四川省成都市2017-2018学年高二下学期期中数学试卷(理科)Word版含解析
四川省成都市2017-2018学年高二下学期期中 数学试卷（理科） 一、选择题（共12个小题，每小题5分，共60分） 1．复数（i为虚数单位）的虚部是（ ） A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i 2．在极坐标系中，过点（2，）且与极轴平行的直线方程是（ ） A．ρ=2 B．θ= C．ρcosθ=2 D．ρsinθ=2 3．用反证法证明命题“若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确的是（ ） A．假设a，b，c不都是偶数 B．假设a，b，c都不是偶数 C．假设a，b，c至多有一个是偶数 D．假设a，b，c至多有两个是偶数 4．已知点P时抛物线y2=﹣4x上的动点，设点P到此抛物线的准线的距离为d1，到直线x+y﹣4=0的距离为d2，则d1+d2的最小值是（ ） A．2 B． C． D． 5．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）
A． B． C． D． 6．若直线l的参数方程为（t为参数），则直线l倾斜角的余弦值为（ ） A．﹣ B．﹣ C． D． 7．已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的有（ ） （1）m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β⇒α∥β （2）n∥m，n⊥α⇒m⊥α （3）α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n （4）m⊥α，m⊥n⇒n∥α A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 8．定积分=（ ） A． B． C． D．
9．已知函数，其导函数记为f'（x），则f+f'+f（﹣2017511）﹣f'（﹣2017511）=（ ） A．0 B．1 C．2 D．2017511
10．在区间和分别取一个数，记为a，b，则方程表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为（ ） A． B． C． D． 11．一矩形的一边在x轴上，另两个顶点在函数y=（x＞0）的图象上，如图，则此矩形绕x轴旋转而成的几何体的体积的最大值是（ ）
A．π B． C． D． 12．已知函数f（x）=，若关于x的不等式f2（x）+af（x）＞0恰有两个整数解，则实数a的取值范围是（ ） A．（﹣，﹣） B．[，） C．（﹣，﹣] D．（﹣1，﹣] 二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分） 13．设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则．类比这个结论可知：四面体A﹣BCD的四个面分别为S1、S2、S3、S4，内切球半径为R，四面体A﹣BCD的体积为V，则R= ． 14．函数f（x）=在区间，则双曲线C2的离心率e2的取值范围为 ． 16．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1，则下列四个命题： ①P在直线BC1上运动时，三棱锥A﹣D1PC的体积不变； ②P在直线BC1上运动时，直线AP与平面ACD1所成角的大小不变； ③P在直线BC1上运动时，二面角P﹣AD1﹣C的大小不变； ④M是平面A1B1C1D1上到点D和C1距离相等的点，则M点的轨迹是过D1点的直线，其中真命题的编号是 ．（写出所有真命题的编号）
三、解答题（共6小题，17题10分，18题至22题均为12分，共70分） 17．某市统计局就2015年毕业大学生的月收入情况调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图所示，每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示，恒有m+ln2＞|f（x1）﹣f（x2）|成立，求实数m的取值范围． 21．已知椭圆E：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，离心率e=，点D（0，1）在且椭圆E上， （Ⅰ）求椭圆E的方程； （Ⅱ）设过点F2且不与坐标轴垂直的直线交椭圆E于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点 G（t，0），求点G横坐标的取值范围． （Ⅲ）试用表示△GAB的面积，并求△GAB面积的最大值．
22．已知函数f（x）=，g（x）=ax2+bx（a≠0）（e为自然对数的底数）． （Ⅰ）若函数f（x）的图象在x=﹣1处的切线方程为y=x+n，求m，n的值； （Ⅱ）若a=﹣2时，函数h（x）=f（x）﹣g（x）在（0，+∞）内是增函数，求b的取值范围； （Ⅲ）当x＞0时，设函数f（x）的图象C1与函数g（x）的图象C2交于点P、Q，过线段PQ的中点R作x轴的垂线分别交C1、C2于点M、N，问是否存在点R，使C1在M处的切线与C2在N处的切线平行？若存在，求出R的横坐标；若不存在，请说明理由． 四川省成都市2017-2018学年高二下学期期中 数学试卷（理科） 参考答案与试题解析
一、选择题（共12个小题，每小题5分，共60分） 1．复数（i为虚数单位）的虚部是（ ） A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i 【考点】A2：复数的基本概念． 【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z得答案． 【解答】解：∵ =． ∴复数（i为虚数单位）的虚部是：1． 故选：A．
2．在极坐标系中，过点（2，）且与极轴平行的直线方程是（ ） A．ρ=2 B．θ= C．ρcosθ=2 D．ρsinθ=2 【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程． 【分析】可将极坐标系下的坐标转化成直角坐标处理，再将结果转化成极坐标方程． 【解答】解：点（2，）在直角坐标系下的坐标为（2，2），即（0，2） ∴过点（0，2）且与x轴平行的直线方程为y=2． 即为ρsinθ=2． 故答案选：D．
3．用反证法证明命题“若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确的是（ ） A．假设a，b，c不都是偶数 B．假设a，b，c都不是偶数 C．假设a，b，c至多有一个是偶数 D．假设a，b，c至多有两个是偶数 【考点】R9：反证法与放缩法． 【分析】本题考查反证法的概念，逻辑用语，否命题与命题的否定的概念，逻辑词语的否定．根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，故只须对“b、c中至少有一个偶数”写出否定即可． 【解答】解：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定“至少有一个”的否定“都不是”． 即假设正确的是：假设a、b、c都不是偶数 故选：B．
4．已知点P时抛物线y2=﹣4x上的动点，设点P到此抛物线的准线的距离为d1，到直线x+y﹣4=0的距离为d2，则d1+d2的最小值是（ ） A．2 B． C． D． 【考点】K8：抛物线的简单性质． 【分析】点P到准线的距离等于点P到焦点F的距离，过焦点F作直线x+y﹣4=0的垂线，此时d1+d2最小，根据抛物线方程求得F，进而利用点到直线的距离公式求得d1+d2的最小值． 【解答】解：点P到准线的距离等于点P到焦点F的距离， 过焦点F作直线x+y﹣4=0的垂线，此时d1+d2最小， ∵F（﹣1，0），则d1+d2==． 故选：D．
5．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）
A． B． C． D． 【考点】L!：由三视图求面积、体积． 【分析】这个几何体由半个圆锥与一个四棱锥组合而成，从而求两个体积之和即可． 【解答】解：这个几何体由半个圆锥与一个四棱锥组合而成， 半个圆锥的体积为××π×1×=； 四棱锥的体积为×2×2×=； 故这个几何体的体积V=； 故选D．
6．若直线l的参数方程为（t为参数），则直线l倾斜角的余弦值为（ ） A．﹣ B．﹣ C． D． 【考点】QH：参数方程化成普通方程． 【分析】把直线l的参数方程化为普通方程，利用斜率与倾斜角的关系、同角三角函数基本关系式即可得出． 【解答】解：由题意得，设直线l倾斜角为θ，直线l的参数方程为（t为参数）， 可化为，则， ∵θ∈（0，π），
∴， 故选：B．
7．已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的有（ ） （1）m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β⇒α∥β （2）n∥m，n⊥α⇒m⊥α （3）α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n （4）m⊥α，m⊥n⇒n∥α A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【考点】2K：命题的真假判断与应用． 【分析】由面面平行的判定定理，即可判断（1）；运用线面垂直的性质定理，即可判断（2）； 由面面平行的定义和性质，即可判断（3）；由线面的位置关系，及线面垂直的性质即可判断（4）． 【解答】解：（1）由m⊂α，n⊂α，且m∩n=O，m∥β，n∥β⇒α∥β，故（1）错； （2）n∥m，n⊥α⇒m⊥α，由线面垂直的性质定理，可得（2）正确； （3）α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n或m，n异面，则（3）错； （4）m⊥α，m⊥n⇒n∥α或n⊂α，则（4）错． 综上可得，只有（2）正确． 故选：B．
8．定积分=（ ） A． B． C． D． 【考点】67：定积分． 【分析】根据定积分的运算法则，求出的原函数，然后再代入求解； 【解答】解：∵ = 又y=，是以（1，0）为圆心，r=1为半径的上半圆，求其在x=0到x=1上的积分，其实为圆的面积的： ∴=×π=，
∵==﹣0=， ∴= 故选D．
2017-2018学年四川省成都七中高二(上)期中数学试卷(理科)
2017-2018学年四川省成都七中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）抛物线y=4x2的准线方程是（）A．x=1B．x=﹣C．y=﹣1D．y=﹣2．（5分）“a=3”是“直线y=x+4与圆（x﹣a）2+（y﹣3）2=8相切”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）设双曲线的渐近线方程为3x±2y=0，则a的值为（）A．4B．3C．2D．14．（5分）圆O1：x2+y2﹣2x=0和圆O2：x2+y2﹣4y=0的位置关系是（）A．相离B．相交C．外切D．内切5．（5分）已知F是抛物线y2=x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|=3，则线段AB的中点到y轴的距离为（）A．B．1C．D．6．（5分）设椭圆（m＞0，n＞0）的右焦点与抛物线y2=8x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为（）A．B．C．D．7．（5分）在同一坐标系中，方程a2x2+b2y2=1与ax+by2=0（a＞b＞0）的曲线大致是（）A．B．C．D．8．（5分）如果实数x，y满足（x﹣2）2+y2=3，则的最大值为（）A．B．C．D．9．（5分）椭圆，（0＜m＜3）的左右焦点分别为F1、F2，过F2的直线与椭圆交于A、B两点，点B关于y轴的对称点为点C，则四边形AF1CF2的周长为（）A．2m B．4m C．4D．1210．（5分）设直线l：mx+（m﹣1）y﹣1=0（m∈R），圆C：（x﹣1）2+y2=4，则下列说法中正确的是（）A．直线l与圆C有可能无公共点B．若直线l的一个方向向量为=（1，﹣2），则m=﹣1C．若直线l平分圆C的周长，则m=1或m=0D．若直线l与圆C有两个不同交点M、N，则线段MN的长的最小值为2 11．（5分）已知椭圆C：+=1左右焦点分别为F1、F2，直线l：y=（x+2）与椭圆C交于A、B两点（A点在x轴上方），若满足||=λ||，则λ的值等于（）A．2B．3C．2D．12．（5分）已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线离心率倒数之和的最大值为（）A．B．C．4D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）命题p：∀x∈R，|x|＜0的否定是．14．（5分）过点A（4，1）的圆C与直线x﹣y=1相切于点B（2，1），则圆C的方程为．15．（5分）点F为双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的右焦点，以F为圆心的圆过坐标原点O，且与双曲线C的两渐近线分别交于A、B两点，若四边形OAFB是菱形，则双曲线C的离心率为．16．（5分）Rt△ABC中，斜边BC为6，以BC的中点O为圆心，作半径为2的圆，分别交BC于P、Q两点，则|AP|2+|AQ|2+|PQ|2=．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知椭圆+=1的长轴两端点为双曲线的焦点，且双曲线的离心率为．（1）求双曲线的标准方程；（2）若斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，线段AB的中点的横坐标为4，求直线的方程．18．（12分）设p：方程x2+2mx+1=0有两个不相等的正根；q：方程x2+2（m﹣2）x﹣3m+10=0无实根，则使p∨q为真，p∧q为假的实数m的取值范围．19．（12分）已知离心率为的椭圆C的一个焦点坐标为（﹣，0）．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点P（0，2）的直线与轨迹C交于不同的两点E、F，求•的取值范围．20．（12分）已知点P（2，2），圆C：x2+y2﹣8y=0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．（1）求M的轨迹方程；（2）当|OP|=|OM|时，求l的方程及△POM的面积．21．（12分）已知斜率为k的直线经过点（﹣1，0）与抛物线C：y2=2px（p＞0，p为常数）交于不同的两点M，N，当k=时，弦MN的长为4．（1）求抛物线C的标准方程；（2）过点M的直线交抛物线于另一点Q，且直线MQ经过点B（1，﹣1），判断直线NQ是否过定点？若过定点，求出该点坐标；若不过定点，请说明理由．22．（12分）已知左、右焦点分别为F1、F2的椭圆C：+=1（a＞b＞0）与直线y=1相交于A、B两点，使得四边形ABF1F2为面积等于2的矩形．（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆C1上一动点P（不在x轴上）作圆O：x2+y2=1的两条切线PC、PD，切点分别为C、D，直线CD与椭圆C1交于E、G两点，O为坐标原点，求△OEG的面积S△OEG的取值范围．2017-2018学年四川省成都七中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）抛物线y=4x2的准线方程是（）A．x=1B．x=﹣C．y=﹣1D．y=﹣【分析】先将抛物线方程化为标准方程，进而可求抛物线的准线方程．【解答】解：由题意，抛物线的标准方程为x2=y，∴p=，开口朝上，∴准线方程为y=﹣；故选：D．【点评】本题的考点是抛物线的简单性质，主要考查抛物线的标准方程，属于基础题．2．（5分）“a=3”是“直线y=x+4与圆（x﹣a）2+（y﹣3）2=8相切”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】直线与圆相切，⇒或a=﹣5，由此能得到正确结果．【解答】解：若直线与圆相切，则或a=﹣5，所以“a=3”是“直线y=x+4与圆（x﹣a）2+（y﹣3）2=8相切”的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查必要条件，充分条件、充要条件的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．3．（5分）设双曲线的渐近线方程为3x±2y=0，则a的值为（）A．4B．3C．2D．1【分析】由题意，，即可求出a的值．【解答】解：由题意，，∴a=2，故选：C．【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质．属基础题．4．（5分）圆O1：x2+y2﹣2x=0和圆O2：x2+y2﹣4y=0的位置关系是（）A．相离B．相交C．外切D．内切【分析】求出半径，求出圆心，看两个圆的圆心距与半径的关系即可．【解答】解：圆O1：x2+y2﹣2x=0，即（x﹣1）2+y2=1，圆心是O1（1，0），半径是r1=1圆O2：x2+y2﹣4y=0，即x2+（y﹣2）2=4，圆心是O2（0，2），半径是r2=2∵|O1O2|=，故|r1﹣r2|＜|O1O2|＜|r1+r2|∴两圆的位置关系是相交．故选：B．【点评】本题考查圆与圆的位置关系，是基础题．5．（5分）已知F是抛物线y2=x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|=3，则线段AB的中点到y轴的距离为（）A．B．1C．D．【分析】根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出A，B的中点横坐标，求出线段AB的中点到y轴的距离．【解答】解：∵F是抛物线y2=x的焦点，F（）准线方程x=，设A（x1，y1），B（x2，y2），根据抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离|AF|=，|BF|=，∴|AF|+|BF|==3解得，∴线段AB的中点横坐标为，∴线段AB的中点到y轴的距离为．故选：C．【点评】本题考查解决抛物线上的点到焦点的距离问题，利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离．6．（5分）设椭圆（m＞0，n＞0）的右焦点与抛物线y2=8x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为（）A．B．C．D．【分析】先求出抛物线的焦点，确定椭圆的焦点在x轴，然后对选项进行验证即可得到答案．【解答】解：∵抛物线的焦点为（2，0），椭圆焦点在x轴上，排除A、C，由排除D，故选：B．【点评】本题主要考查抛物线焦点的求法和椭圆的基本性质．圆锥曲线是高考的必考内容，其基本性质一定要熟练掌握．7．（5分）在同一坐标系中，方程a2x2+b2y2=1与ax+by2=0（a＞b＞0）的曲线大致是（）A．B．C．D．【分析】根据题意，a＞b＞0，可以整理椭圆a2x2+b2y2=1与抛物线ax+by2=0变形为标准形式，可以判断其焦点所在的位置，进而分析选项可得答案．【解答】解：由a＞b＞0，椭圆a2x2+b2y2=1，即+=1，焦点在y轴上；抛物线ax+by2=0，即y2=﹣x，焦点在x轴的负半轴上；分析可得，D符合，故选：D．【点评】本题考查由椭圆、抛物线的方程判断图象的方法，注意先判断曲线的形状，再分析焦点等位置．8．（5分）如果实数x，y满足（x﹣2）2+y2=3，则的最大值为（）A．B．C．D．【分析】表示圆上动点与原点O连线的斜率，画出满足等式（x﹣2）2+y2=3的图形，由数形结合，我们易求出的最大值．【解答】解：满足等式（x﹣2）2+y2=3的图形如下图所示：表示圆上动点与原点O连线的斜率，由图可得动点与B重合时，此时OB与圆相切，取最大值，连接BC，在Rt△OBC中，BC=，OC=2，易得∠BOC=60°，此时=．故选：D．【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，利用的几何意义，是解答本题的关键．9．（5分）椭圆，（0＜m＜3）的左右焦点分别为F1、F2，过F2的直线与椭圆交于A、B两点，点B关于y轴的对称点为点C，则四边形AF1CF2的周长为（）A．2m B．4m C．4D．12【分析】根据过F2的直线与椭圆交于A、B两点，点B关于y轴的对称点为点C，利用椭圆的定义，可得四边形AF1CF2的周长为|AF1|+|AF2|+|CF1|+|CF2|=4a，由方程即可得出结论．【解答】解：∵过F2的直线与椭圆交于A、B两点，点B关于y轴的对称点为点C，∴四边形AF1CF2的周长为|AF1|+|AF2|+|CF1|+|CF2|=4a，∵椭圆，（0＜m＜3）∴a=3，∴四边形AF1CF2的周长为12．故选：D．【点评】本题考查椭圆的定义，考查四边形AF1CF2的周长，正确运用椭圆的定义是关键．10．（5分）设直线l：mx+（m﹣1）y﹣1=0（m∈R），圆C：（x﹣1）2+y2=4，则下列说法中正确的是（）A．直线l与圆C有可能无公共点B．若直线l的一个方向向量为=（1，﹣2），则m=﹣1C．若直线l平分圆C的周长，则m=1或m=0D．