函数图像的切线问题(最新整理)

设切点为 P(x0，y0)，利用导数将切线方程表示为 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，再将
A(s,t)代入求出 x0. 2．两个函数图像的公切线
函数 y=f(x)与函数 y=g(x) 存在公切线，
若切点为同一点 P(x0，y0)，则有 Error!
若切点分别为(x1,f(x1)),(x2,g(x2)),则有
y
kx
与曲线
y
l8n
x
有公共点，则
k
6
的最大值为
15 5
30
20 10
.
解：根据题8意画出右图，由图可知，当直线和曲线相切时， k 取8 得最大值.
设切点坐标为 x0,
y0
，则
y0
ln
x0
，
y
'
1 x
y ' 1 ，切线方程为
x 10x0
x0
y
ln
x0
1 x0
(x
x0 ) ，原点在切线上，ln
x0
4
A. 1 或 25 64
B. 1 或 21 4
C. 7 或 25 4 64
D. 7 或 7 4
思路：本题两条曲线上的切点均不知道，且曲线 y ax2 15 x 9 含有参数，所以考虑 4
先从常系数的曲线 y x3入手求出切线方程，再考虑在利用切线与曲线
1， x0
e12
斜率的最大值为
1
.
e
例 10.曲线 y ex 在点 2, e2 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）
A. e2
B. 2e2
C. 4e2
e2
D.
2
思路： f ' x ex 由图像可得三角形的面积可用切线的横纵截距计算，进而先利用求出
切线方程 f ' 2 e2 所以切线方程为： y e2 e2 x 2 即 e2x y e2 0 ，
g' 1 2 ，且 f ' x g' x 2x ，所以 f ' 1 g' 1 2 4 ，从而切线方程为：
y 4 4 x 1 y 4x
例 3. 已知直线 y kx 1与曲线 y x3 ax b 切于点 (1, 3) ，则 b 的值为_________
y ax2 15 x 9 求出 a 的值.设过 1,0 的直线与曲线 y x3 切于点 4
x0, x03
,切线方
程为 y x03 3x02 x x0 ，即 y 3x02 x 2x03 ，因为 1,0 在切线上，所以解得： x0 0
或
x0
3
，
2
即
切
点
坐
标
为
0,0 或
3 2
x2 , aex2
y' 2x
，由
y
'
aex
可得：
2 x1
ae x2
aex2 x12 x2 x1
，所以有
2
x1
2x1
2x1 x12 x2 x1 ae x2
x1
2 x2
2 ，所以 aex2
4 x2
4，
即
a
4 x2 1
e x2
，设
f
x
4
x 1
ex
，则
f
'
x
42
ex
x
.可知
f
x
在 1,2
（2）在利用切线与 y ax2 15 x 9 求 a 的过程中，由于曲线 y ax2 15 x 9 为抛物
4
4
线，所以并没有利用导数的手段处理，而是使用解析几何的方法，切线即联立方程后的
0 来求解，减少了运算量.通过例 7，例 8 可以体会到导数与解析几何之间的联系：一
方面，求有关导数的问题时可以用到解析的思想，而有些在解析中涉及到切线问题时，若
求 a, b 的值思路：本题中求 a, b 的值，考虑寻找两个等量条件进行求解， P 在直线
y 3x 2 ln 2 2 上， y 3 2 2 ln 2 2 2 ln 2 4 ，即 f 2 =2ln2 4 ，得到
a, b 的一个等量关系，在从切线斜率中得到 x 2 的导数值，进而得到 a, b 的另一个等量关系，从而求出 a, b
g x 4x3 6x2 3 有三个不同交点，数形结合即可解决
解：设切点坐标 x0 , y0 ，切线斜率为 k ，则有：
ky0f2'
x03
x0
3x0 6
x02
3
切线方程为： y 2x03 3x0 6x02 3 x x0
因为切线过 P 1, t ，所以将 P 1, t 代入直线方程可得：
任意一点 P ，斜率的范围即为导函数的值域： y' =3x2 11, ，所以倾斜角的范围
是
0,
2
3 4
,
.答案：B
例 12.已知函数 f x 2x3 3x ，若过点 P 1, t 存在 3 条直线与曲线 y f x 相切，
求 t 的取值范围
思路：由于并不知道 3 条切线中是否存在以 P 为切点的切线，所以考虑先设切点 x0 , y0 ，
,
27 8
.当
切
点
0,0 时，由
y 0与
y ax2 15 x 9 相切可得 4
15 4
2
4a
9
0
a
25 64
，同理，切点为
3 2
,
27 8
解得
a
1
4
高二数学学案
编号
答案：A 小炼有话说：（1）涉及到多个函数公切线的问题时，这条切线是链接多个函数的桥梁.所以可以考虑先从常系数的函数入手，将切线求出来，再考虑切线与其他函数的关系
高二数学学案
编号
要点梳理归纳
函数图像的切线问题
1.求曲线 y＝f(x)的切线方程的三种类型及其方法
(1)已知切点 P(x0，f(x0))，求 y＝f(x)在点 P 处的切线方程：
切线方程为
y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0).
(2)已知切线的斜率为 k，求 y＝f(x)的切线方程：
设切点为 P(x0，y0)，通过方程 k＝f′(x0)解得 x0，再由点斜式写出方程. (3)已知切线上一点(非切点)A(s,t)，求 y＝f(x)的切线方程：
与两坐标轴的交点坐标为 1,0 0, e2 S 1 1 e2 e2
2
2
例 11.一点 P 在曲线 y x3 x 2 上移动，设点 P 处切线的倾斜角为，则角的取值 3
范围是( )．
6
高二数学学案
编号
A.
0,
2
B.
0,
2
3 4
,
C.
3 4
,
D.
2
,
3 4
思路：倾斜角的正切值即为切线的斜率，进而与导数联系起来. y' 3x2 1 ，对于曲线上
2
ln
2
4
a b
2 1
例 6.设函数 f x x3 ax2 9x 1a 0 ，若曲线 y f x 的斜率最小的切线与直
线12x y 6 平行，求 a 的值
思路：切线斜率最小值即为导函数的最小值，已知直线的斜率为 12 ，进而可得导函数的
3
高二数学学案
编号
最小值为 12 ，便可求出 a 的值
切线斜率为
k
，则满足
ky0f2'
x03
x0
3x0 6
x02
3
，所以切线方程为 y y0 k x x0 ，即
y 2x03 3x0 6x02 3 x x0 ，代入 P 1, t 化简可得： t 4x03 6x02 3 ，所
以若存在 3 条切线，则等价于方程 t 4x03 6x02 3 有三个解，即 y t 与
例 13. 已知曲线 C:x2=y，P 为曲线 C 上横坐标为1 的点，过 P 作斜率为 k(k≠0)的直线交 C
于另一点 Q，交 x 轴于 M，过点 Q 且与 PQ 垂直的直线与 C 交于另一点 N，问是否存在实数 k，使得直线 MN 与曲线 C 相切？若存在，求出 K 的值，若不存在，说明理由.
解：
f
'
x
3x2
2ax
9
3
x2
2 3
a
1 9
a2
1 a2 3
9
3
x
1 3
a
2
1 a2 3
9
f ' x min
f
1 3
a
1 a2 3
9
直线12x y 6 的斜率为 12 ，依题意可得：
1 a2 9 12 a 3 a 0 a 3 3
题型三公切线问题例 7.若存在过点(1,0)的直线与曲线 y x3 和 y ax2 15 x 9 都相切,则 a 等于( )
曲线可写成函数的形式，那么也可以用导数来进行处理，（尤其是抛物线）
例 8.若曲线 C1：y x 2 与曲线 C2：y ae x 存在公切线，则 a 的最值情况为（）
8
A．最大值为
e2
4
B．最大值为
e2
8
C．最小值为
e2
4
D．最小值为
e2
解析：设公切线与曲线 C1 切于点
x1, x12
，与曲线 C2 切于点
单调递
增，在 2, 单调递减，所以 amax
f
2
4 e2
5
15 10
12 12
18
10

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三次函数切线专题

三次函数切线问题一、过三次函数上一点的切线问题。

设点P 为三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 图象上任一点，则过点P 一定有直线与)(x f y =的图象相切。

若点P 为三次函数图象的对称中心，则过点P 有且只有一条切线；若点P 不是三次函数图象的对称中心，则过点P 有两条不同的切线。

证明设),(11y x P 过点P 的切线可以分为两类。

1、 P 为切点 c bx ax x f k ++==1211/123)(，切线方程为：))(23(11211x x c bx ax y y -++=-P 不是切点，过P 点作)(x f y =图象的切线，切于另一点Q （22,y x ）12122122313212122x x cx cx bx bx ax ax x x y y k --+-+-=--= c bx bx ax x ax ax +++++=21212122又 c bx ax x f k ++==2222/223)( （1）c bx bx ax x ax ax +++++21212122c bx ax ++=22223即0)2)((1212=++-a b x x x x ∴ abx x 22112--=代入（1）式得 c ab bx ax k +-+=4214321212讨论：当21k k =时，=++c bx ax 12123c ab bx ax +-+421432121，得a b x 31-=，当a bx 31-=时，两切线重合，所以过点P 有且只有一条切线。

当abx 31-≠时，21k k ≠，所以过点P 有两条不同的切线。

其切线方程为：))(23(11211x x c bx ax y y -++=-))(42143(121211x x c ab bx ax y y -+-+=-由上可得下面结论：过三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 上异于对称中心的任一点),(111y x P 作)(x f y =图象的切线，切于另一点),(222y x P ，过),(222y x P 作)(x f y =图象的切线切于),(333y x P ，如此继续，得到点列),(444y x P ----),(n n n y x P ----，则abx x n n 2211--=+，且当+∞→n 时，点趋近三次函数图象的对称中心。

切线、公切线与切线逼近型汇编+(解析版)

