全国通用2018高考数学一轮复习第4章平面向量数系的扩充与复数的引入第1节平面向量的概念及线性运算课件 新
2020版《微点教程》高考人教A版文科数学一轮复习文档：第四章 第一节 平面向量的概念及其线性运算 含答案
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2020版《微点教程》高考人教A版文科数学一轮复习文档：第四章
第一节 平面向量的概念及其线性运算 含答案
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2 / 22 平面向量、数系的扩充与复数的引入
第一节 平面向量的概念及其线性运算
20xx考纲考题考情
1．向量的有关概念
名称 定义 备注
向量 既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模) 平面向量是自由向量
零向量 长度为零的向量，其方向是任意的 记作0
单位向量 长度等于1个单位的向量 非零向量a的单位向量为±a|a|
平行向量 方向相同或相反的非零向量
0与任一向量平行或共线 共线向量 方向相同或相反的非零向量，又叫做共线向量
相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小
相反向量 长度相等且方向相反的向量 0的相反向量为0
2.向量的线性运算
向量 定义 法则 运算律
3 / 22 运算 (或几何意义)
加法 求两个向量和的运算
三角形法则
平行四边形法则 (1)交换律：
a＋b＝b＋a。
(2)结合律：
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)。
减法 求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差
三角形法则 a－b＝a＋(－b)
数乘 求实数λ与向量a的积的运算 (1)|λa|＝|λ||a|；
(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝(λμ)a；
(λ＋μ)a＝λa＋μa；
λ(a＋b)＝λa＋λb
3.共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa。
1．若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则OP→＝12(OA→＋OB→)。
2.OA→＝λOB→＋μOC→(λ，μ为实数)，若点A，B，C共线，则λ＋μ＝1。
2015届高考数学(人教,理科)大一轮配套练透：第4章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 第1节
[课堂练通考点]
1．给出下列命题：
①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量．
②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小．
③λa＝0(λ为实数)，则λ必为零．
④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．
其中错误的命题的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C ①错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点．
②正确，因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小．
③错误，当a＝0时，不论λ为何值，λa＝0.
④错误，当λ＝μ＝0时，λa＝μb＝0，此时，a与b可以是任意向量．故选C.
2.如图，已知AB＝a，AC＝b，BD＝3DC，用a，b表示AD，则AD＝( )
A．a＋34b B.14a＋34b
C.14a＋14b D.34a＋14b
解析：选B ∵CB＝AB－AC＝a－b，又BD＝3DC，
∴CD＝14CB＝14(a－b)，∴AD＝AC＋CD＝b＋14(a－b)＝14a＋34b.
3．(2013·贵阳监测考试)已知向量a，b，c中任意两个都不共线，但a＋b与c共线，且b＋c与a共线，则向量a＋b＋c＝( )
A．a B．b
C．c D．0 解析：选D 依题意，设a＋b＝mc，b＋c＝na，则有(a＋b)－(b＋c)＝mc－na，即a－c＝mc－na.又a与c不共线，于是有m＝－1，n＝－1，a＋b＝－c，a＋b＋c＝0，选D.
4.(2013·“江南十校”联考)如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠A的平分线交BC于D，若AB＝4，且AD＝14AC＋λAB
(λ∈R)，则AD的长为( )
2019年高考数学一轮复习第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入第3节平面向量的数量积及其应
第三节 平面向量的数量积及其应用
［考纲传真］1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义 2 了解平面向量的数量积与向量
投影的关系3掌握数量积的坐标表达式， 会进行平面向量数量积的运算 4能运用数量积表
示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系 .5.会用向量方法解决某些简
单的平面几何问题 6会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.
双基自主测评I基础知识环能力全面巩固 ■
(对应学生用书第61页)
［基础知识填充］
1. 向量的夹角
(1)定义：已知两个非零向量 a和b，如图 4-3-1 ,作0A= a, 0B= b，则/ AOB=
0 (0 °w 0 < 180° )叫作a与b的夹角.
0 b B
图 4-3-1
(2)当0 = 0°时，a与b共线同向.
当0 = 180°时，a与b共线反向.
当0 =90°时，a与b互相垂直. '—
2•平面向量的数量积
(1) 定义：已知两个非零向量 a和b,它们的夹角为 0，则数量| a|| b| • cos 0叫做a
与b的数量积(或内积).规定：零向量与任一向量的数量积为 0.
