江苏省南京市鼓楼区2016年中考一模数学试题及参考答案
2016年江苏省南京市鼓楼区高一上学期数学期中考试试卷
2016年江苏省南京市鼓楼区高一上学期数学期中考试试卷一、填空题（共14小题；共70分）1. 已知集合 A = 1,2,4 ，B = 2,4,6 ，则 A ∩B = ．2. 函数 f x =lg x −1 的定义域是 ．3. 计算 27−1 的结果是 ．4. 下列四个函数图象中，不是函数图象的是 ．（填序号）5. 不等式 2x +2>8 的解集为 ．6. 设 f x = 2−x ,x ≤0log 2x ,x >0，则 f 4 = ．7. 已知一次函数 f x 满足 f f x =4x +9，则 f x 的函数关系式 ．8. 已知 f x =x 2+3ax +4，b −3≤x ≤2b 是偶函数，则 a −b 的值是 ．9. 幂函数 y =f x 的图象经过点 2,8 ，且满足 f x =64 的 x 的值是 ．10. 已知函数 f x =ax 3−bx +5，a ,b ∈R ，若 f −3 =−1，则 f 3 = ．11. 已知 a 3+b 3= a +b a 2−ab +b 2 ，a ,b ∈R ，则计算 lg2 3+3lg2⋅lg5+ lg5 3+12 的结果是 ．12. 若 f x =x 2−4x +4+m 的定义域值域都是 2,n ，则 m n = ．13. 函数 f x = a x −1 2+1,x <1 a +3 x +4a ,x ≥1 满足对于任意 x 1<x 2 时都有 f x 1 −f x 2 x 1−x 2>0 成立，则 a 的取值范围是 ．14. 设已知函数 f x =∣ln x ∣，正数 a ，b 满足 a <b ，且 f a =f b ，若 f x 在区间 a 2,b 上的最大值为 2，则 2a +b = ．二、解答题（共6小题；共78分）15. 已知集合 A = x ∣−1≤x ≤10 ，集合 B = x ∣2x −6≥0 ，求 ∁R A ∪B ；已知 C = x ∣a <x <a +1 ，且 C ⊆A ，求实数 a 的取值范围．16. （1）解方程 ln 2x +1 =ln x 2−2 ；（2）求函数 f x = 12 2x +2× 12 x x ≤−1 的值域．17. 定义在 R 上的奇函数 f x ，当 x >0 时，f x =−x 2+2x −3．当 x ∈ 2,4 时，求 f x 的值域；当 f m =6 时，求 m 的值．18. 某公园有一个直角三角形地块，现计划把它改造成一块矩形和两块三角形区域．如图，矩形区域用于娱乐城设施的建设，三角形 BCD 区域用于种植甲种观赏花卉，三角形 CAE 区域用于种植乙种观赏花卉．已知OA=4千米，OB=3千米，∠AOB=90∘，甲种花卉每平方千米造价1万元，乙种花卉每平方千米造价4万元，设OE=x千米．试建立种植花卉的总造价为y（单位：万元）关于x的函数关系式；求x为何值时，种植花卉的总造价最小，并求出总造价．，x∈R，a∈R．19. 已知函数f x=ax+1∣x∣+1（1）a=1时，求证：f x在区间−∞,0上为单调增函数；（2）当方程f x=3有解时，求a的取值范围．20. 已知函数f x=x2+2bx+5b∈R．（1）若b=2，试解不等式f x<10；（2）若f x在区间−4,−2上的最小值为−11，试求b的值；（3）若∣f x−5∣≤1在区间0,1上恒成立，试求b的取值范围．答案第一部分1. 2,42. x∣x>1【解析】要使函数有意义，则有x−1>0，解得，x>1，所以函数的定义域是x∣x>1．3. 134. （2）5. 1,+∞6. 27. f x=2x+3和f x=−2x−98. −1【解析】因为函数f x=x2+3ax+4，b−3≤x≤2b是偶函数，所以f−x=f x，即x2−3ax+4=x2+3ax+4，且b−3+2b=0，得出a=0，b=1，所以a−b=−1．9. 4【解析】设幂函数y=f x=xα，α∈R；因为函数的图象过点2,8，所以2α=23，解得α=3；又因为f x=64，所以x3=64，解得x=4．10. 11【解析】因为函数f x=ax3−bx+5，a,b∈R，所以f−x=−ax3+bx+5所以f−x+f x=10，因为f−3=−1，所以f3=11．11. 32【解析】lg23+3lg2⋅lg5+lg53+12=lg2+lg5lg22−lg2lg5+lg25+3lg2⋅lg5+12 =lg22+2lg2lg5+lg25+12=lg2+lg52+12=1+12=32.12. 8【解析】因为f x=x2−4x+4+m的对称轴为x=2，所以函数f x在2,n上为增函数，f2=4−8+4+m=2，解得m=2，f n=n2−4n+4+m=n，解得n=3或n=2（舍去），所以m n=23=8．13. −25,014. 2e+e第二部分15. 集合A=x∣−1≤x≤10，集合B=x∣2x−6≥0=x∣x≥3，所以A∪B=x∣x≥−1，所以∁R A∪B=x∣x<−1，又C=x∣a<x<a+1，且C⊆A，所以a≥−1,a+1≤10,解得a的取值范围是−1≤a≤9．16. （1）由题意：ln2x+1=ln x2−2，所以有2x+1>0,x2−2>0,2x+1=x2−2⇒x=3或−1（舍去），故方程的解为x∣x=3．（2）由题意：函数f x=122x+2×12xx≤−1，令t=12x∈2,+∞，换元后得：g t=t2+2t t≥2，g t为一元二次函数，开口朝上，对称轴为t=−1，知：g t在2,+∞上单调递增，g t min=8，故g t的值域为8,+∞．17. 当x>0时，f x=−x2+2x−3=−x−12−2，因为x∈2,4，所以函数单调递减，所以f x的值域是−11,−3；x>0时，f x=−x2+2x−3=6，可得x2−2x+9=0，无解；当x<0时，f x=−f−x=−−x2−2x−3=x2+2x+3=6，所以x=−3或x=1（舍去），所以m=−3．18. 由题意，CD=OE=x．由△BCD∽△BAO知BD=34x，所以S△BCD=38x2．同理得S△CAE=38x−42．所以，y=38x2+x−42×4=385x2−32x+64，其中，0<x<4．y=385 x−1652+645，因为0<x<4，所以x=165时，y有最小值为4.8万元．答：x为165时，种植花卉的总造价最小，总造价最小值为4.8万元．19. （1）a=1时，f x=x+1∣x∣+1，x<0时，f x=1+x1−x，令x1<x2<0，则f x1−f x2=1+x11−x1−1+x21−x2=2x1−x21−x11−x2，因为x1<x2<0，所以1−x11−x2>0，x1−x2<0，所以f x1<f x2，所以f x在区间−∞,0上为单调增函数．（2）由f x=ax+1∣x∣+1=3，得：ax=3∣x∣+2，画出函数y=ax和y=3∣x∣+2的图象，如图示：结合图象，a>3或a<−3．20. （1）f x=x2+4x+5<10，即x2+4x−5<0，即x+5x−1<0，解得−5<x<1，故不等式的解集为−5,1．（2）f x=x2+2bx+5=x+b2−b2+5，其对称轴为x=−b，当b<−4时，f x在区间−4,−2上单调递增，故y min=16−8b+5=−11，解得b=4，舍去；当−4≤b≤−2时，在对称轴处取最小值，故y min=−b2+5=−11，解得b=−4；当b>−2时，在区间−4,−2上单调递减，故y min=4−4b+5=−11，解得b=5；综上所述：b的值为−4或5．（3）∣f x−5∣≤1在区间0,1上恒成立，所以∣x2+2bx∣≤1在区间0,1上恒成立，所以−1≤x2+2bx≤1，所以−x−1x ≤2b≤−x+1x．因为函数y=−x−1x在0,1上为增函数，y<−1−1=−2，函数y=−x+1x在0,1上为减函数，y>−1+1=0，所以−2≤2b≤0，解得−1≤b≤0，故b的取值范围为−1,0．。
2016南京玄武中考数学一模试题及答案
注意事项:1 •本试卷共6页•全卷满分120分•考试时间为120分钟•考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效.2 •请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、准考证号用 0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上.3 •答选择题必须用 2B 铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑•如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案•答非选择题必须用 0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效.4•作图必须用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚.一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分•在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡 相应位置 上）k 1函数y = X 的图象经过点Q ,若S ABPQ=产述，则k 的值为九年级数学1 •下列运算正确的是B • 2(a + 1) = 2a + 1 C• (ab)2= a 2b 2A • a 3+ a 3= a 6 2下列各数中，是无理数的是A • cos30 °B •(-n 0C• 1—33 • 计算2—1X 8 — |— 5|的结果; H . 是A • — 21B •—1 C •94体积为80的正方体的棱长在A • 3到4之间B •4到5之间 C •5到6之间D • a 6* a 3= a 2D • 64D • 11D • 6至U 7之BA 为半径的AC ，长度不变,AB 、BC 的长度也不变，则/ABC 的度数大小由60°变为90n6 •如图，正方形OABC 的边长为6, A , C 分别位于 x 轴、y 轴上，点P 在AB 上，CP 交OB 于点Q , A • —12B • 12C • 16D • 18二、填空题(本大题共 10小题，每小题2分，共20分•不需写出解答过程，请把答案直接填写在 答题卡相应位置上)1 7 .使式子1 + ----- 有意义的x 的取值范围是▲ x — 1------------9.有一组数据：1, 3, 3, 4, 4,这组数据的方差为 ▲ . 10 .设 X 1 , X 2 是方程 x 2+ 4x + 3 = 0 的两根，则 X 1 + X 2= ▲.11.今年清明假期全国铁路发送旅客约41 000 000人次，将41 000 000用科学记数法表示为 ▲12 .如图，已知O O 的半径为13，弦AB 长为24，则点O 到AB 的距离是▲ .13. 如图，菱形 ABCD 中，对角线 AC 、BD 相交于点 O , H 为AD 边中点，OH = 8，则菱形 ABCD 的周长等于 ▲.14. 如图，正五边形ABCDE 绕点A 顺时针旋转后得到正五边形 AB'CD E '，旋转角为若 DE 丄 B C '，则 / a= ▲15.如图，三个全等的小矩形沿“横一竖一横”排列在一个边长分别为5.7 , 4.5的大矩形中，图中一个小矩形的周长等于▲.（0°< a 90°,D5.7 （第 15 题）16. 若一2< a v2，则满足a(a+ b)= b(a + 1) + a的b的整数值有▲个.三、解答题(本大题共11小题，共88分•请在答题卡指定区域.内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17. ( 12 分)(1)解方程：3(x — 1) = x(1 — x);(2)化简：孑&a — 9 1 —a — 3 ； 3x + 1 w 7, (3)解不等式组：2x — 1 并将解集在数轴上表示.> x , 318. (7分)如图， 口 ABCD 的对角线 AC 、BD 相交于点 O , AE = CF .(1) 求证：△ BOE ◎△ DOF ;(2) 若BD = EF ，连接DE 、BF ，判断四边形 EBFD 的形状，并说明理由19. (7分)从甲、乙、丙 3名同学中随机抽取一名同学参与问卷调查，求下列事件的概率:(1) 抽取1名，恰好是甲； (2) 抽取2名，甲在其中.20. ( 7分)元宵节那天，李老师给他的微信好友群发了一个小调查: 还是小元宵呢？” 12小时内好友回复的相关数据如下图：（第 20 题）(1) 回复时间为5小时~12小时的人数为 ▲ (2)既选择大汤圆，又选择小元宵的人数为 _▲“元宵节，你选择吃大汤圆,（第 18题）回复人数及选择情况条形统计图好友回复时间扇形统计图不超过 0.5小时(3) 12小时后，又有40个好友回复了，如果重新制作“好友回复时间扇形统计图”，加入“12小时后”这一项，求该项所在扇形的圆心角度数.21. ( 7分)如图，点P、M、Q在半径为1的O O上，根据已学知识和图中数据(0.97、0.26为近似数)，解答下列问题:(1) sin60 = ▲; cos75°= ▲;(2) 若MH丄x轴，垂足为H , MH交0P于点N，求MN的长.(结果精确到0.01，参考数据:,2~ 1.414, 3 ~ 1.732)0, 3), (3, 6), (- 2, 11).22. (8分)二次函数y= ax2+ bx+ c的图象经过点(1)求该二次函数的关系式;(2)证明：无论x取何值，函数值y总不等于1;(3) 如何平移该函数图象使得函数值y能等于1 ?23. ( 7分)如图，已知△ ABC ,△ DCE是两个全等的等腰三角形，底边BC、CE在同一直线上，且AB = 2, BC = 1 . BD 与AC 交于点P.(1)求证：△ BDEDEC ;(第23 题)(2)求厶DPC的周长.24. ( 8分)如图，AB是O O的直径，点D、E在O O上，连接AE、ED、DA，连接BD并延长至点C,使得/ DAC = Z AED .(1)求证：AC是O O的切线；(2)若点E是BD的中点，AE与BC交于点F ,①求证：CA = CF ;②当BD = 5, CD = 4 时，DF = ▲.25. ( 7分)随着“互联网+ ”时代的到来，一种新型打车方式受到大众欢迎•该打车方式的计价规一、s则如图①所示，若车辆以平均速度v km/h行驶了s km，则打车费用为(ps+ 60q • j)兀(不足9元按9元计价).小明某天用该打车方式出行，按上述计价规则，其打车费用y (元)与行驶里程x (km)的函数关系也可由如图②表示.（第25 题）(1) 当x> 6时，求y与x的函数关系式；（第24 题）(2) 若p= 1，q = 0.5，求该车行驶的平均速度.26. （8分）某日王老师佩戴运动手环进行快走锻炼，两次锻炼后数据如下表•与第一次锻炼相比，王老师第二次锻炼步数增长.的百分率是其平均步长减少.的百分率的3倍.设王老师第二次锻炼时平均步长减少的百分率为x （0 v x v 0.5）.项目第一次锻炼第二次锻炼步数（步）10000① ▲② ▲平均步长（米/步）0.6距离（米）60007020注：步数x平均步长=距离.（1）根据题意完成表格填空；（2）求x;（3）王老师发现好友中步数排名第一为24000步，因此在两次锻炼结束后又走了500米，使得总步数恰好为24000步，求王老师这500米的平均步长.27. （10分）如图①，现有长度分别为a、b、1的三条线段.a【加、减】图②所示为长为a+ b的线段，请用尺规作出长为a-b的线段.b --------【乘】在图③中，OA = a, OC = b,点B在OA上，OB= 1, AD // BC,交射线OC于点D.求证：线段OD的长为ab.【除】请用尺规作出长度为a的线段.b【开方】任意两个有理数的和、差、积、商（除数不为0）仍然是有理数，而开方运算则打开了通向无理数的一扇门.请用两种不同的方法，画出长度为・.a+ b的线段. 注：本题作（画）图不写作（画）法，需标明相应线段长度.数学试题参考答案及评分标准说明：本评分标准每题给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，参照本评分标准的精神给分.一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20 分）9. 1.2 10.—412. 5 13. 64 14. 54°15. 6.8三、解答题（本大题共11小题，共88分）11. 4.1 X 107 16. 717.(本题12分)(1)(本题4分)解：3(x —1) =—X(X— 1)3(X—1) + X(X— 1) = 0(X—1) (X + 3) = 0X1 = 1 , X2=—3 .(2)(本题4分)解:2a — 1 = 2aa2 —9 a —3 (a—3)(a+ 3)1 = 2a—a + 3 = a + 3 = 1a—3 (a—3)( a+ 3) (a—3)(a+ 3) a—38分3X+ 1< 7,①（3）（本题 4 分）2X— 1 -3 >X,②解：解不等式①，得X W 2, 解不等式②，得x v—1,—3 — 2 — 1 0 1 2不等式组的解集为X V—1 .18.(本题7分)(1)证明：•••四边形ABCD为平行四边形••• BO= DO , AO = CO.•/ AE = CF ,• AO —AE = CO —CF，即EO= FO .在厶BOE与厶DOF中BO = DO/ BOE = Z DOFEO= FO•••△ BOE◎△ DOF .(2)四边形EBFD为矩形.12分•/ E0= FO , BO = DO ,•••四边形EBFD 为平行四边形. •/ BD = EF , •四边形EBFD 为矩形.7分19. （本题7分）1 解：（1）从甲、乙、丙3名同学中随机抽取1名同学参与问卷调查，恰好是甲的概率是1. 3分（2）从甲、乙、丙 3名同学中随机抽取 2名同学参与问卷调查，所有可能出现的结果有：（甲，乙）、（甲，丙）、（乙，丙），共有3种，它们出现的可能性相同.所有的结果中, 满足“甲在其中”（记为事件A ）的结果只有2种，所以P （A ） = 37分 320. （本题7分）(1) 10 ； (2) 30; 40200+ 4o X 360 = 60 °答：“ 12小时后”这一项所在扇形的圆心角度数为21. (本题7分)解：(1) 23; 0.26;(2)在 Rt △ MHO 中，sin / MOH =器, 即 MH = MO • sin / MOH = 1 • OH = OM 2- MN 2=扌. 设PA 丄x 轴，垂足为A , •••/ NHO = / PAO = 90° • NH // FA ,1• NH = OH 即 Ni± =二…PA = OA ，即 0.26 = 0.97， • NH ~ 0.134.• MN = MH — MN 〜0.73.22. （本题8分）c = 3a = 1 （1）解：由题意得： 9a + 3b +c = 6，解得：b = —24a — 2b + c = 11 c = 3•该函数的函数关系式为： y = x 2— 2x + 3.(2)证明：T y = x 2— 2x + 3= (x — 1)2+ 2,•当x = 1时，y 取最小值2,•无论x 取何值，函数值 y 总不等于1 .(3)解:60 °(3)将该函数图象向下平移的距离大于等于 1个单位长度. 23.(本题7分)(1)证明: •••△ ABC ,^ DCE 是两个全等的等腰三角形，且底边BC 、CE 在同一直线上,AB = AC = DC = DE = 2, BC = CE = 1 , • B E = 2BC = 2. …DE 臣BE 2 CE - ，DE -， • DE BE …CE = DE . 又•••/ BED = Z DEC , •△ BED DEC .4 分(2)解： •••△ ABC ,^ DCE 是两个全等的等腰三角形，且底边BC 、CE 在同一直线上，• / ACB = / DEC ,• AC // DE .• P C =BC = 1 …DE = BE = 2 . • PC =¥，PD = 1,• △ DPC 的周长=PC + PD + DC = ¥ + 1+ 2 =孕 + 1 .7 分24. (本题8分)(1)证明：T AB 是O O 的直径，•••/ ADB = 90 ° •••/ ABC +Z DAB = 90°•••/ DAC = Z AED ，/ AED = Z ABC , •••/ DAC +Z DAB = 90°• AC 是O O 的切线.3分(2)①证明：•••点E 是BD 的中点,• B E = D E ,•••/ BAE = Z DAE .•••/ DAC +Z DAB = 90°, / ABC +Z DAB = 90° •••/ DAC = Z ABC .•••/ CFA =Z ABC + Z BAE ,Z CAF = Z DAC + Z DAE , •••/ CFA =Z CAF .• CA = CF . 6 分②DF = 2.8分25. (本题7分)解：(1 )当x > 6时，设y 与x 之间的函数关系式为 y = kx + b .根据题意，当x = 6时，y = 9;当x = 8时，y = 12. 所以，y 与x 之间的函数关系式为 y = 1.5x . (2)根据图象可得，当 x = 8时，y = 12,所以 9= 6k + b ， 12= 8k + b . 解得k =1.5， b = 0.又因为 p = 1, q = 0.5,【乘】证明：T AD // BC ,「. OB = °C ，即—=~^ .二 OD = ab . 5 分OA OD a OD【除】如图②， OA = a , OC = b ，点B 在OC 上，OB = 1, BD // AC ,交OA 于点D . 贝U OD = a .7 分b【开方】图③和图④中的 MN 均为.a + b .10分可得 12= 1 • 8+ 60 • 0.5 •-,v解得v = 60.经检验，v = 60是原方程的根. 所以该车行驶的平均速度为60 km/h .26.（本题8分）(1)① 10000(1 + 3x):② 0.6(1 — x).(2)解： 由题意：10000(1 + 3x) X 0.6(1 — x)= 7020解得: 17X 1 =浙〉0.5 （舍去）， X 2= 0.1.x = 0.1.(3)解:10000 + 10000(1 + 0.1 X 3) = 23000,500-（ 24000 — 23000）= 0.5. 答：王老师这500米的平均步长为 0.5米27.（本题10分）【加、减】如图①，线段 AB 长为a — b .7分6分8分 2分 -a _____A __b T a — b ① A。
