高二数学2.3抛物线,第1课时,抛物线及其标准方程(一)
高二数学抛物线及其标准方程1
X0 +
P67 3
————————————
— 2
p
y
（X0， y0) M
O F
．
x
X=-p/2
2 y = 2px（p＞0）表示抛物线的焦点在X轴的正
半轴上 p p 则F（ 2 ，0），l：x = 2
一条抛物线，由于它在坐标平面内 的位置不同，方程也不同，所以抛物线 的标准方程还有其它形式，
﹒ ﹒ ﹒
开口与y轴同向: x2=+2py 开口与y轴反向: x2=-2py
(p>0)
如何确定抛物线对称轴及开口方向
一次项变量对称轴（焦点位置）， 开口方向看正负
例1、（1）已知抛物线的标准方程是y2 = 6x，
求它的焦点坐标和准线方程；
（2）已知抛物线的方程是y = －6x2， 求它的焦点坐标和准线方程； （3）已知抛物线的焦点坐标是F（0，-2）， 求它的标准方程。
抛物线及其标准方程
复习：
椭圆、双曲线的第二定义：
与一个定点的距离和一条定直线的距离的比 是常数e的点的轨迹，当0＜e ＜1时，是椭圆
当e＞1时，是双曲线 当e=1时，它又是什么曲线 ？
l l M l M
F ·
F
·
e＞1
·
M
· F
0＜ e ＜ 1
e=1
请同学们思考两个问题
1、对抛物线已有了哪些认识？
y
图 形
o
焦
点
准
线
标准方程
x
y
o
x
y
o
x
﹒
o
y
x
怎样把抛物线位置特征 （标准位置）和方程的特 点（标准方程）统一起来？
2021_2022学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.1抛物线及其标准方程课件新人教A版选修1_
的形式,设出其标准方程,然后求出参数p的值,代入即得抛物线标准
方程.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
解:(1)由于焦点F到直线x=2的距离等于3,所以焦点坐标为(-1,0)或
(5,0).
2
当焦点坐标为(-1,0)时,设抛物线方程为y =-2px(p>0), 2 =1,2p=4,则
a>0时抛物线开口向上,当a<0时,抛物线开口向下.但当抛物线的开
口向左或向右时,方程为y2=±2px(p>0),表示一条曲线,不能称之为
二次函数.
特别提醒 抛物线的标准方程中参数p的几何意义是抛物线的焦点
到准线的距离,所以p的值永远大于0,当抛物线的标准方程中一次
项的系数为负值时,不要出现p<0的错误.
轴上(开口向左);
(3)若一次项的字母是y,则焦点就在y轴上,若其系数是正的,则焦点
就在y轴的正半轴上(开口向上),若系数是负的,焦点就在y轴的负半
轴上(开口向下).
2.抛物线与二次函数的关系:二次函数的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0),
当b,c为0时,y=ax2表示焦点在y轴上的抛物线,标准方程为x2= 1 y,当
于2,则抛物线的方程为(
)
8 3
2
A.x = y
16 3
2
B.x =
y
C.x2=8y
D.x2=16y
3
3
(2)已知抛物线C的准线与直线x=-3之间的距离等于5,则抛物线C的
标准方程为
.
探究一
探究二
探究三
高二数学抛物线及标准方程
(C) y2 = 4x
(B) y2 = - 8x
(D) y2 = 8x
(2) 抛物线x2 +y=0 的焦点位于 ( C )
(A) x轴的负半轴上 (B) x轴的正半轴上 (C) y轴的负半轴上 (D) y轴的正半轴上
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2 . 填空题:
(1) 焦点在直线3x－4y－12＝0上的抛物线
的标准方程为
y2 = 16x 或 x2 = -12x
(2) 经过点（－8,8）的抛物线的标准方程为
y2 = -8x 或 x2 = 8y
1 . 解：设直线与x轴，y轴交于点F1、F2 ， 将y＝0或x=0分别代入直线方程可解得 F1（4,0），F2（0,3），故所求抛物线 方程为： y2＝16x 或 x2＝-12y
2 . 解：因为点（－8,8）在第二象限，所以 抛物线开口向上或者开口向左，设抛 物线方程为y2=-2P1x或x2=2P2y,由x=-8时， y=8得：P1＝4，P2＝4， 所以：所求抛物线方程为： y2= - 8x 或 x2= 8y
1 . 抛物线的定义 :
平面内与一个定点F和一条定直线L的 距离相等的点的轨迹叫做 抛物线 ．点F叫
1、根据下列条件写出抛物线的标准方程： （1）焦点是F（3,0）； y2=12x
1 （2）准线方程是x=－ ； 4 y2=x
（3）焦点到准线的距离是2； y2=4x , y2=－4x , x2=4y , x2=－4y
