解题技巧专题：解二元一次方程组
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解题技巧专题：解二元一次方程组
——学会选择最优的解法
◆
类型一解未知数系数含有1或－1的方程组
1.已知a，b满足方程组
a－b＝2，
a＋b＝6，
则3a＋b的值为（）
A.14B.4C.－4D.－14
2.以方程组
y＝－x＋2①，
y＝x－1②
的解为坐标的点（x，y）在平面直角坐标系中的位置在（）
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
3.若3x
m＋2ny与－13ym－n
x
4
是同类项，则m＝，n＝Ｗ.
4.解方程组：
（1）
x－y＝0①，
2x＋y＝6②；
（2）（2017·桂林中考）
2x＋y＝3①，
5x＋y＝9②.
◆
类型二解同一未知数系数互为倍数关系的方程组
5.二元一次方程组
2x＋3y＝7，
2x－3y＝1
的解为（）
A.x＝4，y＝3B.x＝2，y＝1C.x＝－4，y＝3D.
x＝2，
y＝－1
6.解方程组：
（1）5x＋2y＝25①，3x＋4y＝15②；（2）
8x＋9y＝73①，
17x－3y＝74②.
◆
类型三解两个方程中未知数系数成对称关系的方程组
7.若x，y满足方程组
x＋3y＝7，
3x＋y＝5，
则x－y的值等于（）
A.－1B.1C.2D.3
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8.方程组
2x＋3y＝3，
3x＋2y＝11
的解为Ｗ.
9.已知方程组
3x＋y＝1＋3a①，
x＋3y＝1－a②
的解满足x＋y＝0，求a的值.
◆
类型四含字母系数的方程组的运用
10.（2017·余干县校级期末）已知x，y满足方程组
x＋m＝4，
y－5＝m，
则无论m取何值，x，y
恒有关系式是（）
A.x＋y＝1B.x＋y＝－1
C.x＋y＝9D.x＋y＝－9
11.（2017·枣庄中考）已知
x＝2，y＝－3是方程组ax＋by＝2，
bx＋ay＝3
的解，则a2－b2＝Ｗ.
12.已知方程组
2x＋y＝－2，ax＋by＝－4和方程组3x－y＝12，
bx＋ay＝－8
的解相同，求（5a＋b）2的值.
参考答案与解析
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1．A2.A3.21
4．解：(1)①＋②，得3x＝6，解得x＝2.把x＝2代入①得y＝2，∴原方程组的解为
x＝2，
y＝2.
(2)②－①，得3x＝6，解得x＝2，把x＝2代入①得y＝－1，∴原方程组的解为
x＝2，
y＝－1.
5．B
6．解：(1)①×2－②，得10x－3x＝50－15，解得x＝5.把x＝5代入②得y＝0.∴原方
程组的解为
x＝5，
y＝0.
(2)①＋②×3，得8x＋51x＝73＋74×3，解得x＝5.把x＝5代入②得17×5－3y＝74，
解得y＝113，∴原方程组的解为
x＝5，
y＝
11
3
.
7．A8.
x＝
27
5
，
y＝－
13
5
9．解：①＋②，得4x＋4y＝2＋2a，∴x＋y＝1＋a2.∵x＋y＝0，∴
1＋a
2
＝0，解得a＝－
1.
10．C11.1
12．解：解方程组
2x＋y＝－2，
3x－y＝12，
得x＝2，y＝－6.将x＝2，y＝－6代入ax＋by＝－4，bx＋ay＝－8，得
2a－6b＝－4，
2b－6a＝－8.
解得a＝74，b＝54，∴(5a＋b)2＝102＝100.
第二节 二元一次方程组的解法(含答案)...七年级数学 学而思
第二节二元一次方程组的解法1．二元一次方程组的解法基本思路是消元，即通过运用代入法或加减法把二元一次方程组转化为一元一次方程，从而求出方程组的解． (1)代入消元法：通过等量代换，消去方程组中的一个未知数，使二元一次方程组转化为一元一次方程，从而求得一个未知数的值，然后再求出被消去未知数的值，从而确定原方程组的解的方法．代入消元法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数例如y，用含另一个未知数如x的代数式表示出来；②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值；④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值；⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解．(2)加减消元法：加减法是消元法的一种，也是解二元一次方程组的基本方法之一．加减法不仅在解二元一次方程组中适用，也是今后解其它方程（组）经常用到的方法．加减消元法解二元一次方程组的一般步骤：①变换系数：方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数；②加减消元：把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；③解这个一元一次方程，求得未知数的值；④回代：将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值；⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，需要把求得的x，y的值用“{”联立起来．2．特殊方程组的解法对于具有某些特点的二元一次方程组，如果仍按常规方法不仅运算量大，而且容易出错，则可根据题目的特点，利用整体思想来采用特殊方法简化方程组，接着再采用代入或加减消元法解出相应x，y的值即可．(1)系数轮换法：适用方程组类型：如果把方程组中的每一个未知数依次轮换后，虽然每个方程都变了，但是整个方程组仍不变，步骤：解题时，把各方程相加，即可得到x+ y=常数的形式，把各方程相减，即可得到x- y=常数的形式，这两个新的方程组成的方程组就是原方程组化简后的结果，便可以采用加减或代入消元法求得未知数的值．(2)换元法：适用方程组类型：方程组项数较多、系数较为复杂，而且会有相同的部分或者是互为相反数的部分多次出现；步骤：解题时，把方程中相同的部分或者是互为相反数的部分看成是一个整体，用另一个字母来替换，从而简化原先项数多、系数复杂的方程组，再采用常规的加减或者代入消元法来求得未知数的值．(3)倒数法：适合方程组类型：方程中出现分母是和的形式，分子是积的形式⋅+yx xy步骤：解题时，采用倒数法变换成分子是和、分母是积的形式,xyyx +然后进行拆分，利用加减或者代入或者换元法来解出x ，y 的值．1．代入消元方法的选择①运用代入法时，将一个方程变形后，必须代入另一个 方程，否则就会 得出“0=0”的形式，求不出未知数的值；②当方程组中有一个方程的一个未知数的系数是1或一1时，用代入法较简便． 2．加减消元方法的选择①一般选择系数绝对值最小的未知数消元；②当某一未知数的系数互为相反数时，用加法消元；当某一未知数的系数相 等时，用减法消元；③某一未知数系数成倍数关系时，直接使其系数互为相反数或相等，再用 加减消元求解；④当相同的未知数的系数都不相同时，找出某一个未知数的系数的最小公倍数，同时对两个方程进行变形，转化为系数的绝对值相同的方程，再用加减消元求解，例1．如果关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧-=-=+223a y x y x 的解是负数，则a 的取值范围是( )54.<<-a A 5.>a B 4.-<a C D ．无解检测1．（浙江绍兴期末）已知关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧-=-=-,52253a y x ay x 若x ，y 的值互为相反数，则a 的值为( )5.-A 5.B 20.-C 20.D例2．（四川南江县期末）已知,0)112(|32|2=+++--y x y x 则（ ）⎩⎨⎧==12.y x A ⎩⎨⎧-==30.y x B ⎩⎨⎧-=-=51.y x C ⎩⎨⎧-=-=72.y x D检测2．（山东滨州期末）已知,0|72|)12(2=-++--y x y x 则=-y x 3（ ）3.A 1.B 6.-C 8.D例3．（湖北黄冈期末）若y x h y xb a ba -+--332243是同类项，则b a -的值是（ ）0.A 1.B 2.C 3.D检测3．若y x nm +243与n m y x -5是同类项，则m ．n 的值分别是( ) 3,2.A 1,2.B 0,2.C 2,1.D例4．（湖南衡阳县一模）解方程组：⎩⎨⎧=+=+,604320122016604120162012y x y x 则yx yx -+值是3.A 3.-B 6.C 6.-D检测4．