福建省闽侯第六中学2018-2019学年高一上学期开学考试数学试题
福建省闽侯第六中学 2018-2019 学年高一上学期
开学考试数学试题
（考试时间：120分钟总分：150分）
一、选择题（每小题 5 分，共 60 分）
1.已知集合 M {x | 1 x 3} ， N {x | 2 x 1} ，则 M N 等于（）
A． (2，1) B． (1，1) C． (1，3) D．
(2，3)
2.下列各组函数中，表示同一函数的是（）
A．
f ( x) | x | ，g ( x) B． f ( x)
，g ( x) ()
2
2x2
x
x
C．
f ( x)=，g ( x) x 1
D．
f ( x)
，g ( x)
2
11x
x
1x1x
2
1x
3.已知 f (12x) x2 1 ，那么 f () （ ）
1
2
A . 16 B . 17 C D
171616
17
4. 已知函数则 f f (1) 等于（）
2
23()23xxx
fx
xqx
A. 3 B. 4 C. 5D. 6
5.下列函数中，既是奇函数又是减函数的为（ ）
A． y x 1 B． y x 2 C． y D．
y x | x |
1
x
6.函数 f(x)=2|x-1|的大致图象是()
7.函数
f x x
的值域为（ ）
1x
A. ,1 B. ,1 C.1，+ D.1，+
8.已知 a=2
0.2,b=0.40.2,c=0.40.6
,则( )
A .a>b>c B. a>c>b C. c>a>b D. b>c>a
9. 函数 f ( x) 的单调递减区间为（ ）
2
91()3x
A.（-，0） B．（0，+） C．（-9， ） D．
（-，-9）
10.函数
y
f ( x)
定义在区间 0,2上且单调递减，则使得
f (1 m)
f (m)
成立的实数 m 的
取值范围为（ ）
A． m B.
1 m 1
C.
m D. 0 m
12121
2
11.设 f ( x) 是偶函数且在（-∞，0）上满足若对任意 x1 , x2 ，且 x1 x2 ，都有
， 且f (1)=0 则不等式 xf ( x) ＞0 的解集为（）
21
21
()()0fxfx
xx
A.（-1，0）∪（0,1） B.（-∞，-1）∪（1,+∞）
C.（-1，0）∪（1,+∞） D.（-∞，-1）∪（0,1）
12.当 x∈[1,2]时，函数 y＝x2 与 y＝ax(a>0)的图象有交点，则 a 的取值范围是()
1
2
A. B. C. D.
1[,2]21[,2]41[,2]41
[,2]
2
二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）
13.函数 y a x 2017 1 （a＞0 且 a≠1）的图象恒过定点是
14 函数 f ( x) 的值域为(结果用区间表表示)
1xx
15.若函数 y＝x 2－4x－5 的定义域为[0，m]，值域为[-9,-5]，则实数 m 的取值范围是
16.函数 f ( x) (4 x) 在区间（2a，3a-1）上单调递增，则实数 a 的取值范围是
2x
三、解答题。(本大题共 6 小题，满分 70 分，解答应写出文字说明，推理过程或演算步骤)
17（本小题满分 10 分）
(1）计算：
1
304
3
2
11
(4)()0.25()
2
2
（2）已知 ，求的值．
11
22
3xx
22
1
23xx
xx
18.
（ 本 小 题 满 分12) 已 知 集 合
,
1
25AxRyx
x
B x R | a 1 x 3a
（1）若非空集合 B 满足：
A C
R
B R
，求实数 a 的取值范围；
（2）若 A B ，求实数 a 的取值范围。
19. （本小题满分 12 分）已知 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数，当 x 0 时， f ( x) () x .
1
2
(1)求当 x 0 时 f ( x) 的解析式；
(2)画出函数 f ( x) 在 R 上的图像；
(3)写出它的单调区间。
20.（本小题满分 12 分）函数 f（x）的图象如图所示，曲线 BCD 为抛物线的一部分．
（1）求 f（x）解析式；
（2）若 f（x）=1，求 x 的值。
21.（本小题满分 12 分） 已知函数 f(x)＝x2＋(2a－1)x－3.
(1)若函数 f(x)在[﹣2，4]上具有单调性，则 k 的取值范围;
(2)若函数 f(x)在[－1,3]上的最大值为 1，求实数 a 的值。
22、（本小题满分 12 分）已知函数 g ( x) ax 2 2ax 1 b （ a 0 ）在区间[2 , 3] 上有最
大值 4 和最小值1．设
f ( x)
()gx
x
（1）求 a 、 b 的值；
（2）若不等式 f (2 x ) k 2 x 0 在 x 2, 1 上恒成立，求实数 k 的取值范围。
福建省闽侯第六中学2018届高三上学期期末考试理数试题 (word版含答案)
福建省闽侯第六中学2018届高三上学期期末数学考试试题 理 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}0)1(|>+=x x x A ，{}1|-==x y x B ，则=B A |（ ）A ．{}0|>x xB ．{}1|≥x xC ．{}10|≤<x xD ．R 2.已知复数z 满足i iz 32+=,则z 对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3.下列有关命题的说法中错误的是（ ）A ．命题：“若)(x f y =是幂函数，则)(x f y =的图象不经过第四象限”的否命题是假命题B ．设 R b a ∈,，则”“b a >是“||||b b a a >”的充要条件C ．命题“**∈∈∀N n f N n )(,且()n n f ≤” 的否定形式是“**∉∈∃N n f N n )(,00且()00n n f ≥”D.若q p ∨为假命题，则q p ,均为假命题4.已知某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是（ ）A ．33+B ．63+ C. 321+ D ．321+ 5.设n m 、是两条不同的直线，βα、是两个不同的平面，有下列四个命题： ①如果αβα⊂m ,//，那么β//m ②如果αβα⊥⊥,m ，那么β//m③如果βα//,,n m n m ⊥⊥那么βα⊥ ④如果n a m m =⋂⊂βαβ,,//，那么n m //其中正确的命题是( )A ．①②B ．①③ C.①④ D ．③④6.已知b a >，二次三项式022≥++b x ax 对于一切实数x 恒成立，又R x ∈∃0，使02020=++b x ax 成立，则ba b a -+22的最小值为（ ） A ．1 B ．2 C.2 D ．22 7.已知函数()12+-=xx f ，定义域数()()⎩⎨⎧<->=0),(0,x x f x x f x F ，则()x F 是（ ）A ．奇函数B ．偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D ．非奇非偶函数 8.将函数()2cos 2sin3x x x f -=的图象向右平移32π个单位长度得到函数()x g y =的图象，则函数()x g y =的一个单调递减区间是（ ） A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,4ππ B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ，2 C.⎪⎭⎫ ⎝⎛--4,2ππ D ．⎪⎭⎫⎝⎛ππ223， 9.函数()ax xx f +=2的图象可能是（ ）A ．（1）（3）B ．（1）（2）（4） C.（2）（3）（4） D ．（1）（2）（3）（4）10.在菱形ABCD 中，3,60==AB A ,将ABD ∆折起到PBD ∆的位置，若三棱锥BCDP -的外接球的体积为677π,则二面角C BD P --的正弦值为（ ） A ．31 B ．21 C. 23 D ．37 11.若锐角ϕ满足22cos sin =-ϕϕ，则函数())(sin 2ϕ+=x x f 的单调增区间为（ ） A ．)(122,1252Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππ B ．)(12,125Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππ C.)(1272,122Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ D ．)(127,12Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ 12.设y x c xy p b y xy x a +==+-=,,22，若对任意的正实数y x ,，都存在以c b a ,,为三边长的三角形，则实数p 的取值范围是（ ）A ．()31，B ．(]21， C.⎪⎭⎫⎝⎛2721， D ．以上均不正确第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知平面向量),2(),2,1(m -==== ．14.已知⎰-=3)12(dx x n ，则nx x ⎪⎭⎫⎝⎛-33的展开式中2x 的系数为 ．15.若不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤+-≥+-08010502y x y x y x 所表示的平面区域存在点()00,y x ，使0200≤++ay x 成立，则实数a 的取值范围是 ．16.在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且满足A A sin 332cos22=，C B C B sin cos 4)sin(=-，则=cb． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. ABC ∆中，角角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且a c C b 2cos 2=+ (I)求角B 的大小；(II)若BD 为AC 边上的中线，71cos =A ，2129=BD ,求ABC ∆的面积 18. 为增强市民的节能环保意识，汕头市面向全市征召义务宣传志愿者，从符合条件的 500 名志愿者中随机抽取 100 名，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄分组区是：[][][][][]45404035353030252520，，，，，，，，，，(1)求图中x 的值，并根据频率分布直方图估计这 500 名志愿者中年龄在[]4035，岁的人数； (2)在抽出的 100 名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取 10 名参加人民广场的宣传活动，再从这 10 名志愿者中选取 3 名担任主要负责人．记这 3 名志愿者中“年龄低于 35 岁”的人数为 X ，求X 的分布列及数学期望.19.已知四棱锥ABCD P -中，平面⊥PCD 平面ABCD ，且BC CD PC PD 2222===， ABD BCD ∆=∠,32π是等边三角形，AC E BD =. (1)证明：⊥PC 平面PAD ； (2)求二面角C AB P --的余弦值.20. 已知动圆过定点)2,0(R ,且在x 轴上截得线段MN 的长为 4，直线)0(:>+=t t kx y l 交y 轴于点Q .(1)求动圆圆心的轨迹E 的方程；(2)直线l 与轨迹E 交于B A ,两点，分别以B A ,为切点作轨迹E 的切线交于点P ，APB =∠.试判断实数t 所满足的条件，并说明理由. 21. 已知函数())(ln R a x ax x f ∈+=有两个零点21,x x . (1)求a 的取值范围；(2)是否存在实数λ， 对于符合题意的任意21,x x ，当0)1(210>-+=x x x λλ 时均有()0'<x f ?若存在，求出所有λ的值；若不存在，请说明理由．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，已知圆C 的圆心坐标为)0,2(，半径为2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的参数方程为：⎩⎨⎧+=-=t y tx 1（t 为参数）(1)求圆C 和直线l 的极坐标方程； (2)点P 的极坐标为⎪⎭⎫⎝⎛2,1π，直线l 与圆C 相较于B A ,,求PB PA +的值. 23.选修4-5：不等式选讲设函数())(|3||2|R m m x x x x f ∈---+-=. (I)当4-=m 时，求函数()x f 的最大值； (II)若存在R x ∈0，使得()410-≥mx f ，求实数m 的取值范围．高三理科数学期末考试试题参考答案一、选择题1-5:BDCBC 6-10: DACCC 11、12：BA 二、填空题13.5 14.1 15. 1-≤a 16.61+ 三、解答题17.解：(1)a c C b 2cos 2=+，由正弦定理，得A C C B sin 2sin cos sin 2=+，π=++C B A∴C B C B C B A sin cos cos sin )sin(sin +=+=)sin cos cos (sin 2sin cos sin 2C B C B C C B +=+ C B C sin cos 2sin =因为π<<C 0,所以0sin ≠C ，所以21cos =B ， 因为π<<B 0,所以3π=B .(2)法一：在三角形ABD 中，由余弦定理得A b c b c cos 2222129222⋅-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 所以bc b c 714412922-+= (1) 在三角形ABC 中，由正弦定理得BbC c sin sin =，由已知得734sin =A 所以1435sin cos cos sin )sin(sin =+=+=B A B A B A C ， 所以b c 75=(2) 由(1),(2)解得⎩⎨⎧==57c b所以310sin 21==A bc S ABC 法二：延长BD 到E ，BD DE =，连接AE ，ABE ∆中，32π=∠BAE , BAE AE AB AE AB BE ∠⋅⋅⋅-+=cos 2222因为BC AE =，c a a c ⋅++=22129 (1)由已知得，734sin =A ,所以1435)sin(sin =+=B A C ， 85sin sin =∠∠=BAC ACB a c (2) 由(1)(2)解得8,5==a c ，310sin 21=∠⋅⋅=∆ABC a c S ABC 18.解：(I)∵小矩形得面积等于频率，∴除[)4035，外得频率和为0.70，∴06.0570.01=-=x 500名志愿者中，年龄在[)4035，岁的人数为15050050.06=⨯⨯（人）(II)用分层抽样的方法，从中选取 10 名，则其中年龄“低于 35 岁”的人有 6 名，“年龄不低于35 岁”的人有 4 名，故X 的可能取值为 0，1，2，3.301)0(31034===C C X P ,103)1(3102416===C C C X P ,21)2(3101426===C C C X P ,61)3(31036===C C X P .故X 的分布列为所以56322101300=⨯+⨯+⨯+⨯=EX . 19.解:(1)在ABCD ∆中，BC CD BCD ==∠,120,所以30=∠=∠CBD BDC , 又ABD ∆是等边三角形，所以60=∠ADB ,所以90=∠+∠=∠BDC ADB ADC ,即DC AD ⊥,又因为平面⊥PCD 平面ABCD ，平面PCD 平面CD ABCD =，所以⊥AD 平面PCD ，故PC AD ⊥.在PCD ∆中，CD PC PD 22==. 所以PC PD ⊥.又因为AD D PD =,所以⊥PC 平面PAD .(2)解法一：如图，取CD 的中点H ，连接PH .则在等腰PDC Rt ∆中，DC PH ⊥.又因为平面⊥PCD 平面ABCD ,平面PCD 平面CD ABCD =，所以⊥PH 平面ABCD .过点D 作PH 的平行线l ，则⊥l 平面ABCD .由(1)知DC AD ⊥,故以D 为坐标原点O ，以直线l DC DA 、、分别作为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.设2=DC ,则在PDC Rt ∆中，2==PC PD ,1=PH . 又在BCD ∆中，120,=∠=BCD BC CD ,所以12120cos 22222cos 222222=⨯⨯⨯-+=∠⋅-+=BCD CB CD CB CD BD ，故32=BD .又因为ABD ∆是等边三角形，所以32=AD .所以)1,1,0(P ,)0,0,32(A ,)0,2,0(C ,)0,30cos 32,60cos 32(B ，即()033，，B . 所以)1,1,32(-=AP ,)0,3,3(-=AB ,)1,0,0(=HP . 