2021年中考数学 压轴专题训练之动点问题(含答案)
2021中考数学 压轴专题训练之动点问题1. 如图1，在平面直角坐标系中，四边形OABC 各顶点的坐标分别为O (0，0)，A (3，33)，B (9，53)，C (14，0)．动点P 与Q 同时从O 点出发，运动时间为t 秒，点P 沿OC 方向以1单位长度/秒的速度向点C 运动，点Q 沿折线OA －AB－BC 运动，在OA ，AB ，BC 上运动的速度分别为3，3，52(单位长度/秒)．当P ，Q 中的一点到达C 点时，两点同时停止运动． (1)求AB 所在直线的函数表达式．(2)如图2，当点Q 在AB 上运动时，求△CPQ 的面积S 关于t 的函数表达式及S 的最大值．(3)在P ，Q 的运动过程中，若线段PQ 的垂直平分线经过四边形OABC 的顶点，求相应的t 值．图1 图22. 如图，抛物线y=-x 2+bx+c 与x 轴交于A ，B 两点(A 在B 的左侧)，与y 轴交于点N ，过A 点的直线l :y=kx+n 与y 轴交于点C ，与抛物线y=-x 2+bx+c 的另一个交点为D ，已知A (-1，0)，D (5，-6)，P 点为抛物线y=-x 2+bx+c 上一动点(不与A ，D 重合).(1)求抛物线和直线l 的解析式;(2)当点P 在直线l 上方的抛物线上时，过P 点作PE ∥x 轴交直线l 于点E ，作PF ∥y 轴交直线l 于点F ，求PE+PF 的最大值;(3)设M 为直线l 上的点，探究是否存在点M ，使得以点N ，C ，M ，P 为顶点的四边形为平行四边形.若存在，求出点M 的坐标;若不存在，请说明理由.3. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A (－2, －4 )、O (0, 0)、B (2, 0)三点．（1）求抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的解析式；（2）若点M 是该抛物线对称轴上的一点，求AM ＋OM 的最小值．4. 设直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1与l 2：y ＝k 2x ＋b 2，若l 1⊥l 2，垂足为H ，则称直线l 1与l 2是点H 的直角线．（1）已知直线①122y x =-+；②2y x =+；③22y x =+；④24y x =+和点C (0，2)，则直线_______和_______是点C 的直角线（填序号即可）；（2）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC 的顶点A (3，0)、B (2，7)、C (0，7)，P 为线段OC 上一点，设过B 、P 两点的直线为l 1，过A 、P 两点的直线为l 2，若l 1与l 2是点P 的直角线，求直线l 1与l 2的解析式．5. 如图①，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y=ax 2-2ax -8a 与x 轴相交于A ，B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C (0，-4).(1)点A 的坐标为 ，点B 的坐标为 ，线段AC 的长为 ，抛物线的解析式为 .(2)点P 是线段BC 下方抛物线上的一个动点.如果在x 轴上存在点Q ，使得以点B ，C ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点Q 的坐标.①6. 如图，已知抛物线211(1)444by x b x =-++（b 是实数且b ＞2）与x 轴的正半轴分别交于点A 、B （点A 位于点B 是左侧），与y 轴的正半轴交于点C ．（1）点B 的坐标为______，点C 的坐标为__________（用含b 的代数式表示）； （2）请你探索在第一象限内是否存在点P ，使得四边形PCOB 的面积等于2b ，且△PBC 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q ，使得△QCO 、△QOA 和△QAB 中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．7. 如图，已知A 、B 是线段MN 上的两点，4=MN ，1=MA ，1>MB ．以A 为中心顺时针旋转点M ，以B 为中心逆时针旋转点N ，使M 、N 两点重合成一点C ，构成△ABC ，设x AB =． （1）求x 的取值范围；（2）若△ABC 为直角三角形，求x 的值； （3）探究：△ABC 的最大面积？8. 如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A(0, 1)、B(4, 3)两点．（1）求抛物线的解析式；（2）求tan∠ABO的值；（3）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，在对称轴的左侧且平行于y轴的直线交线段AB于点N，交抛物线于点M，若四边形MNCB为平行四边形，求点M的坐标．9. 在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数y＝k(x2＋x－1)的图象交于点A(1,k)和点B(－1,－k)．（1）当k＝－2时，求反比例函数的解析式；（2）要使反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围；（3）设二次函数的图象的顶点为Q，当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值．10. 如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋4(a≠0)的对称轴为直线x＝3，抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，已知B点的坐标为(8，0)．(1)求抛物线的解析式；(2)点M为线段BC上方抛物线上的一点，点N为线段BC上的一点，若MN∥y 轴，求MN的最大值；(3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．11. 如图，直线y＝2x＋6与反比例函数y＝kx(k＞0)的图象交于点A(m，8)，与x轴交于点B，平行于x轴的直线y＝n(0＜n＜6)交反比例函数的图象于点M，交AB于点N，连接BM.(1)求m的值和反比例函数的解析式；(2)观察图象，直接写出当x＞0时不等式2x＋6－kx＞0的解集；(3)直线y＝n沿y轴方向平移，当n为何值时，△BMN的面积最大？最大值是多少？12. 如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线y＝ax2＋bx（a＞0）经过点A和x轴正半轴上的点B，AO＝BO＝2，∠AOB＝120°．（1）求这条抛物线的表达式；（2）连结OM，求∠AOM的大小；（3）如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，求点C的坐标．13. 在直角梯形OABC中，CB//OA，∠COA＝90°，CB＝3，OA＝6，BA＝35分别以OA、OC边所在直线为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系．（1）求点B的坐标；（2）已知D、E分别为线段OC、OB上的点，OD＝5，OE＝2EB，直线DE交x轴于点F．求直线DE的解析式；（3）点M是（2）中直线DE上的一个动点，在x轴上方的平面内是否存在另一点N，使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．14. 如图，已知一次函数y ＝－x ＋7与正比例函数43y x 的图象交于点A ，且与x 轴交于点B ．（1）求点A 和点B 的坐标；（2）过点A 作AC ⊥y 轴于点C ，过点B 作直线l //y 轴．动点P 从点O 出发，以每秒1个单位长的速度，沿O —C —A 的路线向点A 运动；同时直线l 从点B 出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l 交x 轴于点R ，交线段BA 或线段AO 于点Q ．当点P 到达点A 时，点P 和直线l 都停止运动．在运动过程中，设动点P 运动的时间为t 秒．①当t 为何值时，以A 、P 、R 为顶点的三角形的面积为8？②是否存在以A 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由．15. 如图，二次函数y ＝a (x 2－2mx －3m 2)（其中a 、m 是常数，且a ＞0，m ＞0）的图像与x 轴分别交于A 、B （点A 位于点B 的左侧），与y 轴交于点C (0,－3)，点D 在二次函数的图像上，CD //AB ，联结AD ．过点A 作射线AE 交二次函数的图像于点E ，AB 平分∠DAE ． （1）用含m 的式子表示a ； （2）求证：ADAE为定值； （3）设该二次函数的图像的顶点为F ．探索：在x 轴的负半轴上是否存在点G ，联结GF ，以线段GF 、AD 、AE 的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G 即可，并用含m 的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由．16. 如图，二次函数y=-x2+4x+5的图象的顶点为D，对称轴是直线l，一次函数y=x+1的图象与x轴交于点A，且与直线DA关于l的对称直线交于点B.(1)点D的坐标是.(2)直线l与直线AB交于点C，N是线段DC上一点(不与点D，C重合)，点N 的纵坐标为n.过点N作直线与线段DA，DB分别交于点P，Q，使得△DPQ与△DAB相似.①当n=时，求DP的长;②若对于每一个确定的n的值，有且只有一个△DPQ与△DAB相似，请直接写出n的取值范围.17. 已知直线y＝3x－3分别与x轴、y轴交于点A，B，抛物线y＝ax2＋2x＋c经过点A，B．（1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；（2）记该抛物线的对称轴为直线l，点B关于直线l的对称点为C，若点D在y 轴的正半轴上，且四边形ABCD为梯形．①求点D的坐标；②将此抛物线向右平移，平移后抛物线的顶点为P，其对称轴与直线y＝3x－3交于点E ，若73tan =∠DPE ，求四边形BDEP 的面积．18. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y ＝－x 2＋2x ＋8的图象与一次函数y ＝－x ＋b 的图象交于A 、B 两点，点A 在x 轴上，点B 的纵坐标为－7.点P 是二次函数图象上A 、B 两点之间的一个动点(不与点A 、B 重合)，设点P 的横坐标为m ，过点P 作x 轴的垂线交AB 于点C ，作PD ⊥AB 于点D . (1)求b 及sin ∠ACP 的值；(2)用含m 的代数式表示线段PD 的长；(3)连接PB ，线段PC 把△PDB 分成两个三角形，是否存在适合的m 值，使这两个三角形的面积之比为1∶2？如果存在，直接写出m 的值；如果不存在，请说明理由．19. 如图，抛物线233384y x x =--+与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）求点A 、B 的坐标；（2）设D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时，求点D 的坐标；（3）若直线l 过点E (4, 0)，M 为直线l 上的动点，当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只有．．．．三个时，求直线l 的解析式．20. 已知平面直角坐标系中两定点A (－1, 0)、B (4, 0)，抛物线y ＝ax 2＋bx －2（a≠0）过点A 、B ，顶点为C ，点P (m , n )（n ＜0）为抛物线上一点． （1）求抛物线的解析式和顶点C 的坐标； （2）当∠APB 为钝角时，求m 的取值范围；（3）若m ＞32，当∠APB 为直角时，将该抛物线向左或向右平移t （0＜t ＜52）个单位，点C 、P 平移后对应的点分别记为C ′、P ′，是否存在t ，使得顺次首尾连接A 、B 、P ′、C ′所构成的多边形的周长最短？若存在，求t 的值并说明抛物线平移的方向；若不存在，请说明理由．2021中考数学 压轴专题训练之动点问题-答案一、解答题（本大题共20道小题）1. 【答案】【思维教练】(1)设一次函数解析式，将已知点A 、B 的坐标值代入求解即可；(2)S △CPQ ＝12·CP·Q y ，CP ＝14－t ，点Q 在AB 上，Q y 即为当x ＝t 时的y 值，代入化简得出S 与t 的函数关系式，化为顶点式得出最值；(3)垂直平分线过顶点需以时间为临界点分情况讨论，当Q 在OA 上时，过点C ；当Q 在AB 上时，过点A ；当Q 在BC 上时，过点C 和点B ，再列方程并求解．解图1解：(1)把A(3，33)，B(9，53)代入y ＝kx ＋b ，得⎩⎨⎧3k ＋b ＝33，9k ＋b ＝53，解得⎩⎨⎧k ＝33，b ＝23，∴y ＝33x ＋23；(3分)(2)在△PQC 中，PC ＝14－t ，∵OA ＝32＋（33）2＝6且Q 在OA 上速度为3单位长度/s ， AB ＝62＋（23）2＝43且Q 点在AB 上的速度为3单位长度/s ， ∴Q 在OA 上时的横坐标为t ，Q 在AB 上时的横坐标为32t ， PC 边上的高线长为33t ＋2 3.(6分)所以S ＝12(14－t )(32t ＋23)＝－34t 2＋532t ＋143(2≤t ≤6)．当t ＝5时，S 有最大值为8134.(7分)解图2(3)①当0＜t ≤2时，线段PQ 的中垂线经过点C(如解图1)．可得方程(332t )2＋(14－32t )2＝(14－t )2.解得t 1＝74，t 2＝0(舍去)，此时t ＝74.(8分)解图3②当2＜t ≤6时，线段PQ 的中垂线经过点A(如解图2)． 可得方程(33)2＋(t －3)2＝[3(t －2)]2.解得t 1＝3＋572，∵t 2＝3－572(舍去)，此时t ＝3＋572. ③当6＜t ≤10时，(1)线段PQ 的中垂线经过点C(如解图3)．可得方程14－t ＝25－52t ，解得t ＝223.(10分)解图4(2)线段PQ 的中垂线经过点B(如解图4)．可得方程(53)2＋(t －9)2＝[52(t －6)]2. 解得t 1＝38＋2027，t 2＝38－2027(舍去)． 此时t ＝38＋2027.(11分) 综上所述，t 的值为74，3＋572，223，38＋2027.(12分)【难点突破】解决本题的关键点在于对PQ 的垂直平分线过四边形顶点的情况进行分类讨论，在不同阶段列方程求解．2. 【答案】[分析] (1)将点A ，D 的坐标分别代入直线表达式、抛物线的表达式，即可求解; (2)设出P 点坐标，用参数表示PE ，PF 的长，利用二次函数求最值的方法.求解; (3)分NC 是平行四边形的一条边或NC 是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可.解:(1)将点A ，D 的坐标代入y=kx +n 得:解得:故直线l 的表达式为y=-x -1.将点A ，D 的坐标代入抛物线表达式， 得解得故抛物线的表达式为:y=-x 2+3x +4. (2)∵直线l 的表达式为y=-x -1，∴C (0，-1)，则直线l 与x 轴的夹角为45°，即∠OAC=45°， ∵PE ∥x 轴，∴∠PEF=∠OAC=45°.又∵PF ∥y 轴，∴∠EPF=90°，∴∠EFP=45°.则PE=PF .设点P 坐标为(x ，-x 2+3x +4)， 则点F (x ，-x -1)，∴PE +PF=2PF=2(-x 2+3x +4+x +1)=-2(x -2)2+18，∵-2<0，∴当x=2时，PE +PF 有最大值，其最大值为18. (3)由题意知N (0，4)，C (0，-1)，∴NC=5，①当NC 是平行四边形的一条边时，有NC ∥PM ，NC=PM. 设点P 坐标为(x ，-x 2+3x +4)，则点M 的坐标为(x ，-x -1)， ∴|y M -y P |=5，即|-x 2+3x +4+x +1|=5， 解得x=2±或x=0或x=4(舍去x=0)，则点M 坐标为(2+，-3-)或(2-，-3+)或(4，-5);②当NC 是平行四边形的对角线时，线段NC 与PM 互相平分. 由题意，NC 的中点坐标为0，，设点P 坐标为(m ，-m 2+3m +4)， 则点M (n'，-n'-1)， ∴0==，解得:n'=0或-4(舍去n'=0)， 故点M (-4，3).综上所述，存在点M ，使得以N ，C ，M ，P 为顶点的四边形为平行四边形，点M 的坐标分别为: (2+，-3-)，(2-，-3+)，(4，-5)，(-4，3).3. 【答案】（1）212y x x =-+。
