湖南省长沙市第一中学2021届高三上学期月考试卷(三)数学试题及答案
湖南省长沙市第一中学2022-2023学年高三上学期月考(一)数学试题(解析版)
【解析】
【详解】当E,F排在前三位时， =24,当E,F排后三位时， =72，当E,F排3，4位时， =24，N=120种，选D.
6.函数 （ 且 ）在一个周期内的图象如图所示，将函数 图象上的点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移 个单位长度，得到函数 的图象，则 （）
A. B.1C.－1D.
参考数据：
参考时间轴：
A.宋B.唐C.汉D.战国
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件可得函数关系 ，取 即可计算得解.
【详解】依题意，当 时， ，而 与死亡年数 之间的函数关系式为 ，
则有 ，解得 ，于是得 ，
当 时， ，于是得： ，解得 ，
由 得，对应朝代为战国，
所以可推断该文物属于战国.
故选：D
（1）记 ，写出 ，并求出数列 的通项公式；
（2）求数列 的前2022项和 .
【答案】（1） ， ，
（2）
【解析】
【分析】（1）根据 的定义求得 ，求出 ，由等比数列通项公式可得结论；
（2）由 得 ， ，然后用并项求和法结合等比数列前 项和公式计算．
【小问1详解】
，
又
【小问2详解】
，则
18.如图， 为 中点，曲线 上任一点到 点的距离相等， 在曲线 上且关于 对称.
长沙市一中2023届高三月考试卷（一）
数学
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 ，则 （）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用对数不等式及分式不等式的解法求出集合 ，结合集合的补集及交集的定义即可求解.
湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期月考(一)数学试题及答案
大联考湖南师大附中2025届高三月考试卷（一）数学命题人：高三数学备课组 审题人：高三数学备课组时量：120分钟 满分：150分一､选选选：本选共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，1. 已知{}()260,{lg 10}Axx x B x x =+−≤=−<∣∣，则A B = （ ）A. {}32xx −≤≤∣ B. {32}x x −≤<∣ C. {12}x x <≤∣D. {12}x x <<∣2. 若复数z 满足()1i 3i z +=−+（i 是虚数单位），则z 等于（ ）A.B.54C.D.3. 已知平面向量()()5,0,2,1ab ==−，则向量a b +在向量b上投影向量为（ ）A. ()6,3−B. ()4,2−C. ()2,1−D. ()5,04. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若396714,63a a a a +==，则7S =（ ） A. 21B. 19C. 12D. 425. 某校高二年级下学期期末考试数学试卷满分为150分，90分以上（含90分）为及格．阅卷结果显示，全年级1200名学生的数学成绩近似服从正态分布，试卷的难度系数（难度系数=平均分/满分）为0.49，标准差为22，则该次数学考试及格的人数约为（ ）附：若()2,X Nµσ∼，记()()p k P k X k µσµσ=−≤≤+，则()()0.750.547,10.683p p ≈≈．A 136人 B. 272人C. 328人D. 820人6. 已知()π5,0,,cos ,tan tan 426αβαβαβ∈−=⋅=，则αβ+=（ ） A.π6 B.π4C.π3D.2π37. 已知12,F F 是双曲线22221(0)x y a b a b−=>>的左､右焦点，以2F 为圆心，a 为半径的圆与双曲线的一条的.渐近线交于,A B 两点，若123AB F F >，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）A.B.C. (D. (8. 已知函数()220log 0x a x f x x x ⋅≤= > ，，，，若关于x 的方程()()0f f x =有且仅有两个实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A. ()0,1B. ()(),00,1−∞∪C. [)1,+∞D. ()()0,11,+∞二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9. 如图，在正方体111ABCD A B C D −中，E F M N ，，，分别为棱111AA A D AB DC ，，，的中点，点P 是面1B C 的中心，则下列结论正确的是（ ）A. E F M P ，，，四点共面B. 平面PEF 被正方体截得的截面是等腰梯形C. //EF 平面PMND. 平面MEF ⊥平面PMN10. 已知函数()5π24f x x=+，则（ ）A. ()f x 的一个对称中心为3π,08B. ()f x 的图象向右平移3π8个单位长度后得到的是奇函数的图象 C. ()f x 在区间5π7π,88上单调递增 D. 若()y f x =在区间()0,m 上与1y =有且只有6个交点，则5π13π,24m∈11. 已知定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()21f x g x ++−=，则（ ）A. ()f x 的图象关于点()2,1对称B. ()f x 是以8为周期的周期函数C. ()20240g =D.20241(42)2025k f k =−=∑ 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 6(31)x y +−的展开式中2x y 的系数为______．13. 已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时，()()2f x f x ′−>，且()10f =，则不等式()0f x >的解集为__________.14. 已知点C 为扇形AOB 弧AB 上任意一点，且60AOB ∠=，若(),R OC OA OB λµλµ=+∈，则λµ+的取值范围是__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知22cos a b c B +=． （1）求角C ；（2）若角C 的平分线CD 交AB于点,D AD DB =，求CD 的长．16. 已知1ex =为函数()ln af x x x =的极值点． （1）求a 的值； （2）设函数()ex kxg x =，若对()120,,x x ∀∈+∞∃∈R ，使得()()120f x g x −≥，求k 的取值范围． 17. 已知四棱锥P ABCD −中，平面PAB ⊥底面,ABCD AD∥,,,2,BC AB BC PA PB AB AB BC AD E ⊥==为AB 的中点，F 为棱PC 上异于,P C 的点．的（1）证明：BD EF ⊥；（2）试确定点F 的位置，使EF 与平面PCD18. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21:2(0)C ypx p =>的焦点到准线的距离等于椭圆222:161C x y +=的短轴长，点P 在抛物线1C 上，圆222:(2)E x y r −+=（其中01r <<）.（1）若1,2r Q =为圆E 上的动点，求线段PQ 长度的最小值； （2）设()1,D t 是抛物线1C 上位于第一象限的一点，过D 作圆E 的两条切线，分别交抛物线1C 于点,M N .证明：直线MN 经过定点.19. 龙泉游泳馆为给顾客更好的体验，推出了A 和B 两个套餐服务，顾客可选择A 和B 两个套餐之一，并在App 平台上推出了优惠券活动，下表是该游泳馆在App 平台10天销售优惠券情况． 日期t 12345678910销售量千张 1.9 1.98 2.2 2.36 2.43 2.59 2.68 2.76 2.7 04经计算可得：10101021111 2.2,118.73,38510i i i i i i i y y t y t ======∑∑∑ （1）因为优惠券购买火爆，App 平台在第10天时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，已知销售量y 和日期t 呈线性关系，现剔除第10天数据，求y 关于t 的经验回归方程结果中的数值用分数表示；（2）若购买优惠券的顾客选择A 套餐的概率为14，选择B 套餐的概率为34，并且A 套餐可以用一张优惠券，B 套餐可以用两张优惠券，记App 平台累计销售优惠券为n 张的概率为n P ，求n P ； （3）记（2）中所得概率n P 的值构成数列{}()N n P n ∗∈.①求n P 的最值；②数列收敛的定义：已知数列{}n a ，若对于任意给定的正数ε，总存在正整数0N ，使得当0n N >时，n a a ε−<，（a 是一个确定的实数），则称数列{}n a 收敛于a .根据数列收敛的定义证明数列{}n P 收敛．..参考公式： ()()()1122211ˆˆ,n ni ii ii i n n i i i i x x y y x y nx yay bx x xx nx====−−−==−−−∑∑∑∑.大联考湖南师大附中2025届高三月考试卷（一）数学命题人：高三数学备课组 审题人：高三数学备课组时量：120分钟 满分：150分一､选选选：本选共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，1. 已知{}()260,{lg 10}Axx x B x x =+−≤=−<∣∣，则A B = （ ）A. {}32xx −≤≤∣ B. {32}x x −≤<∣ C. {12}x x <≤∣ D. {12}x x <<∣【答案】D 【解析】【分析】通过解一元二次不等式和对数函数的定义域，求出集合,A B ，再求交集． 【详解】集合{}()32,{lg 10}{12}A x x B x x x x =−≤≤=−<=<<∣∣∣，则{12}A B xx ∩=<<∣， 故选：D ．2. 若复数z 满足()1i 3i z +=−+（i 是虚数单位），则z 等于（ ）A.B.54C.D.【答案】C 【解析】【分析】由复数的除法运算计算可得12i z =−+，再由模长公式即可得出结果. 【详解】依题意()1i 3i z +=−+可得()()()()3i 1i 3i 24i12i 1i 1i 1i 2z −+−−+−+====−+++−，所以z =. 故选：C3. 已知平面向量()()5,0,2,1a b ==−，则向量a b +在向量b上的投影向量为（ ）A. ()6,3−B. ()4,2−C. ()2,1−D. ()5,0【答案】A 【解析】【分析】根据投影向量的计算公式即可求解.【详解】()()7,1,15,a b a b b b +=−+⋅==所以向量a b +在向量b 上的投影向量为()()236,3||a b b b bb +⋅==− .故选：A4. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若396714,63a a a a +==，则7S =（ ） A. 21 B. 19C. 12D. 42【答案】A 【解析】【分析】根据等差数列的性质，即可求解公差和首项，进而由求和公式求解.【详解】{}n a 是等差数列，396214a a a ∴+==，即67a =，所以67769,a a a a == 故公差76162,53d a a a a d =−=∴=−=−，()767732212S ×∴=×−+×=， 故选：A5. 某校高二年级下学期期末考试数学试卷满分为150分，90分以上（含90分）为及格．阅卷结果显示，全年级1200名学生的数学成绩近似服从正态分布，试卷的难度系数（难度系数=平均分/满分）为0.49，标准差为22，则该次数学考试及格的人数约为（ ）附：若()2,X Nµσ∼，记()()p k P k X k µσµσ=−≤≤+，则()()0.750.547,10.683p p ≈≈．A. 136人B. 272人C. 328人D. 820人【答案】B 【解析】【分析】首先求出平均数，即可得到学生的数学成绩2~(73.5,22)X N ，再根据所给条件求出(5790)P X ≤≤，即可求出(90)P X ≥，即可估计人数．【详解】由题得0.4915073.5,22µσ=×==，()()(),0.750.547p k P k X k p µσµσ=−≤≤+≈ ，()5790P X ∴≤≤ ()0.750.547p ≈，()()900.510.5470.2265P X ≥×−，∴该校及格人数为0.22651200272×≈（人），故选：B ． 6. 已知()π5,0,,cos ,tan tan 426αβαβαβ∈−=⋅=，则αβ+=（ ） A.π6 B.π4C.π3D.2π3【答案】D 【解析】【分析】利用两角差的余弦定理和同角三角函数的基本关系建立等式求解，再由两角和的余弦公式求解即可．【详解】由已知可得5cos cos sin sin 6sin sin 4cos cos αβαβαβαβ⋅+⋅=⋅ =⋅ ， 解得1cos cos 62sin sin 3αβαβ⋅=⋅=，，()1cos cos cos sin sin 2αβαβαβ∴+=⋅−⋅=−，π,0,2αβ∈，()0,παβ∴+∈， 2π,3αβ∴+=，故选：D ．7. 已知12,F F 是双曲线22221(0)x y a b a b−=>>的左､右焦点，以2F 为圆心，a 为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于,A B 两点，若123AB F F >，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）A.B.C. (D. (【答案】B 【解析】【分析】根据双曲线以及圆的方程可求得弦长AB =，再根据不等式123AB F F >整理可得2259c a <，即可求得双曲线的离心率的取值范围.【详解】设以()2,0F c 为圆心，a 为半径的圆与双曲线的一条渐近线0bx ay −=交于,A B 两点， 则2F 到渐近线0bx ay −=的距离d b，所以AB =， 因为123AB F F >，所以32c ×>，可得2222299a b c a b −>=+， 即22224555a b c a >=−，可得2259c a <，所以2295c a <，所以e <，又1e >，所以双曲线的离心率的取值范围是 .故选：B8. 