(1)（江苏海门市期末）如果实数x ，y 满足方程组⎩⎨⎧=+=+,4222y x y x 那么=+y x(2)（安徽泗县校级模拟）关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎨⎧-=+-=+22132y x k y x 的解满足y x +,1=则k=例5．（河北古冶区一模）已知a ，b 满足方程组⎩⎨⎧=-=+,283b a b a 则=+b a2.A3.B4.C5.D检测5．(1)（河北模拟）已知e 、f 满足方程组⎩⎨⎧=-=--,6223e f f e 则f e +2的值为（ ）2.A 4.B 6.C 8.D(2)（广东广州中考）已知a ．b 满足方程组⎩⎨⎧=-=+,43125b a b a 则b a +的值为第二节 二元一次方程组的解法（建议用时：35分钟）实战演练1．用加减法解方程组⎩⎨⎧-=-=+15y x y x 中，消x 用 法，消y 用 法( )A.加，加 B ．加，减 C ．减，加 D ．减，减2．若用代入法解方程组⎩⎨⎧+==,12332y x yx 以下各式代入正确的是( )1)32(23.+=x x A 1)32(23.+=y x B1)23(23.+=x x C 1623.+⋅=x x x D3．若,0|52||12|=--+--y x y x 则x+y 的值为( )4.A5.B6.C7.D4．已知：|32|++y x 与2)2(y x +互为相反数，则=-y x （ ）7.A 5.B 3.C 1.D5．（山东临清市期末）已知方程组⎩⎨⎧=+=-my x y x 24中x ，y 相加为0，则m 的值为（ ）2.A 2.-B 0.C 4.D6．（河北石家庄校级模拟）若方程组⎩⎨⎧=++=+my x m y x 32253的解x 与y 互为相反数，则m 的值为（ ）2.-A 0.B 2.C 4.D7．若方程组⎩⎨⎧=+=+16156653y x y x &的解也是方程103=+ky x 的解，则（ ）6.=k A 10.=k B 9.=k C 101.=k D 8．若3243y x b a +与ba y x -634的和是单项式，则=+b a （ ） 3.-A 0.B 3.C 6.D9．按如图8 -2—1所示的运算程序，能使输出结果为3的x ，y 的值是( )128--2,5.-==y x A ⋅-==3,3.y x B 2,.4.=-=y x C 9,3.-=-=y x D10.（山东临沂中考）已知x ，y 满足方程组⎩⎨⎧=+=+,4252y x y x 则y x -的值为（ ）⎩⎨⎧==12.11y x 是方程组⎩⎨⎧=-=+04by ax by ax 的解，那么=+-))((b a b a 12.已知方程组⎩⎨⎧-=+=-123225m y x my x 的解x ，y 互为相反数，则m=13.（江苏常州期末）若关于x ，y ，的二元一次方程组⎩⎨⎧=+-=+22132y x a y x 的解满足x+ y=l ，则a 的值为14.三个同学对问题“若方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a 的解是⎩⎨⎧==,43y x 求方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+222111523523c y b x a c y b x a 的解．”提出各自的想法．甲说：“这个题目好像条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元替换的方法来解决”，参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是 ．15.（“信利杯”竞赛题）已知：a ，b ，c 三个数满足,31=+b a ab ,41=+c b bc ,51=+a c ca 则ca bc ab abc++的值为 16.（重庆校级自主招生）解方程组：⎩⎨⎧=+=+200320042005200620052004y x y x17.解方程组：⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-+-421621y x y x18．已知方程组⎩⎨⎧+=---=+ay x ay x 317的解中，x 为非正数，y 为负数．(1)求a 的取值范围； (2)化简.|2||3|++-a a19.（江苏张家港市期末）已知关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧+=+=+12242m y x my x （实数m 是常数）．(1)若x+y=1，求实数m 的值；(2)若,51≤-≤-y x 求m 的取值范围； (3)在(2)的条件下，化简：.|32||2|-++m m20.（黑龙江讷河市校级期末）已知二元一次方程组⎩⎨⎧+=-+=+1593a y x a y x 的解x ，y 均是正数．(1)求a 的取值范围； (2)化简.|4||54|--+a a拓展创新21．解方程组：⎩⎨⎧==+44y -3x 23y x 2拓展1．解方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+443232y x y x 拓展2．解方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+41432132x y xy x y xy极限挑战22.（全国初中数学竞赛）若,0634=--z y x ),0(072=/=-+xyz z y x 则式子222222103225z y x z y x ---+的值等于( )21.-A219.-B 15.-C 13.-D课堂答案培优答案。
二元一次方程求解技巧
二元一次方程求解技巧解二元一次方程是初中数学中的一个重要知识点，掌握解题技巧能够帮助学生更好地理解和应用这个概念。
下面是一些常用的二元一次方程求解技巧。
一、准备工作在解二元一次方程之前，需要先了解一些基本概念和方法。
1. 二元一次方程：形如ax + by = c的方程，其中a、b、c是已知常数，x、y是未知数。
2. 消元法：通过变换等式，使方程中的某一变量的系数为0，消去这个变量。
3. 代入法：通过将一个方程的一个变量的值代入到另一个方程，找出一个变量的值，然后代入到其中一个方程中，求另一个变量的值。
4. 相减法：将两个方程相减，消掉一个变量的平方项，得到只含有一个变量的一次方程。
5. 相加法：将两个方程相加，消掉一个变量的平方项，得到只含有一个变量的一次方程。
二、常用的二元一次方程求解技巧1. 消元法通过改变方程的形式，使其中一个变量的系数为0，消去这个变量。
例如，对于方程组：2x + 3y = 73x - 2y = 8为了消去变量x，将第一个方程乘以3，第二个方程乘以2，得到：6x + 9y = 216x - 4y = 16两个方程相减，消去变量x：(6x + 9y) - (6x - 4y) = 21 - 1613y = 5解得y = 5/13。
将y的值代入第一个方程，求出x的值：2x + 3 * (5/13) = 72x + 15/13 = 72x = 7 - 15/13解得x = (7 - 15/13) * 13/2= (91 - 15) / 13= 76/13。
2. 代入法将一个方程的一个变量的值代入到另一个方程，找出一个变量的值，然后代入到其中一个方程中，求另一个变量的值。
例如，对于方程组：2x + 3y = 73x - 2y = 8将第一个方程中的x代入到第二个方程中，得到：3 * (7 - 3y)/2 - 2y = 821 - 9y - 4y = 16-13y = -5解得y = -5 / -13 = 5/13。
用配方法解二元一次方程组
用配方法解二元一次方程组二元一次方程组是初中数学中的重要内容，它是由两个含有两个未知数的线性方程组成。
解二元一次方程组的方法有很多，其中一种常用的方法是配方法。
本文将详细介绍如何使用配方法解二元一次方程组，并通过实例进行说明。
一、什么是配方法配方法是指通过对方程组进行合理的变形，使得两个方程中的某一项系数相等，从而消去这一项，进而简化方程组的解法。
配方法的核心思想是通过消元来减少未知数的个数，从而得到方程组的解。
二、配方法的具体步骤下面以一个实例来说明配方法的具体步骤。
例题：解方程组{2x + 3y = 7{3x - 2y = 4步骤一：观察两个方程中的系数，选择一个合适的系数进行变形。
在这个例子中，我们可以选择系数2和系数3进行变形。
步骤二：将第一个方程的系数2乘以第二个方程的系数3，将第二个方程的系数3乘以第一个方程的系数2，使得两个方程中的某一项系数相等。
2 * (3x - 2y) =3 * (2x + 3y)6x - 4y = 6x + 9y步骤三：将上一步得到的等式进行化简，消去相同的项。
