变化思考角度_确定参数取值
sin的象限正负-概述说明以及解释
sin的象限正负-概述说明以及解释1.引言1.1 概述在数学中，正弦函数（sin）是一种常见的三角函数，它在许多科学和工程领域中都有重要的应用。
正弦函数是一个周期性函数，它的图像呈现出波浪形状，可以描述振动、周期性变化等现象。
而在研究正弦函数的时候，我们经常会遇到一个重要的概念，那就是正负象限。
正负象限指的是平面直角坐标系中的四个部分，分别是第一象限、第二象限、第三象限和第四象限。
在这四个象限中，x轴和y轴的取值范围有所不同，从而使得正弦函数在不同象限中的取值和性质有所差异。
正负象限的理解对于研究和应用正弦函数是非常重要的。
通过了解正负象限的定义和概念，我们可以更好地理解正弦函数在不同象限中的取值范围和性质，从而更好地应用于实际问题的解决中。
本文将围绕着正负象限展开讨论，着重研究正弦函数在不同象限的取值范围和性质。
首先，我们将介绍正负象限的定义和概念，帮助读者对正负象限有一个清晰的认识。
然后，我们将深入分析sin函数在不同象限的特点和取值范围，探讨其图像的变化规律以及与其它数学概念的联系。
通过本文的阅读，读者将能够更全面地理解正负象限的重要性和应用，以及正弦函数在不同象限的性质。
同时，我们也将对正弦函数在不同象限的理解和应用进行思考，希望能够拓宽读者对正弦函数的认识，为实际问题的解决提供更多的思路和方法。
1.2文章结构1.2 文章结构本文将以sin函数为研究对象，讨论其在不同象限中的取值范围和性质。
文章共分为三个部分，即引言、正文和结论。
引言部分将对文章的背景和目的进行介绍。
首先，我们将简要概述sin 函数在数学中的重要性和应用，并介绍正负象限的定义。
随后，我们将详细阐述本文的研究目的和意义。
正文部分将分为两个部分，分别讨论正负象限的定义和概念以及sin 函数在不同象限的取值范围和性质。
在第2.1节中，我们将介绍正负象限的基本概念和定义，以帮助读者更好地理解后续内容。
在第2.2节中，我们将详细分析sin函数在不同象限中的取值范围和性质。
“一言堂”变为“一起议”
２０２４年３月下半月㊀教学研究㊀㊀㊀㊀一言堂 变为 一起议 :集体备课方式的进阶思考∗以 比较二次函数值的大小问题 为例◉江苏省南通市海门区东洲国际学校㊀张浩杰㊀章礼满㊀㊀集体备课作为学校最基本的教研模式与载体,是实现高质量备课的路径之一．传统集体备课的主要形式:主备或老教师的 一言堂 ,言完即收场．一是缺乏教材解读过程中的异质交流;二是缺少适切班情㊁学情的不同教学方案的个性研磨等．如何改变现状可从以下三点入手:一是让不同层次的教师抱团,把个体备课变为差异性共同体备课,让教师之间的交流成为一种必然;二是把主备说课变为差异性共同体之间的对话,形成互辩互证㊁互学互鉴的氛围;三是让教学设计先求同,再求异,后进行同课异构的课堂实践．如此, 一言堂 变为 一起议 ,让集体备课重新焕发生命力．下面以本校初三数学组研讨 比较二次函数值的大小问题 为例,与大家交流分享．１前期准备１．１研讨方向纵观南通市近几年中考涉及的二次函数的考题,发现２０１６年㊁２０１８年㊁２０２０年南通卷倒数２题或倒数３题,都设置了二次函数值的大小比较问题．对比三年的同类问题,显性的是问题的形式在变,隐性的是问题处理的策略不变,但问题解决的过程中,对学生思维品质的要求在逐年提升．１．２中考改编题例１㊀(２０１６年南通卷第２６题改编)平面直角坐标系x O y中,已知抛物线y＝x２＋２x＋m２＋２m＋２(m为常数),设(a,y１)和(a＋２,y２)是该抛物线上两点,请比较y２－y１与０的大小,并说明理由．例２㊀(２０１８年南通卷第２６题改编)在平面直角坐标系x O y中,已知抛物线y＝x２－２(k－１)x＋k２－５２k(k为常数),(２k,y１)和(２,y２)是该抛物线上两点,且y１＞y２,求k的取值范围．例３㊀(２０２０年南通卷第２５题改编)已知抛物线y＝－１２x２＋x经过B(３n－４,y１),C(５n＋６,y２)两点．(１)若n＜－５,试比较y１与y２的大小;(２)若B,C两点在直线x＝１的两侧,且y１＞y２,求n的取值范围．１．３小组构建与自备要求将本组教师分为３组(略)．各组组员针对以上三题完成如下任务:(１)分析试题结构;(２)根据试题结构自编１~２道同类题;(３)剖析解决此类问题的一般思路;(４)根据此主题完成一份教学设计．