天津市高二上学期期末数学试卷
天津市高二上学期期末数学试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题 (共10题；共20分)
1. （2分）(2018·衡水模拟) 已知集合，，则（）
A .
B .
C .
D .
2. （2分） (2019高二下·哈尔滨月考) 命题“若 ,则且”的否命题为（）
A . 若 ,则且
B . 若 ,则或
C . 若 ,则且
D . 若 ,则或
3. （2分）三个正数a，b，c满足a≤b+c≤2a，b≤a+c≤2b，则的取值范围是（）
A . [ ， ]
B . [ ，+∞）
C . [2，3]
D . [1，2]
4. （2分）若=（1，﹣2，2）是平面α的一个法向量，则下列向量能作为平面α法向量的是（）
A . （1，﹣2，0）
B . （0，﹣2，2）
C . （2，﹣4，4）
D . （2，4，4）
5. （2分）(2017·金华模拟) 已知x∈R，则“|x﹣3|﹣|x﹣1|＜2”是“x≠1”的（）
A . 充分不必要条件
B . 必要不充分条件
C . 充要条件
D . 既不充分也不必要条件
6. （2分）要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为10，要使其体积最大，则高应为（）
A .
B .
C .
D .
7. （2分） (2018高一上·兰州期末) 已知两个不重合的平面α，β和两条不同直线m，n，则下列说法正确的是（）
A . 若m⊥n，n⊥α，m⊂β，则α⊥β
B . 若α∥β，n⊥α，m⊥β，则m∥n
C . 若m⊥n，n⊂α，m⊂β，则α⊥β
D . 若α∥β，n⊂α，m∥β，则m∥n
8. （2分） (2017高二下·仙桃期末) 如图所示，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，△ABC为正三角形，PA=AB，E是PC的中点，则异面直线AE和PB所成角的余弦值为（）
A .
B .
C .
D .
9. （2分） (2018高三上·双鸭山月考) 已知x＞0，y＞0，若恒成立，则实数m的取值范围是（）
A . m≥4或m≤－2
B . m≥2或m≤－4
C . －2＜m＜4
D . －4＜m＜2
10. （2分） (2018高二上·临汾月考) 在正三角形中，过其中心作边的平行线，分别交，
与，，将沿折起到的位置，使点在平面上的射影恰是线段的中点 ,则二面角的平面角的大小是（）
A .
B .
C .
D .
二、填空题 (共8题；共8分)
11. （1分） (2018高二上·寻乌期末) 若，则
________．
12. （1分）已知圆锥的母线长是10，侧面展开图是半圆，则该圆锥的侧面积为________.
13. （1分） (2018高一上·黄陵期末) 已知集合，若，则 ________.
14. （1分）已知点M，N分别是空间四面体OABC的边OA和BC的中点，P为线段MN的中点，若
=++，则实数λ+μ+γ=________
15. （1分） (2017高二下·温州期中) 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．
16. （1分）(2017·南京模拟) 已知平面向量 =（1，2）， =（﹣2，2），则• 的最小值为________．
17. （1分）若曲线y=与直线x+y﹣m=0有一个交点，则实数m的取值范围是________
18. （1分）(2018·全国Ⅱ卷理) 已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为，SA与圆锥底面所成角为45°。
若△SAB的面积为，则圆锥的侧面积为________。
三、解答题 (共4题；共35分)
19. （10分）(2017·大新模拟) 已知函数f（x）=|x+2|+|x﹣1|．
（1）证明：f（x）≥f（0）；
（2）若∀x∈R，不等式2f（x）≥f（a+1）恒成立，求实数a的取值范围．
20. （5分） (2017高二下·张家口期末) 设函数f（x）＝|x－1|＋|2x－1|．
（Ⅰ）若对 x＞0，不等式f（x）≥tx恒成立，求实数t的最大值M；
（Ⅱ）在（Ⅰ）成立的条件下，正实数a，b满足a2＋b2＝2M．证明：a＋b≥2ab．
21. （10分）(2017·九江模拟) 已知正六边形ABCDEF的边长为2，沿对角线AE将△FAE的顶点F翻折到点P处，使得．
（1）求证：平面PAE⊥平面ABCDE；
（2）求二面角B﹣PC﹣D的平面角的余弦值．
22. （10分）(2014·北京理) 如图，正方形AMDE的边长为2，B，C分别为AM，MD的中点，在五棱锥P﹣ABCDE 中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC分别交于点G，H．
（1）求证：AB∥FG；
（2）若PA⊥底面ABCDE，且PA=AE，求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长．
参考答案
一、选择题 (共10题；共20分)
1、答案：略
2-1、
3、答案：略
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
二、填空题 (共8题；共8分)
11-1、
12-1、
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
17-1、
18-1、
三、解答题 (共4题；共35分) 19-1、
19-2、
20-1、21-1、
21-2、22-1、
22-2、
第11 页共11 页。
天津市部分区2024_2025学年高二数学上学期期末考试试卷含解析
天津市部分区2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷一、选择题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.双曲线﹣y2＝1的焦点坐标为（）A. （﹣3，0），（3，0）B. （0，﹣3），（0，3）C. （﹣，0），（，0）D. （0，﹣），（0，）【答案】C【解析】【分析】利用双曲线的标准方程干脆计算。
【详解】由双曲线﹣y2＝1可得：，则所以双曲线﹣y2＝1的焦点坐标为：（﹣，0），（，0）故选：C【点睛】本题主要考查了双曲线的简洁性质，属于基础题。
2.命题“∃x0∈（0，+∞），使得＜”的否定是（）A. ∃x0∈（0，+∞），使得B. ∃x0∈（0，+∞），使得C. ∀x∈（0，+∞），均有e x＞xD. ∀x∈（0，+∞），均有e x≥x【答案】D【解析】【分析】由特称命题的否定干脆写出结果即可推断。
【详解】命题“∃x0∈（0，+∞），使得＜”的否定是：“x∈（0，+∞），使得”故选：D【点睛】本题主要考查了特称命题的否定，属于基础题。
3.若复数（为虚数单位），则的共轭复数（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，所以，应选答案B。
4.设R，则“＞1”是“＞1”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【详解】试题分析：由可得成立，反之不成立，所以“”是“”的充分不必要条件考点：充分条件与必要条件5.设公比为﹣2的等比数列{a n}的前n项和为S n，若S5＝，则a4等于（）A. 8B. 4C. ﹣4D. ﹣8【答案】C【解析】【分析】由S5＝求出，再由等比数列通项公式求出即可。
【详解】由S5＝得：，又解得：，所以故选：C【点睛】本题主要考查了等比数列的前n项和公式及等比数列通项公式，考查计算实力，属于基础题。
6.已知函数f（x）＝lnx﹣，则f（x）（）A. 有微小值，无极大值B. 无微小值有极大值C. 既有微小值，又有极大值D. 既无微小值，又无极大值【答案】B【解析】【分析】求出，对的正负分析，即可推断函数的极值状况。
天津市河东区2023-2024学年高二上学期期末质量检测数学试题
A．6
B．10
C．12
D．14
2．抛物线 y2 6x 的焦点坐标为（ ）
A． (3, 0)
பைடு நூலகம்
B．
3 2
,
0
C． (0,3)
3．双曲线 C : 9x2 16 y2 144 的实半轴长为（ ）
D．
0,
3 2
A．16
B．8
C．4
D．3
4．已知递增等比数列an ， a1 0 ， a2a4 64 ， a1 a5 34 ，则 a6 （ ）
天津市河东区 2023-2024 学年高二上学期期末质量检测数学 试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题 1．如果椭圆 x2 y2 1 上一点 P 到焦点 F1 的距离为 6，则点 P 到另一个焦点 F2 的距
.
14．已知数列an 的首项 a1 3，且数列log3 an 是以 2 为公差的等差数列，则
a3
．
15．已知双曲线 C
:
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0) 的左、右焦点分别为
F1, F2
．点 A
在C
上，点 B
在
y
轴上，
F1 A
F1B,F2 A
2 3
F2 B
，则 C
的离心率为
．
三、解答题
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)的一个顶点为
A(0,1) ，焦距为 2
3．
(1)求椭圆 E 的方程；
(2)过点 P(2,1) 作斜率为 k 的直线与椭圆 E 交于不同的两点 B，C，直线 AB，AC 分别与
天津市重点高中高二上学期期末数学试题(解析版)
一、单选题1．已知向量，，若，则k 的值为（ ）()1,2,3a =- ()2,,6m k =-- //a mA ．B ．C ．D ．44-14-14【答案】D【分析】根据空间向量平行的坐标表示求解.【详解】因为，所以解得， //a m 12326k -==--4k =故选:D.2．抛物线 的焦点坐标是（ ） 24y x =A ． B ． ()1,0()0,1C ．D ．1,016⎛⎫⎪⎝⎭10,16⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【详解】抛物线 的方程化为标准方程为： ， 24y x =214x y =故 ，则焦点坐标为 ，18p =1(0,)16故选：D.3．数列中，若，，则（ ） {}n a 11a =111(1)n n a n a -=+>4a =A ．B ．C ．2D ．325314【答案】B【分析】,先求出,再由求,由求即可. 1111,1(1)n n a a n a -==+>2a 2a 3a 3a 4a 【详解】, 1111,1(1)n n a a n a -==+> ，，，21121a ∴=+=313122a =+=4151332a =+=故选：B.4．圆与恰有三条公切线，则实数a 的值为（ ） ()()2214x a y---=221x y +=A ．B ．C ．D ．±±【答案】D【分析】根据公切线的条数判断两圆的位置关系，进而列出等式求解. 【详解】因为两圆恰有三条公切线，所以两圆外切，，解得， 21=+a =±故选:D.5．椭圆与曲线的（ ） 221259x y +=()22:19925x y C k k k -=<--A ．焦距相等 B ．离心率相等 C ．焦点相同 D ．曲线是双曲线C 【答案】A【分析】根据椭圆的几何性质，曲线，化简为()22:19925x y C k k k -=<--()22:19925x y C k k k+=<--，即可解决.【详解】对于椭圆可得焦点在轴上，，221259x y +=x 5,3,4a b c ===所以焦距为8，离心率为，焦点为，45()4,0±曲线，化简为，()22:19925x y C k k k -=<--()22:19925x y C k k k+=<--因为，9k <所以，且， 90,250k k ->->259k k ->-所以曲线表示焦点在轴上椭圆， C y所以，4a b c ====焦距为8，()0,4±故选：A6．如图，在平行六面体中， AC 与BD 的交点为M .设，1111ABCD A B C D -11111,,,===A B a A D b A A c 则下列向量中与相等的向量是（ ）1B MA ．B ．1122a b c --+ 1122a b c -++C ．D ．1122a b c -+ 1122a b c ++ 【答案】B【分析】根据代入计算化简即可.1112=+=+B M B B BM c BD u u u u r u u u r u u u r r u u u r【详解】 ()1111112222=+=+=++=-++B M B B BM c BD c BA BC a b c u u u u r u u u r u u u r r u u u r r u u r u u u r r r r 故选：B.7．已知等比数列{an }中，有a 3a 11＝4a 7，数列{bn }是等差数列，其前n 项和为Sn ，且b 7＝a 7，则S 13＝（ ） A ．26 B ．52 C ．78 D ．104【答案】B【解析】由等比数列的性质可得，再由等差数列的求和公式和性质，可得答案． 74a =【详解】等比数列中，，{}n a 31174a a a =可得，解得，2774a a =74a =等差数列中，{}n b 774b a ==则． 131137113()13134522S b b b =⨯+==⨯=故选：．B 【点睛】本题考查等比数列的性质以及等差数列的性质与求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．8．若直线与圆C ：相切，则①；②数列340()x y n n N *-+=∈()()22220n n x a y a -=+>165a ={}n a 为等差数列；③圆C 可能经过坐标原点；④数列的前10项和为23.以上结论正确的个数为{}n a （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C【分析】利用距离公式可求，从而可判断①②的正误，由可判断③的正误，计算65n n a +=42a =出后可判断④的正误.10S 【详解】因为直线与圆 相切，340()x y n n N *-+=∈222:(2)(0)n n C x y a a -+=>所以圆C 的圆心(2，0)到直线的距离 ，n d a ==故 ，则 ，故①错误； 65n n a +=175a =数列是首项为公差为的等差数列，故②正确; {}n a 7515当时，，圆C 经过坐标原点，故③正确； 4n =42a =因为 ，所以的前10项和为 ，故④正确.65n n a +={}n a ()1071612352⨯+⨯=故选：C.9．如图第1个图案的总点数记为，第2个图案的总点数记为，第3个图案的总点数记为1a 2a 3a ，…依此类推，第n 个图案的总点数记为，则（ ） n a 423520223342029999a aa a a a a a ++++=A ．B ．C ．D ．20212022202220212023202220222023【答案】A【分析】由题意可得时，从而可得，再利2n ≥33n a n =-()()19911133311n n a a n n n n n n+===--⨯--用裂项相消求和法可求得答案.【详解】由题意，，当，时，， 11a =1n >*n ∈N 33n a n =-又当，时，， 1n >*n ∈N ()()19911133311n n a a n n n n n n+===--⨯--∴ 233445202220239999a a a a a a a a+++⋅⋅⋅+=()()()()1111111112233420212022-+-+-+⋅⋅⋅+-． 12021120222022=-=故选：A10．