(word完整版)历年高考真题汇编数列,推荐文档
、(年新课标卷文)
已知等比数列{an}
中，
a1
1 3
，公比
q
1 3
．
（）
Sn
为{an}
的前项和，证明：
Sn
1 an 2
（）设 bn log3 a1 log3 a2 log3 an ，求数列{bn}的通项公式．
解：（Ⅰ）因为 an
1 (1)n1 33
1 3n
.
Sn
1 (1 1 ) 3 3n
①②得
(1 22 ) Sn 2 23 25 22n1 n 22n1 。
即
Sn
1 [(3n 9
1)22n1
2]
、（年全国新课标卷文）
设等差数列an 满足 a3 5 ， a10 9 。
（Ⅰ）求 an 的通项公式；
（Ⅱ）求an的前 n 项和 Sn 及使得 Sn 最大的序号 n 的值。
解：（）由 （）及，得
1 1
1 1 3n
2
,
3
所以 Sn
1 an 2
,
（Ⅱ） bn log 3 a1 log 3 a2 log 3 an
所以{bn }的通项公式为 bn
n(n 1) . 2
(1 2 ....... n)
n(n 1) 2
、(全国新课标卷理）
等比数列an 的各项均为正数，且 2a1 3a2 1, a32 9a2a6. （）求数列 an 的通项公式.
1，
Sn a1 a2 an .
2 24
2n
所以，当 n 1时，
3 / 12
Sn 2
a1
a2
2
a1
an an1 an
2n1
2n
11
1 2n
1( )
24
2n1
2n
1 (1 1 ) 2 n
2n1
2n
n 2n
.所以 Sn
n 2n1 .
综上，数列
{ an 2n1
}的前n项和Sn
1 a2
1 a22
1 a2n
,因为a2n
2n a
所以 Tn
1 (1 a2
1 22
1
)
1
1 2
(1
(1)n 2
)
1 [1 (1)n ]
2n a 1 1
a2
2
从而，当 a
。
（Ⅱ ） bn log1 a1 log1 a1 ... log1 a1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(1 2 ... n) n(n 1)
2
故 1 2 2(1 1 )
bn n(n 1)
n n1
1 / 12
1 1 ... 1 2((1 1) (1 1) ... (1 1 )) 2n
b1 b2
1 a2
1
a
2 2
1
a
3 2
...
1
a
n 2
与
1 a1
的大小．
解：设等差数列{an } 的公差为 d
，由题意可知 ( 1 a2
)2
1 a1
1 a4
即 (a1 d )2 a1 (a1 3d ) ，从而 a1d d 2 因为 d 0,所以d a1 a.
故通项公式 an na.
（Ⅱ）解：记 Tn
由 a3 b3 17 得1 2d 3q2 17
①
由T3 S3 12 得 q2 q d 4
②
由①②及 q 0 解得 q 2, d 2
故所求的通项公式为 an 2n 1, bn 3 2n1
4 / 12
、（福建卷） 已知等差数列{}中，，. （）求数列{}的通项公式； （）若数列{}的前项和，求的值.
bn
2 23
n n1 n1
所以数列{ 1 }的前项和为 2n
bn
n 1
、（新课标卷理）
设数列an 满足 a1 2, an1 an 3 22n1 （1） 求数列 an 的通项公式；
（2）令 bn nan ，求数列的前项和 Sn
解（Ⅰ）由已知，当≥时， an1 [(an1 an ) (an an1) (a2 a1)] a1
n. 2n1
、（年陕西省）
已知{}是公差不为零的等差数列，＝，且，，成等比数列.（Ⅰ）求数
列{}的通项;
（Ⅱ）求数列{}的前项和.
解 （Ⅰ）由题设知公 差≠，
由＝，，，成等比数列得 1 2d ＝ 1 8d ， 1 1 2d
解得 ＝，＝（舍去）， 故{}的通项＝（－）×＝.
(Ⅱ)由（Ⅰ）知 2am ，由等比数列前项和公式得
3(22n1 22n3 2) 2 22(n1)1 。
而 a1 2, 所以数列{ an }的通项公式为 an 22n1 。
（Ⅱ）由 bn nan n 22n1 知
Sn 1 2 2 23 3 25 n 22n1
①
从而
22 Sn 1 23 2 25 3 27 n 22n1 ②
… 2(1 2n ) 1 2
、（年全国卷）
设等差数列{ an }的前 n 项和为 sn ，公比是正数的等比数列{ b n }的前 n 项 和为Tn ，已知 a1 1,b1 3, a3 b3 17,T3 S3 12,求{an},{bn}的通项公式。
解： 设an 的公差为 d ，bn 的公比为 q
（）求数列
an 2 n1
的前项和．
解：（）设等差数列{an } 的公差为，由已知条件可得 2a1a1d12d0, 10,
解得
ad1
1, 1.
故数列{an } 的通项公式为 an 2 n. ………………分
（）设数列{2ann1 }的前n项和为Sn ，即 Sn
a1
a2 2
an 2n1
, 故S1
()设
bn
log3
a1
log3
a2
......
log3
an ,
求数列
1 bn
的前项和.