已知抛物线的方程是x2 +4y=0， 求它的焦点坐标和准线方程. 解: 把 抛物线的方程x2 +4y=0化为标准方程， x2 =-4y． 所以p=2,
椭圆 (0<e<1)
高二数学最新课件-抛物线的定义及方程 精品
x
p2 2 p ( x ) y | x | 2 2
化简得
y2 = 2px（p＞0）
图
l y
O
形
标准方程
焦点坐标
准线方程
F
x
y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0) x2=-2py (p>0)
p ( ,0 ) 2 p ( ,0) 2 p (0， ) 2 p (0， ) 2
(3)
y2=-
5 x 2
(4)–x2+6y=0
(6) y=-3x2
(5) 2y2+3x=0
课堂练习
2.点M与点F（0,-2）的距离比它
到直线l：y-3=0的距离小1,
求点M的轨迹方程。
3.已知抛物线的焦点为（3,3)，
准线为x轴，求抛物线方程。
课堂练习
P64 T1,2,3,4
小 结 ：
1、抛物线的定义、标准方程和它 的焦点、准线、方程
p x 2 p x 2 p y 2 p y 2
y
l
O
F
x
y
F O
l y l
O F
x
x
课堂新授
例.(1)已知抛物线的标准方程是 y2=6x,
求它的焦点坐标和准线方程。
(2)已知抛物线的焦点坐标是F(0,-2), 求它的标准方程。
课堂练习
1.求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： (1) y2=-10x (2) x2=-8y
2、求标准方程（1）用定义；
（2）用待定系数法
课后作业
P69 习题2.3
T1
T3
距离相等的点的轨迹叫做抛物线。 点F叫做抛物线的焦点， 直线l 叫做抛物线的准线。
高中数学第二册(上)抛物线及其标准方程(1)
高中数学第二册(上)抛物线及其标准方程(1)教学目的：1．使学生掌握抛物线的定义，标准方程及其推导过程； 2．根据定义画出抛物线的草图3．使学生能熟练地运用坐标，进一步提高学生“应用数学”的水平 教学重点：抛物线的定义教学难点：抛物线标准方程的不同形式 授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析： “抛物线及其标准方程”是教材第八章第五节的内容，也是本章介绍的最后一种圆锥知识 学好本节对于完整地掌握二次曲线，有着不可替代的作用 作为教学大纲规定的重点内容，高考必考的考点，这节教材继续着力于教会学生运用坐标法解题以及培养学生的对立但抛物线的确定过程中只有一个定点，所以这里要从对e 值的讨论来导入新课教材利用教具演示引出抛物线定义，这种直观形象的过程类似于椭圆、双曲线定义引出 但这三者毕竟有着各自的特征，尤其是抛物线形成中依赖于一点一线而非两点，所以演示操作时除了讲出教材上的话之外还要适当与前面的椭圆、双曲像椭圆和双曲线一样，抛物线的标准方程不只一种形式，而是共有4种形式之多 为此应注意两点：一是要对四种方程形式进行列表对比，对其中的图形特征（如开口方向、顶点、对称轴等）也须作特别说明；二是要指出不能把抛物线当成双曲线的一支 当抛物线上的点第一课时主要内容为抛物线的定义、标准方程及其推导、课本中 第二课时的主要内容是课本中的例二、例三 教学过程：一、复习引入：椭圆的第二定义:一动点到定点的距离和它到一条定直线l 的距离的比是一个)1,0(内的常数e ，那么这其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数e 就是离心率2. 双曲线的第二定义：一动点到定点F 的距离与到一条定直线l 的距离之比是一个),1( 内的常数e ，那么这个点的轨迹叫做双曲线 其中定点叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线 常数e 是双曲线的离心3．问题：到定点距离与到定直线距离之比是定值e 的点的轨迹，当0<e<1时是椭圆，当e>1时是双曲线。
2.3.1抛物线的定义和标准方程
巩固强化
本节知识
教学反思
板书设计
2.通过之前椭圆与双曲线的学习，学生对解析几何既有兴趣，又感到运算的繁琐。解题的关键是牢牢抓住教学中的基本图形与基本知识点，以不变应万变.
3.利用多媒体以及软件GGB，充分发挥动画的作用，让知识点由静到动，可使学生对数学产生浓厚的兴趣.
学情分析
高二（16）班的学生，课堂活跃，求知欲强。但基础较为薄弱，思维习惯上也有待教师的指导.经过椭圆与双曲线的学习，学生基本掌握了研究圆锥曲线的有关问题与研究方法.知识的迁移作用可以在本节课中显示.学生经过前期的学习，已初步掌握了解析法思想和解析研究问题的能力，解决抛物线的一般问题已经具备一定的基础.