-4y - 9y = 0-13y = 0y = 0步骤四：将得到的y的值代入其中一个方程，求解x的值。
2x + 3 * 0 = 72x = 7x = 7/2所以，方程组的解为x = 7/2，y = 0。
三、配方法的优点和适用范围配方法的优点是简单易懂，适用于一般的二元一次方程组。
通过配方法，我们可以将方程组化简为只含有一个未知数的方程，从而更容易求解。
然而，配方法并不适用于所有的二元一次方程组。
当方程组中的系数较为复杂，或者方程组不易通过变形使得某一项系数相等时，配方法可能不是最佳的解题方法。
在这种情况下，我们可以选择其他的解题方法，如代入法、消元法等。
四、总结配方法是解二元一次方程组的一种有效方法，通过合理的变形和消元，可以简化方程组的解法。
配方法的核心思想是通过消元来减少未知数的个数，从而得到方程组的解。
二元一次方程的解题方法(如何解二元一次方程组)
二元一次方程的解题方法(如何解二元一次方程组)二元一次方程的解题方法一：代入消元法用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤(1)在方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程变形，用含一个未知数的代数式表示另一个未知数;(2)将这个关系式代入另一个方程，消去一个未知数,得到一个一元一次方程;(3)解这个一元一-次方程，求得一个未知数的值;(4)将这个求得的未知数的值再代入关系式，求出另一个未知数的值;(5)写出方程组的解.二：加减消元法用加减法解二元一一次方程组的一般步骤(1)确定消元对象，并把它的系数化成相等或互为相反数的数;(2)把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数,得到一个一元一次方程;(3)解这个一元一次方程，求得一个未知数的值;(4)将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程,求出另一个未知数的值;(5)写出方程组的解.如何解二元一次方程组常用的方法是加减消元法，即利用等式的性质使方程组中两个方程中的某一个未知数前的系数的绝对值相等，然后把两个方程相加或相减，以消去这个未知数，使方程只含有一个未知数而得以求解。
二元一次方程的定义是什么二元一次方程的定义为：如果一个方程含有两个未知数，并且所含未知项都为1次方，那么这个整式方程就叫做二元一次方程，有无穷个解,若加条件限定有有限个解。
二元一次方程组，则一般有一个解，有时没有解,有时有无数个解。
如一次函数中的平行。
二元一次方程的一般形式：ax+by+c=0其中a、b不为零。
这就是二元一次方程的定义。
二元一次方程求根公式：ax^2+bx+c=0。
含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。
所有二元一次方程都可化为ax+by+c=0(a、b≠0)的一般式与ax+by=c(a、b≠0)的标准式，否则不为二元一次方程。
二元一次方程求根公式二元一次方程没有求根公式。
一元二次方程有求根公式：设ax?+bx+c=0(a≠0)，判别式△=b?﹣4acx1,2=(﹣b±√△)/(2a)△0时，不相等的两个实根;△=0时，相等的两个实根;△0时，一对共轭复根。
二元一次方程解题技巧及练习演示教学
二元一次方程解题技巧及练习基本思路：二元一次方程 化简消元/转化一元一次方程 基本方法：代入消元或者加减消元法 适用情况： 1. 代入当有一个未知数系数为1或者一1; 2. 加减当同一个字母的未知数的系数相同或者相反时； 当同一个字母的未知数的系数互为倍数时； 3. 代入加减一起使用两个相同的未知数系数之和分别相等时； 其中一个未知数系数相差1时；4. 整体代入，即两个方程中有相同整式时； 练习1: jy =x-3「5x+2y = 7 -2x-y = 1 1 2x+3y =11-7x+2y = -1 -x+y = 5 x-y = 3—j「4x+8y = 12 -6x+4y = 10 L 3x-8y = 14 -3x+2y = 5-4x+6y = 20-4x+7y = 222 「2x+3y = 1-5x+6y = 217r L 3x+5y = 12.9练习2:一.解答题（共16小题）1 .求适合的x , y 的值.ZLJ2.解下列方程组x y_4(3)烏汽3 & -4)二Q (y+2J(2)1 3x-F2y=12[2x+y=33K - 2 (2y+l) =44y=2它(占-t) - 2 (s+t) =10飞 fs-t) +2 (s+t) =2S覽二 g T=-6.已知关于x , y 的二元一次方程 y=kx+b 的解有、 和■/:曲*2(1) 求 k , b 的值. (2) 当x=2时，y 的值. (3) 当x 为何值时，y=3 ?9. 解方程组:10. 解下列方程组:11. 解方程组:3.解方程组:5.解方程组:1 - 2y=3(1) 1-X-JL ；辽 2_10(2)&解方程组:I K - y=4°)'I-：- r -4.解方程组:7.解方程组:3 (旳)+2 C K - 3y) =1.5(1) 甲把a 看成了什么，乙把 b 看成了什么? (2) 求出原方程组的正确解.s - 2 5 - y 2 - 3 二 .CL2 0.3 15.解下列方程组:b ,而得解为妒5乙看错了方程组中的(1)―土 二3 4~斗2 辽3(2)s+y—-+ ---- =6 2 34 Cs+y) -5 (盂 _ y) =212.解二元一次方程组:(1)9x^2y=20； 3x+4y=10(2)p (K-1；-4〔厂4) =0 5 (厂 1) =3 (*+5)£13.在解方程组—一 by= - 4时，由于粗心，甲看错了方程组中的I 二■ 3a ,而得解为■/I 尸-114.(1)卅产50080 驭十 60 加=50D Xr2x4-3^15(2) ' K +1 y+q16.解下列方程组:(1)r2s+y=4 x+2y=5(2) fx+y=l(2皿忧芻尸25% X 2参考答案与试题解析一.解答题（共16小题）1 •求适合….的x , y 的值.2 3去未知数x ，求出y 的值，继而求出x 的值.本题考查了二元一次方程组的解法，主要运用了加减消元法和代入法.2.解下列方程组(2)(3) s （耳-s 二q 〔戒）考点：解二元一次方程组. 分析：先把两方程变形（去分母），得到一组新的方程3K - 2y^26x+y=3，然后在用加减消元法消解答:解：由题意得:3x - 2/ ~2~6x4y_.3匸3x — 2y=26x+y=3 (4),=1 (1)由（1）疋得： 由（2） X 3得：（3） X 得：6x — 4y=4 （5）,,把y 的值代入（3）得：x=15(5) — ( 4)得：y=-(3),点评:考点：解二元一次方程组.分析：(1) (2)用代入消元法或加减消元法均可；(3)( 4)应先去分母、去括号化简方程组，再进解答：解：(1)①-②得，-x= - 2,解得x=2,把x=2代入①得，2+y=1 , 解得y= - 1.(2)①X3-②X2 得，-13y= - 39, 解得，y=3,把y=3代入①得，2x - 3 X3= - 5, 解得x=2.故原方程组的解为* .ty-3(3)原方程组可化为|弘44尸"［亦-4y=20①+②得，6x=36,x=6 ,①-②得，8y= - 4,y=--6x4 2 9(4)原方程组可化为：’- qy=6①X 2+②得，x=^,把x==代入②得，3 X - 4y=6 ,1-2-=y所以原方程组的解为步采用适宜的方法求解.故原方程组的解为U-i 所以原方程组的解为x=6y=-点评：利用消元法解方程组，要根据未知数的系数特点选择代入法还是加减法:① 相同未知数的系数相同或互为相反数时，宜用加减法； ② 其中一个未知数的系数为 1时，宜用代入法.M 宀3 43K - 4y=2考点：解二元一次方程组. 专题：计算题.分析：先化简方程组，再进一步根据方程组的特点选用相应的方法：用加减法.①X 4-②X 3，得7x=42 , 解得x=6.把x=6代入①，得y=4 . 所以方程组的解为产,1尸°点评：注意：二元一次方程组无论多复杂，解二元一次方程组的基本思想都是消元•消元的 方法有代入法和加减法.专题：计算题.分析：把原方程组化简后，观察形式，选用合适的解法，此题用加减法求解比较简单.①+②得：6x=18,••• x=3.代入①得：y= 1 .产3所以原方程组的解为［严工.点评：要注意：两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元-3y=12 ①■4y=2 ②解答：解：原方程组可化为3.解方程组:解答：解：（1）原方程组化为^s+3y=13 ①驻-3尸5②考点：解二元一次方程组.此题较简单，要熟练解方程组的基本方法：代入消元法和加减消元法.(1 )求k , b 的值. (2) 当x=2时，y 的值. (3) 当x 为何值时，y=3 ?考点：解二元一次方程组. 专题：计算题. 用加减消元法求出 k 、b 的值.①-②得：2=4k , 所以“丄,法•本题适合用此法. 5.解方程组:卩-2 (s+t) =10 3 (s -1) +2 Cs+t) =26 考点：解二元一次方程组. 专题：计算题；换元法. 分析：本题用加减消元法即可或运用换元法求解. 解答： 解:3 (e- t) - 2 (e+t) =10①(s-t) +2 (s+t) =26 ②①—②，得s+t=4, ①+②，得s — t=6 , 即，解得s-Ft=4 S-t--1所以方程组的解为f 护5 b-i点评: 6.已知关于x , y 的二元一次方程分析:(1)将两组x , y 的值代入方程得出关于 k 、b 的二元一次方程组r4=3k+b2二-出£，再运(2)将(1)中的k 、 b 代入，再把x=2代入化简即可得出y 的值. (3)将(1)中的k 、b 和y=3代入方程化简即可得出 x 的值.解答：解：(1)依题意得: "4Pk+b …①[2二-k+b …②y=kx+b 的解有①X 2-②得：y= -1,将y= - 1代入①得:x=1 .(1-1•••方程组的解为=_ ]①X 2+②得：17x=51 , x=3 ,将x=3代入x - 4y=3中得:(2)由y 二丄x+丄, \2 \2 把x=2代入，得y=丄, 2 (3)由 y=」x+± 2 2 把y=3代入，得x=1 . 点评：本题考查的是二元一次方程的代入消元法和加减消元法, 出要求的数. 通过已知条件的代入, 可得7.解方程组: K - 2y=3 (1) —工二；辽 2_103K - 2 (K +2Y ) =3 11x1-4 (x+2y) =45 考点：解二元一次方程组.分析：根据各方程组的特点选用相应的方法： (1)先去分母再用加减法，(2)先去括，再转化为整式方程解答.解答： 解: (1)原方程组可化为(2)原方程可化为- 4尸3 llx+4x+8y=45y=0 .•••方程组的解为.点评：这类题目的解题关键是理解解方程组的基本思想是消元, 元法和代入消元法.根据未知数系数的特点，选择合适的方法.3 (s+y) +2 ( K - 3y)二15考点：解二元一次方程组.专题：计算题.分析：本题应把方程组化简后，观察方程的形式，选用合适的方法求解.①+②，得10x=30,x=3 ,代入①，得15+3y=15 ,y=0 .（二3则原方程组的解为* .点评：解答此题应根据各方程组的特点，有括号的去括号，有分母的去分母，然后再用代入法或加减消元法解方程组.9.解方程组:考点：专题：分析：解二兀一次方程组.计算题.本题为了计算方便，可先把（2）去分母，然后运用加减消元法解本题.解答：（蚪4尸14解：原方程变形为：. ，3K - 4y= _ 2两个方程相加，得4x=12 ,x=3 .把x=3代入第一个方程，得4y=11 , 掌握消元的方法有：加减消&解方程组:解答：解：原方程组可化为馬叶3尸15 ①\5s-3y=15 ②所以原方程组的解为\=60L y=-24点评：此题考查的是对二元一次方程组的解法的运用和理解, 学生可以通过题目的训练达到V- I y- -•4 解之得］u .点评：本题考查的是二元一次方程组的解法，方程中含有分母的要先化去分母， 再对方程进行化简、消元，即可解出此类题目考点：解二元一次方程组. 专题：计算题.分析：此题根据观察可知:(1) 运用代入法，把 ① 代入②，可得出X , y 的值； (2) 先将方程组化为整系数方程组，再利用加减消元法求解.解答：解:由①，得x-4+y ③,代入②，得 4( 4+y ) +2y- - 1, 所以y--二1,6把y-- 代入③，得x-4 -」.E6 6(2)原方程组整理为|2xf3y=48 ②③X 2-④ X 3，得 y- - 24,把y- - 24代入④，得x-60 ,10.解下列方程组:所以原方程组的解为4 ( s+y) -5 (K - y) =2考点：解二元一次方程组.专题：计算题；换元法.分析：方程组（1）需要先化简，再根据方程组的特点选择解法;方程组（2）采用换元法较简单，设x+y=a , x -y=b ，然后解新方程组即可求解.解得(2)设 x+y=a , x - y=b ,希-5b=2Vb-y=l（•原方程组的解为 “.点评：此题考查了学生的计算能力，解题时要细心.12.解二元一次方程组:9x^2y=203x'b4y=10p(1-15 - 4 Cy-4) =0(5 fy-1)二3 05)对知识的强化和运用.(2)解答：解：（1）原方程组可化简为4K - 3y=12 Srf2y=12•••原方程组可化为11.解方程组:考点：解二元一次方程组. 专题：计算题.分析：(1)运用加减消元的方法，可求出 x 、y 的值；(2)先将方程组化简，然后运用加减消元的方法可求出x 、y 的值.解答：解：(1)将①X 2 -②，得 15x=30 ,x=2 ,把x=2代入第一个方程，得y=1 .则方程组的解是①-②得：y=7,把y=7代入第一个方程，得对知识的强化和运用.乙看错了方程组中的 b ,而得解为，.(1) 甲把a 看成了什么，乙把 b 看成了什么?(2) 求出原方程组的正确解. 考点：解二元一次方程组.专题：计算题.分析：(1)把甲乙求得方程组的解分别代入原方程组即可；(2)把甲乙所求的解分别代入方程 ②和①，求出正确的a 、b ，然后用适当的方法 解方程组.解答：「沪-3 解：(1)把 代入方程组L y= -1 3a - 5=1012+b= - 42二-5(2)此方程组通过化简可得:- 13 - 20点评: 此题考查的是对二元一次方程组的解法的运用和理解,学生可以通过题目的训练达到13.在解方程组 一 b 尸-4时，由于粗心，甲看错了方程组中的沪-3 a ,而得解为(ay45y=LO [4K - b 尸- 4解得:把"二5代入方程组严戏厂1° ，歼4 ~by=- 4/曰 f Sa+20=10 侍％ , w- 4b 二 _目解得：『沪-可 [b=6•••甲把a 看成-5;乙把b 看成6;(2) ：•正确的a 是-2, b 是8,r - 2x+5y=10•方程组为(, - 3y= - 4解得：x=15 , y=8 .贝U 原方程组的解是卩二1■区. 点评：此题难度较大，需同学们仔细阅读，弄清题意再解答.s - 2 5 - y2 -3 二.CL2 0.3考点：解二元一次方程组.分析：先将原方程组中的两个方程分别去掉分母，然后用加减消元法求解即可. 解答：解：由原方程组，得r 3id-2y=22 (1)3厂2尸5 (2)由（1） + （2）,并解得|9x 「（ 3），把（3）代入（1），解得17y=—，•原方程组的解为点评：用加减法解二元一次方程组的一般步骤:1.方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数又不相等，就用 适当的数去乘方程的两边，使一个未知数的系数互为相反数或相等；2 .把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；3 .解这个一元一次方程；14.4 •将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数，从而得到方程组的解.15.解下列方程组:(1)(2)考点：解二元一次方程组.分析：将两个方程先化简，再选择正确的方法进行消元. 解答：解：（1）化简整理为严产血①4i+3y=1850@①X3,得3x+3y=1500 ③，②-③，得x=350 .把x=350 代入①，得350+y=500 ,（2）化简整理为丫_ ,[5K- ¥尸厉②①X5,得10x+15y=75 ③,②X2,得10x - 14y=46④，③-④，得29y=29 ,•y=1.把y=1代入①，得2x+3 xi=15,•x=6.故原方程组的解为X_l .\尸1点评：方程组中的方程不是最简方程的，最好先化成最简方程，再选择合适的方法解方程.考点：分析：解答：解二兀一次方程组.观祭方程组中各方程的特点，用相应的方法求解. 解：（1）①x -②得：x=1 ,将x=1代入①得：2+y=4,y=2.••• y=150.故原方程组的解为(泸350iy=15016.解下列方程组: (1)f2x+y=4I x+2y=5 120to30Hy=25% X 2(2)原方程组可化为①X2-②得：-y= - 3,y=3 •将y=3代入①得：x= - 2.x+y=l2x+3y=5•原方程组的解为\=-2 4•••原方程组的解为点评：解此类题目要注意观察方程组中各方程的特点，采用加减法或代入法求解.。
二元一次方程组解题步骤
二元一次方程组解题步骤解二元一次方程组是初中数学中比较基础和重要的一部分，可以帮助学生培养逻辑思维，提高数学能力。
本文将详细介绍二元一次方程组解题的步骤。