年江苏省南京市鼓楼区中考数学一模试卷
２０１5年江苏省南京市鼓楼区中考数学一模试卷一、选择题(本大题共6小题,每小题２分，共1２分)１.(2分）4的算术平方根是()A.２B．﹣2ﻩC.﹣Ｄ．22.下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B.ﻩC．Ｄ．3.(２分）计算(﹣)÷×cos60°﹣20１5°的结果是(）A．B．﹣ C.ﻩＤ.﹣4．(２分)已知，△ＡBC∽△DEF,△ABC与△DEF的面积之比为１:２，当BC=1,对应边EF的长是(）A．ﻩB.2 Ｃ．3ﻩＤ．4５.（２分)在二次函数y=ax２+ｂx+c，x与y的部分对应值如下表: x…﹣2０23…y…8003…则下列说法:①图象经过原点；②图象开口向下；③图象经过点（﹣1,3)；④当x>０时，y随x的增大而增大；⑤方程ax２+bx＋c=0有两个不相等的实数根．其中正确的是()A．①②③Ｂ.①③⑤ C.①③④ D.①④⑤6.（2分）如图，以平行四边形ABCD的边CD为斜边向内作等腰直角△CDE,使ＡD=ＤE=CE,∠DEC=９0°,且点E在平行四边形内部,连接AＥ、ＢE，则∠AEＢ的度数是（)A.12０° B．１35°C．1５0° D.45°二、填空题（本大题共1０小题，每小题2分,总共20分）7．（2分）﹣３的倒数是,﹣3的绝对值是．8．(2分)红细胞是人体中血液运输氧气的主要媒介，人体中红细胞的直径约为0.０00007７ｍ,将0.00000７7用科学记数法表示为．９．（2分）若式子有意义,则x的取值范围是.１0．(2分)某同学6次引体向上的测试成绩（单位：个）分别为１6、1８、20、17、16、18,这组数据的中位数是．11．（2分)计算﹣的结果是.12．（2分)已知Rt△ABC，∠Ｃ=90°,AＢ=1３，AC＝1２,以AC所在直线为轴，将此三角形旋转1周，所得圆锥的侧面积是．1３.(２分）如图，反比例函数y=的图象经过△ABO的顶点A，点D是OA的中点,若反比例函数y=的图象经过点D，则k的值为.１４．(2分)如图，⊙O的直径为１0,弦AＢ长为8,点Ｐ在AB上运动，则OＰ的最小值是.１5．(２分)在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为(﹣2,４)、(﹣5，２），点Ｍ在x轴上，点N在y轴上．如果以点Ａ、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形,那么符合条件的点Ｍ有个.16．(2分)如图,矩形纸片ＡＢＣD中,AB=４，AD＝６,点Ｐ是边BC上的动点，现将纸片折叠，使点A与点P重合，折痕与矩形边的交点分别为E、F，要使折痕始终与边ＡB、AＤ有交点，则BP的取值范围是.三、解答题(本大题共11小题，共88分)１7．（6分)解方程:.18．(6分）先化简：÷﹣，再选取一个恰当的x的值代入求值．１9．（８分）如图,点Ａ、F、C、D在同一直线上,点B和点E分别在直线AD的两侧,且AB=DE，∠Ａ=∠D，AF=ＤＣ．(１）求证：四边形ＢCEF是平行四边形，（２）若∠ＡＢＣ=９０°，ＡB=4,BC＝3,当AF为何值时,四边形ＢＣＥF是菱形．２0．（8分）在不透明的袋子中有四张标着数字１，2，3，4 的卡片,这些卡片除数字外都相同．甲同学按照一定的规则抽出两张卡片，并把卡片上的数字相加.如图是他所画的树状图的一部分．（1)由如图分析,甲同学的游戏规则是：从袋子中随机抽出一张卡片后（填“放回”或“不放回”）,再随机抽出一张卡片;(2）帮甲同学完成树状图;（3)求甲同学两次抽到的数字之和为偶数的概率.2１.(8分）“低碳环保，你我同行”,两年来，南京市区的公共自行车给市民出行带来切实方便，电视台记者在某区街头随机选取了市民进行调查,调查的问题是“您大概多九使用一次公共自行车？”,将本次调查结果归为四种情况:A.每天都用；B．经常使用；C.偶尔使用；D．从未使用．将这次调查情况整理并绘制如下两幅统计图:根据图中的信息，解答下列问题:(1)本次活动共有位市民参与调查；(2）补全条形统计图；(3）根据统计结果,若该区有4６万市民,请估算每天都用公共自行车的市民约有多少人?22.(8分）学校举行数学知识竞赛，设立了一、二、三等奖,计划共购买4５件奖品,其中二等奖奖品件数比一等奖奖品件数的2倍还少5件,已知购买一等奖奖品x件.各种奖品的单价如下表：奖品一等奖奖品二等奖奖品三等奖奖品单价（元）１2108(1）学校购买二等奖奖品件，三等奖奖品件；(用含x的代数式表示)（２)若购买三等奖奖品的费用不超过二等奖奖品的费用的2倍,学校为节省开支,应如何购买这三种奖品?总费用最少是多少元？23．(8分）如图，平地上一幢建筑物AＢ与铁塔CD相距４0m，在建筑物的顶部测得铁塔底部的俯角为３７°,测得铁塔顶部的仰角为26．6°,求铁塔的高度．(参考数据:sin26.6°≈０.4５,tan２6．６°≈0.5０；sin37°≈0.６0，tan３7°≈0.7５）24.（8分)如图,四边形AＢCＤ是平行四边形,以AB为直径的⊙0经过点D，E是⊙O上一点,且∠AEＤ＝45°,（1）求证：ＣＤ是⊙O的切线.(2）若⊙O的半径为3，AE＝5,求∠ＡDE的正弦值.25．（10分）甲乙两地相距4００千米,一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地,如图,线段ＯA表示货车离甲地的路程ｙ(千米)与所用时间x(小时）之间的函数关系，折线BＣD表示轿车离甲地的路程y（千米)与x(小时）之间的函数关系,根据图象解答下列问题:(1)求线段CD对应的函数表达式；（２）求Ｅ点的坐标，并解释E点的实际意义;(3)若已知轿车比货车晚出发20分钟,且到达乙地后在原地等待货车,则当x＝小时，货车和轿车相距３0千米.2６.(8分）在初中数学中，我们学习了“两点间的距离”、“点到直线的距离”、“平行线之间的距离”,距离的本质是“最短”，图形之间的距离总可以转化为两点之间的距离,如“垂线段最短”的性质,把点到直线的距离转化为点到点(垂足）的距离.一般的，一个图形上的任意点A与另一个图形上的任意点B之间的距离的最小值叫做两个图形的距离．(1)如图1，过A，B分别作垂线段AC、AＤ、ＢE、ＢF，则线段AB和直线l的距离为垂线段的长度．(2)如图２,Rt△ABC中,∠AＣB=9０°，∠B=3０°，CＤ⊥ＡB,ＡＤ=2，那么线段ＡD 与线段BＣ的距离为．（3）如图３,若长为１cｍ的线段CD与已知线段AB的距离为1.５cm，请用适当的方法表示满足条件的所有线段CD.注:若满足条件的线段是有限的，请画出；若满足条件的线段是无限的，请用阴影表示其所在区域.（保留画图痕迹）27．(1０分）【问题提出】如图1，四边形ABCＤ中,AD=ＣＤ,∠ＡBC=1２０°,∠A ＤC=60°，AB=2，BC＝1，求四边形ＡＢCＤ的面积.【尝试解决】旋转是一种重要的图形变换,当图形中有一组邻边相等时,往往可以通过旋转解决问题．（1）如图２,连接BD,由于AD＝ＣＤ,所以可将△DCB绕点D顺时针方向旋转60°,得到△ＤAB′，则△BＤB′的形状是．(2）在（1）的基础上，求四边形ＡＢCD的面积．[类比应用]如图3,四边形ＡＢＣD中,ＡＤ=CD,∠ＡBＣ=75°，∠AＤC＝6０°，AB ＝2,BC=,求四边形ABCD的面积．2015年江苏省南京市鼓楼区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共６小题，每小题2分,共1２分)1.（2分）（2015•南京一模）4的算术平方根是（）A.2ﻩB.﹣2 C．﹣ D.2【解答】解：∵22=４，∴4的算术平方根是2,故选：Ａ.2．(201６•哈尔滨)下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(）Ａ.ﻩB.Ｃ.ﻩＤ.【解答】解：Ａ、是轴对称图形,但不是中心对称图形，故Ａ错误；B、是中心对称图形，不是轴对称图形,故B错误；Ｃ、是轴对称图形,不是中心对称图形，故C错误；D、既是轴对称图形，也是中心对称图形,故Ｄ正确．故选:D.3.(2分）（2０1５•南京一模)计算(﹣)÷×cos６0°﹣２015°的结果是（）A.ﻩB．﹣ﻩC．ﻩD．﹣【解答】解:原式=﹣××﹣1＝﹣，故选B．４.（2分）（20１５•南京一模)已知,△ＡＢＣ∽△ＤEF，△AＢC与△DEF的面积之比为１:2,当BＣ=1，对应边ＥF的长是()A. B.２ﻩC.３ﻩD.4【解答】解:∵△ABＣ∽△DEF,△ABC与△DEF的面积之比为1：２，∴（BC:EF)2＝１：2，解得BC：ＥF=１：，∵ＢC=1，∴EF=．故选A．5．(２分)(２015•南京一模)在二次函数ｙ=ax２+bｘ＋c,ｘ与y的部分对应值如下表:ｘ…﹣2023…ｙ…8０03…则下列说法:①图象经过原点;②图象开口向下;③图象经过点（﹣１，3）；④当ｘ＞０时,ｙ随x的增大而增大;⑤方程ａx2+bx＋c=0有两个不相等的实数根.其中正确的是（）A．①②③B．①③⑤ﻩC.①③④ﻩD．①④⑤【解答】解:∵由图表可以得出当ｘ＝0或2时,y=０，x=3时，y=３，∴解得：∴y=x2﹣2x,∵ｃ＝0，∴图象经过原点，故①正确;∵a=１>０，∴抛物线开口向上,故②错误;把ｘ＝﹣1代入得,ｙ=3,∴图象经过点（﹣1,3）,故③正确;∵抛物线的对称轴是x＝１，∴x>１时，y随x的增大而增大，ｘ＜1时,y随x的增大而减小，故④错误;∵抛物线y＝ax2+bｘ+c与x轴有两个交点（0，0)、(2,0)∴ａx２+ｂx＋c=０有两个不相等的实数根，故⑤正确；故选:B.6.（2分）(２016•惠山区一模)如图,以平行四边形ＡBCＤ的边CD为斜边向内作等腰直角△ＣDE，使AD=ＤE＝ＣE，∠ＤEC＝90°,且点E在平行四边形内部,连接AE、BE,则∠AEB的度数是（)A．120°B．135°ﻩC.150°ﻩD．４5°【解答】解:∵四边形AＢＣD是平行四边形，∴AＤ=BC,∠BAＤ=∠BCD，∠ＢAD+∠ADC=180°，∵AＤ=ＤE=CＥ，∴AＤ＝DＥ＝CＥ=BC，∴∠DＡE＝∠AED,∠CＢE=∠CEB，∵∠DEＣ=９０°，∴∠ＥDＣ=∠ECD＝45°，设∠DＡE=∠ＡEＤ＝x,∠CBE=∠CEＢ＝y,∴∠ADE=180°﹣２x,∠BCＥ=180°﹣2y,∴∠ADC=１80°﹣２ｘ+45°＝225°﹣2x,∠BCＤ=２25°﹣2y，∴∠BＡＤ＝180°﹣（２25°﹣２ｘ）=２x﹣45°,∴2x﹣45°=225°﹣2y，∴x+y＝１35°，∴∠AEB＝３6０°﹣１3５°﹣90°=135°;故选：B．二、填空题（本大题共1０小题，每小题2分,总共2０分）7.(2分）（2０15•高淳县二模）﹣3的倒数是﹣，﹣3的绝对值是３．【解答】解:﹣３的倒数是﹣,﹣３的绝对值是3，故答案为：,３．8.(2分）(2016•睢宁县一模)红细胞是人体中血液运输氧气的主要媒介，人体中红细胞的直径约为0．0０00077m,将０.00000７7用科学记数法表示为7.7×１0﹣6.【解答】解:0.000007７用科学记数法表示为7.７×１0﹣6故答案为:７.７×10﹣6．9.(2分）(２016•黄冈模拟)若式子有意义，则x的取值范围是x≥﹣2.【解答】解：根据题意得：x+２≥0，解得：x≥﹣2.故答案是:ｘ≥﹣２.10.（2分）（2０１5•南京一模)某同学6次引体向上的测试成绩(单位：个）分别为1６、1８、２0、１７、16、18，这组数据的中位数是17.５．【解答】解:题目中数据共有6个,故中位数是按从小到大排列后第３，第4两个数的平均数作为中位数,１6，16,17,1８，１８，2０,故这组数据的中位数是（17+１8)=17.5．故答案为:１7.５.11．(2分)(2０１5•南京一模）计算﹣的结果是﹣.【解答】解：原式=﹣２=﹣．故答案为﹣.12.（2分）(2０１6•仪征市二模）已知Rt△ABＣ,∠C＝90°，AB=1３，AC＝12，以AC所在直线为轴，将此三角形旋转1周,所得圆锥的侧面积是６5π.【解答】解：∵∠C＝90°,AB=13,AC=12，∴BC=5，以AC所在直线为轴旋转一周，所得圆锥的底面周长＝１０π,侧面积=×1０π×13=６5π,故答案为:65π．13．（２分）（2015•南京一模)如图，反比例函数y=的图象经过△ＡBO的顶点Ａ，点D是OＡ的中点,若反比例函数y=的图象经过点D，则k的值为.【解答】解：设点A坐标（x,),∵反比例函数y＝的图象经过Rｔ△OAB的顶点A,D为斜边OA的中点，∴D(x,）,∴过点D的反比例函数的解析式为ｙ=.∴k的值为.故答案为:.1４.(2分）（20１6•邳州市一模）如图，⊙O的直径为１0,弦AB长为8,点Ｐ在AB 上运动，则OＰ的最小值是3．【解答】解:当ＯP⊥AB时,OP的值最小，则ＡＰ′=BP′=ＡB＝4,如图所示，连接OA,在Ｒt△OAP′中,AP′=4，ＯＡ=5，则根据勾股定理知OＰ′=3,即OP的最小值为３．1５．（2分）(2015•南京一模)在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为(﹣2，4)、(﹣5,2),点M在x轴上,点N在y轴上.如果以点A、B、Ｍ、Ｎ为顶点的四边形是平行四边形,那么符合条件的点M有 3 个．【解答】解:如图所示：当AB平行且等于NＭ时,四边形ＡBＭＮ是平行四边形,当AB平行且等于N′M′时,四边形ABN′M′是平行四边形．当AＢ为对角线时，四边形ABN′M′是平行四边形.故符合题意的有3个点．故答案为:3．16.(２分）（２0１5•南京一模)如图,矩形纸片ＡBCD中，ＡＢ=4,ＡＤ=6,点P是边BC上的动点，现将纸片折叠,使点A与点P重合,折痕与矩形边的交点分别为E、F,要使折痕始终与边AB、ＡＤ有交点,则BP的取值范围是6﹣２≤x≤4 .【解答】解：如图：①当F、Ｄ重合时，ＢP的值最小；根据折叠的性质知:AF=PF=6；在Rt△ＰFＣ中，PF=6,FC=4,则PC=2;∴BP＝ｘmin＝6﹣2；②当E、B重合时,BP的值最大;根据折叠的性质即可得到ＡＢ=BP＝4，即BP的最大值为4;故答案为：6﹣2≤x≤4.三、解答题(本大题共11小题,共88分)１7．（6分）(2014•渝北区自主招生)解方程:.【解答】解：两边同时乘以x（x﹣1）,得x2﹣2（ｘ﹣1)=ｘ（x﹣1）,去括号,得x2﹣２x+２=x2﹣x，移项,得x２﹣x２﹣２x+x=﹣2，合并，得﹣x=﹣２，系数化为1，得x=2.检验：把x=2代入x（x﹣１)中,得x（x﹣1)=2（2﹣1)=２≠0.∴x＝2是原方程的解.18.（6分)（2０15•南京一模）先化简:÷﹣，再选取一个恰当的ｘ的值代入求值．【解答】解：原式=•﹣=﹣==,当x＝2时，原式＝.１9.（8分）（２012•临沂)如图,点Ａ、Ｆ、C、Ｄ在同一直线上,点Ｂ和点Ｅ分别在直线AD的两侧,且AB=ＤE，∠A＝∠D，AF=DC．（1）求证：四边形BＣEF是平行四边形,(２）若∠ABC=90°,AB=4，ＢC＝3，当ＡＦ为何值时,四边形BCEＦ是菱形.【解答】（1)证明:∵ＡF=DＣ，∴AF+FC＝DＣ＋FC，即AC＝DF．在△ABＣ和△ＤEF中,，∴△ABＣ≌△ＤEF(SAＳ）,∴BＣ=EF，∠ＡCB=∠DFE，∴BC∥ＥF,∴四边形BCＥF是平行四边形.(2)解:连接BE,交CＦ于点G,∵四边形BCEＦ是平行四边形，∴当BE⊥CＦ时，四边形BCEF是菱形，∵∠ABC=9０°,ＡB=4，BC=３,∴ＡC==5,∵∠ＢGC＝∠ABＣ=90°，∠ACB=∠BＣG，∴△ABC∽△BGC，∴=，即=，∴CＧ＝,∵FG=ＣG，∴ＦC＝2ＣG=，∴AF＝AC﹣FＣ=5﹣=，∴当AＦ=时，四边形BＣEＦ是菱形．20.(8分）（2０１5•南京一模）在不透明的袋子中有四张标着数字1，2,3，4 的卡片,这些卡片除数字外都相同．甲同学按照一定的规则抽出两张卡片，并把卡片上的数字相加．如图是他所画的树状图的一部分.(１)由如图分析，甲同学的游戏规则是：从袋子中随机抽出一张卡片后不放回（填“放回”或“不放回”)，再随机抽出一张卡片；(2）帮甲同学完成树状图；（３)求甲同学两次抽到的数字之和为偶数的概率.【解答】解：（1）观察树状图知:第一次摸出的数字没有在第二次中出现,∴甲同学的实验是一个不放回实验,故答案为:不放回;(2）补全树状图为:(3）由树状图得:共有1２种情况,两次抽到的数字之和为偶数的有４种，故P（两次抽到的数字之和为偶数）==.2１．(8分)(2０15•南京一模）“低碳环保，你我同行”,两年来,南京市区的公共自行车给市民出行带来切实方便,电视台记者在某区街头随机选取了市民进行调查，调查的问题是“您大概多九使用一次公共自行车?”，将本次调查结果归为四种情况：A.每天都用;Ｂ.经常使用；Ｃ．偶尔使用;D.从未使用.将这次调查情况整理并绘制如下两幅统计图：根据图中的信息,解答下列问题:（１）本次活动共有200位市民参与调查;（2）补全条形统计图;（３)根据统计结果,若该区有46万市民，请估算每天都用公共自行车的市民约有多少人?【解答】解：(１）本次活动共参与的市民３０÷1５％=２0０人，故答案为：200;（2)B的人数有２0０×２8%＝56人，Ｃ的人数有20０×52%＝104人，A的人数有２０0﹣56﹣１０４﹣30=10人,补全条形统计图如图:;(3）46×(1﹣28%﹣５2%﹣1５%）＝２.３(万人),答：每天都用公共自行车的市民约有2.3万人．22．(８分)（2０15•南京一模）学校举行数学知识竞赛,设立了一、二、三等奖,计划共购买４5件奖品，其中二等奖奖品件数比一等奖奖品件数的2倍还少5件,已知购买一等奖奖品x件．各种奖品的单价如下表：奖品一等奖奖品二等奖奖品三等奖奖品单价(元)1２10８（１)学校购买二等奖奖品2x﹣5 件,三等奖奖品５0﹣3x件；（用含ｘ的代数式表示)（2)若购买三等奖奖品的费用不超过二等奖奖品的费用的2倍,学校为节省开支，应如何购买这三种奖品？总费用最少是多少元?【解答】解:(1）学校购买二等奖奖品2ｘ﹣5件,三等奖奖品45﹣x﹣（2x﹣5)＝50﹣3x件;（2)由题意得解得:≤ｘ＜,因为x为整数，所以一等奖的数量为ｘ=８，9，10,11，12，13，14,1５，16；则二等奖的数量对应为2ｘ﹣５=１1,1３,15，１7，19，21,23，25,27；三等奖的数量对应为５０﹣3x=26,23，20,１7，14，11,8,５，2；当一二等奖的数量最少，三等奖的数量最多时,总费用最少为12×８+1０×11+8×26=４14元．