切线、公切线与切线逼近型汇编目录题型一：有切点切线方程题型二：无切点型切线关系题型三：“在点”型切线求参题型四：“过点”型切线方程题型五：“过点”型切线条数判断题型六：“过点”型切线条数求参题型七：三角函数型切线综合应用题型八：函数公切线题型九：函数公切线求参数范围题型十：函数公切线条数判断题型十一：公切线综合题型十二：切线逼近求零点题型十三：双切线存在性题型十四：切线逼近：不等式整数解求参题型一：有切点切线方程1(2023·全国·三模)已知定义域为R的函数f x 的图像关于原点对称，且f3-x+f-x=0，若曲线y=f x 在6,f6处切线的斜率为4，则曲线y=f x 在-2022,f-2022处的切线方程为()A.y=-4x-8088B.y=4x+8088C.y=-14x-10112D.y=14x+10112【答案】B【详解】因为定义域为R的函数f x 的图像关于原点对称，所以f0 =0，因为f3-x+f-x=0，f6-x+f3-x=0，两式相减可得，f6-x=f-x，故T=6，故f-2022=f0 =0；因为f -2022=f 0 =f 6 =4，故所求切线方程为y=4x+8088，故选：B．【点睛】本题考查函数的奇偶性和周期性，以及导函数的周期性，求原函数的切线问题，属于较难题.2(21-22高三下·福建莆田·阶段练习)函数f x =ln x+ax3的图象在点P1,f(1)切的切线分别交x 轴，y 轴于A 、B 两点，O 为坐标原点，2OP =OA +OB，则a =()A.-32B.-14C.14D.32【答案】B【详解】f x =ln x +ax 3，f 'x =1x+3ax 2，故f '1 =1+3a ，f 1 =a ，P 1,a ，故切线方程为：y =1+3a x -1 +a ，故A 1+2a1+3a ,0，B 0,-1-2a .2OP =OA +OB ，即2,2a =1+2a 1+3a ,-1-2a ，解得a =-14.故选：B .【点睛】本题考查了切线方程，向量运算，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.3(21-22高三上·河南·阶段练习)已知f x 是定义在R 上的单调函数，满足f f x -e x =1，则f x 在(0,f (0))处的切线方程为()A.y =x +1B.y =x -1C.y =-x +1D.y =-x -1【答案】A【分析】由f x 是定义在R 上的单调函数，满足f f x -e x =1，可得f x -e x 为一固定的数，可设a =f x -e x ，则有f a =1，可得函数的解析式，求解出切线斜率和切点，可得答案.【详解】由题意可得f x -e x 为一固定的数，设a =f x -e x ，则有f a =1.由a =f x -e x 可得f x =a +e x ，当x =a 时，有f a =a +e a =1，解得a =0.∴f x =e x ， ∴f x =e x ．∴f 0 =e 0=1，又f 0 =e 0=1．∴曲线f x 在0,f 0 处的切线方程为y -1=x ，即y =x +1．故选：A ．4(2024·海南海口·二模)已知函数f x 的定义域为R ，f x +1 是偶函数，当x <12时，f x =ln 1-2x ，则曲线y =f x 在点2,f 2 处的切线斜率为()A.25B.-25C.2D.-2【答案】C【详解】因为f x +1 是偶函数，所以函数f x 的图象关于x =1对称，则f 2-x =f x ，当x >32时，∴2-x <12，∴f 2-x =ln 1-22-x =ln 2x -3 ，∴f x =ln 2x -3 ，则f x =22x -3，∴f 2 =2，即曲线y =f x 在点2,f 2 处切线的斜率为2.故选：C .5(23-24高二下·山西运城·开学考试)定义在R 上的偶函数f (x )满足f (2-x )+f (x )=0，且当x ∈[0,1)时，f (x )=x -1，则曲线y =f (x )在点-94,f -94 处的切线方程为.【答案】4x -4y +11=0【详解】因为f x 是R 上的偶函数，且f 2-x +f x =0，所以f x =-f 2-x =-f x -2 ⇒f x -2 =-f x ，所以f x -4 =-f x -2 =f x ，即f x 为周期函数，且周期为4.设x ∈1,2 ，则2-x ∈0,1 ，由f x =-f 2-x =-2-x -1 =1-2-x ；设x ∈-3,-2 ，则x +4∈1,2 ，由f x =f x +4 =1-2-x +4 =1--2-x .当x ∈-3,-2 时，f x =-12·1-x -2·-1 =12·1-x -2.所以：f -94=1-94-2=1-12=12，f -94 =12·194-2=1.所以曲线y =f x 在点-94,f -94 处的切线方程为：y -12=1·x +94⇒4x -4y +11=0.故答案为：4x -4y +11=0【点睛】方法点睛：该问题的解决方法可以有两种思路：(1)求出函数在区间-3,-2 上的解析式，可得f -94 和f -94，进而求出所求的切线方程；(2)利用函数的对称性和周期性，先求f -94=f 74 =-f 14 得到切点，再根据f x 的图象关于1,0 点对称，则f x 关于x =1轴对称，所以f -94=f 74 =f 14 得切线斜率，可得所求切线方程.题型二：无切点型切线关系1(2024·湖北·模拟预测)设D =x -a2+e x -2a 2+a +1，其中e ≈2.71828，则D 的最小值为()A.2 B.2+1C.3D.3+1【答案】A【详解】令Q x ,e x ，P a ,2a ，则点Q 在函数f x =e x 图象上，P 在函数g x =2x 的图象上，容易知道g x =2x 图象是抛物线y 2=4x 图象的上半部分，记抛物线焦点为F 1,0 ，过 P 作抛物线的准线l :x =-1的垂线，垂足为M ，如图所示：则D =x -a2+e x -2a 2+a +1=PQ +PM =PQ +PF ≥FQ ，当且仅当P 在线段 FQ 上时，取最小值.设这时Q 点坐标为Q x 0,e x 0，又f x =e x ，所以有e x 0⋅e x 0-0x 0-1=-1⇒e 2x 0=1-x 0，解得x 0=0 ，即该点为0,1 ，所以FQ ≥1-02+0-1 2=2，因此D min =2.故选：A .【点睛】关键点点睛：本题关键点在于数形结合，将D 的值转化为点到点的距离与点到直线的距离之和的问题.2(2020·北京·二模)点P 在函数y =ex 的图象上．若满足到直线y =x +a 的距离为2的点P 有且仅有3个，则实数a 的值为()A.22B.23C.3D.4【答案】C【解析】要满足到直线y =x +a 的距离为2的点P 有且仅有3个，则需要直线与函数y =ex 的图象相交，而且点P 在函数y =ex 的图象上满足在直线一侧一个点到直线距离为2，另外一侧两个点到直线距离为2．于是就涉及到切线问题，需要求导数，求切点．从而解决问题．【详解】过函数y =ex 的图象上点P (x 0，y 0)作切线，使得此切线与直线y =x +a 平行∵y ′=ex ，于是e x 0=1，则x 0=0，y 0=1∴P (0，1)，于是当点P 到直线y =x +a 的距离为2时，则满足到直线y =x +a 的距离为2的点P 有且仅有3个，∴d =-1+a1+1=2，解得a =-1或a =3又当a =-1时，函数y =ex 的图象与直线y =x -1相切，从而只有两个点到直线距离为2，所以不满足；故a =3．故选：C ．【点睛】本题考查利用导数求切线切点，以及曲线与直线的位置关系的综合应用，难度较大.3(21-22高三·重庆·阶段练习)已知函数f (x )=x -ln x ，若f (x )在x =x 1和x =x 2(x 1≠x 2)处切线平行，则A.1x 1+1x 2>12 B.x 1x 2<128C.x 1+x 2<32D.x 21+x 22>512【答案】D【解析】求函数导数，进而利于导数的几何意义得切线斜率，列方程化简，结合基本不等式可得解.【详解】由f (x )=x -ln x ，得f '(x )=12x-1x(x >0)，∴12x 1-1x 1=12x 2-1x 2，整理得：x 2-x 12x 1x 2=x 2-x 1x 1x 2，则1x 1+1x 2=12，∴12=1x 1+1x 2≥21x 1x 2，则1x 1x 2≤116，∴x 1x 2≥256，∵x 1≠x 2，∴x 1x 2>256.∴x 21+x 22>2x 1x 2=512.故选D ．【点睛】本题主要考查了导数的几何意义及基本不等式，属于难题.4(2024高三下·全国·专题练习)已知三次函数f x 有三个零点x 1，x 2，x 3，且在点x i ,f x i 处切线的斜率为k i i =1,2,3 ，则1k 1+1k 2+1k 3=.【答案】0【详解】令f x =a x -x 1 x -x 2 x -x 3 ，其中a ≠0，x 1，x 2，x 3互不相等.则f x =a x -x 2 x -x 3 +x -x 1 x -x 3 +x -x 1 x -x 2 .1k 1+1k 2+1k 3=1a 1x 1-x 2 x 1-x 3 +1x 2-x 1 x 2-x 3 +1x 3-x 1 x 3-x 2 =x 2-x 3+x 3-x 1+x 1-x 2a x 1-x 2 x 1-x 3 x 2-x 3=0.故答案为：0.5(23-24高二下·北京·期中)已知函数f x =a x -x 1 x -x 2 x -x 3 a >0 ，设曲线y =f x 在点x i ,f x i 处切线的斜率为k i i =1,2,3 ，若x 1，x 2，x 3均不相等，且k 2=-2，则1k 1+1k 3=.【答案】12/0.5【详解】f x =a x -x 1 x -x 2 x -x 3 +a x -x 1 x -x 2 x -x 3=a 2x -x 1+x 2 x -x 3 +a x -x 1 x -x 2 .由k 2=-2，则a 2x 2-x 1+x 2 x 2-x 3 +a x 2-x 1 x 2-x 2 =2，即a x 2-x 3 x 2-x 1 =-2，又k 1=a x 1-x 2 x 1-x 3 ，k 3=a x 3-x 1 x 3-x 2 ，由于x 1，x 2，x 3均不相等，则1k 1+1k 3=1a x 1-x 2 x 1-x 3 +1a x 3-x 1 x 3-x 2 =x 3-x 2 -x 1-x 2a x 1-x 2 x 1-x 3 x 3-x 2=x 3-x 1-2x 1-x 3=12故答案为：12题型三：“在点”型切线求参1(22-23高二下·广东广州·期末)已知曲线y=x+ln x在点1,1处的切线与曲线y=ax2+a+4x +ln x-1只有一个公共点，则实数a的取值范围是()A.a≥0B.a≥0或a=-1C.-1≤a≤0D.a≥-1【答案】B【详解】由题意y=x+ln x得y =1+1x，则y|x=1=2，故曲线y=x+ln x在点1,1处的切线方程为y-1=2(x-1)，即2x-y-1=0，而切线2x-y-1=0与曲线y=ax2+a+4x+ln x-1只有一个公共点，即2x-1=ax2+a+4x+ln x-1有且只有一正解，即ax2+a+2x+ln x=0有且只有一正解，令g(x)=ax2+a+2x+ln x,(x>0)，则g (x)=2ax+a+2+1x=2ax2+(a+2)x+1x=(2x+1)(ax+1)x，由于x>0，故2x+1>0，当a=0时，g (x)>0，g(x)在(0,+∞)上单调递增，且g(x)=2x+ln x,(x>0)，g1e2=2e2-2<0,g(1)=2>0，即g(x)在(0,+∞)上存在唯一零点，即ax2+a+2x+ln x=0有且只有一正解；当a>0时，g (x)>0，g(x)在(0,+∞)上单调递增，由于ax2+a+2x的最小值为-(a+2)24a<0，故当x趋向于0时，g(x)可取到负值，且g(1)=2a+2>0，故g(x)在(0,+∞)上存在唯一零点，即ax2+a+2x+ln x=0有且只有一正解；当a<0时，当0<x<-1a时，g(x)>0，g(x)在0,-1a上单调递增，当x>-1a时，g(x)<0，g(x)在-1a,+∞上单调递减，故g(x)max=g-1 a=-1a-1+ln-1a，令h(x)=ln x+x-1,(x>0)，则h(x)在(0,+∞)上单调递增，且h(1)=0，此时要使ax2+a+2x+ln x=0有且只有一正解，故需-1a-1+ln-1a=0,∴a=-1，综合以上可知a≥0或a=-1，故选：B【点睛】难点点睛：根据导数的几何意义求出曲线y=x+ln x的切线方程，要保证切线与曲线y=ax2+a+4x+ln x-1只有一个公共点，关键就是转化为ax2+a+2x+ln x=0有且只有一正解，从而构造函数，分类讨论，结合导数解决问题.2(2022·山西晋城·一模)已知函数f x =ln x -x ，f x 的图像在点P 处的切线l 1与y 轴交于点A ，过点P 与y 轴垂直的直线l 2与y 轴交于点B ，则线段AB 中点M 的纵坐标的最大值是A.1-e2B.e -1C.2ln2-3D.ln2-32【答案】D【详解】设点P (x 0,ln x 0-x 0)(x 0>0)，∵f x =ln x -x ，∴f x =1x -1=1-xx ，∴f x 0 =1-x 0x 0，∴切线l 1的方程为y -(ln x 0-x 0)=1-x 0x 0(x -x 0)，令x =0，得y =ln x 0-1，故A (0,ln x 0-1)，又点B (0,ln x 0-x 0)，∴线段AB 中点M 的纵坐标t =12[(ln x 0-1)+(ln x 0-x 0)]=12(2ln x 0-x 0-1)，设g (x )=12(2ln x -x -1)(x >0)，则g (x )=122x -1 =2-x2x，故当0<x <2时，g (x )>0,g (x )单调递增；当x >2时，g (x )<0,g (x )单调递减．∴g (x )min =g (2)=12(2ln2-3)=ln2-32．选D ．3(2022·湖北·一模)已知函数f (x )=e x +ax 2(a ∈R )在点P (m ,f (m ))(m >1)处的切线为l ，若直线l 在y 轴上的截距恒小于1，则实数a 的取值范围是A.-12,+∞ B.[-1,+∞)C.-12,+∞ D.-1,-12【答案】B【详解】根据答案分析此题可用特殊值法：取a =-1,根据题意可得函数的切线方程为：y -(e m +am 2)=(e m +2am )(x -m )，故在y 轴的截距为：(1-m )e m -am 2，所以(1-m )e m -am 2<1恒成立(m >1),故令g (m )=(m -1)e m +am 2+1>0恒成立，g '(m )=m (e m +2a )，显然当a 取-1时，g '(m )>0，故g (m )在m ∈(1,+∞)单调递增，g (m )min =g (1)=0，故g (m )>0恒成立，故a 取-1成立，所以排除ACD ，选B点睛：对于12题这种压轴选择题，我们掌握一些做题技巧，巧借答案可根据备选答案去分析通过排除法轻而易举得出结论4(21-22高二上·河南商丘)设直线l 1、l 2分别是函数f (x )=|ln x |图象上点P 1、P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，则点P 横坐标的取值范围为()A.0,1B.(0,2)C.0,+∞D.(1,+∞)【答案】A【详解】解：设P 1x 1,y 1 ，P 2x 2,y 2 ，0<x 1<x 2 ，当0<x ≤1时，f (x )=-ln x ，f x =-1x；当x >1时，f (x )=ln x ，f x =1x ，若1<x 1<x 2，则k 1k 2=1x1⋅1x 2=1x 1x 2≠-1，不合题意；若0<x 1<x 2≤1，则k 1k 2=-1x 1⋅-1x 2=1x 1x 2≠-1，不合题意；∴0<x 1<1<x 2，l 1的斜率k 1=-1x 1，l 2的斜率k 2=1x 2，∵l 1与l 2垂直， ∴k 1k 2=-1x 1x 2=-1，即x 1x 2=1，∵直线l 1：y =-1x 1x -x 1 -ln x 1，l 2：y =1x 2x -x 2 +ln x 2，∴联立两直线l 1和l 2方程可得交点P 的横坐标为x =2x 1+x 2，∴x =2x 1+x 2=2x 1+1x1，∵函数y =x +1x 在0,1 上为减函数，且0<x 1<1，∴x 1+1x 1>1+1=2，则0<1x 1+1x1<12，∴0<2x 1+1x1<1．∴点P 横坐标的取值范围为0,1 ．故选：A ．5(2022全国·二模)设点P 在曲线y =ln x -1x +1上，点Q 在直线y =2x 上，则PQ 的最小值为A.2 B.1C.65D.255【答案】D【详解】先求曲线上切线斜率为2的点的横坐标：令y =1x +1x2=2，解得x =1，代入曲线方程求得y =0，故切点为1,0 ，斜率为2的直线方程为y =2x -1 ，将两条平行直线的方程化为一般式得2x -y =0,2x -y -2=0，故两平行直线的距离为0--25=255.故选D .【点睛】本小题主要考查利用导数求曲线和直线间的最短距离，它的主要思想方法是通过将直线平移到曲线上，使得平行直线和曲线相切，这个时候，两条平行线间的距离，就是曲线上的点和直线上的点的距离的最小值.在求切线的过程中，要把握住切点和斜率两个关键点.属于中档题.题型四：“过点”型切线方程1(22-23高二下·湖北咸宁·开学考试)过原点的直线m ,n 与分别与曲线f x =e x ，g x =ln x 相切，则直线m ,n 斜率的乘积为()A.-1B.1C.eD.1e【答案】B【详解】设f x ,g x 的切点分别为x 1,e x 1,x 2,ln x 2 ，由题意可得f x =e x ，g x =1x，所以f x 在x =x 1处的切线为y -e x 1=e x 1x -x 1 ，g x 在x =x 2处的切线为y -ln x 2=1x 2x -x 2 ，又因为两条切线过原点，所以0-e x 1=e x 10-x 1 0-ln x 2=1x 20-x 2，解得x 1=1x 2=e ，所以直线m ,n 斜率的乘积为f x 1 g x 2 =e 1×1e=1，故选：B2(22-23高三上·黑龙江哈尔滨·期末)过点P 1,0 可以作曲线f x =xe x 的两条切线，切点的横坐标分别为m ，n ，则m 2+n 2的值为()A.1B.2C.5D.3【答案】D【详解】f x =x +1 e x ，设切点为坐标x ,y ，则x +1 e x=y x -1=xe x x -1，即x 2-x -1 e x =0，则x 1+x 2=1,x 1⋅x 2=-1，由题意知x 2-x -1=0有两解，分别为m ，n ，故m 2+n 2=x 12+x 22=x 1+x 2 2-2x 1⋅x 2=1-2×-1 =3，故选：D .3(2022·河南·模拟预测)已知f x =12x 2-12x，过原点作曲线y =f x 的切线，则切点的横坐标为()A.232B.-232C.-32D.32【答案】C 【详解】由f x =12x 2-12x 得：f x =x +12x2；设切点坐标为x 0,12x 20-12x 0，∴f x 0 =x 0+12x 20，则切线方程为：y -12x 20+12x 0=x 0+12x 20x -x 0 ，∵切线过原点，∴-12x 20+12x 0=-x 0x 0+12x 20=-x 20-12x 0，解得：x 0=-32，即切点横坐标为-32.故选：C .4(2022·四川南充·三模)已知函数f x =x +1x，过点P 1,0 作函数y =f x 图象的两条切线，切点分别为M ，N ．则下列说法正确的是()A.PM ⊥PNB.直线MN 的方程为2x -y +1=0C.MN =210D.△PMN 的面积为32【答案】C【详解】因为f 1 =1+1=2，所以P 1,0 没有在函数的图象上，fx =1-1x 2=x 2-1x 2，设切点坐标为a ,b a ≠0 ，当a =1时，f 1 =2，x =1不与f x =x +1x相切，所以a ≠1，fa =a 2-1a 2=b a -1，又因为a +1a =b ，解得a =-1±2，即-1-2,-22 ，-1+2,22 ，所以k PM ×k PN =222+2×222-2=-4≠-1，故A 错误；k NM =22+2222=2，所以直线MN 的方程为y =2x -1 ，即2x -y +2=0，故B 错误；MN =-1+2+1+2 2+22+22 2=210，故C 正确；P 1,0 到直线MN 的距离为d =2-0+24+1=455，所以△PMN 的面积为12MN d =12×210×455=42，故D 错误.故选：C .5(2022·河南商丘·三模)已知曲线y =x ln x -3x 2的一条切线在y 轴上的截距为2，则这条切线的方程为()A.4x -y -2=0B.5x -y -2=0C.4x +y -2=0D.5x +y -2=0【答案】D【详解】函数y =x ln x -3x 2的定义域为0,+∞ ，设切点坐标为x 0,x 0ln x 0-3x 02，因为y =ln x -6x +1，则切线斜率为ln x 0-6x 0+1，所以切线方程为y -x 0ln x 0+3x 20=ln x 0-6x 0+1 x -x 0 ，将点0,2 代入切线方程并整理得3x 20-x 0-2=0，解得x 0=1，或x 0=-23(舍去)，所以这条切线的方程为y +3=-5x -1 ，即5x +y -2=0．