(完整版)一次函数压轴题经典
(完整版)一次函数压轴题经典-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN一次函数压轴题训练典型例题题型一、A 卷压轴题一、A 卷中涉及到的面积问题例1、如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数1223y x =-+与x 轴、y 轴分别相交于点A 和点B，直线2 (0)y kx b k =+≠经过点C （1，0）且与线段AB 交于点P ，并把△ABO 分成两部分． （1）求△ABO 的面积；（2）若△ABO 被直线CP 分成的两部分的面积相等，求点P 的坐标及直线CP 的函数表达式。
练习1、如图，直线1l 过点A （0，4x轴交于点C ，两直线1l ，2l 相交于点B 。
（1）、求直线1l 的解析式和点B 的坐标； （2）、求△ABC 的面积。
二、A 卷中涉及到的平移问题例2、 正方形ABCD 的边长为4，将此正方形置于平面直角坐标系中，使AB 边落在X 轴的正半轴上，且A 点的坐标是（1，0）。
①直线y=43x-83经过点C ，且与x 轴交与点E ，求四边形AECD 的面积；②若直线l 经过点E 且将正方形ABCD 分成面积相等的两部分求直线l 的解析式，③若直线1l 经过点F ⎪⎭⎫⎝⎛-0.23且与直线y=3x 平行,将②中直线l 沿着y 轴向上平移32个单位交x 轴于点M ,交直线1l 于点N ,求NMF ∆的面积.练习1、如图，在平面直角坐标系中，直线1l ：x y 34=与直线2l ：b kx y += 相交于点A ，点A 的横坐标为3，直线2l 交y 轴于点B ，且OB OA 21=。
（1）试求直线2l 函数表达式。
（6分）（2）若将直线1l 沿着x 轴向左平移3个单位，交 y 轴于点C ，交直线2l 于点D ；试求 △BCD 的面积。
（4分）。
题型二、B 卷压轴题 一、一次函数与特殊四边形例1、如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 分别在x 轴、y 轴上，线段OA 、OB 的长(0A<OB)是方程组⎩⎨⎧=+-=632y x yx 的解，点C 是直线x y 2=与直线AB 的交点，点D 在线段OC 上，OD=52 (1)求点C 的坐标； (2)求直线AD 的解析式；(3)P 是直线AD 上的点，在平面内是否存在点Q ，使以0、A 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形?若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．xOAB1l 11yL 2练习1、.如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知直线PA 是一次函数y=x+m (m>0)的图象,直线PB 是一次函数n n x y (3+-=>m )的图象,点P 是两直线的交点,点A 、B 、C 、Q 分别是两条直线与坐标轴的交点。
（1）用m 、n 分别表示点A 、B 、P 的坐标及∠PAB 的度数； （2）若四边形PQOB 的面积是211，且CQ:AO=1:2，试求点P 的坐标，并求出直线PA 与PB 的函数表达式；（3）在（2）的条件下，是否存在一点D ，使以A 、B 、P 、D 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由。
2、（2011?玉溪）如图，在Rt △OAB 中，∠A=90°，∠ABO=30°，OB= 3，边AB 的垂直平分线CD 分别与AB 、x 轴、y 轴交于点C 、G 、D ． （1）求点G 的坐标； （2）求直线CD 的解析式；（3）在直线CD 上和平面内是否分别存在点Q 、P ，使得以O 、D 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q 得坐标；若不存在，请说明理由．二、一次函数与三角形例2、如图,矩形OABC 在平面直角坐标系内(O 为坐标原点),点A 在x 轴上,点C 在y 轴上,点B 的坐标为(-2,32),点E 是BC 的中点,点H 在OA 上,且AH=21,过点H 且平行于y 轴的HG 与EB 交于点G,现将矩形折叠,使顶点C 落在HG 上 ,并与HG 上的点D 重合,折痕为EF,点F 为折痕与y 轴的交点. (1)求∠CEF 的度数和点D 的坐标;(3分) (2)求折痕EF 所在直线的函数表达式;(2分)(3)若点P 在直线EF 上,当△PFD 为等腰三角形时,试问满足条件的点P 有几个,请求出点P 的坐标,并写出解答过程.(5分)练习1、（2011?漳州）如图，直线y=-2x+2与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，将△OAB 绕点O 逆时针方向旋转90°后得到△OCD ．（1）填空：点C 的坐标是（ ， ），点D 的坐标是（ ，）； （2）设直线CD 与AB 交于点M ，求线段BM 的长；（3）在y 轴上是否存在点P ，使得△BMP 是等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．xy FC EB G A H O Dxy FC EB G AHO D2、（2010?黑河）如图，在平面直角坐标系中，函数y=2x+12的图象分别交x 轴，y 轴于A ，B 两点过点A 的直线交y 轴正半轴与点M ，且点M 为线段OB 的中点．3、（1）求直线AM 的函数解析式．4、（2）试在直线AM 上找一点P ，使得S △ABP =S △AOB ，请直接写出点P 的坐标．5、（3）若点H 为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点H ，使以A ，B ，M ，H 为顶点的四边形是等腰梯形？若存在，请直接写出点H 的坐标；若不存在，请说明理由6、三、重叠面积问题例3、已知如图，直线33y x =-+与x 轴相交于点A ，与直线3y x =相交于点P ．①求点P 的坐标．②请判断OPA ∆的形状并说明理由．③动点E 从原点O 出发，以每秒1个单位的速度沿着O →P →A 的路线向点A 匀速运动（E 不与点O 、A 重合），过点E 分别作EF ⊥x运动t 秒时，矩形EBOF 与△OPA 重叠部分的面积为S 关系式．练习1、如图，已知直线1l :2+-=x y 与直线2l ：82+=x y 相交于点F ，1l 、2l 分别交x 轴于点E 、G ，矩形ABCD 顶点C 、D 分别在直线1l 、2l ，顶点A 、B 都在x 轴上，且点B 与点G 重合。
（1）、求点F 的坐标和∠GEF 的度数； （2）、求矩形ABCD 的边DC 与BC 的长；（3）、若矩形ABCD 从原地出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为t ()60≤≤t 秒，矩形ABCD s ，求s 关于t 的函数关系式，并写出相应的t2、如图，过A （8，0）、B （0，83）两点的直线与直线x y 3=交于点C ．平行于y 轴的直线l 从原点O 出发，以每秒1个单位长度的速度沿x 轴向右平移，到C 点时停止；l 分别交线段BC 、OC 于点D 、E ，以DE 为边向左侧作等边△DEF ，设△DEF 与△BCO 重叠部分的面积为S （平方单位），直线l 的运动时间为t （秒）．（1）直接写出C 点坐标和t 的取值范围； （2）求S 与t 的函数关系式；（3）设直线l 与x 轴交于点P ，是否存在这样的点P ，使得以P 、O 、F 为顶点的三角形为等腰三角形，若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．3、（衡阳市）如图，直线4+-=x y 与两坐标轴分别相交于A.B 点，点M 是线段AB 上任意一点（A.B 两点除外），过M 分别作MC ⊥OA 于点C ，MD ⊥OB 于D ． （1）当点M 在AB 上运动时，你认为四边形OCMD 的周长是否发生变化？并说明理由；（2）当点M 运动到什么位置时，四边形OCMD 的面积有最大值最大值是多少 （3）当四边形OCMD 为正方形时，将四边形OCMD 沿着x 轴的正方向移动，设平移的距离为)40<<a a （，正方形OCMD 与△AOB 重叠部分的面积为S ．试求S 与a 的函数关系式并画出该函数的图象．四、关系式问题例4、如图，已知直线的解析式为，直线与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，直线经过B 、C 两点，点C 的坐标为（8，0），又已知点P 在x 轴上从点A 向点C 移动，点Q 在直线从点C 向点B 移动.点P 、Q 同时出发，且移动的速度都为每秒1个单位长度，设移动时间为t 秒（）.（1）求直线的解析式.（2）设△PCQ 的面积为S ，请求出S 关于t 的函数关系式.练习1、（2011?鸡西）已知直线y=x+4与x 轴、B x y MC D OA 图B x yOA 图B x yOA 图y轴分别交于A、B两点，∠ABC=60°，BC与x轴交于点C．（1）试确定直线BC的解析式．（2）若动点P从A点出发沿AC向点C运动（不与A、C重合），同时动点Q从C点出发沿CBA向点A运动（不与C、A重合），动点P的运动速度是每秒1个单位长度，动点Q的运动速度是每秒2个单位长度．设△APQ的面积为S，P点的运动时间为t秒，求S与t的函数关系式，并写出自变量的取值范围．（3）在（2）的条件下，当△APQ的面积最大时，y轴上有一点M，平面内是否存在一点N，使以A、Q、M、N为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出N 点的坐标；若不存在，请说明理由．2、（2011?河池）已知直线l经过A（6，0）和B（0，12）两点，且与直线y=x交于点C．（1）求直线l的解析式；（2）若点P（x，0）在线段OA上运动，过点P作l的平行线交直线y=x于D，求△PCD的面积S与x的函数关系式；S有最大值吗？若有，求出当S最大时x 的值；B y 1yP（3）若点P （x ，0）在x 轴上运动，是否存在点P ，使得△PCA 成为等腰三角形？若存在，请写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．一次函数压轴题训练典型例题题型一、A 卷压轴题 一、A 卷中涉及到的面积问题例1、如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数1223y x =-+与x 轴、y 轴分别相交于点A 和点B ，直线2 (0)y kx b k =+≠经过点C （1，0）且与线段AB 交于点P ，并把△ABO 分成两部分． （1）求△ABO 的面积；（2）若△ABO 被直线CP 分成的两部分的面积相等，求点P 的坐标及直线CP 的函数表达式。
练习1、如图，直线1l 过点A （0，4），点D （4，0），直线2l ：121+=x y 与x 轴交于点C ，两直线1l ，2l 相交于点B 。
（1）、求直线1l 的解析式和点B 的坐标； （2）、求△ABC 的面积。
二、A 卷中涉及到的平移问题例2、 正方形ABCD 的边长为4，将此正方形置于平面直角坐标系中，使AB 边落在X 轴的正半轴上，且A 点的坐标是（1，0）。
(名师整理)最新人教版数学中考冲刺压轴题《一次函数》专题训练(含答案解析)
中考数学二轮复习：《一次函数》压轴专题训练1．如图，将一张边长为8的正方形纸片OABC放在直角坐标系中，使得OA与y轴重合，OC与x轴重合，点P为正方形AB边上的一点（不与点A、点B重合）．将正方形纸片折叠，使点O落在P处，点C 落在G处，PG交BC于H，折痕为EF．连接OP、OH．初步探究（1）当AP＝4时①直接写出点E的坐标；②求直线EF的函数表达式．深入探究（2）当点P在边AB上移动时，∠APO与∠OPH的度数总是相等，请说明理由．拓展应用（3）当点P在边AB上移动时，△PBH的周长是否发生变化？并证明你的结论．2．已知直线y＝2x+b与x轴交于点A，与y轴交于点B，将线段BO绕着点B逆时针旋转90°得到线段BC，过点C作CD⊥x轴于点D，四边形OBCD的面积为36．（1）求直线AB的解析式；（2）点P为线段OD上一点，连接CP，点H为CP上一点，连接BH，且BH＝BC，过点H作CP的垂线交CD、OB于E、F，连接AE、AC，设点P的横坐标为t，△ACE的面积为S，求S与t的函数解析式；（3）在（2）的条件下，连接OH，过点F作FK⊥OH交x轴于点K，若PD＝PK，求点P的坐标．3．如图（1）所示，在A，B两地间有一车站C，甲汽车从A地出发经C站匀速驶往B地，乙汽车从B地出发经C站匀速驶往A地，两车速度相同．如图（2）是两辆汽车行驶时离C站的路程y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系的图象．（1）填空：a＝km，b＝h，AB两地的距离为km；（2）求线段PM、MN所表示的y与x之间的函数表达式（自变量取值范围不用写）；（3）求行驶时间x满足什么条件时，甲、乙两车距离车站C的路程之和最小？4．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A、点B，直线CD与x轴、y轴分别交于分别交于点C、点D，直线AB的解析式为y＝﹣x+5，直线CD的解析式为y＝kx+b（k≠0），两直线交于点E（m，），且OB：OC＝5：4．（1）求直线CD的解析式；（2）将直线CD向下平移一定的距离，使得平移后的直线经过A点，且与y轴交于点F，求四边形AEDF 的面积．5．小明从家去李宁体育馆游泳，同时，妈妈从李宁体育馆以50米/分的速度回家，小明到体育馆后发现要下雨，立即返回，追上妈妈后，小明以250米/分的速度回家取伞，立即又以250米/分的速度折回接妈妈，并一同回家．如图是两人离家的距离y（米）与小明出发的时间x（分）之间的函数图象．（注：小明和妈妈始终在同一条笔直的公路上行走，图象上A、C、D、F四点在一条直线上）（1）求线段OB及线段AF的函数表达式；（2）求C点的坐标及线段BC的函数表达式；（3）当x为时，小明与妈妈相距1500米；（4）求点D坐标，并说明点D的实际意义．6．如图1，已知直线AC：y＝﹣x+b1和直线AB：y＝kx+b2交于x轴上一点A，且分别交y轴于点C、点B，且OB＝2OC＝4．