解：（Ⅰ）设数列{}的公比为，由
a32
9a2a6
得 a33
9a42 所以 q2
1 9
。有条件可知>,
故q 1。 3
由 2a1
3a2
1得 2a1
3a2q
1，所以 a1
1 3
。故数列{}的通项式为
1 3n
{a12d 5 a19d 9
2 / 12
{a1 9
解得 d 2
数列{}的通项公式为。
()由() 知 n(n 1) 。 2
因为(). 所以时，取得最大值。
、（年全国卷）
……分
设数列an 的前项和为 Sn ,已知 a2 6, 6a1 a2 30, 求 an 和 Sn
、（ 辽宁卷）
已知等差数列{}满足， （）求数列{}的通项公式；
、（重庆卷）
设 是公比为正数的等比数列， ,
.
(Ⅰ)求 的通项公式;
(Ⅱ)设 是首项为，公差为的等差数列，求数列
和.
的前 项
、（浙江卷）
已知公差不为的等差数列{an}的首项为 a(a R) ，且
1 a1
，
1 a2
，
1 a4
成等
比数列．
（Ⅰ）求数列 {a n } 的通项公式；
5 / 12
（Ⅱ）对 n N * ，试比较
(word完整版)历年数列高考题及答案
1. （福建卷）已知等差数列}{n a 中，12497,1,16a a a a 则==+的值是（ ）A ．15B ．30C ．31D ．642. （湖南卷）已知数列}{n a 满足)(133,0*11N n a a a a n n n ∈+-==+，则20a = （ ）A ．0B ．3-C ．3D ．233. （江苏卷）在各项都为正数的等比数列｛a n ｝中，首项a 1=3 ，前三项和为21，则a 3+ a 4+ a 5=( ) ( A ) 33 ( B ) 72 ( C ) 84 ( D )1894. (全国卷II ) 如果数列{}n a是等差数列，则( )(A)1845a a a a +<+ (B) 1845a a a a +=+ (C) 1845a a a a +>+ (D) 1845a a a a = 5. (全国卷II ) 11如果128,,,a a a L 为各项都大于零的等差数列，公差0d ≠，则( )(A)1845a a a a >(B) 1845a a a a <(C) 1845a a a a +>+ (D) 1845a a a a =6. （山东卷）{}n a 是首项1a =1，公差为d =3的等差数列，如果n a =2005，则序号n 等于( )（A ）667 （B ）668 （C ）669 （D ）6707. (重庆卷) 有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点。
已知最底层正方体的棱长为2，且改塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积)超过39，则该塔形中正方体的个数至少是( ) (A) 4； (B) 5； (C) 6； (D) 7。
8. （湖北卷）设等比数列}{n a 的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n+1,S n ，S n+2成等差数列，则q 的值为 .9. (全国卷II ) 在83和272之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为______10. （上海）12、用n 个不同的实数n a a a ,,,21Λ可得到!n 个不同的排列，每个排列为一行写成一个!n 行的数阵。
全国卷数列高考题汇总附答案
数列专题高考真题(2014·I) 17. (本小题满分12分)已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n≠0，a n a n+1=λS n−1，其中λ为常数.（Ⅰ）证明：a n+2−a n=λ；（Ⅱ）是否存在λ，使得{a n}为等差数列？并说明理由.(2014·II) 17.（本小题满分12分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=3a n+1.（Ⅰ）证明{a n+12}是等比数列，并求{a n}的通项公式；（Ⅱ）证明：1a1+1a2+⋯+1a n<32.(2015·I)（17）（本小题满分12分）S n为数列{a n}的前n项和.已知a n>0,a n2+2a n=4S n+3，（Ⅰ）求{a n}的通项公式：（Ⅱ）设b n=1a n a n+1,求数列{b n}的前n项和。
(2015·II)（4）等比数列{a n}满足a1=3，=21，则( )（A）21 （B）42 （C）63 （D）84(2015·II)（16）设是数列的前n项和，且，，则________．(2016·I)（3）已知等差数列{a n}前9项的和为27，a10=8，则a100=（A）100 （B）99 （C）98 （D）97(2016·I)（15）设等比数列{a n}满足 a1+a3=10，a2+a4=5，则 a1a2…a n的最大值为__________。
(2016·II)（17）（本题满分12分）S n为等差数列{a n}的前n项和，且a1=1 ，S7=28 记b n=[log a n]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]= 0，[lg 99]=1.（I）求b1，b11，b101；（II）求数列{b n}的前1 000项和.(2016·III)（12）定义“规范01数列”{a n}如下：{a n}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1,a2,?,a k中0的个数不少于1的个数.若m=4，则不同的“规范01数列”共有（A）18个（B）16个（C）14个（D）12个(2016·III)（17）（本小题满分12分）已知数列{a n}的前n项和S n=1+λa n，其中λ≠0（I）证明{a n}是等比数列，并求其通项公式；（II ）若S n =3132，求λ. (2017·I)4．记为等差数列的前项和．若，，则的公差为A ．1B ．2C ．4D ．8(2017·I)12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件。
(完整版)近几年全国卷高考文科数列高考习题汇总
欢迎共阅数列高考题近几年全国高考文科数学数列部分考题统计及所占分值二．填空题7.[2015.全国I 卷.T13]在数列{}n a 中，1n 1n 2,2a a a +==,n S 为{}n a 的前n 项和。
若-n S =126，则n =. 8.[2014.全国II 卷.T14]数列{}n a 满足121,21n na a a +==-，则1a = 9.[2013.北京卷.T11]若等比数列{}n a 满足2420a a +=，3540a a +=，则公比q =；前n 项和n S =。
