数值计算方法试题一
数值计算方法试题一一、填空题（每空1分，共17分）1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（ ）次。
2、迭代格式)2(21-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在（ ）。
3、已知⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(2110)(233x c x b x a x x x x S 是三次样条函数，则a =( )，b =（ ），c =（ ）。
4、)(,),(),(10x l x l x l n Λ是以整数点n x x x ,,,10Λ为节点的Lagrange 插值基函数，则∑==nk kx l)(( )，∑==nk k jk x lx 0)(( )，当2≥n 时=++∑=)()3(204x l x xk k nk k ( )。
5、设1326)(247+++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/Λ==k k x k 则=],,,[10n x x x f Λ 和=∆07f 。
6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 ，5个节点的求积公式最高代数精度为 。
7、{}∞=0)(k k x ϕ是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x ϕ，则⎰=104)(dx x x ϕ 。
8、给定方程组⎩⎨⎧=+-=-221121b x ax b ax x ，a 为实数，当a 满足 ，且20<<ω时，SOR迭代法收敛。
9、解初值问题00(,)()y f x y y x y '=⎧⎨=⎩的改进欧拉法⎪⎩⎪⎨⎧++=+=++++)],(),([2),(]0[111]0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是阶方法。
10、设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11001a a a a A ，当∈a （ ）时，必有分解式T LL A =，其中L 为下三角阵，当其对角线元素)3,2,1(=i l ii 满足（ ）条件时，这种分解是唯一的。
二、选择题（每题2分）1、解方程组b Ax =的简单迭代格式g Bx x k k +=+)()1(收敛的充要条件是（ ）。
（1）1)(<A ρ, (2) 1)(<B ρ, (3) 1)(>A ρ, (4) 1)(>B ρ2、在牛顿-柯特斯求积公式：⎰∑=-≈bani i n i x f C a b dx x f 0)()()()(中，当系数)(n i C 是负值时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当（ ）时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。
（1）8≥n ， （2）7≥n ， （3）10≥n ， （4）6≥n ，3（1）二次； （2）三次； （3）四次； （4）五次4、若用二阶中点公式)),(4,2(1n n n n n n y x f hy h x hf y y +++=+求解初值问题1)0(,2=-='y y y ，试问为保证该公式绝对稳定，步长h 的取值范围为（ ）。
(1)20≤<h , (2)20≤≤h , (3)20<<h , (4)20<≤h三、1、（82bx a y +=2、（15分）用8=n 的复化梯形公式（或复化 Simpson 公式）计算dxex⎰-1时，(1) 试用余项估计其误差。
（2）用8=n 的复化梯形公式（或复化 Simpson 公式）计算出该积分的近似值。
四、1、（15分）方程013=--x x 在5.1=x 附近有根，把方程写成三种不同的等价形式（1）31+=x x 对应迭代格式311+=+n n x x ；(2)x x 11+=对应迭代格式n n x x 111+=+；（3）13-=x x 对应迭代格式131-=+n n x x 。
判断迭代格式在5.10=x 的收敛性，选一种收敛格式计算5.1=x 附近的根，精确到小数点后第三位。
选一种迭代格式建立Steffensen 迭代法，并进行计算与前一种结果比较，说明是否有加速效果。
2、（8分）已知方程组f AX =，其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=4114334A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=243024f（1） 列出Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法的分量形式。