（1）求k的值；＝9时，在线段AC上取一点F，使（2）如图1，点D是直线AB上一点，且在x轴上方，当S△ACD得CF＝FA，点M，N分别为x轴、轴上的动点，连接NF，将△CNF沿NF翻折至△C′NF，求MD+MC′的最小值；（3）如图2，H，P分别为射线AC，AO上的动点，连接PH，PC是否存在这样的点P，使得△PCH 为等腰三角形，△PHA为直角三角形同时成立．请直接写出满足条件的点P坐标．7．如图1，已知直线AC的解析式为y＝﹣x+b，直线BC的解析式为y＝kx﹣2（k≠0），且△BOC的面积为6．（1）求k和b的值；（2）如图1，将直线AC绕A点逆时针旋转90°得到直线AD，点D在y轴上，若点M为x轴上的一个动点，点N为直线AD上的一个动点，当DM+MN+NB的值最小时，求此时点M的坐标及DM+MN+NB 的最小值；（3）如图2，将△AOD沿着直线AC平移得到△A′O′D′，A′D′与x轴交于点P，连接A′D、DP，当△DA′P是等腰三角形时，求此时P点坐标．8．如图，在平面直角坐标系中，直线BC：y＝x+交x轴于点B，点A在x轴正半轴上，OC为△ABC的中线，C的坐标为（m，）（1）求线段CO的长；（2）点D在OC的延长线上，连接AD，点E为AD的中点，连接CE，设点D的横坐标为t，△CDE 的面积为S，求S与t的函数解析式；（3）在（2）的条件下，点F为射线BC上一点，连接DB、DF，且∠FDB＝∠OBD，CE＝，求此时S值及点F坐标．9．在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝k1x+6与x轴、y轴分别交于A、B两点，且OB＝OA，直线l2：y＝k2x+b经过点C（，1），与x轴、y轴、直线AB分别交于点E、F、D三点．（1）求直线l1的解析式；（2）如图1，连接CB，当CD⊥AB时，求点D的坐标和△BCD的面积；（3）如图2，当点D在直线AB上运动时，在坐标轴上是否存在点Q，使△QCD是以CD为底边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．10．如图，直线y＝﹣x+1和直线y＝x﹣2相交于点P，分别与y轴交于A、B两点．（1）求点P的坐标；（2）求△ABP的面积；（3）M、N分别是直线y＝﹣x+1和y＝x﹣2上的两个动点，且MN∥y轴，若MN＝5，直接写出M、N 两点的坐标．11．如图，直线l与x轴、y轴分别交于点A（3，0）、点B（0，2），以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角三角形ABC，∠BAC＝90°，点P（1，a）为坐标系中的一个动点．（1）请直接写出直线l的表达式；（2）求出△ABC的面积；（3）当△ABC与△ABP面积相等时，求实数a的值．12．定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A（a，b），B（c，d），若点T（x，y）满足x＝，y＝，那么称点T是点A和B的融合点．例如：M（﹣1，8），N（4，﹣2），则点T（1，2）是点M和N的融合点．如图，已知点D（3，0），点E是直线y＝x+2上任意一点，点T（x，y）是点D 和E的融合点．（1）若点E的纵坐标是6，则点T的坐标为；（2）求点T（x，y）的纵坐标y与横坐标x的函数关系式：（3）若直线ET交x轴于点H，当△DTH为直角三角形时，求点E的坐标．13．如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+8分别交x轴，y轴于A、B两点，已知A点坐标（6，0），点C在直线AB上，横坐标为3，点D是x轴正半轴上的一个动点，连结CD，以CD为直角边在右侧构造一个等腰Rt△CDE，且∠CDE＝90°．（1）求直线AB的解析式以及C点坐标；（2）设点D的横坐标为m，试用含m的代数式表示点E的坐标；（3）如图2，连结OC，OE，请直接写出使得△OCE周长最小时，点E的坐标．14．如图，在平面直角坐标系中，直线AB经过点A（，）和B（2，0），且与y轴交于点D，直线OC与AB交于点C，且点C的横坐标为．（1）求直线AB的解析式；（2）连接OA，试判断△AOD的形状；（3）动点P从点C出发沿线段CO以每秒1个单位长度的速度向终点O运动，运动时间为t秒，同时动点Q从点O出发沿y轴的正半轴以相同的速度运动，当点Q到达点D时，P，Q同时停止运动．设PQ与OA交于点M，当t为何值时，△OPM为等腰三角形？求出所有满足条件的t值．15．在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线OC：y1＝x交于点C．（1）当直线AB解析式为y2＝﹣x+10时，如图1．①求点C的坐标；②根据图象求出当x满足什么条件时﹣x+10＜x．（2）如图2，作∠AOC的平分线ON，若AB⊥ON，垂足为E，△OAC的面积为9，且OA＝6．P，Q分别为线段OA、OE上的动点，连接AQ与PQ，试探索AQ+PQ是否存在最小值？若存在，求出这个最小值：若不存在，说明理由．参考答案1．解：（1）①设：OE＝PE＝a，则AE＝8﹣a，AP＝4，在Rt△AEP中，由勾股定理得：PE2＝AE2+AP2，即a2＝（8﹣a）2+16，解得：a＝5，故点E（0，5），故答案为：（0，5）；②过点F作FR⊥y轴于点R，折叠后点O落在P处，则点O、P关于直线EF对称，则OP⊥EF，∴∠EFR+∠FER＝90°，而∠FER+∠AOP＝90°，∴∠AOP＝∠EFR，而∠OAP＝∠FRE，RF＝AO，∴△AOP≌△FRE（AAS），∴ER＝AP＝4，OR＝EO﹣OR＝5﹣4＝1，故点F（8，1），将点E、F的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：，解得：，故直线EF的表达式为：y＝﹣x+5；（2）证明：∵PE＝OE，∴∠EOP＝∠EPO．又∵∠EPH＝∠EOC＝90°，∴∠EPH﹣∠EPO＝∠EOC﹣∠EOP．即∠POC＝∠OPH．又∵AB∥OC，∴∠APO＝∠POC．∴∠APO＝∠OPH；（3）解：如图，过O作OQ⊥PH，垂足为Q．由（1）知∠APO＝∠OPH，在△AOP和△QOP中，∠APO＝∠OPH，∠A＝∠OQP，OP＝OP，∴△AOP≌△QOP（AAS）．∴AP＝QP，AO＝OQ．又∵AO＝OC，∴OC＝OQ．又∵∠C＝∠OQH＝90°，OH＝OH，∴△OCH≌△OQH（SAS）．∴CH＝QH．∴△PHB的周长＝PB+BH+PH＝AP+PB+BH+HC＝AB+CB＝16；故答案为：16．2．解：（1）∵将线段BO绕着点B逆时针旋转90°得到线段BC，∴OB＝BC，∠OBC＝90°，∵CD⊥x轴于点D，∴∠CDO＝90°，∵∠BOD＝90°，∴四边形OBCD为正方形，∵四边形OBCD的面积为36．∴OB＝6，∵直线y＝2x+b与y轴交于点B，∴b＝6，∴直线AB的解析式为y＝2x+6；（2）∵直线y＝2x+6与x轴交于点A，∴A（﹣3，0），如图1，过点B作BL⊥CP，垂足为L，交CD于点M，∵BH＝BC，∴CL＝HL，∵BL⊥CP，EF⊥CP，∴BM∥EF，∴CM＝ME，∵∠CBM+∠BMC＝∠BMC+∠MCL＝90°∴∠CBM＝∠PCD，∵∠BCM＝∠PDC，BC＝CD，∴△BCM≌△CDP（ASA），∴CM＝PD，∴PD＝CM＝ME＝6﹣t，∴CE＝2CM＝2（6﹣t），∵AD＝OA+OD＝9，∴S＝＝＝﹣9t+54（0≤t≤6）；（3）设PD＝a，如图2，∵BF∥CD，BM∥EF，∴四边形BFEM是平行四边形，∴BF＝EM＝PD＝a，连接FP，设FK与OH交于A'，∴∠OFP＝45°，∵∠FOP+∠FHP＝180°，∴F、O、P、H四点共圆，∴∠OFP＝∠OHP＝45°，∴∠OHF＝45°，∵FK⊥OH，∴∠FA'H＝90°，∴∠EFK＝45°，如图3，过点E作ER⊥EF交射线FK于点R，∴△EFR为等腰直角三角形，∴EF＝ER，过点F作FG⊥CD于点G，过点R作x轴的平行线交y轴于点Q，交CD的延长线于点N，连接KE、∴∠RNE＝∠FGE＝90°，∠FEG＝∠ERN，∴△EFG≌△REN（AAS），∴EN＝FG，EG＝RN＝PD＝a，∵CG＝BF＝a，GE＝a，∴DN＝CE＝2a＝OQ，OF＝a+b，∵PD＝PK＝a，OD＝CD＝2a+b，∴OK＝b，∵OK∥QR，∴，即，∴b（3a+b）＝（a+b）2，∴a＝b，∴3a＝6，∴a＝2，∴P（4，0）．3．解：（1）两车的速度为：300÷5＝60km/h，a＝60×（7﹣5）＝120，b＝7﹣5＝2，AB两地的距离是：300+120＝420，故答案为：120，2，420；（2）设线段PM所表示的y与x之间的函数表达式是y＝kx+b，，得，即线段PM所表示的y与x之间的函数表达式是y＝﹣60x+300；设线段MN所表示的y与x之间的函数表达式是y＝mx+n，，得，即线段MN所表示的y与x之间的函数表达式是y＝60x﹣300；（3）设DE对应的函数解析式为y＝cx+d，，得，即DE对应的函数解析式为y＝﹣60x+120，设EF对应的函数解析式为y＝ex+f，，得，即EF对应的函数解析式为y＝60x﹣120，设甲、乙两车距离车站C的路程之和为skm，当0≤x≤2时，s＝（﹣60x+300）+（﹣60x+120）＝﹣120x+420，则当x＝2时，s取得最小值，此时s＝180，当2＜x≤5时，s＝（﹣60x+300）+（60x﹣120）＝180，当5≤x≤7时，s＝（60x﹣300）+（60x﹣120）＝120x﹣420，则当x＝5时，s取得最小值，此时s＝180，由上可得，行驶时间x满足2≤x≤5时，甲、乙两车距离车站C的路程之和最小．4．解：（1）将点E（m，）代入直线AB的解析式y＝﹣x+5，解得m＝，∴点E的坐标为（，），OB：OC＝5：4，OB＝5，∴OC＝4，∴点C坐标为（﹣4，0），将点E（，），点C（﹣4，0），代入直线CD的解析式y＝kx+b中，解得所以直线CD解析式为y＝x+2．（2）当y＝0时，﹣x+5＝0，解得x＝8，所以A点坐标为（8，0），∵直线CD向下平移一定的距离，平移后的直线经过A点，且与y轴交于点，∴设直线AF的解析式为y＝x+d，把A（8，0）代入得d＝﹣4，所以直线AF 的解析式为y ＝x ﹣4． 所以点F 的坐标为（0，﹣4）． 如图，作EG ⊥x 轴于点G ， 所以四边形AEDF 的面积为： S 梯形ODEG +S △AEG +S △AOF ＝（2+）×+××（8﹣）+4×8＝32．答：四边形AEDF 的面积为32． 5．解：（1）设OB 的函数表达式为y ＝kx ， 30k ＝3000，得k ＝100，即线段OB 的函数表达式为y ＝100x （0≤x ≤30）； 点F 的横坐标为：3000÷50＝60， 则点F 的坐标为（60，0），设直线AF 的函数表达式为：y ＝k 1x +b 1，，得，即直线AF 的函数表达式为y ＝﹣50x +3000； （2）当x ＝45时，y ＝﹣50×45+3000＝750， 即点C 的坐标为（45，750）， 设线段BC 的函数表达式为y ＝k 2x +b 2，，得，即线段BC 的函数表达式是y ＝﹣150x +7500（30≤x ≤45）；（3）当小明与妈妈相距1500米时，﹣50x +3000﹣100x ＝1500或100x ﹣（﹣50x +3000）＝1500或（﹣150x +7500）﹣（﹣50x +3000）＝1500， 解得：x ＝10或x ＝30，∴当x 为10或30时，小明与妈妈相距1500米． 故答案为：10或30；（4）∵750÷250＝3（分钟），45+3＝48， ∴点E 的坐标为（48，0）∴直线ED 的函数表达式y ＝250（x ﹣48）＝250x ﹣12000， ∵AF 对应的函数解析式为y ＝﹣50x +3000， ∴，得，∴点D 的坐标为（50，500），实际意义：小明将在50分钟时离家500米的地方将伞送到妈妈手里． 6．解：（1）OB ＝2OC ＝4，则点B 、C 的坐标分别为：（0，﹣4）、（0，2），将点C 的坐标代入AC ：y ＝﹣x +b 1并解得： AC 的表达式为：y ＝﹣x +2，令y ＝0，则x ＝6，故点A （6，0），将点B 、A 的坐标代入y ＝kx +b 2得：，解得：，故直线AB 的表达式为：y ＝x ﹣4，即k ＝；（2）由点B 、C 的坐标得，BC ＝6，S △ACD ＝S △BCD ﹣S △BCA ＝×BC ×（x D ﹣x A ）＝×6（x D ﹣6）＝9，解得：x D ＝9， 当x ＝9时，y ＝x ﹣4＝2，故点D （9，2）；CF ＝FA ，即CF ＝AC ＝＝，过点F 作FH ⊥y 轴于点H ，由直线AC的表达式知，∠OCA＝60°，则HF＝CF sin60°＝＝，CH＝，故点F（，），作点D关于x轴的对称点D′（9，﹣2），连接C′D′，当D′、C′、F三点共线时，MD+MC′最小，MD+MC′最小值为D′F﹣F′C′＝D′F﹣CF＝﹣＝﹣；（3）由直线AC的表达式知，∠CAO＝30°，AC＝＝4；①当∠PHA＝90°时，则△PHC为等腰直角三角形，设HP＝CH＝a，则AP＝2HP，HA＝＝a，AC＝CH+HA＝a a＝4，解得：a＝6﹣2，AP＝2a＝12﹣4，则AP＝6﹣（12﹣4）＝4﹣6，故点P（4﹣6，0）；②当∠CPH＝90°时，则CPH为等腰三角形，则HP＝CP，设HP＝CP＝a，则在Rt△PHA中，HA＝2HP＝2a，∵∠CPH＝90°，∴HP∥OC，则，即＝，解得：a＝，PA＝＝a＝4，故点P（2，0）；综上，点P的坐标为：（2，0）或（4﹣6，0）．7．解：（1）直线BC的解析式为y＝kx﹣2，则点C（0，﹣2），将点C的坐标代入y＝﹣x+b得：﹣2＝b，解得：b＝﹣2，故直线AC的表达式为：y＝﹣x﹣2；△BOC的面积＝OB•CO＝2×OB＝6，解得：OB＝6，故点B（6，0），将点B的坐标代入y＝kx﹣2得：0＝6k﹣2，解得：k＝；故k＝，b＝﹣2；（2）将直线AC绕A点逆时针旋转90°得到直线AD，则点D（0，2），由点A、D的坐标得，直线AD的表达式为：y＝x+2；过点B作点B关于直线AD的对称点B′，连接B′C交AD于点N，交x轴于点M，则点M、N为所求点，点C是点D关于x轴的对称点，则MC＝MD，而NB＝NB′，故DM+MN+NB＝MC+MN+NB′＝B′C为最小，直线AD的倾斜角为45°，BB′⊥AC，则AB＝AB′＝8，直线AB′与AD的夹角也为45°，故直线AB′⊥AB，故点B′（﹣2，8），由点B′、C的坐标得，直线B′C的表达式为：y＝﹣5x﹣2，令y＝0，即﹣5x﹣2＝0，解得：x＝﹣，故点M（﹣，0），DM+MN+NB最小值为B′C＝＝2；（3）设△AOD沿着直线AC向右平移m个单位，向下平移m个单位得到△A′O′D′，则点A′（m ﹣2，﹣m），设直线A′D′的表达式为：y＝x+b′，将点A′的坐标代入上式得：﹣m＝m﹣2+b′，解得：b′＝2﹣2m，则直线A′D′的表达式为：y＝x+2﹣2m，令y＝0，则x＝2m﹣2，故点P（2m﹣2，0），而点A′（m﹣2，﹣m），点D（0，2），则A′P2＝2m2，A′D2＝（m﹣2）2+（﹣m﹣2）2＝2m2+8，PD2＝（2m﹣2）2+4；当A′P＝A′D时，2m2＝2m2+8，解得：方程无解；当A′P＝PD时，同理可得：m＝2；当A′D＝PD时，同理可得：m＝0（舍去）或4，综上，点P（2，0）或（6，0）．