23.(８分）（2015•南京一模)如图,平地上一幢建筑物AB与铁塔CD相距40m,在建筑物的顶部测得铁塔底部的俯角为3７°，测得铁塔顶部的仰角为2６.6°，求铁塔的高度．(参考数据:sin2６.6°≈０.4５，ｔａn26．6°≈０．5０;sin３7°≈0．60,taｎ3７°≈0.7５）【解答】解:作AE⊥ＣD,垂足为E.在Rｔ△AEC中,CE=ＡＥ•tan26．6°≈4０×0．５０=２０m;在Rt△AED中,DE=AE•tan3７°≈４０×0.7５=30m;∴CD=２0+３0=50m.答：贴塔的高度为50米.２4.(8分）（2０15•南京一模)如图，四边形ABCD是平行四边形,以AB为直径的⊙０经过点Ｄ，Ｅ是⊙O上一点,且∠ＡEＤ＝４5°,（1)求证:CＤ是⊙O的切线.（2)若⊙O的半径为３,ＡE=5,求∠ADＥ的正弦值．【解答】(1）证明：连结OD,如图,∵∠AOD＝２∠ＡED=2×4５°=９0°，∴OＤ⊥AB，∵四边形ＡBCD是平行四边形，∴CＤ∥ＡＢ，∴OD⊥ＣD,∴ＣＤ是⊙O的切线;（2）解:连结BE，∵ＡB为直径,∴∠ＡEB=9０°，根据圆周角定理：∠ADE＝∠ABE,∴sｉn∠ＡDＥ=sin∠ABＥ==.即∠DAE的正弦值是.25．(10分）(２０1６•睢宁县一模)甲乙两地相距４００千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地，如图,线段OA表示货车离甲地的路程y（千米）与所用时间x(小时)之间的函数关系，折线BＣＤ表示轿车离甲地的路程y(千米)与ｘ(小时)之间的函数关系，根据图象解答下列问题:（１)求线段CＤ对应的函数表达式;(2)求E点的坐标,并解释E点的实际意义；（3)若已知轿车比货车晚出发２0分钟,且到达乙地后在原地等待货车,则当x= 小时,货车和轿车相距30千米.【解答】解：(1）设线段CD对应的函数解析式为y=kx+ｂ，可得:，解得:．所以线段ＣD对应的函数表达式为：y=１2０x﹣140(2≤ｘ≤4.5)；(2）由图象可得：直线OA的解析式为:y＝80x，根据两图象相交的交点指的是两车相遇,可得：８０x=１20ｘ﹣１4０，解得:x=3.５,把x=3.5代入y=80x，得:ｙ=28０；所以E点的坐标为(3.5，280），即表示当货车出发3.５小时时货车和轿车相遇; (３）设货车出发xh后,可得:120x﹣１40﹣３0=8０x,解得：x=4.25.故答案为：４．2５.由题意知,Ｂ（，０），∴BＣ段解析式为ｙ=60x﹣20(≤x≤２）,货车与轿车相距3０ｋm有四种情况:１）当≤x≤２时,80x﹣（60x﹣２0)=３０，解得x=；2）当2<ｘ≤时，80ｘ﹣(１20ｘ﹣１40）=30，解得ｘ=；3）当<x≤时，120x﹣140﹣80x＝30,解得x=；4）当＜x≤5时，４0０﹣80x=３０,解得x＝;∴ｘ=．26．（８分）（20１6•惠山区一模）在初中数学中，我们学习了“两点间的距离”、“点到直线的距离”、“平行线之间的距离”，距离的本质是“最短”，图形之间的距离总可以转化为两点之间的距离,如“垂线段最短”的性质,把点到直线的距离转化为点到点(垂足)的距离．一般的,一个图形上的任意点A与另一个图形上的任意点B之间的距离的最小值叫做两个图形的距离.(1)如图１，过Ａ,Ｂ分别作垂线段ＡC、AＤ、BE、ＢF,则线段AB和直线ｌ的距离为垂线段AC 的长度.(2)如图2,Ｒt△ＡBC中，∠ACＢ=90°，∠B=30°,CD⊥AB,AD＝２，那么线段AD与线段ＢC的距离为３．（３）如图3，若长为1cm的线段CD与已知线段ＡB的距离为1.5cm,请用适当的方法表示满足条件的所有线段CＤ.注：若满足条件的线段是有限的,请画出;若满足条件的线段是无限的,请用阴影表示其所在区域．(保留画图痕迹）【解答】解：(1)如图所示:过A,B分别作垂线段AＣ、AD、ＢE、ＢF,则线段AB和直线ｌ的距离为垂线段为:AＣ的长度；故答案为：AC；（2）如图2，过点D作DＥ⊥BC于点Ｅ，∵∠ACB=９０°，∠Ｂ＝30°,CD⊥AB，AD＝2,∴∠A=60°则∠ＡCD＝3０°，∴AC＝2AD=4，∴AB=2AC＝8,∴BD=6，则DE＝BD=3;故答案为:3;(3）如图3所示：．2７.(10分）（2015•南京一模)【问题提出】如图1,四边形ABCD中，AＤ=CD,∠A ＢC=120°，∠ＡＤC=60°,AB=２,BC=1，求四边形AＢCＤ的面积．【尝试解决】旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时，往往可以通过旋转解决问题.（1）如图2,连接 B Ｄ,由于AD=CD ，所以可将△ＤＣB 绕点Ｄ顺时针方向旋转６0°,得到△DAB′，则△BDB′的形状是 等边三角形 ．(2）在(1)的基础上,求四边形ABCD 的面积.[类比应用]如图３，四边形AB ＣD 中，AD=C Ｄ,∠A ＢC=7５°，∠ADC=60°，ＡＢ=2，ＢC=，求四边形ＡＢCD 的面积.【解答】解：（1)如图2，连接 B Ｄ，由于AD=CD,所以可将△ＤCB 绕点Ｄ顺时针方向旋转6０°,得到△DAB′，∵BD=Ｂ′Ｄ，∠BDB′＝60°∴△BDB′是等边三角形;（2）由(1)知,△BCD ≌△B′AD,∴四边形A ＢCD 的面积=等边三角形BDB′的面积,∵BC ＝ＡＢ′=1∴BB′=ＡＢ+AB′=2+1＝3，∴S 四边形ＡＢCD ＝Ｓ△BDB′==；【类比应用】如图３,连接 BD,由于AD=CD,所以可将△BCD 绕点D 逆时针方向旋转60°,得到△D ＡB′,连接BB′,延长BA ，作B′E ⊥B Ｅ；∵,∴△BCD ≌△B′AD∴S 四边形ＡBCD =S 四边形BD Ｂ′A ,∵∠ABC=７５°,∠ADC=６0°，∴∠B ＡB′＝1３5°∴∠B′ＡE=45°，∵B′A ＝BC ＝, ∴B′E ＝ＡE=1，∴ＢE=AB +AE=２+1＝3，∴BB′＝，∴S △ＡBB′＝•AB•B′Ｅ＝×2×1=1，Ｓ△BDB′=＝,∴S 四边形A ＢCD =S 四边形BDB′Ａ=S △B ＤB′﹣S △ＡB Ｂ′＝﹣1．ﻬ参与本试卷答题和审题的老师有:s ｄｗd ｍah ｏngy ｅ;梁宝华;sks ；HJ Ｊ；守拙;家有儿女;2300680618；1987483819;zhjh;z ｃｌ5２8７；g ｓｌs ；sj ｚx ；ZJX;f ａngca ｏ；133９885４08;z ｈa ｎgCF ；lanch ｏng;ｚc ｘ；７３z ｚx ；CJ Ｘ；ｓd20１１（排名不分先后)菁优网2０１7年1月15日。
2016年江苏省南京市玄武区中考数学一模试卷
2016年江苏省南京市玄武区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（2分）下列运算正确的是（）A．a3+a3=a6 B．2（a+1）=2a+1 C．（ab）2=a2b2D．a6÷a3=a22．（2分）下列各数中，是无理数的是（）A．cos30°B．（﹣π）0 C．﹣ D．3．（2分）计算2﹣1×8﹣|﹣5|的结果是（）A．﹣21 B．﹣1 C．9 D．114．（2分）体积为80的正方体的棱长在（）A．3到4之间B．4到5之间C．5到6之间D．6到7之间5．（2分）如图，将等边△ABC的边AC逐渐变成以B为圆心、BA为半径的，长度不变，AB、BC的长度也不变，则∠ABC的度数大小由60°变为（）A．（）°B．（）°C．（）°D．（）°6．（2分）如图，正方形OABC的边长为6，A，C分别位于x轴、y轴上，点P在AB上，CP交OB于点Q，函数y=的图象经过点Q，若S=S△OQC，则k△BPQ的值为（）A．﹣12 B．12 C．16 D．18二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）7．（2分）使式子1+有意义的x的取值范围是．8．（2分）计算：﹣=．9．（2分）有一组数据：1，3，3，4，4，这组数据的方差为．10．（2分）设x1，x2是方程x2+4x+3=0的两根，则x1+x2=．11．（2分）今年清明假期全国铁路发送旅客约41000000人次，将41000000用科学记数法表示为．12．（2分）如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是．13．（2分）如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，OH=8，则菱形ABCD的周长等于．14．（2分）如图，正五边形ABCDE绕点A顺时针旋转后得到正五边形AB′C′D′E′，旋转角为α（0°≤α≤90°），若DE⊥B′C′，则∠α=°．15．（2分）如图，三个全等的小矩形沿“横﹣竖﹣横”排列在一个边长分别为5.7，4.5的大矩形中，图中一个小矩形的周长等于．16．（2分）若﹣2≤a＜2，则满足a（a+b）=b（a+1）+a的b的整数值有个．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）（1）解方程：3（x﹣1）=x（1﹣x）；（2）化简：﹣；（3）解不等式组：，并将解集在数轴上表示．18．（7分）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE=CF．（1）求证：△BOE≌△DOF；（2）若BD=EF，连接DE、BF，判断四边形EBFD的形状，无需说明理由．19．（7分）从甲、乙、丙3名同学中随机抽取环保志愿者，求下列事件的概率；（1）抽取1名，恰好是甲；（2）抽取2名，甲在其中．20．（7分）元宵节那天，李老师给他的微信好友群发了一个小调查：“元宵节，你选择吃大汤圆，还是小元宵呢？”12小时内好友回复的相关数据如图：（1）回复时间为5小时～12小时的人数为；（2）既选择大汤圆，又选择小元宵的人数为；（3）12小时后，又有40个好友回复了，如果重新制作“好友回复时间扇形统计图”，加入“12小时后”这一项，求该项所在扇形的圆心角度数．21．（7分）如图，点P、M、Q在半径为1的⊙O上，根据已学知识和图中数据（0.97、0.26为近似数），解答下列问题：（1）sin60°=；cos75°=；（2）若MH⊥x轴，垂足为H，MH交OP于点N，求MN的长．（结果精确到0.01，参考数据：≈1.414，≈1.732）22．（8分）二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（0，3），（3，6），（﹣2，11）．（1）求该二次函数的关系式；（2）证明：无论x取何值，函数值y总不等于1；（3）如何平移该函数图象使得函数值y能等于1？23．（7分）如图，已知△ABC，△DCE是两个全等的等腰三角形，底边BC、CE在同一直线上，且AB=，BC=1，BD与AC交于点P．（1）求证：△BED∽△DEC；（2）求△DPC的周长．24．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点D、E在⊙O上，连接AE、ED、DA，连接BD并延长至点C，使得∠DAC=∠AED．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若点E是的中点，AE与BC交于点F，①求证：CA=CF；②当BD=5，CD=4时，DF=．25．（7分）随着“互联网+”时代的到来，一种新型打车方式受到大众欢迎．该打车方式的计价规则如图①所示，若车辆以平均速度vkm/h行驶了skm，则打车费用为（ps+60q•）元（不足9元按9元计价）．小明某天用该打车方式出行，按上述计价规则，其打车费用y（元）与行驶里程x（km）的函数关系也可由如图②表示．（1）当x≥6时，求y与x的函数关系式．（2）若p=1，q=0.5，求该车行驶的平均速度．26．（8分）某日王老师佩戴运动手环进行快走锻炼，两次锻炼后数据如表．与第一次锻炼相比，王老师第二次锻炼步数增长的百分率是其平均步长减少的百分率的3倍．设王老师第二次锻炼时平均步长减少的百分率为x（0＜x＜0.5）．注：步数×平均步长=距离．（1）根据题意完成表格填空；（2）求x；（3）王老师发现好友中步数排名第一为24000步，因此在两次锻炼结束后又走了500米，使得总步数恰好为24000步，求王老师这500米的平均步长．27．（10分）如图①，现有长度分别为a、b、1的三条线段．【加、减】图②所示为长为a+b的线段，请用尺规作出长为a﹣b的线段．【乘】在图③中，OA=a，OC=b，点B在OA上，OB=1，AD∥BC，交射线OC于点D．求证：线段OD的长为ab．【除】请用尺规作出长度为的线段．【开方】任意两个有理数的和、差、积、商（除数不为0）仍然是有理数，而开方运算则打开了通向无理数的一扇门．请用两种不同的方法，画出长度为的线段．注：本题作（画）图不写作（画）法，需标明相应线段长度．2016年江苏省南京市玄武区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（2分）下列运算正确的是（）A．a3+a3=a6 B．2（a+1）=2a+1 C．（ab）2=a2b2D．a6÷a3=a2【分析】根据二次根式的运算法则，乘法分配律，幂的乘方及同底数幂的除法法则判断．【解答】解：A、a3+a3=2a3，故A选项错误；B、2（a+1）=2a+2≠2a+1，故B选项错误；C、（ab）2=a2b2，故C选项正确；D、a6÷a3=a3≠a2，故D选项错误．故选：C．【点评】本题主要考查了二次根式的运算法则，乘法分配律，幂的乘方及同底数幂的除法法则，解题的关键是熟记法则运算2．（2分）下列各数中，是无理数的是（）A．cos30°B．（﹣π）0 C．﹣ D．【分析】根据无理数是无限不循环小数，可得答案．【解答】解：A、cos30=是无理数，B、（﹣π）0=1是有理数，C、﹣是有理数，故C错误；D、=8是有理数，故D错误；故选：A．【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．3．（2分）计算2﹣1×8﹣|﹣5|的结果是（）A．﹣21 B．﹣1 C．9 D．11【分析】根据负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，负数的绝对值是它的相反数，可化简式子，根据有理数的运算，可得答案．【解答】解：原式=×8﹣5=4﹣5=﹣1．故选：B．【点评】本题考查了负整数指数幂，利用负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，负数的绝对值是它的相反数化简式子是解题关键．4．（2分）体积为80的正方体的棱长在（）A．3到4之间B．4到5之间C．5到6之间D．6到7之间【分析】根据估算无理数的大小，即可解答．【解答】解：∵，∴4＜＜5，故选：B．【点评】本题考查了估算无理数的大小，解决本题的关键是熟记估算的大小．5．（2分）如图，将等边△ABC的边AC逐渐变成以B为圆心、BA为半径的，长度不变，AB、BC的长度也不变，则∠ABC的度数大小由60°变为（）A．（）°B．（）°C．（）°D．（）°【分析】设∠ABC的度数为n，根据弧长的计算公式把已知条件代入计算即可．【解答】设∠ABC的度数大小由60变为n，则AC=，由AC=AB，解得n=，故选：D．【点评】本题考查的是弧长的计算和等边三角形的性质，掌握弧长的计算公式l=是解题的关键．6．（2分）如图，正方形OABC的边长为6，A，C分别位于x轴、y轴上，点P在AB上，CP交OB于点Q，函数y=的图象经过点Q，若S=S△OQC，则k△BPQ的值为（）A．﹣12 B．12 C．16 D．18【分析】由PB∥OC可得出△PBQ∽△COQ，结合三角形面积比等于相似比的平方可得出PB=PA=OC，结合正方形OABC的边长为6可得出点C、点P的坐标，利用待定系数法即可求出直线CP的函数解析式，联立直线OB与直线CP的函数解析式即可得出点Q的坐标，利用待定系数法即可求出k值．【解答】解：∵PB∥OC（四边形OABC为正方形），∴△PBQ∽△COQ，∴==，∴PB=PA=OC=3．∵正方形OABC的边长为6，∴点C（0，6），点P（6，3），直线OB的解析式为y=x①，∴设直线CP的解析式为y=ax+6，∵点P（6，3）在直线CP上，∴3=6a+6，解得：a=﹣，故直线CP的解析式为y=﹣x+6②．联立①②得：，解得：，∴点Q的坐标为（4，4）．将点Q（4，4）代入y=中，得：4=，解得：k=16．故选：C．【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义以及待定系数法求函数解析式，解题的关键是求出点Q的坐标．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方结合给定条件求出点Q的坐标，再利用待定系数法求出反比例函数解析式即可．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）7．（2分）使式子1+有意义的x的取值范围是x≠1．【分析】分式有意义，分母不等于零．【解答】解：由题意知，分母x﹣1≠0，即x≠1时，式子1+有意义．故答案为：x≠1．【点评】本题考查了分式有意义的条件．从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．8．（2分）计算：﹣=．【分析】首先化简二次根式，进而合并求出答案．【解答】解：原式=﹣=．故答案为：．【点评】此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键．9．（2分）有一组数据：1，3，3，4，4，这组数据的方差为 1.2．【分析】根据平均数的计算公式先算出这组数据的平均数，再根据方差公式进行计算即可．【解答】解：这组数据的平均数是：（1+3+3+4+4）÷5=3，则这组数据的方差为：[（1﹣3）2+（3﹣3）2+（3﹣3）2+2（4﹣3）2]=1.2．故答案为：1.2．【点评】本题考查了平均数和方差：一般地设n个数据，x1，x2，…x n的平均数为，则方差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．10．（2分）设x1，x2是方程x2+4x+3=0的两根，则x1+x2=﹣4．【分析】直接根据根与系数的关系求解．【解答】解：根据题意得x1+x2=﹣4．故答案为﹣4．【点评】本题考查了根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．11．（2分）今年清明假期全国铁路发送旅客约41000000人次，将41000000用科学记数法表示为 4.1×107．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【解答】解：41 000 000=4.1×107，故答案为：4.1×107．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．12．（2分）如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是5．【分析】过O作OC⊥AB于C，根据垂径定理求出AC，根据勾股定理求出OC即可．【解答】解：过O作OC⊥AB于C，∴AC=BC=AB=12，在Rt△AOC中，由勾股定理得：OC==5，故答案为：5．【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，关键是求出OC的长．13．（2分）如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，OH=8，则菱形ABCD的周长等于64．【分析】先根据菱形的性质得出AC⊥BD，AB=AD=CD=BC，再由直角三角形的性质求出AD的长，进而可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，∴AC⊥BD，AB=AD=CD=BC．∵H为AD边中点，OH=8，∴AD=16，∴菱形ABCD的周长=4AD=64．故答案为：64．【点评】本题考查的是菱形的性质，熟知菱形的对角线互相垂直是解答此题的关键．