2021年数学九年级中考复习专题之圆压轴综合(考察证明、长度与面积、动点问题等)(五)
2021年数学九年级中考复习专题之圆压轴综合（考察证明、长度与面积、动点问题等）（五）1．如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A、C两点，与BC边交于点E，点D 为CE的下半圆弧的中点，连接AD交线段EO于点F．AB＝BF，CF＝4，DF＝．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）求⊙O的半径r；（3）设点P是BA延长线上的一个动点，连接DP交CF于点M，交弧AC于点N（N与A、C不重合）．试问DM•DN是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是．请说明理由．2．如图，AB是⊙O的直径，且AB＝4，C是⊙O上一点，D是的中点，过点D作⊙O的切线与AB、AC的延长线分别交于点E、F，连接AD．（1）求证：AF⊥EF；（2）填空：①当BE＝时，点C是AF的中点；②当∠E＝时，四边形OBDC是菱形．3．如图1，直线l与圆O相交于A，B两点，AC是圆O的直径，D是圆上一点．DE⊥l于点E，连接AD，且AD平分∠CAE．（1）求证：DE是圆O的切线．（2）若DE＝3，AE＝，求圆O的半径．（3）如图2，在（2）的条件下，点P是弧AB上一点，连接PC，PD，PB，问：线段PC、PD、PB之间存在什么数量关系？请说明理由．4．【问题情境】如图1，点E是平行四边形ABCD的边AD上一点，连接BE、CE．求证：．（说明：S表示面积）请以“问题情境”为基础，继续下面的探究【探究应用1】如图2，以平行四边形ABCD的边AD为直径作⊙O，⊙O与BC边相切于点H，与BD相交于点M．若AD＝6，BD＝y，AM＝x，试求y与x之间的函数关系式．【探究应用2】如图3，在图1的基础上，点F在CD上，连接AF、BF，AF与CE相交于点G，若AF＝CE，求证：BG平分∠AGC．【迁移拓展】如图4，平行四边形ABCD中，AB：BC＝4：3，∠ABC＝120°，E是AB的中点，F在BC上，且BF：FC＝2：1，过D分别作DG⊥AF于G，DH⊥CE于H，请直接写出DG：DH的值．5．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且tan∠ABC＝2；（1）利用尺规过点A作⊙O的切线AD（点D在直线AB右侧），且AD＝AB，连接OD交AC于点E（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）条件下，①求证：OD∥BC；②连接BD交⊙O于点F，求证：DE•OD＝DF•BD．6．如图1，△ABC为⊙O的内接三角形，AD为⊙O的直径，AD与BC相交于点F，DE为⊙O 的切线，交AC的延长线于E（1）求证：∠E＝∠B；（2）如图2，若∠CFD＝3∠DAE，求证：AC＝BC；（3）如图3，在（2）的条件下，过点A作AG⊥BC于点G，AG的延长线交BD于点H，点H为BD的中点若CE＝1，求FG的长．7．如图1，已知△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝120°，⊙O是△ABC的外接圆，过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D．（1）⊙O的半径为．（2）求证：CD是⊙O的切线；（3）如图2，作⊙O的直径AE，连接DE交BC于点F，连接AF，求AF的长．8．如图，AB为⊙O的直径，点D是⊙O上一动点，过点B作⊙O的切线，连接AD并延长，交过点B的切线于点C，点E是BC的中点，连接DE，OD（1）求证：DE是⊙O切线；（2）当∠A＝度时，四边形OBED为正方形；（3）连接OE交⊙O于点F，连接DF，若OA＝2，BC＝时，四边形ADFO为菱形．9．已知点A 、B 在⊙O 上，∠AOB ＝90°，OA ＝， （1）点P 是优弧上的一个动点，求∠APB 的度数；（2）如图①，当tan ∠OAP ＝﹣1时，求证：∠APO ＝∠BPO ；（3）如图②，当点P 运动到优弧的中点时，点Q 在上移动（点Q 不与点P 、B 重合），若△QPA 的面积为S 1，△QPB 的面积为S 2，求S 1+S 2的取值范围．10．如图1，等腰直角△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，过点A ，C 的圆交AB 于点D ，交BC 于点E ，连结DE（1）若AD ＝7，BD ＝1，分别求DE ，CE 的长（2）如图2，连结CD ，若CE ＝3，△ACD 的面积为10，求tan ∠BCD（3）如图3，在圆上取点P 使得∠PCD ＝∠BCD （点P 与点E 不重合），连结PD ，且点D 是△CPF 的内心①请你画出△CPF ，说明画图过程并求∠CDF 的度数②设PC ＝a ，PF ＝b ，PD ＝c ，若（a ﹣c ）（b ﹣c ）＝8，求△CPF 的内切圆半径长．参考答案1．（1）证明：如图1，连接OA，OD，∵D为为CE的下半圆弧的中点，EC为⊙O直径，∴＝，∴∠EOD＝∠COD＝×180°＝90°，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，又∵BA＝BF，∴∠BAF＝∠BFA＝∠DFO，∴∠BAF+∠OAD＝∠DFO+∠ODA＝90°，∴OA⊥AB，∴AB是⊙O的切线；（2）设⊙O的半径为r，由（1）知，∠EOD＝90°，在Rt△OFD中，OD＝r，OF＝4﹣r，DF＝，∴r2+（4﹣r）2＝（）2，解得，r1＝1（舍去），r2＝3，∴⊙O半径为3；（3）如图2，连接CN，CD，在Rt△OCD中，OC＝OD＝r＝3，DC＝＝3，∵＝，∴∠ECD＝∠DNC，又∵∠CDN＝∠CDN，∴△DCM∽△DNC，∴＝，∴DM•DN＝DC2，∵DC2＝（3）2＝18，∴DM•DN为定值，该定值为18．2．解：（1）连接OD，BD，BC，∵ED为⊙O的切线，∴OD⊥EF，∵D是的中点，∴OD⊥BC，∴EF∥BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠AFE＝90°，∴AF⊥EF；（2）①当BE＝4时，由（1）知，BC∥EF，当AB＝BE时，AC＝CF，∴当BE＝4时，点C是AF的中点，故答案为：4；②当∠E＝30°时，四边形OBDC是菱形．如图，∵EF是⊙O的切线，∴∠ODE＝∠F＝90°，∴∠DOE＝∠COA＝60°，∵OD＝OB＝OC＝OA，∴△ODB，△AOC为等边三角形，∴∠COA＝∠DOB＝60°，∴∠COD＝60°，∴△COD为等边三角形，∴OB＝BD＝OD＝CD＝OC，∴四边形OBDC是菱形；故答案为：①4；②30°．3．（1）证明：如图，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵AD平分∠CAE，∴∠OAD＝∠DAE，∴∠ODA＝∠DAE．∴DO∥AB，∵DE⊥AB，∴DE⊥OD，∵OD是半径，∴DE是⊙O的切线；（2）解：如图1，连结CD，∵∠AED＝90°，DE＝3，AE＝，∴AD＝＝2，∵AC是⊙O直径，∴∠ADC＝90°，而∠AED＝90°，又∵∠CAD＝∠DAE，∴△ACD∽△ADE，∴，∴，解得AC＝4．∴⊙O的半径2；（3）解：PC＝PD+PB，理由如下：连接PB、DB，在CP上截取PB＝PF，连接BF、BC，∵，DE＝3，∴，∴∠DAE＝60°，由（2）可知∠CAD＝60°，∴∠CAB＝60°，∴∠CPB＝∠CAB＝60°，∴△PBF为等边三角形，∴PB＝BF，∠PFB＝60°，∴∠DPB＝∠DPC+∠BPC＝60°+60°＝120°，∠CFB＝120°，在△PBD和△FBC中，，∴△PBD≌△FBC（AAS），∴CF＝DP，∴PC＝PF+CF＝PD+PB．4．【问题情境】证明：作EF⊥BC于F，如图1所示：则S△BCE ＝BC×EF，S平行四边形ABCD＝BC×EF，∴．【探究应用1】解：连接OH，如图2所示：∵⊙O与BC边相切于点H，∴OH⊥BC，OH＝AD＝3，∴平行四边形ABCD的面积＝AD×OH＝6×3＝18，∵AD是⊙O的直径，∴∠AMD＝90°，∴AM⊥BD，∴△ABD的面积＝BD×AM＝平行四边形的面积＝9，即xy＝9，∴y与x之间的函数关系式y＝；【探究应用2】证明：作BM⊥AF于M，BN⊥CE于N，如图3所示：同图1得：△ABF的面积＝△BCE的面积＝平行四边形ABCD的面积，∴AF×BM＝CE×BN，∵AF＝CE，∴BM＝BN，∴BG平分∠AGC．【迁移拓展】解：作AP⊥BC于P，EQ⊥BC于Q，如图4所示：∵平行四边形ABCD中，AB：BC＝4：3，∠ABC＝120°，∴∠ABP＝60°，∴∠BAP＝30°，设AB＝4x，则BC＝3x，∴BP＝AB＝2x，BQ＝BE，AP＝BP＝2x，∵E是AB的中点，F在BC上，且BF：FC＝2：1，∴BE＝2x，BF＝2x，∴BQ＝x，∴EQ＝x，PF＝4x，QF＝3x，QC＝4x，由勾股定理得：AF＝＝2x，CE＝＝x，连接DF、DE，则△CDE的面积＝△ADF的面积＝平行四边形ABCD的面积，∴AF×DG＝CE×DH，∴DG：DH＝CE：AF＝x：2x＝：2．5．解：（1）作图所示，（2）∵AB为⊙O直径，且点C在⊙O上，AD＝AB ∴tan∠AOD＝2，∵∠C＝90°∵tan∠ABC＝2，∴tan∠AOD＝tan∠ABC∴∠AOD＝∠ABC∴OD∥BC；②连接AF∵OD∥BC，且∠C＝90°∴∠AED＝90°∵∠ADO＝∠ADE∴△ADO∽△ADE，∴即AD2＝DO•DE，∵AB为⊙O直径，且点F在⊙O上即∠AFB＝90°，∵∠BAD＝90°且∠ADB＝∠ADF∴△ABD∽△FAD，∴即AD2＝BD•DF，即DO•DE＝BD•DF．6．（1）证明：如图1，连接BD，∵AD为⊙O的直径，∴∠ABD＝90°，即∠ABC+∠CBD＝90°，∵AD为⊙O的直径，DE为⊙O的切线，∴∠ADE＝90°，即∠DAE+∠E＝90°，∵∠CBD＝∠DAE，∴∠E＝∠B；（2）证明：如图2，连接OB、OC，∵∠CFD＝3∠DAE，∠CFD＝∠ACF+∠DAE，∴∠ACF＝2∠DAE，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠OAC＝∠OCA＝∠OCB，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠OBC＝∠OAC，∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAB，∴∠CBA＝∠CAB，∴AC＝BC；（3）如图3，作OM⊥BC于M，DN⊥BC于N，连接CD，∵OM⊥BC，∴BM＝CM，∵AG∥OM∥DN，OA＝OD，∴GM＝MN，∵GH∥DN，BH＝HD，∴BG＝GN，设MG＝MN＝a，则BG＝GN＝2a，∴CG＝4a，BC＝6a，由（2）得，AC＝BC＝6a，∴AG＝＝2a，tan∠BAG＝＝，∵∠HBG＝∠BAG，∴＝，∴AG＝5GH，∵DN＝2GH，∵AG∥DN，∴＝＝，同理可得，AC＝CD，CD＝CE，∴CB＝CA＝5，∴GN＝BC＝，∴GF＝GN＝．7．（1）解：如图1，连接OB，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝30°，由圆周角定理得，∠AOB＝2∠ACB＝60°，∵OA＝OB，∴△AOB为等边三角形，∴OA＝AB＝4，故答案为：4；（2）证明：如图1，连接OC，∵AB＝AC，∴＝，∴∠AOC＝∠AOB＝60°，∴△AOC为等边三角形，∴四边形OBAC为菱形，∴OC∥BD，∵CD⊥AB，∴CD⊥OC，即CD是⊙O的切线；（3）解：如图2，连接BE，∵＝，∴OA⊥BC于H，∵∠ABC＝30°，∴AH＝AB＝2，由勾股定理得，BH＝＝2，∴BC＝2BH＝4，在Rt△BDC中，∠ABC＝30°，∴CD＝BC＝2，∵AE是⊙O的直径，∴∠EBA＝90°，∴BE＝AB•tan∠BAE＝4，∵∠DBE＝∠BDC＝90°，∴CD∥BE，∴＝＝2，∠DAC＝180°﹣∠BAC＝60°，∴DA＝AC＝AB，∴＝，∴AF∥CD，∴＝＝，即＝，解得，AF＝．8．（1）证明：连接BD，如图所示：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝∠BDC＝90°，∵在Rt△BDC中，点E是BC的中点，∴DE＝BE＝CE＝BC，∴∠DBE＝∠BDE，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠DBE+∠OBD＝∠BDE+∠ODB，即∠OBE＝∠ODE，∵BC是⊙O的切线，∴∠ODE＝∠OBE＝90°，∵点D在⊙O上，∴DE是⊙O切线；（2）解：当∠A＝45°时，四边形OBED是正方形，理由如下：∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠A＝45°，∴∠AOD＝90°，∴∠BOD＝90°，由（1）得：∠OBE＝∠ODE＝90°，∴四边形OBED是矩形，又∵OB＝OD，∴四边形OBED为正方形；故答案为：45°；（3）解：∵四边形ADFO为菱形，∴OA＝AD，∵OA＝OD，∴OA＝OD＝AD，∴△AOD是等边三角形，∴∠A＝60°，∵∠ABC＝90°，AB＝2OA＝4，∴BC＝AB＝4；故答案为：4．9．