10.[2012.全国卷.T14]等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若32S 3S 0+=，则公比q = 11.[2012.北京卷.T10]已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若211=a ，23S a =，则2a =，n S =_______。
12.[2011.北京卷.T12]在等比数列{}n a 中，若141,4,2a a ==则公比q =；12n a a a ++⋯+=.13.[2009.北京卷.T10]若数列{}n a 满足：111,2()n n a a a n N *+==∈，则5a =；前8项的和8S =.（用数字作答） 三．解答题14.[2016.全国II 卷.T17](本小题满分12分)等差数列{}n a 其中[]x 表示不超过x 15.[2016.全国III （I ）求23,a a ；（II ）求{}n a 15.[2016.北京卷已知{}n a （Ⅰ）求{}n a （Ⅱ）设n n c a =16.[2015.北京卷（Ⅰ）求{a （Ⅱ）设等比数列{}n b 满足2337,b a b a ==.问：6b 与数列{}n a 的第几项相等？ 17.[2014.全国I 卷.T17]（本小题满分12分）已知{}n a 是递增的等差数列，2a ，4a 是方程2560x x -+=的根。
普通高等学校招生全国统一考试试题汇编数列部分
i,z [ ; n+11. (全国1/20)在数列｛a n｝中，a1=1a n+讦1+—a+一•I n丿2(1 )设6=更，求数列血/的通项公式；n(2)求数列：a n』的前n项和S n.2. ____________________________________________________________________________ (全国1/14)设等差数列a n/的前n项和为s n.若S g=72,则a2 a4 a9= ________________________ .3. ________________________________________________________________________ (全国2/14)设等差数列匕二的前n项和为S n，若比=5a3则—^ = ____________________________.S54. (全国2/19)设数列｛a n｝的前n项和为S n ,已知ai=1, S n .1 = 4a n • 2(I)设b n二a n -2a n，证明数列｛b n｝是等比数列―(II)求数列｛a n｝的通项公式。
5. (山东20)等比数列Ca n?的前n 项和为，已知对任意的n・N,,点(n.&)均在函数y=bx=r(b - 0且b=1,b,r均为常数的图象上。
(I)求r的值。
(n)当b=2 时，记bn 二2(log2 a n = 1)(n n)1・ _1♦…鸟一•n 1证明：对任意的，不等式成立色一b1 b2 b n6. ____________________________________________________________________________ (北京14)已知数列｛a n｝满足：dn二=1 ,a4n4 = 0,a?* = a n, n匸N ,则a20°9 =______________________________________________________________________________________________________________________ ；a2014 = ___________________ 。
(完整版)高考数列真题篇
an
1 是等比数列，并求 2
（Ⅱ）证明： 1 a1
1 a2
…
+
1 an
3. 2
an 的通项公式；
22、【 2014 课标Ⅰ，理 17】
已知数列 an 的前 n 项和为 Sn ， a1 1 ， an 0 ， anan 1
13、【 2016 高考山东理数】已知数列 an 的前 n 项和 Sn=3n2+8n， bn 是等差数列，且 an bn bn 1.
（Ⅰ）求数列 bn 的通项公式；
（Ⅱ）令 cn
(an (bn
1)n 1 2)n . 求数列
cn 的前 n 项和 Tn.
16、【 2016 高考天津理数】已知 an 是各项均为正数的等差数列，公差为
高考数列真题篇
6. 【 2016 高考浙江理数】设数列 {an}的前 n 项和为 Sn.若 S2=4， an+1=2Sn+1，n∈N* ，则 a1=
， S5= .
1. 【 2014 高考北京理第 5 题】 设 { an} 是公比为 q 的等比数列，则“ q 1 ”是“ { an } 为递增数列”的（
不超过 x 的最大整数，如 0.9 =0，lg99 =1 ．
（Ⅰ）求 b1， b11， b101 ；
（Ⅱ）求数列 bn 的前 1 000 项和．
A． { Sn} 是等差数列
B． { Sn2} 是等差数列
C． { dn } 是等差数列
D． { d n2} 是等差数列
4. 【 2016 年高考四川理数】某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入
3. 【 2016 高考浙江理数】 如图，点列 {An}，{Bn}分别在某锐角的两边上， 且 An An 1 An 1An 2 , An An 2, n N * ，
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n
3
26
3
4
9
a>0,故 q 1 。
3
1
1
由2a1 3a2
1得2a1
3a2q
1
，所以
a1 3 。故数列{an}的通项式为
an=
。
3n
（Ⅱ ） bn log1 a1 log1 a1... log1 a1
(1 2 ... n) n(n 1)
2
1
2
11
故
2( )
bn n(n 1)
1.S
1 3
(1
1 3n
)
1
31n
,
n
() 33
3n n
1 1
2
3
所以
Sn
1
an , 2
（Ⅱ） bn log3 a1 log3 a2 log3 an
n(n 1)
所以{bn }的通项公式为bn
. 2
n(n 1) (1 2 ....... n)
2
2、(2011 全国新课标卷理）
{a1 9
解得 d 2
数列{an}的通项公式为 an=11-2n。 ...................................................6 分
专业整理
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n(n 1)
(2)由(1) 知 Sn=na1+
d=10n-n2。
2
因为 Sn=-(n-5)2+25.
a1 d 0, 解：（I）设等差数列{an } 的公差为 d，由已知条件可得2a1 12d 10,
a1 1,
解得 d
1.