14．（2分）如图，正五边形ABCDE绕点A顺时针旋转后得到正五边形AB′C′D′E′，旋转角为α（0°≤α≤90°），若DE⊥B′C′，则∠α=54°．【分析】DE与B′C′相交于O点，如图，利用正五边形的性质计算出∠B=∠BAE=∠E=108°，再根据旋转的性质得∠BAB′=α，∠B′=∠B=108°，接着根据四边形内角和计算出∠B′AE的度数，然后计算∠BAE﹣∠B′AE即可．【解答】解：DE与B′C′相交于O点，如图，∵五边形ABCDE为正五边形，∴∠B=∠BAE=∠E==108°，∵正五边形ABCDE绕点A顺时针旋转后得到正五边形AB′C′D′E′，旋转角为α（0°≤α≤90°），∴∠BAB′=α，∠B′=∠B=108°，∵DE⊥B′C′，∴∠B′OE=90°，∴∠B′AE=360°﹣∠B′﹣∠E﹣∠B′OE=360°﹣108°﹣108°﹣90°=54°，∴∠BAB′=∠BAE﹣∠B′AE=108°﹣54°=54°，即∠α=54°．故答案为54．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．解决本题的关键是计算正五边形的内角．15．（2分）如图，三个全等的小矩形沿“横﹣竖﹣横”排列在一个边长分别为5.7，4.5的大矩形中，图中一个小矩形的周长等于 6.8．【分析】由图形可看出：小矩形的2个长+一个宽=5.7，小矩形的2个宽+一个长=4.5，设出长和宽，列出方程组即可得答案．【解答】解：设小矩形的长为xm，宽为ym，由题意得：，解得：x+y=3.4．一个小矩形的周长为：3.4×2=6.8，故答案为：6.8．【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，做题的关键是：弄懂题意，找出等量关系，列出方程组．16．（2分）若﹣2≤a＜2，则满足a（a+b）=b（a+1）+a的b的整数值有7个．【分析】将原式变形成b=a2﹣a=（a﹣）2﹣，再结合﹣2≤a＜2即可得﹣≤b≤6，即可知答案．【解答】解：由a（a+b）=b（a+1）+a可得b=a2﹣a=（a﹣）2﹣，∵﹣2≤a＜2，∴﹣≤b≤6，则满足条件的b的整数值有0、1、2、3、4、5、6这7个，故答案为：7．【点评】本题主要考查二次函数的性质，将原式转化为二次函数的顶点式，结合自变量的取值范围得出函数值b的范围是关键．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）（1）解方程：3（x﹣1）=x（1﹣x）；（2）化简：﹣；（3）解不等式组：，并将解集在数轴上表示．【分析】（1）因式分解法求解即可；（2）先将分母因式分解，再化为同分母分式相减，最后约分可得；（3）分别求出每一个不等式的解集，根据不等式解集在数轴上的表示确定不等式组的解集．【解答】解：（1）3（x﹣1）=﹣x（x﹣1）3（x﹣1）+x（x﹣1）=0（x﹣1）（x+3）=0x1=1，x2=﹣3．（2）﹣=﹣===．（3）解不等式3x+1≤2，得x≤解不等式，得x＜﹣1，将解集表示在数轴上如下：故不等式组的解集为x＜﹣1．【点评】本题主要考查解方程、分式的化简、解不等式组的基本能力，熟练掌握这些计算的基本步骤是解题的基础．18．（7分）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE=CF．（1）求证：△BOE≌△DOF；（2）若BD=EF，连接DE、BF，判断四边形EBFD的形状，无需说明理由．【分析】（1）先证出OE=OF，再由SAS即可证明△BOE≌△DOF；（2）由对角线互相平分证出四边形EBFD是平行四边形，再由对角线相等，即可得出四边形EBFD是矩形．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∵AE=CF，∴OE=OF，在△BOE和△DOF中，，∴△BOE≌△DOF（SAS）；（2）解：四边形EBFD是矩形；理由如下：∵OB=OD，OE=OF，∴四边形EBFD是平行四边形，∵BD=EF，∴四边形EBFD是矩形．【点评】本题考查了平行四边形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、矩形的判定；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．19．（7分）从甲、乙、丙3名同学中随机抽取环保志愿者，求下列事件的概率；（1）抽取1名，恰好是甲；（2）抽取2名，甲在其中．【分析】（1）由从甲、乙、丙3名同学中随机抽取环保志愿者，直接利用概率公式求解即可求得答案；（2）利用列举法可得抽取2名，可得：甲乙，甲丙，乙丙，共3种等可能的结果，甲在其中的有2种情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：（1）∵从甲、乙、丙3名同学中随机抽取环保志愿者，∴抽取1名，恰好是甲的概率为：；（2）∵抽取2名，可得：甲乙，甲丙，乙丙，共3种等可能的结果，甲在其中的有2种情况，∴抽取2名，甲在其中的概率为：．【点评】本题考查的是列举法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．20．（7分）元宵节那天，李老师给他的微信好友群发了一个小调查：“元宵节，你选择吃大汤圆，还是小元宵呢？”12小时内好友回复的相关数据如图：（1）回复时间为5小时～12小时的人数为10；（2）既选择大汤圆，又选择小元宵的人数为30；（3）12小时后，又有40个好友回复了，如果重新制作“好友回复时间扇形统计图”，加入“12小时后”这一项，求该项所在扇形的圆心角度数．【分析】（1）用回复的人数乘以5小时～12小时的人数所占的百分比即可得出答案；（2）大汤圆的人数加上小元宵的人数减去回复的人数即可得出答案；（3）用加入“12小时后”这一项的人数除以总人数，再乘以360°即可得出答案．【解答】解：（1）回复时间为5小时～12小时的人数为：200×（1﹣50%﹣30%﹣15%）=10（人）；故答案为：10；（2）既选择大汤圆，又选择小元宵的人数为：（150+80）﹣200=30（人）故答案为：30；（3）根据题意得：×360°=60°．答：“12小时后”这一项所在扇形的圆心角度数为60°．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．21．（7分）如图，点P、M、Q在半径为1的⊙O上，根据已学知识和图中数据（0.97、0.26为近似数），解答下列问题：（1）sin60°=；cos75°=0.26；（2）若MH⊥x轴，垂足为H，MH交OP于点N，求MN的长．（结果精确到0.01，参考数据：≈1.414，≈1.732）【分析】（1）根据图形中的数据可以解答本题；（2）要求MN的长，只要求出MH的长和NH的长，即可求得MN的长，根据题意可以求得MH和NH的长，本题得以解决．【解答】解：（1）由图可知，sin60°=，cos75°==0.26，故答案为：；0.26；（2）在Rt△MHO中，sin∠MOH=，即MH=MO•sin∠MOH=1×=．∴OH=，设PA⊥x轴，垂足为A，如右图所示，∵∠NHO=∠PAO=90°，∴NH∥PA，∴△ONH∽△OPA，∴=，即=，∴NH≈0.134．∴MN=MH﹣MN=≈0.73．【点评】本题考查解直角三角形、相似三角形的性质和判定，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．22．（8分）二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（0，3），（3，6），（﹣2，11）．（1）求该二次函数的关系式；（2）证明：无论x取何值，函数值y总不等于1；（3）如何平移该函数图象使得函数值y能等于1？【分析】（1）根据待定系数法即可求得；（2）把求得的解析式化成顶点式即可得出函数的最小值，根据最小值即可证得；（3）根据平移的规律，是顶点纵坐标等于或小于1即可．【解答】（1）解：由题意得：，解得：，∴该函数的函数关系式为：y=x2﹣2x+3．（2）证明：∵y=x2﹣2x+3=（x﹣1）2+2，∴当x=1时，y取最小值2，∴无论x取何值，函数值y总不等于1．（3）将该函数图象向下平移的距离大于等于1个单位长度．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质以及二次函数的图象与几何变换，熟练掌握待定系数法是解题的关键．23．（7分）如图，已知△ABC，△DCE是两个全等的等腰三角形，底边BC、CE 在同一直线上，且AB=，BC=1，BD与AC交于点P．（1）求证：△BED∽△DEC；（2）求△DPC的周长．【分析】（1）根据全等三角形的性质和等腰三角形的性质得出AB=AC=DC=DE=，BC=CE=1，求出=，根据相似三角形的判定得出即可；（2）求出AC∥DE．求出==，求出PC和PD，即可求出答案．【解答】（1）证明：∵△ABC，△DCE是两个全等的等腰三角形，且底边BC、CE 在同一直线上，∴AB=AC=DC=DE=，BC=CE=1，∴BE=2BC=2，∵=，=，∴=．又∵∠BED=∠DEC，∴△BED∽△DEC；（2）解：∵△ABC，△DCE是两个全等的等腰三角形，且底边BC、CE在同一直线上，∴∠ACB=∠DEC，∴AC∥DE．∴==，∴PC=，PD=BD，过D作DM⊥CE于M，∵DC=DE，∴CM=ME=，在Rt△DMC中，由勾股定理得：DM==，在Rt△DMB中，由勾股定理得：BD==2，∴PD=BD=1，∴△DPC的周长=PC+PD+DC=+1+=+1．【点评】本题考查了三角形的中位线，勾股定理，全等三角形的性质，相似三角形的性质和判定的应用，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．24．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点D、E在⊙O上，连接AE、ED、DA，连接BD并延长至点C，使得∠DAC=∠AED．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若点E是的中点，AE与BC交于点F，①求证：CA=CF；②当BD=5，CD=4时，DF=2．【分析】（1）欲证明AC是⊙O的切线，只需证得AB⊥AC即可；（2）由圆周角、弧、弦间的关系即可推出CA=CF；（3）通过相似三角形（△ADC∽△BAC）的对应边成比例求得AC=6．得出CA=CF=6，故DF=CA﹣CD=2．【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°．∴∠ABC+∠DAB=90°．∵∠DAC=∠AED，∠AED=∠ABC，∴∠DAC+∠DAB=90°，∴AC是⊙O的切线．（3分）（2）①证明：∵点E是的中点，∴=，∴∠BAE=∠DAE．∵∠DAC+∠DAB=90°，∠ABC+∠DAB=90°，∴∠DAC=∠ABC．∵∠CFA=∠ABC+∠BAE，∠CAF=∠DAC+∠DAE，∴∠CFA=∠CAF．∴CA=CF．②解：∵∠BAC=∠ADB=90°，∴∠ACD=∠BCA，∴△ADC∽△BAC．∴=．即AC2=BC×CD=（5+4）×4=36．∴CA=CF=6，∴DF=CA﹣CD=2．故答案为2．【点评】本题考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．25．（7分）随着“互联网+”时代的到来，一种新型打车方式受到大众欢迎．该打车方式的计价规则如图①所示，若车辆以平均速度vkm/h行驶了skm，则打车费用为（ps+60q•）元（不足9元按9元计价）．小明某天用该打车方式出行，按上述计价规则，其打车费用y（元）与行驶里程x（km）的函数关系也可由如图②表示．（1）当x≥6时，求y与x的函数关系式．（2）若p=1，q=0.5，求该车行驶的平均速度．【分析】（1）直接利用待定系数法求出一次函数解析式进而得出答案；（2）利用打车费用为（ps+60q•）元，进而得出等式求出答案．【解答】解：（1）当x≥6时，设y与x之间的函数关系式为y=kx+b．根据题意，当x=6时，y=9；当x=8时，y=12．所以，所以，y与x之间的函数关系式为y=1.5x．（2）根据图象可得，当x=8时，y=12，又因为p=1，q=0.5，可得12=1×8+60×0.5×，解得：v=60．经检验，v=60是原方程的根．所以该车行驶的平均速度为60km/h．【点评】此题主要考查了一次函数的应用以及分式方程的应用，正确得出一次函数解析式是解题关键．26．（8分）某日王老师佩戴运动手环进行快走锻炼，两次锻炼后数据如表．与第一次锻炼相比，王老师第二次锻炼步数增长的百分率是其平均步长减少的百分率的3倍．设王老师第二次锻炼时平均步长减少的百分率为x（0＜x＜0.5）．注：步数×平均步长=距离．（1）根据题意完成表格填空；（2）求x；（3）王老师发现好友中步数排名第一为24000步，因此在两次锻炼结束后又走了500米，使得总步数恰好为24000步，求王老师这500米的平均步长．【分析】（1）①直接利用王老师第二次锻炼步数增长的百分率是其平均步长减少的百分率的3倍，得出第二次锻炼的步数；②利用王老师第二次锻炼时平均步长减少的百分率为x，即可表示出第二次锻炼的平均步长（米/步）；（2）根据题意表示出第二次锻炼的总距离，进而得出答案；（3）根据题意可得两次锻炼结束后总步数，进而求出王老师这500米的平均步长．【解答】解：（1）①根据题意可得：10000（1+3x）；②第二次锻炼的平均步长（米/步）为：0.6（1﹣x）；故答案为：10000（1+3x）；0.6（1﹣x）；（2）由题意：10000（1+3x）×0.6（1﹣x）=7020解得：x1=＞0.5（舍去），x2=0.1．则x=0.1，答：x的值为0.1；（3）根据题意可得：10000+10000（1+0.1×3）=23000，500÷（24000﹣23000）=0.5（m）．答：王老师这500米的平均步幅为0.5米．【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意正确表示出第二次锻炼的步数与步长是解题关键．27．（10分）如图①，现有长度分别为a、b、1的三条线段．【加、减】图②所示为长为a+b的线段，请用尺规作出长为a﹣b的线段．【乘】在图③中，OA=a，OC=b，点B在OA上，OB=1，AD∥BC，交射线OC于点D．求证：线段OD的长为ab．【除】请用尺规作出长度为的线段．【开方】任意两个有理数的和、差、积、商（除数不为0）仍然是有理数，而开方运算则打开了通向无理数的一扇门．请用两种不同的方法，画出长度为的线段．注：本题作（画）图不写作（画）法，需标明相应线段长度．【分析】【加、减】根据线段和差定义即可画出图象．【乘】根据平行线分线段成比例定理，即可解决问题．【除】根据平行线分线段成比例定理，即可解决问题．【开方】构造相似三角形，即可解决问题．【解答】解：【加、减】如图①，线段AB长为a﹣b．【乘】证明：∵AD∥BC，∴=，即=．∴OD=ab．【除】如图②，OA=a，OC=b，点B在OC上，OB=1，BD∥AC，交OA于点D．则OD=．证明：∵BD∥AC，∴=，∴=，∴OD=．【开方】图③和图④中的MN均为．理由：如图3中，BM是直径，BM=a+b，AM=1，AN⊥BM，∵∠M=∠M，∠MAN=∠MNB=90°，∴△MAN∽△MNB，∴=，∴MN2=a+b，∴MN=．如图4中，AB是直径，AB=a+b+1，BM=1，MN⊥AB，由△AMN∽△NMB，∴=，∴MN2=a+b，∴MN=．【点评】本题考查作图﹣设计应用、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．。
江苏省南京市鼓楼区2016_2017学年九年级数学上学期期中试卷(含解析)苏科版
2016-2017学年江苏省南京市鼓楼区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共6小题，每小题2分，满分12分）1．方程x2=x的根是（）A．x=1 B．x=﹣1 C．x1=0，x2=1 D．x1=0，x2=﹣12．一元二次方程x2﹣4x+4=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．无实数根 D．无法确定3．如图，圆锥的底面半径r为6cm，高h为8cm，则圆锥的侧面积为（）A．30πcm2B．48πcm2C．60πcm2D．80πcm24．某单位要招聘1名英语翻译，张明参加招聘考试的成绩如表所示：听说读写张明 90 80 83 82若把听、说、读、写的成绩按3：3：2：2计算平均成绩，则张明的平均成绩为（）A．82 B．83 C．84 D．855．如图，有一圆O通过△ABC的三个顶点．若∠B=75°，∠C=60°，且的长度为4π，则BC的长度为何？（）A．8 B．8 C．16 D．166．小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（）A．①B．②C．③D．均不可能二、填空题（共10小题，每小题2分，满分20分）7．用配方法解方程x2﹣4x=5时，方程的两边同时加上，使得方程左边配成一个完全平方式．8．若⊙O的直径为2，OP=2，则点P与⊙O的位置关系是：点P在⊙O ．9．若一元二次方程2x2+4x+1=0的两根是x1、x2，则x1+x2的值是．10．一只不透明的袋子中装有2个红球、3个白球，这些球除颜色外都相同，摇匀后从中任意摸出一个球，摸到红球的概率是．11．如图，四个小正方形的边长都是1，若以O为圆心，OG为半径作弧分别交AB、DC于点E、F，则图中阴影部分的面积为．12．如图所示圆中，AB为直径，弦CD⊥AB，垂足为H．若HB=2，HD=4，则AH= ．13．如图，AB为⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，连接AD．若∠C=80°，∠CEA=30°，则∠CDA= °．14．如图，某单位准备将院内一块长30m，宽20m的长方形花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草，如图，要使种植花草的面积为532m2，设小道进出口的宽度为x m，根据条件，可列出方程：．15．将一个三角形纸板按如图所示的方式放置一个破损的量角器上，使点C落在半圆上，若点A、B 处的读数分别为65°、20°，则∠ACB的大小为°．16．如图，△ABC中，∠B=90°，AB=11，BC=10，若⊙O的半径为5且与AB、BC相切，以下说法不正确的是．①圆心O是∠B的角平分线与AC的交点；②圆心O是∠B的角平分线与AB的垂直平分线的交点；③圆心O是AB的垂直平分线与BC的垂直平分线的交点；④圆心O是∠B的角平分线与BC的垂直平分线的交点．三、解答题（共11小题，满分88分）17．解下列一元二次方程．（1）x2+6x+5=0；（2）x2+x﹣1=0．18．甲、乙两名队员参加射击训练，成绩分别被制成下列两个统计图：根据以上信息，整理分析数据如下：平均成绩/环中位数/环众数/环方差甲 a 7 7 1.2乙7 b 8 c（1）写出表格中a，b，c的值；（2）分别运用表中的四个统计量，简要分析这两名队员的射击训练成绩．若选派其中一名参赛，你认为应选哪名队员？19．已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2=0（1）求证：不论m为何值，方程总有实数根；（2）若方程的一个根是2，求m的值及方程的另一个根．20．甲、乙、丙、丁4位同学进行一次乒乓球单打比赛，要从中选2名同学打第一场比赛．（1）已确定甲同学打第一场比赛，再从其余3名同学中随机选取1名，恰好选中乙同学的概率是；（2）随机选取2名同学，求其中有乙同学的概率．21．在⊙O中，AB为直径，C为⊙O上一点．（Ⅰ）如图1．过点C作⊙O的切线，与AB的延长线相交于点P，若∠CAB=27°，求∠P的大小；（Ⅱ）如图2，D为上一点，且OD经过AC的中点E，连接DC并延长，与AB的延长线相交于点P，若∠CAB=10°，求∠P的大小．22．我们知道，各类方程的解法虽然不尽相同，但是它们的基本思想都是“转化”，即把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新方程．