（1）解：∵∠AOB＝90°，∴∠APB＝∠AOB＝45°，（2）证明：过点O作OC⊥PA于C，在CA上截取CD＝OC，如图①所示：∵，∴，即AC＝OC，∵CD＝OC，∴AD＝AC﹣CD＝（+1）OC﹣OC＝OC∵∠OCD＝90°，OC＝CD，∴OD＝OC，∠CDO＝45°，∴AD＝OD，∴∠A＝∠DOA，∵∠A+∠DOA＝∠CDO＝45°，∴∠A＝22.5°，∵OP＝OA，∴∠APO＝∠A＝22.5°，∵∠APB＝45°，∴∠BPO＝∠APB﹣∠APO＝22.5°，∴∠APO＝∠BPO；（3）解：连接AB，连接PO并延长交AB于E，则PE⊥AB，把△PBQ沿着PQ翻折得△PB′Q，如图②所示：则PB′＝PB＝PA，∠PQB＝∠PQB′，S2＝S△QPB＝S△QB'P，∵∠AQP＝∠ABP，∠ABP＝∠PAB，∴∠AQP＝∠PAB，∵四边形PABQ内接于⊙O，∴∠PAB+∠PQB＝180°，∴∠AQP+∠PQB′＝180°，∴点A、Q、B′三点共线，∵S1+S2＝S△QPA+S△QB'P＝S△PAB'，∴S1+S2＞0当且仅当PA⊥PB′时，S1+S2有最大值，在Rt△PAE中，AE＝1，PE＝，PA2＝AE2+PE2＝4+2，∴，∴0＜S 1+S 2≤．10．解：（1）由图可知：设BC ＝x ．在Rt △ABC 中，AC ＝BC ．由勾股定理得： AC 2+BC 2＝AB 2，∵AB ＝AD +BD ，AD ＝7，BD ＝1，∴x 2+x 2＝82，解得：x ＝．∵⊙O 内接四边形，∠ACD ＝90°，∴∠ADE ＝90°，∴∠EDB ＝90°，∵∠B ＝45°，∴△BDE 是等腰直角三角形．∴DE ＝DB ，又∵DB ＝1，∴DE ＝1，又∵CE＝BC﹣BE，∴CE＝．（2）如图所示：在△DCB中过点D作DM⊥BE，设BE＝y，则DM＝y，又∵CE＝3，∴BC＝3+y，∵S＝S ACD+S DCB，△ACB∴解得：y＝2或y＝﹣11（舍去）．∴EM＝1，CM＝CE+ME＝1+3＝4，又∵∠BCD＝∠MCD，∴tan∠BCD＝tan∠MCD，在Rt△DCM中，tan∠MCD＝＝，∴tan∠BCD＝．（3）①如下图所示：作∠DPF＝∠DPC，使PF与BC的延长线相交于点F，连接DF，OD，OC．由（1）可知，ED⊥AB，∴∠EDC+∠CDO+∠ODA＝90°，又∵在⊙O中，∠COD与∠CAD是弦CD对的圆心角与圆周角，∴∠COD＝2∠CAD，又∵∠CAD＝45°，∴∠COD＝90°，又∵OC＝OD，∴∠CDO＝45°，∴∠EDC+∠ODA＝45°，∴∠CDE+∠BDF＝45°，又∵∠CDF＝∠CDE+∠EDB+∠BDF＝90°+45°＝135°，即∠CDF的度数为135°．②如下图所示过点D分别作DK⊥PC，DM⊥CF，DN⊥PF于直线PC，CF和PF于点K，M，N三点，设△PCF内切圆的半径为m，则DN＝m，∵点D是△PCF的内心，∴DM＝DN＝DK，又∵∠DCF+∠CFD+∠FDC＝180°，∠FDC＝45°，∴∠DCF+∠CFD＝45°，又∵DC，DF分别是∠PCF和∠PFC的角平分线，∴∠PCF＝2∠DCF，∠PFC＝2∠DFC，∴∠PCF+∠PFC＝90°，∴∠CPF＝90°．在四边形PKDN中，∠PND＝∠NPK＝∠PKD＝90°，∴四边形PKDN是矩形，又∵KD＝ND，∴四边形PKDN 是正方形．又∵∠MBD ＝∠BDM ＝45°，∠BDM ＝∠KDP ，∴∠KDP ＝45°．∵PC ＝a ，PF ＝b ，PD ＝c ，∴PN ＝PK ＝， ∴NF ＝，CK ＝，又∵CK ＝CM ，FM ＝FN ，CF ＝CM +FM ，∴CF ＝，又∵S △PCF ＝S △PDF +S △PDC +S △DCF ， ∴c ）×， 化简得：ab ＝﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅰ）， 又∵若（a ﹣c ）（b ﹣c ）＝8 化简得：﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）， 将（Ⅰ）代入（Ⅱ）得：c 2＝8， 解得：，或（舍去）， ∴m ＝，即△CPF 的内切圆半径长为2．。
(2021年整理)初中数学动点问题及练习题附参考答案
初中数学动点问题及练习题附参考答案编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（初中数学动点问题及练习题附参考答案）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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初中数学动点问题及练习题附参考答案所谓“动点型问题"是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. 关键:动中求静。
数学思想:分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想注重对几何图形运动变化能力的考查。
从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动"等研究手段和方法,来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。
选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。
在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路，这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。
二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展．这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等．从数学思想的层面上讲：（1）运动观点；（2）方程思想；(3）数形结合思想；(4）分类思想；（5）转化思想等．研究历年来各区的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于我们教师在教学中研究对策，把握方向．只的这样,才能更好的培养学生解题素养，在素质教育的背景下更明确地体现课程标准的导向．本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存在性和区分度小题处理手法提出自己的观点．专题一：建立动点问题的函数解析式函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律，是初中数学的重要内容。
2021年中考数学压轴题精选含答案
2021年中考数学压轴题精选含答案1．如图，正方形ABCD 的边长为8，M 是AB 的中点，P 是BC 边上的动点，连结PM ，以点P 为圆心，PM 长为半径作⊙P ．（1）当BP ＝ 时，△MBP ～△DCP ；（2）当⊙P 与正方形ABCD 的边相切时，求BP 的长；（3）设⊙P 的半径为x ，请直接写出正方形ABCD 中恰好有两个顶点在圆内的x 的取值范围．2．如图，已知抛物线()2y ax bx 2a 0=+-≠与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，直线BD 交抛物线于点D ，并且()D 2,3，()B 4,0-．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点M 为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点B 、M 、C ，求BMC 面积的最大值；（3）在（2）中BMC 面积最大的条件下，过点M 作直线平行于y 轴，在这条直线上是否存在一个以Q 点为圆心，OQ 为半径且与直线AC 相切的圆？若存在，求出圆心Q 的坐标；若不存在，请说明理由．3．已知抛物线217222y x mx m 的顶点为点C ． （1）求证：不论m 为何实数，该抛物线与x 轴总有两个不同的交点；（2）若抛物线的对称轴为直线3x =，求m 的值和C 点坐标；（3）如图，直线1y x =-与（2）中的抛物线并于AB 、两点，并与它的对称轴交于点D ，直线x k =交直线AB 于点M ，交抛物线于点N ．求当k 为何值时，以CD M N 、、、为顶点的四边形为平行四边形．4．如图，在四边形ABCD 中，∠B=90°，AD//BC ，AD=16，BC=21，CD=13．（1）求直线AD 和BC 之间的距离；（2）动点P 从点B 出发，沿射线BC 以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q 从点A 出发，在线段AD 上以每秒1个单位长度的速度运动，点P 、Q 同时出发，当点Q 运动到点D 时，两点同时停止运动，设运动时间为t 秒．试求当t 为何值时，以P 、Q 、D 、C 为顶点的四边形为平行四边形？（3）在（2）的条件下，是否存在点P ，使△PQD 为等腰三角形？若存在，请直接写出相应的t 值，若不存在，请说明理由．5．如图，在菱形ABCD 中，AB a ，60ABC ∠=︒，过点A 作AE BC ⊥，垂足为E ，AF CD ⊥，垂足为F ．（1）连接EF ，用等式表示线段EF 与EC 的数量关系，并说明理由；（2）连接BF ，过点A 作AK BF ⊥，垂足为K ，求BK 的长(用含a 的代数式表示)； （3）延长线段CB 到G ，延长线段DC 到H ，且BG CH =，连接AG ，GH ，AH ． ①判断AGH 的形状，并说明理由；②若12,(33)2ADH a S ==+，求sin GAB ∠的值．6．问题提出（1）如图①，在ABC 中，42,6,135AB AC BAC ==∠=，求ABC 的面积．问题探究（2）如图②，半圆O 的直径10AB =，C 是半圆AB 的中点，点D 在BC 上，且2CD BD =，点P 是AB 上的动点，试求PC PD +的最小值．问题解决（3）如图③，扇形AOB 的半径为20,45AOB ∠=在AB 选点P ，在边OA 上选点E ，在边OB 上选点F ，求PE EF FP ++的长度的最小值．7．如图，在ABC ∆中，14AB =，45B ∠=︒，4tan 3A =，点D 为AB 中点．动点P 从点D 出发，沿DA 方向以每秒1个单位长度的速度向终点A 运动，点P 关于点D 对称点为点Q ，以PQ 为边向上作正方形PQMN ．设点P 的运动时间为t 秒．（1）当t =_______秒时，点N 落在AC 边上．（2）设正方形PQMN 与ABC ∆重叠部分面积为S ，当点N 在ABC ∆内部时，求S 关于t 的函数关系式．（3）当正方形PQMN 的对角线所在直线将ABC ∆的分为面积相等的两部分时，直接写出t 的值．8．对于平面直角坐标系xOy 中的图形W 1和图形W 2．给出如下定义：在图形W 1上存在两点A ，B （点A ，B 可以重合），在图形W 2上存在两点M ，N ，（点M 于点N 可以重合）使得AM=2BN ，则称图形W 1和图形W 2满足限距关系(1)如图1，点C(1，0)，D(-1，0)，E(03，点P 在线段DE 上运动(点P 可以与点D ，E 重合)，连接OP ，CP ．①线段OP 的最小值为_______，最大值为_______；线段CP 的取值范直范围是_____； ②在点O ，点C 中，点____________与线段DE 满足限距关系；(2)如图2，⊙O 的半径为1，直线3y x b =+(b>0)与x 轴、y 轴分别交于点F ，G ．若线段FG 与⊙O 满足限距关系，求b 的取值范围；(3)⊙O 的半径为r(r>0)，点H ，K 是⊙O 上的两个点，分别以H ，K 为圆心，1为半径作圆得到⊙H 和 K ，若对于任意点H ，K ，⊙H 和⊙K 都满足限距关系，直接写出r 的取值范围．9．如图，在平面直角坐标系中，点(1,2)A ，(5,0)B ，抛物线22(0)y ax ax a =->交x 轴正半轴于点C ，连结AO ，AB ．（1）求点C 的坐标；（2）求直线AB 的表达式； （3）设抛物线22(0)y ax ax a =->分别交边BA ，BA 延长线于点D ，E ．①若2AE AO =，求抛物线表达式；②若CDB △与BOA △相似，则a 的值为 ．（直接写出答案）10．如图，射线AM 上有一点B ，AB ＝6．点C 是射线AM 上异于B 的一点，过C 作CD ⊥AM ，且CD ＝43AC ．过D 点作DE ⊥AD ，交射线AM 于E . 在射线CD 取点F ，使得CF ＝CB ，连接AF 并延长，交DE 于点G ．设AC ＝3x ．（1） 当C 在B 点右侧时，求AD 、DF 的长．(用关于x 的代数式表示)（2）当x 为何值时，△AFD 是等腰三角形．（3）若将△DFG 沿FG 翻折，恰使点D 对应点'D 落在射线AM 上，连接'FD ，'GD ．此时x 的值为 （直接写出答案）11．已知：如图，四边形ABCD ，AB DC ，CB AB ⊥，16AB cm =，6BC cm =，8CD cm =，动点Q 从点D 开始沿DA 边匀速运动，运动速度为1/cm s ，动点P 从点A 开始沿AB 边匀速运动，运动速度为2/cm s ．点P 和点Q 同时出发，O 为四边形ABCD 的对角线的交点，连接 PO 并延长交CD 于M ，连接QM ．设运动的时间为()t s ，08t <<．（1）当t 为何值时，PQ BD ？（2）设五边形QPBCM 的面积为()2S cm ，求S 与t 之间的函数关系式； （3）在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使PQM 的面积等于五边形面积的1115？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由； （4）在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使点Q 在MP 的垂直平分线上？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．12．如图1，平面直角坐标系xoy 中，A (－4，3)，反比例函数(0)k y k x=<的图象分别交矩形ABOC 的两边AC ，BC 于E ，F （E ，F 不与A 重合），沿着EF 将矩形ABOC 折叠使A ，D 重合．（1）①如图2，当点D 恰好在矩形ABOC 的对角线BC 上时，求CE 的长；②若折叠后点D落在矩形ABOC内（不包括边界），求线段CE长度的取值范围．（2）若折叠后，△ABD是等腰三角形，请直接写出此时点D的坐标．13．如图1，已知点B（0，9），点C为x轴上一动点，连接BC，△ODC和△EBC都是等边三角形．（1）求证：DE＝BO；（2）如图2，当点D恰好落在BC上时．①求点E的坐标；②在x轴上是否存在点P，使△PEC为等腰三角形？若存在，写出点P的坐标；若不存在，说明理由；③如图3，点M是线段BC上的动点（点B，点C除外），过点M作MG⊥BE于点G，MH⊥CE于点H，当点M运动时，MH＋MG的值是否发生变化？若不会变化，直接写出MH＋MG的值；若会变化，简要说明理由．14．在综合与实践课上老师将直尺摆放在三角板上，使直尺与三角板的边分别交于点P、M、N、Q，（1）如图①所示．当∠CNG＝42°，求∠HMC 的度数．（写出证明过程）（2）将直尺向下平移至图 2 位置，使直尺的边缘通过点 C，交 AB 于点 P，直尺另一侧与三角形交于 N、Q 两点。
2021年九年级中考三轮冲刺解答题高频题型精准练(二次函数压轴题中的动点、最值问题)
2021年三轮冲刺解答题高频题型精准练（二次函数压轴题中的动点、最值问题）题型一：二次函数与线段长度最值问题1.抛物线与直线y=-x+5一个交点A（2，m），另一个交点B在x轴上，点P是线段AB上异于A、B的一个动点，过点P做x轴的垂线，交抛物线于点E；（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在这样的点P，使线段PE长度最大？若存在求出最大值及此时点P的坐标，若不存在说明理由；（3）求当ΔPAE为直角三角形时点P的坐标.2.如图，▱ABCD位于直角坐标系中，AB=2，点D（0，1），以点C为顶点的抛物线y=ax2+bx+c经过x轴正半轴上的点A，B，CE⊥x轴于点E．（1）求点A，B，C的坐标．（2）将该抛物线向上平移m个单位恰好经过点D，且这时新抛物线交x轴于点M，N．①求MN的长．②点P是新抛物线对称轴上一动点，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得AQ，则OQ的最小值为（直接写出答案即可）3.二次函数y=(m−1)x m2+m−6x+9的图象与x轴交于点A和点B，以AB为边在x轴下方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接DP，过点P作DP的垂线与y轴交于点E．（1）求出m的值并求出点A、点B的坐标．（2）当点P在线段AO（点P不与A、O重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值，求出这个最大值；4.如图，抛物线y=ax2+bx-3与x轴交于A，B两点（A点在B点左侧），A(-1,0)，B(3,0)，直线l与抛物线交于A，C两点，其中C点的横坐标为2。
（1）求抛物线的函数解析式；（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；（3）点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A，C，F，G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形?如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由。
5.如图，对称轴为直线x=−1的抛物线y=a(x−ℎ)2−4(a≠0)与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为(−3, 0)(1)求该抛物线的解析式；(2)若点P在抛物线上，且S△POC=4S△BOC，求点P的坐标；(3)设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．题型二：二次函数与三角形周长最值问题1. 如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（1，0）、C（﹣2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D．（1）求抛物线及直线AC的函数关系式；（2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标；（3）在对称轴上是否存在一点M，使△ANM的周长最小．若存在，请求出M点的坐标和△ANM 周长的最小值；若不存在，请说明理由．2.如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（-2，0），OB=OA，且∠AOB=120°．（1）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△OBC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；3.已知二次函数的解析式为y＝－x2＋4x，该二次函数交x轴于O、B两点，A为抛物线上一点，且横纵坐标相等(原点除外)，P为二次函数上一动点，过P作x轴垂线，垂足为D(a，0)(a>0)，并与直线OA交于点C.(1)求A、B两点的坐标；(2)当点P在线段OA上方时，过P作x轴的平行线与线段OA相交于点E，求△PCE周长的最大值及此时P 点的坐标；4.（1）如图1，若点A坐标为（x1，y1），点B坐标为（x2，y2），作AD⊥x轴于点D，BE⊥y轴于点E，AD与BE相交于点C，则有AC＝|y1﹣y2|，BC＝|x1﹣x2|，所以，A、B两点间的距离为AB＝√(x1−x2)2+(y1−y2)2．根据结论，若M、N两点坐标分别为（1，4）、（5，1），则MN＝（直接写出结果）．x2相交于A，B两点，A点坐标为（4，a），（2）如图2，直线y＝kx+1与y轴相交于点D，与抛物线y＝14过点A作y轴的垂线交y轴于点C，E是AC中点，点P是第一象限内直线AB下方抛物线上一动点，连接PE、PD、ED；①a＝，k＝，AD＝（直接写出结果）．②若△DEP是以DE为底的等腰三角形，求点P的横坐标；③求四边形CDPE的周长的最小值．)x+3的图象经过点A(4,0)，与y轴交于点B．在x轴上有一动点5.如图，已知二次函数y=ax2−(2a−34C(m,0)(0<m<4)，过点C作x轴的垂线交直线AB于点E，交该二次函数图象于点D．（1）求a的值和直线AB的解析式；（2）过点D作DF⊥AB于点F，设△ACE，△DEF的面积分别为S1，S2，若S1=4S2，求m的值；（3）点H是该二次函数图象上位于第一象限的动点，点G是线段AB上的动点，当四边形DEGH是平行四边形，且▱DEGH周长取最大值时，求点G的坐标．题型三：二次函数与三角形面积最值问题1.如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）是否存在点P，使△POC是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；（3）动点P运动到什么位置时，△PBC面积最大，求出此时P点坐标和△PBC的最大面积．x-3交于A，B两点，其中点B在y轴上，点A坐标为（-4，2.如图，抛物线y=x2+bx+c与直线y=12-5），点P为y2轴左侧的抛物线上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交AB于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P运动到直线AB下方某一处时，△PAB的面积是否有最大值？如果有，请求出此时点P的坐标．3.如图，已知二次函数y=ax2+3x+c的图象经过点C（0，4），与x轴分别交于点A，点B（4，0）．点P是直线BC上方的抛物线上一动点．（1）求二次函数y=ax2+2x+c的表达式；（2）当点P运动到什么位置时，△CPB的面积最大？求出此时P点的坐标.4.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3经过A（﹣3，0）、B（1，0）两点，其顶点为D，连接AD，点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合）．（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；（2）如图1，过点P作PE⊥y轴于点E．求△PAE面积S的最大值；。
2021年中考数学专题训练 《一次函数：动点综合》(含答案详解)
2021年九年级中考数学一轮复习专题《一次函数：动点综合》1．在平面直角坐标系中，直线y＝kx﹣4k+4过定点C，B（0，m）（其中0＜m＜8），点A在x轴的正半轴上且满足∠ACB＝90°．（1）如图1，直接写出定点C的坐标，直接写出点A的坐标．（用含m的式子表示）（2）如图2，作矩形AOBD，连接CD．①当0＜m＜4时，求的值．②是否存在m的值使得OA＝2CD？若存在，求出m的值，若不存在，举反例并说明理由．2．直线y＝k（x﹣6）交x轴的正半轴于点A，交y轴的正半轴于点B，且△AOB的面积等于27．（1）如图1，求直线AB的解析式；（2）如图2，P为线段AB上一点，过点B作BD∥x轴，交OP的延长线于点D，设点P的横坐标为m，线段BD的长为d．求d与m之间的函数关系式；（3）如图3，在（2）的条件下，过点P作PE⊥y轴，垂足为E，连接AE交OP于点F，且DE+EF＝AF，Q为EP延长线上一点，若∠AQD＝90°，求PQ的长．3．如图①，在矩形OACB中，点A、B分别在x轴、y轴正半轴上，点C在第一象限，OA＝8，OB＝6．（1）请直接写出点C的坐标；（2）如图②，点F在BC上，连接AF，把△ACF沿着AF折叠，点C刚好与线段AB 上一点C'重合，求线段CF的长度；（3）如图③，动点P（x，y）在第一象限，且y＝2x﹣6，点D在线段AC上，是否存在直角顶点为P的等腰直角△BDP，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图直线y＝﹣2x+7与x轴、y轴分别交于点C、B，与直线y＝x交于点A．（1）求点A的坐标；（2）如果在y轴上存在一点P，使△OAP是以OA为底边的等腰三角形，则点P的坐标是；（3）点Q在线段AB上，使△OAQ的面积等于6，求点Q的坐标．5．如图，表示一个正比例函数与一个一次函数的图象，它们交于点A（4，3），一次函数的图象与y轴交于点B，且OA＝OB．（1）求直线AB的函数解析式；（2）若点C在直线AB上，△AOC的面积等于20，求C点的坐标．6．如图，在平面直角坐标系中，边长为4的正方形OABC的顶点A、C分别在y轴、x 轴的正半轴上，点O在原点．现将正方形OABC绕点O按顺时针方向旋转，旋转角为θ，当点A第一次落在直线y＝x上时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线y＝x于点M，BC边交x轴于点N．（1）若θ＝30°时，求点A的坐标；（2）设△MBN的周长为P，在旋转正方形OABC的过程中，P值是否有变化？请证明你的结论．7．如图，在平面直角坐标系中，一条直线y＝kx+3经过A（1，1）和C（﹣2，m）两点．（1）求m的值；（2）设这条直线与y轴相交于点B，求△OBC的面积．8．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，0）、B（﹣5，﹣3）和E（﹣2，0），AB＝AC，∠BAC＝90°，将△ABC平移可得到△DEF，点A、B、C的对应点分别为点D、E、F．（1）求点C的坐标；（2）求直线EF与y轴的交点坐标．9．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：y＝kx﹣4k（k为常数，k≠0）与x 轴交于点A，与y轴的负半轴交于点B，以AB为边、B为直角顶点作等腰直角△ABC．（1）无论k取什么值，直线l一定经过一个定点，求这个定点坐标．（2）若直线l经过点（2，﹣3），当点C在第三象限时，求C点坐标．（3）若k＞0，C在直线l左侧，则OC+AC的最小值为．10．如图，直线y＝与坐标轴分别交于点A、B，与直线y＝x交于点C，在如图线段OA上，动点Q以每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A做匀速运动，同时动点P从点A出发向点O做匀速运动，当点P，Q其中一点停止运动时，另一点也停止运动．分别过点P、Q做x轴的垂线，交直线AB、OC于点E，F，连接EF．若运动时间为t秒，在运动过程中四边形PEFQ总为矩形（点P、Q重合除外）．（1）求点P运动的速度是多少？（2）当t为多少秒时，矩形PEFQ为正方形？（3）当t为多少秒时，矩形PEFQ的面积S最大？并求出最大值．参考答案1．解：（1）∵y ＝kx ﹣4k +4＝k （x ﹣4）+4， ∴当x ＝4时，y ＝4，∴定点C 坐标为（4，4），当4＜m ＜8时，如图1，过点C 作CE ⊥OA 于E ，CF ⊥OB 于F ，∴CE ＝CF ＝4，∠CFB ＝∠CEA ＝90°＝∠AOB ， ∴∠ECF ＝90°＝∠ACB ， ∴∠FCB ＝∠ECA ，∴△ACE ≌△BCF （ASA ）， ∴BF ＝AE ＝4﹣m ，∴OA ＝4+4﹣m ＝8﹣m ，∴点A （8﹣m ，0），当0＜m ≤4时，同理可求点A （8﹣m ，0）， 故答案为：（4，4），（8﹣m ，0）； （2）①∵四边形ADBO 是矩形， ∴AD ＝OB ＝m ，OA ＝BD ＝8﹣m ， ∴点D （8﹣m ，m ），∴CD ＝＝（4﹣m ），∴＝＝；②当m ＝4时，点C 与点D 重合，不合题意舍去； 当0＜m ＜4时，∵OA ＝2CD ， ∴8﹣m ＝2（4﹣m ），∴m ＝，当4＜m ＜8时，∵OA ＝2CD ，∴8﹣m ＝2（m ﹣4），∴m ＝，综上所述：m ＝或．2．解：（1）∵直线y ＝k （x ﹣6）交x 轴的正半轴于点A ，交y 轴的正半轴于点B ， ∴点B （0，﹣6k ），点A （6，0），∵△AOB 的面积等于27，∴×6×（﹣6k ）＝27，∴k ＝﹣， ∴直线AB 的解析式为：y ＝﹣（x ﹣6）＝﹣x +9； （2）∵k ＝﹣，∴点B （0，9），∵点P 的横坐标为m ，∴点P 的纵坐标为﹣m +9， ∵BD ∥x 轴，∴△BDP ∽△AOP ，∴，∴d ＝；（3）如图3，延长DB ，AE 交于点M ，过点A 作AG ⊥EQ 于G ，过点D 作DH ⊥EQ 于H ， ∵点P （m ，﹣m +9）， ∴点E （0，﹣m +9），∴直线AE解析式为y＝，∵DB⊥y轴，∴点M纵坐标为9，∴点M的横坐标为，∴MB＝BD，又∵DM⊥BE，∴ME＝DE，∵DE+EF＝AF，∴ME+EF＝AF，∴MF＝AF，∵DB∥OA，∴△DMF∽△OAF，∴，∴MD＝OA＝6，∴BD＝MB＝3，∴3＝，∴m＝2，∴点P（2，6），设点Q坐标为（a，6），∵DH⊥EQ，AG⊥EQ，∴∠DHQ＝∠AGQ＝90°＝∠DQA，∴∠DQH+∠AQG＝90°＝∠DQH+∠HDQ，∴∠AQG＝∠HDQ，∴△DHQ∽△QGA，∴，∴，∴a＝9或a＝0（舍去），∴点Q（9，6），∴PQ＝7．3．解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝OA＝8，AC＝OB＝6，AC∥OB，BC∥OA，∴点C的坐标（8，6）；（2）∵BC＝8，AC＝6，∴AB＝＝＝10，∵把△ACF沿着AF折叠，点C刚好与线段AB上一点C'重合，∴AC＝AC'＝6，CF＝C'F，∠C＝∠AC'F＝60°，∴BC'＝AB﹣AC'＝4，∵BF2＝C'F2+C'B2，∴（8﹣CF）2＝CF2+16，∴CF＝3；（3）设点P（a，2a﹣6），当点P在BC下方时，如图③，过点P作EF∥BC，交y轴于E，交AC于F，∵△BPD是等腰直角三角形，∴BP＝PD，∠BPD＝90°，∴EF∥BC，∴∠BEP＝∠BOA＝90°，∠PFD＝∠CAO＝90°，∴∠BPE+∠DPF＝∠DPF+∠PDF，∴∠BPE ＝∠PDF ，∴△BPE ≌△PDF （AAS ），∴PF ＝BE ＝6﹣（2a ﹣6）＝12﹣2a ，EP ＝DF ， ∵EF ＝EP +PF ＝a +12﹣2a ＝8， ∴a ＝4，∴点P （4，2）；当点P 在BC 的上方时，如图④，过点P 作EF ∥BC ，交y 轴于E ，交AC 的延长线于F ，同理可证△BPE ≌△PDF ，∴BE ＝PF ＝2a ﹣6﹣6＝2a ﹣12， ∵EF ＝EP +PF ＝a +2a ﹣12＝8， ∴a ＝，∴点P （，），综上所述：点P 坐标为（4，2）或（，）．