一、什么是二元一次方程组二元一次方程组是指只有两个未知数和两个方程的方程组。
一般形式为：ax + by = cdx + ey = f其中a、b、c、d、e、f均为已知数，x、y为未知数。
二、二元一次方程组解题步骤1. 消元消元是指通过方程组中某一项系数的倍数加减，使方程组中某一未知数的系数被消去，从而将二元一次方程组转化为一元一次方程，方便求解。
下面是具体的步骤：(1) 将其中一个方程的某一项系数乘以另一个方程某一项相反数，得到两个含有相同未知数且系数不同的式子。
例如：方程组2x + 3y = 94x + 5y = 15将第一个方程的第一项乘以-2，得到-4x - 6y = -18。
(2) 将新得到的式子和原来的方程组相加得到一个只含有一个未知数的方程。
例如：原方程组+新方程得到-4x - 6y + (2x + 3y) = -18 + 9-2x - 3y = -9(3) 将得到的新方程解出一未知数的值。
例如：将上式移项得到2x + 3y = 9(4) 将上步得出的未知数的值带入另一个方程中，求出另一个未知数的值。
例如：将x = 3代入第一个方程2x + 3y = 92(3) + 3y = 93y = 3y = 1所以方程组的解为x=3，y=1。
2. 代入验证代入验证是指将得到的解代入原来的方程组中，验证求出的解是否正确。
例如：将x=3，y=1代入原方程组中，得到：2x + 3y = 92(3) + 3(1) = 99 = 94x + 5y = 154(3) + 5(1) = 1515 = 15因此，得到的解x=3，y=1是正确的。
三、总结二元一次方程组解题的步骤主要是消元和代入验证。
在消元的过程中，需要注意变量的系数尽量简化，方便后续求解。
在代入验证的过程中，需要注意验证所有的方程都成立，以保证求出的解是正确的。
二元一次方程组知识点归纳、解题技巧汇总、练习题及答案
二元一次方程组知识点归纳、解题技巧汇总、练习题及答案把两个一次方程联立在一起，那么这两个方程就组成了一个二元一次方程组。
有几个方程组成的一组方程叫做方程组。
如果方程组中含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是一次，那么这样的方程组叫做二元一次方程组。
二元一次方程定义：一个含有两个未知数，并且未知数的都指数是1的整式方程，叫二元一次方程。
二元一次方程组定义：两个结合在一起的共含有两个未知数的一次方程，叫二元一次方程组。
二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。
二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个公共解，叫做二元一次方程组的解。
一般解法，消元：将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决。
消元的方法有两种：代入消元法例：解方程组x+y=5①6x+13y=89②解：由①得x=5-y③把③带入②，得6(5-y)+13y=89 y=59/7把y=59/7带入③，x=5-59/7 即x=-24/7 ∴x=-24/7y=59/7 为方程组的解我们把这种通过“代入”消去一个未知数，从而求出方程组的解的方法叫做代入消元法，简称代入法。
加减消元法例：解方程组x+y=9①x-y=5②解：①+②2x=14 即 x=7 把x=7带入①得7+y=9 解得y=-2 ∴x=7 y=-2 为方程组的解像这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法。
二元一次方程组的解有三种情况：1.有一组解如方程组x+y=5①6x+13y=89②x=-24/7y=59/7 为方程组的解2.有无数组解如方程组x+y=6①2x+2y=12②因为这两个方程实际上是一个方程(亦称作“方程有两个相等的实数根”)，所以此类方程组有无数组解。
3.无解如方程组x+y=4①2x+2y=10②，因为方程②化简后为x+y=5 这与方程①相矛盾，所以此类方程组无解。
注意：用加减法或者用代入消元法解决问题时,应注意用哪种方法简单,避免计算麻烦或导致计算错误。
二元一次方程式解题方法和技巧
二元一次方程式解题方法和技巧
摘要：
一、二元一次方程及其解集
1.二元一次方程的定义
2.二元一次方程的解集
二、二元一次方程组的解题方法
1.代入消元法
2.步骤详解
三、实用解题技巧
1.选取系数较简单的方程变形
2.用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数
3.消去一个未知数，得到一元一次方程
正文：
二元一次方程式是数学中的一种基本概念，它包含两个未知数，且未知数的项次数均为一次。
在二元一次方程中，未知数的解集是无数多组，这使得解题过程更具挑战性和趣味性。
解决二元一次方程的方法之一是代入消元法。
这种方法的核心思想是将方程组中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，然后代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一个一元一次方程。
最后，通过求解这个一元一次方程，可以得到方程组的解。
具体操作步骤如下：首先，选取一个系数较简单的二元一次方程进行变
形，用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数。
接着，将变形后的方程代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一个一元一次方程。
最后，求解这个一元一次方程，得到未知数的值。
在实际解题过程中，还需要掌握一些实用技巧。
例如，当方程组的两个方程中某一项的系数相同时，可以通过交换方程来简化解题过程。
另外，对于某些具有特定形式的方程，可以尝试使用平方根法、配方法或公式法等特殊方法求解。
总之，掌握二元一次方程的解题方法和技巧，能够帮助我们更高效地解决数学问题。
在学习过程中，不仅要熟练掌握各种解题方法，还要不断总结经验，提高解题能力。
二元一次方程组解法(一)--代入法(基础)知识讲解
二元一次方程组解法（一）--代入法（基础）知识讲解【学习目标】1. 理解消元的思想；2. 会用代入法解二元一次方程组.【要点梳理】要点一、消元法1.消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先求出一个未知数，然后再求出另一个未知数. 这种将未知数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想.2.消元的基本思路：未知数由多变少.3.消元的基本方法：把二元一次方程组转化为一元一次方程.要点二、代入消元法通过“代入”消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程，这种解法叫做代入消元法，简称代入法．要点诠释：(1)代入消元法的关键是先把系数较简单的方程变形为：用含一个未知数的式子表示另一个未知数的形式，再代入另一个方程中达到消元的目的．(2)代入消元法的技巧是：①当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数的代数式时，可以直接利用代入法求解； ②若方程组中有未知数的系数为1(或-1)的方程．则选择系数为1(或-1)的方程进行变形比较简便；③若方程组中所有方程里的未知数的系数都不是1或-1，选系数绝对值较小的方程变形比较简便．【典型例题】类型一、用代入法解二元一次方程组1．用代入法解方程组：5341x y x y =+⎧⎨+=⎩. 【思路点拨】直接将上面的式子代入下面的式子，化简整理即可.【答案与解析】解：5341x y x y =+⎧⎨+=⎩①② 将①代入②得：3(5)41y y ++=③去括号，移项，合并，系数化1得：2y =- ④把④代入①得：3x =∴ 原方程组的解为：32x y =⎧⎨=-⎩【总结升华】当方程组中出现一个未知量代替另一个未知量的方程时，一般用直接代入法解方程组.举一反三：【变式】若方程y ＝1－x 的解也是方程3x ＋2y ＝5的解，则x ＝____，y ＝____.【答案】3，﹣ 2.2. 用代入法解二元一次方程组：524050x y x y --=⎧⎨+-=⎩①②【思路点拨】观察两个方程的系数特点，可以发现方程②中x 的系数为1，所以把方程②中的x 用y 来表示，再代入①中即可.【答案与解析】解：由②得x ＝5-y ③将③代入①得5(5-y )-2y -4＝0，解得：y ＝3，把y ＝3代入③，得x ＝5-y ＝5-3＝2所以原方程组的解为23x y =⎧⎨=⎩． 