二次根式学案人教版

《二次根式》学案

本章内容“二次根式”是《课程标准》“数与代数”的重要内容。是继八上第章之后的内 容加深。本节是本章的起始内容，主要解决下列问题：

一、 二次根式的概念

此内容为本节的重点，为此设置了【拓展应用】中的例，【当堂检测】中的第题，【课时 作业】中的第，，题。

二、 二次根式的被开方数中的字母的取值范围

此内容为本节的难点，也是易混淆点。为此设置了【拓展应用】中的例及变式题，

检测】中的第，，题，【课时作业】中的第，，，，，，，，题及【选做题】。

三、 数学思想方法

主要体现建模思想，如【课时作业】中的第，题以及转化思想如【拓展应用】中的例及变 式题

【当堂检测】中的第，题，【课时作业】中的第，，，题等。 知识点击

点击一：二次根式的定义

针对练习：在式子厂7小 ],a 2

1八0「7「匚2中，一定是二次根式的有(

答案: 点击二：确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围

针对练习：

【例2】x 足怎样的数时，卜列各式石盘义￥

CO ⑵-7=/ ⑶2巴

理雉点击 U )要僅、申有恿义播据二武报式前定兗.心尹i 要使小』1事乩显然 岸取任意数均有意

义；(2)中的式子必须符合二次粮式的意￥和分式期意义，从而 uj^j x-] > 0.解得I ； (3) 1'的式子必殖同时符合二余根戎的慮丈、分式的

虐义、零指数幕的盘义，从而应有"】須*-G 0和"2H6

| ⑴无论*取何数均有2岁山即土取任何數H + 1均大于零朧枉何 数.式子0刁部有克义，

⑵依题船得"]> 0, /.X > I 点当耳a ]时，式了 丄=有意义. 嵌-1

* + 1^0 x-]^0+M 得丈鼻一1且耳*t 小戏￡

{

【当堂

、个

、个 、个 、个

x -2^0

即当Q - 1 R泞1"护2时，式了歼[“工_打0有意文

.八 e ?上當F 1

菽律总结求代飯式中来知数的取值范围住考處:①二次根或的被开方數丸于甄等于山②事母平等于0;③窣捋数罩、负養數指数睪的庭數不等于零.

点击三：二次根式的性质

针对练习：计算：

().25 ； () ,(-1.5)2；

()：(a—3)2(<3)；() ,2x—3)2(<|)

答案：解：()..25 = . 52=

().(-1.5)=-=

()? a ：：- 3，…a - 3 叮0?

「?』(a-3)2 = — = —( — )=—( <)

八3

()T x ,??? 2x :: 3,2x -3 ：： 0.

2

----------- 3

?_(2X-3)2 = — = —( — )=—(<3 )

典例引路

类型之一：二次根式的定义

例在式子34, x y , . a -1 r - 2x x ：：：0 , ■ x -2x 1 , x, 4 中，是二次根式的有( )

.个.个.个.个

【解析】由于即4的根指数是，x中不含根号，故它们不是二次根式.

a -1的根指数是，但a -1的取值范围未确定，

???当a -1时，2-1是二次根式；当a 1时，.a-1就不是二次根式.

其余几个式子的根指数为，且被开方数均不为负数，所以它们都是二次根式，故本题选c.

【解答】选c

类型之二：确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围

例当x取什么实数时，下列各式有意义？

⑵；2x 一1 2；⑶、x 一1、2 — x ；⑷ x-1 2-x ;

42X 1

x「5

【解答】⑴由-x _0，得X <0 .

???当x乞0时，原式在实数范围内有意义.

2

⑵??? X取任意实数时，（2x —1 ）^0都成立，

???当X取任意实数时，原式在实数范围内都有意义.

⑶由x—1 _0且2—x_0得1乞x乞2,

???当1乞x乞2时，原式在实数范围内有意义.

x —1 X0,亠x —1 兰0, ‘小

⑷由」或」得1兰x兰2 .

2-XK0; 2-xE0,

???当1乞x空2时，原式在实数范围内有意义.

1

⑸由2x-1 _0且x -5 = 0得x _-且x = 5,

2

1

??当X 且x = 5时，原式在实数范围内有意义. 2

⑹由1 一3 —X =0，得x= -1.

???当x「T时，原式在实数范围内有意义.

类型之三：二次根式的性质

例已知』2a_4 +|3+b +c2+4c = —4，求（￡）c的值.

【解答】解：原等式可变形为J2a —4 +|3 + b +（c+2f =0.

??? .2a-4 一0,3 b —0,c 22一0,

2a - 4 = 0, a = 2,

.?」3 + b = 0,解之，得」b = —3,

c + 2 = 0 . c = _2

J

???当 a = 2,b = _3,c = -2

时, 【点评】二次根式 ,a a _ 0 ,其实质是一个非负数的算术平方根

.a _0 ,a _0，这个性质的应用很广泛.

类型之四：综合应用

例.已知实数a 满足2008-a +Ja-2009 = a ，求a —20082的值.

【解析】充分利用了已知等式中二次根式的被开方数必为非负数这个“隐含”条件，从而 将绝对值符号化简，使运算简便.

【解答】解：由题意得a - 2009 _ 0 ,从而a _ 2009 ?于是原等式可化为

a -2008 . a - 2009 二 a ，得.a - 2009 = 2008.

? a -2009 =20082

? a -20082 =2009 .