（2） 求出Jacobi 迭代矩阵的谱半径，写出SOR 迭代法。
五、1、（15分）取步长1.0=h ，求解初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=+-=1)0(1y y dxdy用改进的欧拉法求)1.0(y 的值；用经典的四阶龙格—库塔法求)1.0(y 的值。
2、（8分）求一次数不高于4次的多项式)(x p 使它满足)()(00x f x p =,)()(11x f x p =,)()(00x f x p '=',)()(11x f x p '=',)()(22x f x p =六、（下列2题任选一题，4分） 1、 数值积分公式形如⎰'+'++=≈1)1()0()1()0()()(f D f C Bf Af x S dx x xf（1） 试确定参数D C B A ,,,使公式代数精度尽量高；（2）设]1,0[)(4C x f ∈，推导余项公式⎰-=1)()()(x S dx x xf x R ，并估计误差。
2、 用二步法)],()1(),([111101---+-+++=n n n n n n n y x f y x f h y y y θθαα求解常微分方程的初值问题⎩⎨⎧=='00)(),(y x y y x f y 时，如何选择参数θαα,,10使方法阶数尽可能高，并求局部截断误差主项，此时该方法是几阶的。
数值计算方法试题二一、判断题：（共16分，每小题２分）１、若A 是n n ⨯阶非奇异阵，则必存在单位下三角阵L 和上三角阵U ，使LU A =唯一成立。
（ ） ２、当8≥n 时，Newton －cotes 型求积公式会产生数值不稳定性。
（ ）3、形如)()(1i ni i ba x f A dx x f ∑⎰=≈的高斯（Gauss ）型求积公式具有最高代数精确度的次数为12+n 。
（ ）４、矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=210111012A 的２－范数2A ＝９。
（ ） 5、设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a a a a A 000002，则对任意实数0≠a ，方程组b Ax =都是病态的。
（用∞⋅）（ ）6、设n n R A ⨯∈，n n R Q ⨯∈，且有I Q Q T =（单位阵），则有22QA A =。
（ ）7、区间[]b a ,上关于权函数)(x W 的直交多项式是存在的，且唯一。
（ ）8、对矩阵A 作如下的Doolittle 分解：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=6001032211012001542774322b a A ，则b a ,的值分别为=a 2，=b 2。
（ ）二、填空题：（共20分，每小题2分）1、设102139)(248+++=x x x x f ，则均差 =]2,,2,2[810Λf __________，=]3,,3,3[910Λf __________。
2、设函数)(x f 于区间[]b a ,上有足够阶连续导数，[]b a p ,∈为)(x f 的一个m 重零点，Newton 迭代公式)()('1k k k k x f x f mx x -=+的收敛阶至少是 __________阶。
３、区间[]b a ,上的三次样条插值函数)(x S 在[]b a ,上具有直到__________阶的连续导数。
4、向量T X )2,1(-=,矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1327A ，则=1AX __________，=∞)(A cond __________。
5、为使两点的数值求积公式：⎰-+≈1110)()()(x f x f dx x f 具有最高的代数精确度，则其求积基点应为=1x __________，=2x __________。
6、设nn RA ⨯∈，A AT=，则)(A ρ（谱半径）__________2A 。
（此处填小于、大于、等于）7、设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=2141021A ，则=∞→k k A lim __________。
三、简答题：（9分）1、 方程x x 24-=在区间[]2,1内有唯一根*x ，若用迭代公式：2ln /)4ln(1k k x x -=+),2,1,0(Λ=k ，则其产生的序列{}k x 是否收敛于*x ？说明理由。
2、 使用高斯消去法解线性代数方程组，一般为什么要用选主元的技术？3、 设001.0=x ，试选择较好的算法计算函数值2cos 1)(x x x f -=。
四、（10分）已知数值积分公式为：)]()0([)]()0([2)(''20h f f h h f f hdx x f h-++≈⎰λ，试确定积分公式中的参数λ，使其代数精确度尽量高，并指出其代数精确度的次数。
五、（8分）已知求)0(>a a 的迭代公式为：Λ2,1,00)(2101=>+=+k x x ax x kk k证明：对一切a x k k ≥=,,2,1Λ，且序列{}k x 是单调递减的，从而迭代过程收敛。
六、（9分）数值求积公式⎰+≈30)]2()1([23)(f f dx x f 是否为插值型求积公式？为什么？其代数精度是多少？七、（9分）设线性代数方程组b AX =中系数矩阵A 非奇异，X 为精确解，0≠b ，若向量~X 是b AX =的一个近似解，残向量~X A b r -=，证明估计式：br A cond XX X )(~≤-（假定所用矩阵范数与向量范数相容）。
八、(10分)设函数)(x f 在区间[]3,0上具有四阶连续导数，试求满足)(x H九、(9分)设)(x n 是区间],[b a 上关于权函数)(x w 的直交多项式序列，)1,,,2,1(+=n n i x i Λ为{})(1x n +ϕ的零点，)1,,,2,1)((+=n n i x l i Λ是以{}i x 为基点的拉格朗日(Lagrange)插值基函数，∑⎰+=≈11)()()(n k k k b ax f A dx x w x f 为高斯型求积公式，证明：（1）当j k n j k ≠≤≤,,0时，0)()(11=∑+=i j i kn i ix x A ϕϕ（2）⎰≠=ba j kj k dx x w x l x l)(0)()()(（3）∑⎰⎰+==112)()()(n k b ab ak dxx w dx x w x l十、（选做题8分）若)())(()()(101n n x x x x x x x x f ---==+Λω，),,1,0(n i x i Λ=互异，求],,,[10p x x x f Λ的值，其中1+≤n p 。
《数值计算方法》试题集及答案(1-6) 2
《计算方法》期中复习试题一、填空题：1、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得⎰≈31_________)(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。
答案：2.367，0.252、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2x 的系数为 ，拉格朗日插值多项式为 。
答案：-1，)2)(1(21)3)(1(2)3)(2(21)(2--------=x x x x x x x L3、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字；4、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )；答案)(1)(1n n n n n x f x f x x x '---=+5、对1)(3++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )；6、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差；7、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为( 12+-n a b )；8、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝5.9，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0.15 )； 11、 两点式高斯型求积公式⎰1d )(xx f ≈(⎰++-≈1)]3213()3213([21d )(f f x x f )，代数精度为( 5 )；12、 为了使计算32)1(6)1(41310---+-+=x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写为11,))64(3(10-=-++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式19992001-改写为199920012+ 。
13、 用二分法求方程01)(3=-+=x x x f 在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间为 0.5，1 ,进行两步后根的所在区间为 0.5，0.75 。
计算机数值方法试题