【总结升华】代入法是解二元一次方程组的一种重要方法，也是同学们最先学习到的解二元一次方程组的方法，用代入法解二元一次方程组的步骤可概括为：一“变”、二“消”、三“解”、四“代”、五“写”．举一反三：【高清课堂：二元一次方程组的解法 369939 例3】【变式1】与方程组2020x y x y +-=⎧⎨+=⎩有完全相同的解的是（ ） A ．x+y －2=0B ．x+2y=0C ．(x+y －2)(x+2y)=0D ．22(2)0x y x y +-++=【答案】D【变式2】若∣x－2y ＋1∣＋(x ＋y －5)2＝0，则 x= ， y= .【答案】3,2类型二、由解确定方程组中的相关量3. 方程组43235x y k x y -=⎧⎨+=⎩的解x y 与的值相等，则k 的值是 .【思路点拨】将x y =代入上式，可得,x y 的值，再代入下面的方程可得k 值.【答案】1【解析】解：43235x y k x y -=⎧⎨+=⎩①② 将x y =代入②得1x y ==，再代入①得1k =.【总结升华】一般地，先将k 看作常数，解关于x ，y 的二元一次方程组再令x=m 或y=m ，得到关于m 的方程，解方程即可．【高清课堂：二元一次方程组的解法 369939 例8（4）】举一反三：【变式】若方程组231(1)(1)4x y k x k y +=⎧⎨-++=⎩的解x 与y 相等，求k.【答案】将x y =代入上式得15x y ==，再代入下式得10k =. 4. 若方程组ax+by=11(5-a)x-2by+14=0⎧⎨⎩的解为14x y =⎧⎨=⎩，试求a b 、的值. 【答案与解析】解：将14x y =⎧⎨=⎩代入得a+4b=11(5-a)-2b 4+14=0⎧⎨⨯⎩，即a+4b=11a+8b=19⎧⎨⎩， 解得a=3b=2⎧⎨⎩. 【总结升华】将已知解代入原方程组得关于a b 、的方程组，再解关于a b 、方程组得a b 、的值.二元一次方程组解法（一）--代入法（基础）巩固练习【巩固练习】一、选择题1．用代入消元法解方程组323211x y x y -=⎧⎨+=⎩①②代入消元法正确的是（ ）.A ．由①②得y ＝3x+2，代入②，得3x ＝11-2(3x+2)B ．由②得1123y x -=，代入①，得11231123y y -=- C ．由①得23y x -=，代入②，得2-y ＝11-2y D ．由②得3x ＝11-2y ，代入①，得11-2y -y ＝22．用代入法解方程组34225x y x y +=⎧⎨-=⎩①②使得代入后化简比较容易的变形是（ ）. A ．由①得243y x -= B ．由①得234x y -= C ．由②得52y x += D ．由②得y ＝2x -53．对于方程3x -2y -1＝0，用含y 的代数式表示x ，应是（ ）.A ．1(31)2y x =-B ．312x y +=C ．1(21)3x y =-D ．213y x += 4．已知x+3y ＝0，则3232y x y x +-的值为（ ）.A．13B．13-C．3 D．-35.一副三角板按如图摆放，∠1的度数比∠2的度数大50°，若设，，则可得到方程组为( ) .A. B. C. D.6．已知21xy=⎧⎨=⎩是二元一次方程组71ax byax by+=⎧⎨-=⎩的解．则a-b的值为（）.A．-1 B．1 C．2 D．3 二、填空题7．解方程组523,61,x yx y+=⎧⎨-=⎩①②若用代入法解，最好是对方程________变形，用含_______的代数式表示________．8．如果-x+3y＝5，那么7+x-3y＝________．9．方程组525x yx y=+⎧⎨-=⎩的解满足方程x+y-a＝0，那么a的值是________．10.若方程3x-13y＝12的解也是x-3y＝2的解，则x＝________，y＝_______．11.小刚解出了方程组332x yx y-=⎧⎨+=⎩▲的解为4xy=⎧⎨=⎩▉，因不小心滴上了两滴墨水，刚好盖住了方程组中的一个数和解中的一个数，则▲＝________，▇＝________.12.三年前父亲的年龄是儿子年龄的4倍，三年后父亲的年龄是儿子年龄的3倍，则父亲现在的年龄是________岁，儿子现在的年龄是________岁．三、解答题13．用代入法解下列方程组：(1)52233x yx y-=-⎧⎨+=⎩①②(2)233511x yx y+=⎧⎨-=⎩①②14．小明在解方程组时，遇到了困难，你能根据他的解题过程，帮他找出原因吗？并求出原方程组的解．解方程组123761x y x y -=⎧⎨+=⎩①②解：由②，得y ＝1-6x ③将③代入②，得6x+(1-6x )＝1（由于x 消元，无法继续）15．m 为何值时，方程组522312x y m x y m -=⎧⎨+=-⎩的解互为相反数？ 【答案与解析】一、选择题1. 【答案】D ；2. 【答案】D ；3. 【答案】D ；【解析】移项，得321x y =+，系数化1得213y x +=. 4. 【答案】B ；【解析】由x+3y ＝0得3y ＝﹣x ，代入32213223y x x x y x x x +-+==----. 5. 【答案】D ；6. 【答案】A ；【解析】将21x y =⎧⎨=⎩代入71ax by ax by +=⎧⎨-=⎩得2721a b a b +=⎧⎨-=⎩，解得23a b =⎧⎨=⎩. 二、填空题7. 【答案】②； x ， y ；8. 【答案】2；【解析】由-x+3y ＝5得x －3y ＝﹣5，代入7+x -3y=7+（﹣5）＝2.9. 【答案】-5；【解析】由525x y x y =+⎧⎨-=⎩解得05x y =⎧⎨=-⎩，代入 x+y -a ＝0，得a ＝-5.10．【答案】﹣2.5，﹣1.5；【解析】联立方程组3131232x y x y -=⎧⎨-=⎩，解得 2.51.5x y =-⎧⎨=-⎩. 11.【答案】17，9；【解析】将4x =代入33x y -=得9y =，即▇＝9，再将4x =，9y =代入2x y +=▲，得▲＝17.12.【答案】51，15；【解析】设父亲现在的年龄是x 岁，儿子现在的年龄是y ．由题意得：34(3)33(3)x y x y -=-⎧⎨+=+⎩，解得5115x y =⎧⎨=⎩.三、解答题13.【解析】解： (1)由②得x＝3-3y③，将③代入①得，5(3-3y)-2y＝-2，解得y＝1，将y＝1代入③得x＝0，故1 xy=⎧⎨=⎩．(2)由①得y＝3-2x ③，将③代入②得，3x-5(3-2x)＝11，解得x＝2，将x＝2代入③得y＝-1，故21 xy=⎧⎨=-⎩．14.【解析】解：无法继续的原因是变形所得的③应该代入①，不可代入②．由②，得y＝1-6x ③，将③代入①，得12x-3(1-6x)＝7．解得13x=，将13x=代入③，得y＝-1．所以原方程组的解为131xy⎧=⎪⎨⎪=-⎩．15.【解析】解：由题意得x＝-y，把x＝-y代入方程得522312y y my y m--=⎧⎨-+=-⎩，整理得312m yy m=-⎧⎨=-⎩①②．把②代入①，得m＝9．所以m为9时，原方程组的解互为相反数．。
二元一次方程专题(内含答案详解)
二元一次方程专题一．选择题（共12小题）1．已知是关于x、y的方程4kx﹣3y=﹣1的一个解，则k的值为（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣22．已知与是二元一次方程mx+ny=5的两组解，则m+n的值为（）A．1 B．2 C．3 D．43．下列方程中，是二元一次方程的是（）A．8x2+1=y B．y=8x+1 C．y= D．xy=14．在方程﹣=5中，用关于x的代数式表示y，正确的是（）A．x=y﹣10 B．x=y+10 C．y=x﹣15 D．y=y+155．已知甲、乙两种商品的进价和为100元，为了促销而打折销售，若甲商品打八折，乙商品打六折，则可赚50元，若甲商品打六折，乙商品打八折，则可赚30元，甲、乙两种商品的定价分别为（）A．50元、150元B．50元、100元C．100元、50元D．150元、50元6．若关于x，y的方程x m+2﹣y n﹣1=5是二元一次方程，则m+n的值为（）A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣37．将方程x+y=1中的x的系数化为整数，则下列结果正确的是（）A．﹣x+y=1 B．x﹣2y=﹣2 C．﹣x+y=2 D．x﹣y=28．已知x和y满足2x+3y=5，则当x=4时，代数式3x2+12xy+y2的值是（）A．4 B．3 C．2 D．19．若x、y满足方程组，则x﹣y的值等于（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．210．若方程组的解满足x+y=0，则k的值为（）A．﹣1 B．1 C．0 D．不能确定11．一个长方形的长的2倍比宽的5倍还多1cm，宽的3倍又比长多1cm，求这个长方形的长与宽．