4．解：（1）联立方程组得：，解得：，∴A 点坐标是（2，3）；（2）设P 点坐标是（0，y ），∵△OAP 是以OA 为底边的等腰三角形，∴OP ＝PA ，∴22+（3﹣y ）2＝y 2， 解得y ＝，∴P 点坐标是（0，），故答案为（0，）；（3）∵直线y ＝﹣2x +7与x 轴、y 轴分别交于点C 、B ， ∴B （0，7），C （，0）， ∴S △AOB ＝×7×2＝7＞6， 设点Q 的坐标是（x ，y ）， 作QD ⊥y 轴于点D ，如图， 则QD ＝x ，∴S △OBQ ＝S △OAB ﹣S △OAQ ＝7﹣6＝1，∴OB •QD ＝1，即×7x ＝1，∴x ＝， 把x ＝代入y ＝﹣2x +7，得y ＝，∴Q 的坐标是（，）．5．解：（1）∵A（4，3）∴OA＝OB＝＝5，∴B（0，﹣5），设直线AB的解析式为y＝kx+b，则有，∴，∴直线AB的解析式为y＝2x﹣5；（2）设C（x，2x﹣5），当C在第一象限时，S△AOC＝S△BOC﹣S△AOB＝×5x﹣×5×4＝20，解得x＝12，∴C（12，19）；当C在第四象限时，S△AOC＝S△BOC+S△AOB＝×（﹣5x）+×5×4＝20，解得x＝﹣4，∴C（﹣4，﹣13），综上，C的坐标为（﹣4，﹣13）或（12，19）．6．解：（1）作AD⊥y轴于D，∵∠AOD＝30°，OA＝4，∴AD＝，OD＝OA＝2，∴A（2，2）；（2）在旋转正方形OABC的过程中，P值不变．证明：在图2中，将△AOM绕点O顺时针旋转90°，得到△COE．由旋转，可知：OM＝OE，AM＝CE，∠AOM＝∠COE，∠MOE＝90°．∵直线OM的解析式为y＝x，∴∠MON＝45°．∵∠MOE＝90°，∴∠EON＝45°．在△MON和△EON中，，∴△MON≌△EON（SAS），∴MN＝EN＝CN+AM．∴P＝BM+BN+MN＝BM+AM+BN+CN＝2AB，∴在旋转正方形OABC的过程中，P值不变．7．解：（1）∵一条直线y＝kx+3经过A（1，1），∴1＝k+3，解得：k＝﹣2，所以直线解析式为：y＝﹣2x+3，把C（﹣2，m）代入y＝﹣2x+3中，得：m＝7；（2）令x＝0，则y＝3，所以直线与y轴的交点B为（0，3），由（1）得点C的坐标为（﹣2，7），所以△OCB的面积＝＝3．8．解：（1）如图，过点B作BM⊥x轴于点M，过点C作CN⊥x轴于点N，则∠AMB＝∠CNA＝90°，Array∴∠ABM+∠BAM＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠CAN+∠BAM＝90°，∴∠ABM＝∠CAN，在△ABM和△CAN中，，∴△ABM≌△CAN（AAS），∴AM＝CN，BM＝AN．∵A（﹣4，0），B（﹣5，﹣3），∵OA＝4，BM＝3＝AN，OM＝5，∴CN＝AM＝OM﹣OA＝1，ON＝OA﹣AN＝1，∴点C的坐标为（﹣1．﹣1）；（2）∵在平移过程中，点B（﹣5，﹣3）对应点E（﹣2.0），点（C（﹣1，﹣1）对应点F，∴F（2，2），设直线EF的函数表达式为y＝kx+b，则，解得，∴直线EF的函数表达式为y＝0.5x+1，在y＝0.5x+1中，当x＝0时，y＝1，∴直线EF与y轴的交点坐标为（0，1）．9．解：（1）∵y＝kx﹣4k＝k（x﹣4），∴无论k取什么值，直线l一定经过一个定点（4，0）；（2）∵直线l经过点（2，﹣3），∴﹣3＝2k﹣4k，解得k＝，∴直线l：y＝x﹣6，∴A（4，0），B（0，﹣6），∴OA＝4，OB＝6，作CD⊥y轴于D，如图1，∵△ABC是以AB为边、B为直角顶点作等腰直角△ABC，∴∠ABC＝90°，AB＝BC，∵∠ABO+∠OAB＝90°，∴∠CBD＝∠OAB，在△CBD和△BOA中，，∴△CBD≌△BOA（AAS），∴CD＝OB＝6，BD＝OA＝4，∴OD＝OB﹣BD＝6﹣4＝2，∴C（﹣6，﹣2）；（3）由（1）可知直线l一定经过一个定点（4，0）；∴A（4，0），∴OA＝4，∴OC+AC的最小值为4，故答案为4．10．解：（1）∵直线y＝﹣x+4与坐标轴分别交于点A、B，∴x＝0时，y＝4，y＝0时，x＝8，∴点A（8，0），点B（0，4），∴BO＝4，AO＝8，∴，当t秒时，QO＝FQ＝t，则EP＝t，∵EP∥BO，∴＝，∴AP＝2t，∵动点Q以每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A做匀速运动，∴点P运动的速度是每秒2个单位长度；（2）如图1，当PQ＝PE时，矩形PEFQ为正方形，∵OQ＝FQ＝t，PA＝2t，∴QP＝8﹣t﹣2t＝8﹣3t，∴8﹣3t＝t，解得：t＝2；如图2，当PQ＝PE时，矩形PEFQ为正方形，∵OQ＝t，PA＝2t，∴OP＝8﹣2t，∴QP＝t﹣（8﹣2t）＝3t﹣8，∴t＝3t﹣8，解得：t＝4，综上所述：当t＝2或4时，矩形PEFQ为正方形；（3）如图1，当Q在P点的左边时，∵OQ＝t，PA＝2t，∴QP＝8﹣t﹣2t＝8﹣3t，∴S矩形PEFQ＝QP•QF＝（8﹣3t）•t＝8t﹣3t2，当t＝﹣＝时，S矩形PEFQ的最大值＝＝，如图2，当Q在P点的右边时，∵OQ＝t，PA＝2t，∴2t＞8﹣t，∴t＞，∴QP＝t﹣（8﹣2t）＝3t﹣8，∴S矩形PEFQ＝QP•QF＝（3t﹣8）•t＝3t2﹣8t，∵当点P、Q其中一点停止运动时，另一点也停止运动，∴＜t≤4，∴t＝4时，S矩形PEFQ的最大值＝3×42﹣8×4＝16，综上所述，当t＝4时，S矩形PEFQ的最大值＝16．。
备考2021年中考一轮复习数学函数压轴专题：二次函数动点综合(三)
备考2021年中考一轮复习数学函数压轴专题：二次函数动点综合（三）1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x 轴交于点A （1，0），B （﹣7，0），顶点D 坐标为（﹣3，），点C 在y 轴的正半轴上，CD 交x 轴于点F ，△CAD 绕点C 顺时针旋转得到△CFE ，点A 恰好旋转到点F ，连接BE ．过顶点D 作DD 1⊥x 轴于点D 1．（1）求抛物线的表达式；（2）求证：四边形BFCE 是平行四边形．（3）点P 是抛物线上一动点，当P 在B 点左侧时，过点P 作PM ⊥x 轴，点M 为垂足，请问是否存在P 点使得△PAM 与△DD 1A 相似，如果存在，请写出点P 的横坐标．2．如图，二次函数y ＝﹣x 2+bx +8的图象与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，点B 的坐标为（2，0），点D （0，2）在y 轴上，连接AD ．（1）b ＝ ；（2）若点P 是抛物线在第二象限上的点，过点P 作PF ⊥x 轴，垂足为F ，PF 与AD 交于点E ．是否存在这样的点P ，使得PE ＝7EF ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P 在抛物线上，且点P 的横坐标大于﹣4，过点P 作PH ⊥AD ，垂足为H ，直线PH与x轴交于点K，且S△HKA ＝S△PHA，求点P的坐标．3．如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴，y轴分别交于点A（﹣1，0），B（3，0），点C三点．（1）求抛物线的解析式；（2）x轴上是否存在点P，使PC+PB最小？若存在，请求出点P的坐标及PC+PB的最小值；若不存在，请说明理由；（3）连接BC，设E为线段BC中点．若M是抛物线上一动点，将点M绕点E旋转180°得到点N，当以B、C、M、N为顶点的四边形是矩形时，直接写出点N的坐标．4．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线y ＝ax 2+bx +c 的顶点是A （1，3），将OA 绕点O 顺时针旋转90°后得到OB ，点B 恰好在抛物线上，OB 与抛物线的对称轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）P 是线段AC 上一动点，且不与点A ，C 重合，过点P 作平行于x 轴的直线，与△OAB 的边分别交于M ，N 两点，将△AMN 以直线MN 为对称轴翻折，得到△A ′MN ，设点P 的纵坐标为m ．①当△A ′MN 在△OAB 内部时，求m 的取值范围；②是否存在点P ，使S △A ′MN ＝S △OA ′B ，若存在，求出满足条件m 的值；若不存在，请说明理由．5．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线的顶点为A （2，），抛物线与y 轴交于点B （0，），点C 在其对称轴上且位于点A 下方，将线段AC 绕点C 按顺时针方向旋转90°，点A 落在抛物线上的点P 处．（1）求抛物线的解析式；（2）求线段AC 的长；（3）将抛物线平移，使其顶点A 移到原点O 的位置，这时点P 落在点D 的位置，如果点M 在y 轴上，且以O ，C ，D ，M 为顶点的四边形的面积为8，求点M 的坐标．6．抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣3，0）和点B（2，0），与y轴交于点C．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P是该抛物线上的动点，且位于y轴的左侧．①如图1，过点P作PD⊥x轴于点D，作PE⊥y轴于点E，当PD＝2PE时，求PE的长；②如图2，该抛物线上是否存在点P，使得∠ACP＝∠OCB？若存在，请求出所有点P的坐标：若不存在，请说明理由．7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+与x轴正半轴交于点A，且点A的坐标为（3，0），过点A作垂直于x轴的直线l．P是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m，过点P作PQ⊥l于点Q，M是直线l上的一点，其纵坐标为﹣m+．以PQ，QM为边作矩形PQMN．（1）求b的值．（2）当点Q与点M重合时，求m的值．（3）当矩形PQMN是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求m的值．（4）当抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围．8．在平面直角坐标系xOy中，等腰直角△ABC的直角顶点C在y轴上，另两个顶点A，B在x轴上，且AB＝4，抛物线经过A，B，C三点，如图1所示．（1）求抛物线所表示的二次函数表达式．（2）过原点任作直线l交抛物线于M，N两点，如图2所示．①求△CMN面积的最小值．②已知Q（1，﹣）是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点P，使得点P与点Q关于直线l对称，若存在，求出点P的坐标及直线l的一次函数表达式；若不存在，请说明理由．9．二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于A（2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C，顶点为E．．（1）求这个二次函数的表达式，并写出点E的坐标；（2）如图①，D是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当BD的垂直平分线恰好经过点C时，求点D的坐标；（3）如图②，P是该二次函数图象上的一个动点，连接OP，取OP中点Q，连接QC，QE，CE，当△CEQ的面积为12时，求点P的坐标．10．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+4的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B（﹣2，0），点C（8，0），直线y＝经过点A，与x轴交于D点．（1）求该二次函数的表达式；（2）点E为线段AC上方抛物线上一动点，若△ADE的面积为10，求点E的坐标；（3）点P为抛物线上一动点，连接AP，将线段AP绕点A逆时针旋转到AP'，并使∠P′AP＝∠DAO，是否存在点P使点P′恰好落到坐标轴上？如果存在，请直接写出此时点P 的横坐标；如果不存在，请说明理由．参考答案1．解（1）设函数解析式为y＝a（x﹣1）（x+7），把D（﹣3，）带入可得a＝，所以；（2）证明：∵DD1⊥x轴于点D1，∴∠COF＝∠DD1F＝90°，又∵∠D1FD＝∠OFC，∴△DD1F∽△COF，∴，∵D（﹣3，﹣2），∴D1D＝2，OD1＝3，∵AC＝CF，CO⊥AF，∴OF＝OA＝1（三线合一），AF＝2，∴D1F＝D1O﹣OF＝3﹣1＝2，∴，解得OC＝，在Rt△AOC中，AC＝∴AC＝CF＝FA＝2，∴△ACF是等边三角形，∴∠AFC＝∠ACF＝60°，∵△CAD绕点C顺时针旋转得到△CFE，即∠ACF＝∠ECF＝60°，∴∠ECF＝∠AFC＝60°，∴EC∥BF，由距离公式得EC＝DC＝＝6，BF＝6，∴EC＝BF，∴四边形BFCE是平行四边形；（3）存在．∵点P是抛物线上一动点，∴设P点（x， x2+x﹣），当点P在B点的左侧时，∵△PAM与△DD1A相似，∴或，∴或，解得：x1＝1（不合题意舍去），x2＝﹣11或x1＝1（不合题意舍去）x2＝；∴P点横坐标为﹣11或．2．解：（1）∵二次函数y＝﹣x2+bx+8的图象与x轴交于点B（2，0），∴﹣4+2b+8＝0，解得：b＝﹣2，故答案为：﹣2．（2）∵二次函数y＝﹣x2﹣2x+8的图象与x轴交于点A、B，∴y＝0时，x＝2或﹣4，∴A（﹣4，0），设直线AD的解析式为y＝kx+m，∴，解得：，∴直线AD的解析式为y＝，设P（t，﹣t2﹣2t+8），则E，∴PE＝，EF＝，∵PE＝7EF，∴，解得：t1＝﹣2，t2＝﹣4（舍去），∴P（﹣2，8）．故存在这样的点P，使得PE＝7EF，点P的坐标为（﹣2，8）；（3）如图，延长AD交抛物线于T，过点P作PF⊥x轴于点F，交AD于点E，①若点P在直线AT上方，∵OA＝4，OD＝2，∠AOD＝90°，∴AD＝＝2，∵AH⊥PH，∴∠FAD+∠AEF＝90°，∠EPH+∠PEH＝90°，∠AEF＝∠PEH，∴∠FAD＝∠EPH，∴cos∠FAD＝＝＝cos∠EPH＝，∴PH＝，∴cos，∴PK＝PF，∵，∴，∴PK＝PH，∴，∴，设P （t ，﹣t 2﹣2t +8），则5（﹣t 2﹣2t +8）＝6（）， 解得t ＝﹣1或t ＝﹣4（舍去），∴P （﹣1，9）．②若P 在直线AT 的下方，且在x 轴上方，此时S △HKA ＞S △PHA ，不合题意，舍去． ③若P 在x 轴下方，可得2PE ＝5PF ，∴2（）＝5（t 2+2t ﹣8），解得：t ＝或t ＝﹣4（舍去），∴P （，﹣）．综合以上可得，满足条件的点P 的坐标为（﹣1，9）或（，﹣）． 3．