故选：D ．题型五：“过点”型切线条数判断1(2022·全国·模拟预测)过点P 0,b 作曲线y =xe x 的切线，当-4e 2<b <0时，切线的条数是()A.0B.1C.2D.3【答案】D【详解】设切点为m ,me m ，∵y =x +1 e x ，∴切线斜率k =m +1 e m ，∴切线方程为：y -me m =m +1 e m x -m ；又切线过P 0,b ，∴b =me m -m m +1 e m =-m 2e m ；设f m =-m 2e m ，则f m =-m m +2 e m ，∴当m ∈-∞,-2 ∪0,+∞ 时，f m <0；当m ∈-2,0 时，f m >0；∴f m 在-∞,-2 ，0,+∞ 上单调递减，在-2,0 上单调递增，又f -2 =-4e 2，f 0 =0，f m ≤0恒成立，可得f m 图象如下图所示，则当-4e 2<b <0时，y =b 与f m 有三个不同的交点，即当-4e 2<b <0时，方程b =-m 2e m 有三个不同的解，∴切线的条数为3条.故选：D .2(2024·北京海淀·一模)已知f x =x 3,x ≤0lg x +1 ,x >0，函数f (x )的零点个数为m ，过点(0,2)与曲线y =f (x )相切的直线的条数为n ，则m ,n 的值分别为()A.1,1B.1,2C.2,1D.2,2【答案】B【详解】令f x =0，即x ≤0时，x 3=0，解得x =0，x >0时，lg x +1 =0，无解，故m =1，设过点(0,2)与曲线y =f (x )相切的直线的切点为x 0,y 0 ，当x <0时，f x =3x 2，则有y -x 30=3x 20x -x 0 ，有2-x 30=3x 20-x 0 ，整理可得x 30=-1，即x 0=-1，即当x 0<0时，有一条切线，当x >0时，f x =lg e x +1，则有y -lg x 0+1 =lg ex 0+1x -x 0 ，有2-lg x 0+1 =lg ex 0+1-x 0 ，整理可得2+lg e x 0+2-x 0+1 lg x 0+1 =0，令g x =2+lg e x +2-x +1 lg x +1 x >0 ，则g x =2-lg x +1 ，令g x =0，可得x=99，故当x∈0,99时，g x >0，即g x 在0,99上单调递增，当x∈99,+∞时，g x <0，即g x 在99,+∞上单调递减，由g99=2+lg e×99+2-200=99lg e>0，g0 =2-0=2>0，故g x 在x∈0,99上没有零点，又g999=2+lg e×999+2-1000×3=999lg e-1000<0，故g x 在99,999上必有唯一零点，即当x0>0时，亦可有一条切线符合要求，故n=2.故选：B.3(23-24高三上·湖北·期中)函数f(x)=x3+(a-1)x2-x+b为R上的奇函数，过点P-1 2 ,1作曲线y=f(x)的切线，可作切线条数为()A.1B.2C.3D.不确定【答案】A【详解】f(-x)=-x3+(a-1)x2+x+b=-f x =-x3-(a-1)x2+x-b，故a=1，b=0，f(x)=x3-x，f (x)=3x2-1，设切点为M x0,y0，则f (x0)=3x02-1=y0-1x0+12，且f(x0)=x30-x0=y0，整理得到x0+14x20-x0+1=0，解得x0=-1，f (-1)=2，故切线方程为y=2x+2，故选：A4(2023·吉林通化·模拟预测)若过点a,b可作曲线y=x2-2x的两条切线，则点a,b可以是()A.0,0B.1,1C.3,0D.3,4【答案】C【详解】设切点坐标为t,t2-2t，对函数y=x2-2x求导可得y =2x-2，所以，切线斜率为k=2t-2，所以，曲线y=x2-2x在点t,t2-2t处的切线方程为y-t2-2t=2t-2x-t，即y=2t-2x-t2，将点a,b的坐标代入切线方程可得b=2t-2a-t2，即t2-2at+2a+b=0，因为过点a,b可作曲线y=x2-2x的两条切线，则关于t的方程t2-2at+2a+b=0有两个不等的实数解，所以，Δ=4a2-42a+b>0，即a2-2a-b>0，即b<a2-2a，对于点0,0，0=02-2×0，A不满足；对于点1,1，1>12-2×1，B不满足；对于点3,0，0<32-2×3，C满足；对于点3,4，4>32-2×3，D不满足.故选：C.5(2024·全国·模拟预测)过坐标原点作曲线f x =e x x2-2x+2的切线，则切线共有() A.1条 B.2条 C.3条 D.4条【答案】A【详解】设切点为x0,e x0x20-2x0+2，由f x =e x x2-2x+2可得f x =x2e x，则过坐标原点的切线的斜率k=e x0x20-2x0+2x0=x20e x0，故x30-x20+2x0-1=0，即x0-1x20+2=0，解得x0=1，故过坐标原点的切线共有1条．故选：A．题型六：“过点”型切线条数求参1(23-24高二下·河北保定·期中)已知函数f x =x+1e x，若过P-1,t可做两条直线与函数f x 的图象相切，则t的取值范围为()A.4e ,+∞B.4eC.0,4eD.0,4e∪0 【答案】B【详解】设过点P-1,t的直线与函数f x =x+1e x的图象相切时的切点为a,b，则b=a+1e a，因为f x =x+1e x,f x =e x-x+1e xe2x=-xe x，所以切线方程为y-a+1e a=-ae ax-a，又P-1,t在切线上，所以t-a+1e a=-ae a-1-a，整理得t=(a+1)2e a，则过点P-1,t的直线与函数f x =x+1e x的图象相切的切线条数即为直线y=t与曲线g a =(a+1)2e a的图象的公共点的个数，因为g a =2a+1e a-(a+1)2e ae2a=-a+1a-1e a，令g a =0，得a=±1，所以，当a <-1时，g a <0,g a 单调递减；当-1<a <1时，g a >0,g a 单调递增；当a >1时，g a <0,g a 单调递减，因为g -1 =0,g 1 =4e，当a →+∞时g a →0，所以，函数g a 的图象大致如图：所以当t =4e时，图像有两个交点，切线有两条.故选：B .【点睛】关键点点睛：依题意求出切线方程，本题关键是将过点P -1,t 的直线与函数f x =x +1e x的图象相切的切线条数转化为直线y =t 与曲线g a =(a +1)2e a 的图象的公共点的个数，在利用导数研究函数g a 的图象.2(2023·全国·模拟预测)若过点m ,n 可作函数y =2x +1xx >0 图象的两条切线，则必有()A.0<2m +1m<n B.0<n <2m C.2m <n <2m +1mD.n <2m【答案】C【详解】设切点为a ,2a +1a，a >0，又y =2-1x 2，所以切线斜率k =2-1a 2，所以切线方程为y -2a +1a =2-1a 2x -a ，又切线过点m ,n ，则n -2a +1a =2-1a2m -a ，a >0，即2m -n a 2+2a -m =0，由过点m ,n 可作两条切线，所以2m -n a 2+2a -m =0有两个正根，即2m -n ≠0Δ=22-42m -n ⋅-m >0-22m -n >0-m 2m -n >0，整理可得2m <n <2m +1m ，故选：C.3(2023·江西九江·一模)已知函数f(x)=13x3+ax2+bx-b+43(a,b∈R)，点P(1,0)位于曲线y=f(x)的下方，且过点P可以作3条直线与曲线y=f(x)相切，则a的取值范围是()A.-53,+∞B.-53,1C.(-1,+∞)D.(1,+∞)【答案】D【详解】解：f (x)=x2+2ax+b，设切点为(x0,f(x0))，则切线斜率为f x0，切线方程为y-f(x0)=f (x0)(x-x0)，由于切线过点P(1,0)，∴-f(x0)=f (x0)(1-x0)，整理得23x30+(a-1)x20-2ax0-43=0.构造函数g(x)=23x3+(a-1)x2-2ax-43，∴y=g(x)有三个不同的零点，g (x)=2x2+2(a-1)x-2a=2(x-1)(x+a)，易知a≠-1，g(1)⋅g(-a)<0，即-53-a13a3+a2-43<0，即a+5 3(a-1)(a+2)2>0，又因为点P(1,0)在曲线下方，∴f(1)>0，即a>-5 3，解得a>1，故选：D.4(22-23高二下·山西晋中·阶段练习)已知过点A a,0作曲线y=x ln x的切线有且仅有两条，则实数a的取值范围为()A.0,+∞B.1,+∞C.1e,+∞D.e,+∞【答案】B【详解】设切点为x0,y0，对函数y=x ln x求导得y =ln x+1，所以，切线斜率为k=ln x0+1=y0x0-a=x0ln x0x0-a，整理得a=x0ln x0+1，关于x0的方程a=x0ln x0+1有两个不等的实根.令函数f x =xln x+1，由题意可得x>0ln x+1≠0，解得x>0且x≠1e，所以，函数f x 的定义域为0,1 e∪1e,+∞，且f x =ln x1+ln x2，当x∈0,1 e时，f x <0，f x <0；当1e<x<1时，f x >0，f x <0；当x>1时，f x >0，f x >0，所以f x 在0,1 e上单调递减，在1e,1上单调递减，在1,+∞上单调递增.f x极小值=f1 =1.作出函数y=a与函数f x 的图象如下图所示：由图可知，当a>1时，直线y=a与函数f x 的图象有两个交点，因此，实数a的取值范围是1,+∞.故选：B.【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：(1)直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；(2)构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；(3)参变量分离法：由f x =0分离变量得出a=g x ，将问题等价转化为直线y=a与函数y=g x 的图象的交点问题.5(22-23高三·四川南充·期中)已知函数f x =xe x，过点a,b作曲线f x 的切线，当0<a<2时，可作两条切线，则b的取值为()A.4-ae2或ae aB.4-ae2或aeC.2-ae2或ae aD.2-ae2或ae【答案】A【详解】由f(x)=xe x，可得f (x)=1-xe x，设切点坐标为x0,y0，所以y0=x0e x0，则切线的斜率为k=1-x0e x0，切线方程为y-x0e x0=1-x0e x0x-x0，当0<a<2时，由切线方程为y-x0e x0=1-x0e x0x-x0得b-x0e x0=1-x0e x0a-x0，则b=x20+1-x0ae x0，设t x =x2+1-xae x，则t x =2+ax-x2-2ae x=x-a2-xe x，因为0<a<2，所以当x∈a,2时t x >0，t x 单调递增，所以当x∈-∞,a时t x <0，t x 单调递减，所以当x∈2,+∞时t x <0，t x 单调递减，x=a时，t x 有极小值为t a =a2+1-aae a=ae a>0，x=2时，t x 有极大值为t2 =4+1-2ae2=4-ae2>0，可画出函数t x 的大致图象，结合图象若作两条切线，则b的取值为4-ae2或ae a.故选：A.题型七：三角函数型切线综合应用1(23-24高三上·浙江温州·)已知0<x1<x2<x3<4π，函数f x =sin x在点x i,sin x ii=1,2,3处的切线均经过坐标原点，则()A.tan x1x1<tan x3x3B.tan x1x1>tan x3x3C.x1+x3<2x2D.x1+x3>2x2【答案】C【详解】由题意知，f (x)=cos x，则f (x1)=cos x1,f (x2)=cos x2,f (x3)=cos x3，所以曲线f(x)在点(x1,sin x1),(x2,sin x2),(x3,sin x3)处的切线方程分别为y-sin x1=cos x1(x-x1),y-sin x2=cos x2(x-x2),y-sin x3=cos x3(x-x3)，因为切线均过原点，所以sin x1=x1cos x1,sin x2=x2cos x2,sin x3=x3cos x3，即x1=tan x1,x2=tan x2,x3=tan x3，得tan x1x1=tan x2x2=tan x3x3=1，故AB错误；由tan x1x1=tan x2x2=tan x3x3=1，得tan x i=x i(i=1,2,3)，画出函数y=tan x与y=x图象，如图，设A x 1,tan x 1 ,B x 2,tan x 2 ,C x 3,tan x 3 ，如上图易知：D (x 2-π,tan x 2),E (x 2+π,tan x 2)，由正切函数图象性质k AD <k EC ，得tan x 2-tan x 1x 2-π-x 1<tan x 3-tan x 2x 3-x 2-π，即x 2-x 1x 2-π-x 1<x 3-x 2x 3-x 2-π，又x 2-π-x 1>0,x 3-x 2-π>0，所以(x 2-x 1)(x 3-π-x 2)<(x 3-x 2)(x 2-π-x 1)，即x 1π+x 3π<2πx 2，解得x 1+x 3<2x 2，故C 正确，D 错误.故选：C【点睛】关键点点睛：证明选项CD 的关键是根据tan x i =x i (i =1,2,3)构造新函数tan x =x ，通过转化的思想和数形结合思想分析是解题的关键.2(2023·湖北武汉·二模)已知直线y =kx +t 与函数y =A sin ωx +φ A >0,ω>0 的图象恰有两个切点，设满足条件的k 所有可能取值中最大的两个值分别为k 1和k 2，且k 1>k 2，则()A.k 1k 2>73 B.53<k 1k 2<73 C.75<k 1k 2<53 D.k 1k 2<75【答案】B【详解】∵对于任意A >0，ω>0，φ∈R ，k1k 2的范围恒定，∴只需考虑y =sin x 的情况，设k 1对应的切点为x 1,sin x 1 ，x 1,sin x1 ，x 1<x 1，设k 2对应的切点为x 2,sin x2 ，x 2,sin x 2 ，x 2<x 2，∵sin x =cos x ，∴k 1=cos x 1=cos x 1，k 2=cos x 2=cos x 2，∴只需考虑x 1+x 1=2π，x 2+x 2=4π，其中-π2<x 2<x 1<0的情况，则k 1=sin x 1-sin x 1x 1-x 1=sin 2π-x 1 -sin x 12π-x 1 -x 1=-2sin x 12π-2x 1，k 2=sin x 2-sin x 2x2-x 2=sin 4π-x 2 -sin x 24π-x 2 -x 2=-2sin x 22π-2x 2，其中-π2<x 2<x 1<0，∴k 1k 2=sin x 1sin x 2⋅4π-2x 22π-2x 1=sin x 1sin x 2⋅2π-x 2π-x 1；又-2sin x 12π-2x 1=cos x 1，-2sin x 24π-2x 1=cos x 2，∴sin x 1=x 1-π cos x 1，sin x 2=x 2-2π cos x 2；令f x =tan x -x +π-π2<x <0 ，则fx =1cos 2x -1=sin 2x cos 2x =tan 2x >0，∴f x 在-π2,0 上单调递增，f 0 >0，设f x 0 =tan x 0-x 0+π=0,x 0<0⇒π-x 0 cos x 0+sin x 0=0，∴-π2<x 2<x 1<x 0，又sin x 2<sin x 1<0，∴0<sin x 1sin x 2<1，∴k 1k 2=sin x 1sin x 2⋅2π-x 2π-x 1<2π-x 2π-x 1<2π+π2π+π3=5243=158<73；令h x =sin x π-x -π2<x <x 0 ，则hx =π-x cos x +sin x π-x2，令t x =π-x cos x +sin x -π2<x <x 0 ，则t x =-π-x sin x >0，∴t x 在-π2,x 0 上单调递增，∴t x <t x 0 =π-x 0 cos x 0+sin x 0=0，即h x <0，∴h x 在-π2,x 0 上单调递减，∴sin x 1π-x 1<sin x 2π-x 2，∴sin x 1sin x 2>π-x 1π-x 2，∴k 1k 2=sin x 1sin x 2⋅2π-x 2π-x 1>π-x 1π-x 2⋅2π-x 2π-x 1=2π-x 2π-x 2=1+ππ-x 2>1+π3π2=53；综上所述：53<k 1k 2<73.故选：B .【点睛】关键点点睛：本题考查导数与三角函数综合应用问题，解题关键是能够采用特殊值的方式，考虑不含变量的函数y =sin x 的情况，采用构造函数的方式对所求式子进行放缩，从而求得k 1k 2的范围.3(23-24高三上·安徽·阶段练习)将函数y =12sin x +x x ∈0,π2 的图象绕着原点沿逆时针方向旋转θ角得到曲线Γ，已知曲线Γ始终保持为函数图象，则tan θ的最大值为()A.12B.23C.1D.32【答案】B 【详解】由题设y =12cos x +1，在原点处的切线斜率k =y x =0=12cos0+1=32，所以切线方程为y =32x ，设切线倾斜角为α∈0,π2 ，则tan α=32，当y =12sin x +x 绕着原点沿逆时针方向旋转时，始终保持为函数图象，则θ+α≤π2，故θ≤π2-α，显然θ为锐角，所以tan θ≤tan π2-α=cos αsin α=1tan α=23，故tan θ的最大值为23．故选：B4(23-24高三上·江苏南通·阶段练习)已知函数f x =a sin x +b cos x 图象上有一最低点11π6,-2 ，将此函数的图象向左平移π3个单位长度得y =g x 的图象，若函数g x 的图象在x =x 03π2<x 0<2π 处的切线与g x 的图象恰好有三个公共点，则tan x 0-x 0的值是.【答案】-3π【详解】f x =a sin x +b cos x =a 2+b 2sin x +φ ，因为函数f x =a sin x +b cos x 图象上有一最低点11π6,-2 ，所以a 2+b 2=2，且sin 11π6+φ=-1，所以11π6+φ=3π2+2k π，所以φ=-π3+2k π,k ∈Z ，所以f x =2sin x -π3+2k π =2sin x -π3，将函数f x 的图象向左平移π3个单位长度得y =g x 的图象，，则g x =2sin x ，如图，结合g (x )=2sin x 的图象及对称性可知，g (x )=2sin x 在x =x 03π2<x 0<2π 处的切线经过点3π,0 ，设切点为x 0,2sin x 0 ，则g x =2cos x ，所以2cos x 0=2sin x 0-0x 0-3π=2sin x 0x 0-3π，整理得tan x 0=sin x 0cos x 0=x 0-3π，所以tan x 0-x 0=-3π.故答案为：-3π.【点睛】关键点点睛：处理本题的关键点是找到切线与g x 的图象有3个交点时，该切线过点3π,0 ，再利用导数处理即可.5(23-24高三上·河南南阳·阶段练习)已知函数f (x )=sin (ωx +φ)(ω>0且0≤φ≤π2)，其中f (x )的最小正周期T >π，且f -7π6=f π6 =12，函数f (x )的图象在x =x 0π2<x 0<π 处的切线与f (x )的图象恰好有3个公共点，则tan x 0-x 0=.【答案】-2π【详解】因为f -7π6 =f π6 ，则f (x )的图象关于x =-7π6+π62=-π2对称，或者π6--7π6=4π3=nT n∈N*；若π6--7π6=4π3=nT n∈N*：因为f(x)的最小正周期T>π，所以T=4π3，即T=2πω=4π3，解得ω=32，即f(x)=sin32x+φ，此时fπ6=sin32×π6+φ=sinπ4+φ=12，又0≤φ≤π2，则π4≤π4+φ≤3π4，所以sinπ4+φ≥22，与sinπ4+φ=12矛盾，不合题意；所以f(x)的一条对称轴为x=-π2，即-π2ω+φ=kπ+π2k∈Z，所以φ=kπ+π2+π2ω，0≤φ≤π2；因为T>π，所以T=2π|ω|=2πω>π，即0<ω<2，所以π2<π2+π2ω<3π2，又因为0≤φ≤π2，所以k=-1，则-π2ω+φ=-π2，因为0<ω<2，则0<π6ω<π3，又0≤φ≤π2，所以0<π6ω+φ<5π6，又fπ6=sinπ6ω+φ=12，则π6ω+φ=π6①又因为-π2ω+φ=-π2②，联立①②解得ω=1，φ=0，所以f(x)=sin x.如图，结合f(x)=sin x的图象及对称性可知，f(x)=sin x在x=x0处的切线经过点(2π,0)，切点为x0,sin x0，则f (x)=cos x，所以cos x0=sin x0-0x0-2π，整理得tan x0=sin x0cos x0=x0-2π，所以tan x0-x0=-2π.故答案为：-2π.【点睛】关键点点睛：处理本题的关键点是找到切线与y=sin x的图象有3个交点时，该切线过点2π,0，再利用导数处理即可.题型八：函数公切线对函数 f(x)与g(x)，如果要求它们的图象的公切线，只需分别写出两条切线：y-f(x1)=f (x1)(x-x1))和y-g(x2)=g (x2)(x-x2)再令 f (x)=g (x)f(x1)-x1f (x)=g(x2)-x2g (x2)，消去一个变量后，再讨论得到的方程的根的个数即可。

(新)高三函数的切线问题详细讲解及训练

专题十四函数的切线问题一、基础知识：（一）与切线相关的定义1、切线的定义：在曲线的某点A 附近取点B ，并使B 沿曲线不断接近A 。

这样直线AB 的极限位置就是曲线在点A 的切线。

（1）此为切线的确切定义，一方面在图像上可定性的理解为直线刚好与曲线相碰，另一方面也可理解为一个动态的过程，让切点A 附近的点向A 不断接近，当与A 距离非常小时，观察直线AB 是否稳定在一个位置上（2）判断一条直线是否为曲线的切线，不再能用公共点的个数来判定。

例如函数3y x =在()1,1--处的切线，与曲线有两个公共点。

（3）在定义中，点B 不断接近A 包含两个方向，A 点右边的点向左接近，左边的点向右接近，只有无论从哪个方向接近，直线AB 的极限位置唯一时，这个极限位置才能够成为在点A 处的切线。

对于一个函数，并不能保证在每一个点处均有切线。

例如y x =在()0,0处，通过观察图像可知，当0x =左边的点向其无限接近时，割线的极限位置为y x =-，而当0x =右边的点向其无限接近时，割线的极限位置为y x =，两个不同的方向极限位置不相同，故y x =在()0,0处不含切线（4）由于点B 沿函数曲线不断向A 接近，所以若()f x 在A 处有切线，那么必须在A 点及其附近有定义（包括左边与右边）2、切线与导数：设函数()y f x =上点()()00,,A x f x ()f x 在A 附近有定义且附近的点()()00,B x x f x x +∆+∆，则割线AB 斜率为：()()()()()000000AB f x x f x f x x f x k x x x x +∆-+∆-==+∆-∆ 当B 无限接近A 时，即x ∆接近于零，∴直线AB 到达极限位置时的斜率表示为：()()000limx f x x f x k x∆→+∆-=∆,即切线斜率，由导数定义可知：()()()'0000limx f x x f x k f x x∆→+∆-==∆。

导数的应用图形切线问题

导数的应用图形切线问题
导数的应用：图形切线问题
导数在数学中有广泛的应用，其中之一就是解决图形切线问题。

图形切线问题是指如何找到曲线某一点的切线，导数给出了解决这
类问题的有效方法。

1. 切线的定义
切线是曲线上通过给定点的直线，它与曲线在该点相切且方向
与曲线在该点的切线方向相同。

2. 导数的定义
导数可以理解为函数在某一点上的斜率。

对于函数f(x)，它在
点x处的导数表示为f'(x)或dy/dx。

3. 求切线的步骤
- 求取函数f(x)在给定点x0处的导数f'(x0)。

- 使用点斜式找到通过给定点(x0, f(x0))且斜率为f'(x0)的切线方程。

4. 举例说明
假设我们要找到函数f(x) = x^2在点x = 2处的切线。

- 首先求取f(x)在x = 2处的导数。

f'(x) = 2x，代入x = 2，得到f'(2) = 4。

- 接下来使用点斜式得到切线方程。

切线方程为y - f(2) = f'(2)(x - 2)。

代入f(2) = 4和f'(2) = 4，得到y - 4 = 4(x - 2)。

化简方程，得到y = 4x - 4。

所以，函数f(x) = x^2在点x = 2处的切线方程为y = 4x - 4。

导数的应用之图形切线问题为我们提供了一种有效的方法来求取曲线某点的切线。

通过求取导数和使用点斜式，我们可以准确地找到给定点处的切线方程。

这对于解决多种实际问题，例如物理学中的运动问题和经济学中的边际分析，都具有重要意义。

函数切线以及最值极值问题-带有答案

函数切线以及最值极值问题-带有答案1.已知f （x ）为偶函数，当x ＜0时，f （x ）=ln （﹣x ）+3x ，求曲线y=f （x ）在点（1，﹣3）处的切线方程2.求与直线240x y -+= 的平行的抛物线2y x = 的切线.3.求过曲线32y x x =- 上的点(11)-，的切线方程．4.函数y=xe x 在其极值点处的切线方程.22/5.()(),()(0,(0))4 1,2x x f x ae be cx f x y f x f c a b -=--=- 已知函数的导函数为偶函数且曲线在点处的切线的斜率为若C=3，（）求的，判断该函值数的单调性（）；6.已知函数()1x af x x e =-+(a R ∈,e 为自然对数的底数). (1)若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线平行于x 轴,求a 的值; (2)求函数()f x 的极值;37.()ln ,,()(1,(1))421.(1)(2)()2x a f x x a R y f x f x y x a f x =+--∈== 已知函数其中且曲线在点处的切线垂直于直线求的值求函数的单调区间和极值8.已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R)． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)当a >0时，求函数f (x )在[1,2]上的最小值．9.已知函数f (x )＝ax －e x(a >0)．(1)若a ＝12，求函数f (x )的单调区间； (2)当1≤a ≤1＋e 时，求证：f (x )≤x .10.设函数f (x )＝12x 2＋e x－x e x . (1)求f (x )的单调区间；(2)若当x ∈[－2,2]时，不等式f (x )>m 恒成立，求实数m 的取值范围．函数切线以及最值极值问题1. 2x +y +1=0 ．2.210x y --=3. 解：设想00()P x y ，为切点，则切线的斜率为02032x x y x ='=-|．∴切线方程为2000(32)()y y x x x -=--．320000(2)(32)()y x x x x x --=--．又知切线过点(11)-，，把它代入上述方程，得3200001(2)(32)(1)x x x x ---=--．解得01x =，或012x =-．故所求切线方程为(12)(32)(1)y x --=--，或13112842y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+=-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即20x y --=，或5410x y +-=．4. y=﹣5. （1）对求导得，由为偶函数，知，，因不恒成立，所以又，故.（2）当时，，那么故在上为增函数.6.[解] (1)由f (x )＝x －1＋a e x ，得f ′(x )＝1－a e x .又曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线平行于x 轴，得f ′(1)＝0，即1－ae ＝0，解得a ＝e.(2)f ′(x )＝1－aex ，①当a ≤0时，f ′(x )>0，f (x )为(－∞，＋∞)上的增函数，所以函数f (x )无极值．②当a >0时，令f ′(x )＝0，得e x ＝a ，即x ＝ln a . x ∈(－∞，ln a )，f ′(x )<0；x ∈(ln a ，＋∞)，f ′(x )>0，所以f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增，故f (x )在x ＝ln a 处取得极小值，且极小值为f (ln a )＝ln a ，无极大值．综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a >0时，f (x )在x ＝ln a 处取得极小值ln a ，无极大值．7---（1）的值为； 2 当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增；所以当时，取得极小值，无极大值。

