北京大学数学分析I期中考试试题
北京大学数学科学学院数学分析I期中考试题目
共七道大题，满分101分，时间110分钟
2018.11.15 8：00-9：50
一.（本题30分）判断下列极限是否存在。
（1）
（2）
（3）
二.（本题36分）下列问题若回答是,请给出证明；若回答否,请给出反例。
（1）若和在上均一致连续,问在是否一致连续？
（2）若和在上均一致连续,问在是否一致连续？
（3）若和在上均一致连续,且问在是
否一致连续？
（4）设在上连续,且一致连续,问是否一致连续？
三.（本题10分）设
证明：此数列当时,极限存在,并求其值。
四.（本题10分）假设是定义在上的函数,,如果存在一个定义
在上的连续函数使得单调上升,证明：可以取到与之间的任
一实数。
五.（本题5分）设是定义在整个实数轴上的连续函数.
证明：函数方程不可能有连续解。
六.（本题5分）设,如果极限
其中是在上的最大值,证明：
七.（本题5分）设是定义在实数轴上最小正周期为无理数的连续函数,
证明：当时,数列的极限不存在。
2021北京北大附高一(下)期中数学
1 / 5 2021北京北大附高一（下）期中 数 学
注意事项
1.考试时间90分钟，满分:100分. 2.所有试题答案都写在答题纸的规定位置，超出范围无效. 3.使用黑色字迹的签字笔或钢笔答题，不得使用铅笔答题，不能使用涂改液、胶带纸、修正带修
改。
4.只呈交答题纸，试卷自己留存.
I卷(共87分) 一、选择题，共6小题，每小题3分，共18分．在每小题的四个选项中，选出符合条件的一项． 1.若0sin＜且0tan＞，则是( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角
2.设2,2,则下列函数值一定是正值的是( ) A. tan B. sin C. cos. D. 2cos 3.巳知45cossin,则2sin=( )
A.169 B.163 C. 163 D. 169 4.要得到函数6cos6sin4xxy的图象，只需把函数xy2sin2的图象( ) A.向左平移3个单位 B.向右移3个单位 C.向左平移6个单位 D.向右平移6个单位 5.已知xAxfsin，其中＜＜＞＞0,0,0A在一个周期内的图象如右图所示.则xf( ) A 42sin2x B.421sin2x
C.42sin2x D.421sin2x 2 / 5
6.在△ABC中，若CACACBsincoscossin2cos1sin,则△ABC为( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 二、填交题，共6小题，每小题3分，共18分.
7.若角与角3的终边关于x轴对称，则与角同终边的所有角构成集合 . 8.已知扇形的圆心角为120°，扇形的面积为3,则该扇形所在圆的半径为 . 9.sin35°cos25°+cos35°cos65°= . 10.已知点P(2，3)在的终边上，则tan= .2tan= .