设平面PAB 的法向量为),,(z y x n =，则由⎩⎨⎧=⋅=⋅0AB n AP n ，得⎩⎨⎧=+-=++-033032y x z y x .令3=x ，得5,1==z y .故)5,1,3(=n 为平面PAB 的一个法向量. 因为⊥PH 平面ABCD ，故)1,0,0(=HP 为平面ABCD 的一个法向量.故()292952951513150103||||,cos 222==⨯++⨯+⨯+⨯=⨯⋅>=<HP n HP n HP n . 设二面角C AB P --为θ，则由图可知)2,0(πθ∈,所以29295,cos cos>=<=HP n θ.解法二：取CD 的中点H ，连接PH ，连接HE 并延长，交AB 于F ，连接PF .则在等腰PDC Rt ∆中，DC PH ⊥.又因为平面⊥PCD 平面ABCD ，平面PCD 平面CD ABDC =, 所以⊥PH 平面ABCD .设2=DC ,则在PDC Rt ∆中，1,2===PH PC PD . 又在BCD ∆中，120,=∠=BCD BC CD ， 所以BCD CB CD CB CD BD ∠⋅-+=cos 222212120cos 2222222=⨯⨯⨯-+=，故32=BD .BCD ∆中，HC DH EB DE ==,，所以BC EH //，且121==BC EH .故30=∠=∠CBD HED ,又HED BEF ∠=∠,且60=∠DBA , 所以90=∠+∠BEF DBA ,故AB EF ⊥.又因为⊥PH 平面ABCD ，由三垂线定理可得AB PF ⊥, 所以PFH ∠为二面角C AB P --的平面角. 在BEF Rt ∆中，321==BD BE ,所以23233sin =⨯=∠=DBA BE EF . 故25=+=EF HE HF .所以在PHF Rt ∆中，2292512222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=HF PH PF ,故2929522925cos ===∠PFHF PFH∴二面角C AB P --的余弦值为29295.20.解：(1)设动圆圆心的坐标为),(y x ，半径r ，)0(>r ，∵动圆过定点），（20R ，且在x 轴上截得线段MN 的长为4，∴⎩⎨⎧=+=-+222224)2(ry r y x ，消去r 得y x 42=， 故所求轨迹E 的方程为 y x 42=； (2)实数t 是定值，且1=t ，下面说明理由， 不妨设()()212211,,,,x x y x B y x A ≠，()00,y x P ，由题知)1,0(Q ，由⎩⎨⎧=+=yx t kx y 42，消去y 得0442=--t kx x ，∴⎩⎨⎧-==+tx x k x x 442121，轨迹E 在A 点处的切线方程为)(2:1111x x x y y l -=-，即42211x x x y -=， 同理，轨迹E 在B 处的切线方程为42:2221x x x y l -=， 联立21,l l ：的方程解得交点坐标)4,2(2121x x x x P +，即),2(t k P -，APB S APB ∆==∠2, 得⊥,即0=⋅,)2,2(t k PQ -=，)4,(212212x x x x --=， ∴042)(2212212=-⋅+--x x t x x k ， 即0)1)((212=--t x x k ，则0)1(2=-t k ，则1=t ，故实数t 是定值，且1=t .21.【解答】解：(1))0(1)('>+=x xa x f ， 当0≥a 时，0)('>x f 对0>x 恒成立，与题意不符，当0<a ，x ax x a x f 11)('+=+=， ∴ax 10-<<时0)('<x f ， 即函数)(x f 在)1,0(a -单调递增，在),1(+∞-a单调递减， ∵0→x 和+∞→x 时均有()-∞→x f ， ∴0)1ln(1)1(>-+-=-a a f ，解得：01<<-a e ， 综上可知：a 的取值范围)0,1(e -；(2)由(1)可知)01(10)('00<<-->⇔<a ea x x f ， 由21,x x 的任意性及0)(')('21<⋅x f x f 知，0≠λ，且1≠λ，⎩⎨⎧=+=+0ln 0ln 2211x ax x ax ∴1212ln ln x x x x a ---=， 故1212210ln ln )1(x x x x x x x -->-+=λλ， 又∵121212ln 1)1(x x x x x x ->-+λλ，令12x x t =，则1,0≠>t t ，且0ln 1)1(>->-+t t t λλ恒成立， 令)0()1(1ln )(>-+--=t tt t t g λλ，而0)1(=g ， ∴1>t 时，()10,0<<>t t g 时，()()*<.0t g ∴22222])1([)1]()1([)1(])1([11)('t t t t t t t g λλλλλλλ-+----=-+-=，令22)1(λλμ-=， 若1<μ，则1<<t μ时，0)('<t g ，即函数在)1,(μ单调递减， ∴()()01=>g t g ，与()*不符；若1>μ，则μ<<t 1时，0)('<t g ，即函数)(t g 在),1(μ单调递减， ∴()()01=<g t g ，与()*式不符；若1=μ，解得21=λ，此时0)('≥t g 恒成立，)10)('(=⇔=t t g ， 即函数)(t g 在),0(+∞单调递增，又0)1(=g ，∴1>t 时，0)(>t g ；10<<t 时，()0<t g 符合()*式， 综上，存在唯一实数21=λ符合题意. 22.解：圆C 的直角坐标方程为()2222=+-y x⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x 代入圆C 得：()2sin 2cos 222=+-θρθρ 化简得圆C 的极坐标方程：02cos 4-2=+θρρ由⎩⎨⎧+=-=ty t x l 1:得1=+y x ∴l 的极坐标方程为1sin cos =+θρθρ (2)由)2,1(πP 得点P 的直角坐标为)1,0(P∴直线l 的参数的标准方程可写成t t y x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=22122（t 为参数） 代入圆C 得：2)221()222(22=++--t t 化简得：03232=++t t⎩⎨⎧=⋅-=+∴3232121t t t t ∴0,021<<t t ∴23)(2121=+-=+=+t t t t PB PA23.解：(I)当4-=m 时，()⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤≤---<+=+--+-=3,5,32,1,2,33432x x x x x x x x x x f∴函数()x f 在(]3,∞-上是增函数，在()∞+，3上是减函数， 所以()()23max ==f x f .(II) ()410-≥m x f ，即mm x x x 1432000+≥+--+-， 令()432+--+-=x x x x g ，则存在R x ∈0，使得()m m x g 10+≥成立， ∴()max 1x g mm ≤+， 由(I)知()x g 最大值为2 ∴21≤+m m ， ∴当0>m 时，原不等式为()012≤-m ，解得1=m ， 当0<m 时，原不等式为()012≥-m ，解得0<m ， 综上所述，实数m 的取值范围是(){}10,U ∞-.。
【数学】福建省福州市闽侯六中2018届高三(上)12月月考试卷(文)(word附答案解析版)
福建省福州市闽侯六中2018届高三（上）12月月考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={1，a2}，B={2a，﹣1}，若A∩B={4}，则实数a等于（）A．4 B．0或4 C．0或2 D．22．（5分）若复数z满足=i，其中i为虚数单位，则z=（）A．1﹣i B．1+i C．﹣1﹣i D．﹣1+i3．（5分）设x，y满足条件，则z=2x+3y的最小值是（）A．4 B．6 C．10 D．144．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，S3=6，a3+a4=10，则a7=（）A．9 B．10 C．11 D．125．（5分）我国数学史上有一部堪与欧几里得《几何原本》媲美的书，这就是历来被尊为算经之首的《九章算术》，其中卷第五《商功》有一道关于圆柱体的体积试题：今有圆堡，周四丈八尺，高一丈一尺，问积几何？其意思是：含有圆柱形的土筑小城堡，底面周长是4丈8尺，高1丈1尺，问它的体积是多少？若π取3，估算小城堡的体积为（）A．1998立方尺B．2012立方尺C．2112立方尺D．2324立方尺6．（5分）执行如图所示的程序框图，输出k的值为（）A．10 B．11 C．12 D．137．（5分）袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1，2，3；蓝色卡片两张，标号分别为1，2；从以上五张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率为（）A．B．C．D．8．（5分）设a为实数，函数f（x）=x3+ax2+（a﹣3）x的导函数为f′（x），且f′（x）是偶函数，则曲线：y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为（）A．9x﹣y﹣16=0 B．9x+y﹣16=0 C．6x﹣y﹣12=0 D．6x+y﹣12=0 9．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（）A．36πB．8πC．πD．π10．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与圆（x﹣3）2+y2=8相交于A，B两点，且|AB|=4，则此双曲线的离心率为（）A．5 B．C．D．11．（5分）设，，，且λ+μ=1，则在上的投影的取值范围（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）与f'（x）的图象如图所示，则函数g（x）=的递减区间为（）A．（0，4）B．C．D．（0，1），（4，+∞）二、填空题（每题5分，满分20分）13．（5分）已知函数是奇函数，则a的值为．14．（5分）已知点P（sinθ，cosθ）是角α终边上的一点，其中，则与角α终边相同的最小正角为．15．（5分）观察这列数：1，2，3，3，2，1，2，3，4，4，3，2，3，4，5，5，4，3，4，5，6，6，5，4，…，则第2017个数是．16．（5分）三棱锥M﹣ABC的三侧棱两两垂直，底面ABC内一点N到三个侧面的距离分别为，则经过点M和N的所有球中，体积最小的球的表面积为．三、解答题（本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且=．（I）求角A的值；（II）若∠B=，BC边上的中线AM=，求△ABC的面积．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，E，F分别为P A，BD的中点，P A=PD=AD=2．（1）证明：EF∥平面PBC；（2）若，求三棱锥A﹣DEF的体积．19．（12分）某校数学课外兴趣小组为研究数学成绩是否与性别有关，先统计本校高二年级每个学生一学期数学成绩平均分（采用百分制），剔除平均分在30分下的学生后，共有男生300名，女生200名，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，按性别分为两组，并将两组学生成绩分为6组，得到如下所示频数分布表．（1）估计男、女生各自的平均分（同一组数据用该级区间中点值作代表），从计算结果看，数学成绩与性别是否有关；（2）规定80分以上者为优分（含80分），请你根据已知条件作出2×2列联表，并判断是否有90%以上的把握认为“数学成绩与性别有关”．K2=．20．（12分）已知抛物线C：x2=4y，过点P（0，m）（m＞0）的动直线l与C相交于A，B 两点，抛物线C在点A和点B处的切线相交于点Q．（Ⅰ）写出抛物线的焦点坐标和准线方程；（Ⅱ）求证：点Q在直线上．21．（12分）已知函数，其中a∈R．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若在[1，e]上存在x0，使得f（x0）＜0成立，求a的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为，（j为参数），以O为极点，x轴的正半轴建立极坐标系，曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线与曲线C2交于点．（Ⅰ）求曲线C1的普通方程及C2的直角坐标方程；（Ⅱ）在极坐标系中，是曲线C1的两点，求的值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|x+m|．（1）若不等式f（﹣1）+f（2）≥5，求实数m的取值范围；（2）当x≠0时，若恒成立，求a的最大值．【参考答案】一、选择题1．D【解析】∵集合A={1，a2}，B={2a，﹣1}，A∩B={4}，∴，解得a=2．故选D．2．A【解析】=i，则=i（1﹣i）=1+i，可得z=1﹣i．故选：A．3．A【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+3y得y=+，平移直线y=+，则当直线y=+经过点A（2，0）时，直线的截距最小，此时z最小值为：4，此时z=4，故选：A．4．D【解析】设等差数列{a n}的公差为d，则3a1+d=6 ①2a1+5d=10 ②联立①②，得a1=0，d=2．所以a7=a1+6d=0+12=12．故选：D．5．C【解析】设圆柱形城堡的底面半径为r，则由题意得2πr=48，∴r=≈8尺．又城堡的高h=11尺，∴城堡的体积V=πr2h=π×64×11≈2112立方尺．故选：C．6．B【解析】模拟执行程序框图，可得S=0，k=1满足条件S＞﹣1，S=﹣lg3，k=3满足条件S＞﹣1，S=﹣lg5，k=5满足条件S＞﹣1，S=﹣lg7，k=7满足条件S＞﹣1，S=﹣lg9，k=9满足条件S＞﹣1，S=﹣lg11，k=11不满足条件S＞﹣1，退出循环，输出k的值为11．故选：B．7．C【解析】从五张卡片中任取两张的所有可能情况有如下10种：红1红2，红1红3，红1蓝1，红1蓝2，红2红3，红2蓝1，红2蓝2，红3蓝1，红3蓝2，蓝1蓝2．其中两张卡片的颜色不同且标号之和小于4的有红1蓝1、红1蓝2、红2蓝1，共3种情况，故所求的概率为p=．故选：C．8．A【解析】f′（x）=3x2+2ax+（a﹣3），∵f′（x）是偶函数，∴3（﹣x）2+2a（﹣x）+（a﹣3）=3x2+2ax+（a﹣3），解得a=0，∴f（x）=x3﹣3x，f′（x）=3x2﹣3，则f（2）=2，k=f′（2）=9，即切点为（2，2），切线的斜率为9，∴切线方程为y﹣2=9（x﹣2），即9x﹣y﹣16=0．故选：A．9．B【解析】根据几何体的三视图，得；该几何体是底面为等腰直角三角形，高为2的直三棱锥；如图所示；则该直三棱锥的外接球是对应直三棱柱的外接球，设几何体外接球的半径为R，∵底面是等腰直角三角形，∴底面外接圆的半径为1，∴R2=1+1=2，∴外接球的表面积是4πR2=8π．故选：B．10．C【解析】依题意可知双曲线的一渐近线方程为bx﹣ay=0，∵|AB|=4，圆的半径为2∴圆心到渐近线的距离为2，即=2，解得b=a∴c==a，∴双曲线的离心率为e==．故选：C．11．D【解析】∵，，，且λ+μ=1，∴||==，∴==λ•=λ•．设在上的投影为x，则=x•||=x•=λ，∴x=．当λ=0时，x=0，当λ＞0时，===，故当λ=1时，取得最小值，为1，即≥1，∴0＜x≤1．当λ＜0时，=﹣=﹣=﹣＜﹣=﹣，即＜﹣，∴﹣＜x＜0．综上可得，x∈（﹣，1]，故选：D．12．D【解析】结合图象：x∈（0，1）和x∈（4，+∞）时，f′（x）﹣f（x）＜0，而g′（x）=，故g（x）在（0，1），（4，+∞）递减，故选：D．二、填空题13．﹣2【解析】函数为奇函数，则f（﹣x）=﹣f（x），即：恒成立，即：（﹣x+2）（﹣x+a）=（x+2）（x+a），x2﹣（2+a）x+2a=x2+（2+a）x+2a，据此可得：2+a=﹣（2+a），解得：a=﹣2．故答案为：﹣2．14．【解析】点P（sinθ，cosθ）是角α终边上的一点，其中，则点P的坐标为（，﹣），故有sinα=cosθ=﹣，cosα=sinθ=，α为第四象限角，故与角α终边相同的最小正角2π﹣=，故答案为：．15．337【解析】观察这列数分布为：1，2，3，3，2，1，2，3，4，4，3，2，3，4，5，5，4，3，4，5，6，6，5，4，…，发现每6个数成一组，每组的第一个数（或最后一个数）依次为1，2，3，4，…，每组的数都是先按1递增两次，再相等一次，最后按1递减两次：因为2016=336×6，所以第2016个数是336，第2017个数是337，故答案为：337．16．