一元二次方程求根公式的推导

一元二次方程求根公式的推导

创新是一个学生学习数学的灵魂，是学业成绩不断提高的不竭动力．因此，同学们在数学学习的过程中，要 怀疑权威——书本和老师，不人云亦云．敢于对同一个问题要另辟途径，探求问题的存在规律，只有这样，我们的数学发展水平才能不断提高．

比如，我们课本对一元二次方程求根公式的推导是通过配方法得到的，即： 对于方程ax 2+bx+c=0(a≠0)

（1）方程两边同除以a 得：x 2+a b x+a

c =0 （2）将常数项移到方程的右边得：x 2+a b x=﹣a

c （3）方程两边同时加上（a b 2）2得：x 2+a b x+（a b 2）2=（a b 2）2﹣a

c （4）左边写成完全平方式，右边通分得：（x +a

b 2）2=2244a a

c b - 由a≠0得，4 a 2＞0，所以，当b 2

－4ac≥0时，2244a ac b -≥0， 所以，x=a

ac b b 242-±- 除了上述推导方法外，不知道同学们是否思考过：还有其他方法吗？

多思出智慧，多练出成绩．我们也可以这样推导：

方法1：ax 2+bx+c=0(a≠0)

方程两边同乘以4a 得：4 a 2x 2+4abx+4ac=0

方程两边同时加上b 2得：4 a 2x 2+4abx+4ac+b 2=b 2

把4ac 移到方程的右边得：4 a 2x 2+4abx+ b 2=b 2－4ac

将左边写成完全平方式得：（2ax+b ）2= b 2－4ac

当b 2－4ac≥0时，有： 2ax+b=±ac b 42-

所以，2ax=﹣b±ac b 42-

因为，a≠0

所以，x=a

ac b b 242-±- 方法2：ax 2+bx+c=0(a≠0)

移项得：ax 2+bx=﹣c

方程两边同乘以a 得：a 2x 2+abx=﹣ac 方程两边同时加上（2b ）2得：a 2x 2+abx+（2b ）2=（2

b ）2﹣a

c 整理得：（ax+2

b ）2=42

b ﹣a

c 即：（ax+2

b ）2=442a

c b - 当b 2－4ac≥0时， ax+2

b =±242a

c b - 即：x=a

ac b b 242-±- 同学们，没有做不到，只怕想不到．对于任何问题，大家都要想一想：这个问题还有其他的解法吗？问题都可以得到圆满的解决．