设长为xcm，宽为ycm，则下列方程组中正确的是（）A．B．C．D．12．小明的储钱罐有5角和1元的硬币共100枚，币值共有68元．求5角、1元硬币各有多少枚？设小明有5角硬币x枚，有1元硬币y枚，则可列出方程组为（）A． B．C． D．二．填空题（共6小题）13．一个两位数的数字和为14，若调换个位数字与十位数字，新数比原数小36，则这个两位数是．14．有一些苹果及苹果箱，若每箱装25千克，则剩余40千克无处装，如每箱装30千克则余20只空箱，则共有千克苹果，个苹果箱．15．一次智力竞赛有20题选择题，每答对一道题得5分，答错一道题扣2分，不答题不给分也不扣，小亮答完全部测试题共得65分，那么他答错了道题．16．把面值20元的纸币换成1元和5元的两种纸币，则共有种换法．17．某同学家离学校12千米，每天骑自行车上学和放学，有一天上学时顺风，从家到学校共用30分钟，放学时逆风，从学校回家共用时40分钟，已知该同学在无风时骑自行车的速度为x千米/时，风速为y千米/时，则根据题意可列方程组．18．某校在春节运动会比赛中，七年级一班和二班的实力相当，关于比赛结果，甲同学说：一班与二班的得分比为4：3，乙同学说：一班得分比五班得分的2倍少40分．若设一班得x分，二班得y分，则根据题意可列方程组．三．解答题（共6小题）19．解下列方程或方程组：（1）3（2x﹣1）=2（1﹣x）﹣1（2）20．“中国制造”是世界上认知度最高的标签之一，因此，我县越来越多的群众选择购买国产空调，已知购买1台A型号的空调比1台B型号的空调少200元，购买2台A型号的空调与3台B型号的空调共需11200元，求A、B两种型号的空调的购买价各是多少元？21．机械厂加工车间有85名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，2个大齿轮和3个小齿轮配成一套，问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？22．甲、乙两人相距50千米，若同向而行，乙10小时追上甲；若相向而行，2小时两人相遇．求甲、乙两人每小时各行多少千米？23．某市一种出租车的起步价为10元，两位乘客分别乘这种出租车走了10km 和14km，车费分别为21.2元和27.6元，假设一路顺利，没有停车等候，且不考虑计程器计费的某些特殊规定．请你算出这种出租车起步价所允许行驶的最远路程；并算出超过起步路程但行驶不到15km时，超过部分每千米车费为多少元？24．一个被滴上墨水的方程组如下，小明回忆到：这个方程组的解为，而我求出的解是，经检查后发现，我的错误是由于看错了第二个方程中的x的系数所致，请你根据小明的回忆，把原方程还原出来．二元一次方程专题参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．已知是关于x、y的方程4kx﹣3y=﹣1的一个解，则k的值为（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【分析】把代入方程4kx﹣3y=﹣1，即可得出一个关于k的方程，求出方程的解即可．【解答】解：∵是关于x、y的方程4kx﹣3y=﹣1的一个解，∴代入得：8k﹣9=﹣1，解得：k=1，故选：A．【点评】本题考查了二元一次方程的解和解一元一次方程，能根据题意得出关于k的方程是解此题的关键．2．已知与是二元一次方程mx+ny=5的两组解，则m+n的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】代入后得出关于m、n的方程组，两方程相加即可求出答案．【解答】解：∵与是二元一次方程mx+ny=5的两组解，∴代入得：①+②得：5m+5n=10，m+n=2，故选：B．【点评】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，能根据题意得出关于m、n的方程组是解此题的关键．3．下列方程中，是二元一次方程的是（）A．8x2+1=y B．y=8x+1 C．y= D．xy=1【分析】根据二元一次方程的定义求解即可．【解答】解：A、是一元二次方程，故A不符合题意；B、是二元一次方程，故B符合题意；C、是分式方程，故C不符合题意；D、是二元二次方程，故D不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了二元一次方程，二元一次方程必须符合以下三个条件：方程中只含有2个未知数；含未知数项的最高次数为一次；方程是整式方程．4．在方程﹣=5中，用关于x的代数式表示y，正确的是（）A．x=y﹣10 B．x=y+10 C．y=x﹣15 D．y=y+15【分析】把x看做已知数表示出y即可．【解答】解：方程﹣=5，整理得：y==x﹣15，故选：C．【点评】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x看做已知数求出y．5．已知甲、乙两种商品的进价和为100元，为了促销而打折销售，若甲商品打八折，乙商品打六折，则可赚50元，若甲商品打六折，乙商品打八折，则可赚30元，甲、乙两种商品的定价分别为（）A．50元、150元B．50元、100元C．100元、50元D．150元、50元【分析】设甲种商品的定价分别为x元，则乙种商品的定价分别为y元，根据“若甲商品打八折，乙商品打六折，则可赚50元，若甲商品打六折，乙商品打八折，则可赚30元”可得出关于x、y的二元一次方程组，解方程组即可得出结论．【解答】解：设甲种商品的定价分别为x元，则乙种商品的定价分别为y元，根据题意得：，解得：．故选：D．【点评】本题考查了解二元一次方程组，根据数量关系列出二元一次方程组是解题的关键．6．若关于x，y的方程x m+2﹣y n﹣1=5是二元一次方程，则m+n的值为（）A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3【分析】（方法一）根据二元一次方程的定义，即可得出关于m、n的二元一次方程组，解之即可得出m、n的值，将其相加即可得出结论；（方法二）根据二元一次方程的定义，即可得出m+2=1、n﹣1=1，将其相加即可得出m+n的值．【解答】解：（方法一）∵关于x，y的方程x m+2﹣y n﹣1=5是二元一次方程，∴，解得：，∴m+n=1．故选A．（方法二）∵关于x，y的方程x m+2﹣y n﹣1=5是二元一次方程，∴m+2=1，n﹣1=1，∴m+2+n﹣1=2，∴m+n=1．故选：A．【点评】本题考查了二元一次方程的定义以及解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程的定义是解题的关键．7．将方程x+y=1中的x的系数化为整数，则下列结果正确的是（）A．﹣x+y=1 B．x﹣2y=﹣2 C．﹣x+y=2 D．x﹣y=2【分析】方程两边乘以2变形即可得到结果．【解答】解：方程左右两边乘以2得：﹣x+2y=2，即x﹣2y=﹣2．故选：B．【点评】此题考查了解二元一次方程，熟练掌握等式的性质是解本题的关键．8．已知x和y满足2x+3y=5，则当x=4时，代数式3x2+12xy+y2的值是（）A．4 B．3 C．2 D．1【分析】根据题意先把x=4代入2x+3y=5求出y的值，然后把x、y的值代入代数式3x2+12xy+y2即可求得．【解答】解：把x=4代入2x+3y=5得：y=﹣1，把x=4，y=1代入3x2+12xy+y2得：3×16+12×4×（﹣1）+1=1，故选：D．【点评】本题考查了二元一次方程的解法，主要运用了代入法，难度适中．9．若x、y满足方程组，则x﹣y的值等于（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2【分析】方程组的两个方程相减，即可求出答案．【解答】解：，②﹣①得：x﹣y=﹣2，故选：C．【点评】本题考查了解二元一次方程组，能选择适当的方法求解是解此题的关键．10．若方程组的解满足x+y=0，则k的值为（）A．﹣1 B．1 C．0 D．不能确定【分析】根据等式的性质，可得答案．【解答】解：①+②，得3（x+y）=3﹣3k，由x+y=0，得3﹣3k=0，解得k=1，故选：B．【点评】本题考查了二元一次方程组的解，利用等式的性质是解题关键．11．一个长方形的长的2倍比宽的5倍还多1cm，宽的3倍又比长多1cm，求这个长方形的长与宽．设长为xcm，宽为ycm，则下列方程组中正确的是（）A．B．C．D．【分析】由题意，得长的2倍比宽的5倍还多1cm可得方程2x﹣5y=1；宽的3倍又比长多1cm可得方程3y﹣x=1，即可得方程组．【解答】解：根据题意，得方程组．故选：C．【点评】根据实际问题中的条件列方程组时，要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，列出方程组．