基础练习

.在实数范围内分解因式：

⑴ 6x 3 _3x ⑵ x 2 -2、3x 3

【解析】解：⑴ 6x 3 —3x=3x (2x 2 —1)=3x 『"xf —12] = 3x(/2x + lM2x —1)

⑵ x 2 -2+3 = x 2 -2jdx + (⑹=(x - V3 2

?已知a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示

________ i 」 II,

b a 0

c 化简：Ua 2 - a + b + \；(c -a 2 +￡(b + c 2 .

【解析】由数形结合的思想，先根据数轴上点的位置确定

a 、a

b 、c-a 、b

c 的正

负性，再根据性质；a 2 =a 化简.由a 、b 、c 在数轴上的位置可知 b a 0 < c , b a c .

? a ：： 0,a b ：： 0, c 一 a 0,b c ：： 0

* C * 2 ⑴

f 2 r —I =

----- I l b .丿1一3丿

，它具有双重非负性，即

???原式=一 a 亠［a b ］亠［c _a ］

［ b e =一 a a b c_a_b_c__a

【解析】 先要将两个二次根式中的被开方数化简再配方， 然后根据,a^ a 进行计算,

1

1 a — — a +— a a 1

1 当一1 a 0 时，a 0, a 0 . a

a y — 2

【解析】要化简 一关键是确定 y 的取值范围，从而去掉绝对值符号。由题设条件

y —2 y ：：：、、2x-1 ? J -2x - 2可得，2x-1 _0，且 1-2x —0，从而有 2x-1 = 0，进而可以确 定y 的取值范围解决问题。

【解答】??? y ：：： ■■、2x-1 ■ 1 -2x ■ 2 ,

2x-1_0,

…1-2x_0.

1

故 2x T =0 , ? x =-, 2

v — 2 2 — y

代入原不等式得yv2, ? — = = —1.

y —2 y —2

+ 2+1—4—盲一 2+^+4

a a

.若x,y 是实数，且 y ：：、、2x -1 - 2x 2 ,

化简 .已知-1 ：：：

原式 最后再去掉绝对值的符号?解: ?原式 1 a a

【规律总结】：两个二次根式的被开方数互为相反数，则其被开方数等于

.例、下列各式中，哪些是二次根式，哪些不是二次根式？

⑴⑵厂3;⑶7( V12;(5｝也 -------- O V6-x(x^6);

(7) 4-2x( JC > 0); (8) - 2m + 1: (9)寸r' - 臣

【解析】

衆錐直密要判断一个式子是不绘二次抿式*一是看根指敦是不是尊于占二是看彼开方数是不是非叭数■貝有符合这两个条件才是二蹴捉式

I '/ W# VC-5)J-质* 、电.陌rGwG),

Vm:- 2m + 1二7 F中的根指数为2丫11被汗方数大~P或等于0?

芥它幻都是二衣桓式一

/ \12的根描数不堆2,厂丐「寸=区(工》0), 的械开方数小于0.

.?.它们不是二次根式.

I律总境判斷一卜代教式是否为二次根丸，应権拣二次椎丸的定丸+

.函数y = —X 1的自变量x的取值范围是?

x —2

【解析】本题求函数自变量的取值范围，应考虑被开方数必须是非负数，分母不能为

即：x_1 且x = 2.

?若、-a?3rb-22=0，求a b的值?

【解析】由题意可知J a+3 =0,(b-2$ =0，

所以a 3 =0,b -2 =0 ,

则a ?3,b = 2.

所以a b=(—3丫=9.

?计算下列各式：()(苗3 L()(—后 $；()J62；()J(-100)2.

【解析】解：() "3 2 =13 ；()：〔仝3.5 2 二?、3.5 2 =3.5 ；

()届=| 6=6 ；() 7(^001 = 1-100日00.

?已知x -2，则化简?_ x2 -4x 4的结果是()

x -2 -x -2 2 —x

【解析】x2—4X - 4 =J(X 一2)2=|X 一2| , 因为x ：：：2 , x -2 ：：： 0 , 所以

x2-4x 4 =2 -x。故选

.在实数范围内分解因式：

()x4—9;()+-

【解答】()x4—9=[x2 3 x2—3i；=[x2 3 x2一,3 $

=x2 3 xx -、.3

()—= + —=( + )—=( + ) — ( 2 ) = ( + + 2 )( — 2 )

【评注】只要把题中的式子化成公式的形式就能因式分解

.在△中，、、是二角形的二边，化简(a - b c) ----------

【答案】???、、是△的三边

—F >

---- <

-- P——————

= — + + 2c—2a—= 3c ----

备选题冃_

.已知：J x2+8x +16 + J x2-12x +36 =10，化简：J(2x+ 8, + 2x — 12

思路分析要化简，应该先求出女的取值范围，然后根据绝对值的定义进行化简? 而两个根号下的戲片方数都是完全平方数，要根据二次根式的性质「化成绝对值的和的形式后，才能求岀工的范圈.

解由题意得：7(^ + 4? + =

| J + 4 I + I s - 6 I =10 ①

要使①式成立,则丨x +4 | = x +4, 1 I -6 | =6 7*

贝lj-4^xC6. +8^0t2xrjl2^0.

畀v'(2i + 8P+ I 2^-12 I

二I 2i +8 | + | 2i-12 I

=2x卡4J + 12 -2x

= 20.

课时作业: