专题02 二次函数与面积问题-2019年中考数学辅导之考点二次函数讲解与真题分析(原卷版)
02 二次函数中考考点讲评系列 二次函数与面积问题
【考点讲解】二次函数面积最值问题
1、规则图形面积最值问题（这里规则图形指三角形必有一边平行于坐标轴，四边形必有一组对边平行于
坐标轴）
1）首先表示出所需的边长及高
2）利用求面积公式表示出面积
3）得到一个面积关于自变量的二次函数
4）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值
2、不规则图形面积最值问题
1）分割。将已有的不规则图形经过分割后得到几个规则图形
2）再分别表示出分割后的几个规则图形面积，求和
3）得到一个面积关于自变量的二次函数
4）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值
或1）利用大减小，不规则图形的面积可由规则的图形面积减去一个或几个规则小图形的面积来得到
2）得到一个面积关于自变量的二次函数
3）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值
【真题分析】
1．如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，
请用m的代数式表示MN的长．
（3）在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存
在，说明理由．
2．如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知B点坐
标为（4，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；
（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标．
3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+mx+n经过点A（3，0）、B（0，﹣3），点P是直线AB上的动
点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，设点P的横坐标为t．
（1）分别求出直线AB和这条抛物线的解析式．
（2）若点P在第四象限，连接AM、BM，当线段PM最长时，求△ABM的面积．
（3）是否存在这样的点P，使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点
P的横坐标；若不存在，请说明理由．
4．如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A（0，1），B（2，0），O（0，0），将此三角
板绕原点O逆时针旋转90°，得到△A′B′O．
（1）一抛物线经过点A′、B′、B，求该抛物线的解析式；
（2）设点P是在第一象限内抛物线上的一动点，是否存在点P，使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积4
倍？若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，试指出四边形PB′A′B是哪种形状的四边形？并写出四边形PB′A′B的两条性质．
5．如图，抛物线y=x2﹣2x+c的顶点A在直线l：y=x﹣5上．
（1）求抛物线顶点A的坐标；
（2）设抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点C、D（C点在D点的左侧），试判断△ABD的形状；
（3）在直线l上是否存在一点P，使以点P、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的
坐标；若不存在，请说明理由．
6．如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两
点的坐标分别为（﹣3，0）、（0，4），抛物线y=x2+bx+c经过点B，且顶点在直线x=上．
（1）求抛物线对应的函数关系式；
（2）若把△ABO沿x轴向右平移得到△DCE，点A、B、O的对应点分别是D、C、E，当四边形ABCD是
菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，连接BD，已知对称轴上存在一点P使得△PBD的周长最小，求出P点的坐标；
（4）在（2）、（3）的条件下，若点M是线段OB上的一个动点（点M与点O、B不重合），过点M作∥BD
交x轴于点N，连接PM、PN，设OM的长为t，△PMN的面积为S，求S和t的函数关系式，并写出自变
量t的取值范围，S是否存在最大值？若存在，求出最大值和此时M点的坐标；若不存在，说明理由．
7．如图，已知抛物线y=x2+bx+c的图象与x轴的一个交点为B（5，0），另一个交点为A，且与y轴交于点
C（0，5）．
（1）求直线BC与抛物线的解析式；
（2）若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求MN的最大
值；
（3）在（2）的条件下，MN取得最大值时，若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点，以BC为边作平
行四边形CBPQ，设平行四边形CBPQ的面积为S1，△ABN的面积为S2，且S1=6S2，求点P的坐标．
8．如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的
坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不
存在，请说明理由；
（3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐
标．
9．如图，在坐标系xOy中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，A（1，0），B（0，2），抛物线y=x2+bx
﹣2的图象过C点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）平移该抛物线的对称轴所在直线l．当l移动到何处时，恰好将△ABC的面积分为相等的两部分？
（3）点P是抛物线上一动点，是否存在点P，使四边形PACB为平行四边形？若存在，求出P点坐标；若
不存在，说明理由．
中考数学专题复习《二次函数综合题》知识点梳理及典例讲解课件
时，S有最大值，最大值为 ，此时点P的坐标为（3; ＝－ m2＋9m＝－ （m2－6m）＝－ （m－3）2＋ .
∵－ ＜0，∴ 当m＝3
类型二面积问题
典例2 （2023·
湘潭）如图，二次函数y＝x2＋bx＋c 的图象与x轴交于点
∴ 设M（t，－t2＋2t＋3）（0＜t＜3），则Q（t，－t＋3）.∴ MQ
＝－t2＋3t.过点Q作QD⊥OC，垂足为D，则易得△CDQ是等腰直
角三角形.∴ CQ＝ t.
∴ MQ＋ CQ＝－t2＋3t＋2t＝－t2＋5t＝－
−
＋ .∴
时，MQ＋ CQ 有最大值，此时点M的坐标为
式，当x＝1时求出y的值，从而求出点P的坐标，此时PA＋PC的最
小值就是BC的长，利用勾股定理求解即可；（3） 由抛物线与直线
BC对应的函数解析式，分别设出点M，Q的坐标，过点Q作
QD⊥OC，垂足为D，将MQ＋ 2CQ用含参数的代数式表示出来，
再结合二次函数的性质求解问题.
解：（1） ∵ 抛物线y＝ax2＋bx＋3（a≠0）的对称轴是直线x＝1，点A的坐标为（－
1，0），∴ 由抛物线的对称性，可知点B的坐标为（3，0）.
（2） 由题意，可知抛物线对应的函数解析式为y＝a（x＋1）（x－
3）＝a（x2－2x－3）.∵ 抛物线y＝ax2＋bx＋3（a≠0）与y轴交于点
C，
∴ 易得C（0，3）.将C（0，3）代入y＝a（x2－2x－3），得－3a＝
3，解得a＝－1.∴ 抛物线对应的函数解析式为y＝－x2＋2x＋3.如图
2019年人教版中考数学《二次函数的综合应用》复习课件
25 答案 (1)设抛物线的函数表达式为y=a(x-3) + . 9 16 16 2 25 ∵点A =a(0-3) + , 0, 在此抛物线上,∴ 9 9 9 1 解得a=- . 9 1 2 25 ∴抛物线的函数表达式为y=- (x-3) + . 9 9
2
(2)有危险.理由如下:
1 (3)令y=8,解方程- (x-6)2+10=8, 6
得x1=6+2 3 ,x2=6-2 3, x1-x2=4 3.
答:两排灯的水平距离最小是4 3 m.
名师点拨 本题的解题技巧是转化,如在(2)中,把集装箱的宽度为4米转化为
货运汽车最外侧与地面OA的交点为坐标(2,0)或(10,0),然后求抛物线上x=2时 的y值,则问题进一步转化为比较此时的y值与6 m(集装箱的高度)的大小,至此 即可得到“能否通过”的答案.
答案
1 b c 0, b 2, (1)将A,B点的坐标代入y=-x +bx+c,得 解得 4 2b c 3, c 3.
2
∴抛物线的函数表达式为y=-x2+2x+3.
(2)∵y=-x2+2x+3=ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ(x-1)2+4,
∴D(1,4),C(0,3). 作点C关于直线x=3的对称点C',则点C'的坐标为(6,3). 连接C'D,C'D交直线x=3于M点,连接MC,此时MC+MD的值最小,如图所示.
∴拱顶D到地面OA的距离为10 m.
(2)根据题意,货运汽车最外侧与地面OA的交点坐标为(2,0)或(10,0),
1 2 22 1 2 22 当x=2或x=10时,y=- ×2 +2×2+4= 或y=- ×10 +2×10+4= . 6 3 6 3 22 ∵ m>6 m 3
2019年温州中考：二次函数专题 (共18张PPT)
天可生产 1 件丙（每人每天只能生产一件产品），丙产品每件可获利 30 元，求每天生产三种产品可获得的
总利润W （元）的最大值及相应的 x 值.
（1） 产品种类 甲 乙
每天工人数（人） 65-x
每天产量（件） 2（65-x）
每件产品可获利润（元） 15 130-2x
（2）解：由题意得 15×2（65-x）=x（130-2x）+550 ∴x2-80x+700=0 解得 x1=10，x2=70（不合题意，舍去） ∴130-2x=110（元） 答：每件乙产品可获得的利润是 110 元。 （3）解：设生产甲产品 m 人 W=x（130-2x）+15×2m+30（65-x-m）=-2x2+100x+1950=-2（x-25）2+3200
复习专题
⊙积极进取
二次函数
⊙勇攀高分
一：最近5年温州中考二次函数的综合分析：
2014 2015 2016 2017 2018 2019
二次函数 T21，T24（3）等 T15,T23等 T10,T23等 T16,T22等 T21,T23等 T9,T21等
分值 约15分 约17分 约17分 约15分 约22分 约17分
A．一直减小 B．一直不变 C．先减小后增大 D．先增大后减小
解：在 RT△ABC 中，∵∠ACB=90°，AC=4，BC=2，
∴AB=
=
=2 ，设 PD=x，AB 边上的高为 h，
h=
=，
∵PD∥BC，
∴=，
∴AD=2x，AP= x，
∴S1+S2= •2x•x+ （2 ﹣1﹣ x）•
=x2 ﹣2x+4﹣
∴EG=AC=BG，∵FG∥OE，∴OF=FB，∵EG=BG，∴EO=2FG，∵ •DE•EO= •GB•GF，
2019年中考数学第三章函数3.4二次函数(讲解部分)素材
ｂ 的位置可确定 ｂ 的符号， 可简记为 左同右异 ， 即对称轴 ２ａ
㊀
函数 类别㊀
二次函数 ｙ ＝ ａｘ ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ（ ａ，ｂ，ｃ 为常数，ａʂ０） ａ ＞０ ａ ＜０
图象
考点三㊀ 二次函数的实际应用
㊀ ㊀ １． 增长率问题
一月 ａ ң 增长率为 ｘ 二月 ������㊀ ａ（ １＋ ｘ） ㊀ ������ ������ ң 增长率为 ｘ 三月 ������㊀ ａ（ １＋ ｘ） ２ ㊀ ������ ������
(
ｂ ＝ １， ２ａ － ｂ ＝ ２ａ，２ａ ＋ ｂ ＝ ０，故①正确；②由题中图象知， 当 ｘ ＝ －１ 时， ｙ ＝ ａ － ｂ ＋ ｃ ＜０，所以 ａ ＋ ｃ ＜ ｂ，故②错误；③ 抛物线与 ｘ 轴的两交点关于对 解析㊀ ①因为抛物线的对称轴是直线 ｘ ＝ １， 所以 － 称轴对称，所以两交点到对称轴 ｘ ＝ １ 的距离都是 １－（ －２） ＝ ３，所 以另一个交点的横坐标为 １＋３ ＝ ４， 即另一个交点为 （ ４，０） ， 故 ③ ｂ 不正确；④抛物线开口向上，所以 ａ ＞０，又 － ＞０， 所以 ｂ ＜０， 抛物 ２ａ 线与 ｙ 轴交于负半轴，故 ｃ ＜０，所以 ａｂｃ ＞０，故④正确． 答案㊀ ①④ 示，下列结论正确的是 ㊀ ㊀ 变式训练 ２ ㊀ 二次函数 ｙ ＝ ａｘ ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ （ ａ ʂ０） 的图象如图所 （㊀ ㊀ ）
Ｄ． 存在一个大于 １ 的实数 ｘ ０ ，使得当 ｘ ＜ ｘ ０ 时， ｙ 随 ｘ 的增大 解析㊀ 由二次函数的图象可知 ａ ＞０，ｃ ＞０， 所以 ａｃ ＞０， 选项
(
Ａ 错误；由函数图象得， 当 ｘ ＝ １ 时， ｙ ＜ ０， 选项 Ｂ 错误； 二次函数 的图象与 ｘ 轴的交点的横坐标一个在 １ 的左侧， 一个在 １ 的右 侧，所以方程 ａｘ ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ ＝ ０（ ａʂ０） 的实数根并不都大于 １， 选项 Ｃ 错误，故选 Ｄ．
2019年全国中考数学真题分类二次函数概念、性质和图象(精品文档)
2019年全国中考数学真题分类二次函数概念、性质和图象一、选择题9．（2019·温州）已知二次函数y=x2-4x+2，关于该函数在-1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是（）A．有最大值-1，有最小值-2 B．有最大值0，有最小值-1C．有最大值7，有最小值-1 D．有最大值7，有最小值-2【答案】D【解析】∵二次函数y=x2-4x+2=(x-2)2-2，∴该函数在-1≤x≤3的取值范围内，当x=2时，y有最小值-2；当x=-1时，y有最大值7．故选D.7．（2019·绍兴）在平面直角坐标系中，抛物线)3)(y经过变换后得到抛物线=xx+5(-+=xy，则这个变换可以是 ( )x(-)5)(3A.向左平移2个单位B.向右平移2个单位C.向左平移8个单位D.向右平移8个单位【答案】B【解析】y＝（x+5）（x﹣3）＝（x+1）2﹣16，顶点坐标是（﹣1，﹣16）．y＝（x+3）（x﹣5）＝（x﹣1）2﹣16，顶点坐标是（1，﹣16）．所以将抛物线y＝（x+5）（x﹣3）向右平移2个单位长度得到抛物线y＝（x+3）（x﹣5），故选B．10．（2019·嘉兴）小飞研究二次函数y＝﹣（x﹣m）2﹣m+1（m为常数）性质时如下结论：①这个函数图象的顶点始终在直线y＝﹣x+1上；②存在一个m的值，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形；③点A（x1，y1）与点B（x2，y2）在函数图象上，若x1＜x2，x1+x2＞2m，则y1＜y2；④当﹣1＜x＜2时，y随x的增大而增大，则m的取值范围为m≥2．其中错误结论的序号是（）A．①B．②C．③D．④【答案】C【解析】二次函数y＝﹣（x﹣m）2﹣m+1（m为常数）,①∵顶点坐标为（m，﹣m+1）且当x＝m时，y＝﹣m+1,∴这个函数图象的顶点始终在直线y＝﹣x+1上,故结论①正确；②假设存在一个m的值，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形,令y＝0，得﹣（x﹣m）2﹣m+1＝0，其中m≤1，解得：x＝m﹣，x＝m+，∵顶点坐标为（m，﹣m+1），且顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形,∴|﹣m+1|＝|m﹣（m﹣）|,解得：m＝0或1,∴存在m＝0或1，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形,故结论②正确；③∵x1+x2＞2m,∴,∵二次函数y＝﹣（x﹣m）2﹣m+1（m为常数）的对称轴为直线x＝m,∴点A离对称轴的距离小于点B离对称轴的距离,∵x1＜x2，且﹣1＜0,∴y1＞y2,故结论③错误；④当﹣1＜x＜2时，y随x的增大而增大，且﹣1＜0,∴m的取值范围为m≥2．故结论④正确．故选C．10．（2019·杭州）在平面直角坐标系中，已知a≠b，设函数y=（x+a）（x+b）的图象与x轴有M 个交点，函数y=（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有N个交点，则（）A．M=N-1或M=N+1 B．M=n-1或M=N+2 C．M=N或M=N+1 D．M=N或M=N-1【答案】A【解析】先把两个函数化成一般形式，若为二次函数，再计算根的判别式，从而确定图象与x轴的交点个数，若一次函数，则与x轴只有一个交点，据此解答．∵y=（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+1，∴（a+b）2-4ab=（a-b）2＞0，∴函数y=（x+a）（x+b）的图象与x轴有2个交点，∴M=2，∵函数y=（ax+1）（bx+1）=abx2+（a+b）x+1，∴当ab≠0时，（a+b）2-4ab=（a-b）2＞0，函数y=（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有2个交点，即N=2，此时M=N；当ab=0时，不妨令a=0，∵a≠b，∴b≠0，函数y=（ax+1）（bx+1）=bx+1为一次函数，与x 轴有一个交点，即N=1，此时M=N+1；综上可知，M=N 或M=N+1．故选C ．11．（2019·烟台）已知二次函数2y ax bx c =++的y 与x 的部分对应值如下表：04x <<时，0y >；④抛物线与x 轴的两个交点间的距离是4；⑤若1(,2)A x ，2(,3)B x 是抛物线上两点，则12x x <． 其中正确的个数是（ ）．A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】B【解题过程】先根据二次函数的部分对应值在坐标系中描点、连线，由图象可以看出抛物线开口向上，所以结论①正确，由图象（或表格）可以看出抛物线与x 轴的两个交点分别为（0,0），（4,0），所以抛物线的对称轴为直线2x =且抛物线与x 轴的两个交点间的距离为4，所以结论②和④正确，有抛物线的图象可以看出当04x <<时，0y <，所以结论③错误，由图象可以看出当抛物线上的点的纵坐标为2或3时，对于的点均有两个，若1(,2)A x ，2(,3)B x 是抛物线上两点，既有可能12x x <，也有可能12x x >，所以结论⑤错误．7．（2019·绍兴 ）在平面直角坐标系中，抛物线)3)(5(-+=x x y 经过变换后得到抛物线)5)(3(-+=x x y ，则这个变换可以是 ( )A.向左平移2个单位B.向右平移2个单位C.向左平移8个单位D.向右平移8个单位 【答案】B【解析】y ＝（x +5）（x ﹣3）＝（x +1）2﹣16，顶点坐标是（﹣1，﹣16）．y ＝（x +3）（x ﹣5）＝（x ﹣1）2﹣16，顶点坐标是（1，﹣16）．所以将抛物线y ＝（x +5）（x ﹣3）向右平移2个单位长度得到抛物线y ＝（x +3）（x ﹣5），故选B ．10．（2019·益阳）已知二次函数c bx ax y ++=2如图所示，下列结论:①ae ＜0，②b-2a ＜0，③ac b 42-＜0，④a-b+c ＜0，正确的是（ ）A. ①②B.①④C.②③D.②④第10题图【答案】A【解析】∵抛物线开口向下，且与y 的正半轴相交，∴a ＜0，c ＞0，∴ac ＜0，故①正确； ∵对称轴在-1至-2之间，∴122---＜＜ab，∴4a ＜b ＜2a ，∴b-2a ＜0，故②正确； ∵抛物线与x 轴有两个交点，∴△=ac b 42-＞0，∴③错误； ∵当x=-1时，y=a-b+c ＞0，∴④错误. ∴正确的说法是①②.故选A.11．（2019·娄底） 二次函数2y ax bx c =++的图象如图（5）所示，下列结论中正确的有（ ）① abc<0 ② 240b ac -<③ 2a b > ④ ()22a c b +<A ． 1个B ． 2个C ．3个D ． 4个【答案】A【解析】解：①由抛物线的开口方向向下知a<0，对称轴在y 轴的左侧得a 、b 同号，抛物线与y 轴交于正半轴得c>0,所以abc>0；故结论①错误；②由抛物线与x 轴有两个交点得240b ac ->，故结论②错误； ③由图象知对称轴12b x a =->-得12ba<；由a<0，结合不等式的性质三可得 b>2a,即2a<b ；故结论③错误； ④由图象知：当x ＝1时，y<0即a+b+c<0；当x ＝－1时，y>0即a －b+c>0； ∴()()0a b c a b c ++-+<，即()220a c b +-<；∴()22a c b +<．故结论④正确．故答案A 正确．1. （2019·济宁）将抛物线y ＝x 2－6x ＋5向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是（ ）A ．y ＝(x －4)2－6B ．y ＝(x －1)2－3C ．y ＝(x －2)2－2D ．y ＝(x －4)2－2 【答案】D【解析】y ＝x 2－6x ＋5＝ (x －3) 2－4，把向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后， 得y ＝ (x －3－1) 2－4＋2，即y ＝(x －4)2－2．2. (2019·巴中)二次函数y ＝ax2+bx+c(a ≠0)的图象如图所示,下列结论①b2>4ac,②abc<0,③2a+b －c>0,3. ④a+b+c<0,其中正确的是( ) A.①④B.②④C.②③D.①②③④第10题图 【答案】A【解析】①:因为图象与x 轴有两个不同的交点,所以b 2－4ac>0,即b 2>4ac,故①正确;②:图象开口向下,故a<0,图象与y 轴交于正半轴,故c>0,因为对称轴为x ＝－1,所以12ba-=-,所以2a ＝b,故b<0,所以abc>0,②错误;③:a<0,b<0,c>0,所以2a+b －c<0,③错误;④当x ＝1时,y ＝a+b+c,由图可得,x ＝－3时,y<0,由对称性可知,当x ＝1时,y<0,即a+b+c<0,故④正确.综上所述,①④正确,故选A.3. （2019·达州）如图，边长都为4的正方形ABCD 和正三角形EFG 如图放置， AB 与EF 在一条直线上，点A 与点F 重合.现将△EFG 沿AB 方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点F 与点B 重合时停止，在这个运动过程中正方形ABCD 和△EFG 重叠部分的面积S 与运动时t 的函数图像大致是( )【答案】C【思路分析】可分两种情况，第一种情况重合部分为三角形，第二种情况重合部分为四边形，分别求出对应的函数关系式即可.【解题过程】运动过程中，当顶点G 在正方形外部时，重合部分为三角形，设运动时间为t ，面积S 与t 的函数关系式为232t y =，函数图像为开口向上的二次函数，当顶点G 在正方形内部时，重合部分为四边形，设运动时间为t ，面积S 与t 的函数关系式为343423-2-+=t t y ，函数图像为开口向下的二次函数，故选C.4. （2019·凉山）二次函数y=ax2+bx+c 的部分图象如图所示，有以下结论：①3a –b=0；②b2-4ac ＞0；③5a-2b+c ＞0； ④4b+3c ＞0,其中错误结论的个数是（ ▲ ） A. 1B. 2C. 3D. 4第12题图【答案】A【解析】根据对称轴232-=-a b 得b =3a ，故可得3a –b =0，所以结论①正确；由于抛物线与x 轴xxx有两个不同的交点，所以b 2-4ac ＞0，结论②正确；根据结论①可知b =3a ，∴5a -2b +c =5a -6a +c =-a +c ，观察图像可知a ＜0,c ＞0，∴5a -2b +c =-a +c ＞0，结论③正确；根据抛物线的轴对称性可知抛物线与x 轴的右交点在原点与（1，0）之间（不含这两点），所以当x =1时，y =a +b +c ＜0，∵a =b 31，∴b 34+c ＜0，∴4b +3c ＜0，所以结论④错误.故选 A.5. （2019·攀枝花）在同一坐标系中，二次函数y ＝ax 2＋bx 与一次函数y ＝bx －a 的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】C【解析】据参数符号可排除A 、D 选项，联立两函数解析式所得方程无解，则两函数图象无交点，故选C ．【知识点】二次函数的图象；一次函数的图象6.（2019·天津）二次函数y=ax 2+bx+c(a ，b ，c 是常数，a ≠0）的自变量x 与函数值y 的部分对应值如下表：且当12x =-时，与其对应的函数值y>0，有下列结论：（1）abc>0；(2)-2和3是关于x 的方程ax 2+bx+c=t 的两个根；（3）0<m+n<203，其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】C【解析】(1)因为当12x =-时，与其对应的函数值y>0，由图表可知x=0时，y=-2，x=1时，y=-2,可以判断对称轴左侧y 随x 的增大而减小，图像开口向上，a>0;由图表可知x=0时，y=-2，x=1时，y=-2,可得对称轴为直线21=x ，所以b<0;x=0时，y=-2,所以c=-2<0,故abc>0（1）正确；（2）由于对称轴是直线21=x ，-2和3是关于对称轴对称的，所以（2）正确；（3）由对称轴是直线21=x 可得a+b=0,因为x=0时，y=-2，可知c=-2，当21-=x 时，与其对应的函数值y>0可得38>a ，当x=-1时，m=a-b-2=2a-2>310,因为-1和2关于对称轴对称，可得m=n ，所以m+n>320，故（3）错误，故选C.【知识点】二次函数图像的性质.7. （2019·衢州）二次函数y=（x-1）2+3图象的顶点坐标是（A ） A. （1.3） B.（1，-3） C.（-1.3） D.（-1.-3）【答案】A【解析】本题考查二次函数顶点坐标的确定，二次函数y=a （x-h ）2+k 的顶点坐标为（h ，k ），所以y=（x-1）2+3的顶点坐标是（1.3），故选A.8. （2019·重庆B 卷）物线y ＝的对称轴是（ ）A.直线B.直线C.直线D.直线 【答案】Ｃ【解析】设二次函数的解析式是y=， 则二次函数的对称轴为直线y ＝的对称轴是直线 .故选Ｃ．263-2++x x 2=x 2-=x 1=x 1-=x c bx ax ++2263-2++x x 1=x9.（2019·自贡）一次函数y=ax+b与反比例函数y=c的图象如图所示，则二次函数y=ax2+bx+c的x大致图象是（）【答案】A.【解析】∵双曲线y=c经过一、三象限，x∴c＞0.∴抛物线与y轴交于正半轴.∵直线y=ax+b经过第一、二和四象限，∴a＜0，b＞0，即−b＜0.2a∴抛物线y=ax2+bx+c开口向下，对称轴在y轴的右侧.故选A.9.（2019·遂宁）二次函数y=x2-ax+b的图像如图所示，对称轴为直线x=2，下列结论不正确的是( )A. a=4B.当b= -4时，顶点的坐标为（2，-8）C.当x= -1 时，b> -5D.当x>3时，y随x的增大而增大【答案】C【解析】选项A,由对称轴为直线x=2可得22a--=，∴a=4，正确；选项B,∵a=4,b= -4 ∴代入解析式可得，y=x 2-4x-4，当x=2时，y=-8,∴顶点的坐标为（2，-8），正确；选项C ，由图像可知，x=-1时，y=0，代入解析式得B=-5，∴错误；选项D 由图像可以看出当x>3时，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大，正确，故选C.二、填空题14. （2019·遂宁）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 落在坐标原点，点A,点C 分别在x 轴，y 轴的正半轴上，G 为线段OA 上一点，将△OCG 沿CG 翻折，O 点恰好落在对角线AC 上的点P 处，反比例函数xy 12=经过点B ，二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图像经过C （0,3），G 、A 三点，则该二次函数的解析式为（填一般式）【答案】3411212+-=x x y 【解析】∵矩形OABC ，C （0,3）∴B 点的纵坐标为3，∵反比例函数x y 12=经过点B ，∴B(4,3），A （4,0），∴OA=4，∵C （0,3），∴OC=3，∴Rt △ACO 中，AC=5.设G （m,0)则OG=m ∵翻折∴GP=OG=m,CP=CO=3,∴AP=2，AG=4-m,∴Rt △AGP 中，m 2+22=(4-m)2,∴m=23,∴G(23,0），∵A （4,0）C （0,3）G(23,0）∴解析式为3411212+-=x x y15．(2019·广元)如图,抛物线y ＝ax 2+bx+c(a ≠0)过点(－1,0),(0,2),且顶点在第一象限,设M ＝4a+2b+c,则M 的取值范围是________.第15题图 【答案】－6<M<6【解析】∵y ＝ax 2+bx+c 过点(－1,0),(0,2),∴c ＝2,a －b ＝－2,∴b ＝a+2,∵顶点在第一象限,∴2ba>0,∴a<0,b>0,a+2>0,a>－2,∴－2<a<0,M ＝4a+2b+c ＝4a+2(a+2)+2＝6a+6,∴－6<M<6.18．（2019·衡阳）在平面直角坐标系中，抛物线y ＝x 2的图象如图所示．已知点A 坐标为（1，1），过点A 作AA 1∥x 轴交抛物线于点A 1，过点A 1作A 1A 2∥OA 交抛物线于点A 2，过点A 2作A 2A 3∥x 轴交抛物线于点A 3，过点A 3作A 3A 4∥OA 交抛物线于点A 4…，依次进行下去，则点A 2019的坐标为 ．【答案】（－1010，10102）【解析】A （1，1），A 1（－1，1），A 2（2，4），A 3（－2，4），A 4（3，9），A 5（－3，9），…，A 2019（－1000，1000 2）．11．（2019·株洲）若二次函数2y ax bx =+的图像开口向下，则a 0（填“＝”或“＞”或“＜”）． 【答案】＜【解析】二次函数开口向下，则a<0。
专题12 二次函数-2019年中考数学考点总动员系列(解析版)
2
3
1
2
∵ 2 （x＋1）2＋1＝ 3 （x－4）2－3 时，解得： x1 1, x2 37 ，
∴当 37＞x＞1 时， y1 y2 ，故④错误．
故答案：B． ※考向二：二次函数图象和性质
典例 2：（2017•荆门）在平面直角坐标系 xOy 中，二次函数 y ax 2 bx c （a≠0）的大致图象如图所示，
∴无法得出 AC＝AE，故②错误；当 y＝3
时，3
1 (x 2
1)2
1，解得： x1
1, x2
3 ，故
B（－3，3），
D（－1，1），则 AB＝4，AD＝BD＝ 2 2 ，∴ AD 2 BD 2 AB 2 ∴③△ABD 是等腰直角三角形，正确；
1 (x 1)2 1 2 (x 4)2 3
增大而减小，结论⑤错误．综上即可得出结论．
【解答】解：①∵抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线 x＝2，与 x 轴的一个交点坐标为(4，0)，∴抛
物线与 x 轴的另一交点坐标为(0，0)，结论①正确；
b
②∵抛物线 y＝ y ax 2 bx c (a≠0)的对称轴为直线 x＝2，且抛物线过原点，∴－ 2a ＝2，c＝0，
个根大于 3，小于 3+1=4，故④错误，
故答案：B． ※考向五：二次函数与几何综合推理
典例 5：（2017•泸州）已知抛物线 y 1 x 2 1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点 F（0，2）的距 4
离与到 x 轴的距离始终相等，如图，点 M 的坐标为（ 3 ，3），P 是抛物线 y 1 x 2 1上一个动点，则△PMF 4
正确．观察图象可知抛物线 y ax 2 bx c 与直线 y＝－1 有两个交点，所以关于 x 的方程
2019-2020年中考数学专题复习：二次函数专题.docx
2019-2020 年中考数学专题复习：二次函数专题一：三种形式的解析式，对称轴和顶点坐标解析式对称轴顶点坐标顶点式一般式交点式（不填）二：三种形式之间的转换及基本性质例 1. 将二次函数 y=-x2向右平移 1 个单位后的解析式为；再将它向上平移 4 个单位后的的解析式为；此抛物线的开口向；对称轴是；顶点坐标是；当 x时， y 随 x 的增大而增大，当 x时，y 随 x 的增大而减小；当 x时，y 有最值是；将平移后的抛物线化成一般形式为；它与 y轴的交点坐标是；它与 x 轴的交点坐标是；根据它与 x 轴的交点坐标，则此抛物线写成交点式为。
例 2. 抛物线 y=-2x 2+4x+1 的开口向；与 y 轴的交点坐标是；它的对称轴和顶点坐标能很快看出来吗？将它化成顶点式为；此时对称轴是；顶点坐标是；此抛物线关于x 轴对称的抛物线解析式为；此抛物线关于 y 轴对称的抛物线解析式为；此抛物线关于原点对称的抛物线解析式为；三：二次函数和图象与系数的关系例 3. 如图，二次函数 y=ax2+bx+c 的图象经过点（ -1 ，2）和（ 1，0），根据图象填空。
（1） a 0 ；（ 2）c 0 ；（ 3） b 0 ；（4） b2-4ac 0 ；（5） a+b+c 0 ；（6） a-b+c 0 ；（7） a+c 1 ；（ 8）a 1 ；（9） 2a+b 0四：根据题意写出符合条件的二次函数例 4. 按下列要求写出满足条件的二次函数（自变量用 x 表示，因变量用 y 表示）（ 1）与 x 轴有两个交点（ 2）对称轴是 y 轴（ 3）经过原点（ 4）顶点在 x 轴上（ 5）顶点在 y 轴上；；；；；五：二次函数与方程不等式的联系右图是二次函数y=ax2 +bx+c 的图象，请你根据图象回答下列问题：（ 1）它的对称轴是；222（ 4）不等式 ax +bx+c<0解集是；；；专项训练题型一：二次函数解析式及定义型问题( 顶点式中考要点 )1.把二次函数的图象向左平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位，所得到的图象对应的二次函数关系式是y ( x 1) 2 2 则原二次函数的解析式为；2.二次函数的图象顶点坐标为（ 2， 1），形状开口与抛物线 y= - 2x 2相同，这个函数解析式为 ________。
2019年中考数学第12讲 二次函数
2019年中考数学第12讲 二次函数 第1课时 二次函数的图象与性质命题点1 二次函数的图象与性质1．(2012·河北T12·3分)如图，抛物线y 1＝a(x ＋2)2－3与y 2＝12(x －3)2＋1交于点A(1，3)，过点A 作x 轴的平行线，分别交两条抛物线于点B ，C.则以下结论：①无论x 取何值，y 2的值总是正数；②a ＝1；③当x ＝0时，y 2－y 1＝4；④2AB ＝3AC.其中正确的结论是(D)A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④ 2．(2018·河北T16·3分)对于题目“一段抛物线L ：y ＝－x(x －3)＋c(0≤x ≤3)与直线l ：y ＝x ＋2有唯一公共点．若c 为整数，确定所有c 的值．”甲的结果是c ＝1，乙的结果是c ＝3或4，则(D)A ．甲的结果正确B ．乙的结果正确C ．甲、乙的结果合在一起才正确D ．甲、乙的结果合在一起也不正确3．(2013·河北T20·3分)如图，一段抛物线：y ＝－x(x －3)(0≤x ≤3)，记为C 1，它与x 轴交于点O ，A 1；将C 1绕点A 1旋转180°得C 2，交x 轴于点A 2；将C 2绕点A 2旋转180°得C 3，交x 轴于点A 3；…，如此进行下去，直至得C 13.若P(37，m)在第13段抛物线C 13上，则m ＝2．命题点2 确定二次函数的解析式4．(2014·河北T24·11分)如图，2×2网格(每个小正方形的边长为1)中有A ，B ，C ，D ，E ，F ，G ，H ，O 九个格点．抛物线l 的解析式为y ＝(－1)n x 2＋bx ＋c(n 为整数)．(1)n 为奇数，且l 经过点H(0，1)和C(2，1)，求b ，c 的值，并直接写出哪个格点是该抛物线的顶点； (2)n 为偶数，且l 经过点A(1，0)和B(2，0)，通过计算说明点F(0，2)和H(0，1)是否在该抛物线上； (3)若l 经过这九个格点中的三个，直接写出所有满足这样条件的抛物线条数．解：(1)n 为奇数时，y ＝－x 2＋bx ＋c. ∵l 经过点H(0，1)和C(2，1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，－4＋2b ＋c ＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝1.4分 ∴抛物线解析式为y ＝－x 2＋2x ＋1.∵y ＝－(x －1)2＋2，∴格点E(1，2)是该抛物线的顶点.5分(2)n 为偶数时，y ＝x 2＋bx ＋c ， ∵l 经过点A(1，0)和B(2，0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋b ＋c ＝0，4＋2b ＋c ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－3，c ＝2. ∴抛物线解析式为y ＝x 2－3x ＋2.7分 当x ＝0时，y ＝2，∴点F(0，2)在该抛物线上，点H(0，1)不在该抛物线上.9分 (3)所有满足条件的抛物线共有8条．(见图示)11分5．(2015·河北T25·11分)如图，已知点O(0，0)，A(－5，0)，B(2，1)，抛物线l ：y ＝－(x －h)2＋1(h 为常数)与y 轴的交点为C.(1)l 经过点B ，求它的解析式，并写出此时l 的对称轴及顶点坐标；(2)设点C 的纵坐标为y C ，求y C 的最大值，此时l 上有两点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，其中x 1＞x 2≥0，比较y 1与y 2的大小；(3)当线段OA 被l 只分为两部分，且这两部分的比是1∶4时，求h 的值．解：(1)把B(2，1)代入y ＝－(x －h)2＋1，得1＝－(2－h)2＋1.解得h ＝2.则该函数解析式为y ＝－(x －2)2＋1(或y ＝－x 2＋4x －3)．故抛物线l 的对称轴为直线x ＝2，顶点坐标是(2，1)．(2)点C 的横坐标为0，则y C ＝－h 2＋1. 当h ＝0时，y C 有最大值1，此时，抛物线l 的解析式为y ＝－x 2＋1，对称轴为y 轴，开口方向向下， ∴当x ≥0时，y 随x 的增大而减小．∴x 1＞x 2≥0时，y 1＜y 2.(3)∵线段OA 被l 只分为两部分，且这两部分的比是1∶4，且O(0，0)，A(－5，0)，∴线段OA 被l 只分为两部分的点的坐标是(－1，0)或(－4，0)．把x ＝－1，y ＝0代入y ＝－(x －h)2＋1，得0＝－(－1－h)2＋1，解得h 1＝0，h 2＝－2.当h ＝－2时，线段OA 被抛物线l 分为三部分，不合题意，舍去．同理，把x ＝－4，y ＝0代入y ＝－(x －h)2＋1， 解得h ＝－5或h ＝－3(舍去)． 综上所述，h 的值是0或－5.重难点1 二次函数的图象与性质(2018·成都)关于二次函数y ＝2x 2＋4x －1，下列说法正确的是(D)A ．图象与y 轴的交点坐标为(0，1)B ．图象的对称轴在y 轴的右侧C ．当x ＜0时，y 的值随x 值的增大而减小D ．y 的最小值为－3【变式训练1】(2017·连云港)已知抛物线y ＝ax 2(a ＞0)过A(－2，y 1)，B(1，y 2)两点，则下列关系式一定正确的是(C)A ．y 1＞0＞y 2B ．y 2＞0＞y 1C ．y 1＞y 2＞0D ．y 2＞y 1＞0【变式训练2】(2018·深圳)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图所示，则下列结论正确的是(C)A ．abc>0B ．2a ＋b<0C ．3a ＋c<0D ．方程ax 2＋bx ＋c －3＝0有两个不相等的实数根【变式训练3】(2018·黔南)已知：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象上部分点的横坐标x 与纵坐标y 的对应值如表格所示，那么它的图象与x 轴的另一个交点坐标是(3，0)．方法指导1．二次函数的增减性与对称轴开口方向有关．2．二次函数的最值点就是其顶点，求二次函数的顶点可以用配方法，也可以用公式法．3．判断二次函数图象与x 轴交点的个数需计算b 2－4ac 的值． 4．注意二次函数的对称性，尤其是用表格呈现时．易错提示在顶点式中，顶点的横坐标符号是个易错点．如y ＝－(x ＋1)2＋3的顶点是(－1，3)，而不是(1，3)． 重难点2 确定二次函数的解析式(2018·唐山乐亭县二模)如图，直线y ＝x ＋2与抛物线y ＝ax 2＋bx ＋6相交于A(12，52)和B(4，m)，点P 是线段AB 上异于A ，B 的动点，过点P 作PC ⊥x 轴，交抛物线于点C.(1)点B 坐标为(4，6)，并求抛物线的解析式； (2)求线段PC 长的最大值．【思路点拨】 (1)点B 坐标代入一次函数解析式可得m ＝6，将A ，B 坐标代入y ＝ax 2＋bx ＋6，可求出抛物线的解析式；(2)垂直于x 轴的线段PC 的长就是将二次函数的解析式减去一次函数的解析式，整理后会发现仍然是二次函数的形式，利用二次函数的性质可得最大值．【自主解答】 解：(1)∵A(12，52)，B(4，6)在抛物线y ＝ax 2＋bx ＋6上，∴⎩⎪⎨⎪⎧（12）2a ＋12b ＋6＝52，42a ＋4b ＋6＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－8.∴抛物线的解析式为y ＝2x 2－8x ＋6.(2)设动点P 的坐标为(n ，n ＋2)，则点C 的坐标为(n ，2n 2－8n ＋6)． ∴PC ＝(n ＋2)－(2n 2－8n ＋6)＝－2n 2＋9n －4＝－2(n －94)2＋498.∵－2<0，12<n<4，∴当n ＝94时，线段PC 取得最大值498. 【变式训练4】 (1)抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 经过点A(0，3)，B(3，0)，则抛物线的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3；(2)抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点为A(1，4)，且经过点B(0，3)，则抛物线的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3；(3)抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3经过点A(－1，0)，B(3，0)，则抛物线的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3；(4)将y ＝－x 2向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度，所得抛物线的函数解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3． 【变式训练5】(2018·邢台宁晋县模拟)已知一条抛物线经过E(0，10)，F(2，2)，G(4，2)，H(3，1)四点，选择其中两点用待定系数法能求出抛物线解析式的为(C)A ．E ，FB ．E ，GC ．E ，HD ．F ，G 方法指导用待定系数法求二次函数解析式的基本方法是：(1)根据题设条件，设出二次函数解析式：①当已知二次函数的任意三对x ，y 的值或抛物线上任意三点，通常用一般式y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)；②当已知二次函数的顶点坐标或对称轴或最值，通常用顶点式y ＝a(x － h)2＋ k (a ≠0)，顶点为(h ，k)；(2)将题设条件代入所设解析式，列出方程(组)； (3)解这个方程(组)，求得系数； (4)将系数代入所设解析式．因三元一次方程组是选学内容，所以在用一般式求二次函数解析式时，通常给出一个系数，再给出两点坐标，解二元一次方程组即可．易错提示例2(2)中求PC 的最大值，如果没有函数思想，很容易产生困惑，不知道怎么解决问题． 重难点3 二次函数与方程、不等式【数形结合思想】(2018·唐山丰南区二模)“如果二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m，n(m ＜n)是关于x的方程1－(x－a)(x－b)＝0的两根，且a＜b，则a，b，m，n的大小关系是(A) A．m＜a＜b＜n B．a＜m＜n＜bC．a＜m＜b＜n D．m＜a＜n＜b【思路点拨】由m，n(m＜n)是关于x的方程1－(x－a)(x－b)＝0的两根可得出二次函数y＝(x－a)(x－b)－1的图象与x轴交于点(m，0)，(n，0)，将y＝(x－a)(x－b)－1的图象往上平移一个单位长度可得二次函数y＝(x－a)(x －b)的图象，画出两函数图象，观察函数图象即可得出a，b，m，n的大小关系．【变式训练6】如图，抛物线y＝x2＋1与双曲线y＝kx的交点A的横坐标是1，则关于x的不等式kx－x2－1＞0的解集是(C)A．x＞1 B．x＜－1 C．0＜x＜1 D．－1＜x＜0【变式训练7】【数形结合思想】(2018·保定莲池区模拟)二次函数y＝x2＋bx－1的图象如图，对称轴为直线x＝1.若关于x的一元二次方程x2－2x－1－t＝0(t为实数)在－1<x<4的范围内有实数解，则t的取值范围是(B) A．t≥－2B．－2≤t＜7C．－2≤t＜2D．2＜t＜7【变式训练8】(2018·唐山乐亭县一模)若二次函数y＝－x2＋2x＋k的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程－x2＋2x＋k＝0的一个解x1＝3，另一个解x2＝－1．方法指导1．方程的根的问题可以转化为函数图象的交点问题，解决这类问题研究函数的图象即可．2．二次函数中确定带有不等关系的自变量的取值范围时，先把不等号改成等号，求出这个方程的解，再观察图象，根据上方函数值大于下方函数值得出结论．3．若二次函数中确定了函数值求自变量的值时，相当于解一元二次方程；有时通过图象法解一元二次方程，有时通过列表观察，得出方程的解．1．(2018·岳阳)抛物线y ＝3(x －2)2＋5的顶点坐标是(C)A ．(－2，5)B ．(－2，－5)C ．(2，5)D ．(2，－5)2．(2018·哈尔滨)将抛物线y ＝－5x 2＋1向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为(A)A ．y ＝－5(x ＋1)2－1B ．y ＝－5(x －1)2－1C ．y ＝－5(x ＋1)2＋3D ．y ＝－5(x －1)2＋3 3．(2018·青岛)已知一次函数y ＝b a x ＋c 的图象如图，则二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在平面直角坐标系中的图象可能是(A)4．已知y 关于x 的函数解析式是y ＝ax 2－2x －a ，下列结论不正确的是(C)A ．若a ＝1，函数的最小值是－2B ．若a ＝－1，当x ≤－1时，y 随x 的增大而增大C ．不论a 为何值时，函数图象与x 轴都有两个交点D ．不论a 为何值时，函数图象一定经过点(1，－2)和(－1，2)5．(2017·苏州)若二次函数y ＝ax 2＋1的图象经过点(－2，0)，则关于x 的方程a(x －2)2＋1＝0的实数根为(A)A ．x 1＝0，x 2＝4B ．x 1＝－2，x 2＝6C ．x 1＝32，x 2＝52D ．x 1＝－4，x 2＝06．(2018·杭州)四位同学在研究函数y ＝x 2＋bx ＋c(b ，c 是常数)时，甲发现当x ＝1时，函数有最小值；乙发现x ＝－1是方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个根；丙发现函数的最小值为3；丁发现当x ＝2时，y ＝4，已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是(B)A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁7．(2018·唐山路南区一模)如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线m ：y ＝－2x 2－2x 的顶点为C ，与x 轴有两个交点为点P ，O.现将抛物线m 先向下平移再向右平移，使点C 的对应点C ′落在x 轴上，点P 的对应点P ′落在y 轴上，则下列各点的坐标不正确的是(C)A ．C(－12，12)B ．P(－1，0)C ．C ′(1，0)D ．P ′(0，－12)8．(2018·宁波)已知抛物线y ＝－12x 2＋bx ＋c 经过点(1，0)，(0，32)．(1)求该抛物线的函数解析式；(2)将抛物线y ＝－12x 2＋bx ＋c 平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后的函数解析式．解：(1)把(1，0)和(0，32)代入y ＝－12x 2＋bx ＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧－12＋b ＋c ＝0，c ＝32，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1，c ＝32. ∴抛物线的函数解析式为y ＝－12x 2－x ＋32.(2)先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后的函数解析式为y ＝－12x 2.9．【数形结合思想】(2018·邯郸一模)如图，在平面直角坐标系中，点A(1，2)，B(1，－1)，C(2，2)，抛物线y＝ax 2(a ≠0)经过△ABC 区域(包括边界)，则a 的取值范围是(B)A ．a ≤－1或a ≥2B ．－1≤a ＜0或0＜a ≤2C ．－1≤a ＜0或0＜a ≤12D.12≤a ≤2 10．(2018·泸州)已知二次函数y ＝ax 2＋2ax ＋3a 2＋3(其中x 是自变量)，当x ≥2时，y 随x 的增大而增大，且－2≤x ≤1时，y 的最大值为9，则a 的值为(D)A ．1或－2B ．－2或 2 C. 2 D ．111．【分类讨论思想】(2018·淄博)已知抛物线y ＝x 2＋2x －3与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 的左侧)，将这条抛物线向右平移m(m ＞0)个单位长度，平移后的抛物线与x 轴交于C ，D 两点(点C 在点D 的左侧)．若B ，C 是线段AD 的三等分点，则m 的值为2或8．12．【数形结合思想】(2018·石家庄十八县大联考)如图，曲线BC 是反比例函数y ＝kx (4≤x ≤6)的一部分，其中点B(4，1－m)，C(6，－m)，抛物线y ＝－x 2＋2bx 的顶点记作A.(1)求k 的值；(2)判断点A 是否与点B 重合；(3)若抛物线与BC 有交点，求b 的取值范围．解：(1)∵B(4，1－m)，C(6，－m)在反比例函数y ＝kx 的图象上，∴k ＝4(1－m)＝6×(－m)． 解得m ＝－2.∴k ＝4×[1－(－2)]＝12. (2)∵m ＝－2，∴B(4，3)．∵抛物线y ＝－x 2＋2bx ＝－(x －b)2＋b 2，∴A(b ，b 2)．若点A 与点B 重合，则有b ＝4，且b 2＝3，显然不成立， ∴点A 不与点B 重合．(3)当抛物线经过点B(4，3)时，有3＝－42＋2b ×4. 解得b ＝198.显然抛物线右半支经过点B ；当抛物线经过点C(6，2)时，有2＝－62＋2b ×6. 解得b ＝196.这时仍然是抛物线右半支经过点C ， ∴b 的取值范围为198≤b ≤196.第2课时 二次函数的实际应用命题点1 二次函数在实物抛物线问题中的应用1．(2011·河北T8·3分)一小球被抛出后，距离地面的高度h(米)和飞行时间t(秒)满足下面的函数关系式：h ＝－5(t －1)2＋6，则小球距离地面的最大高度是(C)A ．1米B ．5米C ．6米D ．7米 命题点2 二次函数在销售问题中的应用2．(2012·河北T24·9分)某工厂生产一种合金薄板(其厚度忽略不计)，这些薄板的形状均为正方形，边长(单位：cm)在5～50之间．每张薄板的成本价(单位：元)与它的面积(单位：cm 2)成正比例，每张薄板的出厂价(单位：元)由基础价和浮动价两部分组成，其中基础价与薄板的大小无关，是固定不变的，浮动价与薄板的边长成正比例．在营销过程中得到了表格中的数据．(1)求一张薄板的出厂价与边长之间满足的函数关系式；(2)已知出厂一张边长为40 cm 的薄板，获得利润是26元(利润＝出厂价－成本价)． ①求一张薄板的利润与边长之间满足的函数关系式；②当边长为多少时，出厂一张薄板获得的利润最大？最大利润是多少？ 参考公式：抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的顶点坐标是(－b 2a ，4ac －b24a)．解：(1)设一张薄板的边长为x cm ，它的出厂价为y 元/张，基础价为n 元，浮动价为kx 元，则y ＝kx ＋n.由表格中的数据，得⎩⎪⎨⎪⎧50＝20k ＋n ，70＝30k ＋n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，n ＝10. ∴y ＝2x ＋10.(2)①设一张薄板的利润为P 元，它的成本价为mx 2元，由题意，得P ＝y －mx 2＝2x ＋10－mx 2.将x ＝40，P ＝26代入P ＝2x ＋10－mx 2中，得 26＝2×40＋10－m ×402，解得m ＝125.∴P ＝－125x 2＋2x ＋10.②∵a ＝－125＜0，x 在5～50之间，∴当x ＝－b 2a ＝－22×（－125）＝25时，P 最大值＝4ac －b24a ＝4×（－125）×10－224×（－125）＝35，即出厂一张边长为25 cm的薄板，获得的利润最大，最大利润是35元．3．(2013·河北T25·12分)某公司在固定线路上运输，拟用运营指数Q 量化考核司机的工作业绩，Q ＝W ＋100，而W 的大小与运输次数n 及平均速度x(km/h)有关(不考虑其他因素)，W 由两部分的和组成：一部分与x 的平方成正比，另一部分与x 的n 倍成正比．试行中得到了表中的数据．(1)用含x 和n 的式子表示Q ；(2)当x ＝70，Q ＝450时，求n 的值； (3)若n ＝3，要使Q 最大，确定x 的值；(4)设n ＝2，x ＝40，能否在n 增加m%(m ＞0)同时x 减少m%的情况下，而Q 的值仍为420，若能，求出m 的值；若不能，请说明理由．参考公式：抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的顶点坐标是(－b 2a ，4ac －b24a)．解：(1)设W ＝k 1x 2＋k 2nx ，∴Q ＝k 1x 2＋k 2nx ＋100.由表中数据，得⎩⎪⎨⎪⎧420＝402·k 1＋2×40k 2＋100，100＝602·k 1＋1×60k 2＋100，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝－110，k 2＝6.∴Q ＝－110x 2＋6nx ＋100.……4分(2)由题意，得450＝－110×702＋6×70n ＋100.∴n ＝2.……6分(3)当n ＝3时，Q ＝－110x 2＋18x ＋100.由a ＝－110<0可知，要使Q 最大，则x ＝－182×（－110）＝90.9分(4)能．由题意，得420＝－110[40(1－m%)]2＋6×2(1＋m%)×40(1－m%)＋100，10分即2(m%)2－m%＝0， 解得m%＝12或m%＝0(舍去)．∴m ＝50.12分重难点1 实物抛物线(2018·河北模拟)如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12 m ，宽是4 m ．按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用y ＝－16x 2＋bx ＋c 表示，且抛物线的点C 到墙面OB 的水平距离为3 m 时，到地面OA 的距离为172m.(1)求该抛物线的函数解析式，并计算出拱顶D 到地面OA 的距离；(2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6 m ，宽为4 m ，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？(3)在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8 m ，那么两排灯的水平距离最小是多少米？【自主解答】 解：(1)由题意知，得B(0，4)，C(3，172)在抛物线上，将两点坐标代入抛物线y ＝－16x 2＋bx ＋c 中，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝4，－16×32＋3b ＋c ＝172，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝4. 故抛物线的函数解析式为y ＝－16x 2＋2x ＋4.此抛物线的对称轴为直线x ＝－b2a＝－22×（－16）＝6，将x ＝6代入抛物线，求得y ＝10. ∴点D 坐标为(6，10)．故拱顶D 到地面OA 的距离为10 m. (2)能安全通过．由题意，得货运汽车最外侧与地面OA 的交点为(2，0)或(10，0)． 当x ＝2或x ＝10时，y ＝223>6，∴这辆货车能安全通过．(3)令y ＝8，即－16x 2＋2x ＋4＝8，可得x 2－12x ＋24＝0.解得x 1＝6＋23，x 2＝6－23，∴x 1－x 2＝4 3. 答：两排灯的水平距离最小是4 3 m.【变式训练1】(2018·唐山乐亭县二模)足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h(单位：m)与足球被踢出后经过的时间t(单位：s)之间的关系如下表：下列结论：①足球距离地面的最大高度为20 m ；②足球飞行路线的对称轴是直线t ＝92；③足球被踢出9.5s 时落地；④足球被踢出7.5 s 时，距离地面的高度是11.25 m ．其中正确结论的个数是(B)A ．1B ．2C ．3D ．4【变式训练2】甲、乙两人进行羽毛球比赛，如图，甲在O 点正上方1 m 的P 处发出一球，羽毛球飞行的高度y(m)与羽毛球到点O 的水平距离x(m)之间满足二次函数关系，当x ＝5时，羽毛球达到最大飞行高度3.5 m ．已知点O 到球网Q 的水平距离为6 m ，球网的高度为1.55 m.(1)通过计算判断此球能否过网；(2)若乙没有接住球，羽毛球落地点为R ，求点R 到点O 的水平距离．解：(1)由题意可知，该二次函数的顶点为(5，3.5)，且过P(0，1)． ∴设y ＝a(x －5)2＋3.5.将P(0，1)代入，得25a ＋3.5＝1，a ＝－110.∴y ＝－110(x －5)2＋3.5.当x ＝6时，y ＝－110×1＋3.5＝3.4.∵3.4>1.55，∴此球能过网． (2)当y ＝0时，－110(x －5)2＋3.5＝0.解得x 1＝5－35(舍去)，x 2＝5＋35. 答：点R 到点O 的水平距离为(5＋35)m.方法指导实物抛物线类型的题有三类：一是文字叙述的实物抛物线，如变式训练1；二是有坐标系的实物抛物线，如例1；三是没有坐标系的实物抛物线，如变式训练2.在解答此类问题时，需要注意将有实际意义的抛物线转化为数学中的抛物线，即将一些具有实际意义的量转化为某些点的坐标，从而求出解析式，进而解决实际问题．易错提示在需要建立坐标系的问题中，建立的坐标系应使得计算简便，减少计算过程中的失误 重难点2 二次函数的最值(2018·安徽)小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆．售后统计，盆景的平均每盆利润是160元，花卉的平均每盆利润是19元．调研发现：①盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元；每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加2元； ②花卉的平均每盆利润始终不变．小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x 盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为W 1，W 2(单位：元)．(1)用含x 的代数式分别表示W 1，W 2；(2)当x 取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W 最大，最大总利润是多少？【思路点拨】(1)第二期培植的盆景比第一期增加x 盆，则第二期培植盆景(50＋x)盆，花卉(50－x)盆，根据①盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元；每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加2元，②花卉的平均每盆利润始终不变，即可得到利润W 1，W 2与x 的关系式；(2)由W 总＝W 1＋W 2可得关于x 的二次函数，利用二次函数的性质即可得．【自主解答】解：(1)设培植的盆景比第一期增加x 盆，则第二期盆景有(50＋x)盆，花卉有(50－x)盆，∴W 1＝(50＋x)(160－2x)＝－2x 2＋60x ＋8 000， W 2＝19(50－x)＝－19x ＋950. (2)根据题意，得 W ＝W 1＋W 2＝－2x 2＋60x ＋8 000－19x ＋950＝－2x 2＋41x ＋8 950＝－2(x －414)2＋73 2818.∵－2＜0，且x 为整数，∴当x ＝10时，W 取得最大值，最大值为9 160.答：当x ＝10时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W 最大，最大总利润是9 160元．【变式训练3】 (2017·潍坊)工人师傅用一块长为10 dm ，宽为6 dm 的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形(厚度不计)．(1)在图中画出裁剪示意图，用实线表示裁剪线，虚线表示折痕；并求长方体底面面积为12 dm 2时，裁掉的正方形边长多大？(2)若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的五倍，并将容器进行防锈处理，侧面每平方分米的费用为0.5元，底面每平方分米的费用为2元，当裁掉的正方形边长多大时，总费用最低，最低为多少？解：(1)如图所示．设裁掉的正方形边长为x dm ，由题意，得(10－2x)(6－2x)＝12，即x 2－8x ＋12＝0. 解得x 1＝2或x 2＝6(舍去)．答：长方体底面积为12 dm 2时，裁掉的正方形的边长为2 dm. (2)∵长不大于底面宽的五倍，∴10－2x≤5(6－2x)．解得0＜x≤2.5.设总费用为W，由题意可知，W＝0.5×2x(16－4x)＋2(10－2x)(6－2x)＝4x2－48x＋120＝4(x－6)2－24.∵对称轴为直线x＝6，开口向上，∴当0＜x≤2.5时，W随x的增大而减小．∴当x＝2.5时，W有最小值，最小值为25元．答：当裁掉的正方形边长为2.5 dm时，总费用最低，最低费用为25元．方法指导运用二次函数的性质求实际问题的最大值和最小值的一般方法是：(1)列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；(2)配方或利用公式求顶点；(3)检查顶点是否在自变量的取值范围内或检查所求最值是不是符合要求(例如抛物线开口向上求最小值，开口向下求最大值)．若在，则函数在顶点处取得最大值或最小值；若不在，则在自变量的取值范围内，根据增减性确定．易错提示因为有的题顶点处不是满足题意的最值点，因此求得顶点坐标后必须检查顶点横坐标是否在自变量的取值范围内或检查所求最值是不是符合要求，请完成变式练习加深体会．1．(2014·河北)某种正方形合金板材的成本y(元)与它的面积成正比，设边长为x厘米，当x＝3时，y＝18，那么当成本为72元时，边长为(A)A．6厘米B．12厘米 C．24厘米D．36厘米2．(2018·连云港)已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h(m)与飞行时间t(s)满足函数解析式h＝－t2＋24t ＋1，则下列说法中正确的是(D)A．点火后9 s和点火后13 s的升空高度相同B．点火后24 s火箭落于地面C．点火后10 s的升空高度为139 mD．火箭升空的最大高度为145 m3．(2018·北京)跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)近似满足函数关系y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．下图记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为(B)A．10 m B．15 m C．20 m D．22.5 m4．(2018·唐山路北区二模)如图，从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h(单位：m)与小球运动时间t(单位：s)之间的解析式为h＝30t－5t2，那么小球从抛出至落回到地面所需要的时间是6s.5．(2018·武汉)飞机着陆后滑行的距离y(单位：m)关于滑行时间t(单位：s)的函数解析式是y ＝60t －32t 2.在飞机着陆滑行中，最后4 s 滑行的距离是24m.6．(2017·常德)如图，正方形EFGH 的顶点在边长为2的正方形的边上．若设AE ＝x ，正方形EFGH 的面积为y ，则y 与x 的函数关系为y ＝2x 2－4x ＋4．7．(2018·滨州)如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度y(单位：m)与飞行时间x(单位：s)之间具有函数关系y ＝－5x 2＋20x ，请根据要求解答下列问题：(1)在飞行过程中，当小球的飞行高度为15 m 时，飞行时间是多少？ (2)在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？(3)在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？解：(1)当y ＝15时，15＝－5x 2＋20x ， 解得x 1＝1，x 2＝3.答：在飞行过程中，当小球的飞行高度为15 m 时，飞行时间是1 s 或3 s.(2)当y ＝0时，0＝－5x 2＋20x ， 解得x 3＝0，x 2＝4. 则4－0＝4.答：在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是4 s.(3)y ＝－5x 2＋20x ＝－5(x －2)2＋20.∴当x ＝2时，y 取得最大值，此时，y ＝20.答：在飞行过程中，2 s 后小球飞行高度最大，最大高度是20 m.8．(2018·石家庄一模)某食品厂生产一种半成品食材，产量P(百千克)与销售价格x(元/千克)满足函数关系式P ＝12x ＋8，从市场反馈的信息发现，该半成品食材的市场需求量q(百千克)与销售价格x(元/千克)满足一次函数关系，如下表：已知按物价部门销售价格x 不低于2元/千克且不高于10元/千克． (1)求q 与x 的函数关系式；(2)当产量小于或等于市场需求量时，这种半成品食材能全部售出，求此时x 的取值范围；(3)当产量大于市场需求量时，只能售出符合市场需求量的半成品食材，剩余的食材由于保质期短而只能废弃．若该半成品食材的成本是2元/千克．①求厂家获得的利润y(百元)与销售价格x 的函数关系式；②当厂家获得的利润y(百元)随销售价格x 的上涨而增加时，直接写出x 的取值范围．(利润＝售价－成本) 解：(1)设q ＝kx ＋b(k ，b 为常数，k ≥0)．当x ＝2时，q ＝12，当x ＝4时，q ＝10.代入解析式，得⎩⎪⎨⎪⎧2k ＋b ＝12，4k ＋b ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝14. ∴q ＝－x ＋14.(2)当产量小于或等于市场需求量时，有P ≤q ， ∴12x ＋8≤－x ＋14，解得x ≤4. 又∵2≤x ≤10，∴2≤x ≤4.(3)①当产量大于市场需求量时，可得4<x ≤10，由题意，得厂家获得的利润是： y ＝qx －2P ＝－x 2＋13x －16＝－(x －132)2＋1054.②∵当x ≤132时，y 随x 的增加而增加．又∵产量大于市场需求量时，有4<x ≤10.∴当4<x ≤132时，厂家获得的利润y 随销售价格x 的上涨而增加．。
2019年数学中考真题知识点汇编17 二次函数概念、性质和图象(含解析).docx
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】一、选择题9．（2019·温州）已知二次函数y=x 2-4x+2，关于该函数在-1≤x ≤3的取值范围内，下列说法正确的是 （ ） A ．有最大值-1，有最小值-2 B ．有最大值0，有最小值-1 C ．有最大值7，有最小值-1 D ．有最大值7，有最小值-2 【答案】D【解析】∵二次函数y=x 2-4x+2=(x-2)2-2，∴该函数在-1≤x ≤3的取值范围内，当x=2时，y 有最小值-2；当x=-1时，y 有最大值7．故选D.7．（2019·绍兴 ）在平面直角坐标系中，抛物线)3)(5(-+=x x y 经过变换后得到抛物线)5)(3(-+=x x y ，则这个变换可以是 ( )A.向左平移2个单位B.向右平移2个单位C.向左平移8个单位D.向右平移8个单位 【答案】B【解析】y ＝（x +5）（x ﹣3）＝（x +1）2﹣16，顶点坐标是（﹣1，﹣16）．y ＝（x +3）（x ﹣5）＝（x ﹣1）2﹣16，顶点坐标是（1，﹣16）．所以将抛物线y ＝（x +5）（x ﹣3）向右平移2个单位长度得到抛物线y ＝（x +3）（x ﹣5），故选B ．10．（2019·嘉兴）小飞研究二次函数y ＝﹣（x ﹣m ）2﹣m +1（m 为常数）性质时如下结论： ①这个函数图象的顶点始终在直线y ＝﹣x +1上；②存在一个m 的值，使得函数图象的顶点与x 轴的两个交点构成等腰直角三角形； ③点A （x 1，y 1）与点B （x 2，y 2）在函数图象上，若x 1＜x 2，x 1+x 2＞2m ，则y 1＜y 2； ④当﹣1＜x ＜2时，y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围为m ≥2． 其中错误结论的序号是（ ） A ．① B ．② C ．③ D ．④【答案】C【解析】二次函数y ＝﹣（x ﹣m ）2﹣m +1（m 为常数）, ①∵顶点坐标为（m ，﹣m +1）且当x ＝m 时，y ＝﹣m +1, ∴这个函数图象的顶点始终在直线y ＝﹣x +1上, 故结论①正确；②假设存在一个m 的值，使得函数图象的顶点与x 轴的两个交点构成等腰直角三角形, 令y ＝0，得﹣（x ﹣m ）2﹣m +1＝0，其中m ≤1， 解得：x ＝m ﹣，x ＝m +，∵顶点坐标为（m ，﹣m +1），且顶点与x 轴的两个交点构成等腰直角三角形,∴|﹣m +1|＝|m ﹣（m ﹣）|,解得：m ＝0或1,∴存在m ＝0或1，使得函数图象的顶点与x 轴的两个交点构成等腰直角三角形, 故结论②正确； ③∵x 1+x 2＞2m, ∴,∵二次函数y ＝﹣（x ﹣m ）2﹣m +1（m 为常数）的对称轴为直线x ＝m, ∴点A 离对称轴的距离小于点B 离对称轴的距离, ∵x 1＜x 2，且﹣1＜0, ∴y 1＞y 2, 故结论③错误；④当﹣1＜x ＜2时，y 随x 的增大而增大，且﹣1＜0, ∴m 的取值范围为m ≥2． 故结论④正确． 故选C ．10．（2019·杭州）在平面直角坐标系中，已知a ≠b ，设函数y=（x+a ）（x+b ）的图象与x 轴有M 个交点，函数y=（ax+1）（bx+1）的图象与x 轴有N 个交点，则（ ）A ．M=N-1或M=N+1B ．M=n-1或M=N+2C ．M=N 或M=N+1D ．M=N 或M=N-1 【答案】A【解析】先把两个函数化成一般形式，若为二次函数，再计算根的判别式，从而确定图象与x 轴的交点个数，若一次函数，则与x 轴只有一个交点，据此解答．∵y=（x+a ）（x+b ）=x 2+（a+b ）x+1，∴（a+b ）2-4ab=（a-b ）2＞0，∴函数y=（x+a ）（x+b ）的图象与x 轴有2个交点，∴M=2，∵函数y=（ax+1）（bx+1）=abx 2+（a+b ）x+1，∴当ab ≠0时，（a+b ）2-4ab=（a-b ）2＞0，函数y=（ax+1）（bx+1）的图象与x 轴有2个交点，即N=2，此时M=N ；当ab=0时，不妨令a=0，∵a ≠b ，∴b ≠0，函数y=（ax+1）（bx+1）=bx+1为一次函数，与x 轴有一个交点，即N=1，此时M=N+1；综上可知，M=N 或M=N+1．故选C ．11．（2019·烟台）已知二次函数2y ax bx c =++的y 与x 的部分对应值如下表：4x <时，0y >；④抛物线与x 轴的两个交点间的距离是4；⑤若1(,2)A x ，2(,3)B x 是抛物线上两点，则12x x <．其中正确的个数是（ ）．A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】B【解题过程】先根据二次函数的部分对应值在坐标系中描点、连线，由图象可以看出抛物线开口向上，所以结论①正确，由图象（或表格）可以看出抛物线与x 轴的两个交点分别为（0,0），（4,0），所以抛物线的对称轴为直线2x =且抛物线与x 轴的两个交点间的距离为4，所以结论②和④正确，有抛物线的图象可以看出当04x <<时，0y <，所以结论③错误，由图象可以看出当抛物线上的点的纵坐标为2或3时，对于的点均有两个，若1(,2)A x ，2(,3)B x 是抛物线上两点，既有可能12x x <，也有可能12x x >，所以结论⑤错误．7．（2019·绍兴 ）在平面直角坐标系中，抛物线)3)(5(-+=x x y 经过变换后得到抛物线)5)(3(-+=x x y ，则这个变换可以是 ( )A.向左平移2个单位B.向右平移2个单位C.向左平移8个单位D.向右平移8个单位 【答案】B【解析】y ＝（x +5）（x ﹣3）＝（x +1）2﹣16，顶点坐标是（﹣1，﹣16）．y ＝（x +3）（x ﹣5）＝（x ﹣1）2﹣16，顶点坐标是（1，﹣16）．所以将抛物线y ＝（x +5）（x ﹣3）向右平移2个单位长度得到抛物线y ＝（x +3）（x ﹣5），故选B ．10．（2019·益阳）已知二次函数c bx ax y ++=2如图所示，下列结论:①ae ＜0，②b-2a ＜0，③ac b 42-＜0，④a-b+c ＜0，正确的是（ ）A. ①②B.①④C.②③D.②④第10题图【答案】A【解析】∵抛物线开口向下，且与y 的正半轴相交，∴a ＜0，c ＞0，∴ac ＜0，故①正确； ∵对称轴在-1至-2之间，∴122---＜＜ab，∴4a ＜b ＜2a ，∴b-2a ＜0，故②正确； ∵抛物线与x 轴有两个交点，∴△=ac b 42-＞0，∴③错误； ∵当x=-1时，y=a-b+c ＞0，∴④错误. ∴正确的说法是①②.故选A.11．（2019·娄底） 二次函数2y ax bx c =++的图象如图（5）所示，下列结论中正确的有（ ）① abc<0② 240b ac -<③ 2a b > ④ ()22a c b +<A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个 【答案】A【解析】解：①由抛物线的开口方向向下知a<0，对称轴在y 轴的左侧得a 、b 同号，抛物线与y 轴交于正半轴得c>0,所以abc>0 ；故结论①错误；②由抛物线与x 轴有两个交点得240b ac ->，故结论②错误； ③由图象知对称轴12b x a =->-得12b a<；由a<0，结合不等式的性质三可得 b>2a,即2a<b ；故结论③错误； ④由图象知：当x ＝1时，y<0即a+b+c<0；当x ＝－1时，y>0即a －b+c>0；∴()()0a b c a b c ++-+<，即()220a c b +-<；∴()22a c b +<．故结论④正确． 故答案A 正确．1. （2019·济宁）将抛物线y ＝x 2－6x ＋5向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是（ ）A ．y ＝(x －4)2－6B ．y ＝(x －1)2－3C ．y ＝(x －2)2－2D ．y ＝(x －4)2－2 【答案】D【解析】y ＝x 2－6x ＋5＝ (x －3) 2－4，把向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后， 得y ＝ (x －3－1) 2－4＋2，即y ＝(x －4)2－2．