故数列{an } 的通项公式为 an 2 n. ………………5 分
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历年高考真题汇编---数列（含）1、(全国新课标卷理）等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +== （1）求数列{}n a 的通项公式.(2)设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前项和.解：（Ⅰ）设数列{a n }的公比为q ，由23269a a a =得32349a a =所以219q =。
有条件可知a>0,故13q =。
由12231a a +=得12231a a q +=，所以113a =。
故数列{a n }的通项式为a n =13n 。
（Ⅱ ）111111log log ...log n b a a a =+++(12...)(1)2n n n =-++++=-故12112()(1)1n b n n n n =-=--++ 12111111112...2((1)()...())22311n n b b b n n n +++=--+-++-=-++ 所以数列1{}n b 的前n 项和为21n n -+2、（全国新课标卷理）设数列{}n a 满足21112,32n n n a a a -+=-=g（1） 求数列{}n a 的通项公式； （2） 令n n b na =，求数列的前n 项和n S解（Ⅰ）由已知，当n ≥1时，111211[()()()]n n n n n a a a a a a a a ++-=-+-++-+L21233(222)2n n --=++++L 2(1)12n +-=。
而 12,a =所以数列{n a }的通项公式为212n n a -=。
（Ⅱ）由212n n n b na n -==⋅知35211222322n n S n -=⋅+⋅+⋅++⋅L ①从而 23572121222322n n S n +⋅=⋅+⋅+⋅++⋅L ②①-②得 2352121(12)22222n n n S n -+-⋅=++++-⋅L 。
(完整word)2019年高考试题汇编理科数学--数列,推荐文档
解答: 13，设等比数列公比为q3、25•- (ag )ag••• q 3• S 121 …S 53（1）证明:a nb n 是等比数列，a n b n 是等差数列;(2 )求a n 和b n 的通项公式. 答案： (1) 见解析 1 x n 11 x n 1(2)a n () n，b n () n2222解析：(1)将 4a n 1 3a n b n 4 , 4b n 1 3b n a n 4 相加可得 4a n1 4b n 1 3a n 3b n a n b n ,11 整理可得a n 1 b n 1丄(a n b n )，又玄1 Q 1，故a . b n 是首项为1,公比为1的等比数列22将 4a n 1 3a n b n 4, 4b n 13b n a n 4 作差可得 4a n14b n13a n 3b n a . b n 8,整理可得a n 1 b n 1a nb n 2，又a 1 Q 1，故a .b n 是首项为1，公差为2的等差数列1 1A. a n 2n 5B.3n 3n 10 CS2n 28nD.S n■In 2 2n 2答案：A解析：S 4 4冃 6d 0a 1 3 5, S n2依题意有 可得 a nn 4n .3S 31 4d 5 d 2 n（2019全国1理）9•记S n 为等差数列 a n 的前n 项和•已知S 40 , a 5 5，则（2（2019全国1理）14.记S n 为等比数列 a n 的前 n 项和,a 436，则 S5答案: S 51213 2019全国2理)19.已知数列a n 和b n满足a 10 , 4a n 1 3a n b n 4, 4b n 1 3b n a n 4.-31 2 3436(2)由a n b n是首项为1 ,公比为?的等比数列可得a n b n ()"①；由a n bn 是首项为1公差为2的等差数列可得a n b n 2n 1②;【解析】 【分析】首先确定公差，然后由通项公式可得 a 5的值，进一步研究数列中正项 ？负项的变化规律,得到和的最小值.【详解】等差数列 a n 中，8s 5a 3 10,得a 3 2& 3,公差da 3 a ?1, a§% 2d 0,由等差数列a n 的性质得n 5时，a n 0, n 6时，a n 大于0,所以S n 的最小值为S 4或S 5,即为10.①②相加化简得a n（!）n n 1，①②相减化简得b n 2 2（2019全国3理）5.已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且a s 3a 3 4印，则a ?（）A. 16B. 8 答案： C解答：C. 4D.设该等比数列的首项 a i ，公比由已知得,4a©3dq 24a i ， 因为a 0且q 0， 则可解得2，又因为 a i (1q 3) 15,即可解得c 1，则4.（2019全国3理）14.记S n 为等差数列 a n 的前n 项和，若q0, a 2 3a ，则 3°S 5答案:4解析:设该等差数列的公差为d 2a 1 a 1 0,d 0 ,10 a 1 a 10S 0____________2S 55 a 1 a 522 2a 1 9d3 4.2a 1 4d 5d（2019北京理）10.