设是双曲线与圆在第一象限的交点，，分别是双曲线P 22221(0,0)x y a b a b-=>>2222x y a b +=+1F 2F 的左，右焦点，若，则双曲线的离心率为（ ）． 21tan 3PFF ∠=AB CD【答案】B【分析】先由双曲线定义与题中条件得到，，求出，，12||||2PF PF a -=21tan 3PF F ∠=1||3PF a =2||PF a =再由题意得到，即可根据勾股定理求出结果. 1290F PF ∠=︒【详解】解：根据双曲线定义：，， 12||||2PF PF a -=21tan 3PF F ∠=∴，12||3||PF PF =∴，，， 1||3PF a =2||PF a=r c ∴是圆的直径，12F F ∴，在中，，得．1290F PF ∠=︒12Rt F PF △222(3)(2)a a c +=e 故选．B 【点睛】本题主要考查求双曲线的离心率，熟记双曲线的简单性质即可，属于常考题型.二、填空题11．直线与直线垂直，则实数的值为__________. 10x y +-=220x my +-=m 【答案】2-【分析】直接利用两直线垂直，求出.m 【详解】直线与直线垂直, 10x y +-=220x my +-=所以，解得： 20m +=2m =-故答案为：2-12．已知双曲线C :，则双曲线C 的实轴长为221(0)2x y a a a -=>___________.【答案】4【分析】先求出渐近线方程，再利用点到直线距离公式求出进而可求解. 2a =【详解】由题，双曲线的一条渐近线方程为，y x ==右焦点的距离为，解得，)d ===2a =所以双曲线的实轴长为， 4=故答案为:.413．已知圆，则过点的最短弦所在的直线方程是_________. 22460x y x y +--=()1,1M 【答案】230x y +-=【分析】由题知，弦最短时，圆心与点的连线与直线垂直，进而求解直线方程即可. M l 【详解】解：根据题意：弦最短时，圆心与点的连线与直线垂直, M l 因为圆，即，圆心为：，22460x y x y +--=()()222313x y -+-=()2,3O所以，所以， 31221OM k -==-112l OM k k -==-所以所求直线方程为：. 230x y +-=故答案为：.230x y +-=14．在直三棱柱中， ，，分别是，的中点，111ABC A B C -90BCA ∠=︒D F 11A B 11A C ，则与所成角的余弦值是_____________.1BC CA CC ==BD AF【分析】已知是直三棱柱，取的中点，连接，，可得和所成111ABC A B C -BC O ,AO FO DF AF FO 角即为与所成角．求出边长，利用余弦定理求解角的大小． BD AF 【详解】，分别是，的中点， D F 11A B 11A C 取的中点，连接，，BC O ,AO FO FD 则且，所以为平行四边形，, //BC FD 12FD BC BO ==BDFO //BD FO 那么和所成角即为与所成角．AF FO BD AF 设，，是直三棱柱，12BC CA CC ===90BCA ∠=︒111ABC A B C -AO ∴=AF =FO BD ==222cos 2AF FO AO AFO AF FO +-∠=⋅三、双空题15．抛物线的焦点到准线的距离是___________；若点在抛物线上且与焦点的距离2:8C y x =A C 为6，则点的坐标为___________. A【答案】 4 或(4,(4,-【分析】根据抛物线几何意义，抛物线定义即可解决. 【详解】由题知，抛物线，开口向右，， 2:8C y x =4p =焦点为，准线为， (2,0)2x =-所以焦点到准线的距离是4，因为点在抛物线上且与焦点的距离为6， A C 所以点到准线的距离为6， A 所以，即，26A x +=4A x =所以，解得232A y =A y =±所以点的坐标为或 A (4,(4,-故答案为：4；或(4,(4,-16．数列的前n 项和为，，数列的前n 项和为，则__________；{}n a n S 2n n S a =-{}2n a n T n a =nT =___________.【答案】112n -⎛⎫⎪⎝⎭41134n⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦【分析】通过，得到，求出的值，则，则求出，利1n n n a S S -=-112n n a a -=1a 112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭1214n na -⎛⎫= ⎪⎝⎭用等比数列求和公式即可得到.41134n n T ⎡⎤⎛⎫=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦【详解】,2n n S a =- 时，,化为：，2n ≥()1122n n n n n a S S a a --=-=---112n n a a -=时,,解得.1n =1112a S a ==-11a =数列是等比数列,首项为1,公比为,∴{}n a 12,112n n a -⎛⎫∴= ⎪⎝⎭,1122,1124n n n nS a --⎛⎫⎛⎫∴=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 11414113414nnn T ⎛⎫- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-故答案为：；. 112n -⎛⎫⎪⎝⎭41134nnT ⎡⎤⎛⎫=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦四、解答题17．圆经过坐标原点和点，且圆心在轴上. C (4,0)x (1)求圆的标准方程；C (2)已知直线l ：与圆相交于两点，求弦长的值； 3410x y +-=C ,A B AB (3)过点引圆的切线，求切线的方程. (4,4)P C 【答案】(1)()2224x y -+=(2)(3)和 4x =3440x y -+=【分析】（1）求出圆心和半径，写出圆的方程； （2）求出圆心到直线距离，进而求出弦长.（3）当斜率不存在时，符合题意，当斜率存在时，设出直线方程，根据，求出斜率，写出方d r =程.【详解】（1）由题意可得，圆心为，半径为2， ()2,0则圆的方程为； C ()2224x y -+=（2）由（1）可知：圆的半径，C 2r =设圆心到的距离为，则， C ()2,0:3410l x y +-=d 6115d -==所以.AB ==（3）当斜率不存在时，为过点的圆C 的切线.4x =P 当斜率存在时，设切线方程为，即4(4)y k x -=-440kx y k -+-=，解得 2d r = 34k =3440x y ∴-+=综上所述：切线的方程为和.4x =3440x y -+=18．在等差数列中，已知公差，且 成等比数列． {}n a 10,1d a >=123,1,6a a a ++(1)求数列的通项公式；{}n a (2)记 ，求数列的前项和．2n an b n =⋅{}n b n n T 【答案】(1)an =n(2)1(1)22n n T n +=-+【分析】（1）由已知条件可得（d +2）2=2d +7，从而可求出公差，进而可求得数列的通项公d {}n a 式，（2）由（1）得，然后利用错位相减法求2nn b n =⋅n T 【详解】（1）因为a 1，a 2+1，a 3+6成等比数列，所以 2213(1)(6)a a a +=+又a 1=1，所以（d +2）2=2d +7，所以d =1或d = （舍）， 3-所以an =n ；（2）因为，所以，2nn b n =⋅23121222322n n n T b b b n =+++=⨯+⨯+⨯++⨯ 所以，23412122232(1)22n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯ 所以2311122222222n n n n n T n n +++-=++++-⨯=--⨯ 所以1(1)22n n T n +=-+19．如图，四棱锥中，平面，底面四边形满足，P ABCD -PA ⊥ABCD ABCD AB AD ⊥DC AD ⊥， 是的中点. 422PA AD DC AB ====，，E PD(1)求直线到平面距离；AE PBC (2)求平面与平面夹角的余弦值. PDC PBC 【答案】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求出直线到平面距离.AE PBC （2）求出平面与平面的法向量，利用向量法求出平面与平面夹角的余弦值. PDC PBC PDC PBC 【详解】（1）在四棱锥中，平面，， P ABCD -PA ⊥ABCD AB AD ⊥DC AD ⊥分别以为轴建立空间直角坐标系.,,AB AD AP ,,x y z,是的中点4,22PA AD DC AB ====E PD(0,0,0),(0,2,0),(0,0,4),(0,1,2),(1,0,0),(2,2,0)A D P E B C ∴(0,1,2),(1,0,4),(2,2,4),(0,0,4)AE PB PC PA ==-=-=-设平面的法向量为PBC (,,)n x y z =则取，40,2240n PB x z n PC x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩ 4x =(4,2,1)n =- 平面0,AE n AE ⋅=⊄PBC 平面//AE ∴PBC直线到平面距离为 AEPBC PA n d n⋅=== （2）平面的法向量，，PBC (4,2,1)n =- (0,2,4)PD =- 设平面的法向量PDC (,,)m a b c = 则取 240,2240m PD b c m PC a b c ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩2,(0,2,1),b m == 设平面与平面夹角为PDC PBC θ则cos n m n mθ⋅== 20．已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆C 的离心率为，且经过点． x 1231,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭（1）求椭圆C 的方程；（2）是否存在过点的直线与椭圆相交于不同的两点，，满足？若存(2,1)P 1l C A B 2PA PB PM ⋅= 在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 1l 【答案】（1）（2）存在直线满足条件，其方程为 22143x y +=1l 12y x =【分析】（1）先设椭圆的标准方程，将点代入得到一个方程，根据离心率得到一个关系式，再M 由可得到，，的值，进而得到椭圆的方程．222a b c =+a b c （2）假设存在直线满足条件，设直线方程为，然后与椭圆方程联立消去得到一元二(2)1y k x =-+y 次方程，且方程一定有两根，故应得到的范围，进而可得到两根之和、两根之积的表达0∆>k 式，再由，可确定的值，从而得解． 2PA PB PM ⋅=k 【详解】（1）设椭圆的方程为， C 22221(0)x y a b a b+=>>，且经过点， 12c e a == 3(1,2M ， ∴2213144c c+=解得，，，21c =24a =23b =故椭圆的方程为． C 22143x y +=（2）若存在直线满足条件，由题意直线存在斜率，设直线的方程为， l l l (2)1y k x =-+由，得． 22143(2)1x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩222(34)8(21)161680k x k k x k k +--+--=因为直线与椭圆相交于不同的两点，，l C A B设，两点的坐标分别为，，，，A B 1(x 1)y 2(x 2)y 所以．222[8(21)]4(34)(16168)0k k k k k ∆=---⋅+⋅-->整理得．32(63)0k +>解得， 12k >-又， 21212228(21)16168,3434k k k k x x x x k k ---+==++因为，即， 2PA PB PM ⋅= 12125(2)(2)(1)(1)4x x y y --+--=所以． 22125(2)(2)(1)||4x x k PM --+==即． 212125[2()4](1)4x x x x k -+++=所以，解得． 222222161688(21)445[24](1)3434344k k k k k k k k k ---+-⋅++==+++12k =±因为，所以． 12k >-12k =于是存在直线满足条件，其方程为． 1l 12y x =【点睛】直线与圆锥曲线相交于两点时，一般都设，直线方程为，l ,A B 1122(,),(,)A x y B x y y kx b =+把直线方程代入圆锥曲线方程得的一元二次方程，由韦达定理得，再把其他与有x 1212,x x x x +,A B 关的条件用表示出来，把刚才的代入，化简整理就可得到要求的结论．这是解析几12,x x 1212,x x x x +何中常用的“设而不求”方法，可减少大量的计算，简化推理过程．。
天津市高二上学期期末数学试题(解析版)
一、单选题1．已知等差数列，，则公差d 等于（ ） {}n a 132,5a a ==A ． B ．C ．3D ．-32332【答案】B【分析】根据题意，利用公式，即可求解. n ma a d n m-=-【详解】由题意，等差数列，， {}n a 132,5a a ==可得等差数列的公差. {}n a 315233122a a d --===-故选：B.2．双曲线的焦点坐标是（ ） 221x y -=A ．B ． (0,(C ．D ．(0,2),(0,2)-(2,0),(2,0)-【答案】B【分析】根据双曲线的方程，求得. c =【详解】由题意，双曲线，可得，所以 221x y -=221,1a b ==c =且双曲线的焦点再轴上，所以双曲线的焦点坐标为. x (故选：B.3．直线的倾斜角及在轴上的截距分别为（ ） )21y x -=+yA ．B ．C ．D ．602︒，602︒，120,2︒1202︒,【答案】B【解析】由斜率与倾斜角的关系求出倾斜角，再令，得到直线在轴上的截距. 0x =y【详解】解： )21y x -=+2y ∴=斜率， k =tan α=0180α︒︒≤< 60α︒∴=令，则，故直线在 0x =2y =+y 2故选：B 【点睛】本题考查直线的斜率与倾斜角的关系，截距的理解，属于基础题.4．抛物线的焦点坐标为（ ） 28x y =A ． B ． C ． D ．()4,0()0,4()2,0()0,2【答案】D【解析】抛物线交点坐标为，算出即可.(0,)2pp 【详解】由，得，故抛物线的焦点坐标为. 282x y px ==4p =28x y =()0,2故选：D.【点睛】本题考查抛物线的定义及方程，求抛物线焦点坐标时，一定要注意将方程标准化，本题是一道基础题.5．如图，在平行六面体中，，则与向量相等的是1111ABCD A B C D -1,,DA a DC b DD c === 1D B（ ）A ．B ．C ．D ．a b c +- a b c ++ a b c -+ a b c -- 【答案】A【分析】根据空间向量的线性运算法则——三角形法，准确运算，即可求解.【详解】由题意，在平行六面体中，，1111ABCD A B C D -1,,DA a DC b DD c ===可得.1111()D B AB AD DC DD DA DA DC DD a b c =-=--=+-=+-故选：A.6．已知直线与平行，则与的距离为（ ）1:10l x ay +-=2:210l x y -+=1l 2lA ．