抛物线只有一条对称轴，该如何建系？
2.以开口向右的抛物线为例，给出三种不同的建系方式并作对比.
3.抛物的标准方程：教材 (表 ).
图形
焦点坐标
准线方程
标准方程
注意：（1）① 为正数；② 的几何意义.
（2）四种抛物线的标准方程的比较.
思考：如何通过抛物线的标准方程，确定焦点位置和开口方向？
归纳：“一次定焦点，正负定方向”
3.通过对抛物线相关问题的研究，培养学生分类讨论以及数形结合的思想.
重难点
重点
抛物线的定义及其标准方程的探索、发现与推导并会简单的应用.
难点
恰当建系推导抛物线的标准方程以及四种方程形式的比较.
教材分析
1.圆锥曲线是高中数学教学中的重点之一.抛物线是继圆、椭圆、双曲线之后的最后一种曲线.在教学中，充分利用知识点之间的联系进行教学.
1.抛物线的定义：教材
平面上，到一定点 和定直线 距离相等的点的轨迹.
其中，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线.
高中数学选修1课件1-2.3.1抛物线及其标准方程
C．y2＝－94x 或 x2＝43y D．y2，∴设抛物线方程为 y2＝－2px(p ＞0)或 x2＝2p′y(p′＞0)．
将点(－2,3)代入方程，得 p＝94，p′＝23，∴抛物线方程为 y2 ＝－92x 或 x2＝43y.
答案：D
3．抛物线 y2＝4x 的准线方程为________．
(4)对于直线方程 3x－4y－12＝0，令 x＝0，得 y＝－3；令 y＝ 0，得 x＝4，
所以抛物线的焦点为(0，－3)或(4,0)．
当焦点为(0，－3)时，p2＝3，所以 p＝6，此时抛物线的标准方 程为 x2＝－12y；
当焦点为(4,0)时，p2＝4，所以 p＝8，此时抛物线的标准方程为 y2＝16x.
若货船沿正中央航行，船宽 16 米，而当 x＝8 时， y＝－510×82＝－1.28， 即船体在 x＝±8 之间通过，B(8，－1.28)，此时 B 点距水面 6 ＋(－1.28)＝4.72(米)． 而船体高为 5 米，所以无法通行． 又因为 5－4.72＝0.28(米)，0.28÷0.04＝7， 150×7＝1 050(吨)， 所以若船通过增加货物通过桥孔，则要增加 1 050 吨，而船最 多还能装 1 000 吨货物，所以货船在现在状况下不能通过桥孔．
类型三 抛物线的实际应用 例 3 某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔，已知上部呈抛 物线型，跨度为 20 米，拱顶距水面 6 米，桥墩高出水面 4 米．现 有一货船欲过此孔，该货船水下宽度不超过 18 米，目前吃水线上 部中央船体高 5 米，宽 16 米，且该货船在现有状况下还可多装 1 000 吨货物，但每多装 150 吨货物，船体吃水线就要上升 0.04 米．若不 考虑水下深度，问：该货船在现在状况下能否直接或设法通过该桥 孔？为什么？
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3抛物线2.3.1抛物线及其标准方程学案(含解析)新人教A版选修1_1
§2.3抛物线2.3.1 抛物线及其标准方程学习目标 1.理解抛物线的定义及焦点、准线的概念.2.掌握抛物线的标准方程.3.明确抛物线标准方程中p的几何意义，能解决简单的求抛物线标准方程问题．知识点一抛物线的定义思考1 平面内，到两定点距离相等的点的轨迹是什么？答案连接两定点所得线段的垂直平分线．思考2 平面内，到一定点和一条定直线(点不在定直线上)距离相等的点的轨迹是直线还是曲线呢？答案曲线梳理(1)定义：平面内与一定点F和一条定直线l(不经过点F)距离相等的点的轨迹叫抛物线．(2)焦点：定点F叫抛物线的焦点．(3)准线：定直线l叫抛物线的准线．知识点二抛物线标准方程的几种形式特别提醒：(1)方程特点：焦点在x 轴上，x 是一次项，y 是平方项；焦点在y 轴上，y 是一次项，x 是平方项．(2)一次项表明焦点所在轴，它的符号表明开口方向，有如下口诀： 焦点轴一次项，符号确定开口向； 若y 是一次项，负时向下正向上； 若x 是一次项，负时向左正向右．1．到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线．( × ) 2．抛物线的方程都是y 关于x 的二次函数．( × ) 3．方程x 2＝2ay (a ≠0)是表示开口向上的抛物线．( × )类型一 求抛物线的标准方程例1 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程． (1) 过点(3，－4)；(2) 焦点在直线x ＋3y ＋15＝0上． 考点 抛物线的标准方程 题点 求抛物线方程解 (1)方法一 ∵点(3，－4)在第四象限，∴设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)或x 2＝－2p 1y (p 1>0)． 把点(3，－4)分别代入y 2＝2px 和x 2＝－2p 1y ， 得(－4)2＝2p ·3,32＝－2p 1·(－4)， 即2p ＝163，2p 1＝94.∴所求抛物线的标准方程为y 2＝163x 或x 2＝－94y .方法二 ∵点(3，－4)在第四象限，∴抛物线的方程可设为y 2＝ax (a ≠0)或x 2＝by (b ≠0)． 