设等差数列 的前n 项和为S n,若a 2=-3 ,S s =-10，则a s = ,S n 的最小值为【答案】 (1). 0. (2). -10.【点睛】本题考查等差数列的通项公式？求和公式？等差数列的性质，难度不大，注重重要知识？基础知识？基本运算能力的考查a i (2019北京理)20.已知数列｛a n｝，从中选取第i1项、第i2项、…、第i m项(i l<i2<・・Vm)，若a h a2则称新数列a h, a i2, , a m为｛a n｝的长度为m的递增子列•规定：数列｛a n｝的任意一项都是｛a n｝的长度为1的递增子列．(I)写出数列1 , 8, 3, 7, 5, 6, 9的一个长度为4的递增子列；(H)已知数列｛a n｝的长度为p的递增子列的末项的最小值为a m o，长度为q的递增子列的末项的最小值为a n0.若p<q,求证：a m°<a n°；(川)设无穷数列｛a n｝的各项均为正整数，且任意两项均不相等若｛ a n｝的长度为s的递增子列末项的最小值为2s -, 且长度为S末项为2s-1的递增子列恰有2s-1个(s=1 , 2,…)，求数列｛a n｝的通项公式.【答案】(I )1,3,5,6.(n )见解析; (川)见解析.【解析】【分析】(I )由题意结合新定义的知识给出一个满足题意的递增子列即可；(n )利用数列的性质和递增子列的定义证明题中的结论即可；(川)观察所要求解数列的特征给出一个满足题意的通项公式，然后证明通项公式满足题中所有的条件即可•【详解】(I )满足题意的一个长度为4的递增子列为：1,3,5,6.(n)对于每一个长度为q的递增子列a n a2丄a q，都能从其中找到若干个长度为p的递增子列色总丄a p，此时a p a q ，设所有长度为q的子列的末项分别为：a q, ,a q2,a q3 ,L ,所有长度为p的子列的末项分别为：a p1,a p2,a p3,L ,则a n0 min a q1,a q2,a q3,L ，注意到长度为P的子列可能无法进一步找到长度为q的子列，故a m0 min a p1,a p2,a p3,L ，据此可得：a m0a n0n 1, n为偶数(川)满足题意的一个数列的通项公式可以是a n 斗才来朴2,1,4,3,6,5,8,7,L ,n 1,n为奇数面说明此数列满足题意很明显数列为无穷数列，且各项均为正整数，任意两项均不相等.长度为s 的递增子列末项的最小值为2s-1，下面用数学归纳法证明长度为s 末项为2s-1 的递增子列恰有2s 1个s 1,2,L ：当n 1 时命题显然成立，假设当n k时命题成立，即长度为k末项为2k-1的递增子列恰有21个，则当n k 1时，对于n k 时得到的每一个子列a s1,a s2,L ,a s k 1,2k 1，可构造：aq,a s2丄，a s「2k 1,2 k 1 1和a5^,a S2,L ,a^l,2k,2 k 1 1两个满足题意的递增子列，则长度为k+1 末项为2k+1 的递增子列恰有 2 2k 12k2k 1 1个，n 1, n为偶数综上可得，数列a n、，卄沁.2,1,4,3,6,5,8,7,L是一个满足题意的数列的通项公式•n 1, n为奇数注：当s 3时，所有满足题意的数列为：2,3,5 , 1,3,5 , 2,4,5 , 1,4,5 ，当s 4 时，数列2,3,5 对应的两个递增子列为：2,3,5,7 和2,3,6,7 .【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.2019天津理) 19.设a n 是等差数列，b n 是等比数列.已知a1 4,b1 6，b2 2a2 2,b3 2a3 4.(I)求a n和b n的通项公式;（n）设数列q满足G 1,c n X 2 J 2「其中k Nn 1 n b k,n 2k ,i )求数列a2n c2n1 的通项公式;2nii ）求a i c i n Ni1答案】（I ）a n 3n 1 ; b n 3 2n（n ）（i ）a2n c2n 1 9 4n1 （ii ）* 2n 1n 1 *aqnN 27 25 2 n 12 nNi 1【解析】 【分析】(I )由题意首先求得公比和公差，然后确定数列的通项公式即可; (n )结合(I )中的结论可得数列a 2n c 2n 1的通项公式，结合所得的通项公式对所求的数列通项公式进行等2n价变形，结合等比数列前n 项和公式可得aG 的值.i 12 4 d 26 2d，解得2 4 2d 4 12 4d故a n 4 (n 1) 33n1 ,b n6 2n13 2n.所以,a n的通项公式为 a n 3n 1 , b n的通项公式为b n3 2n (n )( i ) a 2n C 2n 1 a ?n b n 1 3 2n 1 3 2n 19 4n 1所以,数列 a ?n c?n1 的通 项公式 :为a2nc 2n 19 4n 12n 2n2n2n(ii )a &a i a C i 1a ia c 2i1i 1i 1i 1i 12n 2n 1n2 n4-39 412i 14 1 4n3 ?2 n5 2n 19n1 427 _2n•1J 112N*25 2n n【点睛】本题主要考查等差数列 ？等比数列的通项公式及其前 n 项和公式等基础知识.考查化归与转化思想和数列 求和的基本方法以及运算求解能力.【详解】(I )设等差数列a n 的公db n 的公比为q .依题意得6q6q 2（2019上海）18•已知数列｛a n ｝ , a 1 3，前n 项和为S n •（1）若｛an ｝为等差数列,且 a 4 15, 求S n ；（2）若｛a n ｝为等比数列,且 lim n S n 12，求公比 q 的取值范围 【解答】解：（1） Q a 4 a 3d 3 3d 15 ,d 4 ,n(n 1),S n 3n4 2n 2 n；2lim S n 存在，nlim 3(^ 2 ,n1 q 1 q3 4公比q 的取值范围为（1 , 0） （0 , 3）.42综上，d -或者d3Hm S n存在， lim S n n （2019上海）21.已知等差数列｛务｝的公差d (0， ］，数列｛b n ｝满足 b n sin (a n )，集合 S x|xb n ,n2 、（1 ）若a 1 0,d 一，求集合 30,d —,3｛乜，0, △.2 2根据三角函数线，①等差数列 ｛a n ｝的终边落在y 轴的正负半轴上时，集合S 恰好有两个元素，此时此时d —,3（2）若a 1，求d 使得集合 2 S 恰好有两个（3）若集合S 恰好有三个元素: b n T b n , T 是不超过7的正整数，求 T 的所有可能的值.【解答】解：（1） Q 等差数列｛a n ｝的公差d (0，］，数列｛b n ｝满足 b n sin (a n )，集合 S x|xb n ,n当a 1集合S (2) Q，数列｛b n ｝满足 b n sin (a .),2集合S x|x N *恰好有两个元素，如图:②a 1终边落在OA 上，要使得集合 S 恰好有两个元素，可以使 a 2, a 3的终边关于y 轴对称，如图OB , OC ,(3)①当T 3 时，b n 3 b n，集合S {bl，b2, b3},符合题意.②当T 4 时，b n 4 b n ，sin(a n 4d) sina. a n 4d a n 2k ，或者a n 4d 2k a n ，4d a n 2k，又k 1，2当k1时满足条件，此时S {，1, 1}.③当T 5时，b n 5b n，si n(a n5d)sina n，故k1，2.当k1时，S{sin—，1，sin}满足题意1010④当T 6时，b n 6b n，sin (an6d)sina n，a na n等差数列{a n}的公差d (0，］，故a n5d a n 2k ，或者a n 5d 2k a n，因为 d (0 ,所以6d a n 2k 或者a n 6d 2k a n，d (0，1 , 2, 3.1时，S {-^O, —3}，满足题意.2 2⑤当T 7 时，b n 7 b n，si n(a n 7d) si na n si na n，所以a n 7d a n 2k ，或者a n 7d 2k a n，d (0，故k 1 , 2, 31时，因为b i ~b7对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有a m a n 2 ，d m 7，不符合条件.k 2时，因为b i~b7对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有a m a n 2 ，d n不是整数，不符合条件.k 3时，因为bi ~ b7对应着3 个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有a m a n—，或者d7—，此时，m n均不是整数，不符合题意.7综上，T3，4，5，6.(2019江苏)8.已知数列{a n}( n N*)是等差数列，S n是其前n项和若a2^ 兎0,S9 27 ,则Q的值是 _____________________ 【答案】16【解析】【分析】由题意首先求得首项和公差，然后求解前8项和即可.a 2a 5CBa 1 d a-i 4d7d 0【详解】由题意可得：9 8S99a 1 9 8d227解得： a 1 51 ，则 S 8 8a 1 8 7d40 28 216.d 22【点睛】等差数列、等比数列的基本计算问题，是高考必考内容，解题过程中要注意应用函数方程思想，灵活应 用通项公式、求和公式等，构建方程(组)，如本题，从已知出发，构建a 1, d 的方程组.(2019江苏)20.定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M—数列”.(1)已知等比数列｛a n ｝满足：a ?a 4 a 5,a 3 4a ? 4印 0 ,求证：数列｛a n ｝为“M—数列”；u . 1 2 2(2)已知数列｛b n ｝满足：b 1 1,S b b ，其中S 为数列｛b n ｝的前n 项和.S n b n b n 1① 求数列｛b n ｝的通项公式；② 设m 为正整数，若存在 “M—数列” ｛｝ (n € N *)，对任意正整数k ，当k 呦 时，都有C k b k q 1成立，求m 的 最大值.【答案】(1)见解析； (2［① b n = n n N * :② 5. 【解析】 【分析】(1 )由题意分别求得数列的首项和公比即可证得题中的结论； (2)①由题意利用递推关系式讨论可得数列｛b n ｝是等差数列，据此即可确定其通项公式；②由①确定b k 的值，将原问题进行等价转化，构造函数，结合导函数研究函数的性质即可求得【详解】(1)设等比数列｛a n ｝的公比为q ,所以a 1^0, q 丰0.因此数列｛a n ｝为M —数列”1 22 (2) ①因S n—，所以b nb nbn11 2 2由b| 1,S 1th 得1 1 ，则 b 22.1由2 2 得 S nb n b n 1m 的最大值.a 2&4 a s由a 3 4a ： 4ci|。
全国高考理科数学试题分类汇编4：数列 Word版含答案.pdf
2 3
an
+
1 3
,则数列{
an
}的通
项公式是 an =______. 【答案】 an = (−2)n−1 .
