（完整版）洪帆《离散数学基础》（第三版）课后习题答案
离散数学答案版(全)
则称 G1，G2，…，Gn 蕴涵 H，又称 H 是 G1，G2，…，Gn 的逻辑结果，记作（G1 ∧G2∧…∧Gn） H 或（G1，G2，…，Gn） H。 1.6.2 基本蕴涵式 （1）P∧Q P； （3）P P∨Q； （5） P （P→Q） ； （7） （P→Q） P； （9）P，P→Q Q； （11） P，P∨Q Q； （13）P∨Q，P→R，Q→R R； （15）P，Q P∧Q。 （2）P∧Q Q； (4) Q P∨Q； （6）Q （P→Q） ； （8） （P→Q） Q； （10） Q，P→Q P； （12）P→Q，Q→R P→R； （14）P→Q，R→S （P∧R）→（Q∧S） ；
变元，若将 A 和 A*写成 n 元函数形式，则 （1） A（P1，P2，…，Pn） A*（ P1， P2，…， Pn） （2）A（ P1， P2，…， Pn） A*（P1，P2，…，Pn） 定理（对偶原理）设 A、B 是两个命题公式，若 AÛB，则 A* B*，其中 A*、 B*分别为 A、B 的对偶式。 1.5.2 范式 定义 仅由有限个命题变元及其否定构成的析取式称为简单析取式，仅由有 限个命题变元及其否定构成的合取式称为简单合取式。 定义 仅由有限个简单合取式构成的析取式称为析取范式。仅由有限个简单 析取式构成的合取式称为合取范式。 定理（范式存在定理）任何命题公式都存在着与之等价的析取范式和合取范式。 1.5.3 主范式 定义 在含有 n 个命题变元 P1，P2，…，Pn 的简单合取范式中，若每个命
P
Q
PQ
1 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 1
性质： （1）P↓P ﹁（P∨Q） ﹁P； （2） （P↓Q）↓（P↓Q） ﹁（P↓Q） P∨Q； （3） （P↓P）↓（Q↓Q） ﹁P↓﹁Q ﹁（﹁P∨﹁Q） P∧Q。
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第1章 集合1、列举下列集合的元素 (1) 小于20的素数的集合 (2) 小于5的非负整数的集合 (3) 2{|,10240515}i i I i i i ∈--<≤≤且 答：(1) {1,3,5,7,11,13,17,19}(2) {0,1,2,3,4} (3) {5,6,7,8,9,10,11}2、用描述法表示下列集合 (1) 12345{,,,,}a a a a a 答：{|,15}i a i I i ∈≤≤ (2) {2,4,8,}L 答：{2|}i i N ∈ (3) {0,2,4,100}L答：{2|,050}i i Z i ∈≤≤3、下面哪些式子是错误的？ (1) {}{{}}a a ∈ 答：正确 (2) {}{{}}a a ⊆ 答：错误 (3) {}{{},}a a a ∈ 答：正确 (4) {}{{},}a a a ⊆ 答：正确4、已给{2,,{3},4}S a =和{{},3,4,1}R a =，指出下面哪些论断是正确的？哪些是错误的？ (1) {}a S ∈ 错误(2) {}a R ∈ 正确 (3) {,4,{3}}a S ⊆ 正确 (4) {{},1,3,4}a R ⊆ 正确 (5)R S = 错误 (6) {}a S ⊆ 正确 (7) {}a R ⊆错误 (8) R φ⊆正确 (9) {{}}a R φ⊆⊆ 正确 (10) {}S φ⊆错误 (11) R φ∈错误 (12) {{3},4}φ⊆正确5、 列举出集合,,A B C 的例子，使其满足A B ∈，B C ∈且A C ∉答：{}A a =，{{}}B a =，显然A B ∈，{{{}}}C a =，显然B C ∈，但是A C ∉。
6、 给出下列集合的幂集 (1) {,{}}a b答：幂集{,{},{{}},{,{}}a b a b φ (2) {,,{}}a a φ答：幂集{,{},{},{{}},{,},{,{}},{,{}},{,,{}}}a a a a a a a a φφφφφ 7、设{}A a =，给出A 和2A 的幂集答：2{,{}}A a φ= 22{,{{}},{{}},{,{}}}Aa a φφφ=8、 设128{,,,}A a a a =L 由17B 和31B 所表示的A 的子集各是什么？