数学分析第一学期期中考试试卷
姓名 专业、班级 学号安徽工业大学数理学院2012级《数学分析1》期中考试试卷一、选择题（本大题共有6小题，每题5分，共30分）1、极限)00()1(lim 0≠≠+→b a a xx bx ， 的值为（ C ） 。
； ； ； abeD e C a b B A ab)()(ln )(1)(2、 , 01arctan )(22⎪⎩⎪⎨⎧=≠=x a x xx x f 当 当设在0=x 处连续，则=a （ A ）。
； ； ；2)(1)()(0)(πD C B A ∞3、都是无穷小，、时，若当)()(0x x x x βα→则当0x x →时，下列表示式哪一个不一定是无穷小。
（ D ）[]。
； ； ； )()()()()(1ln )()()()()()()(222x x D x x C x x B x x A βαβαβαβα⋅+++ 4、，，当，当⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+<=01sin 01arctan )(2x x x x x x x f 则关于)(x f 的连续性的正确结论是（ A ）有两个间断点。
；只有一个间断点；只有一个间断点上处处连续；，在)(1)(0)()()()(D x C x B x f A -==∞+-∞5、)(x f 是偶函数且恒为正，)(x g 是奇函数，则偶函数是（ C ）（Ａ）)()(x g x f -；（B ）)()(x g x f ；（C ）)()(x f x xg ；（D ）)]([x g xf 。
6、设)(x f ，)(x g 在],[b a 上连续，且)()(a g a f <，)()(b g b f >则方程)()(x g x f =在),(b a 内（ ）（Ａ）有且仅有一个实根； （Ｂ）未必有实根；（Ｃ）至少有两个实根； （Ｄ）至少有一个实根。
二、填空题（本大题共有6小题，每题5分，共30分）1、___________0_____1ln 1lim1=-→x x 。
北京大学数学分析考研试题及解答
1 2判断无穷积分1解 根据不等式|sinusin x 、 sin x i 得到 |sin( ) | x xsin x sin x从而 (s in (叱)叱)dx绝对收敛，因而收敛,1x x sin x再根据1〒dx 是条件收敛的，丄 sin xsin x sin x sin x 由 sin( ) (sin( )) xx x xsin x 可知积分sin( )dx 收敛，且易知是是条件收敛的。
1x2x 例5339设巳(x)1 x2!nx，X m 是P ?m 1(x) 0的实根,n!求证：x m 0，且 lim x mmN ，当 x 0 时，有 F 2m 1( x) 0 ；又 P>m 1 (x) F 2m (x) 0，F 2m1(x)严格递增，所以根唯一，X m 0。
任意 x ( ,0)， lim F n (x) e x 0，所以 F 2m1(x)的根 X mn因为若m 时，Rm1(x)0的根，X m 不趋向于则存在M 0 ,使得(M ,0)中含有｛ X m ｝的一个无穷子列，从而存在收敛子列X m kX 。
，( X 。
为某有限数M )；0 e M lim F 2m k 1( M) lim F 2叫 1 (X m k ) 0，矛盾。
KK(1)n例、设a n ln(1右)，讨论级数a n 的收敛性。
n Pn 21 .3 .u| |u | ,| u |62 1, 1 sin ,3 1 1 “r 113 ， x L 1, 6 X 6 X 证明(1)任意m当x 0且x 充分大时，有F 2m1(x)0,所以F 2m 1(X )0的根X m 存在, (2)，(m )。
sin(Sin x )dx 的收敛性。
x )；1 2解显然当p 0时，级数 a n 发散;n 2x ln(1 x)1 lim- x 0 11 X 2xlim 1 丄x 02 1 x故此时 a n 条件收敛。
n 2北京大学2007年数学分析考研试题及解答 1、用有限覆盖定理证明连续函数的介值定理。
中科大数学分析(B2)期中考试试题
解. 有条件易见a(x, y)和b(x, y)就是两个偏导数，只需要证明他们是一致连续的。 事实上，我们证明它们是Holder连续的。 以a(x, y)为例，由条件
f (x + 2h, y) = f (x, y) + a(x, y)2h + O(h3/2) f (x + 2h, y) = f (x + h, y) + a(x + h, y)h + O(h3/2)
综上所述，最大值为10，最小值为−2。
5.(15分) 设C > 0是一个常数，又设函数 f (x, y)满足：对于任何平面上的点(x, y)， 存在a(x, y), b(x, y)使得对于任何实数h, k满足|h| + |k| ≤ 1，有
| f (x + h, y + k) − f (x, y) − a(x, y)h − b(x, y)k| ≤ C(|h| + |k|)3/2.
n = v1 × v2 = (−1, −1, 2) × (1, −2, −1) = (5, 1, 3).
所求平面方程一定是形如5x + y + 3z =?的形式。 在L1上取一点(1, 1, −1)， 代入得? = 3; 在L2上取一点(1, −1, −1)，代入得? = 1. 则所求平面为5x + y + 3z = 2.
V˜
=
πH2(R
−
H/3)
=
π 4 (1 −
2 )
=
28 π.
9 9 81
最终答案
V
=
56
√ 6.