把点(3，－4)分别代入，可得a ＝163，b ＝－94.∴所求抛物线的标准方程为y 2＝163x 或x 2＝－94y .(2)令x ＝0得y ＝－5；令y ＝0得x ＝－15. ∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15,0)．∴所求抛物线的标准方程为x 2＝－20y 或y 2＝－60x . 反思与感悟 求抛物线的标准方程的关键与方法(1)关键：确定焦点在哪条坐标轴上，进而求方程的有关参数．(2)方法：①直接法，建立恰当坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出对应方程，化简方程．②直接根据定义求p ，最后写标准方程．③利用待定系数法设标准方程，找有关的方程组求系数． 跟踪训练1 已知抛物线的方程如下，求其焦点坐标和准线方程． (1)y 2＝－6x ； (2)3x 2＋5y ＝0； (3)y ＝4x 2； (4)y 2＝a 2x (a ≠0)． 考点 抛物线的几何性质题点 与准线、焦点有关的简单几何性质 解 (1)由方程y 2＝－6x ，知抛物线开口向左，2p ＝6，p ＝3，p 2＝32，所以焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，准线方程为x ＝32. (2)将3x 2＋5y ＝0变形为x 2＝－53y ，知抛物线开口向下， 2p ＝53，p ＝56，p 2＝512，所以焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－512，准线方程为y ＝512.(3)将y ＝4x 2化为x 2＝14y ，知抛物线开口向上， 2p ＝14，p ＝18，p 2＝116，所以焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116，准线方程为y ＝－116.(4)由方程y 2＝a 2x (a ≠0)知抛物线开口向右， 2p ＝a 2，p ＝a 22，p 2＝a 24，所以焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 24，0，准线方程为x ＝－a 24. 类型二 抛物线定义的应用例2 若动圆M 与圆C ：(x －2)2＋y 2＝1外切，又与直线x ＋1＝0相切，则动圆圆心的轨迹方程为________． 考点 抛物线的定义题点 由抛物线定义确定轨迹及轨迹方程 答案 y 2＝8x解析 设动圆圆心为M (x ，y )，半径为R ， 由已知可得定圆圆心为C (2,0)，半径r ＝1. 因为两圆外切，所以|MC |＝R ＋1. 又动圆M 与已知直线x ＋1＝0相切， 所以圆心M 到直线x ＋1＝0的距离d ＝R . 所以|MC |＝d ＋1.即动点M 到定点C (2,0)的距离等于它到定直线x ＋2＝0的距离．由抛物线的定义可知，点M 的轨迹是以C 为焦点，x ＋2＝0为准线的抛物线，且p2＝2，p ＝4，故其方程为y 2＝8x .反思与感悟 (1)确定定点与定直线(定点在定直线外)．(2)满足动点到定点与定直线的距离相等，便可确定动点轨迹为抛物线．跟踪训练2 若位于y 轴右侧的动点M 到F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0的距离比它到y 轴的距离大12，求点M 的轨迹方程．考点 抛物线的定义题点 由抛物线定义确定轨迹及轨迹方程解 由位于y 轴右侧的动点M 到F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0的距离比它到y 轴的距离大12， 所以动点M 到F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0的距离与它到直线l ：x ＝－12的距离相等．由抛物线的定义知动点M 的轨迹是以F 为焦点，l 为准线的抛物线(不包含原点)， 其方程应为y 2＝2px (p >0)的形式，而p 2＝12，所以p ＝1,2p ＝2， 故点M 的轨迹方程为y 2＝2x (x ≠0)． 类型三 抛物线的实际应用例3 如图所示，汽车前灯反光镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反光镜的轴垂直，灯泡位于抛物线的焦点处．已知灯口的直径是24cm ，灯深10cm ，那么灯泡与反光镜顶点(即截得抛物线的顶点)的距离为( ) A ．10cm B ．7.2cm C ．3.6cmD ．2.4cm考点 抛物线的标准方程 题点 抛物线方程的应用 答案 C解析 以截得抛物线的顶点为原点，以反光镜的轴为x 轴，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，点(10,12)在抛物线y 2＝2px 上，∴144＝2p ·10，∴p2＝3.6，∴灯泡与反光镜顶点的距离为3.6cm.反思与感悟 求抛物线实际应用的五个步骤 (1)建系：建立适当的坐标系．(2)设方程：设出合适的抛物线标准方程． (3)计算：通过计算求出抛物线的标准方程． (4)求解：求出需要求出的量．(5)还原：还原到实际问题中，从而解决实际问题．