统计学第6章参数估计

n
x Z /2
}1 n
另 E 代表所希望达到的允许误差，则 E Z / 2
n
所以： n
(Z /2 )2
E2
2
样本容量的确 定
总体比率 的置信区间为： p Z / 2
(1 )
n
若 E 代表所希望达到的允许误差，则：
E Z /2
举例：为了研究某地区外资企业职工的月收入情况，从全部职工中任意抽取 400 人， 得知其平均月收入为 2000 元，标准差是 400 元，试估计全部职工的平均月收入的置信区间， 置信水平为 95.45%。
解答：n=400,1 95.45%, Z / 2 2 (查找与1 ( / 2) 相对应的值)（反过来查）
正态变量标准化： x ~ N (0,1) / n
1
Z /2
Z /2
P{Z / 2
x / n
Z /2} 1
P{x Z / 2
n
x Z /2
}1 n
在有些情况下，总体方差 2 未知，可以用 s 2 代替，则置信区间为：
P{x Z / 2
s n
x
Z /2
s }1 n
1.大样本下总体均值的区间估计
解答： Z / 2 2 E=2%
n
(Z /2 )2 (1
E2
)
22
95% 5% 0.02 2
475
注意：p 应取使 p(1-p)最大的 p 值,p=95%.
三、必要抽样数目的影响因素
• 1.总体方差 （2 越大，容量越大）
• 2.允许误差范围（越大，容量越小） • 3.置信度 1（越大，容量越大） • 4.抽样方法（重复抽样大于不重复抽样） • 5.抽样组织方式
二、总体比率的区间估计
大样本条件下，样本比率 p 近似服从正态分布，即：( 为总体比率)
p N ( , (1 ))
n
p N (0,1) (1 )
n
总体比率 的置信区间为：
p Z /2
(1 )
n
当这里 恰好是我们要估计的，所以用样本比率 p 去代替 。
所以置信区间为： p Z / 2
二、点估计与区间估计
• 点估计 • 区间估计
1.点估计point estimation
• 用样本估计量 ˆ 来估计总体参数 。 • 点估计的方法：矩估计法、极大似然估计
法。
2.区间估计interval estimation
区间估计是根据样本估计量以一定可靠程度推断总体参数所在的区间范围。
设总体参数为 ， L 、U 为样本确定的两个统计量，对于给定的 （ 0 1 ），有：
第六章 参数估计
王新华 武汉工业学院 经管学院
主要内容
• 6.1参数估计的一般问题 • 6.2一个总体参数的区间估计 • 6.3样本容量的确定
重点与难点
• 重点：一个总体参数的区间估计（分几种 情况）
• 难点：区间估计的理解、区间估计的计算
6.1参数估计的一般问题
• 估计量与估计值 • 点估计与区间估计 • 评价估计量的标准
P(L U ) 1
则（ L ，U ）为参数 的置信水平为1 的置信区间。 为显著性水平。
置信水平（confidence level）表示如果我们构造置信区间的步骤重复多次，置信区间中 包含总体参数真值的次数所占的比率。
三、评价估计量的标准
1.无偏性（unbiasedness） E(ˆ)
2.有效性（efficiency）
假定有两个用于估计总体参数的无偏估计量 ˆ1 、 ˆ2 ，它们的抽样分布的方差分别用 D( ˆ1 )、D(ˆ2 )表示，如果：D(ˆ1 )<D(ˆ2 )，则ˆ1 是比ˆ2 更有效的一个估计量。
3.相合性（consistency）（一致性） 随着样本容量的增大，点估计量的值越来越接近被估总体的参数。（一个大样本给出的 估计量要比一个小样本给出的估计量更接近总体的参数）
p(1 p) n
二、总体比率的区间估计
例如：要了解某校一次四级考试的通过率，随即抽取了 400 名学生，其中 256 人通过， 试以 95%的置信水平估计该校四级通过率的置信区间。
解答：n=400,p=256/400=64%, Z /2 1.96
所以四级通过率的置信区间为:
p Z /2
p(1 p) 64% 1.96 n
一、估计量与估计值
• 所谓参数估计（parameter estimation）就 是用样本统计量去估计总体的参数。例如：
用样本均值 x去估计总体均值 ，用样本方
差 s 2去估计总体方差 2，用样本比率p估计 总体比率P。 • 在参数估计中，总体参数为 ，用来估计总 体参数的统计量的名称，称为估计量 （estimator），用符号 ˆ 表示。用来估计总 体参数时计算出来的估计量的具体数值， 称为估计值。估计值因为样本不同而不同。 （参数一般是固定的，但未知）。
解答： x 21.8, s 0.37
根据 0.05，查 t 分布表 t /2 (n 1) t0.025 (4) 2.7764
则置信区间为： x t / 2
s 21.8 2.7764 0.37 21.8 0.47
n
5
即（21.33，22.27）为平均直径的 95%的置信区间。
再举例：140 页例 5.3
s/ n
1
t / 2
t / 2
P{t / 2
x s/ n
t / 2} 1
P{x t / 2
s n
x
t / 2
s }1 n
2.小样本下总体均值的区间估计
例如：某车间生产的螺杆直径服从正态分布，现随机抽取 5 只，测得直径（单位：毫
米）：22.3，21.5，22.0，21.8，21.4。试求平均直径 的 95%的置信区间。
64% 36% 64% 2.4% 400
即（61.6%，66.4%）为四级通过率的 95%的置信区间。 再举例：141 页例 5.4。
6.3样本容量的确定
• 估计总体均值时样本容量的确定 • 估计总体比率时样本容量的确定 • 必要抽样数目的影响因素
一、估计总体均值时样本容量的确定
P{x Z / 2
6.2 一个总体参数的区间估计
• 总体均值的区间估计 • 总体比率的区间估计
一、总体均值的区间估计
• 大样本的估计方法 • 小样本的估计方法
1.大样本下总体均值的区间估计
当总体服从正态分布且 2 已知时，或者总体不是正态分布但为大样本时，样本均值 x
服从或近似服从正态分布，即：
x ~ N(, 2 ) n
(1 )
n
所以： n
(Z / 2 )2 (1
E2
)
一般用 p 来代替
二、估计总体比率时样本容量的确 定
例如：连续三年以来：某灯泡生产企业产品合格率水平分别是 96%、95%、98%，现 要对一大批待销售的灯泡作质量检验，若给定概率是 95.45%，允许误差不超过 2%，问至 少愁多少只灯泡才行？
x 2000 s=400
P{x Z / 2
s n
x
Z /2
s }1 n
即 P{2000 2 400 2000 2 400 } 95.45%
400
400
即 P{1960 2040} 95.45% 再举例：137 页例 5.1、5.2
2.小样本下总体均值的区间估计
如果总体服从正态分布，总体方差 2 未知，在小样本下（n<30）,用样本方差去替代 2 ， 则： t x ~ t(n 1)