行可判定线面平行，根据线面平行的性质定理可得线线平行，注意图中没有平面ABE ∩平面MNE ＝l ，但利用性质定理即可证明. 22．（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）根据三角形中位线的性质，得到//EF AB ，利用线面平行的判定定理证得结果； （2）根据面面垂直的性质定理，得到BD ⊥平面ACD ，进而证得BD AC ⊥. 【详解】证明：（1）如图（2）：在ABC 中，E ､F 分别是AC ､BC 中点，得//EF AB ， 又AB ⊄平面DEF ，EF ⊂平面DEF ，//AB ∴平面DEF .（2）∵平面ACD ⊥平面BCD 且交线为CD ，BD CD ⊥，且BD ⊂平面BCD ， ∴BD ⊥平面ACD ，又AC ⊂平面ACD ∴BD AC ⊥.【点睛】方法点睛：该题考查的是有关空间关系的证明问题，解题方法如下：（1）熟练掌握线面平行的判定定理，在解题过程中，一定不要忘记线在面内、线在面外的条件；（2）根据面面垂直的条件，结合线线垂直，利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而证得线线垂直.23．（1）证明见解析；（2）823. 【分析】（1）连接AC 交BD 于点O ，连接EO ，利用三角形中位线定理可得//EO PC ，再由线面平行的判定定理可得结论；（2）先证明PO ⊥面ABCD ，由E 是PA 的中点，可得E 到面ABCD 的距离12PO =，再利用棱锥的体积公式可得答案. 【详解】（1）连接AC 交BD 于点O ，连接EO .四边形ABCD 为正方形，所以O 为AC 中点，又E 为PA 中点，//EO PC ∴，又EO ⊂面EBD ，PC ⊄面EBD ， //PC ∴面EBD .（2）正四棱锥P ABCD -中,PA PC =，O 是AC 的中点 PO AC ∴⊥，PD PB =，O 是BD 的中点 PO BD ∴⊥，又AC 与BD 在平面ABCD 内相交， 所以PO ⊥面ABCDE 是PA 的中点，E ∴到面ABCD 的距离12PO =， 221822,2ABD S AB AD PO PD DO ∆=⋅⋅==-=1323E ABD ABD PO V S -∆=⋅⋅=【点睛】方法点睛：证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面.24．（1）2a ；（2）①9；②3．【分析】（1）直接由体积公式计算；（2）取AB 的中点F ，连接1,,,EF FC EC BG ，得1EFCC 是矩形，由G 是DAB 的重心，EG ⊥平面DAB ，求出a ，①EBG ∠是直线EB 与平面DAB 所成的角，在直角三角形中计算可得； ②由点1A 到平面ABD 的距离等于点E 到平面ABD 的距离可得． 【详解】（1）由题意111221122ABC A B C ABC V S AA a a -=⋅=⨯=△； （2）如图，取AB 的中点F ，连接1,,,EF FC EC BG ， 由AC BC =，90ACB ∠=︒，F 是AB 中点得CF AB ⊥，12CF AB =，由直三棱柱111ABC A B C -可得1EFCC 是矩形，设CF x =，则ED FD ==，2EF =．11C D =，G 是DAB 的重心，则23DG DF ==GF =又EG ⊥平面DAB ，DF ⊂平面DAB ，∴EG DF ⊥，∴2222EF FG ED DG -=-，即222144(1)(1)(1)99x x x -+=+-+，解得x = ∴AC AB a ===①由EG ⊥平面DAB ，知EBG ∠是直线EB 与平面DAB 所成的角，EG ==3EB ==，∴BG ==。
数学北师大版高中必修2简单几何体单元测试
练习（1）1.下列说法不正确的是 （ )A.棱柱的面中，至少有两个面互相平行B.过圆锥轴的截面是一个等腰三角形C.梯形的直观图可能是平行四边形D.圆台中平行于底面的截面是圆面2. 点1O 为圆锥的高中靠近顶点的一个三等分点，过1O 与地面平行的截面面积是底面面积的 （ ）A ．13B ．23C ．14D ．193. 圆柱的轴截面是边长为5cm 的正方形ABCD ，则圆柱侧面上从A 到C 的最短距离是 （ ）A ．10cm Bcm C．cm D．cm 4.若圆锥的轴截面是一个面积为2的正三角形，那么其内接球的半径是（ ）A ．4π cmB ．6 cm Ccm Dcm5. 已知半径为5的球的两个平行截面的周长非别为6π和8π，则两个平行截面间的距离是（ ）A ．1B ．2C ．1或7D ．2或66. 如图所示是水平放置的三角形ABC 的直观图， '''//A B y 轴，则△ABC 是 （ ） A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形7. 将一个边长为a 的正方体，切成27个全等的小正方体，则其表面积增加了（ ）A ．26aB ．212aC ．218aD ．224a8. 圆台的上、下底面半径和高的比为1:4:4，母线长为10，则圆台的侧面积为（ ）A ．81πB ．100πC ．14πD ．169π9.若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（ ）10.右图是某几何体的直观图，其三视图正确的是（）11.用小立方块搭成一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，则它至少需要个小立方体。
12. 已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的全面积和侧面积的比是_______________ .13. 一个直角梯形的上、下底面和高的比值为1:，求它旋转后的圆台的上底面积、下底面面积和侧面积的比为______________.14. 两个球的表面积之差为48π，它们的大圆周长之和为12π，则这两个球的半径之差为_______________ .15. 一个正三棱锥的底面边长为6____16. 一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a的正方形和正三角形，则圆柱和圆锥的表面积之比是__________17.某天，小明在做家庭作业的时候，发现作业中的几何体图形不清楚，他打电话给同学刘凯求助，面对如图所示的几何体，刘凯应如何让描述？并画出其三视图18.如图所示，1111A B C D 是水平放置的平面图形的斜二测直观图，已知1111A B C D 是一个直角梯形，11111111A B C D D C D ⊥，，A ,且11B C 与,y 轴平行，又11111121912A B DC A D ===，，，试求梯形1111A B C D 的原图形ABCD 的面积。
北师大版高中数学必修2单元练习卷简单几何体