8．解：（1）∵直线BC：y＝x+交x轴于点B，∴点B坐标（﹣8，0），∵C的坐标为（m，）∴＝x+，∴m＝﹣，∴点C坐标为（﹣，）∴CO＝＝5；（2）如图，∵OC为△ABC的中线，∴BO＝AO＝8，∴S＝×8×＝10，△ACO∵点C坐标为（﹣，），点O坐标（0，0）∴直线CO解析式为：y＝﹣x，∴点D （t ，﹣t ），∴S △AOD ＝×8×（﹣t ）＝﹣4t ，∴S △ACD ＝S △AOD ﹣S △AOC ＝﹣4t ﹣10，∵点E 为AD 的中点， ∴S ＝S △ACD ＝﹣2t ﹣5；（3）∵点D （t ，﹣t ），点A （8，0），点E 是AD 中点，∴点E 坐标（，﹣t ），∵CE ＝，∴（﹣﹣）2+（+t ）2＝13，∴t 1＝﹣6，t 2＝﹣8， ∴点D （﹣6，）或（﹣8，8）， 当t 1＝﹣6时，则点D （﹣6，），S ＝﹣2×（﹣6）﹣5＝7，延长DF 交x 轴于点H ，设点H （x ，0） ∵∠FDB ＝∠OBD ， ∴DH ＝BH ， ∴x +8＝∴x ＝20， ∴点H （20，0），设直线DH 的解析式为：y ＝kx +b ， ∴∴∴直线DH的解析式为：y＝﹣x+，∴x+＝﹣x+，∴x＝，∴点F（，），当t2＝﹣8，点D（﹣8，8），S＝﹣2×（﹣8）﹣5＝11，∵点D（﹣8，8），点B（﹣8，0），∴∠DBO＝90°，∵∠FDB＝∠OBD＝90°，∴DF∥BO，∴点F的纵坐标为8，∴8＝x+，∴x＝，∴点F（，8）．综上所述：点F坐标为（，）或（，8）．9．解：（1）y＝k1x+6，当x＝0时，y＝6，∴OB＝6，∵OB＝OA，∴OA＝2，∴A（﹣2，0），把A（﹣2，0）代入：y＝k1x+6中得：﹣2k1+6＝0，k1＝，∴直线l1的解析式为：y＝x+6；（2）如图1，过C作CH⊥x轴于H，∵C（，1），∴OH＝，CH＝1，Rt△ABO中，AB＝＝4，∴AB＝2OA，∴∠OBA＝30°，∠OAB＝60°，∵CD⊥AB，∴∠ADE＝90°，∴∠AED＝30°，∴EH＝，∴OE＝OH+EH＝2，∴E（2，0），把E（2，0）和C（，1）代入y＝k2x+b中得：，解得：，∴直线l2：y＝﹣x+2，∴F（0，2）即BF＝6﹣2＝4，则，解得，∴D（﹣，3），∴S＝BF（x C﹣x D）＝＝4；△BCD（3）分四种情况：①当Q在y轴的正半轴上时，如图2，过D作DM⊥y轴于M，过C作CN⊥y轴于N，∵△QCD是以CD为底边的等腰直角三角形，∴∠CQD＝90°，CQ＝DQ，∴∠DMQ＝∠CNQ＝90°，∴∠MDQ＝∠CQN，∴△DMQ≌△QNC（AAS），∴DM＝QN，QM＝CN＝，设D（m，m+6）（m＜0），则Q（0，﹣m+1），∴OQ＝QN+ON＝OM+QM，即﹣m+1＝m+6+，m＝＝1﹣2，∴Q（0，2）；②当Q在x轴的负半轴上时，如图3，过D作DM⊥x轴于M，过C作CN⊥x轴于N，同理得：△DMQ≌△QNC（AAS），∴DM＝QN，QM＝CN＝1，设D（m，m+6）（m＜0），则Q（m+1，0），∴OQ＝QN﹣ON＝OM﹣QM，即m+6﹣＝﹣m﹣1，m＝5﹣4，∴Q（6﹣4，0）；③当Q在x轴的负半轴上时，如图4，过D作DM⊥x轴于M，过C作CN⊥x轴于N，同理得：△DMQ≌△QNC（AAS），∴DM＝QN，QM＝CN＝1，设D（m，m+6）（m＜0），则Q（m﹣1，0），∴OQ＝QN﹣ON＝OM+QM，即﹣m﹣6﹣＝﹣m+1，m＝﹣4﹣5，∴Q（﹣4﹣6，0）；④当Q在y轴的负半轴上时，如图5，过D作DM⊥y轴于M，过C作CN⊥y轴于N，同理得：△DMQ≌△QNC（AAS），∴DM＝QN，QM＝CN＝，设D（m，m+6）（m＜0），则Q（0，m+1），∴OQ＝QN﹣ON＝OM+QM，即﹣m﹣6+＝﹣m﹣1，m＝﹣2﹣1，∴Q（0，﹣2）；综上，存在点Q，使△QCD是以CD为底边的等腰直角三角形，点Q的坐标是（0，±2）或（6﹣4，0）或（﹣4﹣6，0）．10．解：（1）∵直线y＝﹣x+1和直线y＝x﹣2相交于点P∴，解之得：，∴P点坐标为：，（2）∵直线y＝﹣x+1和直线y＝x﹣2分别交y轴于A、B两点∴A（0，1），B（0，﹣2），∴AB＝3，由（1）知P∴S △ABP ＝＝；（3）设M （m ，﹣m +1），则N （m ，m ﹣2）， ∵MN ＝5，∴|﹣m +1﹣（m ﹣2）|＝5， 解得m ＝﹣1或m ＝4，∴M （4，﹣3），N （4，2）或M （﹣1，2），N （﹣1，﹣3）． 11．解：（1）将点A 、B 的坐标代入一次函数表达式：y ＝kx +b 得：，解得：，故直线l 的表达式为：；（2）在Rt △ABC 中，由勾股定理得：AB 2＝OA 2+OB 2＝32+22＝13 ∵△ABC 为等腰直角三角形， ∴S △ABC ＝AB 2＝；（3）连接BP ，PO ，PA ，则： ①若点P 在第一象限时，如图1：∵S △ABO ＝3，S △APO ＝a ，S △BOP ＝1， ∴S △ABP ＝S △BOP +S △APO ﹣S △ABO ＝，即，解得；②若点P 在第四象限时，如图2：∵S △ABO ＝3，S △APO ＝﹣a ，S △BOP ＝1， ∴S △ABP ＝S △BOP +S △APO ﹣S △ABO ＝，即，解得a ＝﹣3；故：当△ABC 与△ABP 面积相等时，实数a 的值为或﹣3．12．解：（1）∵点E 是直线y ＝x +2上一点，点E 的纵坐标是6， ∴x +2＝6， 解得，x ＝4，∴点E 的坐标是（4，6），∵点T （x ，y ）是点D 和E 的融合点， ∴x ＝＝，y ＝＝2，∴点T 的坐标为（，2）， 故答案为：（，2）；（2）设点E 的坐标为（a ，a +2）， ∵点T （x ，y ）是点D 和E 的融合点， ∴x ＝，y ＝，解得，a ＝3x ﹣3，a ＝3y ﹣2， ∴3x ﹣3＝3y ﹣2， 整理得，y ＝x ﹣；（3）设点E 的坐标为（a ，a +2），则点T的坐标为（，），当∠THD＝90°时，点E与点T的横坐标相同，∴＝a，解得，a＝，此时点E的坐标为（，），当∠TDH＝90°时，点T与点D的横坐标相同，∴＝3，解得，a＝6，此时点E的坐标为（6，8），当∠DTH＝90°时，该情况不存在，综上所述，当△DTH为直角三角形时，点E的坐标为（，）或（6，8）．13．解：（1）把A（6，0）代入y＝kx+8中，得6k+8＝0，解得：，∴，把x＝3代入，得y＝4，∴C（3，4）；（2）作CF⊥x轴于点F，EG⊥x轴于点G，∵△CDE是等腰直角三角形，∴CD＝DE，∠CDE＝90°，∴∠CDF＝90°﹣∠EDG＝∠DEG，且∠CFD＝∠DGE＝90°，∴△CDF≌△DEG（AAS）∴CF＝DG＝4，DF＝EG＝3﹣m，∴OG＝4+m，∴E（4+m，m﹣3）；（3）点E（4+m，m﹣3），则点E在直线l：y＝x﹣7上，设：直线l交y轴于点H（0，﹣7），过点O作直线l的对称点O′，∵直线l的倾斜角为45°，则HO′∥x轴，则点O′（7，﹣7），连接CO′交直线l于点E′，则点E′为所求点，OC是常数，△OCE周长＝OC+CE+OE＝OC+OE′+CE′＝OC+CE′+O′E′＝OC+CO′为最小，由点C、O′的坐标得，直线CO′的表达式为：y＝﹣x+联立，解得：，故：．14．解：（1）将点A、B的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：，解得：，故直线AB的表达式为：y＝﹣x+2；（2）直线AB的表达式为：y＝﹣x+2，则点D（0，2），由点A、B、D的坐标得：AD2＝1，AO2＝3，DO2＝4，故DO2＝OA2+AD2，故△AOD为直角三角形；（3）直线AB的表达式为：y＝﹣x+2，故点C（，1），则OC＝2，则直线AB的倾斜角为30°，即∠DBO＝30°，则∠ODA＝60°，则∠DOA＝30°故点C（，1），则OC＝2，则点C是AB的中点，故∠COB＝∠DBO＝30°，则∠AOC＝30°，∠DOC＝60°，OQ＝CP＝t，则OP＝OC﹣PC＝2﹣t，①当OP＝OM时，如图1，则∠OMP＝∠MPO＝（180°﹣∠AOC）＝75°，故∠OQP＝45°，过点P作PH⊥y轴于点H，则OH＝OP＝（2﹣t），由勾股定理得：PH＝（2﹣t）＝QH，OQ＝QH+OH＝（2﹣t）+（2﹣t）＝t，解得：t＝；②当MO＝MP时，如图2，则∠MPO＝∠MOP＝30°，而∠QOP＝60°，∴∠OQP＝90°，故OQ＝OP，即t＝（2﹣t），解得：t＝；③当PO＝PM时，则∠OMP＝∠MOP＝30°，而∠MOQ＝30°，故这种情况不存在；综上，t＝或．15．解：（1）①由題意，，解得：，所以C（4，4）．②观察图象可知x＞4时，直线AB位于直线OC的下方，即x＞4时，﹣x+10＜x．（2）由题意，在OC上截取OM＝OP，连结MQ，∵ON平分∠AOC，∴∠AOQ＝∠COQ，又OQ＝OQ．∴△POQ≌△MOQ（SAS），∴PQ＝MQ，∴AQ+PQ＝AQ+MQ，当A、Q、M在同一直銭上，且AM⊥OC吋，AQ+MQ最小，即AQ+PQ存在最小値；∴AB⊥ON，∴∠AEO＝∠CEO，∴△AEO≌△CEO（ASA），∴OC＝OA＝6，∵△OAC的面积为9，∴OC•AM＝9，∴AM＝3，∴AQ+PQ存在最小值，最小值为3．。
一次函数压轴题附答案解析
1．如图1，已知直线y=2x+2与y轴、x轴分别交于A、B两点，以B为直角顶点在第二象限作等腰Rt△ABC（1）求点C的坐标，并求出直线AC的关系式．（2）如图2，直线CB交y轴于E，在直线CB上取一点D，连接AD，若AD=AC，求证：BE=DE．（3）如图3，在（1）的条件下，直线AC交x轴于M，P（，k）是线段BC上一点，在线段BM上是否存在一点N，使直线PN平分△BCM的面积？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．考点：一次函数综合题。
分析：（1）如图1，作CQ⊥x轴，垂足为Q，利用等腰直角三角形的性质证明△ABO≌△BCQ，根据全等三角形的性质求OQ，CQ的长，确定C点坐标；（2）同（1）的方法证明△BCH≌△BDF，再根据线段的相等关系证明△BOE≌△DGE，得出结论；（3）依题意确定P点坐标，可知△BPN中BN变上的高，再由S△PBN=S△BCM，求BN，进而得出ON．解答：解：（1）如图1，作CQ⊥x轴，垂足为Q，∵∠OBA+∠OAB=90°，∠OBA+∠QBC=90°，∴∠OAB=∠QBC，又∵AB=BC，∠AOB=∠Q=90°，∴△ABO≌△BCQ，∴BQ=AO=2，OQ=BQ+BO=3，CQ=OB=1，∴C（﹣3，1），由A（0，2），C（﹣3，1）可知，直线AC：y=x+2；（2）如图2，作CH⊥x轴于H，DF⊥x轴于F，DG⊥y轴于G，∵AC=AD，AB⊥CB，∴BC=BD，∴△BCH≌△BDF，∴BF=BH=2，∴OF=OB=1，∴DG=OB，∴△BOE≌△DGE，∴BE=DE；（3）如图3，直线BC：y=﹣x﹣，P（，k）是线段BC上一点，∴P（﹣，），由y=x+2知M（﹣6，0），∴BM=5，则S△BCM=．假设存在点N使直线PN平分△BCM的面积，则BN•=×，∴BN=，ON=，∵BN＜BM，∴点N在线段BM上，∴N（﹣，0）．点评：本题考查了一次函数的综合运用．关键是根据等腰直角三角形的特殊性证明全等三角形，利用全等三角形的性质求解．3．如图直线ℓ：y=kx+6与x轴、y轴分别交于点B、C，点B的坐标是（﹣8，0），点A的坐标为（﹣6，0）（1）求k的值．（2）若P（x，y）是直线ℓ在第二象限内一个动点，试写出△OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（3）当点P运动到什么位置时，△OPA的面积为9，并说明理由．考点：一次函数综合题；待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积。
一次函数综合压轴题型
一次函数综合压轴题型一次函数综合压轴题型一次函数作为高中数学中必须掌握的基础知识之一，往往是各种数学题型的基础。
特别是在高考中，往往会出现一些综合性的题目，需要考生在一次函数的基础上，综合运用知识点来解答问题。
本文将介绍一道典型的一次函数综合压轴题型，并详细阐述解题思路，帮助读者更好地掌握一次函数的知识点。
【题目】已知函数$f(x)=kx+b$，其中$k>0$，$b>0$。
已知直线$y=kx$与曲线$y=f(x)$在点$P(3,5)$处相切，且直线$y=b$与曲线$y=f(x)$在点$Q$处相交。
若点$Q$到$x$轴的距离为$8$，求$k$和$b$的值。
【解题思路】1. 求函数$f(x)$在点$P(3,5)$处的导数，即为直线$y=kx$的斜率。
由相切条件可知，曲线在点$P(3,5)$处的切线与直线$y=kx$重合，因此二者的斜率相等。
函数$f(x)$在点$P(3,5)$处的导数可以表示为：$$f'(3)=k$$2. 利用函数$f(x)$在点$Q$处的函数值求解$b$的值。
函数$f(x)$在点$Q$处的函数值为直线$y=b$的纵坐标，因此可以利用函数$f(x)$与直线$y=b$的交点求解。
设$x_{Q}$为点$Q$的横坐标，则有：$$\begin{cases}f(x_{Q})=b\\kx_{Q}+b=b\end{cases}$$化简得到$x_{Q}=-\dfrac{b}{k}$，代入已知条件$Q$到$x$轴的距离为$8$中，可得：$$\left|-\dfrac{b}{k}\right|=8$$注意到题目中给定$k>0$，$b>0$，因此有$b=-8k$。
3. 利用函数$f(x)$在点$P$处的函数值求解$k$的值。
函数$f(x)$在点$P$处的函数值为$5$，因此可以利用函数$f(x)$和直线$y=b$的交点坐标求解。