21．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版））如图,互不-相同
的点 A1, A2 K , X n ,K 和 B1, B2 K , Bn ,K 分别在角O的两条边上,所有 An Bn 相互平行,且所有
所以数列的前 n
项和
sn
=
4n
或 sn
=
3n2 − 2
n
11．（2013 年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯 WORD 版含答案））等差数
列 an的前 n 项和为 Sn ,已知 S10 = 0, S15 = 25 ,则 nSn 的最小值为________.
【答案】 −49
12．（2013 年高考湖北卷（理））古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三
图像如图所示,在区间a,b 上可找到 n(n 2) 个不同的数 x1,x2...,xn , 使得
f (x1) = f (x2 ) = f (xn ) , 则 n 的取值范围是
x1
x2
xn
(A)3,4
(B)2,3,4 (C) 3,4,5
(D)2,3
【答案】B
5 ．（2013 年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯 WORD 版））已知等比数列
则
学海无涯
(1) a3 = _____; (2) S1 + S2 + + S100 = ___________.
【答案】 − 1 16
;
1 3
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高考数列真题篇(可编辑修改word版)
a 1a 3 * 1 n n n 高考数列真题篇（参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg2≈0.30）1. 【2014 高考北京理第 5 题】设{a n } 是公比为 q 的等比数列， 则“ q > 1 ” 是“ {a n } 为递增数列” 的 （ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件（ A ）2018 年 （B ）2019 年 （C ）2020 年 （D ）2021 年5【2015 高考福建，理 8】若 a , b 是函数 f (x ) = x 2- px + q ( p > 0, q > 0) 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 p + qA ．6B ．7C ．8D ．9的两个不同的零点，且 a , b , -2的值等于（）2. 【2015 高考北京，理 6】设{a n} 是等差数列. 下列结论中正确的是（）6. 【2016 高考浙江理数】设数列{a n }的前 n 项和为 S n .若 S 2=4，a n +1=2S n +1，n ∈N *，则 a 1=，S 5= .A ．若 a 1 + a 2 > 0 ，则 a 2 + a 3 > 0B ．若 a 1 + a 3 < 0 ，则 a 1 + a 2 < 07、【2016 高考新课标 1 卷】设等比数列{a n } 满足 a 1+a 3=10,a 2+a 4=5,则 a 1a 2 …a n 的最大值为．C ．若0 < a 1 < a 2 ，则a 2 > D ．若a 1 < 0 ，则(a 2 - a 1 )(a 2 - a 3 ) > 0 8、 【2015 江苏高考，11】数列{a } 满足 a = 1 ，且 a- a = n +1 （ n ∈ N ），则数列{ } 的前 10 项和为3. 【2016 高考浙江理数】如图，点列{A }，{B }分别在某锐角的两边上，且 A A= A A, A ≠ A, n ∈ N * ，n 1n +1 nnB B= B B, B ≠ Bnn, n ∈ N *，n n +1 n +1 n +2 nn +29、【2015 高考新课标 2，理 16】设 S n 是数列{a n } 的前 n 项和，且 a 1 = -1 ， a n +1 = S n S n +1 ，则 S n =．n n +1n +1 n +2nn +210、【2014，安徽理 12】数列{a n } 是等差数列，若 a 1 +1, a 3 + 3, a 5 + 5 构成公比为 q 的等比数列，则q =（P ≠ Q 表示点P 与Q 不重合）.若 d n = A n B n ，S n 为△A n B n B n +1的面积，则（ ）11、【2015 高考安徽，理 14】已知数列{a n } 是递增的等比数列， a 1 + a 4 = 9, a 2a 3 = 8 ，则数列{a n } 的前n 项和等于.11、【2016 高考新课标 2 理数】 S n 为等差数列{a n } 的前 n 项和，且 a 1 =1，S 7 = 28. 记b n =[lg a n ] ，其中[x ] 表示不超过 x 的最大整数，如[0.9]=0，[lg 99]=1 ．22A ．{S n } 是等差数列B ．{S } 是等差数列C ．{d } 是等差数列D ．{d } 是等差数列（Ⅰ）求b 1，b 11，b 101 ；（Ⅱ）求数列{b n } 的前 1 000 项和．4. 【2016 年高考四川理数】某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司 2015 年全年投入研发资金 130 万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长 12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过 200万元的年份是( )an n n n +1 3 n n n14、【 2014 湖南 20】已知数列{a } 满足a = 1, a - a = p n, n ∈ N * . n1n +1n12、【2014 高考广东卷.