高考数学抛物线中的切线问题(解析版)

抛物线中的切线问题一、考情分析对于抛物线特别是抛物线x 2=2py p ≠0 ,可以化为函数y =x 22p,从而可以借组导数研究求性质,这种关联使得可以把抛物线与导数的几何意义交汇,这是圆锥曲线中的一大亮点,也是圆锥曲线解答题的一个热点.二、解题秘籍(一)利用判别式求解抛物线中的切线问题求解直线抛物线相切问题,可以把直线方程与抛物线方程联立整理成一个一元二次方程,然后利用Δ=0求解.【例1】(2023届河南省新未来高三上学期联考)已知抛物线C ：y 2=2px p >0 ,直线l 1,l 2都经过点P -p2,0 ．当两条直线与抛物线相切时,两切点间的距离为4．(1)求抛物线C 的标准方程；(2)若直线l 1,l 2分别与抛物线C 依次交于点E ,F 和G ,H ,直线EH ,FG 与抛物线准线分别交于点A ,B ,证明：PA =PB ．【解析】(1)设经过点P -p 2,0 的直线为l ：y =k x +p2 ,由y 2=2px y =k x +p 2消去y ,得k 2x 2+k 2-2 px +k 2p 24=0,Δ=k 2-2 2p 2-4×k 2⋅k 2p 24=4p 2-k 2+1 ,当直线l 与抛物线C 相切时,Δ=0,∵p >0,∴k =±1,所以x 2-px +p 24=0,解得x =p 2,∴切点为p 2,p ,p 2,-p ,又∵两切点间的距离为4,∴2p =4,即p =2,∴抛物线C 的标准方程为y 2=4x ；(2)设点E x 1,y 1 ,F x 2,y 2 ,G x 3,y 3 ,H x 4,y 4 ,设直线l 1：x =k 1y -1,直线l 2：x =k 2y -1,联立y 2=4x x =k 1y -1 消去x ,得y 2-4k 1y +4=0,则y 1y 2=4,同理,y 3y 4=4,故y 1=4y 2,y 4=4y 3,直线EH 的方程为y -y 1y 4-y 1=x -x 1x 4-x 1,令x =-1,得y A -y 1y 4-y 1=1-y 214y 244-y 214,整理得y A =y 1y 4-4y 1+y 4,同理,y B =y 2y 3-4y 2+y 3,所以y A =4y 2⋅4y 3-44y 2+4y 3=4-y 2y 3y 2+y 3=-y B ,∴PA =PB ．(二)利用导数几何意义求解抛物线中的切线问题求解抛物线x 2=2py 在其上一点P x 1,y 1 处的切线方程,可先把x 2=2py 化为y =x 22p ,则y =xp,则抛物线x 2=2py 在点P x 1,y 1 处的切线斜率为x 1p ,切线方程为y -y 1=x1px -x 1 .【例2】(2023届湖南省三湘名校教育联盟高三上学期联考)在直角坐标系xoy 中,已知抛物线C :x 2=2py p >0 ,P 为直线y =x -1上的动点,过点P 作抛物线C 的两条切线,切点分别为A ,B ,当P 在y 轴上时,OA ⊥OB .(1)求抛物线C 的方程；(2)求点O 到直线AB 距离的最大值.【解析】(1)当P 在y 轴上时,即P 0,-1 ,由题意不妨设A x 0,y 0 x 0>0 则B -x 0,y 0 ,设过点P 的切线方程为y =kx -1,与x 2=2py 联立得x 2-2pkx +2p =0,由直线和抛物线相切可得Δ=4p 2k 2-8p =0,x 0x 0=x 20=2p ,所以x 0=2p 由x 20=2py 0得y 0=1,∴A 2p ,1 ,B -2p ,1 ,由OA ⊥OB 可得2p ⋅-2p +1×1=0,解得p =12,∴抛物线C 的方程为x 2=y ；(2)x 2=y ,∴y =2x ,设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,则y -y 1=2x 1x -x 1 ,又x 21=y 1,所以y -y 1=2x 1x -2y 1即2x 1x =y +y 1,同理可得2x 2x =y +y 2,又P 为直线y =x -1上的动点,设P t ,t -1 ,则2x 1t =t -1+y 1,2x 2t =t -1+y 2,由两点确定一条直线可得AB 的方程为2xt =t -1+y ,即y -1=2t x -12 ,∴直线AB 恒过定点M 12,1 ,∴点O 到直线AB 距离的最大值为OM =12 2+1=52.(三)抛物线中与切线有关的性质过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线,则(1)切线交点在准线上(2)切线交点与弦中点连线平行于对称轴(3)切线交点与焦点弦的两端点连线垂直(4)切线交点与焦点连线与焦点弦垂直(5)弦AB 不过焦点即切线交点P 不在准线上时,切线交点与弦中点的连线也平行于对称轴．反之：(1)过抛物线准线上任一点作抛物线的切线,则过两切点的弦必过焦点,该点与焦点连线垂直于过两切点的弦(2)过准线上任一点作抛物线的切线,过两切点的弦最短时,即为通径．【例3】已知抛物线C :x 2=2py (p >0)的焦点为F ,过F 的直线l 与C 相交于A ,B 两点,PA ,PB 是C 的两条切线,A ,B 是切点．当AB ∥x 轴时,|AB |=2．(1)求抛物线C 的方程；(2)证明：|PF |2=|AF |⋅|FB |．【解析】(1)由题意,F 0,p 2 ,当AB ∥x 轴时,将y =p2代入x 2=2py 有x 2=p 2,解得x =±p ,又AB =2故2p =2,解得p =1.故抛物线C 的方程为x 2=2y .(2)由(1),设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,直线l 的方程为y =kx +12,联立抛物线方程有x 2-2kx -1=0,故x 1+x 2=2k ,x 1x 2=-1.又抛物线方程y =12x 2,故y =x ,故切线PA 的方程为y -12x 21=x 1x -x 1 ,即y =x 1x -12x 21,同理可得切线PB 的方程为y =x 2x -12x 22,联立y =x 1x -12x 21y =x 2x -12x 22可得x 1-x 2 x =12x 21-x 22 ,解得x =12x 1+x 2 ,代入y =x 1x -12x 21有y =12x 1x 1+x 2 -12x 21=12x 1x 2,代入韦达定理可得P k ,-12.故当k =0时有l ⊥PF ,当k ≠0时,因为k FP =-12-12k -0=-1k,故k FP ⋅k l =-1,也满足l ⊥PF .故l ⊥PF 恒成立.又k PA ⋅k PB =x 1x 2=-1,故PA ⊥PB .所以∠PAB +∠PBA =90∘,∠PAF +∠APF =90∘,故∠PBF =∠APF ,故Rt △PBF ∼Rt △APF ,故BFPF=PF AF ,即PF 2=AF ⋅BF ,即得证.【例4】已知直线l 过原点O ,且与圆A 交于M ,N 两点,MN =4,圆A 与直线y =-2相切,OA 与直线l 垂直,记圆心A 的轨迹为曲线C ．(1)求C 的方程；(2)过直线y =-1上任一点P 作C 的两条切线,切点分别为Q 1,Q 2,证明：①直线Q 1Q 2过定点；②PQ 1⊥PQ 2．【解析】(1)如图,设A (x ,y ),因为圆A 与直线y =-2相切,所以圆A 的半径为|y +2|．由圆的性质可得|OA |2+|ON |2=|AN |2,即x 2+y 2+4=(y +2)2,化简得x 2=4y ．因为O 与A 不重合,所以y ≠0,所以C 的方程为x 2=4y (y ≠0)．(2)证明：①由题意可知Q 1,Q 2与O 不重合．如图,设P (t ,-1),Q 1x 1,y 1 ,则x 21=4y 1,因为y =x2,所以切线PQ 1的斜率为x 12,故x12=y 1+1x 1-t,整理得tx 1-2y 1+2=0．设Q 2x 2,y 2 ,同理可得tx 2-2y 2+2=0．所以直线Q 1Q 2的方程为tx -2y +2=0,所以直线Q1Q 2过定点(0,1)．②因为直线Q 1Q 2的方程为tx -2y +2=0,由tx -2y +2=0,x 2=4y ,消去y 得x 2-2tx -4=0,所以x 1+x 2=2t ,x 1x 2=-4．又PQ 1 ⋅PQ 2=x 1-t x 2-t +y 1+1 y 2+1=x 1x 2-t x 1+x 2 +t 2+tx 1+22+1 tx 2+22+1 =x 1x 2-t x 1+x 2 +t 2+t 2x 1+2 t2x 2+2 =x 1x 2-t x 1+x 2 +t 2+t24x 1x 2+t x 1+x 2 +4=1+t24x 1x 2+t 2+4=0,所以PQ 1⊥PQ 2．三、跟踪检测1.(2023届云南省名校高三上学期月考)已知抛物线E :x 2=2py p >0 的焦点为F ,斜率为k k ≠0 的直线l 与E 相切于点A .(1)当k =2,AF =5时,求E 的方程；(2)若直线l 与l 平行,l 与E 交于B ,C 两点,且∠BAC =π2,设点F 到l 的距离为d 1,到l 的距离为d 2,试问：d1d 2是否为定值？若是,求出定值；若不是,说明理由.【解析】(1)由x 2=2py 得y =x 22p ,则y =x p,令xp =2,则x =2p ,即x A =2p ,y A =2p 22p=2p 则AF =2p +p2=5,所以p =2,故抛物线E 的方程为x 2=4y .(2)设A 2pt 0,2pt 20 ,B 2pt 1,2pt 21 ,C 2pt 2,2pt 22 ,则切线l 的斜率k =2pt 0p=2t 0,则切线l 的方程为：y -2pt 02=2t 0x -2pt 0 ,即y =2t 0x -2pt 20,k BC =2pt 12-2pt 222pt 1-2pt 2=t 1+t 2.直线l 的方程为y -2pt 21=t 1+t 2 x -2pt 1 ,化简得y =t 1+t 2 x -2pt 1t 2,因为l ∥l ,所以t 1+t 2=2t 0,由∠BAC =π2得2pt 12-2pt 022pt 1-2pt 0⋅2pt 22-2pt 022pt 2-2pt 0=-1,则t 1+t 0 t 2+t 0 =-1,即t 1t 2=-1-3t 20,即l :2t 0x -y +2p +6pt 02=0.由F 0,p 2 ,则d 1=3p 2+6pt 20 4t 20+1=3p 2+6pt 204t 20+1,d 2=-p 2-2pt 204t 20+1=p 2+2pt 204t 20+1,所以d 1d 2=3p 12+2t 20 p 12+2t 20 =3.故d1d 2是定值,定值为3.2.(2023届河南省北大公学禹州国际学校高三上学期月考)已知抛物线C 的顶点在坐标原点,焦点在y 轴的正半轴上,直线l ：mx +y -1=0经过抛物线C 的焦点．(1)求抛物线C 的方程；(2)若直线l 与抛物线C 相交于A ,B 两点,过A ,B 两点分别作抛物线C 的切线,两条切线相交于点P ,求△ABP 面积的最小值．【解析】(1)由题意,设抛物线C 的方程为x 2=2py p >0 ,因为直线l :mx +y -1=0经过0,1 ,即抛物线C 的焦点F 0,p2,所以p2=1,解得p =2,所以抛物线C 的方程为x 2=4y .(2)设A x 1,y 1 ､B x 2,y 2 ,联立方程组x 2=4y mx +y -1=0 ,整理得x 2+4mx -4=0,因为Δ=16m 2+16>0,且x 1+x 2=-4m ,x 1x 2=-4,y 1+y 2=x 214+x 224=x 1+x 2 2-2x 1x 24=4m 2+2,y 1y 2=x 214×x 224=-4 216=1所以AB =y 1+y 2+p =41+m 2 ,由x 2=4y ,可得y =x 24,则y =x 2,所以抛物线C 经过点A 的切线方程是y -y 1=x 12x -x 1 ,将y 1=x 214代入上式整理得y =x 12x -x 214,同理可得抛物线C 经过点B 的切线方程为y =x 22x -x 224,联立方程组y =x 12x -x 214y =x 22x -x 224,解得x =x 1+x 22,y =x 1x 24,所以x =-2m ,y =-1,所以P -2m ,-1 到直线mx +y -1=0的距离d =m ×-2m -1-1m 2+1=2m 2+1,所以△ABP 的面积S =12AB d =12×4×1+m 2 ×2m 2+1=4m 2+1 32,因为m 2+1≥1,所以S ≥4,即当m =0时,S =4,所以△ABP 面积的最小值为4.3.(2022届浙江省绍兴市高三上学期12月选考)已知抛物线C 的焦点是0,14 ,如图,过点D 22,t(t ≤0)作抛物线C 的两条切线,切点分别是A 和B ,线段AB 的中点为M ．(1)求抛物线C 的标准方程；(2)求证：直线MD ⎳y 轴；(3)以线段MD 为直径作圆,交直线AB 于MN ,求|AB |-|MN ||AB |+|MN |的取值范围．【解析】(1)设抛物线的方程为x 2=2py p >0 ,由题意可得p 2=14,所以p =12,所以抛物线方程y =x 2.(2)由(1)y =x 2,因为y =2x ,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),直线AD 的方程为y =2x 1x -x 21,直线BD 的方程为y =2x 2x -x 22,联立上述两直线方程,得D 点坐标D x 1+x 22,x 1x 2 ,又因为M 点为线段AB 的中点,所以M 点坐标M x 1+x 22,1-x 1x 2 ,因为x D =x M ,所以直线MD ⎳y 轴：(3)因为点D 22,t (t ≤0),所以x 1+x 22=22,x 1x 2=t ,则M 22,1-t ,圆心22,12,直线AB 的斜率为k =x 21-x 22x 1-x 2=x 1+x 2=2,直线AB 方程为y =2x -t ,y =x 2y =2x -t ,得x 2-2x +t =0,Δ=2-4t ,|AB |=1+k 2⋅Δ=6(1-2t ),圆心到直线AB 的距离为d =1-2t 23,半径r =|MD |2=1-2t2,|MN |=2r 2-d 2=63(1-2t ),令1-2t =m ≥1,|AB |-|MN ||AB |+|MN |=3-m 3+m =-1+6m +3在m ≥1时单调递减,|AB |-|MN ||AB |+|MN |∈-1,12 ．4.(2022届山东省济宁市高三上学期期末)已知抛物线E ：y 2=2px (p >0)上一点C 1,y 0 到其焦点F 的距离为2．(1)求实数p 的值；(2)若过焦点F 的动直线l 与抛物线交于A 、B 两点,过A 、B 分别作抛物线的切线l 1、l 2,且l 1、l 2的交点为Q ,l 1、l 2与y 轴的交点分别为M 、N ．求△QMN 面积的取值范围．【解析】(1)因为点C 1,y 0 到其焦点F 的距离为2,由抛物线的定义知1+p2=2解得p =2(2)由上问可知,抛物线方程E ：y 2=4x设A y 214,y 1 ,B y 224,y 2,(y 1≠0,y 2≠0),设l ：x =ty +1,联立y 2=4x x =ty +1 ,得y 2-4ty -4=0,判别式Δ=16t 2+16>0,故t ∈R y 1+y 2=4t ,y 1y 2=-4设l 1：y -y 1=k x -y 214联立方程组y 2=4xy -y 1=k x -y 214,消x 得ky 2-4y +4y 1-ky 21=0,所以Δ=16-4k 4y 1-ky 21 =44-4ky 1+k 2y 21 =0所以k =2y 1则l 1：y -y 1=2y 1x -y 214,即y =2y 1x +y 12,令x =0,得M 0,y 12,同理l 2：y =2y 2x +y 22,N 0,y 22,联立y =2y 1x +y12y =2y 2x +y 22,得交点Q 的横坐标为x Q =y 1y 24=-1,∴S △QMN =12MN ⋅x Q =12y 12-y 22×1=14y 1+y 2 2-4y 1y 2=t 2+1≥1∴△QMN 面积的取值范围是1,+∞ ．5.(2022届百校联盟高三上学期12月联考)已知曲线C 上任意一点到F 1(-1,0),F 2(1,0)距离之和为433,抛物线E ：y 2=2px 的焦点是点F 2.(1)求曲线C 和抛物线E 的方程；(2)点Q x 0,y 0 x 0<0 是曲线C 上的任意一点,过点Q 分别作抛物线E 的两条切线,切点分别为M ,N ,求△QMN 的面积的取值范围．【解析】(1)依题意,曲线C 是以F 1(-1,0),F 2(1,0)为左右焦点,长轴长为433的椭圆,则短半轴长b 有b 2=232-12=13,曲线C 的方程为：x 243+y 213=1,即3x 24+3y 2=1,在y 2=2px 中,p 2=1,即p =2,所以曲线C 的方程为：3x 24+3y 2=1,抛物线E 的方程为：y 2=4x .(2)显然,过点Q 的抛物线E 的切线斜率存在且不为0,设切线方程为：y -y 0=k (x -x 0),由y -y 0=k (x -x 0)y 2=4x消去x 并整理得：k4⋅y 2-y +y 0-kx 0=0,依题意,Δ=1-k (y 0-kx 0)=x 0k 2-y 0k +1=0,设二切线斜率为k 1,k 2,则k 1+k 2=y 0x 0,k 1k 2=1x 0,设斜率为k 1的切线所对切点M (x 1,y 1),斜率为k 2的切线所对切点N (x 2,y 2),因此,y 1=2k 1,y 2=2k 2,于是得M 1k 21,2k 1 ,N 1k 22,2k 2 ,NM =1k 21-1k 22,2k 1-2k 2,直线MN 上任意点P (x ,y ),MP =x -1k 21,y -2k 1,由MP ⎳NM 得：2k 1-2k 2 x -1k 21 -1k 21-1k 22y -2k 1 =0,化简整理得：2x -k 1+k 2k 1k 2y +2k 1k 2=0,则直线MN 的方程为：2x -y 0y +2x 0=0,点Q 到直线MN 的距离d =|4x 0-y 20|4+y 2,|MN |=1k 21-1k 222+2k 1-2k 2 2=1k 1-1k 2 21k 1+1k 22+4 =k 1+k 2k 1k 22-4k 1k 2k 1+k 2k 1k 2 2+4 =(y 20-4x 0)(y 20+4),则△QMN 的面积S △QMN =12|MN |⋅d =12⋅(y 20-4x 0)(y 20+4)⋅|4x 0-y 20|4+y 20=12(y 20-4x 0)32,而点Q x 0,y 0 x 0<0 在曲线C 上,即y 20=13-14x 20,-23≤x 0<0,y 20-4x 0=-14x 20-4x 0+13在x 0∈-23,0 上单调递减,当x 0=0时,(y 20-4x 0)min =13,当x 0=-23时,(y 20-4x 0)max =83,于是有13<y 20-4x 0≤83,则39<(y 20-4x 0)32≤164123,有318<S △QMN ≤84123所以△QMN 的面积的取值范围是318,84123.6.(2022届四川省达州高三上学期诊断)过定点0,1 的动圆始终与直线l ：y =-1相切.(1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；(2)动点A 在直线l 上,过点A 作曲线C 的两条切线分别交x 轴于B ,D 两点,当△ABD 的面积是32时,求点A 坐标.【解析】(1)设动圆圆心坐标为x ,y ,因为过定点0,1 的动圆始终与直线l ：y =-1相切,可得-x 2+y -1 2=y +1 ,化简得x 2=4y ,即动圆圆心的轨迹方程C ：x 2=4y .(2)设动点A x 0,-1 ,根据题意过点A 作曲线C 的切线斜率存在,设为k k ≠0 ,所以切线方程为y =k x -x 0 -1,联立方程组x 2=4y ,y =k x -x 0 -1 ,整理得x 2-4kx +4kx 0+4=0,且Δ=k 2-kx 0-1=0,因为k 2-kx 0-1=0有两不等实根,所以有两条切线,斜率分别设为k 1,k 2,所以k 1+k 2=x 0,k 1k 2=-1,切线y =k 1x -x 0 -1交x 轴于点B x 0+1k 1,0 ,切线y =k 2x -x 0 -1交x 轴于点D x 0+1k 2,0 ,所以S △ABD =12x 0+1k 1-x 0-1k 2×1=12k 2-k 1k 1k 2=12k 1+k 22-4k 1k 2k 1k 2=32,即12x 02+41=32,解得x 0=±5,所以点A 坐标为5,-1 或-5,-1 .7.(2022届四川省成都市高三上学期考试)已知抛物线C :x 2=2py p >0 的焦点为F .且F 与圆M :x 2+y +42=1上点的距离的最小值为4.(1)求抛物线的方程；(2)若点P 在圆M 上,PA ,PB 是C 的两条切线.A ,B 是切点,求△PAB 面积的最大值.【解析】(1)抛物线C 的焦点为F 0,p 2 ,FM =p2+4,所以,F 与圆M :x 2+(y +4)2=1上点的距离的最小值为p2+4-1=4,解得p =2；所以抛物线的方程为x 2=4y .(2)抛物线C 的方程为x 2=4y ,即y =x 24,对该函数求导得y =x 2,设点A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,P x 0,y 0 ,直线PA 的方程为y -y 1=x 12x -x 1 ,即y =x 1x2-y 1,即x 1x -2y 1-2y =0,同理可知,直线PB 的方程为x 2x -2y 2-2y =0,由于点P 为这两条直线的公共点,则x 1x 0-2y 1-2y 0=0x 2x 0-2y 2-2y 0=0,所以,点A 、B 的坐标满足方程x 0x -2y -2y 0=0,所以,直线AB 的方程为x 0x -2y -2y 0=0,联立x 0x -2y -2y 0=0y =x 24,可得x 2-2x 0x +4y 0=0,由韦达定理可得x 1+x 2=2x 0,x 1x 2=4y 0,所以AB =1+x 022⋅x 1+x 22-4x 1x 2=1+x 022⋅4x 20-16y 0=x 20+4 x 20-4y 0点P 到直线AB 的距离为d =x 20-4y 0x 2+4,所以,S △PAB =12AB ⋅d =12x 20+4 x 20-4y 0 ⋅x 20-4y 0x 20+4=12x 20-4y 0 32,∵x 20-4y 0=1-y 0+4 2-4y 0=-y 20-12y 0-15=-y 0+6 2+21,由已知可得-5≤y 0≤-3,所以,当y 0=-5时,△PAB 的面积取最大值12×2032=205.8.(2022届山西省怀仁市高三上学期期中)已知抛物线C ：y 2=2px p >0 的焦点为F ,准线与x 轴交于D点,过点F 的直线与抛物线C 交于A ,B 两点,且FA ⋅FB =FA +FB .(1)求抛物线C 的方程；(2)设P ,Q 是抛物线C 上的不同两点,且PF ⊥x 轴,直线PQ 与x 轴交于G 点,再在x 轴上截取线段GE =GD ,且点G 介于点E 点D 之间,连接PE ,过点Q 作直线PE 的平行线l ,证明l 是抛物线C 的切线.