B C ．D 1535【答案】D【分析】先由两直线平行，求出，得到，再由两平行线间的距离公式，即可12a =-1:220l x y +-=求出结果.【详解】因为直线与平行，1:10l x ay +-=2:210l x y -+=所以，解得，1(1)20⨯--=a 12a =-所以，即， 11:102l x y --=1:220--=l x y因此与的距离为1l 2l d 故选D【点睛】本题主要考查两平行线间的距离，熟记距离公式，以及直线平行的判定条件即可，属于常考题型.7．已知直线l 的方向向量为，平面α的法向量为，若，，则直线l 与平an (1,0,1)a =-- (1,0,1)n = 面α（ ） A ．垂直 B ．平行C ．相交但不垂直D ．位置关系无法确定【答案】A【分析】根据题意得出可判断.//a n【详解】，，即，， (1,0,1)a =-- (1,0,1)n = a n =- //a n ∴故直线l 与平面α垂直. 故选：A.8．与圆相切且在轴､轴上截距相等的直线共有（ ） 22420x y x +-+=x y A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条【答案】C【解析】先求得圆的圆心和半径，然后分直线在轴､轴上的截距为0和不为0，两种情况根据 x y 直线与圆相切，由圆心到直线的距离等于半径求解. 22420x y x +-+=【详解】圆的方程，可化为：， 22420x y x +-+=()2222x y -+=所以其圆心是，()2,0当直线在轴､轴上的截距为0时，设直线方程为：， x y y kx =因为直线与圆相切， 22420x y x +-+=所以圆心到直线的距离等于半径，所以d =解得，1k =±当直线在轴､轴上的截距不为0时，设直线方程为：， x y x y a +=因为直线与圆相切， 22420x y x +-+=所以圆心到直线的距离等于半径，所以，d 解得或（舍去）4a =0a =所以在轴､轴上截距相等的直线共有3条， x y 故选：C9．在平面直角坐标系中，椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为 ，过xOy C 12,F F x 1F 的直线交椭圆于两点，且的周长为16，则椭圆的方程为 l ,A B 2ABF △C A ．B ．22184x y +=221164x y +=C ．D ．221816x y +=221168x y +=【答案】D【解析】结合椭圆定义可知的周长为，由此求得；利用离心率可求得；根据椭圆2ABF ∆4a a c 可求得，进而得到椭圆方程.222b a c =-2b 【详解】设椭圆方程为()222210x y a b a b+=>>由椭圆定义知： 的周长为 12122AF AF BF BF a +=+=2ABF ∴∆4a 即，解得： 416a =4a =c e a =c ∴=2221688b a c ∴=-=-=椭圆的方程为∴C 221168x y +=故选：D 【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解，涉及到椭圆定义和离心率的应用问题.二、填空题10．经过点，且与直线平行的直线方程是__________. ()0,2P 1:31l y x =-【答案】32y x =+【解析】设直线方程为，代入求得，从而得到结果.3y x b =+()0,2b 【详解】设与直线平行的直线方程为，代入得： ， 1:31l y x =-3y x b =+()0,2P 2b =32y x ∴=+故答案为： .32y x =+11．在数列中，是它的第_______项． 32511,,,,,,4382n n+⋅⋅⋅⋅⋅⋅712【答案】6【分析】根据题意，可得数列的通项公式，进而解＝可得的值，即可得答案． 12n n a n +=12n n +712n 【详解】根据题意，数列…中，其通项公式，32511,,,,,4382n n +⋅⋅⋅12n n a n +=令＝，解得，即是数列的第6项. 12n n +7126n =712故答案为：6【点睛】本题考查数列的表示方法，注意数列通项公式的定义，属于基础题．三、双空题12．已知双曲线__________，渐近线方程是__________.2221(0)x y a a -=>=a 【答案】##0.5122y x =±【分析】由双曲线的离心率公式可求得a 的值，进而求得渐近线方程. 【详解】由题意知，，21b =所以c e a ====又因为， 0a >所以， 12a =所以双曲线方程为， 2241x y -=所以渐近线方程为. 2by x x a=±=±故答案为：，.122y x =±四、填空题13．已知平面的一个法向量，点在平面内，则点到平面α()2,2,1n =--()1,3,0A --α()2,1,4P -α的距离为__________. 【答案】23【分析】运用空间中点到面的距离公式计算即可.【详解】由题意知，，则，，(1,4,4)AP =- 2842AP n ⋅=-+=-||3n == 所以点P 到平面的距离为. α||23||AP n d n ⋅==故答案为：.2314．若圆C 1：x 2+y 2=1与圆C 2：x 2+y 2-6x -8y +m =0外切，则实数m 的值为___________. 【答案】9【分析】由圆心距等于半径之和求解．【详解】解析：圆C 2的标准方程为(x 3)2+（y 4）2=25-m .圆C 1：x 2+y 2=1，∴|C 1C 2|=5. --又∵两圆外切，∴m =9.故答案为：9．五、双空题15．等差数列满足，则__________，__________ {}n a 123412,4a a a a +=+=56a a +=10S =【答案】 -4 -20【分析】运用等差数列通项公式及其前n 项和公式的基本量计算即可. 【详解】因为为等差数列，设公差为，{}n a d 所以，解得：，121341212254a a a d a a a d +=+=⎧⎨+=+=⎩172a d =⎧⎨=-⎩所以，. 5612914184a a a d +=+=-=-101109107090202S a d ⨯=+=-=-故答案为：，.4-20-六、解答题16．已知抛物线经过点. 22(0)y px p =>()1,2(1)求抛物线的方程及其准线方程；C (2)过拋物线的焦点的直线交于两点，设为原点.当直线的斜率为1时，求的C F l C ,A B O l AOB A面积；【答案】(1)抛物线C 的方程为，准线方程为 24y x ==1x -(2)【分析】（1）根据已知条件求得p 的值，进而求得结果.（2）联立直线与抛物线方程得，，代入12y y +12y y 1|2AOB S OF =△果.【详解】（1）由题意知，，解得：， 222p =2p =所以抛物线C 的方程为，准线方程为.24y x ==1x -（2）由（1）知，，则直线l 方程为，设，，(1,0)F 1y x =-11(,)A x y 22(,)B x y ， 2214404y x y y y x=-⎧⇒--=⎨=⎩则，， 124y y +=124y y =-所以， 1212111||(||||)||||||222AOB AOF BOF S S S OF y y OF y y OF =+=+=⨯-==△△△故△AOB 的面积为17．已知圆：，若直线：与圆相交于两点，且C 222(0)x y r r +=>1l 20x y -+=C A B ，AB =．(1)求圆的方程；C (2)求过点且与圆相切的直线的方程． ()23P -，C 2l 【答案】(1) 224x y +=(2)或 512260x y ++=2x =【分析】（1）根据圆的弦长公式，得到，即可求得圆的方程； d =24r =C （2）当直线斜率不存在时，的方程为，满足题意；直线斜率存在时，设的方程为2l 2l 2x =2l 2l ，利用圆心到直线的距离等于半径，求得的值，即可求解.()32y k x +=-2l k【详解】（1）解：设圆心到直线的距离为，则，即，1l d 222()2AB r d -=222d r =-又， d ==24r =故圆的方程为．C 224x y +=（2）解：当直线斜率不存在时，的方程为，恰好与圆相切，满足题意； 2l 2l 2x =直线斜率存在时，设的方程为，即， 2l 2l ()32y k x +=-230kx y k ---=则圆心到直线，解得， 2l 2512k =-此时直线的方程为，即， 2l ()53212y x +=--512260x y ++=综上，直线的方程为或．2l 512260x y ++=2x =18．如图，在棱长为2的正方体中，为的中点.1111ABCD A B C D -E 1BB（1）求的长；1D E （2）求异面直线与所成的角的余弦值； AE 1BC （3）求直线与平面所成的角的正弦值.AB 1AD E【答案】（1）；（23）.313【分析】（1）以，，的正方向分别为轴､轴､轴的正方向建立空间直角坐标系，结AD AB 1AAx y z 合向量的坐标运算，即可求解；（2）由（1）中的坐标系，得到，，结合向量的夹角公式，即可求解；()0,2,1AE =()12,0,2BC = （3）由（1）中的坐标系，求得和平面的一个法向量，结合向量的()0,2,0AB = 1AD E 11,,12n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭夹角公式，即可求解.【详解】（1）以，，的正方向分别为轴､轴､轴的正方向建立空间直角坐标系，AD AB 1AAx y z则，，()12,0,2D ()0,2,1E 3=所以的长为.1D E 3（2）由（1）的坐标系，可得，，，，()0,0,0A ()0,2,1E ()0,2,0B ()12,2,2C 所以，， ()0,2,1AE =()12,0,2BC = 设异面直线与所成的角为，AE 1BC θ所以cos cos ,AEθ= 即异面直线与AE 1BC （3）由（1）中的坐标系，可得，，，，()0,0,0A ()12,0,2D ()0,2,1E ()0,2,0B 则，， ()12,0,2AD =()0,2,1AE = 设平面的法向量为，1AD E (),,n x y z =由，得，令，得，100n AD n AE ⎧⋅=⎨⋅=⎩ 22020x z y z +=⎧⎨+=⎩1x =11,,12n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 又由，()0,2,0AB =设直线与平面所成的角为，可得. AB 1AD E θ1sin cos ,3AB n AB n AB n θ⋅===即直线与平面所成的角的正弦值.AB 1AD E 13【点睛】求解直线与平面所成角的方法：1、定义法：根据直线与平面所成角的定义，结合垂线段与斜线段的长度比求得线面角的正弦值；2、向量法：分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个向量方法向量的夹角（或补角）；3、法向量法：求出斜线的方向向量和平面的法向量所夹的锐角，取其余角即为斜线与平面所成的角.19．已知椭圆的离心率.22221(0)x y a b a b +=>>e =()0,1B （1）求椭圆的标准方程；（2）设椭圆右顶点为，直线过点，且与椭圆交于另一点（不同于点），若有，A l B C A BA AC ⊥求直线方程.l 【答案】（1）；（2）.2214x y +=516y x =-+【解析】（1）由已知建立关于的方程组，解之可得椭圆的标准方程；a b c ，，（2）解法一：验证当直线斜率不存在时，不满足设直线，与椭圆的方程联立l BA AC ⊥l 1y kx =+整理得，求得C 点的坐标，由两直线垂直的条件可求得所求直线的斜率，从而()221480k x kx ++=得出方程；解法二：由两直线垂直的条件求得直线AC 的斜率得出直线与椭圆的方程2AC k ,=()22AC :y x =-联立，可求得点C 的坐标，从而求得直线l 的方程.，【详解】解：（1）由椭圆方程可知，椭圆焦点在轴，因为离心率.x e =0,1B（）所以 22212,b ca c a abc =⎧⎪⎪=⇒==⎨⎪=+⎪⎩所以椭圆的标准方程；2214x y +=（2）解法一：当直线斜率不存在时，，又椭圆右顶点为 l ()0,1C -()2,0A 此时，不满足.11122AB AC AB AC k ,k ,k k =-=⋅≠-BA AC ⊥因此设直线，，联立， l 1y kx =+()00,C x y ()22221148044y kx k x kx x y =+⎧⇒++=⎨+=⎩因为，所以， 0,1B （）2228141414k k C ,k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭因为，所以BA AC ⊥12AB k ,=-2AC k ,=即整理得 22142828AC k k ,k k-==---2121650k k ,++=解得：或者（与重合，舍）56k ,=-12k =-C A所以直线：； l 516y x =-+解法二：因为，所以因此设直线， BA AC ⊥12AB k ,=-2AC k ,=()22AC :y x =-联立， ()22222176460044y x x x x y ⎧=-⇒-+=⎨+=⎩设，又椭圆右顶点为，()00,C x y ()2,0A 所以，，即，所以 00603021717x x =⇒=0817y =-3081717C ,⎛⎫- ⎪⎝⎭56BC k ,=-因此直线：. l 516y x =-+【点睛】易错点点睛：在求解直线与圆锥曲线的综合问题时，常常需设出直线的方程，此时，需考虑直线的斜率是否存在，容易遗漏直线不存在的情况.20．已知为等差数列的前项和，已知.n S {}n a n 122320,47a a S S +=-+=-(1)求数列的通项公式；{}n a (2)令.求12..n n A a a a =++⋯+n A (3)令，前项和为，求(1)n n n b a =-n n T 2n T 【答案】(1)；213n a n =-(2)； 2212,161272,7n n n n A n n n ⎧-≤≤=⎨-+≥⎩(3).2n T n =【分析】（1）设公差为d ，后由题目条件结合等差数列通项公式及等差数列前n 项和公式可得{}n a 答案；（2）由（1）可得，后分，两种情况求和即可得答案；n a 16n ≤≤7n ≥（3）注意到，据此可得答案.2122212n n n n b b a a --+=-=【详解】（1）设公差为d ，因，{}n a 122320,47a a S S +=-+=-则，则； 1112201154472a d a a d d +=-=-⎧⎧⇒⎨⎨+=-=⎩⎩()11213n a a n d n =+-=-（2）由（1）可得. 212,n S n n =-132,16213,7n n na n n a a n n -=-≤≤⎧=⎨=-≥⎩则当时，； 16n ≤≤21212n n n A a a a S n n =----=-=- 当时，.7n ≥2678621272n n n A S a a a S S n n =-+++=-=-+ 故； 2212,161272,7n n n n A n n n ⎧-≤≤=⎨-+≥⎩（3）由（1）可得，. ()()1213n n b n =-⋅-2122212n n n n b b a a --+=-=则 12322212n n n n T a a a a a a --=-+-++-+ ()()()21432212n n a a a a a a n -=-+-++-=。
天津数学高二上期末经典测试卷(答案解析)
一、选择题1．(0分)[ID ：13327]在如图所示的算法框图中，若()321a x dx =-⎰，程序运行的结果S为二项式()52x +的展开式中3x 的系数的9倍，那么判断框中应填入的关于k 的判断条件是（ ）A ．3K <B ．3K >C ．2K <D ．2K >2．(0分)[ID ：13311]我国古代数学著作《九章算术》中，其意是：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升．问：米几何？右图是源于其思想的一个程序框图，若输出的2S =（单位：升），则输入k 的值为A ．6B ．7C ．8D ．93．(0分)[ID ：13309]下面的程序框图表示求式子32×35×311×323×347×395的值, 则判断框内可以填的条件为（ ）A ．90?i ≤B ．100?i ≤C ．200?i ≤D ．300?i ≤4．(0分)[ID ：13301]己知某产品的销售额y 与广告费用x 之间的关系如下表：若求得其线性回归方程为 6.5ˆˆyx a =+，其中ˆˆa y bx =-，则预计当广告费用为6万元时的销售额是（ ） A ．42万元B ．45万元C ．48万元D ．51万元5．(0分)[ID ：13296]袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中随机摸出2个球，则与事件“至少有1个白球”互斥但不对立的事件是（ ） A ．没有白球 B ．2个白球 C ．红、黑球各1个D ．至少有1个红球6．(0分)[ID ：13275]某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S 的值是( )A ．1010B ．2019C ．2020D ．30307．(0分)[ID ：13271]某校从高一(1)班和(2)班的某次数学考试(试卷满分为100分)的成绩中各随机抽取了6份数学成绩组成一个样本，如茎叶图所示.若分别从(1)班、(2)班的样本中各取一份，则(2)班成绩更好的概率为( )A ．1636B ．1736C ．12D ．19368．(0分)[ID ：13258]执行如图的程序框图，如果输出的是a=341，那么判断框（ ）A ．4k <B ．5k <C ．6k <D ．7k <9．(0分)[ID ：13255]类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设D 为BE 中点，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是（ ）A ．17B ．14C ．13D ．41310．(0分)[ID ：13253]类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设2AD BD =，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是（ ）A．14B．13C．17D．41311．(0分)[ID：13250]一位学生在计算20个数据的平均数时，错把68输成86，那么由此求出的平均数与实际平均数的差为()A．−0.9B．0.9C．3.4D．4.312．(0分)[ID：13237]袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是()A．至少有一个白球；都是白球B．至少有一个白球；至少有一个红球C．至少有一个白球；红、黑球各一个D．恰有一个白球；一个白球一个黑球13．(0分)[ID：13320]一块各面均涂有油漆的正方体被锯成27个大小相同的小正方体，若将这些小正方体均匀地搅混在一起，从中任意取出一个，则取出的小正方体两面涂有油漆的概率是( )A．127B．29C．49D．82714．(0分)[ID：13317]将1000名学生的编号如下：0001，0002，0003，…，1000，若从中抽取50个学生，用系统抽样的方法从第一部分0001，0002，…，0020中抽取的号码为0015时，抽取的第40个号码为（）A．0795B．0780C．0810D．081515．(0分)[ID：13236]小赵和小王约定在早上7:00至7:15之间到某公交站搭乘公交车去上学，已知在这段时间内，共有2班公交车到达该站，到站的时间分别为7:05，7:15，如果他们约定见车就搭乘，则小赵和小王恰好能搭乘同一班公交车去上学的概率为（）A．13B．49C．59D．23二、填空题16．(0分)[ID：13427]根据党中央关于“精准脱贫”的要求，石嘴山市农业经济部门派3位专家对大武口、惠农2个区进行调研，每个区至少派1位专家，则甲，乙两位专家派遣至惠农区的概率为_____．17．(0分)[ID：13413]我国传统的房屋建筑中，常会出现一些形状不同的窗棂，窗棂上雕刻有各种花纹，构成种类繁多的图案．如图所示的窗棂图案，是将半径为R的圆六等分，分别以各等分点为圆心，以R为半径画圆弧，在圆的内部构成的平面图形．现在向该圆形区域内的随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在黑色部分（忽略图中的白线）的概率是__________．18．(0分)[ID ：13409]在[1,1]-上随机地取一个数k ，则事件“直线y kx =与圆22(5)9x y -+=相离”发生的概率为_______。
(优辅资源)天津市五区县高二上学期期末考试数学(文)试题 Word版含答案
天津市部分区2016～2017学年度第一学期期末考试高二数学（文科）试卷参考答案一、选择题：1．B 2．D 3．A 4．B 5．D 6．C 7．C 8．A 9．C 10．B 二、填空题：11．01=--y x 12．4 13．32 14 15．13⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭三、解答题：16．（本小题满分12分） （1）直线1l 的斜率为=1k 212+-a ， …………………………………………………1分 当0=a 时，直线2l 与x 轴垂直，显然不与直线1l 垂直，∴0≠a ，∴直线2l 的斜率为=2k a32…………………………………………………3分 ∵1l ⊥2l ，∴121-=⨯k k ………………………………………………………………4分即212+-a ⨯a321-=，解得1=a ………………………………………………6分 （2）由（1）知，1l ：0123=++y x ，2l ：0832=--y x以上二方程联立⎩⎨⎧=--=++08320123y x y x ，解得⎩⎨⎧-==21y x ，即圆心坐标为()2,1- …………8分圆心到直线0943=+-y x 的距离为()()443|92413|22=-++-⨯-⨯………………………10分∴ 圆的半径为4 ……………………………………………………………………11分∴ 所求圆的方程为()()222421=++-y x ……………………………………12分 17．（本小题满分12分）（1）∵222c b a +=，且2=b ，∴224c a += …………………………………………2分又 55=a c ……………………………………………………………………………………3分以上二式联立，解得1,5==c a ………………………………………………………5分 ∴ 椭圆C 的方程14522=+y x ………………………………………………………6分（2）点A F ,的坐标分别为()()2,0,0,1-，∴直线FA 的斜率为20120=--- …………7分 ∵直线FA 与直线l 平行，∴直线l 的斜率为2，设直线l 的方程为m x y +=2 ……………8分与14522=+y x 联立消去y 得020*******=-++m mx x ……………………………9分∵直线l 与椭圆C 相切 ∴()()020********=-⨯-=∆m m ，解得62±=m ………11分∴直线l 的方程为622±=x y ．………………………………………………………12分18．（本小题满分12分）（1）∵⊥1AA 平面ABC ，⊂BC 平面ABC ，∴1AA BC ⊥ ………………………2分∵AC BC ⊥，AC AA ,1是平面11ACC A 内的两条相交直线 ………………………4分∴⊥BC 平面11ACC A∵1BB ∥1CC ，且111==CC BB ，∴四边形11CBB C 是平行四边形∴BC ∥11C B …………………………………………………………5分 ∴ 11B C ⊥平面11ACC A ……………………………………………………………6分（2）连接1AC ，在直角1ACC ∆中，21=AC ，在直角梯形11ACC A 中，211=C A ∴11C AA ∆是边长为2的正三角形，取11C A 中点D ，连AD ，则11C A AD ⊥且3=AD ……7分∵11B C ⊥平面11ACC A ，⊂AD 平面11ACC A ，∴11C B AD ⊥ ∵1111,C B C A 是平面111C B A 内的两条相交直线，∴⊥AD 平面111C B A ………………9分连D B 1，∴D AB 1∠是直线1AB 与平面111C B A 所成的角 ………………………10分 在直角ABC ∆中，5=AB ，在直角1ABB ∆中，61=AB ∴在直角D AB 1∆中，2263sin 11===∠AB AD D AB ，∴D AB 1∠ 45= ……………12分 19．（本小题满分12分）（1）∵抛物线C 的准线为1x =-，∴12p -=-，∴2p = ∴ 抛物线C 的方程为24y x = ………………………………………………………2分 ∴ 抛物线C 的焦点为()1,0F ……………………………………………………3分 过点N 向准线1x =-作垂线，垂足为Q ，则||||NF NQ =，依题意||21||MN NQ = ∴ 30=∠QMN ，∴直线l 的倾斜角为 60，即直线l 的斜率为3 …………5分（或：设点N 的横坐标为N x ，∵F 为线段MN 的中点，∴112N x -+=，∴3N x =， 易知点N的纵坐标N y =l=………5分） ∴ 直线l的方程为)01y x -=-0y --= …………………6分（2）由204y y x -==⎪⎩解得13x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或3x y =⎧⎪⎨=⎪⎩………………………8分即(1,,3,3P N ⎛ ⎝⎭ ………………………………………………10分∴16||3PN = …………………………………12分 20．（本小题满分12分）（1）当1=a 时，()1323+-=x x x f ，∴()()23632-=-='x x x x x f ……………1分 令()0='x f ，解得0=x 或2=x ，()x f '，()x f 的变化情况如下表： …………4分x ()0,∞-0 ()2,0 2 ()∞+,2 ()x f ' + 0 - 0+ ()x f ↗ 1 ↘ -3 ↗ ∴()x f 的单调递增区间为()0,∞-，()∞+,2，单调递减区间为()2,0 …………5分 当0=x 时，极大值为1，当2=x 时，极小值为-3 ………………………………6分（2）方程233)(2+--=x x x f 即方程133+-=x ax ，∵0=x 显然不是方程的根， ∴133+-=x ax 恰有一个实数根，即方程a x x =-2331恰有一个实数根 ……………8分令()0,1≠∈=t R t t x，则a t t =-233，令()233t t t g -=()0≠t 由（1）可知，函数()t g 的单调递增区间为()0,∞-，()∞+,2，单调递减区间为()2,0………10分∵方程a t t =-233恰有一个实数根，考虑到0≠t ，∴()00=≥g a 或()42-=<g a 即所求a 的取值范围是0≥a 或4-<a ……………………………………………12分。
2022-2023学年天津市和平区高二(上)期末数学试卷(含答案解析)
2022-2023学年天津市和平区高二（上）期末数学试卷1. 直线x−√3y+2=0的倾斜角是( )A. π6B. π3C. 2π3D. 5π62. 已知等比数列{a n}中a4=32，a6=2，则a5=( )A. 8B. ±8C. 16D. ±163. △ABC三个顶点的坐标分别是A(−1,−5)，B(2,4)，C(5,−5)，则△ABC外接圆的方程是( )A. x2+y2−4x−2y−20=0B. x2+y2+4x−2y−20=0C. x2+y2−4x+2y−20=0D. x2+y2+4x+2y−20=04. 南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法⋅商功》中描述过如图所示的“三角垛”，最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……设各层的球数构成一个数列{a n}，即a1=1，a2=3，a3=6，…，且满足a n=a n−1+n(n≥2)，则第六层球的个数a6为( )A. 28B. 21C. 15D. 105. 已知直线3x+4y−5=0与圆x2+y2=4交于M，N两点，则线段MN的长度为( )A. √3B. 2C. 2√3D. 2√56. 已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S5=10，S10=30，则S20=( )A. 40B. 70C. 90D. 1007. 已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，则点A到平面B1D1C的距离为( )A. √33B. 13C. 2√33D. 238. 已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的焦点F到渐近线的距离与顶点A到渐近线的距离之比为3：1，则双曲线C的渐近线方程为( )A. y=±2√2xB. y=±√2xC. y=±√22x D. y=±√24x9. 已知P是抛物线y2=4x上的一点，过点P作直线x=−3的垂线，垂足为H，若Q是圆C：(x+3)2+(y−3)2=1上任意一点，则|PQ|+|PH|的最小值是( )A. 3√5−1B. 4C. 5D. 610. 抛物线y2=8x的焦点坐标为______.11. 已知a∈R，若直线l1：ax+y+1=0与直线l2：x+(a−1)y+2=0相互垂直，则a=______.12. 在等差数列{a n}中，若a3+a5+a7=15，则2a8−a11=______.13. 若正三棱柱ABC−A1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面B1DC 所成角的余弦值为______.14. 设双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点为F，过F作直线l与圆x2+y2=a2相切于点T，l与双曲线的一条渐近线交于点Q，若T为线段FQ的中点，则双曲线的离心率为______.15. 已知等差数列{a n}的前n项和为S n，公差d为整数，S3=21，且a1，a2+1，a7成等比数列．(Ⅰ)求{a n}的通项公式；(Ⅰ)求数列{5a n a n+1}的前n项和T n.16. 如图，在四棱椎P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB//CD，且AB=1，CD=2，BC=2√2，PA=1，AB⊥BC，N为PD的中点．(1)求证：AN//平面PBC；(2)求平面PDC与平面PBC夹角的余弦值．17. 已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右顶点为A，下顶点为B1，上顶点为B2，椭圆的离心率为√32，且|AB1|=√5.(1)求椭圆的标准方程；(2)设过点B1的直线l与椭圆相交于点P(不在坐标轴上)，当|B1B2|=|B2P|时，求△B1B2P的面积．18. 数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n2(n∈N∗)，数列{b n}满足b1=2，b n=3b n−1+2(n≥2,n∈N∗).