应如何表示子集2,67{,}a a a 和13{,}a a 答：170001000148{,}B B a a ==310001111145678{,,,,}B B a a a a a ==2,670100011070{,}a a a B B ==，1310100000160{,}a a B B ==9、 设{1,2,3,4,5}U =，{1,4}A =，{1,2,5}B =，{2,4}C =，确定集合： (1) A B '⋂ (2) ()A B C '⋂⋃ (3) ()A B C ⋃⋂ (4)()()A B A C ⋃⋂⋃ (5) ()A B '⋂ (6) A B ''⋃ (7) ()B C '⋃ (8)B C ''⋂ (9) 22A C - (10)22A C ⋂ 答：(1) {3,4}B '=，{4}A B '⋂=(2) {1}A B ⋂=，{1,3,5}C '=，(){1,3,5}A B C '⋂⋃= (3) {2}B C ⋂=，(){1,2,4}A B C ⋃⋂=(4) {1,2,4,5}A B ⋃=，{1,2,4}A C ⋃=，()(){1,2,4}A B A C ⋃⋂⋃= (5) (){2,3,4,5}A B '⋂= (6) {2,3,5}A '=，{2,3,4,5}A B ''⋃= (7) {1,2,4,5}B C ⋃=，(){3}B C '⋃= (8) {3,4}B '=，{1,3,5}C '=，{3}B C ''⋂=(9) 2{,{1},{4},{1,4}}A φ=，2{,{2},{4}{24}}C φ=，，，22{{1},{1,4}}A C -= (10) 22{,{4}}A C φ⋂=10、 给定自然数集N 的下列子集：{1,2,7,8}A =，2{|50}B i i =<，{|330}C i i i =≤≤可被整数，0{|2,,06}k D i i k Z k ==∈≤≤求下列集合： (1) (())A B C D ⋃⋃⋃ 答：{1,2,3,4,5,6,7}B =，{0,3,6,9,12,15,18,21,24,27,30}C =，{1,2,4,8,16,32,64}D =(()){0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,12,15,16,18,21,24,27,30,32,64}A B C D ⋃⋃⋃= (2) (())A B C D φ⋂⋂⋂=(3) ()B A C -⋃解：{0,1,2,3,6,7,8,9,12,15,18,21,24,27,30}A C ⋃=，(){4,5}B A C -⋃= (4) ()A B D '⋂⋃解：{3,4,5,6}A B B A '⋂=-=，(){1,2,3,4,5,6,8,16,32,64}A B D '⋂⋃=11、 给定自然数集N 的下列子集{|12}A n n =<，{|8}B n n =≤，{|2,}C n n k k N ==∈，{|3,}D n n k k N ==∈ {|21,}E n n k k N ==-∈将下列集合表示为由,,,,A B C D E 产生的集合：(1) {2,4,6,8} (2){3,6,9} (3){10} (4){|369}n n n n ==≥或或 (5) {|109}n n n n n ≤>是偶数且或是奇数且 (6) {|6}n n 是的倍数答：{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}A =，{1,2,3,4,5,6,7,8}B ={2,4,6,8,}C =L ，{3,6,9,12,}D =L ，{1,3,5,7,}E =L {2,4,6,8}B C =⋂ {3,6,9}=A D ⋂ {10}=(())A B D E ---(4){|369}n n n n ==≥=或或{3}{6}{9,10,11,12,}⋃⋃L{3,6,9,10,11,12,}()A D B '==⋂⋃L(5) {2,4,6,8,10,11,13,15,}(()())(())A E E B A D B =-⋃--⋂-L (6) {|6}{6,12,18,24,30}n n ==L 是的倍数C D ⋂12、 判断以下哪些论断是正确的，哪些论断是错误的，并说明理由。
离散数学课后习题答案（第三章）（doc）
a） 用矩阵运算和作图方法求出 R 的自反、对称、传递闭包； b） 用 Warshall 算法，求出 R 的传递闭包。
解 a） 0 1 00
MR= 1 0 1 0 0 0 01
0 0 00
R 的关系图如图所示。
a
b
d
c
MR+MIA=
0 1 00 1 0 10
反之，若 S∩ScIX，设＜x，y＞∈S 且 ＜y，x＞∈S，则 ＜x，y＞∈S∧＜x，y＞∈Sc ＜x，y＞∈S∩Sc ＜x，y＞∈IX 故 x＝y，即 S 是反对称的。
3-7.3 设 S 为 X 上的关系，证明若 S 是自反和传递的，则 S○S=S，其逆为真 吗？
证明 若 S 是 X 上传递关系，由习题 3-7.2a）可知（S○S）S， 令＜x，y＞∈S，根据自反性，必有＜ x，x＞ ∈S， 因此有＜ x，y ＞∈S○S， 即 SS○S。得到 S=S○S.
自反的； b）若 R1 和 R2 是反自反的，则 R1○R2 也
是反自反的； c）若 R1 和 R2 是对称的，则 R1○R2 也是
对称的； d）若 R1 和 R2 是传递的，则 R1○R2 也是
传递的。
证明 a）对任意 a∈A，设 R1 和 R2 是自 反的，则＜a，a＞∈R1，＜a，a＞∈R2 所以，＜a，a＞∈R1○R2，即 R1○R2 也是 自反的。
解：L= {<1,2>,<1,3>,<1,6>,<2,3>,<2,6>, <3,6>,<1,1>,<2,2>,<3,3>,<6,6>} D={<1,2>,<1,3>,<1,6>, <2,6>,<3,6>,<1, 1>,<2,2>,<3,3>,<6,6>} L∩D= {<1,2>,<1,3>,<1,6>,<2,6>,<3,6>,<1,1>, <2,2>,<3,3>,<6,6>}
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1.2.4
0 0 1 1 条件联结词→
P
0 1 0 1
Q
0 1 1 1
P Q
0 0 1 1 1.2.5 双条件联结词
P
0 1 0 1
Q
1 1 0 1
P Q
1.2.6
0 0 1 1 与非联结词↑
P
0 1 0 1
Q
1 0 0 1
PQ
1 1 1 0
0 0 1 1
0 1 0 1
性质： （1） P↑P ﹁（P∧P） ﹁P； （2） （P↑Q）↑（P↑Q） ﹁（P↑Q） P∧Q； （3） （P↑P）↑（Q↑Q） ﹁P↑﹁Q P∨Q。 1.2.7 或非联结词↓
P
Q
PQ
1 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 1
性质： （1）P↓P ﹁（P∨Q） ﹁P； （2） （P↓Q）↓（P↓Q） ﹁（P↓Q） P∨Q； （3） （P↓P）↓（Q↓Q） ﹁P↓﹁Q ﹁（﹁P∨﹁Q） P∧Q。
石材加工 红提采摘 2 金刚石磨头
1.5
对偶与范式
1.5.1 对偶 定义 在仅含有联结词 Ø、∧、∨的命题公式 A 中，将联结词∧换成∨，将 ∨换成∧，如果 A 中含有特殊变元 0 或 1，就将 0 换成 1，1 换成 0，所得的命题 公式 A*称为 A 的对偶式。 例：公式（ P∨Q）∧（P∨ Q） 的对偶式为： （ P∧Q）∨（P∧ Q） 定理 设 A 和 A*互为对偶式，P1，P2，…，Pn 是出现在 A 和 A*中的所有原子
P
Q
P Q
( P Q)
( P Q) Q
0 0 1 1
0 1 0 1
1 1 0 1
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1.2.4
0 0 1 11
Q
0 1 1 1
P Q
0 0 1 1 1.2.5 双条件联结词
P
0 1 0 1
Q
1 1 0 1
P Q
1.2.6
0 0 1 1 与非联结词↑
P
0 1 0 1
Q
1 0 0 1
PQ
1 1 1 0
0 0 1 1
0 1 0 1
性质： （1） P↑P ﹁（P∧P） ﹁P； （2） （P↑Q）↑（P↑Q） ﹁（P↑Q） P∧Q； （3） （P↑P）↑（Q↑Q） ﹁P↑﹁Q P∨Q。 1.2.7 或非联结词↓
定义设pq是两个命题公式复合命题pq称为命题pq的条件否定当且仅当p的真值为1q的真值为0时pq的真值为1否则pq的真值为0172最小联结词组定义设s是一些联结词组成的非空集合如果任何的命题公式都可以用仅包含s中的联结词的公式表示则称s是联结词的全功能集
第一章
命题逻辑
内容： 命题及命题联结词、命题公式的基本概念，真值表、基本等价式及永真蕴涵 式，命题演算的推理理论中常用的直接证明、条件证明、反证法等证明方法。 教学目的： 1．熟练掌握命题、联结词、复合命题、命题公式及其解释的概念。 2．熟练掌握常用的基本等价式及其应用。 3．熟练掌握（主）析/合取范式的求法及其应用。 4．熟练掌握常用的永真蕴涵式及其在逻辑推理中的应用。 5．熟练掌握形式演绎的方法。
式中每一个析取项都是 P1，P2，…，Pn 的一个极大项，则称该合取范式为 G 的主 合取范式。通常，主合取范式用↕表示。重言式的主合取范式中不含任何极大项， 用 1 表示。 定理 任意的命题公式都存在一个唯一的与之等价的主合取范式。
1.6
公式的蕴涵
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Q
P Q
( P Q)
( P Q) Q
0 0 1 1
0 1 0 1
1 1 0 1
0 0 1 0
0 0 0 0
1.4.2 命题公式的分类 定义 设 G 为公式： （1）如果 G 在所有解释下取值均为真，则称 G 是永真式 或重言式； （2）如果 G 在所有解释下取值均为假，则称 G 是永假式或矛盾式； （3） 如果至少存在一种解释使公式 G 取值为真，则称 G 是可满足式。 1.4.3 等价公式 定义 设 A 和 B 是两个命题公式，如果 A 和 B 在任意赋值情况下都具有相同 的真值，则称 A 和 B 是等价公式。记为 A B。 性质定理 设 A、B、C 是公式，则 （1）A A （2）若 A B 则 B A （3）若 A B 且 B C 则 A C 定理 设 A、B、C 是公式，则下述等价公式成立： A A （1）双重否定律 （2）等幂律 A∧A A ； A∨A A （3）交换律 A∧B B∧A ； A∨B B∨A （4）结合律 （A∧B）∧C A∧（B∧C） （A∨B）∨C A∨（B∨C） （5）分配律 （A∧B）∨C （A∨C）∧（B∨C） （A∨B）∧C （A∧C）∨（B∧C） （A∨B） A∧ B （6）德·摩根律 （A∧B） A∨ B （7）吸收律 A∨（A∧B） A；A∧（A∨B） A （8）零一律 A∨1 1 ； A∧0 0 （9）同一律 A∨0 A ； A∧1 A （10）排中律 A∨ A 1 （11）矛盾律 A∧ A 0 （12）蕴涵等值式 A→B A∨B （13）假言易位 A→B B→ A （14）等价等值式 A B （A→B）∧（B→A）
式中每一个析取项都是 P1，P2，…，Pn 的一个极大项，则称该合取范式为 G 的主 合取范式。通常，主合取范式用↕表示。重言式的主合取范式中不含任何极大项， 用 1 表示。 定理 任意的命题公式都存在一个唯一的与之等价的主合取范式。
离散数学及其应用第三版第二章计数问题课后答案
离散数学及其应用第三版第二章计数问题课后答案1、从3点到6点，分针旋转了多少度？[单选题] *90°960°-1080°(正确答案)-90°2、由数字1、2、3、4、5可以组成多少个不允许有重复数字的三位数?（）[单选题]*A、125B、126C、60(正确答案)D、1203、已知5m－2n－3＝0，则2??÷22?的值为( ) [单选题] *A. 2B. 0C. 4D. 8(正确答案)4、7．已知点A(－2，y1)，B(3，y2)在一次函数y＝－x＋b的图象上，则( ) [单选题]* A．y1 > y2(正确答案)B．y1 < y2C．y1 ≤y2D．y1 ≥y25、若3x＋4y－5＝0，则8?·16?的值是( ) [单选题] *A. 64B. 8C. 16D. 32(正确答案)6、16．若过多边形的每一个顶点只有6条对角线，则这个多边形是（）[单选题] * A．六边形B．八边形C．九边形(正确答案)D．十边形7、计算－(a－b)3(b－a)2的结果为( ) [单选题] *A. －(b－a)?B. －(b＋a)?C. (a－b)?D. (b－a)?(正确答案)8、函数式?的化简结果是（）[单选题] *A.sinα-cosαB.±（sinα-cosα）(正确答案)C.sinα·cosαD.cosα-sinα9、8．一个面积为120的矩形苗圃，它的长比宽多2米，苗圃长是（）[单选题] *A 10B 12(正确答案)C 13D 1410、函数y=kx（k是不为0的常数）是（）。
[单选题] *正比例函数(正确答案)一次函数反比例函数二次函数函数11、4、已知直角三角形的直角边边长分别是方程x2-14x+48=0的两个根，则此三角形的第三边是（）[单选题] *A、6B、10(正确答案)C、8D、212、4．已知第二象限的点P(－4，1)，那么点P到x轴的距离为( ) [单选题] *A．1(正确答案)B．4C．－3D．313、27.下列各函数中，奇函数的是（）[单选题] *A. y=x^(-4)B. y=x^(-3)(正确答案)C .y=x^4D. y=x^(2/3)14、-120°用弧度制表示为（）[单选题] *-2π/3(正确答案)2π/3-π/3-2π/515、函数y= 的最小正周期是（）[单选题] *A、B、(正确答案)C、2D、416、下列说法中，正确的是（）[单选题] *A、第一象限角是锐角B、第一象限角是锐角(正确答案)C、小于90°的角是锐角D、第一象限的角不可能是钝角17、1．(必修1P5B1改编)若集合P={x∈N|x≤2 022}，a=45，则( ) [单选题] * A．a∈PB．{a}∈PC．{a}?PD．a?P(正确答案)18、9．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x＋y＝8，则k的值为( ) [单选题] * A．4B．5C．－6D．－8(正确答案)19、8.如果直角三角形的三条边为2，4，a，那么a的取值可以有（）[单选题] *A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个(正确答案)20、7．把点平移到点，平移方式正确的为（）[单选题] *A．先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度B．先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度C．先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度D．先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度(正确答案)21、35、下列判断错误的是（）[单选题] *A在第三象限，那么点A关于原点O对称的点在第一象限.B在第二象限，那么它关于直线y=0对称的点在第一象限.(正确答案)C在第四象限，那么它关于x轴对称的点在第一象限.D在第一象限，那么它关于直线x=0的对称点在第二象限.22、22、在平面直角坐标系中，已知点P，在轴上有点Q，它到点P的距离等于3，那么点Q的坐标是（）[单选题] *(0,3)(0,5)(0,-1)(0,5)或(0,-1) (正确答案)23、5．下列说法中正确的是（）[单选题] *A．没有最大的正数，但有最大的负数B．没有最小的负数，但有最小的正数C．没有最小的有理数，也没有最大的有理数(正确答案)D．有最小的自然数，也有最小的整数24、4.小亮用天平称得牛奶和玻璃杯的总质量为0.3546㎏，用四舍五入法将0.3546精确到0.01的近似值为（）[单选题] *A.0.35(正确答案)B.0.36C.0.354D.0.35525、下列表示正确的是（）[单选题] *A、0={0}B、0={1}C、{x|x2 =1}={1,-1}(正确答案)D、0∈φ26、22．