已知函数()220log 0x a x f x x x ⋅≤= > ，，，，若关于x 的方程()()0f f x =有且仅有两个实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A. ()0,1 B. ()(),00,1−∞∪C. [)1,+∞D. ()()0,11,+∞【答案】C 【解析】【分析】利用换元法设()u f x =，则方程等价为()0f u =，根据指数函数和对数函数图象和性质求出1u =，利用数形结合进行求解即可． 【详解】令()u f x =，则()0f u =．�当0a =时，若()0,0u f u ≤=；若0u >，由()2log 0f u u==，得1u =． 所以由()()0ff x =可得()0f x ≤或()1f x =．如图所示，满足()0f x ≤的x 有无数个，方程()1f x =只有一个解，不满足题意；�当0a ≠时，若0≤u ，则()20uf u a =⋅≠；若0u >，由()2log 0f u u==，得1u =． 所以由()()0ff x =可得()1f x =，当0x >时，由()2log 1f x x==，可得2x =， 因为关于x 的方程()()0f f x =有且仅有两个实数根，则方程()1f x =在(,0∞−]上有且仅有一个实数根，若0a >且()(]0,20,xx f x a a ≤=⋅∈，故1a ≥； 若0a <且()0,20xx f x a ≤=⋅<，不满足题意．综上所述，实数a 的取值范围是[)1,+∞， 故选：C ．二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9. 如图，在正方体111ABCD A B C D −中，E F M N ，，，分别为棱111AA A D AB DC ，，，的中点，点P 是面1B C 的中心，则下列结论正确的是（ ）A. E F M P ，，，四点共面B. 平面PEF 被正方体截得的截面是等腰梯形C. //EF 平面PMND. 平面MEF ⊥平面PMN【答案】BD 【解析】【分析】可得过,,E F M 三点的平面为一个正六边形，判断A ；分别连接,E F 和1,B C ，截面1C BEF 是等腰梯形，判断B ；分别取11,BB CC 的中点,G Q ，易证EF 显然不平行平面QGMN ，可判断C ；EM ⊥平面PMN ，可判断D.【详解】对于A ：如图经过,,E F M 三点的平面为一个正六边形EFMHQK ，点P 在平面外，,,,E F M P ∴四点不共面，∴选项A 错误；对于B ：分别连接,E F 和1,B C ，则平面PEF 即平面1C BEF ，截面1C BEF 是等腰梯形，∴选项B 正确；对于C ：分别取11,BB CC 的中点,G Q ，则平面PMN 即为平面QGMN ， 由正六边形EFMHQK ，可知HQ EF ，所以MQ 不平行于EF ，又,EF MQ ⊂平面EFMHQK ，所以EF MQ W = ，所以EF I 平面QGMN W =， 所以EF 不平行于平面PMN ，故选项C 错误；对于D ：因为,AEM BMG 是等腰三角形，45AME BMG ∴∠=∠=°， 90EMG ∴∠=°，EMMG ∴⊥，,M N 是,AB CD 的中点，易证MN AD ∥，由正方体可得AD ⊥平面11ABB A ，MN ∴⊥平面11ABB A ，又ME ⊂平面11ABB A ，EM MN ∴⊥，,MG MN ⊂ 平面PMN ，EM ∴⊥平面GMN ，EM ⊂ 平面MEF ，∴平面MEF ⊥平面,PMN 故选项D 正确．���BD ．10. 已知函数()5π24f x x=+，则（ ）A. ()f x 的一个对称中心为3π,08B. ()f x 的图象向右平移3π8个单位长度后得到的是奇函数的图象 C. ()f x 在区间5π7π,88上单调递增 D. 若()y f x =在区间()0,m 上与1y =有且只有6个交点，则5π13π,24m∈【答案】BD 【解析】【分析】代入即可验证A ，根据平移可得函数图象，即可由正弦型函数的奇偶性求解B ，利用整体法即可判断C ，由5πcos 24x+求解所以根，即可求解D.【详解】对于A ，由35π3π2π0848f =+×=≠，故A 错误；对于B ，()f x 的图象向右平移3π8个单位长度后得： 3π3π5ππ228842y f x x x x=−−++，为奇函数，故B 正确； 对于C ，当5π7π,88x∈时，则5π5π2,3π42x +∈ ，由余弦函数单调性知，()f x 在区间5π7π,88 上单调递减，故C 错误；对于D ，由()1f x =，得5πcos 24x+ππ4x k =+或ππ,2k k +∈Z ， ()y f x =在区间()0,m 上与1y =有且只有6个交点，其横坐标从小到大依次为：ππ5π3π9π5π,,,,,424242， 而第7个交点的横坐标为13π4， 5π13π24m ∴<≤，故D 正确. 故选：BD11. 已知定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()21f x g x ++−=，则（ ）A. ()f x 的图象关于点()2,1对称B. ()f x 是以8为周期的周期函数C. ()20240g =D.20241(42)2025k f k =−=∑ 【答案】ABC 【解析】【分析】根据函数奇偶性以及所满足的表达式构造方程组可得()()222f x f x ++−=，即可判断A 正确；利用对称中心表达式进行化简计算可得B 正确，可判断()g x 也是以8为周期的周期函数，即C 正确；根据周期性以及()()42f x f x ++=计算可得20241(42)2024k f k =−=∑，可得D 错误. 【详解】由题意()()()(),f x f x g x g x −=−=−，且()()()00,21g f x g x =++−=， 即()()21f x g x +−=①， 用x −替换()()21f x g x ++−=中的x ，得()()21f x g x −+=②， 由①+②得()()222f x f x ++−=， 所以()f x 的图象关于点(2,1)对称，且()21f =，故A 正确；由()()222f x f x ++−=，可得()()()()()42,422f x f x f x f x f x ++−=+=−−=−， 所以()()()()82422f x f x f x f x +=−+=−−= ， 所以()f x 是以8为周期的周期函数，故B 正确； 由①知()()21g x f x =+−，则()()()()882121g x f x f x g x +=++−=+−=，故()()8g x g x +=，因此()g x 也是以8为周期的周期函数， 所以()()202400g g ==，C 正确；又因为()()42f x f x ++−=，所以()()42f x f x ++=， 令2x =，则有()()262f f +=，令10x =，则有()()10142,f f +=…， 令8090x =，则有()()809080942f f +=， 所以1012(2)(6)(10)(14)(8090)(8094)2222024f f f f f f ++++++=+++=个所以20241(42)(2)(6)(10)(14)(8090)(8094)2024k f k f f f f f f =−=++++++=∑ ，故D 错误.故选：ABC【点睛】方法点睛：求解函数奇偶性、对称性、周期性等函数性质综合问题时，经常利用其中两个性质推得第三个性质特征，再进行相关计算.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 6(31)x y +−的展开式中2x y 的系数为______． 【答案】180− 【解析】【分析】根据题意，由条件可得展开式中2x y 的系数为213643C C (1)⋅−，化简即可得到结果． 【详解】在6(31)x y +−的展开式中， 由()2213264C C 3(1)180x y x y ⋅⋅−=−，得2x y 的系数为180−. 故答案为：180−．13. 已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时，()()2f x f x ′−>，且()10f =，则不等式()0f x >的解集为__________.【答案】()()1,01,−∪+∞ 【解析】【分析】根据函数奇偶性并求导可得()()f x f x ′′−=，因此可得()()2f x f x ′>，可构造函数()()2xf x h x =e并求得其单调性即可得()f x 在()1,+∞上大于零，在()0,1上小于零，即可得出结论. 【详解】因为()f x 为奇函数，定义域为R ，所以()()f x f x −=−，两边同时求导可得()()f x f x ′′−−=−，即()()f x f x ′′−=且()00f =，又因为当0x >时，()()2f x f x ′−>，所以()()2f x f x ′>. 构造函数()()2xf x h x =e，则()()()22x f x f x h x ′−′=e ， 所以当0x >时，()()0,h x h x ′>在()0,∞+上单调递增，又因为()10f =，所以()()10,h h x =在()1,+∞上大于零，在()0,1上小于零， 又因为2e 0x >，所以()f x 在()1,+∞上大于零，在()0,1上小于零， 因为()f x 为奇函数，所以()f x 在(),1∞−−上小于零，在()1,0−上大于零， 综上所述，()0f x >的解集为()()1,01,−∪+∞. 故答案为：()()1,01,−∪+∞14. 已知点C 为扇形AOB 的弧AB 上任意一点，且60AOB ∠=，若(),R OC OA OB λµλµ=+∈，则λµ+的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】建系设点的坐标，再结合向量关系表示λµ+，最后应用三角恒等变换及三角函数值域求范围即可. 【详解】方法一：设圆O 的半径为1，由已知可设OB 为x 轴的正半轴，O 为坐标原点，过O 点作x 轴垂线为y 轴建立直角坐标系，其中()()1,1,0,cos ,sin 2A B C θθ ，其中π,0,3BOC θθ ∠=∈ ， 由(),R OC OA OB λµλµ=+∈，即()()1cos ,sin 1,02θθλµ =+，整理得1cos sin 2λµθθ+=，解得cos λµθ=，则ππcos cos ,0,33λµθθθθθ+=++=+∈，ππ2ππ,,sin 3333θθ+∈+∈所以λµ +∈ . 方法二：设k λµ+=，如图，当C 位于点A 或点B 时，,,A B C 三点共线，所以1k λµ=+=； 当点C 运动到AB的中点时，k λµ=+，所以λµ +∈故答案为：四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知22cos a b c B +=． （1）求角C ；（2）若角C 的平分线CD 交AB于点,D AD DB =，求CD 的长．【答案】（1）2π3C = （2）3CD = 【解析】【分析】（1）利用正弦定理及两角和的正弦定理整理得到()2cos 1sin 0C B +=，再利用三角形的内角及正弦函数的性质即可求解；（2）利用正弦定理得出3b a =，再由余弦定理求出4a =，12b =，再根据三角形的面积建立等式求解． 【小问1详解】 由22cos a b c B +=，根据正弦定理可得2sin sin 2sin cos A B C B +=，则()2sin sin 2sin cos B C B C B ++=，所以2sin cos 2cos sin sin 2sin cos B C B C B C B ++=，整理得()2cos 1sin 0C B +=， 因为,B C 均为三角形内角，所以(),0,π,sin 0B C B ∈≠， 因此1cos 2C =−，所以2π3C =． 【小问2详解】因为CD 是角C的平分线，AD DB=所以在ACD 和BCD △中，由正弦定理可得，,ππsin sin sin sin 33AD CD BD CDA B ==， 因此sin 3sin BADA BD==，即sin 3sin B A =，所以3b a =， 又由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+−，即222293a a a =++， 解得4a =，所以12b =．又ABCACD BCD S S S =+△△△，即111sin sin sin 222ab ACB b CD ACD a CD BCD ∠∠∠=⋅⋅+⋅⋅， 即4816CD =，所以3CD =． 16. 已知1ex =为函数()ln af x x x =的极值点． （1）求a 的值； （2）设函数()ex kxg x =，若对()120,,x x ∀∈+∞∃∈R ，使得()()120f x g x −≥，求k 的取值范围． 【答案】（1）1a = （2）(]()10,−∞−+∞ , 【解析】【分析】（1）直接根据极值点求出a 的值；（2）先由（1）求出()f x 的最小值，由题意可得是求()g x 的最小值，小于等于()f x 的最小值，对()g x 求导，判断由最小值时的k 的范围，再求出最小值与()f x 最小值的关系式，进而求出k 的范围． 【小问1详解】()()111ln ln 1a a f x ax x x x a x xα−−==′+⋅+，由1111ln 10e e e a f a −=+=′，得1a =， 当1a =时，()ln 1f x x =′+，函数()f x 在10,e上单调递减，在1,e∞ +上单调递增， 所以1ex =为函数()ln af x x x =的极小值点， 所以1a =． 【小问2详解】由（1）知min 11()e ef x f ==−． 函数()g x 的导函数()()1e xg x k x −=−′ �若0k >，对()1210,,x x k ∞∀∈+∃=−，使得()()12111e 1e k g x g f x k=−=−<−<−≤，即()()120f x g x −≥，符合题意． �若()0,0kg x =，取11ex =，对2x ∀∈R ，有()()120f x g x −<，不符合题意．�若0k <，当1x <时，()()0,g x g x ′<在(),1∞−上单调递减；当1x >时，()()0,g x g x ′>在(1,+∞)上单调递增，所以()min ()1ekg x g ==， 若对()120,,x x ∞∀∈+∃∈R ，使得()()120f x g x −≥，只需min min ()()g x f x ≤， 即1e ek ≤−，解得1k ≤−． 综上所述，k 的取值范围为(](),10,∞∞−−∪+．17. 已知四棱锥P ABCD −中，平面PAB ⊥底面,ABCD AD ∥,,,2,BC AB BC PA PB AB AB BC AD E ⊥==为AB 的中点，F 为棱PC 上异于,P C 的点．