(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求证：数列{b n+1}是等比数列；(3)设数列{c n}满足c n=a nb n+1，其前n项和为T n，证明：T n<1.答案和解析1.【答案】A【解析】解：设倾斜角为α，∵直线x−√3y+2=0的斜率为√33，∴tanα=√33，∵0∘<α<180∘，∴α=30∘故选：A.先求出直线x−√3y+2=0的斜率，再根据斜率是倾斜角的正切值，计算倾斜角即可．本题考查了直线的倾斜角与斜率之间的关系，属于基础题，应当掌握．2.【答案】B【解析】解：因为等比数列{a n}中a4=32，a6=2，所以由等比中项的性质，可得a52=a4⋅a6=64，所以a5=±8.故选：B.利用等比中项的性质即可求解．本题主要考查等比中项的性质，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：设所求圆方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，因为A(−1,−5)，B(2,4)，C(5,−5)三点都在圆上，所以{26−D−5E+F=020+2D+4E+F=050+5D−5E+F=0，解得{D=−4E=2F=−20，即所求圆方程为：x2+y2−4x+2y−20=0.故选：C.利用圆的一般方程列出方程组求解即可．本题主要考查圆的一般方程的求解，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：由题意得a2−a1=2，a3−a2=3，a4−a3=4，a5−a4=5，a6−a5=6，以上式子累加可得a6−a1=2+3+4+5+6=20，因为a 1=1，所以a 6=21， 故选：B.利用递推公式进行累加法求解．本题主要考查了叠加法在求解数列的项中的应用，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：∵圆x 2+y 2=4的圆心为(0,0)，半径r =2 ∴圆心(0,0)到直线MN ：3x +4y −5=0的距离d =|3×0+4×0−5|√32+42=55=1，∴|MN|=2√r 2−d 2=2√4−1=2√3.故选：C.先求出圆心到直线MN ：3x +4y −5=0的距离，然后根据弦的一半，圆心到直线的距离，半径构成直角三角形，用勾股定理解决．本题考查直线与圆的位置关系，圆的弦长问题，属基础题．6.【答案】D【解析】解：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ， 因为S 5=10，S 10=30，所以{5a 1+5×42×d =1010a 1+10×92×d =30，解得{a 1=65d =25， 所以S 20=20a 1+20×192×d =20×65+190×25=100.故选：D.利用等差数列的前n 项和分别求出首项和公差，代入公式即可求解． 本题主要考查等差数列的前n 项和公式，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：如图所示：∵三棱锥A −B 1D 1C 为边长为√2的正四面体，∴AB 1=√2，OB 1=23×√32×√2=√63，故点A 到平面B 1D 1C 的距离为OA =(√2)2−(√63)2=2√33. 故选：C.根据正四面体顶点到底面之间的距离即可求解． 本题考查正四面体中的距离的计算，属基础题．8.【答案】A【解析】解：设顶点A(a,0)焦点F(c,0)，其中一条渐近线的方程为：bx +ay =0， 设A 到渐近线的距离为d =√a 2+b=abc ，焦点F 到渐近线的距离为d′=bcc =b ，由题意可得b ：abc =3：1即ca =3，所以9a 2=c 2=a 2+b 2，可得b 2=8a 2， 所以渐近线的方程为：y =±ba x =±2√2x ， 故选：A.由双曲线的对称性设右顶点，右焦点，及二四象限的解集的方程，再由点到直线的距离公式可得两个点到距离的距离，由题意可得c ，a 的关系，再由a ，b ，c 之间的关系求出渐近线的斜率，进而求出渐近线的方程．考查双曲线的方程，属于基础题．9.【答案】D【解析】解：∵抛物线方程为y 2=4x ，∴抛物线的焦点F(1,0)，准线方程x =−1，设PH 与准线的交点是H 1， 又圆C 的半径为r =1，圆心为C(−3,3)， 依题意作下图：由图可知：|PQ|≥|PC|−r=|PC|−1，∴|PQ|+|PH|≥|PC|−1+|PH1|+|HH1|=|PC|+|PF|+2−1=|PC|+|PF|+1，当C，P，F三点共线时，|PC|+|PF|取得最小值√32+42=5，∴|PQ|+|PH|的最小值是6.故选：D.画出抛物线y2=4x的焦点和准线，利用抛物线的几何性质将|PQ|+|PH|转化为C，P，F之间的距离之和，根据三点共线求得最小值．本题考查抛物线的几何性质，数形结合思想，化归转化思想，属中档题．10.【答案】(2,0)【解析】解：抛物线y2=8x的焦点在x轴正半轴上，开口向右，p=4，所以抛物线的焦点坐标(2,0).故答案为：(2,0).利用抛物线方程，判断焦点坐标所在轴，求解即可．本题考查抛物线的简单性质的应用，判断抛物线的类型的解题的关键．11.【答案】12【解析】解：因为直线l1：ax+y+1=0与直线l2：x+(a−1)y+2=0相互垂直，.所以a+(a−1)=0，解得a=12.故答案为：12根据直线垂直的充要条件列出方程，即可求解．本题主要考查直线的一般式方程与直线的垂直关系，属于基础题．12.【答案】5【解析】解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，因为a3+a5+a7=15，所以a3+a5+a7=3a5=15，所以a5=5，又2a8−a11=2a1+14d−a1−10d=a1+4d=a5，所以2a8−a11=5，故答案为：5.根据等差数列的性质由a 3+a 5+a 7=15，可得a 5=5，再由2a 8−a 11=a 1+4d =a 5求解即可． 本题主要考查了等差数列的性质，属于基础题．13.【答案】35【解析】解：如图，取AC 中点O ，连接OB ，OD ， 根据题意可得OD ⊥OC ，OB ⊥OC ，OD ⊥OB ，∴分别以直线OB ，OC ，OD 为x 轴，y 轴，z 轴，建系如图，设AB =2， 则A(0,−1,0),D(0,0,2),B 1(√3,0,2),C(0,1,0)， ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,2),DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,0,0),DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,−2)， 设平面B 1DC 的法向量为m ⃗⃗⃗ =(x,y,z)， 则{DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =√3x =0DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =y −2z =0，取m ⃗⃗⃗ =(0,2,1)， 设直线AD 与平面B 1DC 所成角为θ，则sinθ=|cos <AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,m ⃗⃗⃗ >|=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ ||AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||m⃗⃗⃗ |=45，又θ∈[0,π2]，∴cosθ=35. 故答案为：35.建系，利用向量法即可求解．本题考查向量法求解线面角问题，属中档题．14.【答案】√5【解析】解：设双曲线的右焦点为F′，如图所示： ∵T 为线段FQ 的中点，O 为中点，且OT ⊥FQ ， ∴OT//QF′，OT =12QF′，QF ⊥QF′，又 OT =a ， ∴QF′=2a ，由双曲线的定义得 QF =2a +QF′=4a ， 在Rt △QFF′中，(QF)2+(QF′)2=(FF′)2， ∴(4a)2+(2a)2=(2c)2， ∴5a 2=c 2，∴e =ca=√5. 故答案为：√5.设双曲线的右焦点为F′，根据T 为线段FQ 的中点，O 为中点，得到QF′=2a ，再利用双曲线的定义得到QF=2a+QF′=4a，然后在Rt△QFF′中，利用勾股定理求解．本题考查双曲线的几何性质，数形结合思想，化归转化思想，属中档题．15.【答案】解：(Ⅰ)等差数列{a n}的前n项和为S n，公差d为整数，由S3=21，可得3a1+3d=21，即a1+d=7，又a1，a2+1，a7成等比数列，可得a1a7=(a2+1)2，即a1(a1+6d)=(a1+d+1)2，解得a1=2，d=5(d=35舍去)；所以a n=2+5(n−1)=5n−3；(Ⅰ)5a n a n+1=5(5n−3)(5n+2)=15n−3−15n+2，所以T n=12−17+17−112+...+15n−3−15n+2=12−15n+2=5n10n+4.【解析】(Ⅰ)由等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，进而得到所求；(Ⅰ)求得5a n a n+1=15n−3−15n+2，再由数列的裂项相消求和，计算可得所求和．本题考查等差数列的通项公式和求和公式、等比中项的性质，以及数列的裂项相消求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．16.【答案】证明：(1)取PC中点为M，连接NM，MB，如图所示，因为M，N分别是PC，PD的中点，所以NM//12DC且NM=12DC，又因为AB//12DC且AB=12DC，所以NM//AB，NM=AB，所以四边形NMBA为平行四边形，所以AN//BM，又因为AN⊄平面PBC，BM⊂平面PBC，所以AN//平面PBC.解：(2)取DC中点为E，以A为空间直角坐标系原点，AE为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则A(0,0,0)，P(0,0,1)，B(0,1,0)，D(2√2,−1,0)，C(2√2,1,0)，设平面PBC 的法向量为m ⃗⃗⃗ =(x,y,z)，因为BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−1,1)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√2,0,0)， 所以{BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =−y +z =0BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =2√2x =0，令y =1，解得{x =0z =1，即m ⃗⃗⃗ =(0,1,1)，设平面PDC 的法向量为n ⃗ =(a,b,c)，因为PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√2,−1,−1)，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,0)， 所以{PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =2√2a −b −c =0DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =2b =0，令a =√2，解得{b =0c =4，即n ⃗ =(√2,0,4)，所以cos⟨m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ ⟩=m⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ |m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗ |=√2×√18=23，所以平面PDC 与平面PBC 夹角的余弦值为23. 【解析】(1)根据线面平行的判定即可证明线面平行．(2)取DC 中点为E ，以A 为空间直角坐标系原点，AE 为x 轴，AB 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，求出平面PDC 和平面PBC 的法向量，利用向量法即可求得平面PDC 与平面PBC 夹角的余弦值．本题主要考查了直线与平面平行的判定，考查了利用空间向量求两平面的夹角，属于中档题．17.【答案】解：(1)由题意得：A(a,0)，B 1(0,−b)，故|AB 1|=√a 2+b 2=√5，又c a=√32，c 2=a 2−b 2，解得：c 2=3，a 2=4，b 2=1，故椭圆的标准方程为x 24+y 2=1； (2)因为|B 1B 2|=|B 2P|，所以点P 为以B 2(0,1)为圆心，|B 1B 2|=2b =2为半径的圆与椭圆的交点(不在坐标轴上)， 其中以B 2为圆心，|B 1B 2|=2为半径的圆的方程为x 2+(y −1)2=4， 联立x 2+(y −1)2=4与x 24+y 2=1，得：3y 2+2y −1=0，解得：y 1=13或y 2=−1，其中y 2=−1时x 2=0，点P 位于y 轴上，不合题意，舍去； 当y 1=13时，x 124+19=1，解得：x 1=±4√23，故S △B 1B 2P =12|B 1B 2|⋅|x 1|=12×2×4√23=4√23.第11页，共11页【解析】(1)根据离心率，|AB 1|=√5等列出方程组，利用待定系数法求出椭圆方程；(2)得到点P 为以B 2(0,1)为圆心，|B 1B 2|=2b =2为半径的圆与椭圆的交点(不在坐标轴上)，从而联立圆与椭圆方程，求出点P 坐标，从而利用S △B 1B 2P =12|B 1B 2|⋅|x 1|求出答案． 本题主要考查了椭圆的标准方程，考查了直线与椭圆的位置关系，属于中档题．18.【答案】解：(1)∵S n =n 2(n ∈N ∗)，∴当n =1时，a 1=S 1=1，当n ≥2时，a n =S n −S n−1=n 2−(n −1)2=2n −1， 当n =1时，a 1=1=2×1−1符合， ∴a n =2n −1(n ∈N ∗)；(2)证明：∵b 1=2，b n =3b n−1+2(n ≥2,n ∈N ∗)， ∴当n ≥2时，b n +1bn−1+1=3b n−1+2+1b n−1+1=3(bn−1+1)b n−1+1=3，又b 1+1=3，∴数列{b n +1}是首项为3，公比为3的等比数列；(3)证明：由(1)(2)得b n +1=3⋅3n−1=3n ，c n =a nb n+1=2n−13n =(2n −1)(13)n ，∴T n =c 1+c 2+c 3+⋯+c n−1+c n =1⋅(13)+3⋅(13)2+5⋅(13)3+⋯+(2n −3)⋅(13)n−1+(2n −1)⋅(13)n ①，13T n=1⋅(13)2+3⋅(13)3+5⋅(13)4+⋯+(2n −3)⋅(13)n +(2n −1)⋅(13)n+1②，由①-②得23T n =13−(2n −1)⋅(13)n+1+2[(13)2+(13)3+(13)4+⋯+(13)n ]=13−(2n −1)⋅(13)n+1+2(13)2[1−(13)n−1]1−(13)=13−(2n −1)⋅(13)n+1+13−(13)n =23−(2n+23)(13)n， ∴T n =1−(n +1)(13)n ， 又(n +1)(13)n >0，则T n <1.【解析】(1)利用S n 和a n 的关系，当n ≥2时，a n =S n −S n−1=n 2−(n −1)2=2n −1，且当n =1时a 1=1=2×1−1符合，即可得出答案； (2)根据等比数列的定义，当n ≥2时，b n +1bn−1+1=3(bn−1+1)b n−1+1=3，即可证明结论；(3)由(1)(2)得b n +1=3⋅3n−1=3n ，c n =anb n+1=2n−13n =(2n −1)(13)n ，利用错位相减法可得T n =1−(n +1)(13)n ，即可证明结论．本题考查S n 和a n 的关系、等比数列的定义以及错位相减法求和，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．。