计算机数值⽅法试题数值计算⽅法试题⼀、填空（共20分，每题2分）1、设，取5位有效数字，则所得的近似值x=_____.2、设⼀阶差商，则⼆阶差商3、数值微分中，已知等距节点的函数值则由三点的求导公式，有4、求⽅程的近似根，⽤迭代公式，取初始值，那么5、解初始值问题近似解的梯形公式是6、，则A的谱半径＝，A的＝7、设，则＝和=8、若线性代数⽅程组AX=b 的系数矩阵A为严格对⾓占优阵，则雅可⽐迭代和⾼斯-塞德尔迭代都_____9、解常微分⽅程初值问题的欧拉（Euler）⽅法的局部截断误差为_____10、设，当时，必有分解式，其中L为下三⾓阵，当其对⾓线元素⾜条件时，这种分解是唯⼀的。
⼆、计算题（共60 分，每题15分）1、设（1）试求在上的三次Hermite插值多项式H（x）使满⾜H（x）以升幂形式给出。
（2）写出余项的表达式2、已知的满⾜，试问如何利⽤构造⼀个收敛的简单迭代函数，使0，1…收敛？3、试确定常数A，B，C和，使得数值积分公式有尽可能⾼的代数精度。
试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为Gauss型的？4、推导常微分⽅程的初值问题的数值解公式：三、证明题1、设（1）写出解的Newton迭代格式2、设R=I－CA，如果，证明：（1）A、C都是⾮奇异的矩阵（2）参考答案：⼀、填空题1、2.31502、3、4、1.55、6、7、8、收敛9、O（h）10、⼆、计算题1、1、（1）（2）2、由，可得因故故，k=0,1,…收敛。
3、，该数值求积公式具有5次代数精确度，它是Gauss型的4、数值积分⽅法构造该数值解公式：对⽅程在区间上积分，得，记步长为h,对积分⽤Simpson求积公式得所以得数值解公式：三、证明题1、证明：（1）因，故，由Newton迭代公式：n=0,1,…得，n=0,1,…⼜，则故此迭代格式是线性收敛的。
2、证明：（1）因，所以I–R⾮奇异，因I–R=CA，所以C，A都是⾮奇异矩阵 (2)故则有（2.1）因CA=I–R，所以C=（I–R）A-1，即A-1=（I–R）-1C⼜RA-1=A-1–C，故由（这⾥⽤到了教材98页引理的结论）移项得 (2.2)结合（2.1）、(2.2)两式，得模拟试题⼀、填空题（每空2分，共20分）1、解⾮线性⽅程f(x)=0的⽜顿迭代法具有＿＿＿＿＿＿＿收敛2、迭代过程（k=1,2,…）收敛的充要条件是＿＿＿3、已知数 e=2.718281828...,取近似值 x=2.7182,那麽x具有的有效数字是＿＿＿4、⾼斯--塞尔德迭代法解线性⽅程组的迭代格式中求＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿5、通过四个互异节点的插值多项式p(x),只要满⾜＿＿＿＿＿＿＿，则p(x)是不超过⼆次的多项式6、对于n+1个节点的插值求积公式⾄少具有＿＿＿次代数精度.7、插值型求积公式的求积系数之和＿＿＿8、 ,为使A可分解为A=LL T, 其中L为对⾓线元素为正的下三⾓形，a的取值范围＿9、若则矩阵A的谱半径(A)=＿＿＿10、解常微分⽅程初值问题的梯形格式⼆、计算题（每⼩题15分，共60分）1、⽤列主元消去法解线性⽅程组2、已知y=f（x）的数据如下x 0 2 3f（x） 1 3 2求⼆次插值多项式及f（2.5）3、⽤⽜顿法导出计算的公式，并计算，要求迭代误差不超过。
数值计算试题及答案
数值计算试题及答案一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 在数值计算中，下列哪种方法用于求解线性方程组？A. 牛顿法B. 牛顿-拉弗森方法C. 高斯消元法D. 蒙特卡洛方法答案：C2. 以下哪个不是数值分析中常用的插值方法？A. 拉格朗日插值B. 牛顿插值C. 多项式插值D. 傅里叶变换答案：D3. 在数值积分中，梯形规则的误差项与下列哪个因素有关？A. 积分区间的长度B. 被积函数的二阶导数C. 被积函数的一阶导数D. 被积函数的三阶导数答案：B4. 下列哪种方法不是数值微分的方法？A. 前向差分法B. 中心差分法C. 牛顿迭代法D. 后向差分法答案：C5. 以下哪个算法不是用于求解非线性方程的？A. 牛顿法B. 弦截法C. 牛顿-拉弗森方法D. 欧拉法答案：D6. 在数值分析中，下列哪个概念与误差分析无关？A. 截断误差B. 舍入误差C. 条件数D. 插值多项式的阶答案：D7. 以下哪种方法不是数值解常微分方程的方法？A. 欧拉法B. 龙格-库塔法C. 牛顿法D. 亚当斯法答案：C8. 在数值分析中，下列哪个概念与病态问题无关？A. 条件数B. 误差放大C. 稳定性D. 收敛性答案：D9. 以下哪种情况不会导致数值解的不稳定？A. 步长过大B. 初始条件不精确C. 算法本身稳定D. 计算精度过高答案：C10. 在数值计算中，下列哪种方法用于求解特征值问题？A. 高斯消元法B. 幂法C. 牛顿法D. 蒙特卡洛方法答案：B二、填空题（每题3分，共30分）1. 在数值计算中，使用______方法可以提高插值的精度。
答案：牛顿插值2. 梯形规则的误差与被积函数的______阶导数有关。
答案：二阶3. 在数值微分中，使用______差分法可以提高微分的精度。
答案：中心4. 非线性方程的求解可以通过______法来实现。
答案：牛顿5. 常微分方程的数值解法中，______法是最基本的方法之一。
答案：欧拉6. 对于线性方程组的求解，______法是最基本的方法之一。
数值计算试题
数值计算试题一、选择题（每题4分，共10题，共40分）1. 数值计算方法常用的初值选取方法有（）。
- A. 逐次逼近法- B. 二分法- C. 迭代法- D. 直接求解法2. 数值计算方法中，误差的主要来源是（）。
- A. 截断误差- B. 舍入误差- C. 积分误差- D. 面积误差3. 二分法适用于（）。
- A. 近似求解非线性方程- B. 数值积分- C. 插值拟合- D. 非线性规划4. 在数值计算过程中，防止误差传播和扩散的方法是（）。
- A. 稳定性分析- B. 收敛性分析- C. 考虑计算精度- D. 选择合适的算法5. 牛顿迭代法的基本思想是（）。
- A. 利用函数的导数进行迭代- B. 利用函数的积分进行迭代- C. 利用函数的差商进行迭代- D. 利用函数的微分方程进行迭代6. Richardson外推法是一种加快数值计算速度的方法，它基于（）。
- A. 梯形公式- B. 中点公式- C. Simpson公式- D. Gauss公式7. 数值计算方法中，误差的度量方法包括（）。
- A. 绝对误差- B. 相对误差- C. 条件数- D. 误差限8. 龙贝格积分法是一种数值积分方法，它基于（）。
- A. 矩形公式- B. 符号函数- C. 拉格朗日多项式- D. 分段线性函数9. 数值计算中，条件数的大小反映了（）。
- A. 算法的稳定性- B. 矩阵方程的解的灵敏度- C. 数值方法的收敛性- D. 迭代过程的迭代次数10. 复化求积公式是一种数值积分方法，它基于（）。
- A. 梯形公式- B. 辛普森公式- C. 点插值公式- D. 泰勒公式二、填空题（每题4分，共10题，共40分）1. 数值计算方法中，求解非线性方程常用的方法有（）。
2. 数值计算方法中，求解线性方程组常用的方法有（）。
3. 数值计算方法中，求解常微分方程常用的方法有（）。
4. 数值计算方法中，求解偏微分方程常用的方法有（）。
数值计算方法总结计划试卷试题集及答案
一、选择题（每题2分，共20分）1.数值计算的基本思想是（）。
A.精确求解B.近似求解C.解析表达D.图像显示2.下列哪种方法不属于数值计算方法？（）A.有限差分法B.有限元法C.插值法D.微积分3.在数值计算中，为避免数值计算误差，通常采用（）方法。
A.精确计算B.误差分析C.误差校正D.舍入运算4.下列哪种数值方法适用于求解偏微分方程？（）A.欧拉法B.龙格-库塔法C.有限差分法D.牛顿法5.下列哪种方法不属于求解线性方程组的数值方法？（）A.高斯消元法B.追赶法C.迭代法D.矩阵分解法二、填空题（每题2分，共20分）6.数值计算方法是利用计算机求解科学和工程问题的_______方法。
7.数值计算的主要目的是将_______问题转化为_______问题。
8.在数值计算中，通常需要对实际问题进行_______，以简化计算过程。
9.有限差分法的核心思想是将偏微分方程转化为_______方程。
10.牛顿法是一种_______方法，适用于求解非线性方程组。
三、判断题（每题2分，共20分）11.数值计算方法只能解决线性问题。
（）12.在数值计算中，误差只能通过增加计算精度来减小。
（）13.迭代法求解线性方程组时，需要预先知道方程组的解。
（）14.数值计算方法在实际应用中具有较高的可靠性。
（）15.有限元法适用于求解所有类型的偏微分方程。
（）四、简答题（每题10分，共30分）16.请简要说明数值计算的基本思想及其应用范围。
17.请简要介绍有限差分法的原理及应用。
18.请简要说明牛顿法求解非线性方程组的原理。
五、计算题（每题10分，共50分）2x+3yz=14xy+5z=2-x+2y+z=3y'=-y+e^x，初始条件y(0)=1答案：一、选择题1.B2.D3.B4.C5.A二、填空题6.近似7.连续离散8.简化9.差分10.迭代三、判断题11.×12.×13.×14.√15.×四、简答题16.数值计算的基本思想是将实际问题转化为数学问题，再通过计算机求解。
数值计算方法习题doc
第一章 绪论1．把下列各数按四舍五入规则舍入为有3位小数的近似数，并写出近似数的绝对误差和相对误差，指出近似数有几位有效数字： 93.1822 4.32250 15.9477 17.3675 2．按四舍五入原则，将下列数舍成五位有效数字：816.9567 6.000015 17.32250 1.235651 93.18213 0.015236233．设 **,671.3,6716.3x x x 则==有几位有效数字？ 4．若1/4用0.25来表示,问有多少位有效数字? 5．若 1.1062,0.947a b ==是经过舍入后得到的近似值,问:,a b a b +⨯各有几位有效数字?6．设120.9863,0.0062y y ==是经过舍入后作为12,x x 的近似值, 求11y 和21y 的计算值与真值的相对误差限及12y y 和得到真值的相对误差限. 7．设0,x x >的相对误差为δ,求ln x 的绝对误差.8．正方形的边长约为100cm ,应该怎样测量,才能使其面积的误差不超过12cm . 9．设x 的相对误差为a %,求x n 的相对误差.10．计算球的体积,为了使相对误差限为1%,问度量半径R 时允许的相对误差限如何?11．5631.2*=x 是经四舍五入得到的近似值，则其相对误差≤*r e __________ 12． 设 0000073.0,1416.3,1415926.3**=-==x x x x 则称_________误差13．设⎰+=1061dx xx I nn ，设计一个计算10I 的算法，并说明你的算法的合理性。
14．设028Y =，按递推公式1n n Y Y -= （1,2,n = ）， 计算到100Y27.982≈（5位有效数字），试问计算100Y 将有多大误差． 15．求方程25610x x -+=的两个根，使它至少具有4位有效数字27.982≈）．16．当N 充分大时，怎样求121d 1N N x x ++⎰？17．序列{}n y 满足递推关系101n n y y =- （1,2,n = ），若0 1.41y =≈（三位有效数字），计算到10y 时误差有多大？这个计算过程稳定吗？18．计算61)f =1.41≈，利用下列算式计算，哪一个得到的结果最好？，3(3-，99- 19．()ln(f x x =，求(30)f 的值，若开平方用6位函数表，问求对数时误差有多大？若改用另一等价公式ln(ln(x x =- 计算，求对数时误差有多大？第二章 解线性方程组的直接方法1．用高斯消去法解方程组123234011921261x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 2．用LU 分解，将上题系数矩阵分解为L 和U 的乘积，L 是对角线元素为1的下三角矩阵，U 是上三角矩阵。
数值计算方法试题和答案解析
数值计算方法试题一一、 填空题(每空1分,共17分) 1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数,需对分( )次。
2、迭代格式)2(21-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件就是α取值在( )。
3、已知⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(2110)(233x c x b x a x x x x S 就是三次样条函数,则a =( ),b =( ),c =( )。
4、)(,),(),(10x l x l x l n Λ就是以整数点n x x x ,,,10Λ为节点的Lagrange 插值基函数,则∑==nk kx l0)(( ),∑==nk k jk x lx 0)(( ),当2≥n 时=++∑=)()3(204x l x xk k n k k( )。
5、设1326)(247+++=x x x x f 与节点,,2,1,0,2/Λ==k k x k 则=],,,[10n x x x f Λ 与=∆07f。
6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 ,5个节点的求积公式最高代数精度为 。
7、{}∞=0)(k kx ϕ就是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族,其中1)(0=x ϕ,则⎰=14)(dx x x ϕ 。
8、给定方程组⎩⎨⎧=+-=-221121b x ax b ax x ,a 为实数,当a 满足 ,且20<<ω时,SOR 迭代法收敛。
9、解初值问题00(,)()y f x y y x y '=⎧⎨=⎩的改进欧拉法⎪⎩⎪⎨⎧++=+=++++)],(),([2),(]0[111]0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 就是阶方法。
10、设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11001a a a a A ,当∈a ( )时,必有分解式T LL A =,其中L为下三角阵,当其对角线元素)3,2,1(=i l ii 满足( )条件时,这种分解就是唯一的。
数值计算考试题及答案
数值计算考试题及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 以下哪个算法用于求解线性方程组？A. 牛顿法B. 欧拉法C. 高斯消元法D. 龙格-库塔法答案：C2. 插值法中，拉格朗日插值法适用于哪种类型的数据点？A. 等间距数据点B. 非等间距数据点C. 任意分布的数据点D. 只有两个数据点答案：B3. 在数值积分中，梯形法则的误差与以下哪个因素无关？A. 积分区间的长度B. 被积函数的二阶导数C. 积分区间的划分数量D. 被积函数的一阶导数答案：D4. 以下哪个方法不是求解非线性方程的迭代法？A. 牛顿法B. 割线法C. 二分法D. 线性规划答案：D5. 以下哪个是数值稳定性好的算法？A. 雅可比迭代法B. 高斯-塞德尔迭代法C. 逐次超松弛迭代法（SOR）D. 以上都是答案：C二、填空题（每题3分，共15分）1. 在数值分析中，条件数是衡量一个矩阵______的量度。
答案：稳定性2. 线性插值法的基本思想是利用两个已知点确定一条直线，通过这条直线来估计未知点的值，其公式为：\[ y = y_0 + \frac{(y_1 -y_0)}{(x_1 - x_0)}(x - x_0) \]。
答案：\[ y = y_0 + \frac{(y_1 - y_0)}{(x_1 - x_0)}(x - x_0) \]3. 矩阵的LU分解是将矩阵分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积，即\[ A = LU \]。
答案：\[ A = LU \]4. 牛顿法求解非线性方程的迭代公式为：\[ x_{n+1} = x_n -\frac{f(x_n)}{f'(x_n)} \]。
答案：\[ x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} \]5. 辛普森法则是数值积分中的一种方法，其基本公式为：\[ \int_a^b f(x)dx \approx \frac{h}{3} [f(a) +4f\left(\frac{a+b}{2}\right) + f(b)] \]，其中h为区间[a, b]的划分长度。
数值计算方法期末考试题
数值计算方法期末考试题集团标准化工作小组 #Q8QGGQT-GX8G08Q8-GNQGJ8-MHHGN#一、单项选择题（每小题3分，共15分）1. 和分别作为π的近似数具有（ ）和（ ）位有效数字. A ．4和3 B ．3和2 C ．3和4 D ．4和42. 已知求积公式()()211211()(2)636f x dx f Af f ≈++⎰，则A ＝（ ）A ． 16B ．13C ．12D ．233. 通过点()()0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足（ ）A ．()00l x ＝0，()110l x =B ．()00l x ＝0，()111l x =C ．()00l x ＝1，()111l x = D ．()00l x ＝1，()111l x =4. 设求方程()0f x =的根的牛顿法收敛，则它具有（ ）敛速。
A ．超线性B ．平方C ．线性D ．三次5. 用列主元消元法解线性方程组1231231220223332x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪--=⎩作第一次消元后得到的第3个方程（ ）.A ．232x x -+= B ．232 1.5 3.5x x -+=C ．2323x x -+= D ．230.5 1.5x x -=-单项选择题答案二、填空题（每小题3分，共15分）1. 设TX )4,3,2(-=, 则=1||||X ，2||||X = .2. 一阶均差()01,f x x =????? ???????????????3. 已知3n =时，科茨系数()()()33301213,88C C C ===，那么()33C =???????????? 4. 因为方程()420x f x x =-+=在区间[]1,2上满足??????????????? ?，所以()0f x =在区间内有根。
5. 取步长0.1h =，用欧拉法解初值问题()211y y yx y ⎧'=+⎪⎨⎪=⎩的计算公式????????????????????? .填空题答案1.?????? 9和292.??????()()0101f x f x x x --?3.?????? 18 4.??????()()120f f <5.?????? ()1200.11.1,0,1,210.11k k y y k k y +⎧⎛⎫⎪ ⎪=+⎪ ⎪=+⎨⎝⎭⎪=⎪⎩三、计算题（每题15分，共1. 已知函数211y x =+的一组数据：求分段线性插值函数，并计算()1.5f 的近似值.计算题1.答案1.?????? 解[]0,1x ∈，()1010.510.50110x x L x x --=⨯+⨯=---??????????