设交点坐标为$(x_{1},-8k)$，则有：$$\begin{cases}f(x_{1})=-8k\\kx_{1}-8k=-8k\end{cases}$$化简得到$k=\dfrac{5}{3}$。
第五章 一次函数压轴题考点训练(含解析)
第五章 一次函数压轴题考点训练1．对任意实数a ，直线y =(a −1)x +3−2a 一定经过点（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知点、点在一次函数的图像上，且，则m 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．3．已知一次函数y ＝kx ＋b ，当0≤x≤2时，对应的函数值y 的取值范围是－2≤y≤4，则k 的值为( )A ．3B ．－3C ．3或－3D ．不确定4．若一次函数（都是常数）的图象经过第一、二、四象限，则一次函数的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．5．甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步500米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发2秒．在跑步过程中，甲、乙两人的距离y （米）与乙出发的时间t （秒）之间的关系如图所示，给出以下结论：①a=8；②b=92；③c=123；④乙的速度比甲的速度快1米/秒，其中正确的编号是( )A ．①②B ．②③C ．①②③D ．①②③④6．将直线y =2x 向下平移2个单位，所得直线的函数表达式是_____．7．在如图所示的平面直角坐标系中，点是直线上的动点，，B(2，0)是轴上的两点，()0,1()1,2()2,1()3,0()11,P y -()23,Q y (21)2y m x =-+12y y >12m <12m >m 1≥1m <y kx b =+k b ，y bx k =+P y x =()0A 1，x则的最小值为______．8．如图，△A 1B 1A 2，△A 2B 2A 3，△A 3B 3A 4，...，△A n B n A n+1都是等腰直角三角形，其中点A 1、A 2、…、A n ，在x 轴上，点B 1、B 2、…B n 在直线y=x 上，已知OA 1=1，则OA 2019的长是_____.9．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(0，6)，将△OAB 沿x 轴向左平移得到△O ′A ′B ′，点A的对应点A ′落在直线上，则点B 与其对应点B ′间的距离为___________．10．A 、B 两地之间的路程为2480米，甲、乙两人分别从A 、B 两地出发，相向而行，已知甲先出发4分钟后，乙才出发，他们两人在A 、B 之间的C 地相遇，相遇后，甲立即返回A 地，乙继续向A 地前行甲到达A 地时停止行走，乙到达A 地时也停止行走，在整个行走过程中，甲、乙两人均保持各自的速度匀速行走，甲、乙两人相距的路程y （米）与甲出发的时间x （分钟）之间的关系如图所示，则乙到达A 地时，甲与A 地相距的路程是___米．11．如图，直线l 1的解析表达式为y =-3x +3，且l 1与x 轴交于点D ，直线l 2经过点A ，B ，直线l 1，l 2，交于点C ．（1）求点D的坐标；PA PB +34y x =-（2）求直线l2的解析表达式；（3）求△ADC的面积．12．如图，直线l1的函数解析式为y=﹣2x+4，且l1与x轴交于点D，直线l2经过点A、B，直线l1、l2交于点C．（1）求直线l2的函数解析式；（2）求△ADC的面积；（3）在直线l2上是否存在点P，使得△ADP面积是△ADC面积的2倍？如果存在，请求出P坐标；如果不存在，请说明理由．13．如图，一次函数y=-2x+4与x轴y轴相交于A，B两点，点C在线段AB上，且∠COA=45°．(1)求点A，B的坐标；(2)求△AOC的面积；(3)直线OC上有一动点D，过点D作直线l(不与直线AB重合)与x，y轴分别交于点E，F，当△OEF 与△ABO全等时，求直线EF的解析式．14．一辆货车和一辆小轿车同时从甲地出发，货车匀速行驶至乙地，小轿车中途停车休整后提速行驶至乙地．它们行驶的路程y (km)与时间x (h)的对应关系如图11所示．(1)甲、乙两地相距多远？小轿车中途停留了多长时间？(2)①写出货车行驶的路程y 1(km)与x (h)之间的函数解析式；②当5≤x ≤6.5时，求小轿车行驶的路程y 2(km)与x (h)之间的函数解析式．(3)货车出发多长时间与小轿车首次相遇？相遇时距离甲地多远？15．某学校计划购买若干台电脑，现从两家商场了解到同一种型号的电脑报价均为6000元，并且多买都有一定的优惠.各商场的优惠条件如下表所示：商场优惠条件甲商场第一台按原价收费，其余的每台优惠25%乙商场每台优惠20%(1)设学校购买台电脑，选择甲商场时，所需费用为元，选择乙商场时，所需费用为元，请分x 1y 2y别求出，与之间的关系式.(2)什么情况下，两家商场的收费相同？什么情况下，到甲商场购买更优惠？什么情况下，到乙商场购买更优惠？(3)现在因为急需，计划从甲乙两商场一共买入10台电脑，已知甲商场的运费为每台50元，乙商场的运费为每台60元，设总运费为元，从甲商场购买台电脑，在甲商场的库存只有4台的情况下，怎样购买，总运费最少？最少运费是多少？一次函数压轴题考点训练1．对任意实数a ，直线y =(a −1)x +3−2a 一定经过点（ ）A ．B ．C ．D ．1y 2y x w a ()0,1()1,2()2,1()3,0【答案】C【详解】解：∵y =ax -x +3-2a = a （x -2）-x +3，∴当x =2时，y =1，∴直线y =(a −1)x +3−2a 都经过平面内一个定点（2，1）；故选：C ．2．已知点、点在一次函数的图像上，且，则m 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【详解】∵点P （-1，y 1）、点Q （3，y 2）在一次函数y=（2m-1）x+2的图象上，∴当-1＜3时，由题意可知y 1＞y 2，∴y 随x 的增大而减小，∴2m-1＜0，解得m ＜，故选：A ．3．已知一次函数y ＝kx ＋b ，当0≤x≤2时，对应的函数值y 的取值范围是－2≤y≤4，则k 的值为( )A ．3B ．－3C ．3或－3D ．不确定【答案】C【详解】根据题意分以下两种情况解答即可：（1）∵在y ＝kx ＋b 中，当x=0时，y=-2；当x=2时，y=4，∴ ，解得： ；（2）∵在当x=0时，y=4；当x=2时，y=-2，∴ ，解得 .综上所述，k 的值为3或-3.故选C.4．若一次函数（都是常数）的图象经过第一、二、四象限，则一次函数的图象大致是（ ）()11,P y -()23,Q y (21)2y m x =-+12y y >12m <12m >m 1≥1m <12224b k b =-⎧⎨+=⎩32k b =⎧⎨=-⎩422b k b =⎧⎨+=-⎩34k b =-⎧⎨=⎩y kx b =+k b ，y bx k =+A ．B ．C ．D ．【答案】B【详解】根据一次函数经过一、二、四象限，则函数值随的增大而减小，可得；图像与轴的正半轴相交则，因而一次函数的一次项系数，随的增大而增大，经过一三象限，常数，则函数与轴的负半轴，因而一定经过一、三、四象限，故选：B ．5．甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步500米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发2秒．在跑步过程中，甲、乙两人的距离y （米）与乙出发的时间t （秒）之间的关系如图所示，给出以下结论：①a=8；②b=92；③c=123；④乙的速度比甲的速度快1米/秒，其中正确的编号是( )A ．①②B ．②③C ．①②③D ．①②③④【答案】D 【详解】解：甲的速度为：8÷2＝4（米/秒）；乙的速度为：500÷100＝5（米/秒）；b ＝5×100﹣4×（100+2）＝92（米）；5a ﹣4×（a+2）＝0，解得a ＝8，c ＝100+92÷4＝123（秒），∴正确的有①②③④．故选D ．6．将直线y =2x 向下平移2个单位，所得直线的函数表达式是_____．【答案】y =2x ﹣2．【详解】解：根据一次函数的平移，上加下减，可知一次函数的表达式为y=2x-2.7．在如图所示的平面直角坐标系中，点是直线上的动点，，B(2，0)是轴上的两点，y kx b =+y x 0k <y 0b >y bx k =+0b >y x 0k <y P y x =()0A 1，x则的最小值为______．【详解】如图，直线y=x 是第一三象限的角平分线，作点A 关于直线y=x 的对称点交y 轴于点C ，连接BC交直线y=x 于一点即是点P ，此时的值最小，即是线段BC ，∵点A （1,0），∴点C （0,1），即OC=1，∵B （2,0），∴OB=2，∴,8．如图，△A 1B 1A 2，△A 2B 2A 3，△A 3B 3A 4，...，△A n B n A n+1都是等腰直角三角形，其中点A 1、A 2、…、A n ，在x 轴上，点B 1、B 2、…B n 在直线y=x 上，已知OA 1=1，则OA 2019的长是_____.【答案】22018【详解】解：∵直线为y=x ，∴∠B 1OA 1=45°，∵△A 2B 2A 3，∴B 2A 2⊥x 轴，∠B 2A 3A 2=45°，∴△OA 2B 2是等腰直角三角形，△OA 3B 2是等腰直角三角形，∴OA 3=2A 2B 2=2OA 2=2×2=4，同理可求OA 4=2OA 3=2×4=23，…，所以，OA 2019=22018．故答案为22018.PA PB +PA PB +==9．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(0，6)，将△OAB 沿x 轴向左平移得到△O ′A ′B ′，点A的对应点A ′落在直线上，则点B 与其对应点B ′间的距离为___________．【答案】8【详解】由题意可知，点A 移动到点A ′位置时，纵坐标不变，∴点A ′的纵坐标为6，代入，得：，解得x =-8，∴△OAB 沿x 轴向左平移得到△O ′A ′B ′位置，移动了8个单位，∴点B 与其对应点B ′间的距离为8．故答案为8．10．A 、B 两地之间的路程为2480米，甲、乙两人分别从A 、B 两地出发，相向而行，已知甲先出发4分钟后，乙才出发，他们两人在A 、B 之间的C 地相遇，相遇后，甲立即返回A 地，乙继续向A 地前行甲到达A 地时停止行走，乙到达A 地时也停止行走，在整个行走过程中，甲、乙两人均保持各自的速度匀速行走，甲、乙两人相距的路程y （米）与甲出发的时间x （分钟）之间的关系如图所示，则乙到达A 地时，甲与A 地相距的路程是___米．【答案】300．【详解】甲的速度为（2480﹣2240）÷4＝60（米/分钟），乙的速度为（2240﹣840）÷（14﹣4）﹣60＝80（米/分钟），甲、乙相遇的时间为4+2240÷（60+80）＝20（分钟），A 、C 两地之间的距离为60×20＝1200（米），乙到达A 地时，甲与A 地相距的路程为1200﹣1200÷80×60＝300（米）．故答案为300．11．如图，直线l 1的解析表达式为y =-3x +3，且l 1与x 轴交于点D ，直线l 2经过点A ，B ，直线l 1，l 2，34y x =-34y x =-364x =-交于点C ．（1）求点D 的坐标；（2）求直线l 2的解析表达式；（3）求△ADC 的面积．【答案】（1）D （1，0）；（2）；（3）【详解】解：（1）由y =-3x +3，令y =0，得-3x +3=0，∴x =1，∴D （1，0）；（2）设直线的表达式为，由题意知：直线过A 、B 两点，由图可知：A （4，0），B （3，），将A 、B 两点代入，可得：，解得，∴求直线的解析表达式为．（3）由题意知：直线的解析式为：，将y =0代入，-3x +3=0，得x =1，∴D 点坐标为（1，0），联立方程，得x =2，y =-3，∴C （2，-3），∵AD =3，C （2，-3），∴.12．如图，直线l 1的函数解析式为y=﹣2x +4，且l 1与x 轴交于点D ，直线l 2经过点A 、B ，直线l 1、l2交于点C ．（1）求直线l 2的函数解析式；（2）求△ADC 的面积；（3）在直线l 2上是否存在点P ，使得△ADP 面积是△ADC 面积的2倍？如果存在，请求出P 坐标；如果不存在，请说明理由．362y x =-922l y kx b =+2l 32-40332k b k b +=⎧⎪⎨+=-⎪⎩326k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩2l 362y x =-1l 33y x =-+33362y x y x =-+⎧⎪⎨=-⎪⎩193322ADC S =⨯⨯-=△【答案】（1）直线l 2的函数解析式为y=x ﹣5（2）3（3）在直线l 2上存在点P （1，﹣4）或（9，4），使得△ADP 面积是△ADC 面积的2倍．【解析】试题解析：（1）设直线l 2的函数解析式为y=kx+b ，将A （5，0）、B （4，﹣1）代入y=kx+b ，，解得： ，∴直线l 2的函数解析式为y=x ﹣5．（2）联立两直线解析式成方程组， ，解得： ，∴点C 的坐标为（3，﹣2）．当y=﹣2x+4=0时，x=2，∴点D 的坐标为（2，0）．∴S △ADC=AD•|y C |=×（5﹣2）×2=3．（3）假设存在．∵△ADP 面积是△ADC 面积的2倍，∴|y P |=2|y C |=4，当y=x ﹣5=﹣4时，x=1，此时点P 的坐标为（1，﹣4）；当y=x ﹣5=4时，x=9，此时点P 的坐标为（9，4）．综上所述：在直线l 2上存在点P （1，﹣4）或（9，4），使得△ADP 面积是△ADC 面积的2倍．13．如图，一次函数y=-2x+4与x 轴y 轴相交于A ，B 两点，点C 在线段AB 上，且∠COA=45°．(1)求点A ，B 的坐标；(2)求△AOC 的面积；(3)直线OC 上有一动点D ，过点D 作直线l(不与直线AB 重合)与x ，y 轴分别交于点E ，F ，当△OEF 与△ABO 全等时，求直线EF 的解析式．