81
7.(10分) 设m是自然数。求积分
北京大学《数学分析(Ⅲ)》2020-2021学年第一学期期末试卷 (2)
北京大学《数学分析（Ⅲ）》2020-2021学年第一学期期末试卷《数学分析（Ⅲ）》院/系——年纪——专业——姓名——学号——一、选择题（每题2分，共20分）1. 设函数f(x)在区间[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f'(x) > 0，则下列结论正确的是（ ）A. f(x)在[a,b]上单调递增B. f(x)在(a,b)上单调递增C. f(x)在[a,b]上单调递减D. f(x)在(a,b)上单调递减2. 设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a) = f(b) = 0，则在(a,b)内至少存在一点ξ，使得（ ）A. f'(ξ) = 0B. f'(ξ) > 0C. f'(ξ) < 0D. 以上都不一定3. 关于函数极限的ε-δ定义，以下说法正确的是（ ）A. 对任意ε>0，总存在δ>0，使得当|x-x0|<δ时，有|f(x)-A|<εB. 对任意δ>0，总存在ε>0，使得当|x-x0|<δ时，有|f(x)-A|<εC. 对任意ε,δ>0，当|x-x0|<δ时，有|f(x)-A|<εD. 以上都不对4. 设z = f(x,y)在点(x0, y0)处可微，则（ ）A. dz在(x0, y0)处连续B. dz在(x0, y0)处有界C. dz在(x0, y0)处可导D. dz在(x0, y0)处存在偏导数5. 设u = u(x,y,z)有连续的二阶偏导数，则（ ）A. u关于x的二阶偏导数与关于y的二阶偏导数一定相等B. u关于x的二阶偏导数与关于y的二阶偏导数一定不相等C. u关于x,y的二阶混合偏导数与关于y,x的二阶混合偏导数一定相等D. 以上都不一定6. 设函数$f(x)$在$[a, b]$上连续，在$(a, b)$内可导，若$f'(x) > 0$对所有$x \in (a, b)$成立，则$f(x)$在$[a, b]$上（ ）A. 单调递增B. 单调递减C. 可能递增也可能递减D. 为常数7. 设$f(x)$在$x = x_0$处可导，且$f'(x_0) > 0$，则对于充分小的$\Delta x > 0$，有（ ）A. $f(x_0 + \Delta x) < f(x_0)$B. $f(x_0 + \Delta x) > f(x_0)$C. $f(x_0 + \Delta x) = f(x_0)$D. 无法确定8. 若$\lim_{{x \to \infty}} f(x) = L$，则下列说法正确的是（ ）A. $f(x)$在$x \to \infty$时单调B. $\lim_{{x \to -\infty}} f(x) = L$C. $f(x)$在$x \to \infty$时一定有界D. $\lim_{{x \to x_0}} f(x)$不一定存在9. 设函数$z = f(x, y)$在点$(x_0, y_0)$处可微，则$f$在$(x_0, y_0)$处的全微分$dz$可以表示为（ ）A. $dz = f_x(x_0, y_0) dx + f_y(x_0, y_0) dy$B. $dz = f_x(x_0, y_0) + f_y(x_0, y_0)$C. $dz = f_x(x_0, y_0) dy + f_y(x_0, y_0) dx$D. $dz = \frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0) + \frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0)$10.设$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，且对任意$x \in (a,b)$，有$f(x) \geq 0$和$f'(x) \leq 0$，则：A. $f(x)$在$[a,b]$上单调递增B. $f(x)$在$[a,b]$上单调递减C. $f(x)$在$[a,b]$上恒为常数D. $f(x)$在$[a,b]$上无单调性二、填空题（每题3分，共15分）1. 设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f'(x) < 0，则f(x)在[a,b]上的最小值为_______。
北京大学数学科学学院【数学分析 I】课程习题集(参考 谢惠民 数学分析习题课讲义)
或任意 n ≥ N 有 则仍有矛盾. 从而 c = 1.
1 ∈ (c − ϵ, c + ϵ) .
an
解. 取 M > 1 使得
[
]
1
a1, a2 ∈
,M M
.