若直线l与圆C有两个不同交点M、N，则线段MN的长的最小值为2【分析】直线l过定点P（1，﹣1），圆C：（x﹣1）2+y2=4的圆心C（1，0），半径r=2，在A中，求出点P在圆C内部，从而直线l与圆C一定有公共点；在B中，直线l的一个方向向量为=（1，﹣2），则m=2；在C中，若直线l平分圆C的周长，则直线l过圆心C（1，0），则m=1；在D中，线段MN的长的最小值为：2．【解答】解：∵设直线l：mx+（m﹣1）y﹣1=0（m∈R），∴（x+y）m﹣（y+1）=0，由，解得直线l过定点P（1，﹣1），圆C：（x﹣1）2+y2=4的圆心C（1，0），半径r=2，在A中，P（1，﹣1）与圆心C（1，0）的距离|PC|=1＜r=2，∴点P在圆C内部，∴直线l与圆C一定有公共点，故A错误；在B中，若直线l的一个方向向量为=（1，﹣2），则=﹣2，解得m=2，故B错误；在C中，若直线l平分圆C的周长，则直线l过圆心C（1，0），∴m﹣1=0，解得m=1，故C错误．在D中，若直线l与圆C有两个不同交点M、N，则线段MN的长的最小值为：2=2=2，故D正确．故选：D．【点评】本题考查命题真假的判断，考查直线方程、圆、弦长等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．11．（5分）已知椭圆C：+=1左右焦点分别为F1、F2，直线l：y=（x+2）与椭圆C交于A、B两点（A点在x轴上方），若满足||=λ||，则λ的值等于（）A．2B．3C．2D．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2）．由||=λ||，可得：=λ=．联立，解得y1，y2．可得λ．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2）．由||=λ||，可得：=λ=．联立，化为：32y2﹣20y﹣75=0，解得y==．∴λ===2．故选：C．【点评】本题考查了椭圆与双曲线的标准方程及其性质、一元二次方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．（5分）已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线离心率倒数之和的最大值为（）A．B．C．4D．【分析】根据双曲线和椭圆的性质和关系，结合余弦定理即可得到结论．【解答】解：设椭圆的长半轴为a，双曲线的实半轴为a1，（a＞a1），半焦距为c，由椭圆和双曲线的定义可知，设|PF1|=r1，|PF2|=r2，|F1F2|=2c，椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2∵∠F1PF2=，则由余弦定理可得4c2=（r1）2+（r2）2﹣2r1r2cos，①在椭圆中，①化简为即4c2=4a2﹣3r1r2…②，在双曲线中，①化简为即4c2=4a12+r1r2…③，+=4，由柯西不等式得（1+）（+）=（+×）2∴+≤故选：B．【点评】本题主要考查椭圆和双曲线的定义和性质，利用余弦定理和柯西不等式是解决本题的关键．属于难题．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）命题p：∀x∈R，|x|＜0的否定是∃x∈R，|x|≥0．【分析】根据含有量词的命题的否定为：将任意改为存在，结论否定，即可写出命题的否定【解答】解：由题意命题p：∀x∈R，|x|＜0，的否定是：∃x∈R，|x|≥0故答案为：∃x∈R，|x|≥0【点评】本题的考点是命题的否定，主要考查含量词的命题的否定形式：将任意与存在互换，结论否定即可．14．（5分）过点A（4，1）的圆C与直线x﹣y=1相切于点B（2，1），则圆C的方程为（x﹣3）2+y2=2．【分析】设圆的标准方程，再用过点A（4，1），过B，两点坐标适合方程，圆和直线相切，圆心到直线的距离等于半径，求得圆的方程．【解答】解：设圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，则（4﹣a）2+（1﹣b）2=r2，（2﹣a）2+（1﹣b）2=r2，=﹣1，解得a=3，b=0，r=，故所求圆的方程为（x﹣3）2+y2=2．故答案为：（x﹣3）2+y2=2．【点评】命题意图：本题主要考查利用题意条件求解圆的方程，通常借助待定系数法求解．15．（5分）点F为双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的右焦点，以F为圆心的圆过坐标原点O，且与双曲线C的两渐近线分别交于A、B两点，若四边形OAFB是菱形，则双曲线C的离心率为2．【分析】由题意，△AOF是等边三角形，=，利用双曲线C的离心率为，即可得出结论．【解答】解：由题意，△AOF是等边三角形，∴=，∴双曲线C的离心率为==2．故答案为：2．【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．16．（5分）Rt△ABC中，斜边BC为6，以BC的中点O为圆心，作半径为2的圆，分别交BC于P、Q两点，则|AP|2+|AQ|2+|PQ|2=42．【分析】利用余弦定理，求出|AP|2、|AQ|2，结合∠AOP+∠AOQ=180°，即可求|AP|2+|AQ|2+|PQ|2的值．【解答】解：由题意，OA=OB=3，OP=OQ=2，△AOP中，根据余弦定理AP2=OA2+OP2﹣2OA•OPcos∠AOP同理△AOQ中，AQ2=OA2+OQ2﹣2OA•OQcos∠AOQ因为∠AOP+∠AOQ=180°，所以|AP|2+|AQ|2+|PQ|2=2OA2+2OP2+PQ2=2×32+2×22+42=42．故答案为42．【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，是中档题，解题时要认真审题，注意余弦定理的合理运用．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知椭圆+=1的长轴两端点为双曲线的焦点，且双曲线的离心率为．（1）求双曲线的标准方程；（2）若斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，线段AB的中点的横坐标为4，求直线的方程．【分析】（1）由题意可设双曲线的标准方程为：﹣=1，（a，b＞0）．由椭圆+=1的长轴两端点为双曲线的焦点，且双曲线的离心率为．可得c=3，=，b2=c2﹣a2，联立解出即可得出．（2）设直线l的方程为：y=x+m，A（x1，y1），B（x2，y2）．设线段AB的中点坐标为（4，y0），可得x1+x2=8，y1+y2=2y0，=1．由﹣=1，﹣=1，相减化简代入解出m即可得出．【解答】解：（1）由题意可设双曲线的标准方程为：﹣=1，（a，b＞0）．∵椭圆+=1的长轴两端点为双曲线的焦点，且双曲线的离心率为．∴c=3，=，b2=c2﹣a2，联立解得c=3，a=2，b2=5．∴双曲线的标准方程为=1．（2）设直线l的方程为：y=x+m，A（x1，y1），B（x2，y2）．设线段AB的中点坐标为（4，y0），则x1+x2=8，y1+y2=2y0，=1．由﹣=1，﹣=1，相减可得：﹣=0，代入可得：﹣=0，解得y0=5．代入直线l的方程为：=2+m，解得m=3．故直线l的方程为：y=x+3．【点评】本题考查了椭圆与双曲线的标准方程及其性质、中点坐标公式、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12分）设p：方程x2+2mx+1=0有两个不相等的正根；q：方程x2+2（m﹣2）x﹣3m+10=0无实根，则使p∨q为真，p∧q为假的实数m的取值范围．【分析】由使p∨q为真，P∧q为假，则p，q中必然一真一假，故我们可以根据p：方程x2+2mx+1=0有两个不相等的正根；q：方程x2+2（m﹣2）x﹣3m+10=0无实根．求出各种情况下，m的取值范围，综合分析后，即可得到使p∨q为真，P∧q为假的实数m的取值范围．【解答】解：∵p∨q为真，P∧q为假∴p与q一个为真，一个为假由p：方程x2+2mx+1=0有两个不相等的正根当P为真时，m＜﹣1，则p为假时，m≥﹣1由q：方程x2+2（m﹣2）x﹣3m+10=0无实根当q为真时，﹣2＜m＜3，则q为假时，m≤﹣2，或m≥3当p真q假时，m≤﹣2当p假q真时，﹣1≤m＜3故使p∨q为真，P∧q为假的实数m的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[﹣1，3）【点评】（1）由简单命题和逻辑连接词构成的复合命题的真假可以用真值表来判断，反之根据复合命题的真假也可以判断简单命题的真假．假若p且q真，则p 真，q也真；若p或q真，则p，q至少有一个真；若p且q假，则p，q至少有一个假．（2）可把“p或q”为真命题转化为并集的运算；把“p且q”为真命题转化为交集的运算．19．（12分）已知离心率为的椭圆C的一个焦点坐标为（﹣，0）．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点P（0，2）的直线与轨迹C交于不同的两点E、F，求•的取值范围．【分析】（1）由题意可知椭圆焦点在x轴上，且得到关于a，b，c的方程组，求解即可得到椭圆C的标准方程；（2）设l的方程为x=k（y﹣2），联立直线方程与椭圆方程，化为关于y的一元二次方程，利用判别式大于0求得k的范围，利用根与系数的关系得到数量积关于k的表达式，再由k的范围得答案．【解答】解：（1）由题意可设椭圆方程为（a＞b＞0），且，解得．∴椭圆C的标准方程为；（2）设l的方程为x=k（y﹣2），联立，消去x得：（k2+3）y2﹣4k2y+4k2﹣3=0，由△=16k4﹣（4k2﹣3）（k2+3）＞0，得0≤k2＜1，设E（x1，y1），F（x2，y2），则y1+y2=，y1y2=，又=（x1，y1﹣2），=（x2，y2﹣2），∴=x1x2+（y1﹣2）（y2﹣2）=k（y1﹣2）•k （y2﹣2）+（y1﹣2）（y2﹣2）=（1+k2）（﹣2×+4）=9（1﹣），∵0≤k2＜1，∴3≤k2+3＜4，∴∈[3，）．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．（12分）已知点P（2，2），圆C：x2+y2﹣8y=0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．（1）求M的轨迹方程；（2）当|OP|=|OM|时，求l的方程及△POM的面积．【分析】（1）由圆C的方程求出圆心坐标和半径，设出M坐标，由与数量积等于0列式得M的轨迹方程；（2）设M的轨迹的圆心为N，由|OP|=|OM|得到ON⊥PM．求出ON所在直线的斜率，由直线方程的点斜式得到PM所在直线方程，由点到直线的距离公式求出O到l的距离，再由弦心距、圆的半径及弦长间的关系求出PM的长度，代入三角形面积公式得答案．【解答】解：（1）由圆C：x2+y2﹣8y=0，得x2+（y﹣4）2=16，∴圆C的圆心坐标为（0，4），半径为4．设M（x，y），则，．由题意可得：．即x（2﹣x）+（y﹣4）（2﹣y）=0．整理得：（x﹣1）2+（y﹣3）2=2．∴M的轨迹方程是（x﹣1）2+（y﹣3）2=2．（2）由（1）知M的轨迹是以点N（1，3）为圆心，为半径的圆，由于|OP|=|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ON⊥PM．∵k ON=3，∴直线l的斜率为﹣．∴直线PM的方程为，即x+3y﹣8=0．则O到直线l的距离为．又N到l的距离为，∴|PM|==．∴．【点评】本题考查圆的轨迹方程的求法，训练了利用向量数量积判断两个向量的垂直关系，训练了点到直线的距离公式的应用，是中档题．21．（12分）已知斜率为k的直线经过点（﹣1，0）与抛物线C：y2=2px（p＞0，p为常数）交于不同的两点M，N，当k=时，弦MN的长为4．（1）求抛物线C的标准方程；（2）过点M的直线交抛物线于另一点Q，且直线MQ经过点B（1，﹣1），判断直线NQ是否过定点？若过定点，求出该点坐标；若不过定点，请说明理由．【分析】（1）直线方程为x﹣2y+1=0，联立，得y2﹣4py+2p=0，由此利用弦长公式能求出抛物线C的标准方程．（2）设AM的方程为y=k（x+1），代入抛物线的方程，可得ky2﹣4y+4k=0，设M （x1，y1），N（x2，y2），Q（x3，y3），则y1y2=4，由k MQ=，直线MB的方程为y+1=（x﹣1），从而y1=﹣，=﹣，进而直线QN的方程为y﹣y2=（x﹣x2），由此能推导出直线QN过定点（1，﹣4）．【解答】解：（1）∵斜率为k=的直线经过点（﹣1，0），∴直线方程为x﹣2y+1=0，联立，得y2﹣4py+2p=0，△=16p2﹣8p＞0，即p＜0（舍）或p＞．设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=4p，x1x2=2p，∵弦MN的长为4，∴=，整理，得2p2﹣p﹣6=0，解得p=2或p=﹣（舍），∴抛物线C的标准方程为y2=4x．（2）设AM的方程为y=k（x+1），代入抛物线的方程，可得ky2﹣4y+4k=0设M（x1，y1），N（x2，y2），Q（x3，y3），则y1y2=4，由k MQ===，直线MB的方程为y+1=（x﹣1），∴y1+1=（x1﹣1），可得y1=﹣，∴=﹣，∴y2y3+4（y2+y3）+4=0直线QN的方程为y﹣y2=（x﹣x2）可得y2y3﹣y（y2+y3）+4x=0，∴x=1，y=﹣4，∴直线QN过定点（1，﹣4）．【点评】本题考查抛物线方程的求法，考查直线是否过定点的判断与求法，考查抛物线、弦长公式、直线方程等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．22．（12分）已知左、右焦点分别为F1、F2的椭圆C：+=1（a＞b＞0）与直线y=1相交于A、B两点，使得四边形ABF1F2为面积等于2的矩形．（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆C1上一动点P（不在x轴上）作圆O：x2+y2=1的两条切线PC、PD，切点分别为C、D，直线CD与椭圆C1交于E、G两点，O为坐标原点，求△OEG的面积S△OEG的取值范围．【分析】（1）根据A为通径的端点，可得A（c，），由矩形ABF1F2为面积等于2可得c=，结合a=b2=a2﹣c2=a2﹣2，可得，可得椭圆C1的方程；（2）设P（2m，2n）（n≠0），可得以线段OP为直径的圆的方程与单位圆相减，可得直线CD的方程，联立椭圆方程，代入三角形面积公式，结合二次函数的图象和性质，可得△OEG的面积S的取值范围．△OEG【解答】解：（1）可得A（c，），，由矩形ABF1F2为面积等于2可得c=，∴a=b2=a2﹣c2=a2﹣2，∴∴椭圆C的方程为：．（2）设P（2m，2n）（n≠0），则以线段OP为直径的圆的方程为（x﹣m）2+（y ﹣n）2=m2+n2，又圆O的方程为x2+y2=1，两式相减得直线CD的方程为2mx+2ny=1．由得（4m2+2n2）x2﹣4mx+1﹣8n2=0，设E（x1，y1）、G（x2，y2），=|x1y2﹣x2y1|=|x1﹣x2|==则S△OEG．令t=，则S=2，t∈（，]．△OEG∵y=﹣2t2+4t的图象是开口朝下，且以直线t=1为对称轴的抛物线，故t∈（，]时，函数为增函数，∈（，]．故S△OEG【点评】本题考查的知识点是抛物线的性质，椭圆的性质，圆的性质，二次函数的图象和性质，三角形面积公式，综合性可，难度较大．。
四川省成都外国语学校2017-2018学年高二上学期期中数学试卷(理科) Word版含解析
2017-2018学年四川省成都外国语学校高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．直线x+y+1=0的倾斜角是（）A．﹣B．C．D．2．椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为（）A．B．C．2 D．43．圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圆心到直线ax+y﹣1=0的距离为1，则a=（）A．﹣B．﹣C．D．24．已知命题p：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（）A．（￢p）∨q B．p∧q C．（￢p）∧（￢q）D．（￢p）∨（￢q）5．某几何体正视图与侧视图相同，其正视图与俯视图如图所示，且图中的四边形都是边长为2的正方形，正视图中两条虚线互相垂直，则该几何体的表面积是（）A．24 B．20+4C．24+4D．20+46．已知点P（a，b）（ab≠0）是圆x2+y2=r2内的一点，直线m是以P为中点的弦所在直线，直线l的方程为ax+by=r2，那么（）A．m∥l，且l与圆相交B．m⊥l，且l与圆相切C．m∥l，且l与圆相离D．m⊥l，且l与圆相离7．以椭圆的两个焦点为直径的端点的圆与椭圆交于四个不同的点，顺次连接这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率为（）A．﹣B．﹣1 C．D．8．如图，已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为3的正方形，侧棱AA1长为4，且AA1与A1B1，A1D1的夹角都是60°，则AC1的长等于（）A ．10B ．C ．D ．9．x 、y 满足约束条件，若z=y ﹣ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为（ ）A ．或﹣1B ．2或C ．2或1D ．2或﹣110．在圆x 2+y 2=5x 内，过点有n 条弦的长度成等差数列，最短弦长为数列的首项a 1，最长弦长为a n ，若公差，那么n 的取值集合为（ ）A ．{4，5，6}B ．{6，7，8，9}C ．{3，4，5}D ．{3，4，5，6}11．已知椭圆T ：+=1（a ＞b ＞0）的离心率为，过右焦点F 且斜率为k （k ＞0）的直线与T 相交于A ，B 两点，若=3，则k=（ ）A ．1B ．C ．D ．212．关于下列命题，正确的个数是（ ）（1）若点（2，1）在圆x 2+y 2+kx +2y +k 2﹣15=0外，则k ＞2或k ＜﹣4 （2）已知圆M ：（x +cos θ）2+（y ﹣sin θ）2=1，直线y=kx ，则直线与圆恒相切（3）已知点P 是直线2x +y +4=0上一动点，PA 、PB 是圆C ：x 2+y 2﹣2y=0的两条切线，A 、B 是切点，则四边形PACB 的最小面积是为2（4）设直线系M ：xcos θ+ysin θ=2+2cos θ，M 中的直线所能围成的正三角形面积都等于12．A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：本大概题共4小题，每小题5分.13．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，则异面直线AD 1与A 1C 1所成角的余弦值是 ．14．命题P ：将函数sin2x 的图象向右平移个单位得到函数y=sin （2x ﹣）的图象；命题Q ：函数y=sin （x +）cos （﹣x ）的最小正周期是π，则复合命题“P 或Q ”“P 且Q ”“非P ”为真命题的个数是 个．15．设x ，y 满足约束条件，若目标函数z=ax +by （a ＞0，b ＞0）的值是最大值为12，则的最小值为 ．16．已知以T=4为周期的函数f（x）=，其中m＞0．若方程3f （x）=x恰有5个实数解，则m的取值范围为．四、解答题：解答应写出文字说明过程或演算步骤．17．已知命题p：方程x2+mx+1=0有两个不等的负实数根；命题q：方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实数根．（1）若“￢p”为假命题，求m范围；（2）若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求m的取值范围．18．某人有楼房一幢，室内面积共计180m2，拟分割成两类房间作为旅游客房，大房间每间面积为18m2，可住游客5名，每名游客每天住宿费40元；小房间每间面积为15m2，可以住游客3名，每名游客每天住宿费50元；装修大房间每间需要1000元，装修小房间每间需要600元．如果他只能筹款8000元用于装修，且假定游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，才能获得最大收益？19．如图1，2，在Rt△ABC中，AB=BC=4，点E在线段AB上，过点E作交AC于点F，将△AEF沿EF折起到△PEF的位置（点A与P重合），使得∠PEB=60°．（1）求证：EF⊥PB；（2）试问：当点E在何处时，四棱锥P﹣EFCB的侧面的面积最大？并求此时四棱锥P﹣EFCB 的体积及直线PC与平面EFCB所成角的正切值．20．在平面直角坐标系xOy中，经过点且斜率为k的直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q．（Ⅰ）求k的取值范围；（Ⅱ）设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A，B，是否存在常数k，使得向量与共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．21．平面上两点A（﹣1，0），B（1，0），在圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=4上取一点P，（Ⅰ）x﹣y+c≥0恒成立，求c的范围（Ⅱ）从x+y+1=0上的点向圆引切线，求切线长的最小值（Ⅲ）求|PA|2+|PB|2的最值及此时点P的坐标．