２研讨过程主持人:各位教师,今天的集体备课主要按照以下流程展开．(１)说试题结构;(２)说自主编题;(３)说试题通法;(４)说课例设计．在以上每一个环节中,各组可以进行相互补充与质疑．A组:试题的一般结构特征如图１所示．条件的呈现为点的横坐标是具体值或参数以及二次函数的解析式系数确定或含参数．问题的提出方向为比较两点的纵坐标的大小关系或已知两点纵坐标的大小关系求参数的取值范围．图１９１∗课题信息:南通市教育科学 十四五 规划课题 初中数学 伙伴式 备课共同体的建构与实践研究 ,课题编号为G H２０２１３５６．教学研究２０２４年３月下半月㊀㊀㊀B 组:纵观以上设计的试题,我们组觉得试题结构图可以更具体一点,归纳如图２所示．图２C 组:我们组认为,以上结构图应该加一点,若二次函数二次项系数或一次项系数与点的横坐标都含参,一般为同一参数．主持人:各组的交流,厘清了此类试题的一般结构特征,请各组说一说自编的同类问题．各组自编题汇总如下:(１)已知点A (２,y １),B (－１,y ２)在抛物线y ＝－１２x ２＋x 上,比较y １,y ２的大小关系．(２)已知点A (２,y １),B (－１,y ２)在抛物线y ＝－１２x ２＋m x 上,比较y １,y ２的大小关系．(３)已知点A (m ,y １),B (m ＋１,y ２)在抛物线y ＝x ２－２x ＋２上,比较y １,y ２的大小关系．(４)已知点A (m ,y １),B (２m ＋１,y ２)在抛物线y ＝x ２－２x ＋２上,比较y １,y ２的大小关系．(５)已知点A (m ,y １),B (２m ＋１,y ２)在抛物线y ＝x ２－２(m －１)x ＋２上,比较y １,y ２的大小关系．(６)已知点A (m ,y １),B (２m ＋１,y ２)在抛物线y ＝m x ２－２m x ＋２上,比较y １,y ２的大小关系．主持人:请各组交换自编题,分别做一下．做完之后,进一步完善解题策略,并以上述３道南通中考改编题或６道自编题中的一题为例进行说明．A 组:题１解法．方法１:由题意,得y １＝a ２＋２a ＋m ２＋２m ＋２,y ２＝(a ＋２)２＋２(a ＋２)＋m ２＋２m ＋２．所以y ２－y １＝４a ＋８．因此,当a ＝－２,y １＝y ２;当a ＞－２,y １＜y ２;当a ＜－２,y １＞y ２．方法２:当(a ,y １),(a ＋２,y ２)两点关于对称轴对称时,a ＝－２,y １＝y ２;当a ＞－２,y １＜y ２;当a ＜－２,y １＞y ２．归纳:二次函数值大小比较方法．(１)数的角度 作差比较．(２)形的角度 画简图,考虑点的特殊位置(函数值相等时),再分析点的运动变化特征．C 组:我们发现 距离法 对于比较函数值大小更直接．如自编题第１题,因为抛物线开口向下,对称轴为直线x ＝１,点离对称轴越远函数值越小,所以y １＞y ２．由此,比较函数值的大小,即比较点到对称轴的距离,结合函数图象的开口方向能快速确定函数值的大小关系．A 组:C 组的距离法 ,我们组在研讨的时候也提到过,但针对点含参或二次函数对称轴含参问题,学生在分类判断点相对于对称轴的位置时可能分辨不清,所以没有提出来．C 组:这个问题我们也想到了,可从形的角度破解．以题１为例,此题抛物线的对称轴为直线x ＝－１,A (a ,y １),B (a ＋２,y ２)两点到对称轴的距离分别表示为d A ＝|a ＋１|,d B ＝|a ＋３|,下面比较d A 与d B 的大图３小．可以借助于函数图象直观比较,如图３,画出d A ＝|a ＋１|,d B ＝|a ＋３|的图象．由图可知,当a ＞－２时,d A ＜d B ,则y １＜y ２;当a ＝－２时,d A ＝d B ,则y １＝y ２;当a ＜－２时,d A ＞d B ,则y １＞y ２．A 组:数形结合, 距离法 的确很方便．主持人:如果我们站在学生的立场,以上解法中,哪种策略学生更容易接受B 组:作差比较法,只需要代入求值,作差与０比较一下大小即可,符合学生的思维习惯．但有时代数式作差对学生运算能力的要求比较高．C 组:我们组认为作差比较法与 距离法 ,学生都能接受,因为这两种方法避免了分类讨论,直接㊁直观,易上手,出错率低．主持人:各位老师,我们知道,对于学生而言,老师讲与自己悟的结果是截然相反的．悟的载体是问题链,因此教学中,如何设置适切的问题链,让学生思维拾级而上,让问题解决的路径自然生成,让学生在思路的对比㊁体悟中,提升分析㊁解决问题的能力,显得尤为重要．