则归纳易知任意
n
有
an
∈
[
1 M
,
M ],
从而
α = lim sup an, β = lim inf an
n→∞
n→∞
均为正数, 且 α ≥ β. 又从两个方向分别导出不等式, 可得出 αβ = 1. 取 {ank }∞ k=1 收敛于 α, 易证
4
证明. 只须证 α < c < β 的情形. 找 p1 < q1 < p2 < q2 < · · · 使得
xpl > c > xqm (l = 1, 2, . . . ; m = 1, 2, . . .). 又存在 pj ≤ rj < qj (j = 1, 2, . . .) 使得
此时
xrj ≥ c ≥ xrj+1.
lim
k→∞
ank −1
=
lim
k→∞
ank −2
=
β.
而 2
ank−3 = ank−1 − ank−2 (nk > 3).
左式关于 k 的上极限不大于 α, 但右式关于 k 的极限为 2α − β > α, 矛盾.
问题 4 (08 上期中). 设 {an}∞ n=1 为单调递增的正整数列. 证明: 数列
cn = max(bn+1, bn) (n = 1, 2, . . .).
则 {cn}∞ n=1 不增且有下界, 故其下确界 c 为其极限值 (显然 c ≥ 1), 从而任 意 ϵ > 0, 存在 N 使得任意 n ≥ N 有
北航_数分(1)期中考试参考答案(05-10)
北京航空航天大学数学分析(上)期中考试试题2005年11月13日班级 学号 姓名一、填空题 (每小题4分,共20分)1． 设曲线()y f x =在原点与曲线sin y x =相切，则 n2．limn →∞= 03． 设当0→x 时，βα,是等价无穷小，（0αβ>），βααβ+-→1)1(lim 0x = 14． y =则 'y = 1+5． 设函数 )(x y y = 由方程 e xy e y =+2确定， 0x dy dx== 2e-二、单项选择(每小题5分,共20分)1． 与A a n n =∞→lim 不等价的一个命题是 【 C 】.A 0>∀ε，+∈∃N N ，对于所有满足n N ≥的+∈N n ，都有ε<-||A a n ； .B 0>∀ε，+∈∃N N ，对于所有满足N n >的+∈N n ，都有2||n a A ε-≤；.C 0>∀ε，+∈∃N N ，对于所有满足N n >的+∈N n ，都有εn A a n <-||； .D 0>∀ε，+∈∃N N ，对于所有满足100n N >+的+∈N n ，都有ε100||<-A a n ．2. 设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0 00 1sin )(2x x x x x f , 则在x = 0处 【 C 】Ａ．不连续 Ｂ. 连续但不可导Ｃ．连续且可导 D . 导函数连续3．设()f x 在[,]a b 上连续，且()0f x ≠。
则 【 D 】A ． ()f x 在[,]a b 上恒为正B ． ()f x 在[,]a b 上有正有负C . ()f x 在[,]a b 上恒为负D . ()f x 在[,]a b 上不变号4． 设()f x 在[,]a b 不一致连续， 则在下列表述中正确的一个是 【 B 】.A 00ε∃>，0δ∀>，对[,]a b 中一切满足'''x x δ-<的',''x x ，都有0|(')('')|f x f x ε-≥。
北京大学附属中学2017-2018学年高一上学期期中考试数学试题(含解析)
图象的画法．依据阅读材料1 ，请写出 5 个不同类型的初等函数的解析式，并且注明其定义域． （1）__________；（ 2 ）__________；（ 3 ）__________；（ 4 ）__________；（ 5 ）__________．
【答案】（1 ） y = 2x +1 ， x R ；（ 2 ） y = x2 + x +1， x R ；（ 3 ） y = 2x ， x R ；（ 4 ） y = log2 x ， x (0,+) ；（ 5 ） y = x3 ， x R ．
【解析】一次函数为 y = ax + b(a 0) ，定义域是 R ；二次函数 y = ax2 + bx + c(a 0) ，定义域是 R ；