22．如图，椭圆M： +=1（a＞b＞0）的离心率为，直线x=±a和y=±b所围成的矩形ABCD的面积为8．（Ⅰ）求椭圆M的标准方程；（Ⅱ）设直线l：y=x+m（m∈R）与椭圆M有两个不同的交点P，Q，l与矩形ABCD有两个不同的交点S，T．求的最大值及取得最大值时m的值．2016-2017学年四川省成都外国语学校高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．直线x+y+1=0的倾斜角是（）A．﹣B．C．D．【考点】直线的倾斜角．【分析】根据题意可得直线的斜率k=﹣1，由直线的斜率与倾斜角的关系及倾斜角的范围，可得直线的斜率角．【解答】解：∵直线方程为x+y+1=0，∴化简得y=﹣x﹣1，直线的斜率为k=﹣1，设直线的倾斜角为α，则tanα=﹣1，∵α∈（0，π），∴，即直线x+y+1=0的倾斜角是．故选：D2．椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为（）A．B．C．2 D．4【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据题意，求出长半轴和短半轴的长度，利用长轴长是短轴长的两倍，解方程求出m 的值．【解答】解：椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，∴，故选A．3．圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圆心到直线ax+y﹣1=0的距离为1，则a=（）A．﹣B．﹣C．D．2【考点】圆的一般方程；点到直线的距离公式．【分析】求出圆心坐标，代入点到直线距离方程，解得答案．【解答】解：圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圆心坐标为：（1，4），故圆心到直线ax+y﹣1=0的距离d==1，解得：a=，故选：A．4．已知命题p：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（）A．（￢p）∨q B．p∧q C．（￢p）∧（￢q）D．（￢p）∨（￢q）【考点】复合命题的真假．【分析】先判断命题p和命题q的真假，命题p为真命题，命题q为假命题，再由真值表对照答案逐一检验．【解答】解：不难判断命题p为真命题，命题q为假命题，从而¬p为假命题，¬q为真命题，所以A、B、C均为假命题，故选D．5．某几何体正视图与侧视图相同，其正视图与俯视图如图所示，且图中的四边形都是边长为2的正方形，正视图中两条虚线互相垂直，则该几何体的表面积是（）A．24 B．20+4C．24+4D．20+4【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知原几何体是一个棱长为2的正方体挖去一四棱锥得到的，根据所提供的数据可求出各个面的面积，可得答案．【解答】解：由三视图知原几何体是一个棱长为2的正方体挖去一四棱锥得到的，该四棱锥的底为正方体的上底，高为1，如图所示：∴四棱锥的侧高为：故该几何体的表面积为：5×22+4×（×2×）=20+4，故选：B6．已知点P（a，b）（ab≠0）是圆x2+y2=r2内的一点，直线m是以P为中点的弦所在直线，直线l的方程为ax+by=r2，那么（）A．m∥l，且l与圆相交B．m⊥l，且l与圆相切C．m∥l，且l与圆相离D．m⊥l，且l与圆相离【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由P在圆内，得到P到圆心距离小于半径，利用两点间的距离公式列出不等式a2+b2＜r2，由直线m是以P为中点的弦所在直线，利用垂径定理得到直线OP与直线m垂直，根据直线OP的斜率求出直线m的斜率，再表示出直线l的斜率，发现直线m与l斜率相同，可得出两直线平行，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线l的距离，利用得出的不等式变形判断出d大于r，即可确定出直线l与圆相离．【解答】解：∵点P（a，b）（ab≠0）在圆内，∴a2+b2＜r2，∵k OP=，直线OP⊥直线m，∴k m=﹣，∵直线l的斜率k l=﹣=k m，∴m∥l，∵圆心O到直线l的距离d=＞=r，∴l与圆相离．故选C．7．以椭圆的两个焦点为直径的端点的圆与椭圆交于四个不同的点，顺次连接这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率为（）A．﹣B．﹣1 C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】设椭圆的两个焦点为F1，F2，圆与椭圆交于A，B，C，D四个不同的点，设|F1F2|=2c，则|DF1|=c，|DF2|=c．由椭圆的定义知2a=||DF1|+|DF2|=c+c，根据离心率公式求得答案．【解答】解：设椭圆的两个焦点为F1，F2，圆与椭圆交于A，B，C，D四个不同的点，设|F1F2|=2c，则|DF1|=c，|DF2|=c．椭圆定义，得2a=||DF1|+|DF2|=c+c，所以e===﹣1，故选B．8．如图，已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为3的正方形，侧棱AA1长为4，且AA1与A1B1，A1D1的夹角都是60°，则AC1的长等于（）A．10 B． C． D．【考点】棱柱的结构特征．【分析】直接根据向量的加法把所求问题分解，再平方计算出模长的平方，进而求出结论．【解答】解：因为=++；∴（）2=（++）2=（）2+（）2+（）2+2 •+2 •+2 •=42+32+32+2×4×3cos120°+2×4×3cos120°+2×3×3cos90°=10．∴AC1=故选C．9．x、y满足约束条件，若z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（）A．或﹣1 B．2或C．2或1 D．2或﹣1【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，得到直线y=ax+z斜率的变化，从而求出a的取值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由z=y﹣ax得y=ax+z，即直线的截距最大，z也最大．若a=0，此时y=z，此时，目标函数只在A处取得最大值，不满足条件，若a＞0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＞0，要使z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=ax+z与直线2x﹣y+2=0平行，此时a=2，若a＜0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＜0，要使z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=ax+z与直线x+y﹣2=0，平行，此时a=﹣1，综上a=﹣1或a=2，故选：D10．在圆x2+y2=5x内，过点有n条弦的长度成等差数列，最短弦长为数列的首项a1，最长弦长为a n，若公差，那么n的取值集合为（）A．{4，5，6}B．{6，7，8，9} C．{3，4，5}D．{3，4，5，6}【考点】等差数列的性质；直线与圆相交的性质．【分析】先由圆的几何性质，最短时该点与圆心的连线与所在直线垂直，最长时则该直线过圆心，即圆的直径．从而求得首项和末尾项，再由公差的范围求解．【解答】解析：A；由题意得，，∴，∵，∴，∴3≤n﹣1＜6，∴4≤n＜7，∵n∈N*，∴n=4，5，6．故选A．11．已知椭圆T： +=1（a＞b＞0）的离心率为，过右焦点F且斜率为k（k＞0）的直线与T相交于A，B两点，若=3，则k=（）A．1 B．C．D．2【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），根据求得y 1和y 2关系根据离心率设，b=t ，代入椭圆方程与直线方程联立，消去x ，根据韦达定理表示出y 1+y 2和y 1y 2，进而根据y 1和y 2关系求得k ．【解答】解：A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），∵，∴y 1=﹣3y 2，∵，设，b=t ，∴x 2+4y 2﹣4t 2=0①，设直线AB 方程为，代入①中消去x ，可得，∴，，解得，故选B12．关于下列命题，正确的个数是（ ）（1）若点（2，1）在圆x 2+y 2+kx +2y +k 2﹣15=0外，则k ＞2或k ＜﹣4 （2）已知圆M ：（x +cos θ）2+（y ﹣sin θ）2=1，直线y=kx ，则直线与圆恒相切（3）已知点P 是直线2x +y +4=0上一动点，PA 、PB 是圆C ：x 2+y 2﹣2y=0的两条切线，A 、B 是切点，则四边形PACB 的最小面积是为2（4）设直线系M ：xcos θ+ysin θ=2+2cos θ，M 中的直线所能围成的正三角形面积都等于12．A ．1B ．2C ．3D ．4 【考点】命题的真假判断与应用．【分析】点（2，1）在圆外，则k 2+2k ﹣8＞0，解得k ＜﹣4，或k ＞2，故（1）正确；利用点到直线的距离公式，得到d=，再利用辅助角公式化简得d=|sin （θ+φ）|，从而d ≤r ，则直线与圆相交或相切，故（2）错误；因为S 四边形PACB =2S Rt △PAC =PA ，而PA=，所以当PC 取得最小值时，四边形PACB 的面积最小．又因为PC 的最小值就是圆心C 到直线的距离d ，利用点到直线的距离公式即可算出d=，所以四边形PACB 的面积为2，故（3）正确；由直线系M 的方程可知，所以直线都是定圆（x ﹣2）2+y 2=4的切线，利用圆的半径即可算出正三角形的面积，故（4）正确．【解答】解：对于（1）：∵点（2，1）在圆外，∴k 2+2k ﹣8＞0，解得k ＜﹣4，或k ＞2，故（1）正确；对于（2）：圆心M 到直线的距离d==|sin（θ+φ）|，其中sin φ=，cos φ=，∵|sin （θ+φ）|≤1，∴直线与圆相交或相切．故（2）错误；对于（3）：圆C：x2+y2﹣2y=0，即x2+（y﹣1）2=1，故圆心C（0，1），半径r=1，圆心C到直线2x+y+4=0的距离d=，即PC min=，∵，∴PA min=2，）min=2，故（3）正确；∵，∴（S四边形PACB对于（4）：直线系M：xcosθ+ysinθ=2+2cosθ，即（x﹣2）cosθ+ysinθ=2∵点（2，0）到直线的距离d=，∴直线系M都是圆C：（x﹣2）2+y2=4的切线．设△ABC是M中的直线所能围成的一个正三角形，则AC=2r=4，AB=2AD=2∴S=，故（4）正确．综上可知，正确的是（1），（3），（4），共有3个．故选：C二、填空题：本大概题共4小题，每小题5分.13．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，则异面直线AD1与A1C1所成角的余弦值是．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】由A1C1∥AC，知∠D1AC是异面直线AD1与A1C1所成角，由此能求出异面直线AD1与A1C1所成角的余弦值．【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，∵A1C1∥AC，∴∠D1AC是异面直线AD1与A1C1所成角，连结AC，CD1，∵AD1=AC=CD1，∴∠D1AC=60°，∴异面直线AD1与A1C1所成角的余弦值为cos60°=．故答案为：．14．命题P：将函数sin2x的图象向右平移个单位得到函数y=sin（2x﹣）的图象；命题Q：函数y=sin（x+）cos（﹣x）的最小正周期是π，则复合命题“P或Q”“P且Q”“非P”为真命题的个数是2个．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】先分别判断命题P和Q的真假，将sin2x的图象向右平移个单位得到函数y=sin2（x﹣）=sin（2x﹣），故命题P为假命题，y=sin（x+）cos（=，周期T=π，故命题Q为真．再根据真值表分别判断“P或Q”“P且Q”“非P”的真假性即可．【解答】解：对于命题P：将sin2x的图象向右平移个单位得到函数y=sin2（x﹣）=sin（2x﹣），故命题P为假命题；对于命题Q：y=sin（x+）cos（﹣x）=sin[]cos（）===，周期T=，故命题Q为真命题．根据真值表，“P或Q“为真命题，“P且Q“为假命题，“非P“为真命题．故答案为：2．15．设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的值是最大值为12，则的最小值为．【考点】简单线性规划的应用；基本不等式在最值问题中的应用．【分析】先根据条件画出可行域，设z=ax+by，再利用几何意义求最值，将最大值转化为y轴上的截距，只需求出直线z=ax+by，过可行域内的点（4，6）时取得最大值，从而得到一个关于a，b的等式，最后利用基本不等式求最小值即可．【解答】解：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线ax+by=z（a＞0，b＞0）过直线x﹣y+2=0与直线3x﹣y﹣6=0的交点（4，6）时，目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最大12，即4a+6b=12，即2a+3b=6，而=．故答案为：．16．已知以T=4为周期的函数f（x）=，其中m＞0．若方程3f（x）=x恰有5个实数解，则m的取值范围为．【考点】函数的周期性；分段函数的解析式求法及其图象的作法．【分析】根据对函数的解析式进行变形后发现当x∈（﹣1，1]，[3，5]，[7，9]上时，f（x）的图象为半个椭圆．根据图象推断要使方程恰有5个实数解，则需直线y=与第二个椭圆相交，而与第三个椭圆不公共点．把直线分别代入椭圆方程，根据△可求得m的范围．【解答】解：∵当x∈（﹣1，1]时，将函数化为方程x2+=1（y≥0），∴实质上为一个半椭圆，其图象如图所示，同时在坐标系中作出当x∈（1，3]得图象，再根据周期性作出函数其它部分的图象，由图易知直线y=与第二个椭圆（x﹣4）2+=1（y≥0）相交，而与第三个半椭圆（x﹣8）2+=1 （y≥0）无公共点时，方程恰有5个实数解，将y=代入（x﹣4）2+=1 （y≥0）得，（9m2+1）x2﹣72m2x+135m2=0，令t=9m2（t＞0），则（t+1）x2﹣8tx+15t=0，由△=（8t）2﹣4×15t （t+1）＞0，得t＞15，由9m2＞15，且m＞0得m，同样由y=与第三个椭圆（x﹣8）2+=1 （y≥0）由△＜0可计算得m＜，综上可知m∈（，）故答案为：（，）四、解答题：解答应写出文字说明过程或演算步骤．17．已知命题p：方程x2+mx+1=0有两个不等的负实数根；命题q：方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实数根．（1）若“￢p”为假命题，求m范围；（2）若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求m的取值范围．【考点】复合命题的真假；命题的否定．【分析】（1）根据四种命题之间的关系判断即可；（2）通过讨论p真q假，p假q真，从而得到m的范围．【解答】解：（1）由p得：△1=m2﹣4＞0，﹣m＜0，则m＞2；（2）△2=16（m﹣2）2﹣16＜0，则1＜m＜3，∵“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，∴p，q一真一假，①p真q假时：，解得：m≥3，②p假q真时：，解得：1＜m≤2，∴m的取值范围是：m≥3或1＜m≤2．18．某人有楼房一幢，室内面积共计180m2，拟分割成两类房间作为旅游客房，大房间每间面积为18m2，可住游客5名，每名游客每天住宿费40元；小房间每间面积为15m2，可以住游客3名，每名游客每天住宿费50元；装修大房间每间需要1000元，装修小房间每间需要600元．如果他只能筹款8000元用于装修，且假定游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，才能获得最大收益？【考点】简单线性规划的应用．【分析】先设分割大房间为x间，小房间为y间，收益为z元，列出约束条件，再根据约束条件画出可行域，设z=200x+150y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=200x+150y过可行域内的整数点时，从而得到z值即可．【解答】解：设分割大房间为x间，小房间为y间，收益为z元根据题意得：求：z=200x+150y的最大值．作出约束条件表示的平面区域把目标函数z=200x+150y化为平移直线，直线越往上移，z越大，所以当直线经过M点时，z的值最大，解方程组得，因为最优解应该是整数解，通过调整得，当直线过M'（3，8）和M''（0，12）时z最大所以当大房间为3间，小房间为8间或大房间为0间，小房间为12间时，可获最大的收益为1800元．19．如图1，2，在Rt△ABC中，AB=BC=4，点E在线段AB上，过点E作交AC于点F，将△AEF沿EF折起到△PEF的位置（点A与P重合），使得∠PEB=60°．（1）求证：EF⊥PB；（2）试问：当点E在何处时，四棱锥P﹣EFCB的侧面的面积最大？并求此时四棱锥P﹣EFCB 的体积及直线PC与平面EFCB所成角的正切值．【考点】直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）推导出EF⊥AB，EF⊥BE，EF⊥PE，由此能证明EF⊥PB．的面积最大，此时，BE=PE=2．EF （2）设BE=x，PE=y，则x+y=4，当且仅当x=y=2时，S△PEB⊥平面PBE，从而平面EFCB⊥平面PBE．作PO⊥BE于O，则PO为四棱锥P﹣EFCB的高，∠PCO就是PC与平面EFCB所成角．由此能求出结果．【解答】证明：（1）∵EF∥BC且BC⊥AB，∴EF⊥AB，即EF⊥BE，EF⊥PE．又BE∩PE=E，∴EF⊥平面PBE，又PB⊂平面PBE，∴EF⊥PB．解：（2）设BE=x，PE=y，则x+y=4．∴．当且仅当x=y=2时，S的面积最大，此时，BE=PE=2．△PEB由（1）知EF⊥平面PBE，∵EF⊂平面EFCB，∴平面EFCB⊥平面PBE．在平面PBE中，作PO⊥BE于O，则PO⊥平面EFCB．即PO为四棱锥P﹣EFCB的高．又．∴∵，∴BO=1，在Rt△OBC中，．∵PO⊥平面EFCB，∴∠PCO就是PC与平面EFCB所成角．∴，故直线PC与平面EFCB所成角的正切值为20．在平面直角坐标系xOy中，经过点且斜率为k的直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q．（Ⅰ）求k的取值范围；（Ⅱ）设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A，B，是否存在常数k，使得向量与共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．【考点】向量的共线定理；平面的概念、画法及表示．【分析】（1）直线l与椭圆有两个不同的交点，即方程组有2个不同解，转化为判别式大于0．（2）利用2个向量共线时，坐标之间的关系，由一元二次方程根与系数的关系求两根之和，解方程求常数k．【解答】解：（Ⅰ）由已知条件，直线l的方程为，代入椭圆方程得．整理得①直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q，等价于①的判别式△=，解得或．即k的取值范围为．（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，由方程①，．②又．③而．所以与共线等价于，将②③代入上式，解得．由（Ⅰ）知或，故没有符合题意的常数k．21．平面上两点A（﹣1，0），B（1，0），在圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=4上取一点P，（Ⅰ）x﹣y+c≥0恒成立，求c的范围（Ⅱ）从x+y+1=0上的点向圆引切线，求切线长的最小值（Ⅲ）求|PA|2+|PB|2的最值及此时点P的坐标．【考点】圆的切线方程．【分析】（Ⅰ）由x﹣y+c≥0，得c≥y﹣x，由圆的参数方程得c≥4+2sinθ﹣3﹣2cosθ，即可求c的范围；（Ⅱ）求出圆心C到直线x+y+1=0的距离为，利用勾股定理求切线长的最小值；（Ⅲ）设出的是PP（a，b），使要求的式子转化为求圆上的点到原点的距离问题，利用数形结合法求最值．【解答】解：（Ⅰ）由x﹣y+c≥0，得c≥y﹣x，由圆的参数方程得c≥4+2sinθ﹣3﹣2cosθ，所以（Ⅱ）圆心C到直线x+y+1=0的距离为，切线长的最小值为（Ⅲ）设P（a，b），则|PA|2+|PB|2=2a2+2b2+2，a2+b2为圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=4上的点到原点的距离平方，所以最小值为20，；最大值为100，．22．如图，椭圆M： +=1（a＞b＞0）的离心率为，直线x=±a和y=±b所围成的矩形ABCD的面积为8．（Ⅰ）求椭圆M的标准方程；（Ⅱ）设直线l：y=x+m（m∈R）与椭圆M有两个不同的交点P，Q，l与矩形ABCD有两个不同的交点S，T．求的最大值及取得最大值时m的值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）通过椭圆的离心率，矩形的面积公式，直接求出a，b，然后求椭圆M的标准方程；（Ⅱ）通过，利用韦达定理求出|PQ|的表达式，通过判别式推出的m的范围，①当时，求出取得最大值．利用由对称性，推出，取得最大值．③当﹣1≤m≤1时，取得最大值．求的最大值及取得最大值时m的值．【解答】解：（I）…①矩形ABCD面积为8，即2a•2b=8…②由①②解得：a=2，b=1，∴椭圆M的标准方程是．（II），由△=64m2﹣20（4m2﹣4）＞0得．设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，．当l过A点时，m=1，当l过C点时，m=﹣1．①当时，有，，其中t=m+3，由此知当，即时，取得最大值．②由对称性，可知若，则当时，取得最大值．③当﹣1≤m≤1时，，，由此知，当m=0时，取得最大值．综上可知，当或m=0时，取得最大值．2016年12月1日。
