高中数学圆的方程经典例题与解析(供参考)
文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持. 1文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑. 高中数学圆的方程经典例题与解析 例1 求过两点)4,1(A、)2,3(B且圆心在直线0y上的圆的标准方程并判断点)4,2(P与圆的关系． 分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P与圆的位置关系，只须看点P与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内． 解法一：（待定系数法）
设圆的标准方程为222)()(rbyax．
∵圆心在0y上，故0b． ∴圆的方程为222)(ryax．
又∵该圆过)4,1(A、)2,3(B两点． ∴22224)3(16)1(rara 解之得：1a，202r．所以所求圆的方程为20)1(22yx． 解法二：（直接求出圆心坐标和半径） 因为圆过)4,1(A、)2,3(B两点，所以圆心C必在线段AB的垂直平分线l上，又因为
13124ABk，故l的斜率为1，又AB的中点为)3,2(，故AB的垂直平分线l的方程
为：23xy即01yx． 又知圆心在直线0y上，故圆心坐标为)0,1(C ∴半径204)11(22ACr． 故所求圆的方程为20)1(22yx． 又点)4,2(P到圆心)0,1(C的距离为 rPCd254)12(22． ∴点P在圆外． 说明：本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢？
例2 已知圆422yxO：，求过点42，P与圆O相切的切线．
解：∵点42，P不在圆O上，∴切线PT的直线方程可设为42xky
根据rd ∴ 21422kk 解得43k 所以4243xy 即 01043yx 文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持. 2文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑. 因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在．易求另一条切线为2x． 说明：上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况，要注意补回漏掉的解． 本题还有其他解法，例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于0解决（也要
注意漏解）．还可以运用200ryyxx，求出切点坐标0x、0y的值来解决，此时没有漏解．
例3、直线0323yx截圆422yx得的劣弧所对的圆心角为 解：依题意得，弦心距3d，故弦长2222drAB，从而△OAB是等边三角形，故截得的劣弧所对的圆心角为3AOB. 例4 圆9)3()3(22yx上到直线01143yx的距离为1的点有几个？ 分析：借助图形直观求解．或先求出直线1l、2l的方程，从代数计算中寻找解答． 解法一：圆9)3()3(22yx的圆心为)3,3(1O，半径3r．
设圆心1O到直线01143yx的距离为d，则324311343322d． 如图，在圆心1O同侧，与直线01143yx平行且距离为1的直线1l与圆有两个交点，这两个交点符合题意． 又123dr．
∴与直线01143yx平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意． ∴符合题意的点共有3个． 解法二：符合题意的点是平行于直线01143yx，且与之距离为1的直线和圆的
交点．设所求直线为043myx，则1431122md， ∴511m，即6m，或16m，也即 06431yxl：，或016432yxl：．
设圆9)3()3(221yxO：的圆心到直线1l、2l的距离为1d、2d，则 34363433221d，143163433222d．
∴1l与1O相切，与圆1O有一个公共点；2l与圆1O相交，与圆1O有两个公共点．即符合题意的点共3个． 文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持. 3文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑. 说明：对于本题，若不留心，则易发生以下误解： 设圆心1O到直线01143yx的距离为d，则324311343322d．
∴圆1O到01143yx距离为1的点有两个． 显然，上述误解中的d是圆心到直线01143yx的距离，rd，只能说明此直线与圆有两个交点，而不能说明圆上有两点到此直线的距离为1． 到一条直线的距离等于定值的点，在与此直线距离为这个定值的两条平行直线上，因此题中所求的点就是这两条平行直线与圆的公共点．求直线与圆的公共点个数，一般根据圆与直线的位置关系来判断，即根据圆心与直线的距离和半径的大小比较来判断．
例5：圆0222xyx和圆0422yyx的公切线共有 条。
解：∵圆1)1(22yx的圆心为)0,1(1O，半径11r，圆4)2(22yx的圆心为)2,0(2O，半径22r，∴1,3,5122121rrrrOO.∵212112rrOOrr，
∴两圆相交.共有2条公切线。 例6 自点33，A发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，反射光线所
在的直线与圆074422yxyxC：相切 （1）求光线l和反射光线所在的直线方程． （2）光线自A到切点所经过的路程． 分析、略解：观察动画演示，分析思路．根据对称关系，首先求出
点A的对称点A的坐标为33，，其次设过A的圆C的切线方程为
根据rd，即求出圆C的切线的斜率为 34k或43k 进一步求出反射光线所在的直线的方程为 0334yx或0343yx 最后根据入射光与反射光关于x轴对称，求出入射光所在直线方程为
0334yx或0343yx
光路的距离为MA'，可由勾股定理求得7222CMCAMA． 说明：本题亦可把圆对称到x轴下方，再求解． 例7 (1)已知圆1)4()3(221yxO：，),(yxP为圆O上的动点，求22yxd的最大、最小值．
G O B
N M y A x 图C
A’ 文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.
4文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑. (2)已知圆1)2(222yxO：，),(yxP为圆上任一点．求12xy的最大、最小值，求yx2的最大、最小值．
分析：(1)、(2)两小题都涉及到圆上点的坐标，可考虑用圆的参数方程或数形结合解决． 解：(1)(法1)由圆的标准方程1)4()3(22yx．
可设圆的参数方程为,sin4,cos3yx（是参数）． 则2222sinsin816coscos69yxd )cos(1026sin8cos626（其中34tan）．
所以361026maxd，161026mind． (法2)圆上点到原点距离的最大值1d等于圆心到原点的距离'1d加上半径1，圆上点到原点距离的最小值2d等于圆心到原点的距离'1d减去半径1． 所以6143221d． 4143222d．
所以36maxd．16mind．
(2) (法1)由1)2(22yx得圆的参数方程：,sin,cos2yx是参数． 则3cos2sin12xy．令t3cos2sin， 得tt32cossin，tt32)sin(12 1)sin(1322t
t
433433
t．
所以433maxt，433mint． 即12xy的最大值为433，最小值为433． 此时)cos(52sin2cos22yx． 文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持. 5文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑. 所以yx2的最大值为52，最小值为52． (法2)设kxy12，则02kykx．由于),(yxP是圆上点，当直线与圆有交点时，如图所示， 两条切线的斜率分别是最大、最小值．
由11222kkkd，得433k．
所以12xy的最大值为433，最小值为433． 令tyx2，同理两条切线在x轴上的截距分别是最大、最小值． 由152md，得52m． 所以yx2的最大值为52，最小值为52． 例8、 已知圆0622myxyx与直线032yx相交于P、Q两点，O为原点，且OQOP，求实数m的值． 分析：设P、Q两点的坐标为),(11yx、),(22yx，则由1OQOPkk，可得02121yyxx，再利用一元二次方程根与系数的关系求解．或因为通过原点的直线的斜率
为xy，由直线l与圆的方程构造以xy为未知数的一元二次方程，由根与系数关系得出OQOPkk的值，从而使问题得以解决．
解法一：设点P、Q的坐标为),(11yx、),(22yx．一方面，由OQOP，得 1OQOPkk，即12211xyxy，也即：02121yyxx． ①
另一方面，),(11yx、),(22yx是方程组0603222myxyxyx的实数解，即1x、2x是方程02741052mxx ②
的两个根． ∴221xx，527421mxx． ③
曲率与曲率半径问题(解析版)-高中数学
曲率与曲率半径问题1.(2024·浙江温州·二模)如图，对于曲线Γ，存在圆C满足如下条件：①圆C 与曲线Γ有公共点A ，且圆心在曲线Γ凹的一侧；②圆C 与曲线Γ在点A 处有相同的切线；③曲线Γ的导函数在点A 处的导数(即曲线Γ的二阶导数)等于圆C 在点A 处的二阶导数(已知圆x -a 2+y -b 2=r 2在点A x 0,y 0 处的二阶导数等于r 2b -y 03)；则称圆C 为曲线Γ在A 点处的曲率圆，其半径r 称为曲率半径．(1)求抛物线y =x 2在原点的曲率圆的方程；(2)求曲线y =1x的曲率半径的最小值；(3)若曲线y =e x 在x 1,e x 1和x 2,e x 2x 1≠x 2 处有相同的曲率半径，求证：x 1+x 2<-ln2．【解析】(1)记f x =x 2，设抛物线y =x 2在原点的曲率圆的方程为x 2+y -b 2=b 2，其中b 为曲率半径．则f x =2x ，f x =2，故2=f0 =b 2b -03=1b ，2=r 2b 3，即b =12，所以抛物线y =x 2在原点的曲率圆的方程为x 2+y -122=14；(2)设曲线y =f x 在x 0,y 0 的曲率半径为r ．则法一：f x 0 =-x 0-ay 0-bfx 0 =r 2b -y 03，由x 0-a 2+y 0-b 2=r 2知，fx 0 2+1=r 2y 0-b 2，所以r =fx0 2+132f x 0，故曲线y =1x在点x 0,y 0 处的曲率半径r =-1x 202+1 322x 30，所以r 2=1x 40+132x 302=14x 20+1x 23≥2，则r 23=2-23x 20+1x 20≥213，则r =12x 20+1x 232≥2，当且仅当x 20=1x 20，即x 20=1时取等号，故r ≥2，曲线y =1x在点1,1 处的曲率半径r =2．法二：-1x 20=-x 0-a y 0-b 2x 30=r 2b -y 0 3，a +bx 20-2x 0x 40+1=r ，所以y 0-b =-x 0⋅r 23213x 0-a =-r 23213x 0，而r 2=x 0-a 2+y 0-b 2=x 20⋅r 43223+r 43223⋅x 20，所以r 23=2-23x 20+1x 20，解方程可得r =12x 20+1x 2032，则r 2=14x 20+1x 203≥2，当且仅当x 20=1x 20，即x 20=1时取等号，故r ≥2，曲线y =1x在点1,1 处的曲率半径r =2．(3)法一：函数y =e x 的图象在x ,e x 处的曲率半径r =e 2x+132e x，故r 23=e 43x +e-23x ，由题意知：e 43x1+e -23x 1=e43x 2+e-23x 2令t 1=e 23x1,t 2=e23x 2，则有t 21+1t 1=t 22+1t 2，所以t 21-t 22=1t 2-1t 1，即t 1-t 2 t 1+t 2 =t 1-t 2t 1t 2，故t 1t 2t 1+t 2 =1．因为x 1≠x 2，所以t 1≠t 2，所以1=t 1t 2t 1+t 2 >t 1t 2⋅2t 1t 2=2t 1t 2 32=2e x 1+x 2，所以x 1+x 2<-ln2．法二：函数y =e x 的图象在x ,e x 处的曲率半径r =e 2x+132e x，有r 2=e 2x +13e 2x=e 4x +3e 2x +3+e -2x令t 1=e 2x 1,t 2=e 2x 2，则有t 21+3t 1+3+1t 1=t 22+3t 2+3+1t 2，则t 1-t 2 t 1+t 2+3-1t 1t 2=0，故t 1+t 2+3-1t 1t 2=0，因为x 1≠x 2，所以t 1≠t 2，所以有0=t 1+t 2+3-1t 1t 2>2t 1t 2+3-1t 1t 2，令t =t 1t 2，则2t +3-1t2<0，即0>2t 3+3t 2-1=(t +1)22t -1 ，故t <12，所以e x 1+x 2=t 1t 2=t <12，即x 1+x 2<-ln2；法三：函数y =e x 的图象在x ,e x处的曲率半径r =e 2x +1 32e x．故r 23=e 43x +e23x 设g x =e 43x +e 23x ，则gx =43e 43x -23e -23x =23e -23x 2e 2x -1 ，所以当x ∈-∞,-12ln2 时g x <0，当x ∈-12ln2,+∞ 时g x >0，所以g x 在-∞,-12ln2 上单调递减，在-12ln2,+∞ 上单调递增，故有x 1<-12ln2<x 2，所以x 1,-ln2-x 2∈-∞,-12ln2 ，要证x 1+x 2<-ln2，即证x 1<-ln2-x 2，即证g x 2 =g x 1 >g -ln2-x 2 将x 1+x 2<-ln2，下证：当x ∈-12ln2,+∞ 时，有g x >g -ln2-x ，设函数G x =g x -g -ln2-x (其中x >-12ln2)，则G x =g x +g -ln2-x =232e 2x -1 e 23x -2-13 ⋅e -43x >0，故G x 单调递增，G x >G -12ln2 =0，故g x 2 >g -ln2-x 2 ，所以x 1+x 2<-ln2．法四：函数y =e x 的图象在x ,e x 处的曲率半径r =e 2x+132e x，有r 2=e 2x +13e2x=e 4x +3e 2x +3+e -2x ，设h x =e 4x +3e 2x +3+e -2x ．则有h x =4e 4x +6e 2x -2e -2x =2e -2x e 2x +1 22e 2x -1 ，所以当x ∈-∞,-12ln2 时h x <0，当x ∈-12ln2,+∞ 时h x >0，故h x 在-∞,-12ln2 上单调递减，在-12ln2,+∞ 上单调递增．故有x 1<-12ln2<x 2，所以x 1,-ln2-x 2∈-∞,-12ln2 ，要证x 1+x 2<-ln2，即证x 1<-ln2-x 2，即证h x 2 =h x 1 >h -ln2-x 2 ．将x 1+x 2<-ln2，下证：当x ∈-12ln2,+∞ 时，有h x >h -ln2-x ，设函数H x =h x -h -ln2-x (其中x >-12ln2)，则H x =h x +h -ln2-x =2e 2x -1 21+12e -2x +14e -4x >0，故H x 单调递增，故H x >H -12ln2 =0，故h x 2 >h -ln2-x 2 ，所以x 1+x 2<-ln2．2.有一种速度叫“中国速度”，“中国速度”正在刷新世界对中国高铁的认知．由于地形等原因，在修建高铁、公路、桥隧等基建中，我们常用曲线的曲率(Curvature )来刻画路线弯曲度．如图所示的光滑曲线C 上的曲线段AB ，设其弧长为Δs ，曲线C 在A ，B 两点处的切线分别为l A ,l B ，记l A ,l B 的夹角为ΔθΔθ∈0,π2，定义K =ΔθΔs为曲线段AB 的平均曲率，定义K (x )=lim Δx →0ΔθΔs=f (x )1+f (x ) 232为曲线C :y =f (x )在其上一点A (x ,y )处的曲率．(其中f (x )为f (x )的导函数，f (x )为f (x )的导函数)(1)若f (x )=sin (2x )，求K π4；(2)记圆x 2+y 2=2025上圆心角为π3的圆弧的平均曲率为a ．①求a 的值；②设函数g (x )=ln (x +45a )-xe x -1，若方程g (x )=m (m >0)有两个不相等的实数根x 1,x 2，证明：x 2-x 1 <1-(5e -2)m3e -3，其中e 为自然对数的底数，e =2.71828⋯．【解析】(1)f (x )=sin (2x ),f (x )=2cos (2x ),f (x )=-4sin (2x )，所以f π4 =2cos π2=0,f π4 =-4sin π2=-4，因此K π4 =f π4 1+f π4 232=-4 1+0 32=4.(2)①由圆的性质知圆x 2+y 2=2025上圆心角为π3的圆弧的弧长为ΔS =π3⋅R .弧的两端点处的切线对应的夹角Δθ=π3，所以该圆弧的平均曲率K =Δθ ΔS=1R =12025=145，也即a =145.②由于a =145，故g x =ln x +1 -xe x -1,x ∈-1,+∞ ，又g (0)=0，g x =1x +1-x +1 e x -1,g x =-1x +12-x +2 e x -1<0，所以g (x )在-1,+∞ 上单调递减，而g 0 =1-1e >0,g 1 =12-2=-32<0.因此必存在唯一的x 0∈(0,1)使得g (x 0)=0且g (x )在-1,x 0 上为正，在x 0,+∞ 为负，即g (x )在-1,x 0 上单调递增，在x 0,+∞ 上单调递减，而g (0)=0，又g 12 =ln 32-12e>ln 32-13>0∵2e >3⇔e >94,ln 32>13⇔e 13<32⇔e <278，g (1)=ln2-1<0，所以∃t ∈12,1 使得g (t )=0，即g (x )的图象与x 轴有且仅有两个交点(0,0),(t ,0)，易得g (x )在(0,0)处的切线方程为l 0:y =1-1e x =e -1ex ，在(t ,0)处的切线方程为l t :y =1t +1-t +1 e t -1 x -t ，下面证明两切线l 0,l t 的图象不在g (x )的图象的下方:令h x =g x -1t +1-t +1 e t -1 x -t =g (x )-g (t )(x -t )，则h (x )=g (x )-g (t ).因为h (x )=g (x )<0，所以h (x )在(-1,+∞)单调递减，而h (t )=0，所以h (t )在(-1,t )上为正，在(t ,+∞)为负，即h (x )在(-1,t )上单调递增，在(t ,+∞)单调递减，因此h (x )≤h (t )=g (t )-0=0，即g x ≤1t +1-t +1 e t -1 x -t ，即g (x )的图象恒在其图象上的点(t ,0)处的切线的下方(当且仅当x =t 时重合).同理可证(将t 视为0即可)，g x ≤1-1ex设直线y =m (m >0)与两切线l 0,l 1交点的横坐标分别为X 0,X t ，则易得X 0=me e -1,X t =m1t +1-t +1 e t -1+t 且X 0<x 1<x 2<X t ，因为t ∈12,1，故1t +1-t +1 e t -1∈-32,23-32e⊆-32,0 ，所以X t =m 1t +1-t +1 e t -1+t <m -32+t <1-2m3，因此x 2-x 1 <X t -X 0<1-2m 3-mee -1=1-5e -2 m 3e -3.3.定义：若h (x )是h (x )的导数，h (x )是h (x )的导数，则曲线y =h (x )在点(x ,h (x ))处的曲率K =h (x )1+h(x ) 232；已知函数f (x )=e x sin π2+x，g (x )=x +(2a -1)cos x ,a <12，曲线y =g (x )在点(0,g (0))处的曲率为24；(1)求实数a 的值；(2)对任意x ∈-π2,0,mf (x )≥g (x )恒成立，求实数m 的取值范围；(3)设方程f (x )=g (x )在区间2n π+π3,2n π+π2n ∈N * 内的根为x 1,x 2,⋯,x n ，⋯比较x n +1与x n +2π的大小，并证明．