如图棋盘上有黑、白两色棋子若干，找出所有使三颗颜色相同的棋在同一直线上的直线，满足这种条件的直线共有（）[单选题] *A．5条(正确答案)B．4条C．3条D．2条27、已知2x=8,2y=4,则2x+y=（）[单选题] *A 、32(正确答案)B 、33C、16D、428、28.已知点A（2,3）、B（1,5），直线AB的斜率是（）[单选题] *A.2B.-2C.1/2D.-1/2(正确答案)29、x3??(m为正整数)可写成( ) [单选题] *A. x3＋x?B. x3－x?C. x3·x?(正确答案)D. x3?30、已知x-y=3,x2-y2=12,那么x+y的值是( ??) [单选题] *A. 3B. 4(正确答案)C. 6D. 12。
离散数学习题的答案解析
离散数学习题答案习题一及答案：（P14-15）14、将下列命题符号化：（5）李辛与李末是兄弟解：设p ：李辛与李末是兄弟，则命题符号化的结果是p（6）王强与刘威都学过法语解：设p ：王强学过法语；q ：刘威学过法语；则命题符号化的结果是p q ∧（9）只有天下大雨，他才乘班车上班解：设p ：天下大雨；q ：他乘班车上班；则命题符号化的结果是q p →（11）下雪路滑，他迟到了解：设p ：下雪；q ：路滑；r ：他迟到了；则命题符号化的结果是()p q r ∧→15、设p ：2+3=5.q ：大熊猫产在中国.r ：太阳从西方升起.求下列复合命题的真值：（4）()(())p q r p q r ∧∧⌝↔⌝∨⌝→解：p=1，q=1，r=0， ()(110)1p q r ∧∧⌝⇔∧∧⌝⇔，(())((11)0)(00)1p q r ⌝∨⌝→⇔⌝∨⌝→⇔→⇔()(())111p q r p q r ∴∧∧⌝↔⌝∨⌝→⇔↔⇔19、用真值表判断下列公式的类型：（2）()p p q →⌝→⌝解：列出公式的真值表，如下所示：20、求下列公式的成真赋值：（4）()p q q ⌝∨→解：因为该公式是一个蕴含式，所以首先分析它的成假赋值，成假赋值的条件是：()10p q q ⌝∨⇔⎧⎨⇔⎩⇒00p q ⇔⎧⎨⇔⎩ 所以公式的成真赋值有：01，10，11。
习题二及答案：（P38）5、求下列公式的主析取范式，并求成真赋值：（2）()()p q q r ⌝→∧∧解：原式()p q q r ⇔∨∧∧q r ⇔∧()p p q r ⇔⌝∨∧∧()()p q r p q r ⇔⌝∧∧∨∧∧37m m ⇔∨，此即公式的主析取范式，所以成真赋值为011，111。
*6、求下列公式的主合取范式，并求成假赋值：（2）()()p q p r ∧∨⌝∨解：原式()()p p r p q r ⇔∨⌝∨∧⌝∨∨()p q r ⇔⌝∨∨4M ⇔，此即公式的主合取范式，所以成假赋值为100。
最新洪帆《离散数学基础》(第三版)课后习题答案
第1章 集合1、列举下列集合的元素 (1) 小于20的素数的集合 (2) 小于5的非负整数的集合 (3) 2{|,10240515}i i I i i i ∈--<≤≤且 答：(1) {1,3,5,7,11,13,17,19}(2) {0,1,2,3,4} (3) {5,6,7,8,9,10,11}2、用描述法表示下列集合 (1) 12345{,,,,}a a a a a 答：{|,15}i a i I i ∈≤≤ (2) {2,4,8,} 答：{2|}i i N ∈ (3) {0,2,4,100}答：{2|,050}i i Z i ∈≤≤3、下面哪些式子是错误的？ (1) {}{{}}a a ∈ 答：正确 (2) {}{{}}a a ⊆ 答：错误 (3) {}{{},}a a a ∈ 答：正确 (4) {}{{},}a a a ⊆ 答：正确4、已给{2,,{3},4}S a =和{{},3,4,1}R a =，指出下面哪些论断是正确的？哪些是错误的？ (1) {}a S ∈ 错误(2) {}a R ∈ 正确 (3) {,4,{3}}a S ⊆ 正确 (4) {{},1,3,4}a R ⊆ 正确 (5)R S = 错误 (6) {}a S ⊆ 正确 (7) {}a R ⊆错误 (8) R φ⊆正确 (9) {{}}a R φ⊆⊆ 正确 (10) {}S φ⊆错误 (11) R φ∈错误 (12) {{3},4}φ⊆正确5、 列举出集合,,A B C 的例子，使其满足A B ∈，B C ∈且A C ∉答：{}A a =，{{}}B a =，显然A B ∈，{{{}}}C a =，显然B C ∈，但是A C ∉。
6、 给出下列集合的幂集 (1) {,{}}a b答：幂集{,{},{{}},{,{}}a b a b φ (2) {,,{}}a a φ答：幂集{,{},{},{{}},{,},{,{}},{,{}},{,,{}}}a a a a a a a a φφφφφ 7、设{}A a =，给出A 和2A 的幂集答：2{,{}}A a φ= 22{,{{}},{{}},{,{}}}Aa a φφφ= 8、 设128{,,,}A a a a =由17B 和31B 所表示的A 的子集各是什么？