2017-2018学年高二下学期期中数学试卷(文科)Word版含解析
2017-2018学年高二下学期期中试卷（文科数学）一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意.）1．若命题“p 或q”为真，“非p”为真，则（ ）A ．p 真q 真B ．p 假q 真C ．p 真q 假D ．p 假q 假2．已知命题p ：存在x 0＞0，使2＜1，则￢p 是（ ） A ．对任意x ＞0，都有2x ≥1B ．对任意x ≤0，都有2x ＜1C ．存在x 0＞0，使2≥1D ．存在x 0≤0，使2＜13．如果函数y=f （x ）的图象如图，那么导函数y=f′（x ）的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．4．设f （x ）=x a ﹣ax （0＜a ＜1），则f （x ）在[0，+∞）内的极大值点x 0等于（ ）A ．0B ．aC ．1D ．1﹣a5．函数f （x ）=x 2﹣2lnx 的单调减区间是（ ）A ．（0，1]B ．[1，+∞）C ．（﹣∞，﹣1]及（0，1]D ．[﹣1，0）及（0，1]6．已知函数f （x ）=x 2+2xf′（1），则f （﹣1）与f （1）的大小关系是（ ）A ．f （﹣1）=f （1）B ．f （﹣1）＞f （1）C ．f （﹣1）＜f （1）D ．不能确定7．已知椭圆+=1（m ＞0 ）的左焦点为F 1（﹣4，0），则m=（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．98．抛物线y=x2的准线方程是（）A．y=﹣1 B．y=﹣2 C．x=﹣1 D．x=﹣29．若m是2和8的等比中项，则圆锥曲线x2+的离心率为（）A．B．C．或D．或10．已知△ABC的顶点B，C在椭圆+=1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（）A．10 B．20 C．8 D．1611．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=112．设f（x）=x3+bx2+cx+d，又k是一个常数，已知当k＜0或k＞4时，f（x）﹣k=0只有一个实根；当0＜k＜4时，f（x）﹣k=0有三个相异实根，现给出下列命题：①f（x）﹣4=0和f′（x）=0有一个相同的实根②f（x）=0和f′（x）=0有一个相同的实根③f（x）+3=0的任一实根大于f（x）﹣1=0的任一实根④f（x）+5=0的任一实根小于f（x）﹣2=0的任一实根．其中错误的命题的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．命题：“若a＞0，则a2＞0”的否命题是．14．若曲线+=1表示双曲线，则k的取值范围是．15．在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b的值是．16．已知条件p：x2﹣3x﹣4≤0；条件q：x2﹣6x+9﹣m2≤0，若￢q是￢p的充分不必要条件，则实数m的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）17．命题p：关于x的不等式 x2+2ax+4＞0对∀x∈R恒成立；命题q：函数f（x）=﹣（5﹣2a）x是减函数，若p∨q为真，p∧q为假，求实数a的取值范围．18．求函数f（x）=x3﹣x2﹣8x+1（﹣6≤x≤6）的单调区间、极值．19．抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线方程．20．已知p：|1﹣|≤2；q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），若￢p是￢q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．21．已知椭圆M：，其短轴的一个端点到右焦点的距离为2，且点A（，1）在椭圆M上．直线l的斜率为，且与椭圆M交于B、C两点．（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）求△ABC面积的最大值．22．已知函数f（x）=x﹣alnx，g（x）=﹣，（a∈R）（1）若a=1，求函数f（x）的极值；（2）设函数h（x）=f（x）﹣g（x），求函数h（x）的单调区间．2017-2018学年高二下学期期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意.）1．若命题“p 或q”为真，“非p”为真，则（ ）A ．p 真q 真B ．p 假q 真C ．p 真q 假D ．p 假q 假【考点】复合命题的真假．【分析】根据“非p”为真，得到p 假，根据命题“p 或q”为真，则p 真或q 真，从而得到答案．【解答】解：若命题“p 或q”为真，则p 真或q 真，若“非p”为真，则p 为假，∴p 假q 真，故选：B ．2．已知命题p ：存在x 0＞0，使2＜1，则￢p 是（ ） A ．对任意x ＞0，都有2x ≥1B ．对任意x ≤0，都有2x ＜1C ．存在x 0＞0，使2≥1D ．存在x 0≤0，使2＜1【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由全称命题和特称命题的关系和否定规律可得．【解答】解：∵命题p ：存在x 0＞0，使2＜1为特称命题，∴￢p 为全称命题，即对任意x ＞0，都有2x ≥1．故选：A3．如果函数y=f （x ）的图象如图，那么导函数y=f′（x ）的图象可能是（ ）A．B．C．D．【考点】函数的单调性与导数的关系．【分析】由y=f（x）的图象得函数的单调性，从而得导函数的正负．【解答】解：由原函数的单调性可以得到导函数的正负情况依次是正→负→正→负，故选A．等于（）4．设f（x）=x a﹣ax（0＜a＜1），则f（x）在[0，+∞）内的极大值点xA．0 B．a C．1 D．1﹣a【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】求出函数的导数，推出极值点即可．【解答】解：令f′（x）=ax a﹣1﹣a=0（0＜a＜1），得x a﹣1=1，所以x=1．=1是函数f（x）在[0，+∞）内的极大值点．经验证，x故选：C．5．函数f（x）=x2﹣2lnx的单调减区间是（）A．（0，1] B．[1，+∞）C．（﹣∞，﹣1]及（0，1] D．[﹣1，0）及（0，1]【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】函数的单调减区间就是函数的导数小于零的区间，可以先算出函数f（x）=x2﹣2lnx的导数，再解不等式f′=（x）＜0，可得出函数的单调减区间．【解答】解：求出函数f（x）=x2﹣2lnx的导数：而函数的单调减区间就是函数的导数小于零的区间由f′（x）＜0，得（﹣1，1）因为函数的定义域为（0，+∞）所以函数的单调减区间为（0，1]故选A6．已知函数f（x）=x2+2xf′（1），则f（﹣1）与f（1）的大小关系是（）A．f（﹣1）=f（1）B．f（﹣1）＞f（1） C．f（﹣1）＜f（1） D．不能确定【考点】导数的运算．【分析】由f（x）的解析式，利用求导法则求出f（x）的导函数，把x=1代入导函数中求出f′（1）的值，从而确定出f（x）的解析式，然后分别把x等于1和﹣1代入即可求出f（1）和f（﹣1）的值，即可比较出大小．【解答】解：由f（x）=x2+2xf′（1），求导得f′（x）=2x+2f′（1），把x=1代入得：f′（1）=2+2f′（1），解得：f′（1）=﹣2，∴f（x）=x2﹣4x，∴f（﹣1）=（﹣1）2﹣4×（﹣1）=5，f（1）=12﹣4×1=﹣3，则f（﹣1）＞f（1）．故选B（﹣4，0），则m=（）7．已知椭圆+=1（m＞0 ）的左焦点为F1A．2 B．3 C．4 D．9【考点】椭圆的简单性质．（﹣4，0），可得25﹣m2=16，即可求出m．【分析】利用椭圆+=1（m＞0 ）的左焦点为F1（﹣4，0），【解答】解：∵椭圆+=1（m＞0 ）的左焦点为F1∴25﹣m2=16，∵m＞0，∴m=3，故选：B．8．抛物线y=x2的准线方程是（）A．y=﹣1 B．y=﹣2 C．x=﹣1 D．x=﹣2【考点】抛物线的简单性质．【分析】先化为抛物线的标准方程得到焦点在y轴上以及2p=4，再直接代入即可求出其准线方程．【解答】解：抛物线y=x2的标准方程为x2=4y，焦点在y轴上，2p=4，∴=1，∴准线方程 y=﹣=﹣1．故选：A．9．若m是2和8的等比中项，则圆锥曲线x2+的离心率为（）A．B．C．或D．或【考点】圆锥曲线的共同特征；等比数列的性质．【分析】先根据等比中项的性质求得m的值，分别看当m大于0时，曲线为椭圆，进而根据标准方程求得a 和b，则c可求得，继而求得离心率．当m＜0，曲线为双曲线，求得a，b和c，则离心率可得．最后综合答案即可．【解答】解：依题意可知m=±=±4当m=4时，曲线为椭圆，a=2，b=1，则c=，e==当m=﹣4时，曲线为双曲线，a=1，b=2，c=则，e=故选D10．已知△ABC的顶点B，C在椭圆+=1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（）A．10 B．20 C．8 D．16【考点】椭圆的简单性质．【分析】由椭圆的定义椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a，可得△ABC的周长【解答】解：由椭圆+=1，可知焦点在x轴，a=5，b=4，c=3，由椭圆的定义椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a，可得△ABC的周长为4a=20，故选：B．11．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=1【考点】双曲线的标准方程．【分析】先求出焦点坐标，利用双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，可得=2，结合c2=a2+b2，求出a，b，即可求出双曲线的方程．【解答】解：∵双曲线的一个焦点在直线l上，令y=0，可得x=﹣5，即焦点坐标为（﹣5，0），∴c=5，∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，∴=2，∵c2=a2+b2，∴a2=5，b2=20，∴双曲线的方程为﹣=1．故选：A．12．设f（x）=x3+bx2+cx+d，又k是一个常数，已知当k＜0或k＞4时，f（x）﹣k=0只有一个实根；当0＜k＜4时，f（x）﹣k=0有三个相异实根，现给出下列命题：①f（x）﹣4=0和f′（x）=0有一个相同的实根②f（x）=0和f′（x）=0有一个相同的实根③f（x）+3=0的任一实根大于f（x）﹣1=0的任一实根④f（x）+5=0的任一实根小于f（x）﹣2=0的任一实根．其中错误的命题的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】由已知中f（x）=x3+bx2+cx+d，当k＜0或k＞4时，f（x）﹣k=0只有一个实根；当0＜k＜4时，f（x）﹣k=0有三个相异实根，故函数即为极大值，又有极小值，且极大值为4，极小值为0，分析出函数简单的图象和性质后，逐一分析四个结论的正误，即可得到答案．【解答】解：∵f（x）=x3+bx2+cx+d，当k＜0或k＞4时，f（x）﹣k=0只有一个实根；当0＜k＜4时，f（x）﹣k=0有三个相异实根，故函数即为极大值，又有极小值，且极大值为4，极小值为0故f（x）﹣4=0与f'（x）=0有一个相同的实根，即极大值点，故（1）正确；f（x）=0与f'（x）=0有一个相同的实根，即极小值点，故（2）正确；f（x）+3=0有一实根小于函数最小的零点，f（x）﹣1=0有三个实根均大于函数最小的零点，故（3）错误；f（x）+3=0有一实根小于函数最小的零点，f（x）﹣2=0有三个实根均大于函数最小的零点，故（4）错误；故选：D．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．命题：“若a＞0，则a2＞0”的否命题是若a≤0，则a2≤0 ．【考点】四种命题．【分析】写出命题的条件与结论，再根据否命题的定义求解．【解答】解：命题的条件是：a＞0，结论是：a2＞0．∴否命题是：若a≤0，则a2≤0．故答案是若a≤0，则a2≤0．14．若曲线+=1表示双曲线，则k的取值范围是（﹣∞，﹣4）∪（1，+∞）．【考点】双曲线的定义．【分析】根据双曲线的性质知，（4+k）（1﹣k）＜0，进而求得k的范围．【解答】解：要使方程为双曲线方程需（4+k）（1﹣k）＜0，即（k﹣1）（k+4）＞0，解得k＞1或k＜﹣4故答案为（﹣∞，﹣4）∪（1，+∞）15．在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b的值是﹣3 ．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】由曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，可得y|x=2=﹣5，且y′|x=2=，解方程可得答案．【解答】解：∵直线7x+2y+3=0的斜率k=，曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，∴y′=2ax﹣，∴，解得：，故a+b=﹣3，故答案为：﹣316．已知条件p：x2﹣3x﹣4≤0；条件q：x2﹣6x+9﹣m2≤0，若￢q是￢p的充分不必要条件，则实数m的取值范围是m≥4或m≤﹣4 ．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】分别解关于p，q的不等式，求出￢q，￢p的关于x的取值范围，从而求出m的范围．【解答】解：∵条件p：x2﹣3x﹣4≤0；∴p：﹣1≤x≤4，∴￢p：x＞4或x＜﹣1，∵条件q：x2﹣6x+9﹣m2≤0，∴q：3﹣|m|≤x≤3+|m|，∴￢q：x＞3+|m|或x＜3﹣|m|，若￢q是￢p的充分不必要条件，由m=0，显然不成立．则，解得：m≥4或m≤﹣4，故答案为：m≥4或m≤﹣4．三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）17．命题p：关于x的不等式 x2+2ax+4＞0对∀x∈R恒成立；命题q：函数f（x）=﹣（5﹣2a）x是减函数，若p∨q为真，p∧q为假，求实数a的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】命题p：关于x的不等式 x2+2ax+4＞0对∀x∈R恒成立，可得△=4a2﹣4×4＜0，﹣2＜a＜2．由命题q：函数f（x）=﹣（5﹣2a）x是减函数，且a≠2，可得5﹣2a＞1，a＜2．由p∨q为真，p∧q为假，可得命题p与q必然一真一假．解出即可．【解答】解：命题p：关于x的不等式 x2+2ax+4＞0对∀x∈R恒成立，∴△=4a2﹣4×4＜0，解得﹣2＜a＜2．命题q：函数f（x）=﹣（5﹣2a）x是减函数，∴5﹣2a＞1，解得a＜2．∵p∨q为真，p∧q为假，∴命题p与q必然一真一假．当p真q假时，，且a≠2，此时a∈∅．当q真p假时，，且a≠2，解得a≤﹣2．综上可得实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2]．18．求函数f（x）=x3﹣x2﹣8x+1（﹣6≤x≤6）的单调区间、极值．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】先求出函数的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的极值．【解答】解：∵f（x）=x3﹣x2﹣8x+1，∴f′（x）=x2﹣2x﹣8，令f′（x）=0，得x=﹣2或x=4．当x∈（﹣6，﹣2）时，f′（x）＞0；当x∈（﹣2，4）时，f′（x）＜0；当x∈（4，6）时，f′（x）＞0．∴f（x）的递增区间为[﹣6，﹣2），（4，6]，递减区间为[﹣2，4]．当x=﹣2时，f（x）取得极大值f（﹣2）=；当x=4时，f（x）取得极小值f（4）=﹣．19．抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线方程．【考点】抛物线的标准方程．【分析】依题意，设抛物线方程为y2=2px，可求得过焦点且倾斜角为135°的直线方程为y=﹣x+p，利用抛物线的定义结合题意可求得p，从而可求得抛物线方程；同理可求抛物线方程为y2=﹣2px时的结果．【解答】解：如图所示，依题意，设抛物线方程为y2=2px，则直线方程为y=﹣x+p．设直线交抛物线于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，过A、B分别作准线的垂线，垂足分别为C、D．则由抛物线定义得|AB|=|AF|+|FB|=|AC|+|BD|=x1++x2+，即x1++x2+=8．①又A（x1，y1）、B（x2，y2）是抛物线和直线的交点，由消去y，得x2﹣3px+=0，∵△=9p2﹣4×=8p2＞0．∴x1+x2=3p．将其代入①得p=2，∴所求抛物线方程为y2=4x．当抛物线方程设为y2=﹣2px（p＞0）时，同理可求得抛物线方程为y2=﹣4x．故所求抛物线方程为y2=4x或y2=﹣4x．20．已知p：|1﹣|≤2；q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），若￢p是￢q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【考点】必要条件；绝对值不等式的解法．【分析】先求出命题p，q的等价条件，利用￢p是￢q的必要不充分条件转化为q是p的必要不充分条件，建立条件关系即可求出m的取值范围．【解答】解：由||=，得|x﹣4|≤6，即﹣6≤x﹣4≤6，∴﹣2≤x≤10，即p：﹣2≤x≤10，由x2+2x+1﹣m2≤0得[x+（1﹣m）][x+（1+m）]≤0，即1﹣m≤x≤1+m，（m＞0），∴q：1﹣m≤x≤1+m，（m＞0），∵￢p是￢q的必要不充分条件，∴q是p的必要不充分条件．即，且等号不能同时取，∴，解得m≥9．21．已知椭圆M：，其短轴的一个端点到右焦点的距离为2，且点A（，1）在椭圆M上．直线l的斜率为，且与椭圆M交于B、C两点．（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）求△ABC面积的最大值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）把点A代入椭圆方程，结合a=2解出b，则椭圆的标准方程可求；（Ⅱ）写出直线的点斜式方程，和椭圆方程联立后化为关于x的一元二次方程，由判别式大于0解出m的范围，求出相应的两个根，由点到直线的距离公式求出A到BC边的距离，写出面积后利用基本不等式求面积的最大值，验证得到的m值符合判别式大于0．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，解得．故所求椭圆方程为；（Ⅱ）设直线l的方程为，则m≠0．设B（x1，y1），C（x2，y2），代入椭圆方程并化简得，由△=2m2﹣4（m2﹣2）=2（4﹣m2）＞0，可得0＜m2＜4①．由①，得，故．又点A到BC的距离为，故=，当且仅当m2=4﹣m2，即m=时取等号，满足①式．所以△ABC面积的最大值为．22．已知函数f（x）=x﹣alnx，g（x）=﹣，（a∈R）（1）若a=1，求函数f（x）的极值；（2）设函数h（x）=f（x）﹣g（x），求函数h（x）的单调区间．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）先求出函数f（x）的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的极小值；（Ⅱ）先求出函数h（x）的导数，通过讨论a的范围，从而得到函数的单调性．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域是（0，+∞），当a=1时，f（x）=x﹣lnx，f′（x）=1﹣=，x （0，1） 1 （1，+∞）f′（x）﹣0 +f（x）极小∴f（x）在x=1处取得极小值1；（Ⅱ）h（x）=x+﹣alnx，h′（x）=1﹣﹣=，①当a+1＞0时，即a＞﹣1时，在（0，1+a）上，h′（x）＜0，在（1+a，+∞）上，h′（x）＞0，∴h（x）在（0，1+a）递减，在（1+a，+∞）递增；②当1+a≤0，即a≤﹣1时，在（0，+∞）上h′（x）＞0，∴h（x）在（0，+∞）上递增．。