（1）证明：BD EF ⊥；（2）试确定点F 的位置，使EF 与平面PCD【答案】（1）证明见解析 （2）F 位于棱PC 靠近P 的三等分点 【解析】【分析】（1）连接,,PE EC EC 交BD 于点G ，利用面面垂直的性质定理和三角形全等，即可得证； （2）取DC 的中点H ，以E 为坐标原点，分别以,,EB EH EP 所在直线为,,x y z 轴建立，利用线面角公式代入即可求解．小问1详解】如图，连接,,PE EC EC 交BD 于点G ．因为E 为AB 的中点，PA PB =，所以PE AB ⊥．因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ∩平面,ABCD AB PE =⊂平面PAB ， 所以PE ⊥平面ABCD ，因为BD ⊂平面ABCD ，所以PE BD ⊥．因为ABD BCE ≅ ，所以CEB BDA ∠∠=，所以90CEB ABD ∠∠+= ， 所以BD EC ⊥，因为,,PE EC E PE EC ∩=⊂平面PEC ， 所以BD ⊥平面PEC ．因为EF ⊂平面PEC ，所以BD EF ⊥． 【小问2详解】如图，取DC 的中点H ，以E 为坐标原点，分别以,,EB EH EP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，【设2AB =，则2,1,BC AD PA PB ====则()()()()0,0,1,1,2,0,1,1,0,0,0,0P C D E −，设(),,,(01)F x y z PF PC λλ=<<， 所以()(),,11,2,1x y z λ−=−，所以,2,1x y z λλλ===−，即(),2,1F λλλ−．则()()()2,1,0,1,2,1,,2,1DC PC EF λλλ==−=−，设平面PCD 的法向量为(),,m a b c =，则00DC m PC m ⋅=⋅=，，即2020a b a b c += +−= ，，取()1,2,3m =−− ， 设EF 与平面PCD 所成的角为θ，由cos θ=sin θ=．所以sin cos ,m EF m EF m EF θ⋅===整理得2620λλ−=，因为01λ<<，所以13λ=，即13PF PC = ，故当F 位于棱PC 靠近P 的三等分点时，EF 与平面PCD18. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21:2(0)C ypx p =>的焦点到准线的距离等于椭圆222:161C x y +=的短轴长，点P 在抛物线1C 上，圆222:(2)E x y r −+=（其中01r <<）.（1）若1,2r Q =为圆E 上的动点，求线段PQ 长度的最小值；（2）设()1,D t 是抛物线1C 上位于第一象限的一点，过D 作圆E 的两条切线，分别交抛物线1C 于点,M N .证明：直线MN 经过定点.【答案】（1（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据椭圆的短轴可得抛物线方程2y x =，进而根据两点斜率公式，结合三角形的三边关系，即可由二次函数的性质求解，（2）根据两点坐标可得直线,MN DM 的直线方程，由直线与圆相切可得,a b 是方程()()()2222124240r x r x r −+−+−=的两个解，即可利用韦达定理代入化简求解定点. 【小问1详解】 由题意得椭圆的方程：221116y x +=，所以短半轴14b = 所以112242p b ==×=，所以抛物线1C 的方程是2y x =. 设点()2,P t t ，则111222PQ PE ≥−=−=≥， 所以当232ι=时，线段PQ . 【小问2详解】()1,D t 是抛物线1C 上位于第一象限的点，21t ∴=，且()0,1,1t D >∴设()()22,,,M a a N b b ，则： 直线()222:b a MN y a x a b a −−=−−，即()21y a x a a b −=−+，即()0x a b y ab −++=. 直线()21:111a DM y x a −−=−−，即()10x a y a −++=. 由直线DMr =，即()()()2222124240r a r a r −+−+−=..同理，由直线DN 与圆相切得()()()2222124240r b r b r −+−+−=. 所以,a b 是方程()()()2222124240r x r x r −+−+−=的两个解， 22224224,11r r a b ab r r −−∴+==−− 代入方程()0x a b y ab −++=得()()222440x y r x y +++−−−=， 220,440,x y x y ++= ∴ ++= 解得0,1.x y = =− ∴直线MN 恒过定点()0,1−.【点睛】圆锥曲线中定点问题的两种解法（1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.（2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.技巧：若直线方程为()00y y k x x −=−,则直线过定点()00,x y ;若直线方程为y kx b =+ (b 为定值),则直线过定点()0,.b 19. 龙泉游泳馆为给顾客更好的体验，推出了A 和B 两个套餐服务，顾客可选择A 和B 两个套餐之一，并在App 平台上推出了优惠券活动，下表是该游泳馆在App 平台10天销售优惠券情况． 日期t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 销售量千张 1.9 1.98 2.2 2.36 2.43 259 2.68 2.76 2.7 0.4经计算可得：10101021111 2.2,118.73,38510i i i i i i i y y t y t ======∑∑∑. （1）因为优惠券购买火爆，App 平台在第10天时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，已知销售量y 和日期t 呈线性关系，现剔除第10天数据，求y 关于t 的经验回归方程结果中的数值用分数表示；..（2）若购买优惠券的顾客选择A 套餐的概率为14，选择B 套餐的概率为34，并且A 套餐可以用一张优惠券，B 套餐可以用两张优惠券，记App 平台累计销售优惠券为n 张的概率为n P ，求n P ；（3）记（2）中所得概率n P 的值构成数列{}()Nn P n ∗∈. ①求n P 的最值；②数列收敛的定义：已知数列{}n a ，若对于任意给定的正数ε，总存在正整数0N ，使得当0n N >时，n a a ε−<，（a 是一个确定的实数），则称数列{}n a 收敛于a .根据数列收敛的定义证明数列{}n P 收敛．参考公式： ()()()1122211ˆˆ,n ni ii i i i n n ii i i x x y y x y nx y ay bx x x x nx ====−−−==−−−∑∑∑∑. 【答案】（1）673220710001200y t + （2）433774n n P =+⋅−（3）①最大值为1316，最小值为14；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）计算出新数据的相关数值，代入公式求出 ,ab 的值，进而得到y 关于t 的回归方程； （2）由题意可知1213,(3)44n n n P P P n −−=+≥，其中12113,416P P ==，构造等比数列，再利用等比数列的通项公式求解；（3）①分n 为偶数和n 为奇数两种情况讨论，结合指数函数的单调性求解；②利用数列收敛的定义，准确推理、运算，即可得证． 【小问1详解】 解：剔除第10天的数据，可得2.2100.4 2.49y ×−==新， 12345678959t ++++++++=新， 则9922111119.73100.4114,73,38510285i i i i t y t = =−×==−= ∑∑新新，所以912922119114,7395 2.4673ˆ2859560009i i i i t y t y b t t == − −×× ==−× − ∑∑新新新新新， 可得6732207ˆ 2.4560001200a =−×=，所以6732207ˆ60001200y t +. 【小问2详解】 解：由题意知1213,(3)44n n n P P P n −−=+≥，其中12111313,444416P P ==×+=， 所以11233,(3)44n n n n P P P P n −−−+=+≥，又由2131331141644P P ++×， 所以134n n P P − +是首项为1的常数列，所以131,(2)4n n P P n −+=≥ 所以1434(),(2)747n n P P n −−=−−≥，又因为1414974728P −=−=−， 所以数列47n P − 是首项为928−，公比为34−的等比数列， 故1493()7284n n P −−=−−，所以1934433()()2847774n n n P −=−−+=+−. 【小问3详解】 解：①当n 为偶数时，19344334()()28477747n n n P −=−−+=+⋅>单调递减， 最大值为21316P =； 当n 为奇数时，19344334()()28477747n n n P −=−−+=−⋅<单调递增，最小值为114P =， 综上可得，数列{}n P 的最大值为1316，最小值为14. ②证明：对任意0ε>总存在正整数0347[log ()]13N ε=+，其中 []x 表示取整函数， 当 347[log ()]13n ε>+时，347log ()34333333()()()7747474n n n P εε−=⋅−=⋅<⋅=， 所以数列{}n P 收敛.【点睛】知识方法点拨：与新定义有关的问题的求解策略：1、通过给出一个新的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的；2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.方法点拨：与数列有关的问题的求解策略：3、若新定义与数列有关，可得利用数列的递推关系式，结合数列的相关知识进行求解，多通过构造的分法转化为等差、等比数列问题求解，求解过程灵活运用数列的性质，准确应用相关的数列知识.。
湖南省长沙市第一中学2020-2021学年高三上学期月考(六)数学试及答案
长沙市一中21届高三月考试卷(六)数学时量：120分钟满分：150分一､单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.)1. 已知全集U =R 集合A x y⎧==⎨⎩∣，{1}B yy ==∣，那么()UA B =（ ）A. ∅B. ()0,1C. (),0-∞D. (),1-∞【答案】C2. 设复数z 满足(1)4i z i +⋅=，则z =（ ） A. 1 B. 2C.D.【答案】D3. 两个具有线性相关关系的变量的一组数据()11,x y ，()22,x y ，…(),n n x y ，下列说法错误的是（ ） A. 相关系数r 越接近1，变量,x y 相关性越强B. 落在回归直线方程上的样本点越多，回归直线方程拟合效果越好C. 相关指数2R 越小，残差平方和越大，即模型的拟合效果越差D. 若x 表示女大学生的身高，y 表示体重则20.64R ≈表示女大学生的身高解释了64%的体重变化 【答案】B4. 汉朝张苍等人辑撰的《九章算术》卷第三“衰分”中有一题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺.问日织几何？术曰：置一､二､四､八､十六为列衰，副并为法以五尺乘未并者，各自为实.实如法得一尺.”意思是“今有一女子很会织布，每天加倍增长，5天共织布5尺，问每日各织多少布？算法：取1，2，4，8，16为分配比率，取众比率之和为除数，以5尺乘各自比率为各自的被除数，以除数去除被除数，便可得出每一天织布的尺寸数”.若改进技术后，该女子6天织布9尺，用此法计算可得该女子第5天织布尺寸为（ ） A.167尺 B.4531尺 C.327尺 D.57尺 【答案】A5. 已知定义在R 上的函数3()f x x x =+，a f =，()log 3b f π=，1))c f =，则,,a b c 的大小关系是（ ） A. a b c << B. b c a <<C. c b a <<D. b a c <<【答案】C6. 在中国传统佳节元宵节中赏花灯是常见的活动.某单位拟举办庆祝元宵的活动，购买了A ，B ，C 三种类型的花灯，其中A 种花灯4个，B 种花灯5个，C 种花灯1个，现从中随机抽取4个花灯，则A ，B ，C 三种花灯各至少被抽取一个的情况种数为（ ） A. 30 B. 70C. 40D. 84【答案】B7. 已知函数()tan 2f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，若函数()()sin g x f x x =+在区间[]3,m -(,)m k k π=∈Z 上至少有4个零点，则m 的最小值为（ ） A. 2π B. 3πC. 4πD. 5π【答案】B8. 在三棱锥A BCD -中，60BAC BDC ∠=∠=︒，二面角A BC D --的余弦值为13-，当三棱锥A BCD - ） A. 5π B. 6πC. 7πD. 8π【答案】B二､多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.)9. 设x ，y 为实数满足14x ≤≤，02y <≤，则下列结论错误的是（ ） A. 16x y <+≤ B. 12x y <-≤C. 08xy <≤D. 2xy≥【答案】BD10. 已知向量()1,0m =，11,22n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ） A. ||2||m n =B. ()// m n n -C. ()m n n -⊥D. m 与n的夹角为4π 【答案】ACD11. 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是棱1CC 上一动点(与C .1C 不重合)，点E 为点C 在平面11AB CD 上的正投影，点P 在平面11AB C D 上的正投影为点Q ，点Q 在直线CD 上的正投影为点F ，下列结论中正确的是（ ）A. BC ⊥平面PQFB. CE 与BD 所成角为30C. 线段PE 长度的取值范围是12,22⎡⎢⎣⎭D. 存在点P 使得//PF 平面11AB C D 【答案】ACD12. 