指数函数 y = ax （ a 0 且 a 1），定义域是 R ；对数函数 y = loga x ，定义域是 (0, +) ；
幂函数
y
=
xa
．常见的幂函数有
二、（共计 29 分，附加题 8 分）有关函数的图象以及函数图象的变换（教材 61 页探索与研究的拓展）． 已知函数： （1 ） f (x) = x2 ， f1(x) = (x +1)2 ， f2 (x) = (x −1)2 ， f3 (x) = x2 +1 ， f4 (x) = x2 −1 ． （ 2 ） g(x) = 2x ， g1(x) = 2x+1 ， g2 (x) = 2x+1 ， g2 (x) = 2x−1 ， g4 (x) = 2x −1 ． 依据上述条件，完成下列问题：
【解析】某种笔记本的单价是 5 元，买 x(x 1,2,3,4,5) 2 个笔记本需要 y 元，则 y = 5x ，x 1,2,3,4,5 ．
北京市海淀区北京大学附属中学行知学院2022-2023学年高一下学期期中数学试题
北京市海淀区北京大学附属中学行知学院2022-2023学年高一下学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________①()y f x =的图象关于点②()y f x =的图象关于直线③()y f x =在其两个相邻零点间的曲线长度为二、填空题14．已知函数()f x 满足：①R x ∀∈，(1)(1)f x f x -=+且()()f x f x =--；②当[1,1]x ∈-时，()f x x =．则不等式()0xf x >的解集为__________．⎝四、解答题16．已知函数()f x =(1)求()f x 的最小正周期和单调增区间；(1)若OD xOA yOC =+（(2)求OC OB ⋅ ；(3)求证：OE BC ⊥．c=，则ω=__________；(1)若π(2)在条件①、条件②、条件③ϕ唯一确定．则选择的三个条件序号可以是__________，ϕ=__________；g x=(3)利用（2）中的结论，设()参考答案：故选：A7．D【分析】根据三角函数图象求得由三角函数的定义可知((cos B 由诱导公式化简可得(sin10B -故选：C 10．B【分析】根据题设描述画出P 综上，P 在x 轴上部分轨迹如上图示，由图易知：区间所以()y f x =的图象关于32x =对称，不关于由()0xf x >，则0()0x f x >⎧⎨>⎩或0()0x f x <⎧⎨<⎩，结合图象知：所以，不等式()0xf x >的解集为(42,k --18．(1)2(2)①②④，π2=ω，π3ϕ=(3)1 6。
北京大学2017年秋数学物理方法期中试题
的解析区域。
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2
点击免费在线预览全文北京大学期中试题2017–2018学年第一学期考试科目
北京大学期中试题
2017–2018 学年第一学期
考试科目： 数学物理方法（上） 姓 名: 本试题共 七 道大题，满分 100 分
考试时间： 学 号:
2017 年 11 月 3 日
注意：各题均需写出必要的关键步骤。
一、 （15 分）简单计算和回答
·
−1 0
1
−i
2+i · ·E 23
4. |Imz| · |dz|
C
五、 （20 分）计算下列积分：
1. tan zdz
|z|=2
(z)
2. f (z) =
|ζ|=2
(Imζ) eζ ζ−z
dζ
（其中
z
是复数
T· i
且 |z| 2.）
√
3.
|z|=1
z (2z + 1) (z + 2)2
dz.
如右图在实轴上沿
√ 三、 （15 分）已知 f (z) = ln(z2 + 1) + 1 + iz，规定 f (0) = −1 + 2πi，求 f (3)．
1 − iz
(1) 若 z 沿下图中的路径 C1 从原点到达 z = 3 点； (2) 若 z 沿下图中的路径 C2 从原点到达 z = 3 点。
i ·T(z)
· −1 0
−i ·
· · ·E 123
C1
i ·T(z)
C2
· −1 0
−i ·
· · ·E 123
1
四、 （20 分）计算下列积分，其中闭合围道 C 是 z 复平面内由 −i，2 + i 和 i 组成 的三角形。