天津市高二上学期期末数学试题(解析版)
高二上学期期末数学试题一、单选题1．已知空间向量，，，则（ ）(1,2,3)a =-(2,1,1)b =- (2,0,3)c = ()a b c ⋅+=A ．B ．C ．D ．10-(4,2,12)--(5,0,15)-【答案】A【分析】根据向量数量积的坐标运算求解. 【详解】，(4,1,4)b c →→+=- ，41123410a b c →→→⎛⎫∴⋅+=⨯-⨯-⨯=- ⎪⎝⎭故选：A2．直线的倾斜角为（ ） 20x y +-=A ．45° B ．90°C ．135°D ．150°【答案】C【分析】求出直线的斜率，根据斜率的定义即可得出倾斜角.【详解】直线化为，则斜率，又倾斜角， 20x y +-=2y x =-+tan 1k α==-0180α≤<︒所以倾斜角为. 135 故选：C.3．抛物线的准线方程为 24y x =A ． B ．C ．D ．=1x -1y =-1x =1y =【答案】A【分析】利用的准线方程为，能求出抛物线的准线方程. 22y px =2px =-24y x =【详解】，24,24,2y x p p =∴== 抛物线的准线方程为， ∴24y x =2p x =-即，故选A .=1x -【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程与简单性质，意在考查对基础知识的掌握与应用，是基础题.4．在等差数列中,,,则公差为（ ） {}n a 138a a +=2440a a =A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】设公差为,根据题意将已知条件化为和的形式,解方程组即可得到结果. d 1a d 【详解】设公差为,则d , ()()1113112428834040a a d a a a d a d a a ++=+=⎧⎧⇒⎨⎨+⋅+==⎩⎩解得. 11,3a d ==故选:C.5．若双曲线与椭圆） 221259x y +=A ． B ． C． D ．y =y =y =y =【答案】D【分析】根据椭圆确定双曲线焦点，再由离心率求出，即可求出双曲线渐近线方程.a 【详解】由椭圆知，其焦点坐标为，221259x y +=(4,0)±所以双曲线的焦点坐标为，即， (4,0)±4c =又，所以，所以， c e a ==a =2224b c a =-=所以双曲线的渐近线方程为， y x ==故选：D6．在棱长为1的正方体中，为线段的中点，则点到直线的距离为ABCD A B C D -''''E AB E AC'（ ） A BCD ．14【答案】B【分析】建立如图所示，以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴正方向得空间A ,,AB AD AA 'x y z 直角坐标系，根据公式点到直线的距离为.A xyz -E AC 'd =【详解】由题知，棱长为1的正方体中，为线段的中点，ABCD A B C D -''''E AB 所以建立如图所示，以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴正方向得空间直角A ,,AB AD AA 'x y z 坐标系，A xyz -所以,1(,0,0),(0,0,0),(1,1,1)2E A C '所以,1(,0,0),(1,1,1)2AE AC '== 所以点到直线的距离为, E AC'd ====故选：B7．数列中，，且，则{}n a 11a =12nn n a a +=+9a =A ．1024 B ．1023 C ．510 D ．511【答案】D【分析】由题意结合递推关系求解的值即可.9a 【详解】由题意可得：，则：12nn n a a +-=.9a ()()()1213298a a a a a a a =+-+-++- 1289122221511=++++=-= 本题选择D 选项.【点睛】数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．8．已知直线与圆相交于A ，B 两点，若m 30(0)x y m m ++=>22240x y y +--=||AB=的值为（ ） A B C ．3 D ．4【答案】D【分析】求出圆心和半径，再利用圆心到直线的距离求得即可解得d 222r d -=的值.m 【详解】，化简为， 22240x y y +--=22(1)415x y +-=+=可得圆心()0,1圆心到直线的距离d ，即， 222r d∴-=()25,15,1252d m m =∴+=±+=或（舍去） 4m ∴=6m =-故选：D.9．已知F 是椭圆的左焦点，点，若P 是椭圆上任意一点，则的最大22143x y +=(4,3)Q ||||PQ PF +值为（ ）A ．B ．C ．D ．4+4+【答案】A【分析】设椭圆的右焦点为，，计算得到答案. ()11,0F 1||||2PQ PF aQF +≤+【详解】设椭圆的右焦点为，()11,0F11||||||2||244PQ PF PQ a PF a QF +=+-≤+=+=+当三点共线，且在之间时等号成立. 1,,P Q F 1F ,P Q 故选：A二、填空题10．已知空间向量，，且与是共线向量，则实数x 的值为_______．(2,1,3)a =- (4,2,)b x =- a b【答案】6-【分析】根据向量共线得到，列出方程组，求出答案. a b λ=【详解】设，则，解得：. a b λ= 24123x λλλ=-⎧⎪-=⎨⎪=⎩126x λ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩故答案为：-611．已知的三个顶点，，，则边上的高所在直线方程为_______． ABC A (3,1)A -(3,3)B -(1,7)C BC 【答案】580x y -+=【分析】求出直线的斜率，进而由垂直关系得到所求直线的斜率，由直线方程点斜式得到答案. BC 【详解】直线的斜率为，故边上的高所在直线的斜率为， BC 73513+=--BC 15则边上的高所在直线方程为， BC ()1135y x -=+整理得. 580x y -+=故答案为：580x y -+=12．在平行六面体中，，，，ABCD A B C D -''''5AB =4=AD 3AA '=60BAD BAA DAA ''∠=∠=∠=︒，则的长为_______． AC '【分析】由空间向量基本定理得到，平方后得到，得到的长. AC AB AD AA =+'+' 297AC '= AC '【详解】由题意得：，AC AB AD AA =+'+'故()22222222AC AB AD AA AB AD AA AB AD AB AA AD AA '''''=++=+++⋅+⋅+⋅25169254cos 60253cos 60243cos 60=+++⨯⨯︒+⨯⨯︒+⨯⨯︒，5054534397=+⨯+⨯+⨯=故.AC13．已知等比数列满足，，则_______． {}n a 11a =-13521a a a ++=-357a a a ++=【答案】84-【分析】根据等比数列的通项公式求解即可.【详解】，2413511(1)21,1a a a a q q a ++=++=-=- ，解得，24121q q ++=∴24q =， 1352357()21484a a a a a a q ++∴++=⋅=-⨯=-故答案为：84-14．过双曲线的右焦点作x 轴的垂线，交双曲线于A ，B 两点，以为直径的22221(0,0)x y a b a b-=>>AB 圆恰好过双曲线的左焦点，则双曲线的离心率为_______．【答案】11【分析】设双曲线的左右焦点分别为，根据题意可得，从而建立方程，即可求12F F ，1212F F AB =得双曲线的离心率.【详解】设双曲线的左右焦点分别为，22221(0,0)x y a b a b-=>>12F F ，过双曲线的右焦点做x 轴的垂线，交双曲线于A ，B 两点，22221(0,0)x y a b a b-=>>则，又因为以为直径的圆恰好过双曲线的左焦点，22b AB a =AB 所以，即，所以，1212F F AB =22b c a =2220c ac a --=则，解得：， 2210e e --=1e =+1e =故答案为：115．已知实数x ，y 满足，则的最小值是_______． 22(2)1x y -+=1y x-【答案】43-【分析】设，转化为直线与圆有公共点，只需联立方程有解，利用判别式1y k x-=1(0)y kx x =+≠即可求出. 【详解】令，即， 1y k x-=1(0)y kx x =+≠联立，消元得， ()22121y kx x y =+⎧⎪⎨-+=⎪⎩22(1)(24)40k x k x ++-+=由题意，，解得， 22(24)16(1)0k k ∆=--+≥403k -≤≤故的最小值为. 1y k x -=43-故答案为：43-三、解答题16．已知等比数列的前n 项和为，，，等差数列满足，{}n a n S 4178a a -=339S ={}n b 11b a =81b +是和的等差中项，求和的通项公式．2a 3a {}n a {}n b 【答案】，.3nn a =21n b n =+【分析】根据等差数列及等比数列的通项公式列方程求解即可. 【详解】设的公比为，显然.{}n a q 1q ≠由题意 解得()3113178,139,1a q a a q q⎧-=⎪-⎨=⎪-⎩13,3a q ==所以的通项公式为.{}n a 3nn a =设数列的公差为，则 {}n b d 1233,9,27a a a ===所以，所以， 89271182b ++==817b =即，解得，.3717d +=2d =3(1)221n b n n =+-⨯=+17．已知圆心为C 的圆经过，两点，且圆心C 在直线上． (4,2)A (1,5)B 27120x y -+=(1)求圆C 的方程；(2)已知点，点N 在圆C 上运动，求线段中点P 的轨迹方程． (7,2)M MN 【答案】(1)22(1)(2)9x y -+-=(2) 229(4)(2)4x y -+-=【分析】（1）设出圆的标准方程，将点的坐标代入圆的方程，结婚圆心在直线,A B 27120x y -+=上，列出方程组，解之即可求解；（2）设点的坐标是，点的坐标是，利用中点坐标公式和点在圆上运动即可求P (,)x y N 11(,)x y N C 解.【详解】（1）设圆的方程为，由题意得C 222()()x a y b r -+-=，解得 ()()()()222222421527120a b r a b r a b ⎧-+-=⎪⎪-+-=⎨⎪-+=⎪⎩123a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以圆的方程为.C 22(1)(2)9x y -+-=（2）设点的坐标是，点的坐标是， P (,)x y N 11(,)x y 由于点的坐标为，点是线段的中点，所以， M (7,2)P MN 1172,22x y x y ++==于是1127,22x x y y =-=-因为点在圆上运动，所以点的坐标满足圆的方程，N C N C 即2211(1)(2)9x y -+-=所以，22(271)(222)9x y --+--=整理得 229(4)(2)4x y -+-=所以，线段中点的轨迹方程. MN P 229(4)(2)4x y -+-=18．如图，在四棱锥中，底面，，，P ABCD -PA ⊥ABCD AD BC ∥AB AD ⊥，E 为中点，作交于点F ． 112PA AB BC AD====PB EF PC ⊥PC(1)求证：平面；PC ⊥AEF (2)求平面与平面夹角的余弦值． AEF PBD 【答案】(1)证明见解析【分析】（1）建立空间直角坐标系，用向量法证明线面垂直； （2）把二面角计算问题转化为法向量夹角问题.【详解】（1）证明：依题意得，以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如A ,,AB AD AP x y z图所示的空间直角坐标系.，(1,0,0),(1,1,0),(0,2,0),(0,0,1)B C D P 因为点为中点，所以，E PB 11(,0,)22E 所以，，又，11(,0,22AE = (1,1,1)PC =- 而，11101(1)022AE PC ⋅=⨯+⨯+⨯-= 所以.AE PC ⊥由已知，且，在平面内, EF PC ⊥AE EF E ⋂=,AE EF AEF 所以平面.PC ⊥AEF （2）由（1）知为平面的一个法向量，PCAEF 又，,(0,2,1)PD =-(1,0,1)PB =- 设平面的一个法向量为，则平面与平面的夹角就是与的夹角或其补PBD (,,)n x y z = AEF PBD PC n 角.，所以，所以0,0,n PB n PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 020x z y z -=⎧⎨-=⎩,1.2x z y z =⎧⎪⎨=⎪⎩取，则(2,1,2)n = cos ,||||n PC n PC n PC ⋅<>===所以平面与平面AEF PBD19．已知椭圆过点2222:1(0)x y C a b a b +=>>)(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过椭圆C 的右焦点F 的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，且，求直线l 的方程．2FB AF =【答案】(1)22132x y +=(2)1)y x =-【分析】（1）根据椭圆的离心率公式，将点的坐标代入椭圆方程，即可求得a 和b 的值，即可求得椭圆方程；（2）设直线l 的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及向量的坐标运算，即可求得直线l 的方程． 【详解】（1）由椭圆过点可知，，23a =又，即，e =a =223a c =所以，所以，2223a b =22b =所以椭圆的标准方程为.C 22132x y +=（2）由（1）知，，设直线的方程为，联立，解(1,0)F l (1)y k x =-1122(,),(,)A x y B x y ()221321x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得，2222(23)6360k x k x k +-+-=所以， 22121222636,2323k k x x x x k k -+==++由得，即，2FB AF =2112(1)x x -=-2132x x =-所以，所以，，211263223k x x k +-=+2126323k x k +=+2226323k x k -+=+所以，化简得， 222222636363232323k k k kk k +-+-+⨯=+++236k =所以的方程k =l 1)y x =-20．已知数列的前n 项和为，且．{}n a n S ()23n n S a n n *=-∈N (1)求证：是等比数列；12n a ⎧⎫+⎨⎩⎭(2)在与之间插入n 个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前nn a 1n a +2n +n d 1n d ⎧⎫⎨⎬⎩⎭项和.【答案】(1)证明见解析 (2) 525443n nn T +=-⋅【分析】（1）由与的关系，分，求数列的通项公式即可； n S n a 1,2n n =≥（2）利用错位相减法求和即可得解.【详解】（1）当时，，得，所以， 1n =11231a a =-11a =11322a +=当时，2n ≥1123(1)n n S a n --=--所以，即， 1122331n n n n S S a a ---=--12331n n n a a a -=--所以 131n n a a -=+所以 11111111313()2223111222n n n n n n a a a a a a -----++++===+++即数列是以为首项，公比为3的等比数列. 1{}2n a +32（2）由（1）得，所以， 11333222n n n a -+=⋅=312n n a -=由题意，即 1(1)n n n a a n d +-=+⋅133(1)2n n n n d +-=+⋅所以，所以 31nn d n =+111(1)()33n n n n n d +==+⋅设前项和为 1n d ⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n T 所以 1231111n nT d d d d =++++ 即 ① 231111234(1)3333n n T n =⨯+⨯+⨯+++⋅ ② ()23411111112341333333n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++⋅++⋅ ①-②得：21112211121311(1)(1)3333336233n n n n n T n n +++=+++-+=+-⋅-+15251623n n ++=-⋅所以. 525443n n n T +=-⋅。