如果围绕此话题上一节小专题课,你会设置哪些问题让学生经历体会㊁领悟㊁运用这一潜移默化过程,并使学生的解题思路豁然开朗?A 组:谈谈引入问题的思考．问题１㊀已知点A (１,y １),B (２,y ２)在抛物线y ＝－x ２－２x ＋１上,比较y １与y ２的大小．(你有哪些方法)设计意图:从最简单的问题入手,从数或形的角０２２０２４年３月下半月㊀教学研究㊀㊀㊀㊀度引导学生利用作法差或 距离法 比较大小．B组:我们组认为A组设计的容易诱发学生定势思维,因为点A,B在对称轴同侧,所以自然会想到利用增减性解决问题,不利于学生从不同角度思考解决路径,因此我们组认为点A,B最好分布在对称轴两侧．问题１㊀已知点A(－３,y１),B(２,y２)在抛物线y＝－x２－２x＋１上,比较y１与y２的大小．(你有哪些方法?)C组:考虑到前面两组的思考,我们不妨在抛物线上增加一个点．如,已知A(－３,y１),B(－２,y２), C(２,y３)是抛物线y＝－x２－２x＋１上的点,比较y１, y２,y３的大小关系．(你有哪些方法?)这样的话,若学生想不到 距离法 ,我们就有追问的空间,如,请比较y１,y３的大小,你是如何比较的?主持人:刚才各组从不同视角的交流拓展了我们选择的路径,哪种问题设计更适合本班的学情,唯有在课堂实践中才可以看出．哪后续问题如何设置B组:后续问题可以围绕 点的横坐标含参＋二次函数确定 与 点的横坐标含参＋二次函数系数含参 展开．至于其他类型不可能全部在课堂上解决,授之以鱼不如授之以渔,可以让学生课后进一步思考．问题２㊀已知A(m,y１),B(m＋１,y２)是抛物线y＝－x２－２x＋１上的点,比较y１,y２的大小．变式１㊀已知A(m,y１),B(２m＋１,y２)是抛物线y＝－x２－２x＋１上的点,比较y１,y２的大小．变式２㊀已知点A(m,y１),B(２m＋１,y２)在抛物线y＝－x２－２(m－１)x＋１上,比较y１,y２的大小．变式３㊀已知点A(m,y１),B(２m＋１,y２)在抛物线y＝m x２－２m x＋２上,比较y１,y２的大小．A组:对于问题２的设计我们组认同,但后面的变式不需要,可以让学生根据要求,自主编题,谈设计思路,进一步体悟问题的触类旁通．C组:认同A组观点,编题可以进一步引导学生认清试题结构,以及变的是什么㊁不变的又是什么,同时经历问题解决的方法对比,进而提炼通法．３课例形成(简案)问题１㊀方案一:已知点A(１,y１),B(２,y２)在抛物线y＝－x２－２x＋１上,比较y１与y２的大小．(你有哪些方法?)方案二:已知点A(－３,y１),B(２,y２)在抛物线y＝－x２－２x＋１上,比较y１与y２的大小．(你有哪些方法?)方案三:已知A(－３,y１),B(－２,y２),C(２,y３)是抛物线y＝－x２－２x＋１上的点,比较y１,y２,y３的大小关系．(你有哪些方法?)问题２㊀方案一:已知A(m,y１),B(m＋１,y２)是抛物线y＝－x２－２x＋１上的点,比较y１,y２的大小．变式１㊀已知A(m,y１),B(２m＋１,y２)是抛物线y＝－x２－２x＋１上的点,比较y１,y２的大小．变式２㊀已知点A(m,y１),B(２m＋１,y２)在抛物线y＝－x２－２(m－１)x＋１上,比较y１,y２的大小．变式３㊀已知点A(m,y１),B(２m＋１,y２)在抛物线y＝m x２－２m x＋２上,比较y１,y２的大小．方案二:(１)已知A(m,y１),B(m＋１,y２)是抛物线y＝－x２－２x＋１上的点,比较y１,y２的大小(２)类比问题２自主设计问题,并谈谈自己的设计意图．主持人:通过刚才的交流,我们形成了几种不同的教学设计方案,大家可以根据班情选择定案,真正满足本班学生的需要．４实践反思４．１ 一起议 ,让集体备课有效㊁有料众多教师 一起议 ,在平等㊁合作㊁分享的氛围中,更易产生 一石激起千层浪 的效果．如前面对 距离法 的研讨,经历了提出疑问㊁思考讨论㊁达成共识的过程．老师们收获的是思维的宽度与深度,享受的是思路上的恍然大悟．这样的集体备课有效也有料．４．２ 一起议 ,让集体备课 以学为本集体备课,就是要老师们一起 议 :学什么㊁如何学㊁学到什么程度㊁怎么评等基本问题．集体备课的思维指向应从求同走向求异,以学的尊重㊁学的进程㊁学的历程为中心,让教师根据自己班级学情选择适切的教学方案,满足不同学生的需求,让学生收获学的经验,真正落实 以学为本 理念．４．３ 一起议 ,让集体备课转型升级一起议 ,让集体备课过程多彩㊁设计多元㊁成果多样．纵观集体备课的整个流程,把备课㊁上课㊁评课的研究形成闭环,促进了集体备课的转型．这种转型可以消除主备㊁老教师的 一言堂 现象,呈现教师之间教学经验㊁创新思维㊁现代教育技术的互补．这种转型也可以升级为更高的平台与跳板,实现学校的课堂教学高效㊁教师成长速效㊁校本研修实效的三重提升．Z１２。