【解析】(1)由已知g (x )=-2a -1 sin x +1,g (x )=-2a -1 cos x ，所以2a -1 1+12 32=24，解得a =0(a =1舍去)，所以a =0；(2)由(1)得g (x )=x -cos x ，f (x )=e x sin π2+x=e x cos x ，则g x =1+sin x ，对任意的x ∈-π2,0，mf x -gx ≥0，即me x cos x -sin x -1≥0恒成立，令x =-π2，则m ⋅0+1-1=0≥0，不等式恒成立，当x ∈-π2,0时，cos x >0，原不等式化为m ≥sin x +1e x cos x ，令h x =sin x +1e x cos x,x ∈-π2,0 ，则hx =cos x e x cos x -e xcos x -sin x sin x +1 e x cos x2=1-sin x cos x -cos x +sin xe x cos 2x =1-cos x 1+sin x e x cos 2x≥0，所以h x 在区间-π2,0单调递增，所以h x max =h 0 =1，所以m ≥1，综上所述，实数m 的取值范围为1,+∞ ；(3)x n +1>x n +2π，证明如下：由已知方程f x =g x 可化为e x cos x -sin x -1=0，令φx =e x cos x -sin x -1，则φ x =e x cos x -sin x -cos x ，因为x ∈2n π+π3,2n π+π2，所以cos x <sin x ,cos x >0，所以φ x <0，所以φx 在区间2n π+π3,2n π+π2n ∈N * 上单调递减，故φ2n π+π3 =e 2n π+π3cos 2n π+π3 -sin 2n π+π3 -1=12e 2n π+π3-32-1≥12e 2π+π3-32-1>22×3+1×12-32-1>0，φ2n π+π2=-2<0，所以存在唯一x 0∈2n π+π3,2n π+π2，使得φx 0 =0，又x n ∈2n π+π3,2n π+π2 ，x n +1-2π∈2n π+π3,2n π+π2 ，则φx n +1-2π =e x n +1-2πcos x n +1-2π -sin x n +1-2π -1=e x n +1-2πcos x n +1-sin x n +1-1=ex n +1-2πcos x n +1-e x n +1cos x n +1=ex n +1-2π-ex n +1cos x n +1<0=φx n由φx 单调递减可得x n +1-2π>x n ，所以x n +1>x n +2π.4.(2024·湖北黄冈·二模)第二十五届中国国际高新技术成果交易会(简称“高交会”)在深圳闭幕.会展展出了国产全球首架电动垂直起降载人飞碟.观察它的外观造型，我们会被其优美的曲线折服.现代产品外观特别讲究线条感，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度.考察如图所示的光滑曲线C :y =f x 上的曲线段AB ，其弧长为Δs ，当动点从A 沿曲线段AB 运动到B 点时，A 点的切线l A 也随着转动到B 点的切线l B ，记这两条切线之间的夹角为Δθ(它等于l B 的倾斜角与l A 的倾斜角之差).显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义K =ΔθΔs为曲线段AB 的平均曲率；显然当B 越接近A ，即Δs 越小，K 就越能精确刻画曲线C 在点A 处的弯曲程度，因此定义K =lim Δ→0ΔθΔs=y1+y 232(若极限存在)为曲线C 在点A 处的曲率.(其中y ，y 分别表示y =f x 在点A 处的一阶、二阶导数)(1)已知抛物线x 2=2py (p >0)的焦点到准线的距离为3，则在该抛物线上点3,y 处的曲率是多少？(2)若函数g x =12x +1-12，不等式g e x +e -x 2 ≤g 2-cos ωx 对于x ∈R 恒成立，求ω的取值范围；(3)若动点A 的切线沿曲线f x =2x 2-8运动至点B x n ,f x n 处的切线，点B 的切线与x 轴的交点为x n +1,0 n ∈N * .若x 1=4，b n =x n -2，T n 是数列b n 的前n 项和，证明T n <3.【解析】(1)∵抛物线x 2=2py (p >0)的焦点到准线的距离为3，∴p =3，即抛物线方程为x 2=6y ，即f x =y =16x 2，则f x =13x ，f x =13，又抛物线在点3,y 处的曲率，则K =131+19⋅3232=1322=212，即在该抛物线上点3,y 处的曲率为212；(2)∵g -x =12-x +1-12=2x 2x +1-12=12-12x +1=-g x ，∴g x 在R 上为奇函数，又g x 在R 上为减函数.∴g e x +e -x 2≤g 2-cos ωx 对于x ∈R 恒成立等价于cos ωx ≥2-e x +e -x2对于x ∈R 恒成立.又因为两个函数都是偶函数，记p x =cos ωx ，q x =2-e x +e -x2，则曲线p x 恒在曲线q x 上方，p x =-ωsin ωx ，qx =-e x -e -x 2，又因为p 0 =q 0 =1，所以在x =0处三角函数p x 的曲率不大于曲线q x 的曲率，即p 0 1+p 20 32≤q 01+q 232，又因为p x =-ω2cos ωx ，qx =-e x +e -x 2，p 0 =-ω2，q 0 =-1，所以ω2≤1，解得：-1≤ω≤1，因此，ω的取值范围为-1,1 ；(3)由题可得f x =4x ，所以曲线y =f x 在点x n ,f x n 处的切线方程是y -f x n =f x n x -x n ，即y -2xn 2-8 =4x n x -x n ，令y =0，得-x n 2-4 =2x n x n +1-x n ，即x n 2+4=2x n x n +1，显然x n ≠0，∴x n +1=x n 2+2x n，由x n +1=x n 2+2x n ，知x n +1+2=x n 2+2x n +2=x n +2 22x n ，同理x n +1-2=x n -2 22x n，故x n +1+2x n +1-2=x n +2x n -22，从而lg x n +1+2x n +1-2=2lg x n +2x n -2，设lg x n +2x n -2=a n ，即a n +1=2a n ，所以数列a n 是等比数列，故a n =2n -1a 1=2n -1lg x 1+2x 1-2=2n -1lg3，即lg x n +2x n -2=2n -1lg3，从而x n +2x n -2=32n -1，所以x n =232n -1+132n -1-1，∴b n =x n -2=432n -1-1>0，b n +1b n =32n -1-132n-1=132n -1+1<132n -1≤1321-1=13，当n =1时，显然T 1=b 1=2<3；当n >1时，b n <13b n -1<13 2b n -2<13n -1b 1，∴T n =b 1+b 2+⋯+b n <b 1+13b 1+⋯+13 n -1b 1=b 11-13 n1-13=3-3⋅13n<3，综上，T n <3n ∈N * .5.(2024·高三·浙江宁波·期末)在几何学常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度．考察如图所示的光滑曲线C ：y =f x 上的曲线段AB，其弧长为Δs ，当动点从A 沿曲线段AB运动到B 点时，A 点的切线l A 也随着转动到B 点的切线l B ，记这两条切线之间的夹角为Δθ(它等于l B 的倾斜角与l A 的倾斜角之差)．显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义K =ΔθΔs为曲线段AB 的平均曲率；显然当B 越接近A ，即Δs 越小，K 就越能精确刻画曲线C 在点A 处的弯曲程度，因此定义K =lim Δs →0ΔθΔs=y1+y 232(若极限存在)为曲线C 在点A 处的曲率．(其中y ＇，y ＇＇分别表示y =f x 在点A 处的一阶、二阶导数)(1)求单位圆上圆心角为60°的圆弧的平均曲率；(2)求椭圆x 24+y 2=1在3,12处的曲率；(3)定义φy =22y1+y 3为曲线y =f x 的“柯西曲率”．已知在曲线f x =x ln x -2x 上存在两点P x 1,f x 1 和Q x 2,f x 2 ，且P ，Q 处的“柯西曲率”相同，求3x 1+3x 2的取值范围．【解析】(1)K =ΔθΔs=π3π3=1．(2)y =1-x 24，y=-x 41-x 24 -12，y =-141-x 24 -12-x 2161-x 24 -32，故y x =3=-32，y x =3=-2，故K =21+3432=16749．(3)fx =ln x -1，fx =1x ，故φy =22y 1+y 3=22x ln x 3=223s ln s3，其中s =3x ，令t 1=3x 1，t 2=3x 2，则t 1ln t 1=t 2ln t 2，则ln t 1=-t ln tt -1，其中t =t 2t 1>1(不妨t 2>t 1)令p x =x ln x ，p x =1+ln x ⇒p x 在0,1e 递减，在1e ,+∞ 递增，故1>t 2>1e>t 1>0；令h t =ln t 1+t 2 =ln t +1 -t ln tt -1，h 't =1t -1 2ln t -2t -1 t +1，令m (t )=ln t -2t -1 t +1(t >1)，则m(t )=t -1 2t (t +1)，当t >1时，m (t )>0恒成立，故m (t )在(1,+∞)上单调递增，可得m (t )>m (1)=0，即ln t -2t -1t +1>0，故有h t =1t -12ln t -2t -1 t +1>0，则h t 在1,+∞ 递增，又lim t →1h t =ln2-1，lim t →+∞h t =0，故ln t 1+t 2 ∈ln2-1,0 ，故3x 1+3x 2=t 1+t 2∈2e ,1．6.(2024·高三·辽宁·期中)用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”．现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇．衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若f x 是f x 的导函数，fx 是fx 的导函数，则曲线y =f x 在点x ,f x 处的曲率K =f (x )1+f (x ) 232．(1)求曲线f x =ln x +x 在1,1 处的曲率K 1的平方；(2)求余弦曲线h x =cos x (x ∈R )曲率K 2的最大值；【解析】(1)因为f x =ln x +x ，则f x =1x +1，f x =-1x 2，所以K 1=f 11+f 1 232=11+2232=1532，故K 1 2=15322=153=1125.(2)因为h x =cos x x ∈R ，则h x =-sin x ，h x =-cos x ，所以K 2=h x 1+hx 2 32=-cos x1+sin 2x 32，则K 22=cos 2x 1+sin 2x 3=cos 2x2-cos 2x3，令t =2-cos 2x ，则t ∈1,2 ，K 22=2-t t3，设p t =2-t t 3，则pt =-t 3-3t 22-t t 6=2t -6t 4，显然当t ∈1,2 时，p t <0，p t 单调递减，所以p (t )max =p 1 =1，则K 22最大值为1，所以K 2的最大值为1．7.曲线的曲率定义如下：若f '(x )是f (x )的导函数，f "(x )是f '(x )的导函数，则曲线y =f (x )在点(x ,f (x ))处的曲率K =|f "(x )|1+[f '(x )]232.已知函数f x =e x cos x ，g x =a cos x +x a <0 ，曲线y =g (x )在点(0,g (0))处的曲率为24．(1)求实数a 的值；(2)对任意的x ∈-π2,0，tf x -g x ≥0恒成立，求实数t 的取值范围；(3)设方程f x =g x 在区间2n π+π3,2n π+π2(n ∈N +)内的根从小到大依次为x 1,x 2,⋯,x n ,⋯，求证：x n +1-x n >2π．【解析】(1)由已知g (x )=-a sin x +1,g (x )=-a cos x ,，所以a 1+1232=24，解方程得a =-1(2)对任意的x ∈-π2,0，tf x -gx ≥0，即te x cos x -sin x -1≥0恒成立，令x =-π2，则t ⋅0+1-1≥0，不等式恒成立当x ∈-π2,0时，cos x >0，原不等式化为t ≥sin x +1e x cos x 令h x =sin x +1e x cos x，则hx =cos x e x cos x -e xcos x -sin x sin x +1 e x cos x2=1-sin x cos x -cos x +sin xe x cos 2x=1-cos x 1+sin xe x cos 2x所以h x 在区间-π2,0单调递增，所以最大值为h 0 =1所以要使不等式恒成立必有t ≥1(3)由已知方程f x =g x 可化为e x cos x -sin x -1=0令φx =e x cos x -sin x -1，则φ x =e x cos x -sin x -cos x因为x ∈2n π+π3,2n π+π2，所以cos x <sin x ,cos x >0所以φ x <0，φx 在区间2n π+π3,2n π+π2(n ∈N +)上单调递减，φ2n π+π3 =e 2n π+π3cos 2n π+π3 -sin 2n π+π3 -1=e 2n π+π312-32-1≥e 2π+π312-32-1>22⋅3+112-32-1>0φ2n π+π2=-2<0所以存在唯一x 0∈2n π+π3,2n π+π2，φx 0 =0x n ∈2n π+π3,2n π+π2 ，x n +1-2π∈2n π+π3,2n π+π2φx n +1-2π =e x n +1-2πcos x n +1-2π -sin x n +1-2π -1=e x n +1-2πcos x n +1-sin x n +1-1=ex n +1-2πcos x n +1-e x n +1cos x n +1=ex n +1-2π-ex n +1cos x n +1<0=φx n由φx 单调递减可得x n +1-2π>x n 即x n +1-x n >2π8.(2024·湖南永州·三模)曲线的曲率定义如下：若f (x )是f (x )的导函数，令φ(x )=f (x )，则曲线y =f (x )在点x ,f x 处的曲率K =φ (x )1+f (x ) 232．已知函数f (x )=x 2a +x (a >0)，g (x )=(x +1)ln (x +1)，且f (x )在点(0,f (0))处的曲率K =24．(1)求a 的值，并证明：当x >0时，f (x )>g (x )；(2)若b n =ln (n +1)n +1，且T n =b 1⋅b 2⋅b 3⋯b n (n ∈N ∗)，求证：(n +2)T n <e 1-n 2．【解析】(1)f ′(x )=2x a +1=φ(x )，φ′(x )=2a，f ′(0)=1，a >0，∵f (x )在点(0，f (0))处的曲率K =24，∴2a(1+12)32=24，解得a =2．当x >0时，h (x )=f (x )-g (x )=12x 2+x -(x +1)ln (x +1)，h ′(x )=x +1-ln (x +1)-1=x -ln (x +1)，令u (x )=x -ln (x +1)，则u ′(x )=1-1x +1=xx +1>0，∴u (x )在x >0时单调递增，∴u (x )>u (0)=0，∴h ′(x )>0，∴函数h (x )在(0,+∞)上单调递增，∴h (x )>h (0)=0，因此f (x )>g (x )．(2)证明：由(1)可得：12x 2+x >(x +1)ln (x +1)，∴ln (x +1)x +1<x (x +1)2(x +1)2，x >0，令x =n ∈N *，则：ln (n +1)n +1<n (n +2)2(n +1)2，∴T n =b 1⋅b 2⋅b 3⋅⋯⋅b n <12n ×1×322×2×432×3×542×4×652×⋯⋯×(n -1)(n +1)n 2×n (n +2)(n +1)2=12n ×12×n +2n +1要证明：(n +2)T n <e 1-n 2，只要证明：2ln (n +2)-(n +1)ln2-ln (n +1)-1+n2<0即可，n =1时，左边=2ln3-2ln2-ln2-12<0n ≥2时，令v (x )=2ln (x +2)-(x +1)ln2-ln (x +1)-1+x 2，v ′(x )=2x +2-ln2-1x +1+12=s (x )，s ′(x )=1(x +1)2-2(x +2)2=-x 2+2(x +1)2(x +2)2<0，∴v ′(x )<v ′(2)=23-ln2<0，∴v (x )在(2,+∞)上单调递减，∴v (x )<v (2)=4ln2-3ln2-ln3=ln2-ln3<0，综上可得：(n +2)T n <e1-n2成立．9.曲率是曲线的重要性质，表征了曲线的“弯曲程度”，曲线曲率解释为曲线某点切线方向对弧长的转动率，设曲线C :y =f x 具有连续转动的切线，在点x ,f x 处的曲率K =f x1+f x 232，其中f x为f x 的导函数，f x 为f x 的导函数，已知f x =x 2ln x -a 3x 3-32x 2．(1)a =0时，求f x 在极值点处的曲率；(2)a >0时，f x 是否存在极值点，如存在，求出其极值点处的曲率；(3)g x =2xe x -4e x +a 2x 2，a ∈0,1e，当f x ，g x 曲率均为0时，自变量最小值分别为x 1，x 2，求证：x1ex 2>e 2．【解析】(1)当a =0时，f x =x 2ln x -32x 2,x >0，可得f x =2x ln x +x -3x =2x (ln x -1)，令f x =0，可得x =e ，当0<x <e 时，f x <0，当x >e 时，f x >0，所以当x =e 为f x 在极小值点，又f x =2ln x ，所以f e =2ln e =2，所以K =f e 21+f e 2232=2[1+02]32=2；(2)由f x =x 2ln x -a 3x 3-32x 2，可得f x =2x ln x +x -ax 2-3x =2x ln x -2x -ax 2，令h (x )=f x =2x ln x +x -ax 2-3x =2x ln x -2x -ax 2，则h x =2ln x -2ax ，令h x =0时，可得a =ln x x ，令φ(x )=ln x x ，可得φ (x )=1-ln xx 2，当0<x <e 时，φ x >0，φ(x )=ln xx 单调递增，当x >e 时，φ x <0，φ(x )=ln x x 单调递减，则φ(x )max =1e，所以0<a <1e时，f x =2ln x -2ax =0有解，且有两解x 1,x 3且1<x 1<e <x 3，x 1为f x 的极小值点，x 3为f x 的极大值点，当a =1e 时，f x =2ln x -2ax =0有解，且有唯一解，但此解不是f x 极值点，当a >1e时，f x =2ln x -2ax =0无解，所以f x 无极值点，所以当0<a <1e 时，f x 存在极值点，所以K =f x1+f x 2 32=0；(3)由题意可得g x =2xe x -4e x +a 2x 2，可得g x =2(x +1)e x -4e x +2ax ，要g x ，f x 曲率为0，则g x =f (x )=0，即2ln x -2ax =2a +2xe x =0，可得a =ln x x ，a 2=-xe x ，所以0<a <1e 时，φ(x )=ln xx有两解x 1,x 3，1<x 1<e <x 3，可证x 1x 3>e 2，由(2)可得ln x 1-ax 1=0，ln x 3-ax 3=0，可得ln x 1+ln x 3=ax 1+ax 3，ln x 1-ln x 3=ax 1-ax 3．