单元提分卷（1）简单几何体1、将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周,所形成的几何体包括( ) A.一个圆台、两个圆锥 B.两个圆台、一个圆柱 C.两个圆台、一个圆锥D.一个圆柱、两个圆锥2、如图所示,在ABC △中, 5,3,120AB BC ABC ==∠=︒.若将ABC △绕BC 所在的直线旋转一周,则所形成的旋转体的表面积是( )A. 303πB. 153πC. 103πD.53π3、下列说法中不正确的是( ) A.圆柱的侧面展开图是一个矩形B.直角三角形绕它的一条边所在直线旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥C.圆锥中过轴的截面是一个等腰三角形D.圆台中平行于底面的截面是圆面4、将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周,所得几何体的侧面积为( ) A. 4π B. 3π C. 2π D. π5、以边长为1的正方形的一边所在的直线为旋转轴,将该正方形绕轴旋转一周所得圆柱的侧面积等于( ) A. 2π B. π C. 2 D. 16、在ABC ∆中,2,120AB ABC =∠=oBC=1.5,,如图所示,若ABC ∆将绕BC 旋转一周,则所形成的旋转体的体积是( )A.92π B.72πC.52πD.32π 7、一个直角三角形绕斜边旋转360︒形成的空间几何体是( ) A.一个圆锥 B.一个圆锥和一个圆柱 C.两个圆锥 D.一个圆锥和一个圆台8、将直角三角形绕它的一边旋转一周, 形成的几何体一定是( ) A.圆锥 B.圆柱C.圆台D.以上均不正确9、将直角三角形绕其一条直角边所在的直线旋转一周,所得的几何体是( ) A.圆柱 B.圆台 C.圆锥 D.两个圆锥 10、曲线24y x =-与x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周,所得球的体积是( )A.643π B. 10πC. 323πD. 11π11、等腰三角形绕底边上的高所在的直线旋转180︒,所得几何体是__________. 12、以等腰梯形的对称轴为轴旋转一周,所形成的旋转体是__________.13、将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周,所得几何体的侧面积为 . 14、如图,在矩形ABCD 中, E 为边AD 的中点, 1AB =,2BC =,分别A ,D 以为圆心, 1为半径作圆弧EB ,EC ,若由两圆弧EB ,EC 及边BC 所围成的平面图形绕直线AD 旋转一周,则所形成的几何体的表面积为__________.15、直角梯形的一个内角为45o ,下底长为上底长的32倍,这个梯形绕下底所在直线旋转一周所成的旋转体的表面积为()52π+,则旋转体的体积为__________16、下列几何体是旋转体的是__________①圆柱; ②六棱锥; ③正方体; ④球体; ⑤四面体答案以及解析1答案及解析： 答案：D 解析：如图所示:2答案及解析： 答案：A 解析：ABC △绕直线BC 旋转一周,所形成的旋转体是一个大圆锥去掉一个小圆锥,是一个以A 到BC 的距离AO 为半径,母线为AC 的圆锥挖去同底的以AB 为母线的的圆锥的组合体,535sin 60cos602AO AB BO AB =︒=︒=,22225311722AC AO OC ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 所以该几何体的表面积为5353π7π5303πS =+=． 故选A ．3答案及解析： 答案：B解析：由旋转体体的概念可知,以直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥,当以斜边所在直线旋转一周时所形成的曲面围成的几何体是两个圆锥的组合体,故选B.4答案及解析： 答案：C解析：由题意可知该几何体是底面半径1r =,母线1l =的圆柱,故22112rl πππ==⨯⨯=.故选C.思路导引:所得几何体为圆柱,求出底面半径和母线后即可求侧面积.5答案及解析： 答案：A解析：由已知得圆柱的底面半径和高均为1,所以圆柱的侧面积为2π.故选A.6答案及解析： 答案 D解析 所形成的旋转体为大圆锥去掉一个小圆锥,其中两个圆锥的底面半径都为()sin 1803AB ABC -︒-∠=大圆锥的高为()cos 180 2.5BC AB ABC +⋅︒-∠=, 小圆锥的高为()cos 1801AB ABC ⋅︒-∠=,所以旋转体的体积()213 2.51 1.53V ππ=⋅-=,故选D7答案及解析： 答案：C 解析：8答案及解析： 答案：D 解析：9答案及解析： 答案：C 解析：将一个直角三角形绕一直角边所在直线旋转一周,所得的几何体为圆锥,故选C10答案及解析： 答案：C 解析：11答案及解析： 答案：圆锥解析：结合旋转体及圆锥的特征知,所得几何体为圆锥.12答案及解析： 答案：圆台解析：以等腰梯形的对称轴为轴旋转一周所形成的几何体是圆台.13答案及解析： 答案：2π解析：本题考查旋转体的概念及其侧面积的计算方法.由题意可知该几何体是底面半径1r =,母线1l =的圆柱,故22112rl πππ==⨯⨯=.14答案及解析：答案：8π解析：绕直线AD 旋转一周,圆弧EC ,BE 旋转形成两个半球面, BC 旋转形成圆柱面. ∴Q 此几何体的表面积为4228πππ+⨯=.15答案及解析： 答案：73π 解析：如图所示的是旋转体的半轴截面,设直角梯形的上底长为r,则下底长为32r , 45,C ∠=︒所以2,2r DE DC ==, 所以旋转体的表面积为S 表(2222252.4224r r r r ππππ=⋅+⋅+⋅=+ 又因为S 表(52,π=所以24r =,所以2r =,所以221723223r r r V r πππ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅+⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭16答案及解析： 答案：①④ 解析：。
高一北师大版数学必修2第一章 立体几何初步练习题含答案解析 双基限时练12
双基限时练(十二)一、选择题1．下列说法中错误的是()A．如果α⊥β，那么α内的所有直线都垂直βB．如果一条直线垂直于一个平面，那么此直线必垂直于这个平面内的所有直线C．如果一个平面通过另一个平面的垂线，那么两个平面互相垂直D．如果α不垂直于β，那么α内一定不存在垂直于β的直线解析根据两平面垂直的性质定理，可知A不对，故选A.答案AA．若α∥β，lα，nβ，则l∥nB．若α⊥β，lα，则l⊥βC．若l⊥n，m⊥n，则l∥mD．若l⊥α，l∥β，则α⊥β解析由l⊥α，l∥β，知在β内一定能找到一条直线l′使得l′∥l，又l⊥α，∴l′⊥α，故α⊥β，故D正确．答案D3.在空间四边形ABCD中，若AB＝BC，AD＝CD，E为对角线AC 的中点，下列判断正确的是()A．平面ABD⊥平面BDCB．平面ABC⊥平面ABDC．平面ABC⊥平面ADCD．平面ABC⊥平面BED解析∵AB＝BC，E为AC的中点，∴AC⊥BE，同理AC⊥ED，又BE∩ED＝E，∴AC⊥面BED，又AC面ABC，∴面ABC⊥面BED.答案D4．在正三棱锥P－ABC中，D，E分别为AB，BC的中点，有下列三个论断：①面APC⊥面PBD；②AC∥面PDE；③AB⊥面PDC，其中正确论断的个数为()A．0 B．1C．2 D．3解析①不正确，②③正确．答案C5．如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥面ABC，∠BAC＝90°，则二面角B—PA—C的平面角是()A．90° B．60°C．45° D．30°解析∵PA⊥面ABC，∴PA⊥AB，PA⊥AC.∴∠BAC为二面角B—PA—C的平面角，又∠BAC＝90°，故答案为A.答案A6．在△ABC所在平面α外一点P满足PA＝PB＝PC，则点P在α内的射影是△ABC的()A．