【解析】(1)解：设过点F 的直线方程为y =k x -p2,A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,联立y =k x -p2 y 2=2px,得k 2x 2-pk 2+2p x +k 2p 24=0,则x 1+x 2=pk 2+2p k 2,x 1⋅x 2=p 24,所以FA +FB =x 1+p 2+x 2+p 2=2pk 2+2pk 2,FA ⋅FB =x 1+p 2 x 2+p 2 =p 22+p 2k 2+2 2k 2,因为FA ⋅FB =FA +FB ,所以2pk 2+2p k 2=p 22+p 2k 2+2 2k 2,化简得p 2-2p 1+1k2 =0,所以p =2,当过点F 的直线斜率不存在时,则FA =FB =p ,故FA +FB =2p ,FA ⋅FB =p 2,又因为FA ⋅FB =FA +FB ,则p 2=2p ,所以p =2,综上所述,p =2,所以y 2=4x ；(2)证明：不妨设点P 在第一象限,则P 1,2 ,D -1,0 ,F 1,0 ,设直线PQ 的方程为y -2=m x -1 ,m ≠0,Q x 3,y 3 ,联立y -2=m x -1 y 2=4x ,消元整理得m 24y 2-y -m +2=0,则2+y 3=4m ,即y 3=4-2mm 故x 3=2-m 2m 2,即Q 2-m 2m 2,4-2m m,当y =0时,x =-2m +1,则G -2m+1,0 ,又因GE =GD ,且点G 介于点E 点D 之间,则G 为DE 的中点,所以E -4m+3,0 ,则直线PE 的斜率为24m-2=m2-m ,因为直线PE 平行直线l ,所以直线l 的斜率为m2-m,故直线l 的方程为y -4-2m m =m 2-m x -2-m 2m 2,即y =m 2-m x +2-m m ,联立y =m 2-m x +2-mm y 2=4x,消元整理得m 42-m y 2-y +2-m m =0,Δ=1-4×m 42-m⋅2-mm =0,所以直线l 与抛物线只有一个交点,有直线l 斜率不为0,所以l 是抛物线C 的切线.9.已知抛物线C :x 2=2py ,点M -4,4 在抛物线C 上,过点M 作抛物线C 的切线,交x 轴于点P ,点O 为坐标原点．(1)求P 点的坐标；(2)点E 的坐标为-2,-1 ,经过点P 的直线交抛物线于A ,B 两点,交线段OM 于点Q ,记EA ,EB ,EQ 的斜率分别为k 1,k 2,k 3,是否存在常数λ使得k 1+k 2=λk 3．若存在,求出λ的值,若不存在,请说明理由．【解析】(1)因为M -4,4 在抛物线C 上,所以-4 2=8p ,所以p =2所以抛物线C 的方程为x 2=4y ,即y =14x 2,则y =12x ,所以切线的斜率为12×(-4)=-2,所以过点M 的切线方程为y =-2x +4 +4,即y =-2x -4联立y =-2x -4y =0,解得P 点的坐标为-2,0(2)由题意可知过点P 的直线的斜率存在,设为y =kx +2k ,线段OM 所在的直线为y =-x ,联立y =kx +2k y =-x,解得Q 点坐标为-2k k +1,2kk +1,所以k 3=2k k +1+1-2k k +1+2=3k +12设A x 1,x 214 ,B x 2,x 224,联立y =kx +2kx 2=4y ,得x 2-4kx -8k =0,所以x 1+x 2=4k ,x 1x 2=-8k ．则k 1+k 2=x 214+1x 1+2+x 224+1x 2+2=14x 1x 2x 1+x 2 +x 1+x 2 +12x 21+x 22 +4x 1x 2+2x 1+x 2 +4=-8k 2+4k +1216k 2+16k +4-8k +8k +4=12k +44=3k +1所以k 1+k 2=2k 3,即存在λ=2满足条件．10.如图,已知A x 1,y 1 ､B x 2,y 2 为二次函数y =ax 2(a >0)的图像上异于顶点的两个点,曲线y =ax 2在点A x 1,y 1 ､B x 2,y 2 处的切线相交于点P x 0,y 0 .(1)利用抛物线的定义证明：曲线y =ax 2上的每一个点都在一条抛物线上,并指出这条抛物线的焦点坐标和准线方程；(2)求证：x 1､x 0､x 2成等差数列,y 1､y 0､y 2成等比数列；(3)设抛物线y =ax 2焦点为F ,过P 作PH 垂直准线l ,垂足为H ,求证：∠BPH =∠APF .【解析】(1)证明：令F 0,14a ,直线l ：y =-14a,曲线y =ax 2上任意一点P x 0,ax 02,又a >0,则点P x 0,ax 02 到直线l 的距离d =ax 02+14a,则PF =x 02+ax 02-14a 2=x 02+ax 02 2-x 022+14a 2=ax 02 2+x 022+14a 2=ax 02+14a 2=ax 02+14a =ax 02+14a=d ,即曲线y =ax 2上任意一点到点F 0,14a 的距离与到直线l ：y =-14a的距离相等,且点F 0,14a 不在直线l ：y =-14a上,所以曲线y =ax 2上的每一个点都在一条抛物线上,抛物线的方程即为y =ax 2,焦点坐标为F 0,14a,准线方程为y =-14a；(2)解：对于y =ax 2,则y =2ax ,所以y |x =x 1=2ax 1,y |x =x 2=2ax 2,即过点A x 1,y 1 、B x 2,y 2 的切线方程分别为y -y 1=2ax 1x -x 1 、y -y 2=2ax 2x -x 2 ,又y 1=ax 12,y 2=ax 22,所以y =2ax 1x -ax 12、y =2ax 2x -ax 22,由y =2ax 1x -ax 12y =2ax 2x -ax 22 ,解得x =x 1+x 22y =ax 2x 1,即P x 1+x 22,ax 2x 1 ,即x 0=x 1+x 22,y 0=ax 2x 1,又y 02=a 2x 22x 12=y 1⋅y 2,所以x 1、x 0、x 2成等差数列,y 1、y 0、y 2成等比数列；(3)解：由(2)可知k BP =2ax 2,k AP =2ax 1,F 0,14a ,所以k PF =y 0-14ax 0=ax 2x 1-14a x 1+x 22,如图,设AP ,PF ,PB 与x 轴分别交于点C 、D 、E ,则tan ∠ACx =2ax 1,tan ∠BEx =2ax 2,tan ∠FDx =ax 2x 1-14ax 1+x 22,又∠BPH =π2-π-∠BEx =∠BEx -π2,∠FPA =∠FDx -∠ACx ,所以tan ∠BPH =tan ∠BEx -π2 =-1tan ∠BEx=-12ax 2,tan ∠FPA =tan ∠FDx -∠ACx =tan ∠FDx -tan ∠ACx1+tan ∠FDx tan ∠ACx=ax 2x 1-14a x 1+x 22-2ax11+ax 2x 1-14a x 1+x 22⋅2ax 1=ax 2x 1-14a -2ax 1⋅x 1+x 22x 1+x 22+ax 2x 1-14a ⋅2ax 1=-14a-ax 12x 1+x 22+2a 2x 12x 2-x 12=-14a -ax 12x 22+2a 2x 12x 2=-14a-ax 1212x 2+4a 2x 12x 2 =-1+4a 2x 12 2ax 21++4a 2x 12 =-12ax 2,即tan ∠BPH =tan ∠FPA ,所以∠BPH =∠FPA ；11.已知抛物线x 2=2py (p >0)上的任意一点到P (0,1)的距离比到x 轴的距离大1．(1)求抛物线的方程；(2)若过点(0,2)的直线l 与抛物线交于A ,B 两点,过A ,B 两点分别作抛物线的切线,两条切线交于点Q ,求△QAB 重心G 的轨迹方程．【解析】(1)由抛物线的定义可得p =2,∴抛物线的方程为x 2=4y ；(2)由题意可得直线AB 的斜率存在,设其为k ,设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,则直线AB 的方程为y =kx +2；代入抛物线方程得x 2-4kx -8=0,则有x 1+x 2=4k ,x 1x 2=-8,∵y =x 24,∴y=x 2,∴l AQ :y -y 1=x 12x -x 1 ,即y =x 12x -x 214①同理可得l BQ :y =x 22x -x 224②,①-②有x 1-x 22 x =x 21-x 224,得x Q =x 1+x 22=2k ,∴y Q =kx 1-x 214=kx 1-y 1=-2．∴Q (2k ,-2)又y 1+y 2=k x 1+x 2 +4=4k 2+4,设G (x ,y ),则x =x 1+x 2+x Q3=2ky =y 1+y 2+y Q 3=4k 2+23,消k 得y =x 2+23,所以G 的轨迹方程为y =13x 2+23．12.已知抛物线C :x 2=2py p >0 的焦点为F ,点P -2,y 0 为抛物线上一点,抛物线C 在点P 处的切线与y 轴相交于点Q ,且△FPQ 的面积为2．(1)求抛物线的方程．(2)若斜率不为0的直线l 过焦点F ,且交抛物线C 于A ,B 两点,线段AB 的中垂线与y 轴交于点M ,证明：MF AB为定值．【解析】(1)将P -2,y 0 代入x 2=2py 得,y 0=2p 设抛物线的切线方程为y =k (x +2)+2p,代入x 2=2py 整理得：x 2-2pkx -(4pk +4)=0由题知Δ=4p 2k 2+4pk +4=0,解得k =-2p又y Q =2k +2p ,所以FQ =p 2-2k -2p 所以S △FPQ =p 2-2k -2p =p 2+2p=2,解得p =2所以抛物线C 的方程为x 2=4y(2)记AB 中点为N ,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),N (x 3,y 3)设直线AB 方程为y =mx +1,代入x 2=4y 整理得：x 2-4mx -4=0,则x 1+x 2=4m ,x 1x 2=-4所以AB =m 2+1(x 1+x 2)2-4x 1x 2=4(m 2+1)因为N 为AB 中点,所以x 3=x 1+x 22=2m ,y 3=2m 2+1所以直线MN 的方程为y -(2m 2+1)=-1m(x -2m )则y M =2m 2+3所以MF =2m 2+2所以MF AB =2m 2+24(m 2+1)=1213.(2022届新未来4月联考)已知直线l :x -ky +k -1=0与抛物线C :y 2=2px (p >0)交于A ,B 两点,过A ,B 两点且与抛物线C 相切的两条直线相交于点D ,当直线l ⊥x 轴时,|AB |=4．(1)求抛物线C 的标准方程；(2)求|OD |的最小值．【解析】(1)当直线l ⊥x 轴时,x =1,代入y 2=2px 解得y =±2p ,∴|AB |=22p =4,得p =2,∴抛物线C 的标准方程为y 2=4x ；(2)设A x A ,y A ,B x B ,y B ,D x D ,y D ．联立x -ky +k -1=0,y 2=4x ,得y 2-4ky +4k -4=0．∴y A +y B =4k ,y A ⋅y B =4k -4①,∵直线l :x -ky +k -1=0恒过点(1,1),且与抛物线有两个交点,点(1,1)在抛物线上,∴k ≠0,当直线AD 和直线BD 斜率存在时,设直线AD :y =mx +n ,联立y =mx +n ,y 2=4x ,∴my 2-4y +4n =0,Δ=16-4m ⋅4n =0,∴m ⋅n =1,∴y A =2m ,同理,设直线BD :y =ax +b ,则ab =1,y B =2a,联立y =mx +n ,y =ax +b , ∴x D =1am ,y D =1a +1m.由①可知2m +2a =4k ,2m ⋅2a =4k -4,∴1m +1a -2ma=2,即y D -2x D =2,∴点D 在直线2x -y +2=0上．当直线AD 或直线BD 斜率不存在时,即直线l 过原点时,k =1,过原点的切线方程为x =0,易知另外一点为(4,4),过点(4,4)的切线方程设为x -4=t (y -4),联立x -4=t (y -4)y 2=4x,得y 2-4ty +16t -16=0,Δ=16t 2-416t -16 =0,解得t =2,即切线方程y =12x +2．此时交点D 的坐标为(0,2),在直线2x -y +2=0上,故OD 的最小值为原点到直线2x -y +2=0的距离,即25=255．14.过原点O 的直线与拋物线C ：y 2=2px (p >0)交于点A ,线段OA 的中点为M ,又点P 3p ,0 ,PM ⊥OA ．在下面给出的三个条件中任选一个填在横线处,并解答下列问题：①OA =46,②PM =23；③△POM 的面积为62．(1)______,求拋物线C 的方程；(2)在(1)的条件下,过y 轴上的动点B 作拋物线C 的切线,切点为Q (不与原点O 重合),过点B 作直线l 与OQ 垂直,求证：直线l 过定点．注：如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分．【解析】(1)由题意知直线OA 的斜率存在且不为0,设其方程为y =kx k ≠0 ,由y 2=2px ,y =kx 得x =0,y =0 或x =2p k 2,y =2p k,即O 0,0 ,A 2p k 2,2p k所以线段OA 的中点M p k 2,p k．因为PM ⊥OA ,所以直线PM 的斜率存在,k PM =p kpk 2-3p =k1-3k 2．所以k 1-3k2⋅k =-1,解得k =±22,所以直线OA 的方程为x ±2y =0,A 4p ,±22p ．若选①,不妨令A 4p ,22p ,由OA =46,得4p2+22p 2=46,解得p =2(舍去p =-2),所以抛物线C 的方程为y 2=4x ．若选②,因为PM ⊥OA ,PM =23,所以点P 到直线OA 的距离为23,即3p12+±2 2=23,解得p =2(舍去p =-2),所以抛物线C 的方程为y 2=4x ．若选③,不妨令A 4p ,22p ,因为OM =12OA =124p 2+22p 2=6p ,点P 到直线OA 的距离PM =3p12+±22=3p ,所以S △POM =12OM ⋅PM =12×6p ×3p =62,解得p =2(舍去p =-2),所以抛物线C 的方程为y 2=4x ．(2)由题意可知切线BQ 的斜率存在且不为0．设B 0,b b ≠0 ,切线BQ 的方程为y =k 1x +b ,由y =k 1x +b ,y 2=4x得k 1y 2-4y +4b =0,(*)所以Δ=-4 2-4×k 1×4b =0,解得k 1=1b,所以方程(*)的根为y =2b ,代入y 2=4x 得x =b 2,所以切点b 2,2b ,于是k OQ =2b b2=2b ,则k l =-b2,所以直线l 的方程为y =-b 2x +b ,即y =-b2x -2 ,所以当b 变化时,直线l 恒过定点2,0 ．15.已知抛物线x 2=2py (y >0),其焦点为F ,抛物线上有相异两点A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ．(1)若AF ⎳x 轴,且经过点A 的抛物线的切线经过点(1,0),求抛物线方程；(2)若p =2,且|AF |+|BF |=4,线段AB 的中垂线交x 轴于点C ,求△ABC 面积的最大值．【解析】(1)抛物线x 2=2py (y >0),焦点坐标为0,p2,因为AF ⎳x ,所以y A =p 2,所以x A =p ,又y =x 22p ,所以y =x p,所以过A 点的切线的斜率k =1,所以切线方程为y -p 2=x -p ,令y =0得x =p2=1,所以p =2,所以x 2=4y(2)若p =2,则抛物线为x 2=4y ,焦点为0,1 ,准线方程为y =-1,因为|AF |+|BF |=4,所以y A +1+y B +1=4,所以y A +y B =2,设直线AB 的方程为y =kx +m ,联立x 2=4y 得x 2-4kx -4m =0,Δ=16k 2+16m >0所以x 1+x 2=4k ,x 1x 2=-4m ,所以y 1+y 2=kx 1+kx 2+2m =4k 2+2m =2,即m =1-2k 2,所以Δ=16k 2+161-2k 2 >0,解得-1<k <1,当k =0时,直线方程为y =1,则A 2,0 ,B -2,0 ,所以AB 的中垂线恰为y 轴,则C 0,0 ,所以S △ABC =12×4×1=2,当-1<k <1,且k ≠0时,又AB 的中点坐标为x 1+x 22,y 1+y 22 =2k ,1 ,所以AB 的中垂线l 的方程为y =-1kx -2k +1,令y=0得x =3k ,所以C 3k ,0 ,所以C 到AB 的距离d =3k 2+m k 2+1,又AB=k 2+116k 2+16m ,所以S △ABC =12AB d =2k 2+m ×3k 2+m =21-k 2×1+k 2 =21-k 2 1+k 2 2令1-k 2=t ,则t ∈0,1 ,f t =t 2-t 2=t 3-4t 2+4t ,因为f t =3t 2-8t +4=t -2 3t -2 ,所以当t ∈0,23 时f t >0,f t 在0,23 上单调递增,当t ∈23,1 时f t <0,f t 在23,1 上单调递减,所以f t max =f 23 =3227所以S △ABC max =23227=869>2所以S △ABC max =86916.设抛物线C ：x 2=2py (p >0)的焦点为F ,点P m ,2 (m >0)在抛物线C 上,且满足PF =3．(1)求抛物线C 的标准方程；(2)过点G 0,4 的直线l 与抛物线C 交于A ,B 两点,分别以A ,B 为切点的抛物线C 的两条切线交于点Q ,求三角形PQG 周长的最小值．【解析】(1)由抛物线定义,得PF =2+p2=3,得p =2,∴抛物线C 的标准方程为x 2=4y ；(2)设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,直线l 的方程为y =kx +4,∴联立y =kx +4x 2=4y,消掉x ,得x 2-4kx -16=0,Δ>0,∴x 1+x 2=4k ,x 1x 2=-16,设A ,B 处的切线斜率分别为k 1,k 2,则k 1=x 12,k 2=x22,∴在点A 的切线方程为y -y 1=x 12x -x 1 ,即y =x 1x 2-x 124①,同理,在B 的切线方程为y =x 2x 2-x 224②,由①②得：x Q =x 1+x 22=2k ,代入①或②中可得：y Q =kx 1-x 214=y 1-4-y 1=-4,∴Q 2k ,-4 ,即Q 在定直线y =-4上,设点G 关于直线y =-4的对称点为G ,则G 0,-12 ,由(1)知P 22,2 ,∵PQ +GQ =PQ +G Q ≥G P =251,即P ,Q ,G 三点共线时等号成立,∴三角形PQG 周长最小值为GP +G P =251+23．17.已知圆C :x 2+y -2 2=1与定直线l :y =-1,且动圆M 与圆C 外切并与直线l 相切.(1)求动圆圆心M 的轨迹E 的方程；(2)已知点P 是直线l 1:y =-2上一个动点,过点P 作轨迹E 的两条切线,切点分别为A 、B .①求证：直线AB 过定点；②求证：∠PCA =∠PCB .【解析】(1)依题意知：M 到C 0,2 的距离等于M 到直线y =-2的距离,∴动点M 的轨迹是以C 为焦点,直线y =-2为准线的抛物线,设抛物线方程为x 2=2py p >0 ,则p2=2,则p =4,即抛物线的方程为x 2=8y ,故：动圆圆心M 的轨迹E 的方程为：x 2=8y ；(2)①由x 2=8y 得：y =18x 2,∴y =14x ,设A x 1,18x 21、B x 2,18x 22 ,P t ,-2 ,其中x 1≠x 2,则切线PA 的方程为y -18x 21=x 14x -x 1 ,即y =14x 1x -18x 21,同理,切线PB 的方程为y =14x 2x -18x 22,由y =14x 1x -18x 21y =14x 2x -18x 22 ,解得x =x 1+x 22y =x 1x 28 ,∴t =x 1+x 22-2=x 1x 28,即x 1+x 2=2t x 1x 2=-16 ,∵A x 1,18x 21、B x 2,18x 22 x 1≠x 2 ,∴直线AB 的方程为y -18x 21=18x 22-18x 21x 2-x 1x -x 1 ,化简得y =x 1+x 28x -x 1x 28,即y =t4x +2,故直线AB 过定点0,2 ；②由①知：直线AB 的斜率为k AB =t4,(i )当直线PC 的斜率不存在时,直线AB 的方程为y =2,∴PC ⊥AB ,∴∠PCA =∠PCB ；(ii )当直线PC 的斜率存在时,∵P t ,-2 、C 0,2 ,∴直线PC 的斜率k PC =-2-2t -0=-4t ,∴k AB ⋅k PC =t 4×-4t=-1,∴PC ⊥AB ,∴∠PCA =∠PCB .综上所述：∠PCA =∠PCB 得证.18.设抛物线C ：x 2=2py p >0 ,其焦点为F ,准线为l ,点P 为C 上的一点,过点P 作直线l 的垂线,垂足为M ,且MF =FP ,FM ⋅FP=2.(1)求抛物线C 的方程；(2)设点Q 为C 外的一点且Q 点不在坐标轴上,过点Q 作抛物线C 的两条切线,切点分别为A ,B ,过点Q 作y 轴的垂线,垂足为S ,连接AS ,BS ,证明：直线AS 与直线BS 关于y 轴对称.【解析】(1)∵PM =PF =FM ,∴△PFM 为等边三角形,∴∠FMP =∠PFM =60°,又FM ⋅FP=FM ⋅FP cos ∠PFM =FM 2cos60°=2,∴FM =2设直线l 交y 轴于N 点,则在Rt △MNF 中∠NMF =30°,NF =1=p ,∴C 的方程为x 2=2y(2)设点Q a ,b a ≠0,b ≠0 ,A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,又C 的方程为x 2=2y 可化为y =x 22,∴y =x所以过点A 且与C 相切的直线的斜率为x 1,过点B 且与C 相切的直线的斜率为x 2,所以直线QA 的方程为y-y1=x1x-x1,直线QB的方程为y-y2=x2x-x2.又直线QA与QB均过点Q,b-y1=x1a-x1,b-y2=x2a-x2,又x21=2y1,x22=2y2,∴y1=ax1-b,y2=ax2-b,所以直线AB的方程为y=ax-b,联立方程y=ax-b和x2=2y得方程组x2=2y,y=ax-b,消去y得x2-2ax+2b=0,∵b≠0,∴x1≠0,x2≠0,∵x1x2=2b,又S0,b,则直线AS的斜率k1=y1-bx1；直线BS的斜率k2=y2-bx2,∴k1+k2=x1+x2x1x22-bx1x2,∵x1x22-b=0,∴k1+k2=0,所以直线AS与直线BS关于y轴对称.。