(2) 几何意义：数量积 a • b等于a的长度| a|与b在a的方向上的投影| b|cos 0的乘积
Jk 曜
或b的长度| b|与a在b方向上射影| a|cos 0的乘积.
3. 平面向量数量积的运算律
(1) 交换律：a • b= b • a；
(2) 数乘结合律：(入a) • b=入(a • b) = a •(入b)；
(3) 分配律：a •( b+ c) = a • b+ a • C.
4. 平面向量数量积的性质及其坐标表示
设非零向量 a= (x1, y" , b= (x2, y2) , 0=〈 a, b>.
结论 几何表示 坐标表小 2
模 | a| =\a • a | a| =px2 + y2
数量积 a • b= a • b= X1X2+ y1y2 2
高中数学选修1-2精品学案：第四章 数系的扩充与复 数的引入 第1课时 数系的扩充和复数的概念
第1页 共10页 第1课时 数系的扩充和复数的概念
1.了解引进复数的必要性,理解并掌握虚数单位i.
2.理解复数的代数形式,复数虚部与实部.
3.实数集、复数集、虚数集与纯虚数集的关系.
重点:掌握复数的实部与虚部;实数、复数、虚数、纯虚数与复数的代数形式的实部、虚部的关系;两复数相等的充要条件.
难点:体会复数问题实数化的过程.
由于解方程的需要推动了数的发展,为了使类似x+5=3的方程有解,引入了负数;为了使类似5x=3的方程有解,引入了分数;为了使类似x2=3的方程有解,引入了无理数.但引入无理数后,类似x2=-1的方程在实数范围内仍然没解.
问题1:为了得到方程x2=-1的解,需引入虚数单位i,试给出虚数单位i的定义?
虚数单位i满足它的平方等于 -1 ,即i2= -1 .
问题2:(1)复数:形如 a+bi(a,b∈R) 的数叫作复数.
(2)复数集:全体复数所成的集合叫作复数集,用字母C表示.
(3)复数的代数形式:复数通常用字母z表示,把复数表示成a+bi(a,b∈R)的形式,其中a与b
第2页 共10页 分别叫作复数的 实部 与 虚部 .
(4)两个复数相等的定义:
如果两个复数的实部和虚部分别相等,那么我们就说这两个复数相等.这就是说,如果a、b、c、d∈R,那么a+bi=c+di∈a=c,b=d.
问题3:复数z=a+bi(a,b∈R),
当b=0时,复数z是实数;当 b≠0 时,复数z是虚数;
当时,复数z是 纯虚数 .
问题4: 两复数可不可以比较大小?
当两复数是实数时,两复数可以比较大小;当两复数有一个是虚数时,两复数不能比较大小,只能分析两复数相不相等.
“复数”“虚数”这两个名词,都是人们在解方程时引入的.为了用公式求一元二次、三次方程的根,就会遇到求负数的平方根的问题.1545年,意大利数学家卡丹诺在《大术》一书中,首先研究了虚数,并进行了一些计算.
高考一轮 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入第二节 课下作业 我来演练
一、选择题
1．设平面向量a＝(－1,0)，b＝(0,2)，则2a－3b＝ ( )
A．(6,3) B．(－2，－6)
C．(2,1) D．(7,2)
解析：2a－3b＝(－2,0)－(0,6)＝(－2，－6)．
答案：B
2．已知向量a＝(1,1)，b＝(2，x)，若a＋b与4b－2a平行，则实数x的值是
( )
A．－2 B．0
C．1 D．2
解析：∵a＋b＝(3,1＋x)，4b－2a＝(6,4x－2)，
又a＋b与4b－2a平行，
∴3(4x－2)＝6(1＋x)，解得x＝2.
答案：D
3．(2012·宁德模拟)已知a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，则c等于 ( )
A．－12a＋32b B.12a－32b
C．－32a－12b D．－32a＋12b
解析：设c＝λa＋μb，∴(－1,2)＝λ(1,1)＋μ(1，－1)．
∴ －1＝λ＋μ，2＝λ－μ.解得 λ＝12，μ＝－32.
∴c＝12a－32b.