垂心B．内心C．外心D．重心解析设O为点P在平面α内的射影，∴PO⊥AO，PO⊥OC，PO⊥OB.又PA＝PB＝PC，∴OB＝OC＝OA，∴O为△ABC的外心．答案C二、填空题7．如图，四边形ABCD为正方形，PA⊥面ABCD，则平面PBD 与面PAC的关系是________．解析∵PA⊥面ABCD，BD面ABCD，∴BD⊥AP.又ABCD为正方形，∴BD⊥AC，又AC∩AP＝A，∴BD⊥面PAC，而BD面PBD，∴面PBD⊥面PAC.答案面PBD⊥面PAC答案①③⇒②9．AB是圆O的直径，C是圆上异于A，B的任意一点，PA垂直于圆O所在的平面，则△PAB，△PAC，△ABC，△PBC中共有________个直角三角形．解析∵PA⊥面ABC，∴△PAB，△PAC均为直角三角形，又AB为直径，∴AC⊥BC，∴△ABC为直角三角形，且BC⊥面PAC，∴△PBC为直角三角形．答案4三、解答题10．如图四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PD⊥面ABCD，E 在棱PB上，求证：面AEC⊥面PBD.证明∵PD⊥面ABCD，AC面ABCD，∴AC⊥PD.又ABCD为正方形，∴AC⊥BD.又PD∩BD＝D，∴AC⊥面PBD.又AC面AEC，∴面AEC⊥面PBD.11．如图，DA⊥面ABC，∠ABC＝90°，AE⊥DB，点F在DC 上，求证：平面DBC⊥平面AEF.证明∵DA⊥平面ABC，BC平面ABC，∴DA⊥BC.∵∠ABC＝90°，∴AB⊥BC.∵DA∩AB＝A，∴BC⊥平面DAB.∵AE平面DAB，∴BC⊥AE.又∵AE⊥DB，DB∩BC＝B，∴AE⊥平面DBC.又∵AE平面AEF，∴平面DBC⊥平面AEF.12．如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB＝BC，D是AC的中点．(1)求证：B1C∥面A1BD；(2)求证：面A1BD⊥面ACC1A1.证明(1)设AB1与A1B相交于点E，连接DE，则E为AB1的中点．在△AB1C中，D为AC的中点，E为AB1的中点，∴DE∥B1C.又∵DE平面A1BD，B1C平面A1BD，∴B1C∥面A1BD.(2)在△ABC中，AB＝BC，D是AC的中点，∴BD⊥AC.∵AA1⊥平面ABC，∴AA1⊥BD.又∵AA1∩AC＝A，∴BD⊥平面ACC1A1.又BD平面A1BD，∴面A1BD⊥面ACC1A1.思维探究13．如图所示，已知在△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，E，F分别是AC，AD上的动点，且AE AC＝AFAD＝λ(0<λ<1)．求证：不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC.证明∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD.∵CD⊥BC且AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC.又∵AEAC＝AFAD＝λ(0<λ<1)，∴不论λ为何值，恒有EF∥CD，∴EF⊥平面ABC.又EF平面BEF，∴不论λ为何值恒有平面BEF⊥平面ABC.。
高中数学 第一章 立体几何初步 1.1.1 简单旋转体课时作业(含解析)北师大版必修2-北师大版高一
第一章立体几何初步课时作业1简单旋转体时间：45分钟——基础巩固类——一、选择题1．下列几何体中是旋转体的是(D)①圆柱；②六棱锥；③正方体；④球；⑤四面体．A．①和⑤B．①C．③和④D．①和④解析：①圆柱是旋转体；④球是旋转体；②③⑤不是旋转体．2．以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体是(C)A．球B．圆锥C．圆柱D．圆台解析：根据圆柱的定义，在矩形中，以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体是圆柱．3．圆台的所有母线的位置关系是(C)A．平行B．在同一平面内C．延长后交于一点D．垂直解析：圆台是由平行于圆锥底面的截面截圆锥而得到的，所以圆台的母线延长后交于一点．4．以一个等边三角形底边所在的直线为旋转轴旋转一周所得的几何体是(C)A．一个圆柱B．一个圆锥C．两个同底面的圆锥D．一个圆台5．有下列命题：①圆柱的轴截面是过母线的截面中最大的；②用任意一个平面去截球体得到的截面一定是一个圆面；③用任意一个平面去截圆锥得到的截面一定是一个圆．其中正确命题的个数是(C)A．0 B．1C．2 D．3解析：由圆柱与球的结构特征可知①②正确．故选C.6. 已知球的两个平行截面的面积分别为9π和16π，它们位于球心的同一侧，且相距为1，那么这个球的半径是(B)A．4 B．5C．3 D．3 2解析：如图，设球的半径为R，两截面圆的半径分别为r1，r2，则πr21＝9π，πr22＝16π，∴r1＝3，r2＝4.又O1O2＝1，取OO2＝x，则有R2＝9＋(x＋1)2，R2＝16＋x2，∴9＋(x＋1)2＝16＋x2，∴x＝3，∴R＝5.7．用一个平面去截一个几何体，得到的截面是四边形，这个几何体可能是(B) A．圆锥B．圆柱C．球体D．以上都有可能解析：用一个平面去截一个圆锥，得到的图形不可能是四边形，故A不满足要求；用一个平面去截一个圆柱，得到的图形可能是四边形，故B满足要求；用一个平面去截一个球体，得到的图形只能是圆面，故C不满足要求．故选B.8．圆锥的侧面展开图是直径为a的半圆面，那么此圆锥的轴截面是(A)A．等边三角形B．等腰直角三角形C．顶角为30°的等腰三角形D ．其他等腰三角形解析：因为圆锥的侧面展开图是直径为a 的半圆面，所以圆锥的底面圆的直径为a2，母线长也为a2，所以此圆锥的轴截面是等边三角形．二、填空题9．轴截面是直角三角形的圆锥的底面半径为r ，则其轴截面面积为r 2.解析：由圆锥的结构特征，可知轴截面为等腰直角三角形，其高为r ，∴S ＝12×2r 2＝r 2.10．用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为116，截去的圆锥的母线长是3 cm ，则圆台的母线长为9_cm.解析：如图，作轴截面，利用相似比，由上、下两底面积之比为116，设圆台的母线长为l ，截得圆台的上、下底面半径分别为r,4r .根据相似三角形的性质知33＋l ＝r4r ，解得l ＝9 cm. 所以，圆台的母线长为9 cm.11．已知圆锥母线与旋转轴所成的角为30°，母线的长为2，则其底面面积为π2.解析：如图所示，过圆锥的旋转轴作其轴截面ABC ，设圆锥的底面半径为r .∵△ABC 为等腰三角形， ∴△ABO 为直角三角形． 又∵∠BAO ＝30°， ∴BO ＝r ＝12AB ＝22.∴底面圆O 的面积为S ＝πr 2＝π2.三、解答题12．把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是14，母线长是10 cm ，求圆锥的母线长．解：设圆锥的母线长为y cm ，圆台上、下底面半径分别为x cm 、4x cm ，作圆锥的轴截面如图所示，在Rt △SOA 中， O ′A ′∥OA ，∴SA ′SA ＝O ′A ′OA ，即(y －10)y ＝x4x ，解得y ＝403，故圆锥的母线长为403cm.13．从一个底面半径和高都是R 的圆柱中，挖去一个以圆柱上底面为底，下底面中心为顶点的圆锥，得到如图所示的几何体．