天津市高二上学期期末数学试卷(理科)
天津市高二上学期期末数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2020·海南模拟) 不等式的解集为（）A .B .C .D .2. （2分） (2017高二下·杭州期末) 设向量 =（﹣1，﹣1，1）， =（﹣1，0，1），则cos＜，＞=（）A .B .C .D .3. （2分）(2017·广安模拟) 已知命题p，q是简单命题，则“p∨q是真命题”是“￢p是假命题”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分有不必要条件4. （2分）已知双曲线C的中心在原点，焦点在坐标轴上，P（1，2）是双曲线C上点，且y=x是C的一条渐近线，则C的方程为（）A . ﹣=1B . ﹣=1C . ﹣=1或﹣=1D . ﹣=1或﹣=15. （2分） (2018高一下·张家界期末) 在三角形中，内角所对的边分别为，若，则角（）A .B .C .D .6. （2分） (2019高三上·城关期中) 设，若2是与的等比中项，则的最小值为（）A . 16B . 8C . 4D . 27. （2分）在棱长为1的正方体AC1中，E为AB的中点，点P为侧面BB1C1C内一动点（含边界），若动点P 始终满足PE⊥BD1 ，则动点P的轨迹的长度为（）A .B .C .D .8. （2分） (2016高一下·南充期末) 已知等差数列{an}，a3=﹣a9 ，公差d＜0，则使前n项和Sn取是最大值的项数n是（）A . 4或5B . 5或6C . 6或7D . 不存在9. （2分）若实数满足则的最小值是（）A . 0B .C . 1D . 210. （2分） (2016高一下·台州期末) 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a+b=2，c=1，C= ，则a=（）A .B . 1C .D .11. （2分） (2016高二上·葫芦岛期中) 过x轴上点P（a，0）的直线与抛物线y2=8x交于A，B两点，若+ 为定值，则a的值为（）A . 1B . 2C . 3D . 412. （2分）椭圆的左．右顶点分别是A,B，左．右焦点分别是F1,F2 ，若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2017·邯郸模拟) 已知三个命题p，q，m中只有一个是真命题，课堂上老师给出了三个判断：A：p是真命题；B：p∨q是假命题；C：m是真命题．老师告诉学生三个判断中只有一个是错误的，那么三个命题p，q，m中的真命题是________．14. （1分）已知点M，N分别是空间四面体OABC的边OA和BC的中点，P为线段MN的中点，若=++，则实数λ+μ+γ=________15. （1分）(2017·铜仁模拟) 若数列{an}的前n项和为Sn ，且3Sn﹣2an=1，则{an}的通项公式是an=________．16. （1分） (2017高二上·河南月考) 已知是双曲线的左焦点，是双曲线右支上一点，点的坐标为，则的周长最小时，点到直线的距离为________.三、解答题： (共6题；共65分)17. （10分） (2015高二下·宜昌期中) 已知命题p：“存在”，命题q：“曲线表示焦点在x轴上的椭圆”，命题s：“曲线表示双曲线”（1）若“p且q”是真命题，求m的取值范围；（2）若q是s的必要不充分条件，求t的取值范围．18. （15分）(2016·普兰店模拟) 已知α为锐角，且，函数，数列{an}的首项a1=1，an+1=f（an）．（1）求函数f（x）的表达式；（2）求证：数列{an+1}为等比数列；（3）求数列{an}的前n项和Sn．19. （10分）(2020·海南模拟) 已知的内角的对边分别为，且满足.（1）设为的中点，，求 .（2）设的外接圆的半径为，求的面积.20. （10分） (2019高二上·水富期中) 在平面直角坐标系中，已知圆：和点，过点的直线交圆于两点（1）若 ,求直线的方程；（2）设弦的中点为 ,求点的轨迹方程21. （10分） (2018高二下·辽宁期中) 四棱锥，底面为平行四边形，侧面底面 .已知，，，为线段的中点.（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.22. （10分） (2018高三上·辽宁期末) 已知椭圆的离心率为，且椭圆C上的点到椭圆右焦点F的最小距离为 .（1）求椭圆C的方程；（2）过点F且不与坐标轴平行的直线l与椭圆C交于A,B两点，线段AB的中点为M， O为坐标原点，直线的斜率分别为若成等差数列，求直线l的方程.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题： (共6题；共65分) 17-1、17-2、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、。
天津市西青区高二上学期期末数学试题(解析版)
高二上学期期末数学试题一、单选题1．若直线经过，两点，则直线的倾斜角为（ ） l ()1,0A (B l A ．B ．C ．D ．6π4π3π23π【答案】A【分析】两点求斜率，斜率为倾斜角的正切值.【详解】斜率，∴倾斜角．tan k θ===6πθ=故选：A ．2．过直线与直线的交点，且过原点的直线方程为（ ） 1:240l x y -+=2:10l x y ++=A ． B ．C ．D ．20x y -=20x y +=20x y -=20x y +=【答案】D【分析】先求出直线与直线的交点坐标，然后可得出答案1:240l x y -+=2:10l x y ++=【详解】联立方程得，即与的交点为24010x y x y -+=⎧⎨++=⎩2,1x y =-=1l 2l ()2,1-又直线过原点所以此直线的方程为： 20x y +=故选：D【点睛】本题考查的是两直线交点坐标的求法及直线方程的求法，较简单.3．如图，，分别是四面体的边，的中点，，是的三等分点，且M N OABC OA BC P Q MN ，，，则向量可表示为（ ） OA a = OB b=OC c = OQA ．B ．111366a b c ++111633a b c ++C ．D ．111336a b c ++ 111663a b c ++【答案】A【分析】根据空间向量的加减以及数乘运算，即可求得答案.【详解】由题意，分别是四面体的边，的中点，，是的三等分点， M N OABC OA BC P Q MN 连接,ON得1111()2323OQ OM MQ OA MN OA ON OM =+=+=+-1111()2326OA OB OC OA =+⨯+-, 111311()3666OA OB OC a b c =++=++故选：A4．圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是（ ） 2244100x y x y +---=140x y +-=A ．36B ．18C ．D ．【答案】D【分析】求出圆的圆心坐标及半径，判断直线与圆的位置关系即可求解. 【详解】解：因为圆，即， 2244100x y x y +---=()()222218x y -+-=所以圆心坐标为，半径， ()2,2r =因为圆心到直线的距离140x y +-=d >所以直线与圆相离，140x y +-=()()222218x y -+-=所以圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差为2244100x y x y +---=140x y +-=，()()2d r d r r +--==故选：D.5．已知正项等比数列首项为1，且成等差数列，则前6项和为（ ） {}n a 5344,,2a a a {}n a A ．31 B ．C ．D ．6331326332【答案】C【分析】利用等差数列的通项公式及等比数列的前项和公式即可求解. n 【详解】∵成等差数列， 5344,,2a a a ∴，354242a a a =+∴，即，解得 或 ， 243111242a q a q a q =+2210q q +-=12q =1q =-又∵，∴， 0n a >12q =∴， ()66161111263113212a q S q ⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎢⎥⎣⎦===--故选：C.6．圆与圆的位置关系是（ ）221:4210C x y x y +-++=222:4440C x y x y ++-+=A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．外离【答案】D【分析】将两圆的一般方程化为标准方程得到圆心坐标和半径的长，然后利用圆与圆的位置关系判定.【详解】将两圆的一般方程化为标准方程得;, ()()221:214C x y -++=()()222:224C x y ++-=可知圆心,,半径,()12,1C -()22,2C -122,2r r ==，12125C C r r ==>+故两圆外离，故选：D.7．已知双曲线：的焦点到双曲线1C 22221(0,0)x y a b a b-=>>22:2(0)C x py p =>的一条渐近线的距离为，则抛物线的方程为（ ）1C 22C A ． B ．2x=2x =C ． D ．2x =2x =【答案】C【分析】利用双曲线的离心率可得双曲线的渐近线方程为，抛物线的焦点是（0,）,利y =2p用点到直线的距离公式即可求解. 【详解】由,==c e a2222213c b e a a ==+=∴.222b a=∴双曲线的渐近线方程为， y =抛物线的焦点是（0,）, 22x py =2p 它到直线的距离y =2d =∴p =∴抛物线方程为. 2x =故选：C.8．已知空间内三点，，，则点A 到直线的距离是（ ） (1,0,2)A (1,2,0)B -(0,3,1)C BC AB ．CD43【答案】A【分析】借助于空间向量解决空间中距离问题【详解】空间内三点，，(1,0,2)A (1,2,0)B -(0,3,1)C 因为，，(1,1,1)BC =uu u r (2,2,2)BA =-u u r由，所以，1cos 3||||BA BCABC BA BC ∠⋅===u u r u u u r u u r uu ur sinABC ∠=所以点A 到直线的距离BC sin d AB ABC ∠=⋅==故选：A.9．已知点O 为坐标原点，点F 是椭圆的左焦点，点，分()2222:10x y C a b a b +=>>()2,0A -()2,0B 别为C 的左，右顶点，点P 为椭圆C 上一点，且轴，过点A 的直线l 交线段PF 于点M ，PF x ⊥与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 上靠近O 点的三等分点，则椭圆C 的离心率（ ） e =A ． B ．C ．D ．23133412【答案】D【分析】根据题设条件，画出图形，设OE 上靠近O 点的三等分点为N ，利用平行关系建立比例式，即可求出椭圆离心率作答.【详解】如图，设OE 上靠近O 点的三等分点为N ，椭圆的半焦距为c ，轴，则PF x ⊥//MF OE ，在中，，在中，由，得， AOE △MF AF a cOE AO a -==MFB A //ON MF MF BF a c ON BO a +==而，则，即，解得，又，于是， 1||||3ON OE =13MF a c a OE +=+3MF a c a c a OE a -==2a c =2a =1c =所以椭圆C 的离心率. 12e =故选：D【点睛】方法点睛：椭圆离心率可借助几何意义求解，题目的条件体现出明显的几何特征和意义，利用几何性质建立关系求解即可.二、填空题10．已知向量，，则向量___________. ()1,3,2a =- ()1,1,0b = 23a b +=【答案】()5,3,4-【解析】将向量坐标的加法公式求解即可. 【详解】向量，,()1,3,2a =- ()1,1,0b =. ∴()()()1,3,2+31,123,0=25,3,4a b -+=-故答案为：.()5,3,4-11．过点作圆的切线方程是__________． M 22:4O x y +=【答案】40x -=【详解】因为点在圆上，所以切点为，切线斜率 (M 22:4O x y +=(M 1OMk k =-=所以由点斜式写方程得即 )1y x =-40x -=故答案为40x +-=12．当点P 在圆上运动时，连接点P 与定点，则线段的中点M 的轨迹方程为221x y +=(3,0)Q PQ ________.【答案】2231(24x y -+=【分析】设出点M 的坐标，根据已知表示出点P 的坐标，再代入圆的方程作答. 【详解】设点，因M 是线段的中点，则点， (,)M x y PQ (23,2)P x y -于是得，即，22()(231)2x y -+=2231(24x y -+=所以点M 的轨迹方程为.2231()24x y -+=故答案为：2231()24x y -+=13．抛物线的焦点为，点为该抛物线上的动点，又已知定点，则24y x =F (),P x y ()2,2A 的最小值是___________.PA PF +【答案】3【分析】过点作抛物线的准线的垂线，垂足为点，由抛物线的定义可得出，P 24y x =B PB PF =可得出，利用当、、三点共线时，取最小值可得结果. PA PF PA PB +=+A P B PA PF +【详解】抛物线的焦点为，准线为，如下图所示：24y x =()1,0F :1l x =-过点作抛物线的准线的垂线，垂足为点，P 24y x =B 由抛物线的定义可得，所以，，PB PF =PA PF PA PB +=+当且仅当、、三点共线时，即当时，取得最小值为. A P B AB l ⊥PA PB +213+=故答案为：.314．