9.1图形的旋转-苏科版八年级数学下册教案
9.1 图形的旋转-苏科版八年级数学下册教案一、教学目标1.知道图形的旋转是指以某一点为中心，将图形按照一定角度旋转的变换。
2.知道图形旋转后的图形的特点：形状大小不变、位置发生变化、角度发生变化。
3.理解旋转图形的旋转中心及旋转角度的概念。
4.能够在平面直角坐标系中确定图形的旋转中心及旋转角度。
5.能够在平面直角坐标系中进行简单图形的旋转。
二、教学重点1.图形旋转后的特点: 形状大小不变、位置发生变化、角度发生变化。
2.旋转中心及旋转角度的概念和确定方法。
3.简单图形的旋转。
三、教学难点1.确定旋转中心及旋转角度的方法。
2.理解旋转后的图形特点。
四、课前准备1.教师制作PPT。
2.打印作业纸。
3.计算器。
4.笔、纸。
五、教学过程5.1 导入教师放上旋转图形的真实照片，让学生展开想象力，尝试描述和分析旋转前后图形的变化。
5.2 教学1.介绍图形的旋转概念并举例。
2.指导学生理解旋转中心及旋转角度的概念。
3.演示如何确定图形的旋转中心及旋转角度，并与学生一起练习。
4.对于简单图形，指导学生在平面直角坐标系中进行旋转，并通过练习巩固知识点。
5.3 练习让学生在作业纸上进行旋转图形的练习，检查练习情况并解答学生的问题。
5.4 总结教师对本节课的知识点进行总结，巩固学生的记忆。
六、课后作业1.完成作业纸上的练习题。
2.思考在生活中哪些物体可以用图形的旋转来形成新的视觉效果。
七、板书设计板书设计板书设计八、教学反思本节课主要讲解图形的旋转及其中心与角度的确定方法。
在教学过程中，我对课程的难点进行重点强调，并通过板书、PPT等方式将旋转图形的知识点进行图形化和可视化呈现，让学生更加深入地学习和理解。
同时，在练习环节，我采用了小组合作和个人思考两种不同的方式，让学生在思考和讨论中相互促进、共同提高。
通过这次教学，我认识到了学生在理解旋转过程中的难点，需要在接下来的教学中强化其思维能力和解决问题的能力，帮助学生更好地理解和应用此知识点。
6个数学核心素养
数学模型搭建了数学与外部世界的桥梁， 是数学应用的重要形式。数学建模是应用数学 解决实际问题的基本手段，也是推动数学发展 的动力。
目标：
通过高中数学课程的学习，
数学建模国的际表STE现M：课程旨在学加生强能 有 意 识 地 用 数 学 语 言
科学（Science）、表技术达 现实世界 ，发 现和提出
发建现立和和提 求（（（出 解TEMena问 模cgthhinn题 型eeomeloarigtniycg）s））、与的工数问 的融程学关题合联， 感 悟 数 学 与 现 实 之 间
检验和完善模型
学会用数学模型解决实际问 题，积累数学实践的经验
分析和解决问题
认识数学模型在科学、社会、
工程、技术诸多领域的作用，
平移、对称、旋转、折叠、展开、拆分、 组合、拉伸、压缩……,充分利用图形的变 化来分析、解决问题
增强运用几何直观和空间想象思考问题的意识； 形成数学直观，在具体的情境中感悟事物的本质。
直观和抽象是数学的两翼
无论是数学研究还是数学学习都需要 两者的相互支撑
直观和抽象作为数学素养的构成要素、分析数学问题
数学家希尔伯特（Hilbert）在其名著《直观 几何》一书中指出，图形可以帮助我们发现、 描述研究的问题；可以帮助我们寻求解决问 题的思路；可以帮助我们理解和记忆得到的 结果。几何直观在研究、学习数学中的价值 由此可见一般。
般）
例：运用数学抽象的思维方式 思考问题，把握问题的本质
这样，我们就有了共同的结构：
还可做进一步的推广：
b
a
通过抽象，把握对象的本质和基 本关系——模式识别
相似三角形的基本模式
例 等差数列
同构
公式进阶指南
公式进阶指南在学习数学和科学领域的人们来说，公式是解决问题和推导结论的重要工具。
然而，公式的应用也有一定的难度，特别是在解决更复杂的问题时。