用一个与圆柱下底面距离等于l 并且平行于底面的平面去截此几何体，求所得截面的面积．提示：圆柱中挖去圆锥后的几何体被平行于底面的平面所截得的截面是一个圆环面，它是由圆柱被截得的圆面去掉一个圆锥被截得的同心圆面而得到的，作出轴截面再求解．解：轴截面如图所示．被平行于下底面的平面所截的圆柱的截面圆的半径O 1C ＝R ，设圆锥的截面圆的半径O 1D 为x .∵OA ＝AB ＝R ，∴△OAB 是等腰直角三角形． 又∵CD ∥OA ，∴CD ＝BC ， ∴OA －CD ＝AB －BC ，即x ＝l . ∴截面面积S ＝πR 2－πl 2＝π(R 2－l 2)．——能力提升类——14．向高为H 的水瓶中以恒定的速度注水，注满为止，如果注水量V 与水深h 的函数关系的图象如下图(1)所示，那么水瓶的形状是(下图(2)所示)( B )解析：令h ＝H2，由图象知此时注水体积大于几何体体积的一半，所以B 正确．15．一个圆锥的底面半径为3，高为5，在其中有一个高为x 的内接圆柱． (1)用x 表示圆柱的轴截面面积S . (2)当x 为何值时，S 最大？提示：应用轴截面中的平行关系列比例式，构建内接圆柱的底面半径与x 的等量关系即可．解：(1)如图，设内接圆柱的底面圆半径为r ，由已知得5－x 5＝r 3，所以r ＝15－3x 5.所以S ＝2·15－3x 5·x ＝－65x 2＋6x ，其中0<x <5.(2)当x ＝－62×(－65)＝52时，S 最大．。
(2021年整理)北师大版高中数学必修2第一章立体几何初步单元测试(带答案)
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第一章 立体几何初步一、选择题（本大题共10小题,每小题5分，共50分） 1、下列命题正确的是 （ ）（A ）底面是正多边形的棱柱是正棱柱。
（B)六个面都是矩形的六面体是长方体. （C)圆锥是直角三角形绕其一边旋转而成的。
（D ）球的直径是连接球面上两点的线段.2、已知某几何体的俯视图是如右上图所示的矩形，正视图(或称主视图）是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．则该几何体的体积为（ )(A ）48 （B ）64 （C ）96 （D ）1923、长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在同一球面上，则球的表面积是( )（A ）25π （B ）50π (C ） 125π （D ）都不对 4、已知正方体外接球的体积是323π，那么正方体的棱长等于 （ ）（A ）22 （B)23 （C ）423 （D ）435、若l 、m 、n 是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（ )（A)若//,,l n αβαβ⊂⊂，则//l n （B)若,l αβα⊥⊂,则l β⊥ (C ）若,//l l αβ⊥，则αβ⊥ （D)若,l n m n ⊥⊥，则//l m6、下列命题中：（1）平行于同一直线的两个平面平行；（2）平行于同一平面的两个平面平行；(3)垂直于同一直线的两直线平行；（4）垂直于同一平面的两直线平行。
(常考题)北师大版高中数学必修二第一章《立体几何初步》测试题(有答案解析)(4)
一、选择题1．若圆锥的内切球（球面与圆锥的侧面以及底面都相切）的半径为1，当该圆锥体积取最小值时，该圆锥体积与其内切球体积比为（ ） A ．2：1B ．4：1C ．8：1D ．8：32．如图，在Rt ABC △中，1AC =，BC x =，D 是斜边AB 的中点，将BCD △沿直线CD 翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得CB AD ⊥，则x 的取值范围是（ ）A ．(0,3⎤⎦B ．2,22⎛⎤⎥ ⎝⎦C ．3,23D ．(]2,43．如图，在正四棱锥P ABCD -中，设直线PB 与直线DC 、平面ABCD 所成的角分别为α、β，二面角P CD B --的大小为γ，则（ ）A ．,αβγβ>>B ．,αβγβ><C ．,αβγβ<>D ．,αβγβ<<4．在三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，1BC AC ，且12AC BC =，则直线11B C 与平面1ABC 所成的角的大小为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°5．某几何体的三视图如图所示，其中网格纸的小正方形的边长是1，则该几何体外接球的体积为（ ）A ．323πB ．48πC ．323π D ．643π 6．已知点A ，B ，C 在半径为5的球面上，且214AB AC ==，27BC =，P 为球面上的动点，则三棱锥P ABC -体积的最大值为（ ） A ．5673B ．5273C ．4973D ．14737．已知平面图形PABCD ，ABCD 为矩形，4AB =，是以P 为顶点的等腰直角三角形，如图所示，将PAD △沿着AD 翻折至P AD '△，当四棱锥P ABCD '-体积的最大值为163，此时四棱锥P ABCD '-外接球的表面积为（ ）A ．12πB ．16πC ．24πD ．32π8．设有直线m ，n ，l 和平面α，β，下列四个命题中，正确的是（ ） A ．若//,//m n αα，则//m n B ．若//,//,//l m αβαβ，则//l m C ．若,m αβα⊥⊂，则m β⊥D ．若,,m m αββα⊥⊥⊄，则//m α9．如图是某个四面体的三视图，则下列结论正确的是（ ）A ．该四面体外接球的体积为48πB ．该四面体内切球的体积为23π C ．该四面体外接球的表面积为323π D ．该四面体内切球的表面积为2π10．某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为V ，该几何体所有棱的棱长之和为L ，则（ ）A ．8,14253V L ==+B ．8,1425V L ==+C ．8,16253V L ==+D ．8,1625VL ==+11．在三棱锥S ABC -中，SA ⊥底面ABC ，且22AB AC ==，30C ∠=，2SA =，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A ．20πB ．12πC ．8πD ．4π12．已知三棱锥D ABC -，记二面角C AB D --的平面角是θ，直线DA 与平面ABC 所成的角是1θ，直线DA 与BC 所成的角是2θ，则（ ） A ．1θθ≥B ．1θθ≤C ．2θθ≥D ．2θθ≤二、填空题13．如图，在三棱锥P ABC -中，点B 在以AC 为直径的圆上运动，PA ⊥平面,ABC AD PB ⊥，垂足为,D DE PC ⊥，垂足为E ，若23,2PA AC ==，则三棱锥P ADE -体积的最大值是_________．14．如图，平面四边形ABCD 中，1AB AD ==，2,3,BD CD BD CD ==⊥将其沿对角线BD 折成四面体A BCD '-，使平面A BD '⊥平面BCD ，则四面体A BCD '-的外接球的球心到平面ACD '的距离等于__________．15．如图，在矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，点E 为CD 的中点，F 为线段CE （端点除外）上一动点．