跟踪训练3 如图是抛物线型拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2m ，水面宽4m ．水位下降1m 后，水面宽________m. 考点 抛物线的标准方程题点 抛物线方程的应用 答案 2 6解析 以抛物线顶点为原点，以过原点平行于水面的直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为x 2＝－2py ，则点(2，－2)在抛物线上，代入可得p ＝1，所以x 2＝－2y .当y ＝－3时，x 2＝6，所以水面宽为26米．1．抛物线y ＝14x 2的准线方程是( )A ．y ＝－1B ．y ＝－2C ．x ＝－1D ．x ＝－2考点 抛物线的几何性质题点 与准线、焦点有关的简单几何性质 答案 A解析 由y ＝14x 2，得x 2＝4y ，则抛物线的焦点在y 轴正半轴上，且2p ＝4，即p ＝2，因此准线方程为y ＝－p2＝－1.2．设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是( ) A ．4B ．6C ．8D ．12 考点 抛物线的几何性质题点 与准线、焦点有关的简单几何性质 答案 B解析 由抛物线的定义可知，点P 到抛物线焦点的距离是4＋2＝6.3．已知抛物线x 2＝4y 上的一点M 到此抛物线的焦点的距离为2，则点M 的纵坐标是( ) A ．0B.12C ．1D ．2考点 抛物线的定义 题点 抛物线定义的直接应用 答案 C解析 根据抛物线方程可求得焦点坐标为F (0,1)，准线方程为y ＝－1，设M (x M ，y M )，根据抛物线定义，得y M ＋1＝2，解得y M ＝1.4．若点P 到点F (4,0)的距离比它到直线x ＋5＝0的距离少1，则动点P 的轨迹方程是________． 考点 抛物线的定义题点 由抛物线定义确定轨迹及轨迹方程 答案 y 2＝16x解析 ∵点P 到点F (4,0)的距离比它到直线x ＋5＝0的距离少1， ∴点P 到直线x ＝－4的距离和它到点(4,0)的距离相等．根据抛物线的定义可得点P 的轨迹是以点(4,0)为焦点，以直线x ＝－4为准线的抛物线，设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)， ∴p2＝4，∴动点P 的轨迹方程为y 2＝16x . 5．求适合下列条件的抛物线的标准方程： (1)焦点为(0，－2)； (2)准线方程为y ＝－1； (3)过点(－2，－1)； (4)焦点到准线的距离为8. 考点 抛物线的标准方程 题点 求抛物线方程解 (1)因为焦点在y 轴的负半轴上，p2＝2，即p ＝4，所以抛物线方程为x 2＝－8y .(2)∵焦点在y 轴正半轴上，且p2＝1，∴p ＝2，∴抛物线的标准方程为x 2＝4y . (3)点(－2，－1)在第三象限，分两种情况： 当焦点在x 轴上时，设其方程为y 2＝－2px ， 则1＝4p ，即p ＝14，∴抛物线方程为y 2＝－12x ；当焦点在y 轴上时，设其方程为x 2＝－2py ， 则4＝2p ，即p ＝2，∴抛物线方程为x 2＝－4y . (4)∵焦点到准线的距离为8，∴p ＝8，所以抛物线方程有四种形式y 2＝16x ，y 2＝－16x ，x 2＝16y ，x 2＝－16y .1．抛物线的定义中不要忽略条件：点F 不在直线l 上．2．确定抛物线的标准方程，从形式上看，只需求一个参数p ，但由于标准方程有四种类型．因此，还应确定开口方向，当开口方向不确定时，应进行分类讨论，有时也可设标准方程的统一形式，避免讨论，如焦点在x 轴上的抛物线标准方程可设为y 2＝2mx (m ≠0)，焦点在y 轴上的抛物线标准方程可设为x 2＝2my (m ≠0)．3．对于抛物线上的点，利用定义可以把其到焦点的距离转化为到准线的距离，也可以把其到准线的距离转化为到焦点的距离.一、选择题1．对抛物线y ＝4x 2，下列描述正确的是( ) A ．开口向上，焦点为(0,1) B ．开口向上，焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116C ．开口向右，焦点为(1,0)D ．开口向右，焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116 考点 抛物线的几何性质题点 与准线、焦点有关的简单几何性质 答案 B解析 由y ＝4x 2得x 2＝14y ，∴开口向上，焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116.2．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线的焦点坐标为( ) A ．(－1,0) B ．(1,0) C ．(0，－1)D ．(0,1)考点 抛物线的标准方程 题点 与准线、焦点有关的问题 答案 B解析 抛物线y 2＝2px (p >0)的准线方程为x ＝－p 2，由题设知－p2＝－1，即p ＝2，故焦点坐标为()1，0，故选B.3．过点A (3,0)且与y 轴相切的圆的圆心的轨迹为( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．直线D ．