要证明x 1x 3>e 2，即证明ln x 1+ln x 3>2，也就是a (x 1+x 3)>2．因为a =ln x 1-ln x 3x 1-x 3，所以即证明ln x 1-ln x 3x 1-x 3>2x 1+x 3，即ln x 1x 3<2(x 1-x 3)x 1+x 3，令x1x 3=t ，则0<t <1，于是ln t <2(t -1)t +1，令f (t )=ln t -2(t -1)t +1，则f(t )=1t -4(t +1)2=(t -1)2(t +1)2>0,故函数f (t )在(0,1)上是增函数，所以f (t )<f (1)=0，即ln t <2(t -1)t +1成立．所以x 1x 3>e 2成立．又因为a 2<a ，则-x 2e x 2=ln e-x2e-x 2<ln x 3x 3，由(2)可得φ(x )=ln xx在(e ,+∞)上单调递减，因为e -x 2>e ，x 3>e ，所以x 1ex 2=x 1e -x2>x 1x 3>e 2，10.用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇，衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若f x 是f x 的导函数，f x 是f x 的导函数，则曲线y =f x 在点x ,f x 处的曲率K =f x1+f x 232.(1)求曲线f x =ln x +x 在1,1 处的曲率K 1的平方；(2)求余弦曲线h x =cos x x ∈R 曲率K 2的最大值；(3)余弦曲线h x =cos x x ∈R ，若g x =e x h x +xh x ，判断g x 在区间-π2,π2上零点的个数，并写出证明过程.【解析】(1)因为f x =ln x +x ，所以f x =1x +1，f x =-1x2，所以K 1=f 11+f 1 232=11+2232=1532，∴K 1 2=15322=153=1125.(2)因为h x =cos x x ∈R ，h x =-sin x ，h x =-cos x ，所K 2=h x 1+h x 2 32=-cos x 1+sin 2x32，K 22=cos 2x 1+sin 2x 3=cos 2x 2-cos 2x3，令t =2-cos 2x ，则t ∈1,2 ，K 22=2-t t3，设p t =2-t t 3，t ∈1,2 ，则pt =-t 3-3t 22-t t 6=2t -6t4，显然当t ∈1,2 时，p t <0，p t 在1,2 上单调递减，所以p t max =p 1 =1，所以K 22最大值为1，所以K 2的最大值为1.(3)g x 在区间-π2,π2上有且仅有2个零点.证明：g x =e x cos x -x sin x ，所以g x =e x cos x -sin x -x cos x +sin x ，①当x ∈-π2,0时，因为cos x ≥0，sin x ≤0，则cos x -sin x >0，-x cos x +sin x >0，∴g x >0，g x 在-π2,0上单调递增，又g 0 =1>0，g -π2 =-π2<0.∴g x 在-π2,0上有一个零点，②设φx =e x -x ，则φ x =e x -1，当x ∈0,π4时，φx ≥0，φx 单调递增，φx =e x -x ≥φ0 =1，又cos x ≥sin x >0，∴g x =e x cos x -x sin x ≥e x sin x -x sin x =sin x e x -x >0恒成立，∴g x 在0,π4上无零点.③当x ∈π4,π2 时，0<cos x <sin x ，g x =e x cos x -sin x -x cos x +sin x <0，∴g x 在π4,π2 上单调递减，又g π2 =-π2<0，g π4 =22e π4-π4>0.∴g x 在π4,π2上必存在一个零点，综上，g x 在区间-π2,π2上有且仅有2个零点.。
2022-2023学年高二上数学选择性必修第一册：直线与圆的位置关系(附答案解析)
2022-2023学年高二上数学选择性必修第一册：直线与圆的位置关系【考点梳理】考点一：直线Ax ＋By ＋C ＝0与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系位置关系相交相切相离公共点个数2个1个0个判断方法几何法：设圆心到直线的距离为d ＝|Aa ＋Bb ＋C |A 2＋B 2d <r d ＝r d >r代数法：由Ax ＋By ＋C ＝0，(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，消元得到一元二次方程，可得方程的判别式ΔΔ>0Δ＝0Δ<0考点二：直线与圆的方程解决实际问题审题→建立数学模型→解答数学模型→检验，给出实际问题的答案．【题型归纳】题型一：判断直线与圆的位置关系1．（2021·全国高二单元测试）直线10mx y -+=与圆22(2)(1)5x y -+-=的位置关系是（）A ．相交B ．相切C ．相离D ．与m 的值有关2．（2021·浙江高二期末）直线:1l y ax a =-+与圆224x y +=的位置关系是（）A ．相交B ．相切C ．相离D ．与a 的大小有关3．（2021·北京房山·高二期末）已知直线10l kx y k -+-=：和圆C ：2240x y x +-=，则直线l 与圆C 的位置关系为（）A ．相交B ．相切C ．相离D ．不能确定题型二：由直线与圆的位置关系求参数4．（2021·云南省云天化中学高二期末（文））直线30x y a ++=是圆22240x y x y ++-=的一条对称轴，则a =（）A ．1-B ．1C ．3-D ．35．（2021·内蒙古赤峰市·）若直线()200,0ax by a b --=>>被圆22 2210x y x y +-++=截得的弦长为2，则11a b+的最小值为（）A ．14B ．4C ．12D ．26．（2020·大连市红旗高级中学）若直线:1l y kx =-与圆()()22:212C x y -+-=相切，则直线l 与圆()22:23D x y -+=的位置关系是（）A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定题型三：圆的弦长问题7．（2021·汕头市澄海中学高二月考）若圆22:160C x x y m +++=被直线3440x y ++=截得的弦长为6，则m =（）A ．26B ．31C ．39D ．438．（2021·湖南长沙市·长郡中学高二期中）圆22:(2)4C x y -+=与直线40x y --=相交所得弦长为（）A ．1B ．2C ．2D ．229．（2021·湖北十堰市·高二期末）直线3410x y ++=被圆220x y x y +-+=所截得的弦长为（）A ．710B ．57C ．75D ．145题型四：圆的弦长求参数或者切线方程10．（2021·上海闵行中学高二期末）圆()()22134x y -+-=截直线10ax y +-=所得的弦长为23，则a =（）A ．43-B ．34-C ．3D ．211．（2021·广西河池市·高二期末（文））已知斜率为1-的直线l 被圆C ：222430x y x y ++-+=截得的弦长为6，则直线l 的方程为（）A ．2210x y ++=或2230x y +-=B ．0x y +=或20x y +-=C ．2220x y +-=或22320x y ++=D ．20x y +-=或220x y ++=12．（2021·长春市第二十九中学高二期末（理））直线220ax by -+=被222440x y x y ++--=截得弦长为6，则ab 的最大值是（）A ．9B ．4C ．12D ．14题型五：直线与圆的应用13．（2021·广东深圳市·高三月考）一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面3米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽度最接近（）A ．13.1米B ．13.7米C ．13.2米D ．13.6米14．（2021·渝中区·重庆巴蜀中学高一期中）如图，某个圆拱桥的水面跨度是20米，拱顶离水面4米；当水面下降1米后，桥在水面的跨度为（）A ．230米B ．202米C ．430米D ．125米15．（2020·重庆市万州沙河中学高二月考）一艘海监船上配有雷达，其监测范围是半径为26km 的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东40km 的A 处出发径直驶向位于海监船正北30km 的B 处岛屿，船速为10km/h 这艘外籍轮船能被海监船监测到且持续时间长约为（）小时A ．1B ．2C ．3D ．4题型六：直线与圆的位置关系的综合应用16．（2021·贵州遵义市·高二期末（理））已知O 圆心在直线2y x =+上，且过点()1,0A 、()2,1B ．（1）求O 的标准方程；（2）已知过点()3,1的直线l 被所截得的弦长为4，求直线l 的方程．17．（2020·永丰县永丰中学高二期中（文））已知圆C 经过点()()1,0,2,1A B ，且圆心在直线:l y x =上．（1）求圆C 的方程；（2）若(,)P x y 为圆C 上的动点，求22y x +-的取值范围．18．（2020·黑龙江哈尔滨·哈九中高二期中（文））已知线段AB 的端点B 的坐标是()6,8，端点A 在圆2216x y +=上运动，M 是线段AB 的中点，且直线l 过定点()1,0.（1）求点M 的轨迹方程；（2）记（1）中求得的图形的圆心为C ，（i ）若直线l 与圆C 相切，求直线l 的方程；（ii ）若直线l 与圆C 交于,P Q 两点，求CPQ 面积的最大值，并求此时直线l 的方程.【双基达标】一、单选题19．（2021·嘉兴市第五高级中学高二期中）直线:1l y x =-截圆22:1O x y +=所得的弦长是（）A ．2B ．3C ．2D ．120．（2021·陆良县中枢镇第二中学高二月考）经过点()2,3P -作圆22:224C x y x ++=的弦AB ，使得点P 平分弦AB ，则弦AB 所在直线的方程为（）A ．50x y --=B ．50x y +-=C ．50x y -+=D ．50x y ++=21．（2021·云南保山市·高二期末（文））若直线m ：0kx y +=被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则点()0,23A 与直线m 上任意一点P 的距离的最小值为（）A ．1B ．3C ．2D ．2322．（2021·四川省乐至中学高二期末）圆222410x y x y ++-+=关于直线220ax by -+=(),a b R ∈对称，则ab 的取值范围是（）A ．1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．10,4⎛⎤⎥⎝⎦C ．1,04⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭23．（2021·全国高二专题练习）直线3y kx =+与圆()()22324x y -+-=相交于M ，N 两点，若23MN =，则k 的值是（）A ．34-B ．0C ．0或34-D ．3424．（2021·广西桂林市·（理））圆222420x x y y -+++=到直线2220x y -+=的距离为1的点有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个25．（2021·全国）已知圆C 的方程为22(3)(4)1x y -+-=，过直线:350l x ay +-=上任意一点作圆C 的切线．若切线长的最小值为15，则直线l 的斜率为（）A ．4B ．-4C ．34-D ．43-26．（2021·全国高二期中）在平面直角坐标系中，动圆222:(1)(1)C x y r -+-=与直线1(2)()y m x m R +=-∈相切，则面积最大的圆的标准方程为（）A ．22(1)(1)4x y -+-=B ．22(1)(1)5x y -+-=C ．22(1)(1)6x y -+-=D ．22(1)(1)8x y -+-=27．（2021·山西晋中·高二期末（理））已知圆22:20C x y x +-=，直线:10l x y ++=，P 为l 上的动点，过点P 作圆C 的两条切线PA 、PB ，切点分别A 、B ，当·PC AB 最小时，直线AB 的方程为（）A ．0x y +=B ．0x y -=C ．2210x y -+=D ．2210x y ++=28．（2021·克拉玛依市第一中学高二月考）已知圆22:4210C x y x y +--+=及直线():2l y kx k k R =-+∈，设直线l 与圆C 相交所得的最长弦长为MN ，最短弦为PQ ，则四边形PMQN 的面积为（）A ．42B ．22C ．8D ．82【高分突破】一：单选题29．（2021·全国高二专题练习）已知圆()()22224244100x y mx m y m m m +--++++=≠的圆心在直线70x y +-=上，则该圆的面积为（）A ．4πB ．2πC ．πD ．2π30．（2021·南昌市豫章中学（文））若圆22224120x y ax y a +-++-=上存在到直线4320x y --=的距离等于1的点，则实数a 的取值范围是（）A ．2921,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．91,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．91,,44⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭D ．2921,,44⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭31．（2021·浙江丽水·高二期中）已知圆22:1O x y +=，直线:20l x y ++=，点P 为l 上一动点，过点P 作圆O 的切线PA ，PB （切点为A ，B ），当四边形PAOB 的面积最小时，直线AB的方程为（）A ．10x y -+=B ．20x y -+=C ．10x y ++=D ．20x y +-=32．（2021·云南师大附中（理））已知在圆()2222x y r ++=上到直线40x y +-=的距离为2的点恰有三个，则r =（）A ．23B ．26C ．42D ．833．（2021·四川（理））已知圆221x y +=与直线310ax by ++=（a ，b 为非零实数）相切，则2213a b+的最小值为（）A ．10B ．12C ．13D ．1634．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高二其他模拟（理））若过点()4,3A 的直线l 与曲线()()22231x y -+-=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（）A ．3,3⎡⎤-⎣⎦B ．()3,3-C ．33,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．33,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭35．（2021·全国高二专题练习）已知三条直线1:0l mx ny +=，2:30l nx my m n -+-=，3:0l ax by c ++=，其中m ，n ，a ，b ，c 为实数，m ，n 不同时为零，a ，b ，c 不同时为零，且2a c b +=．设直线1l ，2l 交于点P ，则点P 到直线3l 的距离的最大值是（）A ．52102+B ．105822+C ．58102+D ．105222+二、多选题36．（2021·全国高二专题练习）已知直线:20l kx y k -+=和圆22:16O x y +=，则（）A ．直线l 恒过定点()2,0B ．存在k 使得直线l 与直线0:220l x y -+=垂直C ．直线l 与圆O 相交D ．若1k =-，直线l 被圆O 截得的弦长为437．（2020·河北武强中学高二月考）直线l 经过点()5,5P ，且与圆22:25C x y +=相交，截得弦长为45，则直线l 的方程为（）A ．250x y --=B ．250x y -+=C ．250x y -+=D ．250x y --=38．（2021·全国高二专题练习）设直线():1l y kx k =+∈R 与圆22:5C x y +=，则下列结论正确的为（）A ．l 与C 可能相离B ．l 不可能将C 的周长平分C ．当1k =时，l 被C 截得的弦长为322D ．l 被C 截得的最短弦长为439．（2021·山东菏泽·高二期末）已知直线:(2)10l mx m y m --+-=，圆22:20C x y x +-=，则下列结论正确的是（）A ．直线l 与圆C 恒有两个公共点B ．圆心C 到直线l 的最大距离是2C ．存在一个m 值，使直线l 经过圆心CD ．当1m =时，圆C 与圆22(1)1y x +-=关于直线l 对称三、填空题40．（2021·合肥百花中学高二期末（理））设直线1y x =+与圆22(1)4x y ++=交于,A B 两点，则AB =__________．41．（2021·绵阳市·四川省绵阳江油中学（文））已知点(),x y 在圆22(2)(3)1x y -++=上，则x y +的最大值是________．42．（2021·上海高二期中）在平面直角坐标系中，过点()2,2M 且与圆2220x y x +-=相切的直线方程为__________．43．（2021·江苏南京市·南京一中高二期末）已知直线1l ：()0kx y k R +=∈与直线2l ：220x ky k -+-=相交于点A ，点B 是圆()()22232x y +++=上的动点，则AB 的最大值为___________.四、解答题44．（2021·合肥百花中学高二期末（理））已知圆22:20C x y x my +-+=，其圆心C 在直线y x =上．（1）求m 的值；（2）若过点(1,1)-的直线l 与圆C 相切，求直线l 的方程．45．（2021·荆州市沙市第五中学高二期中）已知圆C 经过()2,4，()1,3两点，圆心C 在直线10x y -+=上，过点()0,1A 且斜率为k 的直线l 与圆C 相交于M ，N 两点.（1）求圆C 的方程；（2）若12OM ON ⋅=（O 为坐标原点），求直线l 的方程.46．（2021·台州市书生中学高二期中）已知圆()22:15C x y +-=，直线:10l mx y m -+-=．（1）求证：对m R ∈，直线l 与圆C 总有两个不同交点；（2）设l 与圆C 交与不同两点,A B ，求弦AB 的中点M 的轨迹方程；（3）若直线过点()1,1P ，且P 点分弦AB 为12AP PB =，求此时直线l 的方程．47．（2020·安徽六安市·立人中学高二期中（理））已知圆C 经过两点(1,3),(3,1)P Q ---，且圆心C 在直线240x y +-=上，直线l 的方程为(1)2530k x y k -++-=．（1）求圆C 的方程；（2）证明：直线l 与圆C 一定相交；（3）求直线l 被圆C 截得的弦长的取值范围．48．（2020·吉安县立中学（文））已知两个定点(0,4)A ，(0,1)B ，动点P 满足||2||PA PB =，设动点P 的轨迹为曲线E ，直线l ：4y kx =-.（1）求曲线E 的轨迹方程；（2）若l 与曲线E 交于不同的C 、D 两点，且120COD ∠=︒(O 为坐标原点)，求直线l 的斜率；（3）若1k =，Q 是直线l 上的动点，过Q 作曲线E 的两条切线QM 、QN ，切点为M 、N ，探究：直线MN 是否过定点，若存在定点请写出坐标，若不存在则说明理由.2022-2023学年高二上数学选择性必修第一册：直线与圆的位置关系【答案详解】1．A 【详解】10mx y -+=过定点()0,1，且()22(214501)+-=<-，故()0,1在圆内，故直线和圆相交.故选：A 2．A 【详解】直线l ：1=-+y ax a ，即()11y a x =-+恒过()1,1，而221124+=<，故()1,1点在圆内，故直线与圆必然相交．故选：A ．3．