为了帮助读者更好地掌握公式应用的技巧，本文将介绍一些公式进阶指南，以提升解题效率和准确性。
一、公式的理解和分类在应用公式之前，首先要对公式有一个全面的理解。
公式是数学或科学中表达关系的符号组合，用来描述变量之间的关联。
根据公式的形式和内容，可以将其分为不同的类型。
1. 线性公式：线性公式是由一次项组成的公式，例如 y = mx + b。
其中，m 是斜率，b 是截距，x 和 y 表示变量。
2. 二次公式：二次公式包含了一个二次项，例如 y = ax^2 + bx + c。
其中，a、b、c 是常数，x 和 y 表示变量。
二次公式可以在解决二次问题时提供重要的信息。
3. 指数公式：指数公式常用于描述指数函数，例如 y = a^x。
其中，a 是底数，x 和 y 表示变量。
指数公式在描述增长、衰减等现象时非常常见。
4. 对数公式：对数公式是指数公式的逆运算，常用于求解指数函数的参数。
例如 y = log_a(x)，表示底数为 a 的对数函数。
通过了解和分类公式，可以更好地理解公式的作用和含义，为解题提供指导。
二、公式的应用技巧在应用公式时，有一些技巧可以帮助提高解题效率和准确性。
1. 确定问题类型：在解决问题之前，首先要理解问题的类型。
通过分析问题的要求和给定条件，确定应该使用哪种类型的公式。
例如，如果问题是关于直线的性质，那么线性公式可能更适用。
2. 理解变量和参数：在应用公式时，要理解公式中的变量和参数的含义。
变量是可以变化的量，而参数是常数。
通过理解变量和参数的含义，可以更好地选择并使用公式。
3. 使用图表辅助分析：有时候，将公式中的变量和参数绘制成图表能够帮助更好地理解问题。
通过观察图表中的趋势和规律，能够更准确地应用公式解题。
4. 多角度思考：在遇到复杂问题时，可以从不同的角度进行思考。
指数函数及其性质
教学过程一、 复习预习复习函数的基本性质（奇偶性、单调性以及周期性。
）二、知识讲解（一）创设情景、提出问题(约3分钟)师：如果让1号同学准备2粒米，2号同学准备4粒米，3号同学准备6粒米，4号同学准备8粒米，5号同学准备10粒米，……按这样的规律，51号同学该准备多少米？学生回答后教师公布事先估算的数据：51号同学该准备102粒米，大约5克重。
师：如果改成让1号同学准备2粒米，2号同学准备4粒米，3号同学准备8粒米，4号同学准备16粒米，5号同学准备32粒米，……按这样的规律，51号同学该准备多少米？【学情预设：学生可能说很多或能算出具体数目】师：大家能否估计一下，51号同学该准备的米有多重？教师公布事先估算的数据：51号同学所需准备的大米约重1.2亿吨。
师：1.2亿吨是一个什么概念？根据2007年9月13日美国农业部发布的最新数据显示，2007～2008年度我国大米产量预计为1.27亿吨。
这就是说51号同学所需准备的大米相当于2007～2008年度我国全年的大米产量！【设计意图：用一个看似简单的实例，为引出指数函数的概念做准备；同时通过与一次函数的对比让学生感受指数函数的爆炸增长，激发学生学习新知的兴趣和欲望。
】在以上两个问题中，每位同学所需准备的米粒数用y 表示，每位同学的座号数用x 表示，y 与x 之间的关系分别是什么？学生很容易得出y=2x （∈x *N ）和x y 2=（∈x *N ）【学情预设：学生可能会漏掉x 的取值范围，教师要引导学生思考具体问题中x 的范围。
】（二）师生互动、探究新知1．指数函数的定义师：其实，在本章开头的问题2中，也有一个与x y 2=类似的关系式x y 073.1=（20,≤∈*x N x ）⑴让学生思考讨论以下问题（问题逐个给出）：（约3分钟）①x y 2=（∈x *N ）和x y 073.1=（20,≤∈*x N x ）这两个解析式有什么共同特征？②它们能否构成函数？③是我们学过的哪个函数？如果不是，你能否根据该函数的特征给它起个恰当的名字？【设计意图：引导学生从具体问题、实际问题中抽象出数学模型。
第1章 第9节 函数的图像
大一轮复习·数学·BSD（理）
解析：解法一：(利用特殊点进行排除求解)令y＝f(x)，则f(x) ＝2x2－e|x|为偶函数，图像关于y轴对称．f(2)＝8－e2≈0.6，排除 A，B.∵f(0)＝－1，f12＝12－ e，f12－f(0)＝12－ e＋1＝32－ e＝
94－ e＜0， ∴f12＜f(0)，排除C，选D.
教材·知识·四基 考点·考法·探究 创新·应用·提能 限时规范训练
大一轮复习·数学·BSD（理）
(2)对称变换 ①y＝f(x)―关―于―x―轴―对―称→y＝_－__f_(_x)__； ②y＝f(x)―关―于―y―轴―对―称→y＝__f(_－__x_)_； ③y＝f(x)―关―于―原――点―对―称→y＝_－__f(_－__x_) .
教材·知识·四基 考点·考法·探究 创新·应用·提能 限时规范训练
大一轮复习·数学·BSD（理）
解法二：∵f(x)＝2x2－e|x|，x∈[－2,2]是偶函数， ∴f(x)的图像关于y轴对称． 又f(2)＝8－e2∈(0,1)，故排除A，B. 设g(x)＝2x2－ex，则g′(x)＝4x－ex. 又g′(0)＜0，g′(2)＞0， ∴g(x)在(0,2)内至少存在一个极值点， ∴f(x)＝2x2－e|x|在(0,2)内至少存在一个极值点，排除C.故选 D.
3.提升逻
数与不等式解的问 考查形式：选择或填空题． 辑推理.
题.
难度：中档偏下.
教材·知识·四基 考点·考法·探究 创新·应用·提能 限时规范训练
大一轮复习·数学·BSD（理）
教材细梳理 知识点 1 描点法作图步骤 (1)确定函数的__定__义__域__； (2)化简函数的__解__析__式__； (3)讨论函数的_性__质___即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至 变化趋势)； (4)描点连线，画出函数的图像．
系统思维的现实意义
系统思维的现实意义系统思维是一种全面的、动态的、适应性的思考方式，它在现代社会中具有非常重要的现实意义。
本文将从整体视角、动态平衡、适应性调整、多角度思考和长期规划五个方面，探讨系统思维的现实意义。
1.整体视角系统思维要求我们从整体上考虑问题，避免只见树木不见森林的片面思考方式。
在现实生活中，我们面对的问题往往复杂多变，涉及到各个领域和各个方面。
只有从整体视角出发，才能全面了解问题的本质和影响，进而制定出科学合理的解决方案。
例如，在解决环境问题时，我们需要考虑自然环境、社会经济、政策法规等多个方面，以及各个方面的相互作用。
只有从整体视角出发，才能制定出切实可行的环保政策，实现人与自然的和谐发展。
2.动态平衡系统思维强调动态平衡，即在不断变化的环境中保持平衡的状态。
这种平衡不是固定不变的，而是随着时间、地点、条件的变化而不断调整。
在现实生活中，我们面对的问题往往处于不断变化的状态，需要我们不断地调整思考方式和行为方式，以保持平衡。
例如，在商业领域中，市场环境和消费者需求不断变化，企业需要不断地调整产品定位、营销策略等，以保持与市场的平衡。
在个人生活中，随着年龄、职业和生活阶段的变化，我们需要不断地调整生活目标、工作方式和时间管理策略等，以保持生活的平衡。
3.适应性调整系统思维要求我们进行适应性调整，即根据周围环境和自身情况的变化而调整自己的思考方式和行为方式。
在现实生活中，我们面对的问题往往具有很大的不确定性，需要我们不断地适应变化并做出调整。
例如，在疫情期间，人们需要不断地适应新的环境和变化，如远程办公、在线教育等。
在这个过程中，我们需要不断地调整自己的工作方式和时间管理策略等，以适应新的环境和挑战。
这种适应性调整可以帮助我们更好地应对生活中的挑战和变化，提高适应能力和创新能力。
4.多角度思考系统思维要求我们多角度思考问题，即从多个角度同时思考某个问题。
多角度思考可以帮助我们全面地分析问题，提出解决方案，避免单角度思考的片面性和简单性。
2.1.曲线的参数方程PPT课件
6
一、方程组有3个变量，其中的x,y表示点的 坐标，变量t叫做参变量，而且x,y分别是t的 函数。
二、由物理知识可知，物体的位置由时间t唯 一决定，从数学角度看，这就是点M的坐标 x,y由t唯一确定，这样当t在允许值范围内连 续变化时，x,y的值也随之连续地变化，于是 就可以连续地描绘出点的轨迹。
这就是圆心在原点O，
o
M0 x
半径为r的圆的参数方程。
其中参数t有明确的物理意义
(质点作匀速圆周运动的 2时 021 刻)
16
考 虑 到 ＝ t ， 也 可 以 取 为 参 数 ，
y
于 是 有{xy rrcso ins(为 参 数 )
M(x,y)
这也是圆心在原点O，
r
半径为r的圆的参数方程
o
其 中 参 数 的 几 何 意 义 是 :
（1）普通方程化为参数方程需要引入参数
如：①直线L 的普通方程是2x-y+2=0，可以化为参
数方程
x
y
t, 2t
（t为参数）
2.