应如何表示子集2,67{,}a a a 和13{,}a a 答：170001000148{,}B B a a ==310001111145678{,,,,}B B a a a a a ==2,670100011070{,}a a a B B ==，1310100000160{,}a a B B ==9、 设{1,2,3,4,5}U =，{1,4}A =，{1,2,5}B =，{2,4}C =，确定集合： (1) A B '⋂ (2) ()A B C '⋂⋃ (3) ()A B C ⋃⋂ (4)()()A B A C ⋃⋂⋃ (5) ()A B '⋂ (6) A B ''⋃ (7) ()B C '⋃ (8)B C ''⋂ (9) 22A C - (10)22A C ⋂ 答：(1) {3,4}B '=，{4}A B '⋂=(2) {1}A B ⋂=，{1,3,5}C '=，(){1,3,5}A B C '⋂⋃= (3) {2}B C ⋂=，(){1,2,4}A B C ⋃⋂=(4) {1,2,4,5}A B ⋃=，{1,2,4}A C ⋃=，()(){1,2,4}A B A C ⋃⋂⋃= (5) (){2,3,4,5}A B '⋂= (6) {2,3,5}A '=，{2,3,4,5}A B ''⋃= (7) {1,2,4,5}B C ⋃=，(){3}B C '⋃= (8) {3,4}B '=，{1,3,5}C '=，{3}B C ''⋂=(9) 2{,{1},{4},{1,4}}A φ=，2{,{2},{4}{24}}C φ=，，，22{{1},{1,4}}A C -= (10) 22{,{4}}A C φ⋂=10、 给定自然数集N 的下列子集：{1,2,7,8}A =，2{|50}B i i =<，{|330}C i i i =≤≤可被整数，0{|2,,06}k D i i k Z k ==∈≤≤求下列集合： (1) (())A B C D ⋃⋃⋃ 答：{1,2,3,4,5,6,7}B =，{0,3,6,9,12,15,18,21,C =，{1,2,4,8,16,32,64}D =(()){0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,12,15,16,18,24,27,30,32,64}A B C D ⋃⋃⋃= (2) (())A B C D φ⋂⋂⋂=(3) ()B A C -⋃解：{0,1,2,3,6,7,8,9,12,15,18,21,24,27,30}A C ⋃=，(){4,5}B A C -⋃= (4) ()A B D '⋂⋃解：{3,4,5,6}A B B A '⋂=-=，(){1,2,3,4,5,6,8,16,32,64}A B D '⋂⋃=11、 给定自然数集N 的下列子集{|12}A n n =<，{|8}B n n =≤，{|2,}C n n k k N ==∈，{|3,}D n n k k N ==∈ {|21,}E n n k k N ==-∈将下列集合表示为由,,,,A B C D E 产生的集合：(1) {2,4,6,8} (2){3,6,9} (3){10} (4){|369}n n n n ==≥或或 (5) {|109}n n n n n ≤>是偶数且或是奇数且 (6) {|6}n n 是的倍数答：{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}A =，{1,2,3,4,5,6,7,8}B ={2,4,6,8,}C =，{3,6,9,12,}D =，{1,3,5,7,}E = {2,4,6,8}B C =⋂ {3,6,9}=A D ⋂ {10}=(())A B D E ---(4){|369}n n n n ==≥=或或{3}{6}{9,10,11,12,}⋃⋃{3,6,9,10,11,12,}()A D B '==⋂⋃(5) {2,4,6,8,10,11,13,15,}(()())(())A E E B A D B =-⋃--⋂- (6) {|6}{6,12,18,24,30}n n ==是的倍数C D ⋂12、 判断以下哪些论断是正确的，哪些论断是错误的，并说明理由。
离散数学课后习题答案 (2)
离散数学课后习题答案1. 第一章习题答案1.1 习题一答案1.1.1 习题一.1 答案根据题意，设集合A和B如下：Set A and BSet A and B在此情况下，我们可以得出以下结论：•A的幂集为{ {}, {a}, {b}, {a, b} }；•B的幂集为{ {}, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3} }；•A和B的笛卡尔积为{ (a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3) }。
因此，习题一.1的答案为：•A的幂集为{ {}, {a}, {b}, {a, b} }；•B的幂集为{ {}, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3} }；•A和B的笛卡尔积为{ (a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b,2), (b, 3) }。
1.1.2 习题一.2 答案根据题意，集合A和B如下所示：Set A and BSet A and B根据集合的定义，习题一.2要求我们判断以下命题的真假性：a)$A \\cap B = \\{ 2, 3 \\}$b)$\\emptyset \\in B$c)$A \\times B = \\{ (a, 2), (b, 1), (b, 3) \\}$d)$B \\subseteq A$接下来，我们来逐个判断这些命题的真假性。
a)首先计算集合A和B的交集：$A \\cap B = \\{ x\\,|\\, x \\in A \\, \\text{且} \\, x \\in B \\} = \\{ 2, 3 \\}$。
因此，命题a)为真。
b)大家都知道，空集合是任意集合的子集，因此空集合一定属于任意集合的幂集。
根据题意，$\\emptyset \\in B$，因此命题b)为真。
c)计算集合A和B的笛卡尔积：$A \\times B = \\{ (x, y) \\,|\\, x \\in A \\, \\text{且} \\, y \\in B \\} = \\{ (a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3) \\}$。
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（完整版）洪帆《离散数学基础》（第三版）课后习题答案第1章集合1、列举下列集合的元素 (1) 小于20的素数的集合 (2) 小于5的非负整数的集合(3) 2{|,10240515}i i I i i i ∈--<≤≤且答：(1) {1,3,5,7,11,13,17,19}(2) {0,1,2,3,4} (3) {5,6,7,8,9,10,11}2、用描述法表示下列集合 (1) 12345{,,,,}a a a a a 答：{|,15}i a i Ii ∈≤≤ (2) {2,4,8,}L 答：{2|}i i N ∈ (3) {0,2,4,100}L答：{2|,050}i i Z i ∈≤≤3、下面哪些式子是错误的？(1) {}{{}}a a ∈ 答：正确 (2) {}{{}}a a ? 答：错误(3) {}{{},}a a a ∈ 答：正确 (4) {}{{},}a a a ? 答：正确4、已给{2,,{3},4}S a =和{{},3,4,1}R a =，指出下面哪些论断是正确的？哪些是错误的？(1) {}a S ∈ 错误(2) {}a R ∈ 正确 (3) {,4,{3}}a S ? 正确 (4) {{},1,3,4}a R ? 正确 (5)R S = 错误 (6) {}a S ? 正确 (7) {}a R ?错误(8) R φ?正确(9) {{}}a R φ?? 正确(10) {}S φ?错误(11) R φ∈错误(12) {{3},4}φ?正确5、列举出集合,,A B C 的例子，使其满足A B ∈，B C ∈且A C ?答：{}A a =，{{}}B a =，显然A B ∈，{{{}}}C a =，显然B C ∈，但是A C ?。
6、给出下列集合的幂集 (1) {,{}}a b答：幂集{,{},{{}},{,{}}a b a b φ (2) {,,{}}a a φ答：幂集{,{},{},{{}},{,},{,{}},{,{}},{,,{}}}a a a a a a a a φφφφφ 7、设{}A a =，给出A 和2A 的幂集答：2{,{}}A a φ= 22{,{{}},{{}},{,{}}}Aa a φφφ=8、设128{,,,}A a a a =L 由17B 和31B 所表示的A 的子集各是什么？应如何表示子集2,67{,}a a a 和13{,}a a 答：170001000148{,}B B a a ==310001111145678{,,,,}B B a a a a a ==2,670100011070{,}a a a B B ==，1310100000160{,}a a B B ==9、设{1,2,3,4,5}U =，{1,4}A =，{1,2,5}B =，{2,4}C =，确定集合： (1) A B '? (2) ()A B C '?? (3) ()A B C ?? (4)()()A B A C (5) ()A B '? (6) A B ''? (7) ()B C '? (8)B C ''? (9) 22A C - (10)22A C ? 答：(1) {3,4}B '=，{4}A B '?=(2) {1}A B ?=，{1,3,5}C '=，(){1,3,5}A B C '??= (3) {2}B C ?=，(){1,2,4}A B C ??=(4) {1,2,4,5}A B ?=，{1,2,4}A C ?=，()(){1,2,4}A B A C = (5) (){2,3,4,5}A B '?= (6) {2,3,5}A '=，{2,3,4,5}A B ''?= (7) {1,2,4,5}BC ?=，(){3}B C '?= (8) {3,4}B '=，{1,3,5}C '=，{3}B C ''?=(9) 2{,{1},{4},{1,4}}A φ=，2{,{2},{4}{24}}C φ=，，，22{{1},{1,4}}A C -= (10) 22{,{4}}A C φ?=10、给定自然数集N 的下列子集：{1,2,7,8}A =，2{|50}B i i =<，{|330}C i i i =≤≤可被整数，0{|2,,06}k D i i k Z k ==∈≤≤求下列集合： (1) (())A B C D 答：{1,2,3,4,5,6,7}B =，{0,3,6,9,12,15,18,21,24,27,30}C =，{1,2,4,8,16,32,64}D =(()){0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,12,15,16,18,21,24,27,30,32,64}A B CD = (2) (())A B C D φ=(3) ()B A C -?解：{0,1,2,3,6,7,8,9,12,15,18,21,24,27,30}A C ?=，(){4,5}B A C -?= (4) ()A B D '??解：{3,4,5,6}A B B A '?=-=，(){1,2,3,4,5,6,8,16,32,64}A B D '??=11、给定自然数集N 的下列子集{|12}A n n =<，{|8}B n n =≤，{|2,}C n n k k N ==∈，{|3,}D n n k k N ==∈ {|21,}E n n k k N ==-∈将下列集合表示为由,,,,A B C D E 产生的集合：(1) {2,4,6,8} (2){3,6,9} (3){10} (4){|369}n n n n ==≥或或(5) {|109}n n n n n ≤>是偶数且或是奇数且 (6) {|6}n n 是的倍数答：{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}A =，{1,2,3,4,5,6,7,8}B ={2,4,6,8,}C =L ，{3,6,9,12,}D =L ，{1,3,5,7,}E =L {2,4,6,8}B C =? {3,6,9}=A D ? {10}=(())A B D E ---(4){|369}n n n n ==≥=或或{3}{6}{9,10,11,12,}??L{3,6,9,10,11,12,}()A D B '==??L(5) {2,4,6,8,10,11,13,15,}(()())(())A E E B A D B =-?--?-L (6) {|6}{6,12,18,24,30}n n ==L 是的倍数C D ?12、判断以下哪些论断是正确的，哪些论断是错误的，并说明理由。
(1) 若a A ∈，则a A B ∈?答：正确，根据集合并的定义 (2) 若a A ∈，则a A B ∈?答：显然不正确，因为根据集合交运算的定义，必须a 同时属于A 和B (3) 若a A B ∈?，则a B ∈ 答：正确(4) 若A B ?，则A B B ?= 答：错误(5) 若A B ?，则A B A ?= 答：正确(6) 若a A ?，则a A B ?? 答：错误(7) 若a A ?，则a A B ?? 答：正确13、设,,A B C 是任意的集合，下述论断哪些是正确的？哪些是错误的？说明理由(1) 若A B A C ?=?，则B C =答：不正确，反例，设A φ=，则不论,B C 是什么集合，都有A BA C φ?=?=，但显然,BC 不一定相等。
(2) 当且仅当A B B ?=，有A B ?；答：正确，证明如下：若A B B ?=，则对a A ?∈，有a A B B ∈?=，则有a B ∈，因此有A B ?。
反之，若A B ?，则A B B ?=显然成立。
(3) 当且仅当A B A ?=，有A B ?答：正确，证明如下：若A B A ?=，则对a A ?∈，因此a A B ∈?，则a B ∈，则有A B ?。
若A B ?，则a A ?∈，有a B ∈，因此由a A ∈，可以得出a A B ∈?，因此A A B ??，又A B A ??，有A B A ?=。
(4) 当且仅当A C ?，有()A B C φ?-=答：不正确，因为()A B C A B C '?-=??，因此不一定需要满足A C ?，而若A B φ?=也可以满足。
例如：{,,}A a b c =，{,}B d e =，{,}Ca b =，()A B C φ?-=成立，而A C ?不成立。
(5) 当且仅当B C ?，有()A B C A -?=答：不正确，因为若B C ?，有()A B C A -?=成立，但是反之不成立，反例如下:{1,2,3,4,5}A =，{1,6}B =，{1,2}C =，而{2,3,4,5}A B -=，(){1,2,3,4,5}A B C -?=，但是B C ?不成立。
14、设,,,A B C D 是集合，下述哪些论断是正确的？哪些是错误的？说明理由。
(1) 若,A B C D ??，则()A C B D答：正确，证明：对a A C ?∈?，则a A ∈或a C ∈，因为,A B CD ??，因此a B ∈或a D ∈，因此a B D ∈?，即()A C B D 成立。
(2) 若,A B C D ??，则()A C B D 答：正确(3)若A B ?，C D ?，则()A C B D 答：正确(4) 若,A B C D ??，则()A C B D答：不正确。
例如若,A B C D ??，但是A C φ?=，B D φ?=，则()A C B D φφ==。
15、设,A B 是两个集合，问：(1)如果A B B -=，那么A 和B 有什么关系？答：因为A B B -=，而A B A B B '-=?=，即对a B ?∈有,a A a B '∈∈，因此A B φ==。
(2) 如果A B B A -=-，那么A 和B 有什么关系？答：充要条件是A B =。
证明：因为A B B A -=-的()()A B A B A A -?=-?，从而有A A B =?，即A B ?，同理可证明B A ?，因此A B =。
16、设,A B 是任意集合，下述论断哪些是正确的？哪些是错误的？说明理由。
(1) 222A B A B ?=?答：不正确。
例如{,}A a b =，{,}B b c =，则{,,}A B a b c ?=2{,{},{},{},{,},{,},{,},{,,}}A B a b c a b a c b c a b c φ?= 2{,{},{},{,}}Aa b a b φ=，2{,{},{},{,}}B b c b c φ=显然222A B A B ?=?不成立。