A 【详解】直线方程整理为(1)10k x y --+=，即直线过定点(1,1)P ，而22114120+-⨯=-<，P 在圆C 内，∴直线l 与圆C 相交．故选：A ．4．B 【详解】由22240x y x y ++-=，得22(1)(2)5x y ++-=，则圆心坐标为(12)-，，又直线30x y a ++=是圆22240x y x y ++-=的一条对称轴，由圆的对称性可知，该圆的圆心(12)-，在直线30x y a ++=上，则3(1)121a =-⨯--⨯=，故选：B ．5．D 【详解】由圆的方程22 2210x y x y +-++=，可得圆心坐标为(1,1)-，半径为1r =，因为直线20ax by --=被圆截得的弦长为2，可直线20ax by --=必过圆心(1,1)-，代入可得2a b +=，又因为0,0a b >>，则1111111()()(2)(22)2222b a b aa b a b a b a b a b+=⋅++=⋅++≥⋅+⋅=，当且仅当b aab=时，即1a b ==时，等号成立，所以11a b+的最小值为2.故选：D.6．A 【详解】由圆C 方程知其圆心()2,1C ，半径为2，直线l 与圆C 相切，221121k k --∴=+，解得：23k =±，由圆D 方程知其圆心()2,0D ，半径3r =，∴圆心D 到直线l 距离2211k d k -=+；当23k =+时，()()2222323330843231d r +-=-=-<+++，即d r <，此时圆D 与直线l 相交；当23k =-时，()()2222323330843231d r --=-=-<--+，即d r <，此时圆D 与直线l 相交；综上所述：圆D 与直线l 相交.故选：A.7．C 【详解】将圆化为22(8)64(64)x y m m ++=-<，所以圆心到直线3440x y ++=的距离d =24445-+=，该距离与弦长的一半及半径组成直角三角形，所以224364m +=-，解得39.m =8．D 【详解】圆22:(2)4C x y -+=的圆心坐标为()20，，半径为2，圆心到直线40x y --=的距离为204211d --==+，故弦长为：24222-=，故选：D.9．C 【详解】由220x y x y +-+=可得22111222x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则圆心坐标为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，半径22r =，所以圆心到直线3410x y ++=的距离为22113412211034d ⎛⎫⨯+⨯-+ ⎪⎝⎭==+，所以所求弦长为22725r d -=.故选：C.10．B 【详解】由题意圆心到直线的距离为()()2222222222232241111a a a d r d a a a a +++=∴=-=-∴=∴=+++34-故选：B 11．B 【详解】圆C 的标准方程为22(1)(2)2x y ++-=，设直线l 的方程为0x y m ++=，可知圆心到直线l 的距离为2262(2)22⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭，有|1|222m +=，有0m =或2-，直线l 的方程为0x y +=或20x y +-=．故选：B【详解】将222440x y x y ++--=化为标准形式：22(1)(2)9x y ++-=，故该圆圆心为(1,2)-，半径为3.因为直线截圆所得弦长为6，故直线过圆心，所以2220a b --+=，即1a b +=，所以2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭（当且仅当12a b ==时取等号），故选：D.13．C 【详解】如图建立平面直角坐标系，则圆心在y 轴上，设圆的半径为r ，则圆的方程为222(+)x y r r +=，∵拱顶离水面3米，水面宽12米，∴圆过点(6,3)-,∴2236(3+)r r +-=，∴152r =∴圆的方程为2215225(+)24x y +=，当水面下降1米后，可设水面的端点坐标为(,4)t -，则244t =，∴211t =±，∴当水面下降1米后，水面宽度为411，约为13.2，故选：C.14．C 【详解】以圆拱桥的顶点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则圆拱所在圆的圆心位于y 轴负半轴上，设该圆的圆心为()0,a -，0a >，则该圆的方程为()222x y a a ++=，记水面下降前与圆的两交点为A ，B ；记水面下降1米后与圆的两交点为C ，D ；由题意可得，()10,4A --，则()()222104a a -+-+=，解得292a =，所以圆的方程为222292922x y ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，水面位下降1米后，可知C 点纵坐标为5y =-，所以2222929522x ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得2120x =，则此时的桥在水面的跨度为22120430CD x ===米.故选：C.15．B根据题意以海监船的位置为坐标原点，其正东方向为x 轴，正北方向为y 轴，所以()()40,0,0,30A B ，圆22:676O x y +=，记从N 处开始被监测，到M 处监测结束，所以:14030AB x y l +=，即:341200AB l x y +-=，因为O 到:341200AB l x y +-=的距离为221202434OO -'==+，所以22220MN MO OO '=-=，所以监测时间持续2010=2小时，故选：B.16．（1）()2225x y +-=；（2）1y =或34130x y +-=.由点()1,0A 、()2,1B 可得AB 中点坐标为31,22⎛⎫⎪⎝⎭，10121AB k -==-，所以直线AB 的垂直平分线的斜率为1-，可得直线AB 的垂直平分线的方程为：1322y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭即20x y +-=，由202x y y x +-=⎧⎨=+⎩可得：02x y =⎧⎨=⎩，所以圆心为()0,2O ，()()2210025r OA ==-+-=，所以O 的标准方程为()2225x y +-=，（2）设直线的方程为()13y k x -=-即310kx y k --+=，圆心()0,2O 到直线的距离2131k d k --=+，则()2222134521k k ⎛⎫--⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭+⎝⎭可得()222135211k k +=-=+，即2430k k +=，解得：0k =或34k =-，所以直线l 的方程为10y -=或()3134y x -=--，即1y =或34130x y +-=17．（1）22(1)(1)1x y -+-=；（2）4,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.【详解】（1）设所求圆的方程为222()()x a y b r -+-=由题意得222222(1)(0)(2)(1)a b r a b r b a ⎧-+-=⎪-+-=⎨⎪=⎩，解得1a b r ===所以，圆的方程为22(1)(1)1x y -+-=（2）由（1）得()()22111x y -+-=，则圆心为()1,1，半径为1；而22y x +-表示圆上的点(,)P x y 与定点()2,2M -连线的斜率，当过点()2,2M -的直线与圆相切时，不妨设直线方程为：()22y k x +=-，即220kx y k ---=，则圆心()1,1到直线220kx y k ---=的距离为212211k k k ---=+，解得43k =-，因此22y x +-的取值范围是4,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦；18．【详解】（1）设(),M x y ，()00,A x y ，M 是线段AB 中点，006282x x y y+⎧=⎪⎪∴⎨+⎪=⎪⎩，整理可得：002628x x y y =-⎧⎨=-⎩，A 在圆2216x y +=上，()()22262816x y ∴-+-=，整理可得M 点轨迹方程为：()()22344x y -+-=.（2）（i ）由（1）知：圆心()3,4C ，半径2r =，当直线l 斜率不存在时，方程为1x =，是圆的切线，满足题意；当直线l 斜率存在时，设其方程为()1y k x =-，即kx y k 0--=，∴圆心到直线l 距离23421k k d k --==+，解得：34k =，:3430l x y ∴--=；综上所述：直线l 的方程为1x =或3430x y --=；（ii ）由直线l 与圆C 交于,P Q 两点知：直线l 斜率存在且不为0，设其方程为：()1y k x =-，即kx y k 0--=，∴圆心到直线l 距离22342411k k k d k k ---==++，()2222222144222CPQd d S PQ d d r d d d⎡⎤-+=⋅=-=-≤=⎢⎥⎣⎦（当且仅当224d d -=，即22d =时取等号），由22d=得：()222421k k -=+，解得：1k =或7k =，∴CPQ 面积的最大值为2，此时l 方程为：10x y --=或770x y --=.19．C圆心（0,0）到直线10x y --=的距离|1|122d -==，因为圆的半径为1，则弦长为2212122⎛⎫-= ⎪⎝⎭.故选：C.20．A 【详解】由题意，圆22:224C x y x ++=，可得圆心坐标为(1,0)C -，点()2,3P -在圆C 内，则过点P 且被点P 平分的弦所在的直线和圆心与P 的连线垂直，又由3012(1)CP k --==---，所以所求直线的斜率为1，且过点()2,3P -，可得所求直线方程为(3)1(2)y x --=-⨯-，即50x y --=．故选：A 21．B 【详解】根据题意，圆()2224x y -+=的圆心为()2,0，半径为2，设圆心到直线0kx y +=的距离为d ，则221k d k =+，若直线0kx y +=被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则2222r d =-，所以214d +=，又0d >，解得3d =，所以2321k d k==+，解得3k =±，点()0,23A 与直线m 上任意一点P 的最小值为点到直线的距离122331d k ==+，故选:B ．22．A 【详解】解：把圆的方程化为标准方程得：22(1)(2)4x y ++-=，∴圆心坐标为(1,2)-，半径2r =，根据题意可知：圆心在已知直线220ax by -+=上，把圆心坐标代入直线方程得：2220a b --+=，即1b a =-，则设2211(1)24m ab a a a a a ⎛⎫==-=-+=--+ ⎪⎝⎭，∴当12a =时，m 有最大值，最大值为14，即ab 的最大值为14，则ab 的取值范围是(-∞，1]4．故选：A ．23．C由题意，知23MN =，圆心为(3，2).设圆的半径为r ，则2r =，所以圆心到直线的距离224312MN d r ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭.由点到直线的距高公式，得232311k k -+=+，解得0k =或34k =-.故选：C.24．B 【详解】由222420x x y y -+++=，得22(1)(2)3x y -++=，则圆心为(1,2)-，半径3r =，因为圆心(1,2)-到直线2220x y -+=的距离为22222243381d +++==>+，且2242243333133d ++--=-=<，所以圆222420x x y y -+++=到直线2220x y -+=的距离为1的点有2个，故选：B25．C 【详解】解：由22(3)(4)1x y -+-=，得圆心(3,4)C ，过直线:350l x ay +-=上任意一点作圆C 的切线，要使切线长最小，即要使圆心到直线l 的距离最小，根据题意作图，如图所示：圆的半径为1，切线长为15，∴圆心到直线l 的距离等于221(15)4+=，∴由点到直线的距离公式得2|3345|49a a ⨯+-=+，解得4a =，此时直线l 的斜率为34-．故选：C ．26．B 【详解】解：根据题意，直线1(2)y m x +=-，恒过定点(2,1)-，动圆222:(1)(1)C x y r -+-=，其圆心为(1,1)，半径为r ，若圆的面积最大，即圆心到直线l 的距离最大，且其最大值22(12)(11)5CP =-++=，即圆的面积最大时，圆的半径5r =，此时圆的方程为：22(1)(1)5x y -+-=，故选：B ．27．A 【详解】圆C 的标准方程为()2211x y -+=，圆心为()1,0，半径为1r =.依圆的知识可知，四点P ，A ，B ，C 四点共圆，且AB ⊥PC ，所以14422PAC PC AB S PA AC PA ⋅==⨯⨯⋅=△，而21PA PC =-，当直线PC ⊥l 时，PA 最小，此时PC AB ⋅最小.结合图象可知，此时切点为()()0,0,1,1-，所以直线AB 的方程为y x =-，即0x y +=.故选：A28．A 【详解】将圆C 方程整理为：()()22214x y -+-=，则圆心()2,1C ，半径2r =；将直线l 方程整理为：()12y k x =-+，则直线l 恒过定点()1,2，且()1,2在圆C 内；最长弦MN 为过()1,2的圆的直径，则4MN =；最短弦PQ 为过()1,2，且与最长弦MN 垂直的弦，21112MN k -==-- ，1PQ k ∴=，∴直线PQ 方程为21y x -=-，即10x y -+=，∴圆心C 到直线PQ 的距离为21122-+==d ，22224222PQ r d ∴=-=-=；∴四边形PMQN 的面积114224222S MN PQ =⋅=⨯⨯=.故选：A.29．A 【详解】圆的方程可化为()()()222210x m y m m m -+--=≠，其圆心为(),21m m +.依题意得，2170m m ++-=，解得2m =，∴圆的半径为2，面积为4π，故选：A 30．A 【详解】解:将圆的方程化为标准形式得圆()()22216x a y -++=,所以圆心坐标为(),2a -,半径为4r =因为圆22224120x y ax y a +-++-=上存在到直线4320x y --=的距离等于1的点，所以圆心到直线的距离d 满足15d r ≤+=,即4455a d +=≤,解得:2921,44a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦故选:A31．C 【详解】设四边形PAOB 的面积为S ，2||||||PAO S S AO AP AP === ，222||||||||1AP OP OA OP =-=-，所以，当||OP 最小时，||AP 就最小，|002|||22min o l OP d -++===，所以||211min min S AP ==-=．此时OP l ⊥.所以||||||||1OA AP PB OB ====，四边形PAOB 是正方形，由题得直线OP 的方程为y x =，联立20y x x y =⎧⎨++=⎩得(1,1)--P ，所以线段OP 的中点坐标为11(,)22--，由题得直线AB 的斜率为1,-所以直线AB 的方程为11()[()]22y x --=---，化简得直线AB 的方程为10x y ++=.故选：C 32．C 【详解】解：因为圆()2222x y r ++=的圆心为()2,0-，半径为r ，圆心()2,0-到直线40x y +-=的距离22432d --==，因为在圆()2222x y r ++=上到直线40x y +-=的距离为2的点恰有三个，所以32242r =+=．故选：C ．33．D 【详解】因为圆221x y +=与直线310ax by ++=相切，所以2200113a b++=+，所以2231a b +=，所以()2222222222222213133310616310a b a b a b ab b a b b a a ⎛⎫+=+=++≥+⋅= ⎪⎭+⎝，取等号时2214a b ==，所以2213a b +的最小值为16.故选：D.34．C 【详解】由题意，易知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为()34y k x -=-，即340kx y k -+-=曲线()()22231x y -+-=表示圆心()2,3，半径为1的圆，圆心()2,3到直线340kx y k -+-=的距离应小于等于半径1，2233411k kk-+-∴≤+，即221k k -≤+，解得3333k -≤≤.故选：C.35．D 【详解】由于1:0l mx ny +=，2:30l nx my m n -+-=，且()0mn n m +⋅-=，12l l ∴⊥，易知直线1l 过原点，将直线2l 的方程化为()()130n x m y ---=，由1030x y -=⎧⎨-=⎩，解得13x y =⎧⎨=⎩，所以，直线2l 过定点()1,3M ，所以10OM =，因为2a c b +=，则2a cb +=，直线3l 的方程为02a c ax y c +++=，直线3l 的方程可化为1022y y a x c ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由02102y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得12x y =⎧⎨=-⎩，所以，直线3l 过定点()1,2N -，如下图所示：设线段OM 的中点为点E ，则13,22E ⎛⎫⎪⎝⎭，若点P 不与O 或M 重合，由于OP PM ⊥，由直角三角形的性质可得EP EO EM ==；若点P 与O 或M 重合，满足12l l ⊥.由上可知，点P 的轨迹是以OM 为直径的圆E ，该圆圆心为13,22E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径为102.设点E 到直线3l 的距离为d ，当3EN l ⊥时，d EN =；当EN 不与3l 垂直时，d EN <.综上，22135212222d EN ⎛⎫⎛⎫≤=-+--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以，点P 到直线3l 的距离的最大值为521022OM EN ++=.故选：D.36．BC 【详解】解：对于A 、C ，由:20l kx y k -+=，得(2)0k x y +-=，令200x y +=⎧⎨-=⎩，解得20x y =-⎧⎨=⎩，所以直线l 恒过定点(2,0)-，故A 错误；因为直线l 恒过定点(2,0)-，而()2220416-+=<，即(2,0)-在圆22:16O x y +=内，所以直线l 与圆O 相交，故C 正确；对于B ，直线0:220l x y -+=的斜率为12，则当2k =-时，满足直线l 与直线0:220l x y -+=垂直，故B 正确；对于D ，1k =-时，直线:20l x y ++=，圆心到直线的距离为22002211d ++==+，所以直线l 被圆O 截得的弦长为()22222242214r d -=-=，故D 错误.故选：BC.37．BD 【详解】圆心为原点，半径为5，依题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为()55y k x -=-，即550kx y k -+-=，所以()2225552521k k k -=-⇒=+或12k =.所以直线l 的方程为25520x y -+-⨯=或1155022x y -+-⨯=，即250x y --=或250x y -+=.故选：BD38．BD 【详解】对于A 选项，直线l 过定点()0,1，且点()0,1在圆C 内，则直线l 与圆C 必相交，A 选项错误；对于B 选项，若直线l 将圆C 平分，则直线l 过原点，此时直线l 的斜率不存在，B 选项正确；对于C 选项，当1k =时，直线l 的方程为10x y -+=，圆心C 到直线l 的距离为22d =，所以，直线l 被C 截得的弦长为2225322⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭，C 选项错误；对于D 选项，圆心C 到直线l 的距离为2111d k =≤+，所以，直线l 被C 截得的弦长为2254d -≥，D 选项正确.