认识新方程：像=x这样，根号下含有未知数的方程叫做无理方程，可以通过方程两边平方把它转化为2x+3=x2，解得x1=3，x2=﹣1．但由于两边平方，可能产生增根，所以需要检验，经检验，x2=﹣1是原方程的增根，舍去，所以原方程的解是x=3．运用以上经验，解下列方程：（1）=x；（2）x+2=6．23．圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆，用大圆的面积减去小圆的面积就是圆环的面积．（1）如图1，大圆的弦AB切小圆于点P，求证：AP=BP；（2）若AB=2a，请用含有a的代数式表示图1中的圆环面积；（3）如图2，若大圆的弦AB交小圆于C、D两点，且AB=8，CD=6，则圆环的面积为7π．24．某农场去年种植南瓜10亩，总产量为20000kg，今年该农场扩大了种植面积，并引进新品种，使产量增长到60000kg．已知今年种植面积的增长率是今年平均亩产量增长率的2倍，求今年平均亩产量的增长率．25．如图，已知△ABC，利用尺规完成下列作图（不写画法，保留作图痕迹）．（1）作△ABC的外接圆；（2）若△ABC所在平面内有一点D，满足∠CAB=∠CDB，BC=BD，求作点D．26．某青年旅社有60间客房供游客居住，在旅游旺季，当客房的定价为每天200元时，所有客房都可以住满．客房定价每提高10元，就会有1个客房空闲，对有游客入住的客房，旅社还需要对每个房间支出20元/每天的维护费用，设每间客房的定价提高了x元．（1）填表（不需化简）入住的房间数量房间价格总维护费用提价前 60 200 60×20提价后60﹣200+x （60﹣）×20（2）若该青年旅社希望每天纯收入为14000元且能吸引更多的游客，则每间客房的定价应为多少元？（纯收入=总收入﹣维护费用）27．问题呈现：如图1，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC=90°，弦BD=BA，BE⊥DC交DC的延长线于点E．求证：BE 是⊙O的切线．问题分析：连接OB，要证明BE是⊙O的切线，只要证明OB ⊥BE，由题意知∠E=90°，故只需证明OB ∥DE．解法探究：（1）小明对这个问题进行了如下探索，请补全他的证明思路：如图2，连接AD，由∠ECB是圆内接四边形ABCD的一个外角，可证∠ECB=∠BAD，因为OB=OC，所以∠CBO=∠BCO ，因为BD=BA，所以∠BAD=∠BDA ，利用同弧所对的圆周角相等和等量代换，得到∠ECB=∠CBO ，所以DE∥OB，从而证明出BE是⊙O的切线．（2）如图3，连接AD，作直径BF交AD于点H，小丽发现BF⊥AD，请说明理由．（3）利用小丽的发现，请证明BE是⊙O的切线．（要求给出两种不同的证明方法）．2016-2017学年江苏省南京市鼓楼区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共6小题，每小题2分，满分12分）1．方程x2=x的根是（）A．x=1 B．x=﹣1 C．x1=0，x2=1 D．x1=0，x2=﹣1【考点】解一元二次方程-因式分解法．【分析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：x2=x，x2﹣x=0，x（x﹣1）=0，x=0，x﹣1=0，x1=0，x2=1，故选C．【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．2．一元二次方程x2﹣4x+4=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．无实数根 D．无法确定【考点】根的判别式．【分析】将方程的系数代入根的判别式中，得出△=0，由此即可得知该方程有两个相等的实数根．【解答】解：在方程x2﹣4x+4=0中，△=（﹣4）2﹣4×1×4=0，∴该方程有两个相等的实数根．故选B．【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键是代入方程的系数求出△=0．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的判别式得正负确定方程解得个数是关键．3．如图，圆锥的底面半径r为6cm，高h为8cm，则圆锥的侧面积为（）A．30πcm2B．48πcm2C．60πcm2D．80πcm2【考点】圆锥的计算．【分析】首先利用勾股定理求出圆锥的母线长，再通过圆锥侧面积公式可以求得结果．【解答】解：∵h=8，r=6，可设圆锥母线长为l，由勾股定理，l==10，圆锥侧面展开图的面积为：S侧=×2×6π×10=60π，所以圆锥的侧面积为60πcm2．故选：C．【点评】本题主要考察圆锥侧面积的计算公式，解题关键是利用底面半径及高求出母线长即可．4．某单位要招聘1名英语翻译，张明参加招聘考试的成绩如表所示：听说读写张明 90 80 83 82若把听、说、读、写的成绩按3：3：2：2计算平均成绩，则张明的平均成绩为（）A．82 B．83 C．84 D．85【考点】加权平均数．【分析】根据加权平均数的计算公式进行计算即可．【解答】解：张明的平均成绩为：（90×3+80×3+83×2+82×2）÷10=84；故选C．【点评】此题考查了加权平均数的计算公式，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：数据的权能够反映数据的相对“重要程度”，要突出某个数据，只需要给它较大的“权”，权的差异对结果会产生直接的影响．5．如图，有一圆O通过△ABC的三个顶点．若∠B=75°，∠C=60°，且的长度为4π，则BC的长度为何？（）A．8 B．8 C．16 D．16【考点】弧长的计算．【分析】由三角形的内角和公式求出∠A，即可求得圆心角∠BOC=90°，由弧长公式求得半径，再由勾股定理求得结论．【解答】解：连接OB，OC，∵∠B=75°，∠C=60°，∴∠A=45°，∴∠BOC=90°，∵的长度为4π，∴=4π，∴OB=8，∴BC===8，故选B．【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，弧长公式，圆周角定理，勾股定理，熟记弧长公式是解决问题的关键．6．小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（）A．①B．②C．③D．均不可能【考点】垂径定理的应用．【分析】要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第①块可确定半径的大小．【解答】解：第①块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．故选A．【点评】本题考查了垂径定理的应用，确定圆的条件，解题的关键是熟练掌握：圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心．二、填空题（共10小题，每小题2分，满分20分）7．用配方法解方程x2﹣4x=5时，方程的两边同时加上 4 ，使得方程左边配成一个完全平方式．【考点】解一元二次方程-配方法．【分析】要使方程左边配成一个完全平方式，需要等式两边同时加上一次项系数一半的平方．【解答】解：∵x2﹣4x=5，∴x2﹣4x+4=5+4，∴用配方法解方程x2﹣4x=5时，方程的两边同时加上4，使得方程左边配成一个完全平方式．【点评】此题考查配方法的一般步骤：①把常数项移到等号的右边；②把二次项的系数化为1；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．8．若⊙O的直径为2，OP=2，则点P与⊙O的位置关系是：点P在⊙O 外．【考点】点与圆的位置关系．【分析】由条件可求得圆的半径为1，由条件可知点P到圆心的距离大于半径，可判定点P在圆外．【解答】解：∵⊙O的直径为2，∴⊙O的半径为1，∵OP=2＞1，∴点P在⊙O外，故答案为：外．【点评】本题主要考查点与圆的位置关系，利用点到圆心的距离d与半径r的大小关系判定点与圆的位置关系是解题的关键．9．若一元二次方程2x2+4x+1=0的两根是x1、x2，则x1+x2的值是﹣2 ．【考点】根与系数的关系．【分析】根据根与系数的关系即可得出x1+x2的值，此题的解．【解答】解：∵一元二次方程2x2+4x+1=0的两根是x1、x2，∴x1+x2=﹣=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握两根之和为﹣是解题的关键．10．一只不透明的袋子中装有2个红球、3个白球，这些球除颜色外都相同，摇匀后从中任意摸出一个球，摸到红球的概率是．【考点】概率公式．【分析】先求出总球的个数，再根据概率公式进行计算即可得出答案．【解答】解：∵有2个红球、3个白球，∴共有2+3=5个球，∴摸到红球的概率是；故答案为：．【点评】此题主要考查了概率公式的应用，关键是要明确：随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．11．如图，四个小正方形的边长都是1，若以O为圆心，OG为半径作弧分别交AB、DC于点E、F，则图中阴影部分的面积为．【考点】扇形面积的计算．【分析】先根据OD=OF得出∠DOF=60°，同理可得出∠AOE=60°，进而得出∠EOF的度数，根据扇形的面积公式即可得出结论．【解答】解：∵OD=1，OF=OG=2，∴cos∠DOF==，∴∠DOF=60°．同理，∠AOE=60°，∴∠EOF=180°﹣60°﹣60°=60°，∴图中阴影部分的面积==．故答案为：．【点评】本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．12．如图所示圆中，AB为直径，弦CD⊥AB，垂足为H．若HB=2，HD=4，则AH= 8 ．【考点】垂径定理；勾股定理．【分析】取AB的中点O，连接OD，设OD=r，则OH=r﹣2，再根据勾股定理求出r的值，进而可得出结论．【解答】解：取AB的中点O，连接OD，设OD=r，则OH=r﹣2，在Rt△ODH中，∵OH2+DH2=OD2，即（r﹣2）2+42=r2，解得r=5，∴AH=AB﹣BH=10﹣2=8．故答案为：8．【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．13．如图，AB为⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，连接AD．若∠C=80°，∠CEA=30°，则∠CDA= 20 °．【考点】圆周角定理．【分析】根据三角形的内角和得到∠CAB=180°﹣80°﹣30°=70°，连接BC，由AB为⊙O的直径，得到∠ACB=90°，根据圆周角定理即可得到结论．【解答】解：∵∠C=80°，∠CEA=30°，∴∠CAB=180°﹣80°﹣30°=70°，连接BC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠B=20°，∴∠CDA=∠B=20°，故答案为：20．【点评】本题考查了圆周角定理，三角形的内角和，正确的作出辅助线是解题的关键．14．如图，某单位准备将院内一块长30m，宽20m的长方形花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草，如图，要使种植花草的面积为532m2，设小道进出口的宽度为x m，根据条件，可列出方程：x2﹣35x+34=0 ．【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【分析】设小道进出口的宽度为xm，根据矩形的面积以及平行四边形的面积结合种植花草的面积为532m2，即可列出关于x的一元二次方程，整理后即可得出结论．【解答】解：设小道进出口的宽度为xm，根据题意，得：30×20﹣20×2x﹣30x+2xx=532，整理，得：x2﹣35x+34=0．故答案为：x2﹣35x+34=0．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据数量关系列出关于x的一元二次方程是解题的关键．15．将一个三角形纸板按如图所示的方式放置一个破损的量角器上，使点C落在半圆上，若点A、B处的读数分别为65°、20°，则∠ACB的大小为22.5 °．【考点】圆周角定理．【分析】设半圆圆心为O，连OA，OB，则∠AOB=86°﹣30°=56°，根据圆周角定理得∠ACB=∠AOB，即可得到∠ACB的大小．【解答】解：连结OA、OB，如图，∵点A、B的读数分别为65°，20°，∴∠AOB=65°﹣20°=45°，∴∠ACB=∠AOB=22.5°．故答案为：22.5．【点评】本题考查了圆周角定理，即在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，会使用量角器是解决本题的关键．16．如图，△ABC中，∠B=90°，AB=11，BC=10，若⊙O的半径为5且与AB、BC相切，以下说法不正确的是①②③．①圆心O是∠B的角平分线与AC的交点；②圆心O是∠B的角平分线与AB的垂直平分线的交点；③圆心O是AB的垂直平分线与BC的垂直平分线的交点；④圆心O是∠B的角平分线与BC的垂直平分线的交点．【考点】切线的性质；线段垂直平分线的性质．【分析】首先连接OD，OE，易得四边形ODBE是正方形，即可得点O在∠B的平分线上，OE是BC的垂直平分线，OD不是AB的垂直平分线，O不在AC的垂直平分线上，点O不在AC上．【解答】解：∵⊙O的半径为5且与AB、BC相切，∴OD⊥AB，OE⊥BC，OD=OE=5，∵∠B=90°，∴四边形ODBE是正方形，∴BE=BD=OE=OD=5，∴点O在∠B的平分线上，CE=BC﹣BE=5，AD=AB﹣BD=11﹣5=6，∴OE是BC的垂直平分线，OD不是AB的垂直平分线，∵OA==，OC==5，∴OA≠OC，即O不在AC的垂直平分线上；∵AC==，∴点O不在AC上．∴①②③错误，④正确．故答案为：①②③．【点评】此题考查了切线的性质、角平分线的性质以及线段垂直平分线的性质．注意证得四边形ODBE 是正方形是关键．三、解答题（共11小题，满分88分）17．解下列一元二次方程．（1）x2+6x+5=0；（2）x2+x﹣1=0．【考点】解一元二次方程-因式分解法．【分析】（1）因式分解法求解可得；（2）公式法求解可得．【解答】解：（1）（x+1）（x+5）=0，∴x+1=0或x+5=0，解得：x=﹣1或x=﹣5；（2）∵a=1，b=1，c=﹣1，∴b2﹣4ac=1+4=5，∴x=，∴x1=，x2=．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，根据不同的方程选择合适的方法是解题的关键．18．甲、乙两名队员参加射击训练，成绩分别被制成下列两个统计图：根据以上信息，整理分析数据如下：平均成绩/环中位数/环众数/环方差甲 a 7 7 1.2 乙7b8c（1）写出表格中a ，b ，c 的值；（2）分别运用表中的四个统计量，简要分析这两名队员的射击训练成绩．若选派其中一名参赛，你认为应选哪名队员？【考点】方差；条形统计图；折线统计图；中位数；众数．【分析】（1）利用平均数的计算公式直接计算平均分即可；将乙的成绩从小到大重新排列，用中位数的定义直接写出中位数即可；根据乙的平均数利用方差的公式计算即可； （2）结合平均数和中位数、众数、方差三方面的特点进行分析． 【解答】解：（1）甲的平均成绩a==7（环），∵乙射击的成绩从小到大从新排列为：3、4、6、7、7、8、8、8、9、10， ∴乙射击成绩的中位数b==7.5（环），其方差c=×[（3﹣7）2+（4﹣7）2+（6﹣7）2+2×（7﹣7）2+3×（8﹣7）2+（9﹣7）2+（10﹣7）2]=×（16+9+1+3+4+9）=4.2（环）；（2）从平均成绩看甲、乙二人的成绩相等均为7环，从中位数看甲射中7环以上的次数小于乙，从众数看甲射中7环的次数最多而乙射中8环的次数最多，从方差看甲的成绩比乙的成绩稳定； 综合以上各因素，若选派一名学生参加比赛的话，可选择乙参赛，因为乙获得高分的可能更大． 【点评】本题考查的是条形统计图和方差、平均数、中位数、众数的综合运用．熟练掌握平均数的计算，理解方差的概念，能够根据计算的数据进行综合分析．19．已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2=0（1）求证：不论m为何值，方程总有实数根；（2）若方程的一个根是2，求m的值及方程的另一个根．【考点】根与系数的关系；根的判别式．【分析】（1）分类讨论：当m=0时，方程为一元一次方程，有一个实数解；当m≠0时，计算判别式得到△=（m﹣2）2≥0，则方程有两个实数解，于是可判断不论m为何值，方程总有实数根；（2）设方程的另一个根为t，利用根与系数的关系得到2+t=，2t=，然后解关于t与m的方程组即可．【解答】（1）证明：当m=0时，方程变形为﹣2x+2=0，解得x=1；当m≠0时，△=（m+2）2﹣4m2=（m﹣2）2≥0，方程有两个实数解，所以不论m为何值，方程总有实数根；（2）设方程的另一个根为t，根据题意得2+t=，2t=，则2+t=1+2t，解得t=1，所以m=1，即m的值位1，方程的另一个根为1．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．也考查了根的判别式．20．甲、乙、丙、丁4位同学进行一次乒乓球单打比赛，要从中选2名同学打第一场比赛．（1）已确定甲同学打第一场比赛，再从其余3名同学中随机选取1名，恰好选中乙同学的概率是；（2）随机选取2名同学，求其中有乙同学的概率．【考点】列表法与树状图法；概率公式．【分析】（1）直接利用概率公式求解；（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出选取2名同学中有乙同学的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：（1）已确定甲同学打第一场比赛，再从其余3名同学中随机选取1名，恰好选中乙同学的概率=；故答案为；（2）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中选取2名同学中有乙同学的结果数为6，所以有乙同学的概率==．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．21．在⊙O中，AB为直径，C为⊙O上一点．（Ⅰ）如图1．过点C作⊙O的切线，与AB的延长线相交于点P，若∠CAB=27°，求∠P的大小；（Ⅱ）如图2，D为上一点，且OD经过AC的中点E，连接DC并延长，与AB的延长线相交于点P，若∠CAB=10°，求∠P的大小．【考点】切线的性质．【分析】（Ⅰ）连接OC，首先根据切线的性质得到∠OCP=90°，利用∠CAB=27°得到∠COB=2∠CAB=54°，然后利用直角三角形两锐角互余即可求得答案；（Ⅱ）根据E为AC的中点得到OD⊥AC，从而求得∠AOE=90°﹣∠EAO=80°，然后利用圆周角定理求得∠ACD=∠AOD=40°，最后利用三角形的外角的性质求解即可．【解答】解：（Ⅰ）如图，连接OC，∵⊙O与PC相切于点C，∴OC⊥PC，即∠OCP=90°，∵∠CAB=27°，∴∠COB=2∠CAB=54°，在Rt△AOE中，∠P+∠COP=90°，∴∠P=90°﹣∠COP=36°；（Ⅱ）∵E为AC的中点，∴OD⊥AC，即∠AEO=90°，在Rt△AOE中，由∠EAO=10°，得∠AOE=90°﹣∠EAO=80°，∴∠ACD=∠AOD=40°，∵∠ACD是△ACP的一个外角，∴∠P=∠ACD﹣∠A=40°﹣10°=30°．【点评】本题考查了切线的性质，解题的关键是能够利用圆的切线垂直于经过切点的半径得到直角三角形，难度不大．22．我们知道，各类方程的解法虽然不尽相同，但是它们的基本思想都是“转化”，即把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新方程．认识新方程：像=x这样，根号下含有未知数的方程叫做无理方程，可以通过方程两边平方把它转化为2x+3=x2，解得x1=3，x2=﹣1．