四川省成都市2017-2018学年高一下学期期中考试数学试题Word版含答案 (2)
四川省成都市2017-2018学年下学期期中考试高一数学试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.sin15cos15的值是A ．12B 3C ．14D 3 2．不等式23520x x +->的解集为 A.1(3,)2- B. 1(,3)2- C. 1(,3)(,)2-∞-⋃+∞ D. 1(,)(3,)2-∞-⋃+∞ 3．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若4910a a +=，则12S 等于A ．30B ．45C ．60D ．1204.已知3sin()25πα-=，则cos()πα+的值为 A ．45 B ．45- C ．35 D ．35- 5．若0,0a b c d >><<则一定有 A.a b c d > B. a b c d < C. a b d c > D. a b d c< 6．在ABC ∆中， 2cos a b C =，则这个三角形一定是A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形7．如图，要测出山坡上石油钻井的井架BC 的高，从山脚A 测得60AC m =，塔顶B 的仰角45，塔底C 的仰角15，则井架的高BC 为A ．202mB ．302mC ．203mD ．303m8．已知,(0,)x y ∈+∞,且满足1112x y+=，那么4x y +的最小值为 A.3232+322+ D. 429.已知{}n a 是等比数列，且5371,422a a a =+=，则9a = A ．2± B ．8 C ．18 D ．2 10．已知sin 2cos αα-=tan 2α= A. 34 B. 34- C. 43 D. 43- 11．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且BC 边上的高为2a ，则c b b c +最大值为A ．2 BC．．412.给出以下三个结论：①若数列{}n a 的前n 项和为*31()n n S n N =+∈，则其通项公式为123n n a -=⋅；②已知a b >，一元二次不等式220ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立，又存在0x R ∈，使2020ax x b ++=成立，则22a b a b +-的最小值为 ③若正实数y x ，满足xy y x 442=++，且不等式03422)2(2≥-+++xy a a y x 恒成立，则实数a 的取值范围是),25[]3,(+∞--∞ . 其中正确的个数为A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，，且3,c 1a ==，3B π=，则b 的值为 ； 14.数列{}n a 中，1121,2n n n a a a a +==+，则其通项公式n a = ；15.已知304πα<<,且3sin()45πα-=，则cos2α= ； 16．函数()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数，对于任意实数,x y 满足：(2)2,()()()f f xy xf y yf x ==+,(2)(2n n n f a n =∈*)N ,*(2)()n n f b n N n =∈ 考查下列结论：①(1)1f = ；②()f x 为奇函数；③数列{}n a 为等差数列；④数列{}n b 为等比数列.以上结论正确的是 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17. （10分）已知不等式20ax x c ++>的解集为{}|13x x <<．（1）求,a c 的值；（2）若不等式2240ax x c ++>的解集为A ，不等式30ax cm +<的解集为B ，且A B ⊆，求实数m 的取值范围.18.（10分）已知A B C 、、为ABC ∆的三内角，且其对边分别为a b c 、、，若1cos cos sin sin 2B C B C -=. （1）求A ；（2）若a =4b c +=，求ABC ∆的面积.19．（12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足4724,63S S ==．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2n a n b =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．20.（12分）已知向量2(3sin ,1),(cos ,cos )444x x x m n ==，若()f x m n =⋅,（1）求()f x 递增区间；（2）ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ,且(2)cos cos a c B b C -=，求()f A 的取值范围．21.（12分）设数列{}n a 的前n 项和为1,1n S a =，且对任意正整数n ，满足1220n n a S ++-=．（1）求数列{}n a 的通项公式;（2）设n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n T .22.（14分）已知数列{},{}n n a b 满足：1,n n a b += 1(1)(1)n n n n b b a a +=-+，且11,a b 是函数2()16163f x x x =-+的零点11()a b <． （1）求112,,a b b ；（2）设11n n c b =-，求证：数列{}n c 是等差数列，并求数列{}n b 的通项公式； （3）设1223341n n n S a a a a a a a a +=++++，不等式4n n aS b <恒成立时，求实数a 的取值范围．四川省成都市2017-2018学年高一下学期期中考试数学试题参考答案一、选择题1~5 CBCDD 6~10ABCDA 11~12 CC二、填空题13；14.21n +;15.2425-;16.②③④ 三、解答题 17.解：（1）由题意：1 和3是方程20ax x c ++=的两根，且0a <，．．．．．1分 所以，011313a a c a ⎧⎪<⎪⎪+=-⎨⎪⎪⨯=⎪⎩．．．．．．．．．．．．． 3分；解得1434a c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩；．．．．．．．．．．．．． 5分 （2）由（1）得13,44a c =-=-，所以2240ax x c ++>即为212304x x -+->， 解得，26x <<，∴{}|26A x x =<<，又30ax cm +<，即为0x m +>解得x m >-，∴{}|B x x m =>-．．．．．．．．8分 ∵A B ⊂，∴2m -≤，即2m ≥-，∴m 的取值范围是[)2,-+∞．．．．．．．．．．．．．．．10分18.解：（1）∵1cos cos sin sin 2B C B C -=，∴1cos()2B C +=， 又∵0B C π<+<，∴3B C π+=. ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 ∵A B C π++=，∴23A π=.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）由余弦定理2222cos a b c bc A =+-⋅，得222()22cos3b c bc bc π=+--⋅，即1121622()2bc bc =--⋅-， ∴4bc =， ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分∴11sin 422ABC S bc A ∆=⋅=⋅=. ．．．．．．．．．．．．．．．10分 19.解：（1）因为{}n a 为等差数列，所以4171434242767632S a d S a d ⨯⎧=+=⎪⎪⎨⨯⎪=+=⎪⎩ ， 解得132a d =⎧⎨=⎩ ，21n a n ∴=+ ； ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）212224n a n n nb +===⋅ ， ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分128(41)2(444)3n nn T -∴=+++= . ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 20.解：（1）()f x m n =⋅2cos cos 444x x x +1cos 222x x +=+1sin()262x π=++， ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 由22,2262x k k k Z πππππ-≤+≤+∈得：4244,33k x k k Z ππππ-≤≤+∈， ()f x ∴的递增区间为42[4,4],33k k k Z ππππ-+∈ ．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）(2)cos cos a c B b C -=，由正弦定理得(2sin sin )cos sin cos A C B B C -=， 2sin cos sin cos sin cos A B C B B C ∴-=，2sin cos sin()A B B C ∴=+，,sin()sin 0A B C B C A π++=∴+=≠，1cos 2B ∴=．．．．．．．．．．．．．．8分 0B π<<，2,033B A ππ∴=∴<<，6262A πππ∴<+<，1sin()(,1)262A π+∈， 又1()sin()262x f x π=++，1()sin()262A f A π∴=++， 故函数()f A 的取值范围是3(1,)2 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 21. 解：（1）1220n n a S ++-=,∴ 当2n ≥时，1220n n a S -+-=，.．．．1分 两式相减得11220n n n n a a S S +--+-=，1220,n n n a a a +-+=112n n a a +∴=；．3分 又当1n =时，212112202a S a a +-=⇒=，即11()2n n a a n N +=∈+．．．．．．．4分 {}n a ∴是以首项11a =，公比12q =的等比数列， ∴ 数列{}n a 的通项公式为112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）由（1）知，12n n n n b na -==，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 则22123112222n n n n n T ---=+++++，① 23111231222222n n n n n T --=+++++，②．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 ①-②得211111122222n n n n T -=++++-，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分1(1)1122(1)2(2)1222212n n n n n n n n -=-=--=-+- ，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分 所以，数列{}n b 的前n 项和为114(2)2n n T n -=-+ .．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 22. 解：由2161630x x -+=解得：1213,44x x ==，1113,44a b ∴==………1分 由11,(1)(1)n n n n n n b a b b a a ++==-+得11(2)2n n n n n b b b b b +==--…………2分 将134b =代入得245b = ……………………………………………………3分 (2)因为11112n n b b +-=--，所以12111111n n n n b b b b +-==---- ………………4分 即11n n c c +=-，又111143114c b ===--- ∴ 数列{}n c 是以4-为首项，1-为公差的等差数列． ………………5分 4(1)(1)3n c n n ∴=-+-⨯-=-- ……………………………………6分 由11n n c b =-得1121133n n n b c n n +=+=-=++ ……………………………7分 （3）由题意及（2）知：113n n a b n =-=+……………………………………8分 12233411114556(3)(4)11111111()()()()4556673411444(4)n n n S a a a a a a a a n n n n n n n +∴=++++=+++⨯⨯++=-+-+-++-++=-=++………………………9分 （法一）由22(1)(36)84043(3)(4)n n an n a n a n aS b n n n n +-+---=-=<++++恒成立 即2(1)(36)80a n a n -+--<恒成立，…………………………………10分 设2()(1)(36)8f n a n a n =-+--①当1a =时，()380f n n =--<恒成立②当1a >时，由二次函数的性质2()(1)(36)80f n a n a n =-+--<不可能恒成立 ③当1a <时，由于3631(1)02(1)21a a a --=--<-- 所以2()(1)(36)8f n a n a n =-+--在[)1,+∞上单调递减 由2(1)(1)(36)84150f a n a n a =-+--=-<得154a < 1a ∴<，4n n aS b <恒成立综上所述：所求a 的取值范围是(,1]-∞．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．14分版权所有：高考资源网()。
2018-2019学年四川省成都高二下学期期中考试理科数学试题 解析版
绝密★启用前四川省成都外国语学校2018-2019学年高二下学期期中考试理科数学试题评卷人得分一、单选题1．复数的虚部为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】根据虚部的定义直接得到结果.【详解】的虚部为：本题正确选项：【点睛】本题考查复数实部和虚部的求解，属于基础题.2．已知集合，，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】解不等式求出集合，利用交集的定义得到结果.【详解】本题正确选项：【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题.3．若平面向量，，若，则（）A．B．C．1或D．1或【答案】C【解析】【分析】通过向量平行的性质得到方程，解方程求得结果.【详解】，且，解得：或本题正确选项：【点睛】本题考查利用向量平行的性质求解参数，属于基础题.4．若，则（）A．2 B．C．D．【答案】A【解析】【分析】根据同角三角函数关系可将式子变为关于的式子，代入求得结果.【详解】本题正确选项：【点睛】本题考查利用同角三角函数关系解决与、有关的齐次式问题，属于基础题. 5．已知正方体的棱长为，是底面的中心，则异面直线与所成的角为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】通过平移将问题变为与所成角；根据等腰三角形三线合一可知，从而得到所成角为.【详解】原题如下图所示：异面直线与所成角即为与所成角连接，且为中点异面直线与所成角为【点睛】本题考查异面直线所成角的求解，关键是通过平移利用相交直线所成角来求解，属于基础题.6．函数的部分图象大致是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】根据的奇偶性排除；判断时，的符号可排除，从而得到结果.【详解】定义域为：为奇函数，可排除；当时，，可排除，从而可得正确本题正确选项：【点睛】本题考查具体函数图象的识别问题，解题常用方法为排除法，排除法验证的顺序通常为：奇偶性、特殊值、单调性.7．已知命题若复数，则；命题抛物线的准线为，则下列命题为真命题的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】分别判断的真假性，利用含逻辑连接词的命题真假性判断原则依次判断各个选项，得到正确结果.【详解】，则命题为真；准线方程为：，则命题为假；选项：为真，则为假，可知错误；选项：为假，为假，则为假，可知错误；选项：为假，为假，则为假，可知错误；选项：为假，则为真，则为真，可知正确.本题正确选项：【点睛】本题考查含逻辑连接词的命题真假性的判断，需明确“非”命题与原命题真假性相反；“且”命题一假全假；“或”命题一真全真.8．甲.乙两人约定在上午到之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人20分钟，过时即可离去。
2017-2018学年高二下学期期中考试数学(文)试题+Word版含答案
2019届 高二下学期半期考试试题 文科数学 考试时间共120分钟，满分150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 若命题“p q ∧”为假，且“p ⌝”为假，则（ ）A ．p 或q 为假B ．q 假C ．q 真D ．不能判断q 的真假 2.命题“对任意的3210x x x ∈-+R ，≤”的否定是（ ）A ．不存在3210x R x x ∈-+，≤B ．存在3210x R x x ∈-+，≤C ．存在3210x R x x ∈-+>，D ．对任意的3210x R x x ∈-+>，3.设抛物线的顶点在原点，准线方程为x=-2，则该抛物线的方程为( )A ．x y 82-=B. x y 82=C. x y 42-= D. x y 42=4.已知双曲线方程为22193x y -=，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y =B ．y =C ．13y x =± D ．3y x =±5．已知椭圆221102x y m m +=--，若焦点在y 轴上且焦距为4，则m 等于（ ） A.4 B.5 C. 7 D.8 6.“双曲线离心率2=e ”是“双曲线是等轴双曲线”的（ ）A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要件7. 若抛物线px y 22=的焦点与椭圆12622=+y x 的右焦点重合，则p 的值为（ ） A ．-2 B ．2 C ．-4 D ．48.已知椭圆C ：13422=+y x ，直线l ：0=-+m my x （R m ∈），l 与C 的公共点个数为（ ）A. 0个B. 1个C.2个D. 无法判断9.已知两点1F （-1，0）、2F （1，0），且21F F 是1PF 与2PF 的等差中项，则动点P 的轨迹方程是( ）A ．191622=+y xB ．1121622=+y xC ．13422=+y xD ．14322=+y x10.已知点P 在椭圆22x a +22y b=1(a>b>0)上，点F 为椭圆的右焦点，PF 的最大值与最小值的比为2, 则这个椭圆的离心率为（ ）A.21 B. 31 C. 41 D. 22 11.已知P 为抛物线24y x =上一个动点，Q 点坐标（0，4），那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值是（ ）A.17B.52C. 5D. 912.设P 为双曲线()2222:1,0x y C a b a b-=>上一点， 12,F F 分别为双曲线C 的左、右焦点，212PF F F ⊥，若12PF F ∆的外接圆半径是其内切圆半径的176倍，则双曲线C 的离心率为（ ）A. 2B. 4C. 2或3D. 4或53二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分.13．若命题“任意实数x ，使210x ax ++≥”为真命题，则实数a 的取值范围为__________．14．已知椭圆12422=+y x 的两个焦点是1F ，2F 点P 在椭圆上，若1PF -2PF =2，则21F PF ∆的面积是________.15.已知点A （2，0），抛物线C ：x 2=4y 的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则|FM|：|MN|=________. 16.下列三个命题中①“k=1”是“函数y=cos 2kx-sin 2kx 的最小正周期为π”的充要条件; ②“a=3”是“直线ax+2y+3a=0与直线3x+(a-1)y=a-7相互垂直”的充要条件;③“双曲线1222=-y x 上任意点M 到两条渐近线距离的积为定值”的逆否命题其中是真命题的为________三、解答题 本大题共6个小题，共70分．解答要写出文字说明，证明过程或演算步骤．17. (本小题满分10分)已知054:2≤--x x p ，)0(3:><-a a x q .