已知直线2y x =-+分别与函数xy e =和ln y x =的图象交于点()()1122,,,A x y B x y ，则下列结论正确的是( ) A. 122x x +=B. 122x x e e e +>C. 1221ln ln 0x x x x +<D. 12ex x >【答案】ABC三､填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13. A 、B 、C 、D 四个人围成一圈，A 确定好自己的位置后，B 、C 、D 三人随机站到其他三个位置上，则C 与D 不相邻的概率为__________. 【答案】1314. 若2020220200122020(12)(2)(2)(2)x a a x a x a x +=+++++⋅⋅⋅++，x ∈R ，则22020122020222a a a ⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅=___________.【答案】202013-15. 已知点P 是双曲线221412x y -=上的动点，1F ，2F 分别为双曲线的左，右焦点，O 为坐标原点.若点M是12F PF ∠的角平分线上的一点，且1F M MP ⊥，则||OM =__________. 【答案】216. 已知32cos 263a m ππα⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，32cos 263m ππββ⎛⎫⎛⎫-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中m ∈R ，则cos()αβ+=____________.【答案】12四､解答题(本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.)17. 已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2A C =. （1）若A ∠为钝角，求a c的取值范围；（2）若1b =，3c =，求ABC 的面积. 【答案】（1）2)；（2218. 在①424S S =，221n n a a =+；②14n n a a n ++=；③0n a >，()241n n S a =+.从这三个条件中任选一个填入下面的横线上并解答.已知数列{}n a 是等差数列其前n 项和为n S ，*n ∈N ，若_________.(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.)（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对任意的*m ∈N ，将{}n a 中落入区间()22,2mm内项的个数记为{}mb ，求数列{}mb 的通项公式和数列{}m b 的前m 项和m T .【答案】条件选择见解析；（1）21n a n =-；（2）21122m m m b --=-，21112233m m m T +=⨯-+. 19. 如图，在多面体ABCDP 中，ABC 是边长为4的等边三角形，PA AC =，22BD CD ==，PA ⊥平面ABC ，点E 为BC 的中点，平面BDC ⊥平面ABC.（1）求证：//DE 平面PAC ；（2）T 为线段BC 上靠近点C 的四等分点，求直线BD 与平面ADT 所成的角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（236. 20. 在圆224x y +=上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足，32DM DP =.当点P 在圆上运动时，点M 的轨迹为曲线E. （1）求曲线E 的方程；（2）过点()1,0Q -的两条相互垂直的直线分别交曲线E 于A ，B 和C ､D ，求四边形ABCD 面积的取值范围.【答案】（1）22143x y +=；（2）288649S ≤≤. 21. 定向越野起源于欧洲，是一种借助地图､指南针，在一个划定的区域内，通过对地形地貌的判断.设计合理路线到达各个目标点位，最后到达终点的运动.湖南青奠定向体育发展有限公司为了推广定向活动，对学生群体进行定向越野的介绍和培训，并对初步了解了定向活动的学生是否会参加定向越野活动进行调查.随机抽取了200位中小学生进行调查，得到如下数据：准备参加定向越野的小学生有80人，不准备参加定向越野的小学生有40人，准备参加定向越野的中学生有40人.（1）完成下列22⨯列联表，并根据列联表判断是否有97.5%的把握认为这200位参与调查的中小学生是否准备参加定向越野与中学生､小学生年龄有关.准备参加定向越野不准备参加定向越野合计（2）为了储备定向后备力量，备战全国赛，提高会员定向水平，俱乐部将小学生会员分组进行比赛.两人一组，每周进行一轮比赛，每小组两人每人跑两张地图(跑一张地图视为一次)，达到教练设定的成绩标准的次数之和不少于3次称为“优秀小组”.小超与小红同一小组，小超､小红达到教练设定的成绩标准的概率分别为1p ，2p ，且1243p p +=，理论上至少要进行多少轮比赛，才能使得小超､小红小组在比赛中获得“优秀小组”次数的期望值达到16次？并求此时1p ，2p 的值.附：22()()()()()n ad bc K a b a c c d b d -=++++，n a b c d =+++【答案】（1）列联表答案见解析，有97.5%的把握认为这200位参与调查者是否准备参加定向越野与年龄有关；（2）理论上至少要进行27轮游戏，123p =，223p =.22. 已知函数2()xf x x e -=，1()(0)h x x x x=->. （1）求证：方程)(()f x h x =有唯一零点0x ，且0(1,2)x ∈； （2）设函数211()[()()]|()()|22g x h x f x h x f x cx =+---.若函数()g x 为增函数，求实数c 的取值范围. 【答案】（1）证明见解析；（2）31,2e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.。
湖南省长沙市雅礼中学2024-2025学年高三上学期月考(三)数学试题(含解析)
雅礼中学2025届高三月考试卷（三）数学得分：________本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页.时量120分钟，满分150分.第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“存在x ∈Z ，220x x m ++ ”的否定是A.存在x ∈Z ，220x x m ++>B.不存在x ∈Z ，220x x m ++>C.任意x ∈Z ，220x x m ++ D.任意x ∈Z ，220x x m ++>2.若集合{}2341,i ,i ,i A =（i 是虚数单位），{}1,1B =-，则A B ⋂等于A.{}1- B.{}1 C.{}1,1- D.∅3.已知奇函数()()22cos x x f x m x -=+⋅，则m =A.-1B.0C.1D.124.已知m ，l 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列可以推出αβ⊥的是A.m l ⊥，m β⊂，l α⊥ B.m l ⊥，l αβ⋂=，m α⊂C.m l ，m α⊥，l β⊥ D.l α⊥，m l ，m β5.已知函数()()4cos (0)f x x ωϕω=+>图象的一个最高点与相邻的对称中心之间的距离为5，则6f ϕπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭A.0B.2ϕC.4D.2ϕ6.已知M 是圆22:1C x y +=上一个动点，且直线1:30l mx ny m n --+=与直线2:30l nx my m n +--=（m ，n ∈R ，220m n +≠）相交于点P ，则PM 的取值范围为A.1,1⎤-+⎦ B.1⎤-⎦C.1,1⎤-⎦D.1⎤⎦7.P 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上一点，1F ，2F 是C 的两个焦点，120PF PF ⋅= ，点Q 在12F PF ∠的角平分线上，O 为原点，1OQ PF ，且OQ b =.则C 的离心率为 A.12B.33C.63D.328.设集合(){}{}{}12345,,,,|1,0,1,1,2,3,4,5iAx x x x x x i ∈-=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ++++ ”的元素个数为A.60B.90C.120D.130二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.如图为某地2014年至2023年的粮食年产量折线图，则下列说法正确的是A.这10年粮食年产量的极差为16B.这10年粮食年产量的第70百分位数为35C.这10年粮食年产量的平均数为33.7D.前5年的粮食年产量的方差小于后5年粮食年产量的方差10.已知函数()f x 满足()()22f x f x ππ+=-，()()0f x f x ππ++-=，并且当()0,x π∈时，()cos f x x =，则下列关于函数()f x 说法正确的是A.302f π⎛⎫=⎪⎝⎭B.最小正周期2T π=C.()f x 的图象关于直线x π=对称D.()f x 的图象关于(),0π-对称11.若双曲线22:145x y C -=，1F ，2F 分别为左、右焦点，设点P 是在双曲线上且在第一象限的动点，点I 为12PF F △的内心，()0,4A ，则下列说法不正确的是A.双曲线C 的渐近线方程为045x y±=B.点I 的运动轨迹为双曲线的一部分C.若122PF PF =，12PI xPF yPF =+ ，则29y x -=D.不存在点P ，使得1PA PF +取得最小值答题卡题号1234567891011得分答案第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.523x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为________.13.ABC △各角的对应边分别为a ，b ，c ，满足1b ca c a b+++ ，则角A 的取值范围为________.14.对任意的*n ∈N ，不等式11e 1nan n n ⎛⎫⎛⎫+⋅ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭（其中e 是自然对数的底）恒成立，则a 的最大值为________.四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）设n S 为正项等比数列{}n a 的前n 项和，21332S a a =+，416a =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b 满足11b =，1222log log n nn n b a b a ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T .16.（本小题满分15分）如图，在四棱锥P ABCD -，BC AD ，1AB BC ==，3AD =，点E 在AD 上，且PE AD ⊥，2DE PE ==.（1）若F 为线段PE 的中点，求证：BF平面PCD ；（2）若AB ⊥平面PAD ，求平面PAB 与平面PCD 所成夹角的余弦值.17.（本小题满分15分）已知函数()21ln 2f x x x ax =+-有两个极值点为1x ，()212x x x <，a ∈R .（1）当52a =时，求()()21f x f x -的值；（2）若21e x x （e 为自然对数的底数），求()()21f x f x -的最大值.18.（本小题满分17分）已知抛物线2:2(0)E x py p =>的焦点为F ，H 为E 上任意一点，且HF 的最小值为1.（1）求抛物线E 的方程；（2）已知P 为平面上一动点，且过P 能向E 作两条切线，切点为M ，N ，记直线PM ，PN ，PF 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，且满足123112k k k +=.①求点P 的轨迹方程；②试探究：是否存在一个圆心为()0,(0)Q λλ>，半径为1的圆，使得过P 可以作圆Q 的两条切线1l ，2l ，切线1l ，2l 分别交抛物线E 于不同的两点()11,A s t ，()22,B s t 和点()33,C s t ，()44,D s t ，且1234s s s s 为定值？若存在，求圆Q 的方程，不存在，说明理由.19.（本小题满分17分）对于一组向量1a ，2a ，3a ，…，n a（N n ∈且3n ），令123n n S a a a a =++++ ，如果存在{}()1,2,3,,p a p n ∈ ，使得p n p a S a - ，那么称p a是该向量组的“长向量”.（1）设(),2n a n x n =+，n ∈N 且0n >，若3a 是向量组1a ，2a ，3a的“长向量”，求实数x 的取值范围；（2）若sin,cos 22n n n a ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭，n ∈N 且0n >，向量组1a ，2a ，3a ，…，7a 是否存在“长向量”？给出你的结论并说明理由；（3）已知1a ，2a ，3a均是向量组1a，2a，3a的“长向量”，其中()1sin ,cos a x x =，()22cos ,2sin a x x =.设在平面直角坐标系中有一点列1P ，2P ，3P ，…，n P ，满足1P 为坐标原点，2P 为3a的位置向量的终点，且21k P +与2k P 关于点1P 对称，22k P +与21k P +（k ∈N 且0k >）关于点2P 对称，求10151016P P 的最小值.参考答案一、二、选择题题号1234567891011答案DCADCBCDACDADABD1.D2.C【解析】集合{}i,1,1,i A =--，{}1,1B =-，{}1,1A B ⋂=-.故选C.3.A 【解析】()f x 是奇函数，()()22cos xxf x m x -=+⋅，()()()2222xx x x f x f x m --⎡⎤∴+-=+++⎣⎦cos 0x =，()()122cos 0x x m x -∴++=，10m ∴+=，1m =-.故选A.4.D【解析】有可能出现α，β平行这种情况，故A 错误；会出现平面α，β相交但不垂直的情况，故B 错误；m l ，m α⊥，l βαβ⊥⇒ ，故C 错误；l α⊥，m l m α⇒⊥ ，又由m βαβ⇒⊥ ，故D 正确.