17.2.3配方法(二)(一元二次方程的解法)
17.2 一元二次方程的解法 课件2 (北京课改版八年级下册)
2
5 2 5 ( ) (x 2 2
3.用配方法解方程 ax2 bx c 0(a 0) 因为a 0, 所以可以把方程的 两边都除以二次项的系 数a,
b c 移项得 x x a a
2
因为 a 0, 所以4a 2 0, 当b 2 4ac 0时, 得 b b 2 4ac x 2a 4a 2
谈谈本节课你有哪些收获?
A)用公式法解方程 (1)2 x 4 x 1 0
2
(2)5 x 2 3 x 2 (3)(x 2)(3 x 5) 1
B)解关于x的方程： x m(3x 2m n) n
2 2
方程的求解问题转化为 代数式的值的计算问题 ，从而可简化解一元
2.这里的b 2 4ac 0是作为公式的一部分处 理的.这就是说, 运用求根公式求解前 , 先求b 2 4ac. (1)当b 2 4ac 0时, 方程有实数解 , 可以继续把根求出 ; (2)当b 2 4ac 0时, 方程没有实数解 , 就不必再代入公 式了 .
所以
b b 2 4ac x 2a 2a - b b 2 4ac x 2a
b b 2 c b 2 配方 x x ( ) ( ) a 2a a 2a
2
b 2 b 4ac 即 (x ) 2a 4a 2
2
这样, 我们就得到了一元二次 方程 ax2 bx c 0(a 0) 的求根公式 b b 2 4ac 2 x (b 4ac 0) 2a
3.公导，加强推理技 能训练，发展逻辑思维能力。 2、会运用求根公式解一元二次方程。
1.给下列各式配上适当的数，使其成为恒等式
八年级数学下册17、2一元二次方程的解法17、2、3因式分解法目标一用因式分解法解一元二次方程习题课
(3)(x＋2)2－8(x＋2)＋16＝0.
解：将x＋2看作一个整体， 分解因式，得[(x＋2)－4]2＝0， 即(x－2)2＝0. 解得x1＝x2＝2.
9 阅读材料： 由多项式乘法得(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab，将该 式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式 分解的公式：x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b). 示例：分解因式： x2＋5x＋6＝x2＋(2＋3)x＋2×3＝(x＋2)(x＋3).
【点拨】 阅读材料，用类比法确定a，b的值，从而用因式分解
法解方程．
分两种情况： ①当AB＝AD＝4时，4＋4＝8，不能构成三角形，不 符合题意； ②当AB＝AD＝6时，6＋6＞8，符合题意． ∴菱形ABCD的周长＝4AB＝24. 故选B.
7 小红解方程(x－2)2＝2－x，只得到一个根为x＝1，其 错误原因是_____未__考__虑__x_－__2_＝__0_____，漏掉的根是 _____x_＝__2____.
边关系定理，此时能组成三角形，此时三角形的底边长为 2，故选A.
6 【中考·黔东南州】若菱形ABCD的一条对角线长为8， 边CD的长是方程x2－10x＋24＝0的一个根，则该菱形 ABCD的周长为( B ) A．16 B．24 C．16或24 D．48
【点拨】 如图所示．假设BD＝8. ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝AD. x2－10x＋24＝0， 因式分解，得(x－4)(x－6)＝0， 解得x＝4或x＝6.
5 【中考·张家界】已知等腰三角形的两边长分别是一元 二次方程x2－6x＋8＝0的两根，则该等腰三角形的底 边长为( A ) A．2 B．4 C．8 D．2或4
【点拨】 x2－6x＋8＝0， (x－4)(x－2)＝0， 解得x＝4或x＝2. 当等腰三角形的三边长为2，2，4时，不符合三角形
17.配方法课件14张初中数学沪科版八年级下册
的是一次项系数一半的平方.
三、典型例题
议一议：说出解一般二次项系数为1(如x2+6x+4=0)的一元二次方程的基 本思路是什么？ 把方程化为（x+n)2=p的情势，将一元二次方程降次，转化为一元一次 方程求解．
对一个一元二次方程进行配方，使它出现完全平方式后， 再直接开平方求解的方2+6x+4=0可以逆过程最后开 平方求解
三、典型例题
解方程(2)x2+6x+4=0
(2)x2+6x+4=0
移项，得x2+6x=-4
两边同时加上9，得x2+6x+32=-4+32 配方
即(x+3)2=5
开平方，得x+3= 5
注意：配方时, 等式两边同时加上
解得x1 3 5,x2 3 5
【当堂检测】
1.如果x2-8x+m=0可以通过配方写成(x-n)2=6的情势，那么m、n的值分别
为( C ) A.10,-4
B.-10,4
C.10,4
D.-10,-4
提示：将(x-n)2=6展开对照系数得出结果.