抛物线考点 抛物线的定义题点 由抛物线定义确定轨迹及轨迹方程 答案 D解析 设P 为满足条件的点，则点P 到点A 的距离等于点P 到y 轴的距离，即点P 在以点A 为焦点，y 轴为准线的抛物线上，所以点P 的轨迹为抛物线．故选D. 4．经过点P (4，－2)的抛物线的标准方程为( ) A ．y 2＝x 或x 2＝－8y B ．y 2＝x 或y 2＝8x C ．y 2＝－8x D ．x 2＝－8y考点 抛物线的标准方程 题点 求抛物线方程 答案 A解析 因为点P 在第四象限，所以抛物线开口向右或向下． 当开口向右时，设抛物线方程为y 2＝2p 1x (p 1>0)， 则(－2)2＝8p 1，所以p 1＝12，所以抛物线方程为y 2＝x .当开口向下时，设抛物线方程为x 2＝－2p 2y (p 2>0)， 则42＝4p 2，p 2＝4，所以抛物线方程为x 2＝－8y .5．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上的点P (m ，－2)到焦点的距离为4，则m 的值为( ) A ．4 B ．－2 C ．4或－4D ．12或－2考点 抛物线的标准方程 题点 抛物线方程的应用答案 C解析 由题可设抛物线的标准方程为x 2＝－2py (p >0)．由定义知点P 到准线的距离为4，故p2＋2＝4，∴p ＝4，∴x 2＝－8y .将点P 的坐标代入x 2＝－8y ，得m ＝±4.6．已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( ) A ．x 2＝833yB ．x 2＝1633yC ．x 2＝8yD ．x 2＝16y考点 抛物线的标准方程 题点 求抛物线的标准方程 答案 D解析 双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，由于ca ＝a 2＋b 2a 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2＝2，所以b a＝3，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±3x .抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，所以p22＝2，所以p ＝8，所以抛物线方程为x 2＝16y .7．O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝42，则△POF 的面积为( ) A ．2B ．22C ．23D ．4 考点 抛物线的定义 题点 由抛物线定义求点坐标 答案 C解析 抛物线C 的准线方程为x ＝－2，焦点F (2，0)，由|PF |＝42及抛物线的定义知，P 点的横坐标x P ＝32，从而纵坐标y P ＝±2 6.∴S △POF ＝12|OF |·|y P |＝12×2×26＝2 3.二、填空题8．若抛物线y ＝ax 2(a ≠0)的准线方程是y ＝2，则a ＝________. 考点 抛物线的标准方程 题点 与准线、焦点有关的问题答案 －18解析 y ＝ax 2可化为x 2＝1ay . ∵准线方程为y ＝2，∴a <0且－14a＝2， ∴a ＝－18. 9．抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是__________． 考点 抛物线的定义题点 由抛物线定义求点坐标答案 1516 解析 抛物线方程化为x 2＝14y ，准线为y ＝－116.由于点M 到焦点的距离为1，所以M 到准线的距离也为1，所以M 点的纵坐标等于1－116＝1516. 10．设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足，如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |＝________.考点 抛物线的定义题点 由抛物线定义求距离答案 8解析 如图所示，直线AF 的方程为y ＝－3(x －2)．与准线方程x ＝－2联立，得 A (－2,43)．设P (x 0,43)，代入抛物线y 2＝8x ，得8x 0＝48，∴x 0＝6.∴|PF |＝x 0＋2＝8.11．设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点A (0,2)．若线段FA 的中点B 在抛物线上，则点B 到该抛物线准线的距离为________．考点 抛物线的定义题点 由抛物线定义求距离答案 324解析 如图所示，由已知，得点B 的纵坐标为1，横坐标为p 4，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 4，1.将其代入y 2＝2px ，得1＝2p ×p 4，解得p ＝2，故点B 到准线的距离为p 2＋p 4＝3p 4＝324. 三、解答题 12．已知抛物线的顶点在原点，它的准线过x 2a 2－y 2b2＝1的一个焦点，且与x 轴垂直．又抛物线与此双曲线交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6，求抛物线和双曲线的方程． 