若p 是q 的充分不必要条件，求a 的取值范围.18. (本小题满分12分)已知命题p ：0342>+-k k ，命题q ：方程x k k y )2(22-=表示焦点在轴正半轴上的抛物线.（1）若命题q 为真命题，求实数k 的取值范围； （2）若命题(p ⌝)Λq 为真命题，求实数k 的取值范围.19. (本小题满分12分)已知椭圆C 的焦点1F （-22，0）、2F （22，0），且长轴长为6，设直线2+=x y 交椭圆C 于A 、B 两点，求线段AB 的中点坐标20. (本小题满分12分)已知抛物线的顶点在原点，过点A (4,4)-且焦点在x 轴 （1）求抛物线方程（2）直线l 过定点B )0,1(-，与该抛物线相交所得弦长为8，求直线l 的方程21. (本小题满分12分)已知双曲线()2222:1,0x y C a b a b -=>的离心率为233，过点A (0，－b )和B (a ，0)的直线与原点的距离为32. (1)求双曲线C 的方程；(2)直线y ＝kx ＋m (k ≠0, m ≠0)与该双曲线C 交于不同的两点C ，D ，且C ，D 两点都在以点A 为圆心的同一圆上，求m 的取值范围．22.(本小题满分12分)已知椭圆C:22x a +22y b =1(a>b>0)的一个焦点为(1)求椭圆C 的标准方程.(2)若动点P(x 0,y 0)为椭圆C 外一点,且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直,求点P 的轨迹方程.威远中学2019届高二下学期半期考试试题文科数学参考答案一、选择题1-5 BCBAD 6-10 ADCCB 11-12 AD12.【解析】∵分别为双曲线的左、右焦点∴，∵∴点在双曲线的右支，的内切圆半径为. 设，则.∵，即∴，即的外接圆半径为.∵的外接圆半径是其内切圆半径的倍∴，即.∴∴或二、填空题13. 14. 15. 16.①②③16.【解析】①“k=1”可以推出“函数y=cos2kx-sin2kx的最小正周期为π”,但是函数y=cos2kx-sin2kx的最小正周期为π,即y=cos2kx,T==π,k=±1.②“a=3”不能推出“直线ax+2y+3a=0与直线3x+(a-1)y=a-7相互垂直”,反之垂直推出a=;③设M点为，满足，点M到渐近线的距离分别为与，乘积得答案:①②③三、解答题17.试题解析：设，，因为是的充分不必要条件，从而有并 .故，解得 .............10分18解：（1）命题为真命题时，，解得或，则的取值范围是……………………6分（2）命题为真命题，则和均为真命题，易知为真命题时，的取值范围是，则，解得，所以的取值范围是. ……………………12分19解：由已知条件得椭圆焦点在x轴上，其中c=2，a=3，从而b=1其标准方程为……………………6分联立方程组，消去y得设A，B，则中点，=，所以所以线段AB中点坐标为……………………12分20解：（1）设抛物线方程为抛物线过点，得p=2则……………………6分（2）①当直线l 的斜率不存在时，直线l ：x=-1与抛物线交于、，弦长为4，不合题意②当直线l 的斜率存在时，设斜率为k ，直线为消y 得弦长=解得得所以直线l 方程为或……………………12分21.解：(1)3x2－y 2＝1.……………………6分(2)－y2＝1，x2消去y 得，(1－3k 2)x 2－6kmx －3m 2－3＝0， 由已知，1－3k 2≠0且Δ＝12(m 2＋1－3k 2)＞0⇒m 2＋1＞3k 2.① 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，CD 的中点P (x 0，y 0)， 则x 0＝2x1＋x2＝1－3k23km ，y 0＝kx 0＋m ＝1－3k2m， 因为AP ⊥CD ，所以k AP ＝－03km ＝3km m ＋1－3k2＝－k 1， 整理得3k 2＝4m ＋1.② 联立①②得m 2－4m ＞0，所以m ＜0或m ＞4，又3k 2＝4m ＋1＞0， 所以m ＞－41，因此－41＜m ＜0或m ＞4.故m 的取值范围为∪(4，＋∞)．……………………12分22.(1)因为c=,离心率e=,所以a=3,b=2,椭圆C 的标准方程为+=1.……………………6分(2)方法一:若有一条切线斜率不存在,则另一条斜率为0,此时点P有四个点,分别是(3,2),(-3,2),(-3,-2),(3,-2);当两条切线斜率都存在时,设切线方程为y-y0=k(x-x0),代入+=1中,整理可得(9k2+4)x2+18k(y0-kx0)x+9[(y0-kx0)2-4]=0,切线与椭圆只有一个公共点,则Δ=0,即(18k)2(y0-kx0)2-36(9k2+4)[(y0-kx0)2-4]=0,进一步化简(-9)k2-2x0y0k+-4=0因为两条切线相互垂直,所以k1k2=-1,也就是=-1,则+=13.显然,点(3,2),(-3,2),(-3,-2),(3,-2)也适合方程+=13, 所以点P的轨迹方程为+=13.……………………12分方法二:若有一条切线斜率不存在,则另一条斜率为0,此时点P有四个点,分别是(3,2),(-3,2),(-3,-2),(3,-2);当两条切线斜率都存在时,设切点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则+=1且+=1.两条切线方程分别为+=1和+=1,因为两条切线都过点P(x0,y0),所以+=1且+=1,因为两条切线相互垂直,所以k1=,k2=且k1k2=-1,也就是=-1,整理得+=13.显然,点(3,2),(-3,2),(-3,-2),(3,-2)也适合方程+=13, 所以点P的轨迹方程为+=13.。
四川省2017—2018学年高二数学下学期期中模拟考试卷(十)
四川省2017—2018学年高二数学下学期期中模拟考试卷（十）（文科）（考试时间120分钟满分150分）一、单项选择题：本题共12题，每小题5分，共60分．1．已知i是虚数单位，则复数（1+i）2=（）A．2i B．﹣2i C．2 D．﹣22．已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线经过点（﹣1，1），则该抛物线焦点坐标为（）A．（﹣1，0）B．（1，0）C．（0，﹣1）D．（0，1）3．已知函数f（x）=ax2+3x﹣2在点（2，f（2））处的切线斜率为7，则实数a的值为（）A．﹣1 B．1 C．±1 D．﹣24．下列命题是真命题的是（）A．到两定点距离之和为常数的点的轨迹是椭圆B．到定直线x=和定点F（c，0）的距离之比为的点的轨迹是椭圆C．到定点F（﹣c，0）和定直线x=﹣的距离之比为（a＞c＞0）的点的轨迹是左半个椭圆D．到定直线x=和定点F（c，0）的距离之比为（a＞c＞0）的点的轨迹是椭圆5．函数f（x）=x3+ax2+3x﹣9已知f（x）在x=﹣3时取得极值，则a=（）A．2 B．3 C．4 D．56．下列双曲线中，渐近线方程为y=±2x的是（）A．x2﹣=1 B．﹣y2=1 C．x2﹣=1 D．﹣y2=17．若函数f（x）=x2+ax+是增函数，则a的取值范围是（）A．[﹣1，0]B．[﹣1，∞]C．[0，3]D．[3，+∞]8．椭圆上的点到直线的最大距离是（）A．3 B．C．D．9．P为双曲线﹣=1上一点，F1，F2分别为左右焦点，，所成角为60°，则△F1PF2的面积是（）A．9 B．3C．3 D．910．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，与双曲线x2﹣y2=1的渐近线有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为（）A．+=1 B．+=1 C．+=1 D．+=111．设函数f（x）=ln（1+x），g（x）=（x≥0），若f（x）≥g（x）恒成立，则a的取值范围是（）A．a≤2 B．a≥2 C．a≤1 D．a≥112．在椭圆内有一点P（1，﹣1），F为椭圆右焦点，在椭圆上有一点M，使|MP|+2|MF|的值最小，则此最小值是（）A．B．C．3 D．4二、填空题：本题共4题，每小题5分，共20分．13．i是虚数单位，计算的结果为．14．若f′（x0）=2，则=．15．设P是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x﹣2y=0，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|=3，则|PF2|的值为．16．设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，满分70分．17．椭圆中心在原点，对称轴为坐标轴，离心率为，长轴长为8，求该椭圆标准方程．18．已知函数f（x）=x3+ax2+b的图象上一点P（1，0），且在点P处的切线与直线3x+y=0平行．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）在区间[0，t]（0＜t＜3）上的最大值和最小值．19．求过定点P（0，1）且与抛物线y2=2x只有一个公共点的直线方程．20．已知函数f（x）=lnx﹣．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）证明：当x＞1时，f（x）＜x﹣1．21．已知函数在区间[﹣1，1]上单调递减，在区间[1，2]上单调递增，（1）求实数a的值（2）若关于x的方程f（2x）=m有三个不同实数解，求实数m的取值范围．22．已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的半焦距为c，原点O到经过两点（c，0），（0，b）的直线的距离为c．（Ⅰ）求椭圆E的离心率；（Ⅱ）如图，AB是圆M：（x+2）2+（y﹣1）2=的一条直径，若椭圆E经过A、B两点，求椭圆E的方程．参考答案一、单项选择题1．A．2．B．3．B．4．D．5．D．6．A．7．D．8．D．9．D．10．D．11．C 12．C．二、填空题13．解：i是虚数单位，===﹣i．故答案为：﹣i．14．解：=﹣=﹣f′（x0）=﹣•2=﹣1，故答案为：﹣1．15．解：∵双曲线的一条渐近线方程为3x﹣2y=0，∴可得，∴a=2．∵|PF1|=3，∴由双曲线的定义可得||PF2|﹣3|=4，∴|PF2|=7，故答案为：7．16．解：设g（x）=，则g（x）的导数为：g′（x）=，∵当x＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立，即当x＞0时，g′（x）恒小于0，∴当x＞0时，函数g（x）=为减函数，又∵g（﹣x）====g（x），∴函数g（x）为定义域上的偶函数又∵g（﹣1）==0，∴函数g（x）的大致图象如图所示：数形结合可得，不等式f（x）＞0⇔x•g（x）＞0⇔或，⇔0＜x＜1或x＜﹣1．∴f（x）＞0成立的x的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（0，1）．故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（0，1）．三、解答题17．解：依题意，e==，a=4，∴c=2，b2=a2﹣c2=16﹣4=12，∴当焦点在x轴时，椭圆的标准方程为=1；当焦点在y轴时，椭圆的标准方程为=1．18．解：（1）因为f′（x）=3x2+2ax，曲线在P（1，0）处的切线斜率为f′（1）=3+2a，即3+2a=﹣3，所以a=﹣3；又因为函数过（1，0）点，即﹣2+b=0，所以b=2，所以f（x）=x3﹣3x2+2；（2）由f（x）=x3﹣3x2+2，f′（x）=3x2﹣6x，令f′（x）=0，可得x=0或x=2，①当0＜t≤2时，在区间（0，t）上f′（x）＜0，可得f （x ）在[0，t ]上是减函数， 所以f （x ）max =f （0）=2， f （x ）min =f （t ）=t 3﹣3t 2+2；min f （x ）max 为f （0）与f （t ）中较大的一个， f （t ）﹣f （0）=t 3﹣3t 2=t 2（t ﹣3）＜0， 所以f （x ）max =f （0）=2，综上，函数f （x ）在区间[0，t ]（0＜t ＜3）上的最大值是2，最小值是﹣2．19．解：①设直线l 的斜率等于k ，则当 k=0时，直线l 的方程为 y=1，满足直线与抛物线y 2=2x 仅有一个公共点，当k ≠0时，直线l 是抛物线的切线，设直线l 的方程为 y=kx+1， 代入抛物线的方程可得：k 2x 2+（2k ﹣2）x+1=0，根据判别式等于0，求得 k=，故切线方程为 y=x+1． ②当斜率不存在时，直线方程为x=0，经过检验可得此时直线也与抛物线y 2=2x 相切． 故所求的直线方程为：y=1，或 x=0，或 x ﹣2y+2=0．20．（I ）解：，x ∈（0，+∞）．由f ′（x ）＞0得解得．故f （x ）的单调递增区间是．（II ）证明：令F （x ）=f （x ）﹣（x ﹣1），x ∈（0，+∞）．则有．当x ∈（1，+∞）时，F ′（x ）＜0，所以F （x ）在[1，+∞）上单调递减， 故当x ＞1时，F （x ）＜F （1）=0， 即当x ＞1时，f （x ）＜x ﹣1．21．解：（1）由函数在区间[﹣1，1]上单调递减，在区间[1，2]上单调递增，x=1取得极小值∴f'（1）=0… ∵f'（x ）=﹣x 3+2x 2+2ax ﹣2∴f'（1）=…（2）由（1）知，∴f'（x）=﹣x3+2x2+x﹣2=﹣（x﹣1）（x+1）（x﹣2），…所以函数f（x）有极大值，，极小值f（x）的示意图如图因关于x的方程f（2x）=m有三个不同实数解，令2x=t（t＞0）即关于t的方程f（t）=m在t∈（0，+∞）上有三个不同实数解，即y=f（t）的图象与直线y=m在t∈（0，+∞）上有三个不同的交点．而y=f（t）的图象与y=f（x）的图象一致．又f（0）=﹣2由图可知…22．解：（Ⅰ）经过点（0，b）和（c，0）的直线方程为bx+cy﹣bc=0，则原点到直线的距离为d==c，即为a=2b，e===；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，椭圆E的方程为x2+4y2=4b2，①由题意可得圆心M（﹣2，1）是线段AB的中点，则|AB|=，易知AB与x轴不垂直，记其方程为y=k（x+2）+1，代入①可得（1+4k2）x2+8k（1+2k）x+4（1+2k）2﹣4b2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=．x1x2=，由M为AB的中点，可得x1+x2=﹣4，得=﹣4，解得k=，从而x1x2=8﹣2b2，于是|AB|=•|x1﹣x2|=•==，解得b2=3，则有椭圆E的方程为+=1．。
四川省成都市2017-2018学年高一下学期期中考试数学试题Word版含解析
四川省成都市2017-2018学年下学期期中考试高一数学试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.下列说法正确的是（ ）A ．零向量没有方向B ．单位向量都相等C ．共线向量又叫平行向量D ．任何向量的模都是正实数 【答案】C 【解析】试题分析：由于向量中规定共线向量又叫平行向量,故应选C. 考点：向量的有关概念.2.在锐角ABC ∆中，3,4,ABC AB AC S ∆===cos A =（ ）A ．12 B ．12± D ．±【答案】A考点：三角形的面积公式及同角的关系.3.已知||3b = ，a 在b 方向上的投影是23，则a b ∙ 为（ ）A ．13B ．43C ．2D ．3【答案】C 【解析】试题分析：由向量投影的概念可得32cos ||=θa ,因此2332cos ||||=⨯=⋅=⋅θb a b a ,故应选C. 考点：向量的数量积公式及有关概念. 4.数列111111,2,3,4,,248162n n +++++ 的前n 项和等于（ ）A ．21122n n n +-++B ．2122n n n ++C ．2122n n n +-+D ．21122n n n+--+【答案】A 【解析】试题分析：因n n n a 21+=,故∑=-++=+ni n n n n 122112)1()21(,故应选A.考点：等差数列和等比数列的前n 项和.5.已知向量(1,2)a = ，(2,1)b =- ，若向量c 满足()//c a b + ，()a b c -⊥，则c = （ ）A ．(1,3)B ．(1,3)-C ．(1,3)--D ．(3,1)-- 【答案】D 【解析】试题分析：因()//c a b +,故b a c λ=+,即)2,12(---=+-=λλλ,又)3,1(-=-,故0)(=-c 可得0)()(=-⋅+λ,即06321=---λλ,故1-=λ,所以)1,3(--=,应选D.考点：向量坐标形式的运算.6.已知等比数列{}n a 中，3962a a a =，数列{}n b 是等差数列，且96b a =，则48b b +=（ ）A ．2B ．4C ．8D ．16 【答案】B考点：等差数列等比数列的性质及运用. 7.若,αβ为锐角，且满足4cos 5α=，5cos()13αβ+=，则sin β的值为（ ） A ．1665- B ．3365 C ．5665 D ．6365【答案】B 【解析】试题分析：因4cos 5α=,5cos()13αβ+=,故1312)sin(,53sin =+=βαα,故sin sin[()]βαβα=+- 124533313513565=⨯-⨯=,故应选B.考点：两角和的正弦公式及运用.【易错点晴】三角变换的精髓就是变角,将一个角变为两个角的和与差的形式是解答角变换问题的最高境界.所以在求解三角函数的值时,务必看清已知角与欲求角之间的关系,并进行适当变换,达到能够利用已知角的三角函数的关系.如本题在求解时,首先通过观察将欲求角β看做αβαβ-+=)(,然后再运用两角差的正弦公式得653353135541312])sin[(sin =⨯-⨯=-+=αβαβ. 8.若0a b >>，0c d <<，则下列各式一定成立的是（ ） A ．a b d c > B ．a b d c < C ．a b c d > D ．a b c d< 【答案】C考点：不等式的性质及运用. 9.若数列{}n a 满足122(*)n n na a n N a ++=∙∈，且121,2a a ==，则数列{}n a 的前2016项之积为（ ） A ．20142 B ．20152 C ．20162D ．20172【答案】C 【解析】试题分析：因122(*)n n n a a n N a ++=∙∈,故20162014201523122014212016212221=⋅⋅⋅⋅⨯⨯=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅++a a a a a a a a a ,故应选C.考点：数列的概念和叠乘运算.10.关于x 的不等式220x ax +-<在区间[1,4]上恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．7(,)2-∞- B ．(,1)-∞ C ．7(,)2-+∞ D ．(1,)+∞ 【答案】A考点：不等式恒成立问题的处理方法.【易错点晴】本题以不等式220x ax +-<在区间[1,4]上恒成立为背景,考查的是分离参数法及函数方程思想在解决不等式恒成立问题的常用方法.本题在求解时,首先从不等式220x ax +-<中分离出参数x x a -<2,然后再求函数解析式x x x h -=2)(在区间[1,4]上的最小值,最后求出参数a 的取值范围是7(,)2-∞-.从而使得问题简捷巧妙获解.11.一货轮航行到M 处，测得灯塔S 在货轮的北偏东15 ，与灯塔S 相距20海里，随后货轮按北偏西30 的方向航行30分钟到达N 处后，又测得灯塔在货轮的北偏东45 ，则货轮的速度为（ ）A ．海里/时B ．海里/时C ．海里/时D ．海里/时 【答案】D 【解析】试题分析：设货轮的速度为V ,则V MN 5.0=,由于0000105,301545,20=∠=-=∠=SNM MSN SM ,因此由正弦定理可得030sin 5.0105sin 20V=,故)26(20-=V ,故应选D.SM考点：正弦定理在实际问题中运用.12.如图，已知点E 为平行四边形ABCD 的边AB 上一点，2AE EB =，*()n F n N ∈为边DC 上的一列点，连接n AF 交BD 于n G ，点*()n G n N ∈满足11(32)3n n n n n G D a G A a G E +=-+，其中数列{}n a 是首项为1的正项数列，则4a 的值为（ ）A ．53B ．22C ．15D ．79【答案】A 【解析】试题分析：如图,因n n n n n n DF AG DF F G G -=-=λ,)(2323G AG DF n n n +===λλλ,故G G G AG AG G n n n n n n λλλλ2321)(23-=+-=,而11(32)3n n n n n G D a G A a G E +=-+ ,故232323213111+=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=++n n n n a a a a λλ,故)1(311+=++n n a a ,所以数列}1{+n a 是公比为3首项为 211=+=n a 的等比数列,所以1321-⋅=+n n a ,即1321-⋅=-n n a ,故5312724=-⨯=a ,应选A.考点：向量的几何运算和等比数列的知识及综合运用.【易错点晴】本题考查的是平面向量的几何运算及待定系数法的综合运用.