【当堂检测】
2.解下列方程： (1)x2+2x=3
(2)x2-4x-7=0
解：(1)配方，得x2+2x+1=3+1 (2)移项，得x2-4x=7
即(x+1)2=4
配方，得x2-4x+4=7+4
开平方，得x+1=±2
即(x-2)2=11
解得x1=1,x2=-3
开平方，得x-2= 11 解得 x1 2 11,x2 2 11
三、典型例题
例2.解方程(1)2x2+x-6=0
17.2一元二次方程2-配方法
2.用配方法说明：不论k取何实 数，多项式k2－3k＋5的值必定 大于零.
2、解方程4x 1 3x2
概括总结
1.对于二次项系数不为1的一元二次方程， 用配方法求解时首先要怎样做 ？
要把二次项系数化为1
2.用配方法解一元二次方程的一般步骤：
1.移项:把常数项移到方程的右边; 2.化1:把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项系 数); 3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方; 4.开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 5.求解:解一元一次方程; 6.定解:写出原方程的解.
A.( x 6)2 2
C.( x 3)2 2
B.( x 3)2 16 D.( x 6)2 16
用配方法解下列方程：
(1)x2 12 x 9 (2)x2 x 1 (3)x2 4x 3 0 (4)x 2 2x 1 0
(5)x2 3x 5 0
思 考
而立之年督东吴，早逝英年两位数。
分
十位恰小个位三，个位平方与寿符。
析
哪位学子算得快，多少年华属周瑜？
解：设个位数字为x，十位数字为x-3 x2=10(x-3)+x x2-11x+30=0
1.把一元二次方程的左边配成一个完 全平方式,然后用开平方法求解,这种解 一元二次方程的方法叫做配方法.
注意:配方时, 等式两边同时加上的是 一次项系数一半的平方.
.
3
3.配方:方程两边都加上一 次项系数一半的平方;
x
4
2
5 2.
3 3
x 4 5.
33
x 4 5.
x1
17.2一元二次方程的解法公式法
一元二次方程的解法------公式法学习目标理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程．一、探索新知如果这个一元二次方程是一般形式ax 2+bx+c=0（a ≠0）b 2-4ac ≥0 ，你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题． 解：移项，得：ax 2+bx=_________二次项系数化为1，得x 2+b a x=___________ 配方，得：x 2+b a x+（ ）2=-c a +（ ）2 即（x+2ba ）2=________________∵b 2-4ac ≥0且4a 2>0∴2244b aca -≥0直接开平方，得：x+2ba =±___________________ 即x=______________∴x 1= ______________ ， x 2=_________________.由上可知，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因此：（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx+c=0，当b 2-4ac ≥0时，•将a 、b 、c 代入式子x=2a（2）这个式子叫做__________________________.（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫__________．（4）由求根公式可知，一元二次方程若有实根，有_________个实数根．（5）原方程变形为（x+m ）2=n 的形式；（6）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．二、应用新知：1、用公式法解下列方程．（1）2x 2-4x-1=0 （2）5x+2=3x 2 （3）4x1)1x (22=--2、解方程 (1) 04722=--t t （2）210x x -+=三、总结归纳：用公式法解一元二次方程的步骤：1、化为 ，2、确定 ，3、计算 的值，当 时，带入求根公式求解，当 时，此方程无解。
17.2 一元二次方程的解法 课件3 (北京课改版八年级下册)
2、(x－3)=x(x－3)
3、x2 －4=0
4、(x＋1)2－25=0
1.通过本节课的学习，你会用分解因式法解某些一元二 次方程了吗？说说分解因式法解方程的一般步骤，关键 是什么？ 2.通过解方程，你感悟到了怎样的数学方法和思想？ 3.通过本节课的学习，你还有什么收获和提高？
1.慧眼识金 解方程2(3x＋1)2－5(3x＋1)=0最适当的方法是（ D ） A 直接开平方法 B 配方法 C 公式法 D 分解因式法
2.一锤定音
3.马到成功
7 x 1 0 ，x 2 2 2 方程2x =7x的解为＿＿＿＿＿＿＿
（1）(x＋2)(x－4)=0或4x(2x＋1)=3(2x＋1)
（2） x2 －9=0 或 (y＋2)2 －16=0
1.你会分解因式吗？ x(x－6) （1）x2－6x= ＿＿＿＿＿＿＿ (x－1)(3x＋2) （2）3x(x－1)－2(1－x)=＿＿＿＿＿＿＿ (x＋a)(x－a) （3）x2 －a2 =＿＿＿＿＿＿＿＿
A=0或B=0 2.若A· B=0，则A、B满足＿＿＿＿＿＿＿＿
用分解因式法解下列方程 1、5x2 =8x
2 2
由方程x 2 6x，得 x 2 6x 0， x(x 6) 0， x 0，或x 6 0， x1 0，x 2 6
x
6 36 ， 2 即x1 6源自x 2 01.上述四位同学展示的方程解得都对吗？为什么？ 2.在方程解对的同学中他们都采用了哪些方法？
④
你会解方程x2=6x吗？请解一解。
由方程x 2 6x，得 x 2 6x 0 x 2 6x 9 9 (x 3) 2 9 x 3 3 x 1 6，x 2 0
沪科版八年级下册数学精品教学课件 第17章 一元二次方程 配方法
一元二次方程配方的方法：
在方程两边都加上一次项系数一半的平方——注意是 在二次项系数为 1 的一般式前提下进行的.