现将DAF △沿AF 折起，使得平面ABD ⊥平面ABC ．设直线FD 与平面ABCF 所成角为θ，θ的取值范围为__________．16．已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为矩形，且所有顶点都在球O 的表面上，侧面PAB ⊥底面ABCD ，23PA PB ==，120APB ∠=︒，4=AD ，则球O 的表面积为_______.17．世界四大历史博物馆之首卢浮宫博物馆始建于1204年，原是法国的王宫，是法国文艺复兴时期最珍贵的建筑物之一，以收藏丰富的古典绘画和雕刻而闻名于世，卢浮宫玻璃金字塔为正四棱锥，且该正四棱锥的高为21米，底面边长为30米，是华人建筑大师贝聿铭设计的.若玻璃金字塔五个顶点恰好在一个球面上，则该球的半径为______米.18．如下图所示，三棱锥P ABC -外接球的半径为1，且PA 过球心，PAB △围绕棱PA 旋转60︒后恰好与PAC △重合.若3PB =，则三棱锥P ABC -的体积为_____________.19．如图，已知正四面体D ABC -，P 为线段AB 上的动点（端点除外），则二面角D PC B --的平面角的余弦值的取值范围是___________．20．若三棱锥S ABC -的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形，23AB =，7SA SB SC ===，则该三棱锥的外接球的表面积为__________．三、解答题21．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA AB =，点M 是棱PD 的中点.（1）求证：//PB 平面ACM ； （2）求三棱锥P ACM -的体积.22．将棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -沿平面11A BCD 截去一半（如图1所示）得到如图2所示的几何体，点E ，F 分别是BC ，DC 的中点.（Ⅰ）证明：EF ⊥平面1A AC ；（Ⅱ）求三棱锥1A D EF -的体积.23．如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，11,2AD AA AB ===，点E 是AB 的中点.（1）证明：1//BD 平面1A DE ； （2）证明：11D E A D ⊥；（3）求二面角1D EC D --的正切值.24．如图，在矩形ABCD 中，2AB AD =，M 为DC 的中点，将ADM △沿AM 折起使平面ADM ⊥平面ABCM .（1）求证：BM AD ⊥；（2）求直线DC 与平面DAB 所成角的正弦值.25．如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 为平行四边形，133,5,cos ,,5AD AB BAD BD DD E ==∠==是1CC 的中点．（Ⅰ）求证：平面DBE ⊥平面1ADD ； （Ⅱ）求点1C 到平面BDE 的距离．26．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，AP ⊥平面PCD ，E ，F 分别为PC ，AB 的中点求证：（1）平面PAD ⊥平面ABCD ； （2）//EF 平面PAD【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A 解析：A 【分析】根据三角形相似得出圆锥的底面半径和高的关系，根据体积公式和基本不等式得出答案． 【详解】设圆锥的高为h ，底面半径为r ，则当球面与圆锥的侧面以及底面都相切时，轴截面如图，由~AOE ACF 可得：22(1)11h r --=，即22r h h =-， ∴圆锥的体积22148[(2)4]33(2)323h V r h h h h ππππ===-++--．当且仅当22h -=，即4h =时取等号．∴该圆锥体积的最小值为83π． 内切球体积为43π． 该圆锥体积与其内切球体积比2:1． 故选：A ．【点睛】方法点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.2．A解析：A 【分析】取BC 中点E ，连接DE ，AE ，若CB AD ⊥，则可证明出BC ⊥平面ADE ，则可得BC AE ⊥. 根据题目中各边长的关系可得出AE ，AD 关于x 的表达式，然后在ADE 中，利用三边关系求解即可. 【详解】由题意得BC x =，则212x AD CD BD +===，如图所示，取BC 中点E ，翻折前，在图1中，连接DE ，CD ，则1122DE AC ==， 翻折后，在图2中，若CB AD ⊥，则有：∵BC DE ⊥，BC AD ⊥，AD DE D ⋂=，且,AD DE 平面ADE ，∴BC ⊥平面ADE ，∴BC AE ⊥，又BC AE ⊥，E 为BC 中点，∴1AB AC ==∴2114AE x =-212x AD +=， 在ADE 中，由三边关系得：22111124x x ++>-②221111224x x +<+-，③0x >； 由①②③可得03x <<．故选：A. 【点睛】本题考查折叠性问题，考查线面垂直的判定及性质在解题中的运用,解答本题的主要思路分析在于将异面直线间的垂直转化为线面垂直关系，即作出辅助线DE 与AE ，根据题目条件确定出BC ⊥平面ADE ，得到BC AE ⊥，从而通过几何条件求解.3．A解析：A 【分析】连接AC 、BD 交于O ，连PO ，取CD 的中点E ，连,OE PE ，根据正棱锥的性质可知，PCE α∠=，PCO β∠=，PEO γ∠=，再比较三个角的正弦值可得结果. 【详解】连接AC 、BD 交于O ，连PO ，取CD 的中点E ，连,OE PE ，如图：因为//AB CD ，所以PBA α∠=，又因为四棱锥P ABCD -为正四棱锥，所以PCE α∠=，由正四棱锥的性质可知，PO ⊥平面ABCD ，所以PCO β∠=， 易得OE CD ⊥，PE CD ⊥，所以PEO γ∠=， 因为sin PE PC α=，sin POPCβ=，且PE PO >，所以sin sin αβ>，又,αβ都是锐角，所以αβ>，因为sin PO PE γ=，sin POPCβ=，且PC PE >，所以sin sin γβ>，因为,βγ都是锐角，所以γβ>.故选：A 【点睛】关键点点睛：根据正棱锥的性质，利用异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的平面角的定义得到这三个角是解题关键，属于中档题.4．A解析：A【分析】证明CBA ∠就是BC 与平面1ABC 所成的角，求出此角后，利用11//B C BC 可得结论， 【详解】∵90BAC ∠=︒，12AC BC =，∴30CBA ∠=︒， ∵1BC AC ，AB AC ⊥，1BC ABB ，1,BC AB ⊂平面1ABC ，∴AC ⊥平面1ABC ，∴CBA ∠就是BC 与平面1ABC 所成的角，即BC 与平面1ABC 所成的角是30， ∵棱柱中11//B C BC ，∴11B C 与平面1ABC 所成的角的大小为30， 故选：A ．【点睛】思路点睛：本题考查求直线与平面所成的角，解题方法是定义法，即过直线一点作平面的垂直，得直线在平面上的射影，由直线与其射影的夹角得直线与平面所成的角，然后在直角三角形中求出此角．解题过程涉及三个步骤：一作出图形，二证明所作角是直线与平面所成的角，三是计算．5．A解析：A 【分析】由三视图可知，该几何体是四棱锥，其中四棱锥底面是边长为4的正方形，将四棱锥补成棱长为4的正方体，则该几何体的外接球就是正方体的外接球，进而可得答案. 【详解】由三视图可知，该几何体是如图所示的四棱锥P ABCD -， 其中四棱锥底面是边长为4的正方形，四棱锥的一条侧棱与底面垂直，四棱锥的高为4， 将四棱锥补成棱长为4的正方体， 则该几何体的外接球就是正方体的外接球， 外接球的直径2R 等于正方体的对角线长， 即24323R R =⇒=所以该几何体外接球的体积为()34233π⨯=323π，故选：A.【点睛】方法点睛：三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.6．A解析：A 【分析】求出球心到平面ABC 的距离，由这个距离加上球半径得P 到平面ABC 距离的最大值，再由体积公式可得P ABC -体积的最大值． 【详解】如图，M 是ABC 的外心，O 是球心，OM ⊥平面ABC ，当P 是MO 的延长线与球面交点时，P 到平面ABC 距离最大，由214AB AC ==，7BC =，得72cos 4214ACB ∠==，则14sin 4ACB ∠=， 21428sin 14AB AM CB ===∠，4AM =， 2222543OM OA AM =-=-=，358PM =+=，又1114sin 2142777224ABC S AC BC ACB =⋅⋅∠=⨯=△ 所以最大的15677833P ABC V -=⨯=． 故选：A ．【点睛】本题考查求三棱锥的体积，解题关键是确定三棱锥体积最大时P 点在球面上的位置，根据球的性质易得结论．当底面ABC 固定，M 是ABC 外心，当PM ⊥平面ABC ，且球心O 在线段PM 上时，P 到平面ABC 距离最大．7．C解析：C 【分析】分析出当平面P AD '⊥平面ABCD 时，四棱锥P ABCD '-的体积取最大值，求出AD 、P A '的长，然后将四棱锥P ABCD '-补成长方体P AMD QBNC '-，计算出该长方体的体对角线长，即为外接球的直径，进而可求得外接球的表面积. 【详解】取AD 的中点E ，连接P E '，由于P AD '△是以P '为顶点的等腰直角三角形，则P E AD '⊥，设AD x =，则1122P E AD x '==， 设二面角P AD B '--的平面角为θ，则四棱锥P ABCD '-的高为1sin 2h x θ=， 当90θ=时，max 12h x =， 矩形ABCD 的面积为4S AB AD x =⋅=，2111216433233P ABCD V Sh x x x '-=≤⨯⨯==，解得22x =将四棱锥P ABCD '-补成长方体P AMD QBNC '-， 所以，四棱锥P ABCD '-的外接球直径为22222226R P N P A P D P Q AD AB ''''==++=+=，则6R =，因此，四棱锥P ABCD '-的外接球的表面积为2424R ππ=. 故选：C.【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径； ③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.8．D解析：D 【分析】在A 中，m 与n 相交、平行或异面； 在B 中，l 与m 不一定平行，有可能相交； 在C 中，m ⊥β或m ∥β或m 与β相交；在D 中，由直线与平面垂直的性质与判定定理可得m ∥α．【详解】由直线m 、n ，和平面α、β，知：对于A ，若m ∥α，n ∥α，则m 与n 相交、平行或异面，故A 错误； 对于B ，若//,//,//l m αβαβ，l 与m 不一定平行，有可能相交，故B 错误； 对于C ，若α⊥β，m ⊂α，则m ⊥β或m ∥β或m 与β相交，故C 错误；对于D ，若α⊥β，m ⊥β，m ⊄α，则由直线与平面垂直的性质与判定定理得m ∥α，故D 正确．故选：D ． 【点睛】本题考查了命题真假的判断问题，考查了空间线线、线面、面面的位置关系的判定定理及推论的应用，体现符号语言与图形语言的相互转化，是中档题．9．D解析：D 【分析】先找到几何体原图，再求出几何体的外接球的半径和内切球的半径，再判断每一个选项得解. 【详解】由三视图得几何体为下图中的三棱锥A BCD -，AB ⊥平面BCD,AB =2CE DE ==,2BE =,由题得2CBD π∠=.设外接球的球心为,O 外接球的半径为R ，则OE ⊥平面BCD , 连接,OB OA ,取AB 中点F ,连接OF .由题得12OE BF AB ===,所以2222,R R =+∴=所以外接球的体积为343π⨯=，所以选项A 错误；所以外接球的表面积为2448ππ⨯=，所以选项C 错误；由题得AC AD ===所以△ACD △6=， 设内切球的半径为r ，则11111112446)243222232r ++⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯⨯⨯所以22r，所以内切球的体积为34323π⨯=，所以选项B 错误； 所以内切球的表面积为24()22ππ⨯=，所以选项D 正确. 故选：D【点睛】方法点睛：求几何体外接球的半径一般有两种方法:模型法和解三角形法.模型法就是把几何体放在长方体中，使几何体的顶点和长方体的若干个顶点重合，则几何体的外接球和长方体的外接球是重合的，长方体的外接球的半径22212r a b c =++就是几何体的外接球半径.如果已知中有多个垂直关系，可以考虑用此种方法.解三角形法就是找到球心O 和截面圆的圆心O '，找到OO '、球的半径OA 、截面圆的半径O A '确定的Rt OO A '△,再解Rt OO A '△求出球的半径OA .10．A解析：A 【分析】由三视图还原几何体，由棱锥的体积公式可得选项. 【详解】在如图所示的正方体1111ABCD A B C D -中，P ，E 分别为11,B C BC 的中点，该几何体为四棱锥P ABCD -，且PE ⊥平面ABCD ． 由三视图可知2AB =，则5,3PCPB PD PA ====，则21825681425,2233L V =++=+=⨯⨯=． 故选：A.【点睛】方法点睛：三视图问题的常见类型及解题策略：(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．11．A解析：A 【分析】利用正弦定理求出ABC 的外接圆直径2r ，利用公式()2222R r SA =+可计算得出三棱锥S ABC -的外接球直径，然后利用球体的表面积公式可求得结果. 【详解】如下图所示，设圆柱的底面半径为r ，母线长为h ，圆柱的外接球半径为R ，取圆柱的轴截面，则该圆柱的轴截面矩形的对角线的中点O 到圆柱底面圆上每个点的距离都等于R ，则O 为圆柱的外接球球心，由勾股定理可得()()22222r h R +=.本题中，SA ⊥平面ABC ，设ABC 的外接圆为圆1O ，可将三棱锥S ABC -内接于圆柱12O O ，如下图所示：设ABC 的外接圆直径为2r ，2SA h ==， 由正弦定理可得24sin ABrC==∠，，该三棱锥的外接球直径为2R ，则()222225R r h =+=.因此，三棱锥S ABC -的外接球的表面积为()224220R R πππ=⨯=. 故选：A. 【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径； ③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.12．