导数中的公切线问题--2024年新高考数学一轮复习题型归纳与方法总结解析版

导数中的公切线问题知识点梳理一、公切线问题一般思路两个曲线的公切线问题，主要考查利用导数的几何意义进行解决，关键是抓住切线的斜率进行转化和过渡.主要应用在求公切线方程，切线有关的参数，以及与函数的其他性质联系到一起.处理与切线有关的参数，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.考法1：求公切线方程已知其中一曲线上的切点，利用导数几何意义求切线斜率，进而求出另一曲线上的切点；不知切点坐标，则应假设两切点坐标，通过建立切点坐标间的关系式，解方程.具体做法为：设公切线在y =f (x )上的切点P 1(x 1，f (x 1))，在y =g (x )上的切点P 2(x 2，g (x 2))，则f ′(x 1)=g ′(x 2)=f x 1 -g x 2x 1-x 2.考法2：由公切线求参数的值或范围问题由公切线求参数的值或范围问题，其关键是列出函数的导数等于切线斜率的方程．题型精讲精练1若直线y =kx +b 是曲线y =e x 的切线，也是曲线y =ln x +2 的切线，则k =______．【解析】设y =kx +b 与y =e x 和y =ln x +2 ，分别切于点x 1,e x 1，x 2,ln x 2+2 ，由导数的几何意义可得：k =e x 1=1x 2+2，即x 2+2=1ex 1，①则切线方程为y -e x 1=e x 1x -x 1 ，即y =e x 1x -e x 1x 1+e x 1，或y -ln x 2+2 =1x 2+2x -x 2 ，即y -ln x 2+2 =1x 2+2x -x 2 ，②将①代入②得y =e x 1x +2e x 1-1-x 1，又直线y =kx +b 是曲线y =e x 的切线，也是曲线y =ln x +2 的切线，则-e x 1x 1+e x 1=2e x 1-1-x 1，即e x 1-1 x 1+1 =0，则x 1=-1或x 1=0，即k =e 0=1或k =e -1=1e ，故答案为1或1e．2已知直线y =kx +b 与函数y =e x 的图像相切于点P x 1,y 1 ，与函数y =ln x 的图像相切于点Q x 2,y 2 ，若x 2>1，且x 2∈n ,n +1 ，n ∈Z ，则n =______．【解析】依题意，可得e x 1=k =1x 2y 1=e x 1=kx 1+by 2=ln x 2=kx 2+b，整理得x 2ln x 2-ln x 2-x 2-1=0令f x =x ln x -ln x -x -1x >1 ，则f x =ln x -1x在1,+∞ 单调递增且f 1 ⋅f 2 <0，∴存在唯一实数m ∈1,2 ，使f m =0f x min =f m <f 1 <0，f 2 =ln2-3<0，f 3 =2ln3-4<0，f 4 =3ln4-5<0，f 5 =4ln5-6>0，∴x 2∈4,5 ，故n =4．【题型训练】1.求公切线方程一、单选题1(2023·全国·高三专题练习)曲线y =1x与曲线y =-x 2的公切线方程为()A.y =-4x +4B.y =4x -4C.y =-2x +4D.y =2x -4【答案】A【分析】画出图象，从而确定正确选项.【详解】画出y =1x,y =-x 2以及四个选项中直线的图象如下图所示，由图可知A 选项符合.故选：A2(2023·全国·高三专题练习)对于三次函数f (x )，若曲线y =f (x )在点(0,0)处的切线与曲线y =xf (x )在点(1,2)处点的切线重合，则f ′(2)=()A.-34B.-14C.-4D.14【答案】B【分析】由f(0)=0得d=0，然后求得f (x)，由f (0)=2-01-0求得c=2，设g(x)=xf(x)，由g(1)=2得f(1)=2及a+b=0，再由g (1)=2得3a+2b+2=0，解得a,b后可得f (2)．【详解】设f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)，∵f(0)=d=0,∴f(x)=ax3+bx2+cx,∴f′(x)=3ax2+2bx+c∴f′(0)=c=2-01-0=2，设g(x)=xf(x)，则g(1)=f(1)=a+b+2=2，即a+b=0⋯⋯①又∵g′(x)=f(x)+xf′(x),∴g′(1)=f(1)+f′(1)=2,∴f′(1)=0，即3a+2b+2=0⋯⋯②由①②可得a=-2,b=2,c=2，∴f′(2)=-14.故选：B.3(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x =x ln x，g x =ax2-x．若经过点A1,0存在一条直线l与曲线y=f x 和y=g x 都相切，则a=()A.-1B.1C.2D.3【答案】B【分析】先求得f(x)在A(1,0)处的切线方程，然后与g x =ax2-x联立，由Δ=0求解【详解】解析：∵f x =x ln x，∴f x =1+ln x，∴f 1 =1+ln1=1，∴k=1，∴曲线y=f x 在A1,0处的切线方程为y=x-1，由y=x-1y=ax2-x得ax2-2x+1=0，由Δ=4-4a=0，解得a=1．故选：B4(2023·全国·高三专题练习)已知函数f(x)=x2-4x+4,g(x)=x-1，则f(x)和g(x)的公切线的条数为A.三条B.二条C.一条D.0条【答案】A【分析】分别设出两条曲线的切点坐标，根据斜率相等得到方程8n3-8n2+1=0，构造函数f x =8x3-8x2+1,f x =8x3x-2，研究方程的根的个数，即可得到切线的条数.【详解】设公切线与f x 和g x 分别相切于点m,f m,n,f n,f x =2x-4，g x =-x -2,gn =fm =g n -f m n -m ，解得m =-n -22+2，代入化简得8n 3-8n 2+1=0，构造函数f x =8x 3-8x 2+1,f x =8x 3x -2 ，原函数在-∞，0 ↗，0，23 ↘，23，+∞ ↗，极大值f 0 >0,极小值，f 23<0故函数和x 轴有交3个点，方程8n 3-8n 2+1=0有三解，故切线有3条.故选A .【点睛】这个题目考查了利用导数求函数在某一点处的切线方程；步骤一般为：一，对函数求导，代入已知点得到在这一点处的斜率；二，求出这个点的横纵坐标；三，利用点斜式写出直线方程.考查了函数零点个数问题，即转化为函数图像和x 轴的交点问题.5(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x =x 2-2m ，g x =3ln x -x ，若y =f x 与y =g x在公共点处的切线相同，则m =()A.-3B.1C.2D.5【答案】B【分析】设曲线y =f x 与y =g x 的公共点为x 0,y 0 ，根据题意可得出关于x 0、m 的方程组，进而可求得实数m 的值.【详解】设函数f x =x 2-2m ，g x =3ln x -x 的公共点设为x 0,y 0 ，则f x 0 =g x 0 f x 0 =g x 0 ，即x 20-2m =3ln x 0-x 02x 0=3x 0-1x 0>0，解得x 0=m =1，故选：B .【点睛】本题考查利用两函数的公切线求参数，要结合公共点以及导数值相等列方程组求解，考查计算能力，属于中等题.6(2023·全国·高三专题练习)函数f (x )=ln x 在点P (x 0,f (x 0))处的切线与函数g (x )=e x 的图象也相切，则满足条件的切点的个数有A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】C【分析】先求直线l 为函数的图象上一点A (x 0，f (x 0))处的切线方程，再设直线l 与曲线y =g (x )相切于点(x 1，e x 1)，进而可得ln x 0=x 0+1x 0-1，根据函数图象的交点即可得出结论．【详解】解：∵f (x )=ln x ，∴f ′(x )=1x ，∴x =x 0，f ′(x 0)=1x 0，∴切线l的方程为y-ln x0=1x0(x-x0)，即y=1x0x+ln x0-1，①设直线l与曲线y=g(x)相切于点(x1，e x1)，∵g (x)=e x，∴e x1=1x0，∴x1=-ln x0．∴直线l也为y-1x0=1x0(x+ln x0)即y=1x0x+ln x0x0+1x0，②由①②得ln x0=x0+1 x0-1，如图所示，在同一直角坐标系中画出y=ln x,y=x+1x-1的图象，即可得方程有两解，故切点有2个.故选：C二、填空题7(2023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测)与曲线y=e x和y=-x24都相切的直线方程为.【答案】y=x+1【分析】分别设出直线与两曲线相切的切点，然后表示出直线的方程，再根据切线是同一条直线建立方程求解.【详解】设直线与曲线y=e x相切于点x1,e x1，因为y =e x，所以该直线的方程为y-e x1=e x1x-x 1，即y=e x1x+e x11-x1，设直线与曲线y=-x24相切于点x2,-x224，因为y =-x2，所以该直线的方程为y+x224=-x22x-x2，即y=-x22x+x224，所以e x1=-x22e x11-x1=x224，解得x1=0,x2=-2，所以该直线的方程为y=x+1，故答案为：y=x+1.8(2023·全国·高三专题练习)已知f x =e x-1(e为自然对数的底数)，g x =ln x+1，请写出f x 与g x 的一条公切线的方程．【答案】y=ex-1或y=x【分析】假设切点分别为m,e m-1，n,ln n+1，根据导数几何意义可求得公切线方程，由此可构造方程求得m，代入公切线方程即可得到结果.【详解】设公切线与f x 相切于点m,e m-1，与g x 相切于点n,ln n+1，∵f x =e x，g x =1x，∴公切线斜率k=e m=1n；∴公切线方程为：y-e m+1=e m x-m或y-ln n-1=1nx-n，整理可得：y=e m x-m-1e m-1或y=1nx+ln n，∴e m=1nm-1e m+1=-ln n，即m=-ln nm-1e m +1=-ln n，∴m-1e m+1-m=m-1e m-1=0，解得：m=1或m=0，∴公切线方程为：y=ex-1或y=x.故答案为：y=ex-1或y=x.9(2023春·安徽·高三合肥市第六中学校联考开学考试)已知直线l与曲线y=e x、y=2+ln x都相切，则直线l的方程为．【答案】y=x+1或y=ex【分析】分别求出两曲线的切线方程是y=e x1x+e x11-x1和y=1x2x+1+ln x2，解方程e x1=1x2，e x11-x1=1+ln x2，即得解.【详解】解：由y=e x得y =e x，设切点为x1,e x1，所以切线的斜率为e x1，则直线l的方程为：y=e x1x+e x11-x1；由y =2+ln x 得y =1x ，设切点为x 2,2+ln x 2 ，所以切线的斜率为1x 2，则直线l 的方程为：y =1x 2x +1+ln x 2．所以e x 1=1x 2，e x 11-x 1 =1+ln x 2，消去x 1得1x 2-11+ln x 2 =0，故x 2=1或x 2=1e，所以直线l 的方程为：y =x +1或y =ex ．故答案为：y =x +1或y =ex 10(2023春·浙江金华·高三浙江金华第一中学校考阶段练习)已知直线y =kx +b 是曲线y =ln 1+x 与y =2+ln x 的公切线，则k +b =.【答案】3-ln2【分析】分别设两条曲线上的切点，写出切线方程，建立方程组，解出切点，计算k +b .【详解】设曲线y =ln 1+x 上切点A x 1,ln 1+x 1 ，y =11+x，切线斜率k =11+x 1，切线方程y -ln 1+x 1 =11+x 1x -x 1 ，即y =11+x 1x -x 11+x 1+ln 1+x 1同理，设曲线y =2+ln x 上切点B x 2,2+ln x 2 ，y =1x，切线斜率k =1x 2，切线方程y -2+ln x 2 =1x 2x -x 2 ，即y =1x 2x +1+ln x 2，所以11+x 1=1x 2-x11+x 1+ln (1+x 1)=1+ln x 2，解得x 1=-12x 2=12，所以k =2，b =1-ln2，k +b =3-ln2.故答案为：3-ln2.2.公切线中的参数问题一、单选题1(2023·陕西渭南·统考一模)已知直线y =ax +b (a ∈R ,b >0)是曲线f x =e x 与曲线g x =ln x +2的公切线，则a +b 等于()A.e +2B.3C.e +1D.2【答案】D【分析】由f x 求得切线方程，结合该切线也是g x 的切线列方程，求得切点坐标以及斜率，进而求得直线y =ax +b ，从而求得正确答案.【详解】设t ,e t 是f x 图象上的一点，f x =e x ，所以f x 在点t ,e t 处的切线方程为y -e t =e t x -t ，y =e t x +1-t e t ①，令g x =1x=e t ，解得x =e -t ，g e -t=ln e -t+2=2-t ，所以2-t -e te -t-t=e t ，1-t =1-t e t ，所以t =0或t =1(此时①为y =ex ，b =0，不符合题意，舍去)，所以t =0，此时①可化为y -1=1×x -0 ,y =x +1，所以a +b =1+1=2.故选：D2(2023·陕西榆林·校考模拟预测)若直线l 与曲线y =e x 相切，切点为M x 1,y 1 ，与曲线y =x +32也相切，切点为N x 2,y 2 ，则2x 1-x 2的值为()A.-2B.-1C.0D.1【答案】B【分析】根据导数求出切线的斜率，得到切线方程，根据两切线方程即可得解.【详解】因为直线l 与曲线y =e x 相切，切点为M x 1,y 1 ，可知直线l 的方程为y =e x 1x -x 1 +e x 1=e x 1x +1-x 1 e x 1，又直线l 与曲线y =x +3 2也相切，切点为N x 2,y 2 ，可知直线l 的方程为y =2x 2+3 x -x 2 +x 2+3 2=2x 2+3 x -x 22+9，所以e x 1=2x 2+3 1-x 1 e x 1=-x 22+9，两式相除，可得21-x 1 =3-x 2，所以2x 1-x 2=-1.故选：B3(2023春·河南·高三校联考阶段练习)已知曲线y =x 在点x 0,x 0 0<x 0<14处的切线也与曲线y =e x 相切，则x 0所在的区间是()A.0,14e 4B.14e 4,14e 2C.14e 2,14eD.14e ,14【答案】C【分析】设切线l与曲线y=e x的切点为m,e m，通过导数分别写出切线方程，由两条切线重合得出方程，再通过此方程有解得出结果.【详解】设该切线为l，对y=x求导得y =12x，所以l的方程为y-x0=12x0x-x0，即y=12x0x+x02．设l与曲线y=e x相切的切点为m,e m，则l的方程又可以写为y-e m=e m x-m，即y=e m x+1-me m．所以e m=12x0，x02=1-me m．消去m，可得x0=1+ln2x0，0<x0<1 4，令t=2x0∈0,1，则ln t-t24+1=0．设h t =ln t-t24+1，当0<t<1时，h t =1t-t2>0，所以h t 在0,1上单调递增，又h1e=-14e2<0，h1e=12-14e>0，所以t0=2x0∈1e,1e，所以x0∈14e2,14e．故选：C.4(2023·全国·高三专题练习)若函数f x =2a ln x+1与g x =x2+1的图像存在公共切线，则实数a的最大值为()A.eB.2eC.e22D.e2【答案】A【分析】分别设公切线与g x =x2+1和f(x)=2a ln x+1的切点x1,x21+1，x2,2a ln x2+1，根据导数的几何意义列式，再化简可得a=2x22-2x22ln x2，再求导分析h(x)=2x2-2x2⋅ln x(x >0)的最大值即可【详解】g x =2x，f x =2a x，设公切线与g x =x2+1的图像切于点x1,x21+1，与曲线f(x)=2a ln x+1切于点x2,2a ln x2+1，所以2x1=2ax2=2a ln x2+1-x21+1x2-x1=2a ln x2-x21x2-x1，故a=x1x2，所以2x1=2x1x2ln x2-x21x2-x1，所以x1=2x2-2x2⋅ln x2，因为a=x1x2，故a=2x22-2x22ln x2，设h(x)=2x2-2x2⋅ln x(x>0)，则h (x)=2x(1-2ln x)，令h (x)=0⇒x=e当h (x)>0时，x∈(0,e)，当h (x)<0时，x∈(e,+∞)，所以h x 在(0,e)上递增，在(e,+∞)上递减，所以h(x)max=h(e)=e，所以实数a的最大值为e，故选：A.5(2023·湖南郴州·统考模拟预测)定义：若直线l与函数y=f x ，y=g x 的图象都相切，则称直线l为函数y=f x 和y=g x 的公切线．若函数f x =a ln x a>0和g x =x2有且仅有一条公切线，则实数a的值为()A.eB.eC.2eD.2e【答案】C【分析】设直线与g x =x2的切点为x1,x21，然后根据导数的几何意义可推得切线方程为y=2x1x-x21，y=ax2x+a ln x2-1.两条切线重合，即可得出a=4x22-4x22ln x2有唯一实根.构造h x =4x2-4x2ln x x>0，根据导函数得出函数的性质，作出函数的图象，结合图象，即可得出答案.【详解】设直线与g x =x2的切点为x1,x21，因为g x =2x，根据导数的几何意义可知该直线的斜率为2x1，即该直线的方程为y-x21=2x1x-x1，即y=2x1x-x21.设直线与f x =a ln x的切点为(x2,a ln x2)，因为f x =ax，根据导数的几何意义可知该直线的斜率为ax2，即该直线的方程为y-a ln x2=ax2x-x2，即y=ax2x+a ln x2-1.因为函数f x =a ln x a>0和g x =x2有且只有一条公切线，所以有2x1=ax2a ln x2-1=-x21 ，即a=4x22-4x22ln x2有唯一实根.令h x =4x2-4x2ln x x>0，则h x =8x-8x ln x-4x=4x1-2ln x.解h x =0，可得x= e.当4x1-2ln x>0时，0<x<e，所以h x 在0,e上单调递增；当4x1-2ln x<0时，x>e，所以h x 在e,+∞上单调递减.所以h x 在x=e处取得最大值h e=4e-4e×12=2e.当x→0时，h x →0，h e =4e2-4e2ln e=0，函数h x 图象如图所示，因为a>0，a=4x2-4x2ln x有唯一实根，所以只有a=2e.故选：C6(2023春·广东汕头·高三汕头市潮阳实验学校校考阶段练习)已知函数f x =2+ln x，g x = a x，若总存在两条不同的直线与函数y=f x ，y=g x 图象均相切，则实数a的取值范围为()A.0,1B.0,2C.1,2D.1,e【答案】B【分析】设函数y=f x ，y=g x 的切点坐标分别为x1,2+ln x1，x2,a x2，根据导数几何意义可得a2=4ln x1+4x1，x1>0，即该方程有两个不同的实根，则设h x =4ln x+4x,x>0，求导确定其单调性与取值情况，即可得实数a的取值范围.【详解】解：设函数f x =2+ln x上的切点坐标为x1,2+ln x1，且x1>0，函数g x =a x 上的切点坐标为x2,a x2，且x2≥0，又f x =1x,g x =a2x，则公切线的斜率k=1x1=a2x2，则a>0，所以x2=a24x21，则公切线方程为y-2+ln x1=1x1x-x1，即y=1x1x+ln x1+1，代入x 2,a x 2 得：a x 2=1x 1x 2+ln x 1+1，则a 22x 1=1x 1⋅a 24x 21+ln x 1+1，整理得a 2=4ln x 1+4x 1，若总存在两条不同的直线与函数y =f x ，y =g x 图象均相切，则方程a 2=4ln x 1+4x 1有两个不同的实根，设h x =4ln x +4x,x >0，则h x =4x⋅x -4ln x +4x2=-4ln xx，令h x =0得x =1，当x ∈0,1 时，h x >0，h x 单调递增，x ∈1,+∞ 时，h x <0，h x 单调递减，又h x =0可得x =1e，则x →0时，h x →-∞；x →+∞时，h x →0，则函数h x 的大致图象如下：所以a >00<a 2<4，解得0<a <2，故实数a 的取值范围为0,2 .故选：B .【点睛】本题考查了函数的公切线、函数方程与导数的综合应用，难度较大.解决本题的关键是，根据公切线的几何意义，设切点坐标分别为x 1,2+ln x 1 ，且x 1>0，x 2,a x 2 ，且x 2≥0，可得k =1x 1=a 2x 2，即有x 2=a 24x 21，得公切线方程为y =1x 1x +ln x 1+1，代入切点x 2,a x 2 将双变量方程a x 2=1x 1x 2+ln x 1+1转化为单变量方程a 22x 1=1x 1⋅a 24x 21+ln x 1+1，根据含参方程进行“参变分离”得a 2=4ln x 1+4x 1，转化为一曲一直问题，即可得实数a 的取值范围.7(2023·全国·高三专题练习)若曲线y =ln x +1与曲线y =x 2+x +3a 有公切线，则实数a 的取值范围()A.2ln2-36,3-ln22B.1-4ln212,3-ln22C.2ln2-36,+∞ D.1-4ln212,+∞【答案】D【分析】分别求出两曲线的切线方程，则两切线方程相同，据此求出a 关于切点x 的解析式，根据解析式的值域确定a 的范围.【详解】设x 1,y 1 是曲线y =ln x +1的切点，设x 2,y 2 是曲线y =x 2+x +3a 的切点，对于曲线y =ln x +1，其导数为y =1x ，对于曲线y =x 2+x +3a ，其导数为y =2x +1，所以切线方程分别为：y -ln x 1+1 =1x 1x -x 1 ，y -x 22+x 2+3a =2x 2+1 x -x 2 ，两切线重合，对照斜率和纵截距可得：1x 1=2x 2+1ln x 1=-x 22+3a，解得3a =ln x 1+x 22=ln 12x 2+1+x 22=-ln 2x 2+1+x 22x 2>-12 ，令h x =-ln 2x +1 +x 2x >-12，hx =-22x +1+2x =4x 2+2x -22x +1=2x +1 2x -1 2x +1=0，得：x =12，当x ∈-12,12时，h x <0，h x 是减函数，当x ∈12,+∞时，h x >0，h x 是增函数，∴h min x =h 12 =14-ln2且当x 趋于-12时，，h x 趋于+∞；当x 趋于+∞时，h x 趋于+∞；∴3a ≥14-ln2，∴a ≥1-4ln212；故选：D ．8(2023·河北·统考模拟预测)若曲线f (x )=3x 2-2与曲线g (x )=-2-m ln x (m ≠0)存在公切线，则实数m 的最小值为()A.-6eB.-3eC.2eD.6e【答案】A【分析】求出函数的导函数，设公切线与f x 切于点x 1,3x 21-2 ，与曲线g x 切于点x 2,-2-m ln x 2 ，x 2>0 ，即可得到m =-6x 1x 2，则x 1=0或x 1=2x 2-x 2ln x 2，从而得到m =12x 22ln x 2-12x 22，在令h x =12x 2ln x -12x 2，x >0 ，利用导数求出函数的最小值，即可得解；【详解】因为f (x )=3x 2-2，g (x )=-2-m ln x (m ≠0)，所以f (x )=6x ，g (x )=-mx，设公切线与f x 切于点x 1,3x 21-2 ，与曲线g x 切于点x 2,-2-m ln x 2 ，x 2>0 ，所以6x 1=-m x 2=-2-m ln x 2-3x 21-2 x 2-x 1=-m ln x 2-3x 21x 2-x 1，所以m =-6x 1x 2，所以6x 1=6x 1x 2ln x 2-3x 21x 2-x 1，所以x 1=0或x 1=2x 2-x 2ln x 2，因为m ≠0，所以x 1≠0，所以x 1=2x 2-x 2ln x 2，所以m =-62x 2-x 2ln x 2 x 2=12x 22ln x 2-12x 22，令h x =12x 2ln x -12x 2，x >0 ，则h x =12x 2ln x -1 ，所以当0<x <e 时h x <0，当x >e 时h x >0，所以h x 在0,e 上单调递减，在e ,+∞ 上单调递增，所以h x min =h e =-6e ，所以实数m 的最小值为-6e.故选：A【点睛】思路点睛：涉及公切线问题一般先设切点，在根据斜率相等得到方程，即可找到参数之间的关系，最后构造函数，利用导数求出函数的最值.二、多选题9(2023·湖北·统考模拟预测)若存在直线与曲线f x =x 3-x ,g x =x 2-a 2+a 都相切，则a 的值可以是()A.0B.-24C.log 27D.e π+πe【答案】ABC【分析】设该直线与f x 相切于点x 1,x 31-x 1 ，求出切线方程为y =3x 21-1 x -2x 31，设该直线与g x 相切于点x 2,x 22-a 2+a ，求出切线方程为y =2x 2x -x 22-a 2+a ，联立方程组，得到-a 2+a =94x 41-2x 31-32x 21+14，令h x =94x 4-2x 3-32x 2+14，讨论h x 的单调性，从而得到最值，则可得到-a 2+a ≥-1，解出a 的取值范围，四个选项的值分别比较与区间端点比较大小即可判断是否在区间内.【详解】设该直线与f x 相切于点x 1,x 31-x 1 ，因为f x =3x 2-1，所以f x 1 =3x 21-1，所以该切线方程为y -x 31-x 1 =3x 21-1 x -x 1 ，即y =3x 21-1 x -2x 31.设该直线与g x 相切于点x 2,x 22-a 2+a ，因为g x =2x ，所以g x 2 =2x 2，所以该切线方程为y -x 22-a 2+a =2x 2x -x 2 ，即y =2x 2x -x 22-a 2+a ，所以3x 21-1=2x 2-2x 31=-x 22-a 2+a ，所以-a 2+a =x 22-2x 31=3x 21-122-2x 31=94x 41-2x 31-32x 21+14，令h x =94x 4-2x 3-32x 2+14,∴h x =9x 3-6x 2-3x ，所以当x ∈-∞,-13 ∪0,1 时，hx <0；当x ∈-13,0 ∪1,+∞ 时，h x >0；∴h x 在-∞,-13和0,1 上单调递减；在-13,0 和1,+∞ 上单调递增；又h -13 =527,h 1 =-1，所以h x ∈-1,+∞ ，所以-a 2+a ≥-1，解得1-52≤a ≤1+52，所以a 的取值范围为1-52,1+52，所以A 正确；对于B ，-24-1-52=25-2+2 4>0，所以1-52<-24<0，所以B 正确；对于C ，因为0<log 27<log 222=32<1+52，所以C 正确；对于D ，因为e π+πe>2e π⋅πe=2>1+52，所以D 不正确.故选：ABC10(2023·全国·高三专题练习)函数f x =ln x +1，g x =e x -1，下列说法正确的是( )．(参考数据：e 2≈7.39，e 3≈20.09，ln2≈0.69，ln3≈1.10)A.存在实数m ，使得直线y =x +m 与y =f x 相切也与y =g x 相切B.存在实数k ，使得直线y =kx -1与y =f x 相切也与y =g x 相切C.函数g x -f x 在区间23,+∞ 上不单调D.函数g x -f x 在区间23,+∞上有极大值，无极小值【答案】AB【分析】对AB ，设直线与y =f x 、y =g x 分别切于点P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ，利用点在线上及斜率列方程组，解得切点即可判断；对CD ，令h x =g x -f x ，由二阶导数法研究函数单调性及极值.【详解】对AB ，设直线l 与y =f x 、y =g x 分别切于点P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ，f x =1x，gx =ex，则有y1=f x1=ln x1+1y2=g x2=e x2-1y1-y2x1-x2=1x1=e x2⇒ln x1+1-e x2-1x1-x2=e x2⇒-x2+1-e x2-11e x2-x2=e x2⇒e x2-1x2-1=0，解得x2=0或x2=1.当x2=0，则y2=0，x1=1，y1=1，公切线为y=x，此时存在实数m=0满足题意；当x2=1，则y2=e-1，x1=1e，y1=0，公切线为y=e x-1e=ex-1，此时存在实数k=1满足题意，AB对；对CD，令h x =g x -f x =e x-ln x-2，x∈0,+∞，则m x =h x =e x-1 x，由m x =e x+1x2>0得h x 在0,+∞单调递增，由h23=e23-32=e2-278e232+32e23+94>0得，x∈23,+∞时，h x >0，h x 单调递增，CD错.故选：AB.三、填空题11(2023·全国·高三专题练习)若曲线y=ax2与y=ln x有一条斜率为2的公切线，则a= .【答案】1ln2e【分析】根据导数的几何意义以及切线方程的求解方法求解.【详解】设公切线在曲线y=ax2与y=ln x上的切点分别为A(x1,y1),B(x2,y2)，由y=ln x可得y =1x，所以1x2=2，解得x2=12，所以y2=ln x2=-ln2,则B12,-ln2 ，所以切线方程为y+ln2=2x-1 2，又由y=ax2，可得y =2ax，所以2ax1=2，即ax1=1，所以y1=ax21=x1，又因为切点A(x1,y1)，也即A(x1,x1)在切线y+ln2=2x-1 2上，所以x1+ln2=2x1-1 2，解得x1=ln2+1，所以a =1x 1=1ln2+1=1ln2e .故答案为:1ln2e.12(2023·河北唐山·统考三模)已知曲线y =ln x 与y =ax 2a >0 有公共切线，则实数a 的取值范围为.【答案】12e,+∞【分析】设公切线与曲线的切点为x 1,ln x 1 ，x 2,ax 22 ，利用导数的几何意义分别求y =ln x 和y =ax 2上的切线方程，由所得切线方程的相关系数相等列方程求参数关系，进而构造函数并利用导数研究单调性求参数范围.【详解】设公切线与曲线y =ln x 和y =ax 2的切点分别为x 1,ln x 1 ，x 2,ax 22 ，其中x 1>0，对于y =ln x 有y =1x ，则y =ln x 上的切线方程为y -ln x 1=1x 1x -x 1 ，即y =xx 1+ln x 1-1 ，对于y =ax 2有y =2ax ，则y =ax 2上的切线方程为y -ax 22=2ax 2x -x 2 ，即y =2ax 2x -ax 22，所以1x 1=2ax 2ln x 1-1=-ax 22，有-14ax21=ln x 1-1，即14a=x 21-x 21ln x 1x 1>0 ，令g x =x 2-x 2ln x ，g x =x -2x ln x =x 1-2ln x ，令gx =0，得x =e 12，当x ∈0,e12时，g x >0，g x 单调递增，当x ∈e 12,+∞ 时，g x <0，g x 单调递减，所以g x max =g e12=12e ，故0<14a ≤12e ，即a ≥12e.∴正实数a 的取值范围是12e,+∞.故答案为：12e,+∞.13(2023·浙江金华·统考模拟预测)若存在直线l 既是曲线y =x 2的切线，也是曲线y =a ln x 的切线，则实数a 的最大值为.【答案】2e【分析】设切线与两曲线的切点分别为(n ,n 2)，(m ,a ln m )，根据导数的几何意义分别求出切线方程，可得a4m2=1-ln m，由题意可知a4=m2(1-ln m)有解，故令g(x)=x2(1-ln x),(x>0)，利用导数求得其最值，即可求得答案.【详解】由题意知两曲线y=x2与y=a ln x,(x>0)存在公切线，a=0时，两曲线y=x2与y=0,(x>0)，不合题意；则y=x2的导数y =2x，y=a ln x的导数为y =a x，设公切线与y=x2相切的切点为(n,n2)，与曲线y=a ln x相切的切点为(m,a ln m)，则切线方程为y-n2=2n(x-n)，即y=2nx-n2，切线方程也可写为y-a ln m=am(x-m)，即y=amx-a+a ln m，故2n=am-n2=-a+a ln m，即a24m2=a-a ln m，即a4m2=1-ln m，即a4=m2(1-ln m)有解，令g(x)=x2(1-ln x),(x>0)，则g (x)=2x(1-ln x)+x2-1 x=x(1-2ln x)，令g (x)=0可得x=e，当0<x<e时，g (x)>0，当x>e时，g (x)<0，故g(x)在(0,e)是增函数，在(e,+∞)是减函数，故g(x)的最大值为g(e)=e 2，故a4≤e2，所以a≤2e，即实数a的最大值为2e，故答案为：2e。