49π【解析】根据题意：点Q到三个侧面的垂线与侧棱P A、PB、PC围成一个棱长为2、4、5的长方体，内部图形如图．则其外接球的直径即为PQ且为长方体的体对角线，过点P和Q的所有球中，此时外接球的表面积最小，此时，长方体对角线即为球的直径，∴2R=、由球的表面积公式得：S=4πR2=49π，故答案为：49π．三、解答题17．解：（I）由已知得：=．由正弦定理得：，解得：cos A=，所以：A=（II）∠B=，A=，解得：C=，可知△ABC为等腰三角形，在△ABC中，由余弦定理，得AM2=AC2+MC2﹣2AC•MC cos120°，即，解得：b=218．证明：（1）连接AC，因为四边形ABCD是菱形，F为BD中点，所以F为AC中点．又因为E为P A中点，所以EF∥PC，又EF⊄平面PBC，PC⊂平面PBC，所以EF∥平面PBC．解：（2）取AD中点O，连接OB，OP，因为P A=PD，所以PO⊥AD，因为菱形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，所以△ABD是等边三角形，所以BO⊥AD，由已知，若，由BO2+PO2=PB2得PO⊥BO，所以平面P AD⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD．过E作EG⊥AD于G，则EG⊥平面ABCD．因为E为P A中点，所以，所以．19．解：（1）男生的平均分为：=45×0.05+55×0.15+65×0.3+75×0.25+85×0.1+95×0.15=71.5女生的平均分为：=45×0.15+55×0.1+65×0.125+75×0.25+85×0.325+95×0.05=71.5从男、女生各自的平均分来看，并不能判断数学成绩与性别有关．（2）由频数分布表可知：在抽取的100名学生中，“男生组”中的优分有15人，“女生组”中的优分有15人，据此可得2×2列联表如下：可得K2=≈1.79，因为1.79＜2.706，所以没有90%以上的把握认为“数学成绩与性别有关”20．（Ⅰ）解：焦点坐标为（0，1），准线方程为y=﹣1．（Ⅱ）证明：由题意，知直线l的斜率存在，故设l的方程为y=kx+m．由方程组得x2﹣4kx﹣4m=0，由题意，得△=16k2+16m＞0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=4k，x1x2=﹣4m，所以抛物线在点A处的切线方程为，化简，得，①同理，抛物线在点B处的切线方程为．②联立方程，得，即，因为x1≠x2，所以，代入①，得，所以点，即Q（2k，﹣m）．所以点Q在直线y=﹣m上．21．解：（Ⅰ）当a≥0时，在x∈（0，+∞）上f'（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增；①当a＜0时，在x∈（0，﹣a）上f'（x）＜0；在x∈（﹣a，+∞）上f'（x）＞0；所以f（x）在（0，﹣a）上单调递减，在（﹣a，+∞）上单调递增．综上所述，当a≥0时，f（x）的单调递增区间为（0，+∞），当a＜0时，f（x）的单调递减区间为（0，﹣a），单调递增区间为（﹣a，+∞）．（Ⅱ）若在[1，e]上存在x0，使得f（x0）＜0成立，则f（x）在[1，e]上的最小值小于0．①当﹣a≤1，即a≥﹣1时，由（1）可知f（x）在[1，e]上单调递增，f（x）在[1，e]上的最小值为f（1），由f（1）=1﹣a＜0，可得a＞1，②当﹣a≥e，即a≤﹣e时，由（1）可知f（x）在[1，e]上单调递减，f（x）在[1，e]上的最小值为f（e），由，可得③当1＜﹣a＜e，即﹣e＜a＜﹣1时，由（1）可知f（x）在（1，﹣a）上单调递减，在（﹣a，e）上单调递增，f（x）在[1，e]上的最小值为f（﹣a）=（a+1）ln（﹣a）﹣a+1，因为0＜ln（﹣a）＜1，所以（a+1）＜（a+1）ln（﹣a）＜0，即（a+1）ln（﹣a）﹣a+1＞2，即f（﹣a）＞2，不满足题意，舍去．综上所述，实数a的取值范围为．22．解：（1）曲线C1的参数方程为（j为参数），则普通方程为，曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线与曲线C2交于点，曲线C2普通方程为（x﹣4）2+y2=16．（2）曲线C1的极坐标方程为，，所以．23．解：（1）由f（﹣1）+f（2）≥5得，|m﹣1|+|m+2|≥5，，或，或，⇔m≤﹣3，或m≥2，所以m的取值范围是（﹣∞，﹣3]∪[2，+∞）．（2）当x≠0时，．（当且仅当x=±1时“=”成立），所以a的最大值为2．。
福建省闽侯第一中学高三上学期开学考试数学(理)试题Word版含答案
2018届高三第一学期开学考试数学(理科)试卷（完卷时间120分钟；满分150分）第Ⅰ卷 （选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．） 1. 已知复数z 满足2zi i x =+()x R ∈，若z 的虚部为2，则z =（ ）．A ．2B ．CD 2．已知命题:p “,10x x e x ∃∈--≤R ”，则p ⌝为 （ ） A ． ,10x x e x ∃∈--≥R B ．,10x x e x ∃∈-->RC ． ,10x x e x ∀∈-->R D ． ,10x x e x ∀∈--≥R3．阅读算法框图，如果输出的函数值在区间[1,8]上，则输入的实数x 的取值范围是( )A ．[0,2)B ．[2,7]C ．[2,4]D ． [0,7]4．若2cos 2sin()4παα=-，且()2παπ∈，，则cos 2α的值为（ ）A ．78-B ．8-C ．1D ．85．若实数,x y 满足不等式组201020x y x y a -≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩目标函数2t x y =-的最大值为2，则实数a 的值是（ ） A ． ﹣2B ．2C ．1D ．66．如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ）A ． 321++B ．322++C ．323++D ． 324++7．64(1)(1)x x -+的展开式中2x 的系数是（ ） A ． 4-B ．3-C ．3D ．48．已知抛物线2:8C y x =与直线()()20y k x k =+>相交于,A B 两点，F 为C 的焦点，若2FA FB =，则k = ( )A ．B ．13C ．23D9．已知32,2()(1),2x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩，若函数()()g x f x k =-有两个零点，则两零点所在的区间为( )． A ．(,0)-∞B ．(0,1)C ．()1,2D ．(1,)+∞10.已知三棱锥O ABC -底面ABC 的顶点在半径为4的球O 表面上，且6,AB BC AC ===，则三棱锥O ABC -的体积为（ ）A ． 4 3B． C ．183D．11．设12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使22()0OP OF F P →→→+⋅=（O 为坐标原点），且12PF =，则双曲线的离心率为（ ）A B 1CD 112．已知偶函数()f x 是定义在R 上的可导函数，其导函数为()f x '，当0x <时有22()()f x xf x x '+>，则不等式2(2014)(2014)4(2)0x f x f ++--<的解集为( )A ．(),2012-∞-B ．()2016,2012--C ．(),2016-∞-D ．()20160-，第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上．） 13．在等比数列{}n a 中，378a a =，466a a +=，则28a a +=14．已知在ABC ∆中，4AB = ,6AC =，BC =其外接圆的圆心为O ， 则AO BC ⋅=________．15． 以下命题正确的是： ． ①把函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移6π个单位，可得到3sin 2y x =的图象；②四边形ABCD 为长方形，2,1,AB BC O ==为AB 中点，在长方形ABCD 内随机取一点P ，取得的P 点到O 的距离大于1的概率为12π-； ③某校开设A 类选修课3门，B 类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有30种；④在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N （2，σ2）（σ＞0）．若ξ在（﹣∞，1）内取值的概率为0.1，则ξ在（2，3）内取值的概率为0.4．16.已知ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，(3)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-，且3a =，则ABC ∆面积的最大值为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足231n n S a =-，其中*n N ∈． （I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）设23nn n a b n n=+，求数列{}n b 的前n 项和为n T ．18．(本小题满分12分)某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表，并得到如图的频率分布直方图．（I ）试估计该校高三学生视力在5．0以上的人数；（II ）为了进一步调查学生的护眼习惯，学习小组成员进行分层抽样，在视力4.24.4 和5.0 5.2的学生中抽取9 人，并且在这9人中任取3人，记视力在4.2 4.4的学生人数为X ，求X 的分布列和数学期望．19．(本小题满分12分)已知：矩形11ABB A ，且12AB AA = ，C C ,1分别是11B A 、B A 的中点，D 为C C 1中点，将矩形11ABB A 沿着直线C C 1折成一个60o的二面角，如图所示.11A（Ⅰ）求证： 1AB ⊥1A D ；（Ⅱ）求1AB 与平面11A B D 所成角的正弦值.20.(本小题满分12分)已知以A 为圆心的圆64)2(22=+-y x 上有一个动点M ，)0,2(-B ，线段BM 的垂直平分线交AM 于点P ，点P 的轨迹为E ． （Ⅰ）求轨迹E 的方程；（Ⅱ）过A 点作两条相互垂直的直线21,l l 分别交曲线E 于G F E D ,,,四个点，求FG DE +的取值范围．21．(本小题满分12分)已知函数()ln af x x x=+，a R ∈,且函数()f x 在1x =处的切线平行于直线20x y -=． （Ⅰ）实数a 的值；（Ⅱ）若在[]1,e （e 2.718...=）上存在一点0x ，使得0001()x mf x x +<成立，求实数m 的取值范围.C 1CB 1BA 1A本题有(22)、(23)两题中任选一题做答,如果多做，则按所做的第一题计分．作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中． （22）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，圆C 的极坐标方程为：24(cos sin )6ρρθθ=+-.若以极点O 为原点，极轴所在直线为x 轴建立平面直角坐标系.（Ⅰ）求圆C 的参数方程；（Ⅱ）在直角坐标系中，点(,)P x y 是圆C 上动点，试求x y +的最大值，并求出此时点P 的直角坐标.（23）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知,m n 都是实数，0m ≠，()12f x x x =-+-. (I)若()2f x >，求实数x 的取值范围； (II)若()m n m n m f x ++-≥对满足条件的所有,m n 都成立，求实数x 的取值范围．2018届高三第一学期开学考试数学(理科)答案第Ⅰ卷 （选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．） 1.B 2.C 3.D 4.D 5.B 6.C 7.B 8.A 9.D 10. A 11. D 12.B第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上．）13．9 14．10 15.①③④16.4三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 4．(本小题满分12分)解:（I ）∵*31()22n n S a n N =-∈， ① 当11311,22n S a ==-，∴11a =，………………………………2分当2n ≥，∵113122n n S a --=-， ②①-②：13322n n n a a a -=-，即：13(2)n n a a n -=≥ ………………………………4分又∵11a =，23a = ， ∴13n na a +=对*n N ∈都成立，所以{}n a 是等比数列， ∴1*3()n n a n N -=∈ .………………………………6分（II ）∵23nn n a b n n=+，∴23n b n n=+，……………………………9分 ∴111113(1)2231n T n n =-+-++--，∴133(1)311n T n n =-=-++，即31n n T n =- .……………………………12分18．(本小题满分12分)解：（I ）设各组的频率为(1,2,3,4,5,6)i f i =，23.0,26.0,27.0,07.0,03.054321=====f f f f f ，所以视力在0.5以上的频率为14.0)23.026.027.007.003.0(1=++++-，估计该校高三学生视力在5．0以上的人数约为14014.01000=⨯人． ……………………………4分 （II ）依题意9人中视力在4.24.4 和5.0 5.2的学生分别有3人和6人，X 可取0、1、2、3363920(0)84C P X C ===， 21633945(1)84C C P X C ===， 12633918(2)84C C P X C ===， 33391(3)84C P X C ===．……………………………10分 X 的分布列为X 的数学期望()0123184848484E X =⨯+⨯+⨯+⨯= ．…………………12分 19．(本小题满分12分)（Ⅰ）解法一：连结AB 、11A B ，∵ C C ,1分别是矩形11ABB A 边11B A 、B A 的中点， ∴1AC CC ⊥，1BC CC ⊥ ，AC BC C ⋂= ∴1CC ⊥面ABC∴ACB ∠为二面角A CC A ''-- 的平面角，则60O ACB ∠= ∴ABC ∆为正三角形，即几何体111C B A ABC -是正三棱柱. ∴四边形11A ABB 为正方形∴B A AB 11⊥，…………………………………2分 取BC 中点O ，连结AO ，则BC AO ⊥.∵正三棱柱111C B A ABC -中，平面ABC ⊥平面11B BCC , ∴AO ⊥平面11B BCC ,∵⊂BD 平面11B BCC ,∴AO ⊥BD在正方形11B BCC 中，∴BD O B ⊥1…………………………………3分 ∵O O B AO =⋂1,∴BD ⊥面O AB 1，∴BD ⊥1AB . ∴1AB ⊥平面D AB 1．∴ 1AB ⊥1A D ．…………………………………6分 （Ⅰ）解法二：连结AB 、11A B ，∵ C C ,1分别是矩形11ABB A 边11B A 、B A 的中点，∴1AC CC ⊥，1BC CC ⊥ ，AC BC C ⋂= ∴1CC ⊥面ABC∴ACB ∠为二面角A CC A ''-- 的平面角，则60O ACB ∠= ∴ABC ∆为正三角形，即几何体111C B A ABC -是正三棱柱. 取BC 中点O ，连结AO 则BC AO ⊥，∵正三棱柱111C B A ABC -中，平面ABC ⊥平面11B BCC ， ∴AO ⊥平面11B BCC …………………………1分取11C B 中点1O ，以O 为原点，OO 1的方向为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系，不妨设12AA =，则)0,0,1(B ，)0,1,1(-D ,)3,0,0(A ,)3,2,0(1A ,)0,2,1(1B则1(1,2AB =，1(1,1,A D =--，……………………………4分∴11(1,1,(1,21230AB A D ⋅=--⋅=--+=，∴11AB A D ⊥∴1AB ⊥1A D ．…………………………………6分 （Ⅱ）解： 设平面D A B 11的法向量为),,(z y x n = ∵)3,0,1(11-=B A ，)3,1,1(1---=D A ∵11B A ⊥,A 1⊥∴⎪⎩⎪⎨⎧==0.0.111D A n B A ……………………………………………8分∵0,0,x x y ⎧-=⎪⎨--=⎪⎩∴,y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩ 令1z =得(3,n =-为平面D A B 11的一个法向量.