理.19】 (本小题满分 14 分)设数列{a } 的前 n 项和为 S ，满足S = 2na - 3n 2- 4n ， (1) 若{a n } 为递增数列,且 a 1 , 2a 2 , 3a 3 成等差数列,求 P 的值;(2) 若p = 1,且{a } 是递增数列,{a } 是递减数列,求数列{a } 的通项公式.n ∈ N *，且 S = 15 .(1) 求 a 1 . a 2 . a 3 的值；(2) 求数列{a n } 的通项公式.22n -12nn13、【2016 高考ft 东理数】已知数列{a n }（Ⅰ）求数列{b n } 的通项公式；的前 n 项和 S n =3n 2+8n ，{b n } 是等差数列，且 a n = b n + b n +1.15、【2015 高考ft 东，理 18】设数列{a } 的前 n 项和为 S .已知2S = 3n+ 3 .（I ）求{a n } 的通项公式；(a +1)n +1（Ⅱ）令c = n. 求数列{c } 的前 n 项和 T n . n(b + 2)nn （II ）若数列{b } 满足 a b = log a ，求{b } 的前 n 项和T .nnn n3 nnn16、【2016 高考天津理数】已知{a n } 是各项均为正数的等差数列，公差为 d ，对任意的 n ∈ N *, b n 是 a n 和 a n +1的等差中项.2n n2(Ⅰ)设 c = b 2 - b 2 , n ∈ N * ，求证：{c } 是等差数列；（II ）若 S =31，求．nn +1nn532(Ⅱ)设 a = d ,T = ∑(-1)nb 2 , n ∈ N * ，求证： ∑ 1 < 1 . 1 n nk =1 2k =1 T k2d19、【2014 新课标，理 17】已知数列{a n } 满足 a 1 =1， a n +1 = 3a n +1 . （Ⅰ）证明{a n + 1}是等比数列，并求{a n } 的通项公式；（Ⅱ）证明： 1 + 1 +… + 1 < 3 .a 1 a 2a n217、【2014 ft 东.理 19】已知等差数列{a n } 的公差为 2，前n 项和为 S n ，且 S 1 , S 2 , S 4 成等比数列. （Ⅰ）求数列{a n } 的通项公式；（Ⅱ）令b = (-1)n -14n ，求数列{b } 的前n 项和T .a n a n +120、【2015 高考四川，理 16】设数列{a n } 的前 n 项和 S n = 2a n - a 1 ，且 a 1, a 2 +1, a 3 成等差数列.（1）求数列{a n } 的通项公式；1T1（2）记数列{a n } 的前 n 项和 n ，求得| T n -1|< 1000 成立的 n 的最小值.18、【2016 高考新课标 3 理数】已知数列{a n } 的前 n 项和 S n = 1+ a n ，其中≠ 0 ．（I ）证明{a n } 是等比数列，并求其通项公式；nnnn a a n = x x x a 2 2 23、【2015 高考安徽，理 18】设 n ∈ N * ， x 是曲线 y = x2n +2+1 在点(1，2) 处的切线与 x 轴交点的横坐标.21、【2015 高考新课标 1，理 17】 S 为数列{ a }的前 n 项和.已知 a ＞0，a 2 + a = 4S + 3 . nn（Ⅰ）求{ a n }的通项公式；nnnn（Ⅰ）求数列{x n } 的通项公式；（Ⅱ）设b =1n n +1,求数列{ b n }的前 n 项和. （Ⅱ）记T n2 221 3 2n -1 ，证明T n≥ 1 . 4n22、【2014 课标Ⅰ，理 17】 24、已知数列{ a n }的首项为 1， S n 为数列{a n } 的前 n 项和， S n +1 = qS n +1 ，其中 q>0， n ∈ N *.已知数列{a n } 的前 n 项和为 S n ， a 1 = 1 ， a n ≠ 0 ， a n a n +1 = S n -1，其中为常数，（Ⅰ）若2a 2 , a 3 , a 2 + 2 成等差数列，求{a n } 的通项公式；（I ） 证明： a n +2 - a n =；（II ） 是否存在，使得{a n } 为等差数列？并说明理由.（Ⅱ）设双曲线 x 2y = 1 n的离心率为e n ，且e = 5 2 3 ，证明： e 1 + e 2 + ⋅⋅⋅ + e n > 4n - 3n 3n -1 .25、【2015 高考天津，理 18】（本小题满分 13 分）已知数列{a n } 满足a n +2 = qa n (q 为实数，且q ≠ 1)，n ∈ N *, a 1 = 1, a 2 = 2 ，且a 2 +a 3 , a 3 +a 4 , a 4 +a 5 成等差数列. (I)求 q 的值和{a n } 的通项公式；-- 1 n -1n n n n +1 n n6(II)设b =log 2 a 2n, n ∈ N * ，求数列{b } 的前n 项和.a 2n -127、【天津市南开中学 2015 届高三第三次月考（理）试题】已知数列{a n } 的前 n 项和 S n = -a n ( ) + 2（ 2n ∈ N *）,数列{b }满足 b = 2n a .nnn（Ⅰ）求证:数列{b n } 是等差数列，并求数列{a n } 的通项公式；(Ⅱ）设数列{n + 1 a } 的前 n 项和为T ，证明： n ∈ N *且 n ≥ 3 时， T > 5n ；n n n n2n +126、已知等差数列{ a n }的公差 d ≠ 0 ，它的前 n 项和为 S n ，若 S 5 = 70 ，且 a 2 , a 7 , a 22 成等比数列，（Ⅰ）求数列{ a n }的通项公式；（Ⅲ）设数列{c } 满足 a (c - 3n) = (-1)n -1⋅ n ，（为非零常数， n ∈ N *），问是否存在整数，使得对任意 n ∈ N *，都有c > c ？11 3（Ⅱ）若数列{}的前 n 项和为T ，求证： ≤ T < ．nnnnS 8。