A解析：A 【分析】设三棱锥D -ABC 是棱长为2的正四面体，取AB 中点E ，DC 中点M ，AC 中点M ，连结DE 、CE 、MN 、EN ，过D 作DO CE ⊥，交CE 于O ，连结AO ，则DEC θ∠=，1DAO θ∠=，2MNE θ∠=，排除B ，C ．当二面角C AB D --是直二面角时，2θθ≥，排除D ．由此能求出结果． 【详解】设三棱锥D -ABC 是棱长为2的正四面体，取AB 中点E ，DC 中点M ，AC 中点M ，连结DE 、CE 、MN 、EN ， 过D 作DO ⊥CE ，交CE 于O ，连结AO ，则DEC θ∠=，1DAO θ∠=，2MNE θ∠=，413DE CE ==-=2DC =，∴1cos 3233θ==⨯⨯，2233AO CO CE ===∴12333cos 33AO AD θ===， 取BC 中点F ，连结DF 、AF ，则DF BC ⊥，AF BC ⊥，又DF AF F ⋂=，∴BC ⊥平面AFD ，∴BC AD ⊥，∴290θ=︒， ∴21θθθ≥≥，排除B ，C ，当二面角C AB D --是直二面角时，2θθ≥，排除D ， 故选：A . 【点睛】关键点点睛：将三棱锥看成特殊的正四面体，采用排除法，充分理解线线角、线面角以及面面的概念是解题的关键.二、填空题13．【分析】由已知证明再由三角形相似列比例式可得证明利用基本不等式求得的最大值可得三棱锥体积的最大值【详解】由平面得又平面得又平面得而平面可得在中由得由得则由得又得即（当且仅当时等号成立）三棱锥体积的最解析：34【分析】由已知证明AE PC ⊥，再由三角形相似列比例式可得PE ，证明AD DE ⊥，利用基本不等式求得AD DE ⋅的最大值，可得三棱锥P ADE -体积的最大值． 【详解】由PA ⊥平面ABC ，得PA BC ⊥，又BC AB ⊥，PAAB A =，BC ∴⊥平面PAB ，得BC AD ⊥，又AD PB ⊥，PB BC B ⋂=，AD ∴⊥平面PBC ，得AD PC ⊥，而DE PC ⊥，AD DE D ⋂=， PC ∴⊥平面ADE ，可得AE PC ⊥．在Rt PAC △中，由2PA AC ==，得4PC =．由Rt PEA Rt PAC ∽，得PE PA PA PC =，则21234PA PE PC ===，由3PE =，PA =23AE =，又AD DE ⊥，2223AD DE AE ∴+==，得2232AD DE AD DE =+≥⋅， 即32AD DE⋅（当且仅当AD DE =时等号成立）， ∴三棱锥P ADE -体积的最大值是1111333323224AD DE PE ⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=．故答案为：34． 【点睛】方法点睛：解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理．14．【分析】取的中点为可证明为四面体外接球的球心利用等体积可得答案【详解】取的中点为连接因为平面平面平面平面平面故平面因为平面故因为故故又故平面因为平面故而为的中点故又所以故为四面体外接球的球心设球心到 解析：12【分析】取BC 的中点为M ，可证明M 为四面体A BCD '-外接球的球心，利用等体积可得答案. 【详解】取BC 的中点为M ，连接,A M DM '，因为平面A BD '⊥平面BCD ，BD CD ⊥，平面A BD'平面BCD BD =，CD ⊂平面BCD ，故CD ⊥平面A BD '， 因为BA '⊂平面A BD '，故CD BA '⊥，因为1A B A D ''==，2BD =222BD A B A D ''=+，故''⊥BA A D ，又A D DC D '⋂=，故'⊥BA 平面ACD '，因为A C '⊂平面ACD '，故A D A C ''⊥，而M 为BC 的中点，故MA MB MC '==，又BD DC ⊥，所以MD MB =，故M 为四面体A BCD '-外接球的球心.设球心M 到平面ACD '的距离为h ，因为2B A CD M A CD V V ''--=，所以11233A CDA CDS A B Sh '''=⨯，即12h =. 故答案为：12. 【点睛】本题考查四面体的外接球，此类问题一般是先确定球心的位置，再把球的半径放置在可解的平面图形中处理，如果球心的位置不易确定，则可以通过补体的方法来处理.15．【分析】在矩形中作交于交于在翻折后的几何体中证得平面平面从而平面得是直线与平面所成的角设C 求得的范围后可得范围【详解】在矩形中作交于交于设由图易知∴即∴则在翻折后的几何体中又平面∴平面又平面∴平面平解析：(0,]6π【分析】在矩形ABCD 中作DO AF ⊥，交AF 于O ，交AB 于M ，在翻折后的几何体中，证得平面ODM ⊥平面ABCF ，从而DM ⊥平面ABCF ，得DFM ∠是直线FD 与平面ABCF 所成的角．设(01)CF x x =<<C ，求得sin θ的范围后可得θ范围．【详解】在矩形ABCD 中作DO AF ⊥，交AF 于O ，交AB 于M ， 设(01)CF x x =<<，AM t =，由图易知DAM FDA △△，∴AM AD DA DF =，即112t x =-，∴12t x=-，01x <<，则112t <<． 在翻折后的几何体中，AF OD ⊥，AF OM ⊥，又OD OM O =，,OD OM ⊂平面ODM ，∴AF ⊥平面ODM ，又AF ⊂平面ABCF ，∴平面ODM ⊥平面ABCF ，又平面ABD ⊥平面ABC AB =．平面ODM平面ABD DM =，∴DM ⊥平面ABCF ，连接MF ，则DFM ∠是直线FD 与平面ABCF 所成的角．DFM θ∠=，而21DM t =-，12DF x t=-=， ∴2422211sin 1()24DM t t t t t DF θ==-=-+=--+， ∵112t <<，∴2114t <<，∴10sin 2θ<≤，即06πθ<≤．故答案为：(0,]6π．【点睛】方法点睛：本题考查求直线与平面所成的角，求线面角常用方法：（1）定义法：作出直线与平面所成的角并证明，然后在直角三角形中计算可得； （2）向量法：建立空间直角坐标系，由直线的方向向量与平面的法向量夹角的余弦的绝对值等于直线与平面所成角的正弦值计算．16．【分析】首先利用垂直关系和底面和侧面外接圆的圆心作出四棱锥外接球的球心再计算外接球的半径以及球的表面积【详解】连结交于点取中点连结并延长于点点是外接圆的圆心侧面底面侧面底面平面过点作平面侧面所以点是 解析：64π【分析】首先利用垂直关系和底面ABCD 和侧面ABCD 外接圆的圆心，作出四棱锥P ABCD -外接球的球心，再计算外接球的半径，以及球O 的表面积. 【详解】连结,AC BD ，交于点M ，取AB 中点N 连结AN ，MN ，并延长于点E ，点E 是PAB △外接圆的圆心，侧面PAB ⊥底面ABCD ，侧面PAB 底面ABCD AB =，MN AB ⊥ MN ∴⊥平面PAB ，过点M 作MO ⊥平面ABCD ，//EO MN ，EO ∴⊥侧面PAB ，所以点O 是四棱锥P ABCD -外接球的球心， 可知四边形MNEO 是矩形，右图，23PA PB ==，120APB ∠=，2cos306AB PB ∴==， 点E 是PAB △外接圆的圆心，sin 303PN PB ∴==，PBE △是等边三角形，23PE =， 2333NE ∴=-=，3MO ∴=，2211641322MC AC ==+=， 223134R OC MO MC ∴==+=+=，∴球O 的表面积2464S R ππ==故答案为：64π 【点睛】本题考查了球与几何体的综合问题，考查空间想象能力以及化归和计算能力，（1）当三棱锥的三条侧棱两两垂直时，并且侧棱长为,,a b c ，那么外接球的直径2222R a b c =++2）当有一条侧棱垂直于底面时，先找底面外接圆的圆心，过圆心做底面的垂线，球心在垂线上，根据垂直关系建立R 的方程.