设抛物线的焦点到双曲线的一条渐近线的距离为，到双曲线左28y x =()222210,0x y a b a b-=>>b ，则该双曲线的离心率是___________. 【答案】2【分析】先得到抛物线的焦点坐标，然后根据题意，利用点到直线的距离和两点间的距离28y x =求解.【详解】抛物线的焦点为，28y x =()2,0F 设双曲线的一条渐近线方程为 ，()222210,0x y a b a b -=>>0bx ay -=由题意得，解得，2bd b c=2c =双曲线左顶点为，由题意得，由 得，解得，(),0A a -2a +=222c a b =+220a a +-=1a =所以该双曲线的离心率是； 2ce a==故答案为：2.15．已知数列的前n 项和为，设，，，则{}n a n S 0n a ≥10a =()*1121N n n n S S n an++++=∈nS =___________.1【分析】根据与的关系，整理等式，利用累加法，可得答案. n a n S 【详解】由，即，代入， 11n n n a S S ++=-()()1111n n n a S S ++=+-+1121n n n S S a n++++=可得，则，()()()()1111111n n n n S S S S n +++++=+-+()()22111n n S S n ++-+=时，根据累加法，2n ≥()()()()()()()()2222222211221111111111n n n n n S S S S S S S S ---+=+-+++-++++-+++ ， ()()()2112211n n a =-+-+++++ ()()22111211222n n n n n n +-⨯---+=+=+=显然当时，，公式成立，1n =()221112112S -++==则.1n S =.1三、解答题16．已知圆经过两点，且圆心在直线上. C ()()2,2,4,6A B --C 2y x =-(1)求圆的方程；C (2)过点的直线l 与圆相交于P 、Q 两点，若，求直线l 的方程. ()5,0M -C 6PQ =【答案】(1) ()()221225x y ++-=(2) 或 ()354y x =-+5x =-【分析】（1）根据条件运用两点距离公式求出圆心C 的坐标和半径；（2）先设l 的直线方程，运用垂径定理求出C 点到l 的距离，再利用点到直线距离公式求解. 【详解】（1）设 ，则C 到A ，B 两点的距离相等，即(),2C m m - ，()()()()2222222426m m m m -+-+=++--解得 ，即 ，半径 ， 1m =-()1,2C -()()222122225r =--++=圆C 的标准方程为： ； ()()221225x y ++-=（2）圆C 的大致图像如下：，所以M 点在圆内，由垂径定理知C 点到l 的距离为5=，4=当直线l 的斜率存在时直线方程为 ，即 ，由点到直线距离公式知：()5y k x =+50kx y -+=4解得 ；34k =-当斜率不存在时， ，点C 到 的距离也是 ， 5x =-5x =-154-+=所以直线l 的方程为 或 ； ()354y x =-+5x =-综上，圆C 的标准方程为：，直线l 的方程为 或. ()()221225x y ++-=()354y x =-+5x =-17．若等差数列的前n 项和为，数列是等比数列，并且 ，{}n a n S {}n b 0n b ＞. 11334223,1,19,2a b b S a b a ==+=-=(1)求数列和的通项公式；{}n a {}n b (2)求数列的前n 项和；n n a b ⎧⎫⎨⎩⎭n T (3)若，求数列的前n 项和 ()11N *·n n n c n a a +=∈{}n c n M 【答案】(1)121,2n n n a n b -=+=(2)()110252nn T n -=-+A (3) 69n nM n =+【分析】（1）根据条件列方程组求出 ； ,d q （2）运用错位相减法求解； （3）运用裂项相消法求解；【详解】（1）设 的公差为d ， 的公比为q ，{}n a {}n b 依题意有： ，212341233,3,32,33,1,,a a d a d a d b b q b q ==+=+=+=== ，解得 （舍）， ， 23332193323q d d d q d ⎧+++++=⎨+-=+⎩55d q =-⎧⎨=-⎩2,2d q =⎧⎨=⎩ ；()1132121,122n n n n a n n b --∴=+-=+=⨯=（2）令 ， ， n n na db =()1212nn d n -=+A …①，()123131527292212n n T n ----=⨯+⨯+⨯+⨯+++ A …②， ()1234325272922122n nT n -----=⨯+⨯+⨯+⨯+++ A ①-②得：()12313222222222122n n nT n -----=+⨯+⨯+⨯++-+ A A ，()()()11111232221·2525·212n n n n n -------=+⨯⨯-+=-+- ；()110252n n T n -=-+A （3） ，()()111111212322123n n n c a a n n n n +⎛⎫===- ⎪++++⎝⎭A 11111111123557792123n M n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ . 111232369n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭18．在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是菱形，ADNM 是矩形，平面平面ABCD ，ADNM ⊥，，，E 为AB 的中点．3DAB π∠=2AD =1AM =（Ⅰ）求证：平面MEC ．//AN （Ⅱ）求ME 与平面MBC 所成角的正弦值：（Ⅲ）在线段AM 上是否存在点P ，使二面角的大小为？若存在，求出AP 的长；若P EC D --3π不存在，请说明理由．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ；（Ⅲ）不存在，理由见解析． 【分析】（Ⅰ）设CM 与BN 交于F ，连接EF ，利用已知条件得到，利用线面平行的判定定//AN EF理即可得证；（Ⅱ）先利用已知条件得到，再利用面面垂直的性质定理得到平面DE AB ⊥DN ⊥ABCD ，以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解线面所成DE x DC y DN z 角即可；（Ⅲ）利用空间向量求解二面角判断即可. 【详解】证明：（Ⅰ）设CM 与BN 交于F ，连接EF ，由已知得四边形BCNM 是平行四边形，所以F 是BN 的中点．因为E 是AB 的中点，所以，//AN EF 又平面MEC ，EF ⊂平面MEC ，AN ⊄所以平面MEC ．//AN （Ⅱ）由于四边形ABCD 是菱形， ，3DAB π∠=E 是AB 的中点，可得．DE AB ⊥又ADNM 是矩形，平面平面ABCD ，ADNM ⊥平面平面，ADNM ABCD AD =∴平面ABCD ，DN ⊥如图建立空间直角坐标系D-xyz ，则，，，，，； ()0,0,0D )E ()0,2,0C 1,1)M -B ()0,0,1N 设平面MBC 的法向量为1(,,)n x y z =，）， (0,2,1)MB =- (BC =， 1100MB n BC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩∴，200y z y -=⎧⎪⎨+=⎪⎩∴，1n = ，(0,1,1)ME =-111cos ,||||ME n ME n ME n ⋅<>===∴ME 与平面MBC ；（Ⅲ）设，，，1,)P h -2,0)CE =- ()0,1,EP h =- 设平面PEC 的法向量为，1(,,)n x y z = 则， 1100CE n EP n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩∴， 200yy hz -=-+=⎪⎩令，y =∴，1(2n h = 又平面ADE 的法向量， 2(0,0,1)n = 1221121cos ,2||||n n n n n n ⋅<>===解得，h =， 1>∴在线段AM 上不存在点P ，使二面角的大小为．P EC D --3π【点睛】思路点睛：解决二面角相关问题通常用向量法，具体步骤为： （1）建坐标系，建立坐标系的原则是尽可能的使得已知点在坐标轴上或在坐标平面内； （2）根据题意写出点的坐标以及向量的坐标，注意坐标不能出错.（3）利用数量积验证垂直或求平面的法向量.（4）利用法向量求距离、线面角或二面角.19．已知椭圆，其离心率为，右焦点为，两焦点与短轴两端点围成的()2222:10x y C a b a b+=>>12F 四边形面积为(1)求椭圆的标准方程：C (2)直线与椭圆有唯一的公共点（在第一象限，此直线与轴的正半轴交于点，直线l M M l y N NF 与直线交于点且，求直线的斜率. OM P 37OFP OFN S S =△△l 【答案】(1) 22143x y +=(2) 12-【分析】（1）由已知可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的标准a b c C 方程；（2）由题意可知，直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为，且，将直线的l l y kx m =+0m ≠l 方程与椭圆的方程联立，由可得出，列出韦达定理，求出点、的坐标，进C Δ0=2243m k =+M N 而求出点的坐标，由已知可得出，可求得，结合可求得的值. P 37P N y y =1km=-2243m k =+k 【详解】（1）解：由题意可得，解得222121222c e a b c a c b ⎧==⎪⎪⎪⋅⋅=⎨⎪=+⎪⎪⎩21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩因此，椭圆的标准方程为：. C 22143x y +=（2）解：由题意可知，直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为，且，l l y kx m =+0m ≠联立，消去并整理，得， 22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩y ()2223484120k x kmx m +++-=，可得， ()()2222644434120k m k m ∆=-+-=2234m k =+由韦达定理可得，， 1228843km k x x k m +=-=-+212241243m x x k -=+，则点， ()221212282m k y y k x x m m -+=++=43,k M m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭因为点在第一象限，则，则，直线的方程为， P 4030k m m⎧->⎪⎪⎨⎪>⎪⎩00k m <⎧⎨>⎩OM 34y x k =-在直线的方程中，令可得，即点，易知点，l 0x =y m =()0,N m ()1,0F ，则直线的方程为， 001NF m k m -==--NF ()1y m x =--联立可得，即点， ()341y x k y m x ⎧=-⎪⎨⎪=--⎩443343km x km m y km ⎧=⎪⎪-⎨⎪=-⎪-⎩43,4343km m P km km ⎛⎫- ⎪--⎝⎭因为，，即，即，可得，则， 37OFP OFN S S =△△37P N y y =33437m m km -=-1km =-1m k=-将代入可得，则， 1m k=-2243m k =+()()224110k k -+=214k =，解得. 0k < 12k =-【点睛】关键点点睛：本题考查利用三角形面积之间的等量关系求出直线的斜率，解题的关键在于求出点的坐标，将三角形面积的等量关系转化为两点坐标之间的关系，进而构建等式求解. P 20．已知为数列的前项和，且，数列前项和为，且，n S {}n a n (1)2n n n S +={}n b n n T 12b =.12n n b T +=+(1)求和的通项公式；{}n a {}n b (2)设，设数列的前项和为，求；2(1)n n n c a =-{}n c n n P 2n P (3)证明：. ()22211121ni i i i a a b =++<-∑【答案】(1)， .=n a n 2n n b =(2) .222n P n n =+(3)详见解析.【分析】（1）根据与的关系即可得到，根据得到，即可得到； n a n S =n a n 12n n b T +=+12n nb b +=2n n b =（2）首先根据得到，再计算即可；22=(1)=(1)n n n n c a n --212+=41n n c c n --2n P （3）首先根据题意得到，再根据()()2222+12+1+1+1+1+1=<(1)1212n n n n n a n n a b n n n ---得到，即可证明. ()()2+1+1+1+1111=+122122n n n n n n n n n --⋅-⋅⋅22+111(1)2n i i i i i a a a b -=+<∑【详解】（1）由， (1)2n n n S +=当时，， 1n =111a S ==当时，，2n ≥()()1+11===22n n n n n n n a S S n ----检验时，，所以；1n =111a S ===n a n 因为，（），12n n b T +=+1=+2n n b T -2n ≥所以，即（）， +11==n n n n n b b T T b ---12n nb b +=2n ≥而，故满足上式， 12112,224b b T b ==+=+=212b b =所以是以，公比等于的等比数列，即；{}n b 12b =22n n b =（2）因为，22=(1)=(1)n n n n c a n --所以，()()22212+=21+2=41n n c c n n n ----所以21234212=++++++n n n P c c c c c c - ； ()23+41=3+7++41==2+2n n n n n --⋅⋅⋅（3）因为， ()()2222+12+1+1+1+1+1=<(1)1212n n n n n a n n a b n n n ---. ()()()()22+1+1+1+1+1+1+1++11+1111==+=+12122122122n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n ---⋅-⋅-⋅-⋅⋅所以 ， ()22222+1111<(1)1n n i i i i i i i i i a a a a b a b -==+++-∑∑()2+1+122+11111+(1)2122nn i i i i i i i i i a a a b i i ---⋅⋅==⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭∑∑ ()34+12334+1111111111=+++++++2222222232122n n n n n ⋅⋅⋅--⋅⋅⋅-⨯⨯⨯-⋅⋅， 1+1+1+11111111182=+=14222212n n n n n n -----⋅⋅-⎛⎫ ⎪⎝⎭因为，，所以， 1102n +>+11>02n n ⋅+1+11111<2222n n n --⋅即，即证：； 22+111(1)2n i i i i i a a a b -=+∑()22211121n i i i i a a b =++<-∑综上，，， . =n a n 2n n b =222n P n n =+。