5041k b k b +=⎧⎨+=-⎩15k b =⎧⎨=-⎩245y x y x =-+⎧⎨=-⎩32x y =⎧⎨=-⎩1212【答案】(1)A(2，0)；B(0，4)；(2)S △AOC=；(3)直线EF 的解析式为y=-x+2或y=-2x-4或y=2x-4或-2x+4或y=-x-2或y=x-2或y=x+2．【详解】解：(1)在直线y=-2x+4中，当x=0时y=4，则B(0，4)，当y=0时，-2x+4=0，解得x=2，A(2，0)；(2)设C(a ，-2a+4)，如图1，过点C 作CM ⊥OA 于点M ，∵∠COA=45°，∴OM=CM ，则a=-2a+4，解得a=，∴CM=OM=，∴S △AOC =OA•CM=×2×=；(3)设直线EF 解析式为y=kx+b ，如图2，①当△AOB ≌△F 1OE 1时，OB=OE 1=4，OA=OF 1=2，则E 1(4，0)，F 1(0，2)，代入y=kx+b 得，解得，此时直线EF 解析式为y=-x+2，同理直线EF 关于x 轴的对称直线y=x-2也符合题意；②当△AOB ≌△E 2OF 2时，OB=OF 2=4，OA=OE 2=2，则E 2(-2，0)，F 2(0，-4)，代入y=kx+b ，得：，解得 此时直线EF 解析式为y=-2x-4，同理直线EF 关于y 轴的对称直线y=2x-4和关于x 轴的对称直线y=-2x+4也符合要求；③当△AOB ≌△F 3OE 3时，OB=OE 3=4，OA=OF 3=2，则E 1(-4，0)，F 1(0，-2)，43121212124343121243434k b 0{b 2 +==122k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩121220b 4k b -+=⎧⎨=-⎩24.k b =-⎧⎨=-⎩代入y=kx+b ，得：，解得，此时直线EF 解析式为y=-x-2，同理直线EF 关于x 轴的对称直线y=x+2也符合要求；综上，直线EF 的解析式为y=-x+2或y=-2x-4或y=2x-4或-2x+4或y=-x-2或y=x-2或y=x+2．14．一辆货车和一辆小轿车同时从甲地出发，货车匀速行驶至乙地，小轿车中途停车休整后提速行驶至乙地．它们行驶的路程y (km)与时间x (h)的对应关系如图11所示．(1)甲、乙两地相距多远？小轿车中途停留了多长时间？(2)①写出货车行驶的路程y 1(km)与x (h)之间的函数解析式；②当5≤x ≤6.5时，求小轿车行驶的路程y 2(km)与x (h)之间的函数解析式．(3)货车出发多长时间与小轿车首次相遇？相遇时距离甲地多远？【答案】（1）甲、乙两地相距420 km ，小轿车中途停留了2 h ；（2）①y 1＝60x (0≤x ≤7)；②当5≤x ≤6.5时，y 2＝100x －230；③货车出发4.5 h 后与小轿车首次相遇，相遇时距离甲地270 km【详解】(1)由图可知，甲、乙两地相距420 km ，小轿车中途停留了2 h.(2)①设y 1＝kx+b(k ),代入（7,420）得k=60,∴y 1＝60x(0≤x≤7)．②∵当x ＝5.75时，y 1＝60×5.75＝345，∴函数交点为（5.75,345）,当5≤x≤6.5时，设y 2＝kx ＋b ，∵y 2的图象经过点(5.75，345)，(6.5，420)，∴ 解得 ∴当5≤x≤6.5时，y 2＝100x －230.(3)当x ＝5时，y 2＝100×5－230＝270，即小轿车在停车休整(3≤x≤5)时，离甲地270 km ，当x ＝3时，y 1＝180；当x ＝5时，y 1＝300，∴货车在3≤x≤5时会与小轿车相遇，令270＝60x ，解得x ＝4.5；当0＜x ＜3时，小轿车的速度为270÷3＝90(km/h)，而货车速度为60 km/h ，∴货车在0＜x ＜3时不会与小轿车相遇．综上可知，货车出发4.5 h 后与小轿车首次相遇，相遇时距离甲地270 km.4k b 02,b -+=⎧⎨=-⎩122k b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩1212121212120≠5.75345,6.5420,k b k b +=⎧⎨+=⎩100,230,k b =⎧⎨=-⎩15．某学校计划购买若干台电脑，现从两家商场了解到同一种型号的电脑报价均为6000元，并且多买都有一定的优惠.各商场的优惠条件如下表所示：商场优惠条件甲商场第一台按原价收费，其余的每台优惠25%乙商场每台优惠20%(1)设学校购买台电脑，选择甲商场时，所需费用为元，选择乙商场时，所需费用为元，请分别求出，与之间的关系式.(2)什么情况下，两家商场的收费相同？什么情况下，到甲商场购买更优惠？什么情况下，到乙商场购买更优惠？(3)现在因为急需，计划从甲乙两商场一共买入10台电脑，已知甲商场的运费为每台50元，乙商场的运费为每台60元，设总运费为元，从甲商场购买台电脑，在甲商场的库存只有4台的情况下，怎样购买，总运费最少？最少运费是多少？【答案】（1）y 1=4500x+1500；y 2=4800x ；（2）答案见解析；（3）从甲商场买4台，从乙商场买6台时，总运费最少，最少运费是560元【详解】解：（1）y 1=6000+（1-25%）×6000（x -1）=4500x +1500；y 2=（1-20%）×6000x =4800x ；（2）设学校购买x 台电脑，若到甲商场购买更优惠，则：4500x +1500＜4800x ，解得：x ＞5，即当购买电脑台数大于5时，甲商场购买更优惠；若到乙商场购买更优惠，则：4500x +1500＞4800x ，解得：x ＜5，即当购买电脑台数小于5时，乙商场购买更优惠；若两家商场收费相同，则：4500x +1500=4800x ，解得：x =5，即当购买5台时，两家商场的收费相同；（3）w =50a +（10-a ）60=600-10a ，当a 取最大时，费用最小，∵甲商场只有4台，∴a 取4，W =600-40=560，即从甲商场买4台，从乙商场买6台时，总运费最少，最少运费是560元．x 1y 2y 1y 2y x w a。
一次函数中考压轴题
1、有六个学生分成甲、乙两组（每组三个人），分乘两辆出租车同时从学校出发去距学校60km 的博物馆参观，10分钟后到达距离学校12km 处有一辆汽车出现故障，接着正常行驶的一辆车先把第一批学生送到博物馆再回头接第二批学生，同时第二批学生步行12km 后停下休息10分钟恰好与回头接他们的小汽车相遇，当第二批学生到达博物馆时，恰好已到原计划时间．设汽车载人和空载时的速度不变，学生步行速度不变，汽车离开学校的路程s （千米）与汽车行驶时间t （分钟）之间的函数关系如图，假设学生上下车时间忽略不计．(1)原计划从学校出发到达博物馆的时间是 ▲ 分钟；(2)求汽车在回头接第二批学生途中的速度；(3)假设学生在步行途中不休息且步行速度每分钟减小0.04km ，汽车载人时和空载时速度不变，问能否经过合理的安排，使得学生从学校出发全部到达目的地的时间比原计划时间早10分钟？如果能，请简要说出方案，并通过计算说明；如果不能，简要说明理由．（1）100 （2）1.8km/min (3)能够合理安排.方案：从故障点开始，在第二批学生步行的同时出租车先把第一批学生送到途中放下，让他们步行，再回头接第二批学生，当两批学生同时到达博物馆，时间可提前10分钟． ………6分理由：设从故障点开始第一批学生乘车t 1分钟，汽车回头时间为t 2分钟，由题意得：⎩⎨⎧=++=++12212112.18.1)(2.048)(2.02.1t t t t t t t .解得：⎩⎨⎧==163221t t . ………7分 从出发到达博物馆的总时间为：10+2×32+16=90(分钟) .2、我市某校根据规划设计，修建一条1200米长的校园道路。
甲队单独施工5天后，为了能提前完成任务，邀请乙队加入施工，乙队的工作效率是甲队的23，图中线段OA、AB分别表示甲队单独施工与两队合作施工所完成的工作量与施工天数之间的函数关系。
(1)求甲队每天铺路多少米？(2)求图中线段AB所表示的函数关系式？(3)若甲队施工一天，需付工程款8000元，乙队施工一天需付工程款5000元，该工程计划在26天内完成，请你设计方案：在不超过计划天数的前提下，如何安排甲乙两队的施工天数(天数为正．．．．整数．．)，使完成该项工程的费用最省？3、某客船往返于A、B两码头，在A、B间有旅游码头C．客船往返过程中，船在C、B处停留时间忽略不计，设客船离开码头A的距离s（千米）与航行的时间t（小时）之间的函数关系如图所示．根据图象提供的信息，解答下列问题：⑴船只从码头A→B，航行的速度为▲千米/时；船只从码头B→A，航行的速度为▲千米/时；⑵过点C作CH∥t轴，分别交AD、DF于点G、H，设AC=x，GH=y，求出y与x之间的函数关系式；⑶若旅游码头C设在离A码头30千米处，一旅游团队在旅游码头C分两组行动，一组乘橡皮艇漂流而下，另一组乘船到达码头B后，立即返回．①求船只往返C、B两处所用的时间；②两组在途中相遇，求相遇时船只离旅游码头C有多远．4、5、邮递员小王从县城出发骑自行车去A村投递，途中遇到县城中学的学生李明从A村步行返校.小王在A村完成投递工作后，在返回途中又遇到李明，便用自行车载上李明一起去县城，结果小王比预计的时间晚到了1分钟.两人与县城间的距离y（km）和小王从县城出发后所用时间x(分钟)之间的函数关系如下图.假设两人之间交流的时间不计.(1)两人第一次相遇时距县城多远？(2)小王从县城出发到返回县城共用多少时间？(3)李明从A村到县城共用了多少时间？x20 30 60 806、已知A 、B 两地相距300千米，甲、乙两车同时从A 地出发，以各自的速度匀速往返两地．甲车先到达B 地，停留1小时后按原路返回．设两车行驶的时间为x 小时，离开A 地的距离是y 千米，如图是y 与x 的函数图象.(1)计算甲、乙两车的速度；(2)几小时后两车相遇； (3)在从开始出发到两车相遇的过程中，设两车之间的距离为s 千米，乙车行驶的时间为t 小时，求S 与t 之间的函数关系式．（1）甲车速度为100千米/小时，乙车速度为60千米/小时 (2)348小时两车相遇 法一：300460410060-⨯++=348 法二：联立两个函数关系式10070060y x y x=-+⎧⎨=⎩，解得348x = (3)当03t ≤≤时，S=40t ，当34t <≤时，S=30060t -，当344t <≤时，S=160700t -+—x （小时）7、A 、B 两座城市之间有一条高速公路，甲、乙两辆汽车同时分别从这条路两端的入口处驶入，并始终在高速公路上正常行驶．甲车驶往B 城，乙车驶往A 城，甲车在行驶过程中速度始终不变．甲车距B 城高速公路入口处的距离y （千米）与行驶时间x （时）之间的关系如图．(1)求y 关于x 的表达式；(2)已知乙车以60千米/时的速度匀速行驶，设行驶过程中，两车相距的路程为s （千米）．请直接写出s 关于x 的表达式；(3)当乙车按（2）中的状态行驶与甲车相遇后，速度随即改为a （千米/时）并保持匀速行驶，结果比甲车晚40分钟到达终点，求乙车变化后的速度a ．在下图中画出乙车离开B 城高速公路入口处的距离y （千米）与行驶时间x （时）之间的函数图象．解：（1）方法一：由图知y 是x 的一次函数，设y kx b =+．图象经过点（0，300），（2，120），∴3002120b k b =⎧⎨+=⎩，．2分 解得90300k b =-⎧⎨=⎩，．3分 ∴90300y x =-+．即y 关于x 的表达式为90300y x =-+．方法二：由图知，当0x =时，300y =；2x =时，120y =．所以，这条高速公路长为300千米． 甲车2小时的行程为300－120=180（千米）． ∴甲车的行驶速度为180÷2=90（千米／时）．∴y 关于x 的表达式为30090y x =-（90300y x =-+）．（2）150300s x =-+．（3）在150300s x =-+中．当0s =时，2x =．即甲乙两车经过2小时相遇．在90300y x =-+中，当1003y x ==，． 所以，相遇后乙车到达终点所用的时间为1022233+-=（小时）乙车与甲车相遇后的速度 ()300260290a =-⨯÷=（千米/时）．∴90a =（千米/时）． 乙车离开B 城高速公路入口处的距离y （千米）与行驶时间 x （时）之间的函数图象如图所示．8、9、甲车从A 地驶往C 地，在C 停留一段时间后，返回A 地，乙车从B 地经C 地驶往A 地，两车同时出发，相向而行，同时到达C 地。
一次函数压轴题练习(试卷)