但由于两边平方，可能产生增根，所以需要检验，经检验，x2=﹣1是原方程的增根，舍去，所以原方程的解是x=3．运用以上经验，解下列方程：（1）=x；（2）x+2=6．【考点】无理方程；分式方程的增根．【分析】（1）根据平方，可得整式方程，根据解整式方程，可得答案；（2）根据平方，可得整式方程，根据解整式方程，可得答案．【解答】解：（1）两边平方，得16﹣6x=x2，整理得：x2+6x﹣16=0，解得x1=﹣8，x1=2；经检验x=﹣8是增根，所以原方程的根为x=2；（2）移项得：2=6﹣x两边平方，得4x﹣12=x2﹣12x+36，解得x1=4，x2=12（不符合题意，舍）．【点评】本题考查了无理方程，利用平方转化成整式方程是解无理方程的关键，注意要检验方程的根．23．圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆，用大圆的面积减去小圆的面积就是圆环的面积．（1）如图1，大圆的弦AB切小圆于点P，求证：AP=BP；（2）若AB=2a，请用含有a的代数式表示图1中的圆环面积；（3）如图2，若大圆的弦AB交小圆于C、D两点，且AB=8，CD=6，则圆环的面积为7π．【考点】切线的性质．【分析】（1）根据切线的性质以及垂径定理即可证明．（2）根据圆环的面积等于两圆的面积差，再根据切线的性质定理、勾股定理、垂径定理求解．（3）首先连接OA，OC，由勾股定理可得：OE2=OA2﹣AE2，OE2=OC2﹣CE2，继而可得OA2﹣OC2=7，则可求得圆环的面积【解答】（1）证明：如图1中，连接OP．∵AB是小圆的切线，P是切点，∴OP⊥AB，∴PA=PB．（2）解：如图1中，连接OB．∵大圆的弦AB是小圆的切线，∴OP⊥AB，AP=PB，∴OB2﹣OP2=（2a÷2）2=a2，∵S圆环=S大﹣S小=πOB2﹣πOP2=π（OB2﹣OP2），∴S圆环=πa2．（3）解：如图2中，连接OA，OC，作OE⊥AB于点E．在Rt△AOE与Rt△OCE中：OE2=OA2﹣AE2，OE2=OC2﹣CE2，∴OA2﹣AE2=OC2﹣CE2，∴OA2﹣OC2=AE2﹣CE2，∵AB=8，CD=6，∴AE=EB=4，CE=DE=3，∴OA2﹣OC2=7，∴圆环的面积为：πOA2﹣πOC2=π（OA2﹣OC2）=7π．故答案为7π．【点评】此题考查了垂径定理、勾股定理、圆的面积的等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，注意数形结合思想的应用，属于中考常考题型．24．某农场去年种植南瓜10亩，总产量为20000kg，今年该农场扩大了种植面积，并引进新品种，使产量增长到60000kg．已知今年种植面积的增长率是今年平均亩产量增长率的2倍，求今年平均亩产量的增长率．【考点】一元二次方程的应用．【分析】根据增长后的产量=增长前的产量（1+增长率），设南瓜亩产量的增长率为x，则种植面积的增长率为2x，列出方程求解．【解答】解：设南瓜亩产量的增长率为x，则种植面积的增长率为2x．根据题意，得10（1+2x）2000（1+x）=60000．解得：x1=0.5，x2=﹣2（不合题意，舍去）．答：南瓜亩产量的增长率为50%．【点评】本题考查的是基本的一元二次方程的应用题，解题的关键是了解有关增长率问题的一般解法，难度一般．25．如图，已知△ABC，利用尺规完成下列作图（不写画法，保留作图痕迹）．（1）作△ABC的外接圆；（2）若△ABC所在平面内有一点D，满足∠CAB=∠CDB，BC=BD，求作点D．【考点】作图—复杂作图；圆周角定理；三角形的外接圆与外心．【分析】（1）作出BD、BC的垂直平分线，两线的交点就是⊙O的圆心O的位置，然后以O为圆心AO 长为半径画圆即可；（2）以B为圆心，BC长为半径化弧，交⊙O于点D，再连接BD，CD即可．【解答】解：（1）如图所示：⊙O即为所求；（2）如图所示：点D即为所求．【点评】此题主要考查了复杂作图，以及圆周角定理，关键是掌握三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．26．某青年旅社有60间客房供游客居住，在旅游旺季，当客房的定价为每天200元时，所有客房都可以住满．客房定价每提高10元，就会有1个客房空闲，对有游客入住的客房，旅社还需要对每个房间支出20元/每天的维护费用，设每间客房的定价提高了x元．（1）填表（不需化简）入住的房间数量房间价格总维护费用提价前 60 200 60×20提价后60﹣200+x （60﹣）×20（2）若该青年旅社希望每天纯收入为14000元且能吸引更多的游客，则每间客房的定价应为多少元？（纯收入=总收入﹣维护费用）【考点】一元二次方程的应用．【分析】（1）住满为60间，x表示每个房间每天的定价增加量；定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，房间空闲个数为，入住量=60﹣房间空闲个数，列出代数式；（2）用：每天的房间收费=每间房实际定价×入住量，每间房实际定价=200+x，列出方程．【解答】解：（1）∵增加10元，就有一个房间空闲，增加20元就有两个房间空闲，以此类推，空闲的房间为，∴入住的房间数量=60﹣，房间价格是（200+x）元，总维护费用是（60﹣）×20．故答案是：60﹣；200+x；（60﹣）×20；（2）依题意得：（200+x）（60﹣）﹣（60﹣）×20=14000，。
2016年度南京市中考模拟数学检验卷及答案解析(鼓楼二模)
2016年中考数学模拟测试卷（鼓楼二模）全卷满分120分．考试时间为120分钟．一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．）1．下列关于“－1”的说法中，错误的是（）A．－1的相反数是1 B．－1是最小的负整数C．－1的绝对值是1 D．－1是最大的负整数2．16等于A．－4B．4C．±4D．2563．北京时间2016年2月11日23点30分，科学家宣布：人类首次直接探测到了引力波，印证了爱因斯坦100年前的预言．引力波探测器LIGO的主要部分是两个互相垂直的长臂，每个臂长4000米，数据4000用科学计数法表示为A．0.4×103 B．0.4×104C．4×103 D．4×1044．计算(－2xy2)4的结果是A．8x4y8 B．－8x4y8 C．16 xy8 D．16 x4y85．如图，图（1）是一枚古代钱币，图（2）是类似图（1）的几何图形，将图（2）中的图形沿一条对称轴折叠得到图（3），关于图（3）描述正确的是A．只是轴对称图形B．只是中心对称图形C．既是轴对称图形又是中心对称图形D．既不是轴对称图形也不是中心对称图形6．将一块长a米，宽b米的矩形空地建成一个矩形花园，要求在花园中修两条入口宽均为x米的小道，其中一条小道两边分别经过矩形一组对角顶点，剩余的地方种植花草．现有从左至右三种设计方案如图所示，种植花草的面积分别为为S S3，则它们的大小关系为图（1）图（2）图（3）60°x x30°x xx x30°30°30°A ．S 3＜S 1＜S 2B ．S 1＜S 3＜S 2C ． S 2＜S 1＜S 3D ．S 1＝S 2＝S 3二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．） 7．使式子1x ＋2有意义的x 的取值范围是 ▲ ． 8．计算48－27的结果为 ▲ ．9．把4x 3－x 分解因式，结果为 ▲ ．10．反比例函数y ＝k x的图像经过点P （3，－2），则k= _____▲_____．11．如图，把等腰直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，则∠1＋∠2＝ ▲ °．12．不等式组⎩⎨⎧1+x ≥0，x3 +1＞ x+12．的解集为 ▲ ． 13．“微信发红包”是刚刚兴起的一种娱乐方式，为了解所在单位员工春节期间使用微信发红包的情况，小红随机调查了15名同事，结果如下表：则此次调查中平均每个红包的钱数的众数为 ▲ 元，中位数为 ▲ 元．14．如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD 与AB 交于点E ，连接AD ．若∠C ＝80°，∠CEA ＝30°，则∠CDA ＝ ▲ °．15．如图，二次函数y 1＝ax 2＋bx ＋c与函数y 2＝kx 的图像交于点A 和原点O ，点A 的横坐标为－4， 点A 和点B 关于抛物线的对称轴对称，点B 的横坐标为1，则满足0＜y 1＜y 2的x 的取值范围是 ▲ ．（第11题） 12（第14题）（第15题）矩形 菱形平行四边形图②四边形正方形（第16题）16．如图①，四边形ABCD 中，若AB ＝AD ，CB ＝CD ，则四边形ABCD 称为筝形．根据筝形与四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系，请你在图②中画出筝形的大致区域，并用阴影表示．三、解答题（本大题共11小题，共88分） 17．（10分）（1）解方程 1－x x －2＝12－x －2； （2）计算 a －2a 2－1÷ (1a －1－1) ．18．（9分）为了了解某校1500名初中生冬季最喜欢的体育活动，该校随机抽取了校内部分学生进行调查，整理样本数据，得到下列统计图．根据以上信息回答下列问题：（1）共抽取了 ▲ 名校内学生进行调查，扇形图中m 值为 ▲ ． （2）通过计算补全直方图．（3）在各个项目被调查的学生中，男女生人数比例如下表：y跑步（第18题）踢毽子 跳绳根据这次调查，估计该校初中生中，男生人数是多少？19．（8分）把甲、乙两张形状、大小相同但是画面不同的风景图片都按同样的方式剪成相同的2段，混合洗匀．（1）从这堆图片中随机抽出一张，放回混合洗匀，再抽出一张．则抽出的这两张图片恰好是可以拼成同一张风景图片的概率为▲；（2）从这堆图片中随机抽出两张，求抽出的这两张图片恰好可以组成甲图片的概率．20．（9分）已知，如图，PA与⊙O相切于点A，过A作AB⊥OP，交⊙O于点B，垂足为H．连接OA、OB、PB．A（1）求证：PB为⊙O的切线；（2）若OA＝2，PH＝4，求OP的长．O PHB（第20题）21．（8分）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°．BC ＝3，CA ＝4，矩形DEFC 的顶点D 、E 、F 都在△ABC 的边上．（1）设DE ＝x ，则AD ＝ ▲ （用含x 的代数式表示）； （2） 求矩形DEFC 的最大面积．22．（8分）在某大型游乐场，景点A 、B 、C 依次位于同一直线上（如图），B 处是登高观光电梯的入口．已知A 、C 之间的距离为70米，EB ⊥AC ．电梯匀速运行10秒可从B 处到达D 处，此时可观察到景点C ，电梯再次以相同的速度匀速运行30秒可到达E 处，此时可观察到景点A ．在D 、E 处分别测得∠BDC ＝60°，∠BEA ＝30°．求电梯在上升过程中的运行速度．（第22题）CBA ED （第21题）CAEDF23．（7分）“郁郁林间桑葚紫，芒芒水面稻苗青”说的就是味甜汁多、酸甜适口的水果——桑葚．4月份，水果店的小李用3000元购进了一批桑葚，随后的两天他很快以高于进价40% 的价格卖出150kg ．到了第三天，他发现剩余的桑葚卖相已不大好，于是果断地以低于进价20%的价格将剩余的全部售出．小李前后一共获利750元，设小李共购进桑葚x kg ． （1）根据题意完成表格填空；（用含x 的代数式表示）（2）求x ．24．（8分）如图，已知点A 、点B 和直线l ．（保留作图痕迹，不写作法） （1）在图（1）中，利用尺规在直线l 上作出点P ，使得∠APB ＝90°； （2）在图（2）中，利用尺规在直线l 上作出点P ，使得∠CQD ＝60°．（第24题）（1）（2）ABl CDl（1）请解释图中点B 的的实际意义；20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240260 y (米x (秒)O50（2）求线段BC 所表示的y 与x 的函数关系式；（3）甲、乙两人在跑步过程中相遇的时间是__________________________秒．26. （11分）在□ABCD 中，∠BAD 、∠ABC 、∠BCD 、∠CDA 平分线分别为AG 、BE 、CE 、DG ，BE 与CE 交于点E ，AG 与BE 交于点F ，AG 与DG 交于点G ， CE 与DG 交于点H .（1）如图（1），已知AD ＝2AB ，此时点E 、G 分别在边AD 、BC 上. ①四边形EFGH 是___________；A. 平行四边形B. 矩形C. 菱形D. 正方形 ②请判断EG 与AB 的位置关系和数量关系，并说明理由；（2）如图（2），分别过点E 、G 作EP ∥BC 、GQ ∥BC ，分别交AG 、BE 于点P 、Q ，连结PQ 、EG .求证：四边形EPQG 为菱形；（3）已知AD ＝n AB （n ≠2），判断EG 与AB 的位置关系和数量关系（直接写出结论）.A BCDEFGH 图（1）ABC DE F GHP Q图（2）数学试题参考答案及评分标准说明：本评分标准每题给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，参照本评分标准的精神给分．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 7．x ≠－2； 8． 3 9．x （2x ＋1）（2x －1） 10．－6 11．13512．－1≤x ＜3 13．2 ，5 14．20 15．－4＜x ＜－3．16．三、解答题（本大题共11小题，共88分）17．（10分）（1）解：方程两边同乘以x －2得：1－x ＝－1－2（x －2）．……………2分解这个方程，得 x ＝2 ．…………………………………………………………4分 经检验：x ＝2是增根，原方程无解．………………………………………5分 （2）a －2a 2－1÷ (1a －1－1) ＝a －2(a ＋1)(a －1)÷(1a －1－a －1a －1) …………………2分16题＝a －2(a ＋1)(a －1)·a －12－a……………………4分＝－1a ＋1………………………5分18．（9分）解：（1）200，m =25%.……………………………………………………4分（2）略 ………………………………………………………………………6分（3）1500×(20%×14 ＋ 25%×25＋40%× 34＋15%×45)………………………………………8分＝855(人)答:估计该校初中毕业生中，男生人数为855人………………………………………9分 19．（8分）（1）14………………………………………………………2分（2）画树状图或列表，………………………………………………………6分一共有12种等可能的结果，其中抽出的这两张图片恰好可以组成甲图片的情况有2种， ∴抽出的这两张图片恰好可以组成甲图片的概率＝212＝16……………………………8分20．（9分）∵PA 与⊙O 相切于点A ，∴OA ⊥PA ，……………………………………………………1分 即∠PAO ＝90°，∵OP ⊥AB ，∴AH ＝BH ，即OP 垂直平分AB ， ∴PA ＝PB ． 在⊙O 中，OA ＝OB ，∵OP ＝OP ，∴△OAP ≌△OBP ，……………………………………………………3分 ∴∠PBO ＝∠PAO ＝90°， 即OB ⊥PB ． 又∵点B 在⊙O 上，∴PB 为⊙O 的切线．………………………………………………………4分 （2）∵AB ⊥OP ， ∴∠AHP ＝90°， ∴∠APO ＋∠PAH ＝90°， 由（1）知∠PAO ＝90°，∴∠OAH ＋∠PAH ＝90°，∴∠OAH ＝∠APO ，又∵∠AOH ＝∠POA ，∴△OAH ∽△OPA ，………………………………………………………5分 ∴OA OP＝OH OA，∴OA 2＝OH ×OP ，∴22＝(OP －4)·OP ………………………………………………………7分OP ＝2±22，∵OP ＞0∴OP ＝2＋22………………………………………………………8分21．（8分）（1）43x ………………………………………………………2分（2）矩形DEFC 的面积＝(4－43x ) x ……………………………………………………4分＝－43x 2＋4x ＝－43(x －32)2＋3………………………6分 ∵0≤x ≤3∴当x ＝32时，矩形DEFC 的面积有最大值，最大值是3…………………8分22．（8分）设电梯在上升过程中的运行速度为x m/s ． ∵ BE ⊥AC ，∴ ∠ABE ＝∠CBE ＝90°． 在Rt △ABE 中，∠ABE ＝90°，∠BEA ＝30°， ∴ tan ∠BEA ＝AB BE，∴ tan30°＝AB BE，∴ 33＝AB40x ，∴ AB ＝4033x ．…………………2分在Rt △BDC 中，∠CBD ＝90°，∠BDC ＝60°， ∴ tan ∠BDC ＝BCBD．∴ tan60°＝BCBD．∴ 3＝BC10x．∴ BC ＝103x ．……………………………………………………4分∴ AC ＝AB ＋BC ＝4033x ＋103x ＝7033x ．由题意得AC ＝70，∴7033x ＝70．……………………………………………………6分（第22题）CBAED∴ x ＝3．……………………………………………………7分∴ 电梯在上升过程中的运行速度为3m/s ．…………………………………………8分23．（7分）（1）①3000x •（1＋40%） ②3000x•（1－20%） ③x －150…………………3分（2）根据题意得150•3000x •（1＋40%）＋（x －150）•3000x•（1－20%）－3000=750，…5分或 150•3000x •40%－（x －150）•3000x•6分经检验x =200是原方程的解． 答：小李共购进桑葚200kg ．………7分24．（8分）（1）点P 1、P 2为所要作的点．……………………………………………………4分 （2）8分200米(且已在此处休息10y (米l由图像可知：B （50，200），点C 的纵坐标为400，∴ 点C 的横坐标为50＋（400－200）÷5＝90，即C （90，400）．将B （50，200），C （90，400）分别代入y BC ＝kx ＋b 得⎩⎨⎧ 50k ＋b ＝200， 90k ＋b ＝400，解得⎩⎨⎧ k ＝5， b ＝－50，∴ y BC ＝5x －50；……………………………………………………7分（3）120、145、170秒．下方方法供参考……………………………10分26. （11分）（1）①B ；……………………………………………………1分 ②EG ∥AB ，EG ＝AB .理由：∵ 四边形ABCD 是平行四边形， ∴ AD ∥BC ，∴ ∠AEB ＝∠EBG . ∵ BE 平分∠ABC ，∴ ∠ABE ＝∠EBG ， ∴ ∠ABE ＝∠AEB ，∴ AB ＝AE . 同理，BG ＝AB ，∴ AE ＝BG .∵ AE ∥BG ，AE ＝BG ，∴ 四边形ABGE 是平行四边形.∴ EG ∥AB ，EG ＝AB . ……………………………………………………5分 （2） 证明：分别延长EP 、GQ ，交AB 于点M 、N ， 分别延长PE 、QG ，交CD 于点M'、N'， ∵ 四边形ABCD 是平行四边形， ∴ AB ∥DC ，又∵ PE ∥BC ， ∴ 四边形MBCM'是平行四边形， ∴ MM '＝BC ，MB ＝M'C . ∵ PE ∥BC ，A BCEFGH ABCFEGHP QM N M'N'_∴ ∠MEB ＝∠EBC . ∵ BE 平分∠ABC ， ∴ ∠ABE ＝∠EBC ， ∴ ∠MEB ＝∠ABE ，∴ MB ＝ME .同理，M'E ＝M'C . ∴ ME ＝M'E .∴ ME ＝12MM '，又∵ MM '＝BC ， ∴ ME ＝12BC .同理，NG ＝12BC.∴ ME ＝NG .∵ GQ ∥BC ， ∴ ∠DAG ＝∠AGN . ∵ AG 平分∠BAD ， ∴ ∠DAG ＝∠NAG ， ∴ ∠NAG ＝∠AGN ， ∴ AN ＝NG .∵ MB ＝ME ，AN ＝NG ，ME ＝NG ， ∴ MB ＝AN .∴ MB －MN ＝AN －MN ，即BN ＝AM . ∵ PE ∥BC ， ∴ ∠DAG ＝∠APM , 又∵ ∠DAG ＝∠BAG ， ∴ ∠APM ＝∠BAG ，∴ AM ＝PM .同理，BN ＝QN . ∴ PM ＝QN .∵ ME ＝NG ，PM ＝QN ，∴ ME －PM ＝NG －QN ，即PE ＝QG . ∵ EP ∥BC ，GQ ∥BC ， ∴ EP ∥GG . 又∵ PE ＝QG ，∴ 四边形EPQG 是平行四边形. ∵ AG 、BE 分别平分∠BAD ，∠ABC ，_∴ ∠BAG ＝12∠BAD ，∠ABG ＝12∠ABC .∴ ∠BAG ＋∠ABG ＝12∠BAD ＋12∠ABC ＝12×180°＝90°，∴∠AFB ＝90°，即PG ⊥EF .∴ 平行四边形EPQG 是菱形. ……………………………………………………9分 （3）①n ＞1时，EG ∥AB 且EG ＝（n －1）AB ； ②n ＜1时，EG ∥AB 且EG ＝（1－n ）AB ；③n ＝1时，此四边形不存在.（此种情况不写不扣分）…… …………………11分。