12．小明的储钱罐有5角和1元的硬币共100枚，币值共有68元．求5角、1元硬币各有多少枚？设小明有5角硬币x枚，有1元硬币y枚，则可列出方程组为（）A． B．C． D．【分析】根据：①5角钱的枚数+1元钱的枚数=100、②5角的总钱数+1元的总钱数=68元，据此可得方程组．【解答】解：设小明有5角硬币x枚，有1元硬币y枚，则可列出方程组为，故选：C．【点评】本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的相等关系．二．填空题（共6小题）13．一个两位数的数字和为14，若调换个位数字与十位数字，新数比原数小36，则这个两位数是95．【分析】设原来十位上数字为x，个位上的数字为y，分别表示出调换前后的两位数，根据题意列方程组求解．【解答】解：设原来十位上数字为x，个位上的数字为y，由题意得，，解得：，故这个两位数为95．故答案为；95．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．14．有一些苹果及苹果箱，若每箱装25千克，则剩余40千克无处装，如每箱装30千克则余20只空箱，则共有3240千克苹果，128个苹果箱．【分析】设共有x千克苹果，y个苹果箱．等量关系：①每箱装25千克，则剩余40千克无处装；②每箱装30千克则余20只空箱．【解答】解：设共有x千克苹果，y个苹果箱．根据题意，得，解，得．则共有3240千克苹果，128个苹果箱．【点评】正确找到等量关系是列方程（组）解应用题的关键．15．一次智力竞赛有20题选择题，每答对一道题得5分，答错一道题扣2分，不答题不给分也不扣，小亮答完全部测试题共得65分，那么他答错了5道题．【分析】设答对x道题，答错了y道题，根据对1题给5分，错1题扣2分，不答题不给分也不扣分，总分为65分和有20题选择题可分别列等式求解．【解答】解：设答对x道题，答错了y道题，根据题意可得：，解得：，故他答错了5道题．故答案为：5．【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，根据题意利用所得分数以及有20题选择题分别得出等式是解题关键．16．把面值20元的纸币换成1元和5元的两种纸币，则共有3种换法．【分析】设1元和5元的纸币各x张、y张，根据题意列出方程，求出方程的正整数解即可．【解答】解：设1元和5元的纸币各x张、y张，根据题意得：x+5y=20，整理得：x=20﹣5y，当x=1，y=15；x=2，y=10；x=3，y=5，则共有3种换法，故答案为：3【点评】此题考查了二元一次方程的应用，弄清题意是解本题的关键．17．某同学家离学校12千米，每天骑自行车上学和放学，有一天上学时顺风，从家到学校共用30分钟，放学时逆风，从学校回家共用时40分钟，已知该同学在无风时骑自行车的速度为x千米/时，风速为y千米/时，则根据题意可列方程组．【分析】由题意可知：顺风速度=无风时速度+风速，逆风速度=无风时速度﹣风速，根据家与学校之间的距离=顺风速度×顺风时间=逆风速度×逆风时间，列出方程组解答即可．【解答】解：30分钟=小时40分钟=小时设该同学在无风时骑自行车的速度为x千米/时，风速为y千米/时，则该同学在顺风时骑自行车的速度为（x+y）千米/小时，逆风时骑自行车的速度为（x﹣y）千米/小时，由题意得．故答案为：．【点评】此题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，掌握顺风速度、逆风速度、无风时速度、风速之间的关系是解决问题的关键．18．某校在春节运动会比赛中，七年级一班和二班的实力相当，关于比赛结果，甲同学说：一班与二班的得分比为4：3，乙同学说：一班得分比五班得分的2倍少40分．若设一班得x分，二班得y分，则根据题意可列方程组．【分析】根据题意可得等量关系：①一班得分×3=二班的得分×4；②一班得分=五班得分×2﹣40，根据等量关系列出方程组即可．【解答】解：设一班得x分，二班得y分，由题意得：，故答案为：．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．三．解答题（共6小题）19．解下列方程或方程组：（1）3（2x﹣1）=2（1﹣x）﹣1（2）【分析】（1）方程去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解；（2）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．【解答】解：（1）3（2x﹣1）=2（1﹣x）﹣1，6x﹣3=2﹣2x﹣1，x=，（2），整理得：，②﹣①得：﹣x=1，x=﹣1，把x=﹣1代入①中得：y=5，∴方程组的解为：．【点评】此题考查了解二元一次方程组和一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．“中国制造”是世界上认知度最高的标签之一，因此，我县越来越多的群众选择购买国产空调，已知购买1台A型号的空调比1台B型号的空调少200元，购买2台A型号的空调与3台B型号的空调共需11200元，求A、B两种型号的空调的购买价各是多少元？【分析】设A型号的空调购买价为x元，B型号的空调购买价为y元，根据“购买1台A型号的空调比1台B型号的空调少200元，购买2台A型号的空调与3台B型号的空调共需11200元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论．【解答】解：设A型号的空调购买价为x元，B型号的空调购买价为y元，依题意得：，解得：．答：A型号的空调购买价为2120元，B型号的空调购买价为2320元．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．21．机械厂加工车间有85名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，2个大齿轮和3个小齿轮配成一套，问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？【分析】设需安排x名工人加工大齿轮，安排y名工人加工小齿轮，根据平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，2个大齿轮和3个小齿轮配成一套，可列成方程组求解．【解答】解：设需安排x名工人加工大齿轮，安排y名工人加工小齿轮，，解得：．答：需安排25名工人加工大齿轮，安排60名工人加工小齿轮．【点评】本题考查理解题意能力，关键是能准确2个大齿轮和3个小齿轮配成一套，根据此正确列出方程．22．甲、乙两人相距50千米，若同向而行，乙10小时追上甲；若相向而行，2小时两人相遇．求甲、乙两人每小时各行多少千米？【分析】根据题目中的关键句子：“同向而行，乙10小时可追上甲；若相向而行，2小时两人相遇”找到两个等量关系后列出方程组即可．【解答】解：设甲每小时行x千米，乙每小时行y千米，则可列方程组为，解得，答：甲每小时行10千米，乙每小时行15千米．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用的知识，解题的关键是根据题意找到两个等量关系，难度不大．23．某市一种出租车的起步价为10元，两位乘客分别乘这种出租车走了10km 和14km，车费分别为21.2元和27.6元，假设一路顺利，没有停车等候，且不考虑计程器计费的某些特殊规定．请你算出这种出租车起步价所允许行驶的最远路程；并算出超过起步路程但行驶不到15km时，超过部分每千米车费为多少元？【分析】设起步价允许行驶的最远路程是xkm，超过部分每千米车费是y元，关键描述语：出租车的起步价为10元，两位乘客分别乘这种出租车走了10km和14km，车费分别为21.2元和27.6元．【解答】解：设起步价允许行驶的最远路程是xkm，超过部分每千米车费是y元，则，解得：，答：起步价允许行驶的最远路程是3km，超过部分每千米车费是1.6元．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用．解题关键是弄清题意，合适的等量关系，列出方程组．24．一个被滴上墨水的方程组如下，小明回忆到：这个方程组的解为，而我求出的解是，经检查后发现，我的错误是由于看错了第二个方程中的x的系数所致，请你根据小明的回忆，把原方程还原出来．【分析】由题意可知是方程组的解，是方程△x+口y=2的解，然后代入求解即可．【解答】解：∵是方程组的解，∴3○+14=8，3△﹣2□=2①，∴○=﹣2．∵是方程△x+口y=2的解，∴﹣2△+2口=2②．将①和②联立得：，解得：△=4，□=5（3分），∴原方程组为．【点评】本题主要考查的是二元一次方程组的解，依据方程组的解得概念列出方程或方程组是解题的关键．。