考点 抛物线的几何性质题点 抛物线与其他曲线结合的有关问题解 因为交点在第一象限，抛物线的顶点在原点，其准线垂直于x 轴，所以可设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)．将点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6代入方程，得p ＝2，所以抛物线方程为y 2＝4x .准线方程为x ＝－1.由此知双曲线方程中c ＝1，焦点为(－1,0)，(1,0)，点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6到两焦点距离之差2a ＝1，所以双曲线的标准方程为x 214－y 234＝1. 13.如图，已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，点A 到抛物线准线的距离等于5，过点A 作AB 垂直于y 轴，垂足为点B ，OB 的中点为M .(1)求抛物线的方程；(2)过点M 作MN ⊥FA ，垂足为N ，求点N 的坐标．考点 抛物线的标准方程题点 求抛物线方程解 (1)抛物线y 2＝2px (p >0)的准线方程为x ＝－p 2， 于是4＋p 2＝5，p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝4x . (2)由题意得A (4,4)，B (0,4)，M (0,2)．又F (1,0)，所以k AF ＝43， 则FA 的方程为y ＝43(x －1)．因为MN ⊥FA ，所以k MN ＝－34， 则MN 的方程为y ＝－34x ＋2. 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－34x ＋2.y ＝43x －，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝85，y ＝45，所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫85，45. 四、探究与拓展 14．如果P 1，P 2，…，P n 是抛物线C ：y 2＝4x 上的点，它们的横坐标依次为x 1，x 2，…，x n ，F是抛物线C 的焦点，若x 1＋x 2＋…＋x n ＝10，则|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P n F |等于( )A ．n ＋10B ．n ＋20C ．2n ＋10D ．2n ＋20 考点 抛物线的定义题点 抛物线定义的直接应用答案 A解析 由抛物线的方程y 2＝4x 可知其焦点为(1,0)，准线为x ＝－1，由抛物线的定义可知|P 1F |＝x 1＋1，|P 2F |＝x 2＋1，…，|P n F |＝x n ＋1，所以|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P n F |＝x 1＋1＋x 2＋1＋…＋x n ＋1＝(x 1＋x 2＋…＋x n )＋n ＝n ＋10，故选A.15．已知曲线C 上的任意一点到定点F (1,0)的距离与到定直线x ＝－1的距离相等．(1)求曲线C 的方程；(2)若曲线C 上有两个定点A ，B 分别在其对称轴的上、下两侧，且|FA |＝2，|FB |＝5，求原点O 到直线AB 的距离．考点 抛物线的标准方程题点 求抛物线方程解 (1)因为曲线C 上任意一点到点F (1,0)的距离与到直线x ＝－1的距离相等， 所以曲线C 的轨迹是以F (1,0)为焦点的抛物线，且p 2＝1，所以曲线C 的方程为y 2＝4x . (2)由抛物线的定义结合|FA |＝2可得，A 到准线 x ＝－1的距离为2，即A 的横坐标为1，代入抛物线方程可得y ＝2， 即A (1,2)，同理可得B (4，－4)，故直线AB 的斜率k ＝2－－1－4＝－2， 故AB 的方程为y －2＝－2(x －1)，即2x ＋y －4＝0， 由点到直线的距离公式，得原点O 到直线AB 的距离为|－4|22＋12＝455.。
【高二数学】抛物线及其标准方程
即(x－3y＋2)2＝0，∴x－3y＋2＝0.
所以动点 P 的轨迹为直线．
抛物线标准方程的推导 l
求曲线方程 的基本步骤 是怎样的？
N M· ·F
想 一 想 ？
回顾求曲线方程一般步骤：
1.建系:建立直角坐标系. 2.设点:设点(x,y); 3. 列式:根据条件列出等式; 4. 化简:化简得到方程;
2
F (0, -
p )
2
p y=
2
抛物线的特征： 如何判断抛物线的焦点位置，开口方向？
第一：一次项的变量若为x（即y 关于x的函数）则焦点就在x轴（或y 轴）上。
第二：一次项的系数的正负决 定了开口方向
也就是说焦点与一次项变量一致 正负决定开口方向
研一研·问题探究、课堂更高效
例 2 已知抛物线的方程如下，求其焦点坐标和准线方程．
2p＝53，p＝56，p2＝152，
后再确定 开口、焦 点及准线
所以焦点坐标是0，－152，准线方程是 y＝152.
研一研·问题探究、课堂更高效
(32)p将＝y14＝，4px＝2 18化，为p2＝x21＝16，14y，知抛物线开口向上，
故 (4)焦由方点程坐y标2＝是a2x0，(a≠1160)，知抛准物线线方开程口是向y右＝，－2p＝116a.2，p＝a22， p2＝a42，故焦点坐标是a42，0，准线方程是 x＝－a42.