一次函数压轴题精选1．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y=2x +2与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ．直线l ⊥x 轴负半轴于点C ，点D 是直线l 上一点且位于x 轴上方．已知CO=CD=4．（1）求经过A ，D 两点的直线的函数关系式和点B 的坐标；（2）在直线l 上是否存在点P 使得△BDP 为等腰三角形，若存在，直接写出P 点坐标，若不存在，请说明理由．2．如图，直线L ：y=﹣x +2与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，在y 轴上有一点N （0，4），动点M 从A 点以每秒1个单位的速度匀速沿x 轴向左移动．（1）点A 的坐标：；点B 的坐标：；（2）求△NOM 的面积S 与M 的移动时间t 之间的函数关系式；（3）在y 轴右边，当t 为何值时，△NOM ≌△AOB ，求出此时点M 的坐标；（4）在（3）的条件下，若点G 是线段ON 上一点，连结MG ，△MGN 沿MG 折叠，点N 恰好落在x 轴上的点H 处，求点G的坐标．3．如图①，平面直角坐标系中，O为原点，点A坐标为（﹣4，0），AB∥y轴，点C 在y轴上，一次函数y=x+3的图象经过点B、C．（1）点C的坐标为，点B的坐标为；（2）如图②，直线l经过点C，且与直线AB交于点M，O'与O关于直线l对称，连接CO'并延长，交射线AB于点D．①求证：△CMD是等腰三角形；②当CD=5时，求直线l的函数表达式．4．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y=﹣2x+8的图象与x轴，y轴分别交于点A，点C，过点A作AB⊥x轴，垂足为点A，过点C作CB⊥y轴，垂足为点C，两条垂线相交于点B．（1）线段AB，BC，AC的长分别为AB=，BC=，AC=；（2）折叠图1中的△ABC，使点A与点C重合，再将折叠后的图形展开，折痕DE交AB于点D，交AC于点E，连接CD，如图2．请从下列A、B两题中任选一题作答，我选择题．A：①求线段AD的长；②在y轴上，是否存在点P，使得△APD为等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．B：①求线段DE的长；②在坐标平面内，是否存在点P（除点B外），使得以点A，P，C为顶点的三角形与△ABC全等？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，一次函数y=x +6的图象交x 轴于点A 、交y 轴于点B ，∠ABO 的平分线交x 轴于点C ，过点C 作直线CD ⊥AB ，垂足为点D ，交y 轴于点E ．（1）求直线CE 的解析式；（2）在线段AB 上有一动点P （不与点A ，B 重合），过点P 分别作PM ⊥x 轴，PN ⊥y 轴，垂足为点M 、N ，是否存在点P ，使线段MN 的长最小？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图1，已知▱ABCD ，AB ∥x 轴，AB=6，点A 的坐标为（1，﹣4），点D 的坐标为（﹣3，4），点B 在第四象限，点P 是▱ABCD 边上的一个动点．（1）若点P 在边BC 上，PD=CD ，求点P 的坐标．（2）若点P 在边AB ，AD 上，点P 关于坐标轴对称的点Q 落在直线y=x ﹣1上，求点P 的坐标．（3）若点P 在边AB ，AD ，CD 上，点G 是AD 与y 轴的交点，如图2，过点P 作y 轴的平行线PM ，过点G 作x 轴的平行线GM ，它们相交于点M ，将△PGM 沿直线PG 翻折，当点M 的对应点落在坐标轴上时，求点P 的坐标．（直接写出答案）7．如图1，在直角坐标系中放入一个边长AB长为6，BC长为10的矩形纸片ABCD，B点与坐标原点O重合．将纸片沿着折痕AE翻折后，点D恰好落在x轴上，记为F．（1）求折痕AE所在直线与x轴交点的坐标；（2）求过D，F的直线解析式；（3）将矩形ABCD水平向右移动m个单位，则点B坐标为（m，0），其中m＞0．如图2所示，连接OA，若△OAF是等腰三角形，求m的值．8．阅读理解：运用“同一图形的面积相等”可以证明一些含有线段的等式成立，这种解决问题的方法我们称之为面积法．如图1，在等腰△ABC中，AB=AC，AC边上的高为h，点M为底边BC上的任意一点，点M到腰AB、AC的距离分别为h1、h2，连接AM，利用S△ABC=S△ABM+S△ACM，可以得出结论：h=h1+h2．类比探究：在图1中，当点M在BC的延长线上时，猜想h、h1、h2之间的数量关系并证明你的结论．拓展应用：如图2，在平面直角坐标系中，有两条直线l1：y=x+3，l2：y=﹣3x+3，若l2上一点M到l1的距离是1，试运用“阅读理解”和“类比探究”中获得的结论，求出点M的坐标．9．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO 为正方形，A 点坐标为（0，2），点P 为x 轴负半轴上一动点，以AP 为直角作等腰直角三角形APD ，∠APD=90°（点D 落在第四象限）（1）当点P 的坐标为（﹣1，0）时，求点D 的坐标；（2）点P 在移动的过程中，点D 是否在直线y=x ﹣2上？请说明理由；（3）连接OB 交AD 于点G ，求证：AG=DG．10．如图所示，在平面直角坐标系中，过点A （﹣，0）的两条直线分别交y 轴于B 、C 两点，且B 、C 两点的纵坐标分别是一元二次方程x 2﹣2x ﹣3=0的两个根（Ⅰ）试问：直线AC 与直线AB 是否垂直？请说明理由；（Ⅱ）若点D 在直线AC 上，且DB=DC ，求点D 的坐标；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，在直线BD 上寻找点P ，使以A 、B 、P 三点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出P点的坐标．11．（1）模型建立，如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CB=CA，直线ED 经过点C，过A作AD⊥ED于D，过B作BE⊥ED于E．求证△BEC≌△CDA；（2）模型应用：①已知直线y=x+4与y轴交于A点，与x轴交于B点，将线段AB绕点B逆时针旋转90度，得到线段BC，过点A，C作直线，求直线AC的解析式；②如图3，矩形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为（8，6），A，C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，已知点D在第一象限，且是直线y=2x﹣6上的一点，若△APD是不以A为直角顶点的等腰Rt△，请直接写出所有符合条件的点D的坐标．12．将一个直角三角形纸片ABO，放置在平面直角坐标系中，点A （，0），点B（0，3），点O（0，0）（1）过边OB上的动点D（点D不与点B，O重合）作DE丄OB交AB于点E，沿着DE折叠该纸片，点B落在射线BO上的点F处．①如图，当D为OB中点时，求E点的坐标；②连接AF，当△AEF为直角三角形时，求E点坐标；（2）P是AB边上的动点（点P不与点B重合），将△AOP沿OP所在的直线折叠，得到△A′OP，连接BA′，当BA′取得最小值时，求P点坐标（直接写出结果即可）．13．如图1，在平面直角坐标系中，点A 坐标为（﹣4，4），点B 的坐标为（4，0）．（1）求直线AB 的解析式；（2）点M 是坐标轴上的一个点，若AB 为直角边构造直角三角形△ABM ，请求出满足条件的所有点M 的坐标；（3）如图2，以点A 为直角顶点作∠CAD=90°，射线AC 交x 轴的负半轴与点C ，射线AD 交y 轴的负半轴与点D ，当∠CAD 绕点A 旋转时，OC ﹣OD 的值是否发生变化？若不变，直接写出它的值；若变化，直接写出它的变化范围（不要解题过程）．14．如图1，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，长方形OACB 的顶点A 、B 分别在x 轴与y 轴上，已知OA=6，OB=10．点D 为y 轴上一点，其坐标为（0，2），点P 从点A 出发以每秒2个单位的速度沿线段AC ﹣CB 的方向运动，当点P 与点B 重合时停止运动，运动时间为t 秒．（1）当点P 经过点C 时，求直线DP 的函数解析式；（2）①求△OPD 的面积S 关于t 的函数解析式；②如图②，把长方形沿着OP 折叠，点B 的对应点B′恰好落在AC 边上，求点P 的坐标．（3）点P 在运动过程中是否存在使△BDP 为等腰三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．15．如图，在直角坐标系中，点A的坐标是（0，2），点C是x轴上的一个动点，点C在x轴上移动时，始终保持△ACP是等边三角形，当点C移动到点O时，得到等边三角形AOB（此时点P与点B重合）．（1）直线AB：y=mx+n与直线OB：y=kx相交于点B，不解关于x，y的方程组，请你求出它的解；（2）点C在移动的过程中，当等边三角形ACP的顶点P在第三象限时（如图所示），求证：△AOC≌△ABP；由此你发现什么结论？（3）求点C在x轴上移动时，点P所在函数图象的解析式．16．在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+4交x轴，y轴分别于点A，点B，将△AOB绕坐标原点逆时针旋转90°得到△COD，直线CD交直线AB于点E，如图1：（1）求：直线CD的函数关系式；（2）如图2，连接OE，过点O作OF⊥OE交直线CD于点F，如图2，①求证：∠OEF=45°；②求：点F的坐标；（3）若点P是直线DC上一点，点Q是x轴上一点（点Q不与点O重合），当△DPQ和△DOC全等时，直接写出点P的坐标．17．已知，Rt △OAB 的两直角边OA 、OB 分别在x 轴和y 轴上，如图1，A ，B 坐标分别为（﹣2，0），（0，4），将△OAB 绕O 点顺时针旋转90°得△OCD ，连接AC 、BD 交于点E ．（1）求证：△ABE ≌△DCE ．（2）M 为直线BD 上动点，N 为x 轴上的点，若以A ，C ，M ，N 四点为顶点的四边形是平行四边形，求出所有符合条件的M 点的坐标．（3）如图2，过E 点作y 轴的平行线交x 轴于点F ，在直线EF 上找一点P ，使△PAC 的周长最小，求P点坐标和周长的最小值．18．平面直角坐标系中，直线l 1：y=﹣x +3与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，直线l 2：y=kx +2k 与x 轴交于点C ，与直线l 1交于点P ．（1）当k=1时，求点P 的坐标；（2）如图1，点D 为PA 的中点，过点D 作DE ⊥x 轴于E ，交直线l 2于点F ，若DF=2DE ，求k 的值；（3）如图2，点P 在第二象限内，PM ⊥x 轴于M ，以PM 为边向左作正方形PMNQ ，NQ 的延长线交直线l 1于点R ，若PR=PC ，求点P的坐标．19．如图，直线y=kx +k 交x 轴，y 轴分别于A ，C ，直线BC 过点C 交x 轴于B ，OC=3OA ，∠CBA=45°．（1）求直线BC 的解析式；（2）动点P 从A 出发沿射线AB 匀速运动，速度为2个单位/秒，连接CP ，设△PBC 的面积为S ，点P 的运动时间为t 秒，求S 与t 之间的函数关系式，直接写出t 的取值范围；（3）在（2）的条件下，当点P 在AB 的延长线上运动时，过点O 作OD ⊥PC 于D ，交BC 于点E ，连接AE ，当∠EAB=∠CPA 时，在坐标轴上有点K ，且KC=KP ，求点K的坐标．20．如图，平面直角坐标系中，直线AB ：y=﹣x +b 交y 轴于点A （0，1），交x 轴于点B ，过点E （1，0）作x 轴的垂线EF 交AB 于点D ，点P 从D 出发，沿着射线ED 的方向向上运动，设PD=n ．（1）求直线AB 的表达式；（2）求△ABP 的面积（用含n 的代数式表示）；（3）若以P 为直角顶点，PB 为直角边在第一象限作等腰直角△BPC ，请问随着点P 的运动，点C 是否也在同一直线上运动？若在同一直线上运动，请求出直线解析式；若不在同一直线上运动，请说明理由．21．如图1，已知正方形ABCD 的边长为1，点E 在边BC 上，若∠AEF=90°，且EF 交正方形外角的平分线CF 于点F ．（1）如图1，若点E 是边BC 的中点，M 是边AB 的中点，连接EM ，求证：AE=EF ．（2）如图2，若点E 在射线BC 上滑动（不与点B ，C 重合）．①在点E 滑动过程中，AE=EF 是否一定成立？请说明理由；②在如图所示的直角坐标系中，当点E 滑动到某处时，点F 恰好落在直线y=﹣2x +6上，求此时点F的坐标．22．如图，将一个正方形纸片OABC 放置在平面直角坐标系中，其中A （1，0），C （0，1），P 为AB 边上一个动点，折叠该纸片，使O 点与P 点重合，折痕l 与OP 交于点M ，与对角线AC 交于Q 点（Ⅰ）若点P 的坐标为（1，），求点M 的坐标；（Ⅱ）若点P 的坐标为（1，t ）①求点M 的坐标（用含t 的式子表示）（直接写出答案）②求点Q 的坐标（用含t 的式子表示）（直接写出答案）（Ⅲ）当点P 在边AB 上移动时，∠QOP 的度数是否发生变化？如果你认为不发生变化，写出它的角度的大小．并说明理由；如果你认为发生变化，也说明理由．23．如图，边长为1的正方形OABC的顶点O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上．动点D在线段BC上移动（不与B，C重合），连接OD，过点D作DE⊥OD，交边AB于点E，连接OE．记CD的长为t．（1）当t=时，求直线DE的函数表达式：（2）如果记梯形COEB的面积为S，那么是否存在S的最大值？若存在，请求出这个最大值及此时t的值；若不存在，请说明理由；（3）当OD2+DE2取最小值时，求点E的坐标．24．如图1，已知直线y=2x+2与y轴、x轴分别交于A、B两点，以B为直角顶点在第二象限作等腰Rt△ABC（1）求点C的坐标，并求出直线AC的关系式．（2）如图2，直线CB交y轴于E，在直线CB上取一点D，连接AD，若AD=AC，求证：BE=DE．（3）如图3，在（1）的条件下，直线AC交x轴于M，P （，k）是线段BC上一点，在线段BM上是否存在一点N，使直线PN平分△BCM的面积？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．25．如图，在平面直角坐标系中，直线OA的函数表达式为y=2x，直线AB的函数表达式为y=﹣3x+b，点B 的坐标为．点P沿折线OA﹣AB运动，且不与点O和点B重合．设点P的横坐标为m，△OPB的面积为S．（1）请直接写出b的值．（2）求点A的坐标．（3）求S与m之间函数关系，并直接写出对应的自变量m的取值范围．（4）过点P作OB边的高线把△OPB分成两个三角形，当其中一个是等腰直角三角形时，直接写出所有符合条件的m的值．26．如图①，直线AB与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于A、B两点，OA、OB的长度分别为a和b，且满足a2﹣2ab+b2=0．（1）判断△AOB的形状；（2）如图②，△COB和△AOB关于y轴对称，D点在AB上，点E在BC上，且AD=BE，试问：线段OD、OE是否存在某种确定的数量关系和位置关系？写出你的结论并证明；（3）将（2）中∠DOE绕点O旋转，使D、E分别落在AB，BC延长线上（如图③），∠BDE与∠COE有何关系？直接说出结论，不必说明理由．27．如图，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，点A 的坐标为（4，0），点B 的坐标为（0，b ）（b ＞0），点P 是直线AB 上位于第二象限内的一个动点，过点P 作PC ⊥x 轴于点C ，记点P 关于y 轴的对称点为Q ，设点P 的横坐标为a ．（1）当b=3时，①求直线AB 的解析式；②若QO=QA ，求P 点的坐标．（2）是否同时存在a 、b ，使得△QAC 是等腰直角三角形？