（3）而本题类型，需要过两个平面外接圆的圆心作面的垂线，垂线的交点就是球心.17．【分析】作出图形设球体的半径为根据几何关系可得出关于的等式进而可解得的值【详解】如下图所示：在正四棱锥中设为底面正方形的对角线的交点则底面由题意可得则设该球的半径为设球心为则由勾股定理可得即解得故答 解析：29714【分析】作出图形，设球体的半径为R ，根据几何关系可得出关于R 的等式，进而可解得R 的值. 【详解】 如下图所示：在正四棱锥P ABCD -中，设M 为底面正方形ABCD 的对角线的交点，则PM ⊥底面ABCD ，由题意可得21PM =，30AB =，2302BD ==，则152BM = 设该球的半径为R ，设球心为O ，则O PM ∈，由勾股定理可得222OB OM BM =+，即()(22221152R R =-+，解得29714R =. 故答案为：29714. 【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径； ③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.18．【分析】作于可证得平面得得等边三角形利用是球的直径得然后计算出再应用棱锥体积公式计算体积【详解】∵围绕棱旋转后恰好与重合∴作于连接则∴又过球心∴而∴同理由得平面∴故答案为：【点睛】易错点睛：本题考查解析：38【分析】作BH PA ⊥于H ，可证得PA ⊥平面BCH ，得60BHC ∠=︒，得等边三角形BCH ，利用PA 是球的直径，得PB AB ⊥，然后计算出BH ，再应用棱锥体积公式计算体积． 【详解】∵PAB △围绕棱PA 旋转60︒后恰好与PAC △重合， ∴PAB PAC ≅△△，作BH PA ⊥于H ，连接CH ，则,CH PA CH BH ⊥=，60BHC ∠=︒， ∴BC BH CH ==．又PA 过球心，∴PB AB ⊥，而2,3PA PB ==，∴1AB =，同理1AC =，313PB AB BH PA ⋅⨯===，223333344216BCH S BH ⎛⎫=⨯=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭△， 由BH PA ⊥，CH PA ⊥，CH BH H =，得PA ⊥平面BCH ，∴11333233168P ABC BCH V S PA -=⋅=⨯⨯=△． 故答案为：38．【点睛】易错点睛：本题考查求棱锥的体积，解题关键是作BH PA ⊥于H ，利用旋转重合，得PA ⊥平面BCH ，这样只要计算出BCH 的面积，即可得体积，这样作图可以得出60BHC ∠=︒，为旋转所形成的二面角的平面角，这里容易出错在误认为旋转60︒，即为60CAB ∠=︒．旋转60︒是旋转形成的二面角为60︒．应用作出二面角的平面角． 19．【分析】当点从点运动到点时二面角的平面角逐渐增大二面角的平面角最小趋于二面角的平面角最大趋于二面角的平面角的补角求出二面角的平面角和二面角的平面角即可【详解】当点从点运动到点时二面角的平面角逐渐增大解析：11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】当点P 从点A 运动到点B 时，二面角D PC B --的平面角逐渐增大，二面角D PC B --的平面角最小趋于二面角D AC B --的平面角，最大趋于二面角D BC A --的平面角的补角，求出二面角D AC B --的平面角和二面角D BC A --的平面角即可. 【详解】当点P 从点A 运动到点B 时，二面角D PC B --的平面角逐渐增大，二面角D PC B --的平面角最小趋于D AC B --的平面角，最大趋于二面角D BC A --的平面角的补角，设正四面体的棱长为2a ，如图所示，取AC 的中点E ，连接DE 、BE ， 易知DEB ∠为二面角D AC B --的平面角，3DE BE a ==，所以((()()()2223321cos 3233a a a DEB a a+-∠==⨯⨯， 同理可得：二面角D BC A --的平面角的补角的余弦值为13-， 故二面角D PC B --的平面角的余弦值的取值范围是11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭， 故答案为：11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查了二面角的平面角的求解，考查空间想象能力，属于中档题.20．【详解】取的中点由题意可得：所以面ABC 所以球心在直线上所以得所以 解析：494π【详解】取AB 的中点，由题意可得：2222,3,SD DC SD DC SC ==+=，所以,SD AB SD DC ⊥⊥，SD ⊥面ABC.所以球心在直线SD 上，所以()2232R R =+-，得74R =， 所以24944S R ππ==． 三、解答题21．（1）证明见解析；（2）23． 【分析】（1）连接BD 交AC 于点O ，由中位线定理得//OM PB ，从而得证线面平行； （2）由M 是PD 中点，得12M ACD P ACD V V --=，求出三棱锥P ACD -的体积后可得． 【详解】（1）如图，连接BD 交AC 于点O ，连接OM ，则O 是BD 中点，又M 是PD 中点， ∴//OM PB ，又PB ⊄平面ACM ，OM ⊂平面ACM ， 所以//PB 平面ACM ； （2）由已知12222ACDS=⨯⨯=，11422333P ACD ACD V S PA -=⋅=⨯⨯=△，又M 是PD 中点，所以1223M ACD P ACD V V --==， 所以23P ACM P ACD M ACD V V V ---=-=．【点睛】思路点睛：本题考查证明线面平行，求三棱锥的体积．求三棱锥的体积除掌握体积公式外，还需要注意割补法，不易求体积的三棱锥（或一个不规则的几何体）的体积可通过几个规则的几何体（柱、锥、台等）的体积加减求得．三棱锥的体积还可通过转化顶点，转移底面利用等体积法转化为求其他三棱锥的体积，从而得出结论． 22．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）1. 【分析】（Ⅰ）由BD AC ⊥和1A A BD ⊥，利用线面垂直的判定定理证得BD ⊥平面1A AC ，然后再由//BD EF 证明.（Ⅱ）由1D D ⊥平面ABCD ，则1D D 是三棱锥1D AEF -在平面AEF 上的高，然后利用等体积法11A D EF D AEF V V --=求解. 【详解】 （Ⅰ）如图所示：连接BD ，易知BD AC ⊥，因为1A A ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， 所以1A A BD ⊥，又1A A AC A =，所以BD ⊥平面1A AC .在CBD 中，点E ，F 分别是BC ，DC 的中点， 所以//BD EF . 所以EF ⊥平面1A AC .。