………………………10分由（I ）得1(1,2,AB =1AB 与平面11A B D 所成角的正弦值11·|n|AB |n AB ===41AB 与平面11A B D 12分 16．(本小题满分12分) 解（Ⅰ）连接PB ，依题意得PM PB =，所以8==+PM PA PB所以点P 的轨迹E 是以B A ,为焦点，长轴长为4的椭圆，所以4=a ，2=c ，32=b所以E 的轨迹方程式1121622=+y x ． …………………………4分 (Ⅱ) 当直线21,l l 中有一条直线的斜率不存在时，1486=+=+FG DE当直线1l 的斜率存在且不为0时，设直线1l 的方程)2(-=x k y ，设D ),(11y x ，),(22y x E联立⎪⎩⎪⎨⎧=+-=11216)2(22y x x k y ，整理得2222(34)1616480k x k x k +-+-=…………6分 21221634k x x k +=+，2221434816kk x x+-= 所以=DE 2122124)(1x x x x k -+⋅+=2243)1(24kk ++=…………8分 设直线2l 的方程为)2(1--=x ky ， 所以2234)1(24k k FG ++= 所以)43)(34()1(1682222k k k FG DE +++=+…………9分设12+=k t ，所以1>t ，所以2112168tt FG DE -+=+ 因为1>t ，所以41102≤-<t t ，所以FG DE +的取值范围是96[,14)7．………12分 21．(本小题满分12分)解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞， …………………1分 ∵21()a f x x x'=-，函数()f x 在1x =处的切线平行于直线20x y -=． ∴(1)12f a '=-=∴1a =-…………………………………………4分解：（Ⅱ）若在[]1,e （e 2.718...=）上存在一点0x ，使得0001()x mf x x +<成立， 构造函数11()()ln m h x x mf x x m x x x x=+-=+-+在[]1,e 上的最小值小于零. 2222211(1)(1)()1m m x mx m x x m h x x x x x x---+--'=---==………6分 ①当e m ≥+1时，即1m e ≥-时，)(x h 在[]1,e 上单调递减，…………………8分所以()h x 的最小值为(e)h ，由01)(<-++=m e m e e h 可得112-+>e e m ， 因为1112->-+e e e ，所以112-+>e e m ； ………………10分 ②当11≤+m ，即0≤m 时， ()h x 在[]1,e 上单调递增，所以()h x 最小值为(1)h ，由011)1(<++=m h 可得2-<m ； ……11分③当e m <+<11，即10-<<e m 时， 可得()h x 最小值为)1(m h +，因为0ln(1)1m <+<，所以，0ln(1)m m m <+<2)1ln(2)1(>+-+=+m m m m h此时，0)1(<+m h 不成立.综上所述:可得所求m 的范围是：112-+>e e m 或2-<m . ……………12分 本题有(22)、(23)两题中任选一题做答,如果多做，则按所做的第一题计分．作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．（22）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程解：（Ⅰ）因为24(cos sin )6ρρθθ=+-，所以22446x y x y +=+-，所以224460x y x y +--+=，即22(2)(2)2x y -+-=为圆C 的普通方程．…………………………………4分 所以所求的圆C的参数方程为22x y θθ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩(θ为参数) ．………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，4cos )42sin()4x y πθθθ+=+=++…………………………7分 当 4πθ=时，即点P 的直角坐标为(3,3)时， ……………………………9分x y +取到最大值为6. …………………………………10分（23）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲解：(I)⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<≤-=2,3221,11,23)(x x x x x x f由2)(>x f 得⎩⎨⎧≤>-1223x x 或⎩⎨⎧>->2322x x ， 解得21<x 或25>x . 故所求实数x 的取值范围为),25()21,(+∞⋃-∞.……5分（II ）由)(x f m n m n m ≥-++且0m ≠得 )(x f m nm n m ≥-++又∵2=-++≥-++m nm n m m nm n m …………………………7分∴2)(≤x f .∵2)(>x f 的解集为),25()21,(+∞⋃-∞，∴2)(≤x f 的解集为]25,21[，∴所求实数x 的取值范围为]25,21[.…………………………10分。
福建省闽侯第六中学2018届高三上学期第二次月考(9月)数学(理)试题 PDF版含答案
福建省闽侯第六中学2018届高三上学期第二次月考(9月)数学（理）试题一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求）1．已知集合，，则=（）A．B．C．（0,3）D．（1,3）2.复数()iz22-=(i为虚数单位)，则|z|等于()A．25 B.41C．5 D.53．设函数则满足f(x)≤2的x的取值范围是（）A.[-1,2]B.[0,2]C.[1,+∞)D.[0,+∞)4.设φ∈R，则“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)为偶函数”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5.设x，y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)且a⊥c，b∥c，则|a＋b|等于()A.5B.10C．25D．106.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则() A．f(－25)<f(11)<f(80)B．f(80)<f(11)<f(－25)C．f(11)<f(80)<f(－25)D．f(－25)<f(80)<f(11)7．下列说法中，正确的是：（）A.命题“若，则”的否命题为“若，则”B.命题“存在，使得”的否定是：“任意，都有”C.若命题“非”与命题“或”都是真命题，那么命题一定是真命题D.命题“若，则”的逆命题是真命题8．函数的大致图象为()9．A. B. C. D.9.若tan α＋1tan α＝103，α∈(π4，π2)，则sin(2α＋π4)的值为()A．－210B.210C.3210D.721010.△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于()A.32B.332C.3＋62D.3＋39411．偶函数f (x )满足f (x -1)=f (x +1),且在x ∈[0,1]时,f (x )=x ,则关于x 的方程f (x )=110x⎛⎫⎪⎝⎭,在x ∈[0,4]上解的个数是（）A.1B.2C.3D.412．若直线y=kx +b 是曲线y =ln x +2的切线，也是曲线y =ln（x +1）的切线，则b =（）A．1B.21 C.1-ln2D.1-2ln2二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分）13.已知命题p ：“任意x ∈[0,1]，a ≥e x”；命题q ：“存在x ∈R，使得x 2＋4x ＋a ＝0”．若命题“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值范围是__________．14.二项式的展开式的第二项的系数为，则的值为。
福建省 闽侯第六中学2017-2018学年高二上学期期末考试数学(理)试题(解析版)
福建省闽侯第六中学 8 2017-2018 学年高二上学期期末考试试题数学（理） 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 抛物线22x y =的准线方程为（ ） A. 1y =- B. 1x =- C. 12x =-D. 12y【答案】D 【解析】抛物线22x y =的准线方程为12y =-；故选D.2. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11329a a +=-，则9S =（ ） A. 27- B. 27 C. 54- D. 54【答案】A 【解析】 【分析】【详解】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，113 29a a +=-， 11312943a d a d ∴+=-+=-，()919427S a d =+=- 故选A3. 焦点在x 轴上,虚轴长为12，离心率为54的双曲线标准方程是（ ） A. 22164144x y -= B. 2213664x y -=C. 2216416y x -=D. 2216436x y -=【答案】D 【解析】 根据题意得到58,10, 6.4c a c b a ==⇒== 故方程：2216436x y -=. 故答案为D ．4. 已知双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的一条渐近线方程为20x y-=，则该双曲线的离心率是（）C.2【答案】A【解析】∵双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的一条渐近线方程为20x y-=，2a b c∴=∴=，，∴双曲线的离心率是2cea==．故选A．【大家】本题考查双曲线的离心率的求法，解题时要认真审题，要熟练掌握双曲线的简单性质．5. 直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为( )A.110B.25D.2【答案】C【解析】以C为原点，直线CA为x轴，直线CB为y轴，直线1CC为z轴，则设CA=CB=1，则(0,1,0)B，11(,,1)22M，A（1，0，0），1(,0,1)2N，故11(,,1)22BM=-，1(,0,1)2AN=-，所以cos,BM ANBM ANBM AN⋅〈〉==⋅3=，故选C.考点：本小题主要考查利用空间向量求线线角，考查空间向量的基本运算，考查空间想象能力等数学基本能力，考查分析问题与解决问题的能力.6. 已知等比数列{}n a中，22a=，则其前三项和3S的取值范围是（）A. (],2-∞ B. ()(),01,-∞⋃+∞ C. [)6,+∞ D.(][),26,-∞+∞【答案】D【解析】∵等比数列{a n }中，a 2=2，设公比为q ,∴其前三项和S 3=222q q++，当q ＞0时，S 3=222q q ++ ≥；当q ＜0时，S 3=222q q ++≤2﹣=2﹣4=﹣2．∴其前三项和S 3的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[6，+∞）． 故选D ．点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误 7. ()6232x x ++展开式中x 的系数为（ ） A. 92 B. 576C. 192D. 384【答案】B 【解析】()6232xx ++展开式中含x 的项为15565(3)26332576C x C x x ⋅⋅=⨯⨯=，即x 的系数为576；故选B.点睛：本题考查二项式定理的应用；求三项展开式的某项系数时，往往有两种思路： （1）利用组合数公式和多项式乘法法则，如本题中解法；（2）将三项式转化成二项式，如本题中，可将26(32)x x ++化成66(1)(2)x x ++，再利用两次二项式定理进行求解.8. 600的二面角的棱上有,A B 两点，直线,AC BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB ，已知4,6,8AB AC BD ===,则CD 的长为（ ）B.D. 【答案】B 【解析】由条件，知 0? 0? CD AB AB BD CD CA AB BD ⋅⋅++＝，＝，＝．所以()222222?2?2? CD CA AB BD CA AB BD CA AB CA BD AB BD =++=+++⋅+⋅+⋅． |22264826812068,217?cos CD =+++⨯⨯︒=∴＝，故选B ．【点睛】本题考查面面角，考查空间距离的计算，熟练掌握向量的运算和数量积运算是解题的关键．9. 已知不等式222xy ax y ≤+对任意[1,2],[4,5]x y ∈∈恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A. [1,)-+∞ B. [6,)-+∞ C. [28,)-+∞ D. [45,)-+∞【答案】B 【解析】由题意可知：不等式222xy ax y ≤+对任意][1,2,4,5x y ⎡⎤∈∈⎣⎦恒成立，即：22y y a x x≥-（）， 对于任意][1,2,4,5x y ⎡⎤∈∈⎣⎦恒成立，令yt x= ，则2252t a t t ≤≤∴≥-，在[2]5，上恒成立，22y t t =-+ 的对称轴为14t =， 且开口向下，22y t t ∴=-+在[[2]5，单调递减，22226 6.max y a ∴=-⨯+=-∴≥-，故选B ．10. 设椭圆22:142x y C +=与函数3y x =的图象相交于,A B 两点，点P 为椭圆C 上异于,A B 的动点，若直线PA 的斜率取值范围是[3,1]--，则直线PB 的斜率取值范围是（ ） A. [6,2]-- B. [2,6]C. 11,26⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D. 1162⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【答案】D 【解析】∵22:142x y C +=与函数3y x =的图象相交于,A B 两点，A B ∴，两点关于原点对称，设1111A x y x y --（，），（，）， 则2211 142x y +＝，即22112(1)4x y -＝． 设00P x y （，）， 则2200 142x y +＝，，可得：22002(1)4x y -＝．222201101()2y y x x ∴--＝． ∵直线PA 的斜率1k 的取值范围[31]--，，01011312x xy y +∴-≤-⋅≤-+，得010111 62y y x x ，+≤≤+ ∴直线PB 的斜率取值范围是1162⎡⎤⎢⎥⎣⎦，． 故选D ．11. 设数列{}n a 的前n 项和n S ，若2222312222244123na a a a n n++++=-，且0n a ≥，则100S 等于（ ） A. 5048 B. 5050C. 10098D. 10100【答案】C 【解析】 【分析】 试题分析：由2222312222244123n a a a a n n++++=-…，则()()22223112222241448,21231n a a a a n n n n -+++⋯+=--=-≥-，两式相减，可得222244n n a a n n=⇒=，又因为 0n a ≥，所以12,2;0n a n n a =≥=，所以()()2100100999942001009822a a S ++===，故选C ．考点：数列求和．【方法点晴】本题主要考查了数列的求和问题，其中解答中涉及到数列的递推关系的应用、等差数列的通项公式、得出数列的前n 项和公式等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，试题有一定的思维量，属于中档试题，本题的解答中根据数列的递推关系式，求解2n a n =是解得的关键． 【详解】12. 