答案：B
4．(2012·嘉兴模拟)已知a，b是不共线的向量，AD＝λa＋b，AC＝a＋μb，λ，μ∈R，那么A、B、C三点共线的充要条件为 ( )
A．λ＋μ＝2 B．λ－μ＝1
C．λμ＝－1 D．λμ＝1
解析：∵a，b不共线，∴AC≠0，则A、B、C三点共线的充要条件是存在实数t，满足AB＝tAC，即λa＋b＝ta＋μtb， ∴ λ＝t，1＝μt，得λμ＝1.
答案：D
5．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若AC＝a，BD＝b，则AF＝( )
(常考题)北师大版高中数学选修1-2第四章《数系的扩充与复数的引入》测试题(含答案解析)(4)
一、选择题
1．1z2z是复数，则下列结论中正确的是（ ）
A．若22120zz，则2212zz B．2121212||()4zzzzzz
C．22121200zzzz D．2211||||zz
2．复数,zabiabR，mzzb，nzz，2pz，则（ ）
A．m、n、p三数都不能比较大小 B．m、n、p三数的大小关系不能确定
C．mnp D．mnp
3．定义运算,,abadbccd，则符合条件,10 ,?2ziii的复数 z 对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．若复数1z，2z满足1134zzi，212zi，则12zz的最小值为（ ）．
A．110 B．1110 C．2110 D．21210
5．若复数2320211ziiii，则复数z对应的点在第（ ）象限
A．一 B．二 C．三 D．四
6．下列关于复数z的四个命题中，正确的个数是（ ）
（1）若|1||1|2zz，则复数z对应的动点的轨迹是椭圆；
（2）若|2||2|2zz，则复数z对应的动点的轨迹是双曲线；
（3）若|1||Re1|zz，则复数z对应的动点的轨迹是抛物线；
（4）若|2|3z，则||z的取值范围是[1,5]
A．4 B．1 C．2 D．3
7．若复数1aizi，且3·0zi，则实数a的值等于（ ）
A．1 B．-1 C．12 D．12
8．已知i为虚数单位，a为实数，复数(2)(1)zaii在复平面内对应的点为M，则“1a”是“点M在第四象限”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
9．已知复数21izi，则共轭复数z( )
A．1i B．1i C．1i D．1i
(好题)高中数学选修1-2第四章《数系的扩充与复数的引入》测试卷(有答案解析)(2)
一、选择题
1．若i是虚数单位，则复数11ii（ ）
A．-1 B．1 C．i D．i
2．已知集合{|()()20,,,}AzabizabizabRzC，{|||1,}BzzzC，若AB，则a，b之间的关系是（ ）
A．1ab B．1ab C．221ab D．221ab
3．已知zC，2zizi，则z对应的点Z的轨迹为（ ）
A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．线段
4．下列关于复数z的四个命题中，正确的个数是（ ）
（1）若|1||1|2zz，则复数z对应的动点的轨迹是椭圆；
（2）若|2||2|2zz，则复数z对应的动点的轨迹是双曲线；
（3）若|1||Re1|zz，则复数z对应的动点的轨迹是抛物线；
（4）若|2|3z，则||z的取值范围是[1,5]
A．4 B．1 C．2 D．3
5．在复平面内，复数12zi＝－对应的向量为OA，复数2z对应的向量为OB，则向量AB所对应的复数为( )
A． 42i＋ B． 42i C． 42i D． 42i
6．在复平面内，若复数z满足|z＋1|＝|1＋iz|，则z在复平面内对应点的轨迹是( )
A．直线 B．圆
C．椭圆 D．抛物线
7．若(13)nx的二项展开式各项系数和为256，i为虚数单位，则复数(1)ni的运算结果为（ ）
A．16 B．16 C．4 D．4
8．已知复数z满足：32zz，且z的实部为2，则|1|z
A．3 B．2 C．32 D．23
9．设复数3422iiz，则复数z的共轭复数是( )
A．52i B．52i C．52i D．52i
10．已知i是虚数单位，复数z满足|12|zii，则z的共轭复数z在复平面上对应点所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【高考复习】2018年高考数学总复习：第5章第4讲 数系的扩充与复数的引入(含解析)
第4讲 数系的扩充与复数的引入
最新考纲 1.理解复数的基本概念；2.理解复数相等的充要条件；3.了解复数的代数表示法及其几何意义；4.会进行复数代数形式的四则运算；5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.