解：（1）∵抛物线y ＝ax 2+bx +3（a ≠0）与x 轴交于点A （﹣1，0），B （3，0）， ∴设抛物线的解析式为y ＝a （x +1）（x ﹣3）＝ax 2﹣2ax ﹣3a ，∴﹣3a ＝3，∴a ＝﹣1，∴抛物线的解析式为y ＝﹣x 2+2x +3；（2）如图，在x 轴下方作∠ABD ＝30°，交y 轴负半轴于D ，则BD ＝2OD ，∵B （3，0），∴OB ＝3，根据勾股定理得，BD 2﹣OD 2＝32，∴4OD 2﹣OD 2＝9，∴OD ＝，BD ＝2，∵抛物线的解析式为y ＝﹣x 2+2x +3，∴C （0，3），∴OC ＝3，∴CD ＝3+，过点P 作PB '⊥BD 于B '，在Rt△PB'B中，PB'＝PB，∴PC+PB＝PC+PB'，当点C，P，B在同一条直线上时，PC+PB最小，最小值为CB'，∵S＝CD•OB＝BD•CB'，△BCD∴CB'＝＝＝，即PC+PB的最小值，∵OB＝OC＝3，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，∴∠DBC＝45°+30°＝75°，∴∠BCP＝90°﹣75°＝15°，∴∠OCP＝30°，∵OC＝3，∴OP＝，∴P（，0）；（3）如备用图，设M（m，﹣m2+2m+3），以B、C、M、N为顶点的四边形是矩形，∴∠BMC＝90°，∵点A在x轴负半轴，且∠BOC＝90°，∴点M在x轴上方的抛物线，过点M作ME⊥x轴于E，作MF⊥y轴于F，∴∠MEO＝∠MFO＝90°＝∠EOF，∴四边形OEMF是矩形，∴∠EMF＝90°，∴∠BME＝∠CMF，∵∠BEM＝∠CFM＝90°，∴△BEM∽△CFM，∴，∴．∴m＝，∴M（，）或（，），∵点N是点M关于点E（，）的对称点，∴N（，）或（，）．4．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点是A（1，3），∴抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+3，∵OA绕点O顺时针旋转90°后得到OB，∴B（3，﹣1），把B（3，﹣1）代入y＝a（x﹣1）2+3可得a＝﹣1，∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+3，即y＝﹣x2+2x+2，（2）①如图1中，连接OA′，A′B．∵B（3，﹣1），∴直线OB的解析式为y＝﹣x，∵A（1，3），∴C（1，﹣），∵P（1，m），AP＝PA′，∴A′（1，2m﹣3），由题意3＞2m﹣3＞﹣，∴3＞m＞．②当点P在x轴上方时，∵直线OA的解析式为y＝3x，直线AB的解析式为y＝﹣2x+5，∵P（1，m），∴M（，m），N（，m），∴MN＝﹣＝，∵S△A′MN ＝S△OA′B，∴•（m﹣2m+3）•＝××|2m﹣3+|×3，整理得m2﹣6m+9＝|6m﹣8|解得m＝6+（舍去）或6﹣，当点P在x轴下方时，同法可得•（3﹣m）•（+3m）＝××[﹣﹣（2m﹣3）]×3，整理得：3m2﹣12m﹣1＝0，解得m＝或（舍去），∴满足条件的m的值为6﹣或．5．解：（1）设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣2）2+，∵抛物线与y轴交于点B（0，），∴＝a（0﹣2）2+，∴a＝﹣∴物线的解析式为：y＝﹣（x﹣2）2+，（2）∵顶点A（2，），∴抛物线的对称轴为直线x＝2，∴设AC＝t，则点C（2，﹣t），∵将线段AC绕点C按顺时针方向旋转90°，点A落在抛物线上的点P处．∴∠ACP＝90°，AC＝PC＝t，∴点P（2+t，﹣t），∵点P在抛物线上，∴﹣t＝﹣（2+t﹣2）2+，∴t1＝0（不合题意舍去），t2＝2，∴线段AC的长为2；（3）∵AC＝2，P点坐标为（4，），C点坐标为（2，），∵抛物线平移，使其顶点A（2，）移到原点O的位置，∴抛物线向左平移2个单位，向下平移个单位，而P点（4，）向左平移2个单位，向下平移个单位得到点D，∴D点坐标为（2，﹣2），设M（0，m），当m＞0时，•（m++2）•2＝8，解得m＝，此时M点坐标为（0，）；当m＜0时，•（﹣m++2）•2＝8，解得m＝﹣，此时M点坐标为（0，﹣）；综上所述，M点的坐标为（0，）或（0，﹣）．6．解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣3，0）和点B（2，0），∴，解得：，∴抛物线解析式为：y＝x2+x﹣6；（2）①设点P（a，a2+a﹣6），∵点P位于y轴的左侧，∴a＜0，PE＝﹣a，∵PD＝2PE，∴|a2+a﹣6|＝﹣2a，∴a2+a﹣6＝﹣2a或a2+a﹣6＝2a，解得：a1＝，a2＝（舍去）或a3＝﹣2，a4＝3（舍去）∴PE＝2或；②存在点P，使得∠ACP＝∠OCB，理由如下，∵抛物线y＝x2+x﹣6与x轴交于点C，∴点C（0，﹣6），∴OC＝6，∵点B（2，0），点A（﹣3，0），∴OB＝2，OA＝3，∴BC＝＝＝2，AC＝＝＝3，如图，过点A作AH⊥CP于H，∵∠AHC＝∠BOC＝90°，∠ACP＝∠BCO，∴△ACH∽△BCO，∴，∴＝，∴AH＝，HC＝，设点H（m，n），∴（）2＝（m+3）2+n2，（）2＝m2+（n+6）2，∴或，∴点H（﹣，﹣）或（﹣，），当H（﹣，﹣）时，∵点C（0，﹣6），∴直线HC的解析式为：y＝﹣x﹣6，∴x2+x﹣6＝﹣x﹣6，解得：x1＝﹣2，x2＝0（舍去），∴点P的坐标（﹣2，﹣4）；当H（﹣，）时，∵点C（0，﹣6），∴直线HC的解析式为：y＝﹣7x﹣6，∴x2+x﹣6＝﹣7x﹣6，解得：x1＝﹣8，x2＝0（舍去），∴点P的坐标（﹣8，50）；综上所述：点P坐标为（﹣2，﹣4）或（﹣8，50）．7．解：（1）把点A（3，0）代入y＝﹣x2+bx+，得到0＝﹣+3b+，解得b＝1．（2）∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+，∴P（m，﹣m2+m+），∵M，Q重合，∴﹣m+＝﹣m2+m+，解得m＝0或4．（3）y＝﹣x2+x+＝﹣（x﹣1）2+2，∴抛物线的顶点坐标为（1，2），由题意PQ＝MQ，且抛物线的顶点在该正方形内部，∴3﹣m＝﹣m+﹣（﹣m2+m+）且﹣m+＞2，得m＜﹣解得m＝1﹣或1+（不合题意舍弃），∴m＝1﹣．（4）当点P在直线l的左边，点M在点Q下方时，抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小，则有﹣m+＜﹣m2+m+，∴m2﹣4m＜0，解得0＜m＜4，观察图象可知．当0＜m＜3时，抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小，如图4﹣1中，当3＜m＜4时，抛物线不在矩形PQMN内部，不符合题意，当m＞4时，点M在点Q的上方，也满足条件，如图4﹣2中，综上所述，满足条件的m的值为0＜m＜3或m＞4．8．解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），在等腰Rt△ABC中，OC垂直平分AB，且AB＝4，∴OA＝OB＝OC＝2，∴A（﹣2，0），B（2，0），C（0，﹣2），∴，解得，，∴抛物线的解析式为y ＝﹣2；（2）①设直线l 的解析式为y ＝kx ，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 由，可得， ∴x 1+x 2＝2k ，x 1•x 2＝﹣4，∴， ∴， ∴， ∴当k ＝0时2取最小值为4． ∴△CMN 面积的最小值为4． ②假设抛物线上存在点P （m ，﹣2），使得点P 与点Q 关于直线l 对称， ∴OP ＝OQ ，即， 解得，，，m 3＝1，m 4＝﹣1， ∵m 3＝1，m 4＝﹣1不合题意，舍去， 当时，点P （），线段PQ 的中点为（）， ∴，∴， ∴直线l 的表达式为：y ＝（1﹣）x ， 当时，点P （﹣，﹣），线段PQ 的中点为（，﹣1）， ∴，∴，∴直线l的解析式为y＝（1+）x．综上，点P（，﹣），直线l的解析式为y＝（1﹣）x或点P（﹣，﹣），直线l的解析式为y＝（1+）x．9．解：（1）将A（2，0），B（6，0）代入y＝ax2+bx+3，得，解得∴二次函数的解析式为y＝﹣2x+3．∵y＝﹣1，∴E（4，﹣1）．（2）如图1，图2，连接CB，CD，由点C在线段BD的垂直平分线CN上，得CB＝CD．设D（4，m），∵C（0，3），由勾股定理可得：42+（m﹣3）2＝62+32．解得m＝3±．∴满足条件的点D的坐标为（4，3+）或．（3）如图3，设CQ交抛物线的对称轴于点M，设P（n，﹣2n+3），则Q（），设直线CQ的解析式为y＝kx+3，则nk+3．解得k＝，于是CQ：y＝（）x+3，当x＝4时，y＝4（）+3＝n﹣5﹣，∴M（4，n﹣5﹣），ME＝n﹣4﹣．∵S△CQE ＝S△CEM+S△QEM＝．∴n2﹣4n﹣60＝0，解得n＝10或n＝﹣6，当n＝10时，P（10，8），当n＝﹣6时，P（﹣6，24）．综合以上可得，满足条件的点P的坐标为（10，8）或（﹣6，24）．10．解：（1）把点B、C的坐标代入抛物线的解析式得，，解得，，∴二次函数的解析式为：；（2）设E（m，）（0＜m＜8），过E作EQ⊥x轴于点Q，则EQ＝，∵D（3，0），∴DQ＝m﹣3，∴S△ADE ＝S梯形AOQE﹣S△AOD﹣S△DEQ＝＝，解得，m＝8（舍），或m＝，∴E点的坐标为（，）；（3）①当P点在第一象限内，P′点在y轴上时，如图2，过P作PE⊥x轴于点E，过A作AM⊥PE于M，设P（m， +4），则AM＝m，PM＝，∵PE∥AO，∴∠APM＝∠P′AP，∵∠PAP′＝∠DAO，∴∠APM＝∠DAO，∵∠AMP＝∠AOD＝90°，∴△APM∽△DAO，∴，即，解得，m＝0（舍），或m＝，∴此时P点的横坐标为；②当P点在y轴左边，P′在x轴上时，如图3，过P作PM⊥y轴于M，过P′作P′M′⊥AD于M′，则∠AMP＝∠AM′P′，设P（m， +4），则AM＝，PM＝﹣m，∵∠PAP′＝∠DAO，∴∠PAM＝∠P′AM′，∵AP＝AP′，∴△APM≌△AP′M′（AAS），∴PM＝P′M′＝﹣m，AM＝AM′═，∵∠DM′P′＝∠DOA＝90°，∠P′DM′＝∠ADO，∴△DP′M′∽△DAO，∴，即，∴，∵DM′+AM′＝AD＝5，∴，解得，m＝，或m＝（舍），∴此时P点的横坐标为；③当P点在第四象限内，P′点在x轴上时，如图4，过P作PM⊥y轴于M，过P′作P′M′⊥AD于点M′，则∠AMP＝∠AM′P′，设P（m， +4），则AM＝，PM＝m，∵∠PAP′＝∠DAO，∴∠PAM＝∠P′AM′，∵AP＝AP′，∴△APM≌△AP′M′（AAS），∴PM＝P′M′＝m，AM＝AM′═，∵∠DM′P′＝∠DOA＝90°，∠P′DM′＝∠ADO，∴△DP′M′∽△DAO，∴，即，∴，∵AM′﹣DM′＝AD＝5，∴，解得，m＝（舍），或m＝．∴此时P点的横坐标为．综上，存在，其中P点的横坐标为或或．。
2021年中考数学专项训练： 动态型问题(含答案)
一、选择题9.（2020·湖北孝感）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，AB=4，BC=6，∠BAD=30°，（第9题）动点P沿路径A→B →C→D从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向点D运动，过点P作PH⊥AD，垂足为H，设点P运动的时间为x(单位：s)，△APH的面积为y，则y关于x的函数图像大致是( ){答案}D{解析}当点P在AB上移动时，AP=x，∵∠A=30°，则AH=√32x，PH=12x，∴y=√32x×12x÷2=√38x2，y是x的二次函数,当x=4时，y=2√3；当点P在BC上移动时，即4＜x≤10时，y=x-4+2√3，y是x的一次函数，当x=10时，y=6+2√3；当点P在CD上移动时，当10＜x≤12时，y=(6+2√3)(12-x)=-( 6+2√3)x+12×（6+2√3），y是x的一次函数，y随x的增大而减小.故选D.9．（2020·南通）矩形ABCD中，E为AD边上的一点，动点P沿着B－E－D运动，到D停止，动点Q沿着B－C运动到C停止，它们的速度都是1cm/s，设它们的运动时间为x s，△BPQ的面积记为y cm2，y与x的关系如图所示，则矩形ABCD的面积为A．96 B．84 C．72 D．56{答案}C{解析}由已知可得当点P运动到与E点重合时，x＝10，过点E作EH⊥BC于H，ABE DCPQ30y/cm211103022y BQ EH EH =⨯=⨯⨯=，得EH ＝AB ＝6，在Rt △ABE 中，由勾股定理求得AB ＝6，由右图可知当x ＝14时，点Q 与点C 重合，所以BC ＝14，所以矩形ABCD 的面积＝12×6＝72，故选C ．（2020·本溪）10．（3分）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2√2，CD ⊥AB 于点D ．点P 从点A 出发，沿A →D →C 的路径运动，运动到点C 停止，过点P 作PE ⊥AC 于点E ，作PF ⊥BC 于点F ．设点P 运动的路程为x ，四边形CEPF 的面积为y ，则能反映y 与x 之间函数关系的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．{答案}{解析}根据Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2√2，可得AB ＝4，根据CD ⊥AB 于点D ．可得AD ＝BD ＝2，CD 平分角ACB ，点P 从点A 出发，沿A →D →C 的路径运动，运动到点C 停止，分两种情况讨论：根据PE ⊥AC ，PF ⊥BC ，可得四边形CEPF 是矩形和正方形，设点P 运动的路程为x ，四边形CEPF 的面积为y ，进而可得能反映y 与x 之间函数关系式，从而可以得函数的图象． ∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2√2， ∴AB ＝4，∠A ＝45°， ∵CD ⊥AB 于点D ， ∴AD ＝BD ＝2， ∵PE ⊥AC ，PF ⊥BC ，∴四边形CEPF是矩形，∴CE＝PF，PE＝CF，∵点P运动的路程为x，∴AP＝x，则AE＝PE＝x•sin45°=√22x，∴CE＝AC﹣AE＝2√2−√22x，∵四边形CEPF的面积为y，∴当点P从点A出发，沿A→D路径运动时，即0＜x＜2时，y＝PE•CE=√22x（2√2−√22x）=−12x2+2x=−12（x﹣2）2+2，∴当0＜x＜2时，抛物线开口向下；当点P沿D→C路径运动时，即2≤x＜4时，∵CD是∠ACB的平分线，∴PE＝PF，∴四边形CEPF是正方形，∵AD＝2，PD＝x﹣2，∴CP＝4﹣x，y=12（4﹣x）2=12（x﹣4）2．∴当2≤x＜4时，抛物线开口向上，综上所述：能反映y与x之间函数关系的图象是A．9．（2020·东营）如图1，点P从△ABC的顶点A出发，沿A→B→C匀速运动到点C，图2是点P运动时线段CP 的长度y随时间x变化的关系图象，其中点Q为曲线部分的最低点，则△ABC的边AB的长度为（）A.12B. 8C.10D.13{答案}C{解析}本题是运动型综合题，考查了动点问题的函数图象、解直角三角形、图形面积等知识点．解题的关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程．当P点分别与A、B重合时，PC=13，由此可推出：△ABC是等腰三角形，AC=BC=13；当CP⊥AB时，PC的值最小，即△ABC中，AB上的高为12，此时P点恰好运动至AB的中点，∴2213125AP，∴210AB AP．9．（2020·威海）七巧板是大家熟悉的一种益智玩具．用七巧板能拼出许多有趣的图案．小李将一块等腰直角三角形硬纸板（如图①）切割七块，正好制成一副七巧板（如图②）．已知AB＝40cm，则图中阴影部分的面积为（）A．25cm2B．1003cm2C．50cm2D．