故选D.5.C【解析】设()f x 的最小正周期为T ，函数图象的一个最高点与相邻的对称中心之间的距离为5，则有224254T ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得12T =，则有212πω=，解得6πω=，所以()4cos 6f x x πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以664cos 4cos046f ϕϕπϕππ⎛⎫⎛⎫-=-⨯+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选C.6.B 【解析】依题意，直线()()1:310l m x n y ---=恒过定点()3,1A ，直线()()2:130l n x m y -+-=恒过定点()1,3B ，显然直线12l l ⊥，因此，直线1l 与2l 交点P 的轨迹是以线段AB 为直径的圆，其方程为：22(2)(2)2x y -+-=，圆心()2,2N ，半径2r =，而圆C 的圆心()0,0C ，半径11r =，如图：12NC r r =>+，两圆外离，由圆的几何性质得：12min1PM NC r r =--=，12max1PMNC r r =++=，所以PM 的取值范围为1⎤-⎦.故选B.7.C【解析】如图，设1PF m =，2PF n =，延长OQ 交2PF 于点A，由题意知1OQ PF ，O 为12F F 的中点，故A 为2PF 中点，又120PF PF ⋅= ，即12PF PF ⊥，则2QAP π∠=，又由点Q 在12F PF ∠的角平分线上得4QPA π∠=，则AQP △是等腰直角三角形，故有2222,4,11,22m n a m n c b n m ⎧⎪+=⎪+=⎨⎪⎪+=⎩化简得2,2,m n b m n a -=⎧⎨+=⎩即,,m a b n a b =+⎧⎨=-⎩代入2224m n c +=得222()()4a b a b c ++-=，即2222a b c +=，又222b ac =-，所以2223a c =，所以223e =，63e =.故选C.8.D 【解析】因为0i x =或1i x =，所以若1234513x x x x x ++++ ，则在()1,2,3,4,5i x i =中至少有一个1i x =，且不多于3个.所以可根据i x 中含0的个数进行分类讨论.①五个数中有2个0，则另外3个从1，-1中取，共有方法数为2315C 2N =⋅，②五个数中有3个0，则另外2个从1，-1中取，共有方法数为3225C 2N =⋅，③五个数中有4个0，则另外1个从1，-1中取，共有方法数为435C 2N =⋅，所以共有23324555C 2C 2C 2130N =⋅+⋅+⋅=种.故选D.9.ACD 【解析】将样本数据从小到大排列为26，28，30，32，32，35，35，38，39，42，这10年的粮食年产量极差为422616-=，故A 正确；1070%7⨯=，结合A 选项可知第70百分位数为第7个数和第8个数的平均数，即353836.52+=，故B 不正确；这10年粮食年产量的平均数为。
KS解析湖南省长沙市开福区长沙市第一中学高三月月考数学试题Wor含解析
长沙市一中2020届高三月考试卷(一)数学(文科)一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.i 为虚数单位，复数()211z i =+-，则z =（）A. 1B. 2 2 5【答案】D【解析】【分析】化简z 为a bi +的形式，进而求得z .【详解】依题意2112i 12i z i =+-+=-，故()2125z =+-= D.【点睛】本小题主要考查复数的乘法运算，考查复数的模的运算，属于基础题. 求解与复数概念相关问题的技巧：复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a bi +的形式，再根据题意求解.2.已知集合A ={|12x x -≤≤}，B ={0,1,2}，则A B =I ()A. {|12}x x -≤≤B. {0,1,2}C. {1,2-}D. {0,1} 【答案】B【解析】【分析】写出集合A 中的整数，然后与集合B 取交集，得到答案【详解】A ={|12x x -≤≤}中整数有-1，0，1，2，所以{}0,1,2A B =I故选B 项【点睛】本题考查集合的交集运算，属于简单题.3.通过随机询问100名性别不同的大学生是否爱好踢毽子，得到如下的列联表：随机变量22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++经计算，统计量K 2的观测值k 0≈4.762，参照附表，得到的正确结论是( )A. 在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B. 在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C. 有97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D. 有97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”【答案】A【解析】【分析】题目的条件中已经给出这组数据的观测值，只要把所给的观测值同节选的观测值表进行比较，发现它大于3.841，在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好这项运动与性别有关”．【详解】解：由题意算得，2K ≈ 4.762＞3.841，参照附表，可得在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好这项运动与性别有关”．故选：A ．【点睛】本题考查独立性检验的应用，题干给出了观测值，只要进行比较就可以得出正确选项。
湖南省长沙市第一中学2025届高三上学期月考(二)数学试卷(无答案)
长沙市一中2025届高三月考试卷（二）数学时量：120分钟 满分：150分一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知i 为虚数单位，，则z 的共轭复数（ ）A ．B ．C ．D ．3．已知曲线在点处的切线与轴相交于点，则实数（ ）A ．B ．C ．1D ．24．已知向量，，且，实数，若A ，B ，C 三点共线．则（ ）A ．0B ．1C ．2D ．35．已知过坐标原点的直线PO 与焦点为的抛物线在第一象限交于点，与的准线l 交于点，若，则直线PF 的斜率为（ ）A ．B ．C ．1D ．6．已知函数与直线在第一象限的交点横坐标从小到大依次分别为，，…，，…则（ ）A ．B ．0C ．1D7．定义：为实数x ，y 中较小的数，已知，其中a ，b 均为正实数．则的最大值是（ ）A ．B ．CD8．若不等式有且仅有三个整数解，则实数的取值范围是（ ）{}2ln 2A x x =-<≤{}2,1,0,1,2,3B =--A B = {1,0}-{1,2}{1,0,1}-{1,2,3}12ii z-=-z =2i-2i+2i--2i-+2()ln f x ax x =+(1,(1))f x 1,03⎛⎫ ⎪⎝⎭a =2-1-(1,)OA k =- (1,2)OB = (2,0)OC k =+0k ≥k =O F 2:2(0)C y px p =>P C Q 4PO OQ =432313()sin f x x x =(02)y a a =<<1x 2x n x ()12323f x x x --=1-min{,}x y 22min ,9b h a a b ⎧⎫=⎨⎬+⎩⎭h 1613ln 0a x x -≥aA ．B ．C ．D ．二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，至少有两项是符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分）9．记等差数列的前项和为，公差为，若，，则（ ）A ．B ．的最小值为C ．D ．使的的最小值为1110．若随机变量，，则（ ）A ．B ．C ．D ．若，则11．如图，在锐二面角的半平面内有一个四边形 ，点在AB 上，，，和的面积均为，点到平面，点到平面的距离为，则（ ）A ．B ．直线MN 与AB 所成的角为45°C ．直线MN 与平面所成的角为30°D ．二面角的大小为60°三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）12．设双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为，若，则的离心率为_________．25,ln 2ln5⎡⎫⎪⎢⎣⎭25,ln 2ln5⎛⎤⎥⎝⎦35,ln3ln5⎡⎫⎪⎢⎣⎭35,ln3ln5⎛⎤⎥⎝⎦{}n a n n S d 109a =20200S =2d =n S 5S 19a =0n S >n ()2~0,X N σ()()f x P X x =≤()1()f x f x -=-(2)2()f x f x =(||)2()1(0)P X x f x x <=->1(2)1x f f x +⎛⎫>⎪-⎝⎭113x <<AB αβ--βMENF M EF =2MN =MEF △NEF △12N αE αEF AB ∥αAB αβ--2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>,αβ5αβ=C13．已知正三棱柱中，，动点在侧面内，且．若点，则该正三棱柱的体积为_________．14．记不超过的最大整数为 ．若函数既有最大值也有最小值，则实数的取值范围是_________．四、解答题（本大题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本小题满分13分）现有一种不断分裂的细胞，每个时间周期内分裂一次，一个细胞每次分裂能生成一个或两个新的细胞，每次分裂后原细胞消失．设每次分裂成一个新细胞的概率为，分裂成两个新细胞的概率为；新细胞在下一个周期内可以继续分裂，每个细胞分裂相互独立．设有一个初始的细胞，从第一个周期开始分裂．（1）当时，求3个周期结束后细胞数量为2个的概率；（2）设2个周期结束后，细胞的数量为，求的分布列和数学期望．16．（本小题满分15分）如图，AB 是半球的直径，，M ，N 是底面半圆弧上的两个三等分点，是半球面上一点，且．（1）证明：平面；（2）若点P 在底面圆内的射影恰在ON 上，求直线PM 与平面所成角的正弦值．17．（本小题满分15分）已知函数．（1）当时，求的极值；（2）当时，，求实数的取值范围．18．（本小愿满分17分）已知双曲线的焦距为4，离心率为2，，分别为111ABC A B C -12AC CC =P 11ACC A 10PC PB ⋅=Px []x []()22f x x x t =-+t X X X X X p X 1p -X 34p =X X ξξO 4AB =»AB P 60PON ∠=︒PB ⊥PAM PAB ()(1)ln(1)f x ax x x =-+-2a =-()f x 0x ≥()0f x ≥a 2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>1F 2F的左、右焦点，点，都在上．（1）求双曲线C 的方程；（2）若，求直线AB 的方程；（3）若且，，求点A ，B ，，所构成的四边形的面积的取值范围．19．（本小题满分17分）已知数列满足：，，，当时，．（1）求数列的通项公式；（2）当时，求证：；（3）求解方程：．C ()11,A x y ()22,B x y C 222AF F B =12AF BF ∥120x x <120y y >1F 2F n a 13a =m ∀*n ∈N n m >2n m n m a a a -+=+{}n a 6n ≥11112nn a ⎛⎫-< ⎪+⎝⎭1231nnnnnn n a a a a a +++++=。
湖南省长沙市第一中学2021届高三数学上学期月考试题(五)
1 湖南省长沙市第一中学2021届高三数学上学期月考试题（五） 时量:120分钟满分:150分 一､单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求.) 1.若集合M={x|x>1},N={x∈Z|0≤x≤4},则()RMN A.{0} B.{0,1} C.{0,1,2} D.{2,3,4}
2.复数31izii在复平面内对应的点所在的象限为 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.函数ln||()xexfxx的部分图象大致为
4.如果21()2nxx的展开式中只有第4项的二项式系数最大,那么展开式中的所有项的系数和是 1.256A B.256 C.64 1.64D
5.已知O为△ABC所在平面内一点,20,OAOBOC则OBCABCSS 1.3A 1.4B 1.2C 1.5D
6.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一幅“弦图”,后,人称其为“赵爽弦图”.右图是在“赵爽弦图”的基础.上创作出的-一个“数学风车”,其中正方形ABCD内部为“赵爽弦图”,它是由四个全等的直角三角形和-一个小正方形组成的.我们将图中阴影所在的四个三角形称为“风叶”,若从该“数学风车”的八个顶点中任取两点,则该两点取自同一片“风叶”的概率为 2
3.7A 4.7B 3.14C 11.14D
7.已知直线y=k(x+2)(k>0)与抛物线相交于A,B两点,F为C的焦点,若|FA|=2|FB|,则点A到抛物线的准线的距离为 A.7 B.6 C.5 D.4 8.若不等式在区间(0,+∞)内的解集中有且仅有 三个整数,则实数a的取值范围是 2780.[,]2ln215An 2780.(,)2ln2ln5B 2780.(,]2ln2ln5C 27.(,)2ln2D
二､多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.) 9.下列说法正确的是 A.命题“若a>b,则22ab”的否命题是“若a>b,则22ab” B.设a,b∈R,则“a|a|>b|b|”的充分必要条件是“ab” C.命题“, 1xsinxR”的否定是“00,sin1xxR” D.对命题p,q,r,若p是q的充分条件,r是q的必要条件,则¬p是¬r的必要条件 10.某中学高一年级半期考试后将进行新高考首选科目的选择,每位同学必须在“物理”“历史”中二选一.学校采用分层抽样的方法,抽取了该年级部分男､女学生选科意愿的一份样本,并根据统计结果绘制如下两个等高堆积条形图.根据这两幅图中的信息,下列统计结论正确的是 3
2021届湖南省长沙市长郡中学高三上学期月考(一)数学试题(解析版)
A．数列 为等比数列B． 时，
C．当 时， D．
答案：AC
解：由 和等比数列的定义，判断出A正确；利用等比数列的求和公式判断B错误；利用等比数列的通项公式计算得出C正确，D不正确．
解：
由 ，得 .
时， ，相减可得 ，
又 ，数列 为首项为 ，公比为 的等比数列，故A正确；
因 ，
，
而 ，
，
所以数列 前48项之和为 .
故答案为：1176.
点评：
本题主要考查了数列求和的问题.属于中档题.
四、解答题
17．请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题
① ；② 的面积为 ；③ .
在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， .在已知 ， 为钝角， .
（1）求边 的长；
解：
由已知， ， ，因此 ，
∴ ，
所以 ，过点 ，
因此 ， ，又 ，
所以 ，∴ ，
对A， 图象关于原点对称，故A正确；
对B，当 时， ，故B正确；
对C，由 ，有 ， 故C不正确；
对D，当 时， ，所以 与函数 有4个交点令横坐标为 ， ， ， ， ，故D正确.
故选：ABD.
点评：
本题考查根据正弦型函数的部分图象求函数的解析式，以及分析正弦型函数的性质，属于基础题.
解：
由 ，有 ，解得 ，
故 ，
故当 时， 取最小值 .
故选：A.
点评：
本题考查分式型三角函数的化简，以及关于二次型三角函数的最值问题，属于基础题.
8．设函数 ，若存在区间 ，使 在 ， 上的值域为 ， ，则 的取值范围是
2021-2022学年湖南省长沙一中高三(上)月考数学试卷(五)(附详解)
2021-2022学年湖南省长沙一中高三（上）月考数学试卷（五）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知全集U=R，集合A={x|x≤2}，B={x|x2−x−6<0}，则(∁U A)∩B=()A. [2,3)B. (2,3)C. (−∞,3)D. (−2,+∞)2.复数z满足(1+i)z=3+2i(i为虚数单位)，则复数z在复平面内对应的点位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.函数f(x)=x2−1e x的图象大致为()A. B.C. D.4.传说古代希腊的毕达哥拉斯在沙滩上研究数学问题：把1，3，6，10，15，…叫做三角形数；把1，4，9，16，25，…叫做正方形数，则下列各数中既是三角形数又是正方形数的是()A. 16B. 25C. 36D. 495.在(2x√x)5的展开式中x2的系数为20，则常数a=()A. ±12B. 12C. ±√2D. √26.已知a>0，b>0，直线(a−1)x+2y+3=0与直线x+by−1=0垂直，则1a +1b的最小值是()A. 2+√2B. 4C. 3+2√2D. 67.已知F1，F2分别是双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，以F1F2为直径的圆与此双曲线在第一象限内的交点为P，且|PF1|+2|PF2|=2|F1F2|，则此双曲线的离心率是()A. √2B. 2C. 4D. 58.已知函数f(x)=2x13，若当x∈R时，f(e x)+f(ae x−2√3)>0恒成立，则实数a的取值范围是()A. (√3,+∞)B. (−∞,√3)C. (3,+∞)D. (−∞,3)二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.下列说法中正确的是()A. 在回归分析模型中，若相关指数R2越大，则残差平方和越小，模型的拟合效果越好B. 对具有线性相关关系的变量x，y有一组观测数据(x i,y i)(i=1,2,…,8)，其线性回归方程是ŷ=x+â，且y1+y2+y3+⋯+y8=2(x1+x2+x3+⋯+x8)=16，则实数a的值是1C. 若一组数据2，a，4，6的平均数是4，则这组数据的众数和中位数都是4D. 设随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，若P(ξ≥1)=p，则P(−1<ξ≤0)=1−p210.已知两条直线m，n和两个平面α，β，下列命题正确的是()A. 若m//α，n//β，且m//n，则α//βB. 若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥βC. 若m⊥α，n//β，且m//n，则α⊥βD. 若α⊥β，且a⊂α，则a⊥β11.设动直线l：mx−y−2m+3=0(m∈R)交圆C：(x−4)2+(y−5)2=12于A，B两点(点C为圆心)，则下列说法正确的有()A. 直线l过定点(2,3)B. 当|AB|取得最大值时，m=1C. 当∠ACB最小时，其余弦值为14D. AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为2412.已知函数f(x)=sin|x|+√3|cosx|，下列说法正确的有()A. 函数f(x)在[23π,76π]上单调递减B. 函数f(x)是最小正周期为2π的周期函数C. 函数的最大值与最小值之和为1D. 函数f(x)在区间[−8,8]内，共有4个零点三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设F为抛物线C：x2=16y的焦点，直线l：y=−1，点A为C上任意一点，过点A作AP⊥l于P，则||AP|−|AF||=______．14.平面直角坐标系xOy中，α为第四象限角，角α的终边与单位圆O交于P(x0,y0)，若cos(α−π4)=√33，则x0y0=______．15.已知圆O的半径为2，A为圆内一点，OA=12，B，C为圆O上任意两点，则AC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是______．16.如图是第七届国际数学教育大会的会徽，它的主题图案由一连串如图所示的直角三角形演化而成．设其中的第一个直角△OA1A2是等腰三角形，且A1A2=A2A3=⋯=A n A n+1=√2，则OA2=2，OA3=√6，…，OA n=√2n，现将△OA1A2沿OA2翻折成△OPA2，则当四面体OPA2A3体积最大时，它的表面有______个直角三角形；当PA3=√2时，四面体OPA2A3外接球的体积为______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知数列{a n}满足a1=1，a n+1+a n=6n−1．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若数列{b n−a n}是公比为2的等比数列，且b1=2，求数列{b n}的前n项和S n．18.如图，在平面四边形ABCD中，BC⊥CD，AC=√3，AD=1，∠CAD=30°．(1)求∠ACD；(2)若△ABC为锐角三角形，求BC的取值范围．19.在四棱锥P−ABCD中，AD//BC，AB=BC=CD=PC=PD=2，PA=AD=4．(1)求证：平面PCD⊥平面ABCD；(2)求二面角B−PC−D的正弦值．20.数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏，玩家需要根据9×9盘面上的已知数字，推理出所有剩余空格的数字，并满足每一行、每一列、每一个粗线宫(3×3)内的数字均含1−9，不重复．数独爱好者小明打算报名参加“丝路杯”全国数独大赛初级组的比赛．(1)赛前小明在某数独APP 上进行一段时间的训练，每天的解题平均速度y(秒)与训练天数x(天)有关，经统计得到如表的数据：现用y =a +bx 作为回归方程模型，请利用表中数据，求出该回归方程，并预测小明经过50天训练后，每天解题的平均速度y 约为多少秒？(2)小明和小红在数独APP 上玩“对战赛”，每局两人同时开始解一道数独题，先解出题的人获胜，两人约定先胜4局者赢得比赛．若小明每局获胜的概率为23，已知在前3局中小明胜2局，小红胜1局．若每局不存在平局，请你估计小明最终赢得比赛的概率．参考数据(其中t i =1x i)参考公式：对于一组数据(u 1,v 1)，(u 2,v 2)，…，(u n ,v n )，其回归直线v ̂=α̂+β̂u 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：β̂=∑u i n i=1v i −nu −⋅v−∑u i 2n i=1−nu−2，α̂=v −−β̂⋅u −．21. 已知一动圆Q 与圆M ：(x +1)2+y 2=1外切，同时与圆N ：(x −1)2+y 2=25内切，圆心Q 的轨迹为曲线C ． (1)求曲线C 的方程；(2)过曲线C 上点P 作该曲线的一条切线l 与直线x =1相交于点A ，与直线x =9相交于点B ，证明PN ⊥NB 并判断|AN||BN|是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由．22.已知函数f(x)=(e x−k)x2，k>0．(1)若k=2，求函数f(x)的极值点的个数；(2)是否存在正实数k使函数f(x)的极值为2ek2，若存在，求出k的值，若不存在，说明理由．答案和解析1.【答案】B【解析】解：A={x|x≤2}，B={x|x2−x−6<0}={x|−2<x<3}，则(∁U A)∩B={x|x>2}∩{x|−2<x<3}=(2,3)．故选：B．解二次不等式先求出集合B，然后结合集合补集及交集运算可求．本题主要考查了二次不等式的求解及集合补集与交集运算，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：由(1+i)z=3+2i得z=3+2i1+i =(3+2i)(1−i)(1+i)(1−i)=52−12i，可得复数z在复平面内对应的点位于第四象限．故选：D．由(1+i)z=3+2i得z=3+2i1+i =(3+2i)(1−i)(1+i)(1−i)=52−12i，然后可得复数z在复平面内对应的点位于象限．本题考查复数运算及其几何意义，考查数学运算能力及直观想象能力，属于基础题．3.【答案】A【解析】【分析】本题考查了函数图象的识别，函数的单调性，属于基础题．根据奇偶性排除C、D，再判断函数的单调性即可得答案．【解答】解：易知函数f(x)=x2−1e x不是偶函数，可以排除C，D，任取x1，x2∈(−∞,−1)，且x1<x2，则f(x1)−f(x2)=x12−1e x1−x22−1e x2>x12−1e x2−x22−1e x2=(x1−x2)(x1+x2)e x2，∵x1−x2<0，x1+x2<0，∴(x1−x2)(x1+x2)e x2>0，得f(x1)>f(x2)，∴当x∈(−∞,−1)时，函数f(x)单调递减，排除B，故选：A．4.【答案】C【解析】【分析】根据题意观察归纳猜想出两个数列的通项公式，再根据通项公式的特点排除，即可求得结果．考查学生观察、分析和归纳能力，并能根据归纳的结果解决分析问题，注意对数的特性的分析，属中档题．【解答】解：由题意可得三角形数构成的数列通项a n=n2(n+1)，同理可得正方形数构成的数列通项b n=n2，则由a n=n2(n+1)，令n2(n+1)=16，n2(n+1)=25与n2(n+1)=49，无正整数解，对于选项C，36=62，36=82(8+1)，故36既是三角形数又是正方形数．故选C．5.【答案】A【解析】解：展开式(2x√x )5的通项公式为T r+1=C5r⋅(2x)5−r⋅√x)r=25−r⋅(−a)r⋅C5r⋅x5−3r2，令5−32r=2，解得r=2，∴含x2项系数为25−2⋅(−a)2⋅C52=20，解得a=±12，故选：A．在展开式(2x√x)5的通项公式中，令x的幂指数等于2，求得r的值，再由含x2项系数为20可得a的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．6.【答案】C【解析】解：∵直线(a−1)x+2y+3=0与直线x+by−1=0垂直，∴(a−1)×1+2b=0，整理得a+2b=1，∵a>0，b>0，∴1a +1b=(1a+1b)(a+2b)=ab+2ba+3≥2√ab⋅2ba+3=3+2√2，当且仅当ab =2ba时，取等号，∴1a +1b的最小值是3+2√2．故选：C．由直线(a−1)x+2y+3=0与直线x+by−1=0垂直，得a+2b=1，再由a>0，b>0，得到1a +1b=(1a+1b)(a+2b)=ab+2ba+3，利用基本不等式的性质能求出1a+1b的最小值．本题考查代数式的最小值的求法，考查直线与直线垂直、基本不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.【答案】D【解析】解：由题意可得：|PF1|+2|PF2|=2|F1F2|，|PF1|−|PF2|=2a，解得|PF1|=4(a+c)3，|PF2|=4c−2a3，又|PF1|2+|PF2|2=4c2，代入化简可得5a2+4ac−c2=0，e=ca>1，所以e2−4e−5=0，解得e=5．故选：D．利用已知条件，结合双曲线的定义以及勾股定理，转化求解双曲线的离心率即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．8.【答案】C【解析】解：∵f(x)=2x13=2√x3，x∈R，f(−x)=−2x13=−f(x)，∴f(x)为奇函数，同时也为增函数，又因为f(e x)+f(ae x−2√3)>0恒成立，所以f(e x)>−f(ae x −2√3)=f(2√3−ae x)恒成立，即：e x>2√3−ae x恒成立，所以a>−(e x)2+2√3e x，令t=e x，则t>0，令g(t)=−t2+2√3t=−(t−√3)2+3≤3，所以g(t)max=3，所以a>3，故选：C．先判断f(x)的奇偶性和单调性，再将原问题转化为a>−(e x)2+2√3e x求解即可．本题考查了函数的奇偶性、单调性及恒成立问题，也考查了转化思想和求函数的最值，属于中档题．9.【答案】ABC【解析】解：对于A，相关指数R2用来刻画回归效果，R2越大，则残差平方和越小，模型的拟合效果越好，故A正确；对于B，∵y1+y2+y3+⋯+y8=2(x1+x2+x3+⋯+x8)=16，∴x−=1，y−=2，∴样本中心为(1,2)，又线性回归方程是ŷ=x+â，∴2=1+â，解得â=1，故B正确；对于C，若一组数据2，a，4，6的平均数是4，则a=4×4−2−4−6=4，∴这组数据的众数和中位数都是4，故C正确；对于D，设随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，若P(ξ≥1)=p，则P(ξ≤−1)=p，则P(−1<ξ<1)=1−2p，∴P(−1<ξ≤0)=12−p，故D错误．故选：ABC．根据相关系数的概念及实际意义判断A ；求出x −，y −，可得样本中心点，把样本中心点代入线性回归方程，求得a ^，即可判断B ；利用平均数、众数、中位数的定义能判断C ；利用正态分布判断D ．本题考查命题真假的判断，考查残差、众数、中位数、平均数、正态分布的概率、线性回归方程等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．10.【答案】BC【解析】解：两条直线m ，n 和两个平面α，β，对于A ，若m//α，n//β，且m//n ，则α与β相交或平行，故A 错误； 对于B ，若n ⊥β，且m ⊥n ，则m//β或m ⊂β， ∵m ⊥α，∴由面面垂直的判定定理得α⊥β，故B 正确；对于C ，若m ⊥α，n//β，且m//n ，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故C 正确； 对于D ，若α⊥β，且a ⊂α，则a 与β相交、平行或a ⊂β，故D 错误． 故选：BC ．对于A ，α与β相交或平行；对于B ，由面面垂直的判定定理得α⊥β；对于C ，由面面垂直的判定定理得α⊥β；对于D ，a 与β相交、平行或a ⊂β．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力，是中档题．11.【答案】AB【解析】解：对于A ：由l ：mx −y −2m +3=0(m ∈R)整理得m(x −2)−y +3=0，当{x −2=0−y +3=0，即{x =2y =3时，不论m 为何值时m(x −2)−y +3=0(m ∈R)都成立，所以直线l 过定点(2,3)，故A 正确；对于B ：因为直线l 过定点(2,3)，将定点代入圆C ：(2−4)2+(3−5)2=8<12，所以定点(2,3)在圆C 的内部，当直线l 过圆心(4,5)时，|AB|取得最大值，此时解得m =1，故B 正确；对于C ：设直线l 过的定点M(2,3)，当CM ⊥AB 时，∠ACB 最小，而|CM|=√(4−2)2+(5−3)2=2√2，所以|AB|=2√12−8=4，所以在△ABC 中，由余弦定理计算可得cos∠ABC =13，故C 不正确；对于D ：AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅cos∠BAC ，而|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅cos∠BAC 表示AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 在AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影，所以当AC⃗⃗⃗⃗⃗ 、AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线即A 、C 、B 、M 四点共线，且方向相同时，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最大值，此时AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√3⋅√3=6，所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为6，故D 不正确． 故选：AB ．对于A ：整理得m(x −2)−y +3=0(m ∈R)，由此可求得直线所过的定点； 对于B ：由直线l 过定点(2,3)，且定点(2,3)在圆C 的内部，当直线l 过圆心(4,5)时，|AB|取得最大值，由此求得m 的值；对于C ：设直线l 过的定点M(2,3)，当CM ⊥AB 时，∠ACB 最小，由余弦定理计算可判断； 对于D ：当AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 、AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线，且方向相同时，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最大值，由此可判断． 本题考查了直线过定点、直线与圆的关系，难点在于C 、D 两项中直线在什么情况才能使选项中的最值成立，属于中档题．12.【答案】CD【解析】解：选项A ，∵f(−x)=sin|−x|+√3|cos(−x)|=sin|x|+√3|cosx|=f(x)，∴f(x)为偶函数， 当x ∈[2π3,7π6]时，cosx <0，所以f(x)=sinx −√3cosx =2sin(x −π3)， 又x −π3∈[π3,5π6]，由y =sinx 在[π3,5π6]为先增后減，故 A 不正确；选项B ，当x ⩾0时，由cosx ⩾0可得f(x)=sinx +√3cosx =2sin(x +π3)，所以函数在[2kπ−π2,2kπ+π6]，(k ∈Z)且x ⩾0上为增凾数，在[2kπ+π6,2kπ+π2]，(k ∈Z)且x ⩾0上为减函数，当x ⩾0时，由cosx ⩽0可得f(x)=sinx −√3cosx =2sin(x −π3)， 所以函数在[2kπ+π2,2kπ+5π6]，(k ∈Z)且x ⩾0上为增函数，在[2kπ+5π6,2kπ+3π2]，(k ∈Z)且x ⩾0上为减函数，做出函数图象如图，又因为函数为偶函数，故f(x)不是周期函数，故B错误；选项C，由B选项的分析可知，函数的最大值为2，最小值为−1，故最大值与最小值的和为1，C 正确；选项D，由函数图象可得f(x)在区间[−8,8]有4个零点，故D正确，故选：CD．当x∈[2π3,7π6]时，化简函数解析式，根据正弦函数的单调性可判断A；作出函数f(x)的图象可判断B；结合图象可知函数的最大值和最小值，从而判断C；由图象可判断D．本题考查了三角函数的图象与性质，函数的零点与方程根的关系，属于难题．13.【答案】3【解析】解：由抛物线的方程可得准线方程为y=−4，设AP⊥l交点为P，与准线的焦点为Q，由抛物线的性质可得|AQ|=|AF|，所以||AP|−|AF||=||AP|−|AQ||=|PQ|=|−1−(−4)|=3，故答案为：3．由抛物线的方程可得准线的方程，再由抛物线的性质可得|AF|等于A到准线的距离，进而求出||AP|−|AF||为y=−1到准线的距离．本题考查抛物线的性质，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，属于基础题．【解析】解：根据三角函数的定义可得，x 0=cosα，y 0=sinα， 又cos(α−π4)=√33，所以x 0y 0=sinαcosα=12sin2α=12cos(π2−2α)=12cos(2α−π2)=12[2cos 2(α−π4)−1]=−16． 故答案为：−16．根据三角函数的定义得到x 0y 0=sinαcosα，再根据二倍角公式以及诱导公式，结合题中条件，即可求出结果．本题主要考查了三角函数的定义，二倍角公式以及诱导公式的应用，属于基础题．15.【答案】[−18,10]【解析】解：如图，设BC 的中点为D ，连接OA ，OC ，OD ，则OD ⊥BC ． 设θ为OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 和BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角，则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos∠BCO −|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosθ=12|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |²−12|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosθ，且12|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |²−12|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |≤12|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |²−12|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosθ≤12|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |²+12|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |， 由|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |∈[0,4]，当|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=12时，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 有最小值−18； 当|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4时，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 有最大值10． 所以AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是[−18,10]． 故答案为：[−18,10]．设BC 的中点为D ，连接OA ，OC ，OD ，设θ为OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 和BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角，由向量的线性运算及数量积运算可得AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |²−12|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosθ，由cosθ的有界性，结合|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |∈[0,4]即可求解AC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围． 本题主要考查平面向量数量积的运算与性质，考查数形结合与转化思想的应用，考查运算求解能力，属于中档题．【解析】解：由题意可得：△OPA 2，△OA 2A 3为直角三角形，因为V P−OA 2A 3=13×S △OA 2A 3×ℎ=√23ℎ，所以要使四面体P −OA 2A 3的体积最大，只需ℎ最大，此时平面OPA 2⊥平面OA 2A 3，又平面OPA 2∩平面OA 2A 3=OA 2，A 2A 3⊥OA 2， 所以A 2A 3⊥平面OPA 2.因为PA 2⊂平面OPA 2，所以A 2A 3⊥PA 2，所以△OPA 3为直角三角形．综上所述，当四面体P −OA 2A 3的体积最大时，它的表面有4个直角三角形．当PA 3=√2时，三棱锥P −OA 2A 3的三条侧棱相等， 所以点P 在底面OA 2A 3的射影为△OA 2A 3的外心．因为△OA 2A 3的为直角三角形，所以△OA 2A 3的外心为OA 3的中点M ． 如图，连接PM ，则PM =√22，所以四面体P −OA 2A 3的外接球的球心在PM 的延长线上．设球心为N ，连接NA 3，令NA 3=R ，在Rt △MNA 3中，由勾股定理，得R 2=(R −√22)2+(√62)2，解得R =√2，所以V =4πR 33=4π3×(√2)3=8√2π3， 所以当PA 3=√2时，四面体P −OA 2A 3外接球8√2π3．故答案为：4；8√2π3．要使四面体P −OA 2A 3的体积最大，只需ℎ最大，此时平面OPA 2⊥平面OA 2A 3，再由线面垂直的性质定可得四面体P −OA 2A 3的表面有几个直角三角形；连接PM ， 则四面体P −OA 2A 3的外接球的球心在PM 的延长线上，由外接球的性质可得方程R 2=(R −√22)2+(√62)2，即可求出R ，进而得出所求的体积．本题考查数学文化、四面体的表面积、外接球的体积，考查学生的空间想象能力和运算能力，属中档题．17.【答案】解：(1)a n+1+a n=6n−1，当n=1时，a2+a1=5，又a1=1，所以a2=4，当n≥2时，a n+a n−1=6(n−1)−1，两式相减可得a n+1−a n−1=6，所以数列{a n}的奇数项是首项为a1=1，公差为6的等差数列，偶数项是首项为a2=4，公差为6的等差数列，所以a2n−1=1+6(n−1)=6n−5，a2n=4+6(n−1)=6n−2，则a2n−a2n−1=3，a2n+1−a2n=3，n∈N∗，所以a n+1−a n=3，n∈N∗，所以数列{a n}为等差数列，首项为1，公差为3，所以a n=1+3(n−1)=3n−2．(2)若数列{b n−a n}是公比为2的等比数列，且b1=2，所以b n−a n=2⋅2n−1=2n，所以b n=3n−2+2n，所以S n=n(1+3n−2)2+2(1−2n)1−2=3n2−n2+2n+1−2．【解析】(1)由已知可得数列{a n}为等差数列，根据等差数列的通项公式即可得解；(2)利用分组求和法求解S n即可．本题主要考查等差数列与等比数列的综合，考查分组求和法的应用，考查运算求解能力，属于基础题．18.【答案】解：(1)在△ACD中，AC=√3，AD=1，∠CAD=30°，∴CD2=AC2+AD2−2AC⋅AD⋅cos∠CAD=1，∴CD=1，所以△ACD是等腰三角形，AD=CD=1，所以∠ACD=∠CAD=30°；(2)设BC=a，AB=c，在△ABC中，AC=√3，∠ACB=60°，∴∠BAC+∠ABC=120°，∴∠BAC=120°−B，又因为△ABC为锐角三角形，∴{0∘<B<90∘0∘<120∘−B<90∘，∴30°<B<90°由正弦定理可得：AC sinB =BCsin∠BAC=BCsin(120∘−B)，化简得：BC=√32+32×1tanB，∵30°<B<90°，∴tanB>√33，∴0<1tanB<√3，∴√32<BC<2√3，故BC的范围为(√32,2√3).【解析】(1)由余弦定理计算出CD的长度，得到△ACD为等腰三角形，从百求解即可；(2)由正弦定理得到BC=√32+32×1tanB，再结合锐角三角形的定义，计算可得所求范围．本题考查三角形的正弦定理、余弦定理的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．19.【答案】(1)证明：取CD的中点M，连接AM，PM，因为CD=PC=PD=2，所以△PCD为等边三角形，所以PM⊥CD，PM=√3，过点C作CN⊥AD于N，因为AB=BC=CD=2，AD=4，所以DN=1，CD=2DN，所以∠ADC=60°，在△ADM中，由余弦定理知，AM2=AD2+DM2−2AD⋅DM⋅cos∠ADC=16+1−2×4×1×12=13，所以PA2=AM2+PM2，即PM⊥AM，又AM∩CD=M，AM、CD⊂平面ABCD，所以PM⊥平面ABCD，因为PM⊂平面PCD，所以平面PCD⊥平面ABCD．(2)解：以D 为坐标原点，DA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴的正方向，作Dz//PM ，Dy ⊥AD ，建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0)，B(3,√3,0)，C(1,√3,0)，P(12,√32,√3)，所以PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,√32,−√3)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0,0)，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√3,0)，设平面PBC 的法向量为m ⃗⃗⃗ =(x,y,z)，则{m ⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{12x +√32y −√3z =0−2x =0， 令y =2，则x =0，z =1，所以m⃗⃗⃗ =(0,2,1)， 同理可得，平面PCD 的法向量n ⃗ =(√3,−1,0)， 所以cos <m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√5×2=−√55， 因为<m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ >∈[0,π]，所以sin <m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ >=2√55， 故二面角B −PC −D 的正弦值为2√55．【解析】(1)取CD 的中点M ，连接AM ，PM ，易知PM ⊥CD ，过点C 作CN ⊥AD 于N ，推出∠ADC =60°，在△ADM 中，利用余弦定理求出AM 的长，再由勾股定理可证PM ⊥AM ，然后根据线面垂直、面面垂直的判定定理，得证；(2)以D 为坐标原点建立空间直角坐标系，求得平面PBC 和平面PCD 的法向量m ⃗⃗⃗ 与n ⃗ ，再由cos <m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |，即可得解． 本题考查二面角的求法，空间中线与面的垂直关系，熟练掌握线面垂直、面面垂直的判定定理，以及利用空间向量求二面角的方法是解题的关键，考查空间立体感、推理论证能力和运算能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)由题意可得，y −=17× (990+990+450+320+300+240+210)=500，令t =1x ，设y 关于t 的线性回归方程为y ̂=b ̂t +a ̂，则b ̂=∑t i 7i=1y i −7t −⋅y−∑t i 27i=1−7t−2=1845−7×0.37×5000.55=1000，则a ̂=500−1000×0.37=130， 故y ̂=1000t +130， ∴y ̂=1000x+130，当x =50时，y ̂=150，故预测小明经过50天训练后，每天解题的平均速度为150秒．(2)设比赛再继续进行X 局小明最终获得比赛，则最后一局一定是小明获胜， 由题意可得，最多再进行4局，就能分出胜负， 当X =2时，小明4：1胜，P(X =2)=34×34=916，当X =3时，小明4：2胜，P(X =3)=C 21×C 43×(1−34)×34=932， 当X =4时，小明4：3胜，P(X =4)=C 31×34×(1−34)2×34=27256， 故小明最终赢得比赛的概率为916+932+27256=243256．【解析】(1)根据已知条件，结合最小二乘法和线性回归方程的公式，即可求得线性回归方程，x =50代入上式的线性回归方程中，即可求解．(2)设比赛再继续进行X 局小明最终获得比赛，则最后一局一定是小明获胜，题意可得，最多再进行4局，就能分出胜负，分别求出当X =2，X =3，X =4时的概率，并对结果求和，即可求解．本题主要考查了线性回归方程的求解，需要学生熟练掌握最小二乘法公式，属于中档题．21.【答案】解：(1)圆M ：(x +1)2+y 2=1圆心M(−1,0)，半径1，圆N ：(x −1)2+y 2=25圆心N(1,0)，半径5，设动员圆心Q(x,y)，半径r ，则QM =1+r ，QN =5−r ， 则QM +QN =6>MN =2，所以动员圆心Q 的轨迹是以M(−1,0)，N(1,0)为焦点，长轴为6的椭圆， 即a =3，c =1，所以b =2√2 则点Q 的轨迹方程为x 29+y 28=1； (2)证明：设P(x 0,y 0)，则x 029+y 028=1，易知y 0≠0，设直线l 的方程为y −y 0=k(x −x 0)，联立{y −y 0=k(x −x 0)x 29+y 28=1，可得(8+9k²)x²+18k(y 0−kx 0)+9(kx 0−y 0)²−72=0，则由直线l 与椭圆相切可得Δ=[18k(y 0−kx 0)]²−4(8+9k²)[9(kx 0−y 0)²−72]=0， 即(kx 0−y 0)²−8−9k²=0，整理得(x 0²−9)k²−2x 0y 0k +y 0²−8=0， 因为点P 在椭圆上，所以x 029+y 028=1，代入可得k =−8x9y 0，则切线l 的方程为x 0x 9+y 0y 8=1，将x =1和x =9分别代入l 中可得A(1,8(9−x 0)9y 0)B(9,8(1−x 0)y 0)，则k PN =y 0x 0−1，k BN =8(1−x 0)y 0−09−1=1−x 0y 0，|BN|=√(9−1)2+(8−8x 0y 0)2=8√y 02+(x 0−1)2y 02=83⋅|x 0−9y 0|，所以k PN ⋅k BN =y 0x0−1⋅1−x 0y 0=−1，|AN||BN|=|8(9−x 0)9y 0−0|83|x 0−9y 0|=13，即PN ⊥NB ，|AN||BN|=13．【解析】(1)求出两个圆的圆心与半径，设出动圆的圆心与半径，判断动圆的圆心轨迹，即可得到结果；(2)由题意设P(x 0,y 0)，联立直线l 与椭圆C 的方程，根据△=0求得椭圆过点P 的切线l 的方程为x 0x 9+y 0y 8=1，再分别和直线x =1与x =9立，得到A 、B 的坐标，即可证明，并且求得|AN||BN|是为定值．本题考查椭圆标出方程的求解，考查椭圆中的定值问题，属于中档题．22.【答案】解：(1)当k =2时，f(x)=(e x −2)x 2，f′(x)=e x ⋅2x +(e x −2)2x =x(xe x +2e x −4)=x[(x +2)e x −4]， 令g(x)=(x +2)e x −4，则g′(x)=(x +3)e x ，所以g(x)=(x +2)e x −4在(−∞,−3)单调递减，在(−3,+∞)单调递增， 又因为x <−2时，g(x)<0恒成立，g(0)=−2<0，g(1)=3e −4>0， 所以g(x)=(x +2)e x −4在(0,1)上有唯一的零点x 0，所以当x ∈(−∞,0)，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x ∈(0,x 0)，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x ∈(x 0,+∞)，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以函数f(x)有两个极值点，(2)f′(x)=e x x2+(e x−k)⋅2x=x[(x+2)e x−2k]，令ℎ(x)=(x+2)e x−2k(k>0)，则x<−2时，ℎ(x)<0，ℎ′(x)=(x+3)e x，当x>−3时，ℎ(x)单调递增，ℎ(0)=2−2k，①当k=1时，f′(x)≥0在R上恒成立，f(x)无极值，不存在符合题意的k，②当k>1时，ℎ(0)<0，ℎ(k)=(k+2)e k−2k>(k+2)⋅e−2k>0，存在x0∈(0,k)，使得ℎ(x0)=0，当x∈(−∞,0)，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x∈(0,x0)，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x∈(x0,+∞)，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以f(x)的极大值为f(0)=0<2ek2，f(x)的极小值为f(x0)<f(0)=0<2ek2，故不存在符合题意的k，③当0<k<1时，ℎ(0)>0，存在x0∈(−2,0)，使得ℎ(x0)=0，当x∈(−∞,x0)，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x∈(x0,0)，f′(x)<0，f(x0)单调递减，当x∈(0,+∞)，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以f(x)的极小值为f(0)=0<2ek2，f(x)的极大值为f(x0)，如果存在正实数k使函数f(x)的极值为2ek2，则f(x0)=(e x0−k)x02=2ek2，又因为ℎ(x0)=(x0+2)e x0−2k=0，所以(2kx0+2−k)x02=2ek2，所以x3+2ek(x+2)=0，所以x03+e x0+1(x0+2)2=0，即x03e+e x0(x0+2)2=0，令H(x)=x3e +e x(x+2)2，则H′(x)=3x2e+e x(x2++6x+8)，因为x∈(−2,0)，所以H′(x)>0，所以H(x)在(−2,0)单调递增，又因为H(−1)=0，所以x0=−1，此时k=(x0+2)e x02=12e，综上所述，k=12e时，存在极值为2ek2．【解析】(1)f(x)=(e x−2)x2，f′(x)=x[(x+2)e x−4]，g(x)=(x+2)e x−4，g(x)= (x+2)e x−4在(0,1)上有唯一的零点x0，x∈(x0,+∞)，f′(x)>0，f(x)单调递增，函数f(x)有两个极值点，(2)f′(x)=e x x2+(e x−k)⋅2x=x[(x+2)e x−2k]，ℎ(x)=(x+2)e x−2k(k>0)，对k分类讨论可得结论．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，考查学生的分析问题的能力和计算能力，是一道综合题．。
2021届湖南省长沙市麓山国际实验学校高三上学期第一次月考数学试题(解析版)
第 1 页 共 6 页 2021届湖南省长沙市麓山国际实验学校高三上学期第一次月考数学试题
一、单选题 1．已知集合2|560Axxx，|15BxZx，则AB（ ）
A．2,3 B．1,5 C．2,3 D．
2,3,4
【答案】C 【解析】求解一元二次不等式化简集合A，利用交集的定义计算得出答案． 【详解】 ∵256023023xxxxx，∴|23Axx， 又|152,3,4BxZx，所以2,3AB， 故选：C. 【点睛】 本题考查集合的交并补运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题． 2．设复数z满足=1iz，z在复平面内对应的点为(x，y)，则
A．22+11()xy B．22(1)1xy C．
22(1)1yx
D．
22(+1)1yx
【答案】C 【解析】本题考点为复数的运算，为基础题目，难度偏易．此题可采用几何法，根据点（x，y）和点(0，1)之间的距离为1，可选正确答案C． 【详解】 ,(1),zxyizixyi22(1)1,zixy则22(1)1yx．故选C．
【点睛】 本题考查复数的几何意义和模的运算，渗透了直观想象和数学运算素养．采取公式法或几何法，利用方程思想解题． 3．设0a，0b，则“lg()0ab”是“lg()0ab”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不
必要条件 第 1 页 共 6 页
【答案】A 【解析】由lg()0ab，可推出1ab，可以判断出,ab中至少有一个大于1.由lg()0ab可以推出1ab，,ab与1的关系不确定，这样就可以选出正确答案.
【详解】 因为lg()0ab，所以1ab，0a，0b，显然,ab中至少有一个大于1，如果都小于等于1，根据不等式的性质可知：乘积也小于等于1，与乘积大于1不符. 由lg()0ab，可得1ab，,ab与1的关系不确定，显然由“lg()0ab”可以推出lg()0ab，但是由lg()0ab推不出lg()0ab，当然可以举特例：如23ab，符合1ab，但是不符合1ab，因此“lg()0ab”是