②在普通方程xy=1中，令x = tan,可以化为参数方程
x tan ,
y
cot .
（为参数）
2021
27
（2）参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为
普通方程
投放点
提示： 即求飞行员在离救援点的水平距离 多远时，开始投放物资？
？ 救援点
1、参数方程的概念：
如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s 的速度作水平直线飞行. 为使投放救援物资准确落于灾 区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放 时机呢？ 设飞机在点A将物资投出机舱，
如：①参数方程
高中立体几何学习记忆口诀印
理想变压器，初级U I值，次级U I值，相等是原理。
电压之比值，正比匝数比；电流之比值，反比匝数比。
运用变压比，若求某匝数，化为匝伏比，方便地算出。
远距输电用，升压降流送，否则耗损大，用户后降压。
十一、气态方程〖选修3-3〗
研究气体定质量，确定状态找参量。绝对温度用大T，体积就是容积量。
卫星绕着天体行，快慢运动的卫星，均由距离来决定，距离越近它越快，
距离越远越慢行，同步卫星速度定，定点赤道上空行。
五、机械能与能量
1．确定状态找动能，分析过程找力功，正功负功加一起，动能增量与它同。
2．明确两态机械能，再看过程力做功，“重力”之外功为零，初态末态能量同。
3．确定状态找量能，再看过程力做功。有功就有能转变，初态末态能量同。
3．楞次定律是抽象，真正理解从三方，阻碍磁通增和减，相对运动受反抗，
自感电流想阻挡，能量守恒理应当。楞次先看原磁场，感生磁场将何向，
全看磁通增或减，安培定则知i 向。
十、交流电〖选修3-2〗
1．匀强磁场有线圈，旋转产生交流电。电流电压电动势，变化规律是弦线。
中性面计时是正弦，平行面计时是余弦。
2．NBSω是最大值，有效值用热量来计算。
2．F比I l是场强，φ等B S 磁通量，磁通密度φ比S,磁场强度之名异。
3．BIL安培力，相互垂直要注意。
4．洛仑兹力安培力，力往左甩别忘记。
九、电磁感应〖选修3-2〗
1．电磁感应磁生电，磁通变化是条件。回路闭合有电流，回路断开是电源。
感应电动势大小，磁通变化率知晓。
2．楞次定律定方向，阻碍变化是关键。导体切割磁感线，右手定则更方便。
1．物体模型用质点，忽略形状和大小；地球公转当质点，地球自转要大小。
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所以,在平面上应任给21n+个整点,才能
使得至少有两个点的n等分点为整点
.
2
、考虑在mR上,应任给多个点,才能使其
中至少有两个点的n等分点为整点
?
已知点'''12(,)mAxxxL,"""12(,)mBxxxL,由
定比分点公式可知AB连线的n等分点
(1,2)kPkn=L的坐标12(,)kkkPPPmxxxL为kPix=
'"
(1,2)iikxxnkimn+−=L.对1,2im=L,
要使
k
P
ix为整数,则须'"1()i
nkxkx−+
均为n的整数
倍.故把mR上的所有整点按模n剩余类划分
为mnnnn×××=L类
.
由抽屉原理得,若给出的点不少于
1mn+
的整点,则其中必有两个点在同一类中,记为
点'''12(,)mAxxxL,"""12(,)mBxxxL.,AB两点属
于同一类,则'ix,"ix是属于0,11n−L之中的同
一类.对'ix,"(0,1,21)ixjjn∈=−L,均有
()0nkjkjnj−+==
因此'"1()0inkxkx−+∈可表示为
()nttZ∈,
从而'"()kPiiinkxkxntxtnn−+===是整数,即
n
等分点kP是整点,故AB连线所有n等分点都
是整点
.
从而可知在欧式空间mR上至少应任给
1mn+个整点,
才能使其中至少有两个点的连
线的n等分点能成为整点
.
至此,我们将一道竞赛题的结论做了推
广,得到了一般性结论:在欧式空间mR上至少
应任意给1mn+个整点,才能使其中至少有两
个点的连线的
n等分点都是整点.
参考文献
[1] 辛林、陈清华、戴跃进.近世代数.当代中国出版
社,2000.