已知双曲线()2222:10,0y x a b a bΓ-=>>的上焦点为()()0,0F c c >，M 是双曲线下支上的一点，线段MF 与圆2222039c a x y y +-+=相切于点D ，且3MF DF =，则双曲线Γ的渐近线方程为（ ） A. 20x y ±= B. 20x y ±= C. 40x y ±= D. 40x y ±=【答案】B 【解析】由2222039c a x y y +-+=得22239c b x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭则该圆的圆心坐标为03c ⎛⎫⎪⎝⎭，，半径为3b设切点()()0000D x y y >，则由2222039c a x y y +-+=与()000003c x y c x y ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，，解得0x =，22036c a y c -=2236c a D c ⎛-∴ ⎝⎭由3MF DF =，得3MF DF →=→得：222a c M c ⎫+-⎪⎪⎝⎭代入双曲线()2222:10,0y x a b a bΓ-=>>整理得：2b a =∴双曲线Γ的渐近线方程为20x y ±=故选B点睛：本题考查了双曲线简单性质，由圆的方程求出圆心坐标，设出点D 的坐标，由题意列式求出D 的坐标，再结合3MF DF =，求得M 的坐标，再把M 的坐标代入双曲线的方程，即可求得答案．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13. 已知命题：:R p x ∃∈，使223x x +=，则p ⌝是______. 【答案】2R,23x x x ∀∈+≠【解析】根据特称命题的否定，换量词否结论，不变条件，得到p ⌝是2R,23x x x ∀∈+≠. 故答案为2R,23x x x ∀∈+≠．14. 已知正项等比数列{}n a 的公比为2，若224m n a a a =，则212m n+的最小值等于__________．【答案】34【解析】由题意得：224m n a a a =即222222224m n a a a --⋅⋅⋅=424m n +-=6m n ∴+=()212111211932226622624n m m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫+=++⋅=+++≥⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 15. 已知M 是抛物线24x y =上一点，F 为其焦点，点A 在圆()()22:161C x y ++-=上，则MA MF +的最小值是__________． 【答案】6 【解析】抛物线准线方程为1y =- 过M 作MN ⊥直线1y =- 则MA MF MA MN +=+ 当过圆心作直线1y =-垂线时，A M N ，，三点共线值最小， 则6116min MA MF +=+-=点睛：本小题的考点是圆与圆锥曲线的综合及抛物线的简单性质．首先要求出抛物线上的点到圆上及抛物线的焦点的距离最小的位置，然后根据三点共线求出相应的点的坐标，进一步求得最小值，进而求得答案．16. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，11AB AC AA ===，已知G 和E 分别为11A B 和1CC 的中点，D 和F 分别为线段AC 和AB 上的动点（不包括端点），若DG EF ⊥，则线段DF 长度的取值范围为______．【答案】5[,1)5【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设出F 、D 的坐标，求出向量DG ，EF ，利用GD EF ⊥求得关系式，写出DF 的表达式，然后利用二次函数求最值即可． 【详解】由题意，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，1(0,1,)2E ，1(,0,1)2G ，(,0,0)F x ，(0,,0)D y ，由于GD EF ⊥，则0GD EF ⋅=，所以210x y +-=， 所以(,,0)(21,)DF x y y y =-=-+-，所以22222215415550DF x y y y y ⎛⎫=+=-+=-+ ⎪⎝⎭+，当25y =时，线段DF 长度的最小值是5，当0y =时，线段DF长度的最大值是1，而不包括端点，故0y =不能取； 故答案为：5．【点睛】本题主要考查了点、线、面间的距离计算、棱柱的结构特征、空间直角坐标系等基础知识，着重考查了空间想象能力，以及运算求解能力，属于基础题． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知a R ∈，命题[]2:1,2,0P x x a ∀∈-≥，命题:q 已知方程22112x y a a +=+-表示双曲线．（1）若命题q 为真命题，求实数a 的取值范围；（2）若命题p q ∨为真命题，命题p q ∧为假命题，求实数a 的取值范围． 【答案】(1)1a ≤；(2)()(]1,2,1⋃-∞-． 【解析】试题分析：（1）利用双曲线标准方程的特点进行求解；（2）先利用真值表判定两个简单命题的真假，再利用数集间的运算进行求解.试题解析：（1）若q 为真命题时：()()120a a ++<， ∴12a -<<， ∴()1,2a ∈-；（2）若p 为真命题时：()[]2min1,2a xx ≤∈， ∴1a ≤，p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，则p q 、一真一假，即121a a -<<⎧⎨>⎩或211a a a ≥≤-⎧⎨≤⎩或， 解得12a <<或1a ≤-， ∴a 的范围为()(]1,2,1⋃-∞-．18. 在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，12AA =，E 为1BB 中点．（1）证明：1AC D E ⊥．（2）求DE 与平面1AD E 所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）2． 【解析】 【分析】【详解】试题分析：()1根据已知中长方体1111ABCD A B C D -中，11,2,AB BC AA E ===是侧棱1BB 的中点，结合长方体的几何特征，我们可得1,D D AC BD AC ⊥⊥,结合线面垂直的判定定理即可得到AC ⊥平面11BB D D ,即可得出结论．()2建立空间直角坐标系，求出平面1AD E 的法向量，利用向量的夹角公式，即可求DE与平面1AD E 所成角的正弦值．解析：()1证明：连接BD1111ABCD A B C D -是长方体，1D D ∴⊥平面ABCD又AC ⊂平面ABCD ，1D D AC ∴⊥ 在长方形ABCD 中，AB BC =，BD AC ∴⊥ 又1,BD D D D AC ⋂=∴⊥平面11BB D D 而1D E ⊂平面11BB D D ,1AC D E ∴⊥()2如图建立空间直角坐标系D xyz -,则()()()()11,0,0,0,0,2,1,1,1,1,1,0A D E B ,()()()10,1,1,1,0,2,1,1,1AE AD DE ==-= 设平面1AD E 的法向量为(),,n x y z =,则200x z y z -+=⎧⎨+=⎩令1,z =则()211n =-，，,nDEcos ∴→→== 所以DE 与平面1AD E所成角的正弦值为319. 已知数列{{}n a 满足111,2n n n a a a a +==+，()()*1111,n n b n n N b a λλ+⎛⎫=-+∈=- ⎪⎝⎭. （1）求证：数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列；（2）若数列{}n b 是单调递增数列，求实数λ的取值范围. 【答案】（1）见解析（2）2λ<. 【解析】 【分析】【详解】试题分析：()1由数列递推式得到数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是首项为2，公比为2的等比数列；()2由()1得11121na +=+，代入()111n nb n a λ+⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，由21b b >求得实数λ的取值范围，验证满足()12nn b n λ+=-为增函数，即可得到答案．解析：（1）因为数列{}n a 满足()*12n n n a a n N a +=∈+，所以1121n na a +=+，即111121n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，又11a =，所以11120a +=≠ ， 所以数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以2为首项，公比为2的等比数列. （2）由（1）可得112nna +=，所以()()()11111122n n nb n n n a λλ--⎛⎫=--+=--⋅≥ ⎪⎝⎭， 因为1b λ=-符合，所以()()1*12n n b n n N λ-=--⋅∈.因为数列{}n b 是单调递增数列，所以1n n b b +>，即()()1212n n n n λλ--⋅>--⋅，化为1n λ<+，所以2λ<.20. 如图，四棱锥P ABCD -中，底面 ABCD 为矩形，侧面为正三角形，且平面PAD ⊥平面 ABCD ，E 为 PD 中点，AD=2.(1)证明平面AEC 丄平面PCD;(2)若二面角A PC E --的平面角θ满足2cos 4θ=，求四棱锥P ABCD - 的体积. 【答案】（1）见解析；（2）2 【解析】 【分析】(1)要证平面AEC ⊥平面PCD ，可证AE ⊥平面PCD 即可;(2)建立空间直角坐标系，计算出平面PAC 的法向量，平面PCE 的法向量，从而利用向量数量积公式求得AB 长度，于是可求得体积. 【详解】（1）取AD 中点为O ， BC 中点为F ，由侧面PAD 为正三角形，且平面PAD ⊥平面ABCD 知PO ⊥平面ABCD ，故FO PO ⊥， 又FO AD ⊥，则FO ⊥平面PAD ，所以FO AE ⊥， 又//CD FO ，则CD AE ⊥，又E 是PD 中点，则AE PD ⊥， 由线面垂直的判定定理知AE ⊥平面PCD ， 又AE ⊂平面AEC ，故平面AEC ⊥平面PCD .（2）如图所示，建立空间直角坐标系O xyz -， 令AB a ，则(0,0,3),(1,0,0),(1,,0)P A C a -.由（1）知33,0,2EA ⎛⎫=- ⎪⎝⎭为平面PCE 的法向量，令(1,,)n y z =为平面PAC 的法向量，由于(1,0,3),(2,,0)PA CA a =-=-均与n 垂直，故0,0,n PA n CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即130,20,z ay ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩解得2,3,y a z ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故231,,3n a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，由212cos 44433EA nEA n a θ⋅===⋅+，解得3a =. 故四棱锥P ABCD -的体积11233233ABCD V S PO =⋅=⋅⋅⋅=.【点睛】本题主要考查面面垂直的判定定理，二面角的向量求法，几何体的体积计算，建立合适的空间直角坐标系是解决此类问题的关键，意在考查学生的空间想象能力，转化能力，分析能力及计算能力.21. 已知过抛物线()2:20E y px p =>的焦点F 2的直线交抛物线于()()()112212,,,A x y B x y x x < 两点，且6AB =. （1）求该抛物线E 的方程；（2）过点F 任意作互相垂直的两条直线12,l l ，分别交曲线E 于点,C D 和,M N .设线段,CD MN 的中点分别为,P Q ，求证：直线PQ 恒过一个定点.【答案】（1）24y x =（2见解析 【解析】试题分析：()1联立直线方程和抛物线方程，利用弦长公式列方程解出p ，即可得到抛物线E 的方程；()2设直线1l 的方程，联立抛物线方程得两根之和，计算点P 的坐标，同理可得点Q 的坐标，运用直线点斜式给出直线方程，讨论斜率问题即可得出定点解析：（1）抛物线的焦点,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴直线AB的方程为：2p y x ⎫=-⎪⎭联立方程组222y pxp y x ⎧=⎪⎨⎫=-⎪⎪⎭⎩，消元得：22204p x px -+=， ∴212122,4p x x p x x +==∴6AB ===，解得2p =±.∵0p >，∴抛物线E 的方程为：24y x =.（2）设,C D 两点坐标分别为()()1122,,,x y x y ，则点P 的坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭.. 由题意可设直线1l 的方程为()()10y k x k =-≠.由()241y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，得()2222240k x k x k -++=. ()24224416160k k k ∆=+-=+>因为直线1l 与曲线E 于,C D 两点，所以()1212122442,2x x y y k x x k k+=++=+-=. 所以点P 的坐标为2221,k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.由题知，直线2l 的斜率为1k-，同理可得点Q 的坐标为()212,2k k +-.当1k ≠±时，有222112k k+≠+，此时直线PQ 的斜率2222221112PQ kk k k k k k+==-+--. 所以，直线PQ 的方程为()222121ky k x k k+=---，整理得()230yk x k y +--=.于是，直线PQ 恒过定点()3,0；当1k =±时，直线PQ 的方程为3x =，也过点()3,0. 综上所述，直线PQ 恒过定点()3,0.22. 已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，左右焦点分别为1F ，2F ，且12||2F F ，点3(1,)2在椭圆C 上.（1）求椭圆C 的方程；（2）过1F 的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点，且2AF B ∆的面积为7，求以2F 为圆心且与直线l 相切的圆的方程.【答案】(1) 22143x y += (2) (1)yx【解析】 【分析】（1）由122F F =可以求出1c =，将点31,2⎛⎫⎪⎝⎭代入椭圆方程可以解出2a 与2b 的值，即可得出答案；（2）当直线l 与x 轴垂直时，可以求出,A B 两点的坐标，即可求出2AF B ∆的面积，经计算不符合题意；当直线l 与x 轴不垂直时，设出直线方程，与椭圆方程联立，得到关于x 的一元二次方程，利用弦长公式可以表示出AB ，利用点到直线的距离公式可以表示出2F 到直线l 的距离，进而得到2AF B ∆的面积表达式，求得k 的值即可得到直线的方程．【详解】（1）因为122F F =所以1c =，又点31,2⎛⎫⎪⎝⎭在该椭圆上，所以221914a b +=，又221a b =+， 解得24a =，23b =，所以椭圆C 的方程为22143x y +=. （2）①当直线l 与x 轴垂直时，可得331,122A B ，，⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 2AF B ∆的面积为3，不符合题意．②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为()1y k x =+， 代入椭圆的方程得22223484120k x k x k +++-=，显然0>成立，设()()1122,A x y B x y ，， 则2122834k x x k +=-+，212241234k x x k-=+，所以()2212134k AB k +===+，用点到直线距离公式可得2F 到直线l的距离d =所以2AF B∆的面积212347S AB d k =⋅==+， 化简得4217180k k +-=解得1k =±，因此直线的方程为10x y -+=或10x y ++=.【点睛】处理涉及直线和圆锥曲线交点问题时，一般设出交点坐标，但不求交点坐标，而是用韦达定理作整体运算（把12x x +或12x x 看作一个整体）．。
福建省闽侯第六中学2018-2019学年高一上学期期末考试物理试题(word版附答案)
福建省闽侯第六中学2018-2019 学年高一上学期期末物理考试试题
第Ⅰ卷客观卷（共48 分）
一、选择题（每小题4分，第1——7 为单选题，8----12 多选漏选得2分，错选得0分）
1．下列物体或人可以看作质点的是
①研究跳水冠军郭晶晶在跳水比赛中的空中姿态
②研究从苏州开往北京的高铁列车的运动快慢
③研究武装直升机螺旋桨的转动
④研究我国新一代海洋科学综合考察船“科学号”去南极的途中
A．①③ B. ②③
C. ①④
D. ②④
2.关于速度、速度变化量、加速度三者间的关系，下列说法中正确的是（）
A. 运动物体的速度越大，其速度变化量一定越大
B.
运动物体的速度越大，其加速度一定越大
C. 运动物体的速度变化量越大，其加速度一定越大
D.
运动物体的速度变化越快，其加速度一定越大
3．用计算机辅助实验系统（DIS）进行验证牛顿第三定律的实验．现把两个力传感器的挂钩钩在一起，向相反方向拉动，如图所示，观察显示器屏幕上出现的两个力传感器的相互作用随着时间变化的曲线。
以下结论错误的是
A.作用力与反作用力的作用效果相互抵消
B.作用力与反作用力同时存在，同时消失
C.作用力与反作用力大小相等、方向相反
D.作用力与反作用力一定是性质相同的一对力
4．应用物理知识分析生活中的常见现象，可以使物理学习更加有趣和深入．例如平伸手掌托起物体，由静。
2018届福建省闽侯第六中学高三上学期期中考试数学(理)试题
福建省闽侯第六中学2018届高三上学期期中考试数学（理）试题 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}211,2802xA xB x x x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≤=--≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则A B ⋂=（ ）A ．{}20x x -≤≤B ．{}24x x ≤≤C ．{}04x x ≤≤D ．{}2x x ≤- 2. 若复数12,z z 在复平面内对应的点关于y 轴对称，且12z i =-，则复数12z z 在复平面内对应的点在（ ） A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3. 对于直线,m n 和平面,αβ，下列条件中能得出αβ⊥的是（ ） A ．,//,//m n m n αβ⊥ B ．,,m n m n αβα⊥⋂=⊂ C ．//,,m n n m βα⊥⊂ D ．//,,m n m n αβ⊥⊥4.执行如图的程序框图，如果输入1x =，则输出t 的值为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．125.已知{}n a 为等差数列，48336a a +=，则{}n a 的前9项和9S =（ ） A ．9 B ．17 C ．36 D ．816.已知函数()22f x x x =--+，则函数()y f x =-的图象为（ ）A ．B ．C ．D ．7.已知变量x 与y 负相关，且由观测数据算得样本平均数3, 3.5x y ==,则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（ ）A ．0.4 2.3y x =+B ．2 2.4y x =-C ．29.5y x =-+D ．0.4 4.4y x =-+8. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实（虚）线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ）A ．64B ．643 C ．16 D ．1639.D 是ABC ∆所在平面内一点，(),AD AB AC R λμλμ=+∈，则01,01λμ<<<<是点D 在ABC ∆内部（不含边界）的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要10. 命题000:0,,sin 2cos24p x x x a π⎡⎤∃∈+>⎢⎥⎣⎦是假命题，则实数a 的取值范围是（ ）A ． 1a <B ．a <．1a ≥ D ．a 11. 数列{}n a 满足()()111,11n n a na n a n n +==+++，且2c o s 3n n n b a π=，记n S 为数列{}n b 的前n 项和，则24S =（ ）A ．294B ．174C ．470D ．30412.已知函数()ln f x ax e x =+与()2ln x g x x e x =-的图象有三个不同的公共点，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围为（ ）A ．a e <-B ．1a >C ．a e >D ．3a <-或1a >第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 将3本不同的数学书和2本不同的语文书在书架上排成一行，若2本语文书相邻排放，则不同的排放方案共有 种.（用数字作答）14.设12,F F 分别是双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的左、右焦点，点(),M a b ，若1230MF F ∠=︒，则双曲线C 的离心率为 .15.已知函数()()()23222,033,0x a x x f x x a x ax x ⎧-+-≤⎪=⎨-++>⎪⎩，若曲线()y f x =在点()(),i i i P x f x ，（1,2,3i =，其中123,,x x x互不相等）处的切线互相平行，则a 的取值范围是 .16. 若数列{}n a 满足：120,3a a ==，且()()()*1111,2n n n a n a n n N n +-=+-+∈≥，数列{}n b 满足1811n n b -⎛⎫⎪⎝⎭，则数列{}n b 的最大项为第 项．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C 的对边，cos sin b a C C =+. （1）求A ；（2）若2,4a b c =+≥，求ABC ∆的面积.18. 甲、乙两名乒乓球运动员进行乒乓球单打比赛，根据以往比赛的胜负情况知道，每一局甲胜的概率为23， 乙胜的概率为13，如果比赛采用“五局三胜”制（先胜三局者获胜，比赛结束）.（1）求甲获得比赛胜利的概率；（2）设比赛结束时的局数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望.19.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1,2AB BC AA AC ⊥==，M 是1CC 的中点，P 是AM 的中点，点Q 在线段1BC 上，且113BQ QC =.（1）证明：//PQ 平面ABC ；（2）若直线1BA 与平面ABM BAC ∠的大小.20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为e =，且椭圆上一点M 与椭圆左右两个焦点构成的三角形周长为4+（1）求椭圆C 的方程；（2）如图，设点D 为椭圆上任意一点，直线y m =和椭圆C 交于,A B 两点，且直线,DA DB 与y 轴分别交于,P Q 两点，试探究12PF F ∠和12QF F ∠之间的等量关系并加以证明.21.已知函数()()ln f x x kx k R =+∈. （1）当1k =-时，求函数()f x 的极值点； （2）当0k =时，若()()0,bf x a a b R x+-≥∈恒成立，试求11a e b --+的最大值； （3）在（2）的条件下，当11a e b --+取最大值时，设()()1a Fb m m R b-=-∈，并设函数()F x 有两个零点12,x x ，求证：212x x e >.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.已知点C 在圆O 直径BE 的延长线上，CA 切圆O 于A 点，CD 分别交,AE AB 于点,F D ，45ADF ∠=︒.（1）求证：CD 为ACB ∠的平分线； （2）若AB AC =，求ACBC的值. 23. 在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的极坐标方程为4sin ρθ=，从极点作圆C 的弦，记各条弦中点的轨迹为曲线1C . （1）求1C 的极坐标方程；（2）已知曲线l 的参数方程为cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（0,t απ≤<为参数，且0t ≠)，l 与C 交于点A ，l与1C 交于点B ，且AB a 的值. 24. 已知,,a b c 均为正实数，且2221111a b c ++=.（1）证明：111a b c++≤ （2）求证：2224441a b c b c a++≥.试卷答案一、选择题1-5: CBCBD 6-10: DCDBD 11、12：DB 二、填空题13. 48 14. 2 15. ()1,2- 16. 6 三、解答题17. 解：（1）cos sin b a C C =∴sin sin cos sin B A C A C =+sin cos cos sin sin cos sin A C A C A C A C +=+即cos sin sin A C A C =又sin 0C ≠ ∴cos A A =即tan A ∴3A π=（2）∵2222cos a b c bc A =+- ∴()222223b c bc b c bc =+-=+-∵b c +≥∴()216b c +≤，即4b c +≤ 又由题意知4b c +≥，∴4b c +=.(当2b c ==时等式成立.）∴122sin 23ABC S π∆=⨯⨯⨯18.解：（1）设比赛局数分别为3,4,5时，甲获胜分别为事件123,,A A A ， 则由相互独立事件同时发生的概率乘法公式可得:()()33212328218,3273327P A P A C ⎛⎫⎛⎫===⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,()3223421163381P A C ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以由互斥事件的概率加法公式可得，甲获胜的概率为()()()12388166427278181P P A P A P A =++=++=（2）由题意可知，X 的取值为3,4,5，则()332191333273P X ⎛⎫⎛⎫==+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,()3322332112104333327P X C C ⎛⎫⎛⎫==⋅+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,()222421853327P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭所以，X 的分布列为∴X 的数学期望()11081073453272727E X =⨯+⨯+⨯=19.证明：（1）取MC 中点，记为点D ，连结,PD QD ∵P 为MA 中点，D 为MC 中点 ∴//PD AC又∵1111,33CD DC BQ QC ==,∴//QD BC 又∵PD QD D ⋂= ∴平面//PQD 平面ABC 又PQ ⊂平面PQD ∴//PQ 平面ABC（2）∵1,,BC BA BB 两互相垂直， ∴建立如图所示空间直角坐标系B xyz -，设,BC a BA b ==，则各点的坐标分别为: ()()()()1,0,0,0,,0,0,,2,,0,1C a A b A b M a ，∴()()()10,,2,0,,0,,0,1BA b BA b BM a ===设平面ABM 的法向量为(),,n x y z =，则00n BA n BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，∴00by ax z =⎧⎨+=⎩，取1x =， 则可得平面ABM 的一组法向量()1,0,n a =-∴1cos ,n BA ==又因为228a b +=，∴424120a a +-=，∴22a =或6-（舍） 即a =1sin 2BAC ∠==，∴6BAC π∠=20.解：∵c e a ==，∴a = 12122224MFMF F F a c c ++=+=+=+∴2c a =∴椭圆方程为22142x y +=（2）121290PF F QF F ∠+∠=︒， 证明如下：设()()0011,,,B x y D x y ，则()00,A x y -， 直线BD 方程为()011101y y y y x x x x --=--令0x =,则010101x y y x y x x -=-∴0101010,x y y x Q x x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭同理0101010,x y y x P x x ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭∵12PF F ∠和12QF F ∠均为锐角， ∴()01010101011201tan x y y x x x x y y x PF F c c x x +++∠==+ ()01011201tan x y y x QF F c x x -∠=-∴()()()22220101010101011212222010101tan tan x y y x x y y x x y y x PF F QF F c x x c x x c x x +--∠⋅∠=⋅=+--()222201220101222201012222211122x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫---⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭===--∴12PF F ∠与12QF F ∠互余， ∴121290PF F QFF ∠+∠=︒21.解：（1）1k =-时，()()1l n 101f x x x f x x x '=-⇒=->⇒<，∴()f x 在()0,1单调递增，在()1,+∞单调递减，故函数()f x 有唯一的极大值点1x =，无极小值点（2）0k =时，()ln b b f x a x a x x +-=+-，设()()ln ,0bg x x a x x=+->， 则()221b x bg x x x x-'=-=. 当0b ≤时，则()0g x '>，所以()g x 在()0,+∞单调递増，又0x >且0x →时，()g x →-∞与题意矛盾， 舍.当0b >时，则()0g x x b '>⇒>，所以()g x 在(),b +∞单调递増，()0,b 单调递减， 所以()()min ln 1g x g b b a ==+-，所以11ln 101ln 11a a b a a b e b e b --+-≥⇒-≤⇒≤⇒-+≤， 故11a e b --+的最大值为1.（3）由（2）知，当11a e b --+取最大值1时，()()1ln 1ln ,0a be b a b F b m b b-=⇒-=⇒=->， 记()()ln ,0xF x m x x=-> 方法一 ：()0ln 0F x x mx =⇒-=，设()ln h x x mx =-，则()1h x m x'=-， 若0m ≤，则()0h x '>恒成立，所以函数()h x 在()0,+∞单调递增，与题意不符，舍.若0m >，则()10h x x m '>⇒<，∴()h x 在10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递増，在1,m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减，所以若函数()F x 有两个零点，则只需10h m ⎛⎫> ⎪⎝⎭，解得10m e <<.不妨设12x x <，则1210x x m<<<， 设()111,0G x h x h x x m m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则()11G x h x h x m m ⎛⎫⎛⎫'''=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简可得()3222201m x G x m x '=>-，所以函数()G x 在10,m ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，()()1100G x G h h m m ⎛⎫⎛⎫>=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴10x m <<时，11h x h x m m ⎛⎫⎛⎫+>- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()()1122h x h x h x m ⎛⎫->= ⎪⎝⎭，又因为1221,,x x m m ⎛⎫-∈+∞ ⎪⎝⎭，且 函数()h x 在1,m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减，∴122x x m -<，∴121222x x m x m x m +>⇒+>，即12ln ln 2x x +>，所以212x x e >成立.方法二：不妨设12x x <，由题意1122ln ln x mx x mx =⎧⎨=⎩，则()()221121221121lnln ,ln x x x x x m x x m x x m x x x =+=-⇒=-，欲证212x x e ⋅>，只需证明：()12ln 2x x ⋅>，只需证明：()122m x x +>，即证：()122211ln2x x x x x x +>-， 即证2122111ln21x x x x x x +>-，设211x t x =>，只需证明：1ln 21t t t ->⋅+，也就是证明：1ln 201t t t --⋅>+ 记()()1ln 2,1t u t t t t -=-⋅>1+，∴()()()()222114011t u t t t t t -'=-=>++， ∴()u t 在()1,+∞ 单调递増，∴()()10u t u >=，所以原不等式成立.22.（1）证明：∵CA 为圆O 的切线，∴CAE ABC ∠=∠， 又∵BE 为直径，∴45ADF ∠=︒，∴45AFD ∠=︒. 又∵,ADF ABC DCB AFD CAE ACD ∠=∠+∠∠=∠+∠， ∴ACD BCD ∠=∠， ∴CD 为ACB ∠的平分线（2）解：QAB AC =，∴B ACB CAE ∠=∠=∠，又180Q B ACB CAE BAE ∠+∠+∠+∠=︒， ∴30B ACB CAE ∠=∠=∠=︒，所以sin 30sin120AC BC ︒==︒ 23.解：（1）设1C 上任意一点的极坐标为(),ρθ 则点()2,ρθ在圆C 上，故24sin ρθ=， 所以1C 的极坐标方程为()2sin 0ρθρ=≠（2）,A B 两点的极坐标分别为()()4sin ,,2sin ,A B αααα，又因为0απ≤<，所以4sin 2sin 2sin 2sin AB αααα=-==故sin α=3πα=或23π 24.证明：（1）∵2221112222a b c ab bc ac ⎛⎫++≥++ ⎪⎝⎭，∴222111111a b c ab bc ac++≥++ 又∵2222111111222a b c a b c ab bc ac ⎛⎫++=+++++ ⎪⎝⎭ 2221113ab c ⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭由题中条件知2221111a b c++=， ∴21113a b c ⎛⎫++≤ ⎪⎝⎭即111a b c++≤（2）∵242212a b a b+≥同理：224224221212,b c c b c a c a +≥+≥∴2224442222221111112a b c b c a a b c a b c ⎛⎫+++++≥++ ⎪⎝⎭ ∴22244412a b c b c a +++≥ ∴2224441a b c b c a++≥.。