2. (2019·巴中)二次函数y ＝ax2+bx+c(a ≠0)的图象如图所示,下列结论①b2>4ac,②abc<0,③2a+b －c>0,3. ④a+b+c<0,其中正确的是( )A.①④B.②④C.②③D.①②③④第10题图【答案】A【解析】①:因为图象与x 轴有两个不同的交点,所以b 2－4ac>0,即b 2>4ac,故①正确;②:图象开口向下,故a<0,图象与y 轴交于正半轴,故c>0,因为对称轴为x ＝－1,所以12ba-=-,所以2a ＝b,故b<0,所以abc>0,②错误;③:a<0,b<0,c>0,所以2a+b －c<0,③错误;④当x ＝1时,y ＝a+b+c,由图可得,x ＝－3时,y<0,由对称性可知,当x ＝1时,y<0,即a+b+c<0,故④正确.综上所述,①④正确,故选A.3. （2019·达州）如图，边长都为4的正方形ABCD 和正三角形EFG 如图放置， AB 与EF 在一条直线上，点A 与点F 重合.现将△EFG 沿AB 方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点F 与点B 重合时停止，在这个运动过程中正方形ABCD 和△EFG 重叠部分的面积S 与运动时t 的函数图像大致是( )【答案】C【思路分析】可分两种情况，第一种情况重合部分为三角形，第二种情况重合部分为四边形，分别求出对应的函数关系式即可.【解题过程】运动过程中，当顶点G 在正方形外部时，重合部分为三角形，设运动时间为t ，面积S 与t 的函数关系式为232t y =，函数图像为开口向上的二次函数，当顶点G 在正方形内部时，重合部分为四边形，设运动时间为t ，面积S 与t 的函数关系式为343423-2-+=t t y ，函数图像为开口向下的二次函数，故选C.4. （2019·凉山）二次函数y=ax2+bx+c 的部分图象如图所示，有以下结论：①3a –b=0；②b2-4ac ＞0；③5a-2b+c ＞0； ④4b+3c ＞0,其中错误结论的个数是（ ▲ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4第12题图【答案】Axxx【解析】根据对称轴232-=-a b 得b =3a ，故可得3a –b =0，所以结论①正确；由于抛物线与x 轴有两个不同的交点，所以b 2-4ac ＞0，结论②正确；根据结论①可知b =3a ，∴5a -2b +c =5a -6a +c =-a +c ，观察图像可知a ＜0,c＞0，∴5a -2b +c =-a +c ＞0，结论③正确；根据抛物线的轴对称性可知抛物线与x 轴的右交点在原点与（1，0）之间（不含这两点），所以当x =1时，y =a +b +c ＜0，∵a =b 31，∴b 34+c ＜0，∴4b +3c ＜0，所以结论④错误.故选 A.5. （2019·攀枝花）在同一坐标系中，二次函数y ＝ax2＋bx 与一次函数y ＝bx －a 的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】C【解析】据参数符号可排除A 、D 选项，联立两函数解析式所得方程无解，则两函数图象无交点，故选C ． 【知识点】二次函数的图象；一次函数的图象6.（2019·天津）二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c 是常数，a ≠0）的自变量x 与函数值y 的部分对应值如下表：且当21-=x 时，与其对应的函数值y>0，有下列结论：（1）abc>0;(2)-2和3是关于x 的方程ax2+bx+c=t 的两个根；（3）0<m+n<320,其中，正确结论的个数是A. 0B. 1C. 2D. 3 【答案】C【解析】(1)因为当21-=x 时，与其对应的函数值y>0，由图表可知x=0时，y=-2，x=1时，y=-2,可以判断对称轴左侧y 随x 的增大而减小，图像开口向上，a>0;由图表可知x=0时，y=-2，x=1时，y=-2,可得对称轴为直线21=x ，所以b<0;x=0时，y=-2,所以c=-2<0,故abc>0（1）正确；（2）由于对称轴是直线21=x ，-2和3是关于对称轴对称的，所以（2）正确；（3）由对称轴是直线21=x 可得a+b=0,因为x=0时，y=-2，可知c=-2，当21-=x 时，与其对应的函数值y>0可得38>a ，当x=-1时，m=a-b-2=2a-2>310,因为-1和2关于对称轴对称，可得m=n ，所以m+n>320，故（3）错误，故选C. 【知识点】二次函数图像的性质.7. （2019·衢州）二次函数y=（x-1）2+3图象的顶点坐标是（A ） A. （1.3） B.（1，-3） C.（-1.3） D.（-1.-3） 【答案】A【解析】本题考查二次函数顶点坐标的确定，二次函数y =a （x -h ）2+k 的顶点坐标为（h ，k ），所以y =（x -1）2+3的顶点坐标是（1.3），故选A .8. （2019·重庆B 卷）物线y ＝263-2++x x 的对称轴是（ ）A.直线 2=xB.直线 2-=xC.直线 1=xD.直线 1-=x 【答案】Ｃ【解析】设二次函数的解析式是y=c bx ax ++2， 则二次函数的对称轴为直线y ＝263-2++x x 的对称轴是直线 1=x .故选Ｃ．9.（2019·自贡）一次函数y=ax+b 与反比例函数y=cx 的图象如图所示，则二次函数y=ax2+bx+c 的大致图象是（ ）【答案】A.【解析】∵双曲线y=cx经过一、三象限，∴c ＞0.∴抛物线与y 轴交于正半轴.∵直线y =ax +b 经过第一、二和四象限， ∴a ＜0，b ＞0，即−b2a ＜0.∴抛物线y =ax 2+bx +c 开口向下，对称轴在y 轴的右侧. 故选A.9.（2019·遂宁）二次函数y=x 2-ax+b 的图像如图所示，对称轴为直线x=2，下列结论不正确的是 ( )A. a=4B.当b= -4时，顶点的坐标为（2，-8）C.当x= -1 时，b> -5D.当x>3时，y 随x 的增大而增大 【答案】C【解析】选项A,由对称轴为直线x=2可得22a--=，∴a=4，正确；选项B,∵a=4,b= -4 ∴代入解析式可得，y=x 2-4x-4，当x=2时，y=-8,∴顶点的坐标为（2，-8），正确；选项C ，由图像可知，x=-1时，y=0，代入解析式得B=-5，∴错误；选项D 由图像可以看出当x>3时，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大，正确，故选C.二、填空题14. （2019·遂宁）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 落在坐标原点，点A,点C 分别在x 轴，y 轴的正半轴上，G 为线段OA 上一点，将△OCG 沿CG 翻折，O 点恰好落在对角线AC 上的点P 处，反比例函数xy 12=经过点B ，二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图像经过C （0,3），G 、A 三点，则该二次函数的解析式为（填一般式）【答案】3411212+-=x x y 【解析】∵矩形OABC ，C （0,3）∴B 点的纵坐标为3，∵反比例函数x y 12=经过点B ，∴B(4,3），A （4,0），∴OA=4，∵C （0,3），∴OC=3，∴Rt △ACO 中，AC=5.设G （m,0)则OG=m ∵翻折∴GP=OG=m,CP=CO=3,∴AP=2，AG=4-m,∴Rt △AGP 中，m 2+22=(4-m)2,∴m=23,∴G(23,0），∵A （4,0）C （0,3）G(23,0）∴解析式为3411212+-=x x y15．(2019·广元)如图,抛物线y ＝ax 2+bx+c(a ≠0)过点(－1,0),(0,2),且顶点在第一象限,设M ＝4a+2b+c,则M 的取值范围是________.第15题图【答案】－6<M<6【解析】∵y ＝ax 2+bx+c 过点(－1,0),(0,2),∴c ＝2,a －b ＝－2,∴b ＝a+2,∵顶点在第一象限,∴2ba>0,∴a<0,b>0,a+2>0,a>－2,∴－2<a<0,M ＝4a+2b+c ＝4a+2(a+2)+2＝6a+6,∴－6<M<6.18．（2019·衡阳）在平面直角坐标系中，抛物线y ＝x 2的图象如图所示．已知点A 坐标为（1，1），过点A 作AA 1∥x 轴交抛物线于点A 1，过点A 1作A 1A 2∥OA 交抛物线于点A 2，过点A 2作A 2A 3∥x 轴交抛物线于点A 3，过点A 3作A 3A 4∥OA 交抛物线于点A 4…，依次进行下去，则点A 2019的坐标为 ．【答案】（－1010，10102）【解析】A （1，1），A 1（－1，1），A 2（2，4），A 3（－2，4），A 4（3，9），A 5（－3，9），…，A 2019（－1000，1000 2）．11．（2019·株洲）若二次函数2y ax bx =+的图像开口向下，则a 0（填“＝”或“＞”或“＜”）． 【答案】＜【解析】二次函数开口向下，则a<0。
江苏省2019届中考数学专题复习 第二章 函数(第6课时)二次函数的图像和性质课件
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考点聚焦
考向探究
第14课时┃二次函数的图象及其性质(二)
解析
由题意知此抛物线的对称轴是直线x＝2，故b＝－4， 得方程x2－4x＝5，解之，得x1＝－1，x2＝5.
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考点聚焦
考向探究
第14课时┃二次函数的图象及其性质(二)
2．【2017·徐州】若函数y＝x2－2x＋b的图象与坐标轴有 三个交点，则b的取值范围是( A )
ab<0(b 与 a 异号)
c＝0
c
c>0
c<0
图象的特征
开口向上 开口向下 对称轴为 y 轴 对称轴在 y 轴左侧 对称轴在 y 轴右侧 经过原点 与 y 轴正半轴相交 与 y 轴负半轴相交
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考点聚焦
考向探究
第14课时┃二次函数的图象及其性质(二)
b2－4ac
特殊 关系
b2－4ac＝0
与 x 轴有唯一交点 (顶点)
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考点聚焦
考向探究
第14课时┃二次函数的图象及其性质(二)
考向探究
探究1 二次函数与一元二次方程 例1 已知二次函数y＝x2－3x＋m(m为常数)的图象与x轴
的一个交点为(1，0)，则关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0 的两实数根是x1＝____1____，x2＝____2____．
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第14课时 二次函数的图象及其性质(二)
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第14课时┃二次函数的图象及其性质(二)
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1．[九上P35例3改编]
怎样移动抛物线y＝－
1 2
x2就可以得到抛
物线y＝－12(x＋1)2－1( B )