要点ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ纳
配方法解一元二次方程的定义 像这样通过配成完全平方式来解一元二次方程的
方法，叫做配方法.
配方法解一元二次方程的基本思路 把一元二次方程化为 (x + n)2 = p 的形式，通过开
(x 3)2 21. 4 16
x1
3 4
21
，x2
3 4
21
.
x1 = 6，x2 = -2. （4）3x2 + 6x - 9 = 0.
解：x2 + 2x - 3=0，
(x + 1)2 = 4.
x1 = -3，x2 = 1.
5. 如图，在一块长 35 m、宽 26 m 的矩形地面上，修建
同样宽的两条互相垂直的道路，剩余部分栽种花草，要
归纳 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的 根的方法叫直接开平方法.
典例精析
例1 利用直接开平方法解下列方程：
(1) x2 = 6；
(2) x2 - 900 = 0.
解：直接开平方，得 解：移项，得 x2 = 900.
x 6，
直接开平方，得
x1 6，x2 6.
x = ± 30， ∴ x1 = 30，x2 = -30.
解题归纳
上面的解法中 ，由方程①得到②，实质上是 把一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方 程，这样就把方程①转化为我们会解的方程了.
例2 解下列方程：
(1) (x 1)2 4 0； (2) 12(3 2x)2 3 0.
解：移项，得
解： 移项，得12(3 2x)2 3，
一元二次方程的解法(公式法)(沪科版)
17.2 一元二次方程的解法（公式法）教学内容：求根公式法解一元二次方程学习目标：1.理解一元二次方程求根公式的推导过程；2.会利用求根公式解简单数字系数的一元二次方程；3.经历探索求根公式的过程，发展学生合情合理的推理能力；4.通过运用公式法解一元二次方程，提高学生的运算能力，并让学生在学习活动中获得成功的体验，建立学好数学的自信心。
学习重点：求根公式的推导和公式法的应用学习难点：一元二次方程求根公式的推导教学过程（一） 创设情境，导入新课：前面我们己学习了用配方法解一元二次方程，想不想再探索一种比配方法更简单，更直接的方法？ 大家一定想，那么这节课我们一同来研究。
教师：下面我们先用配方法解下列一元二次方程学生：（每组一题，每组派一名同学板演）1．22x -4x-1=0 2. 2x +1.5=-3x完成后小组内进行交流，并进行反馈矫正。
学生:总结用配方法解一元二次方程的步骤教师板书：（1）移项；（2）化二次项系数为1；（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方；（4）原方程变形为2)(m x =n 的形式；（5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．教师：通过以上四个方程的求解，你能试着猜想一下上述问题的求解的一般规律吗？学生：独立思考（二）新知探索教师：作进一步引导，如果每一个一元二次方程都通过配方法解，那么计算就较繁杂，针对于一般的一元二次方程02=++c bx ax （a ≠0） 能否也用配方法导出一般求解模式呢？动手试一试。
学生：动手亲自解方程02=++c bx ax （a ≠0）找一名同学板演。
教师：巡视，作个别点评，辅导。
教师：现在我们大家共同观察黑板上的探索过程02=++c bx ax （a ≠0）bx ax +2=-c移项：2x +b a x=-ca将二次项的系数化为1：2x +x a b 2+2)(a b =-c a +2)2(a b 即2)(a b x +=2244b ac a - 配方：开平方运算思考：有条件限制吗？学生: 有 当2244b aca -≥0时,才可以开平方 教师：在什么2244b aca -才能大于或等于0？学生：（思考、回答）因为a ≠0所以４a2 ＞0，如果使2244b aca -≥0，那么只有ac b 42-≥0教师：如果 ac b 42-<0 时，可以进行开平方运算吗？学生：不可以，因为负数没有平方根教师：同学们推导的都很好，那么我们来总结一下，在用配方法解02=++c bx ax （a ≠0）时，需注意什么？学生：畅所欲言 --------发挥学生的主动性归纳总结：对于02=++c bx ax （a ≠0），当 ac b 42-≥ 0 时，在这里我们把称为一元二次方程的求根公式，用公式可以直接解一元二次方程。