75cm2【分析】如图：设OF＝EF＝FG＝x，可得EH＝2√2x＝20，解方程即可解决问题．【解析】：如图：设OF＝EF＝FG＝x，∴OE＝OH＝2x，在Rt△EOH中，EH＝2√2x，由题意EH＝20cm，A BC∴20＝2√2x ， ∴x ＝5√2，∴阴影部分的面积＝（5√2）2＝50（cm 2） 故选：C ．11．（2020·淄博）如图1，点P 从△ABC 的顶点B 出发，沿B →C →A 匀速运动到点A ，图2是点P 运动时，线段BP 的长度y 随时间x 变化的关系图象，其中M 是曲线部分的最低点，则△ABC 的面积是（ ）A ．12B ．24C ．36D ．48【解析】由图2知，AB ＝BC ＝10，当BP ⊥AC 时，y 的值最小，即△ABC 中，BC 边上的高为8（即此时BP ＝8），当y ＝8时，PC =√BC 2−BP 2=√102−82=6，△ABC 的面积=12×AC ×BP =12×8×12＝48，故选：D ． 二、填空题 15．（2020·鄂州）如图，半径为2cm 的O 与边长为2cm 的正方形ABCD 的边AB 相切于E ，点F 为正方形的中心，直线OE 过F 点．当正方形ABCD 沿直线OF 以每秒(2的速度向左运动__________秒时，O 与正方形重叠部分的面积为22cm 3π⎛- ⎝．{答案}1或1163．{解析}本题考查正方形的性质，扇形面积的计算及等边三角形的判定和性质，题目难度不大，注意分情况讨论是本题的解题关键．将正方形向左平移，使得正方形与圆的重叠部分为弓形，根据题目数据求得此时弓形面积符合题意，由此得到OF 的长度，然后结合运动速度求解即可，特别要注意的是正方形沿直线运动，所以需要分类讨论．解：①当正方形运动到如图1位置，连接OA ，OB ，AB 交OF 于点E 此时正方形与圆的重叠部分的面积为S 扇形OAB -S △OAB由题意可知：OA ＝OB ＝AB ＝2，OF ⊥AB ∴△OAB 为等边三角形 ∴∠AOB ＝60°，OE ⊥AB在Rt △AOE 中，∠AOE ＝30°，∴AE ＝112OA =，OE ∴S 扇形OAB -S △OAB 260π212=23π336023∴OF 1∴点F 向左运动3(31)23个单位23=123秒②同理，当正方形运动到如图2位置，连接OC ，OD ，CD 交OF 于点E此时正方形与圆的重叠部分的面积为S 扇形OCD -S △OCD 由题意可知：OC ＝OD ＝CD ＝2，OF ⊥CD ∴△OCD 为等边三角形 ∴∠COD ＝60°，OE ⊥CD在Rt △COE 中，∠COE ＝30°，∴CE ＝1OC 12，OE ∴S 扇形OCD -S △OCD 260π212=23π336023∴OF 1∴点F 向左运动3(31)43个单位43=116323秒 综上，当运动时间为1或1163秒时，⊙O 与正方形重叠部分的面积为22π3(cm )3故答案为：1或1163．17．（2020•湘西州）在平面直角坐标系中，O 为原点，点A （6，0），点B 在y 轴的正半轴上，∠ABO ＝30°，矩形CODE 的顶点D ，E ，C 分别在OA ，AB ，OB 上，OD ＝2．将矩形CODE 沿x 轴向右平移，当矩形CODE与△ABO 重叠部分的面积为CODE 向右平移的距离为 ．（第17题图）{答案}2{解析}本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、平移的性质、直角三角形的性质、梯形面积公式等知识，熟练掌握含30°角的直角三角形的性质时是解题的关键．∵点A （6，0），∴OA ＝6，∵OD ＝2，∴AD ＝OA ﹣OD ＝6﹣2＝4，∵四边形CODE 是矩形，∴DE ∥OC ，∴∠AED ＝∠ABO ＝30°，在Rt △AED 中，AE ＝2AD＝8，ED ===，∵OD ＝2，∴点E 的坐标为（2，；由平移的性质得：O ′D ′＝2，E ′D ′＝ME ′＝OO ′＝t ，D ′E ′∥O ′C ′∥OB ，∴∠E ′FM ＝∠ABO ＝30°，∴在Rt △MFE ′中，MF ＝2ME ′＝2t ，FE ′===，∴S △MFE ′12=t M E ′•FE ′12=⨯t t22=，∵S 矩形C ′O ′D ′E ′＝O ′D ′•E ′D ′＝2×=，∴S ＝S 矩形C ′O ′D ′E ′﹣S △MFE ′＝22t 1=2，t 2=-2（舍去），因此本题答案是2．17．（2020·通辽）如图①，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，点E 是边AB的中点，点P 是边BC 上一动点，设PC ＝x ，P A +PE ＝y ．图②是y 关于x 的函数图象，其中H 是图象上的最低点．那么a +b 的值为 ．{答案}7{解析}∵点E 是边AB 的中点，∴AE =BE =12AB ．从图象中可以看出，当x 的值最大时，所对应的函数值是此时点P 恰与点B 重合．此时P A +PE ＝AB +12AB =32AB =AB =AC ，AE =BE E 关于BC 的对称点F ，连结AF 交BC 于点P ，此时P A +PE 有最小值，即是AF 长，连结BF ．∵在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，∴∠ABC =∠C =30°，由轴对称可得BF =BE ，∠ABC =∠FBP =30°，∴∠EBF =60°，∴△EBF 是等边三角形，∴EF =BE ，∵AE =BE ，∴AE =BE = EF ，易证△ABF 是直角三角形，∴AF =AB ·sin ∠ABF ==，即a =3，在△ABF 中，∠AFB =90°，∠ABF =60°，∴∠BAF =30°，∵∠BAC ＝120°，∴∠P AC =∠BAC －∠BAF =90°，∴cos C =cos30°=AC PC PC 2233=4，即b =4，∴a +b =7．三、解答题 24．（2020·温州）如图,在四边形ABCD 中,∠A ＝∠C ＝90°,DE ,BF 分别平分∠ADC ,∠ABC ,并交线段AB ,CD 于点E ,F (点E ,B 不重合).在线段BF 上取点M ,N (点M 在BN 之间),使BM ＝2FN .当点P 从点D 匀速运动到点E 时,点Q 恰好从点M 匀速运动到点N .记QN ＝x ,PD ＝y ,已知6125y x =-+,当Q 为BF 中点时245y =.(1)判断DE 与BF 的位置关系,并说明理由. (2)求DE ,BF 的长.E(3)若AD＝6.①当DP＝DF时,通过计算比较BE与BQ的大小关系.②连结PQ,当PQ所在直线经过四边形ABCD的一个顶点时,求所有满足条件的x的值.{解析}这是一道四边形动点综合题。
中考数学压轴题之动态型问题
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第47课时动向型问题(50分)一、选择题(每题8分，共16分)1．[2021·莱芜]如图47－1，在矩形ABCD中，AB＝2a，AD＝a，矩形边上一动点P沿A→B→C→D的路径挪动．设点P经过的路径长为x，PD2＝y，那么以下能大概反响y与x的函数关系的图象是()图47－11A BC D2．[2021·烟台]如图47－2，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，AB＝8，以23为边长的图47－2正方形DEFG的一边GD在直线AB上，且点D与点A重合，现将正方形DEFG沿A→B的方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点D与点B重合时停止，那么在这个运动过程中，正方形DEFG与△ABC的重合局部的面积S与运动时间t之间的函数关系的图象大概是()A BC D二、填空题(每题8分，共8分)3．[2021·凉山]菱形OBCD在平面直角坐标系中的地点如图47－3所示，极点B(2，0)，∠DOB＝60°，点P是对角线OC上的一个动点，E(0，－1)，当EP＋BP最短时，点P的坐标为____________________．2图47－3三、解答题(共26分)4．(13分)[2021长·沙]如图47－4，直线l：y＝－x＋1与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P，Q是直线l上的两个动点，且点P在第二象限，点Q在第四象限，∠POQ＝135°.(1)求△AOB的周长．(2)设AQ＝t>0，试用含t的代数式表示点P的坐标．(3)当动点P，Q在直线l上运动到使得△OAQ与△PBO的周长相等时，记tan∠AOQ＝m，假设过点A的二次函数y＝ax2＋bx＋c同时知足以下两个条件：2①6a＋3b＋2c＝0，②当m≤x≤m＋2时，函数y的最大值等于m，求二次项系数a的值．图47－435．(13分)[2021贵·港]如图47－5，抛物线y ＝ax 2＋bx －5(a ≠0)与x 轴交于点 A(－5，0)和点B(3，0)，与y 轴交于点C. (1)求该抛物线的分析式．(2) 假设点 E 为 x 轴下方抛物线上的一动点，△ABE ＝S △ABC 时，求点E 的坐标．当S (3) 在(2)的条件下，抛物线上能否存在点P ，使∠BAP ＝∠CAE ？假设存在，求出点P 的横坐标；假设不存在，请说明原因．图47－5(30分)6．(15分)[2021南·宁]如图47－6，抛物线经过原点 O ，极点为A(1，1)，且与直线y ＝x －2交于B ，C 两点． (1)求抛物线的分析式及点C 的坐标．(2)求证：△ABC 是直角三角形．(3)假设点N 为x 轴上的一个动点，过点 N 作MN ⊥x 轴与抛物线交于点 M ，那么能否存在以O ，M ，N 为极点的三角形与△ABC 相像？假设存在，恳求出点N 的坐标；假设不存在，请说明原因．4图47－67．(15分)在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，以P(1，1)为圆心的⊙P与x轴，y轴分别相切于点M和点N.点F从点M出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，连结PF，过点P作PE⊥PF交y轴于点E.设点F运动的时间是ts.(1)假设点E在y轴的负半轴上(如图47－7所示)，求证：PE＝PF.(2)在点F运动的过程中，设 OE＝a，OF＝b，试用含a的代数式表示b.(3)作点F对于点M的对称点F′，经过M，E，F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q，连结QE.在点F运动的过程中，能否存在某一时辰，使得以点Q，O，E为极点的三角形与以点P，M，F为极点的三角形相像？假设存在，请直接写出t的值；假设不存在，请说明原因．5图47－7(20分)8．(20分)[2021金·华]在平面直角坐标系中，点O为原点，平行于x轴的直线与抛物线L：y＝ax2订交于A，B两点(点B在第一象限)，点D在AB的延伸线上．(1)a＝1，点B的纵坐标为2.①如图47－8(1)，向右平移抛物线L使该抛物线过点B，与AB的延伸线交于点C，求AC的长．1②如图47－8(2)，假设BD＝2AB，过点B，D的抛物线L2的极点M在x轴上，求该抛物线的函数表达式．6(2)如图47－8(3)，假设BD＝AB，过O，B，D三点的抛物线L3的极点为P，对应函数的二次项系数为a3，过点P 作∥轴，交抛物线L于，F两点，PEx Ea3AB求a的值，并写出EF的值．(1)(2)(3)图47－8参照答案1．D3.(23－3，2－3)72全面有效学习载体4．(1)2＋22(2)P－2t，1＋2t(3)a的值为11＋82或－22－271225．(1)y＝3x＋3x－5.(2)E点的坐标为(－2，－5)．15 9(3)存在知足条件的点P，其横坐标为4或4.6．(1)y＝－x2＋2x，C(－1，－3)．57(2)略(3)存在知足条件的N点，其坐标为3，0或3，0或(－1，0)或(5，0)．7．(1)略(2)当t>1时，b＝2＋a；当0<t≤1时，b＝2－a.1＋17(3)存在，t的值是2＋2或2或.423 28．(1)①AC＝42②y＝4x－2a31AB3(2)a＝－3，EF＝2封闭Word文档返回原板块。
中考数学压轴题专题07几何图形动点运动问题(学生版+解析版)
专题七几何图形动点运动问题【考题研究】几何动点运动问题，是以几何知识和具体的几何图形为背景，渗透运动变化的观点，通过点、线、形的运动，图形的平移、翻折、旋转等把图形的有关性质和图形之间的数量关系位置关系看作是在变化的、相互依存的状态之中，要求对运动变化过程伴随的数量关系的图形的位置关系等进行探究．对学生分析问题的能力，对图形的想象能力，动态思维能力的培养和提高有着积极的促进作用．动态问题，以运动中的几何图形为载体所构建成的综合题，它能把几何、三角、函数、方程等知识集于一身，题型新颖、灵活性强、有区分度，受到了人们的高度关注，同时也得到了命题者的青睐，动态几何问题，常常出现在各地的中考数学试卷中．【解题攻略】几何动点运动问题通常包括动点问题、动线问题、面动问题，在考查图形变换(含三角形的全等与相似)的同时常用到的不同几何图形的性质，以三角形四边形为主，主要运用方程、函数、数形结合、分类讨论等数学思想．【解题类型及其思路】动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。
）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。
利用动点（图形）位置进行分类，把运动问题分割成几个静态问题，然后运用转化的思想和方法将几何问题转化为函数和方程问题,利用函数与方程的思想和方法将所解决图形的性质（或所求图形面积）直接转化为函数或方程。
