两直线平行,同旁内角互补
证明两直线平行,同旁内角互补
证明两直线平行,同旁内角互补
两直线平行同旁内角是互补关系，两个角相加等于度。两条婡垍頭直线條被第三条直线所截，在截线同旁，且在被截线之内的两角，叫做同旁内角。同旁内角，“同旁”指在第三条直线的同侧；“内”指在被截两条直线之间。两直线平行，同旁内角互补。同旁内角互补，两直线平行。
两直线平行同旁内角是互补关系的证明。平行线的性质：两直线平行，同位角相等。两直线平行，内错角相等。两直线平行，同旁内角互补。所以利用平行线的判定证明即可。平行线的判定：同位角相等，两直线平行。内错角相等，两直线平行。同旁内角互补，两直线平行。两条直线a，b被第三条直线c所截（或说a，b相交c），在截线c的同旁，被截两直线a，b的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角。两条直线a，b被第三条直线c所截会出现“三线八角”，其中有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角。同位角相等两直线平行是公理。先形成定理随后形成公理,就是定理需要某些逻辑框架,继而形成一套公理。换句话说公理是我们公认的一个事实的东西,定理是从公理可以推出来的常用理论。内错角相等，两直线平行、同旁内角互补，两直线平行，都是根据同位角相等，两直线平行推出来的。
中考数学复习----《相交线与平行线之平行线》知识点总结与专项练习题(含答案解析)
1
中考数学复习----《相交线与平行线之平行线》知识点总结与专项练
习题（含答案解析）
知识点总结
1. 三线八角：
同位角，内错角，同旁内角。
2. 平行线定义：
两条永不相交的直线的位置关系是平行线。
3. 平行线性质：
①两直线平行，同位角相等。
②两直线平行，内错角相等。
③两直线平行，同旁内角互补。
④同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
⑤平行于同一直线的两直线平行。即cbba∥，∥
，则ca∥
。
4. 平行线的判定：
①同位角相等，两直线平行。
②内错角相等，两直线平行。
③同旁内角相等，两直线平行。
④垂直于同一直线的两直线平行。即若caba⊥⊥，
，则ca∥
。
⑤平行于同一直线的两直线平行。即若cbba∥，∥
，则ca∥
。
5. 平行线间的距离：
平行线间的距离处处相等。
练习题 2
9．（2022•青海）数学课上老师用双手形象的表示了“三线八角”图形，如图所示（两大拇
指代表被截直线，食指代表截线）．从左至右依次表示（ ）
A．同旁内角、同位角、内错角
B．同位角、内错角、对顶角
C．对顶角、同位角、同旁内角
D．同位角、内错角、同旁内角
【分析】两条线a
、b
被第三条直线c
所截，在截线的同旁，被截两直线的同一方，把这
种位置关系的角称为同位角；
两个角分别在截线的异侧，且夹在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为内
错角；
两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁
内角．据此作答即可．
【解答】解：根据同位角、内错角、同旁内角的概念，可知
第一个图是同位角，第二个图是内错角，第三个图是同旁内角．
故选：D
．
10．（2022•贺州）如图，直线a
，b
被直线c
所截，下列各组角是同位角的是（ ）
A．∠1与∠2 B．∠1与∠3 C．∠2与∠3 D．∠3与∠4
【分析】同位角就是：两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置3
北师大版七年级下册第二单元相交线与平行线单元——同位角、内错角、同旁内角(知识梳理与考点分类讲解)
1北师大版七年级下册第二单元相交线与平行线单元——同位角、内错角、同旁内角（知识梳理与考点分类讲解）
【知识点一】同位角、内错角、同旁内角的概念（“三线八角”模型）
如图1，直线AB、CD与直线EF相交(或者说两条直线AB、CD被第三条直线EF所截)，构成八个角，简
称为“三线八角”，如图1.
特别提醒：
⑴两条直线
AB,CD与同一条直线EF相交．
⑵“三线八角”中的每个角是由截线与一条被截线相交而成．
【知识点二】同位角、内错角、同旁内角的定义
在“三线八角”中，如上图1，
（1）同位角：像∠1与∠5，这两个角分别在直线AB、CD的同一方，并且都在直线EF的同侧，具有这
种位置关系的一对角叫做同位角.
（2）内错角：像∠3与∠5，这两个角都在直线AB、CD之间，并且在直线EF的两侧，像这样的一对角
叫做内错角.
（3）同旁内角：像∠3和∠6都在直线AB、CD之间，并且在直线EF的同一旁，像这样的一对角叫做
同旁内角.
特别提醒：
(1)“三线八角”是指上面四个角中的一个角与下面四个角中的一个角之间的关系，显然是没有公共顶
点的两个角.
(2)“三线八角”中共有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角．
【知识点三】同位角、内错角、同旁内角位置特征及形状特征图1
2特别提醒：巧妙识别三线八角的两种方法：
(1)巧记口诀来识别：一看三线，二找截线，三查位置来分辨.
(2)借助方位来识别
根据这三种角的位置关系，我们可以在图形中标出方位，判断时依方位来识别，如图2．
【考点目录】
【考点1】“三线八角”模型的认识；
【考点2】同位角、内错角、同旁内角的辨别；
【考点3】与同位角、内错角、同旁内角相关的综合
【考点1】“三线八角”模型的认识；
【例1】
（1）图1中，∠1、∠2由直线被直线所截而成．
3
（2）图2中，AB为截线，∠D是否属于以AB为截线的三线八角图形中的角？
【答案】（1）EF，CD；AB；（2）不是．
【分析】（1）根据三线八角的定义求解即可；
（2）根据三线八角的定义求解即可；
4-平行线的判定和性质综合提高(1)
4-平行线的判定和性质综合提高（1） 武汉光谷数学
1 / 10 知识总结归纳
一. 同位角、内错角、同旁内角
（1） 这三种角讲的只是位置关系，而不是大小关系
（2） 这三种角都是两条直线被第三条直线所截的情况下，不共点的成对出现的两个角之间的位置关系，并
不是任何情况下都可以提及它们
（3） 三线八角：两条直线被第三条直线所截形成的八个角中有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角．
二. 平行公理――平行线的存在性与惟一性
经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
三. 平行公理的推论
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
四. 两直线平行的性质和判定
（1） 同位角相等 两直线平行
（2） 内错角相等 两直线平行
（3） 同旁内角互补 两直线平行
五. 其它判定方法：
垂直于同一条直线的两直线平行
典型例题
一. 基本概念
【例1】 如图，试判断1与2，1与7，1与BAD，2与9，2与6，5与8各对角的位置关
系．
【例2】 如图，已知//////ABCDEFGH，//AEDG，点C在AE上，点F在DG上，设与
相等的角的个
数为m（不包括
本身），与
互补的角的个数为n，若
，求mn
的值．
C
E A
D
F 1 2 3
4
5 6
7
8
9 B
A
H G F D
E B
C 4-平行线的判定和性质综合提高（1） 武汉光谷数学
2 / 10 【例3】 如图，
////ADEGBC，
//ACEF，则图中与
1相等的角（不含
1）有多少个？若150o
，求
AHG
的度数．
【例4】 如图，
FAD，
DAC，
CAB，
BCA，
ACE和
B中，同位角有____________，内错角有
______________，同旁内角有______________．
二. 基础训练
【例5】 如图，已知//ABCD，且40Bo
,70Do
中考备考：数学勾股定理常用的11个公式
【 导语】勾股定理是中学数学中⽐较难的部分，下⾯，为⼤家整理⼀下初中数学勾股定理常⽤的11个公式，希望能帮到⼤家。
1、常见的勾股数及⼏种通式有
(1)(3,4,5),(6,8,10)……
3n,4n,5n(n是正整数)
(2)(5,12,13),(7,24,25),(9,40,41)……
2n+1,2n^2+2n,2n^2+2n+1(n是正整数)
(3)(8,15,17),(12,35,37)……
^2*(n+1),[2(n+1)]^2-1,[2(n+1)]^2+1(n是正整数)
(4)m^2-n^2,2mn,m^2+n^2(m、n均是正整数,m>n)
2、勾股定理常见知识点
1、过两点有且只有⼀条直线
2、两点之间线段最短
3、同⾓或等⾓的补⾓相等
4、同⾓或等⾓的余⾓相等
5、过⼀点有且只有⼀条直线和已知直线垂直
6、直线外⼀点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
7、平⾏公理经过直线外⼀点，有且只有⼀条直线与这条直线平⾏
8、如果两条直线都和第三条直线平⾏，这两条直线也互相平⾏
9、同位⾓相等，两直线平⾏
10、内错⾓相等，两直线平⾏
11、同旁内⾓互补，两直线平⾏
12、两直线平⾏，同位⾓相等
13、两直线平⾏，内错⾓相等
14、两直线平⾏，同旁内⾓互补
15、定理三⾓形两边的和⼤于第三边
16、推论三⾓形两边的差⼩于第三边
17、三⾓形内⾓和定理三⾓形三个内⾓的和等于180"
18、推论1直⾓三⾓形的两个锐⾓互余
19、推论2三⾓形的⼀个外⾓等于和它不相邻的两个内⾓的和
20、推论3三⾓形的⼀个外⾓⼤于任何⼀个和它不相邻的内⾓
3、勾股定理内容
直⾓三⾓形(等腰直⾓三⾓形也算在内)两直⾓边(即“勾”“股”短的为勾，长的为股)边长平⽅和等于斜边(即“弦”)边长的平⽅。
也就是说设直⾓三⾓形两直⾓边为a和b，斜边为c，那么a的平⽅+b的平⽅=c的平⽅a2+b2=c2。
勾股定理现发现约有500种证明⽅法，是数学定理中证明⽅法最多的定理之⼀。 中国古代数学家商⾼说：“若勾三，股四，则弦五。”它被记录在了《九章算术》中。
翘脚模型(解析版)-初中数学满分突破
翘脚模型
一、基础知识回顾1)平行线的性质：
性质1：两直线平行，同位角相等；
几何符号语言：∵AB∥CD∴∠3=∠2(两直线平行，同位角相等)
性质2：两直线平行，内错角相等；
几何符号语言：∵AB∥CD∴∠1=∠2(两直线平行，内错角相等)
性质3：两直线平行，同旁内角互补.。
几何符号语言：∵AB∥CD∴∠4+∠2=180°(两直线平行，同旁内角互补)2)三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180°
三角形外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。二、模型的概述：模型一：已知AB∥CD，则∠1，∠2，∠3之间的关系为:∠1=∠2+∠3
证明：1)延长AB，交DE边于点O(图1)
2)延长BE，交CD边于点O(图2)
3)过点E作OP∥AB(图3)
模型二：已知AB∥CD，则∠1，∠2，∠3之间的关系为:∠1+∠3-∠2=180°
证明：1)延长AB，与CE边相交于点O(图1)
2)过点E作OP∥AB(图2
)
【基础过关练】1.如图，如果AB∥EF，EF∥CD，则∠1，∠2，∠3的关系式__________．
【答案】∠2+∠3-∠1=180°
【分析】根据平行线的性质和平角定义求解即可．
【详解】解：∵AB∥EF，EF∥CD，∴∠2+∠BOE=180°，∠3+∠COF=180°，
∴∠2+∠3+∠BOE+∠COF=360°，
∵∠BOE+∠COF+∠1=180°，
∴∠BOE+∠COF=180°-∠1，
∴∠2+∠3+(180°-∠1)=360°，
即∠2+∠3-∠1=180°．
故答案为：∠2+∠3-∠1=180°．
【点睛】本题考查平行线的性质、平角定义，熟练掌握平行线的性质是解答的关键．
2.如图所示，AB∥CD，∠E=37°，∠C=20°，则∠EAB的度数为__________．
【答案】57°
【分析】根据三角形内角和180°以及平行线的性质：1、如果两直线平行，那么它们的同位角相等；2、
如果两直线平行，那么它们的同旁内角互补；3、如果两直线平行，那么它们的内错角相等，据此计算
平行线四大模型
-1-平行线四大模型1、平行线的判定根据平行线的定义，如果平面内的两条直线不相交，就可以判断这两条直线平行，但是，由于直线无限延伸，检验它们是否相交有困难，所以难以直接根据定义来判断两条直线是否平行，这就需要更简单易行的判定方法来判定两直线平行．判定方法1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简称：同位角相等，两直线平行．判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简称：内错角相等，两直线平行，判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简称：同旁内角互补，两直线平行，-2
-如上图：若已知∠1=∠2，则AB∥CD（同位角相等，两直线平行）；若已知∠1=∠3，则AB∥CD（内错角相等，两直线平行）；若已知∠1+∠4=180°，则AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．另有平行公理推论也能证明两直线平行：平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
2、平行线的性质利用同位角相等，或者内错角相等，或者同旁内角互补，可以判定两条直线平行．反过来，如果已知两条直线平行，当它们被第三条直线所截，得到的同位角、内错角、同旁内角也有相应的数量关系，这就是平行线的性质．性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简称：两直线平行，同位角相等-3-性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简称：两直线平行，内错角相等性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简称：两直线平行，同旁内角互补平移3.平移是指在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做图形的平移（translation），简称平移。4.平移的性质经过平移，对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等，对应点所连接的线段平行且相等；平移变换不改变图形的形状、大小和方向(平移前后的两个图形是全等形)。（1）图形平移前后的形状和大小没有变化，只是位置发生变化;（2）图形平移后，对应点连成的线段平行且相等（或在同一直线上）（3）多次平移相当于一次平移。（4）多次对称后的图形等于平移后的图形。（5）平移是由方向，距离决定的。经过平移，对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等，对应点所连接的线段平行且相等。-4-平行线四大模型模型一“铅笔”模型
平行线的性质(知识讲解)-2022-2023学年七年级数学下册基础知识专项讲练(人教版)
专题5.12平行线的性质（知识讲解）
【学习目标】
1．掌握平行线的性质，并能依据平行线的性质进行简单的推理；
2．了解平行线的判定与性质的区别和联系，理解两条平行线的距离的概念；
【要点梳理】
要点一、平行线的性质
性质1：两直线平行，同位角相等；
性质2：两直线平行，内错角相等；
性质3：两直线平行，同旁内角互补.
特别说明：
（1）“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容，切不
可忽视前提“两直线平行”．
(2)从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平
行线的性质．
要点二、两条平行线的距离
同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线
的距离．
特别说明：
（1）求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点，向另一条直线作垂线，垂线
段的长度就是两条平行线的距离．
（2）两条平行线的位置确定后，它们的距离就是个定值，不随垂线段的位置的改变而改
变，即平行线间的距离处处相等．
【典型例题】
类型一、平行线的性质➽➼同位（内错）相等✮✮同旁内角互补➻➸两直线平行
1．阅读下列推理过程，在括号中填写理由．
如图，已知ADBC
，EFBC
，12，试证明：∥DGBA．
解：ADBC
，EFBC
（已知），
90EFBADB
（______）
______∥______（______）
1BAD（______）
又12（已知），
______（______）
∥DGBA
（______）
【答案】垂直的定义；EFAD；
；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；
2BAD；等量代换；内错角相等，两直线平行
【分析】根据平行线的判定定理与性质定理求解即可．
解：ADBC
，EFBC
（已知），
∴90EFBADB
（垂直的定义），
∴
EFAD∥（同位角相等，两直线平行），
∴
1BAD（两直线平行，同位角相等），
又12（已知），
探索直线平行的条件优秀教案
1 / 12探索直线平行的条件【课时安排】2课时【第一课时】【教学目标】（一）教学知识点：1．直线平行的条件：同位角相等。2．会用三角板过已知直线外一点画这条直线的平行线。（二）能力训练要求：1．经历探索直线平行的条件的过程，掌握直线平行的条件，并能解决一些问题。2．会用三角尺过已知直线外一点画这条直线的平行线。3．经历观察、操作、想象、推理、交流等活动，进一步发展空间观念、推理能力和有条理表达的能力。（三）情感与价值观要求：1．在探索和交流的活动中，培养学生与人协作的习惯。2．培养学生理论联系实际的观点。【教学重点】在操作、观察的基础上总结出直线平行的条件。【教学难点】同位角的概念。【教学过程】（一）创设现实情景，引入新课：［师］在日常生活中，人们经常用到平行线，那什么是平行线呢？［生］在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。［师］好，在上册书中，我们简单了解了平行线，下面我们来复习回顾一下。判断正误：1．两条直线不相交，就叫平行线。（）
2 / 122．与一条直线平行的直线只有一条。（）3．如果直线a、b都和直线c平行，那么a、b就互相平行。（）［生甲］第1句话是错的。只有在同一平面内的两条不相交的直线才是平行线。（也可举例：如异面直线。学生只要说清即可）。［生乙］第2句话是错的。因为一条直线的平行线有无数条，只有经过直线外一点，才有且只有一条直线与已知直线平行。［生丙］第3句是对的，它是平行线的一个性质。［师］同学们分析得很好。下面我们来看一个生活中的实例。如图，装修工人正在向墙上钉木条，如果木条b与墙壁边缘垂直，那么木条a与墙壁边缘所夹角为多少度时，才能使木条a与木条b平行？（同学们讨论）［师］大家可以用课前裁好的线条在桌子上演示。［生］木条a也与墙壁边缘垂直时，才能使木条a与木条b平行。［师］大家经过讨论，得到了：若木条b与墙壁边缘垂直时，只有木条a也与墙壁边缘垂直时，才能使木条a与木条b平行。那么在同一平面内，两条直线除不相交外，还可能在什么情况下平行呢？这节课我们就来探索直线平行的条件。（二）讲授新课：［师］大家拿出准备好的纸条，按如下方法来做一做如图（1）所示，三根木条相交成∠1，∠2，固定木条b、c，转动木条a。图（1）图（2）如图（2），在木条a的转动过程中，观察∠2的变化以及它与∠1的大小关系，你发现木条a与木条b的位置关系发生了什么变化？木条a何时与木条b平行？
七下数学“相交线与平行线”的知识点
七下数学“相交线与平⾏线”的知识点
开学已经有⼏天了，新的第⼀章知识掌握的怎么样了呢？这⼀单元主要是概念和性质定理⼀定要理解清楚，可以在这篇⽂章梳理⼀下，⼀定能帮到你！
⼀、相交线1.邻补⾓与对顶⾓
两直线相交所成的四个⾓中存在⼏种不同关系的⾓，它们的概念及性质如下表：
注意点：
⑴对顶⾓是成对出现的，对顶⾓是具有特殊位置关系的两个⾓；
⑵如果∠α与∠β是对顶⾓，那么⼀定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不⼀定是对顶⾓
⑶如果∠α与∠β互为邻补⾓，则⼀定有∠α ∠β=180°；反之如果∠α ∠β=180°， 则∠α与∠β不⼀定是邻补⾓。
⑶两直线相交形成的四个⾓中，每⼀个⾓的邻补⾓有两个，⽽对顶⾓只有⼀个。2.垂线
⑴定义：当两条直线相交所成的四个⾓中，有⼀个⾓是直⾓时，就说这两条直线互相垂直， 其中的⼀条直线叫做另⼀条直线的垂线，它们的交点叫做垂⾜。
符号语⾔记作：
如图所⽰：AB⊥CD，垂⾜为 O
⑵垂线性质 1：过⼀点有且只有⼀条直线与已知直线垂直 (与平⾏公理相⽐较记)
⑶垂线性质 2：连接直线外⼀点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简称：垂线段最短。3.垂线的画法：
⑴过直线上⼀点画已知直线的垂线；
⑵过直线外⼀点画已知直线的垂线。
注意：①画⼀条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线；②过⼀点作线段的垂线，垂⾜可在线段上，也可以在线段的延长线上。
画法：⑴⼀靠：⽤三⾓尺⼀条直⾓边靠在已知直线上，⑵⼆移：移动三⾓尺使⼀点落在它的 另⼀边直⾓边上，⑶三画：沿着这条直⾓边画线，不要画成给⼈的印象是线段的线。4.点到直线的距离
直线外⼀点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。应该结合图形进⾏记忆。
如图，PO⊥AB，同 P 到直线 AB 的距离是 PO 的长。PO 是垂线段。PO 是点 P 到直线 AB所有线段中最短的⼀条。 现实⽣活中开沟引⽔，牵⽜喝⽔都是“垂线段最短”性质的应⽤。
5.如何理解“垂线”、“垂线段”、“两点间距离”、“点到直线的距离”这些相近⽽⼜相异的概念。分析它们的联系与区别。