沪科版八年级数学下册教学设计《第17章一元二次方程数17.2一元二次方程的解法(第3课时)》
沪科版八年级数学下册教学设计《第17章一元二次方程数17.2一元二次方程的解法（第3课时）》一. 教材分析《第17章一元二次方程数17.2一元二次方程的解法（第3课时）》是沪科版八年级数学下册的教学内容。
本节课主要介绍一元二次方程的解法，包括因式分解法、配方法、求根公式法等。
通过本节课的学习，使学生掌握一元二次方程的解法，并能灵活运用解决实际问题。
二. 学情分析学生在之前的学习中已经掌握了一元二次方程的基本概念，具备了一定的代数基础。
但是，对于一元二次方程的解法，部分学生可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，要关注学生的个体差异，针对不同的学生进行有针对性的教学。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握一元二次方程的解法，能够熟练运用因式分解法、配方法、求根公式法等解决实际问题。
2.过程与方法：通过自主学习、合作交流的方式，培养学生解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自信心，使学生感受到数学在生活中的应用。
四. 教学重难点1.重点：一元二次方程的解法。
2.难点：灵活运用不同的解法解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入一元二次方程的解法，使学生感受到数学与生活的联系。
2.启发式教学法：引导学生主动思考，探索一元二次方程的解法。
3.合作学习法：学生进行小组讨论，共同解决问题。
六. 教学准备1.教学PPT：制作相关的教学PPT，展示一元二次方程的解法。
2.教学素材：准备一些实际问题，用于巩固学生的学习。
3.板书设计：设计清晰易懂的板书，帮助学生理解一元二次方程的解法。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个生活实例，引出一元二次方程的解法。
例如，假设小明买了一辆自行车，已知自行车的速度与时间的关系为v = at，其中a是加速度，t是时间。
小明想知道，在一定的加速度下，多长时间可以到达某个速度。
这个问题就可以转化为一个一元二次方程。
2.呈现（10分钟）呈现一元二次方程的解法，包括因式分解法、配方法、求根公式法等。
【数学课件】八下数学17.2一元二次方程的解法之因式分解法(沪科版)
（1） 4x2 -9=0 （2） x2+3x=0 （3） 3x（x+2）=5（x+2） （4）（3x+1）2 - 5=0
合作探究
解方程 x2+x=0
你可以有哪些方法解这个方程？ 除了配 方法、公式法外，还有没有更简便的方法解 这个方程呢？
x2+x=0 解：原方程整理得 x(x+1)=0 ∴x=0 或 (x+1)=0 则x1=0 ，x2=-1
2 x +3x=0
巩固练习
1.不计算，请你说出下列方程的根.
2 1 (3)(3x 2)(2 x 1) 0 x1 , x2 3 2 2 (4) x x x1 0, x2 1
(1) x( x 2) 0 x1 0, x2 2 (2)( y 2)( y 3) 0 y1 2, y2 3
可以发现，如果两个因 式的积等于0，那么这 两个因式中至少有一个 等于0；如果两个因式 中有一个等于0，那么 它们的积就等于0.
上述解法中，通过因式分解，将一
个一元二次方程化为两个一元一次方程
来求解方法叫做因式分解法。
分解因式法:
当一元二次方程的一边是0,而另一边易 于分解成两个一次因式的乘积时,我们就可以 用分解因式的方法求解.
分析：（1）对于缺少一次项的，化为一般形式后形如 a x2+c=0（a≠0），当ac≤0时，总可以用因式分解法或开平 方法求解；当ac＞0时，方程无实数根。
（2）对于缺少常数项的，化为一般形式后形如a
x2+bx=0（a≠0），
进行因式分解，总有一根为0.
合作探究 解方程:
(1) (2) 3x(x+2)=5(x+2) (3) 4x2 -9=0 2 (4) (3x+1) - 5=0