知 识 梳 理
1.复数的有关概念
内容 意义 备注
复数的概念 形如a＋bi(a∈R，b∈R)的数叫复数，其中实部为a，虚部为b 若b＝0，则a＋bi为实数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数
复数相等 a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)
共轭复数 a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)
复平面 建立平面直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫实轴，y轴叫虚轴 实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，各象限内的点都表示虚数
复数的模 设OZ→对应的复数为z＝a＋bi，则向量OZ→的长度叫做复数z＝a＋bi的模 |z|＝|a＋bi|＝a2＋b2
2.复数的几何意义
复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，
复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即
(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R).
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量OZ→.
3.复数的运算
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
④除法：z1z2＝a＋bic＋di＝（a＋bi）（c－di）（c＋di）（c－di）
＝ac＋bd＋（bc－ad）ic2＋d2(c＋di≠0).
诊 断 自 测
1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.( )
高考数学专题平面向量、数系的扩充与复数的引入
1 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
第一节平面向量的概念及其线性运算
1．向量的有关概念
(1)向量：既有大小，又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．
(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．
(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．
2．向量的线性运算
向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律
加法 求两个向量和的运算
三角形法则
平行四边形法则 (1)交换律：a＋b＝b＋a；
(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法 求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差
三角形法则 a－b＝a＋(－b)
数乘 求实数λ与向量a的积的运(1)|λa|＝|λ||a|；
(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相(λ＋μ)a＝λa＋μa；
λ(a＋b)＝λa＋λb 2 算 同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0
3．共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.
1．作两个向量的差时，要注意向量的方向是指向被减向量的终点；
2．在向量共线的重要条件中易忽视“a≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个；
3．要注意向量共线与三点共线的区别与联系．
[试一试]
1．若向量a与b不相等，则a与b一定( )
A．有不相等的模 B．不共线
C．不可能都是零向量 D．不可能都是单位向量
答案：C
2．若菱形ABCD的边长为2，则|AB－CB＋CD|＝________.
解析：|AB－CB＋CD|＝|AB＋BC＋CD|＝|AD|＝2.
2018届高考数学(文)大一轮复习检测：第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 课时作业26 含答案
课时作业26 平面向量概念及其线性运算
一、选择题
1．给出下列命题：
①向量AB→与向量BA→长度相等，方向相反；
②AB→＋BA→＝0；
③两个相等向量起点相同，则其终点必相同；
④AB→与CD→是共线向量，则A、B、C、D四点共线．
其中不正确命题个数是( )
A．2 B．3 C．4 D．1
解析：①正确；②中AB→＋BA→＝0，而不等于0；③正确；④中AB→与CD→所在直线还可能平行，综上可知②④不正确．故选A.
答案：A
2．“存在实数λ，使得a＝λb”是“a与b共线”( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：当a≠0，b＝0，a＝λb不成立．
答案：A
3．已知AB→＝a＋2b，BC→＝－5a＋6b，CD→＝7a－2b，则下列三点一定共线是( )
A．A，B，C B．A，B，D
C．B，C，D D．A，C，D
解析：因为BD→＝BC→＋CD→＝－5a＋6b＋7a－2b＝2a＋4b＝2AB→，所以A，B，D三点共线．
答案：B
4．(2017·安徽模拟)若点M在△ABC边AB上，且AM→＝12MB→，则CM→等于( )
A.12CA→＋12CB→ B．2CA→－2CB→
C.13CA→＋23CB→ D.23CA→＋13CB→
解析：如图，
由AM→＝12MB→，知AM→＝13AB→，所以CM→＝CA→＋AM→＝CA→＋13AB→＝CA→＋13CB→－CA→＝23CA→＋13CB→.
答案：D
5．已知a，b是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则下列说法正确是( )
A．a＋b＝0 B．a＝b
C．a与b共线反向 D．存在正实数λ，使a＝λb
解析：因为a，b是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|.则a与b共线同向，故D正确．
答案：D
6．(2017·山西质检)已知O，A，B，C为同一平面内四个点，若2AC→＋CB→＝0，则向量OC→等于( )