故选：BD.39．AD 【详解】解：由直线:(2)10l mx m y m --+-=，即(1)210m x y y +--+=，得10210x y y +-=⎧⎨-+=⎩，解得1212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则直线l 过定点1(2P ，1)2，圆22:20C x y x +-=化为22(1)1x y -+=，圆心坐标为(1,0)C ，22112||(1)(0)1222PC =-+-=< ，点P 在圆C 内部，∴直线l 与圆C 恒有两个公共点，故A正确；圆心C 到直线l 的最大距离为2||2PC =，故B 错误； 直线系方程(2)10mx m y m --+-=不包含直线10x y +-=（无论m 取何值），而经过1(2P ，1)2的直线只有10x y +-=过(1,0)C ，故C 错误；当1m =时，直线l 为0x y -=，圆C 的圆心坐标为(1,0)，半径为1，圆22(1)1y x +-=的圆心坐标为(0,1)，半径为1，两圆的圆心关于直线0x y -=对称，半径相等，则当1m =时，圆C 与圆22(1)1y x +-=关于直线l 对称，故D 正确．故选：AD ．40．22【详解】圆22(1)4x y ++=的圆心为()0,1-，半径为2，则圆心()0,1-到直线的距离为()22011211++=+-，所以()2222222AB =-=，故答案为：2241．21-【详解】令t x y =+，则y x t =-+，t 表示直线在y 轴上的截距，所以x y +的最大值是直线在y 轴上截距的最大值，此时直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，即2312td --==，解得21t =-.故答案为：21-42．x =2或3420x y +=-.【详解】圆2220x y x +-=的标准式为：()2211x y -+=，容易验证x =2与圆相切，若切线的斜率存在，则设其方程为：()22220y k x kx y k -=-⇒-+-=，于是圆心到直线的距离2|2|3141k d k k -+==⇒=+，则切线：310342042x y x y -+=⇒-+=.故答案为：x =2或3420x y +=-.43．522+解：因为直线1l ：()0kx y k R +=∈恒过定点(0,0)O ，直线2l ：220x ky k -+-=恒过定点(2,2)C ，且12l l ⊥，所以两直线的交点A 在以OC 为直径的圆D 上，且圆的方程为22:(1)(1)2D x y -+-=，要求AB 的最大值，转化为在22:(1)(1)2D x y -+-=上找上一点A ，在()()22232x y +++=上找一点B ，使AB 最大，根据题意可知两圆的圆心距为22(12)(13)5+++=，所以AB 的最大值为522+，故答案为：522+44．（1）2m =-；（2）20x y -+=或0x y +=．【详解】解：（1）圆C 的标准方程为：222(1)()124m m x y -++=+，所以，圆心为(1,)2m -由圆心C 在直线y x =上，得2m =-．所以，圆C 的方程为：22(1)(1)2x y -+-=．（2）由题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为：1(1)y k x -=+，即10kx y k -++=，由于直线l 和圆C 相切，得2|2|21k k =+解得：1k =±所以，直线方程为：20x y -+=或0x y +=．45．（1）()()22231x y -+-=；（2）1y x =+.【详解】解：（1）设圆C 的方程为()()222x a y b r -+-=，则依题意，得()()()()22222224,13,10,a b r a b r a b ⎧-+-=⎪⎪-+-=⎨⎪-+=⎪⎩解得2,3,1,a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴圆C 的方程为()()22231x y -+-=（2）设直线l 的方程为1y kx =+，设11(,)M x y ，22(,)N x y ，将1y kx =+，代入22(2)(3)1x y -+-=并整理，得22(1)4(1)70k x k x +-++=，∴1224(1)1k x x k++=+，12271x x k =+∴()()()212121212241118121k k OM ON x x y y k x x k x x k +⋅=+=++++=+=+ ，即()24141k k k +=+，解得1k =，又当1k =时0∆>，∴1k =，∴直线l 的方程为1y x =+46．（1）圆()22:15C x y +-=的圆心()0,1C ，半径为5，所以圆心()0,1C 到直线l 的距离为22151m m d m m --=<=<+，所以直线l 与圆C 相交，故对m R ∈，直线l 与圆C 总有两个不同交点；（2）当M 与P 不重合时，连接,CM CP ，则CM MP ⊥，所以222CM MP CP +=，设()(),1M x y x ≠，则()()()22221111x y x y +-+-+-=，整理得()222101x y x y x +--+=≠，当M 与P 重合时，1x y ==也满足22210x y x y +--+=，故弦AB 的中点M 的轨迹方程为22210x y x y +--+=;（3）设()()1122,,,A x y B x y ，由12AP PB =，得12AP PB = ，所以()121112x x -=-，即2132x x =-，又()221015mx y m x y -+-=⎧⎪⎨+-=⎪⎩，消去y 得()22221250m x m x m +-+-=，所以212221m x x m +=+，()()4222441516200m m m m ∆=-+-=+>，由2121223221x x m x x m =-⎧⎪⎨+=⎪+⎩得21231m x m +=+，将21231m x m+=+带入()22221250m x m x m +-+-=得1m =±，所以此时直线l 的方程为0x y -=或20x y +-=.47．（1）因为(1,3),(3,1)P Q ---，所以PQ 的中垂线为11(2)2y x +=+上，由24011(2)2x y y x +-=⎧⎪⎨+=+⎪⎩，解得21x y =⎧⎨=⎩，所以圆心为()2,1C ，又半径||5r PC ==，∴圆C 的方程为22(2)(1)25x y -+-=．（2）直线l 的方程可化为(3)(25)0k x x y ----=，令30250x x y -=⎧⎨--=⎩可得3x =，1y =-，∴直线l 过定点(3,1)M -，由22(32)(11)25-+--<可知M 在圆内，∴直线l 与圆C 一定相交．（3）设圆心C 到直线l 的距离为d ，弦长为L ，则2222225L r d d =-=-，∵0||d CM ≤≤，即05d ≤≤，∴4510L ≤≤，即弦长的取值范围是[45,10]．48．（1）224x y +=；（2）15±；（3）存在，(1,1)-.（1）由题，设点P 的坐标为(,)x y ，因为||2||PA PB =，即2222(4)2(1)x y x y +-=+-，整理得224x y +=，所以所求曲线E 的轨迹方程为224x y +=．（2）依题意，2OC OD ==，且120COD ∠= ，由圆的性质，可得点O 到边CD 的距离为1，即点(0,0)O 到直线:40l kx y --=的距离为2411k =+，解得15k =±，所以所求直线l 的斜率为15±．（3）依题意，,ON QN OM QM ⊥⊥，则,M N 都在以OQ 为直径的圆F 上，Q 是直线:4l y x =-上的动点，设(,4)Q t t -，则圆F 的圆心为4(,)22t t -，且经过坐标原点，即圆的方程为22(4)0x y tx t y +---=，又因为,M N 在曲线22:4E x y +=上，由22224(4)0x y x y tx t y ⎧+=⎨+---=⎩，可得(4)40tx t y +--=，即直线MN 的方程为(4)40tx t y +--=，由t R ∈且()440t x y y +--=，可得0440x y y +=⎧⎨+=⎩，解得11x y =⎧⎨=-⎩，所以直线MN 过定点(1,1)-．。
2020年人教A版高中数学必修2课后练习(20)(有答案解析)
2020年人教A版必修2课后练习（20）一、解答题（本大题共15小题，共180.0分）1.写出下列圆的标准方程：(1)圆心在C(−3,4)，半径长是√5；(2)圆心在C(−8,3)，且经过点M(−5,−1)．2.已知圆的方程是(x−3)2+(y+2)2=16，利用计算器，判断下列各点在圆上、在圆外、还是在圆内？(1)M1(4.30,−5.72)；(2)M2(5.70,1.08)；(3)M3(3,−6)．3.已知两点P1(4,9)，P2(6,3)，求以线段P1P2为直径的圆的方程，并判断点M(6,9)，N(3,3)，Q(5,3)在圆上，在圆内，还是在圆外(可利用计算器)？4.已知三角形AOB的顶点的坐标分别是A(4,0)，B(0,3)，O(0,0)，求三角形AOB外接圆的方程．5.求下列各方程表示的圆的圆心坐标和半径长：(1)x2+y2−6x=0；(2)x2+y2+2by=0；(3)x2+y2−2ax−2√3ay+3a2=0．6.判断下列方程分别表示什么图形：(1)x2+y2=0；(2)x2+y2−2x+4y−6=0；(3)x2+y2+2ax−b2=0．7.如图，四边形ABCD中，AB//CD，AD=BC，且AB=6，CD=4，AB与CD间的距离为3，求四边形ABCD的外接圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径长．8.求下列各圆的圆心坐标和半径长，并画出它们的图形：(1)x2+y2−2x−5=0；(2)x2+y2+2x−4y−4=0；(3)x2+y2+2ax=0；(4)x2+y2−2by−2b2=0．9.求下列各圆的方程，并画出图形：(1)圆心为点C(8,−3)，且过点A(5,1)；(2)过A(−1,5)，B(5,5)，C(6,−2)三点．10.已知圆C的圆心在直线l：x−2y−1=0上，并且经过原点和A(2,1)，求圆C的标准方程．11.已知圆C的圆心在x轴上，并且过点A(−1,1)和B(1,3)，求圆C的方程．12.已知圆的一条直径的端点分别是A(x1,y1)，B(x2,y2).求证此圆的方程是(x−x1)(x−x2)+(y−y1)(y−y2)=0．13.平面直角坐标系中有点A(0,1)，B(2,1)，C(3,4)，D(−1,2)，这四点能否在同一个圆上？为什么？14.等腰三角形的顶点A的坐标是(4,2)，底边一个端点B的坐标是(3,5)，求另一个端点C的轨迹方程．并说明它是什么图形．15.长为2a的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，求线段AB的中点的轨迹方程．-------- 答案与解析 --------1.答案：解：(1)∵圆心在C(−3,4)，半径长是√5，故圆的标准方程为(x+3)2+(y−4)2=5．(2)∵圆心在C(−8,3)，且经过点M(−5,−1)，故半径为MC=√(−5+8)2+(−1−3)2=5，故圆的标准方程为(x+8)2+(y−3)2=25．解析：(1)根据圆心和半径，直接写出圆的标准方程．(2)先求出圆的半径，可得圆的标准方程．本题主要考查圆的标准方程的求法，关键是求出圆心和半径，属于基础题．2.答案：解：圆的方程是(x−3)2+(y+2)2=16，圆心O(3,−2)，半径r=4．(1)|OM1|2=(4.30−3)2+(−5.72+2)2=0.09+13.8384=13.9284<16，∴点M1在圆内．(2)|OM2|2=2.72+3.082=16.7764>16，可得点M2在圆外．(3)|OM3|2=(3−3)2+(−6+2)2=16，可得点M3在圆内．解析：分别利用两点之间的距离公式求出|OM i|2，与r2比较即可得出结论．本题考查了圆的标准方程、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.答案：解：两点P1(4,9)，P2(6,3)，线段P1P2的中点为圆心O(5,6)，半径r=√(5−4)2+(6−9)2=√10．∴以线段P1P2为直径的圆的方程为：(x−5)2+(y−6)2=10．∵|OM|2=(6−5)2+(9−6)2=10，∴点M在圆上．∵|ON|2=(3−5)2+(3−6)2=13>10，∴点M在圆外．∵|OQ|2=(5−5)2+(6−3)2=9<10，∴点M在圆内．解析：两点P1(4,9)，P2(6,3)，线段P1P2的中点为圆心O(5,6)，半径r=√(5−4)2+(6−9)2=√10.即可得出以线段P1P2为直径的圆的方程．分别计算|OM|2，|ON|2，|OQ|2，与r2比较即可得出结论．本题考查了圆的标准方程、点与圆的位置关系、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.答案：解：设三角形AOB的外接圆的方程为：x2+y2+Dx+Ey+F=0，把A(4,0)，B(0,3)，O(0,0)三点代入，得：{16+4D+F=0 9+3E+F=0F=0，解得D=−4，E=−3，F=0，∴三角形AOB外接圆的方程为x2+y2−4x−3y=0．解析：设三角形AOB的外接圆的方程为：x2+y2+Dx+Ey+F=0，把A(4,0)，B(0,3)，O(0,0)三点代入能求出圆的方程．本题考查圆的方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意待定系数法的合理运用．5.答案：解：(1)方程x2+y2−6x=0可化为(x−3)2+y2=9，圆心为(3,0)，半径为3；(2)方程x2+y2+2by=0可化为x2+(y+b)2=b2，圆心为(0,−b)，半径为|b|；(3)方程x2+y2−2ax−2√3ay+3a2=0可化为(x−a)2+(y−√3a)2=a2，圆心为(a,√3a)，半径为|a|．解析：把圆的方程化为标准方程，再求圆心和半径．本题考查了圆的一般方程的圆心和半径的求法问题，是基础题．6.答案：解：(1)x 2+y 2=0，则x =y =0，表示点(0,0)；(2)x 2+y 2−2x +4y −6=0，即(x −1)2+(y +2)2=11，表示以(1,−2)为圆心，√11为半径的圆；(3)x 2+y 2+2ax −b 2=0，即(x +a)2+y 2=a 2+b 2，a =b =0时，表示点(0,0)；a 2+b 2≠0时，表示圆．解析：利用所给方程，结合圆的方程，即可得出结论．本题考查圆的方程，考查配方法，正确理解圆的方程是关键．7.答案：解：建立如图所示的坐标系，由题意可得C(2,3)、D(3,0)，圆心E 在y 轴上，设E(0,b)，3>b >0． 故有CE =BE ，∴22+(b −3)2=32+b 2，求得b =23，∴半径BE =√32+(23)2=√853，圆心为(0,23 )．解析：建立如图所示的坐标系，由题意可得C 、D 的坐标，设圆心E(0,b)，3>b >0，再根据CE =BE ，求得b 的值，可得圆心坐标和半径长BE ．本题主要考查等腰梯形、圆心和半径的性质，属于基础题．8.答案：解：(1)x 2+y 2−2x −5=0，即(x −1)2+y 2=6，故圆心为(1,0)，半径为√6．(2)x 2+y 2+2x −4y −4=0，即即(x +1)2+(y −2)2=9，故圆心为(−1,2)，半径为3．(3)x 2+y 2+2ax =0；即(x +a)2+y 2=a 2，故当a ≠0时，圆心为(−a,0)，半径为|a|．(4)x 2+y 2−2by −2b 2=0.即(x −b)2+y 2=3b 2，故圆心为(b,0)，半径为√3|b|．解析：把圆的一般方程化为标准方程，可得圆心和半径．本题主要考查圆的一般方程和标准方程，属于基础题．9.答案：解：(1)圆心为点C(8,−3)，且过点A(5,1)，故半径为AC =√(8−5)2+(−3−1)2=5， 故圆的标准方程为(x −8)2+(y +3)2=25．(2)设过A(−1,5)，B(5,5)，C(6,−2)三点的圆的方程为x 2+y 2+dx +ey +f =0，则由{1+25−d +5e +f =025+25+5d +5e +f =036+4+6d −2e +f =0，求得{d =−4e =−2f =−20，则圆的方程为x 2+y 2−4x −2y −20=0．解析：(1)先求出半径，可得圆的标准方程．(2)用待定系数法求圆的一般方程．本题主要考查求圆的方程的方法，属于中档题．10.答案：解：设圆的标准方程为(x −a)2+(y −b)2=r 2，圆心(a,b)，半径r ．∵圆C 的圆心在直线l ：x −2y −1=0上，并且经过原点和A(2,1)，∴{a −2b −1=0a 2+b 2=r 2(2−a)2+(1−b)2=r 2解得{a =65b =110r 2=2920． 故圆C 的标准方程为(x −65)2+(y −110)2=2920．解析：设圆的标准方程为(x −a)2+(y −b)2=r 2，圆心(a,b)，半径r.利用圆C 的圆心在直线l ：x −2y −1=0上，并且经过原点和A(2,1)，可得{a −2b −1=0a 2+b 2=r 2(2−a)2+(1−b)2=r2解得即可． 本题考查了圆的标准方程，属于基础题．11.答案：解：设圆心坐标为C(a,0)，∵点A(−1,1)和B(1,3)在圆C 上∴|CA|=|CB|，即√(a +1)2+(0−1)2=√(a −1)2+(0−3)2解之得a =2，可得圆心为C(2,0)半径|CA|=√(2+1)2+(0−1)2=√10∴圆C 的方程为(x −2)2+y 2=10．解析：设圆心坐标为C(a,0)，根据A 、B 两点在圆上利用两点的距离公式建立关于a 的方程，解出a 值．从而算出圆C 的圆心和半径，可得圆C 的方程．本题给出圆C 满足的条件，求圆的方程．着重考查了两点间的距离公式和圆的标准方程等知识，属于基础题．12.答案：证明：∵圆的一条直径的端点分别是A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，∴圆心为C(x 1+x 22,y 1+y 22)，半径为AB 2=12√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2，∴此圆的方程是(x −x 1+x 22)2+(y −y 1+y 22)2=(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)24， 即x 2−(x 1+x 2)x +(x 1+x 2)24+y 2−(y 1+y 2)y +(y 1+y 2)24=(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)24， 即x 2−(x 1+x 2)x +x 1⋅x 2+y 2−(y 1+y 2)y +y 1⋅y 2=0，即(x −x 1)(x −x 2)+(y −y 1)(y −y 2)=0．解析：由题意求得圆心和半径，可得圆的标准方程，化简即可．本题主要考查圆的标准方程的特征，属于基础题．13.答案：解：设过的圆的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0…(2分)将点A 、B 、D 的坐标分别代入圆的方程，得{1+E +F =04+1+2D +E +F =01+4−D +2E +F =0，解得：D =−2，E =−6，F =5，得圆的方程为x 2+y 2−2x −6y +5=0…(8分)将点C 的坐标代入上述所得圆的方程，方程成立点C 在该圆上，…(10分)四个点在同一个圆上．…(12分)解析：设过的圆的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0，将点A 、B 、D 的坐标分别代入圆的方程，得圆的方程为x 2+y 2−2x −4y +3=0，将点C 的坐标代入上述所得圆的方程，方程成立，四个点不在同一个圆上．本题考查圆的方程的求法，解题时要认真审题，注意待定系数法的合理运用．14.答案：解：∵A(4,2)，B (3,5)∴|AB|=√10…(2分)∵等腰三角形的顶点是A ，底边一个端点是B 、C∴|CA|=√10，即C 在以A 为圆心，以√10为半径的圆上，…(4分)∴方程为(x −4)2+(y −2)2=10…(6分)又A ，B ，C 不能共线，故轨迹方程为(x −4)2+(y −2)2=10(x ≠3,5)，…(8分)轨迹是以A(4,2)为圆心，以√10为半径的圆除去(3,5)和(5,−1)两点．…(10分)解析：求出|AB|，等腰三角形的顶点是A ，底边一个端点是B 、C ，可得|CA|=√10，即C 在以A 为圆心，以√10为半径的圆上，从而可得结论．本题考查轨迹方程，考查学生分析解决问题的能力，应注意A ，B ，C 不能共线．属于中档题． 15.答案：解：设线段AB 的中点P(x,y)，若A 、B 不与原点重合时，则△AOB 是直角三角形，且∠O 为直角，则OP =12AB ，而AB =2a ，∴OP =a ，即P 的轨迹是以原点为圆心，以a 为半径的圆，方程为x 2+y 2=a 2(a >0)；若A 、B 有一个是原点，同样满足x 2+y 2=a 2(a >0)．故线段AB的中点的轨迹方程为：x2+y2=a2(a>0)．解析：设AB的中点坐标为(x,y)，当A、B均不与原点重合时，由直角三角形虚部的中线等于斜边的一半可得AB中点轨迹，验证A、B有一点与原点重合时成立得答案．本题考查轨迹方程的求法，考查分类讨论的数学思想方法，是基础题．。