[2] 陈清华.现代数学与中学数学(讲义).福建师大数
计学院讲义,2005.
变化思考角度,确定参数取值
福建晋江市侨声中学 张润泽
函数是中学数学研究的最主要的内容之
一,函数的思想方法贯穿于整个高中数学.运
用函数思想解题,重在对问题中的变量的动
态进行研究,从变量的运动变化寻找解题的
突破口.函数和方程在一定条件下可以互相
转化,本文通过转化,多角度利用函数思想确
定一类方程中的参数,下面举例说明
.
例1 若方程axxa=+的根只有一个
,
求实数a的取值范围
.
解法一 (1)0a=时
,
方程有唯一根
0x=;
(2)0a≠时,原方程
等价于/1xxa=+.方程
根的个数等于函数yx=与函数
1
1yxa=+.
图象的交点个数.函数yx=图象为折线,函
数/1yxa=+图象为过定点(0,1)的直线,可
得1/1a≥或1/1a≤−时两函数图象有唯一交
点,解得10a−≤<或
01a<≤.
综上
:11a−≤≤.
评注 转化后函数yx=与函数
/yxa=
1+两个图象一定一动,较易观察的a变化.
解法二 当
x=
1
±时方程显然不成
立,故1x≠±时方程
变为
1xax=−
,
令
1xyx=−
(x1)≠±.
该函数是奇函数,图象关于原点对称,当
0,1xx≥≠
时,函数化为
1111xyxx==+−−,图象可由y1
x
=(x≥
||yx=
0
x
y
1
1−
1−
||1xyx
=
−
0 x
y
1
1
·26·
1)−
分别向右向上各平移一个单位得到
/(1)yxx=−图象,
再将其关于原点对称得到
/(1)yxx=−
图象,函数ya=与函数
y=
/(1)xx−
图象,有唯一交点时
11a−≤≤.
评注 通常我们把方程解的问题转化为
两函数图象的交点问题
.
例2 若方程
log(3)log(2)aaxx−−+−
log(1)10ax−+=有实根,求实数a
的取值范
围
.
解 原方程等价于
30,20,10,(3)(2)(1).xxxaxxx−>
⎧
⎪
+>
⎪
⎨
−>
⎪
⎪
−=+−
⎩
即方程
2
(3)2axxx−=+−
, (*)
当3x>时有解
.
转化一 抛物
线22yxx=+−在
x>
3部分与过定
点(3,0)的直线
y=
(3)ax−在3x>部
分的交点问题,由方
程(*)0∆=解得7a=+210(此时
310x=+
)
或7a=−210(此时x3103=−<舍去),可
得两函数有交点时
7210a≥+.
转化二 令函数
2
()(1)32
fxxaxa=+−+−
,
∵(3)100f=>,故方程(*)当3x>时有
解等价于
2
(1)4(32)0,(1)/23,(3)100.aaaf⎧∆=−−−≥
⎪
−−>⎨⎪=≥⎩
解得
7210a≥+.
评注 二次方程根的分布问题可转化为
其对应二次函数与x轴交点位置问题,通过判
别式、对称轴、端点对应的函数值所满足的
条件确定参数
.
转化三 方程(*)可化为223xxax+−=−,当
3x>时方程有解,即a
的取值范围为函数
2
210
37
33
xxyxxx+−
==−++
−−
(3x>)
的值
域
.
∵
(3)10/(3)7yxx=−+−+
10
2(3)772103xx≥−⋅+=+−.
(
当且仅当310/(3)xx−=−即
3x=+10
时取得等号)所以
7210a≥+.
评注 ()afx=在xD∈有解,那么a的取
值范围就是函数()yfx=当xD∈时的值域
.
函数、方程、不等式三者是一个有机整
机,在一定条件下可以相互转化,因此,我们常
常利用函数思想解决有关不等式、方程等问
题.以上例题将方程问题转化为函数问题,再
利用函数的性质加以解决,使问题变得更为
简单,且有利于培养学生的发散思维
.
用导数法证明不等式
福建泉州五中 李燕洋
不等式是高中数学教学的重点和难点
,
又是继续深造的重要基础,所以不等式一直
都是高考命题的热点,常考常新,创意不断.在
新课程的高考卷中,应用导数研究函数的性
质,应用函数的单调性证明不等式,体现出新
的综合热点,充分发挥导数的工具作用
.
1 单变量不等式
例1设
1b>,求证:22ln111bbbb<<+−
分析 ①由题设知
,
ln11bbb<−,1ln0b
b
b
−
⇔−<. ①
设
()ln(1)/fxxxx=−−(1)x≥,
∵2(1)'()2xfxxx−=−对任
1,'()xfx><0,
∴()fx在(1,)+∞上单调递减,且()fx在
2
2yxx=+−
0 x y 3
(7210)(3)yx=+−
·27·