若存在，求出所有满足条件的a 、b的值；若不存在，请说明理由．28．如图，平面直角坐标系中，已知直线y=x 上一点P （1，1），C 为y 轴上一点，连接PC ，线段PC 绕点P 顺时针旋转90°至线段PD ，过点D 作直线AB ⊥x 轴，垂足为B ；直线AB 与直线y=x 交于点A ，连接CD ，直线CD 与直线y=x 交于点Q ．（1）求证：OB=OC ；（2）当点C 坐标为（0，3）时，求点Q 的坐标；（3）当△OPC ≌△ADP 时，直接写出C点的坐标．29．如图1，直线AB ：y=﹣x ﹣b 分别与x ，y 轴交于A （6，0）、B 两点，过点B 的直线交x 轴负半轴与C ，且OB ：OC=3：1．（1）求直线BC 的函数表达式；（2）直线EF ：y=x ﹣k （k ≠0）交直线AB 于E ，交直线BC 于点F ，交x 轴于D ，是否存在这样的直线EF ，使得S △EBD =S △FBD ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．（3）如图2，P 为x 轴上A 点右侧的一动点，以P 为直角顶点，BP 为一腰在第一象限内作等腰直角三角形△BPQ ，连接QA 并延长交y 轴于点K ．当P 点运动时，K 点的位置是否发生变化？如果不变请求出它的坐标；如果变化，请说明理由．30．如图，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，点A 的坐标是（﹣8，0），点B 的坐标是（0，n ）（n ＞0）．P 是直线AB 上的一个动点，作PC ⊥x 轴，垂足为C ．记点P 关于y 轴的对称点为P′（点P′不在y 轴上），连接PP′，P′A ，P′C ．设点P 的横坐标为m ．（1）若点P 在第一象限，记直线AB 与P′C 的交点为D ．当P′D ：DC=5：13时，求m 的值；（2）若∠ACP′=60°，试用m 的代数式表示n ；（3）若点P 在第一象限，是否同时存在m ，n ，使△P′CA 为等腰直角三角形？若存在，请求出所有满足要求的m ，n的值；若不存在，请说明理由．31．如图①所示，直线L ：y=m （x +10）与x 轴负半轴、y 轴正半轴分别交于A 、B 两点．（1）当OA=OB 时，试确定直线L 的解析式；（2）在（1）的条件下，如图②所示，设Q 为AB 延长线上一点，作直线OQ ，过A 、B 两点分别作AM ⊥OQ 于M ，BN ⊥OQ 于N ，若AM=8，BN=6，求MN 的长；（3）当m 取不同的值时，点B 在y 轴正半轴上运动，分别以OB 、AB 为边，点B 为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角△OBF 和等腰直角△ABE ，连EF 交y 轴于P 点，如图③．问：当点B 在y 轴正半轴上运动时，试猜想PB 的长是否为定值？若是，请求出其值；若不是，说明理由．32．如图，一次函数的函数图象与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，以线段AB为直角边在第一象限内作Rt △ABC ，且使∠ABC=30°；（1）如果点P （m ，）在第二象限内，试用含m 的代数式表示四边形AOPB 的面积，并求当△APB 与△ABC 面积相等时m 的值；（2）如果△QAB 是等腰三角形并且点Q 在坐标轴上，请求出点Q 所有可能的坐标；（3）是否存在实数a ，b 使一次函数和y=ax +b 的图象关于直线y=x 对称？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．。
一次函数压轴题1
一次函数压轴题11、如图1所示，直线2y x b =+与x 轴交于点E ，与y 轴交于点A ，△AOE 的面积为4，点D 是直线AE 在第一象限上的一点，以AD 为边，在第一象限内作等腰Rt △ADC.（1）求b 的值；（2）若AD ＝AE ，试求点C 坐标；（3）如图2，设直线AC 交x 轴于P 点，当D 点在第一象限内沿直线AE 运动时，其它条件不变，P 点位置是否发生改变？如果不变，请求出P 点坐标；如果改变，请指出P 点移动的范围.2、如图（1），在平面直角坐标系中，y=-x+2交y 轴于A ，交x 轴于B ，线段AB 中点M （－1，1）.（1）求直线AB 关于y 轴对称直线AC 的解析式；（2）图（1）中若P 为x 轴上的动点，要使PM PA +最小，求点P 的坐标；（3）如图（2），在（1）的条件下，若动点E 、F 分别在线段AB 、AC 上，现有两个条件：①OE ＝OF ；②OE ⊥OF.请你选择一个条件作已知，使2AEOF S =四边形成立，请证明.3、如图①所示，直线1y x =+交x 轴于点A ，交y 轴于点C ，OB ＝3OA ，M 在直线AC 上，AC ＝CM.（1）求直线BM 的解析式；（2）如图①所示，点N 在MB 的延长线上，BN ＝AC ，连CN 交x 轴于点P ，求点P 的坐标；（3）如图②所示，连OM ，在直线BM 上是否存在点K ，使得∠MOK＝45°，若存在，求点K 的坐标，若不存在，说明理由.4、如图，直线1l 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，直线2l 与直线1l 关于x 轴对称，已知直线1l 的解析式为3y x =+，（1）求直线2l 的解析式；（2）过A 点在△ABC 的外部作一条直线3l ，过点B 作BE ⊥3l 于E,过点C 作CF ⊥3l 于F 分别，请画出图形并求证：BE ＋CF ＝EF ；（3）△ABC 沿y 轴向下平移，AB 边交x 轴于点P ，过P 点的直线与AC 边的延长线相交于点Q ，与y 轴相交与点M ，且BP ＝CQ ，在△ABC 平移的过程中，①OM 为定值；②MC 为定值。
一次函数相关的中考压轴题(含分析和答案)
一次函数相关的中考压轴题(含分析和答案)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1一次函数是初中数学的重点内容之一，也是中考的主要考点。
现举几例以一次函数为背景的中考压轴题供同学们在中考复习时参考一．解答题（共30小题）1．在平面直角坐标系中，△AOC中，∠ACO=90°．把AO绕O点顺时针旋转90°得OB，连接AB，作BD⊥直线CO 于D，点A的坐标为（﹣3，1）．（1）求直线AB的解析式；（2）若AB中点为M，连接CM，动点P、Q分别从C点出发，点P沿射线CM以每秒个单位长度的速度运动，点Q沿线段CD以每秒1个长度的速度向终点D运动，当Q点运动到D点时，P、Q同时停止，设△PQO的面积为S（S≠0），运动时间为T秒，求S与T的函数关系式，并直接写出自变量T的取值范围；（3）在（2）的条件下，动点P在运动过程中，是否存在P点，使四边形以P、O、B、N（N为平面上一点）为顶点的矩形？若存在，求出T的值．2．如图1，已知直线y=2x+2与y轴、x轴分别交于A、B两点，以B为直角顶点在第二象限作等腰Rt△ABC（1）求点C的坐标，并求出直线AC的关系式．（2）如图2，直线CB交y轴于E，在直线CB上取一点D，连接AD，若AD=AC，求证：BE=DE．（3）如图3，在（1）的条件下，直线AC交x轴于M，P（，k）是线段BC上一点，在线段BM上是否存在一点N，使直线PN平分△BCM的面积？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图直线ℓ：y=kx+6与x轴、y轴分别交于点B、C，点B的坐标是（﹣8，0），点A的坐标为（﹣6，0）（1）求k的值．（2）若P（x，y）是直线ℓ在第二象限内一个动点，试写出△OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．（3）当点P运动到什么位置时，△OPA的面积为9，并说明理由．4．如图，在平面直角坐标系xoy中，点A（1，0），点B（3，0），点，直线l经过点C，（1）若在x轴上方直线l上存在点E使△ABE为等边三角形，求直线l所表达的函数关系式；（2）若在x轴上方直线l上有且只有三个点能和A、B构成直角三角形，求直线l所表达的函数关系式；（3）若在x轴上方直线l上有且只有一个点在函数的图形上，求直线l所表达的函数关系式．5．如图1，直线y=﹣kx+6k（k＞0）与x轴、y轴分别相交于点A、B，且△AOB的面积是24．（1）求直线AB的解析式；（2）如图2，点P从点O出发，以每秒2个单位的速度沿折线OA﹣OB运动；同时点E从点O出发，以每秒1个单位的速度沿y轴正半轴运动，过点E作与x轴平行的直线l，与线段AB相交于点F，当点P与点F重合时，点P、E均停止运动．连接PE、PF，设△PEF的面积为S，点P运动的时间为t秒，求S与t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；（3）在（2）的条件下，过P作x轴的垂线，与直线l相交于点M，连接AM，当tan∠MAB=时，求t值．6．首先，我们看两个问题的解答：问题1：已知x＞0，求的最小值．问题2：已知t＞2，求的最小值．问题1解答：对于x＞0，我们有：≥．当，即时，上述不等式取等号，所以的最小值．问题2解答：令x=t﹣2，则t=x+2，于是．由问题1的解答知，的最小值，所以的最小值是．弄清上述问题及解答方法之后，解答下述问题：在直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b（k＞0，b＞0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且使得△OAB的面积值等于|OA|+|OB|+3．（1）用b表示k；（2）求△AOB面积的最小值．7．如图①，过点（1，5）和（4，2）两点的直线分别与x轴、y轴交于A、B两点．（1）如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点．图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数有_________个（请直接写出结果）；（2）设点C（4，0），点C关于直线AB的对称点为D，请直接写出点D的坐标_________；（3）如图②，请在直线AB和y轴上分别找一点M、N使△CMN的周长最短，在图②中作出图形，并求出点N 的坐标．8．如图，已知AOCE，两个动点B同时在D的边上按逆时针方向A运动，开始时点F在点FA位置、点Q在点O 位置，点P的运动速度为每秒2个单位，点Q的运动速度为每秒1个单位．（1）在前3秒内，求△OPQ的最大面积；（2）在前10秒内，求x两点之间的最小距离，并求此时点P，Q的坐标．9．若直线y=mx+8和y=nx+3都经过x轴上一点B，与y轴分别交于A、C（1）填空：写出A、C两点的坐标，A_________，C_________；（2）若∠ABO=2∠CBO，求直线AB和CB的解析式；（3）在（2）的条件下若另一条直线过点B，且交y轴于E，若△ABE为等腰三角形，写出直线BE的解析式（只写结果）．10．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标为（﹣4，0），点B的坐标为（0，b）（b＞0）． P是直线AB上的一个动点，作PC⊥x轴，垂足为C．记点P关于y轴的对称点为P'（点 P'不在y轴上），连接P P'，P'A，P'C．设点P的横坐标为a．（1）当b=3时，求直线AB的解析式；（2）在（1）的条件下，若点P'的坐标是（﹣1，m），求m的值；（3）若点P在第一像限，是否存在a，使△P'CA为等腰直角三角形？若存在，请求出所有满足要求的a的值；若不存在，请说明理由．11．如图，四边形OABC为直角梯形，BC∥OA，A（9，0），C（0，4），AB=5．点M从点O出发以每秒2个单位长度的速度向点A运动；点N从点B同时出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．（1）求直线AB的解析式；（2）t为何值时，直线MN将梯形OABC的面积分成1：2两部分；（3）当t=1时，连接AC、MN交于点P，在平面内是否存在点Q，使得以点N、P、A、Q为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．12．如图所示，在平面直角坐标系中，已知点A（0，6），点B（8，0），动点P从A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O运动，同时动点Q从B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A运动，设运动的时间为t秒．（1）求直线AB的解析式；（2）当t为何值时，△APQ与△ABO相似？13．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，P（x，y），PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，C（a，0），点E在y轴上，点D，F在x轴上，AD=OB=2FC，EO是△AEF的中线，AE交PB于点M，﹣x+y=1．（1）求点D的坐标；（2）用含有a的式子表示点P的坐标；（3）图中面积相等的三角形有几对？14．如图，在直角坐标平面中，Rt△ABC的斜边AB在x轴上，直角顶点C在y轴的负半轴上，cos∠ABC=，点P在线段OC上，且PO、OC的长是方程x2﹣15x+36=0的两根．（1）求P点坐标；（2）求AP的长；（3）在x轴上是否存在点Q，使四边形AQCP是梯形？若存在，请求出直线PQ的解析式；若不存在，请说明理由．15．已知函数y=（6+3m）x+（n﹣4）．（1）如果已知函数的图象与y=3x的图象平行，且经过点（﹣1，1），先求该函数图象的解析式，再求该函数的图象与y=mx+n的图象以及y轴围成的三角形面积；（2）如果该函数是正比例函数，它与另一个反比例函数的交点P到轴和轴的距离都是1，求出m和n的值，写出这两个函数的解析式；（3）点Q是x轴上的一点，O是坐标原点，在（2）的条件下，如果△OPQ是等腰直角三角形，写出满足条件的点Q的坐标．16．如图，Rt△OAC是一张放在平面直角坐标系中的直角三角形纸片，点O与原点重合，点A在x轴上，点C在y轴上，OA和OC是方程的两根（OA＞OC），∠CAO=30°，将Rt△OAC折叠，使OC边落在AC边上，点O与点D重合，折痕为CE．