导数之切线题型归纳总结教师版

切线题型归纳总结学习目标理解导数与函数之间的联系，掌握导数的几何意义，及其作为工具在解决有关函数问题的作用，核心是利用导数研究函数单调性及其极值最值.知识点函数()x f y =在0x x =处导数()0x f '是曲线()x f y =在点()()00x f ,x 处切线l 的斜率，切线l 的方程是()()()000x x x f x f y -'=-.注意:直线与曲线有且只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线；反之直线是曲线的切线，但直线不一定与曲线有且只有一个公共点.热身训练1.已知曲线x ln x y 342-=的一条切线斜率是21，则切点的横坐标为______; 3 2.设0>a ，()c bx ax x f ++=2，曲线()x f y =在点()()00x f ,x P 处切线的倾斜角的取值范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡40π，，则P 到曲线()x f y =对称轴距离的取值范围为______.⎥⎦⎤⎢⎣⎡a 210， 3.曲线113+=x y 在点()121,P 处的切线与y 轴交点的纵坐标是________. 94.若点P 是曲线x ln x y -=2上任意一点，则点P 到直线2-=x y 的最小值为______. 解析：由已知x x y 12-='，令112=-xx ，解得1=x .曲线x ln x y -=2在1=x 处的切线方程为x y =.两直线x y =，2-=x y 之间的距离为21.切线问题常见题型（1）求切线方程：①在曲线上一点的切线方程；②过一点的切线方程. （2）求切点坐标；（3）求切线方程的参数值或者范围；（4）求公切线（公切点或者两个切点）；（5）判断切线的条数；2.切线的应用（1）研究最值极值；（2）判断位置关系（3）讨论方程的根的情况（一）求切线方程例1.【例3】已知函数()3f x x x =-．（1）求曲线()y f x =在点()1,0处的切线方程；（2）求过点()1,0且与曲线()y f x =相切的直线方程．【解析】（1）由()231f x x '=-，()12f '=，则曲线()y f x =在点()1,0处的切线方程为22y x =-．（2）设切点的坐标为()3000,x x x -，则所求切线方程为()()()32000031y x x x x x --=--代入点()1,0的坐标得()()320000311x x x x -+=--，解得01x =或012x =-当012x =-时，所求直线方程为1144y x =-+由（1）知过点()1,0且与曲线()y f x =相切的直线方程为22y x =-或1144y x =-+．总结：求曲线在某点处的切线方程的步骤过点(x 1，y 1)的曲线y ＝f (x )的切线方程的求法步骤 (1)设切点(x 0，f (x 0))．(2)建立方程f ′(x 0)＝y 1－f (x 0)x 1－x 0.(3)解方程得k ＝f ′(x 0)，x 0，y 0，从而写出切线方程．变式训练1：已知曲线2:2C y x x =-+. （1）求曲线C 在点()1,2处的切线方程，（2）求过点()2,3且与曲线C 相切的直线的方程．【答案】（1） 10x y -+=（2）10x y -+=或570x y --=.变式训练2：设函数()x ln x x f -+=12在点()()00x f ,x 处的切线为l ，若垂直于函数()x f的图像在点()()11f ,处的切线，求直线l 的方程解析：因为()()()⎪⎩⎪⎨⎧<<-+≥+-=e x ,x ln x e x ,x ln x x f 01122，故()21=f ，而()11='f ，又当e x ≥时，()x x x f 12+='，得()x f y '=在[)+∞,e 上单调递增，此时()ee xf 12+≥'，故当e x ≥时，()x f 的图像上任意一点的切线都不垂直于函数在点()()11f ,处的切线，当e x <<0时，由于函数()x ln x x f -+=12在点()()00x f ,x 处的切线l 垂直于函数()x f 的图像在点()()11f ,处的切线，故()10-='x f ，则210=x ，故直线l 的方程为024744=--+ln y x（二）求切线方程的参数例1．已知直线y x m =-+ 是曲线23ln y x x =-的一条切线，则m 的值为（）A ．0B ．2C ．1D ．3 【解析】设切点为00(,)x y 因为切线y x m =-+，所以0003|21x x y x x ='=-=-，解得0031,2x x ==-（舍去）代入曲线23ln y x x =-得01y =，所以切点为1,1（）代入切线方程可得11m =-+，解得2m =.例2.（2015全国卷1（21））已知函数()413++=ax x x f ，当a 为何值时，x 轴为曲线()x f y =的切线.答案：43-=a 例3.设曲线()xe ax y 1-=在点()10y ,x 处的切线为1l ，曲线()xe x y --=1在点()20y ,x 处的切线为2l ，若存在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2300,x ，使得21l l ⊥，则实数a 的取值范围是________解析：函数()x e ax y 1-=的导数：()xe a ax y 1-+='，故1l 的斜率为：()0101xe a ax k -+=，函数()xex y --=1的导数：()xe x y --='2，故2l 的斜率：()0202x ex k --=，可得121-=k k ，从而()010x e a ax -+()1200-=--x e x ，故()32002-=--x x x a ，由⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2300,x 得，02020≠--x x ，故230200---=x x x a ，令()⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤---=230232x x x x x f ，则()()()()22251-----='x xx x x f ，令导数大于0，得510<<x ，故在()10,是减函数，在⎪⎭⎫⎝⎛231，上是增函数，00=x 时取得最大值为23；10=x 时取得最小值为1，故231≤≤a . 变式训练1：设曲线(1)ln y a x x =--在点()1,0处的切线方程为33y x =-，则a =（）A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】因为1y a x'=-，且在点()1,0处的切线的斜率为3，所以13a -=，即4a =. 变式训练2：已知函数()2f x x =的图象在1x =处的切线与函数()e xg x a=的图象相切，则实数a =( ) AB．2C．【解析】由()2f x x =，得()2f x x '=，则()12f '=，又(1)1f =，所以函数()2f x x =的图象在1x =处的切线为12(1)y x -=-，即21y x =-.设21y x =-与函数()e xg x a=的图象相切于点00(,)x y ,由e ()xg x a '=，可得00000e ()2,e ()21,x x g x ag x x a ⎧==⎪⎪⎨⎪==-⎩'⎪解得32031,e =222x a ==.故选：B.变式训练3：已知b ,a 为正实数，直线a x y -=与曲线()b x ln y +=相切，则ba -22的取值范围是（ C ）()+∞,.A 0 ()10,.B ⎪⎭⎫ ⎝⎛210,.C [)+∞,.D 1（三）公切线问题题型一：公切点例1.曲线221x y =与x ln e y =相切于点⎪⎭⎫ ⎝⎛e ,e 21.求切线方程解析：设曲线221x y =在1x x =处的切线方程为()112121x x x x y -=-①，曲线x ln e y =在2x x =处的切线方程为()222x x x ex ln ye -=②，由两曲线有公切线知，联立①②，消掉2x 得02121=-x ln e x ，设(),x ln e x x g 22-=则()()()e x e x xx g -+='2，可得()()0==e g x g min ，即e x x ==21，因此公切线方程为e x e y 21-=.变式训练1.已知函数()12-=x x f 与函数()()0≠=a x ln a x g ，若曲()x f y =，()x g y =的图像在点()01,处有公共的切线，则实数a =_______.2变式训练2.若一直线与曲线x ln y =和曲线()02>=a ay x 相切于同一点P ，则=a ___.2e题型二：两个切点例2.（2016全国卷1理16）若直线b kx y +=是曲线2+=x ln y 的切线，也是曲线()1+=x ln y 的切线，则b =_____解析：设2+=x ln y 在切点()11y ,x 处的切线方程为：1111++⋅=x ln x x y ； ()1+=x ln y 在切点()22y ,x 处的切线方程为：()11112222+-+++=x xx ln x x y ，联立得()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-+=++=111111222121x x x ln x ln x x，解得212121-==x ,x ，∴2111ln x ln b -=+=.变式训练1：曲线12-=x y 和1-=x ln a y 存在公切线，则正实数a 取值范围是_()e ,20__变式训练2.若函数2()1f x x =+的图象与曲线C:()()10xg x ae a =+>存在公共切线，则实数a 的取值范围为A ．240,e ⎛⎤⎥⎝⎦ B ．280,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．22e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，D ．26e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，【解析】设公切线与f （x ）＝x 2+1的图象切于点（x 1，21x +1），与曲线C ：g （x ）＝ae x +1切于点（x 2，21x ae +），∴2x 1＝2x ae＝()()222211212111x x aex aex x x x x +-+-=--，化简可得，2x 1＝211212x x x x --，得x 1＝0或2x 2＝x 1+2，∵2x 1＝2x ae ，且a ＞0，∴x 1＞0，则2x 2＝x 1+2＞2，即x 2＞1，由2x 1＝1x ae 得a ＝()2221412x x x x ae ae-=，设h （x ）＝()41xx e-（x ＞1），则h′（x ）＝()42xx e-，∴h （x ）在（1，2）上递增，在（2，+∞）上递减，∴h （x ）max ＝h （2）＝24e ，∴实数a 的取值范围为（0，24e ] （四）切线条数问题例1.已知三次函数()()2613+-+=x x x f ,若过点()m ,A 1()4≠m 可作曲线()x f y =的三条切线，求实数m 的取值范围.解析：()()6132-+='x x f ，由题意知点A 不在曲线上，过点A 作曲线()x f y =的切线，设切点()00y ,x M ，则切线方程为()()()000x x x f x f y -'=-，代入点A 化简得062030=+-m x x ，若有三条切线，则方程有三个不等的实根，设()m x x x g +-=030062，则()66200-='x x g ，由()00>'x g 可得，10>x 或10-<x ，故()0x g 在区间()1-∞-,和()∞+，1上单调递增，即得极大值()1-g ，极小值为()1g ；方程满足有三个实根的充要条件是()()⎩⎨⎧<>-0101g g ，即44<<-m变式训练：设函数()c bx x a x x f ++-=23231，其中0>a ，曲线()x f y =在点 ()()00f P ，处的切线方程为1=y（1）确定c ,b 的值（2）若过点()20,可作曲线()x f y =的三条不同切线，求a 的取值范围. 答案：（1）10==c ,b（2）()∞+，332 （五）切线综合问题例1.设曲线()x e x f x--=上任意一点处的切线为1l ，总存在过曲线()x cos ax x g 2+=上一点处的切线2l ，使得21l l ⊥，则实数a 的取值范围是（）(]32,.A - ()32,.B - []21,.C - ()21,.D -解析：由()x e x f x--=，得()1--='xe xf ，∵11>+xe ，∴()1011,e x∈+，由()x cos ax x g 2+=，得()x sin a x g 2-='，又∵[]222,x sin -∈-，∴[]a ,a x sin a ++-∈-222，要满足题意，则得⎩⎨⎧≥+≤+-1202a a ，得21≤≤-a .变式训练1.若函数()x sin ax x f +=的图像上存在互相垂直的切线，则实数a 的值____.0 变式训练2.已知函数()2ax x f =，若存在两条过点()21-,P 且互相垂直的直线与函数()x f的图像都没有公共点，则实数a 的取值范围为______. 81>a 课后训练1.若直线kx y =与曲线x x x y 2323+-=相切，试求k 的值. 答案：412或解析：设kx y =与x x x y 2323+-=相切于()00y ,x P ，则00kx y =，02030023x x x y +-= ∵2632+-='x x y ，()2630200+-='=x x x f k ，联立得()02030002023263x x x x x x+-=+-，解得00=x 或23-，即2=k 或41-=k2. 已知函数()ax e x f x2-=与()()x a ax x x g 1223+-+-=的图像不存在互相平行或者重合的切线，则实数a 的取值范围为_______.[]33,-3.曲线()01<-=x xy 与曲线x ln y =（切线相同）的条数为______. 答案：14.直线l 与曲线()02>=x x y 和()03>=x x y 均相切，切点分别为()11y ,x A ，()22y ,x B ，则21x x 的值为______. 答案：34.5.已知()x x x f 33-=，过点()m ,A 1可作曲线的三条切线，则m 的取值范围是___.()23--,6.直线b x y +=是曲线x ln a y =的切线，则当0>a 时，实数b 的最小值是_____. 1-。

三次函数的切线问题

高考中三次函数图象的切线问题镇江实验高中杨勇一、已知斜率为k 与三次函数图象相切的切线三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f1、0>a ,斜率ab ac k 332-=时，有且只有一条切线； ab ac k 332->时，有两条不同的切线； ab ac k 332-<时，没有切线； 2、0<a ,斜率ab ac k 332-=时，有且只有一条切线； ab ac k 332-<时，有两条不同的切线； ab ac k 332->时，没有切线；证明 c bx ax x f ++=23)(2/1、 0>a 当ab x 3-=时，.33)(2min /a b ac x f -= ∴ 当a b ac k 332-= 时，方程ab ac c bx ax 332322-=++有两个相同解，所以斜率为k 的切线有且只有一条；其方程为： ).3(33)3(2ab x a b ac a b f y +-=-- 当a b ac k 332->时，方程k c bx ax =++232，有两个不同的解21,x x ，且21x x +=-ab 32-，即存在两个不同的切点))(,()),(,(2211x f x x f x ，且两个切点关于三次函数图象对称中心对称。

所以斜率为k 的切线有两条。

当ab ac k 332-<时，方程k c bx ax =++232无实根，所以斜率为k 的切线不存在。

2、0<a 时，读者自己证明。

二、过三次函数图象上一点的切线设点P 为三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 图象上任一点，则过点P 一定有直线与)(x f y =的图象相切。