[]1,2x ∈，()210.50.20.30.81221x x L x x --=⨯+⨯=-+--所以分段线性插值函数为2. 已知线性方程组1231231231027.21028.35 4.2x x x x x x x x x --=⎧⎪-+-=⎨⎪--+=⎩（1）?????? 写出雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式； （2）?????? 对于初始值()()0,0,0X =，应用雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式分别计算()1X（保留小数点后五位数字）.计算题2.答案1.解 原方程组同解变形为 1232133120.10.20.720.10.20.830.20.20.84x x x x x x x x x =++⎧⎪=-+⎨⎪=++⎩雅可比迭代公式为()()()()()()()()()1123121313120.10.20.720.10.20.830.20.20.84m m m m m m m m m x x x x x x x x x +++⎧=++⎪⎪=-+⎨⎪=++⎪⎩(0,1...)m =高斯－塞德尔迭代法公式()()()()()()()()()1123112131113120.10.20.720.10.20.830.20.20.84m m m m m m m m m x x x x x x x x x ++++++⎧=++⎪⎪=-+⎨⎪=++⎪⎩?(0,1...)m =用雅可比迭代公式得()()10.72000,0.83000,0.84000X =用高斯－塞德尔迭代公式得()()10.72000,0.90200,1.16440X =3. 用牛顿法求方程3310x x --=在[]1,2之间的近似根（1）请指出为什么初值应取2 （2）请用牛顿法求出近似根，精确到.计算题3.答案4. 写出梯形公式和辛卜生公式，并用来分别计算积分101dx x +⎰.计算题4.答案确定下列求积公式中的待定系数，并证明确定后的求积公式具有3次代数精确度证明题答案证明：求积公式中含有三个待定系数，即101,,A A A -，将()21,,f x x x =分别代入求积公式，并令其左右相等，得得1113A A h -==，043hA =。
数值分析计算方法试题集及答案
数值分析复习试题第一章绪论一.填空题1.为精确值的近似值；为一元函数的近似值；*xx ()**x f y =()x f y =1为二元函数的近似值，请写出下面的公式：：()**,*y x f y =()y x f y ,2=**e x x =-***r x xe x -=()()()*'1**y f x x εε≈⋅()()()()'***1**r r x f x y x f x εε≈⋅()()()()()**,**,*2**f x y f x y y x y x yεεε∂∂≈⋅+⋅∂∂()()()()()****,***,**222r f x y e x f x y e y y x y y y ε∂∂≈⋅+⋅∂∂2、计算方法实际计算时，对数据只能取有限位表示，这时所产生的误差叫舍入误差。
3、分别用2.718281，2.718282作数e 的近似值，则其有效数字分别有 6 位和7（三位有效数字）。
1.73≈-211.73 10 2-≤⨯4、设均具有3位有效数字，则的相对误差限为 0.0055 。
121.216, 3.654x x ==12x x 5、设均具有3位有效数字，则的误差限为 0.01 。
121.216, 3.654x x ==12x x +6、已知近似值是由真值经四舍五入得到,则相对误差限为0.0000204 .2.4560A x =T x 7、递推公式如果取作计算,则计算到时,误差为,⎧⎪⎨⎪⎩0n n-1y =y =10y -1,n =1,2,0 1.41y =≈10y ;这个计算公式数值稳定不稳定 不稳定 .8110 2⨯8、精确值，则近似值和分别有 3 位和14159265.3*=π141.3*1=π1415.3*2=π4 位有效数字。
9、若,则x 有 6 位有效数字，其绝对误差限为1/2*10-5 。
*2.71828x e x =≈=10、 设x*的相对误差为2％，求(x*)n 的相对误差0.02n11、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字；12、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差；13、为了使计算 的乘除法次数尽量地少，应将该表达式()()2334610111y x x x =++----改写为11,))64(3(10-=-++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式19992001-改写为199920012+。