2016南京玄武中考数学一模试题及答案
九年级数学注意事项：1．本试卷共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效．2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上．3．答选择题必须用2B 铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动,请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置,在其他位置答题一律无效．4．作图必须用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的,请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡．．．相应位置．．．．上） 1．下列运算正确的是A ．a 3＋a 3＝a 6B ．2（a ＋1)＝2a ＋1C ．(ab )2＝a 2b 2D ．a 6÷a 3＝a 22．下列各数中,是无理数的是A ．cos30°B ．（－π）0C ．－错误!D ．错误! 3．计算2－1×8－错误!的结果是A ．－21B ．－1C ．9D ．114．体积为80的正方体的棱长在A ．3到4之间B ．4到5之间C ．5到6之间D ．6到7之间5．如图,将等边△ABC 的边AC 逐渐变成以B 为圆心、BA 为半径的错误!，长度不变，AB 、BC 的长度也不变，则∠ABC 的度数大小由60°变为 A ．错误!°B ．错误!°C ．错误!°D ．错误!°6．如图，正方形OABC 的边长为6,A ,C 分别位于x 轴、y 轴上,点P 在AB 上，CP 交OB 于点Q ，函数y ＝错误!的图象经过点Q ，若S △BPQ ＝错误!S △OQC ，则k 的值为 A ．－12B ．12C ．16D ．18（第6题）B AB CC（第5题）二、填空题(本大题共10小题,每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题．．卡相应位置．．．．．上) 7．使式子1＋错误!有意义的x 的取值范围是 ▲ ． 8．计算:错误!－错误!＝ ▲ ．9．有一组数据：1,3，3,4，4，这组数据的方差为 ▲ ． 10．设x 1，x 2是方程x 2＋4x ＋3＝0的两根，则x 1＋x 2＝ ▲ ．11．今年清明假期全国铁路发送旅客约41 000 000人次，将41 000 000用科学记数法表示为 ▲ ． 12．如图，已知⊙O 的半径为13,弦AB 长为24，则点O 到AB 的距离是 ▲ ．13．如图，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，H 为AD 边中点，OH ＝8，则菱形ABCD的周长等于 ▲ ．14．如图，正五边形ABCDE 绕点A 顺时针旋转后得到正五边形AB ′C ′D ′E ′，旋转角为α（0°≤α≤90°）,若DE ⊥B ′C ′,则∠α＝ ▲ °．15．如图,三个全等的小矩形沿“横-竖—横"排列在一个边长分别为5.7,4.5的大矩形中,图中一个小矩形的周长等于 ▲ ．16．若－2≤a ＜2，则满足a (a ＋b )＝b (a ＋1）＋a 的b 的整数值有 ▲ 个．（第15题）ABCDE B ′C ′D ′E ′（第14题）ABCDOH（第13题）（第12题）三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．(12分）（1）解方程：3(x －1）＝x (1－x )；（2）化简：错误!－错误!；（3）解不等式组：错误!并将解集在数轴上表示．18．（7分)如图，□ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，AE ＝CF ．（1)求证：△BOE ≌△DOF ;(2)若BD ＝EF ，连接DE 、BF ,判断四边形EBFD 的形状,并说明理由。
江苏省南京市鼓楼区20152016学年七年级下期中数学试卷解析版
2015-2016学年江苏省南京市鼓楼区七年级（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）1．下列各组图形，可由一个图形平移得到另一个图形的是（）A．B．C．D．2．下列运算正确的是（）A．x3•x3=2x6B．（﹣2x2）2=﹣4x4 C．（x3）2=x6D．x5÷x=x53．下列计算正确的是（）A．2（a﹣1）=2a﹣1 B．（a+b）（b﹣a）=b2﹣a2C．（a+1）2=a2+1 D．（﹣a﹣b）2=a2﹣2ab+b24．如图，x的值可能是（）A．11 B．12 C．13 D．145．如图，下列说法正确的是（）A．若AB∥DC，则∠1=∠2 B．若AD∥BC，则∠3=∠4C．若∠1=∠2，则AB∥DC D．若∠2+∠3+∠A=180°，则AB∥DC6．下列代数式符合表中运算关系的是（）a0.53b0.253计算结果13A．ab﹣1B．a2b﹣1C．a2b D．a﹣1b2二、填空题(本题共10小题，每题2分，共20分）7．计算：﹣3x•（4y﹣1）的结果为．8．某球形病毒颗粒直径约为0.0000001，将0.0000001用科学记数法表示为．9．计算：0.54×25=．10．命题“对顶角相等”的逆命题是．11．若x+2y﹣3=0，则2x•4y的值为．12．如图，∠1、∠2、∠3、∠4是五边形ABCDE的4个外角，若∠A=120゜．求∠1+∠2+∠3+∠4的度数．13．若x2+y2=8，xy=2，则（x﹣y）2=．14．如图，四边形ABCD中，点M、N分别在AB、BC上，将△BMN沿MN翻折，得△FMN，若MF∥AD，FN∥DC，则∠D的度数．15．我们都知道“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”，据此，请你叙述四边形的一个外角与它不相邻的三个内角的数量关系．16．如图，△ABC中，点E是BC上的一点，EC=2BE，点D是AC中点，若S△ABC=12，则S△ADF ﹣S△BEF=．三、解答题17．计算（1）3a•（﹣2a2）+a3（2）（2﹣3）0﹣（）﹣2+（）2016×（﹣4）2016．18．计算（1）（y﹣2x）（x+2y）（2）（a﹣b+1）（a+b﹣1）19．先化简再求值（2a+b）2﹣（3a﹣b）2+5a（a﹣b），其中a=，b=．20．如图，点D、E分别在AB、BC上，AF∥BC，DE∥AC．求证：∠1=∠2请你将证明过程补充完整：证明：∵AF∥BC，∴=（理由是：）∵DE∥AC∴=（理由是：）∴∠1=∠2（理由是：）21．如图，已知三角形ABC（1）分别画出图中△ABC的角平分线AF、中线BD和高CE．（2）根据（1）中的条件，回答下列问题：①写出图中面积相等的三角形（不添加其它字母和辅助线）②若∠BAC=110°，则∠AFC+∠FCE=．22．已知：如图，在△ABC中，∠A=∠ABC，直线EF分别交△ABC的边AB、AC 和CB的延长线于点D、E、F．求证：∠F+∠FEC=2∠A．23．通过计算图形的面积，可以获得一些有趣的发现．（1）如图①，在边长为a+2b的正方形空地中，有两条宽为b且互相垂直的长方形道路，其余部分是草坪，试用两种不同的方法求草坪的面积；（2）如图②，4块完全相同的长方形围成一个正方形，用不同的代数式表示图中阴影部分的面积，由此，你能得到怎样的等式？24．如果a c=b，那么我们规定（a，b）=c，例如：因为23=8，所以（2，8）=3（1）根据上述规定，填空：（3，27）=，（4，1）=（2，0.25）=；（2）记（3，5）=a，（3，6）=b，（3，30）=c．求证：a+b=c．25．把多边形的某些边向两方延长，其他各边若不全在延长所得直线的同侧，则把这样的多边形叫做凹多边形，如图（1）四边形ABCD中，作BC的延长线CM，则边AB、CD分别在直线BM的两侧，所以四边形ABCD就是一个凹四边形，我们来简单研究凹多边形的边和角的性质．（1）请你画一个凹五边形；（2）如图②，在凹六边形ABCDEF中，探索∠BCD与∠A、∠B、∠D、∠E、∠F 之间的关系；（3）如图①，在凹四边形ABCD中，证明AB+AD＞BC+CD．26．概念学习已知△ABC，点P为其内部一点，连接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC和△PAC 中，如果存在一个三角形，其内角与△ABC的三个内角分别相等，那么就称点P 为△ABC的等角点．理解应用（1）判断以下两个命题是否为真命题，若为真命题，则在相应横线内写“真”；反之，则写“假”①内角分别为30、60、90的三角形存在等角点；②任意的三角形都存在等角点．（2）探究图①中∠BPC、∠ABC、∠ACP之间的数量关系，并说明理由．解决问题如图②，在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C，若△ABC的三个内角的角平分线的交点P是该三角形的等角点．求该三角形三个内角的度数．2015-2016学年江苏省南京市鼓楼区七年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）1．下列各组图形，可由一个图形平移得到另一个图形的是（）A．B．C．D．【考点】生活中的平移现象．【分析】根据平移的基本性质，结合图形，对选项进行一一分析，排除错误答案．【解答】解：A、图形平移前后的形状和大小没有变化，只是位置发生变化，符合平移性质，故正确；B、图形由轴对称所得到，不属于平移，故错误；C、图形由旋转所得到，不属于平移，故错误；D、图形大小不一，大小发生变化，不符合平移性质，故错误．故选A．2．下列运算正确的是（）A．x3•x3=2x6B．（﹣2x2）2=﹣4x4 C．（x3）2=x6D．x5÷x=x5【考点】同底数幂的除法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．【分析】分别根据同底数幂的除法，熟知同底数幂的除法及乘方法则、合并同类项的法则、幂的乘方与积的乘方法则对各选项进行计算即可．【解答】解：A、原式=x6，故本选项错误；B、原式=4x4，故本选项错误；C、原式=x6，故本选项正确；D、原式=x4，故本选项错误．故选：C．3．下列计算正确的是（）A．2（a﹣1）=2a﹣1 B．（a+b）（b﹣a）=b2﹣a2C．（a+1）2=a2+1 D．（﹣a﹣b）2=a2﹣2ab+b2【考点】平方差公式；去括号与添括号；完全平方公式．【分析】原式利用平方差公式，完全平方公式，以及去括号法则计算得到结果，即可作出判断．【解答】解：A、原式=2a﹣2，错误；B、原式=b2﹣a2，正确；C、原式=a2+2a+1，错误；D、原式=a2+2ab+b2，错误．故选B．4．如图，x的值可能是（）A．11 B．12 C．13 D．14【考点】三角形三边关系．【分析】在两个三角形中分别利用三角形的三边关系求解即可求得x的取值范围，继而求得答案．【解答】解：∵两边长分别为8，9，∴此时1＜x＜17，又∵两边长分别为5，18，∴此时13＜x＜23，∵x的取值范围为：13＜x＜17．∴x的值可能是14．故选D．5．如图，下列说法正确的是（）A．若AB∥DC，则∠1=∠2 B．若AD∥BC，则∠3=∠4C．若∠1=∠2，则AB∥DC D．若∠2+∠3+∠A=180°，则AB∥DC 【考点】平行线的判定与性质．【分析】根据平行线的判定与性质分别进行判定即可．【解答】解：A、若AB∥DC，则∠4=∠3，故此选项错误；B、若AD∥BC，则∠1=∠2，故此选项错误；C、若∠1=∠2，则AD∥BC，故此选项错误；D、若∠2+∠3+∠A=180°，则AB∥DC，故此选项正确；故选：D．6．下列代数式符合表中运算关系的是（）a0.53b0.253计算结果13 A．ab﹣1B．a2b﹣1C．a2b D．a﹣1b2【考点】负整数指数幂．【分析】把a、b的值分别代入选项计算即可解决问题．【解答】解：当a=0.5，b=0.25时，a2b﹣1=0.25×=1，当a=3，b=3，时，a2b﹣1=9×=3，故选B．二、填空题(本题共10小题，每题2分，共20分）7．计算：﹣3x•（4y﹣1）的结果为﹣12xy+3x．【考点】单项式乘多项式．【分析】直接利用单项式乘以多项式运算法则化简求出答案．【解答】解：﹣3x•（4y﹣1）=﹣12xy+3x．故答案为：﹣12xy+3x．8．某球形病毒颗粒直径约为0.0000001，将0.0000001用科学记数法表示为1×10﹣7．【考点】科学记数法—表示较小的数．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.0000001=1×10﹣7，故答案为：1×10﹣7．9．计算：0.54×25=2．【考点】幂的乘方与积的乘方．【分析】先根据积的乘方的逆运算把0.54×25化为（0.5×2）4×2，在求得结果．【解答】解：0.54×25=（0.5×2）4×2=1×2=2，故答案为2．10．命题“对顶角相等”的逆命题是相等的角为对顶角．【考点】命题与定理．【分析】交换原命题的题设与结论即可得到其逆命题．【解答】解：命题“对顶角相等”的逆命题是“相等的角为对顶角”．故答案为相等的角为对顶角．11．若x+2y﹣3=0，则2x•4y的值为8．【考点】幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法．【分析】根据幂的乘方，可化成同底数幂的乘法，根据同底数幂的乘法，可得答案．【解答】解：2x•4y=2x•22y=2x+2y，x+2y﹣3=0，x+2y=3，2x•4y=2x+2y=23=8，故答案为：8．12．如图，∠1、∠2、∠3、∠4是五边形ABCDE的4个外角，若∠A=120゜．求∠1+∠2+∠3+∠4的度数．【考点】多边形内角与外角．【分析】首先求出与∠A相邻的外角的度数，然后根据多边形的外角和定理即可求解．【解答】解：∵与∠A相邻的外角的度数是：180﹣120=60°，∴∠1+∠2+∠3+∠4=360°﹣60°=300゜．13．若x2+y2=8，xy=2，则（x﹣y）2=4．【考点】完全平方公式．【分析】直接利用完全平方公式去括号，再将已知代入求出答案．【解答】解：∵x2+y2=8，xy=2，∴（x﹣y）2=x2+y2﹣4xy=8﹣4=4．故答案为：4．14．如图，四边形ABCD中，点M、N分别在AB、BC上，将△BMN沿MN翻折，得△FMN，若MF∥AD，FN∥DC，则∠D的度数95°．【考点】多边形内角与外角；平行线的性质．【分析】首先利用平行线的性质得出∠BMF=100°，∠FNB=70°，再利用翻折变换的性质得出∠FMN=∠BMN=50°，∠FNM=∠MNB=35°，进而求出∠B的度数以及得出∠D的度数．【解答】解：∵MF∥AD，FN∥DC，∠A=100°，∠C=70°，∴∠BMF=100°，∠FNB=70°，∵将△BMN沿MN翻折，得△FMN，∴∠FMN=∠BMN=50°，∠FNM=∠MNB=35°，∴∠F=∠B=180°﹣50°﹣35°=95°，∴∠D=360°﹣100°﹣70°﹣95°=95°．故答案为：95°．15．我们都知道“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”，据此，请你叙述四边形的一个外角与它不相邻的三个内角的数量关系与它不相邻的三个内角的和减去180°．【考点】多边形内角与外角．【分析】根据邻补角的定义，以及四边形的内角和定理即可证得．【解答】解：四边形的一个外角与相邻的内角互补，而四个内角的和是360度，则四边形的一个外角等于：与它不相邻的三个内角的和减去180°．故答案是：与它不相邻的三个内角的和减去180°．16．如图，△ABC中，点E是BC上的一点，EC=2BE，点D是AC中点，若S△ABC=12，则S△ADF ﹣S△BEF=2．【考点】三角形的面积．【分析】本题需先分别求出S △ABD ，S △ABE 再根据S △ADF ﹣S △BEF =S △ABD ﹣S △ABE 即可求出结果．【解答】解：∵点D 是AC 的中点，∴AD=AC ，∵S △ABC =12，∴S △ABD =S △ABC =×12=6．∵EC=2BE ，S △ABC =12，∴S △ABE =S △ABC =×12=4，∵S △ABD ﹣S △ABE =（S △ADF +S △ABF ）﹣（S △ABF +S △BEF ）=S △ADF ﹣S △BEF ，即S △ADF ﹣S △BEF =S △ABD ﹣S △ABE =6﹣4=2．故答案为：2．三、解答题17．计算（1）3a•（﹣2a 2）+a 3（2）（2﹣3）0﹣（）﹣2+（）2016×（﹣4）2016．【考点】单项式乘单项式；零指数幂；负整数指数幂．【分析】（1）直接利用单项式乘以单项式化简，进而合并同类项求出答案； （2）直接利用零指数幂的性质以及结合积的乘方运算法则化简求出答案．【解答】解：（1）3a•（﹣2a 2）+a 3=﹣6a 3+a 3=﹣5a 3；（2）（2﹣3）0﹣（）﹣2+（）2016×（﹣4）2016=1﹣4+[×（﹣4）]2016=1﹣4+1=﹣2．18．计算（1）（y﹣2x）（x+2y）（2）（a﹣b+1）（a+b﹣1）【考点】多项式乘多项式．【分析】（1）直接利用多项式乘以多项式运算法则求出答案；（2）利用平方差公式结合完全平方公式求出答案．【解答】解：（1）（y﹣2x）（x+2y）=xy+2y2﹣2x2﹣4xy=2y2﹣3xy﹣2x2；（2）（a﹣b+1）（a+b﹣1）=[（a+b）﹣1][a﹣（b﹣1）]=a2﹣（b﹣1）2=a2﹣b2+2b﹣1．19．先化简再求值（2a+b）2﹣（3a﹣b）2+5a（a﹣b），其中a=，b=．【考点】整式的混合运算—化简求值．【分析】原式前两项利用完全平方公式展开，最后一项利用单项式乘多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，将a与b的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式=4a2+4ab+b2﹣9a2+6ab﹣b2+5a2﹣5ab=5ab，当a=，b=时，原式=5××=．20．如图，点D、E分别在AB、BC上，AF∥BC，DE∥AC．求证：∠1=∠2请你将证明过程补充完整：证明：∵AF∥BC，∴∠2=∠C（理由是：两直线平行，内错角相等）∵DE∥AC∴∠1=∠C（理由是：两直线平行，同位角相等）∴∠1=∠2（理由是：等量代换）【考点】平行线的性质．【分析】根据平行线的性质得到∠2=∠C，∠1=∠C，等量代换即可得到结论．【解答】证明：如图，∵AF∥BC，∴∠2=∠C（理由是：两直线平行，内错角相等）∵DE∥AC∴∠1=∠C（理由是：两直线平行，同位角相等）∴∠1=∠2（理由是：等量代换）．故答案为：∠2，∠C，两直线平行，内错角相等，∠1，∠C，两直线平行，同位角相等，等量代换．21．如图，已知三角形ABC（1）分别画出图中△ABC的角平分线AF、中线BD和高CE．（2）根据（1）中的条件，回答下列问题：①写出图中面积相等的三角形 S △ABD =S △BDC （不添加其它字母和辅助线） ②若∠BAC=110°，则∠AFC +∠FCE= 145° ．