阿氏圆数学模型高中笔记
阿氏圆数学模型高中笔记
在平面几何中，线段和差的最值距离是一类较为经典的问题，一般是利用“两点之间线段最短”或“点到线的距离中垂线段最短”原理进行求解。
关于线段和差的最值距离问题的具体介绍如下：
这里分为三类情况讨论，第一类问题和第二类问题考察将军饮马模型及模型的变式为主。
第三类问题比较复杂，通常情况下大部分问题能够由胡不归和阿氏圆模型解决。
一、阿波罗尼斯圆模型
阿波罗尼斯圆（Apolo circle）简称阿氏圆，定义为：若平面内一动点P，与两定点A和B的距离之比为固定比例k（k不为1），则
点P的轨迹为一个圆。
对于令AP/BP=k，当P点与A、B点处在同一直线，且P点分别位于B两侧时，P的轨迹为一个圆：(1) BP'/AP'=k(2)BP''/AP''=k-->P的轨迹为一个圆，P''P'为圆的直径，半径为k*OB
证明过程如下：证法1.坐标法令B为坐标原点，A的坐标为(a,0)。
则动点P(x,y)满足：
根据方程能看出P的是一个圆的轨迹，证毕。
令y=0，可以求出
阿氏圆的半径：
或
证法2角平分线定理
二、利用阿氏圆模型求解线段和差
对于PA+k*PB类问题，如果P的轨迹是一个圆，并且对应边长之比为k，则称此类为“阿氏圆”问题。
解决阿氏圆问题的常用解法是构造一个母子相似，再利用“两点之间线段最短”原理解决问题。
具体来说，分为以下五步：
*注：构造母子相似的证明条件是：1夹角相等+2邻边成比例
三、实战演练（一）经典例题
（二）答案解析。
高中数学经典例题—与圆有关的最值问题
高中数学经典例题-与圆有关的最值问题I ．题源探究·黄金母题【例1】已知圆()()22:1225C x y -+-=，直线()():211740,l m x m y m m +++--=为任意实数．（1）求证：直线l 恒过定点；（2）判断直线l 被圆截C 得的弦何时最长、何时最短？并求截得的弦长最短时m 的值以及最短长度． 【答案】（1）()3,1；（2）34-， 【解析】（1）直线l 的方程经过整理得()()2740x y m x y +-++-=．由于m 的任意性，于是有27,4.x y x y +-⎧⎨+-⎩解此方程组，得3,1x y =⎧⎨=⎩，即直线l 恒过定点()3,1D ．（2）因为直线l 恒过圆C 内一点D ，所以当直线l 经过圆心C 时被截得的弦最长，它是圆的直径；当直线l 垂直于CD 时被截得的弦长最短．由()()1,2,3,1C D ，可知直线CD 的斜率为12CD k =-，故当直线l 被圆C 截得的弦长最短时，直线l 的斜率为2，于是有2121m m +-=+，解得34m =-，此时直线l 的方程为()123y x -=-，即250x y --=。
又CD精彩解读【试题来源】人教A 版必修2P 144B 组T6．【母题评析】本题考查圆的有关最值问题，考查考生的分析问题、解决问题的能力． 【思路方法】结合圆的有关几何性质解题．线l 被圆C 截得的弦最短时m 的值为34-，最短长度是45。
II ．考场精彩·真题回放【例2】【2017高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，点()12,0A -，()0,6B ，点P 在圆22:50O x y +=上．若20PA PB ⋅，则点P 的横坐标的取值范围是 ． 【答案】52,1⎡⎤-⎣⎦【解析】不妨设()00,P x y ，则220050x y +=，且易知052,52x ⎡⎤∈-⎣⎦．因为PA PB AP BP =⋅⋅()()000012,,6x y x y =+⋅-=220000126x x y y ++-005012620x y =+-，故00250x y -+．B (1,7)A (-5,-5)2x-y+5=0Oyx52所以点()00,P x y 在圆22:50O x y +=上，且在直线250x y -+=的左上方（含直线）．联立2250250x y x y ⎧+=⎨-+=⎩，得15x =-，21x =，如图所示，结合图形知052,1x ⎡⎤∈-⎣⎦．【命题意图】本类题主要考查点与圆、直线与圆、圆与圆位置关系，以及考查逻辑思维能力、运算求解能力、数形结合的能力、方程思想的应用．【考试方向】这类试题考查根据给定直线、圆方程判断点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系，同时考查通过数形结合思想、充分利用圆的几何性质解决圆的切线、圆的弦长等问题．在考查形式上，主要要以选择题、填空题为主，也有时会出现在解答题中，中档题．【难点中心】1．直线与圆的位置关系的判断方法（1）几何法：由圆心到直线的距离d 与半径长r 的大小关系来判断． 若d r >，则直线与圆相离； 若d r =，则直线与圆相切；若d r <，则直线与圆相交． （2）代数法故填52,1⎡⎤-⎣⎦．【例3】【2015高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，以点()1,0为圆心且与直线210mx y m ---=()m ∈R 相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 ．【答案】()2212x y -+=【解析】解法一（几何意义）：动直线210mx y m ---=整理得()()210m x y --+=，则l 经过定点()2,1M -，故满足题意的圆与l 切于M 时，半径最大，从而()()2221102r =-+--=，故标准方程为()2212x y -+=．解法二（代数法——基本不等式）：由题意222221112111m m m m r d m m m ++==+--==+++ 211m m=++21212mm+=，当且仅当1m =时，取“=”．故标准方程为()2212x y -+=．解法三（代数法——∆判别式）：由题意211m r d m --==+22211m m m ++=+，设22211m m t m ++=+，则()21210t m m t --+-=，m ∴∈R ，2．点与圆、圆与圆位置关系的判断方法，类似的也有几何法和代数法两种； 3．比较圆心距与两个圆的半径和与半径差的大小关系，特别是遇到参数问题时，如何建立等式或不等式是一个难点．()()222410t ≥∴∆=---，解得02t ≤≤，maxd ∴=【例4】【2015高考广东卷】已知过原点的动直线l 与圆221:650C x y x +-+=相交于不同的两点A ，B ．（1）求圆1C 的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；（3）是否存在实数k ，使得直线:(4)l y k x =-与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．【答案】（1）()3,0；（2）223953243x y x ⎛⎫⎛⎫-+=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（3）3325,,4477k ⎡⎧⎫∈--⎨⎬⎢⎩⎭⎣⎦．【解析】（1）由22650x y x +-+=得()2234x y -+=，所以圆1C 的圆心坐标为()3,0；（2）设(),M x y ．因为点M 为弦AB 中点，即1C M AB ⊥，所以11C M AB k k =-，即13y yx x=--，所以线段AB 的中点M 的轨迹的方程为223953243x y x ⎛⎫⎛⎫-+=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （3）由（2）知点M的轨迹是以3,02C ⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，32r =为半径的部分圆弧EF （不包括两端点），且533E ⎛ ⎪⎝⎭，525,3F ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭．又直线():4l y k x =-过定点()4,0D ， 当直线l 与圆C 相切时，由223402321k k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭=+得34k =±． 又250255743DEDFkk ⎛⎫-- ⎪⎝⎭=-=-=-，所以当332525,,44k ⎡⎤⎧⎫∈--⎨⎬⎢⎥⎩⎭⎣⎦时，直线():4l y k x =-与曲线C 只有一个交点．III ．理论基础·解题原理考点一 与截距有关的圆的最值问题形如t ax by =+形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题． 考点二 与斜率有关的圆的最值问题形如y bx aμ-=-形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题． 考点三 与距离有关的圆的最值问题在运动变化中，动点到直线、圆的距离会发生变化，在变化过程中，就会出现一些最值问题，如距离最小，最大等．这些问题常常联系到平面几何知识，利用数形结合思想可直接得到相关结论，解题时便可利用这些结论直接确定最值问题．常见的结论有：（1）圆外一点A 到圆上距离最近为AO r -，最远为AO r +； （2）过圆内一点的弦最长为圆的直径，最短为该点为中点的弦；（3）直线与圆相离，则圆上点到直线的最短距离为圆心到直线的距离d r +，最近为d r -；（4）过两定点的所有圆中，面积最小的是以这两个定点为直径端点的圆的面积． （5）直线外一点与直线上的点的距离中，最短的是点到直线的距离；（6）两个动点分别在两条平行线上运动，这两个动点间的最短距离为两条平行线间的距离． 考点四 与面积相关的最值问题与圆有关的最值问题，因与平面几何性质联系密切，且与圆锥曲线相结合的命题趋势，使与圆相关的最值问题成为命题宠儿．与圆的面积的最值问题，一般转化为寻求圆的半径相关的函数关系或者几何图形的关系，借助函数求最值的方法，如配方法，基本不等式法等求解，有时可以通过转化思想，利用数形结合思想求解．IV ．题型攻略·深度挖掘【考试方向】这类试题，通常以选择题或填空题的形式出现，试题难度不大，多为容易题、中档题；若以解答题的形式呈现，则有一定难度． 【技能方法】1．数形结合法处理与圆有关的最值问题，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解．研究与圆有关的最值问题时，可借助图形的性质，利用数形结合求解．常见的最值问题有以下几种类型：①形如y bx aμ-=-形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；②形如t ax by =+形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；③形如(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．2．建立函数关系求最值根据题目条件列出关于所求目标函数的关系式，然后根据关系的特点选用参数法、配方法、判别式法等进行求解．2．利用基本不等式求解最值如果所求的表达式是满足基本不等式的结构特征，如a b ⋅或者a b +的表达式求最值，常常利用题设条件建立两个变量的等量关系，进而求解最值．同时需要注意，“一正二定三相等”的验证．V ．举一反三·触类旁通考向1 与斜率有关的圆的最值问题【例1】如果直线()21400,0ax by a b -+=>>和函数()()110,1x f x mm m +=+>≠的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆()()221225x a y b -+++-=的内部或圆上，那么ba的取值范围是 A ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡3443， B ．⎥⎦⎤ ⎝⎛3443， C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡3443， D ．⎪⎭⎫⎝⎛3443，【答案】C【解析】函数()11x f x m+=+恒过定点()1,2-．将点()1,2-代入直线2140ax by -+=可得22140a b --+=，即()7,0,0a b a b +=>>．由点()1,2-在圆()()221225x a y b -+++-=内部或圆上可得()()22112225a b --+++-≤即2225a b +≤()0,0a b >>．2273425a b a b a b +==⎧⎧⇒⎨⎨=+=⎩⎩或43a b =⎧⎨=⎩．所以点(),a b 在以()3,4A 和()4,3B 为端点的线段上运动．ba表示以()3,4A 和()4,3B 为端点的线段上的点与坐标原点连线的斜率．所以min 303404b a -⎛⎫==⎪-⎝⎭，max404303b a -⎛⎫== ⎪-⎝⎭．所以3443b a ≤≤．故C 正确． 【例2】已知圆22:8150C x y x +-+=，直线2y kx =+上至少存在一点P ，使得以点P 为原心，半径为1的圆与圆C 有公共点，则k 的最小值是 （ ）A ．43-B ．54-C ．35-D ．53- 【答案】A【跟踪练习】1．已知实数x 、y 满足x 2+y 2=4，则22-+y x xy的最小值为 （ ）A ．222-B ．222-C ．222+D ．222-- 【答案】A2．在平面直角坐标系x y O 中，圆1C :()()221625x y ++-=，圆2C :()()2221730x y r -+-=．若圆2C 上存在一点P ，使得过点P 可作一条射线与圆1C 依次交于点A ，B ，满足2PA =AB ，则半径r 的取值范围是_______． 【答案】[]5,55【解析】由题，知圆1C 的圆心为(1,6)-，半径为5，圆2C 的圆心为(17,30)，半径为r ，两圆圆心距为22(171)(306)30++-=，如图，可知当AB 为圆1C 的直径时取得最大值，所以当点P 位于点1P 所在位置时r 取得最小值，当点P 位于点2P 所在位置时r 取得最大值．因为max ||10AB =，||2||PA AB =，所以min 5r =，max 55r =．3．过点()1,2M 的直线l 与圆C ：()()223425x y -+-=交于,A B 两点，C 为圆心，当ACB ∠最小时，直线l 的方程是 ． 【答案】: 30x y +-=【解析】：要使ACB ∠最小，由余弦定理可知，需弦长AB 最短．要使得弦长最短，借助结论可知当()1,2M 为弦的中点时最短．因圆心和()1,2M 所在直线的42131k-==-，则所求的直线斜率为1-，由点斜式可得1(2)30y x x y -=--⇒+-=．【点评】此题通过两次转化，最终转化为求过定点的弦长最短的问题．4．若圆C ：034222=+-++y x y x 关于直线062=++by ax 对称，则由点（a ，b ）向圆所作的切线长的最小值是_____________． 【答案】4【点评】与切线长有关的问题及与切线有关的夹角问题，解题时应注意圆心与切点连线与切线垂直，从而得出一个直角三角形．考向2 与截距有关的圆的最值问题【例3】【2017北京海淀模拟】设为不等式表示的平面区域，直线与区域有公共点，则的取值范围是_____．【答案】或者【解析】由题设到直线的距离，解之得，应填答案．【跟踪练习】1．【2017江苏南通高三第三次调研考试】在平面直角坐标系xOy中，已知点，点，为圆上一动点，则的最大值是____．【答案】2点睛：首先根据问题将的表达式列出来，做最值问题的小题，首先得明确问题表达式，然后根据函数或者基本不等式求解最值，本题解题关键在于，写出表达式后要将其化为斜率的定义求法来理解从而求得结论．2．【2018安徽六安模拟】若直线2x y m =-+与曲线2142y x =-恰有三个公共点，则实数m 的取值范围是 （ ） A ．2) B ．(2121) C ．(121) D ．21)思路分析：直线2x y m =-+与曲线21|4|2y x =-m 的取值范围，可以转化为直 线2x y m =-+的图象与曲线21|4|2y x =-的图象有三个交点时实数m 的取值范围，作出两个函数 的图象，通过图象观察临界直线，从而求出m 的取值范围；本题曲线21|4|2y x =- 画图时要分类讨论，知图象由椭圆的上一部分与双曲线的上部分组成．3．【2018湖北稳派教育高三上学期第二次联考】已知圆C的圆心在x 轴的正半轴上，且y 轴和直线320x y-+=均与圆C相切．(1)求圆C的标准方程；(2)设点()0,1P，若直线y x m=+与圆C相交于M，N两点，且MPN∠为锐角，求实数m的取值范围．【答案】（1）()2224x y-+=；（2）1515222,(,222⎛⎫---+--⋃-+⎪⎪⎝⎭）．试题解析：（1）设圆C的标准方程为：故由题意得，解得，∴圆C 的标准方程为：．（2）由()22{24y x mx y=+-+=消去y整理得．∵直线y x m =+与圆C 相交于M ，N 两点，∴，解得，设，则．∴依题意得()()()()121212121111PM PN x x y y x x x m x m ⋅=+--=++-+-()()()212122110x x m x x m =+-++->，∴()()()221210m m m m +--+->，整理得210m m +->，解得或．又，∴15222m ----<<或152222m -+<<-+．故实数m 的取值范围是．点睛：（1）对于BAC ∠为锐角的问题（或点A 在以BC 为直径的圆外，或222AB AC BC >＋），都可转化为0AB AC ⋅>，然后坐标化，转化为代数运算处理．（2）对于直线和圆位置关系的问题，可将直线方程和圆的方程联立消元后根据所得的二次方程的判别式、根据系数的关系，借助于代数运算处理．解题时注意“设而不求”、“整体代换”等方法的运用，以减少计算量、提高解题速度．考向3 与距离有关的圆的最值问题【例4】【2018广西南宁模拟】在平面直角坐标系xOy 中，已知()221125x y -+=，22240x y -+=，则()()221212x x y y -+-的最小值为（ ）A ．55．15 C ．1215D ．1155 【答案】B【跟踪练习】1．【2018江西赣州红色七校一联】已知圆C ：（a<0）的圆心在直线 上，且圆C 上的点到直线的距离的最大值为，则的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】C【解析】圆的方程为，圆心为①，圆C 上的点到直线的距离的最大值为②由①②得，a <0，故得 ， =3．点睛：圆上的点到直线的距离的最大值，就是圆心到直线的距离加半径；再就是二元化一元的应用． 2．【2018山西临汾一中、忻州一中、长治二中、康杰中学模拟】已知()2,0A ，直线4310x y ++=被圆()()22:313(3)C x y m m ++-=<所截得的弦长为43P 为圆C 上任意一点，则PA 的最大值为（ ）A ．2913B ．513+．7132913 【答案】D【解析】根据弦心距、半径、半弦长的关系得： 22311(23=135m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭），解得： 2m =或163m = (舍去)，当2m =时， PA 的最大值2913PC r +=+，故选D ．3．【2017辽宁辽南协作校一模】圆x 2+y 2-4x -4y -10=0上的点到直线x +y -8=0的最大距离与最小距离的差是（ ） A ．18 B ．6 C ．52 D ．42【答案】C点睛：判断直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．4．【2017安徽宣城二模】已知P 是圆224x y +=上一点，且不在坐标轴上， ()2,0A ， ()0,2B ，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，则2AN BM +的最小值为__________．【答案】8【解析】设点()2cos ,2sin P θθ，则直线PA 的方程： ()sin 2cos 1y x θθ=--，则2sin 0,cos 1M θθ⎛⎫- ⎪-⎝⎭同理2cos ,0sin 1N θθ⎛⎫-⎪-⎝⎭，则2AN BM + 2cos 4sin 6sin 1cos 1θθθθ=++--的最小值为8． 5．【2107吉林省延边州模拟】点N 是圆()2251x y ++=上的动点，以点()3,0A 为直角顶点的R t ABC ∆另外两顶,B C 在圆2225x y +=上，且BC 的中点为M ，则MN 的最大值为__________．【答案】1541+ 【解析】6．【2017山东济宁3月模拟考试】在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ： 22221(0)x y a b a b+=>>的离心率31l ： 1x ya b+=被椭圆C 5 （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线1l 与圆D ： 22640x y x y m +--+=相切： （i ）求圆D 的标准方程；（ii ）若直线2l 过定点()3,0，与椭圆C 交于不同的两点E 、F ，与圆D 交于不同的两点M 、N ，求EF MN ⋅的取值范围．【答案】（I ）2214x y +=；（II ）（i ）()()22325x y -+-=；（ii ）(]0,8．【解析】试题分析：（Ⅰ）由直线1l 过定点(),0a ， ()0,b ，可得到225a b +=，再结合c a =，即可求出椭圆的方程；（Ⅱ）（i ）利用圆的几何性质，求出圆心到直线1l 的距离等于半径，即可求出m 的值，即可求出圆D 的标准方程；（ii ）首先设直线2l 的方程为()3y k x =-，利用韦达定理即可求出弦长EF 的表达式，同理利用圆的几何关系可求出弦长MN 的表达式，即可得到EF MN ⋅的表达式，再用换元法29141,5t k ⎡⎫=+∈⎪⎢⎣⎭，即可求出EF MN ⋅的取值范围．试题解析：（Ⅰ）由已知得直线1l 过定点(),0a ， ()0,b ， 225a b +=，又2c a =， 222a b c =+，解得24a =， 21b =，故所求椭圆C 的标准方程为2214x y +=． （Ⅱ）（i ）由（Ⅰ）得直线1l 的方程为12xy +=，即220x y +-=，又圆D 的标准方程为()()223213x y m -+-=-，∴圆心为()3,2，圆的半径r ==∴圆D 的标准方程为()()22325x y -+-=．（ii ）由题可得直线2l 的斜率存在，设2l ： ()3y k x =-，与椭圆C 的两个交点为()11,E x y 、()22,F x y ，由()223,{1,4y k x x y =++=消去y 得()222214243640k x k x k +-+-=，由0∆>，得2105k ≤<， 21222414k x x k +=+， 212236414k x x k-=+， ∴EF ===．又圆D 的圆心()3,2到直线2l ： 30kx y k --==∴圆D 截直线2l 所得弦长222251221k MN r d k +=-=+， ∴()()()()2224222221155112542811414k k k k EF MN k k k +-+-⋅=⨯=+++，设29141,5t k ⎡⎫=+∈⎪⎢⎣⎭， 214t k -=，则22211251148295025t EF MN t t t -⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⋅==-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∵295025y x x =-+-的对称轴为259x =，在5,19⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增， 016y <≤， ∴21109502516t t ⎛⎫⎛⎫<-+-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴08EF MN <⋅≤．【点睛】本题考查了椭圆方程的求法，考查了直线与圆锥曲线，直线与圆的位置关系，常采取联立直线和圆锥曲线方程，利用一元二次方程的根与系数关系求解，对于直线与圆的位置关系，常采取圆的几何性质较多，运算量较少点，圆锥曲线类的题目的特点就是运算量大，要求学生具有较强的运算能力，属于难题． 考向4 与面积相关的最值问题【例5】 在平面直角坐标系中，,A B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线240x y +-=相切，则圆C 面积的最小值为_______________．【答案】45π【例6】动圆C 经过点(1,0)F ，并且与直线1x =-相切，若动圆C 与直线221y x =+总有公共点，则圆C 的面积的最小值_________________．【答案】4π【解析】设圆心为(,)a b ，半径为r ，|||1|r CF a ==+，即222(1)(1)a b a -+=+，即214a b =，∴圆心为21(,)4b b ，2114r b =+，圆心到直线221y x =++的距离为22|221|4142b b b d -++=≤+，∴2(223)b ≤-+或2b ≥，当2b =时，min 14124r =⨯+=，∴2min 4S r ππ==． 【跟踪练习】1．设,m n R ∈，若直线10mx ny +-=与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，且l 与圆224x y +=相交所得弦的长为2，O 为坐标原点，则ABO ∆面积的最小值为_____________． 【答案】3【解析】l 与圆相交所得弦的长为2，故弦心距2222213d m n ==-=+，所以22123m n mn +=≥，16mn ∴≤，l 与x 轴相交于点A 1,0m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，与y 轴相交于点B 1,0n ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 1111111632222AOB S OA OB m n mn ∆∴===≥⨯=． 2．【2017届高三七校联考期中考试】已知直线1:=-y x l 与圆M ：012222=-+-+y x y x 相交于A ，C 两点，点B ，D 分别在圆M 上运动，且位于直线AC 两侧，则四边形ABCD 面积的最大值为 ．30【解析】3)1()1(01222222=++-⇒=-+-+y x y x y x ，圆心M 到直线1:=-y x l 距离为212|111|=-+，BD 为过圆心M 且垂直于AC 的直径时，四边形ABCD 面积取最大值，为303221322121=⨯-⨯=⨯⨯BD AC ．3．【2017河南安阳二模】已知圆：，动点在圆：上，则面积的最大值为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】B4．【2018河南洛阳模拟】已知两动圆2221:(3)F x y r +=和2222:(3)(4)(04)F x y r r +=-<<，把它们的公共点的轨迹记为曲线C ，若曲线C 与y 轴的正半轴的交点为M ，且曲线C 上的相异两点,A B 满足：0MA MB =．（1）求曲线C 的方程；（2）证明直线AB 恒经过一定点，并求此定点的坐标； （3）求ABM ∆面积S 的最大值．【答案】（1）2214x y += ；（2）证明见解析，定点坐标为3(0,)5N -；（3）6425． 【解析】试题分析：（1）设两动圆的公共点为Q ，则有12124()QF QF F F +=> ，根据椭圆的定义可知Q 的轨迹为椭圆，由此求出轨迹方程；（2）先求出(0,1)M ，设1122(,),()A x y B x y ，当直线AB 斜率存在时设直线方程为y kx m =+ 与椭圆方程联立，由韦达定理计算1212(1)(1)0MA MB x x kx m kx m ⋅=++-+-=得35m -=，所以直线恒过定点3(0,)5N -，验证当直线AB 斜率不存在时也过此点即可；（3）将三角形面积分割成两部分进行计算，即ABM △面积212213225422514MNA MNB k S S S MN x x k ∆∆+=+=⋅-=⋅+，令254t k =+即可求出面积的最大值．试题解析： （1）设两动圆的公共点为Q ，则有12124()QF QF F F +=>．由椭圆的定义可知Q 的轨迹为椭圆，2,a c ==C 的方程是：2214x y +=． （2）证法一：由题意可知：(0,1)M ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，当AB 的斜率不存在时，易知满足条件0MA MB ⋅=的直线AB 为：0x =过定点3(0,)5N -当AB 的斜率存在时，设直线AB ：y kx m =+，联立方程组：2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩①②，把②代入①有：222(14)8440k x kmx m +++-= 122814km x x k-+=+③，21224414m x x k -⋅=+④， 因为0MA MB ⋅=，所以有1212(1)(1)0x x kx m kx m ⋅++-+-=，221212(1)(1)()(1)0k x x k m x x m +⋅+-++-=，把③④代入整理：22222448(1)(1)(1)01414m km k k m m k k--++-+-=++，（有公因式m －1）继续化简得： (1)(53)0m m --=，35m -=或1m =（舍）， 综合斜率不存在的情况，直线AB 恒过定点3(0,)5N -．证法二：（先猜后证）由题意可知：(0,1)M ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，如果直线AB 恒经过一定点，由椭圆的对称性可猜测此定点在y 轴上，设为(0,)N m ； 取特殊直线:1MA y x =+，则直线MB 的方程为1y x =-+，解方程组22141x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得点83(,)55A --，同理得点83(,)55B -，此时直线AB 恒经过y 轴上的点3(0,)5N -下边证明点3(0,)5N -满足条件0MA MB ⋅=当AB 的斜率不存在时，直线AB 方程为：0x =， 点A B 、的坐标为(0,1)±，满足条件0MA MB ⋅=；当AB 的斜率存在时，设直线AB ：35y kx =-，联立方程组： 221435x y y kx ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩①②，把②代入①得：222464(14)0525k k x x +--= 122245(14)k x x k +=+③，1226425(14)x x k -⋅=+④， 所以1212121288(1)(1)()()55MA MB x x y y x x kx kx ⋅=⋅+--=⋅+--21212864(1)()525k k x x x x =+-++2226482464(1)052525(14)5(14)k k k k k -=+⋅-⋅+=++ （3）ABM △面积MNA MNB S S S =+△△＝1212MN x x -由第（2）小题的③④代入，整理得：2322514S k=+ 因N 在椭圆内部，所以k R ∈，可设t 23249t t +32(2)94t t t=≥+92542t t +≥，∴6425S ≤（0k =时取到最大值）．所以ABM △面积S 的最大值为6425．考点：1．椭圆的定义与几何性质；2．直线与椭圆的位置关系；3．基本不等式． 考向5 与圆有关的最值问题综合题【例7】已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0，求： （1）yx 的最大值和最小值；（2）y －x 的最大值和最小值； （3）x 2＋y 2的最大值和最小值．【点评】研究与圆有关的最值问题时，可借助图形的性质，利用数形结合求解．常见的最值问题有以下几种类型：①形如μ＝y －b x －a形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；②形如t ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；③形如(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．【例8】设Q P ,分别为()2622=-+y x 11022=+y x 上的点，则Q P ,两点间的最大距离是________________．【答案】26【例9】设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则||||PA PB ⋅的最大值是 ． 【答案】5【跟踪练习】1．【2018广西桂林柳州模拟】已知圆()221:24C x a y ++=和圆()222:1C x y b +-=只有一条公切线，若,a b R ∈且0ab ≠，则2211a b +的最小值为（ ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．9 【答案】D【易错点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．2．【2017甘肃兰州高三第一次诊断性考试】已知圆和两点，，，若圆上存在点，使得，则当取得最大值时，点的坐标是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】设为圆上一点，由题意知，，即，，，，，所以所在直线倾斜角为30，所以的纵坐标为，的横坐标为，所以，故选D ．3．【2018黑龙江海林朝鲜中学】已知两点(),0A a ， (),0B a -（0a >），若曲线2223230x y x y +--+=上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则正实数a 的取值范围为（ ）A ．(]0,3B ．[]1,3C ．[]2,3D ．[]1,2 【答案】B4．【2017吉林吉林大学附中高三第七次模拟】已知圆C ： (()22311x y +-=和两点()0A t -，，()0(0)B t t >，，若圆C 上存在点P ，使得·0PA PB =，则t 的最小值为（ ）A ．3B ．2C ．1 【答案】D【解析】由题意可得点P 的轨迹方程是以AB 位直径的圆，当两圆外切时有：min min 11t t =+⇒=，即t 的最小值为1．本题选择D 选项．点睛：在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念及其几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围5．【2017天津河西区二模】若直线20ax by -+=（0a >， 0b >）被圆222410x y x y ++-+=截得的弦长为4，则11a b+的最小值为（ ）A ．32+ C ．14 D ．32+【答案】A【解析】由题意得()()22124x y ++-= ，所以直线20ax by -+=过圆心，即220,22a b a b --+=+= ，因此111121213332222a b b a a b a b a b ⎛++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=++≥+= ⎪⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝ ，选A ． 点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．6．【2018安徽合肥一中、马鞍山二中等六校教育研究会上学期第一次联考】从直线y x =上一动点出发的两条射线恰与圆()22:21C x y +-=都相切，则这两条射线夹角的最大值为__________．【答案】2π 【解析】当动点与圆心连线与y=x 垂直时，两条射线夹角的最大，如图，易得夹角的最大值为2π．答案： 2π 7．若在圆O:221x y +=上存在点N ，使得∠OMN=45°，则0x 的取值范围是________．【答案】[1,1]-过OA ⊥MN ，垂足为A ，在Rt OMA ∆中，因为∠OMN=45，所以||||sin 45OA OM ==2||12OM ≤， 解得||2OM ≤M （0x ，1），所以20||12OM x =+≤011x -≤≤，故0x 的取值范围是[1,1]-．8．【湖北省黄石市2017届高三年级九月份调研，10】圆222240x y ax a +++-=和圆2224140x y by b +--+=恰有三条公切线，若,a R b R ∈∈，且0ab ≠，则2211a b+的最小值为 ． 【答案】19．【2017江苏苏北三市（连云港、徐州、宿迁）高三年级第三次调研】在平面直角坐标系中，圆：．若圆存在以为中点的弦，且，则实数的取值范围是__________．【答案】(或)【解析】由于原C 存在以G 位中点的弦AB ，且AB=2GO ，故 ， 如图所示，过点O 作圆C 的两条切线，切点分别为B ，D ，圆上要存在满足题意的点A ，只需，即，连结CB ，由可得： ， ．10．【2016-2017学年天津市静海县第一中学高二上学期期末五校联考理】在平面直角坐标系中，直线被圆截得的弦的中点为，且满足，当取得最大值时，直线的方程是__________．【答案】。
新教材人教A版高中数学选择性必修第一册-第二章-直线和圆的方程-精品教学课件(共270页)可修改全文
探究二
素养形成
当堂检测
方法总结光的反射问题中,反射角等于入射角,但反射光线的斜率
并不等于入射光线的斜率.当镜面水平放置时,它们之间是互为相
反数的关系.另外,在光的反射问题中也经常使用对称的方法求解.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
变式训练一束光线从点A(-2,3)射入,经x轴上点P反射后,通过点
B(5,7),求点P的坐标.
作用 (2)确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是:直线
上的一个定点以及它的倾斜角,二者缺一不可
点析倾斜角还可以这样定义:在平面直角坐标系中,对于一条与x轴
相交的直线,把x轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直
线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角.并规定:与x轴
平行或重合的直线的倾斜角为0°.
>0,解得
+1-2
1<m<2.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
延伸探究2若将本例中的“N(2m,1)”改为“N(3m,2m)”,其他条件不变,
结果如何?
-1-2
=1,解得
+1-3
解:(1)由题意知
m=2.
1
(2)由题意知 m+1=3m,解得 m=2.
探究一
探究二
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一题多解——利用斜率解决反射问题
A.2
B.1
1
C.