（1）求线段OA和OC的长；（2）求点D的坐标；（3）设点M为直线CE上的一点，过点M作AC的平行线，交y轴于点N，是否存在这样的点M，使得以M、N、D、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．17．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，△AOB为等腰三角形，且OA=OB，过点B作y轴的垂线，垂足为D，直线AB的解析式为y=﹣3x+30，点C在线段BD上，点D关于直线OC的对称点在腰OB上．（1）求点B坐标；（2）点P沿折线BC﹣OC以每秒1个单位的速度运动，当一点停止运动时，另一点也随之停止运动．设△PQC的面积为S，运动时间为t，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；（3）在（2）的条件下，连接PQ，设PQ与OB所成的锐角为α，当α=90°﹣∠AOB时，求t值．（参考数据：在（3）中，取．）18．如图，在平面直角坐标系中，直线l经过点A（2，﹣3），与x轴交于点B，且与直线平行．（1）求：直线l的函数解析式及点B的坐标；（2）如直线l上有一点M（a，﹣6），过点M作x轴的垂线，交直线于点N，在线段MN上求一点P，使△PAB是直角三角形，请求出点P的坐标．19．已知如图，直线y=﹣x+4与x轴相交于点A，与直线y=x相交于点P．（1）求点P的坐标；（2）求S△OPA的值；（3）动点E从原点O出发，沿着O→P→A的路线向点A匀速运动（E不与点O、A重合），过点E分别作EF⊥x轴于F，EB⊥y轴于B．设运动t秒时，F的坐标为（a，0），矩形EBOF与△OPA重叠部分的面积为S．求：S与a之间的函数关系式．20．如图，在平面直角坐标系中，点A（2，0），C（0，1），以OA、OC为边在第一象限内作矩形OABC，点D（x，0）（x＞0），以BD为斜边在BD上方做等腰直角三角形BDM，作直线MA交y轴于点N，连接ND．（1）求证：①A、B、M、D四点在同一圆周上；②ON=OA；（2）若0＜x≤4，记△NDM的面积为y，试求y关于x的函数关系式，并求出△NDM面积的最大值；（3）再点D运动过程中，是否存在某一位置，使DM⊥DN？若存在，请求出此时点D的坐标；若不存在，请说明理由．21．如图（1），直线y=kx+1与y轴正半轴交于A，与x轴正半轴交于B，以AB为边作正方形ABCD．（1）若C（3，m），求m的值；（2）如图2，连AC，作BM⊥AC于M，E为AB上一点，CE交BM于F，若BE=BF，求证：AC+AE=2AB；（3）经过B、C两点的⊙O1交AC于S，交AB的延长线于T，当⊙O1的大小发生变化时，的值变吗？若不变证明并求其值；若变化，请说明理由．22．如图：直线y=﹣x+18分别与x轴、y轴交于A、B两点；直线y=2x分别与AB交于C点，与过点A且平行于y轴的直线交于D点．点E从点A出发，以每秒1个单位的速度沿x轴向左运动，过点E作x轴的垂线，分别交直线AB、OD于P、Q，以PQ为边向右作正方形PQMN，设正方形PQMN与△ACD重叠部分（阴影部分）的面积为S（平方单位），点E的运动时间为t（秒）．（1）当0＜t＜12时，求S与t之间的函数关系式；（2）求（1）中S的最大值；（3）当t＞0时，若点（10，10）落在正方形PQMN的内部，求t的取值范围．23．直线l：y=﹣x+3分别交x轴、y轴于B、A两点，等腰直角△CDM斜边落在x轴上，且CD=6，如图1所示．若直线l以每秒3个单位向上作匀速平移运动，同时点C从（6，0）开始以每秒2个单位的速度向右作匀速平移运动，如图2所示，设移动后直线l运动后分别交x轴、y轴于Q、P两点，以OP、OQ为边作如图矩形OPRQ．设运动时间为t秒．（1）求运动后点M、点Q的坐标（用含t的代数式表示）；（2）若设矩形OPRQ与运动后的△CDM的重叠部分面积为S，求S与t的函数关系式，并写出t相应的取值范围；（3）若直线l和△CDM运动后，直线l上存在点T使∠OTC=90°，则当在线段PQ上符合条件的点T有且只有两个时，求t的取值范围．24．如图，将边长为4的正方形置于平面直角坐标系第一象限，使AB边落在x轴正半轴上，且A点的坐标是（1，0）．（1）直线经过点C，且与x轴交于点E，求四边形AECD的面积；（2）若直线l经过点E，且将正方形ABCD分成面积相等的两部分，求直线l的解析式；（3）若直线l1经过点F（）且与直线y=3x平行．将（2）中直线l沿着y轴向上平移1个单位，交x轴于点M，交直线l1于点N，求△NMF的面积．25．如图，直线l1的解析表达式为：y=﹣3x+3，且l1与x轴交于点D，直线l2经过点A，B，直线l1，l2交于点C．（1）求直线l2的解析表达式；（2）求△ADC的面积；（3）在直线l2上存在异于点C的另一点P，使得△ADP与△ADC的面积相等，求出点P的坐标；（4）若点H为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点H，使以A、D、C、H为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．26．如图，直线y=x+6与x轴、y轴分别相交于点E、F，点A的坐标为（﹣6，0），P（x，y）是直线y=x+6上一个动点．（1）在点P运动过程中，试写出△OPA的面积s与x的函数关系式；（2）当P运动到什么位置，△OPA的面积为，求出此时点P的坐标；（3）过P作EF的垂线分别交x轴、y轴于C、D．是否存在这样的点P，使△COD≌△FOE？若存在，直接写出此时点P的坐标（不要求写解答过程）；若不存在，请说明理由．27．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线OC：y=x交于点C．（1）若直线AB解析式为y=﹣2x+12，①求点C的坐标；②求△OAC的面积．（2）如图，作∠AOC的平分线ON，若AB⊥ON，垂足为E，△OAC的面积为6，且OA=4，P、Q分别为线段OA、OE上的动点，连接AQ与PQ，试探索AQ+PQ是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，说明理由．28．已知直角梯形OABC在如图所示的平面直角坐标系中，AB∥OC，AB=10，OC=22，BC=15，动点M从A点出发，以每秒一个单位长度的速度沿AB向点B运动，同时动点N从C点出发，以每秒2个单位长度的速度沿CO 向O点运动．当其中一个动点运动到终点时，两个动点都停止运动．（1）求B点坐标；（2）设运动时间为t秒；①当t为何值时，四边形OAMN的面积是梯形OABC面积的一半；②当t为何值时，四边形OAMN的面积最小，并求出最小面积；③若另有一动点P，在点M、N运动的同时，也从点A出发沿AO运动．在②的条件下，PM+PN的长度也刚好最小，求动点P的速度．29．如图，在平面直角坐标系xoy中，直线AP交x轴于点P（p，0），交y轴于点A（0，a），且a、b满足．（1）求直线AP的解析式；（2）如图1，点P关于y轴的对称点为Q，R（0，2），点S在直线AQ上，且SR=SA，求直线RS的解析式和点S的坐标；（3）如图2，点B（﹣2，b）为直线AP上一点，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，点C在第一象限，D为线段OP上一动点，连接DC，以DC为直角边，点D为直角顶点作等腰三角形DCE，EF⊥x轴，F为垂足，下列结论：①2DP+EF的值不变；②的值不变；其中只有一个结论正确，请你选择出正确的结论，并求出其定值．30．如图，已知直线l1：y=﹣x+2与直线l2：y=2x+8相交于点F，l1、l2分别交x轴于点E、G，矩形ABCD顶点C、D分别在直线l1、l2，顶点A、B都在x轴上，且点B与点G重合．（1）求点F的坐标和∠GEF的度数；（2）求矩形ABCD的边DC与BC的长；（3）若矩形ABCD从原地出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为t（0≤t≤6）秒，矩形ABCD与△GEF重叠部分的面积为s，求s关于t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围．答案与评分标准一．解答题（共30小题）1．在平面直角坐标系中，△AOC中，∠ACO=90°．把AO绕O点顺时针旋转90°得OB，连接AB，作BD⊥直线CO于D，点A的坐标为（﹣3，1）．（1）求直线AB的解析式；（2）若AB中点为M，连接CM，动点P、Q分别从C点出发，点P沿射线CM以每秒个单位长度的速度运动，点Q沿线段CD以每秒1个长度的速度向终点D运动，当Q点运动到D点时，P、Q同时停止，设△PQO的面积为S（S≠0），运动时间为t秒，求S与t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；（3）在（2）的条件下，动点P在运动过程中，是否存在P点，使四边形以P、O、B、N（N为平面上一点）为顶点的矩形？若存在，求出T的值．考点：一次函数综合题。
第六章一次函数(动点、全等、三角形存在性问题压轴)(原卷版)
第六章 一次函数（压轴题专练）一、动点函数问题1．如图，在长方形ABCD 中，动点P 从A 出发，以一定的速度，沿A B C D A ®®®®方向运动到点A 处停止（提示：当点P 在AB 上运动时，点P 到DC 的距离始终等于AD 和BC ）．设点P 运动的路程为x ，PCD V 的面积为y ，如果y 与x 之间的关系如图所示，那么长方形ABCD 的面积为（ ）A ．6B ．9C ．15D ．182．已知动点H 以每秒x 厘米的速度沿图1的边框（边框拐角处都互相垂直）按从A B C D E F -----的路径匀速运动，相应的HAF △的面积 ()2cm S 关于时间(s)t 的关系图象如图2，已知8cm AF =，则下列说法正确的有几个（ ）①动点H 的速度是2cm/s ；②BC 的长度为3cm ；③b 的值为14；④在运动过程中，当HAF △的面积是230cm 时，点H 的运动时间是3.75s 和1025s .．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．如图1，四边形ABCD 中，90DAB ∠=︒，AB CD ∥，点P 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度，沿路线A -B-C -D 运动.设P 点的运动时间为ts ，PAD V 的面积为S ，当P 运动到BC 的中点时，PAD V 的面积为A ．7B ．7.5C ．84．如图，在长为形ABCD 中，5cm 16cm AB AD ==，，点3cm 4cm AM AE ==，，连线CE ，动点P 从点B 出发，以运动到点A 即停止运动，连接MP ，设点P 运动的时间为(1)如图1，线段CE = cm ；当10t =时，线段EP = cm ；(2)如图1，点P 在线段BC 上运动的过程中，连接EM EP ，，当EMP V 是以EM 为直角边的直角三角形时，请求出对应的时间的值；(1)求线段OC的长；(2)若点E是点C关于y轴的对称点，求(3)已知y轴上有一点P，若以点标．(1)求n和b的值；△是直角三角形，求点P的坐标；(2)若ACP∠=∠，求点P的坐标．(3)当PBE BAC(1)求点D的坐标；(2)点E是线段CD上一动点，直线BE与x轴交于点i）若BDFV的面积为8，求点F的坐标；ii）如图2，当点F在x轴正半轴上时，将直线接FM，若1OF MF=+，求线段MF的长．(1)求直线AB的解析式；(2)已知点D为直线BC上第三象限的一点，连接AD，设点D的横坐标为t 间的函数关系式（不要求写出变量t的取值范围）；(3)在（2）的条件下，256S=，点D关于y轴的对称点为点E，点F在第一象限直线。
一次函数压轴题[含答案解析]
1．如图1，已知直线y=2x+2与y轴、x轴分别交于A、B两点，以B为直角顶点在第二象限作等腰Rt△ABC（1）求点C的坐标，并求出直线AC的关系式．（2）如图2，直线CB交y轴于E，在直线CB上取一点D，连接AD，若AD=AC，求证：BE=DE．（3）如图3，在（1）的条件下，直线AC交x轴于M，P（，k）是线段BC上一点，在线段BM上是否存在一点N，使直线PN平分△BCM的面积？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．考点：一次函数综合题。
分析：（1）如图1，作CQ⊥x轴，垂足为Q，利用等腰直角三角形的性质证明△ABO≌△BCQ，根据全等三角形的性质求OQ，CQ的长，确定C点坐标；（2）同（1）的方法证明△BCH≌△BDF，再根据线段的相等关系证明△BOE≌△DGE，得出结论；（3）依题意确定P点坐标，可知△BPN中BN变上的高，再由S△PBN=S△BCM，求BN，进而得出ON．解答：解：（1）如图1，作CQ⊥x轴，垂足为Q，∵∠OBA+∠OAB=90°，∠OBA+∠QBC=90°，∴∠OAB=∠QBC，又∵AB=BC，∠AOB=∠Q=90°，∴△ABO≌△BCQ，∴BQ=AO=2，OQ=BQ+BO=3，CQ=OB=1，∴C（﹣3，1），由A（0，2），C（﹣3，1）可知，直线AC：y=x+2；（2）如图2，作CH⊥x轴于H，DF⊥x轴于F，DG⊥y轴于G，∵AC=AD，AB⊥CB，∴BC=BD，∴△BCH≌△BDF，∴BF=BH=2，∴OF=OB=1，∴DG=OB，∴△BOE≌△DGE，∴BE=DE；（3）如图3，直线BC：y=﹣x﹣，P（，k）是线段BC上一点，∴P（﹣，），由y=x+2知M（﹣6，0），∴BM=5，则S△BCM=．假设存在点N使直线PN平分△BCM的面积，则BN•=×，∴BN=，ON=，∵BN＜BM，∴点N在线段BM上，∴N（﹣，0）．点评：本题考查了一次函数的综合运用．关键是根据等腰直角三角形的特殊性证明全等三角形，利用全等三角形的性质求解．3．如图直线ℓ：y=kx+6与x轴、y轴分别交于点B、C，点B的坐标是（﹣8，0），点A的坐标为（﹣6，0）（1）求k的值．（2）若P（x，y）是直线ℓ在第二象限内一个动点，试写出△OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（3）当点P运动到什么位置时，△OPA的面积为9，并说明理由．考点：一次函数综合题；待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积。