抛物线标准方程的推导
l
· N M
试 一
·试
K
F？
设焦点到准线的距离为常数P(P>0) 如何建立坐标系,求出抛物线的标 准方程呢？
抛物线标准方程的推导
y l
· H M ·x
高二数学抛物线及其标准方程(王勇)
2.3.1 抛物线及其标准方程江苏省昆山中学王勇一、教学目标1.掌握抛物线的定义、几何图形,会推导抛物线的标准方程；2.能够利用给定条件确定抛物线的位置和标准方程，能够根据抛物线的标准方程确定抛物线的焦点坐标和准线方程；3.通过“观察”、“思考”、“探究”与“合作交流”等一系列数学活动，培养学生观察、类比、分析、概括的能力以及逻辑思维的能力，使学生学会数学思考与推理，学会反思与感悟，形成良好的数学观。
并进一步感受坐标法及数形结合的思想；二、教学重点：抛物线的定义及标准方程三、教学难点抛物线定义的形成过程及不同位置抛物线标准方程的选择四、教学过程（一）创设问题情境：前面我们通过学习知道到两个定点的距离和为定值（大于两定点间的距离）的点的轨迹为椭圆，到两个定点的距离差的绝对值为定值（小于两定点间的距离）的点的轨迹为双曲线。
那么到一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹又是什么呢？设计意图：由于人教B 版不涉及圆锥曲线第二定义，因此依然从学生熟知的椭圆、双曲线第一定义出发引入新课，贴切自然。
（二）新知探究：引导学生通过交轨法寻找满足条件的几个点，运动后得到轨迹，教师通过几何画板演示。
学生无论通过预习还是初中已有知识都知道轨迹是抛物线。
设计意图：学生初中已经熟悉开口向上（下）的抛物线方程，教材首先研究开口向右的如果从第二定义出发，与椭圆、双曲线成一系列。
但人教版对第二定义不做要求，因此教师从学生熟悉的开口向上抛物线入手，自然亲切。
（三）定义教学：（板书：课题 抛物线及其标准方程）我们把平面内与一个定点F 和一条定直线l （l 不经过点F ）距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线.注意：l 不经过点F 这个条件学生容易忽视，一方面教师可以几何画板演示，另一方面可以在下面标准方程推导引入焦参数p 时提问：点和直线有几种位置关系，此时相应p 的范围如何？在推导出标准方程后指出0=p 轨迹方程依然适用，但此时为0=x ，图像为直线。
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2.3 抛物线
第1课时 抛物线及其标准方程（一）
一、知识与方法：
平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直
线l上)．定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．
方程022ppxy叫做抛物线的标准方程．
注意：它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，焦点坐标是F（2p,0），它的准线方程
是2px；
基础练习：
1、已知抛物线的焦点坐标是(0,3)，则该抛物线的标准方程为（ ）
A、212xy B、212xy C、212yx D、212yx
2、抛物线218yx的准线方程是（ ）
A、132x B、12x C、2y D、4y
3、抛物线24yx准线方程是 ；焦点坐标为 ；
4、抛物线24yx上一点M到焦点F的距离为5，则M到准线1x的距离为 ；M
点的坐标为 ；
5、抛物线22xpy过点(3,2)，则抛物线方程为 ；
巩固练习：
6、抛物线2116yx的焦点坐标是（ ）
A、1(0,)4 B、(0,4) C、1(,0)4 D、(4,0)
7、抛物线22ypx上横坐标为6的点到焦点的距离是10，则焦点到准线的距离是（ ）
A、4 B、8 C、16 Ｄ、３２
8、焦点在直线34120xy上的抛物线标准方程为（ ）
A、216xy或212yx B、216yx或212xy
C、216yx或212xy D、216xy或212yx
9、已知圆22670xyx与抛物线22(0)ypxp的准线相切，则p ；
10、若抛物线22(0)ypxp上有一点Ｍ，其横坐标为9，它到焦点的距离为１０，则
抛物线方程为 ；Ｍ点的坐标为 ；
11、已知抛物线过点(3,2)，则抛物线的标准方程为 ；
12、一抛物线拱桥跨度为52米，拱顶离水面6.5米，一竹排上载有一宽4米，高6米的大
木箱，问竹排能否安全通过？
能力提高：
13、双曲线221(,0)xymnmn的离心率为2，有一个焦点与抛物线24yx的焦点重合，
求,mn的值。
14、已知抛物线24xy，点P是此抛物线上一动点，点A坐标为（12，6），求点P到点A
的距离与到x轴的距离之和的最小值。