福建省闽侯第六中学2018-2019学年高二上学期开学考试试题生物 含答案
福建省闽侯第六中学2018-2019 学年高二上学期开学考试生物试题第Ⅰ卷一、选择题：本题共20 小题，每小题 3 分，共 60 分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列各对性状中，属于相对性状的是A．人的长发和短发B．棉花的细绒和长绒C．玉米叶梢的紫色和叶片的绿色D．豌豆的黄子叶与绿子叶2．对豌豆进行异花传粉，过程顺序正确的是①花粉成熟前②花粉成熟时③套袋④去雄⑤异花传粉A．①④③⑤B．②④③⑤③C．①③④②⑤③D．①④③②⑤③3．下面关于染色体组、单倍体和二倍体的叙述中不正确的是A.—个染色体组中不含同源染色体B.由受精卵发育的个体，体细胞含有两个染色体组的叫二倍体C.基因型A bcd 的生物含一个染色体组，是单倍体，但单倍体不一定含—个染色体组D.含有奇数染色体组的个体一定是单倍体4．下列有关变异的叙述正确的是A.单倍体育种常用秋水仙素处理萌发的种子或幼苗B.紫外线能损伤胞内D NA 而引起基因突变C.21 三体综合征患者的体细胞中存在该病致病基因D.基因重组可以产生多对等位基因5．下列有关某生物体各细胞分裂示意图的叙述，正确的是A．图①处于减数第一次分裂的中期，细胞内有2对姐妹染色单体 B．图②处于减数第二次分裂的后期，细胞内有4条姐妹染色单体 C．图③处于减数第二次分裂的中期，该生物体细胞中染色体数目为8条 D．四幅图可排序为①③②④，出现在该动物体精子(或卵细胞)的形成过程中6．下图为遗传的中心法则图解，a～e 表示相关生理过程。
下列有关叙述正确的是A．图中发生碱基互补配对的只有a、b、c、eB．e 过程中的碱基互补配对遵循A—U、U—A、C—G、G—C 的原则 C．正常人体细胞内发生的只有a、b、d D．噬菌体在大肠杆菌细胞内进行增殖的过程中将发生a、b、e、d7．下列有关细胞生命历程的叙述正确的是( )A. 凋亡细胞内凋亡基因表达，酶活性一定会减弱B. 有丝分裂保证了亲子代细胞间遗传性状的稳定性C. 癌变细胞和衰老细胞表面糖蛋白减少，细胞形态发生变化D. 受精卵发育成个体的过程中，细胞内的遗传物质一定发生改变8．下列曲线中能分别表示减数分裂过程中细胞内染色体和核D NA 分子数量变化的组合是A．①②B．①③C．④③D．④②9．有一对表现型正常的夫妇，生了一个患红绿色盲的儿子，问这对夫妇再生一个孩子是色觉正常男孩的概率是多少？符合什么遗传规律A．1/4，基因的分离定律B．3/8，基因的分离定律C．1/4，基因的自由组合定律D．3/8，基因的自由组合定律10．如果用3H、15N、32P、35S 标记噬菌体后，让其侵染未标记的细菌，在产生的子代噬菌体的各组成结构成分中，可能检测得到的一组放射性元素为A.3H 15N 35S B．15N 32P 35S C.3H 15N 32P D．3H 32P 35S11．一个色盲女子与一个正常男子结婚，生下一个染色体为X XY 色觉正常的儿子。
福建省闽侯第六中学2018届高三上学期期末考试数学(文)试题+PDF版含答案
福建省闽侯第六中学2018届高三上学期期末文科数学考试试题第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知集合{}{}1,3,5,7,9,1,3,9A B ==则A C B =A.{}5,7 B.{}1,3,9 C.{}3,5,7 D.{}1,2,32.设i 为虚数单位，复数为纯虚数，则实数的值为 A.-1B.1C.-2D.23.我国古代名著《九章算术》中中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤．斩末一尺，重二斤．”意思是：“现有一根金锤，头部的1尺，重4斤；尾部的1尺，重2斤；且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列.”则下列说法正确的是A.该金锤中间一尺重3斤B.中间三尺的重量和时头尾两尺重量和的3倍C.该金锤的重量为15斤D.该金锤相邻两尺的重量之差的绝对值为0.5斤4.下列说法正确的是A.“若1a >，则21a >”的否命题是“若1a >，则21a ≤”B.在ABC ∆中，“A B >”是“22sin sin A B >”必要不充分条件C.“若tan α≠，则3πα≠”是真命题D.()0,0x ∃∈-∞使得0034x x <成立5.在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1A B 与1AD 所成角的大小为A.30B.45C.60D.906.已知实数0.30.120.31.7,0.9,log 5,log 1.8a b c d ====，那么它们的大小关系是A.c a b d>>> B.a b c d>>> C.c b a d>>> D.c a d b>>>7.函数()()()2f x x ax b =-+为偶函数，且在()0,+∞上单调递增，则()20f x ->的解集为A.{}|04x x x <>或 B.{}|04x x <<C.{}|22x x x <->或 D.{}|22x x -<<8.在自然界中存在着大量的周期函数，比如声波.若两个声波随时间的变化规律分别为：()1232sin 100,3sin 1004y t y t πππ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，则这两个声波合成后（即12y y y =+）的声波的振幅为A.62B.332+C.32D.39.下列四个图中，可能是函数ln 11x y x +=+的图象是是10.已知()()cos 23,cos 67,2cos 68,2cos 22AB BC ==，则ABC ∆的面积为A.2B.2C.1D.2211.如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为S 为()S R r l π=+（注：圆台侧面积公式为）A.17317ππ+ B.20517ππ+C.22πD.17517ππ+12.已知a R ∈，若()x a f x x e x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间()0,1上有且只有一个极值点，则a 的取值范围是A.0a >B.1a ≤C.1a > D.0a ≤第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.在ABC ∆中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C的对边，1,30b c B ︒===，则_______a =14.已知向量,a b 的夹角为45，且1,2a a b =-=，则b =.15.设实数,x y 满足22,20,2,y x x y x ≤+⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩则13y x -+的取值范围是.16.给定集合{}12,,,(2,0,1)n k k S x x x n x R x k n =≥∈≠≤≤且，定义点集{}(,),i j i j T x y x S y S =∈∈，若对任意点1,A T ∈存在2,A T ∈使得120OA OA ⋅=（O 为坐标原点）.则称集合S 具有性质P，给出以下四个结论:①{-5，5}其有性质P;②{-2，l，2，4}具有性质P;③若集合S 具有性质p，则S 中一定存在两数,i j x x ，使得0i j x x +=;④若集合S 具有性质P.i x 是S 中任一数，则在S 中一定存在j x ，使得0i j x x +=.其中正确结论有___________(填上你认为所有正确结论的序号)三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分10分）在锐角三角形ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c，已知sin a b B A ==+=（1）求角A 的大小；（2）求ABC ∆的面积.18.（本题满分12分）某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的原始记录如下：甲运动员得分：13,51,23,8,26,38,16,33,14,28,39；乙运动员得分：49,24,12，31,50,31,44,36,15,37,25,36,39.（1）用十位数为茎，在答题卡中画出原始数据的茎叶图；（2）用分层抽样的方法在乙运动员得分十位数为2,3,4的比赛中抽取一个容量为5的样本，从该样本中随机抽取2场，求其中恰有1场得分大于40分的概率.19.（本题满分12分）已知数列{}n a 的各项均为正数，观察程序框图，若5,10k k ==时，分别有510,.1121S S ==（1）试求数列{}n a 的通项公式；（2）令3nn n b a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .20.（本题满分12分）如图，已知三棱锥BPC A -中,PC AP ⊥,BC AC ⊥,M 为AB中点，D 为PB 中点,且PMB ∆为正三角形.(Ⅰ)求证：DM //平面APC ;(Ⅱ)求证：平面ABC ⊥平面APC ;(Ⅲ)若4=BC ,20=AB ,求三棱锥BCM D -的体积.21.（本题满分12分）已知函数()()21, 1.f x xg x a x =-=-（1）若关于x 的方程()()f x g x =只有一个实数解，求实数a 的取值范围；（2）若当x R ∈时，不等式()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.ABCDPM22.（本题满分12分）已知a R ∈，函数()ln 1.f x x ax =-+（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 有两个不同的零点()1212,x x x x <，求实数a 的取值范围；（3）在（2）的条件下，求证：12 2.x x +>2018届高三上学期期末文科数学答案一、题号123456789101112答案ACBCCAADCDDA二、13.1或214.15.16.①、③17.解：（Ⅰ）锐角△ABC 中，由条件利用正弦定理可得=，∴sinB=3sinA，再根据sinB+sinA=2，求得sinA=，∴角A=．…………………（5分）（Ⅱ）锐角△ABC 中，由条件利用余弦定理可得a 2=7=c 2+9﹣6c•cos ，解得c=1或c=2．当c=1时，cosB==﹣＜0，故B 为钝角，这与已知△ABC 为锐角三角形相矛盾，故不满足条件．当c=2时，△ABC 的面积为bc•sinA=•3•2•=．（10分）18.解：（Ⅰ）由题意得茎叶图如图：…………………………………………（5分）（Ⅱ）用分层抽样的方法在乙运动员得分十位数为2、3、4的比赛中抽取一个容量为5的样本，则得分十位数为2、3、别应该抽取1，3，1场，所抽取的赛场记为A，B 1，B 2，B 3，C，从中随机抽取2场的基本事件有：（A，B 1），（A，B 2），（A，B 3），（A，C），（B 1，B 2），（B 1，B 3），（B 1，C），（B 2，B 3），（B 2，C），（B 3，C）共10个，记“其中恰有1场的得分大于4”为事件A，则事件A 中包含的基本事件有：（A，C），（B 1，C），（B 2，C），（B 3，C）共4个，∴…………………………………………………………（12分）答：其中恰有1场的得分大于4的概率为．19.解：解得：或（舍去），则..................6分（2）则...............12分20．(Ⅰ)∵M 为AB 中点,D 为PB 中点,AP MD //∴,又∴APCMD 面⊄∴APCMD 面//-----------3分(Ⅱ)∵PMB ∆为正三角形,且D 为PB 中点.∴PB MD ⊥.又由(1)∴知AP MD //,∴PB AP ⊥.又已知PC AP ⊥∴PBC AP 面⊥,∴BC AP ⊥,又∵BCAC ⊥∴APC BC 面⊥,∴PAC ABC 面面⊥,----------7分(Ⅲ)∵10,10,20=∴=∴=PB MB AB 又2128416100,4==-==PC BC ∴.2122124414121=⨯⨯=⋅==∆∆BC PC S S PBC BDC 又MD .351020212122=-==AP ∴BCDM BCM D V V --=710352123131=⨯⨯=⋅∆DM S BDC ----------12分21.解：（Ⅰ）方程|f（x）|=g（x），即|x 2﹣1|=a|x﹣1|，变形得|x﹣1|（|x+1|﹣a）=0，显然，x=1已是该方程的根，从而欲使原方程只有一解，即要求方程|x+1|=a 有且仅有一个等于1的解或无解，∴a＜0．…………6分（Ⅱ）当x∈R时，不等式f（x）≥g（x）恒成立，即（x2﹣1）≥a|x﹣1|（*）对x∈R恒成立，①当x=1时，（*）显然成立，此时a∈R；②当x≠1时，（*）可变形为a≤，令φ（x）==因为当x＞1时，φ（x）＞2，当x＜1时，φ（x）＞﹣2，所以φ（x）＞﹣2，故此时a≤﹣2．综合①②，得所求实数a的取值范围是a≤﹣2．…………12分22.解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），其导数f'（x）=﹣a．①当a≤0时，f'（x）＞0，函数在（0，+∞）上是增函数；②当a＞0时，在区间（0，）上，f'（x）＞0；在区间（，+∞）上，f'（x）＜0．∴f（x）在（0，）是增函数，在（，+∞）是减函数．………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a≤0时，函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，不可能有两个零点，当a＞0时，f（x）在（0，）上是增函数，在（，+∞）上是减函数，此时f（）为函数f（x）的最大值，当f（）≤0时，f（x）最多有一个零点，∴f（）=ln＞0，解得0＜a＜1，此时，＜，且f（）=﹣1﹣+1=﹣＜0，f（）=2﹣2lna﹣+1=3﹣2lna﹣（0＜a＜1），令F（a）=3﹣2lna﹣，则F'（x）=﹣=＞0，∴F（a）在（0，1）上单调递增，∴F（a）＜F（1）=3﹣e2＜0，即f（）＜0，∴a的取值范围是（0，1）．………………8分（Ⅲ）由（Ⅱ）可知函数f（x）在（0，）是增函数，在（，+∞）是减函数．分析：∵0，∴．只要证明：f（）＞0就可以得出结论．下面给出证明：构造函数：g（x）=f（﹣x）﹣f（x）=ln（﹣x）﹣a（﹣x）﹣（lnx﹣ax）（0＜x≤），则g'（x）=+2a=，函数g（x）在区间（0，]上为减函数．0＜x 1，则g（x 1）＞g（）=0，又f（x 1）=0，于是f （）=ln （）﹣a （）+1﹣f （x 1）=g （x 1）＞0．又f （x 2）=0，由（1）可知，即．………………12分。
福建省闽侯第六中学高三上学期期中考试数学(理)试题