解题类型：几何动点运动问题常见有两种常见类型：(1)利用函数与方程的思想和方法将所解决图形的性质直接转化为函数或方程；(2)根据运动图形的位置分类，把动态问题分割成几个静态问题，再将几何问题转化为函数和方程问题【典例指引】类型一【探究动点运动过程中线段之间的数量关系】【典例指引1】在△ABC中，∠ACB＝45°，点D为射线BC上一动点（与点B、C不重合），连接AD，以AD为一边在AD右侧作正方形ADEF．（1）如果AB＝AC，如图1，且点D在线段BC上运动，判断∠BAD∠CAF（填“＝”或“≠”），并证明：CF⊥BD（2）如果AB≠AC，且点D在线段BC的延长线上运动，请在图2中画出相应的示意图，此时（1）中的结论是否成立？请说明理由；（3）设正方形ADEF的边DE所在直线与直线CF相交于点P，若AC＝42，CD＝2，求线段CP的长．【举一反三】如图1，点C在线段AB上，（点C不与A、B重合），分别以AC、BC为边在AB同侧作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE、BD交于点P（1）观察猜想：①线段AE与BD的数量关系为_________；②∠APC的度数为_______________（2）数学思考：如图2，当点C在线段AB外时，（1）中的结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明（3）拓展应用：如图3，分别以AC、BC为边在AB同侧作等腰直角三角形ACD和等腰直角三角形BCE，其中∠ACD=∠BCE=90°，CA=CD，CB=CE，连接AE=BD交于点P，则线段AE与BD的关系为________________类型二【确定动点运动过程中的运动时间】【典例指引2】已知：如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的项点B的坐标是(6,4).（1）直接写出A点坐标（______，______），C点坐标（______，______）；P m，且四边形OADP的面积是（2）如图，D为OC中点.连接BD，AD，如果在第二象限内有一点(),1∆面积的2倍，求满足条件的点P的坐标；ABC（3）如图，动点M从点C出发，以每钞1个单位的速度沿线段CB运动，同时动点N从点A出发.以每秒2t>，在M，个单位的連度沿线段AO运动，当N到达O点时，M，N同时停止运动，运动时间是t秒()0N运动过程中.当5MN=时，直接写出时间t的值.【举一反三】如图，▱ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，AB ⊥AC ，AB ＝3，BC ＝5，点P 从点A 出发，沿AD 以每秒1个单位的速度向终点D 运动．连结PO 并延长交BC 于点Q ．设点P 的运动时间为t 秒． （1）求BQ 的长，（用含t 的代数式表示）（2）当四边形ABQP 是平行四边形时，求t 的值（3）当点O 在线段AP 的垂直平分线上时，直接写出t 的值．类型三 【探究动点运动过程中图形的形状或图形之间的关系】【典例指引3】已知矩形ABCD 中，10cm AB =，20cm BC =，现有两只蚂蚁P 和Q 同时分别从A 、B 出发，沿AB BC CD DA =--方向前进，蚂蚁P 每秒走1cm ，蚂蚁Q 每秒走2cm ．问：（1）蚂蚁出发后△PBQ 第一次是等腰三角形需要爬行几秒?（2）P 、Q 两只蚂蚁最快爬行几秒后，直线PQ 与边AB 平行?如图，平面直角坐标系中，直线l分别交x轴、y轴于A、B两点（AO<AB）且AO、AB的长分别是一元二次方程x2-3x+2=0的两个根，点C在x轴负半轴上，且AB：AC=1:2.（1）求A、C两点的坐标；（2）若点M从C点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，连接AM，设△ABM的面积为S，点M的运动时间为t，写出S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）点P是y轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．类型四【探究动点运动过程中图形的最值问题】【典例指引4】如图，抛物线y＝ax2﹣34x+c与x轴相交于点A（﹣2，0）、B（4，0），与y轴相交于点C，连接AC，BC，以线段BC为直径作⊙M，过点C作直线CE∥AB，与抛物线和⊙M分别交于点D，E，点P 在BC下方的抛物线上运动．（1）求该抛物线的解析式；（2）当△PDE是以DE为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；（3）当四边形ACPB的面积最大时，求点P的坐标并求出最大值．已知：如图.在△ABC中.AB=AC=5cm，BC=6cm.点P由B出发，沿BC方向匀速运动.速度为1cm/s.同时，点Q从点A出发，沿AC方向匀速运动.速度为1cm/s，过点P作PM⊥BC交AB于点M，过点Q作QN⊥BC，垂足为点N，连接MQ，若设运动时间为t(s)(0<t<3)，解答下列问题：（1）当t为何值时，点M是边AB中点?（2）设四边形PNQM的面积为y(cm2)，求出y与t之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使S四边形PNQM:S△ABC=4:9?若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；（4）是否存在某一时刻t，使四边形PNQM为正方形?若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由.【新题训练】1．如图①，△ABC是等边三角形，点P是BC上一动点（点P与点B、C不重合），过点P作PM∥AC交AB于M，PN∥AB交AC于N，连接BN、CM．（1）求证：PM+PN＝BC；（2）在点P的位置变化过程中，BN＝CM是否成立？试证明你的结论；（3）如图②，作ND∥BC交AB于D，则图②成轴对称图形，类似地，请你在图③中添加一条或几条线段，使图③成轴对称图形（画出一种情形即可）．2．如图，在矩形ABCD中，AB=18，AD=12，点M是边AB的中点，连结DM，DM与AC交于点G，点E，F分别是CD与DG上的点，连结EF，(1)求证：CG=2AG.(2)若DE=6，当以E，F，D为顶点的三角形与△CDG相似时，求EF的长.(3)若点E从点D出发，以每秒2个单位的速度向点C运动，点F从点G出发，以每秒1个单位的速度向点D运动.当一个点到达，另一个随即停止运动.在整个运动过程中，求四边形CEFG的面积的最小值.3．知识链接：将两个含30°角的全等三角尺放在一起，让两个30°角合在一起成60°，经过拼凑、观察、思考，探究出结论“直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”．如图，等边三角形ABC的边长为4cm，点D从点C出发沿CA向A运动，点E从B出发沿AB的延长线BF 向右运动，已知点D、E都以每秒0.5cm的速度同时开始运动，运动过程中DE与BC相交于点P，设运动时间为x秒．(1)请直接写出AD长．（用x的代数式表示）(2)当△ADE为直角三角形时，运动时间为几秒？(3)求证：在运动过程中，点P始终为线段DE的中点．4．如图所示，已知抛物线2(0)y ax a =≠与一次函数y kx b =+的图象相交于(1,1)A --，(2,4)-B 两点，点P 是抛物线上不与A ，B 重合的一个动点.（1）请求出a ，k ，b 的值；（2）当点P 在直线AB 上方时，过点P 作y 轴的平行线交直线AB 于点C ，设点P 的横坐标为m ，PC 的长度为L ，求出L 关于m 的解析式；（3）在（2）的基础上，设PAB ∆面积为S ，求出S 关于m 的解析式，并求出当m 取何值时，S 取最大值，最大值是多少？5．已知：如图，在矩形ABCD 中，AC 是对角线，AB ＝6cm ，BC ＝8cm ．点P 从点D 出发，沿DC 方向匀速运动，速度为1cm /s ，同时，点Q 从点C 出发，沿CB 方向匀速运动，速度为2cm /s ，过点Q 作QM ∥AB 交AC 于点M ，连接PM ，设运动时间为t （s ）（0＜t ＜4）．解答下列问题：（1）当t 为何值时，∠CPM ＝90°；（2）是否存在某一时刻t ，使S 四边形MQCP ＝ABCD 1532S 矩形？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由； （3）当t 为何值时，点P 在∠CAD 的角平分线上．6．在等边三角形ABC中，点D是BC的中点，点E、F分别是边AB、AC（含线段AB、AC的端点）上的动点，且∠EDF＝120°，小明和小慧对这个图形展开如下研究：问题初探：（1）如图1，小明发现：当∠DEB＝90°时，BE+CF＝nAB，则n的值为；问题再探：（2）如图2，在点E、F的运动过程中，小慧发现两个有趣的结论：①DE始终等于DF；②BE与CF的和始终不变；请你选择其中一个结论加以证明．成果运用:（3）若边长AB＝8，在点E、F的运动过程中，记四边形DEAF的周长为L，L＝DE+EA+AF+FD，则周长L取最大值和最小值时E点的位置?7．如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为ts．(1)当t为何值时，四边形ABQP是矩形；(2)当t为何值时，四边形AQCP是菱形；(3)分别求出(2)中菱形AQCP的周长和面积．8．如图，O为菱形ABCD对角线的交点，M是射线CA上的一个动点（点M与点C、O、A都不重合），过点A、C分别向直线BM作垂线段，垂足分别为E、F，连接OE，OF．（1）①依据题意补全图形；②猜想OE与OF的数量关系为_________________.（2）小东通过观察、实验发现点M在射线CA上运动时，（1）中的猜想始终成立．小东把这个发现与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明（1）中猜想的几种想法：想法1：由已知条件和菱形对角线互相平分，可以构造与△OAE全等的三角形，从而得到相等的线段，再依据直角三角形斜边中线的性质，即可证明猜想；想法2：由已知条件和菱形对角线互相垂直，能找到两组共斜边的直角三角形，例如其中的一组△OAB和△EAB，再依据直角三角形斜边中线的性质，菱形四边相等，可以构造一对以OE和OF为对应边的全等三角形，即可证明猜想．……请你参考上面的想法，帮助小东证明（1）中的猜想（一种方法即可）．（3）当∠ADC=120°时，请直接写出线段CF，AE，EF之间的数量关系是_________________．9．（1）（问题情境）小明遇到这样一个问题：如图①，已知ABC ∆是等边三角形，点D 为BC 边上中点，60ADE ∠=︒，DE 交等边三角形外角平分线CE 所在的直线于点E ，试探究AD 与DE 的数量关系．小明发现：过D 作//DF AC ，交AB 于F ，构造全等三角形，经推理论证问题得到解决．请直接写出AD 与DE 的数量关系，并说明理由． （2）（类比探究）如图②，当D 是线段BC 上（除,B C 外）任意一点时（其他条件不变）试猜想AD 与DE 的数量关系并证明你的结论． （3）（拓展应用）当D 是线段BC 上延长线上，且满足CD BC =（其他条件不变）时，请判断ADE ∆的形状，并说明理由．10．如图，直线y =﹣23x +4与x 轴交于点C ，与y 轴交于点B ，抛物线y =ax 2+103x +c 经过B 、C 两点． （1）求抛物线的解析式；（2）如图，点E 是直线BC 上方抛物线上的一动点，当△BEC 面积最大时，请求出点E 的坐标； （3）在（2）的结论下，过点E 作y 轴的平行线交直线BC 于点M ，连接AM ，点Q 是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P ，使得以P 、Q 、A 、M 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．11．如图，边长为4的正方形ABCD 中，点P 是边CD 上一动点，作直线BP ，过A 、C 、D 三点分别作直线BP 的垂线段，垂足分别是E 、F 、G ．（1）如图（a ）所示，当CP ＝3时，求线段EG 的长；（2）如图（b ）所示，当∠PBC ＝30°时，四边形ABCF 的面积；（3）如图（c ）所示，点P 在CD 上运动的过程中，四边形AECG 的面积S 是否存在最大值？如果存在，请求出∠PBC 为多少度时，S 有最大值，最大值是多少？如果不存在，请说明理由．12．已知：如图，在四边形ABCD 中，//AB CD ，90ACB ∠=︒，10cm AB =，8cm BC =，OD 垂直平分A C .点P 从点B 出发，沿BA 方向匀速运动，速度为1cm/s ；同时，点Q 从点D 出发，沿DC 方向匀速运动，速度为1cm/s ；当一个点停止运动，另一个点也停止运动.过点P 作PE AB ⊥，交BC 于点E ，过点O 作//QF AC ，分别交AD ，OD 于点F ，G .连接OP ，EG .设运动时间为()t s ()05t <<，解答下列问题：(1)当t 为何值时，点E 在BAC ∠的平分线上？ (2)设四边形PEGO 的面积为()2mS c ，求S 与t 的函数关系式.(3)连接OE ，OQ ，在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使OE OQ ⊥？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由.13．已知：如图1，矩形OABC 的两个顶点A ，C 分别在x 轴，y 轴上，点B 的坐标是（8，2），点P 是边BC 上的一个动点，连接AP ，以AP 为一边朝点B 方向作正方形P ADE ，连接OP 并延长与DE 交于点M ，设CP ＝a （a ＞0）．（1）请用含a 的代数式表示点P ，E 的坐标．（2）连接OE ，并把OE 绕点E 逆时针方向旋转90°得EF ．如图2，若点F 恰好落在x 轴的正半轴上，求a 与EMDM的值． （3）①如图1，当点M 为DE 的中点时，求a 的值．②在①的前提下，并且当a ＞4时，OP 的延长线上存在点Q ，使得EQ +22PQ 有最小值，请直接写出EQ +22PQ 的最小值．14．如图，边长为6的正方形ABCD 中，,E F 分别是,AD AB 上的点，AP BE ⊥，P 为垂足． （1）如图①， AF =BF ，AE =23，点T 是射线PF 上的一个动点，则当△ABT 为直角三角形时，求AT 的长；（2）如图②，若AE AF =，连接CP ，求证：CP FP ⊥．15．边长相等的两个正方形ABCO 、ADEF 如图摆放，正方形ABCO 的边OA 、OC 在坐标轴上，ED 交线段OC 于点G ，ED 的延长线交线段BC 于点P ，连AG ，已知OA 长为3. （1）求证：AOG ADG ∆≅∆;（2）若12∠=∠，AG =2，求点G 的坐标；（3）在（2）条件下，在直线PE 上找点M ，使以M 、A 、G 为顶点的三角形是等腰三角形，求出点M 的坐标.16．定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“梦想四边形”。
2021中考数学专题复习：压轴题动态几何问题专项训练题2(附答案详解)
4．如图1，等边△ABC与等边△BDE的顶点B重合，D、E分别在AB、BC上，AB= ，BD=2．现将等边△BDE从图1位置开始绕点B顺时针旋转，直线AD、CE相交于点P．
探索：如图②，在Rt△ABC与Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，将△ADE绕点A旋转，使点D落在BC边上，试探索线段AD，BD，CD之间满足的等量关系，并证明你的结论；
应用：如图③，10，CD＝5，求AD的长．
8．如图， 是等边三角形， ，动点 从点 出发，以 的速度沿 向点 匀速运动，过点 作 ，交折线 于点 ，以 为边作等边三角形 ，使点 ， 在 异侧．设点 的运动时间为 ， 与 重叠部分图形的面积为 ．
(2)点P从点B出发沿线段BO方向以1个单位/秒的速度向终点O运动，设△AEP的面积为S，运动时间为t，求S与t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围．
(3)在(2)的条件下，点P运动的同时点Q从C点出发沿射线CO方向以3个单位/秒的速度运动，当点P到达终点时，点Q也停止运动，过点P做x轴垂线交BC于点F，连接FQ和EQ，平面内是否存在一点M，使得以点E，Q，F，M为顶点且以EQ为边的四边形是菱形?若存在，求出此时t值和M点坐标；若不存在，说明理由．
（1）求AB的长；
（2）若四边形ABQC的一条对角线等于其中一边，求t的值．
10．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过平行四边形ADBC的顶点A(0，3)、B(3，0)、D(2，3)抛物线与x轴的另一交点为E，经过点E的直线l将▱ADBC分割成面积相等的两部分，与抛物线交于另一点F，点P在直线l上方抛物线上一动点，设点P的横坐标为t．