2
D.不存在
答案:A
)
探究一
探究二
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当堂检测
直线的倾斜角
例1已知直线l过原点,l绕原点按顺时针方向转动角α(0°<α<180°)后,
高中数学 数形结合_巧解“与圆有关的最值问题” 知识点+例题
数形结合，巧解“与圆有关的最值问题”例1 平面上有两点A （1-，0），B （1，0），P 为圆x y x y 2268210+--+=上的一点，试求S AP BP =+||||22最小值．解析：把已知圆的一般方程化为标准方程得()()x y -+-=34422，设点P 的坐标为(,)x y 00,则2222220000||||(1)(1)S AP BP x y x y =+=+++-+222002(1)2(1)x y OP =++=+ 要使22||||BP AP S +=最小,需||OP 最小,即使圆上的点到原点的距离最小.结合图形,容易知道325||min =-=-=r OC OP ,所以20)13(22min =+=S ．点评：设 P （x ，y ），使要求的式子转化为求圆上的点到原点的距离问题，利用数形结合法求最值，实质上是利用初中学过的“连结两点的线段中，直线段最短”这一性质．例２ 点A 在圆()()x y -+-=53922上，则点A 到直线3420x y +-=的最短距离为（ ）A. 9B. 8C. 5D. 2解析：过C 作CD ⊥直线3420x y +-=于D ，交圆C 于A ， 则AD CD r =-为所求 ．∴AD例３ )0,3(P 在圆0122822=+--+y x y x 内一点．求（1）过P 的圆的最短弦所在直线方程（2）过P 的圆的最长弦所在直线方程解析：圆方程可以化成5)1()4(22=-+-y x ，圆心)1,4(O 1=OP k∴ 短l ：)3(--=x y 即 03=-+y x ； 长l ：)3(-=x y 即03=--y x ． 点评：最长弦当然是直径了，而最短弦是与直径垂直的弦．例４ 已知实数x ，y 满足方程22(2)3x y -+=．（1） 求y x的最大值与最小值； （2） 求y x -的最大值与最小值； （3） 求22x y +的最大值和最小值．分析：22(2)3x y -+=为圆的方程，(,)P x y 是圆心为（2，0）点．y x的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，y x -的几何意义是直线y x b =+在轴上的截距，22x y +的几何意义是圆上一点到原点距离的平方．解：（1）设y k x=，即y kx =．当直线y kx =与圆相切时，斜率k 取最大值与最小值，=k =．所以y xk = （2）设y x b -=，当直线y x b -=与圆相切时，纵截距b 取得最大值与最小值，=解得2b =-所以y x -的最大值为2-，最小值2-．（3表示圆上一点到原点距离，由平面几何知识知，其最大值为圆心到原点的距离加上圆的半径，其最小值为圆心到原点的距离减去圆的半径，分别是2与222x y +的最大值和最小值分别为7+7-．例5 过直线1y =上一点P （x ，y ）作圆22(1)(1)1x y +++=的切线，求切线长的最小值．解析：如图所示，切线长2221PM PC CM PC =-=-，所以要求PM 的最小值，只需求PC 的最小值．PC 是直线上一点到圆心的距离，由于经直线外一点所引直线的垂线段的长度是该点到直线的距离的最小值，所以当PC 垂直于直线时，min 2PC =，此时，切线长最小，为3．小结与提升：圆的知识在初中与高中都要学习，是一典型的知识交汇点．现在的数学高考非常重视初高中知识的衔接问题，所以同学们在处理与圆有关的小题时，一定要数形结合，多联想一下与之有关的平面几何知识，以免“小题大作”．。
高中数学空间几何体的外接球专题(附经典例题与解析)
高中数学空间几何体的外接球专题(附经典例题与解析)球的性质回顾：球心O和小圆O'的连线OO'垂直于圆O'所在平面。
外接球半径的求法是利用直角三角形的勾股定理，在Rt△OAO'中，OA^2=OO'^2+O'A^2.常见平面几何图形的外接圆半径（r）的求法：1.三角形：1) 等边三角形：内心、外心、重心、垂心、中心重合于一点。
外接圆半径通常结合重心的性质(2:1)进行求解：r=a*(2/3)^(1/2) （其中a为等边三角形的边长）。
2) 直角三角形：外接圆圆心位于斜边的中点处，r=斜边/2.3) 等腰三角形：外接圆圆心位于底边的高线(即中线)上。
r=a/(2sin(A/2)) （其中A为顶角）。
4) 非特殊三角形：可使用正弦定理求解，XXX)。
2.四边形：常见具有外接圆的四边形有正方形、矩形、等腰梯形。
其中正方形与长方形半径求解方法转化为直角三角形。
几何体的外接球球心与底面外心的连线垂直于底面，即球心落在过底面外心的垂线上。
练：2.半径为2的球的内接三棱锥P-ABC，PA=PB=PC=2，AB=AC=BC，则三棱锥的高为3.1.三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是边长为2的正三角形，侧棱AA1垂直于底面ABC，且AA1=4，则此三棱柱外接球的表面积为8π。
本文介绍了三棱锥的外接球的求解方法，其中包括侧棱垂直底面的三棱锥、正三棱锥和侧面垂直于底面的三棱锥三种类型。
对于侧棱垂直底面的三棱锥，可以采用补形法或通过确定底面三角形的外心来求解外接球的半径。
补形法是指将该几何体转化为原三棱柱的外接球，从而求出外接球的半径。
而通过确定底面三角形的外心，则可以通过勾股定理求解外接球的半径。
对于正三棱锥，可以通过底面正三角形的边长来求解内切球的半径，然后再利用勾股定理求解外接球的半径。
对于侧面垂直于底面的三棱锥，则需要确定△ABC和△PAB的外心分别为O’和O’’，并通过勾股定理求解OO’的长度，从而求解外接球的半径。
【人教A版】高中数学必修二：课时提升作业(二十八) 4.2.3
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课时提升作业(二十八)直线与圆的方程的应用(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.圆x2+y2-4x+2y+c=0,与直线3x-4y=0相交于A,B两点,圆心为P,若∠APB=90°,则c的值为( )A.8B.2C.-3D.3【解析】选C.由题意得C<5,圆心P(2,-1),r=,圆心到直线的距离d==2,由于∠APB=90°,所以r=d=2,从而=2,c=-3.【补偿训练】若P(2,-1)为圆(x-1)2+y2=25的弦AB的中点,则直线AB的方程是( ) A.x-y-3=0 B.2x+y-3=0C.x+y-1=0D.2x-y-5=0【解析】选A.已知圆心为O(1,0),根据题意:又k AB·k OP=-1,所以k AB=1,故直线AB的方程是x-y-3=0.2.如果实数x,y满足等式(x-1)2+y2=,那么的最大值是( )A. B. C. D.【解析】选D.的几何意义是圆上的点P(x,y)与原点连线的斜率,结合图形得,斜率的最大值为,所以=.3.台风中心从A地以20千米/时的速度向东北方向移动,离台风中心30千米内的地区为危险区域,城市B在A的正东40千米处,B城市处在危险区域的时间为( ) A.0.5小时 B.1小时C.3.6小时D.4.5小时【解析】选B.受影响的区域长度=2=20千米,故影响时间是1小时.4.点P(x0,y0)在圆x2+y2=r2内,则直线x0x+y0y=r2和已知圆的公共点个数为( ) A.0 B.1C.2D.无法确定【解析】选A.因为+<r 2,圆心到直线x0x+y0y=r2的距离d=>r,故直线与圆相离.【延伸探究】若将本题改为“点P(x0,y0)在圆x2+y2=r2外”,其余条件不变,又如何求解?【解析】选C.因为+>r 2,圆心到直线x0x+y0y=r2的距离d =< r,故直线与圆相交,所以公共点的个数为两个.5.已知集合M={(x,y)|y=,y≠0},n={(x,y)|y=x+b},若M∩N≠ ,则实数b的取值范围是( )A.[-3,3]B.[-3,3]C.(-3,3]D.[-3,3)【解题指南】解得本题的关键是注意到y=,即x2+y2=9(y>0),图形是半圆.【解析】选C.由于M∩N≠ ,说明直线y=x+b与半圆x2+y2=9(y>0)相交,画图探索可知-3<b≤3.【方法技巧】数形结合在求解直线与圆交点个数中的应用直线与圆的一部分有交点时,如果采用代数法去研究,则消元以后转化成了给定区间的二次方程根的分布问题,求解过程相对复杂,而如果采用数形结合及直线与圆的几何法求解,先找出边界,然后结合直线或圆的变化特征求解,相对来说就简单多了.二、填空题(每小题5分,共15分)6.过点A(11,2)作圆x2+y2+2x-4y-164=0的弦,其中弦长为整数的共有条.【解析】方程化为(x+1)2+(y-2)2=132,圆心为(-1,2),到点A(11,2)的距离为12,最短弦长为10,最长弦长为26,所以所求弦长为整数的条数为2+2×(25-11+1)=32.答案:32【补偿训练】过直线x+y-2=0上点P作圆x2+y2=1的两条切线,若两条切线的夹角是60°,则点P的坐标是.【解析】设P(x,y),则由已知可得PO(O为原点)与切线的夹角为30°,则|PO|=2, 由可得答案:(,)7.设村庄外围所在曲线的方程可用(x-2)2+(y+3)2=4表示,村外一小路方程可用x-y+2=0表示,则从村庄外围到小路的最短距离为.【解析】因为圆心到直线的距离为,从村庄外围到小路的最短距离为-2. 答案:-2【补偿训练】(2015·保定高一检测)已知实数x,y满足2x+y+5=0,那么的最小值为( )A. B. C.2 D.2【解析】选A.表示点(x,y)与原点的距离,所以其最小值为原点到2x+y+5=0的距离,故d==.8.已知x+y+1=0,那么的最小值是.【解析】表示点(x,y)与点(-2,-3)之间的距离,又点(x,y)在直线x+y+1=0上,故最小值为点(-2,-3)到直线x+y+1=0的距离,即d==2.答案:2三、解答题(每小题10分,共20分)9.等边△ABC中,点D,E分别在边BC,AC上且=,=,AD,BE相交于点P.求证:AP⊥CP.【解题指南】要证AP⊥CP,可转化为直线AP,CP的斜率之积等于-1即可,由此以B为原点,BC边所在直线为x轴,线段BC长的为单位长,建立平面直角坐标系. 【证明】以B为原点,BC边所在直线为x轴,线段BC长的为单位长,建立平面直角坐标系.则A(3,3),B(0,0),C(6,0).由已知,得D(2,0),E(5,).直线AD的方程为y=3(x-2).直线BE的方程为y=(x-5)+.解以上两方程联立成的方程组,得x=,y=.所以,点P的坐标是.直线PC的斜率k PC=-,因为k AP·k PC=3×=-1,所以,AP⊥CP.10.如图所示是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图.这个圆的圆拱跨度AB=20m,拱高OP=4m,建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑,求支柱A2P2的高度(精确到0.01m).【解析】建立如图所示直角坐标系,使圆心在y轴上,只要求出P2的纵坐标,就可得出支柱A2P2的高度.设圆心的坐标是(0,b),圆的半径是r,那么圆的方程是x2+(y-b)2=r2.因为P,B都在圆上,所以它们的坐标(0,4),(10,0)都满足方程x2+(y-b)2=r2.于是得到方程组解得b=-10.5,r2=14.52,所以,圆的方程是x2+(y+10.5)2=14.52.把点P2的横坐标x=-2代入圆的方程,得(-2)2+(y+10.5)2=14.52,即y+10.5=(P2的纵坐标y>0,平方根取正值).所以y≈3.86,故支柱A2P2的高度约为3.86m.【补偿训练】设有半径为3公里的圆形村落,A,B两人同时从村落中心出发,A向东而B向北前进,A离开村后不久,改变前进方向,斜着沿切于村落周界的方向前进,后来恰好与B相遇.设A,B两人的速度都一定,其比为3∶1,问A,B两人在何处相遇?【解析】如图所示,以村落中心为坐标原点,以东西方向为x轴建立直角坐标系,又设A向东走到D 转向到C恰好与B相遇,设CD方程为+=1(a>3,b>3),设B的速度为v,则A的速度为3v,依题意有解得,所以B向北走3.75公里时相遇.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.直线2x-y=0与圆C:(x-2)2+(y+1)2=9交于A,B两点,则△ABC(C为圆心)的面积等于( )A.2B.2C.4D.4【解析】选A.因为圆心到直线的距离d==,所以|AB|=2=4,所以S△ABC=×4×=2.【补偿训练】已知圆的方程为x2+y2-6x-8y=0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为( )A.10B.20C.30D.40【解析】选B.圆心坐标是(3,4),半径是5,圆心到点(3,5)的距离为1,根据题意最短弦BD和最长弦(即圆的直径)AC垂直,故最短弦的长为2=4,所以四边形ABCD的面积为×AC×BD=×10×4=20.2.如图所示,已知直线l的解析式是y=x-4,并且与x轴、y轴分别交于A,B两点.一个半径为1.5的圆C,圆心C从点(0,1.5)开始以每秒0.5个单位的速度沿着y 轴向下运动,当圆C与直线l相切时,该圆运动的时间为( )A.6sB.6s或16sC.16sD.8s或16s【解析】选B.设运动的时间为ts,则ts后圆心的坐标为(0,1.5-0.5t).因为圆C 与直线l:y=x-4相切,所以=1.5.解得t=6或16.即该圆运动的时间为6s或16s.二、填空题(每小题5分,共10分)3.若点P(x,y)满足x2+y2=25,则x+y的最大值是.【解析】令x+y=z,则=5,所以z=±5,即-5≤x+y≤5,所以x+y的最大值是5.答案:5【拓展延伸】数形结合思想在解题中的运用利用数形结合求解问题时,关键是抓住“数”中的某些结构特征,联想到解析几何中的某些方程、公式,从而挖掘出“数”的几何意义,实现“数”向“形”的转化,如本题由x+y联想直线的截距.4.若点P在直线l1:x+y+3=0上,过点P的直线l2与曲线C:(x-5)2+y2=16相切于点M,则|PM|的最小值为.【解析】曲线C:(x-5)2+y2=16是圆心为C(5,0),半径为4的圆,连接CP,CM,则在△MPC中,CM⊥PM,则|PM|==,当|PM|取最小值时,|CP|取最小值,又点P在直线l1上,则|CP|的最小值是点C到直线l1的距离,即|CP|的最小值为d==4,则|PM|的最小值为=4.答案:4【补偿训练】圆(x-2)2+(y+3)2=4上的点到x-y+3=0的最远的距离为. 【解析】圆心C(2,-3)到直线的距离d==4>2,所以直线与圆相离.过圆心C作直线x-y+3=0的垂线,垂足设为H,则圆上的点A到直线的距离最远为4+2.答案:4+2三、解答题(每小题10分,共20分)5.已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=4和直线l:x+2y+2=0,直线n经过圆C外定点A(1,0).若直线n与圆C相交于P,Q两点,与l交于N点,且线段PQ的中点为M,求证:|AM|·|AN|为定值.【解析】方法一:设P(x1,y1),Q(x2,y2),又由题意知直线与圆相交,斜率必定存在,且不为0,可设直线n的方程为kx-y-k=0,由得N.再由得(1+k2)x2-(2k2+8k+6)x+k2+8k+21=0,所以x1+x2=得M.所以|AM|·|AN|=·=·=6为定值.方法二:由题意知直线与圆相交,斜率必定存在,且不为0,可设直线n的方程为kx-y-k=0,由得N,又直线CM与n垂直,由得M.所以|AM|·|AN|=|y M-0|·|y N-0|=|y M·y N|==6,为定值.6.已知圆C的方程为x2+(y-4)2=4,点O是坐标原点.直线l:y=kx与圆C交于M,N 两点.(1)求k的取值范围.(2)设Q(m,n)是线段MN上的点,且=+.请将n表示为m的函数. 【解题指南】(1)求解时要抓住直线与圆有两个交点,所以在求解k的取值范围时可以利用判别式进行求解.(2)利用=+找到m,n的关系.【解析】(1)将y=kx代入x2+(y-4)2=4中,得(1+k2)x2-8kx+12=0.(*)由Δ=(-8k)2-4(1+k2)×12>0,得k2>3.所以,k的取值范围是(-∞,-)∪(,+∞).(2)因为M,N在直线l上,可设点M,N的坐标分别为(x1,kx1),(x2,kx2),则|OM|2=(1+k2),|ON|2=(1+k2),又|OQ|2=m2+n2=(1+k2)m2.由=+,得=+,即=+=.由(*)式可知,x1+x2=,x1x2=,所以m2=.因为点Q在直线y=kx上,所以k=,代入m2=中并化简,得5n2-3m2=36. 由m2=及k2>3,可知0<m2<3,即m∈(-,0)∪(0,).根据题意,点Q在圆C内,则n>0,所以n==.于是,n与m的函数关系为n=(m∈(-,0)∪(0,)).关闭Word文档返回原板块。
高中数学典型例题解析平面解析几何【精选文档】
第七章平面解析几何初步§7。
1直线和圆的方程一、知识导学1．两点间的距离公式：不论A（1,1），B（2,2)在坐标平面上什么位置，都有d=｜AB|=,特别地,与坐标轴平行的线段的长|AB|=｜2－1｜或|AB｜=|2-1|.2．定比分点公式：定比分点公式是解决共线三点A(1，1），B（2，2），P（，)之间数量关系的一个公式，其中λ的值是起点到分点与分点到终点的有向线段的数量之比。
这里起点、分点、终点的位置是可以任意选择的，一旦选定后λ的值也就随之确定了.若以A为起点，B为终点，P为分点，则定比分点公式是。
当P点为AB的中点时，λ=1，此时中点坐标公式是。
3．直线的倾斜角和斜率的关系(1）每一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率.（2）斜率存在的直线,其斜率与倾斜角α之间的关系是=tanα.4．确定直线方程需要有两个互相独立的条件。
直线方程的形式很多,但必须注意各种形式的直线方程的适用范围。
5．两条直线的夹角.当两直线的斜率，都存在且·≠—1时，tanθ=，当直线的斜率不存在时，可结合图形判断.另外还应注意到：“到角”公式与“夹角”公式的区别.6．怎么判断两直线是否平行或垂直?判断两直线是否平行或垂直时，若两直线的斜率都存在，可以用斜率的关系来判断；若直线的斜率不存在，则必须用一般式的平行垂直条件来判断。
(1）斜率存在且不重合的两条直线1∶，2∶，有以下结论：①1∥2=，且ｂ1＝ｂ2②1⊥2·= —1（2）对于直线1∶，2∶，当1，2，1,2都不为零时，有以下结论：①1∥2=≠②1⊥212+12 = 0③1与2相交≠④1与2重合==7．点到直线的距离公式.(1)已知一点P（）及一条直线：,则点P到直线的距离d=；（2）两平行直线1：，2：之间的距离d=.8．确定圆方程需要有三个互相独立的条件。
圆的方程有两种形式，要知道两种形式之间的相互转化及相互联系（1）圆的标准方程：，其中（，b）是圆心坐标，是圆的半径；(2）圆的一般方程:(＞0），圆心坐标为（-，—），半径为=.二、疑难知识导析1．直线与圆的位置关系的判定方法.(1）方法一直线:；圆：.一元二次方程（2）方法二直线：；圆：，圆心（，b)到直线的距离为d=2．两圆的位置关系的判定方法。