福建省闽侯第六中学2018届高三上学期期中考试数学（理）试题 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}211,2802xA xB x x x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≤=--≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则A B ⋂=（ ）A ．{}20x x -≤≤B ．{}24x x ≤≤C ．{}04x x ≤≤D ．{}2x x ≤- 2. 若复数12,z z 在复平面内对应的点关于y 轴对称，且12z i =-，则复数12z z 在复平面内对应的点在（ ） A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3. 对于直线,m n 和平面,αβ，下列条件中能得出αβ⊥的是（ ） A ．,//,//m n m n αβ⊥ B ．,,m n m n αβα⊥⋂=⊂ C ．//,,m n n m βα⊥⊂ D ．//,,m n m n αβ⊥⊥4.执行如图的程序框图，如果输入1x =，则输出t 的值为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．125.已知{}n a 为等差数列，48336a a +=，则{}n a 的前9项和9S =（ ） A ．9 B ．17 C ．36 D ．816.已知函数()22f x x x =--+，则函数()y f x =-的图象为（ ）A ．B ．C ．D ．7.已知变量x 与y 负相关，且由观测数据算得样本平均数3, 3.5x y ==,则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（ ）A ．0.4 2.3y x =+B ．2 2.4y x =-C ．29.5y x =-+D ．0.4 4.4y x =-+8. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实（虚）线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ）A ．64B ．643 C ．16 D ．1639.D 是ABC ∆所在平面内一点，(),AD AB AC R λμλμ=+∈，则01,01λμ<<<<是点D 在ABC ∆内部（不含边界）的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要10. 命题000:0,,sin 2cos24p x x x a π⎡⎤∃∈+>⎢⎥⎣⎦是假命题，则实数a 的取值范围是（ ）A ． 1a <B ．a <．1a ≥ D ．a 11. 数列{}n a 满足()()111,11n n a na n a n n +==+++，且2c o s 3n n n b a π=，记n S 为数列{}n b 的前n 项和，则24S =（ ）A ．294B ．174C ．470D ．30412.已知函数()ln f x ax e x =+与()2ln x g x x e x=-的图象有三个不同的公共点，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围为（ ）A ．a e <-B ．1a >C ．a e >D ．3a <-或1a >第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 将3本不同的数学书和2本不同的语文书在书架上排成一行，若2本语文书相邻排放，则不同的排放方案共有 种.（用数字作答）14.设12,F F 分别是双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的左、右焦点，点(),M a b ，若1230MF F ∠=︒，则双曲线C 的离心率为 .15.已知函数()()()23222,033,0x a x x f x x a x ax x ⎧-+-≤⎪=⎨-++>⎪⎩，若曲线()y f x =在点()(),i i i P x f x ，（1,2,3i =，其中123,,x x x互不相等）处的切线互相平行，则a 的取值范围是 .16. 若数列{}n a 满足：120,3a a ==，且()()()*1111,2n n n a n a n n N n +-=+-+∈≥，数列{}n b 满足1811n n b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则数列{}n b 的最大项为第 项．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C 的对边，cos sin b a C C =. （1）求A ；（2）若2,4a b c =+≥，求ABC ∆的面积.18. 甲、乙两名乒乓球运动员进行乒乓球单打比赛，根据以往比赛的胜负情况知道，每一局甲胜的概率为23， 乙胜的概率为13，如果比赛采用“五局三胜”制（先胜三局者获胜，比赛结束）.（1）求甲获得比赛胜利的概率；（2）设比赛结束时的局数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望.19.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1,2AB BC AA AC ⊥==，M 是1CC 的中点，P 是AM 的中点，点Q 在线段1BC 上，且113BQ QC =.（1）证明：//PQ 平面ABC ；（2）若直线1BA 与平面ABM BAC ∠的大小.20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为e =，且椭圆上一点M 与椭圆左右两个焦点构成的三角形周长为4+.（1）求椭圆C 的方程；（2）如图，设点D 为椭圆上任意一点，直线y m =和椭圆C 交于,A B 两点，且直线,DA DB 与y 轴分别交于,P Q 两点，试探究12PF F ∠和12QF F ∠之间的等量关系并加以证明.21.已知函数()()ln f x x kx k R =+∈. （1）当1k =-时，求函数()f x 的极值点； （2）当0k =时，若()()0,bf x a a b R x+-≥∈恒成立，试求11a e b --+的最大值； （3）在（2）的条件下，当11a e b --+取最大值时，设()()1a Fb m m R b-=-∈，并设函数()F x 有两个零点12,x x ，求证：212x x e >.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.已知点C 在圆O 直径BE 的延长线上，CA 切圆O 于A 点，CD 分别交,AE AB 于点,F D ，45ADF ∠=︒.（1）求证：CD 为ACB ∠的平分线； （2）若AB AC =，求ACBC的值. 23. 在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的极坐标方程为4sin ρθ=，从极点作圆C 的弦，记各条弦中点的轨迹为曲线1C . （1）求1C 的极坐标方程；（2）已知曲线l 的参数方程为cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（0,t απ≤<为参数，且0t ≠)，l 与C 交于点A ，l与1C 交于点B ，且AB =a 的值. 24. 已知,,a b c 均为正实数，且2221111a b c ++=.（1）证明：111a b c++≤ （2）求证：2224441a b c b c a++≥.试卷答案一、选择题1-5: CBCBD 6-10: DCDBD 11、12：DB 二、填空题13. 48 14. 2 15. ()1,2- 16. 6 三、解答题17. 解：（1）cos sin b a C C =∴sin sin cos sin B A C A C =+sin cos cos sin sin cos sin A C A C A C A C +=即cos sin sin A C A C =又sin 0C ≠ ∴cos A A =即tan A ∴3A π=（2）∵2222cos a b c bc A =+- ∴()222223b c bc b c bc =+-=+-∵b c +≥∴()216b c +≤，即4b c +≤ 又由题意知4b c +≥，∴4b c +=.(当2b c ==时等式成立.）∴122sin 23ABC S π∆=⨯⨯⨯18.解：（1）设比赛局数分别为3,4,5时，甲获胜分别为事件123,,A A A ， 则由相互独立事件同时发生的概率乘法公式可得:()()33212328218,3273327P A P A C ⎛⎫⎛⎫===⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,()3223421163381P A C ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以由互斥事件的概率加法公式可得，甲获胜的概率为()()()12388166427278181P P A P A P A =++=++= （2）由题意可知，X 的取值为3,4,5，则()332191333273P X ⎛⎫⎛⎫==+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,()3322332112104333327P X C C ⎛⎫⎛⎫==⋅+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,()222421853327P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭所以，X 的分布列为∴X 的数学期望()11081073453272727E X =⨯+⨯+⨯=19.证明：（1）取MC 中点，记为点D ，连结,PD QD ∵P 为MA 中点，D 为MC 中点 ∴//PD AC又∵1111,33CD DC BQ QC ==,∴//QD BC 又∵PD QD D ⋂= ∴平面//PQD 平面ABC 又PQ ⊂平面PQD ∴//PQ 平面ABC（2）∵1,,BC BA BB 两互相垂直， ∴建立如图所示空间直角坐标系B xyz -，设,BC a BA b ==，则各点的坐标分别为: ()()()()1,0,0,0,,0,0,,2,,0,1C a A b A b M a ，∴()()()10,,2,0,,0,,0,1BA b BA b BM a ===设平面ABM 的法向量为(),,n x y z =，则00n BA n BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，∴00by ax z =⎧⎨+=⎩，取1x =， 则可得平面ABM 的一组法向量()1,0,n a =-∴1cos ,n BA ==又因为228a b +=，∴424120a a +-=，∴22a =或6-（舍） 即a =1sin 2BAC ∠==，∴6BAC π∠=20.解：∵c e a ==，∴a = 12122224MFMF F F a c c ++=+=+=+∴2c a ==∴椭圆方程为22142x y +=（2）121290PF F QF F ∠+∠=︒， 证明如下：设()()0011,,,B x y D x y ，则()00,A x y -， 直线BD 方程为()011101y y y y x x x x --=--令0x =,则010101x y y x y x x -=-∴0101010,x y y x Q x x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭同理0101010,x y y x P x x ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭∵12PF F ∠和12QF F ∠均为锐角， ∴()01010101011201tan x y y x x x x y y x PF F c c x x +++∠==+ ()01011201tan x y y x QF F c x x -∠=-∴()()()22220101010101011212222010101tan tan x y y x x y y x x y y x PF F QF F c x x c x x c x x +--∠⋅∠=⋅=+--()222201220101222201012222211122x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫---⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭===--∴12PF F ∠与12QF F ∠互余， ∴121290PF F QFF ∠+∠=︒21.解：（1）1k =-时，()()1ln 101f x x x f x x x '=-⇒=->⇒<，∴()f x 在()0,1单调递增，在()1,+∞单调递减，故函数()f x 有唯一的极大值点1x =，无极小值点（2）0k =时，()ln b b f x a x a x x +-=+-，设()()ln ,0bg x x a x x=+->， 则()221b x bg x x x x-'=-=. 当0b ≤时，则()0g x '>，所以()g x 在()0,+∞单调递増，又0x >且0x →时，()g x →-∞与题意矛盾， 舍.当0b >时，则()0g x x b '>⇒>，所以()g x 在(),b +∞单调递増，()0,b 单调递减， 所以()()min ln 1g x g b b a ==+-，所以11ln 101ln 11a a b a a b e b e b --+-≥⇒-≤⇒≤⇒-+≤， 故11a e b --+的最大值为1.（3）由（2）知，当11a e b --+取最大值1时，()()1ln 1ln ,0a be b a b F b m b b-=⇒-=⇒=->， 记()()ln ,0xF x m x x=-> 方法一 ：()0ln 0F x x mx =⇒-=，设()ln h x x mx =-，则()1h x m x'=-， 若0m ≤，则()0h x '>恒成立，所以函数()h x 在()0,+∞单调递增，与题意不符，舍. 若0m >，则()10h x x m '>⇒<，∴()h x 在10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递増，在1,m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减，所以若函数()F x 有两个零点，则只需10h m ⎛⎫> ⎪⎝⎭，解得10m e <<.不妨设12x x <，则1210x x m<<<，设()111,0G x h x h x x m m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则()11G x h x h x m m ⎛⎫⎛⎫'''=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简可得()3222201m x G x m x '=>-，所以函数()G x 在10,m ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，()()1100G x G h h m m ⎛⎫⎛⎫>=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴10x m <<时，11h x h x m m ⎛⎫⎛⎫+>- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()()1122h x h x h x m ⎛⎫->= ⎪⎝⎭，又因为1221,,x x m m ⎛⎫-∈+∞ ⎪⎝⎭，且 函数()h x 在1,m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减，∴122x x m -<，∴121222x x m x m x m +>⇒+>，即12ln ln 2x x +>，所以212x x e >成立.方法二：不妨设12x x <，由题意1122ln ln x mx x mx =⎧⎨=⎩， 则()()221121221121lnln ,ln x x x x x m x x m x x m x x x =+=-⇒=-， 欲证212x x e ⋅>，只需证明：()12ln 2x x ⋅>，只需证明：()122m x x +>，即证：()122211ln 2x x x x x x +>-， 即证2122111ln 21x x x x x x +>-，设211x t x =>，只需证明：1ln 21t t t ->⋅+， 也就是证明：1ln 201t t t --⋅>+ 记()()1ln 2,1t u t t t t -=-⋅>1+，∴()()()()222114011t u t t t t t -'=-=>++， ∴()u t 在()1,+∞ 单调递増，∴()()10u t u >=，所以原不等式成立.22.（1）证明：∵CA 为圆O 的切线，∴CAE ABC ∠=∠， 又∵BE 为直径，∴45ADF ∠=︒，∴45AFD ∠=︒. 又∵,ADF ABC DCB AFD CAE ACD ∠=∠+∠∠=∠+∠， ∴ACD BCD ∠=∠，∴CD 为ACB ∠的平分线（2）解：QAB AC =，∴B ACB CAE ∠=∠=∠，又180Q B ACB CAE BAE ∠+∠+∠+∠=︒， ∴30B ACB CAE ∠=∠=∠=︒，所以sin30sin120AC BC ︒==︒ 23.解：（1）设1C 上任意一点的极坐标为(),ρθ则点()2,ρθ在圆C 上，故24sin ρθ=， 所以1C 的极坐标方程为()2sin 0ρθρ=≠（2）,A B 两点的极坐标分别为()()4sin ,,2sin ,A B αααα，又因为0απ≤<，所以4sin 2sin 2sin 2sin AB αααα=-===故sin α=3πα=或23π 24.证明：（1）∵2221112222a b c ab bc ac ⎛⎫++≥++ ⎪⎝⎭， ∴222111111a b c ab bc ac++≥++ 又∵2222111111222a b c a b c ab bc ac ⎛⎫++=+++++ ⎪⎝⎭ 2221113ab c ⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭ 由题中条件知2221111a b c++=， ∴21113a b c ⎛⎫++≤ ⎪⎝⎭即111a b c++（2）∵242212a b a b+≥= 同理：224224221212,b c c b c a c a+≥+≥ ∴2224442222221111112a b c b c a a b c a b c ⎛⎫+++++≥++ ⎪⎝⎭ ∴22244412a b c b c a+++≥ ∴2224441a b c b c a ++≥.。