【考点】作图—复杂作图；三角形的面积；三角形内角和定理．【分析】（1）直接利用三角形的中线、角平分线、高线的定义得出符合题意的图形；（2）①直接利用中线的性质得出面积相等的三角形；②利用三角形外角的性质结合三角形内角和定理、角平分线的性质得出答案．【解答】解：（1）如图所示：角平分线AF 、中线BD 和高CE 即为所求；（2）①∵BD 是△ABC 的中线，∴S △ABD =S △BDC ；②∵∠BAC=110°，∴∠EAC=70°，∠BAF=∠FAC=55°，∠ABC +∠ACB=70°，∴∠ECA=20°，∵∠AFC=∠ABF +∠BAF=∠ABF +55°，则∠AFC +∠FCE=∠ABC +55°+∠ACB +20°=145°．故答案为：S △ABD =S △BDC ；145°．22．已知：如图，在△ABC 中，∠A=∠ABC ，直线EF 分别交△ABC 的边AB 、AC 和CB 的延长线于点D 、E 、F ．求证：∠F +∠FEC=2∠A ．【考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质．【分析】根据外角的性质，可得出∠FEC=∠A+∠ADE，∠F+∠BDF=∠ABC，再根据∠A=∠ABC，即可得出答案．【解答】解：∵∠FEC=∠A+∠ADE，∴∠F+∠FEC=∠F+∠A+∠ADE，∵∠F+∠BDF=∠ABC﹣∠BDF，∠ADE=∠BDF，∴∠F+∠FEC=∠A+∠ABC，∵∠A=∠ABC，∴∠F+∠FEC=∠A+∠ABC=2∠A．23．通过计算图形的面积，可以获得一些有趣的发现．（1）如图①，在边长为a+2b的正方形空地中，有两条宽为b且互相垂直的长方形道路，其余部分是草坪，试用两种不同的方法求草坪的面积；（2）如图②，4块完全相同的长方形围成一个正方形，用不同的代数式表示图中阴影部分的面积，由此，你能得到怎样的等式？【考点】完全平方公式的几何背景．【分析】（1）方法一：利用大正方形的面积﹣空白部分的面积=草坪的面积进行计算；方法二：利用平移的方法计算草坪的面积；（2）利用面积法进行解答．【解答】解：（1）方法一：草坪的面积=（a+2b）2﹣（a+2b）b﹣（a+2b）b+b2=a2+2ab+b2；方法二：草坪的面积=（a+2b﹣b）（a+2b﹣b）=a2+2ab+b2；（2）（a+b）2=（a﹣b）+4ab．24．如果a c=b，那么我们规定（a，b）=c，例如：因为23=8，所以（2，8）=3（1）根据上述规定，填空：（3，27）=3，（4，1）=0（2，0.25）=﹣2；（2）记（3，5）=a，（3，6）=b，（3，30）=c．求证：a+b=c．【考点】同底数幂的乘法；有理数的混合运算．【分析】（1）根据已知和同底数的幂法则得出即可；（2）根据已知得出3a=5，3b=6，3c=30，求出3a×3b=30，即可得出答案．【解答】解：（1）（3，27）=3，（4，1）=0，（2，0.25）=﹣2，故答案为：3，0，﹣2；（2）证明：∵（3，5）=a，（3，6）=b，（3，30）=c，∴3a=5，3b=6，3c=30，∴3a×3b=30，∴3a×3b=3c，∴a+b=c．25．把多边形的某些边向两方延长，其他各边若不全在延长所得直线的同侧，则把这样的多边形叫做凹多边形，如图（1）四边形ABCD中，作BC的延长线CM，则边AB、CD分别在直线BM的两侧，所以四边形ABCD就是一个凹四边形，我们来简单研究凹多边形的边和角的性质．（1）请你画一个凹五边形；（2）如图②，在凹六边形ABCDEF中，探索∠BCD与∠A、∠B、∠D、∠E、∠F 之间的关系；（3）如图①，在凹四边形ABCD中，证明AB+AD＞BC+CD．【考点】四边形综合题．【分析】（1）直接利用凹五边形的定义分析得出答案；（2）根据题意结合凸多边形的性质得出540°﹣=∠A+∠B+∠D+∠E+∠F，进而得出答案；（3）利用三角形三边关系，再结合不等式的性质进而得出答案．【解答】解：（1）如图1所示：即为凹五边形；（2）如图2，连接BD，由多边形内角和定理可得：五边形ABDEF的内角和为：540°，△BCD的内角和为：180°，故540°﹣=∠A+∠B+∠D+∠E+∠F，则360°+∠BCD=∠A+∠B+∠D+∠E+∠F；（3）如图3，设DA与直线BC的交点为E，在△ABE中，BA+AE＞BE，△CED中，EC+ED＞CD，故AB+AE+EC+ED＞BE+CD则AB+AD＞BC+CD．26．概念学习已知△ABC，点P为其内部一点，连接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC和△PAC 中，如果存在一个三角形，其内角与△ABC的三个内角分别相等，那么就称点P 为△ABC的等角点．理解应用（1）判断以下两个命题是否为真命题，若为真命题，则在相应横线内写“真”；反之，则写“假”①内角分别为30、60、90的三角形存在等角点；真②任意的三角形都存在等角点．假（2）探究图①中∠BPC、∠ABC、∠ACP之间的数量关系，并说明理由．解决问题如图②，在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C，若△ABC的三个内角的角平分线的交点P是该三角形的等角点．求该三角形三个内角的度数．【考点】三角形内角和定理．【分析】（1）根据等角点的定义，可知内角分别为30、60、90的三角形存在等角点，而等边三角形不存在等角点，据此判断即可；（2）根据△ABC中，∠BPC=∠ABP+∠BAC+∠ACP以及∠BAC=∠PBC进行推导，即可得出∠BPC、∠ABC、∠ACP之间的数量关系；（3）先连接PB，PC，再根据△ABC的三个内角的角平分线的交点P是该三角形的等角点，以及三角形内角和为180°，得出关于∠A的方程，求得∠A的度数即得出可三角形三个内角的度数．【解答】解：（1）①内角分别为30、60、90的三角形存在等角点是真命题；②任意的三角形都存在等角点是假命题，如等边三角形不存在等角点；故答案为：真，假；（2）如图①，∵在△ABC中，∠BPC=∠ABP+∠BAC+∠ACP，∠BAC=∠PBC，∴∠BPC=∠ABP+∠PBC+∠ACP=∠ABC+∠ACP；（3）如图②，连接PB，PC∵P为△ABC的角平分线的交点，∴∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB，∵P为△ABC的等角点，∴∠PBC=∠A，∠BCP=∠ABC﹣2∠PBC=2∠A，∠ACB=∠BCP﹣4∠A，又∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠A+2∠A+4∠A=180°，∴∠A=，∴该三角形三个内角的度数分别为，，．2017年3月15日21 / 21。
2016年南京市中考数学模拟测试卷(高淳一模)及答案概要1讲解
2016年南京市中考数学模拟测试卷（高淳一模）、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.）1 •计算一3 +1- 5丨的结果是（▲）2. 在“201高淳国际马拉松赛”中，有来自肯尼亚、韩国、德国等16个国家和地区约10100名马拉松爱好者参加，将10100用科学记数法可表示为（▲）3 4 5 4A. 10.1 氷0B. 1.01 X0C. 1.01 氷0D. 0.101 W3. 计算（一a2）3的结果是（▲）A . a5B . —a5C. a6 D . —a64 .甲、乙、丙、丁四位同学五次数学测验成绩统计如右表所示.如果从这四位同学中，选出一位成绩较好且状态稳定的同学参加全国数学联赛，那么应选（▲）A .甲B .乙C .丙D .丁4的平方根是厶x函数y= R中自变量x的取值范围是厶甲乙丙丁平均数80858580方差42425459A. —2B. 2C. —8D. 85.将如图所示的Rt A ABC绕直角边AB旋转一周，则所得几何体的主视图为（6 .如图，矩形ABCD中，AB = 3 , BC = 4，点P从A点出发.按A T B~C的方向在AB和BC上移动.记PA=x,点D到直线PA 的距离为y,则y关于x的函数关系的大致图象是（二、填空题2分，共3B.化简18. （6分）先2 .a + 2 a — 4+ 2+1—1,其中a = 2k11.已知反比例函数 y =-的图象经过点 A （— 3, 2）,则当x =— 2时，y = ▲.X 12 .如图，四边形 ABCD 是O O 的内接四边形，/ BOD = 100 °则/ BCD =▲ °2X 1 + X 213. 一元二次方程 x + mx + 2m = 0（m^0）的两个实根分别为 X 1, X 2，则一 -= ▲.X 1X 2 -----------14. 如图，在 Rt △ OAB 中，/ AOB = 45° AB = 2，将Rt △ OAB 绕O 点顺时针旋转 90。
2015-2016年江苏省南京市鼓楼区高一上学期期中数学试卷带答案
2015-2016学年江苏省南京市鼓楼区高一（上）期中数学试卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．（5分）设全集U={1，3，5}，集合A={1，5}，则∁U A=．2．（5分）函数的定义域为．3．（5分）设集合A={1，2}，B={2，a}，若A∪B={1，2，4}，则a=．4．（5分）已知映射f：A→B，A={1，3}，B={a，b}，a，b是实数，对应法则f：x→x2，则a+b的值是．5．（5分）函数y=|x﹣2|+3的最小值是．6．（5分）已知函数f（x）满足f（x+1）=2x+3，若f（m）=3，则m=．7．（5分）若函数y=f（x）的图象与函数y=e1﹣x的图象关于y轴对称，则函数y=f （x）的解析式是．8．（5分）若幂函数y=x n（n是有理数）的图象经过点（8，4）和（﹣8，m），则m=．9．（5分）设lg2=a，lg3=b，则log512=．（用a，b表示）10．（5分）设集合A={x|4≤x＜5}，B={x|a＜x≤2a﹣1}，若A∩B=A，则实数a 的取值范围为．11．（5分）设，若f（x）是单调函数，则a的取值范围为．12．（5分）若函数在区间（﹣2，+∞）上是增函数，则a的取值范围为．13．（5分）设函数f（x）满足f（x+1）=f（x）对一切实数x恒成立，若0≤x＜1时，f（x）=2x，则f（log212）=．14．（5分）下列说法中，正确的是．（填序号）①若函数f（x）满足f（x）＜f（x+1）对一切实数x成立，则f（x）是增函数；②若函数满足|f（﹣x）|＜|f（x）|对一切实数x成立，则是奇函数或是偶函数；③若函数f（x）满足f（1﹣x）=f（x+1）对一切实数x成立，则f（x）的图象关于y轴对称；④若函数f（x）满足f（1﹣x）=f（x﹣1）对一切实数x成立，则f（x）的图象关于y轴对称．二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.15．（14分）设集合A={x|x2＜9，x∈Z}，B={x|2x＞a}．（1）若a=1，写出A∩B的所有真子集；（2）若A∩B有4个子集，求a的取值范围．16．（14分）设．（1）求的值；（2）若，求b的值．17．（14分）设f（x）=lg（5﹣x）．（1）若10f（k）=10f（2）×10f（3），求k的值；（2）若f（2m﹣1）＜f（m+1），求实数m的取值范围．18．（16分）设f（x）是定义在实数集R上的奇函数，当x＞0时，．．（1）当k=1时，求f（x）的解析式；（2）已知0＜x＜1时，f（x）＞1恒成立，求实数k的取值范围．19．（16分）已知函数f（x）=2log3（3﹣x）﹣log3（1+x）．（1）求f（x）的定义域；（2）当0≤x≤2时，求f（x）的最大值和最小值．20．（16分）设f（x）=3x+m3﹣x，m、x是实数．（1）若y=|f（x）|是偶函数，求m的值；（2）若x≥1时，3x[f（x）+1]≥0恒成立，求实数m的取值范围；（3）当m=1时，若log3[3x f（x）]﹣2x＞a对一切实数x成立，求a的最大值．2015-2016学年江苏省南京市鼓楼区高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．（5分）设全集U={1，3，5}，集合A={1，5}，则∁U A={3} ．【解答】解：全集U={1，3，5}，集合A={1，5}，则∁U A={3}．故答案为：{3}．2．（5分）函数的定义域为（1，+∞）．【解答】解：要使原函数有意义，则2x﹣2＞0，得x＞1．∴函数的定义域为（1，+∞）．故答案为：（1，+∞）．3．（5分）设集合A={1，2}，B={2，a}，若A∪B={1，2，4}，则a=4．【解答】解：∵集合A={1，2}，B={2，a}，A∪B={1，2，4}，∴a=4．故答案为：4．4．（5分）已知映射f：A→B，A={1，3}，B={a，b}，a，b是实数，对应法则f：x→x2，则a+b的值是10．【解答】解：映射f：A→B，A={1，3}，B={a，b}，a，b是实数，对应法则f：x→x2，则a=12=1，b=32=9，故a+b=10，故答案为：105．（5分）函数y=|x﹣2|+3的最小值是3．【解答】解：y=|x﹣2|+3≥3，当x=2时，取得等号．故函数y=|x﹣2|+3的最小值是3，故答案为：36．（5分）已知函数f（x）满足f（x+1）=2x+3，若f（m）=3，则m=1．【解答】解：∵f（x+1）=2x+3=2（x+1）+1，∴f（x）=2x+1，∵f（m）=3，∴2m+1=3，解得m=1，故答案为：17．（5分）若函数y=f（x）的图象与函数y=e1﹣x的图象关于y轴对称，则函数y=f （x）的解析式是y=e x+1．【解答】解：在函数y=e1﹣x的解析式中，取x=﹣x，可得y=e1+x，又函数y=f（x）的图象与函数y=e1﹣x的图象关于y轴对称，∴函数y=f（x）的解析式是y=e x+1．故答案为：y=e x+1．8．（5分）若幂函数y=x n（n是有理数）的图象经过点（8，4）和（﹣8，m），则m=4．【解答】解：幂函数y=x n（n是有理数）的图象经过点（8，4）和（﹣8，m），∴8n=4，解得n=，∴y=；当x=﹣8时，y=m==4．故答案为：4．9．（5分）设lg2=a，lg3=b，则log512=．（用a，b表示）【解答】解：log512==．故答案为：．10．（5分）设集合A={x|4≤x＜5}，B={x|a＜x≤2a﹣1}，若A∩B=A，则实数a 的取值范围为[3，4）．【解答】解：∵A∩B=A，∴A⊆B，∵A={x|4≤x＜5}，B={x|a＜x≤2a﹣1}，∴，∴3≤a＜4．故答案为：[3，4）．11．（5分）设，若f（x）是单调函数，则a的取值范围为（﹣∞，1] ．【解答】解：由题意可知f（x）在（﹣∞，0）上是增函数，在[0，+∞）上是增函数，∴f（x）在（﹣∞，0）上的值域为（﹣∞，a），在[0，+∞）上的值域为[1，+∞）．∵f（x）是单调函数，∴a≤1．故答案为（﹣∞，1]．12．（5分）若函数在区间（﹣2，+∞）上是增函数，则a的取值范围为（1，+∞）．【解答】解：y′==，∵函数在区间（﹣2，+∞）上是增函数，∴＞0在（﹣2，+∞）上恒成立，∴2a﹣2＞0，即a＞1，故答案为（1，+∞）．13．（5分）设函数f（x）满足f（x+1）=f（x）对一切实数x恒成立，若0≤x＜1时，f（x）=2x，则f（log212）=．【解答】解：f（x+1）=f（x），可得函数的周期为1，当0＜x≤1，f（x）=2x，f（log212）=f（log212﹣3）=f（log2）=2=，故答案为：14．（5分）下列说法中，正确的是④．（填序号）①若函数f（x）满足f（x）＜f（x+1）对一切实数x成立，则f（x）是增函数；②若函数满足|f（﹣x）|＜|f（x）|对一切实数x成立，则是奇函数或是偶函数；③若函数f（x）满足f（1﹣x）=f（x+1）对一切实数x成立，则f（x）的图象关于y轴对称；④若函数f（x）满足f（1﹣x）=f（x﹣1）对一切实数x成立，则f（x）的图象关于y轴对称．【解答】解：对于①，若f（x）=[x]，[x]表示不大于x的整数，显然[x]＜[x+1]，即f（x）＜f（x+1），而f（x）不是增函数，故①错误；对于②，若f（x）是奇函数或偶函数，则|f（﹣x）|=|f（x）|，与已知矛盾，故②错误；对于③，若f（1﹣x）=f（x+1），则f（x）的图象关于直线x=1对称，故③错误；对于④，若f（1﹣x）=f（x﹣1），则f[1﹣（1﹣x）]=f[（1﹣x）﹣1]，即f（x）=f（﹣x），所以f（x）关于y轴对称，故④正确．故答案为④．二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.15．（14分）设集合A={x|x2＜9，x∈Z}，B={x|2x＞a}．（1）若a=1，写出A∩B的所有真子集；（2）若A∩B有4个子集，求a的取值范围．【解答】解：（1）a=1，B={x|x＞}，A={x|x2＜9，x∈Z}={﹣2，﹣1，0，1，2}，∴A∩B={1，2}，真子集为∅，{1}，{2}．（2）若A∩B有4个子集，则A∩B中有且仅有2个元素，显然A∩B={1，2}，即1∈B，0∉B，∴0≤＜1，∴0≤a＜2，即a的取值范围是[0，2）．16．（14分）设．（1）求的值；（2）若，求b的值．【解答】解：由已知得到a==，所以（1）==；（2）=﹣=﹣=﹣3，解得﹣b=9，即b=﹣9．17．（14分）设f（x）=lg（5﹣x）．（1）若10f（k）=10f（2）×10f（3），求k的值；（2）若f（2m﹣1）＜f（m+1），求实数m的取值范围．【解答】解：（1）∵10f（k）=10f（2）×10f（3），∴f（k）=f（2）+f（3），∴lg（5﹣k）=lg3+lg2，∴5﹣k=2×3，解得k=﹣1．经过验证满足条件．∴k=﹣1．（2）∵f（x）=lg（5﹣x）单调递减．f（2m﹣1）＜f（m+1），∴2m﹣1＞m+1，5﹣（2m﹣1）＞0，5﹣（m+1）＞0，解得2＜m＜3．18．（16分）设f（x）是定义在实数集R上的奇函数，当x＞0时，．．（1）当k=1时，求f（x）的解析式；（2）已知0＜x＜1时，f（x）＞1恒成立，求实数k的取值范围．【解答】解：（1）由f（x）是定义在实数集R上的奇函数，当x＞0时，．当x＜0时，﹣x＞0，则f（x）=﹣f（﹣x）=﹣[]=；当x=0时，f（0）=0．∴；（2）由在（0，1）上恒成立，∵x+1＞0，∴k＞x+1在（0，1）上恒成立，∵x+1∈（1，2），∴k≥2．即k的取值范围为[2，+∞）．19．（16分）已知函数f（x）=2log3（3﹣x）﹣log3（1+x）．（1）求f（x）的定义域；（2）当0≤x≤2时，求f（x）的最大值和最小值．【解答】解：（1）由f（x）有意义得，解得﹣1＜x＜3．∴f（x）的定义域为（﹣1，3）．（2）f（x）=log3，令g（x）==，则g′（x）==，∵x∈[0，2]，∴（x+1）2﹣16＜0，∴g（x）是减函数，∴g（2）≤g（x）≤g（0）即≤g（x）≤9，∴当g（x）=时，f（x）取得最小值log 3=﹣1，当g（x）=9时，f（x）取得最大值log39=2．20．（16分）设f（x）=3x+m3﹣x，m、x是实数．（1）若y=|f（x）|是偶函数，求m的值；（2）若x≥1时，3x[f（x）+1]≥0恒成立，求实数m的取值范围；（3）当m=1时，若log3[3x f（x）]﹣2x＞a对一切实数x成立，求a的最大值．【解答】解：（1）若y=|f（x）|是偶函数，则f（﹣x）=f（x），即|3﹣x+m3x|=|3x+m3﹣x|，3﹣x+m3x=3x+m3﹣x，①或3﹣x+m3x=﹣3x﹣m3﹣x，②由①得m=1，由②得m=﹣1．综上m=1或m=﹣1；（2）若x≥1时，3x[f（x）+1]≥0恒成立，则等价物f（x）+1≥0，即3x+m3﹣x+1≥0，即（3x）2+3x+m≥0恒成立，则m≥﹣[（3x）2+3x]，∵y=﹣[（3x）2+3x]=﹣（3x+）2+，∵x≥1，则3x≥3，∴y≤﹣（9+3）=﹣12，∴m≥﹣12．（3）当m=1时，f（x）=3x+3﹣x，则log3[3x f（x）]﹣2x＞a对一切实数x成立，等价为log3[3x（3x+3﹣x）]﹣2x＞a对一切实数x成立，即log3[（3x）2+1]﹣2x＞a则log3＞a，∵log3＞log31=0，∴a≤0，即实数m的取值范围是（﹣∞，0]．第11页（共11页）。