求解时充分借助题设条件,从另一个角度运用向量的三角形法则求出G G G AG AG G n n n n n n λλλλ2321)(23-=+-=和 11(32)3n n n n n G D a G A a G E +=-+ ,然后在比较其系数得到232323213111+=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=++n n n n a a a a λλ,即 )1(311+=++n n a a ,由定义可得数列}1{+n a 是公比为3首项为211=+=n a 的等比数列,所以1321-⋅=+n n a ,即1321-⋅=-n n a ,故5312724=-⨯=a .第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.若1tan()63πα+=，则tan(2)3πα+= . 【答案】34【解析】试题分析:因tan(2)3πα+=4386911312)6(2tan ==-⨯=+απ,故应填34. 考点：两角和的正切公式等有关知识及运用．14.若关于x 的方程2(1)0mx m x m +-+=没有实数根，则实数m 的取值范围是 . 【答案】1(,1)(,)3-∞-+∞考点：二次不等式及解法．15.如图，等腰直角三角形ABC ，点G 是ABC ∆的重心，过点G 作直线与,CA CB 两边分别交于,M N 两点，且CM CA λ= ，CN CB μ=，则4λμ+的最小值为.【答案】3 【解析】试题分析:设t =,则)(t -=-,即111t CG CM CN t t=+++11t CA CB t t λμ=+++，又因为)3131+=,所以3111=+=+t t t μλ,由此可得311=+μλ,又3)441(31)11)(4(≥+++=++μλλμμλμλ,故应填3.考点：向量的几何运算及基本不等式等有关知识的综合运用．【易错点晴】本题考查的是平面向量的几何运算、待定系数法、基本不等式等知识的综合运用.求解时充分借助题设条件,从两个角度运用向量的三角形法则求出tt t t t t +++=+++=11111μλ和)3131+=,然后在比较其系数得到3111=+=+t t t μλ,即311=+μλ,为求4λμ+的最小值附加了一个重要条件.最后再运用基本不等式得到3)441(31)11)(4(≥+++=++μλλμμλμλ,求出其最小值为3.16.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足*14()n n n S a a n N +=-∈，若11a =，则n a = . 【答案】12-⋅n n考点：等差数列和等比数列的有关知识及综合运用．【易错点晴】本题考查的是数列前n 项和n S 与通项n a 之间关系等有关知识的综合运用.求解时要充分运用题设条件*14()n n n S a a n N +=-∈,再得到其递推式2114+++-=n n n a a S ,然后两式相减可得121144+++++--=n n n n n a a a a a ,再加以整理可得)2(22112n n n n a a a a -=-+++,运用等比数列的定义可知数列}2{1n n a a -+是公比为2,首项为2的等比数列,则n n n n a a 222211=⋅=--+,所以212211=-++n n n n a a ,最后由定义可知数列}2{n n a 是首项为21,公差为21的等差数列,最后求出2)1(21212n n a n n =-+=,故12-⋅=n n n a .三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）已知向量,a b 满足：||a = ||4b = ，()2a b a ∙-=.（1）求向量a 与b的夹角；（2）若||ta b -=t 的值.【答案】(1)4πθ=；(2)2t =.【解析】试题分析：(1)借助题设条件运用向量的数量积公式求解；(2)借助向量模的概念建立方程求解. 试题解析：（1）设向量a 与b的夹角为θ，∵2()2a b a a b a ∙-=∙-= ，∴4a b ∙= ，所以cos 2||||a b a b θ∙==，∵[0,]θπ∈，∴4πθ=；（2）由||ta b -= 22228||2||2816t a ta b b t t =-∙+=-+ ，∴228160t t -+=，2t =.考点：向量的模的概念和数量积公式等有关知识的综合运用． 18.（本小题满分12分） 已知(,)2παπ∈，且tan 3α=-. （1）求sin()4πα+的值；（2）求2cos(2)3πα-的值. 【答案】(1)55；(2)10334-.考点：三角变换的公式等有关知识的综合运用． 19.（本小题满分12分）已知公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且5774a S +=，4a 是1a 和13a 的等比中项. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设{}nnb a 是首项和公比均为3的等比数列，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】(1)21n a n =+；(2)13n n T n +=∙. 【解析】试题分析：(1)借助题设条件运用等差数列通项公式和前n 项和公式建立方程组求解；(2)借助错位相减法和等比数列的前n 项和公式求解. 试题解析：（1）设数列{}n a 的公差为(0)d d ≠，根据题意可得：1121116747742(3)(12)a d a d a d a a d ⨯⎧+++=⎪⎨⎪+=+⎩ 解得：132a d =⎧⎨=⎩，∴21n a n =+.（2）由题意可得：3n nnb a =，∴3(21)3n n n n b a n ==+， ∴23353(21)3n n T n =⨯+⨯+++⨯ ，①23133353(21)3n n T n +=⨯+⨯+++⨯ ，②由①-②得：2311233232323(21)323n n n n T n n ++-=⨯+⨯+⨯++⨯-+⨯=-∙ ， ∴13n n T n +=∙.考点：等差数列和等比数列的通项公式和前n 项和公式及错位相减法等有关知识的综合运用． 20.（本小题满分12分）在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，且关于x 的不等式22()0()x a bc x m m R -++<∈解集为22(,)b c .（1）求角A 的大小； （2）若a =B θ=，ABC ∆的周长为y ，求()y f θ=的取值范围.【答案】(1)3A π=；(2)y ∈.（2）由a =3A π=及正弦定理得：sin sin sin b c aB C A===∴b B θ==，2sin()3c C πθ==-，故2sin()3y a b c πθθ=++=+-)6πθ=++∵b c <，∴23B C B π<=-，∴3B π<，故03πθ<<，得662πππθ<+<，∴1sin()126πθ<+<，∴y ∈.考点：正弦定理和余弦定理及三角变换公式等有关知识的综合运用．【易错点晴】本题考查的是正弦定理和余弦定理及三角变换等有关知识的综合运用.解答第一问时,充分借助题设条件,将不等式的解集转化为222b c a bc +=+,再依据余弦定理,求出角3A π=.第二问的求解过程中如何建立目标函数是解答好本题的关键,也是解答好本题突破口.求解时先运用正弦定理和三角变换等知识将三角形的周长表示θ=B 的函数,然后再求函数的值域.21.（本小题满分12分）如图，已知矩形ABCD 中，6AB =，4AD =，过点C 的直线l 与AB ，AD 的延长线分别交于点,M N .（1）若AMN ∆的面积不小于50，求线段DN 的长度的取值范围；（2）在直线l 绕点C 旋转的过程中，AMN ∆的面积S 是否存在最小值？若存在，求出这个最小值及相应 的,AM AN 的长度；若不存在，请说明理由.【答案】(1) 8(0,][6,)3+∞ ；(2)当12,8AM AN ==，AMN ∆的面积S 有最小值48.【解析】试题分析：(1)借助题设条件建立不等式求解；(2)借助基本不等式求解.试题解析：（1）设(0)DN x x =>，AMN ∆的面积为S ，∵NDC ∆～NAM ∆，∴64x x AM =+，∴6(4)x AM x+=， ∴2116(4)(4)(4)322x x S AM AN x x x++=∙=∙∙+=∙.由2(4)350x S x+=∙≥，得803x <≤或6x ≥. 所以，线段DN 的长度的取值范围8(0,][6,)3+∞.考点：二次不等式及基本不等式等有关知识的综合运用．22.（本小题满分12分）数列{}n a 满足1212242n n n a a na -++++=-，*n N ∈. （1）求3a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）设121log n n b a =+，求证：2221211174n b b b +++< . 【答案】(1)314a =；(2) 112n n a -=；（3）证明见解析. 【解析】 试题分析：(1)分别令1n =，2n =，3n =可得3a ；(2)借助题设条件运用数列的递推关系求解；(3)借助题设运用放缩法和不等式的性质推证.试题解析：（1）令1n =，得11a =；令2n =，有1222a a +=，得212a =； 令3n =，有12311234a a a ++=，得314a =. （2）∵1212242n n n a a na -++++=- ， （1）式 所以，当2n ≥时，121212(1)42n n n a a n a --++++-=- ，（2）式两式相减得：21112222n n n n n n n na ---++=-=，∴112n n a -=. 当1n =时，11a =也适合112n n a -=， ∴112n n a -=*()n N ∈.考点：数列的递推关系及不等式的放缩法等有关知识的综合运用．【易错点晴】本题考查的是数列的递推关系及放缩法和不等式的性质等有关知识的综合运用.解答第一问时,充分借助题设条件,运用数列递推式赋值3,2,1=n 直接求出314a =；第二问的求解中,借助数列递推关系式,运用两等式相减的方法求得112n n a -=；第三问的推证过程中运用放缩法2211n b =缩放成)1(11122-<=n n n b ,再运用裂项相消法推证得不等式2221211174n b b b +++< .。
四川省成都市高新区2018届高三下学期期中数学试卷(理科)Word版含解析
四川省成都市高新区2018届高三下学期期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的）1．已知集合A={x ∈R||x|≤2}，B={x ∈Z|x 2≤1}，则A ∩B=（ ） A ．[﹣1，1] B ．[﹣2，2]C ．{﹣1，0，1}D ．{﹣2，﹣1，0，1，2}2．关于复数z=，下列说法中正确的是（ ）A ．|z|=2B ．z 的虚部为﹣iC ．z 的共轭复数位于复平面的第三象限D ．z•=23．已知a 是平面α外的一条直线，过a 作平面β，使β∥α，这样的β（ ） A ．恰能作一个 B ．至多能作一个 C ．至少能作一个 D ．不存在4．已知二项式（x ﹣）4的展开式中常数项为32，则a=（ ） A ．8B ．﹣8C ．2D ．﹣25．函数y=lncosx （﹣＜x ＜）的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．6．《九章算术》是我国古代的数学巨著，内容极为丰富，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何．”意思是：“5人分取5钱，各人所得钱数依次成等差数列，其中前2人所得钱数之和与后3人所得钱数之和相等．”，则其中分得钱数最多的是（ ）A ．钱B ．1钱C ．钱D ．钱7．将5本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本至多两本，则不同的分法种数是（ ）A ．60B ．90C ．120D ．1808．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值为4，则t的值不可能是（）A．3 B．6 C．8 D．119．若函数f（x）=2sin（）（﹣2＜x＜10）的图象与x轴交于点A，过点A的直线l与函数的图象交于B、C两点，则（+）•=（）A．﹣32 B．﹣16 C．16 D．3210．三棱锥D﹣ABC及其正视图和侧视图如右图所示，且顶点A，B，C，D均在球O的表面上，则球O的表面积为（）A．32πB．36πC．128πD．144π11．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，若双曲线右支上存在两点B，C使得△ABC为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（）A．（1，2）B．（2，+∞）C．（1，）D．（，+∞）12．设函数f（x）=2lnx﹣﹣m，若关于x的方程f（f（x））=x恰有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A．（2ln3﹣4，+∞）B．（﹣∞，2ln3﹣4）C．（﹣4，+∞）D．（﹣∞，﹣4）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．若x ，y 满足则z=x+2y 的最大值为 ．14．已知向量=（1，2），⊥（+），则向量在向量方向上的投影为 ．15．斜率为k （k ＞0）的直线l 经过点F （1，0）交抛物线y 2=4x 于A ，B 两点，若△AOF 的面积是△BOF 面积的2倍，则k= ．16．已知数列{a n }满足a 1=，a n+1=a n 2+a n （n ∈N *），则的整数部分是 ．三、解答题（本大题共小题，共70分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．在△ABC 中，已知A=，cosB=．（Ⅰ）求cosC 的值；（Ⅱ）若BC=2，D 为AB 的中点，求CD 的长．18．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AB=BC=2，∠ABC=120°，AD=CD=，直线PC 与平面ABCD 所成角的正切为．（1）设E 为直线PC 上任意一点，求证：AE ⊥BD ； （2）求二面角B ﹣PC ﹣A 的正弦值．19．为了了解甲、乙两所学校全体高三年级学生在该地区八校联考中的数学成绩情况，从两校各随机抽取60名学生，将所得样本作出频数分布统计表如下： 甲校：乙校：以抽样所得样本数据估计总体（1）比较甲、乙两校学生的数学平均成绩的高低；（2）若规定数学成绩不低于120分为优秀，从甲、乙两校全体高三学生中各随机抽取2人，其中数学成绩为优秀的共X 人，求X 的分布列及数学期望．20．已知椭圆C 1：+=1，圆C 2：x 2+y 2=t 经过椭圆C 1的焦点．（1）设P 为椭圆上任意一点，过点P 作圆C 2的切线，切点为Q ，求△POQ 面积的取值范围，其中O 为坐标原点；（2）过点M （﹣1，0）的直线l 与曲线C 1，C 2自上而下依次交于点A ，B ，C ，D ，若|AB|=|CD|，求直线l 的方程．21．已知函数f （x ）=x 2﹣ax+（3﹣a ）lnx ，a ∈R ．（1）若曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线与直线2x ﹣y+1=0垂直，求a 的值；（2）设f （x ）有两个极值点x 1，x 2，且x 1＜x 2，求证：﹣5﹣f （x 1）＜f （x 2）＜﹣．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．在直角坐标系xOy 中，圆C 1和C 2的参数方程分别是（φ为参数）和（φ为参数），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求圆C 1和C 2的极坐标方程；（2）射线OM ：θ=a 与圆C 1的交点为O 、P ，与圆C 2的交点为O 、Q ，求|OP|•|OQ|的最大值．23．设函数f （x ）=|2x+2|﹣|x ﹣2|． （Ⅰ）求不等式f （x ）＞2的解集；（Ⅱ）若∀x ∈R ，f （x ）≥t 2﹣t 恒成立，求实数t 的取值范围．四川省成都市高新区2018届高三下学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的）1．已知集合A={x∈R||x|≤2}，B={x∈Z|x2≤1}，则A∩B=（）A．[﹣1，1] B．[﹣2，2] C．{﹣1，0，1} D．{﹣2，﹣1，0，1，2}【考点】1E：交集及其运算．【分析】根据题意，解|x|≤2可得集合A，解x2≤1可得集合B，进而由交集的意义，计算可得答案．【解答】解：根据题意，|x|≤2⇒﹣2≤x≤2，则A={x∈R||x|≤2}={x|﹣2≤x≤2}，x2≤1⇒﹣1≤x≤1，则B={x∈Z|x2≤1}={﹣1，0，1}，则A∩B={﹣1，0，1}；故选：C．2．关于复数z=，下列说法中正确的是（）A．|z|=2B．z的虚部为﹣iC．z的共轭复数位于复平面的第三象限D．z•=2【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】化简z，求出z的共轭复数，从而求出答案即可．【解答】解：复数z===﹣1﹣i，故|z|=，z的虚部是﹣1，z•=（﹣1﹣i）（﹣1+i）=2，故选：D．3．已知a是平面α外的一条直线，过a作平面β，使β∥α，这样的β（）A．恰能作一个 B．至多能作一个C．至少能作一个D．不存在【考点】LP ：空间中直线与平面之间的位置关系． 【分析】由平面与平面平行的性质直接求解．【解答】解：当a ∥α时，过a 作平面β，使得β∥α， 由平面与平面平行的性质得： 这样的平面β有且只有1个．a 与α相交时，设平面为β，a 与α交点为P ，根据题意P ∈β，P ∈α，则α∩β=l 且P ∈l ，这与α∥β矛盾， ∴这样的β不存在．综上所述，过平面α外一条直线a 与α平行的平面的个数为至多1个． 故选：B ．4．已知二项式（x ﹣）4的展开式中常数项为32，则a=（ ） A ．8B ．﹣8C ．2D ．﹣2【考点】DB ：二项式系数的性质．【分析】利用展开式的通项公式求出常数项，即可求出a 的值．【解答】解：二项式（x ﹣）4的展开式的通项为T r+1=（﹣a ）r C 4r x 4﹣r，令4﹣=0，解得r=3，∴（﹣a ）3C 43=32， ∴a=﹣2， 故选：D5．函数y=lncosx （﹣＜x ＜）的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】3O ：函数的图象．【分析】由条件利用余弦函数的值域以及单调性，复合函数的单调性规律，得出结论．【解答】解：在（0，）上，t=cosx是减函数，y=lncosx是减函数，且函数值y＜0，故排除B、C；在（﹣，0）上，t=cosx是增函数，y=lncosx是增函数，且函数值y＜0，故排除D，故选：A．6．《九章算术》是我国古代的数学巨著，内容极为丰富，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何．”意思是：“5人分取5钱，各人所得钱数依次成等差数列，其中前2人所得钱数之和与后3人所得钱数之和相等．”，则其中分得钱数最多的是（）A．钱B．1钱C．钱D．钱【考点】8C：等差关系的确定．【分析】依题意设5人所得钱分别为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，由题意求得a=﹣6d，结合a﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+2d=5a=5求得a=1，则答案可求．【解答】解：依题意设5人所得钱分别为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，则由题意可知，a﹣2d+a﹣d=a+a+d+a+2d，即a=﹣6d，又a﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+2d=5a=5，∴a=1，则a﹣2d=a﹣2×（﹣）=a=．故选：D7．将5本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本至多两本，则不同的分法种数是（）A．60 B．90 C．120 D．180【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，分2步进行分析：①、5本不同的书分成3组，一组1本．剩余两个组每组2本，利用组合数公式可得其分组方法数目，②、将分好的三组全排列，对应甲、乙、丙三人，由排列数公式可得其情况数目，进而由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①、5本不同的书分成3组，一组1本．剩余两个组每组2本；有=15种分组方法；3=6种情况，②、将分好的三组全排列，对应甲、乙、丙三人，有A3则有15×6=90种不同的分法；故选：B．8．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值为4，则t的值不可能是（）A．3 B．6 C．8 D．11【考点】EF：程序框图．【分析】模拟程序框图的运行过程，得出不满足条件S≤t时输出k=4，由此求出t的值不可能是11．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；k=10，S=0，满足条件S≤t，S=2°=1；k=8，满足条件S≤t，S=1+21=3；k=6，满足条件S≤t，S=3+23=11；k=4，不满足条件S≤t，输出k=4；则t的值不可能是11．故选：D．9．若函数f（x）=2sin（）（﹣2＜x＜10）的图象与x轴交于点A，过点A的直线l与函数的图象交于B、C两点，则（+）•=（）A．﹣32 B．﹣16 C．16 D．32【考点】9R：平面向量数量积的运算；H2：正弦函数的图象．【分析】由f（x）=2sin（）=0，结合已知x的范围可求A，设B（x1，y1），C（x2，y 2），由正弦函数的对称性可知B，C 两点关于A对称即x1+x2=8，y1+y2=0，代入向量的数量积的坐标表示即可求解【解答】解：由f（x）=2sin（）=0可得∴x=6k﹣2，k∈Z∵﹣2＜x＜10∴x=4即A（4，0）设B（x1，y1），C（x2，y2）∵过点A的直线l与函数的图象交于B、C两点∴B，C 两点关于A对称即x1+x2=8，y1+y2=0则（+）•=（x1+x2，y1+y2）•（4，0）=4（x1+x2）=32故选D10．三棱锥D﹣ABC及其正视图和侧视图如右图所示，且顶点A，B，C，D均在球O的表面上，则球O的表面积为（）A．32πB．36πC．128πD．144π【考点】LG：球的体积和表面积；L7：简单空间图形的三视图．【分析】由三视图画出几何体的直观图，由三视图判断出DC⊥平面ABC、△ABC的形状，取AC 中点F并连BF，由线面垂直的定义和勾股定理求出BC，求出△ABC的外接圆的半径，列出方程求出三棱锥外接球的半径，由球的表面积公式求出答案．【解答】解：由三视图可得：DC⊥平面ABC且底面△ABC为正三角形，如图所示，取AC中点F，连BF，则BF⊥AC，在Rt△BCF中，BF=2，CF=2，BC=4，在Rt△BCD中，CD=4，所以BD=4．设球心到平面ABC的距离为d，因为DC⊥平面ABC，且底面△ABC为正三角形，所以d=2，因为△ABC的外接圆的半径为2，所以由勾股定理可得R2=d2+22=8，则该三棱锥外接球的半径R=2，所以三棱锥外接球的表面积是4πR2=32π，故选A．11．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，若双曲线右支上存在两点B，C使得△ABC为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（）A．（1，2）B．（2，+∞）C．（1，）D．（，+∞）【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】设其中一条渐近线与x轴的夹角为θ，由已知条件得tanθ＜1，渐近线的方程为y=x，从而＜1由此能求出该双曲线的离心率e的取值范围．【解答】解：如图，由△ABC为等腰直角三角形，所以∠BAx=45°，设其中一条渐近线与x轴的夹角为θ，则θ＜45°，即tanθ＜1，又上述渐近线的方程为y=x，则＜1，又e=，∴1＜e＜，双曲线的离心率e的取值范围（1，），故选C．12．设函数f（x）=2lnx﹣﹣m，若关于x的方程f（f（x））=x恰有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A．（2ln3﹣4，+∞）B．（﹣∞，2ln3﹣4）C．（﹣4，+∞）D．（﹣∞，﹣4）【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】令f（x）=x得出m=2lnx﹣x﹣，根据导数的性质求出m的范围，根据根的个数判断m的范围．【解答】解：∵关于x的方程f（f（x））=x有解，∴方程f（x）=x有解，令f（x）=x得m=2lnx﹣x﹣，令g（x）=2lnx﹣x﹣，则g′（x）==（x＞0），令g′（x）＞0得0＜x＜3，令g′（x）＜0得x＞3，∴g（x）在（0，3）上单调递增，在（3，+∞）上单调递减，∴当x=3时，g（x）取得最大值g（3）=2ln3﹣4，∴m≤2ln3﹣4．若m=2ln3﹣4，则g（x）=m只有一解x=3，∵f（f（x））=x，∴f（x）=3．∵f′（x）=+＞0，∴f（x）是增函数，∴f（x）=3最多只有一解，不符合题意；∴m＜2ln3﹣4．故选B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．若x，y满足则z=x+2y的最大值为 2 ．【考点】7C：简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由直线方程可知，要使z 最大，则直线在y轴上的截距最大，结合可行域可知当直线z=x+2y过点B时z最大，求出B 的坐标，代入z=x+2y得答案．【解答】解：由足约束条件作出可行域如图，由z=x+2y，得y=﹣+．要使z最大，则直线y=﹣+的截距最大，由图可知，当直线y=﹣+．过点A时截距最大．联立，解得，∴A（0，1），∴z=x+2y的最大值为0+2×1=2．故答案为：2．14．已知向量=（1，2），⊥（+），则向量在向量方向上的投影为﹣．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】由向量垂直，求得•=﹣丨丨2，向量在向量方向上的投影为=﹣丨丨，根据向量的模长公式即可求得答案．【解答】解：由⊥（+），则•（+）=0，即2+•=0，则•=﹣丨丨2，向量在向量方向上的投影为=﹣丨丨=﹣=﹣，故答案为：﹣．15．斜率为k（k＞0）的直线l经过点F（1，0）交抛物线y2=4x于A，B两点，若△AOF的面积是△BOF面积的2倍，则k= 2．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】利用S△AOF =2S△BOF，求得yA=﹣2yB，设出直线AB的方程，与抛物线方程联立消去x，利用韦达定理求得m，即可求出k的值．【解答】解：∵S△AOF =2S△BOF，∴yA =﹣2yB，①∴设AB的方程为x=my+1（m＞0），与y2=4x联立消去x得y2﹣4my﹣4=0，∴yA +yB=4m②，yAyB=﹣4③由①②③可得m=，∴k=2，故答案为2．16．已知数列{a n }满足a 1=，a n+1=a n 2+a n （n ∈N *），则的整数部分是 3 ．【考点】8E ：数列的求和．【分析】根据数列的递推关系得到=﹣，利用裂项法进行求和，即可得到结论．【解答】解：由a n+1=a n 2+a n ， 得a n+1=a n （a n +1），取倒数得到=，即=﹣，则=﹣，即m==++…+=﹣+﹣+…+﹣=4﹣，∵a n+1=a n 2+a n ＞a n ，∴＜，且a 5＞1，a 2017＞1．∴0＜＜1，则4＞4﹣＞3，即3＜m ＜4．则所求整数部分为3． 故答案为：3．三、解答题（本大题共小题，共70分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．在△ABC 中，已知A=，cosB=．（Ⅰ）求cosC 的值；（Ⅱ）若BC=2，D为AB的中点，求CD的长．【考点】GP：两角和与差的余弦函数；HP：正弦定理．【分析】（I）由cosB的值及B的范围求出sinB的值，所求式子利用诱导公式及内角和定理变形，再利用两角和与差的余弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出cosC的值；（Ⅱ）由cosC的值，求出sinC的值，根据BC，sinA，以及sinC的值，利用正弦定理求出AB 的唱，再利用余弦定理即可求出CD的长．【解答】解：（Ⅰ）∵cosB=且B∈（0，π），∴sinB==，则cosC=cos（π﹣A﹣B）=cos（﹣B）=cos cosB+sin sinB=﹣﹣+﹣=﹣；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得sinC===，由正弦定理得=，即=，解得AB=6，在△BCD中，CD2=BC2+AD2﹣2BC•ADcosB=（2）2+32﹣2×3×2×=5，所以CD=．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=BC=2，∠ABC=120°，AD=CD=，直线PC与平面ABCD所成角的正切为．（1）设E为直线PC上任意一点，求证：AE⊥BD；（2）求二面角B﹣PC﹣A的正弦值．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LO：空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）设O为线段AC的中点，由AB=BC知BO⊥AC，由AD=CD知DO⊥AC，从而B，O，D 三点共线，即O为AC与DB的交点，可得DB⊥平面PAC即可得AE⊥BD；（2）以所在方向为x轴，所在方向为y轴，过O作AP的平行线为z轴，建立空间直角坐标系由题意，AC=2，OB=1，OD=2，又PA⊥平面ABCD，故直线PC与平面ABCD所成角即为∠PCA，由tan∠PCA求得PA，利用向量求解【解答】解：（1）设O为线段AC的中点，由AB=BC知BO⊥AC，由AD=CD知DO⊥AC，从而B，O，D三点共线，即O为AC与DB的交点…又PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD又AC∩PA=A，所以DB⊥平面PAC因为E为直线PC上任意一点，所以AE⊂平面PAC，所以AE⊥BD…（2）以所在方向为x轴，所在方向为y轴，过O作AP的平行线为z轴，建立空间直角坐标系由题意，AC=2，OB=1，OD=2又PA⊥平面ABCD，故直线PC与平面ABCD所成角即为∠PCA，∴tan∠PCA所以PA=，所以B（﹣1，0，0），C（0，﹣，0），P（0，，），∴…设平面BPC的法向量，由，有解得…由（1），取平面PCA的法向量．所以cos＜＞=所以二面角B﹣PC﹣A的正弦值为…19．为了了解甲、乙两所学校全体高三年级学生在该地区八校联考中的数学成绩情况，从两校各随机抽取60名学生，将所得样本作出频数分布统计表如下：甲校：乙校：以抽样所得样本数据估计总体（1）比较甲、乙两校学生的数学平均成绩的高低；（2）若规定数学成绩不低于120分为优秀，从甲、乙两校全体高三学生中各随机抽取2人，其中数学成绩为优秀的共X人，求X的分布列及数学期望．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）计算甲、乙的平均数，比较即可得出结论；（2）由题意知，甲、乙两校学生的优秀率分别为、，X的可能取值是0，1，2，3，4；计算对应的概率，写出X的分布列，求出数学期望值．【解答】解：（1）计算甲的平均数为=×（75×2+85×4+95×8+105×16+115×15+125×6+135×6+145×3）=110.8，…乙的平均数为=×（75×2+85×5+95×9+105×10+115×14+125×10+135×6+145×4）=112.2；…所以乙校学生的数学平均成绩高于甲校；…（2）由上表可知，甲、乙两校学生的优秀率分别为、， X=0，1，2，3，4；…P （X=0）=×=，P （X=1）=•••+•••=，P （X=2）=×+×+•••••=，P （X=3）=•••+•••=，P （X=4）=×=；所以X 的分布列为：…数学期望为E （X ）=0×+1×+2×+3×+4×=．…20．已知椭圆C 1：+=1，圆C 2：x 2+y 2=t 经过椭圆C 1的焦点． （1）设P 为椭圆上任意一点，过点P 作圆C 2的切线，切点为Q ，求△POQ 面积的取值范围，其中O 为坐标原点；（2）过点M （﹣1，0）的直线l 与曲线C 1，C 2自上而下依次交于点A ，B ，C ，D ，若|AB|=|CD|，求直线l 的方程．【考点】KL ：直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）由题意的焦点坐标，求得t 的值，则丨PO 丨∈[2，]，利用三角形的面积公式，即可求得△POQ 面积的取值范围；（2）将直线l 的方程，代入椭圆方程及圆的方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，即可求得m 的值，求得直线直线l 的方程．【解答】解：（1）椭圆C 1：+=1的焦点坐标为（±，0），则t=2，…设P （x ，y ），则丨PO 丨===，由x 2∈[0，6]，则丨PO 丨∈[2，]，…则△POQ 面积S ，S=××∈[1，]，△POQ 面积的取值范围[1，]；…（2）设直线l 的方程为：x=my ﹣1；联立，消去x ，整理得（2m 2+3）y 2﹣4my ﹣10=0，设A （x 1，y 1），D （x 2，y 2），则y 1+y 2=…联立，消去x ，得（m 2+1）y 2﹣2my ﹣1=0，设B （x 3，y 3），D （x 3，y 4），则y 3+y 4=，…又丨AB 丨=丨CD 丨，则=，即y 3﹣y 1=y 2﹣y 4，…从而y 1+y 2=y 3+y 4，即=，解得m=0，∴直线l 的方程为x=﹣1．…21．已知函数f （x ）=x 2﹣ax+（3﹣a ）lnx ，a ∈R ．（1）若曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线与直线2x ﹣y+1=0垂直，求a 的值；（2）设f （x ）有两个极值点x 1，x 2，且x 1＜x 2，求证：﹣5﹣f （x 1）＜f （x 2）＜﹣． 【考点】6D ：利用导数研究函数的极值；6H ：利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】（1）求出函数的导数，根据f′（1）的值，求出a 的值；（2）根据x 1，x 2是方程f′（x ）=0的根，得到关于a 的不等式组，求出a 的范围，求出f （x 1）+f （x 2）的表达式，设h （a ）=﹣a 2+a ﹣3+（3﹣a ）ln （3﹣a ），a ∈（2，3），根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（1）∵f′（x ）=，∴f′（1）=4﹣2a ，由题意4﹣2a=﹣，解得：a=；（2）证明：由题意，x 1，x 2为f′（x ）=0的两根，∴，∴2＜a ＜3，由x 1+x 2=a ＞2，x 1x 2=3﹣a ＜1，知x 1＜1＜x 2，结合单调性有f （x 2）＜f （1）=﹣a ＜﹣，又f （x 1）+f （x 2）=（+）﹣a （x 1+x 2）+（3﹣a ）lnx 1x 2=﹣a 2+a ﹣3+（3﹣a ）ln （3﹣a ），设h （a ）=﹣a 2+a ﹣3+（3﹣a ）ln （3﹣a ），a ∈（2，3），则h′（a ）=﹣a ﹣ln （3﹣a ），h″（a ）=＞0，故h′（a ）在（2，3）递增，又h′（2）=﹣2＜0， a→3时，h′（a ）→+∞，∴∃a 0∈（2，3），当a ∈（2，a 0）时，h （a ）递减，当a ∈（a 0，3）时，h （a ）递增，∴h （a ）min =h （a 0）=﹣+a 0﹣3+（3﹣a 0）•（﹣a 0）=﹣2a 0﹣3＞﹣5，∴∀a ∈（2，3），h （a ）＞﹣5，综上，﹣5﹣f （x 1）＜f （x 2）＜﹣．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．在直角坐标系xOy 中，圆C 1和C 2的参数方程分别是（φ为参数）和（φ为参数），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C 1和C 2的极坐标方程；（2）射线OM ：θ=a 与圆C 1的交点为O 、P ，与圆C 2的交点为O 、Q ，求|OP|•|OQ|的最大值．【考点】QH ：参数方程化成普通方程；Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）首先把两圆的参数方程转化成直角坐标方程，再把直角坐标方程为转化成极坐标方程．（2）根据圆的坐标形式．利用两点间的距离公式，再利用换元法进一步求出最值．【解答】解：（1）圆C1（φ为参数），转化成直角坐标方程为：（x﹣2）2+y2=4即：x2+y2﹣4x=0转化成极坐标方程为：ρ2=4ρcosθ即：ρ=4cosθ圆C2（φ为参数），转化成直角坐标方程为：x2+（y﹣1）2=1即：x2+y2﹣2y=0转化成极坐标方程为：ρ2=2ρsinθ即：ρ=2sinθ（2）射线OM：θ=α与圆C1的交点为O、P，与圆C2的交点为O、Q则：P（2+2cosα，2sinα），Q（cosα，1+sinα）则：|OP|==，|OQ|==则：|OP||OQ|==设sinα+cosα=t（）则：则关系式转化为：4=由于：所以：（|OP||OQ|）max=．23．设函数f（x）=|2x+2|﹣|x﹣2|．（Ⅰ）求不等式f（x）＞2的解集；（Ⅱ）若∀x∈R，f（x）≥t2﹣t恒成立，求实数t的取值范围．【考点】R5：绝对值不等式的解法；R4：绝对值三角不等式．【分析】（Ⅰ）根据函数f（x）=，分类讨论，求得f（x）＞2的解集．（Ⅱ）由f（x）的解析式求得f（x）的最小值为f（﹣1）=﹣3，再根据f（﹣1）≥t2﹣，求得实数t的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=|2x+2|﹣|x﹣2|=，当x＜﹣1时，不等式即﹣x﹣4＞2，求得x＜﹣6，∴x＜﹣6．当﹣1≤x＜2时，不等式即3x＞2，求得x＞，∴＜x＜2．当x≥2时，不等式即x+4＞2，求得x＞﹣2，∴x≥2．综上所述，不等式的解集为{x|x＞或x＜﹣6}．（Ⅱ）由以上可得f（x）的最小值为f（﹣1）=﹣3，若∀x∈R，f（x）≥t2﹣t恒成立，只要﹣3≥t2﹣t，即2t2﹣7t+6≤0，求得≤t≤2．。
[推荐学习]2017-2018学年高二数学下学期期中试题 文(含解析)
四川省凉山木里中学2017-2018学年高二数学下学期期中试题文（含解析）一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分)1.1.已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|x2<9}，则A∩B等于( )A. {－2，－1,0,1,2,3}B. {－2，－1,0,1,2}C. {1,2,3}D. {1,2}【答案】D【解析】【分析】求出集合中的范围确定出，再求和的交集即可【详解】则故选【点睛】本题主要考查了集合的运算法则及其交集运算，求出集合中的范围确定出是解题的关键，属于基础题。
2.2.设是向量，则“”是“”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】试题分析：由无法得到，充分性不成立；由，得，两向量的模不一定相等，必要性不成立，故选D.【考点】充要条件,向量运算【名师点睛】由向量数量积的定义(为，的夹角)可知，数量积的值、模的乘积、夹角知二可求一，再考虑到数量积还可以用坐标表示，因此又可以借助坐标进行运算.当然，无论怎样变化，其本质都是对数量积定义的考查.求解夹角与模的题目在近几年高考中出现的频率很高，应熟练掌握其解法.视频3.3.下列函数中，在区间上为减函数的是A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：在区间上为增函数；在区间上先增后减；在区间上为增函数；在区间上为减函数，选D.考点：函数增减性视频4.4.设则（）A. 1B.C.D. 2【答案】B【解析】由已知得，所以，解得，，故选B．视频5.5.设，则=（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：，所以，故选C.考点：函数的表示.6.6.在等差数列{a n}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11＝（）A. 58B. 88C. 143D. 176【答案】B【解析】试题分析：等差数列前n项和公式，．考点：数列前n项和公式．视频7.7.某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（）........................A. 0B. -1C. -2D. -8【答案】B【解析】根据流程图可得：第1次循环：；第2次循环：；第3次循环：；第4次循环：；此时程序跳出循环，输出 .本题选择B选项.8.8.在椭圆内，通过点，且被这点平分的弦所在的直线方程为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】试题分析：设以点为中点的弦的端点分别为，则，又，两式相减化简得，即以点为中点的弦所在的直线的斜率为，由直线的点斜式方程可得，即，故选A. 考点：直线与椭圆的位置关系.9.9.某四棱锥的三视图如上图（右）所示,该四棱锥最长棱棱长为A. 1B.C.D. 2【答案】C【解析】四棱锥的直观图如图所示：由三视图可知，平面，是四棱锥最长的棱，，故选C.考点：三视图.视频10. 从三个红球、两个白球中随机取出两个球，则取出的两个球不全是红球的概率是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：全是红球的概率为，所以对立事件不全是红球的概率为考点：古典概型概率点评：古典概型概率的求解首先要找到所有基本事件种数与满足题意的基本事件种数，然后求其比值即可，求解过程中常结合对立事件互斥事件考虑11.11.若tanα＝，则cos2α＋2sin 2α等于( )A. B. C. 1 D.【答案】A【解析】【分析】利用同角三角函数的基本关系，二倍角的正弦公式，求得结果【详解】故选【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值，将所求的关系式的分母“1”化为，再将“弦”化“切”求解。